รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

1

บทท 1 ประวตของยคลด

Euclid of Alexandria

ยคลดแหงอะเลกซานเดรย ประมาณ (325 – 270 ปกอนครสตศกราช) นกคณตศาสตรทมชอเสยงชาวกรก

ประวต ยคลดเคยเปนศาสตราจารยดานคณตศาสตร (professor of mathematics) ของมหาวทยาลยอะเลกซานเดรย (University of Alexandria) ตอจาก พลาโต (Plato) และกอนหนา อารคมดส (Archimedes) และไดใชชวตอยทอะเลกซานเดรยเปนเวลานานรวมถงเปนผกอตงส านกคณตศาสตรแหงอะเลกซานเดรย (Alexandria School of Mathematics) ขนดวย ซงส านกแหงนกมชอเสยงตอมาอกเปนเวลานาน ยคลดเคยไดรบการศกษาทางดานคณตศาสตรทส านกพลาโตนก (Platonic School) ทกรงเอเธนส (Athens) มากอน และมาอยทอะเลกซานเดรยภายหลงจากทพระเจาอะเลกซานเดอรมหาราช (Alexander the Great, ประมาณ 359 – 323 ปกอนครสตศกราช) ไดสรางเมองอะเลกซานเดรยขน และทานกมชอเสยงแพรหลายในรชสมยโตเลมท 1 พระเจาโซเตอร (Ptolemy I Sotor, ประมาณ 367 – 282 ปกอนครสตศกราช) ซงพระเจาโตเลมท 1 ทรงเปนผสรางมหาวทยาลยอะเลกซานเดรยขนเมอประมาณ 300 ปกอนครสตศกราช โดยมวตถประสงคเพอตองการทจะชดจงคนทมการศกษาดมาอยในเมองน และมหาวทยาลยแหงนกนบไดวาเปนสถาบนการศกษาแหงแรกทมลกษณะคลายคลงกบมหาวทยาลยในปจจบนมากทสด มทงหองบรรยาย หองทดลอง สวน พพธภณฑ หองสมดและทอยของเจาหนาท แตสงทส าคญทสดคอหองสมด ซงสรางไวไดอยางใหญโตมาก และนบวาเปนทเกบรวบรวมผลงานทใชในการศกษาในมหาวทยาลยเปนจ านวนมาก

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

2

ดงทมค ากลาวเปรยบเปรยวา ภายในระยะเวลา 40 ปนบตงแตมการกตงหองสมดมาเทานนกมมวนกระดาษปาปรส (papyrus rolls) มากกวา 6 มวน และอะเลกซานเดรยกกลายเปนศนยกลางทางดานวชาการ(Intellectual metropolis) ของชาวกรกตดตอกนมาเปนเวลานบพนป เรองเลาเกยวกบยคลด ปปปส (Pappus, ประมาณ ค.ศ. 300) นกคณตศาสตรทมชอเสยงอกทานหนงเคยยกยองยคลดไววา “เมอเปรยบเทยบกบอะโปลโลเนยส (Apollonius of Perga, ประมาณ 225 ปกอนครสตศกราช) แลว ยคลดชางเปนคนทถอมตนและนกถงคนอน ๆ อยเสมอ” โปรคลส (Proclus, ค.ศ. 410 – 485) ไดเลาเรองราวเกยวกบยคลดในหนงสอ Eudemian Summary วา “เมอยคลดไดเปนพระอาจารยวชาเรขาคณตในพระเจาทอเลมท 1 พระองคมรบสงถามยคลดวา ‘มทางลดส าหรบการเรยนวชาเรขาคณตไหม?’ ยคลดทลตอบวา ‘ไมมลาดพระบาทส าหรบการเรยนเรขาคณต’ (There is no royal road to geometry.)” กลาวคอ การศกษาวชาเรขาคณตไมใชสงทสะดวกสบายและท าไดงาย ๆ แตมบางคนกลาววาค าพดนเปนค าพดของเมแนชมส (Menaechmus, ประมาณ 350 ปกอนครสตศกราช) เมอทลตอบพระเจาอะเลกซานเดอรมหาราช เมอมลกศษยคนหนงถามยคลดในระหวางทเรยนเรขาคณตวา “เราจะไดอะไรเปนผลตอบแทนบางจากการเรยนสงทยากเหลาน” (What will I get by learning difficult thing?) ซงค าถามนคงจะหมายความวาจะน าความรทางเรขาคณตไปใชประโยชนอะไรไดบาง เพราะเรขาคณตทยคลดสอนนนมแตการพสจนและการใหเหตผล ซงเปนการยากทยคลดจะตอบไดในทนททนใด ทานจงสงใหทาสไปหยบเหรยญเงน 2 โอปอลมา 1 เหรยญมอบใหแกลกศษยคนนนและตอบวา “เจาจะตองไดรบก าไรหรอประโยชนจากสงทเรยนรแนนอน” (for he must make a profit from what he learns.) ทยคลดกลาวเชนนนเพอแสดงใหเหนวาในการเรยนวชาคณตศาสตรไมมทางลด และไมสามารถเรยนหรอฝกหดแทนกนได ผเรยนจะตองพอใจและรกในวชาคณตศาสตรเพราะตววชาคณตศาสตรเอง จากเรองทเลามานแสดงใหเหนวา ยคลดเปนผทมความรอบรและมความอดทน และเปนครทด เปนนกอนรกษ เปนผทอทศเวลาใหกบการศกษาคณตศาสตร และเปนผทมความลกซงในวชาคณตศาสตรมาก ผลงาน ผลงานทส าคญของยคลดคอการเขยนต าราทางคณตศาสตรและดารศาสตร ผลงานบางชนสญหายไปแลว เชน งานเขยนเกยวกบภาคตดกรวยทยคลดรวบรวมจากการคนควาของอรสเตอส (Aristaeus, ประมาณ 320 ปกอนครสตศกราช) ซงเปนนกเรขาคณตยคเดยวกบยคลด และงานเขยนเกยวกบภาคตดกรวยเชนกนแตเปนผลงานของเมแนชมส ยคลดมผลงานอยางนอยทสด 9 ชน ไดแก Elements, Data, On Divisions (หรอ ), Pseudaria, Porissms, Conics, Phacnomena, Optics, Elements of Music แตมผลงานท ยงคงเหลออยในปจจบน 5 ชนดวยกน คอ

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

3

1. Division of Figures กลาวถงการแบงรปในระนาบ ประกอบดวยทฤษฎบท 36 บท เชน ทฤษฎบทท 1 วาดวยการสรางเสนตรงใหขนานกบฐานของสามเหลยมและแบงสามเหลยมออกเปนสองสวนโดยมพนทเทากน เปนตน 2. Data เปรยบเทยบไดกบคมอการสอนทใชควบคกบหนงสอ Elements 6 เลมแรก เนอหาสาระจงเนนทการชแนะวธวเคราะหปญหาทางเรขาคณต 3. Phacnomena กลาวถงเรขาคณตบนทรงกลม 4. Optics กลาวถงการศกษาเกยวกบปรากฏการณของแสง 5. Elements เปนต าราทางเรขาและคณตศาสตรทมชอเสยงทสดของทานซงเราจะกลาวถงอยางละเอยดตอไป

Elements ของยคลด ทตองน าหนงสอ Elements มากลาวเปนกรณพเศษกเนองจากวาเปนหนงสอทมชอเสยงมากทสดของยคลด และไดรบการกลาวขวญวาเปนต าราทส าคญทสดเลมหนงในประวตศาสตรของมวลมนษยชาต เปนหนงสอทมคนอานมากทสดเปนดบสองรองจากค าภรไบเบล และถาไมนบรวมค าภรไบเบลแลว อาจกลาวไดวาไมมหนงสอเลมใดจะมอทธพลตอวถชวตของมนษยและถกใชอยางกวางขวางเทากบ Elements วากนวาในทนททหนงสอ Elements ออกมายคลดกไดรบการกลาวถงอยางชนชมอยางกวางขวาง ทงทจรง ๆ แลวยคลดมผลงานออกมาแลวหลายเลม และนบตงแตสมยของยคลดจนกระทงถงสมยใหมหากเพยงแตกลาววาทฤษฎหรอบทสรางทเทาใด ใน Elements เลมไหนกจะสรางสามารถบอกไดทนทวาทฤษฎบทหรอบทสรางนนมใจความวาอยางไร หนงสอ Elements ไดรบการปรบปรงแกไขมากกวา 1 พนครงและเปนเวลานานกวา 2 พนปท Elements มอทธพลตอการสอนวชาเรขาคณตในสถาบนการศกษาทวโลก 700 ปหลงจากทยคลดไดเขยนหนงสอ Elements ขน ธออน (Theon, ประมาณ ค.ศ. 390) เปนผปรบปรง Elements เปนทานแรก หลงจากนนกมการปรบปรงอก จนกระทงเรมครสตศตวรรษท 19 มการคนพบ Elements ทหองสมดส านกวาตกน ซงเชอกนวาเปนฉบบทคดลอกมาจากฉบบทปรบปรง

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

4

โดยธออน บทนยาม สจพจน (ทง Axioms และ Postulates) แตกตางจากของเดมบาง แตทฤษฎบทและการพสจนยงคงคลายคลงกบทยคลดเขยน การแปล Elements เปนภาษาละตนครงแรกมไดแปลจากตนฉบบทเปนภาษากรก แตแปลจากตนฉบบทเปนภาษาอาหรบ เหตทเปนเชนนเพราะวาในสมยทอะเลกซานเดรยเสอมลง และตกเปนสวนหนงของโรมน ความรตาง ๆ ถกขนยายไปอยทตะวนออกกลาง และทนนเองไดมการเกบรกษาความรของชาวกรกทอะเลกซานเดรย รวมถงการแปลหนงสอตาง ๆ จากภาษากรกเปนภาษาอาหรบ ซงเปนผลดเพราะเปนการเกบรกษาความรของกรกไวตลอดระยะเวลาทยโรปตกอยในยดมด (Dark Age) ตอมาหลงจากพนยคมดไปแลวกไดมนกปราชญหลายทานไดแปล Elements จากภาษาอาหรบเปนภาษาละตน จนกระทงป ค.ศ. 1570 Elements ภาคภาษาองกฤษฉบบสมบรณฉบบแรกกไดรบการตพมพออกมา ลกษณะส าคญของหนงสอ Elements 1. หนงสอ Elements ถอวาเปนตนแบบของระบบคณตศาสตรในปจจบน กลาวคอในหนงสอ Elements ยคลดไดก าหนดขอตกลงขน 10 ประการ ยคลดเรยกขอตกลง 5 ประการแรกวาสจพจน (Axioms) หรอคอมมอนโนชน (Common Notions) ซงหมายถงสงทเหนไดจรงโดยไมตองมการพสจนในคณตศาสตรทกแขนง สวนขอตกลง 5 ประการหลงยคลดเรยกวาพอสจเลต (Postulates) หมายถงสงทเหนไดจรงโดยไมตองพสจนในทางเรขาคณต ขอตกลงดงกลาวมดงน A1 สงทงหลายทเทากบสงเดยวกน สงเหลานนยอมเทากน A2 สงทเทากน เมอถกเพมดวยสงทเทากน ผลยอมเทากน A3 สงทเทากน เมอถกหกออกดวยสงทเทากน ผลยอมเทากน A4 สงททกอยางรวมกนยอมเทากน A5 สวนรวมยอมใหญกวาสวนยอย P1 ลากเสนตรงจากจดหนงไปยงอกจดหนงได P2 ตอเสนตรงทมความยาวจ ากดออกไปเรอย ๆ P3 เขยนวงกลมไดเมอก าหนดจดศนยกลางและระยะทางใด ๆ P4 มมฉากทกมมยอมเทากน P5 ถาเสนตรงเสนหนง ผานเสนตรง 2 เสน ท าใหมมภายในทอยดานเดยวกนรวมกนนอยกวา 2 มมฉาก แลวเสนตรง สองเสนจะตดกนทางดานทมมมรวมกนนอยกวา 2 มมฉาก ถาลากเสนนนตอไปเรอยๆ จากขอตกลงทง 10 ประการน ยคลดสามารถน าไปสรางทฤษฎบทได 465 ทฤษฎ โดยใชวธการทเรยกวา “การสงเคราะห” ดวยการน าบทนยามหรอทฤษฎทรแลว ประกอบกบการใหเหตผลเชงตรรกศาสตร ไปสรางขอสรปหรอทฤษฎบทใหมทมความซบซอนมากขน ตอจากนนจงไดใชวธการวเคราะหพสจนขอสรปหรอทฤษฎบทเหลานนวาเปนจรง 2. ยคลดใหนยามค าศพททกค าทตองใชในหนงสอ Elements เชน ค าวาจด เสน ระนาบ เปนตน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

5

3. การพสจนทปรากฏในหนงสอ Elements ยคลดไดพยายามใชหลกเกณฑอยางเครงครด นอกจากนการพสจนทฤษฎบทบางบท จดไดวาเปนวธการใหเหตผลเชงคณตศาสตรทสละสลวยและสวยงาม จนถอเปนแบบฉบบมาจนทกวนน เชน การพสจนวา จ านวนเฉพาะมจ านวนไมจ ากด เปนตน หนงสอ Elements มทงหมด 13 เลม ซงมเนอหาสวนใหญเกยวกบเรขาคณต แตกมการกลาวถงพชคณต เรขาคณตเชงพชคณตเบองตน และทฤษฎจ านวนเบองตน เนอหาสวนใหญเปนผลงานของคนอน แตทวายคลดไดน าผลงานของนกปราชญคนอน ๆ ในสมยกอน ๆ มารวบรวมเขาดวยกนอยางมระบบ และเปนล าดบเหตผลตอเนองกน ซงเนอหาของทง 13 เลม มรายละเอยดโดยสงเขปดงน เลม 1 ประกอบไปดวยบทนยาม 13 นยาม สจพจน 10 ขอ ยคลดเรยกสจพจน 5 ขอแรกวา Postulates และ 5 ขอหลงเรยกวา Common notion และทฤษฎบทอก 48 ทฤษฎบท ซงรวมถงทฤษฎปทาโกรสและบทกลบเอาไวดวย เลม 2 เกยวกบการเปลยนรป พนทของรปตาง ๆ และพชคณตเชงเรขาคณตของปทาโกรส เลม 3 เปนทฤษฎบทเกยวกบวงกลม คอรด เสนสมผสวงกลมและการวดมมตาง ๆ เลม 4 เปนการอภปรายผลงานของโรงเรยนปทาโกเรยน เรอง การสรางรปหลายเหลยมดานเทาโดยใชวงเวยนและเสนตรง เลม 5 ยคลดน าแนวคดของยโดซสมาอธบายเรองทฤษฎสดสวนไดอยางดเยยม และน าการประยกตในการหาขนาด ซงแกปญหาทเกดขนจากการคนพบจ านวนอตรรกยะ เลม 6 น าทฤษฎสดสวนของยโดซสมาใชกบเรขาคณตในระนาบเกยวกบทฤษฎบทของรปสามเหลยมคลาย เลม 7 ทฤษฎจ านวน: การจ าแนกจ านวนเปนจ านวนค จ านวนค จ านวนเฉพาะ และจ านวนนสมบรณ (Perfect Number) ตวหารรวมมาและตวคณรวมนอย เลม 8 สดสวนตอเนอง เลม 9 เกยวกบทฤษฎจ านวนตอจากเลม 7 และ 8 ทฤษฎทมชอเสยงของเลมนคอ จ านวนเฉพาะมจ านวนไมจ ากด เลม 10 เกยวกบเรขาคณตทเกยวกบจ านวนอตรรกยะ เลม 11 ความรเกยวกบเรขาคณตสามมตทสมนยกบเลม 1 เลม 12 เรองปรมาตรและทฤษฎบทของยโดซสเกยวกบระเบยบวธเกษยณ (Method of exhaustion) ซงเปนพนฐานน าไปสเรองลมต (Limit) เลม 13 เกยวกบการสรางรปทรงสามมต แมวายคลดจะไมไดเปนนกคณตศาสตรทสรางสรรคงานทางคณตศาสตรขนใหม แตงานทเขารวบรวมขนอยางเปนระบบ กลบกลายเปนผลงานทมผลกระทบตอมนษยชาตมามากกวา 2000 ป โดยเฉพาะทางดานเรขาคณต จงไมนาแปลกถาหากเราไปอานหนงสอบางเลม จะกลาวยกยองวายคลด คอ บดาแหงวชาเรขาคณต

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

6

ยคลด หรอ ยคลดแหงอเลกซานเดรย เปนนกคณตศาสตรชาวกรกทมชวตอยประมาณ พ.ศ. 218 ไดกลาวถงการหา ห.ร.ม. หรอ ตวหารรวมมาก ของจ านวนนบ 2 จ านวนทมคามากอยางรวดเรว ซงในปจจบนเรยกวา ขนตอนวธแบบยคลด หลกฐานและเรองราวเกยวกบตวยคลดยงคงสบสน เพราะมผเขยนไวหลายรปแบบ อยางไรกตามผลงานเรอง The Elements ยงคงหลงเหลออยจนถงทกวนน จากหลกฐานทสบสนท าใหสนนษฐานทเกยวกบยคลดมหลายแนวทาง เชน ยคลดเปนบคคลทเขยนเรอง The Element หรอยคลดเปนหวหนาทมนกคณตศาสตรทอาศยอยทอเลกซานเดรย และไดชวยกนเขยนเรอง The Elements อยางไรกดสวนใหญกมนใจวายคลดมตวตนจรง และเปนปราชญอจฉรยะทางดานคณตศาสตรทมชวตในยคกวา 2,000 ป ผลงาน The Elements แบงออกเปนหนงสอได 13 เลม ใน 6 เลมแรกเปนผลงานเกยวกบเรขาคณต เลม 7, 8 และ 9 เปนเรองราวเกยวกบทฤษฎตวเลข เลม 10 เปนเรองราวเกยวกบทฤษฎทวาดวยจ านวนอตรรกยะ เลม 11, 12 และ 13 เกยวของกบเรองราว รปเรขาคณตทรงตน และปดทายดวยการกลาวถงรปทรงหลายเหลยม และขอพสจนเกยวกบรปทรงหลายเหลยม ผลงานของยคลดเปนทยอมรบอยางกวางขวางมาก และกลาวกนวาผลงาน The Elements เปนผลงานทตอเนอง และด าเนนมากอนแลวในเรองผลงานของนกคณตศาสตรยคกอน เชน ทาลส (Thales), ฮปโปเครตส (Hippocrates) และพธากอรส อยางไรกตาม หลายผลงานทมในหนงสอนเปนทเชอกนวาเปนบทพสจนและผลงานของยคลดเอง ผลงานของยคลดทไดรบการน ามาจดท าใหม และตพมพเผยแพรครงแรกในป ค.ศ. 1482 หลงจากนนมผน ามาตพมพอกมากมายนบจ านวนครงไมถวน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

7

บทท 2 ความรพนฐานทางเรขาคณต

จด ( Point )

เราใชจดแสดงต าแหนงของสงตางๆ เชน ต าแหนงของสถานทในแผนท ต าแหนงของดวงดาว ในทางเรขาคณต จด เปนค าอนยาม ( undefined term ) ไมตองอธบายความหมายวาคออะไร ในอดตยคลดเคยพยายามใหความหมายของจดไววา หมายถง สงทไมมความกวางและความยาว ซงเปนการใหนยามทยงไมสมบรณเพราะตองใชค าทไมสามารถใหนยามไดอก ไดแก ค าวา ความกวางและความยาว เพอชวยใหเขาใจตรงกนจงตงชอจดโดยใชตวอกษรภาษาไทย หรอตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน ก ข หรอ A ดงภาพ

มม

มม (องกฤษ: angle) เกดจากปลายรงส 2 เสน เชอมกนทจดจดหนง ซงเรยกวา จดยอดมม และหนวยในการวดมมอาจมหนวยเปนองศาซงเขยนในสญลกษณ "°" หรอในหนวยเรเดยน ซงในหนวยเรเดยนจะพจารณาความยาวของสวนโคงของวงกลมทรองรบมมนน จากความยาวรอบรปของวงกลม(รศม 1 หนวย) คอ πมมฉากจะมมม 2π เรเดยน ในหนวยองศา วงกลมจะม 360 องศา ดงนนมมฉากจะมมม 90 องศา

ชนดของมม

มมฉาก

มมแหลม (a) , มมปาน (b) , และมมตรง (c) ส าหรบมม a และ b เรยกวา มมประกอบสองมมฉาก

มมกลบ

มม a และ b ในทนเรยกวา มมประกอบมมฉาก

มมขนาด 90° (หรอ π/2 เรเดยน หรอหนงสวนสของรปวงกลม) เรยกวา มมฉาก (right angle) มมทเลกกวามมฉาก (นอยกวา 90°) เรยกวา มมแหลม (acute angle) มมทใหญกวามมฉากแตเลกกวาสองมมฉาก (ระหวาง 90° กบ 180°) เรยกวา มมปาน (obtuse angle) มมทมขนาดเทากบสองมมฉาก (180°) เรยกวา มมตรง (straight angle) มมทใหญกวามมตรงแตนอยกวารปวงกลมเตมวง (ระหวาง 180° กบ 360°) เรยกวา มมกลบ (reflex

angle) มมทวดแลวไดขนาดของมมเทากน เรากลาววามมทงสองสมภาคกน (congruence) เมอเสนตรงสองเสนตดกนคลายตว X มมทอยฝงตรงขามของจดตดเรยกวา มมตรง

ขาม (vertical/opposite angle) มมตรงขามแตละคจะสมภาคกนเสมอ

จด A

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

8

มมทมจดยอดและรงสดานหนงรวมกน แตไมกนพนทซงกนและกน มมทงสองนนเรยกวา มมประชด (adjacent angle)

มมสองมมทมผลรวมของขนาดเทากบหนงมมฉาก (90°) จะเรยกทงสองวาเปน มมประกอบมมฉาก (complementary angles)

มมสองมมทมผลรวมของขนาดเทากบสองมมฉาก (180°) จะเรยกทงสองวาเปน มมประกอบสองมมฉาก (supplementary angles)

มมสองมมทมผลรวมของขนาดเทากบหนงรอบรปวงกลม (360°) จะเรยกทงสองวาเปน มมประกอบสมมฉาก (explementary angles)

เสนตรง

เสนตรง (line) คอ เสนโคงในแนวตรงโดยสมบรณ (ในทางคณตศาสตร เสนโคงมความหมายรวมถงเสนตรงดวย) ทมความยาวเปนอนนต ความกวางเปนศนย (ในทางทฤษฎ) และมจ านวนจดบนเสนตรงเปนอนนตเชนกน ในเรขาคณตแบบยคลด จะมเสนตรงเพยงหนงเสนเทานนทผานจดสองจดใด ๆ และเปนระยะทางทสนทสด การวาดเสนตรงสามารถท าไดโดยใชเครองมอทมสนตรง เชนไมบรรทด และอาจเตมลกศรลงไปทปลายทงสองขางเพอแสดงวามนมความยาวเปนอนนต

สมบตของเสนตรง 1. มเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทลากผานจดสองจดทก าหนดให 2. ถาลากเสนตรงสองเสนตดกนแลว จะมจดตดเพยงจดเดยวเทานน

เสนตรงสองเสนทแตกตางกนในสองมตสามารถขนานกนได ซงหมายความวาเสนตรงทงสองเสนนนจะไมตดกนทต าแหนงใด ๆ ถงแมตอความยาวออกไปอกกตาม สวนในสามมตหรอมากกวานน เสนตรงสองเสนอาจจะไขวขามกน (skew) คอไมตดกนแตกอาจจะไมขนานกนดวย และระนาบสองระนาบทแตกตางกนมาตดกนจะท าใหเกดเปนเสนตรงเพยงหนงเสน เรยกระนาบเหลานนวา ระนาบรวมเสนตรง (collinear planes) ส าหรบจดสามจดหรอมากกวาทอยบนเสนตรงเดยวกนจะเรยกวา จดรวมเสนตรง (collinear points)

A B

เสนตรง AB เขยนแทนดวย AB

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

9

A B

สวนของเสนตรง

ในทางเรขาคณต สวนของเสนตรง (องกฤษ: line segment) คอสวนหนงของเสนตรงทเชอมระหวางจดปลายสองจด ซงมความยาวจ ากด และมต าแหนงของจดทกจดบนเสนตรงนน ตวอยางของสวนของเสนตรงดไดจากดานของรปสามเหลยมหรอรปสเหลยม ในกรณทวไป สวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดยอดในรปหลายเหลยม จะเรยกวาขอบ (edge) เมอจดยอดนนอยตดกน หรอเรยกวาเสนทแยงมมเมอจดยอดไมอยตดกน และเมอสวนของเสนตรงปรากฏอยบนเสนโคงของรปวงกลม สวนของเสนตรงนนจะเรยกวาคอรด (chord) หรอเรยกวาเสนผานศนยกลางเมอสวนของเสนตรงนนตดผานจดศนยกลางของรปวงกลม

ระนาบ ( plane )

ในทางคณตศาสตร ระนาบ (องกฤษ: plane) คอแผนราบใดๆ ในพนผวสองมต ระนาบคออปมยสองมตของจด (ศนยมต), เสนตรง (หนงมต) และปรภม (สามมต) ระนาบสามารถเกดขนจากปรภมยอยของปรภมทมมตมากกวา อยางก าแพงในหอง หรออาจอยอยางอสระดวยตวเอง ตามในนยามของเรขาคณตแบบยคลด

ในอกความหมายหนงกคอ ระนาบหมายถงพนทผวแบนและเรยบทแผขยายออกไปอยางไมมทสนสด สวนของพนทผวทเราเหนขอบเขตไดจงเปน ” สวนของระนาบ ” เทานน การก าหนดระนาบจะตองใชจดอยางนอย 3 จด และทง 3 จดนนจะตองไมอยรวมเสนตรงเดยวกน

ในทางคณตศาสตรโดยเฉพาะเรองเรขาคณต, ตรโกณมต, ทฤษฎกราฟ และกราฟของฟงกชนการกระท าจ านวนมากกระท าอยในระนาบ ตวอยาง

x และแกน y มจดตดกนทจด origin 0 แกนทงสองท ามมฉากระหวางกน P(x, y ) เปนจดอยบนระนาบซงแสดงดวยคล าดบ x , y

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

10

มมแหลม ( acute angle )

ตวอยาง วธการสรางมมแหลมทมขนาด 60 องศา

วธสราง 1.ลาก OY ยาวพอสมควร 2.ใช O เปนจดศนยกลางมรศมยาวพอสมควรเขยนสวนเสนโคง KM ตด OY ทจด N 3.ใช N เปนจดศนยกลาง รศม NO เขยนสวนของเสนโคง KN ทจด P 4.ลาก OX ผานจด P จะไดมม XOY มขนาด 60 องศา ตามตองการ

B

A

C

ตวอยางรปมมแหลม

P

Y

N

M O

K

X

มมแหลม คอ มมทมขนาดเลกกวามมฉาก เปนมมทมขนาดมากกวา 0 องศา

แตไมถง 90 องศา

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

11

90°

180°

A

B C

มมปาน (Obtuse angle)

มมปาน (Obtuse angle) คอ มมทมขนาดใหญกวามมฉาก แตไมถง 2 มมฉาก เปนมมทมขนาดมากกวา 90 องศา แตนอยกวา 180 องศา มมปานจะมลกษณะอยางทเหนในรป

การสรางมมปาน

1. สรางเสนตรง ABC

2. กางวงเวยนพอประมาณ ใชจด B เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงตดเสนตรง ABC ทจด D และ E ตามล าดบ

3. กางวงเวยนรศมเทาเดม ใชจด D เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงตดสวนโคง DE ทจด F

4. กางวงเวยนรศมเทาเดม ใชจด F เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงตดสวนโคง DE ทจด G

5. ลากเสนรงส BF และรงส BG จะไดมม ABF = มม FBG = มม GBC = 60 องศา

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

12

6. กางวง เวยนรศมพอประมาณ ใชจด F เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงดงรป

7. กางวงเวยนรศมเทาเดม ใชจด G เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงตดทจด H ดงรป

8. ลากเสนรงส BH ตดกบสวนโคงแรกทจด O จะไดมม ABH = มม HBC = 90 องศา

และมมปาน กคอ มมทมขนาดมากกวา 90 องศา หรอทมขนาดมากกวามม HBC ในรป

มมประชด(adjacent angle)

มมประชด คอ มมสองมมทมจดยอดมมรวมกน มแขนรวมกนเพยงแขนเดยว และอย

คนละขางของแขนรวม

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

13

พจารณาจากรปตอไปน

เกรดความรเพมเตมเกยวกบมมประชด

มมประชดทรวมกนแลวได 90 องศา หรอ 1 มมฉาก เรยกวา มมประกอบ 1 มมฉาก

จากรปจะได

มม DAB และ มม CAB ใชจด A รวมกน และใชเสน AB รวมกน

ดงนน มม DAB และ มม CAB เปนมมประชด

( สองมมอยชดกน หรออยตดกน )

มม AOB มจดยอดมมเดยวกบมม BOC คอ จด O

โดยมแขน OB เปนแขนรวม ดงนน มม AOB เปน

มมประชดกบมม BOC

A

B C

O

A

B

D

C

A B

C D

มม ADB เปนมมประกอบ 1 มมฉากกบ มมBDC

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

14

มมประชดทรวมกนแลวได 180 องศา หรอ 2 มมฉาก เรยกวา มมประกอบ 2 มมฉาก

จากรปจะได

เสนขนาน

บทนยาม เสนตรงสองเสนทอยบนระนาบเดยวกน ขนานกน กตอเมอ เสนตรงทงสองเสน นนไมตดกน

สมบตของเสนขนาน (parallel lines) กบมมภายใน(interior angle)

1. ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตดแลว ขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตดรวมเปน 180 องศา

2. เสนตรงสองเสนขนานกนกตอเมอระยะระหวางเสนตรงสองเสนเทากนเสมอ

3. ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ท าใหขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตดรวมกนเปน

180 องศาแลว เสนตรงคนนจะขนานกน

เสนขนานและมมแยง

เรยก 1 และ 3 วามมแยง และเรยก 2 และ 4 วามมแยง

A

B C

D

มม ADC เปนมมประกอบ 2 มมฉากกบมม ADB

1

2 3

4

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

15

สมบตของเสนขนาน (parallel lines)และมมแยง (alternate-interior angles)

1.ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตดแลว มมแยงจะมขนาดเทากน

2.ถาเสนตรงสองเสนตดเสนตรงคหนง ท าใหมมแยงมขนาดเทากนแลวเสนตรงคนนจะขนานกน

มมภายในและมมภายนอก

-มมภายใน (Interior angle) เสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตรงเสนหนงตดเราเรยกมมทอยภายในระหวางเสนคขนานวา มมภายใน

-มมภายนอก (Exterior angle) เสนตรงสองเสนขนานกน มเสนตรงเสนหนงตด เราเรยกมมทอยภายนอกของเสนคขนานวา มมภายนอก

เสนขนานและมมภายนอกกบมมภายใน

จากรป เรยก 1 , 2 , 7 และ 8 วามมภายนอก

เรยก 3 , 4 , 5 และ 6 วามมภายใน

เรยก 1 และ 5 วาเปนมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตด

ในท านองเดยวกน จะเรยก 2 และ 6 , 7 และ3 , 8 และ4 แตละควาเปน มมภายนอก และมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกนของเสนตด

1 2 3

4

5

6 7

8

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

16

สามเหลยม

มมภายในของรปสามเหลยมในปรภมแบบยคลดจะรวมได 180° เสมอ ดวยขอเทจจรงนท าใหเราสามารถหาขนาดของมมทสาม เมอเราทราบขนาดของมมแลวสองมม มมภายนอกของ รปสามเหลยม (คอมมทอยตดกบมมภายใน โดยตอความยาวดานหนงออกไป) จะมขนาดเทากบมมภายในทไมไดอยตดกบมมภายนอกรวมกน สงนเรยกวาทฤษฎบทมมภายนอก มมภายนอกทงสามจะรวมกนได 360° เชนเดยวกบรปหลายเหลยมนนอนๆ ผลบวกของความยาวของสองดานใดๆ ในรปสามเหลยม จะมากกวาความยาวของดานทสามเสมอ สงนเรยกวาอสมการองรปสามเหลยม (กรณพเศษของการเทากนคอ มมสองมมถกยบใหมขนาดเปนศนย รปสามเหลยมจะลดตวลงเปนเพยงสวนของเสนตรง)

รปสามเหลยมสองรปจะเรยกวา คลายกน กตอเมอทกมมของรปหนง มขนาดเทากบมมทสมนยกนของอกรปหนง ซงในกรณน ดานทสมนยกนจะเปนสดสวน (proportional) ตอกน ตวอยางกรณนเชน รปสามเหลยมสองรปทมมมรวมกนมมหนง และดานตรงขามมมนนขนานกน เปนตน

ส าหรบรปสามเหลยมสองรปทสมภาคตอกน (หรอเรยกไดวา เทากนทกประการ) ซงหมายความวามมและดานมขนาดเทากนทงหมด กยงมสจพจนและทฤษฎบทเกยวกบเรองน

สจพจน ดาน-มม-ดาน: ถาดานสองดานและมมทอยระหวางสองดานนนสมภาคตอกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

สจพจน มม-ดาน-มม: ถามมสองมมและดานทอยระหวางสองมมนนสมภาคตอกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

ขอเทจจรงเบองตนเกยวกบรปสามเหลยมไดแสดงไวในหนงสอชอ Elements เลม 1-4 เมอประมาณ 300 ปกอนครสตกาล รปสามเหลยมเปนรปหลายเหลยมชนดหนง และเปน 2-ซมเพลกซ (2-simplex) รปสามเหลยมทกรปเปนรปสองมต

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

17

นอกจากนยงมสจพจนและทฤษฎบทพนฐานเกยวกบการคลายกนของรปสามเหลยมดงน -รปสามเหลยมสองรปจะคลายกน ถามมมทสมนยกนอยางนอยสองมมเทากน -ถาดานทสมนยกนสองดานเปนสดสวนตอกน และมมทดานทงสองประกอบอยสมภาค (congruent) ตอกน แลวรปสามเหลยมสองรปนนจะคลายกน

-ถาดานทงสามของรปสามเหลยมสองรปเปนสดสวนตอกน แลวรปสามเหลยมสองรปนนจะคลายกน

สจพจน ดาน-ดาน-ดาน: ถาดานทงสามของรปสามเหลยมสมภาคตอกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

ทฤษฎบท มม-มม-ดาน: ถามมสองมมและดานทไมอยระหวางสองมมนนสมภาคตอกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

ทฤษฎบท ดานตรงขามมมฉาก-ดานประกอบมมฉาก (ฉาก-ดาน-ดาน): ถาดานประกอบมมฉากดานหนงและดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากสองรปสมภาคกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

ทฤษฎบท ดานตรงขามมมฉาก-มม (ฉาก-มม-ดาน): ถาดานตรงขามมมฉากและมมแหลมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากสองรปสมภาคกน ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

เงอนไข ดาน-ดาน-มม (มม-ดาน-ดาน): ถาดานสองดานและมมทไมอยระหวางสองดานนนสมภาคตอกน และถาหากมมนนเปนมมปาน นนคอดานตรงขามยาวกวาดานประชดมม หรอดานตรงขามเทากบไซนของมมคณดวยดานประชดมม ดงนนรปสามเหลยมทงสองจะสมภาคตอกน

ถงแมวามมทงสามของรปสามเหลยมจะสมภาคกน (มม-มม-มม) เรายงไมสามารถสรปไดวารปสามเหลยมทงสองสมภาคตอกน เพยงแคคลายกน

โปรดสงเกตตอไปอกวา

เงอนไข ดาน-ดาน-มม รบรองไมไดวารปสามเหลยมจะสมภาคกนเสมอ ส าหรบทฤษฎบท ดานตรงขามมมฉาก-ดานประกอบมมฉาก รปสามเหลยมจะตองเปนรปสามเหลยมมมฉาก หากไมเชนนนกจะถกจดเปนเงอนไข ดาน-ดาน-มม ซงกรบรองไมไดวารปสามเหลยมจะสมภาคกน

การใชรปสามเหลยมมมฉากและแนวคดเรองความคลาย ฟงกชนตรโกณมตอยางไซนและโคไซนจงถกนยามขน ซงเปนฟงกชนของมมทใชในการตรวจสอบเรองตรโกณมต

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

18

ทฤษฎบทพทาโกรส

ทฤษฎบทพทาโกรส (Pythagorean theorem) เปนอกทฤษฎบทหนงทส าคญ กลาววาในรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก จะเทากบผลรวมของก าลงสองของความยาวของทงสองดานทเหลอ ถาดานตรงขามมมฉากยาว c หนวย และดานประกอบมมฉากยาว a และ b หนวย ดงนนทฤษฎบทนจงใหความหมายวา

บทกลบของทฤษฎบทนกยงคงเปนจรง นนคอถาความยาวของดานทงสามตรงตามเงอนไขในสมการขางตน ดงนนรปสามเหลยมนนจะเปนรปสามเหลยมมมฉาก

ขอเทจจรงอยางอนทเกยวของกบรปสามเหลยมมมฉากมดงน

-มมแหลมสองมมในรปสามเหลยมมมฉากเปนมมประกอบมมฉาก (complementary angles)

-ถาหากดานประกอบมมฉากมขนาดเทากน มมแหลมสองมมกจะมขนาดเทากนดวยคอ 45° และจากทฤษฎบทพทาโกรส ความยาวของดานตรงขามมมฉากจะมขนาดเปน √2 เทาของดานประกอบมมฉาก

-ถาหากมมแหลมสองมมมขนาด 30° และ 60° ความยาวของดานตรงขามมมฉากจะมขนาดเปน 2 เทาของดานประกอบมมฉากทสนกวา

ส าหรบรปสามเหลยมทกรป ขนาดของดานและมมมความสมพนธกนตามกฎของไซนและกฎของโคไซน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

19

ชนดของรปสามเหลยม แบงตามความยาวของดาน รปสามเหลยมดานเทา (equilateral) มดานทกดานยาวเทากน รปสามเหลยมดานเทาเปนรปหลายเหลยมมมเทา นนคอมมภายในทกมมจะมขนาดเทากน คอ 60° และเปนรปหลายเหลยมปกต

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รปสามเหลยมหนาจว (isosceles) มดานสองดานยาวเทากน (ตามความหมายเรมแรกโดยยคลด ถงแมวารปสามเหลยมดานเทาจะสามารถจดวาเปนรปสามเหลยมหนาจวไดดวย เพราะมดานทยาวเทากนอยางนอยสองดาน) และมมมสองมมขนาดเทากน คอมมทไมไดประกอบดวยดานทเทากนทงสอง

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene) ดานทกดานจะมความยาวแตกตางกน มมภายในกมขนาดแตกตางกนดวย

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

20

แบงตามมมภายใน รปสามเหลยมมมฉาก (right, right-angled, rectangled) มมมภายในมมหนงมขนาด 90° (มมฉาก) ดานทอยตรงขามกบมมฉากเรยกวา ดานตรงขามมมฉาก ซงเปนดานทยาวทสดในรปสามเหลยม อกสองดานเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากสมพนธกนตามทฤษฎบทพทาโกรส นนคอก าลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก c จะเทากบผลบวกของก าลงสองของดานประกอบมมฉาก a, b

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รปสามเหลยมมมเฉยง (oblique) ไมมมมใดเปนมมฉาก ซงอาจหมายถงรปสามเหลยมมมปานหรอรปสามเหลยมมมแหลม รปสามเหลยมมมปาน (obtuse) มมมภายในมมหนงมขนาดใหญกวา 90° (มมปาน)

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รปสามเหลยมมมแหลม (acute) มมภายในทกมมมขนาดเลกกวา 90° (มมแหลม) รปสามเหลยมดานเทาเปน รปสามเหลยมมมแหลม แตรปสามเหลยมมมแหลมทกรปไมไดเปนรปสามเหลยมดานเทา

a = ความสง b = ความยาวฐาน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

21

คณสมบตของรปสามเหลยม 1. มดาน 3 ดาน มมม 3 มม 2. มมภายในรวมกนเทากบ 180°

ความยาวรอบรป = a + b + c

พนทรปสามเหลยม = (1/2) × ความยาวฐาน × ความสง รปวงกลม (circle)

1.)วงกลม คอ รประนาบทลอมรอบดวยเสนรอบวง และหางจากจดจดหนง ซงเปนจดคงทระยะทางเทากนเสมอ เรยกจดคงทนวา "จดศนยกลางของรปวงกลม" 2.)สวนประกอบของวงกลม

2.1.) จดศนยกลางของวงกลม (centralpoint) คอ จดทอยตรงกลาง และหางจากเสนรอบวงเทากนโดยตลอด (ในวงกลมหนงๆจะมจดศนยกลางไดเพยงจดเดยว) 2.2.) รศม (radius ; r) คอ สวนของเสนตรงทลากจากจดศนยกลางไปยงเสนรอบวง รศมแตละเสนยาวเทากน (ในรปวงกลมจะมรศมมากมายนบไมถวน) 2.3.) เสนผานจดศนยกลาง (diameter) คอ สวนของเสนตรงทลากจากเสนรอบวงดานหนงโดยผานจดศนยกลางไปยงเสนรอบวงอกดานหนง (เสนผานจดศนยกลางยาวเปนสองเทาของรศม)

จดศนยกลาง

รศม เสนผานจดศนยกลาง

คอรด อารค

เซกเตอร

เซกเมนต

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

22

2.4.) คอรด (chord) คอ สวนของเสนตรงทลากจากเสนรอบวงดานหนงไปยงเสนรอบวงอกดานหนงโดยทจดปลายทงสองอยบนวงกลมเดยวกน (ในวงกลมใดๆคอรดทยาวทสดคอเสนผานจดศนยของวงกลมนน) 2.5.) เซกเตอร (segter) คอ สวนของวงกลมทเกดจากเสนรอบวงและเสนรศมสองเสนเปนรปสามเหลยมฐานโคง(พนททอยภายในสามเหลยมฐานโคง) 2.6.) เซกเมนต (segment) คอ สวนของวงกลมทเกดจากคอรดและเสนรอบวง (พนททอยระหวางเสนรอบรปกบคอรด) 2.7.) อารค (arc) คอ สวนของเสนรอบวง (สวนใดสวนหนงของเสนรอบวงกลม) 3.) ความยาวเสนรอบรป

สตรเสนรอบรปวงกลม คอ เมอ r = รศม , = 22/7 ประมาณ 3.14

4.) พนทวงกลม พนทวงกลม คอ r²

เมอ r = รศม , = 22/7 ประมาณ 3.14 5.) พนทวงแหวน พนทวงแหวน คอ R²- r² = R²-r² เมอ R = รศมวงกลมใหญ , r = รศมวงกลมเลก , = 22/7 ประมาณ 3.14 6.) สงทควรทราบเกยวกบวงกลม

6.1.) รศมวงกลมเดยวกนยอมเทากน 6.2.) เสนผาศนยกลางยาวเปนสองเทาของรศม 6.3.) คอรดยาวทสดของวงกลม คอ เสนผาศนยกลาง 6.4.) มมในครงวงกลมเปนมมฉากเสมอ 6.5.) วงกลม 2 วงสมผสกนไดทจดเดยวกน 6.6.) วงกลม 2 วงตดกนไดเพยง 2 จดเทากน 6.7.) เสนผาศนยกลางของวงกลม จะแบงวงกลมออกเปน 2 สวนเทา ๆ กน แตละสวนเรยกวา " ครงวงกลม" 6.8.) ถาใชรศมของวงกลมตดเสนรอบวง จะแบงเสนรอบวงออกเปน 6 สวน เทา ๆ กน 6.9.) วงกลมขนาดเทากน 3 วงตดกน โดยใหเสนรอบวงกลมแตละวงผานจดศนยกลางของอก 2 วง และเมอตอเชอมจดตดนนแลว จะเกดรปสามเหลยมดานเทา 6.10.) วงกลม 2 วงมจดศนยกลางรวมกน แตความยาวของรศมไมเทากน จะเกดวงแหวนขน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

23

รปสเหลยม

ในเรขาคณตแบบยคลด รปสเหลยม คอรปหลายเหลยมทมดานสดาน (หรอขอบ) และมมสมม (หรอจดยอด)

รปสเหลยมมทงทเปนรปสเหลยมอยางงาย (ไมมดานทตดกนเอง) และรปสเหลยมซบซอน (มดานทตดกนเอง หรอเรยกวารปสเหลยมไขว) รปสเหลยมอยางงายอาจเปนรปสเหลยมนน (convex) หรอรปสเหลยมเวา (concave) อยางใดอยางหนง

มมภายในของรปสเหลยมอยางงายรวมกนได 360 องศา สวนรปสเหลยมซบซอน เนองจากมมภายในทดานตรงขามเปนมมกลบ ท าใหรวมกนได 720 องศา

รปสเหลยมนนทกรปสามารถปเตมปรภมโดยการหมนรอบจดกงกลางทดานของมน

การจ าแนกชน

การจ าแนกชนของรปสเหลยม รปแบบทต ากวาเปนกรณพเศษของรปแบบทสงกวา

การจ าแนกชนของรปสเหลยมสามารถแสดงไดตามแผนภาพทางขวามอ รปแบบทต ากวาเปนกรณพเศษของรปแบบทสงกวา ค าวา trapezium ในภาพเปนชอแบบบรเตน (ชอแบบอเมรกนคอ trapezoid) คอรปสเหลยมคางหมทวไป และ kite นอกจากจะหมายถงรปสเหลยมรปวาวแลว ยงหมายถงรปสเหลยมหวลกศรดวย

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

24

รปสเหลยมนน: กลมดานขนาน รปสเหลยมดานขนาน คอรปสเหลยมทมดานขนานกนสองค เทยบเทากบเงอนไขวาดานตรงขามมความ

ยาวเทากน หรอมมตรงขามมขนาดเทากน หรอเสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน รปสเหลยมดานขนานรวมไปถงรปสเหลยมจตรส รปสเหลยมมมฉาก และรปสเหลยมขนมเปยกปนดวย

รปสเหลยมขนมเปยกปน หรอรปสเหลยมขาวหลามตด หรอรปสเหลยมดานเทา คอรปสเหลยมทมดานทง

สยาวเทากน เทยบเทากบเงอนไขวาดานตรงขามขนานกนและมมตรงขามมขนาดเทากน หรอเสนทแยงมมแบงครงและตงฉากซงกนและกน รปสเหลยมขนมเปยกปนรวมไปถงรปสเหลยมจตรส

รปสเหลยมดานขนานมมไมฉาก คอรปสเหลยมดานขนานซงดานทอยตดกนยาวไมเทากนและมมทงสไม

เปนมมฉาก มความหมายตรงขามกบรปสเหลยมมมฉาก

B

C D

A

A B

C D

A B

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

25

รปสเหลยมมมฉาก คอรปสเหลยมทมมมทงสเปนมมฉาก นนคอมมเทากนทกมม เทยบเทากบเงอนไขวา

เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน รปสเหลยมมมฉากรวมไปถงรปสเหลยมจตรสและรปสเหลยมผนผา รปสเหลยมจตรส หรอรปสเหลยมปรกต หรอรปสเหลยมดานเทามมเทา คอรปสเหลยมทม ดานทงสยาว

เทากนและมมทงสเปนมมฉาก เทยบเทากบเงอนไขวาดานตรงขามขนานกน และเสนทแยงมมแบงครงและตงฉากซงกนและกน และดานทงสยาวเทากน รปสเหลยมจะถอวาเปนจตรสกตอเมอถกจดวาเปนทงรปสเหลยมขนมเปยกปนและรปสเหลยมมมฉาก

รปสเหลยมผนผา คอรปสเหลยมมมฉากซงดานทอยตดกนยาวไมเทากน นนคอไมเปนรปสเหลยมจตรส

A

D C

B

A

D C

B

A B

C D

A B

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

26

รปสเหลยมนน: กลมอน ๆ รปสเหลยมรปวาว คอรปสเหลยมซงดานทอยตดกนยาวเทากนสองค เปนนยวาถาลากเสนทแยงมมหนง

เสนแบงรปสเหลยมรปวาวออกเปนรปสามเหลยมคลายสองรป จะไดวามมทอยตรงขามเสนทแยงมมมขนาดเทากน และเสนทแยงมมทงสองตงฉากซงกนและกน (สมบตเหลานอาจหมายถงรปสเหลยมเวาทเรยกวารปสเหลยมหวลกศร ในบรบทของเทสเซลเลชน แตในแนวคดทวไปหมายถงรปสเหลยมนนอยางเดยว)

รปสเหลยมเสนทแยงมมตงฉาก คอรปสเหลยมทเสนทแยงมมทงสองตงฉากซงกนและกน รวมถงรป

สเหลยมขนมเปยกปน รปสเหลยมจตรส รปสเหลยมรปวาว และรปสเหลยมหวลกศร

รปสเหลยมคางหม คอรปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนหนงค

A B

C D

A

B

C

D

A B

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

27

รปสเหลยมคางหมหนาจวซงเปนรปสเหลยมคางหมชนดหนง มสมบตเพมเตมวามมทฐานมขนาดเทากน

และดานทไมขนานจะยาวเทากน รปสเหลยมวงกลมลอม คอรปสเหลยมทจดยอดทงสอยบนรปวงกลมแนบนอก รปสเหลยมจะเปนวงกลม

ลอมกตอเมอมมตรงขามรวมกนได 180 องศา รปสเหลยมวงกลมสมผส คอรปสเหลยมทดานทงสสมผสกบรปวงกลมแนบใน รปสเหลยมวงกลมลอมและสมผส คอรปสเหลยมทเปนทงรปสเหลยมวงกลมลอมและรปสเหลยมวงกลม

สมผส

A B

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

28

รปสเหลยมดานไมขนาน หรอรปสเหลยมดานไมเทา หรอรปสเหลยมไมปรกต คอรปสเหลยมทไมมดานใด

ขนานกนเลย แตบางกรณบางดานและบางมมอาจมขนาดเทากนกได

รปสเหลยมอน ๆ รปสเหลยมหวลกศร คอรปสเหลยมเวาซงดานทอยตดกนยาวเทากนสองค สมบตเหมอนรปสเหลยมรปวาว

แตมมมภายในมมหนงเปนมมกลบ รปสเหลยมไขว หรอรปสเหลยมผเสอ หรอรปสเหลยมหกระตาย คอรปสเหลยมซบซอนซงมดานทตด

กนเอง รปสเหลยมเบ คอรปสเหลยมทจดยอดไมอยบนระนาบสองมต สตรส าหรบค านวณมมระหวางหนาบนขอบ

และมมระหวางขอบทอยตดกน ไดรบทอดมาจากการศกษาสมบตของโมเลกลเชนไซโคลบวเทน ซงมวงแหวนทประกอบดวยอะตอมสตวรนเขาหากน [2]

สมบตของรปสเหลยมใด ๆ

เมอเชอมจดกงกลางบนแตละดานของรปสเหลยมใด ๆ เขาดวยกน จะไดรปสเหลยมดานขนานเสมอ พนทของรปสเหลยมดานขนานภายในเทากบครงหนงของพนทของรปสเหลยมภายนอก และเสนรอบรปของรปสเหลยมดานขนานภายในกยาวเทากบผลบวกของเสนทแยงมมของรปสเหลยมภายนอก

สมมตใหรปสเหลยมใด ๆ รปหนง มรปสเหลยมจตรสประกอบอยบนดานทงส ซงมขนาดเทากบแตละดานของรปสเหลยมนน สวนของเสนตรงทเชอมจดกงกลางของรปสเหลยมจตรสทอยตรงขาม จะยาวเทากนและตงฉากซงกนและกน

สวนของเสนตรงทเชอมจดกงกลางของดานตรงขามจ านวนสองค และสวนของเสนตรงทเชอมจดกงกลางของเสนทแยงมม รวมทงสามเสนจะตดกนทจดเดยว และแบงครงของสวนของเสนตรงนน ๆ ดวย

A

B

C D

A

B

C

D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

29

ผลรวมของก าลงสองของเสนทแยงมมของรปสเหลยมใด ๆ เทากบสองเทาของผลรวมของก าลงสองของสวนของเสนตรงทเชอมจดกงกลางของดานตรงขามจ านวนสองค

เสนแบงครงมมภายในทงสของรปสเหลยมใด ๆ เมอประกอบกนจะท าใหเกดรปสเหลยมวงกลมลอม

รปหลายเหลยม

ในทางเรขาคณต รปหลายเหลยม ตามความหมายดงเดม หมายถงรปรางอยางหนงทเปนรปปดหรอรปครบวงจรบนระนาบ ซงประกอบขนจากล าดบของสวนของเสนตรงทมจ านวนจ ากด สวนของเสนตรงเหลานนเรยกวา ขอบ หรอ ดาน และจดทขอบสองขางบรรจบกนเรยกวา จดยอด หรอ เหลยม (corner) ภายในรปหลายเหลยมบางครงกเรยกวา เนอท (body) รปหลายเหลยมเปนวตถในสองมต ซงเปนตวอยางหนงของพอลโทป (polytope) ทอยใน n มต

รป N เหลยม คอ รปทมดาน N ดาน มมม N มม ผลบวกมมภายในของรป N เหลยม = (N - 2) x 180°

รปหาเหลยมดานเทา

รปหาเหลยม คอ รปหลายเหลยมทมดาน 5 ดาน มมม 5 มม

มมภายใน (5-2) x 180° = 540 องศา

พนทรปหาเหลยมดานเทา = √

x ดาน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

30

รปหกเหลยมดานเทา

รปหกเหลยม คอ รปหลายเหลยมทมดาน 6 ดาน มมม 6 มม

มมภายใน (6-2) x 180° = 720 องศา

พนทรปหกเหลยมดานเทา = พนทสามเหลยมดานเทา x 6

= [ √

x ดาน ] x 6

รปหลายเหลยมอนๆ เชน รปหาเหลยม รปหกเหลยม รปเจดเหลยม รปสบเหลยม รปสบสองเหลยม

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

31

บทท 3 การสรางพนฐาน

การสรางเสนตงฉาก

1. การสรางเสนตงฉากทจด ๆ หนงบนเสนตรงทก าหนดใหการสรางเสนตงฉากทจด ๆ หนงบนเสนตรงทก าหนดใหจะเหมอนกบการสรางมม 90 นนเอง

2. การสรางเสนตงฉากจากจด ๆ หนงทอยภายนอกเสนตรงมายงเสนตรงทก าหนดให

ใหพจารณาตวอยางตอไปนในตารางดานลางจงลากเสนตงฉากจาก จด Q มายง (RS) ทก าหนดให ขนตอนการสราง

ใชจด Q เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควรเขยนสวนโคงตด (RS) ทจด A และ จด B

ใชจด A และ จด B เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตดกนทจด F

ลาก (QF) ตด (RS) ทจด G

จะไดวา (QF) ตงฉากกบ (RS) ทจด G ตามทตองการ

R

F

S

G

B A

Q

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

32

การสรางเสนขนาน

** เสนตรงสองเสนจะขนานกน กตอเมอ เสนตรงทงสองเสนนนมระยะหางทเทากนเสมอ **

บทนยาม ถาเสนตรงเสนหนงตดกบเสนตรงคหนง ท าใหมมแยงมขนาดเทากนแลวเสนตรงคนนจะขนานกน

การสรางเสนตรงใหผานจดจดหนงและขนานกบเสนตรงทก าหนด

ใหพจารณาตวอยางตอไปน

จงสราง (EF) //(GH) ขนตอนการสราง

-สรางจด B บน (EF) กางวงเวยนใหรศมยาวพอประมาณ เขยนสวนโคงตด (EF) ทจด N และใชจด N เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงตดกบสวนโคงแรก ทจด O -ลาก (BA) กางวงเวยนใหรศมยาวเทากบขอ 1 ใชจด A เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงใหตดกบ (BA) ทจด P และ ใชจด P เปนจดศนยกลาง เขยนสวนโคงใหตดกบสวนโคงแรกทจด Q -ลาก (GH) ผานจด Q และ Aจะไดวา (EF) //(GH) เนองจาก มม QAP = มม NBO ตามบทนยาม ประเดนส าคญการสรางเสนตงฉากมมทไดมขนาดเทากบ 90 องศา การสรางเสนขนานอาศยจากบทนยาม ทวา ถาเสนตรงเสนหนงตดกบเสนตรงคหนง ท าใหมมแยงมขนาดเทากนแลวเสนตรงคนนจะขนานกน และ เสนตรงสองเสนจะขนานกน กตอเมอ เสนทงสองเสนนนมระยะหางทเทากนเสมอ

A

G

Q

P

H

E B N

O

F

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

33

บทท 4 สดสวนและความคลาย

1. สดสวน (Proportion)

บทนยาม

สดสวน (Proportion) คอการเขยนประโยคแสดงในรปการเทากนของอตราสวน (Ratio) สอง อตราสวน

สดสวนสามารถเขยนในรป a c

b d หรอ a : b = c : d หรอ a : b :: c : d อานวา ตอ เทากบ

“อตราสวน a ตอ b เทากบอตราสวน c ตอ d”

สดสวนทตอเนอง (Continued Proportion) ให a, b, c, d, … เปนปรมาณใดๆ เราจะกลาววาเปนสดสวนทตอเนอง ถา a : b = b : c = c : d = …

สมบตของสดสวน

1. ถา a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ

จะได a c

b d หรอ a : b = c : d หรอ a : b :: c : d เราจะเรยก a และ c วา เปนตวปรมาณทมา

กอน (antecedents) และเรยก b และ d วา ปรมาณทตามมา (consequents)

2. ถา a, b และ c เปนปรมาณใดๆ

จะได a c

b d หรอ a : b = c : d หรอ a : b :: c : d เราจะเรยก b วาเปนสดสวนตวกลาง

(mean proportional) ระหวาง a และ c

3. ให a, b, c, d, e และ f เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b = e : f และ c : d = e : f แลว a : b = c : d

4. ให a, b และ c เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b = b : c แลว a : c = a2 : b2 (double)

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

34

5. ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b = b : c = c : d แลว a : d = a3 : b3 (triple)

6. ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b = c : d แลว a : c = b : d (the alternate ratio)

7. ให a และ b เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b แลว b : a (the inverse ratio)

8. ให a และ b เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b แลว a+b : a (the composed ratio)

9. ให a และ b เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b แลว a-b : a (the separated ratio)

10. ให a และ b เปนปรมาณใดๆ

ถา a : b แลว a : a-b (the converted ratio)

2. ทฤษฎบทเกยวกบสดสวน ในทฤษฎบทท 1- 8 ทจะกลาวถงน เปนทฤษฎทเกยวกบสดสวนและความสมพนธของสดสวนในลกษณะตางๆ ดงน ทฤษฎบทท 1 ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ ท b, d 0 ถา a : b = c : d แลว ad = bc พสจน ก าหนดให a : b = c : d

จะได a c

b d

a c

bd bdb d

ดงนน ad = bc #

บทแทรก ให a, b และ c เปนปรมาณใดๆ ท b, c 0 ถา a : b = b : c แลว ac = b2

บทกลบ ถา ad = bc แลว a : b = b : c

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

35

ทฤษฎบทท 2 ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย ถา a : b = c : d แลว a : c = b : d พสจน ก าหนดให a : b = c : d ทฤษฎบทท 3 ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย ถา a : b = c : d แลว b : a = d : c พสจน ทฤษฎบทท 4 ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย ถา a : b = c : d แลว a + b : b = c+d : d พสจน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

36

ทฤษฎบทท 5 ให a, b, c และ d เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย ถา a : b = c : d แลว a - b : b = c-d : d พสจน

ทฤษฎบทท 6 ให a, b, c, d, e, f, g และ h เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย ถา a : b = c : d = e : f = g : h แลว a+c+e+g : b+d+f+h = a : b พสจน จาก a : b = c : d = e : f = g : h

ให a c e g

rb d f h

จะได

ทฤษฎบทท 7 ถา a : b = c : d แลว an : bn = cn : dn เมอ n>0

ทฤษฎบทท 8 ให a, b และ c เปนปรมาณใดๆ ทไมเทากบศนย

ถา a : b = b : c แลว a : c = a2 : b2

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

37

ในทฤษฎบทท 9- 10 ทจะกลาวถงน เปนทฤษฎทเกยวกบความสมพนธของความยาวดานของรปสามเหลยมทมสดสวนของความยาวดานทเทากน ดงน ทฤษฎบทท 9 สวนของเสนตรงทลากขนานกบดานหนงของรปสามเหลยมจะแบงดานทเหลอ

ออกเปนสดสวนกน สงทก าหนดให 1. ABC เปนรปสามเหลยมรปหนง 2. ลาก XY / /BC ตด AB และ AC ภายในทจด X C Y A X B สงทตองพสจน AX : XB = AY : YC พสจน บทกลบ ถาสวนของเสนตรงเสนหนงตดดานสองดานของรปสามเหลยมรปหนงออกเปนสดสวนกนแลว สวนของเสนตรงนนจะขนานกบดานทสาม

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

38

ทฤษฎบทท 10 สวนของเสนตรงซงลากแบงครงมมภายในหรอมมภายนอกของรปสามเหลยมทลากมาพบฐานภายในหรอภายนอก จะแบงฐานออกเปนอตราสวนทเทากบอตราสวนของดานทเหลออกสองดาน สงทก าหนดให ให ABC เปนรปสามเหลยมรปหนง ลากเสนแบงครง BAC พบ BC ทจด X

E

A

B X C

สงทตองพสจน ..................................................................................

พสจน

บทกลบ สวนของเสนตรงทแบงฐานของรปสามเหลยมออกเปนอตราสวนทเทากบอตราสวนของดานทเหลออกสองดาน จะแบงครงมมภายใน หรอมมภายนอกของรปสามเหลยม

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

39

บทท 5 รปหลายเหลยมปกต และวงกลม

ในบทนจะกลาวถงทฤษฎบทเพมเตมของทฤษฎวงกลมในบทท 2 ซงจะเปนทฤษฎบททวาดวยความสมพนธระหวางรปเหลยมและรปวงกลม ทมความสมพนธในลกษณะแนบใน เชน รปสเหลยมแนบในวงกลม รปวงกลมแนบในรปสามเหลยม และจะน าความรในบทท 5 มาใชในการพสจนตอไป

1. รปสเหลยมผนผากบวงกลม

ทฤษฎบท 1 ถาลากเสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยม ซงลากมาตดฐานพนทรปสเหลยมผนผา ซงประกอบดวยดานประกอบมมยอด จะมพนทเทากบรปสเหลยมผนผาทประกอบดวย สวนแบงรวมกบจตรสบนเสนทลากจากมมยอดมายงฐาน สงทก าหนดให 1.ก าหนดใหรปสามเหลยม ABC

2. AD แบงครง BAC พบ BC ทจด D

สงทตองพสจน พนทรปสเหลยมผนผา AB AC เทากบพนทรปสเหลยมผนผา BD DC + 2AD

สรางเพอพสจน สรางวงกลมลอมรอบ ABC ตอ AD ไปพบเสนรอบวงทจด E ลาก EC

พสจน จากก าหนดให AD แบงครง BAC พบ BC ทจด D

จะได BAC = CAD (ก าหนดให)

และ ABD = AEC (มมทรองรบดวยสวนโคง AC เดยวกน)

และ ADB = ACE

นนคอ ABD AEC

A

B C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

40

จะได AB

AE=

AD

AC

นนคอ AB AC AE AD

แต AE = AD+DE

จะได AB AC = (AD+DE)AD

= 2AD + AD DE

แต AD DE = BD DC

ดงนน AB AC = BD DC + 2AD #

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

41

ทฤษฎบท 2 ถาลากเสนจากมมยอดของรปสามเหลยมาตงฉากกบฐาน พนทรปสเหลยมผนผาท ประกอบดวยดานประกอบมมยอด จะเทากบพนทรปสเหลยมผนผาทประกอบดวย เสนผานศนยกลางของวงกลม ซงลอมรอบรปสามเหลยมนน กบเสนตงฉากทลากมายงฐาน

สงทก าหนดให 1. ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ

2.ให AD BC

3.EA เปนเสนผานศนยกลางของวงกลมทลอมรอบ ABC

สงทตองพสจน พนทรปสเหลยมผนผา AB AC เทากบ พนทรปสเหลยมผนผา AE AD

พสจน พจารณา ABDและ AEC

จะได ABD = AEC (รองรบดวยสวนโคง AC เดยวกน)

และ ADB = ACE (มมในครงวงกลมยอมเปนมมฉาก)

และ BAD =EAC

นนคอ ABD AEC

จะได AB

AE=

AD

AC

นนคอ AB AC = AE AD

A

B C D

E

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

42

ทฤษฎบท 3 พนทรปสเหลยมผนผาซงประกอบขนดวยเสนทแยงมมของรปสดานซงบรรจในวงกลม จะเทากบผลบวกของพนทรปสเหลยมผนผาทประกอบดวยดานตรงขามของรปสดานนน (Ptolemy’s Theorem) สงทก าหนดให 1. ……………………………………………………………………………

2. ……………………………………………………………………………

สงทตองพสจน ……………………………………………………………………………

สรางเพอพสจน ……………………………………………………………………………

พสจน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

43

2. รปสเหลยมแนบวงกลม (cyclic quadrilateral)

รปสเหลยมทแนบวงกลม หมายถง รปสเหลยมทมจดยอยดอยบนเสนรอบวงกลมเดยวกน ไดแก รปสเหลยมจตรส รปสเหลยมมมฉาก รปสเหลยมดานไมเทาทมมตรงขามรวมกนไดเทากบสองมมฉาก เชน ทฤษฎบท 4 รปสเหลยมคางหมหนาจวเปนรปสเหลยมทแนบในวงกลมได สงทก าหนดให ……………………………………………………………………………

สงทตองพสจน ……………………………………………………………………………

สรางเพอพสจน ……………………………………………………………………………

พสจน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

44

ทฤษฎบท 5 รปสเหลยมทมดานขนานกนคหนง จะเปนรปสเหลยมทวงกลมลอมรอบได กตอเมอ รปสเหลยมนน เปนรปสเหลยมมมฉากหรอรปสเหลยมคางหมหนาจว สงทก าหนดให รปสเหลยม ABCD โดยท AB // CD สงทตองพสจน ABCD เปนรปสเหลยมมมฉากหรอรปสเหลยมคางหมหนาจว (AD=BC) พสจน จากรปสเหลยม ABCD ทก าหนดให จะได ABC +BCD =2 และ ABC + ADC =2 นนคอ ABC +BCD = ABC + ADC (ถายทอด) BCD = ADC ถามมมมหนงของรปสเหลยม ABCD เปนมฉากจะไดมมแตละมมอกสามมมเปนมมฉาก ดงนน รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก ให B เปนมมปาน ลาก BE ขนานกบ AD ตด CD ทจด E จะได ABED เปนรปสเหลยมดานขนาน นนคอ BEC ADE แต ADE BCE นนคอรปสามเหลยม BEC เปนรปสามเหลยมหนาจว จะได BE=BC แต BE=AD ดงนน AD=BC นนคอรปสามเหลยม ABCD เปนรปสามเหลยมคางหมหนาจว #

A

B

D

C

E

บทแทรก ดานทขนานกนของรปสเหลยมคางหมหนาจว ยอมตดสวนโคงของวงกลมลอมรอบระหวาง ดานคขนานเปนสวนโคงทยาวเทากน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

45

ทฤษฎบท 6 ถารปสเหลยมแนบในวงกลม มมตรงขามของรปสเหลยมรวมกนไดสองมมฉาก สงทก าหนดให ……………………………………………………………………………

สงทตองพสจน ……………………………………………………………………………

สรางเพอพสจน ……………………………………………………………………………

พสจน บทกลบ ถามมตรงขามของรปสเหลยมรวมกนไดสองมมฉาก รปสเหลยมนนแนบในวงกลม

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

46

ทฤษฎบท 7 ถารปสเหลยมซงแนบในวงกลมมเสนทแยงมมตดตงฉากซงกนและกน แลวเสนทลากผาน จดตดซงตงฉากกบดานใดดานหนง จะแบงครงดานตรงขาม สงทก าหนดให 1. ……………………………………………………………………………

2. ……………………………………………………………………………

3. ……………………………………………………………………………

สงทตองพสจน ……………………………………………………………………………

พสจน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

47

3. วงกลมแนบนอก (escribed circle) บทนยาม ก าหนดรปสามเหลยม ABC วงกลมทสมผสดานหนงและสวนตอของอกสองดาน เรยกวา “วงกลมแนบนอกรปสามเหลยม ABC” รศมของวงกลมเรยกวา “รศมแนบนอก” (exradius) ตวอยาง ใหวงกลมทมจด O เปนจดศนยกลาง และรปสามเหลยม ABC โดยทวงกลม O แนบนอกกบรปสามเหลยม ABC ดงรป ทฤษฎบท 8 จดศนยกลางของวงกลมแนบนอกรปสามเหลยม เปนจดทเสนแบงครงมมภายในเสนหนงกบ เสนแบงครงมมภายนอกของอกสองมมพบกน สงทก าหนดให 1. ……………………………………………………………………………

2. ……………………………………………………………………………

สงทตองพสจน ………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………… สรางเพอพสจน 1. ……………………………………………………………………………

2. ……………………………………………………………………………

3. ……………………………………………………………………………

A

B

C

. O

A

B

C

. O

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

48

พสจน ทฤษฎบท 9 สวนของเสนตรงทแบงครงและตงฉากกบดานทงสามของรปสามเหลยม จะพบกนท จดจดหนง จดนนเปนจดศนยกลางของวงกลมแนบนอกรปสามเหลยม สงทก าหนดให 1. วงกลมทมจด O เปนจดศนยกลาง 2. ABC เปนรปสามเหลยมทแนบในวงกลม O สงทตองพสจน 1. OF AC 2. OA=OB=OC สรางเพอพสจน 1.ลาก OD OE และ OF แบงครงตงฉากกบ AB BC และ AC ตามล าดบ 2. ลากเสนเชอม OA OBและ OC

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

49

พสจน พจารณา ODA และ ODB จะได AD=DB และ OD=OD และ ADO ODB 90 นนคอ ODA ODB (ด-ม-ด) ดงนน OA=OB ในท านองเดยวกนขางตน จะได BOE OEC (ด-ม-ด) ดงนน OB=OC นนคอ OA=OB=OC (รศมของวงกลมแนบนอกรปสามเหลยม) พจารณา AOF และ OFC จะได OA=OC (รศมของวงกลม o) และ OF=OF (ดานรวมหรอสะทอน) และ AF=FC (จากการสราง) นนคอ AOF OFC ODB (ด-ด-ด) ดงนน AFO OFC 90 (มมประชด) นนคอ OF AC 4. วงกลมแนบใน (in-circle หรอ inscribed circle) ตวอยาง ก าหนดใหวงกลม O เปนวงกลมทแนบในรปสามหลยม ABC ดงรป

บทนยาม วงกลมแนบใน (in-circle หรอ inscribed circle) ของรปสามเหลยม คอ วงกลมทใหญทสดทอยภายในรปสามเหลยม ซงสมผสกบดานทงสามดาน จดศนยกลางของวงกลมแนบในเรยกวา “ศนยกลางวงกลมแนบใน”(incenter)

A

B C

. O

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

50

ทฤษฎบท 10 เสนแบงครงมมยอดของรปสามเหลยม จะพบกนทจดจดหนง จดนนเปนจดศนยกลาง ของวงกลมแนบในรปสามเหลยมนน สงทก าหนดให วงกลมแนบในรปสามเหลยม ABC สงตองพสจน จด O เปนจดศนยกลางของวงกลม สรางเพอพสจน 1. ลาก OD,OEและ OF ตงฉากกบ AB,BC และ AC ตามล าดบ 2. ลาก OA,OBและ OC พสจน

A

B C

O

D

E

F

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

51

ทฤษฎบท 11 รศมของวงกลมแนบในรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว a b และ c คอ 2

ra b c

สงทก าหนดให 1. ให O เปนจดศนยกลางของวงกลมแนบในรปสามเหลยม ABC 2. ใหจด D จด E และจด F เปนจดสมผสในวงกลม

สงตองพสจน 2

ra b c

สรางเพอพสจน 1. ลาก OD,OEและ OF ตงฉากกบ AB,BC และ AC ตามล าดบ 2. ลาก OA,OBและ OC พสจน

A

B C

O

D

E

F

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

52

5. วงกลมแนบในรปสเหลยม ตวอยาง ก าหนดใหวงกลม O เปนวงกลมทแนบในรปสหลยม ABCD ดงรป ทฤษฎบท 12 รปสเหลยมจะมวงกลมแนบในไดกตอเมอ ผลบวกของความยาวของดานตรงขามของ รปสเหลยมยาวเทากน 6. รปหลายเหลยมดานเทาแนบในวงกลม เชน ลากเสนจากจดศนยกลางของวงกลมลอมรอบไปยงจดมมของรป n เหลยมดานเทา มมทจดศนยกลางทรองรบ

แตละดานจะเทากบ 360

n

บทนยาม เรยกวงกลมทอยภายในรปสเหลยม และสมผสกบดานทงสดานของรปสเหลยมวา “วงกลมแนบในรปสเหลยม”

A B

C

O

D

บทนยาม รปหลายเหลยมทแนบในวงกลม หมายถง รปหลายเหลยมทมจดยยอดอยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกน ไดแก รปหาเหลยมปกต รปหกเหลยมปกต เปนตน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

53

บทท 6 พนทของรปเหลยม

บทท 6 จะกลาวถงการหาพนทของรปเราขาคณตสองมต ประกอบไปดวยทฤษฎบทเกยวกบพนทรปสเหลยมมมฉาก รปสเหลยมดานขนาน รปสเหลยมคางหม และการพสจนพนทรปสามเหลยม นกศกษาจะไดความรถงทมาของสตรทน าไปใชในการหาพนท นอกจากนนในบทท 6 ยงกลาวถงความสมพนธระหวางพนทรปสเหลยมและพนทสามเหลยม ทมความสมพนธรวมกน

1. ความรพนฐาน

กอนทจะกลาวถงการพสจนทฤษฎบททเกยวกบพนท เพอใหมความเขาใจตตรงกน จะขออธบายทบทวนสวนประกอบของรปทางเรขาคณต ดงน

1.1 รปสเหลยม (Quadrilateral)

รปสเหลยม คอ รปปดทมดาน 4 ดาน หรอเสน 4 เสน ท าใหเกดมม 4 มม เชน

1.2 สวนประกอบของรปสเหลยม

ก าหนดรปสเหลยม ABCD

จากรปทก าหนดให จะไดวา

1.ดานประชด (adjacent sides) คอดานสองดานของรปสเหลยมทมจดปลายรวมกน 1 จด จากรปรปสเหลยม ABCD มดานประชดกน 4 คคอดาน AB กบดาน BC ดาน BC กบดาน CD ดาน CD กบดาน DA และดาน DA กบดาน AB

A B

C D

A B

C D

h

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

54

2.ดานตรงขาม (opposite sides) คอดานสองดานของรปสเหลยมทไมมจดปลายรวมกน รปสเหลยม ABCD มดานตรงขามกน 2 ค คอดาน AB ตรงขามกบดาน CD และดาน AD ตรงขามกบดาน BC

3. มมประชด (adjacent angles) คอมมสองมมของรปสเหลยมทมแขนของมมรวมกนอยแขนหนงรปสเหลยม ABCD มมมประชด 4 ค คอมม ABC มม BCD มม CDA และมม DAB

4. มมตรงขาม (opposite angles) คอมมสองมมของรปสเหลยมทไมมแขนของมมรวมกนรปสเหลยม ABCD มมมตรงขาม 2 คคอมม ABC ตรงขามกบมม CDA และมม DAB ตรงขามกบมม BCD

5. เสนทแยงมม (diagonal) คอสวนของเสนตรงทมจดปลายทงสองอยทจดยอดของมมตรงขามรป

สเหลยม ABCD มเสนทแยงมม 2 เสนคอ AC และ BD

6. สวนสง (high) คอ สวนของเสนตรงทตงฉากกบฐานของรปสเหลยม คอ h

1.3 รปสามเหลยม (Triangle)

รปสามเหลยม คอ รปปดทมดาน 3 ดาน มม 3 มม เชน

เมอก าหนดใหดานใดดานหนงเปนฐานของรปสามเหลยมแลวมมทอยตรงขามกบฐานจะเปนมมยอดและถาลากเสนตรงจากมมยอดมาตงฉากกบฐานหรอสวนตอของฐานจะเรยกเสนตงฉากวาสวนสง จากรปสามเหลยม ABC ก าหนด BC เปนฐาน เรยก A วามมยอด เรยก AD วาสวนสง

A

B C D

A

B C D

A

D B

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

55

1.4 อาณาบรเวณ (Region)

อาณาบรเวณ หมายถง กรอบ และบรเวณภายใน (interior) ของรปเรขาคณต เชน

พนท (area) หมายถง จ านวนซงใชแทนอาณาบรเวณโดยมหนวยเปนตารางหนวย

1.5 สจพจนของพนท

1.6 รปทสมมลกน (Equivalent Figures)

รปเรขาคณตสองรปใดๆ ทมพนทเทากน เราจะเรยกรปเรขาคณตนนวา “รปทสมมลกน”

จะใชสญลกษณ “=” แทนรปทสมมลกน เชน ABC= DEF หมายความวา “รปสามเหลยม ABC มพนทเทากบรปสามเหลยม DEF” เชน

หมายเหต จากรปขางตนจะเหนวา ABC= DEF แต ABC ไมเทากนทกประการกบ DEF นน หมายความวา รปเรขาคณตสองรปใดๆ ถาพนทเทากน แลวไมจ าเปนทรปเรขาคณตสองรป ใดๆ จะตองเทากนทกประการ

สจพจน 1 : พนทของสเหลยมมมฉากเทากบผลคณของดานกวางและดานยาว

สจพจน 2 : รปทเทากนทกประการ มพนทเทากน

A

B C

D

E F

G

H

J K

I L

D A

B C E F

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

56

2. ทฤษฎบทพนทรปเรขาคณตสองมต

ทฤษฎบท 1 รปสเหลยมดานขนานมพนทเทากบผลคณของฐานและสวนสง

สงทก าหนดให ให ABCD เปนสเหลยมดานขนาน ม AB // CD และหางกน h สงทตองพสจน รปสเหลยมดานขนาน ABCD มพนทเทากบ AB h สรางเพอพสจน 1.สรางรปสเหลยมมมฉาก ABEF โดยม AB//EF และมสวนสง h 2.ก าหนดมม 1 มม 2 มม 3 และ มม 4 ตามล าดบ 3.ให Ι แทนพนทรปสามเหลยม BEC และ Ι Ι แทนพนทรปสามเหลยม AFD และ Ι Ι Ι แทนพนทรปสเหลยม ABED พสจน พจารณา BEC และ AFD จะได 1 = 2 (มมฉาก) และ 3 = 4 (จาก FC // AB และเปนมมทสมนยกน) และ AD = BC (ดานตรงขามของสเหลยมดานขนาน) ดงนน BEC AFD (ม-ด-ม) นนคอ รป Ι = รป Ι Ι (รปทเทากนทกประการยอมมพนทเทากน) รป Ι + รป Ι Ι Ι = รป Ι Ι + รป Ι Ι Ι ABCD (ดานขนาน) = ABEF (มมฉาก) แต ABEF เปนรปสเหลยมมมฉาก มพนทเทากบ AB h ดงนน ABCD (ดานขนาน) = AB h #

A B

h

F C D E

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

57

ทฤษฎบท 2 รปสามเหลยมใดๆ มพนทเทากบครงหนงของผลคณของฐานกบสวนสง ทฤษฎบท 3 พนทของรปสเหลยมคางหมเทากบครงหนงของผลคณระหวางสวนสงกบผลบวกของดานคขนาน สงทก าหนดให ให ABCD เปนรปสเหลยมคางหม ม AB//CD และสง h

สงทตองพสจน พนทของรปสเหลยม ABCD = 1

h AB CD2

สรางเพอพสจน ลากสวนของเสนตรงเชอม AC พสจน พจารณา ABC และ ACD เมอมสวนสงทเทากน คอ h

จะไดพนท ABC=1

AB h2

และ (ทบ.2)

พนท ACD=1

CD h2

พนท ABC+พนท ACD=1

AB h2

+1

CD h2

นนคอ พนท ABCD=1

h2

(AB+CD) #

h

A B

C D

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

58

ทฤษฎบท 4 รปสเหลยมดานขนานทอยบนฐานเดยวกนและดานบนอยบนเสนขนานกบฐานเสนเดยวกน จะมพนทเทากนอยบนเสนทขนานกบฐาน BC เดยวกน

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

59

ทฤษฎบท 5 รปสเหลยมดานขนานทมฐานยาวเทากนและมดานตรงขามกบดานฐานอยบนเสนขนานคเดยวกน จะมพนทเทากน สงทก าหนดให 1.ให ABCD และ EFGH เปนรปสเหลยมดานขนาน 2.ให BC และ FG เปนฐานของรปสเหลยมโดยท BC=FG สงทตองพสจน รปสเหลยมดานขนาน ABCD มพนทเทากบรปสเหลยมดานขนาน EFGH สรางเพอพสจน 1. สรางรปสเหลยมดานขนาน ABCD บนรปสเหลยมดานขนาน EFGH โดยให BC=FG JF=AB และอยในคขนานเดยวกน 2. ลากสวนของเสนตรงเชอม IE พสจน พจารณา EFGH และ JFGI จาก EFGH เปนรปสเหลยมดานขนาน จะได FG = EH และ จาก JFGI เปนรปสเหลยมดานขนาน จะได FG = JI ดงนน EH = JI ......(C-1) จะได EH + IE = JI + IE ……(C-2) จะได IH = JE แต JF = IG และ HIG = EJF (มมสมนยกน) นนคอ EJF HIG (ด-ม-ด) จะได EJF และ HIG ทบกนสนท EJF - IKE= HIG - IKE จะได JFKI = EKGF ……(C-3) ดงนน JFKI + FKG= EKGF + FKG……(C-2) นนคอ JFGI = EFGH แตจากการสราง ก าหนดให AB = JF และ BC = FG ดงนน ABCD = EFGH

A D

B C

E H

G F

J I

F

E H

H

G

K

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

60

ทฤษฎบท 6 รปสามเหลยมทมฐานเดยวกนและจดยอดกบฐานอยบนเสนขนานคเดยวกนจะมพนทเทากน ทฤษฎบท 7 รปสามเหลยมทมฐานยาวเทากนและจดยอดกบฐานอยบนเสนขนานคเดยวกนจะมพนทเทากน(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

61

ทฤษฎบท 8 รปสามเหลยมทมพนทเทากนและอยบนฐานเดยวกนโดยจดยอดอยขางเดยวกนของฐานแลว จดยอดทงสองจะอยบนเสนทขนานกบฐาน สงทก าหนด 1. ABC และ DBC มพนทเทากนและอยบนฐาน BC เดยวกน 2. จดยอด A กบ D อยขางเดยวกนของฐาน สงทตองพสจน จดยอด A กบ D อยบนเสนทขนานกบฐาน BC พสจน ลาก AD ถา AD ไมขนานกบ BC ลาก AE ใหขนานกบBC ตดกนท E ดงนน ABCและ EBC มพนทเทากน แต ABC และ DBC มพนทเทากน ดงนน EBC กบ DBC มพนทเทากน …… (C-1) จงเกดการขดแยงกบ C-5 นนคอ AD ขนานกบ BC # ทฤษฎบท 9 รปสเหลยมดานขนานทมฐานเดยวกบรปสามเหลยมและจดยอดอยบนดานตรงขามฐานของ รปสเหลยมดานขนานรปสเหลยมดานขนานจะมพนทเปนสองเทาของรปสามเหลยม ทฤษฎบท 10 สามารถสรางรปสเหลยมดานขนานทมมมๆหนงเทากบมมทก าหนดใหและมพนทเทากบ รปสามเหลยมทก าหนดให (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

A D

B C

E

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

62

ทฤษฎบท 11 รปสเหลยมดานขนานใดๆถาลากเสนผานจดใดๆบนเสนทแยงมมเสนหนงใหขนานก ดานสองดานจะไดรปสเหลยมดานขนานสรปซงสองรปทไมผานเสนทแยงมมเสนนน จะมพนทเทากน สงทก าหนดให 1. ABCD เปนรปสเหลยมดานขนานม AC เปนเสนทแยงมม 2. ให K เปนจดบนเสน AC ม EKF และ HKG เปนเสนขนานกบดาน AD และ AB สงทตองพสจน HKFDและ EBGK มพนทเทากน พสจน ABC และ ACD มพนทเทากน AEK และ AHK มพนทเทากน KFC และ KGC มพนทเทากน พนท AEK + KGC = พนท AHK + KFC …… (C-2) พนท ABC - AEK KGC = พนท ACD - AHK KFC …… (C-3) ดงนน HKFDและ EBGK มพนทเทากน # ทฤษฎบท 12 สามารถสรางรปสเหลยมดานขนานบนสวนของเสนตรงทก าหนดใหและมมมหนงเทากบ มมทก าหนดใหและมพนทเทากบรปสามเหลยมทก าหนดให (ใหพสจนเปนแบบฝกหด)

A

B C

D H

F K

G

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

63

ทฤษฎบท 13 สามารถสรางรปสเหลยมดานขนานใหมมมเทากบมมทก าหนดใหมมหนงและมพนท เทากบรปสเหลยมรปหนงทก าหนดให สงทก าหนดให ABCDและมม E สรางเพอพสจน รปสเหลยมดานขนานทมพนทเทากบ ABCD และมมมหนงเทากบมม E สราง ลากDB แลวสรางรปสเหลยมดานขนาน KHGF ใหมพนทเทากบ ABD โดยม HKF = E สรางรปสเหลยมดานขนาน GHML ใหมพนทเทากบ DBC โดยม GHM = E …… จะไดรปสเหลยม FKML พสจน HKF = E = GHM …… (C-1) จะได HKF + KHG = GHM + KHG …… (C-2) แต HKF + KHG = 2 มมฉาก จะได GHM + KHG = 2 มมฉากดวย ดงนน KH และ HM เปนเสนตรงเดยวกน ในท านองเดยวกนจะพสจนไดวาFG และ GL เปนเสนตรงเดยวกน FK ขนานและยาวเทากบ GH GH ขนานและยาวเทากบ ML จะได FK ขนานและยาวเทากบ ML จะได KM ขนานและยาวเทากบ FL ดงนน KFML เปนรปสเหลยมดานขนาน แต ABD มพนทเทากบ FKHG และ DBC มพนทเทากบ GHML เมอรวมกนจะได FKML มพนทเทากบ ABCD นนคอ FKML เปนรปสเหลยมทตองการ #

A

D

B

C E

F G L

K H M

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

64

ทฤษฎบท 14 สามารถสรางรปสเหลยมจตรสบนสวนของเสนตรงทก าหนดให (ใหพสจนเปนแบบฝกหด) ทฤษฎบท 15 จตรสบนดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉากจะมพนทเทากบผลบวกของจตรส บนดานประกอบมมฉาก

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

65

ทฤษฎบท 16 รปสามเหลยมใดๆถาจตรสบนดานๆหนงของรปสามเหลยมเทากบผลบวกของจตรสบนดาน ทเหลอแลวมมทประกอบดานทเหลอนนจะเปนมมฉาก

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

66

ทฤษฎบท 17 ถา a, b , c เปนความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมใดๆ และ s = a b c

2

แลวพนทของรปสามเหลยมใดๆ เทากบ s s a s b s c สงทก าหนดให 1.ให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ทม a ,b และ c เปนความยาวดาน

2.ให s = a b c

2

สงทตองพสจน ABC = s s a s b s c สรางเพอพสจน ลากเสนตงฉาก CD โดยให CD = h และ AD = x และ BD = c – x พสจน พจารณา ACDและ BCD จะได 2h = 2b - 2x และ

2h = 2a - 2

c x

นนคอ 2b - 2x = 2a - 2c x

= 2a - 2c + 2cx + 2x 2b = 2a - 2c + 2cx

X = 2 2 2b c a

2c

…….. (1)

จาก 2h = 2b - 2x = (b - x) (b + x) ……. (2)

แทน x ดวย 2 2 2b c a

2c

ลงใน (2)

จะได 2h = 2 2 2 2 2 2b c a b c a

b b2c 2c

=2 2 2 2 2 22bc b c a 2bc b c a

2c 2c

C

B A D

a b

c X c-X

รายวชาเรขาคณตในระบบยคลด MAP1406

67

= 2 2 2 2 2 22

1a b 2bc c b 2bc c a

4c

= 2 2 2 22

1a b c b c a

4c

= 21

a b c a b c b c a b c a4c

….(3)

จากก าหนดให s =a b c

2

จะได s – a = a b c

2

-a =

b c a

2

นนคอ 2 s a = b + c – a

และ s – b = a b c

2

- b =

a b c

2

นนคอ 2(s-b) = a – b + c

และ s – c = a b c

2

- c =

a b c

2

นนคอ 2(s-c) = a + b – c แทนคา ขางตนลงใน (3) จะได

2h = 21

2 s b 2 s c 2 s a 2s4c

2h = 21

16 s b s c s a s4c

2h = 24

c(s - b) (s - c) (s - a) (s)

h = 2

(s b)(s c)(s a)(s)c

แตพนท ABC = 1

AB h2

จะไดพนท ABC = 1 2

c (s b)(s c)(s a)(s)2 c

= (s b)(s c)(s a)(s) = (s)(s a)(s b)(s c) #