Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Dunja Bakos

Eulerova kruznica

Zavrsni rad

Osijek, 2009.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Dunja Bakos

Eulerova kruznica

Zavrsni rad

Voditelj: Prof. dr. sc. Zdenka Kolar Begovic

Osijek, 2009.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Iz povijesti Eulerove kruznice 2

3. Eulerova kruznica i njena znacajna svojstva 4

3.1. Eulerova kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2. Neka znacajna svojstva Eulerove kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Feuerbachov teorem 10

4.1. Trokutu upisana kruznica i pripisane kruznice . . . . . . . . . . . . . 10

4.2. Feuerbachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Zakljucak 19

6. Literatura 20

Sazetak. Polovista stranica trokuta, nozista visina i polovista spojnica vrhova

trokuta i ortocentra leze na jednoj kruznici tzv. Eulerovoj kruznici trokuta. U

radu je dokazana ova tvrdnja te su istrazena znacajna svojstva Eulerove kruznice.

Navedene su i zanimljive povijesne cinjenice otkrica ove kruznice. Eulerova kruznica

dira upisanu i sve tri pripisane kruznice trokuta. Ova tvrdnja je u literaturi ponata

kao Feuerbachov teorem. Postoji velik broj dokaza Feuerbachovog teorema. U radu

je dan analiticki dokaz teorema.

Kljucne rijeci: trokut, Eulerova kruznica, Feuerbachov teorem

Abstract. The mid–points of the sides of a triangle, the feet of the altitudes, and

the mid–points of the segments from the orthocenter to the vertices lie on one cirlce

the so called Euler circle. In this paper some interesting properties of Euler circle are

considered as well as some historical elements of this concept. Feuerbach discovered

and proved that Euler circle of a triangle is a tangent to the inscribed circle and to

each of the escribed circles. In the literature this statement is known as a Feuerbach

theorem. An analytic proof of this theorem is considered in this paper.

Key words: triangle, Euler circle, Feuerbach’s thorem

1

1. Uvod

U geometriji cesto susrecemo razne iznenadujuce cinjenice o kolinearnosti tocaka,

kopunktalnosti pravaca i konciklicnosti tocaka. Jedna od takvih neocekivanih tvrdnji

je i cinjenica da polovista stranica trokuta, nozista visina i polovista spojnica vrhova

i ortocentra trokuta leze na jednoj kruznici tzv. Eulerovoj kruznici trokuta. U radu

ce biti dokazana ova tvrdnja i izlozena svojstva Eulerove kruznice.

Rad je podijeljen u tri poglavlja.

U prvom poglavlju navode se zanimljive cinjenice iz povijesti otkrica Eulerove

kruznice te biografski podaci o velikom matematicaru Leonardu Euleru kao i njegovi

znacajni doprinosi matematici te najznacajnijim djelima.

U drugom poglavlju dokazuje se konciklicnost spomenutih devet tocaka te is-

trazuju znacajna svojstva Eulerove kruznice.

U trecem poglavlju se istrazuje i dokazuje najpoznatija tvrdnja o Eulerovoj

kruznici koja se ujedno smatra i jednim od najljepsih teorema geometrije trokuta.

Tvrdnju da upisana kruznica dira Eulerovu kruznicu iznutra, a da je pripisane

kruznice diraju izvana otkrio je njemacki matematicar Karl Wilhelm Feuerbach.

Stoga je tvrdnja poznata pod imenom Feuerbachov teorem. U literaturi postoji ve-

lik broj dokaza Feuerbachovog teroema. U radu je naveden analiticki dokaz teorema.

2

2. Iz povijesti Eulerove kruznice

Svicarski matematicar Leonhard Euler dokazao je 1765. godine da sest tocaka,

polovista stranica trokuta i nozista visina leze na jednoj kruznici. U cast Eulera ova

kruznica se u literaturi cesto moze naci pod imenom Eulerova kruznica.

Prema povijesnim istrazivanjima J. S. MacKaya (1892. godine) postoje nekoliko

nezavisnih otkrica Eulerove kruznice. Navodi se da se prvi put spominje u clanku

Johna Butterwortha (1804.godine) u dokazu Bevanova teorema.

U clanku Brianchona i Ponceleta (1820.god.) navodi se da i preostale tri tocke,

polovista spojnica vrhova i ortocentra trokuta leze na Eulerovoj kruznici. U njiho-

vom clanku daje se prvi potpuni dokaz teorema o konciklicnosti navedenih devet

tocaka i prvi put se koristi termin ”kruznica devet tocaka”. Mnogi autori koriste

upravo termin ”kruznica devet tocaka”.

Slika 1. Leonhard Euler

Recimo nesto i o biografiji Leonharda Eulera. Poznati svicarski matematicar i

fizicar je roden 15. travnja 1707. godine, a umro je 18. rujna 1783. godine. Ostao je

upamcen po tome sto je prvi upotrijebio pojam ”funkcija” koji je jos 1964. godine

definirao Leibniz. Takoder ga se pamti i po cinjenici da je bio prvi covjek koji je

upotrijebio i primjenio diferencijalni racun na fiziku.

Njegova je licnost, sa sigurnoscu mozemo reci, obiljezila matematiku osamnaestog

3

stoljeca. Bio je iznimno produktivna osoba, a posljednjih je 17 godina svojeg zivota

bio potpuno slijep. Upravo je tada objavio i napisao gotovo pola svojeg ukupnog

rada. Euler je roden u Baselu u obitelji luteranskog svecenika i premda je jos od

malih nogu pokazivao veliki talent za matematiku, njegov je otac zelio da se mladi

Euler posveti teologiji. Godine 1720. Euler se upisuje na Sveuciliste u Baselu gdje

upoznaje Daniela i Nikolausa Bernoullija. Sedam godina kasnije, ruska carica Ka-

tarina I. ga poziva u Petrograd gdje 1730. godine postaje profesorom fizike, a 1733.

pocinje predavati i matematiku. Godine 1735. Euler gubi vid na desnom oku, ma-

hom zbog ucestalih promatranja Sunca. Cak i nakon toga je ostao produktivan

zahvaljujuci iznimnoj memoriji i mentalnoj sposobnosti racunanja. Izracunato je da

bi za potpunu reprodukciju Eulerovih djela (dakle, da ih se prepise rukom) trebalo

provesti 50 godina, svaki dan radeci po 8 sati. To objasnjava i cinjenicu da su Eule-

rova djela u potpunosti objavljena tek 1910. godine i to u 70 svezaka.

Godine 1736. objavljuje djelo ”Mechanica sive motus scientia analytice exposita”,

a tri godine kasnije zanimljivo djelo ”Tentamen novae theoriae musicae” u kojem

predstavlja pokusaj povezivanja matematike i glazbe. Ostalo je zapisano kako je ovo

djelo previse matematicarski za glazbenike i previse glazbenicki za matematicare.

Njegovi rukopisi ukljucuju rad na proracunima, topologiji, navigaciji, zracnoj me-

hanici i algebri. U trigonometriji je Euler prosirio sinusnu, cosinusnu i tangensnu

funkciju i na druge kutove osim onih u pravokutnim trokutima.

Razliciti reformatorski pokreti, posebno u ruskom skolstvu, trazili su uvodenje Eule-

rovskog shvacanja funkcije i matematike uopce. Naime, Euleru se pripisuje konkre-

tiziranje apstraktnih matematickih pojmova koji, tako svedeni na primjere, postaju

jednostavniji za shvacanje i prihvatljiviji prosjecnim studentima. Na kraju, mozemo

zakljuciti da je Euler jedan od onih revolucionara u matematici koji su neophodni

svakoj nauci u trenucima njene stagnacije.

4

3. Eulerova kruznica i njena znacajna svojstva

U ovom poglavlju cemo dokazati konciklicnost sljedecih devet tocaka i polovista

stranica trokuta, nozista visina i polovista spojnice vrhova i ortocentra trokuta.

Navest cemo znacajna svojstva kruznice kojoj pripadaju spomenute tocke.

3.1. Eulerova kruznica

Prije dokaza konciklicnosti spomenutih devet tocaka dokazimo sljedecu pomocnu

tvrdnju o kolinearnosti tezista, ortocentra i sredista opisane kruznice danog trokuta.

Teorem 3.1 Srediste O opisane kruznice, teziste G i ortocentar H trokuta leze na

jednom pravcu i vrijedi−−→GH = −2

−→GO. (1)

Slika 2.

Dokaz. Neka je dan trokut ABC, neka je O srediste opisane kruznice i H or-

tocentar trokuta ABC. Neka je G tocka takva da vrijedi−−→GH = −2

−→GO. Neka

su B′, C ′ polovista stranice CA odnosno AB. Kako je−−−→B′C ′ = −1

2

−−→BC i kako su

stranice trokuta OB′C ′ paralelne s odgovorajucim stranicama trokuta HBC, to je

G srediste homotetije s koeficijentom −1

2, koja preslikava trokut HBC u trokut

5

OB′C ′ (Slika 2). Zato imamo

−−→GC ′ = −1

2

−→GC,

−−→GB′ = −1

2

−−→GB

tj. G je teziste trokuta ABC. 2

Pravac na kojem lezi ortocentar, teziste i srediste trokutu opisane kruznice zo-

vemo Eulerov pravac trokuta.

Teorem 3.2 Neka su A′, B′, C ′ polovista stranica BC, CA, AB, a Ah, Bh, Ch nozista

visina a H ortocentar trokuta ABC te neka su A′h, B′

h, C ′h polovista duzina HA,

HB, HC. Devet tocaka A′, B′, C ′, Ah, Bh, Ch, A′h, B

′h, C

′h leze na jednoj kruznici

kojoj su A′A′h, B′B′

h, C ′C ′h promjeri (Slika 3).

Navest cemo dva dokaza izrecene trvrdnje.

Slika 3.

Dokaz. Neka je k(O, R) opisana kruznica, a G teziste trokuta ABC, te E po-

loviste duzine OH. Tada je

−−→GE =

−−→GH +

−−→HE = −2

−→GO +

1

2

−−→HO = −2

−→GO +

3

2

−→GO = −1

2

−→GO,

6

pa homotetija sa sredistem u tocki G i koeficijentom −12

(h− 1

2G ) preslikava kruznicu

k(O,R) u kruznicu kE(E, R2), a kako tocke A, B, C ta homotetija preslikava u tocke

A′, B′, C ′, to slijedi da tocke A′, B′, C ′ leze na kruznici kE(E, R2).

Kako vrijedi−−→HE =

1

2

−−→HO i kako je

−−→HA′

h =1

2

−−→HA,

−−→HB′

h =1

2

−−→HB,

−−−→HC ′

h =1

2

−−→HC

to homotetija sa sredistem u H i koeficijentom 12

(h12H) preslikava kruznicu k(O,R)

u kruznicu kE(E, R2), a tocke A, B, C u tocke A′

h, B′h, C ′

h. Dakle, tocke A′h, B′

h,

C ′h leze na kruznici kE(E, R

2).

Homotetija h− 1

2G preslikava duzinu OA u duzinu EA′, pa je EA′||OA, a homotetija

h12H preslikava duzinu OA u duzinu EA′

h, pa je EA′h||OA. Zato je EA′||EA′

h, tj. tocke

A′, E, A′h su kolinearne, pa je A′A′

h promjer kruznice kE(E, R2). Analogno se dobije

da su duzine B′B′h, C ′C ′

h takoe.r promjeri kruznice kE(E, R2).

Kako je AAh ⊥ AhA′ i A′A′h je promjer kruznice kE(E, R

2), te je prema Taleso-

vom poucku i tocka Ah na toj kruznici, a slicno vrijedi i za tocke Bh, Ch. 2

Dokaz 2. Cetverokut A′B′A′hB

′h je pravokutnik pa su njegove dijagonale A′A′

h i

B′B′h jednake duljine i meu. sobno se raspolavljaju. Oznacimo njihovo sjeciste sa X.

X je tada srediste kruznice koja prolazi tockama A′, A′h, B

′, B′h, C

′, C ′h. Kako je kut

C ′hChC

′ pravi to po Talesovom teoremu Ch takoe.r lezi na promatranoj kruznici. Na

isti nacin pokaze se da tocke Bh i Ch leze na istoj kruznici. Srediste X prema tome

lezi na simetrali duzine C ′C ′h, koja raspolavlja duzinu OH i tocka X se podudara

dakle sa tockom E polovistem duzine OH. Kako je A′hE srednjica trokuta AOH

to vrijedi |A′hE| = 1

2|AO| tj. polumjer razmatrane kruznice jednak je polovini

polumjera trokutu ABC opisane kruznice. 2

Kruznica iz prethodnog teorema se naziva Eulerova kruznica, Feuerbachova kruznica

ili kruznica devet tocaka.

3.2. Neka znacajna svojstva Eulerove kruznice

U ovom dijelu navest cemo znacajna svojstva Eulerove kruznice. Iz dokaza Teorema

3.2 slijede tvrdnje izrecene u obliku sljedecih teorema.

Teorem 3.3 Srediste E Eulerove kruznice kE je poloviste duzine HO, gdje je H

ortocentar, a O srediste opisane kruznice danog trokuta ABC.

7

Teorem 3.4 Polumjer RE Eulerove kruznice kE jednak je polovici polumjera R

opisane kruznice danog trokuta ABC, tj.

RE =R

2.

Teorem 3.5 Eulerova kruznica raspolavlja svaku duzinu koja spaja ortocentar tro-

kuta i tocku na opisanoj kruznici.

Teorem 3.6 Udaljenost ortocentra H do pojedinog vrha danog trokuta ABC je-

dnaka je dvostrukoj udaljenosti sredista O opisane kruznice tog trokuta do stranice

nasuprot promatranom vrhu, tj.

|AH| = 2 · |OA′|, |BH| = 2 · |OB′|, |CH| = 2 · |OC ′|.

Vrijedi i sljedeca zanimljiva tvrdnja.

Teorem 3.7 Svi trokuti upisani u danu kruznicu koji imaju zajednicki ortocentar

imaju zajednicku i Eulerovu kruznicu.

Dokaz. Neka je k(O,R) kruznica u koju su upisani promatrani trokuti. Kako svi tro-

kuti imaju po pretpostavci zajednicki ortocentar H to svi ti trokuti prema Teoremu

3.3 imaju za srediste Eulerove kruznice E poloviste duzine HO. Prema Teoremu

3.4 polumjer Eulerove kruznice jednak je R2. Dokazali smo dakle da je kruznica

kE(E, R2) zajednicka Eulerova kruznica promatranih trokuta. 2

Teorem 3.8 Tangente u polovistima stranica trokuta na Eulerovu kruznicu para-

lelne su sa tangentama na opisanu kruznicu tog trokuta kroz vrhove nasuprot tim

stranicama (Slika 2).

Dokaz. Iz dokaza Teorema 3.2 zbog homotetije sa sredistem u G i koeficijentom −1

2imamo paralelnost duzina OA i EA′, pa je onda i pravac okomit na polumjer OA

trokutu opisane kruznice paralelan pravcu okomitom na polumjer Eulerove kruznice

EA′, tj. tangenta na opisanu kruznicu kroz vrh A je paralelna tangenti na Eulerovu

kruznicu kroz poloviste nasuprotne stranice BC. 2

Za cetiri tocke kazemo da cine ortocentricku cetvorku ako je jedna od tocaka

ortocentar trokuta kojeg odreduju preostale tri tocke.

Moze se pokazati da je svaka tocka ortocentrickog sustava ortocentar trokuta kojeg

8

odreduju preostale tri tocke.

Neka je dan trokut ABC i njegov ortocentar H. Tocke A, B, C,H cine jedan

ortocentricki sustav. Vrijedi sljedeca tvrdnja.

Teorem 3.9 Cetiri trokuta ABC, ABH, BCH, CAH imaju zajednicku Eulerovu

kruznicu (Slika 4).

Slika 4.

Dokaz. Devet tocaka A′, B′, C ′, Ah, Bh, Ch, A′h, B

′h, C

′h leze na Eulerovoj kruznici

trokuta ABC. Promotrimo sada kojih devet tocaka trokuta ABH leze na njego-

voj Eulerovoj kruznici. Lako se uocava da su nozista visina promatranog trokuta

tocke Ah, Bh, Ch; polovista stranica su tocke A′h, B

′h, C

′; polovista spojnica vrhova

i ortocentra su tocke B′, A′, C ′h. Dakle, dobili smo devet istih tocaka kao i za tro-

kut ABC. Analogno se pokazuje da isto vrijedi i za ostale od spomenutih trokuta. 2

Teorem 3.10 Opisane kruznice cetiri trokuta ABC, ABH, BCH, CAH imaju

jednak polumjer.

9

Moze se pokazati da sredista opisanih kruznica cetiri trokuta odredena sa po tri

od cetiri tocke ortocentricke cetvorke cine takoder jednu ortocentricku cetvorku i te

dvije cetvorke imaju zajednicku Eulerovu kruznicu.

Takoder se moze pokazati da tezista cetiri trokuta odredena sa po tri od cetiri

tocke ortocentricke cetvorke cine takoder jedan ortocentricku cetvorku i sredista

Eulerovih kruznica tih dviju cetvorki se podudaraju.

Slika 5.

10

4. Feuerbachov teorem

U ovom poglavlju ce biti iskazana i dokazana najznacajnija tvrdnje o Eulerovoj

kruznici, Feuerbachov teorem.

Feuerbach je 1822. godine otkrio i dokazao da Eulerova kruznica dira upisanu

i tri trokutu pripisane kruznice. Ta tvrdnja je poznata u literaturi kao Feuerbac-

hov teorem. Dokaz je napisao u radu Eigenschaften einiger merkwurdigen Punkte

des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren

u kojem je proucavao znacajne tocke u geometriji trokuta i dao niz novih i vaznih

tvrdnji vezanih za Eulerovu kruznicu.

Pojavom ove tvrdnje, Eulerova kruznica i Feuerbachov teorem izazvali su veliku

pozornost matematicke javnosti. Mnogi matematicari su se bavili ovom tvrdnjom,

pa je objavljen velik broj razlicitih dokaza teorema. Neki autori pripisivali su Fe-

uerbachu nezavisno otkrice spomenute kruznice pa su u literaturi i koristili termin

Feurbachova kruznica.

4.1. Trokutu upisana kruznica i pripisane kruznice

Za svaki trokut postoje cetiri kruznice koje diraju stranice trokuta, odnosno produzenja

njegovih stranica. Trokutu ABC upisana kruznica ki, cije je srediste u sjecistu sime-

trala unutarnjih kutova trokuta, dira sve tri stranice trokuta. Trokutu ABC pripi-

sana kruznica ka dira stranicu nasuprot vrhu A i produzenja ostalih dviju stranica.

Srediste kruznice ka je sjeciste simetrale unutrasnjeg kuta kod vrha A i simetrala

vanjskih kutova kod vrhova B i C. Na isti nacin definiraju se preostale dvije pripi-

sane kruznice kb i kc.

Dokazimo sada neke tvrdnje o o upisanoj i trokutu pripisanim kruznicama.

Neka je dan trokut ABC i neka su X, Y , Z diralista upisane kruznice ki(I, r) i

stranica BC, CA, AB trokuta ABC (Slika 6).

Kako su odsjecci dviju tangenata od tocke izvan kruznice do diralista tih tan-

genata s kruznicom jednake duljine to vrijedi |AY | = |AZ|, |BX| = |BZ|, |CX| =

11

Slika 6.

|CY |, uvedemo li oznake za duljine tih segmenata x, y, z imamo

y + z = a,

z + x = b,

x + y = c.

Zbrojimo li te tri jednakosti dobivamo 2x + 2y + 2z = a + b + c = 2s, tj.

x + y + z = s.

Dokazali smo sljedeci teorem.

Teorem 4.1 Ako su X, Y , Z diralista stranica i upisane kruznice trokuta ABC i

x = |AY | = |AZ|, y = |BX| = |BZ|, z = |CX| = |CY |, onda vrijedi

x = s− a, y = s− b, z = s− c (2)

gdje je s poluopseg trokuta ABC.

Kako je a osnovica, a r visina trokuta IBC to je povrsina tog trokuta jednaka

P4IBC =1

2ar. Na analogan nacin dobivamo i izraze za povrsine trokuta ICA i

IAB, pa dobivamo da vrijedi P =1

2(a + b + c) · r = sr.

Time smo dobili sljedecu poznatu tvrdnju.

Teorem 4.2 Povrsina trokuta ABC jednaka je P = sr, gdje je r polumjer upisane

kruznice, a s poluopseg trokuta ABC.

12

Slika 7.

Promotrimo trokut IaIbIc cije stranice leze na simetralama vanjskih kutova tro-

kuta ABC pri vrhovima A, B, C trokuta (Slika 7). Svaka tocka na simetrali IcIa

vanjskog kuta pri vrhu B trokuta ABC jednako je udaljena od AB i BC. Slicno,

svaka tocka na simetrali IaIb jednako je udaljena od BC i CA. Odatle slijedi da

je tocka Ia na jednakoj udaljenosti ra od sve tri stranice trokuta. Kako je tocka Ia

jednako udaljena od AB i AC, ona mora lezati na pravcu AI, simetrali unutrasnjeg

kuta trokuta ABC pri vrhu A.

Teorem 4.3 Simetrale bilo koja dva vanjska kuta trokuta i simetrala preostalog

treceg unutrasnjeg kuta trokuta sijeku se u jednoj tocki.

Kruznica ka sa sredistem Ia i polumjerom ra, kojoj su pravci na kojima leze

stranice trokuta tangente, jedna je od tri pripisane kruznice trokuta. Svaka pripisana

kruznica dira jednu stranicu trokuta i produzenja ostalih dviju.

Oznacimo diralista pripisanih kruznica i stranica trokuta, odnosno produzenja

stranica trokuta ABC, kao na Slici 7. Kako vrijedi,

|AYa| = |AZa|

13

to imamo

|AYa|+ |AZa| = |AC|+ |CYa|+ |ZaB|+ |AB|= |AC|+ |CXa|+ |XaB|+ |AB|= b + a + c = 2s.

Dobivamo dakle, odsjecak tangente od vrha A do diralista pripisane kruznice

nasuprot vrhu A s pravcima na kojima leze stranice trokuta kroz vrh A je duljine s.

Analogno vrijedi za ostala dva vrha trokuta. Vrijedi dakle,

|AYa| = |AZa| = |BZb| = |BXb| = |CXc| = |CYc| = s. (3)

Takoe.r kako je |CXb| = |BXb| − |BC| = s− a, analogno dobivamo

|BXc| = |BZc| = |CXb| = |CYb| = s− a,

|CYa| = |CXa| = |AYc| = |AZc| = s− b,

|AZb| = |AYb| = |BZa| = |BXa| = s− c.

Nadalje, ocito vrijedi

P = P4IaCA + P4IaAB − P4IaCB =1

2(b + c− a)ra = (s− a)ra.

Na isti nacin se pokazuje da vrijedi P = (s− b)rb = (s− c)rc.

Pokazali smo dakle da vrijedi sljedeca tvrdnja.

Teorem 4.4 Povrsina trokuta ABC jednaka je

P = (s− a)ra = (s− b)rb = (s− c)rc (4)

gdje su ra, rb, rc polumjeri pripisanih kruznica, a s poluopseg trokuta ABC.

4.2. Feuerbachov teorem

Nakon sto smo naveli i dokazali neka znacajna svojstva Eulerove kruznice navedimo

i dokazimo najpoznatiju tvrdnju o Eulerovoj kruznici, odnosno Feuerbachov teorem.

U literaturi postoji velik broj dokaza Feuerbachovog teorema. U ovom radu ce biti

dan analiticki dokaz teorema ([6]).

Teorem 4.5 (Feuerbachov teorem) Eulerova kruznica dira upisanu i sve tri pri-

pisane kruznice danog trokuta. Pri tome upisana kruznica dira Eulerovu kruznicu

iznutra, dok je pripisane kruznice diraju izvana (Slika 8).

14

Slika 8.

Dokaz. Neka je dan trokut ABC. Promotrimo kosi koordinatni sustav kojem je

tocka A ishodiste, a pravci AB i AC osi koordinatnog sustava.

Tada su polovista stranica BC, CA, AB redom tocke A′ =( b

2,c

2

), B′ =

(0,

c

2

),

C ′ =( b

2, 0

). Neka je Ia(xa, ya) srediste i ra polumjer pripisane kruznice ka nasuprot

vrhu A trokuta ABC (Slika 9).

15

Ocito je

xa = ya

i

ya sin α = ra(3)s tg1

2α. (5)

Slika 9.

Odakle dobivamo

xa = ya =s

2 cos2 12

α. (6)

S druge strane, kako za polumjer opisane kruznice trokuta ABC vrijede formule

R = abc4P

i 2R = asin α

, to zbog (4) imamo

ra =P

s− a=

abc

4R(s− a)=

bc sin α

2(s− a)

odakle po (5) dobivamo

xa = ya =bc

2(s− a). (7)

Prije daljnjeg dokaza izvest cemo formulu za udaljenost dviju tocaka u kosom ko-

ordinatnom sustavu koristeci svojstva skalarnog produkta vektora. Neka je O(0, 0)

16

ishodiste koordinatnog sustava cije osi zatvaraju kut α. Neka su −→e1 i −→e2 jedinicni

vektori u smjeru koordinatnih osi (Slika 8). Za tocke T1(x1, y1), T2(x2, y2) vrijedi

|−−→T1T2|2 =

−−→T1T2 ·

−−→T1T2

= ((x2 − x1)−→e1 + (y2 − y1)

−→e2 ) · ((x2 − x1)−→e1 + (y2 − y1)

−→e2 )

= (x2 − x1)2−→e1 · −→e1 + (y2 − y1)

2−→e2 · −→e2 + 2(x2 − x1)(y2 − y1)−→e1 · −→e2

odakle dobivamo

|−−→T1T2|2 = (x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + 2(x2 − x1)(y2 − y1) cosα. (8)

Slika 10.

Neka je E(xe, ye) srediste Eulerove kruznice ke trokuta ABC. Po Teoremu 3.2

njen polumjer jeR

2, gdje je R polumjer opisane kruznice trokuta. Kako Eulerova

kruznica prolazi tockama A′, B′, C ′ to primjenom (8) dobivamo(xe −

b

2

)2

+(ye −

c

2

)2

+ 2(xe −

b

2

)(ye −

c

2

)cos α−

(R

2

)2

= 0, (9)

x2e +

(ye −

c

2

)2

+ 2xe

(ye −

c

2

)cos α−

(R

2

)2

= 0, (10)(xe −

b

2

)2

+ y2e + 2

(xe −

b

2

)ye cos α−

(R

2

)2

= 0. (11)

Oduzmemo li od zbroja jednadzbi (11) i (10) jednadzbu (9) dobivamo

17

x2e + y2

e + 2xeye cos α =(R

2

)2

+1

2bc cos α. (12)

Podijelimo li razliku jednadzbi (9) i (11) sa c, a razliku jednadzbi (9) i (10) sa b te

zbrojimo tako dobivene jednadzbe dobivamo

(xe + ye)(1 + cos α) =b + c

4(1 + 2 cos α). (13)

Zbog (4) i formule R =abc

4Pimamo

raR =abc

4(s− a). (14)

Sada je (zbog ya = xa)

|EIa|2 = (xa − xe)2 + (ya − ye)

2 + 2(xa − xe)(ya − ye) cos α

= x2e + y2

e + 2xeye cos α + 4x2a cos2 1

2α− 2xa(xe + ye)(1 + cos α).

Koristenjem formula (12), (6) i (13) iz prethodnog dobivamo

|EIa|2 =(R

2

)2

+1

2bc cos α + s2 1

cos2 12α− 1

2xa(b + c)(1 + 2 cos α).

Primjenom formula (14), (5) i (7) dobivamo

|EIa|2 =(R

2+ ra

)2

− abc

4(s− a)+

1

2bc cos α + s2 − bc

4(s− a)· (b + c)(1 + 2 cos α).

Konacno imamo

|EIa|2 =(R

2+ ra

)2

+ s2 − bc

4(s− a)· [a− 2(s− a) cos α + (b + c)(1 + 2 cos α)]

=(R

2+ ra

)2

+ s2 − bc

4(s− a)· 2s(1 + cos α)

=(R

2+ ra

)2

jer iz kosinusovog teorema lako slijedi jednakost 4s(s− a) = 2bc(1 + cosα).

Odatle slijedi da Eulerova kruznica trokuta ABC izvana dira trokutu ABC pripi-

sanu kruznicu nasuprot vrhu A. Na isti nacin se moze dokazati da Eulerova kruznica

dira i ostale dvije pripisane kruznice trokuta.

18

Trokut odreden s tri tocke koje su diralista Eulerove kruznice trokuta i triju

trokutu pripisanih kruznica poznat je u literaturi pod imenom Feuerbachov trokut

promatranog trokuta.

Preostaje dokazati da upisana kruznica trokuta dira Eulerovu kruznicu iznutra.

Neka je I(xi, yi) srediste i r polumjer trokutu upisane kruznice ki.

Ocito je

xi = yi

i

yi sin α = r(2)= (s− a) tg

1

2α. (15)

Odakle dobivamo

xi = yi =s− a

2 cos2 12

α. (16)

S druge strane imamo

r =P

s=

abc

4Rs=

bc sin α

2sodakle dobivamo

xi = yi =bc

2s. (17)

Sada je

|EI|2 = (xi − xe)2 + (yi − ye)

2 + 2(xi − xe)(yi − ye) cos α

= x2e + y2

e + 2xeye cos α + 4x2i cos2 1

2α− 2xi(xe + ye)(1 + cos α)

Koristeci formule (12), (13), (15), (16), (17) i cinjenicu da je

rR =abc

4s

slicno kao u prethodnom dokazu za pronalazenje udaljenosti |EIa| dobivamo sada

|EI|2 =(R

2− r

)2

, (18)

tj. upisana kruznicu trokuta ABC dira Eulerovu kruznicu iznutra.

(Uocite da smo uveli supstituciju s ↔ (s− a) u izraze za trazenje udaljenosti |EIa|dobili bismo takoe.r (18)).

Tocka gdje se upisana kruznica trokuta i Eulerova kruznica trokuta dodiruju zove

se Feuerbachova tocka tog trokuta.

19

5. Zakljucak

U radu je dokazano da devet tocaka: polovista stranica trokuta, nozista visina i

polovista spojnica vrhova i ortocentra trokuta leze na jednoj kruznici tzv. Eulerovoj

kruznici trokuta. Istrazena su znacajna svojstva Eulerove kruznice. Navedene su i

zanimljive cinjenice iz povijesti otkrica ove kruznice.

Najznacajnija tvrdnja o Eulerovoj kruznici je Feuerbachov teorem. U literaturi

postoji velik broj dokaza Feuerbachovog teorema. U radu je naveden analiticki

dokaz teorema. Navedena su i znacajna svojstva trokutu upisane kruznice kao i

svojstva trokutu pripisanih kruznica.

20

6. Literatura

Literatura

[1] H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, The Mathematical

Association of America, 1967.

[2] R. A. Johnson, Modern Geometry, New York, 1960.

[3] D. Palman, Trokut i kruznica, Element, Zagreb, 1994.

[4] A. S. Posamantier, Advanced Euclidean Geometry, Key College Publishing,

2002.

[5] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika I., Tehnicka knjiga, Za-

greb, 1992.

[6] D. Suryanarayana, A Note on Feuerbach’s Theorem, Math. Student,

29(1961), 138–140.