Eurocode2 Complete

I

SADRŽAJ str.

1. UVOD

11..11 EEvvrrooppsskkaa ssttaannddaarrddiizzaacciijjaa 11 11..22 OOssnnoovvnnee zznnaaččaajjkkee aarrmmiirraannoogg bbeettoonnaa 11 11..33 IIssttoorriijjaa aarrmmiirraannoogg bbeettoonnaa 22

2. OSNOVE TEHNOLOGIJE IZRADE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 22..11 OOppllaattee ii sskkeellee 44 22..22 SSaassttaavvnnee kkoommppoonneennttee ssvvjjeežžeegg bbeettoonnaa 77

2.2.1 Cement 7 2.2.2 Voda 8 2.2.3 Agregat 8

2.3 Proizvodnja betona 10

3. SVOJSTVA MATERIJALA 33..11 ČČvvrrssttooććaa bbeettoonnaa 1133

3.1.1 Mehanizam loma na pritisak 13 3.1.2 Mehanizam loma na zatezanje 13 3.1.3 Mehanizam loma sa smicanje 14 3.1.4 Čvrstoća na pritisak 15 3.1.5 Čvrstoća na zatezanje 16 3.1.6 Dvoaksijalna i troaksijalna čvrstoća betona 17 3.1.7 Dinamička čvrstoća 19

33..22 DDeeffoorrmmaacciioonnaa ssvvoojjssttvvaa bbeettoonnaa 2200 3.2.1 Kratkotrajne deformacije 20

3.2.1.1 Linearan elastični dio deformacija 21 3.2.1.2 Nelinearan plastični dio deformacija 22

3.2.2 Dugotrajne deformacije 23 3.2.2.1 Objašnjenje pojedinih dijelova dugotrajnih

deformacija 25 3.2.2.2 Proračun deformacija puzanja 26

33..33 ČČeelliikk zzaa aarrmmiirraannjjee 2299 3.3.1 Vrste čelika za armiranje 29

3.3.1.1 Radni dijagram prirodnog čelika 30 3.3.1.2 Radni dijagram hladno obrađenog čelika 31 3.3.1.3 Radni dijagram visokovrijednog prirodno

tvrdog čelika 32 3.3.2 Karakteristike pojedinih vrsta čelika za armiranje 32 3.3.3 Evropske norme za betonski čelik EN 10080 33

4. USLOVI ZAJEDNIČKOG RADA BETONA I ARMATURE

44..11 PPrriioonnlljjiivvoosstt bbeettoonnaa ii ččeelliikkaa 3355 44..22 NNaaččiinnii pprreennoossaa ssiillee iizzmmeeđđuu bbeettoonnaa ii aarrmmaattuurree 3355 44..33 ČČvvrrssttooććaa pprriioonnlljjiivvoossttii 3366 44..44 OOssnnoovvnnaa dduužžiinnaa aannkkeerriissaannjjaa 3388 44..55 PPoommjjeerrlljjiivvoo pprriiaannjjaannjjee 3388

II

5. KONCEPT SIGURNOSTI 55..11 OOssnnoovvee kkoonncceeppttaa ssiigguurrnnoossttii 4411

5.1.1 Mjere za umanjenje ljudske greške 41 5.1.2 Osnovni zahtjevi za nosivu konstrukciju 41 5.1.3 Mjere za ograničenje oštećenja 42 5.1.4 Osiguranje zadovoljavajuće pouzdanosti 43 5.1.5 Pregled postupaka dokazivanja 43 5.1.6 Reprezentativne vrijednosti 44 5.1.7 Proračunske vrijednosti 46 5.1.8 Dokaz graničnih stanja 47

55..22 KKoommbbiinnaacciijjee ddjjeelloovvaannjjaa nnaa kkoonnssttrruukkcciijjuu 4488 5.2.1 Nezavisni uticaji za objekte visokogradnje 48 5.2.2 Granična stanja nosivosti 48 5.2.3 Granično stanje upotrebljivosti 50 5.2.4 Granično stanje zamora 51 5.2.5 Faktori kombinacije ψ 51 5.2.6 Parcijalni koeficijenti sigurnosti γF 51 5.2.7 Parcijalni koeficijenti sigurnosti γM 53

55..33 OOssnnoovvee zzaa ddiimmeennzziioonniirraannjjee ssaa ppaarrcciijjaallnniimm kkooeeffiicciijjeennttiimmaa ssiigguurrnnoossttii 5544 5.3.1 Određivanje pouzdanosti konstrukcije 54 5.3.2 Proračun vjerovatnoće otkaza konstrukcije 55 5.3.3 R – E model 58

6. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI

66..11 OOssnnoovvnnee ppoossttaavvkkee pprroorraaččuunnaa 6600 6.1.1 Računska nosivost presjeka 61 6.1.2 Granična deformaciona stanja 64

66..22 EElleemmeennttii nnaapprreeggnnuuttii nnaa ssaavviijjaannjjee 6666 6.2.1 Teorija elastičnosti 66 6.2.2 Armiranobetonska greda 67 6.2.3 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka 68 6.2.4 Dimenzioniranje greda T presjeka 87

66..33 EElleemmeennttii nnaapprreeggnnuuttii nnaa ssaavviijjaannjjee ssaa ppoopprreeččnnoomm ssiilloomm 9922 6.3.1 Sile u pojasnim štapovima rešetke 93 6.3.2 Nosivost betonske dijagonale u rebru 95 6.3.3 Nosivost uzengija 96 6.3.4 Područje uvođenja koncentrične sile 98 6.3.5 Problem ankerisanja na krajnjim osloncima 100 6.3.6 Sekundarna nosivost 101

6.3.6.1 Nosivi sistem ''Luk sa zategom'' 101 6.3.6.2 Efekat uklinjavanja podužnom armaturom 102 6.3.6.3 Krutost na savijanje betonskih rebara 102

6.3.7 Poprečna sila koju element preuzima bez smičuće armatureVRD1 102

6.3.8 Minimalna smičuća armatura 103 6.3.9 Spojna armatura između pojasa i rebra 103

6.3.9.1 Sile smicanja na spoju pojasa i rebra 103 6.3.9.2 Rečetkasti model za pojas 106

III

6.3.10 Dimenzioniranje dvopojnog sandučastog nosača na savijanje i smicanje 108 6.3.10.1 Podaci o sistemu 108 6.3.10.2 Presječne sile 108 6.3.10.3 Dimenzioniranje na savijanje (ULS) 109 6.3.10.4 Dimenzioniranje na poprečne sile (ULS) 111 6.3.10.5 Pokrivanje dijagrama momenata 114

6.3.11 Greda sa pojasima u nagibu 117 6.3.11.1 Smicanje 118

66..44 EElleemmeennttii nnaapprreeggnnuuttii nnaa ssaavviijjaannjjee ssaa nnoorrmmaallnnoomm ssiilloomm 112200 6.4.1 Presjek opterećn normalnom silom zatezanja

(N>0; M=N.e) 121 6.4.2 Presjek opterećn normalnom silom pritiska

(N<0; M=N.e) 122 6.4.3 Dokaz nosivosti kod sila sa velikim ekscentricitetom 123

66..55 EElleemmeennttii nnaapprreeggnnuuttii nnaa ttoorrzziijjuu 112233 6.5.1 Rešetkasti model šupljeg sanduka

sa podužnim šipkama i uzengijama 130 6.5.2 Rešetkasti model za proizvoljan nagib pritisnutih

dijagonala Θ 133 6.5.3 Dokaz nosivosti pritisnutog betonskog rebra 135 6.5.4 Dokaz nosivosti armature 135 6.5.5 Raspored armature 136 6.5.6 Primjer: Pravougaoni presjek opterećen torzijom 137 6.5.7 Dimenzioniranje za kombinaciju naprezanja

od poprečne sile, torzije i momenta savijanja 138 66..66 ŠŠttaappnnii eelleemmeennttii oopptteerreeććeennii uuzzdduužžnnoomm ssiilloomm 114422

6.6.1 Stubovi male vitkosti 143 6.6.1.1 Slučaj 1: Centrični pritisak 144 6.6.1.2 Slučaj 2: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska

- mali ekscentricitet 145 6.6.1.3 Slučaj 3: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska

- srednji ekscentricitet 146 6.6.1.4 Slučaj 4: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska

- veliki ekscentricitet 147 6.6.1.5 Slučaj 5: Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja

- veliki ekscentricitet 148 6.6.1.6 Slučaj 6: Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja

- mali ekscentricitet 149 6.6.1.7 Slučaj 7: Centrično zatezanje 150 6.6.1.8 Reaktivne presječne sile 150

6.6.2 Vitki stubovi 155 6.6.2.1 Stabilnost štapova 155 6.6.2.2 Nelinearno ponašanje materijala (armirani beton) 159 6.6.2.3 Geometrijske imperfekcije i nepoželjan

ekscentricitet 160 6.6.2.4 Vremenski ovisne deformacije 162

6.6.3 Postupak pomoću modela stuba 163 6.6.3.1 Dimenzioniranje modela stuba 163

6.6.4 Primjer dimenzioniranja vitkog stuba 170

IV

6.6.5 Nepomjerljivi i pomjerljivi ramovi 174 6.6.5.1 Nepomjerljivi višespratni ramovi 175 6.6.5.2 Pomjerljivi ramovi 177 6.6.5.3 Zamjenjujući ekscentricitet 180 6.6.5.4 Imperfekcija 180

6.6.6 Dvoosni ekscentricitet 181 66..77 PPllooččee 118833

6.7.1 Momenti uvrtanja 187 6.7.2 Određivanje presječnih sila 190

6.7.2.1 Ugao slobodno oslonjene ploče 191 6.7.2.2 Jednačina ploče 193

6.7.3 Tačkasto oslonjene ploče 194 6.7.3.1 Proboj ploče 196

7. GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI 77..11 OOggrraanniiččeennjjee ššiirriinnee pprrsslliinnaa 220044

7.1.1 Otvaranje prslina kroz vezivanje betona 205 7.1.2 Mehanizam otvaranja prslina 206

7.1.2.1 Armiranobetonski štap opterećen u težištu 206 7.1.2.2 Armiranobetonski štap opterećen na savijanje 208

7.1.3 Minimalna armatura 210 7.1.4 Razmak prslina 210

77..22 OOggrraanniiččeennjjee ššiirriinnee pprrsslliinnaa pprreemmaa EECC 22 221122 7.2.1 Zaštita armature od korozije 213 7.2.2 Proračun računske širine prsline wk 213

77..33 DDeeffoorrmmaacciijjee bbeettoonnsskkiihh kkoonnssttrruukkcciijjaa 221166 7.3.1 Ograničenje progiba 216 7.3.2 Ograničenje vitkosti na savijanje 217

7.3.2.1 Proračun potrebne vitkosti na savijanje na jednostavnom primjeru proste grede 217

7.3.3 Tačan proračun progiba 219 7.3.3.1 Krivljenje usljed vanjskog opterećenja 221 7.3.3.2 Krivljenje usljed puzanja i skupljanja 222

77..44 PPrriimmjjeerrii 222233 7.4.1 Dokaz prslina 223 7.4.2 Dokaz progiba 229

8. KONSTRUISANJE I DIMENZIONIRANJE PRIMJENOM ŠTAPNIH

MODELA 88..11 BB –– ppooddrruuččjjaa 223322 88..22 DD –– ppooddrruuččjjaa 223333 88..33 ČČvvoorroovvii ššttaappnniihh mmooddeellaa 223388

8.3.1 C – C – C čvor 239 8.3.2 C – T – C čvor 240 8.3.3 T – C – T čvor 241 8.3.4 Superpozicija osnovnih čvorova 242

88..44 PPrriimmjjeerrii pprriimmjjeennee ššttaappnniihh mmooddeellaa 224433 8.4.1 Ugao rama opterećen momentom sa negativnim

predznakom 243 8.4.1.1 Kruti stubovi (J1≈J2) 243

V

8.4.1.2 Vitki stubovi mekani na savijanje (J1<<J2) 244 8.4.1.3 Uticaj poprečne sile 245

8.4.2 Ugao rama opterećen momentom sa pozitivnim predznakom 245 8.4.2.1 Kruti stubovi (J1≈J2) 245 8.4.2.2 Vitki stubovi mekani na savijanje (J1<<J2) 247

8.4.3 Konzole 248 8.4.4 Računski primjer: Dimenzioniranje konzole

sa odnosom ac<hc 253 8.4.5 Temelji 256

88..55 JJoošš nneekkii pprriimmjjeerrii pprriimmjjeennee ššttaappnniihh mmooddeellaa 226644 8.5.1 Oslanjanje grede na izdignuti oslonac 264 8.5.2 T čvor rama sa kontinuiranom riglom 265 8.5.3 T čvor rama sa kontinuiranim stubom 266

9. KONSTRUKTIVNE POJEDINOSTI

99..11 KKoonnssttrruukkttiivvnnee ppoojjeeddiinnoossttii ggrreeddaa 226699 9.1.1 Zaštitni sloj betona 269 9.1.2 Postavljanje armature 270 9.1.3 Armiranje u snopovima 270 9.1.4 Poprečna armatura (uzengije) 271

99..22 KKoonnssttrruukkttiivvnnee ppoojjeeddiinnoossttii ssttuubboovvaa 227722 9.2.1 Raspored armature u stubovima 272 9.2.2 Parametri poprečne armature 273

99..33 KKoonnssttrruukkttiivvnnee ppoojjeeddiinnoossttii ppllooččaa 227744

10. LITERATURA

Ahmet Imamović Damir Zenunović

Konstrukcioni beton prema Evropskim normama EC 2 I dio

Tuzla, 2005.godina

JU UNIVERZITET U TUZLI Komisija za izdavačku djelatnost Dr.sc.Radomir Folić, redovni profesor Fakultet tehničkih nauka Univerzitet u Novom Sadu PREDMET: Izvještaj recenzije rukopisa «Konstrukcioni beton prema Evropskim

normama EC2, I dio“

Na osnovu odluke Komisije za izdavačku djelatnost JU Univerziteta u Tuzli, broj 00000000, od 00.00.2005. godine, i Vašeg dopisa, broj 00000000, od 00.00.2005.godine, Komisija za izdavačku djelatnost JU Univerziteta u Tuzli, na prijedlog Naučno-nastavnog vijeća RGGF-a, imenovala me je za recenzenta rukopisa «Konstrukcioni beton prema Evropskim normama EC2, I dio“, autora Dr.sc.Ahmeta Imamovića, docent na RGGF-u i Mr.sc.Damira Zenunovića, viši asistent na RGGF-u. Na Vaš zahtjev pripremio sam izvještaj, u skladu sa preporučenim oblikom datim u dopisu, koji sadrži:

1. podatke o recenzentu; 2. podatke o recenziranom djelu; 3. mišljenje o djelu 4. zaključak i ocjenu.

U nastavku se daje obrazloženje:

1. Podaci o recenzentu

2. Podaci o recenziranom djelu

AUTORI DJELA: Dr.sc.Ahmet Imamović, docent, izabrani nastavnik na predmetu «Betonske konstrukcije I», «Betonske konstrukcije II» Mr.sc.Damir Zenunović, viši asistent na predmetima «Statika», «Građevinski materijali» i «Betonske konstrukcije»

NASLOV DJELA: Konstrukcioni beton prema Evropskim normama EC2, I dio»

VRSTA DJELA: Djelo se može kategorisati kao UDŽBENIK. Udžbenik je namijenjen studentima III godine studija građevinarstva u V semestru sa fondom sati 3+3. Predmet se sluša na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, JU Univerzitet u Tuzli. Udžbenik sadrži devet(9) poglavlja i priloge, 275 stranica i 13 priloga, 00 slika i 00 tabela. U popisu literature navedeno je 16 referentnih brojeva.

Predmetna materija izložena u udžbeniku «Konstrukcioni beton prema Evropskim normama EC2, I dio“ pokriva dati predmet sa 90% sadržaja. 2.1 PRIKAZ DJELA

• PRVO POGLAVLJE – UVOD U uvodnom dijelu udžbenika dat je na kratak način prikaz strukture evropske standardizacije sa osvrtom na EC2. Opisane su osnovne karakteristike armiranog betona i hronologija početka primjene armiranog betona.

• DRUGO POGLAVLJE - OSNOVE TEHNOLOGIJE IZRADE BETONSKIH

KONSTRUKCIJA Sastavni dio u izradi elemenata armiranobetonske konstrukcije jesu oplate i skele. U ovom poglavlju date su osnove tehnologije izrade oplata i skela. Armirani beton je kompozit sastavljen iz dva materijala, betona i čelika. Beton je sam po sebi kompozit satavljen iz tri odnosno četiri komponente. Da bi se dobio kvalitetan beton potrebno je poznavanje pojedinih komponenti (agregat, cement, voda, dodaci). Osim poznavanja komponenti za proizvodnju betona, potrebna je kontrola mješanja istih, transporta, ugradnje i njege. U drugom poglavlju su opisane navedene značajke za osiguranje kvalitetnog betona.

• TREĆE POGLAVLJE - SVOJSTVA MATERIJALA

U trećem poglavlju daju se mehanizmi nosivosti betona na pritisak, zatezanje i smicanje, te deformaciona svojstva betona. Osim toga dati su osnovni podaci o čeliku koji se primjenjuje kod nas, radni dijagrami prirodnog, hladno obrađenog i visokovrijednog prirodno tvrdog čelika. Takođe su date osnovne stavke prednorme za betonski čelik EN10080.

• ČETVRTO POGLAVLJE - USLOVI ZAJEDNIČKOG RADA BETONA I

ARMATURE Nosivost armiranobetonskih presjeka počiva na kompatibilnosti deformacija betona i čelika. Kako beton i čelik imaju sličan temperaturni koeficijent širenja zadovoljena je osnovna pretpostavka kompatibilnosti. Da bi se osigurao zajednički rad betona i armature potrebno je zadovoljiti određena konstruktivna i proračunska pravila, koja su opisana u četvrtom poglavlju. Osim toga objašnjen je način prijenosa sile između betona i armature, ankerisanje armature i mehanizm pomjerljivog prianjanja.

• PETO POGLAVLJE - KONCEPT SIGURNOSTI

Dokaz graničnog stanja nosivosti i graničnog stanja upotrebljivosti armiranobetonskih presjeka prema Evrokod-u EC2 zasniva se na semiprobibalističkim pristupom određenim parcijalnim koeficijentima sigurnosti. Osnove koncepta sigurnosti na osnovu kojeg je urađen Evrokod EC2 opisane su u petom poglavlju.

• ŠESTO POGLAVLJE - GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI

Ovo poglavlje zajedno sa poglavljem sedam čini jezgru djela. U ovom poglavlju detaljno su obrađeni, prema metodi graničnih stanja i stavkama Evrokod-a EC2, slijedeći proračuni:

- elementi naprenuti na savijanje; - elementi napregnuti na savijanje sa poprečnom silom; - elementi napregnuti na savijanje sa normalnom silom; - elementi napregnuti na torziju; - štapni elementi opterećeni uzdužnom silom ( stubovi); - dvodimenzionalni elementi opterećeni na savijanje (ploče).

Uz teoretsko objašnjenje problematike proračuna za pojedine slučajeve priloženi su proračunski primjeri.

• SEDMO POGLAVLJE - GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI

U ovom poglavlju opisan je postupak dokaza graničnog stanja upotrebljivosti armiranobetonskog presjeka u skladu sa Evrokod-om EC2. Obrazložen je postupak ograničenja širine prslina i ograničenja deformacija. Priloženi su proračunski primjeri.

• OSMO POGLAVLJE - KONSTRUISANJE I DIMENZIONIRANJE

PRIMJENOM ŠTAPNIH MODELA Osim klasičnog proračuna armiranobetonskih presjeka u skladu sa Evrokod-om EC2, u zadnjoj deceniji aktualizirana je primjena štapnih modela za rješavanje složenijih problema u teoriji armiranog betona, gdje se ne može primjeniti linearna teorija, kao što je kod zidova, zidova sa otvorima, na mjestu unošenja koncentrične sile, tj. u područjima gemoetrijskog diskontinuiteta i diskontinuiteta opterećenja. Ova metoda je razvijena još šesdesetih godina prošlog vijeka, ali je svoju intenzivniju primjenu doživjela u zadnjih dvadesetak godina, tako da su osnove proračuna pomoću štapnih modela ušle u nove FIP preporuke, DIN i ACI propise. U osmom poglavlju ovog djela date su osnove proračuna primjenom štapnih modela, te prikaz razrađenih štapnih modela za pojedine interesantne nelinearne probleme iz teorije i prakse armiranog betona.

• DEVETO POGLAVLJE - KONSTRUKTIVNE POJEDINOSTI DDeevveettoo ppooggllaavvlljjee ssaaddrržžii kkoonnssttrruukkttiivvnnee pprreeppoorruukkee zzaa pprroojjeekkttaannttee uu pprraakkssii..

3. Mišljenje o djelu Prema saopštenim poglavljima u udžbeniku, predloženi rukopis u potpunosti prati sadržaj predmeta Betonske konstrukcije I i metodski je prilagođen ovom predmetu. Takođe prema datom popisu korištene literature, autor se služio i konsultovao sa stranom i domaćom aktuelnom literaturom iz oblasti koju pokriva rukopis. Sadržaj udžbenika izložen je pregledno i jasno, a terminologija i mjerne jedinice usaglašene su sa domaćim i SI propisima.

4. Zaključak i ocjena

RECENZENT:

Dr.sc.Radomir Folić, redovni profesor Novi Sad, 00.00.2005.godine

Uvod

1

1.UVOD 1.1 Evropska standardizacija Sedamdesetih godina prošlog vijeka eksperti iz područja građevinarstva, iz zemalja članica Evropske ekonomske zajednice, radili su na izradi kompletne serije novih usklađenih evropskih standarda za projekovanje i građenje konstrukcija. U toku rada na njihovoj pripremi budući zajednički evropski propisi dobili su naziv Evrokodovi. Osim zemalja tadašnje Evropske ekonomske zajednice ovoj akciji su se priključile i zemlje EFTA, tako da su danas na izradi Evrokodova angažovani stručnjaci 18 zemalja: Austrije, Belgije, Danske, Finske, Francuske, Njemačke, Grčke, Islanda, Irske, Italije, Luksemburga, Holandije, Norveške, Portugala, Španije, Švedske, Švicarske i Ujedinjenog Kraljevstva. Nacionalne organizacije za standarde ovih zemalja članice su Evropskog komiteta za standardizaciju CEN. U okviru CEN-a tehnički komitet zadužen za izradu Evrokodova za oblast građevinskog konstrukterstva je CEN/TC 250, koji je podijeljen na podkomitete SC1 – SC9. Svaki od ovih podkomiteta radi na organizaciji i implementaciji Evrokodova. Evropski standardi iz oblasti građevinskog konstrukterstva su:

- ENV 1991 Eurocode EC1 – Osnove proračuna i dejstava na konstrukcije - ENV 1992 Eurocode EC2 – Proračun betonskih konstrukcija - ENV 1993 Eurocode EC3 – Proračun čeličnih konstrukcija - ENV 1994 Eurocode EC4 – Proračun spregnutih konstrukcija od čelika i betona - ENV 1995 Eurocode EC5 – Proračun drvenih konstrukcija - ENV 1996 Eurocode EC6 – Proračun zidanih konstrukcija - ENV 1997 Eurocode EC7 – Projekovanje i proračun geotehničkih konstrukcija - ENV 1998 Eurocode EC8 – Projektovanje seizmički otpornih konstrukcija - ENV 1999 Eurocode EC9 – Proračun konstrukcija od aluminijskih legura

Proračun betonskih konstrukcija obuhvaćen je u Eurocode 2 (EC2). EC2 podijeljen je u dijelove:

Dio 1 – Osnove i pravila za proračun zgrada Dio 2 – Armiranobetonski i prednapregnuti mostovi Dio 3 – Betonski temelji i šipovi Dio 4 – Rezervoari Dio 5 – Privremene konstrukcije Dio 6 – Masivne konstrukcije Dio 10 – Otpornost na požar betonskih konstrukcija

U dijelu 1 date su osnove za projektovanje objekata visokogradnje od armiranog, odnosno prednapregnutog betona. Posebne konstrukcije daju se u ostalim dijelovima. U ovoj knjizi daje se objašnjenje proračuna armiranobetonskih konstrukcija u skladu sa Eurocode 2, Dio 1. 1.2 Osnovne značajke armiranog betona Beton je najprimjenjivi građevinski materijal u savremenoj građevinskoj praksi. Širina njegove primjene posljedica je toga što se beton može praktički uraditi u bilo kojoj formi. Kako beton ima relativno malu čvrstoću na zatezanje dobre karakteristike betona na pritisak mogu se samo iskoristiti ukoliko je zategnuti dio betona ojačan armaturom. Prema tome beton u prvom redu preuzima pritisak, dok dodata armatura preuzima zatezanje.

Doc.dr.Ahmet Imamović Mr.Damir Zenunović

2

Međutim beton ima isto tako funkciju zaštite armature od korozije. Zaštita armature od korozije je ključna za trajnost betonskih konstrukcija. Ona zavisi od gustoće i bazičnosti cementnog kamena. Zaštita od korozije je samo onda djelotvorna kada je beton kompaktan i gust, tj. kompletna armatura mora biti obuhvaćena betonom. U slučaju korodiranja armature dolazi do povećanja njenog volumena te razaranja okolne strukture betona, tj. javlaju se sile međudjelovanja između betona i armature. Funkcionalnost armiranog betona počiva na sličnom ponašanju komponentnih materijala od kojih je izgrađen, tj. temperaturni koeficijent širenja čelika i betona je približno istih vrijednosti (αt = 10-5/oC ). Kao i svaki materijal, armirani beton ima svoje prednosti i nedostatke. Prednosti armiranog betona su:

- Drugi materijali na bazi kamena ( nearmirani beton, prirodni kamen, cigla) mogu se primijeniti samo za konstruktivne elemente koji su opterećeni isključivo na pritisak ( kao zidovi, lukovi, šipovi itd. ). Armirani beton zahvaljujući armaturi može nositi i na zatezanje;

- Od betona pa prema tome i armiranog betona može se izraditi forma po želji; - Određeni element se može uraditi monolitno odjednom; - Nosivost na zatezanje armiranog betona otvara mogućnosti za korištenje raznih

konstruktivnih elemenata prilikom gradnje objekta; - Spektar primjene je širok od tankih zakrivljenih ljuski do masivnih brana, itd; - Beton i armirani beton se sastoje od materijala koji su relativno jeftini; - Razvijena tehnika za izradu oplate, skela, miješanje i ugradnju betona; - Primjena nove tehnologije za izradu betona; - «Glatki» beton sa glatkim površinama nije potrebno naknadno presvlačiti

dodatnim slojevima, pa prema tome nema dodatnih troškova; - Armirani beton koji ima dovoljno debeli zaštitni sloj, te ne treba dodatnu zaštitu

od požara; - Čvrstoća betona raste sa starošću.

Nedostaci armiranog betona su slijedeći: - Smanjena otpornost na uticaje okoline – voda, mraz, so, vatra; - Kontrola kvalitete je moguća tek nakon završetka procesa vezivanja; - Podložnost armaturnih šipki koroziji; - Uticaj zagađenja vode i okoline na beton; - Armiranobetonske konstrukcije imaju 20-30 puta veći volumen i 5-10 puta veću

težinu nego npr. čelične konstrukcije. - Težina; - Sanacija i rekonstrukcija armiranobetonskih konstrukcija je zahtjevan zahvat; - Uklanjanje pojedinih konstruktivnih elemenata je skup i težak posao.

Kod pojedinih konstruktivnih elemenata zamjena betona drugim drugim materijalima npr. opeka, drvo, čelik, ima svrhu, ali za određene konstruktivne elemente je nezamjenjiv, kao što su temelji, rezervoari, kanali za otpadne vode, tuneli, i sl. Beton i armirani beton su materijali sa velikim mogućnostima, samo je pitanje kreativnosti inžinjera kako će ih iskoristiti.

1.3 Istorija armiranog betona Sredinom 19.vijeka došlo se na ideju ubacivanja čelika u beton i time je rođen armirani beton. Tačno ime pronalazača armiranog betona nije poznato ali su ostala poznata imena u

Uvod

3

koracima razvoja betona. Izdvojit će se nekoliko značajnih događaja koji su dali početni poticaj razvoju teorije i primjene armiranog betona, kao što su:

o 1849. godine Monier je napravio saksiju za cvijećem od betona armiranog mrežom, o 1855. godine Lambot je napravio čamac od čelikom ojačanog betonskog maltera, o 1861. godine Coignet postavlja prve teoretske postavke objekata od armiranog

betona, o 1868.godine radi se rezervoar kapaciteta 180 m3 o 1871. godine radi se prva zgrada od armiranog betona (Ward's castle New York), o 1875.godine prvi armiranobetonski most (Monier) o 1886. godine Koenen daje prve osnove statičkog proračuna armiranobetonskih

konstrukcija o 1902. godine Morsch pokreće prvi časopis «Der Eisenbetonbau» koji je sadržavao

pravila konstruisanja i dimenzioniranja armiranog betona. Praktično sva saznanja i osnove armiranog betona potiču iz doba prof. Morscha.

o 1928.godine Freyssinet započinje sa razvojem prednapregnutog betona. Nakon drugog svjetskog rata primjena prednapregnutog i armiranog betona dobija veliki zamah, kako za monolitnu gradnju tako i za montažnu gradnju.


4

2.OSNOVE TEHNOLOGIJE IZRADE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2.1 Oplate i skele Beton se može izraditi u bilo kojoj proizvodnoj formi. Forma betona oblikuje se pomoću oplata i skela. Beton se u oplatu može ugrađivati sipanjem ili pumpanjem, što zavisi od konzistencije betona. Nakon ugrađivanja u oplatu beton opterećuje stijenke oplate. Oplata se dimenzionira za preuzimanje ovog opterećenja. Na slici 2.1 prikazana je oplata koja se sastoji od stranica i konstrukcije za ukrućenje.

Slika 2.1 Zidna oplata za zidove i temelje

Stranica oplate može biti od drveta, metala (čelik, aluminijum) ili plastičnih materijala. U današnje vrijeme za stranice oplate koriste se ploče 500 x 2000 x 30 mm. Stranice oplate leže direktno na nosačima oplate od drveta čelika ili aluminijuma (vidi slika 2.2).

Slika 2.2 Nosač oplate od drveta: a) rešetkasti nosač, b)I-nosač, c) punostijeni nosač, d)detalj pričvršćenja

Razlikuju se horizontalne oplate za ploče (međuspratne konstrukcije, kolovozne ploče mostova, itd.) i vertikalne oplate za zidove i stubove.Primjer horizontalne oplate za međuspratne konstrukcije dat je na slici 2.3 .

Osnove tehnologije izrade betonskih konstrukcija

5

Slika 2.3 Princip izrade oplate od drveta

Na slici 2.4 prikazan je primjer rasklopljivog oslonca za ploču.

Slika 2.4 Teleskopski oslonac za ploču

Vertikalne oplate konstruisane su tako da preuzmu horizontalni pritisak, koji se obično prihvata preko zategnutih anker štapova (slika 2.1). Ipak, za vertikalne oplate potrebni su elementi koji dovode oplatu u ispravan položaj (slika 2.5).


6

Slika 2.5 Oslonac za uravnavanje zida oplate

Ukoliko nije moguće preuzeti horizontalni pritisak na oplatu na ovaj način, onda se postavlja teški oslonački blok.

Slika 2.6 Princip oslonačkog bloka sa jedne strane zida oplate


7

2.2 Sastavne komponente svježeg betona Svježi beton je mješavina cementa, vode, agregata i dodataka. 2.2.1 Cement Cement se proizvodi od krečnjaka i gline različitih odnosa, od kojih tehnološkim procesom nastaje cementni klinker iz kojeg mljevenjem dobijamo fini prah – cement. Sastoji se od molekula kalcijum oksida sa silicijum oksidom, aluminij oksidom i željeznim oksidom. Pomiješan sa vodom daje cementnu kašu koja na zraku očvršćava u cementni kamen. Cementna kaša je ujedno i vezivno sredstvo u betonu. Za proizvodnju betona dozvoljeno je primjenjivati samo cemente u skladu sa važećim standardima, tj. cementi sa određenim hemijskim sastavom, finoćom mliva, brzinom vezivanja i čvrstoćom. Cement je podijeljen u kvalitetne klase cementa koje se utvrđuju ispitivanjem na standardnim uzorcima (prizme 4x4x16 cm). Za armirani beton primjenjuje se portland cement. Na slici 2.7 prikazan je vremenski tok razvoja čvrstoće betona u zavisnosti od primjenjenog cementa, pri temperaturi 20o C.

Slika 2.7 Razvoj čvrstoće betona u zavisnosti od vrste primjenjenog cementa

Sa slike se može uočiti da primjenom brzovezujućeg cementa, čvrstoća betona u početku brže raste nego primjenom normalnog cementa, što nam omogućava brže skidanje oplate. Međutim, takođe se uočava da na kraju procesa beton spravljen sa normalnim cementom postiže veću čvrstoću nego sa brzovezujućim cementom. Nominalna vrijednost čvrstoće na pritisak betona za potrebe projekotovanja konstrukcije je čvrstoća na pritisak betonske kocke starosti 28 dana. Temperatura utiče na ubrzanje razvoja čvrstoće. Kod betoniranja pod dejstvom pare (cca. 80o C) može se u roku od 6 sati postići 75 % čvrstoće betona nakon 28 dana. Ovakav postupak se primjenjuje kod prefabrikovane proizvodnje. Kod temperature ispod 5o C praktički nema razvoja čvrstoće u betonu. Međutim prilikom očvršćavanja cementnog kamena oslobađa se hidrataciona toplina (1 kg. portland cementa oslobađa 400 do 500 kJ). Zbog toga se može vršiti betoniranje i na temperaturama koje su blizu tačke mržnjenja. Takođe se može raznim izolacionim postupcima i dodacima zaštititi beton od pretjeranog


8

hlađenja. U principu beton ima određenu otpornost na niskim temperaturama tek nakon postizanja odgovarajuće čvrstoće. 2.2.2 Voda Za proizvodnju betona koristi se normalna čista voda. Morska voda, kisela voda i većina industrijskih voda nisu primjenjive za proizvodnju betona. Cement i voda pomiješani grade cementnu kašu koja očvršćavanjem prelazi u cementni kamen čiji je zadatak povezivanje agregata (pijesak, šljunak). Da bi nastao cementni kamen minimalna potrebna količina vode je 27%. Međutim nije moguće proizvesti beton sa tako malo vode. Takođe dio vode ostaje zarobljen u uskim porama i između zrna agregata. Zbog toga je za hemijski proces potrebno oko 40 % vode od mase cementa. Svaka veća količina vode izlazi izvan pora cementnog kamena i dovodi do značajnog pada čvrstoće betona. Vodocementni faktor w/c je od velikog značaja za čvrstoću betona. Povećanje vodocementnog faktora od 0,4 do 0,75 dovodi do pada čvrstoće za 60 %.

Slika 2.8 Čvrstoća betona u zavisnosti od vodocementnog faktora

Kod vodocementnog faktora w > 0,7 zaštita armature od korozije nije osigurana. Takođe beton sa ovako velikim vodocementnim faktorom nema više dovoljnu otpornost na mraz. Prema tome važi osnovno pravilo: «Što je moguće više suho». 2.2.3 Agregat Agregat koji se koristi za spravljanje betona mora biti dobrog granulometrijskog sastava, kako se ne bi previše cementne kaše trošilo na ispunjavanje šupljina u agregatu. Granulometrijska krivulja prosijavanja agregata mora se nalaziti u upotrebljivom području koje je omeđeno sa Fuler i EMPA krivom.

Slika 2.9 Linija prosijavanja agregata


9

Maksimalna veličina zrna agregata ne smije biti veća od ¼ najmanje dimenzije konstruktivnog elementa ili ne veća od 1,25 puta najmanjeg rastojanja između šipki armature.

Slika 2.10 Maksimalno dozvoljena veličina zrna agregata

Granulometrijski sastav zrna agregata utiče na zbijenost betona i kod dobrog sastava zrna potreban je manji rad na zbijanju betona. Veliki uticaj na obradljivost, čvrstoću, vodonepropusnost i otpornost na mraz ima količina i sastav agregata. Takođe je važno da količina mulja u agregatu ne prelazi dozvoljene granice u skladu sa važećim standardima.

Slika 2.11 Standardne krive prosijavanja agregata

U narednoj tabeli daju se preporučene količine cementa za 1m3 betona, za razne betonske konstrukcije.


10

Konstrukcija Doziranje cementa (kg/m3) - nearmirani beton - beton za masivne zidane stubove - armirani beton kod masivnih građevina u vodi ili na

dubini - armirani beton općenito - armirani i prednapregnuti beton - dodatni beton - trajni, zaštićen od korozije armirani i prednapregnuti

beton - beton za fine podvodne radova - beton za gotove elemente - špric beton

100 = 150

200

220 240 270

300 320

= 450 = 500

2.3 Proizvodnja betona Za proizvodnju betona koriste se slijedeći postupci:

1. Suho mješanje agregata i cementa u mješalici, potom dodavanje vode i ostalih dodataka,

2. Suho mješanje agregata. Odvojeno mješanje vode, cementa i ostalih dodataka u maloj mješalici. Potom dodavanje cementne kaše u mješalicu sa agregatom.

3. Agregat se suho ugrađuje u oplatu. Cementna kaša se ubrizgava sa donje strane pod pritiskom tako da kaša ispuni sve šupljine (prepaktbeton). Ovaj postupak je štedljiv u pogledu utroška cementa i primjenjuje se za podzemne građevine.

Da bi se postigao proizvod zahtjevane kvalitete (beton određene proizvodne klase) treba ispuniti slijedeće preduslove:

1. Ispravno skladištenje cementa, agregata i dodataka; 2. Ispravni uređaji za vaganje cementa, agregata, vode i dodataka; 3. Ispravan rad uređaja za mješanje; 4. Sistem kvalitete, proizvodna laboratorija, eksterna kontrola.

Proizvedeni beton treba da sadrži slijedeće podatke:

- proizvedenu vrstu betona, - vrstu i kvalitetu cementa, - udio cementa, agregata, vode i dodataka u mješavini betona, - vrijeme trajanja mješanja, - konzistenciju betona, - zapreminsku masu mješavine

Sve komponente betona moraju biti ispitane u skladu sa važećim standardima. Odnos mješanja pojedinih komponenti dobija se na osnovu probnih receptura. Beton se može zamijesiti ručno i mašinski. Mašinsko mješanje može biti sa slobodnim padom ili prisilno (turbo mikseri, mikser sa suprotnim tokom struje). Ukoliko se beton transportuje na mjesto ugradnje, tokom transporta treba posebnu pažnju posvetiti eventualnoj segregaciji betona. Na osnovu svhe primjene betona u konstrukciji i načina ugrađivanja određuje se potrebna konzistencija betona. Tečni beton je posebno sklon segregaciji pa se njegov transport u posudama kranom može samo vršiti na kratke relacije, za veće distance mora se primijeniti auto mješalica.


11

Takođe je moguć transport pomoću kontinuirane trake. Konačno beton se može ispumpavati cijevima. Da bi se mogao beton na ovaj način transportovati treba da sadrži veću količinu cementa (min. 270-300 kg/m2). Osim toga sadržaj zrna manjih od 0,25mm u agregatu ne smije biti preveliki. Beton mora biti tečniji. Takođe je dobro koristiti aditive koji stvaraju zračne pore. Na ovaj način beton se može transportovati do visine 320m, s tim da cijev mora uvijek biti puna.

Slika 2.12 Pumpa za beton

Beton se može ugrađivati: 1. Usipanjem

Slika 2.13 Tok usipanja betona

2. Kontraktor postupkom, koji se primjenjuje za betoniranje pod vodom

Slika 2.14 Ugradnja betona kontraktor postupkom

Osim toga radi se i centrifugirani beton, koji se primjenjuje za cijevi, stubove, šipove i špric beton (torkret), koji se transportuje zračnim pritiskom kao suha smjesa, a voda se dodaje na dozi za špricanje. Nakon ugradnje betona u oplatu, vrši se nabijanje betona, dok ne dobijemo zatvorenu površinu betona bez zračnih mjehurića. Najčešće se to radi pomoću vibratora koji se uranjaju u masu betona, izazivaju vibracije i pomjeranje mase betona.


12

Slika 2.15 Nabijanje betona vibratorom

Na narednoj slici su prikazana područja djelovanja jednog vibratora, te ukoliko želimo da bude potpuna efikasnost vibriranja, područja djelovanja vibratora moraju se preklapati. Promjer područja djelovanja vibratora je oko 10 puta promjera vibratora (D = 10d).

Slika 2.16 Područje djelovanja vibratora

Kod uskih elemenata, gdje nije moguća ili nije praktična primjena vibratora koji se uranjaju u masu betona, koriste se oplatni vibratori.


13

3. Svojstva materijala 3.1 Čvrstoća betona Beton je konglomerat koji se sastoji od agregata i cementnog kamena. Cementni kamen nastaje iz cementnog gela, koji sadrži kristale cementa hemijski povezane sa vodom. Svojstva zrnastog skeleta zavise od primjenjenih materijala (lomljeni kamen, okrugli kamen, odlomci stijena,..), veličine zrna i granulometrijskog sastava. Heterogenost svih ovih komponenti utiču na mehaničke osobine. Jedna posebna naučna disciplina «Tehnologija betona», bavi se izradom receptura i proizvodnjom betona. 3.1.1 Mehanizam loma na pritisak Zbog heterogenosti strukture betona, u betonu se zaista dešava nepravilan tok sila. Većinom je modul elastičnosti agregata veći nego modul elastičnosti cementnog kamena. Prema tome krući zrnasti skelet preuzima veći dio naprezanja. Na slici 3.1 šematski je prikazan prijenos sila kroz zrnasti skelet. Pri tome vidimo da se usljed djelovanja sile F javljaju poprečni naponi zatezanja. Sa vodom ispunjene pore pod stanjem naprezanja djeluju kao opruge na zrnasti skelet.

Slika 3.1 Model unutrašnjeg prenosa sila i slom usljed pritiska

Prionljivost između cementnog kamena i agregata je daleko manja nego što su čvrstoće na zatezanje pojedinih komponenti, što predstavlja «slabu kariku lanca». To dovodi do otvaranja mikroprslina (nevidljive golim okom). Sa daljim povećanjem opterećenja dolazi do razaranja veze između cementnog kamena i agregata, sve dok pukotine ne prodru i u sam agregat i cementni kamen. Proces otvaranja pukotina dovodi do preusmjeravanja sile na krući zrnasti skelet u formi vertikalne sile pritiska V, koja djeluje na cementni kamen.Ova preraspodjela naprezanja objašnjava nelinearne plastične deformacije u betonu pod pritiskom. 3.1.2 Mehanizam loma na zatezanje Kod jednoosnog zatezanja mikropukotine se razvijaju okomito na smjer zatezanja, što dovodi do smanjenja površine na koju djeluje opterećenje i povećanja naprezanja. Do loma betona dolazi po jednoj kontinuiranoj pukotini.


14

Slika 3.2 Lom uslijed zatezanja

3.1.3 Mehanizam loma na smicanje Osim objašnjenih mehanizama loma na pritisak i zatezanje susrećemo se i sa mehanizmom loma na smicanje. Pri tome do kidanja veze između cementnog kamena i agregata ne dolazi usljed zatezanja nego smičućeg naprezanja. Slika 3.3 prikazuje šematski ovaj mehanizam loma. Prizme od cementnog kamena kližu po kosim površinama zrna agregata. Rezultat su prsline u nizu između pojedinih prizmi. Površina loma je kosa, oko 20-25o u odnosu na smjer djelovanja sile (slika 3.4).

Slika 3.3 Mehanizam loma na smicanje

Slika 3.4 Stvaranje prslina prilikom loma usljed smicanja


15

3.1.4 Čvrstoća na pritisak Čvrstoća na pritisak betona zavisi od mnogobrojnih parametara, kao što su: oblik i čvrstoća zrna agregata, vrsta i količina cementa, sadržaj vode, vodocementni faktor, postupak nabijanja, njegovanje, uticaji okoline (temperatura, vlažnost zraka), starost i oblik probnih tijela. Kao računska vrijednost za jednoosnu čvrstoću betona uzima se čvrstoća betonske kocke ili prizme njegovane i ispitane u skladu sa važećim standardima. Provjera čvrstoće obavlja se na probnim uzorcima, istovremeno sa izvedbom pojedinog konstruktivnog elementa i pod uslovima propisanim normama. Čvrstoća se prema propisu ispituje na betonu starosti 28 dana. Kao probni uzorak koristi se kocka stranica 200mm, cilindar promjera 150mm, visine 300mm i prizma baze 150mm, visine 600mm. Čvrstoća na pritisak dobijena na kocki starosti 28 dana nosi oznaku fck. Na slici 3.5 prikazani su odnosi čvrstoće na pritisak zavisno od oblika probnog uzorka.

Slika 3.5 Čvrstoća na pritisak u zavisnosti od oblika probnog uzorka

Ova razlika se javlja zato što kod uzorka manje visine ploča svojom krutošću sprečava bočne deformacije i stvara prostorno naponsko stanje (slika 3.6a). Ukoliko se isključi ovaj uticaj (slika 3.6b) dolazi do pada čvrstoće na čvrstoću prizme. Očito je da se naprezanje u betonu u građevini može usporediti sa čvrstoćom na pritisak prizme.

(a) (b)Slika 3.6 Različit unos sile

Zbog toga se za računsku vrijednost uzima čvrstoća na pritisak prizme: fc = fp = 0,75 fck


16

Pravila dimenzioniranja prema Eurocode EC2 zasnivaju se na karakterističnoj čvrstoći cilindra fck starosti 28 dana. Ova čvrstoća je definirana kao 5% fraktilna, tj. samo 5% probnih uzoraka može imati čvrstoću manju od definisane. U narednoj tabeli date su čvrstoće betonskih kocki i cilindara prema EC2.

Klase čvrstoće C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck,kocka 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fck,cilindar 12 16 20 25 30 35 40 45 50 3.1.5 Čvrstoća na zatezanje Čvrstoća na zatezanje betona je znatno manja od čvrstoće na pritisak što je uzrokovano vlastitim naprezanjima koja se javljaju usljed hidratacione topline prilikom vezivanja cementa. Za određivanje čvrstoće na zatezanje koriste se indirektne metode preko čvrstoće na savijanje i na cijepanje. Čvrstoću na zatezanje posebno je jednostavno odrediti na prizmi dimenzija 150/150/600mm kao što je prikazano na slici 3.7. Čvrstoća na zatezanje usljed savijanja je otprilike duplo veća nego aksijalna čvrstoća na zatezanje. fct,aks = 0,5 fct,savijanje

Slika 3.7 Određivanje čvrstoće na zatezanje usljed savijanja

Ukoliko nema drugog načina da se izmjeri, čvrstoća na zatezanje može se približno odrediti preko čvrstoće na pritisak :

fct,m = 0,3 fck2/3


17

3.1.6 Dvoaksijalna i troaksijalna čvrstoća betona Sa razvojem novih metoda proračuna, javlja se i potreba za opisivanjem zakona ponašanja materijala bliže stvarnosti. Pri tome treba uzeti u obzir da u stvarnosti imamo prostorno naponsko stanje. Samo kod elemenata kao što su tanke ljuske, ploče i zidovi, treću komponentu napona možemo zanemariti. Na slici 3.8 dat je dijagram dvoaksijalne čvrstoće betona u bezdimenzionalnom obliku, u odnosu na jednoaksijalnu čvrstoću betonske prizme.

Slika 3.8 Čvrstoća betona pod dvoaksijalnim naprezanjem

Čvrstoća betona pod troaksijalnim opterećenjem je jedna od glavnih tema rasprava u zadnjih dvadesetak godina. Teoretski definisati ovaj problem je dosta teško. Ekasperimentalno je dobijen oblik troaksijalne plohe loma prikazan na slici 3.9

Slika 3.9 Ploha troaksijalnog loma


18

Svestrani pritisak se javlja na primjer kada je beton izložen koncentričnom opterećenju ili lokalno rasprostrtom opterećenju, gdje je poprečna deformacija spriječena okolnim neopterećenim betonom i/ili armaturom (uzengije). Ukoliko je poprečni presjek izložen djelimičnom pritisku, tok glavnih napona (trajektorije) izgledaju kao na slici 3.10. Puna linija su naponi zatezanja, a isprekidana naponi pritiska.

Slika 3.10 Trajektorije naprezanja kod koncentričnog opterećenja

Slika 3.11 Rezultante polja naprezanja i

skretne sile

Troaksijalno naponsko stanje pritiska javlja se i kada su spriječene poprečne deformacije betona obuhvatanjem armaturom.

Slika 3.12 Betonski cilindar sa čeličnom oblogom

Beton će otkazati tek kada otkaže čelična obloga. Sličan efekat se dobija ako se čelična obloga zamijeni sa armaturom u vidu uzengija ili spirale (slika 3.13). U ovom slučaju beton isto tako otkaže tek kada poteče armatura.


19

Slika 3.13 Betonski cilindar obuhvaćen armaturom

3.1.7 Dinamička čvrstoća Pod dejstvom često promjenljivog, odnosno dinamičkog opterećenja, dolazi do promjene naprezanja od donje do gornje granice naprezanja, što dovodi do oštećenja betonskog tijela i izgradnje prslina, koje smanjuju čvrstoću. Kao «Čvrstoća na zamor» ili «Čvrstoća na trajno oscilirajuće opterećenje» označava se gornja granica naprezanja kod koje za 2 x 106 ciklusa opterećenja dolazi do loma (vidi slika 3.14).

Slika 3.14 Dinamička čvrstoća na lom nakon nakon 2 x 106 ciklusa opterećenja

Slika 3.14 pokazuje gornje naprezanje σo ali isto tako i njemu pripadajuće donje naprezanje σu tj. amplitudu naprezanja Δσ. Najmanja dinamička čvrstoća je pri σu = 0 i iznosi 60% statičke čvrstoće. Ukoliko je broj ciklusa manji od n0 = 2 x 106, može se čvrstoća na osiliranje preračunati prema slici 3.15.


20

3.2 Deformaciona svojstva betona Deformaciona svojstva betona zavise, kao i čvrstoća, od mnogobrojnih faktora. Pri tome su najvažniji:vrsta agregata, oblik zrna, veličina zrna, granulometrijski sastav, stepen zaprljanosti, čvrstoća i elastičnost cementnog kamena, klasa cementa, količina cementa, vodocementni faktor, konzistencija, kvalitet vode, temperatura, vlažnost okoline prilikom vezivanja, vrsta i količina dodataka, način mješanja, način ugradnje i obrade, oblik i vrsta oplate, uticaji okoline (vlažnost, temperatura, itd.), vrsta opterećenja, vrijeme nanošenja opterećenja (starost betona), brzina nanošenja opterećenja. Deformacije betona mogu se podijeliti na elastične i plastične deformacije pod kratkotrajnim i dugotrajnim opterećenjem. Pod kratkotrajnim opterećenjem podrazumjeva se opterećenje u trajanju od jedne sekunde do dana. Šema komponenti kratkotrajnih i dugotrajnih deformacija

Kratkotrajne deformacije Naponski ovisne Naponski neovisne (opterećenje) (promjena temperature) reverzibilne ireverzibilne reverzibilne (elastične) (plastične) Dugotrajne deformacije Naponski ovisne Naponski neovisne (puzanje) (skupljanje) reverzibilne ireverzibilne djelimično (zakašnjele (tečenje) reverzibilne elastične) 3.2.1 Kratkotrajne deformacije

Deformaciono ponašanje centrično napregnute prizme može se relativno jednostavno izmjeriti i prikazati u obliku σ -ε dijagrama. Dijagramom σ-ε opisuje se zakon ponašanja materijala i vidimo na slici lijevi da je za prizmu izrazito nelinearan. Međutim dijagram ponašanja materijala zavisi i od provedbe eksperimenta, kao što je pokazano na slici 3.17. Na slici 3.17a je kontrolisano nanošenje opterećenja, a na slici 3.17b kontrolisane su deformacije prizme. Na slici 3.17 takođe je vidljivo da je kod betona sa manjom čvrstoćom, kriva razvučenija i skraćenje pri lomu veće.


21

Slika 3.17 Zavisnost zakona ponašanja materijala od provedbe postupka ispitivanja i klase

čvrstoće betona Za potrebe proračuna koristi se pojednostavljeni dijagram ponašanja betona prikazan na slici 3.18.

Slika 3.18 Idealizirani zakon ponašanja betona (parabola + pravougaonik)

3.2.1.1 Linearan elastični dio deformacija U području σc < fc / 3 beton se ponaša približno linearno. Pri tome se može kriva σ-ε do otprilike područja σc = 0,5 fc aproksimirati sa pravcem (sekantom), koja se sa krivom siječe u tački σc = 0,4 fc . Nagib ove prave označava se kao modul elastičnosti (sekantni modul). Ukoliko nemamo tačnijih podataka, sekantni modul može se odrediti prema izrazu iz EC:

3/1ckcm )8f(9500E +⋅= (3-1)

Početni modul elastičnosti Eco je nagib tangente na σ -ε krivu u ishodištu i veći je oko 10% od sekantnog modula. Eco ≈ 1,1 . Ecm (3-2) Modul elastičnosti se mijenja sa starošću betona,

3/1

28c

c

28c

c

f)t(f

E)t(E

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= (3-3)


22

Dakle, u području σc < 0,5 fc može se uzeti da se beton ponaša približno linearno elastično, pa prema tome vrijedi, σc = εc . Ecm (3-4)

Slika 3.19 Podužna i poprečna deformacija betonskog cilindra

Betonski cilindar (slika 3.19) visine «l» i promjera «d» deformiše se pod jednoaksijalnim pritiskom, F = σ . A (3-5) u smjeru sile za vrijednost,

lEAFl

Ell )( ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ=⋅ε=Δ − (3-6)

a u poprečnom smjeru za vrijednost Δd = εq . d (3-7) U linearnom području (σc < 0,5 fc) poprečna deformacija je linearno zavisna od podužne deformacije. εq = -ν ε (3-8) Za poprečne deformacije može se uzeti ν = 0,2. 3.2.1.2 Nelinearan plastični dio deformacija

Slika 3.20 Plastični dio kratkotrajnih

deformacija

Nelinearni dio kratkotrajnih deformacija većinom nije reverzibilan (plastičan), što se može vidjeti iz σ -ε dijagrama sa slike 3.20 pri rasterećenju i ponovom opterećenju.


23

3.2.2 Dugotrajne deformacije Dugotrajne deformacije betona sastoje se iz dva dijela, poznata kao deformacije zavisne od opterećenja (puzanje) i nezavisne od opterećenja (skupljanje). Ukoliko opterećenje djeluje polagano, kratkotrajnoj deformaciji, εel = σ / E (3-9) pridodaje se pretežno plastično puzanje, kao dodatni dio deformacija. Sve dok je ispunjen uslov σc < 0,45 fc vrijedi linearan odnos sa elastičnom deformacijom i raste do konačne vrijednosti, εcc = ϕn . εel (3-10) gdje su: εcc – deformacija betona usljed puzanja, ϕn – konačni koeficijent puzanja

εel – elastična deformacija N slici 3.21 prikazan je vremenski tok deformacije betonskog tijela, koje je opterećeno u trenutku t0 i rasterećeno u trenutku t1.

Slika 3.21 Vremenski razvoj deformacije betona

Pri tome treba uzeti u obzir da je elastična deformacija betona manja što se kasnije nanosi opterećenje, zbog povećanja modula elastičnosti betona u vremenu. Međutim ovaj uticaj je mali. Jači uticaj na koeficijent puzanja ima trenutak nanošenja opterećenja. Nadalje koeficijent puzanja zavisi od klimatskih uslova (relativna vlažnost, temperatura) i od okvašene površine betona u odnosu na volumen. Za ovaj uticaj uveden je pojam efektivni promjer presjeka i dat je izrazom,

uA2

h c0 ⋅λ= (3-11)


24

gdje su: h0 – efektivni promjer presjeka,

Ac – površina poprečnog presjeka, u – obim površine izložene isušivanju, λ - koeficijent zavisan od vlažnosti zraka.

U slučajevima kada nije bitna velika preciznost u određivanju puzanja, može se koristiti koeficijent iz tabele 3.1. Tabela 3.1 Konačni koeficijent puzanja

Veličina 2Ac/u (mm) 50 150 600 50 150 600 Starost pri

opterećenju t0 (dani) Suha sredina (unutra)

(RH = 50%) Vlažna sredina (vani)

(RH = 80%) 1 7 28 90 365

5,4 3,9 3,2 2,6 2,0

4,4 3,2 2,5 2,1 1,6

3,2 2,5 2,0 1,6 1,2

3,5 2,5 1,9 1,6 1,2

3,0 2,1 1,7 1,4 1,0

2,6 1,9 1,5 1,2 1,0

Vrijednosti u tabeli važe za normalni beton plastične konzistencije. Za vlažan beton date vrijednosti se uvećavaju za 25%, za krući beton umanjuju za 25%. Svaki veći udio cementa i veći vodocementni faktor znači i veću deformaciju puzanja. Ako se tijelo, koje je bilo dugotrajno opterećeno (t0 – t1) , rastereti, susrećemo prvo elastične povratne deformacije, koje su manje od početnih elastičnih deformacija, zbog povećanja modula elastičnosti u promatranom trenutku. Isto tako javlja se i jedan dio povratnih deformacija puzanja. Na kraju, može se sažeto reći, da su deformacije puzanja manje što se beton kasnije optereti, što se duže drži u vlazi, što je manji dodatak cementa i što je manji vodocementni faktor. Skupljanje betona je dugotrajno skraćenje neopterećenog betonskog tijela. Porast skupljanja u zavisnosti od vremena prikazan je na slici 3.22. Nakon otprilike godinu dana dostiže se vrijednost konačnog koeficijenta skupljanja εcs. Koeficijent skupljanja zavisi od sastava betona, klimatskih uslova okoline, dimenzija betonskog tijela. Ukoliko nije potrebna neka posebna preciznost koeficijent se može očitati iz tabele 3.2.

Slika 3.22 Vremenski tok skupljanja


25

Tabela 3.2 Konačni koeficijent skupljanja Lokacija elementa Relativna

vlažnost (%) 2Ac / u (mm) <150 600

Unutra Vani

50 80

0,60 0,33 0,50 0,28

3.2.2.1 Objašnjenje pojedinih dijelova dugotrajnih deformacija Pod skupnim pojmom PUZANJE sumirane su razne vremenske deformacije zavisne od opterećenja. One su rezultat kompleksnih hemijsko-fizičko-mehaničkih procesa i do sada nisu u potpunosti razjašnjene. Zbog razumjevanja koji sve parametri imaju značaja za određivanje koeficijenta puzanja, u nastavku su kratko opisane pojedine komponente. a) Odgođene elastične deformacije Odgođene elastične deformacije su posljedica, u prvoj liniji, preraspodjele naprezanja sa viskoznog cementnog kamena na elastični agregat. One su stoga nezavisne od sastava, starosti i oblika betonskog tijela i dostižu oko 40% početnih elastičnih deformacija. Njihov vremenski razvoj prikazan je na slici 3.23. Isto važi za elastične povratne deformacije nakon rasterećenja.

Slika 3.23 Vremenski razvoj odgođenih elastičnih deformacija

b) Odgođene plastične deformacije (tečenje) Tečenje možemo podijeliti u slijedeće dijelove:

o Brzo početno tečenje – koje se dešava unutar prvog dana naprezanja. Uglavnom su nepovratne deformacije i njihov intenzitet opada sa povećanjem starosti betona.

o Osnovno tečenje – slično kao odgođene elastične deformacije razvijaju se nezavisne od razmjene vlage sa okolinom, zbog viskoznih deformacija cementnog kamena. Takođe su nepovratne. Zavise od količine cementa i konzistencije svježeg betona.

o Tečenje isušivanjem – dešava se isušivanjem kapilarne vode. Usko je povezano sa skupljanjem pa se stoga označava i kao skupljanje puzanja. Usljed isušivanja dolazi do pokretanja molekula vodenog gela, što ima za posljedicu viskozne deformacije.


26

c) Vremenske deformacije nezavisne od opterećenja (skupljanje) Razlika skupljanja u odnosu na tečenje isušivanjem je samo ta da se proces ove deformacije odvija i bez opterećenja. Skupljanje, kao i tečenje isušivanjem, u slučaju ponovnog vlaženja betona, je djelimično povratno. 3.2.2.2 Proračun deformacije puzanja Za podatke date na slici 3.21, u trenutku t0 nanijeto naprezanje (σc < 0,4 fck) koje djeluje do trenutka t1, deformacija puzanja je, ε(t1 , t0) = (σc/Ec28) ϕ (t1, t0) (3-12) Između deformacije puzanja za vremenski period t0 do t1 i naprezanja usljed kojeg nastaje puzanje σc postoji linearna zavisnost (princip linearnosti). Osim toga važi zakon superpozicije, tj. deformacija puzanja, za naprezanja nanesena u raznim vremenskim trenucima, može se sabirati.

a) Određivanje koeficijenta puzanja ϕ (t1, t0) Koeficijent puzanja sastoji se iz tri dijela: ϕ (t1, t0) = ϕd . βd (t1, t0) + βa (t0) + ϕf [βf (t1) - βf (t0)] (3-13) Prvi dio izraza ϕd . βd (t1, t0) odnosi se na odgođene elastične deformacije. βd opisuje vremenski razvoj (slika 3.23). ϕd je faktor koji određuje konačnu vrijednost odgođenih elastičnih deformacija i iznosi ϕd =0,4; tj. 40% kratkotrajnih deformacija. Odgođene elastične deformacije su povratne. Nakon rasterećenja vraćaju se u skladu sa funkcijom βd . Drugi dio izraza βa (t0) opisuje brzo početno puzanje. Zavisi od starosti betona u trenutku opterećenja.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=β

∞c

0c0a f

)t(f18,0)t( (3-14)

Brzo početno puzanje je nepovratna deformacija. Sa trećim izrazom ϕf [βf (t1) - βf (t0)] obuhvaćene su zajedno deformacije osnovnog tečenja i tečenja isušivanjem. Osnovni koeficijent tečenja ϕf možemo podijeliti na dva dijela, ϕf = ϕf1

. ϕf2 (3-15)

Uslovi okoline (vlažnost zraka) i konzistencija betona dati su preko faktora ϕf1. Tabela 3.3 Osnovni koeficijent tečenja ϕf1; osnovna mjera skupljanja εs1, koeficijent debljine presjeka λ

Okolina Relativna vlažnost zraka

Osnovni koeficijent puzanja ϕf1

Osnovna mjera skupljanja ϕs1

Koeficijent debljine λ

Voda 0,8 +0,00010 30 Vrlo vlažan zrak 90% 1,0 -0,00013 5

Općenito na otvorenom 70% 2,0 -0,00032 1,5

Vrlo suh zrak 40% 3,0 -0,00052 1


27

Vrijednosti iz tabele 3.3 ϕf1 i ϕs1 važe za beton plastične konzistencije. Za kruti beton smanjuju se za 25%, za tečniji beton uvećavaju se za 25%. Osim uticaja vlažnosti okoline bitnu ulogu igra i površina izloženog betona. Ovaj uticaj dat je preko koeficijennta ϕf2 u zavisnosti od efektivnog promjera presjeka h0 (slika 3.24).

Slika 3.24 Uticaj efektivnog promjera presjeka na puzanje

Slika 3.25 Vremenski razvoj tečenja

Funkcija βf na slici 3.25 opisuje vremenski razvoj tečenja. Isto tako je zavisna od efektivnog promjera presjeka h0.

b) Određivanje mjere skupljanja εs (t1, t0) Deformacije skupljanja od vremena t0 do t1 definiše se izrazom : εs (t1, t0) = εs0 [βs (t1) - βs (t0)] (3-16) Osnovna mjera skupljanja εs0 može se podijeliti na dva dijela, εs0 = εs1 . εs2 (3-17) εs1 zavisi od uslova okoline i kozistencije svježeg betona (tabela 3.3), a εs2 predstavlja uticaj efektivnog promjera presjeka h0 (slika 3.26).


28

Slika 3.26 Uticaj efektivnog promjera presjeka na skupljanje

Na slici 3.27 dana je funkcija βs, koja opisuje vremenski razvoj skupljanja u zavisnosti od efektivnog promjera presjeka h0.

Slika 3.27 Vremenski razvoj skupljanja


29

3.3 Čelik za armiranje Za armiranje betonskih konstrukcija koriste se čelici pod nazivom betonski čelik ili čelik za armiranje. Betonski čelik dijeli se prema:

- profilu, na žice ∅≤12 mm i šipke ∅>12 mm; - mehaničkim karakterisktikama (granica popuštanja, čvrstoća na zatezanje i

rastezljivost pri slomu probnog uzorka na dijelu njegove dužine 10∅), na visoko i normalno duktilne čelike;

- zavarljivosti, na nezavarljiv, zavarljiv pod određenim uvjetima i zavarljiv; - površinskoj obradi pri izvlačenju, na glatke i rebraste, uključujući i zavarene mreže; - vrsti obrade, na toplo valjani, toplo valjan i hladno obrađen i termički poboljšan

čelik. Oznaka čelika sastoji se od dva broja, od kojih prvi označava normiranu karakterističnu granicu popuštanja fyk, a drugi normiranu karakterističnu čvrstoću pri kidanju ftk. Proizvođač čelika za armiranje garantuje za slijedeće mehaničke karakteristike:

- karakterističnu čvrstoću pri kidanju (vlačna čvrstoća) (ftk); - karakterističnu granicu popuštanja (fyk); - rastezljivost poslije kidanja na dužini od 10∅ (δ); - sposobnost savijanja i povratnog savijanja šipke oko trna određenog promjera s

određenim uglom savijanja bez pukotina šipke u zategnutom i pritisnutom pojasu; - karakterističnu dinamičku čvrstoću (granicu zamora).

Dokaz svih nabrojenih mehaničkih svojstava armature obavlja se prema standardima ispitivanja čelika za armiranje. Glavni uslov dobre armiranobetonske konstrukcijeje potpuna saradnja između betona i čelika, što znači da čelik mora biti dobro i čvrsto obavijen betonom kako ne bi nastupilo klizanje armature u betonu. Pri malim posmičnim naponima između armature i betona zadovoljava glatki okrugli presjek. S izradom kvalitetnijeg čelika rasla je čvrstoća čelika, pa je sve više prijetila opasnost da se čelik odcijepi od betona. Sprečavanje klizanja postiže se upotrebom rebrastih profila. Rebrasti čelici imaju znatno bolju prionljivost od glatkih pa dopuštaju upotrebu većih napona s tim da se mogu očekivati pravilno raspoređene pukotine u betonu manjih širina. Od čelika za armiranje zahtijeva se velika rastezljivost, tj. veliko relativno izduženje prije sloma. To je potrebno u prvom redu radi izravnavanja napona u pojedinim šipkama armature na mjestu pukotina. 3.3.1 Vrste čelika za armiranje Čelik koje se koristi za armaturu dobavlja se u šipkama, kolutovima i tablama raznih oblika i presjeka, raznih dužina, a i raznih kvaliteta. Na sl. 3.28. prikazano je nekoliko oblika armatura koje se upotrebljavaju u armiranom betonu:

- glatka armatura (1); - rebrasta armatura (2,3 i 4); - sukana armatura (5 i 9); - sukana rebrasta armatura (6);


30

- BI-armatura (7); - Mrežasta armatura od glatke i rebraste žice (8).

Slika 3.28 Oblici armature

Glatka armatura je od prirodnog čelika (GA 240/360). Rebrasta armatura je od visokovrijednoga prirodnog tvrdog čelika dobivenog prikladnim legiranjem (RA 400/500). Sukani profili su hladno obrađeni čelici. Mrežasta armatura je također od hladno obrađenih glatkih i rebrastih žica koje se zavaruju tačkasto elektrootporom u krutu mrežu (MAG 500/560 i MAR 500/560). BI-armatura sastoji se od dvije hladno obrađene žice međusobno spojene poprečnim šipkama od prirodnog čelika i zavarena. Nije dopuštena za dinamičko opterećene konstrukcije i konstrukcije koje moraju biti nepropusne za vodu (BiA-680/800). Svojstva armaturnog čelika opisana su dijagramom napon – deformacija (dijagram σ - ε). 3.3.1.1 Radni dijagram prirodnog čelika (GA 240/360) Do granice proporcijonalnosti σp dilatacija čelika proporcionalna je naponu. Prirodni čelik se do granice elastičnosti σe ponaša uglavnom kao elastičan materijal tj. nakon rasterećenja vraća se gotovo na prvobitnu dužinu.


31

Slika 3.29 Dijagram σ - ε za prirodni čelik

Tačka F na dijagramu predstavlja donju granicu popuštanja. Dužina A-F je uslovna plastična deformacija koja označava granicu popuštanja (velikih izduženja) i već se standardno uzima da iznosi 2 %o. Tačka B prestavlja gornju granicu popuštanja. Vršna tačka dijagrama L predstavlja čvrstoću na zatezanje ft, tj. najveći napon koji šipka može podnijeti i deformaciju nakon koje dolazi do kontrakcije presjeka. U tački K nastaje slom. 3.3.1.2 Radni dijagram hladno obrađenog čelika

Slika 3.30 Dijagram σ - ε za prirodni hladno obrađeni čelik

Naknadnom hladnom obradom čelika mijenjaju se karakteristike materijala, obično u korist boljih svojstava. Cilj tog postupka je korištenje manje količine čelika uz nešto veći utrošeni rad na obradu.


32

Žice se ugriju na 900-1000° C te hlade u olovnim kupkama i provlače, pri sobnoj temperaturi, kroz kalibriranu matricu 5-6 puta. Kod prirodnih čelika još je velika razlika u neiskorištenim naponima od granice popuštanja do čvrstoće na zatezanje. Ako se šipka napreže do blizu njene čvrstoće, dakle iznad granice popuštanja fy , do tačke H na dijagramu, pokazuje se vraćanje deformacija po liniji O* - H. Pri ponovnom naprezanju deformisat će se ta šipka po sličnom dijagramu σs

* - εs*. Takav čelik moći će se

upotrebljavati do nove granice popuštanja fy*, koja je znatno više nego prije.

Granica popuštanja hladno obrađenog čelika nije više tako jasno istaknuta kao kod prirodnih čelika. Uzima se zato dogovorno za granicu popuštanja napon koji izaziva trajne deformacije izduženja od 2%o. 3.3.1.3 Radni dijagram visokovrijednog prirodno tvrdog čelika (RA 400/500) Visokovrijedni čelici dobiveni legiranjem, a ne obrađivanjem hladnim postupkom pokazuju sve karakteristike prirodnih čelika s nešto nižom granicom izduženja εu i ne tako naglašenom granicom popuštanja (sl. 3.31).

Slika 3.31 Dijagram σ - ε za visokovrijedni prirodno tvrdi čelik

3.3.2 Karakteristike pojedinih vrsta čelika za armiranje Karakteristične vrijednosti za granicu popuštanja i čvrstoću na zatezanje određuju se metodom statistike i vjerovatnoće na najmanjem broju od 30 uzoraka ako je ispunjen uslov normalne raspodjele.

σ⋅λ−= tmtk ff gdje je :

ftm – srednja vrijednost rezultata ispitivanja ftk – karakteristična vrijednost rezultata ispitivanja σ – standardna devijacija

Karakteristike pojedinih vrsta čelika date su u tablici 3.4


33

Tablica 3.4

Karakteristike pojedinih vrsta čelika Savijanje Promjer

šipke Ø fyk ftk δ Trn Kut Din. Čvrst. Es Red

Broj Oznaka

armature Vrsta

armature mm N/

mm2N/

mm2 % D α N/ mm2

N/ mm2

1. GA 240/360

Glatka armatura 5÷36 240 360

20 18 1) 2)

2 Ø 180° -

2. RA

400/500-1

Rebrasta armatura 6÷14 -

3. RA

400/500-2

Rebrasta armatura 6÷40

400 500 10 5 Ø 90°4)

2005)

4.

MAG 500/560 MAR

500/560

Zavarene mreže od

hladno vu- čene glatke i rebraste

žice

4÷12 500 560 6 4 Ø3) 180° 1205)

5. BiA 680/800

Armatura specijalnog

oblika 3.1÷11.3 680 800 5 6

Ø6) 180°6) 1705)

1

.9*1

05

÷

2.0

*105

÷

2

.0*1

05

2.1

*105

6. GA 220/340

Glatka armatura 5÷12 220 340 18 2 Ø 180° - Kao

1. Napomene : 1) Za ø ≤ 18 mm. 2) Za ø > 18 mm. 3) Ispitivanje na savijanje potrebno i obavezno samo za mreže koje se upotrebljavaju kao savijene (spone). 4) Osim na savijanje ovaj se čelik ispituje na povratno savijanje oko trna promjera 7 ø, uago savijanja 45°, a ugao povratnog savijanja 22.5°. 5) Dinamička čvrstoća dokazuje se na uzorcima čelika u betonu u savijenom obliku za armaturu od 1. do 3. , a za armaturu od 4. do 5. na samim armaturama uključujući i zavarene čvorove. 6) Odnosi se na savijanje žice na mjestu vara. 3.3.2 Evropske norme za betonski čelik EN 10080 Nacrt Europske norme za betonski čelik EN 10080 definira karakteristične vrijednosti za čvrstoću na zatezanje čelika ftk, te granicu popuštanja fyk koja odgovara naponu kod kojeg je plastična deformacija 2%o . Mjera duktilnosti čelika za armiranje izražena je preko deformacije εu i odnosa (ft/fy)k. Deformacija εu odgovara čvrstoći čelika ft.


34

Dobra prionljivost armature i betona postiže se rebrastim čelikom kojem je parametar razvijena površina rebra. Ona mora biti jednaka ili veća normiranoj vrijednosti. Zahtjev za armaturni čelik je da je zavarljiv što je potrebno dokazati rezultatima ispitivanja. Vrste čelika opisuju se preko :

- fyk – granice popuštanja u N/ mm2; - εuk i (ft/fy)k – parametar duktilnost; - nazivnog promjera i svedene površine rebra fR; - podobnosti na savijanje

Svaki isporučitelj armature mora imati potvrdu rezultata ispitivanja za tražena svojstva betonskog čelika. U europskim normama definisane su dvije klase duktilnosti: - visoka duktilnost (klasa H) εuk > 5%; (f t/fy)k > 1.08; - normalna duktilnost (klasa N) εuk > 2.5%; (ft/fy)k > 1.05. S obzirom na vanjsku površinu razlikuju se: - rebrasta armatura (dobra prionljivost); - glatka armatura (smanjena prionljivost). Zapreminska masa čelika iznosi 7850 kg/m3, a temperaturni koeficijent istezanja

16Ts K1010 −−⋅=α . Za srednji modul elastičnosti može se koristiti vrijednost Es = 200000

N/mm2. Prema budućim europskim normama EN 10080 i njihovim oznakama proizvodit će se slijedeće vrste čelika: Šipke B 500 H, B 500 N Kolutovi B 500 H, B 500 N

Zavarene mreže B 500 H, B 500 N.

Oznaka B 500 H znači čelik za armiranje kojem je granica popuštanja 500 N/mm2 visoke duktilnosti, dok oznaka N predstvalja čelik normalne duktilnosti. Za čelike koji će biti izloženi dinamičkom naprezanju potrebno je poznavati čvrstoću zamora (trajnu čvrstoću) 2σa = σ0 – σu (raspon oscilacija). Za šipke i kolutove trajna čvrstoća iznosi 200 N/mm2, a za mreže 100 N/mm2 ( 2

0 mm/N300=σ ).

Uslovi zajedničkog rada betona i armature

35

4. USLOVI ZAJEDNIČKOG RADA BETONA I ARMATURE 4.1 Prionljivost čelika i betona

Do sada su mehaničke karakteristike betona i armature razmatrane zasebno. Međutim osnovni uslov njihovog zajedničkog rada je prionljivost. Prionljivost omogućava preraspodjelu sila između armature i okolnog betona, što je osnovni uslov teorije armiranobetonskih konstrukcija. Isto tako što su bolja svojstva prionljivosti povoljniji je mehanizam otvaranja prslina. 4.2 Načini prenosa sile između betona i armature

Kod armaturnih šipki prijenos sile između betona i armature ostvaruje u početku adhezijom, a nakon savladavanja sila adhezije trenjem. Efekat prenosa sile zavisi od hrapavosti površine i poprečnog pritiska na šipku. Glatke armaturne šipke, zbog svojih loših svojstava prionljivosti, danas se rijetko koriste. Ukoliko se koriste ankerisanje šipki potrebno je uraditi sa kukom. Kod zavarenih armaturnih mreža u prenosu sile učestvuju poprečne šipke, koje moraju preuzeti trećinu sile prihvaćenu od strane podužnih šipki.

Slika 4.1 Prionljivost kod BI čelika

Danas se uglavnom koristi rebrasti čelik, kojim se aktivira efekat uklinjenja između armature i betona. Betonska konzola smještena između rebara čelika preuzima silu. Čvrstoća prionljivost zavisi od oblika rebara i može se opisati kroz odnos površine rebra i površine betonskog cilindra koji obavija rebra (slika 4.2).

Slika 4.2 Parametarska definicija površine rebara


36

Dobra prionljivost postiže se uz poštivanje slijedećih uslova: fR > 0,040 za 4mm < Φ < 6mm fR > 0,045 za 6mm < Φ < 12mm fR > 0,055 za 12mm < Φ < 50mm Maksimalna vrijednost do koje ima smisla povećavati fR je fR=0,15. Za veće vrijednosti nema povećanja čvrstoće prionljivosti. Na slici 4.3 prikazan je mehanizam nosivosti kroz prianjanje betona i armature. Kos rebrastog čelika prionljivost se ostvaruje trenjem i efektom uklinjavanja rebara u beton. Sila prionljivosti širi se kroz okolni beton. Ovo naprezanje na pritisak stoji u ravnoteži sa podužnim naponima zatezanja σL i prstenskim naponima zatezanja σR. Poprečni pritisak na armaturne šipke od opterećenja i skupljanja betona svakako će doprinijeti boljoj prionljivosti.

Slika 4.3 Nosivost kroz prionljivost betona i armature

4.3 Čvrstoća prionljivosti Postoje dvije vrste sloma prionljivosti:

a) smičući slom – betonska konzola između rebara je prerezana (slika 4.2) τbd = fbd (4-1)

b) slom prstenskog zatezanja – prstenski naponi zatezanja dostižu nosivost betona na zatezanje. Dolazi do podužnih prslina uzduž armature.

Čvrstoća prionljivosti zavisi od od dimenzija betonskog elementa u pravcu betoniranja i položaja i nagiba armaturnih šipki. Razlikujemo dobre uslove prianjanja PBI i loše uslove prianjanja PBII. Loši uslovi prianjanja javljaju se u gornjem dijelu betonskog tijela koje ima debljinu d>250mm i ako je nagib armature u odnosu na horizontalu manji od 450. Pad čvrstoće u području PBII nastaje jer je beton u gornjem dijelu uvijek manje zbijen od onoga u donjem dijelu. Osim toga javlja se efekat «obješenja» betona, tj. beton se povlači prema dole i ostavlja ispod šipke prostor u kojem se formira vodena ćelija, koja nakon isušivanja ostaje praznina (slika 4.4).


37

Slika 4.4 Smanjena prionljivost u području PBII

Definicija područja prionljivosti prikazana je na slici 4.5.

Slika 4.5 Područja prionljivosti


38

Za područje dobre prionljivosti PBI i šipke sa dobrim svojstvima prionljivosti promjera ds < 32mm ili zavarene mreže od rebrastih šipki u EC2 date su računske vrijednosti čvrstoće prionljivosti fbd. fck (N/mm2) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 fbd(N/mm2) 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 3,9 4,2 4,5

U području loše prionljivosti PBII vrijednosti iz tabele umanjuju se za 30%. 4.4 Osnovna dužina ankerisanja Dužina ankerisanja lbd je dužina potrebna da armaturna šipka preuzetu silu zatezanja pomoću napona prianjanja ankeriše u beton. bdbdydss lfUfAZ ⋅⋅=⋅= (4-2)

4πd

A2s

s⋅

= (4-3)

π⋅= sdU (4-4)

bd

ydsbd f

f4d

l ⋅= (4-5)

Ukoliko dužina ankerisanja nije dovoljna dolazi do prekoračenja prstenskih napona zatezanja i pojave prslina uzduž armaturnih šipki. 4.5 Pomjerljivo prianjanje

Slika 4.6 Pomjerljivo prianjanje


39

Na slici 4.6 prikazana je armatura položena u betonsku prizmu, opterećena na oba kraja silom zatezanja Fs čiji intenzitet približno odgovara eksploatacionom opterećenju. Čelik ima dilataciju koja je oko 10 puta veća od dilatacije sloma okolnog betona 0,00010 < εct < 0,00025). Dakle, između betona i armature javljaju se određene razlike u dilatacijama. One su moguće samo ako između betona i armature imamo relativni pomak (klizanje). Relativni pomak između betona i armature javlja se sa otvaranjem prslina (slika 4.7).

Slika 4.7 Relativno pomjeranje između betona i čelika

Odvajanje betona od šipke najveće je u blizini pukotine te se postepeno smanjuje sa udaljenošću od pukotine. Zbog napona prionljivosti beton je napregnut ekscentričnim zatezanjem, što ima za posljedicu pojavu propratnih prslina na mjestima koncentracija naprezanja, a to su uglovi betonskog zuba između rebara. Zavisnost između napona prianjanja τbd i relativnog pomjeranja (klizanja) δ opisuje osnovni zakon prionljivosti. Monogobrojni eksperimenti pokazali su približno linearan odnos između čvrstoće prionljivosti i čvrstoće na pritisak kocke. Na slici 4.8 dati su zakoni prionljivosti u zavisnosti od profila armaturne šipke.

Slika 4.8 Zakon prionljivosti


40

Čvrstoća prionljivosti i zakon prionljivosti određuju se pokusom izvlačenja prikazanim na slici 4.9.

Slika 4.9 a) Određivanje zakona prionljivosti; b)Određivanje srednje čvrstoće prionljivosti Srednja vrijednost napona prianjanja određuje se za intenzitete sila pri kojim je izmjereno relativno pomjeranje (klizanje) δ1 = 0,01mm, δ2 = 0,1mm i δ3 = 1mm.

30,11,001,0

mτ+τ+τ

=τ (4-6)

Čvrstoća prianjanja fbd određuje se na minimalno 5 pokusa.


204

7. GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOSTI Upotrebljivost i trajnost konstrukcije su od istog značaja kao i postizanje potrebne nosivosti. Upotrebljivost može biti narušena kroz:

o Velike prsline; o Prevelike deformacije, progibe; o Štetne vibracije; o Prodor vlage i vode; o Koroziju armature; o Habanje betona; o Požar

Da bi se osigurala upotrebljivost konstrukcije prema EC2 provode se slijedeći dokazi: 1. Ograničenje naprezanja 2. Ograničenje prslina 3. Ograničenje deformacija

Dokaz graničnog stanja upotrebljivosti provodi se za kvazi-statičko opterećenje , u skladu sa EC2. Dokaz naprezanja betona pod kvazi-statičkim opterećenjem preporučuje se samo kod prednapregnutih betonskih elemenata, gdje su predviđena ograničenja naprezanja za razne slučajeve opterećenja u skladu sa EC2, 4.4.1.1.

7.1 Ograničenje širine prslina Općenito se kod armiranobetonskih konstrukcija i konstrukcija od prednapregnutog betona javljaju prsline. Neracionalno je, a u većini slučajeva i nemoguće, u potpunosti eliminirati prsline, osim u specijalnim slučajevima, kod izrazito agresivnih sredina, kada je to ulazni parametar. U normalnom slučaju imamo posla sa elementima koji imaju prsline. Cilj proračunske analize elementa je da se širina prslina u betonu ograniči tako da konstrukcija ima potrebnu upotrebljivost i trajnost. Poštivanjem konstruktivnih preporuka važećih standarda za beton osigurava se da će širina prslina biti manja od dozvoljenih vrijednosti., čime se sprečava prodor agresivne sredine u beton i korozija armature. Beton je materijal koji ima veoma malu zateznu čvrstoću. Ona se u pravilu zanemaruje, jer ne postoji garancija da će se tokom eksploatacije zadržati zatezna čvrstoća na istom nivou. Za potrebe proračuna armiranobetonskih i prednapregnutih betonskih konstrukcija koriste se karakteristične vrijednosti zatezne čvrstoće prema EC2, 3.1.2.3:

(2/3)ckcm f0,30f ⋅= (7-1)

ctmctk;0,05 f0,70f ⋅= (7-2)

ctmctk;0,95 f1,30f ⋅= (7-3) gdje su: fctm – srednja vrijednost zatezne čvrstoće fck – karakteristična čvrstoća na pritisak cilindra fctk,0.05 – donja granična vrijednost čvrstoće na pritisak cilindra (5%-fraktil) fctk,0.95 – gornja granična vrijednost čvrstoće na pritisak cilindra (95%-fraktil)

Granično stanje upotrebljivosti

205

Tabela 7-1 Karakteristična čvrstoća na pritisak betona, zatezna čvrstoća betona i modul elastičnosti (N/mm2)

Slika 7.1: Dijagram toka srednjeg modula elastičnosti, zatezne čvrstoće betona i dilatacije

loma u ovisnosti od čvrstoće na pritisak betona fck Prihvaćena vrijednost dilatacije loma betona je ε ≈ 0,09. 7.1.1 Otvaranje prslina kroz vezivanje betona Opasnost od otvaranja prslina najveća je u fazi vezivanja betona. Usljed razvoja hidratacione topline dolazi do pojave velikih temperaturnih naprezanja u betonu, posebno ako su deformacije spriječene, kao što je slučaj betoniranja betonskog zida na već očvrslom betonskom temelju (slika 7.2).

Slika 7.2: Spriječene deformacije zidne stijenke


206

Osim toga u stadiju izgradnje strukture betona, njegova zatezna čvrstoća je veoma mala. Stoga se u cilju sprečavanja otvaranja ranih prslina poduzimaju određene tehnološke mjere kao što su:

o Upotreba agregata sa niskim sadržajem finih čestica; o Manja količina cementa → manja toplina hidratacije; o Upotreba cementa sa razvojem manje topline hidratacije (npr. cement sa dodatkom

letećeg pepela); o Mali vodocementni faktor; o Njega betona neposredno nakon ugradnje, kroz održavanje vlažnosti u periodu

vezivanja. Osim toga prsline u ranom stadiju mogu se reducirati djelimičnim prednaprezanjem, kao što je slučaj u mostogradnji. 7.1.2 Mehanizam otvaranja prslina 7.1.2.1 Armiranobetonski štap opterećen u težištu

Slika 7.3: Armiranobetonski štap u naponskom stanju I


207

Ukoliko je napon zatezanja u armiranobetonskom štapu manji od zatezne čvrstoće betona, u štapu nema prslina. Sa daljim povećanjem naprezanja u štapu dolazi do otvaranja prve prsline na mjestu gdje je zatezna čvrstoća betona najmanja. Pošto armatura mora preuzeti opterećenje dolazi do značajnog povećanja naprezanja u armaturi. Naprezanje betona na mjestu otvaranja prsline pada na nulu. Daljnjim povećanjem naprezanja otvaraju se naredne prsline. Između prslina beton ostaje u naponskom stanju I. Sila u armaturi se kroz prianjanje na dužini uvođenja sile ls prenosi na beton. Nosivost betonskog štapa iskorištena je kada naprezanje armature prekorači granicu razvlačenja.

Slika 7.4: Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvaranje prve prsline)

Slika 7.5: Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvorene prsline)


208

Prva prslina otvara se u trenutku dostizanja zatezne čvrstoće betona:

ctisec

ct fAN

A1)(αANσ ≤=

⋅−+= ⇒ [ ]seccttc, A1)(αAfN ⋅−+⋅= (7-4)

Naprezanje armature prije otvaranja prsline (naponsko stanje I) je: ctecte

Is fασασ ⋅=⋅= (7-5)

Naprezanje armature nakon otvaranja prve prsline (naponsko stanje II) je:

s

RIIs A

Nσ = (7-6)

Sila zatezanja NR nakon otvaranja prve prsline dobija se iz uslova ravnoteže: [ ]secctictR A1)(αAfAfN ⋅−+⋅=⋅= (7-7)

Ako sa ctsct /AAρ = označimo stepen armiranja betonskog presjeka, dobija se izraz za naprezanje u armaturi nakon otvaranja prslina:

ct

ct

ctct

ict

s

ict

s

RIIs ρ

fAρAf

AAf

ANσ ≈

⋅⋅

=⋅

== (7-8)

Iz gornjeg izraza može se vidjeti da je naprezanje armature približno obrnuto proporcionalno stepenu armiranja ρct. Kod malog stepena armiranja može se desiti da prilikom otvaranja prslina usljed spriječenih deformacija skupljanja i puzanja betona napon u armaturi prekorači granicu razvlačenja, zato je potrebno primjeniti minimalni stepen armiranja u svim presjecima. Iz izraza (7-8) možemo odrediti potrebnu površinu armature:

s

ictIIs A

Afσ ⋅= ⇒ II

s

ctctII

s

icts σ

Af1,0σ

AfA ⋅⋅=⋅

= (7-9)

(za centrično zatezanje može se usvojiti Ai ≈ Act) 7.1.2.2 Armiranobetonski štap opterećen na savijanje Prva prslina javlja se na mjestu maksimalnog momenta dostizanjem zatezne čvrstoće betona. Skok naprezanja u armaturi na mjestu prsline je manji nego kod štapa opterećenog na centrično zatezanje. Prije otvaranja prve prsline važi:

ct2Ict f

/6hbM

WMσ ≤

⋅== I

cteIs σασ ⋅= (7-10)

odnosno, /6hbfM 2

ctIcr ⋅⋅= (7-11)

Nakon otvaranja prve prsline naprezanje armature je:

ct

ct

ct

ct

s

cct

s

2ct

s

2ct

s

crIIs ρ

f0,2ρf0,196

Ah0,856hAf

Ah0,856hbf

Az/6hbf

AzMσ ⋅≈⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅≈

⋅⋅⋅

=⋅

= (7-12)

što odgovara minimalnom procentu armiranja na savijanje prema EC2.

Iz izraza (7-12) može se odrediti potrebna armatura,

IIs

cctII

s

ccts σ

Af0,20σ0,856

AfA ⋅⋅≈⋅⋅

⋅= (7-13)

Ako armaturu izrazimo u funkciji od zategnute zone betona ( /2AA cct ≈ ) izraz (7-13)

možemo napisati: IIs

ctcts σ

Af0,40A ⋅⋅≈ (7-14)


209

Prethodni izraz odgovara izrazu za minimalni procent armiranja, EC2, 4.78: scteffct,cs /σAfkkA ⋅⋅⋅= (7-15)

Iz prethodnih izraza je vidljivo da potrebna površina armature zavisi od raspodjele naprezanja u poprečnom presjeku.

Slika 7.6: Otvaranje prslina i raspodjela naprezanja u gredi opterećenoj na savijanje


210

7.1.3 Minimalna armatura U svakom presjeku armiranobetonskog konstruktivnog elementa mora biti prisutna minimalna količina armature kako bi se smanjila mogućnost otvaranja prslina. Otkaz nosača u tom slučaju nastaje kada naprezanje u armaturi na mjestu prsline prekorači naprezanje na granici razvlačenja. Prema EC2 minimalna armatura određuje se prema izrazu (7-15). Parametri izraza su slijedeći: As – potrebna površina zategnute armature kc - faktor kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja u poprečnom presjeku pri

otvaranju prve prsline (kc = 1,0 za čisto zatezanje, kc = 0,4 za čisto savijanje) k - faktor kojim se uzima u obzir nelinearna raspodjela vlastitih naprezanja k = 0,8 – za pravougaone poprečne presjeke visine h ≤ 30cm k = 0,5 – za pravougaone poprečne presjeke visine h ≥ 80cm fct,eff - efektivna čvrstoća na zatezanje betona u trenutku otvaranja prve prsline σs - dopušteno naprezanje armature neovisno od otvaranja prsline (maksimalno fyk) Act - površina poprečnog presjeka zategnute zone Ograničenje kosih prslina osigurano je kroz ograničenje dopuštenog rastojanja uzengija prema EC2, dio 5.4.2.2, odnosno kroz minimalni stepen armiranja smičućom armaturom. Maksimalan razmak uzengija smax je:

Rd2Sd V0,2V ≤ 300mm0,8dsmax ≤= Rd2SdRd2 V2/3VV0,2 ≤≤ 300mm0,6dsmax ≤=

Rd2Sd V2/3V > 200mm0,3dsmax ≤= Stepen armiranja smičućom armaturom je: )sinb/(sAρ wsww α⋅⋅= (7-16) Tabela 7-2: Minimalna vrijednost ρw (EC2, tabela 5.5)

Klasa armature Klasa betona

S 220 S 400 S 500 C12/15 i C20/25 0,0016 0,0009 0,0007 C25/30 i C35/45 0,0024 0,0013 0,0011 C40/50 i C50/60 0,0030 0,0016 0,0013 7.1.4 Razmak prslina Iz uslova ravnoteže (porast naprezanja u armaturi = sila zatezanja u betonu na mjestu otvaranja prsline) dobije se:

ctcsss σAΔσAΔF ⋅=⋅= (7-17) gdje je: ΔFs – porast sile u armaturi kroz otvaranje prsline

ssrs σσΔσ −= - povećanje naprezanja u armaturi kroz otvaranje prsline σct – naprezanje na zatezanje betona neovisno od otvaranja prslina


211

Slika 7.7: Centrično zategnut armiranobetonski štap u naponskom stanju II nakon

otvaranja prve prsline Uz pretpostavku konstantnih napona prianjanja na cijeloj dužini unosa sile le vrijedi :

bdEs

2

flπΔσ4

π ⋅⋅Φ⋅=⋅Φ⋅ (7-18)

gdje je:

s

2

A4Φπ =⋅ - površina armature

sbdE ΔFflΦπ =⋅⋅⋅

ElΦπ ⋅⋅ - kontakt površina između betona i armature fbd – napon prianjanja, koji je prema EC2,

c2/3

ckcctmcctk;0,05bd )/γ0,3f0,7(2,25)/γf0,7(2,25)/γf(2,25f ⋅⋅=⋅⋅=⋅= (7-19)


212

Tabela 7-3:Proračunska vrijednost napona prianjanja fbd kod dobrih uslova prianjanja (EC2, tabela 5.3) u MPa

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

glatka šipka 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7rebrasta šipka Φ≤32mm, armaturna mreža 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3

Iz izraza (7-18) dobije se izraz za dužinu uvođenja sile u beton:

4Φ

fΔσl

bd

sE ⋅= (7-20)

Zamjenom porasta naprezanja u armaturi sa vrijednošću naprezanja na granici razvlačenja Δσs = fyd dobije se poznati izraz za dužinu ankerisanja lb:

4Φ

ff

lbd

ydb ⋅= (7-21)

7.2 Ograničenje širine prslina prema EC2 Proračun širine prslina usljed naprezanja od vanjskog opterećenja provodi se u skladu sa EC2 za kvazistatički slučaj opterećenja (EC2, 4.4.2.1). Dopuštena računska širina prslina prema EC2 zavisi od klase okoline (tabela 7-4) i to:

o kod armiranobetonskih elemenata objekata u okolini klase 2-4 naksimalna širina prslina za kvazi-statički slučaj opterećenja je 0,3mm, ukoliko nema nekih posebnih zahtjeva u pogledu vodopropusnosti betona;

o kod armiranobetonskih elemenata objekata u okolini klase 1 širina prslina nema uticaj na trajnost. Ograničenje prslina je uglavnom iz estetskih razloga.

Tabela 7-4:Klase okoline u zavisnosti od uslova okoline (EC2, dio 1:Tabela 4.1)

Klasa okoline Primjeri uslova okoline

1. Suha okolina Unutrašnje prostorije stanova i biroa 2. Vlažna okolina a

bez mraza

Unutrašnje prostorije sa velikim procentom vlage (vešeraj), vanjski elementi, elementi u neagresivnom tlu i/ili u vodi

b sa

mrazom

Vanjski elementi izloženi mrazu, elementi u neagresivnom tlu i/ili u vodi, unutrašnji elementi u visokom procentu vlage.

3. Vlažna okolina sa mrazom i efektom rošenja

Vanjski elementi izloženi mrazu I efektu rošenja.

4. Uticaj morske soli a bez

mraza

U području prskanja vodom, ili elementi uronjeni u more kod kojih je jedna površina izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima.

b sa

mrazom

U području prskanja vodom, ili elementi uronjeni u more kod kojih je jedna površina izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima.

Naredne klase mogu se svrstati kao zasebne ili u kombinaciji sa gore pomenutim klasama: 5. Agresivna hemijska okolina a Slabo agresivna okolina b Srednje agresivna sredina c Jako agresivna sredina


213

Ukoliko nisu dati posebni zahtjevi važe slijedeće smjernice za dopuštenu računsku širinu prslina wk,dop :

- armirani beton u suhoj okolini wk,dop ≤ 0,40mm - armirani beton na otvorenom wk,dop ≤ 0,25mm - prednapregnuti beton wk,dop ≤ 0,20mm - rezervoari za vodu wk,dop ≤ 0,10mm

7.2.1 Zaštita armature od korozije Zaštita armatura od korozije mora se ostvariti okolnim betonom. Pri tome armatura terba biti obavijena zaštitnim slojem betona dovoljne debljine u zavisnosti od uslova okoline. Minimalna vrijednost minc data je u EC2, tabela 4.1 i 4.2. Tabela 7-5:Zahtjevi u pogledu zaštitnog sloja betona za normalan beton (EC2, dio

1:Tabela 4.2)

2) Kod pločastih elemenata može se umanjiti za 5mm za klasu okoline 2-5 3) Nadalje se može smanjiti za još 5mm ukoliko je klasa čvrstoće betona C40/50 i veća, i to za armirani beton u okolini klase 2a do 5b i za prednapregnuti beton u okolini klase 1 do 5b. U svakom slučaju zaštitnis loj betona ne smije biti manji od propisanog za klasu okoline 1. 4) Za klasu okoline 5c mora se primjeniti površinska zaštita betona, kako ne bi došlo do direktnog kontakta sa agresivnom materijom. Nominalna vrijednost zaštitnog sloja betona je: Δhcmincnom += (7-22) (vidi Poglavlje 9 – Konstruktivne pojedinosti) 7.2.2 Proračun računske širine prsline wk Računska širina prslina određuje se prema izrazu:

smrmk εsβw ⋅⋅= (7-23) gdje je: β - faktor usklađivanja, koji predstavlja odnos između računske vrijednosti i srednje

vrijednosti širine prslina. Ovim faktorom se usklađuju razlike između teorije i prakse.

Kod naprezanja usljed spriječenih prinudnih deformacija zavisno od minimalne visine presjeka h faktor usklađivanja je:

za h ≤ 30cm β = 1,3 za h ≥ 80cm β = 1,7 za naprezanje od vanjskog opterećenja β = 1,3

srm – srednji razmak prslina nakon završetka mehanizma otvaranja prslina εsm – srednja dilatacija armaturnog čelika


214

Slika 7.8: Dijagram σ - ε prema EC2

Srednja dilatacija armaturnog čelika može se odrediti prema izrazu:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−⋅+=

2

s

sr21

s

ssrmsm σ

σββ1Eσεε (7-24)

gdje je: εsrm – srednja dilatacija armature pod mjerodavnim opterećenjem uz uzimanje u obzir

nosivosti na zatezanje betona između prslina, skupljanja itd. β1 - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj svojstava prionljivosti armaturnih šipki

na srednju dilataciju i iznosi: β1 = 1,0 – za rebraste šipke β1 = 0,5 – za glatke šipke

β2 - koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta opterećenja i njegovo trajanje: β2 = 0,5 – za dugotrajna i često promjenljiva opterećenja β2 = 1,0 – za kratkotrajna opterećenja

σs – naprezanje na zatezanje armature za mjerodavnu kvazi-statičku kombinaciju opterećenja

σsr – naprezanje na zatezanje armature u isupcalom presjeku za kombinaciju opterećenja koja dovodi do otvaranja prve prsline (dostizanje fctm u mjerodavnom presjeku)

Srednji razmak prslina određuje se prema izrazu:

r

21rm

kk25,050sρ

Φ⋅⋅⋅+= (7-25)

gdje je: k1 – koeficijent koji opisuje svojstva prionljivosti


215

za rebraste šipke k1 = 0,8 za glatke šipke k1 = 1,6 k2 - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj raspodjele dilatacije u presjeku na

rastojanje prslina za čisto savijanje k2 = 0,5 za centrično zatezanje k2 = 1,0 za ekscentrično zatezanje k2 = 0,5(ε1+ε2)/ε1 Pri čemu je ε1 veća, a ε2 manja dilatacija zatezanja na rubovima promatranog

presjeka, koje se određuju za ispucali presjek. Φ - promjer armaturne šipke

ρr = As/Ac,eff – efektivni stepen armiranja, gdje je As površina armature unutar efektivne

zategnute površine betonskog presjeka Ac,eff

Slika 7.9: Efektivna betonska površina Ac,eff

Ukoliko kod ortogonalno armiranih konstruktivnih elemenata (npr.ploče) prslina zatvara sa armaturom ugao veći od 15o, može se razmak prslina odrediti prema izrazu:

rmyrmx

rm

ssinθ

scosθ

1s+

= (7-26)

gdje je:


216

Θ – ugao između armature u x smjeru i pravca glavnih napona zatezanja srmx, srmy - srednje rastojanje prslina u x i y smjeru 7.3 Deformacije betonskih konstrukcija 7.3.1 Ograničenje progiba Deformacije betonskih konstrukcija određuju se za kvazi-statičko opterećenje. Prema EC2, 4.4.3.1 gornja granica progiba grede, ploče ili konzolne grede pod kvazi-statičkim opterećenjem je: dopw = leff/250 (7-27) U općenitom slučaju leff je razmak oslonaca. Ugibi elementa mogu da uzrokuju oštećenja pregrada, elemenata koji su spojeni ili su u kontaktu sa istim. U tom slučaju za gornju granicu progiba usvaja se leff/500. Progibi se mogu umanjiti izvedbom elementa u oplati sa predprogibom. Predprogib ne smije biti veći od leff/250. Ako se radi element sa predprogibom dopušteni progib elementa je: dopw = leff/250 (predprogib) + leff/250 = leff/125 (7-28)

Slika 7.10: Određivanje efektivnog raspona leff za razne uslove oslanjanja

Dokaz progiba može se provesti kroz:

o Ograničenje vitkosti na savijanje leff/d o «Tačan» proračun progiba uz uzimanje u obzir nelinearnog ponašanja materijala i

vremenski zavisnih deformacija (puzanje i skupljanje), pomoću tabela ili računarskih programa.


217

7.3.2 Ograničenje vitkosti na savijanje Osim tačnog nelinearnog proračuna progiba armiranobetonskih greda uz pomoć računara, u EC2 daje se i jednostavan dokaz kroz ograničenje vitkosti na savijanje, kojim se može uraditi ručni proračun. Tabela 7-6:Osnovne vrijednosti dopuštene vitkosti na savijanje leff/d armiranobetonskih

konstruktivnih elemenata koji nisu opterećeni silama uzduž osi

Vrijednosti u gornjoj tabeli zasnovani su na uslovima: ftot ≤ leff/250 (ukupni progib) Δfcs ≤ leff/500 (progib usljed skupljanja i puzanja) 7.3.2.1 Proračun potrebne vitkosti na savijanje na jednostavnom primjeru

El

ImaxM

485

IEl

8lq

485

IElq

3845f

2eff

4eff

2eff

4eff ⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=


218

h2σdop

hb612hbσdop

ImaxMWσdopmaxM

WMσdop 3

2

⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅=⇔⋅=⇒=

El

h2σdop

485

El

ImaxM

485f

2eff

2eff ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

hl

kE2σdop

485

hl

lf effeff

eff

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=⇔

Sa250l

fdop eff= , slijedik250

1h

lh

lk2501

l250l

lf effeff

eff

eff

eff ⋅≥⇔⋅==

⋅=

Prethodnim proračunom definisan je odnos između maksimalne deformacije i vtkosti na savijanje. Progib armiranobetonskog elementa utvrđuje se za element sa prslinama. U tabeli 7-6 vidljiva je razlika osnovnih vrijednosti za jače i manje napregnute armiranobetonske elemente. Nivo naprezanja može se izraziti preko stepena naprezanja ρ, koji predstavlja odnos površine armature napregnute na savijanje i betonske površine,

c

sl

AAρ = d)b(Ac ⋅= (7-29)

Na osnovu stepena naprezanja može se uraditi podjela na: o “malo” naprezanje ρ < 0,5% (ploče su uglavnom malo napregnute) o “srednje” naprezanje 0,5% < ρ < 1,5% o “veliko” naprezanje ρ > 1,5%

Vrijednosti u tabeli 7-6 vrijede samo za standardne slučajeve. Vrijednosti iz tabele se umanjuju u slijedećim slučajevima:

o pregradni zidovi sa leff > 7,0m 7,0/leff o ravne ploče sa leff > 8,5m 8,5/leff o T grede sa beff/bw > 3 0,8 o Kod naprezanja armature σs > 250N/mm2 250/σs

Približno se σs može odrediti iz izraza:

reqs,

provs,

yks AA

f400

σ250

⋅= (7-30)

odnosno, d0,9

MzMAσF sss ⋅

==⋅= ⇒s

s Ad0,9Mσ⋅⋅

= (7-31)

Pri tome treba voditi računa da raspodjela naprezanja za stanje eksploatacije ne odogovara raspodjeli naprezanja za granično stanje nosivosti. Stoga se izraz (7-31) može koristiti samo kao približna vrijednost koja se dopušta samo kod pojednostavljenog postupka ograničenja progiba. U stanju eksploatacije krak unutrašnjih sila može se odrediti pomoću izraza:

3xdzII −= (7-32)

gdje je:

[ ]( )ραραρα2dx ee ⋅−⋅⋅⋅+= )EE

α;db

Aρ(

c

se

s =⋅

= (7-33)

Napomena: Dijagram σ - ε betona u stanju eksploatacije ne odgovara dijagramu parabola+pravougaonik, koji se koristi za dimenzioniranje na savijanje.


219

Slika 7.11: Dijagram naprezanje-deformacija za beton napregnut na pritisak

7.3.3 Tačan proračun progiba Tačan proračun progiba potreban je samo ako je vitkost na savijanje veća od vrijednosti datih u tabeli 7-6. Između ostalog prilikom proračuna treba voditi računa o slijedećem:

o Dejstvu puzanja i skupljanja o Sudjelovanju betona u nosivosti na zatezanje između prslina o Uticaj naprezanja usljed spriječenih deformacija kao što je uticaj temperature o Vrsta opterećenja: statičko-dinamičko o Odgovarajući modul elastičnosti betona u zavisnosti vrste agregata i koeficijenta

trenja u trenutku nanošenja opterećenja o Prsline usljed prethodnih naprezanja

Maksimalan progib može se odrediti prema izrazu:

tot

2eff r

1lkf ⋅⋅= ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 'w'

r1 ;

IEM

r1

effc,

q

q ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (7-34)

gdje je: k – koeficijent koji uzima u obzir raspodjelu momenata Ukupno krivljenje poprečnog presjeka može se odrediti prema izrazu:

IIStanje

cssav

IStanje

cssavtot r1

r1

r1

r1

r1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (7-35)

gdje je: rsav – krivljenje poprečnog presjeka usljed momenta savijanja

rcs – krivljenje poprečnog presjeka usljed puzanja i skupljanja


220

Slika 7.12: Proračun deformacija (Stadij I)

Proračunski se tretiraju dva granična slučaja:

o Neispucali presjek (Stadij I): elastično ponašanje materijala o Potpuno ispucao presjek (Stadij II): Beton ne preuzima nikakvu silu zatezanja.

Stvarno ponašanje betonskih konstruktivnih elemenata je između ova dva granična slučaja. Za ravnotežu kod konstruktivnih elemenata opterećenih na savijanje vrijedi:

III ας)(1αςα ⋅−+⋅= (7-36) gdje je: α – faktor deformacije (u ovom slučaju može se uzeti kao progib) αI, αII - odgovarajuća vrijednost faktora deformacije za neispucali i ispucali presjek ζ - koeficijent raspodjele dat izrazom

2

s

sr21 σ

σββ1ς ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−= (7-37)

Objašnjenje pojedinih parametara iz izraza (7-37) vidi na strani 7/11. Za neispucali poprečni presjek je ζ=0.


221

7.3.3.1 Krivljenje usljed vanjskog opterećenja

Slika 7.13: Raspodjela dilatacija i naprezanja u armiranobetonskom presjeku u fazi

ekploatacije U nastavku se uzima linearan odnos između dilatacije i naprezanja betona u pritisnutoj zoni (σc = εcEc) i bez prisustva normalne sile.

∑ = 0Fh cs FF = ⇒ 2xbEεAEε ccosss ⋅⋅⋅=⋅⋅ (7-38)

Iz geometrijskih odnosa slijedi, x)(dxεε

xε

xdε co

scos −⋅=→=

− (7-39)

2xbEAEx)(d

2xbEεAEx)(d

xε 2

Sssccossco ⋅⋅=⋅⋅−⇒⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅

2s

c

s xb

AEEx)(d2 =⋅⋅−⋅ 2

le xdραx)(d2 =⋅⋅⋅−⋅⇒ (7-40)

)EE

α;db

Aρ(

c

se

s =⋅

=

Rješenja kvadratične jednačine su: 2

le2

lele

1,2 dρα2d)ρ(α2

dρα2x ⋅⋅⋅+⋅⋅±⋅⋅⋅

−=

dραρα2)ρ(αdx lele2

le1,2 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

[ ]( )ραραρα2dx eee ⋅−⋅⋅⋅+= (7-41)

Krak unutrašnjih sila je: 3xdzII −= (7-42)

Za čisto savijanje vrijedi:

IIsssIIs zεEAzFM ⋅⋅⋅=⋅= ⇒ sIIss

εzEA

M=

⋅⋅ (7-43)

Iz geometrijskih uslova je, x)(d

εr1 s

II −= (7-44)


222

odnosno,

x)(dEAzM

x)(dε

r1

ssII

s

II −⋅⋅⋅=

−= (7-45)

Slika 7.14: Dilatacija i krivljenje kod čistog savijanja

7.3.3.2 Krivljenje usljed puzanja i skupljanja Krivljenje usljed puzanja i skupljanja javlja se zbog spriječenog skraćenja betona ugrađenom armaturom. Kod jednakih površina pritisnute i zategnute armature nema krivljenja usljed dugotrajnih deformacija. Uz uzimanje jednolikog, nespriječenog skraćenja usljed skupljanja po visini presjeka dobije se u armaturi sila pritiska

sscscs AEεF ⋅⋅= (7-46) gdje je: εcs – dilatacija armature usljed puzanja i skupljanja betona

Slika 7.15: Dilatacija presjeka usljed puzanja i skupljanja

Moment u odnosu na neutralnu os je: x)(dAEεx)(dFM sscscscs −⋅⋅⋅=−⋅= (7-47)


223

Za naprezanje na savijanje važi:

x)(dEAzM

x)(dε

r1

ssII

s

IIcs, −⋅⋅⋅=

−= (7-48)

tj. II

cs

ssII

sscs

IIcs, zε

x)(dEAzx)(dEAε

r1

=−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

= (7-49)

Kod presjeka armiranog armaturom u više slojeva izraz (7-49) transformiše se u oblik:

∑∑

−⋅⋅⋅⋅

=x)(dAz)z(Aε

r1

sII

sisics

IIcs,

(7-50)

7.4 Primjeri 7.4.1 Dokaz prslina

Armatura

2

s

ykyd 347,8N/mm

1,15400

γf

f:400/500RA ===

2s 200000N/mmE =

Beton

2

s

ckcd 23,3N/mm

1,535

γf

f:35/45C ===

fctm=3,2 N/mm2 fctk,0.05=2,2 N/mm2 Ecm=33500 N/mm2 α=1,0

Zadano je: b=0,60 m h=0,80 m bw=0,25 m hf=0,15 m Stalno opterećenje: q=(0,60·0,15+0,60·0,25)·25=6,31 kN/m Pokretno opterećenje: q1=15 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5 ψ2=0,3 q2=20 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5 ψ2=0,3


224

7.4.1.1 Momenat savijanja

7.4.1.2 Dimenzioniranje na savijanje (ULS) Osnovna kombinacija: ∑∑ >

⋅⋅+⋅+⋅=1i iq,i0,qq,1gggsd MψγMγMγM

Msd=1,35·14,0·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0=942,76 kNm≡0,943 MNm Msd=1,1·18,0·6,31-0,90·4·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0 =925,72 kNm≡0,926 MNm<0,943 MNm Dimenzioniranje pomoću blok dijagrama na prezanja:

0,1200,750,6023,301,0

0,943dbfα

Mμ 22

cd

sdSd =

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=


225

( ) ( ) 0,1600,118)(2111,25μ)(2111,25ξ =⋅−−⋅=⋅−−⋅= Visina pritisnute zone: x=ξ·d=0,160·0,75=0,120 m ⇒ 0,120 m<hf=0,15m Poprečni presjek se dimenzionira kao pravougaoni presjek. Kontrola deformacije armature:

0su0yk,0.950s %50,0ε%3,36ε%18,380,160

10,1603,5ξ

1ξ3,5ε =<=>=−

⋅−=−

⋅−=

Krak unutrašnjih sila: ζ=1-0,4·ξ=1-0,4·0,160=0,936 Potrebna armatura :

)cm(40,21325.usvcm38,6210347,80,750,936

0,943fdζ

Mpot.A 224

yd

sdfs, Φ⇒=⋅

⋅⋅=

⋅⋅=

Minimalno potrebna armatura prema EC2: 24

yk

tmins, cm2,7210

4000,7250,250,60

fdb0,60

A =⋅⋅⋅

=⋅⋅

>

224tmins, cm28,27cm2,72100,7250,250,0015db0,0015A <=⋅⋅⋅=⋅⋅>

Maksimalna površina armature prema EC2: As,max=0,04·Ac=0,04·(0,60·0,15+0,25·0,65)·104=101,0 cm2>28,72 cm2 7.4.1.3 Kombinacije opterećenja za granično stanje upotrebljivosti (SLS)

Česta kombinacija

∑ ∑>⋅+⋅+=

j 1i Qi2,Q,11,1jG,često MψMψMM

Mčesto=14·6,31+0,50·18,0·20,0+0,30·18,0·15,0=349,34 kNm≡0,349 MNm

Kvazi-stalna kombinacija

∑ ∑≥⋅+=

j 1i iq,i2,jg,stalno-kvazi MψMM

Mkvazi-stalno=14·6,31+0,30·18,0·(20,0+15,0)=277,34 kNm≡0,277 MNm

7.4.1.4 Određivanje širine prslina Određuje se prema izrazu (7-23): Wk=β·εsm·srm


226

7.4.1.4.1 Srednja dilatacija armature εsm Srednja dilatacija armature određuje se prea izrazu: εsm=εs2-βt·Δεr gdje je:

βt – koeficijent koji uzima u obzir trajanje opterećenja βt=0,4 - za kratkotrajno opterećenje βt=0,25 – za dugotrajno ili često promjenjivo opterećenje

Δεr Δεr=εsr2-εsr1

εsr1 – dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij I (poprečni presjek bez prslina) εsr2 - dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij II (poprečni presjek sa prslinama) Moment mjerodavan za proračun širine prslina: Mr,m=fctm·Wzat.vlakna Određivanje idealnog poprečnog presjeka u stadiju bez prslina (stadij I)

As1=40,21 cm2

5,9733500200000

EE

αc

ss ===


227

0,36m36,12cm2724,8498425,9

AeA

ei

iiideal. ≈==

⋅=∑∑

2i

2ideal.

2iiiideal. 0,0183mAeeAII =⋅−⋅+= ∑ ∑∑

2

ideal.

ideal.dole 0,042m

0,360,80,0183

ehI

W =−

=−

=

Mr,m=fctm·Wdole=3,2·103·0,042≈134,4 kNm≡0,1344 MNm Da bi se dobila deformacija u armaturi usljed momenta Mr,m za stadij I, potrebno je odrediti moment otpora presjeka u nivou težišta armature.

3

ideal

idealarmature m0,0488

0,0750,350,80,0183

0,075ehI

W =−−

=−−

=

Napon u betonu u nivou težišta armature: 2

armature

mr,sr1c, MN/m2,75

0,04880,1344

WM

σ ===

Deformacija betona u noviu težišta armature pod dejstvom momenta otvaranja prsline:

0c

sr1c,sr,1 0,0822%0,0000822

335002,75

Eσ

ε ====

Nakon što se otvore prsline slika deformacija se mijenja. Neutralna os prolazi kroz težišnicu idealnog poprečnog presjeka.

0,2m1040,215,97

0,7250,602110,6

1040,215,97Aα

db211bAα

x 4

4

ss

ssII =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅

++−⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

++−⋅⋅

= −

−

m15,0hx fII = ⇒ primjenjuju se izrazi za gredu ''T'' presjeka:

( )w

1few2

22II b

khAd2bkkx

⋅+⋅⋅⋅++−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅⋅

−=

II

f1IIw

2IIw

II

ff1

xh2kxb3

xbxh23hk

dzII

Uz uvođenje odnosa: αs=Es/Es; Ae=αs·As; k1=hf·(b-bw); k2=Ae+k1 xII=0,208 m ZII=0,660 m Napon u armaturi nakon otvaranja prslina je:

24

s1II

mr,sr2 50,64MN/m

1040,210,6600,1344

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −

Deformacije u armaturi nakon otvaranja prslina je:

0,000253220000050,64

Eσ

εs

sr2sr2 ===

Deformacije pri prelasku iz stadija I u II Δεr=εsr2-εsr1=0,0002532-0,0000822=0,000171


228

Deformacije u armaturi za „čisti“ stadij II Deformacija u armaturi usljed Mkvazi-stalno:

24

sII

stalnokvaziqss2, 104,38MN/m

1040,210,6600,277

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −−

0,000522200000104,38

Eσ

s

s2qss2, ===ε

Deformacija u armaturi usljed Mčesto: 2

4sII

čestohs2, 131,51MN/m

1040,210,660,349

AZM

σ =⋅⋅

=⋅

= −

0,000658200000131,51ε hs2, ==

εs2=εs2h=εs2,qs+εs2,ΔM εs2,ΔM=0,658-0,522=0,136%0

udio Mkvazi-stalno u εs2: 0s2

qss2, 0,793%0,6580,522

εε

==

udio ΔM u εs2: 0s2

Ms2, %207,00,6580,136

εε

==Δ

εsm=εs2-βt·Δεr=0,000658-0,793·0,25·0,000171-0,207·0,25·0,000171=0,000615 7.4.1.4.2 Srednje rastojanje prslina srm Srm=50+0,25·k1·k2·Ø/ρr (mm) Ac,eff.=2,5·(80-72,5)·25=469 cm2

0857,00,469

40,21ρ r ==

Srm=50+0,25·0,8·0,5·32 / 0,0857=87,65 mm Računska vrijednost širine prsline je: Wk=β·εsm·Srm

β=1,7 prsline usljed opterećenja β=1,3 prsline usljed spriječenih pomaka Wk=1,7·0,000615·0,08765=0,0000916 m=0,0916 mm Wgr.=0,3 mm - za normalne AB konstrukcije Wgr.=0,15 mm - za vodonepropustan beton


229

7.4.2 Dokaz progiba

Materijal: Beton C20/25 fck = 20 N/mm2 fctm = 2,2 N/mm2

Ecm = 29000 N/mm2 Armatura Es = 200000 N/mm2

Parametri skupljanja i puzanja: Ac = 500 x 300 = 150000 mm2 u = 2 x (500+300) = 1600mm2 Ac/u = 94 ϕ∞ = 2,0 εs∞ = -300 . 10-6 Kontrola progiba: leff / d = 721/45,5 = 16 < dop = 35 Presječne sile: Opterećenje na gredu je: qstalno = 10,0kN/m ⇒ Msd, stalno = 65kNm Krivljenje neispucalog presjeka u sredini raspona 1/rI

27,5kNm10/60,50,32,2)/6bh(fM 322ctmcr =⋅⋅⋅==

2cmeffc, 9,67kN/mm

2,0129

)(1EE =

+=

+=

ϕ

[ ]1/mm102,15)50030010(9,67

121065I)(E

Mr1 6

33

6

I

stalnosd,

1

−⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Krivljenje ispucalog presjeka u sredini raspona 1/rII

0,00630,0)8,2/(45,5x/(bd)Aρ s ===


230

20,68200/9,67/EEα effc,se === Visina pritisnute zone je:

[ ]( ) ραdρα2ραdx eee ⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅=

[ ] 177mm0,00620,684550,00620,6820,006(20,68455x =⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅= Napon u armaturi:

26

s

olnastSd,

s

olnastSd,s N/mm200

3)/177(4558201065

3)x/(dAM

zAM

σ =−⋅

⋅=

−⋅=

⋅=

[ ]1/mm103,60177)(45510200

200x)(d

εr1 6

3s

II

−⋅=−⋅⋅

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Preraspodjela krivljenja od opterećenja Napon u armaturi na mjestu prsline je:

24

s

2ctm

s

crsr 84,6N/mm

0,177/3)(0,455108,227,5

zA6hbf

zAMσ =

−⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

= −

Koeficijent preraspodjele:

0,9120084,60,51

σσββ1ς

22

s

sr21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−=

Za rebrasti čelik I dugotrajno opterećenje vrijedi: 0,5ββ 21 =⋅ Ukupno krivljenje od vanjskog opterećenja je:

[ ]1/mm103,47102,15)0,093,6(0,91r1ς)(1

r1ς

r1 66

IIIm

−− ⋅=⋅⋅+⋅=⋅−+⋅=

Krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona Korištenjem izraza (7-48), odnosno (7-49) može se odrediti krivljenje za neispucali I ispucali presjek:

0,1130,005520,68ραe =⋅=⋅ ⇒ 1,261/k0,81/k III ≈≈ kI i kII određuju se prema izrazima iz Beton kalendara 1995.godina, Dio 1, strana 665.

[ ]1/mm100,2675003001,251220582020,6810300

IkzAαε

r1 6

36

II

ssecs

csI

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅=

[ ]1/mm0,7600,79455300

177)/12(45582020,6810300kdb

12x)(dAαε

IS

αεr1

3

6

II3

secs

II

IIecs

IIcs,

=⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅=⋅⋅=−

Ukupno krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona je:

[ ]1/mm100,27)0,090,760(0,91r1ς)(1

r1ς

r1 6

Ics,IIcs,mcs,

−⋅⋅+⋅=⋅−+⋅=

Ukupno krivljenje je:

[ ]1/mm104,19100,72)(3,47r1

r1

r1 66

mcs,mtot

−− ⋅=⋅+=+=


231

Progib u sredini raspona je: mm11,3104,19105,100,104r1lkf 662

tot

2eff =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −

Koeficijent k za razne raspodjele momenata je:


232

8. KONSTRUISANJE I DIMENZIONIRANJE PRIMJENOM ŠTAPNIH MODELA

Kod linijskih nosača (greda, stub itd.) u proračun se ulazi sa pretpostavkom da poprečni presjeci, nakon deformacije, ostaju ravni (Bernoulli-Navier-ova hipoteza). To znači da su deformacije εx u poprečnom presjeku linearne. Ova pretpostavka ne važi za zidove, kod kojih su deformacija εx izrazito nelinearne. Takođe i kod linijskih nosača postoje određena područja u kojima Bernoulli-jeva hipoteza nije primjenjiva. Ova područja se nazivaju područja diskontinuiteta i označavaju se kao D-područja.

8.1 B-područja B-područja su područja kontinuiteta u kojima vrijedi teorija štapa. Ovo vrijedi samo u područjima čistog savijanja ili savijanja sa uzdužnom silom bez poprečne sile (V = 0). Međutim, može se za vitke grede (rigle) i stubove, gdje se javljaju i poprečne sile, približno uzeti linearna raspodjela deformacija. Isto tako u B-područjima možemo primjeniti rešetkaste modele o čemu je rečeno u poglavlju 6. Na slici 8.1 prikazan je standardni rešetkasti model koji se primjenjuje za grede i rigle ramova.

Slika 8.1: Standardni rešetkasti model za grede

Nagib pritisnutih dijagonala Θ odabire se u granicama: 30o ≤ θ ≤ 60o. Promjenom ugla θ mijenjaju se vrijednosti potrebne armature uzengija i naprezanja pritisnutog štapa. Mali ugao θ javlja se ako je presjek opterećen silom uzduž osi nosača (prednaprezanje) i kod širokih rebara sa relativno malom količinom uzengija. Veliki ugao θ susrećemo ako na poprečni presjek djeluju podužne sile zatezanja i kod tankih rebara sa relativno velikom količinom uzengija.

Konstruisanje i dimenzioniranje primjenom štapnih modela

233

8.2 D-područja D područja (područja diskontinuiteta) jesu ona gdje nije upotrebljiv rešetkasti model sa slike 8.1 za opis unutrašnjeg toka sila. Područja diskontinuiteta dijele se na područja geometrijskog i statičkog diskontinuiteta. Geometrijski diskontinuitet javlja se kod nosača koji su diskontinuirano oblikovani kao što su: grede stepenasto promjenljivog poprečnog presjeka, zarezani oslonci, uglovi okvira, zakrivljenosti nosača i lomovi, otvori u nosačima, itd. Statički diskontinuitet javlja se u područjima unosa koncentričnih opterećenja, oslonaca, sidrenja kablova za prednaprezanje, skokovitih promjena temperatura, itd.

Slika 8.2: Primjeri geometrijskog i statičkog diskontinuiteta (D područja)

Za razne slučajeve diskontinuiteta razrađeni su štapni modeli, koje možemo podijeliti u D1, D2 i D3 modele. D1 modeli primjenjuju se za zone oslonaca i okolinu koncentričnog opterećenja.

Slika 8.3: D1 model za uvođenje koncentrične sile u gredu


234

Slika 8.4: Primjeri za primjenu D1 modela

D2 modeli koriste se na mjestima djelovanja dvije koncentrične sile. Rezultantni naponi pritiska imaju tok koso u odnosu na armaturu. U tom slučaju armatura imamo posla sa pritisnutim štapovima, kod kojih armatura nije okomita na os pritisnutog štapa, nego je horizontalno ili vertikalno orjentisana. Vertikalne uzengije mogu se koristiti ako je zadovoljen geometrijski uslov, a > h (slika 8.5a).

Ukoliko je, a < 2h koriste se horizontalne uzengije (slika 8.5b).

U području hah≤≤

2, mogu se koristiti obje varijante (slika 8.5c).

D2-model je statički neodređen. Sastavljen je iz sila u tri pravca i to sile u unutrašnjem krutom pritisnutom štapu i dvije u vanjskim zategnutim štapovima koji su međusobno zatvoreni sa poprečnom armaturom. Glavni dio opterećenja prenosi se direktno preko pritisnutih štapova, a ostatak opterećenja, uz pomoć zatvorenih uzengija indirektno se prenosi u krajnje čvorove, gdje se stvara dvoosno naponsko stanje.


235

Slika 8.5: D2 modeli Statički neodređena sila u uzengijama Tw može se približno odrediti prema sledećem izrazu:

Fza

Tw ⋅−⋅

=3

12 (8-1)

sa FTw ≤≤0 (8-2) Parametri dati u izrazu prikazani su na slici 8.6. Izraz predstavlja linearnu interpolaciju sile Tw između graničnog slučaja Tw = 0 kod a ≤ z i Tw = F kod a ≥ 2z. Primjeri D2 modela prikazani su na slici 8.6.

a)

b) c) Slika 8.6: Primjeri D2 modeli: a)opterećenje u blizini oslonca; b)konzola; c)čvor rama


236

Specijalni tipovi rešetka kojima se modeliraju nagle promjene visine grede jesu D3 modeli.

Slika 8.7: Područje štapa sa naglom promjenom visine izloženo čistom savijanju

Na slici 8.7 prikazan je principijelan tok opterećenja usljed čistog savijanja. Poprečna armatura u obliku uzengija raspodjeljuje se na dužini a1 i tvori zategnuti pojas za preuzimanje poprečnih sila. Na slikama 8.8 i 8.9 prikazani štapni modeli vrijede za linearan tok momenata savijanja, tj. poprečna sila je konstantna. Međutim rešetkasti model može se primjeniti i za kontinuirano opterećenje, tj. za promjenljivu poprečnu silu.


237

Slika 8.8: Područje štapa sa naglom promjenom visine izloženo savijanju sa pozitivnom

poprečnom silom


238

Slika 8.9: Područje štapa sa naglom promjenom visine izloženo savijanju sa negativnom

poprečnom silom

8.3 Čvorovi štapnih modela Čvorovi štapnih modela su područja gdje se sustiču štapne sile. Na tim mjestima mogu se javiti visoke koncentracije napona. Stvarno naponsko stanje u čvorovima je trodimenzionalan nelinearni problem. Za praksu je interesantno pronaći jednostavniji model proračuna. Čvorovi rešetkastog modela jesu neuralgične tačke konstrukcije. Pažljiva razrada detalja čvorova osigurava kvalitet konstrukcije, kao i pravilan prijenos sila unutar konstrukcije. Za dokaz nosivosti pritisnutih štapova, obično je dovoljno dokazati naprezanje na pritisak σc u priključnoj površini u čvoru rešetkastog modela. Nosivost zategnutih štapova, s druge strane određuje se preko površine poprečnog presjeka armature. Osim toga treba voditi računa o ankerisanju armature u čvorovima. Da bi se izbjegli komplicirani dokazi uvedena su razna konstruktivna pravila, koja su unesena u norme i odnose se na :

- rastojanja štapova - zaštitni sloj betona - dužinu ankerisanja - promjere savijanja armature - poprečnu armaturu cijepanja itd.

Na osnovu geometrije čvorova, broja i veličine štapova koji se sustiču u čvorovima, postoji niz raznih varijanti čvorova, koje se svode na tri osnovna tipa čvorova:

o Tip 1 : C – C – C čvor; o Tip 2 : C – T – C čvor; o Tip 3 : T – C – T čvor;


239

8.3.1 C – C – C čvor C-C-C čvorovi označavaju se još i kao čvorovi 1, a to su tačke u konstrukciji gdje se sustiču tri pritisnuta štapa. Na slici 8.10 prikazane su dvije varijante čvorova 1.

Slika 8.10: C-C-C Čvor; a) čvor sa tri štapa; b)čvor sa četiri štapa; c)oblik čvora i

naprezanja u čvoru C-C-C čvorovi javljaju se u područjima unutrašnjih oslonaca kod kontinuiranih nosača: Presjek A-A na slici 8.10c je presjek kroz sredinu srednjih oslonaca. Reakcija R odgovara polovici oslonačke reakcije. Ukoliko su poznate reakcije R i C2 mogu se odrediti odgovarajuća naprezanja σc1, σc2, σc3 i σc, pomoću izraza:

ba

R

11c ⋅

−=σ (8-3)

ba

CcotRba

C

3

)(2

3

33c ⋅

+θ⋅−=

⋅=σ

−

(8-4)


240

ba

C

2

22c ⋅=σ (8-5)

θ⋅+θ⋅= cosasinaa 21 (8-6)

θ

−=sin

RD (8-7)

θ⋅⋅

−=⋅

=σsinba

Rba

Dc (8-8)

( )θ+θ⋅θ⋅−=σ

cosasinasinbR

31c (8-9)

Kod čvorova tipa 1 dobije se dvoosno naponsko stanje pritiska. Ukoliko nema sila zatezanja okomitih na ravninu rešetke, može se σc uzeti kao dvoosna čvrstoća na pritisak betona betona ili, ukoliko želimo biti na strani sigurnosti, jednoosna čvrstoća na pritisak. 8.3.2 C – T – C čvor C-T-C čvorovi označavaju sa kao čvorovi 2. U čvorovima 2 javlja se zategnuti štap kojeg je potrebno ankerisati (slika 8.11). Sila zatezanja je u ravnoteži sa skretnom silom koja se javlja pod djelovanjem sila pritiska (ležajna reakcija R i sila u pritisnutom štapu D).

Slika 8.11: C-T-C Čvor


241

Slika 8.12: Ankerisanje zategnutog štapa

Naprezanje betona u pravcu dijagonale D može se odrediti prema izrazu:

θ⋅⋅

−=σsinba

Rc (8-10)

Osim toga potrebno je dokazati napone pritiska na osloncu σc1. 8.3.3 T – C – T čvor T-C-T čvorovi označavaju se i kao čvorovi 3. Kod ovih čvorova se sila u pritisnutim štapovima prihvata pomoću skretnih sila u armaturi (slika 8.13a).

Slika 8.13: T-C-T čvorovi Nagib pritisnute dijagonala treba se nalaziti unutar granica 30o < θ < 60o (8-11) Važan parametar za naprezanje u dijagonalnimštapovima σc jeste promjer savijanja armature dbr). Srednje naprezanje pritisnutih štapova određuje se prema izrazu:

θ⋅θ⋅⋅

=σcossindb

T

brc (8-12)

Horizontalne petlje ili kuke


242

sa T = T1 za T1 > T2 odnosno, T = T2 za T2 > T1 Savijene armaturne šipke uzrokuju cijepanje okolnog betona. Armatura pritišće beton i usijeca se u njega. Kod neispravno postavljene poprečne armature može doći do pojave cijepajućih prslina (slika 8.14).

Slika 8.14: T-C-T čvorovi: c)skretne sile u; d)cijepajuća prslina; e) rascjepna komponenta skretnih sila sy; f) poprečna armatura u području savijanja armaturnih šipki 8.3.4 Superpozicija osnovnih čvorova U principu svi čvorovi štapnih modela zasnovani su na osnovnim čvorovima 1, 2 i 3. Složeniji problemi rješavaju se superpozicijom osnovnih čvorova, odnosno preklapanjem modela osnovnih čvorova. U dijelu 8.5 daju se primjeri rješenja raznih područja diskontinuiteta pomoću štapnih modela.

Armatura za nošenje poprečnih šipki

Poprečne šipke


243

8.4. Primjeri primjene štapnih modela 8.4.1 Ugao rama opterećen momentom sa negativnim predznakom 8.4.1.1 Kruti stubovi (J1 ≈J2)

Slika 8.15: Ugao rama opterećen negativnim momentom: a)Model i presječne sile; b)Model sa razmazanom dijagonalom; c) Pojednostavljeni štapni model (čvor tip 2); d) vođenje armature


244

Na slici 8.15 prikazan je štapni model i vođenje armature za ugao rama opterećen momentom sa negativnim predznakom (M< 0), te približno jednakim dimenzijama rigli i stubova. Za objašnjenje modela usvojeno je V = 0.

M = T1 ⋅ z1 = T2 ⋅ z2 (8-13) C1 = -T1 (8-14) C2 = -T2 (8-15)

8.4.1.2 Vitki stubovi mekani na savijanje (J1 << J2) Kod vitkih stubova, model prikazan na slici 8.15, nije moguć jer rezultantna skretna sila odstupa od pravca dijagonale, kao što je pokazano na slici 8.16.

Slika 8.16: Ram sa riglom i stubom različitih krutosti Kao što vidimo na prethodnim slikama, ugao θ1 je premali. Prema tome potrebno je razraditi novi model kao što je pokazano na slici 8.16.


245

8.4.1.3 Uticaj poprečne sile Naravno, osim momenata savijanja u rigli i stubovima na mjestu uglova djeluje i poprečna sila. Ona s naučnog stanovišta ne mijenja znatno tok sila u uglu rama. Poprečne sile u rigli djeluju u smjeru unutarnjeg ugla rama (slika 8.17).

Slika 8.17: Uticaj poprečne sile u području ugla rama

Poprečne sile u stubu su relativno male. Ukoliko poprečne sile djeluju kako je pokazano na slici 8.17, ukupna sila u pritisnutom rubu biti će veća nego na zategnutom rubu.

121 CVT =+ (8-16)

212 CVT =+ (8-17) 8.4.2 Ugao rama opterećen momentom sa pozitivnim predznakom 8.4.2.1 Kruti stubovi (J1 ≈J2)

Slika 8.18: Ugao rama opterećen momentom sa pozitivnim predznakom


246

Osnovni problem kod uglova ramova opterećenih momentom sa pozitivnim predznakom je što sile u zategnutim štapovima (T1 i T2) stvaraju u pritisnutom uglu rezultantu T koja djeluje prema vani. Ove sile stoje u ravnoteži sa rezultantnom C silom iz oba pritisnuta štapa, koja je orijentisana prema vani (C1 i C2). Elemenat rama je nosiv samo u tom slučaju ako su sile C i T preko dijagonalnog zategnutog elementa sigurno zatvorene u odnosu jedna na drugu. Da bi se izbjegao prethodno navedeni problem naponi zatezanja moraju se pažljivo raspodijeliti unutar ugla rama pomoću kosih uzengija ili armature u obliku petlje, ili kombinacija obje. Na slici 8.19 i 8.20 prikazani su štapni modeli i način vođenja armature kod uglova ramova opterećenih momentom «srednje» veličine i momentom «velikog» intenziteta.

Slika 8.19: Ugao rama opterećen momentom «srednjeg» intenziteta

Slika 8.20: Ugao rama opterećen momentom «velikog» intenziteta


247

Slika 8.20: Ugao rama opterećen momentom «velikog» intenziteta

8.4.2.2 Vitki stubovi mekani na savijanje (J1 << J2)

U ovom slučaju imamo povoljnije stanje naprezanja nego što je to slučaj kod J1 ≈ J2. Moment savijanja koji je potrebno prihvatiti je manji zato što je J1 << J2. Visoke rigle (z2 > z1) reduciraju pojasne sile T2 i C2. Relativno velike pojasne sile T1 i C1 u gredi biti će prihvaćene sa velikim krakom sila z2.

Slika 8.21: Velika razlika između visine rigle i stuba (h2 >>h1)


248

8.4.3 Konzole Za opis nosivoti konzola koristi se D2 model (slika 8.22a). Razlikujemo normalne konzole (slika 8.22b),

2za0,5z 1 ≤≤ (8-18) kod kojih se uglavnom uzengije postavljaju vertikalno i visoke konzole (slika 8.22c),

0,5za0,3z 1 ≤≤ (8-19) gdje se prepručuju horizontalne uzengije. Ukoliko nema nekih posebnih saznanja, prema EC2 se za horizontalnu proračunsku silu uzima,

zx F0,2F ⋅≥ (8-20)

Slika 8.22: Konzole Na slici 8.23a prikazan je standardni slučaj konzole priključene na ugao rama opterećen negativnim momentom, dok je na slici 8.23b dana kratka konzola sa vutom.


249

Slika 8.23: Modeli konzola

Presjek 1-1 na slici 8.24a predstavlja prelaz između B područja i D2 područja. Presjek 2-2 sa slike 8.24b je na mjestu priključka konzole na ugao rama (D2 područje).

Slika 8.24: Presjeci mjerodavni za proračun


250

Slika 8.25: Određivanje sila u štapovima Uz pretpostavku da poprečni presjeci nakon deformisanja ostaju ravni, ukoliko je poprečni presjek opterećen na savijanje sa uzdužnom silom, moment se svodi u težište zategnute armature. Moment M1 u tački A prema slici 8.25 je:

M1=Fz·e1+Fx·(e2+z2) (8-21) pri čemu je z2≈0,9·d2. U nastavku se određuju ostali geometrijski parametri,

21cd

11 dbf

M⋅⋅

=μ (8-22)

11c 211 μ−−=δ (8-23) dc1=δc1·d1 – visina pritisnute zone (8-24)

2ddz 1c

11 −= krak unutrašnjih sila u stubu (8-25)

1z

x212 z

FFeea −⋅+= (8-26)

Moment M2 u tački B prema slici 8.25 je: M2=Fz·a2 (8-27)

22cd

22 dbf

M⋅⋅

=μ (8-28)

22c 211 μ−−=δ (8-29) dc2=δc2·d2 (8-30)

2ddz 2c

22 −= (8-31)

Poznavanjem krakova unutrašnjih sila z1 i z2 određen je položaj težišta pritiska C. Ako znamo moment u tački C,

Mc=Fz·a2+Fx·z2 (8-32)


251

možemo dobiti sile u zategnutim štapovima,

1

c1 z

MT = (8-33)

2

c2 z

MT = (8-34)

Iz uslova ravnoteže u uglovnom čvoru dobiju se sile u pritisnutim dijagonalama:

1

22

21

21 zzz

TD+

⋅−= (8-35)

2

22

22

x22 aza

)FT(D+

⋅−−= (8-36)

Potrebna armatura za preuzimanje sila u zategnutim štapovima je:

yd

11s f

TA = ; yd

22s f

TA = (8-37)

Osim dokaza štapova potrebno je dokazati nosivost pojedinih čvorova.

Slika 8.26: Čvorovi A,B i C štapnog modela

Pritisnuti štapovi završavaju u čvorovima A,B i C. Čvor A odgovara čvoru sa oznakom 1 (C-C-C čvor). Sa određenim visinama pritisnute zone dc1 i dc2, dobije se površina pritiska,

Ac1=dc1·b·sinθ1 (8-38) Ac2=dc2·b·sinθ2 (8-39)

a naprezanja u betonu, )(

cd1c

)(1

1c fAD −

−

≥=σ (8-40)

)(cd

2c

)(2

2c fAD −

−

==σ (8-41)


252

Čvor B odgovara čvoru tip 2 (C-T-C čvor). Naprezanje betona usljed vertikalnog pritiska od sile F ne bi trebalo prelaziti vrijednost,

σc=0,8·fcd (8-42) Posebnu pažnju treba obratiti na ankerisanje zategnutog štapa T2 u čvoru B. Rješenje vođenja armature prikazano je na slici 8-27.

Slika 8.27: Armatura konzole sastavljena od horizontalnih petlji i uzengija


253

8.4.4 Računski primjer : Dimenzioniranje konzole sa odnosom ac < hc Prema EC2 konzola se može dimenzionirati primjenom štapnih modela ako je ac < hc. U nastavku se daje primjer dimenzioniranja primjenom štapnog modela. Materijal: Beton C30/37, α=0,85; Armatura fsk = 500 MN/m2 Zaštitni sloj betona: Cnom=3,0 cm Računske vrijednosti: Beton C30/37 fcd=fck/γc=30/1,5=20,0 MN/m2

fbd=3,0 MN/m2 Armatura fyd=fsk/γs=500/1,15=435 MN/m2

Opterećenje sa koeficijentima sigurnosti: Fd=465 kN Prema EC2 horizontalna sila uzima se minimalno 20% vertikalnog opterećenja:

Hd=0,20·465=93 kN

a) Određivanje potrebne armature Moment u tački A je: MA=Fd·e1+Hd·(z2+e2) sa z2≈0,9·44=40 cm

MA=465·(36+18)+93·(40+6+1)=29481 kNcm


254

335,085,02036,040,0

29481,0fdb

M2

cd2

A =⋅⋅⋅

=α⋅⋅⋅

=μ

( ) ( ) 532,0335,021125,121125,1 =⋅−−⋅=μ−−⋅=ξ z1=d·ζ=d·(1-0,4·ξ)=36·(1-0,4·0,532)=28,3 cm

Moment u tački B je: MB=Fd·a1+Hd·e2 a1=18+(36-28,3)=25,7 cm

MB=465·25,7+93·(6+1)=12602 kNcm

0957,085,02044,040,0

12602,0fdb

M2

cd2

B =⋅⋅⋅

=α⋅⋅⋅

=μ

( ) ( ) 126,00957,021125,121125,1 =⋅−−⋅=μ−−⋅=ξ z2=d·ζ=d·(1-0,4·ξ)=44·(1-0,4·0,126)=41,7 cm

Moment u tački C je: MC=Fd·a1+Hd·(z2+e2)

MC=465·25,7+93·(41,7+6+1)=16480 kNcm Sile u zategnutim štapovima:

T1=MC/z1=16480/28,3=582 kN T2=MC/z2=16480/41,7=395 kN

Potrebna armatura:

As,pot.=T2/fyd=395/43,5= 9,08 cm2 As,pot.=T1/fyd=582/43,5= 13,38 cm2

Usvojena: POS 1, četverosječna Ø12, tri komada jedna iznad druge, As,stv.=13,58 cm2 b) Kontrola nosivosti betonskih pritisnutih štapova Nosivost betonskih pritisnutih dijagonala prema EC2 je: VRd2=b·z·ν·fcd/(cotθ+tanθ)

ν=0,7-fck/200=0,7-30/200=0,55≥0,5 tanθ=z2/a1=41,7/25,7 ⇒ θ=58,4

Vrd2=40·41,7·0,55·2,00/(cot58,4+tan58,4)=819 kN

VSd=465 kN<VRd2=819 kN

c) Dokaz lokalnog pritiska ispod opterećene pločice

σc=Fd/ALager≤ν·fcd sa ν=0,8 σc=0,465/(0,16·0,32)= 9,08 MN/m2 < 0,8·20=16 MN/m2

d) Ankerisanje podužne armature stubova i konzolne armature Pos 1 Osnovna dužina ankerisanja: lb=(ds/4)·(fyd/fbd)=(1,2/4)·(435/3,0)=43,5 cm

lb,net=αa·lb·As,pot./As,stv.=1,0·43,5·13,38/13,58=42,9 cm > lb,min


255

Minimalna dužina ankerisanja: lb,min≥0,3·lb=0,3·43,5=13,1 cm lb,min≥10·ds=10·1,2=12 cm lb,min≥10 cm

Potrebna dužina ankerisanja: ls=lb,net·α1=42,9·1,4=60,0 cm > ls,min ls,min≥0,3·α1·αa·lb=0,3·1,0·1,4·43,5=18,3 cm ls,min≥15Ø=15·1,2=18 cm ls,min≥20 cm

e) Ankerisanje ostalih pozicija konzolne armature Čvrstoća prianjanja za srednju prionljivost: fbd=0,7·3,0=2,1 MN/m2 Čvrstoća prianjanja može se uvećati za faktor 1/(1-0,04·p)≤1,4, ako je područje ankerisanja izloženo poprečnom pritisku, p=σc.

1/(1-0,04·9,08)=1,57 > 1,4 (usvaja se 1,4) Uvećana čvrstoća prianjanja je: fbd,uvećano=1,4·2,1=2,94 MN/m2 Osnovna dužina ankerisanja: lb=(ds/4)·(fyd/fbd)=(1,2/4)·(435/2,94)=44,4 cm

lb,net=αa·lb·As,pot./As,stv.=0,7·44,4·9,08/13,58=20,8 cm > lb,min lb,min≥0,3·lb=0,3·44,4=13,3 cm lb,min≥10·ds=10·1,2=12 cm lb,min≥10 cm

Stvarna dužina ankerisanja je: lstv.=16+9-3=22 cm > lb,net=20,8 cm


256

8.4.5 Temelji Tok sila kroz monolitni temelj samac opterećen centrično prikazan je na slici 8.28 pomoću prostornog štapnog modela.

Slika 8.28a: 3D štapni model za centrično opterećene temelje samce

Na slici 8.28b, c, d dati su horizontalni i vertikalni presjeci kroz 3D štapni model.


257

Slika 8.28: Tlocrt i presjeci kroz 3D štapni model Srednji pritisnuti štapovi 1 i 3 preuzimaju više opterećenja od štapova 2 tako da bi trebalo kod širokih temelja (b>b1+2h) ispod stuba armaturu progustiti. Rezultante pojedinih dijelova temeljne spojnice koje stoje u ravnoteži sa vanjskim opterećenjem predstavljaju integral napona pritiska u tlu po površini temeljne spojnice. Na slici 8.28 temeljna spojnica je podijeljena na 9 jednakih dijelova, međutim isto tako podijela može biti i sitnija., kao što je pokazano na slici 8.29.

Slika 8.29: Alternativni štapni model sa 36 štapova

Ukoliko je temelj samac opterećen ekscentrično štapni model je sličan modelu ugla rama opterećenog negativnim momentom (slika 8.30).


258

Slika 8.30: Ekscentrično opterećen temelj samac

Kod montažne gradnje često su u upotrebi gotove temeljne stope sa temeljnim čašama, u koje se postavljaju stubovi. Funkcija temeljne čaše je da se momenti uklještenja iz stubova prenesu u temeljni blok. Spoj stuba sa temeljnom čašom može biti glatka ili profilirana površina.

Slika 8.31: Temelj sa temeljnom čašom:

a) profilirana kontaktna površina stuba i temeljne čaše b) glatka kontaktna površina stuba i temeljne čaše

Kod glatkih kontaktnih površina stuba i temeljne čaša moment savijanja sa stuba u stijenke temeljne čaše prenosi se preko horizontalnih sila.

2tVMMm ⋅+= (8-42)

V45

tM

23

2V

zMH m

o ⋅+⋅=+= (8-43)


259

V41

tM

23

2V

zMH m

u ⋅+⋅=−= (8-44)

Slika 8.32: Glatka kontaktna površina; horizontalne sile koje djeluju na

stijenku temeljne čaše Štapni model za područje uklještenja stuba u temeljnu čašu prikazan je na slici 8.33.

Slika 8.33: Glatka kontaktna površina; štapni model

Na slici 8.34 i 8.35 prikazan je prenos sila kroz temeljnu čašu i raspored armature.


260

Slika 8.34: Prenos sila kroz temeljnu čašu

Slika 8.35: Armatura temeljne čaše


261

Štapni modeli mogu se uspješno primijeniti za proračun temelja na šipovima, odnosno naglavne grede iznad šipova. Kod temeljenja na dva šipa štapni model je ravninski (slika 8.36).

Slika 8.36: Štapni model naglavne grede iznad šipova

Slika 8.37: Armatura naglavne grede preko dva šipa

Štapni modeli kod temeljenja na više od dva šipa su prostorni sa kosim pritisnutim štapovima koji se direktno oslanjaju na šipove (slika 8.38).


262

Slika 8.38: Naglavna greda (ploča) preko tri ili četiri šipa

Visina naglavna grede (ploče) određuje se iz uslova da nagib pritisnutih štapova ne bude manji od tanα =0,5. Horizontalna komponenta pritisnutih štapova se zatvara putem zategnutog pojasa. Zategnuti pojas proteže se u vidu trake preko šipova. Armaturu je potrebno ugraditi u širini šipova. Ako je razmak šipki nedovoljan bolje je postaviti armaturu jednu iznad. Općenito se opterećenje prenosi najkraćim putem u oslonce, tj. šipove. Ukoliko su šipovi na većem rastojanju jedan dio opterećenja koji prenosi se indirektno. Štapni model prikazan je na slici 8.39.


263

Slika 8.39: Štapni model za naglavnu ploču oslonjenu na četiri šipa, jedan

dio opterećenja prenosi se indirektno

Armatura ovješenja ucrtana na slici 8.39 služi za ovješenje potporne rešetke 2 na rešetku 3. Raspored armature prikazan je na slici 8.40. Ukoliko se ne ugradi armatura ovješenja dolazi do loma konstrukcije kako je pokazano na slici 8.41.

Slika 8.40: Armatura naglavne ploče preko šipova na većem razmaku

Slika 8.41: Slom konstrukcije usljed nedostatka armature ovješenja


264

8.5. Još neki primjeri primjene štapnih modela 8.5.1 Oslanjanje grede na izdignuti oslonac Izdignuti oslonac je tipičan primjer D3 područja. Odgovarajući štapni model skiciran je na slici 8.42.

Slika 8.42: Izdignuti oslonac

Na dužini a1 raspoređuju se progušćene uzengije. Ova dužina ne smije biti manja od z2

.cotΘ2. Ugao Θ1 ne bi trebao biti manji od 350. Armatura konzolnog dijela produžuje se u gredu za dužinu pri kojoj je Θ3 ≈ Θ2. Na slici 8.43 prikazane su dvije varijante štapnih modela za Gerberov zglob.

Slika 8.43: Gerberov zglob


265

Štapni model za gredu sa smanjenom visinom nad osloncem, gdje se visina mijenja izvedbom grede sa vutom, dat je na slici 8.44.

Slika 8.44: Greda sa izdignutim osloncem i vutom

8.5.2 T čvor rama sa kontinuiranom riglom Na slici 8.45 daju se štapni modeli za T čvor rama (kontinuirana rigla preko stubova) opterećen simetričnim momentima i opterećen različitim momentima desno i lijevo od stuba.

Slika 8.45a: T čvor izložen djelovanju simetričnog momenta


266

Slika 8.45b: Prihvat povećanog momenata sa lijeve strane T čvora

Slika 8.45c: Prihvat povećanog momenata sa desne strane T čvora

Slika 8.45d: Preklapanje štapnih modela a i b

8.5.3 T čvor rama sa kontinuiranim stubom Kod višespratnih ramova krajnji stubovi prolaze kontinuirano kroz čvor rama, pri čemu unutar čvora moment mijenja predznak (slika 8.46).


267

Slika 8.46: Detalj čvora sa raspodjelom momenata savijanja stuba

Kako moment unutar čvora mijenja predznak može se štapni model izraditi zasebno za dio sa pozitivnim momentom i dio sa negativnim momentom. Preklapanjem ova dva štapna modela dobije se štapni model čvora. Pojedinačni modeli dati su na slici 8.47.


268

Slika 8.47: Štapni modeli za T čvor sa kontinuiranim stubom a) Pozitivni moment M1

b) Negativni moment M2

Konstruktivne pojedinosti

269

9. KONSTRUKTIVNE POJEDINOSTI 9.1 Konstruktivne pojedinosti greda Grede su štapni nosači pretežno napregnuti na savijanje, najčešće pavougaonog ili T presjeka. Mogu biti slobodno položene, ukliještene, elastično ukliještene ili kontinuirane. Najmanja visina grede mora iznositi 1/20 raspona kod slobodno položenih greda, odnosno udaljenosti nultih tačaka momenata savijanja za kontinuirane ili ukliještene grede. 9.1.1 Zaštitni sloj betona Postoji više razloga zašto je potreban dovoljan zaštitni sloj betona :

o zaštitni sloj betona je bitan za prionljivost betona i armature o štiti armaturu od korozije o u slučaju požara produžava otpornost konstrukcije na požar

Zbog toga je potrebno držati se slijedećih minimalnih vrijednosti :

o kod ploča i rebrastih ploča c=15mm o kod svih ostalih uobičajenih elemenata c=20mm

Takođe treba poštovati uslov da zaštitni sloj betona mora biti minimalno jednak promjeru šipke armature preko koje se postavlja. Veći zaštitni slojevi (npr.30mm) povećavaju trajnost konstrukcije. Kod zaštitnih slojeva betona većih od 40mm armatura blizu gornjeg ruba betona mora biti u obliku mreže maksimalnog otvora 100mm i poprečnog presjeka minimalno l% površine zaštitnog sloja betona. Da bi se postigao zahtijevani zaštitni sloj betona i šipke smjestile u željeni položaj koriste se distanceri, koji se postavljaju na rastojanju 0,5m do maksimalno 1,0m, odnosno 4 komada/m2.

Slika 9.1: Udaljenost armaturnih šipki od ruba betona i međusobna udaljenost


270

Najmanje svijetlo rastojanje paralelno položenih armaturnih šipki mora biti minimalno promjer šipki i ne smije biti manje od 2 cm. Da bi se osiguralo pravilno nabijanje betona u gornjem redu armature donje zone ostavlja se prolaz za vibrator. 9.1.2 Postavljanje armature U zategnutom pojasu (eventualno u pritisnutom pojasu) podužna armatura se postavlja zbog preuzimanja napona zatezanja usljed savijanja. Položaj armature u odnosu na neutralnu os određuje se na osnovu potrebne veličine kraka unutrašnjih sila. Kod debljih šipki povoljno je u području nastavka armature ankerisati krajeve šipki tako što će se blago saviti, te se na taj način povećava zaštitni sloj šipke (slika 9.2). Kod šipki u obliku uzengija nije potrebno ovakvo rješenje.

Slika 9.2: Savijanje prekinute ravne šipke

Armatura promjera ds < 14 mm dostavlja se od proizvođača u dužinama 12-14 m. Isto tako se može dostavljati i većih dužina, kao što je slučaj kod većih gradilišta. Kod manjih gradilišta se, uglavnom, koriste standardne dužine. Prilikom izrade nastavaka armature treba voditi računa da se nastavljanje armature radi u područjima manjih naprezanja. Dužine preklapanja i dužine ankerisanja armature definisane su u EC2. Ukoliko se više od 20 % armature nastavlja u jednom poprečnom presjeku, tada se dužina ankerisanja povećava. Povećanje dužine ankerisanja za 100 % je potrebno ako se u poprečnom presjeku nastavljaju sve šipke, dok za ostale postotke se vrši linearna interpolacija. Na slici 9.2 prikazana je jedna vrstu preklapanja armature. Takođe se može preklop riješiti sa zavarivanjem, kao i putem armaturnih petlji. 9.1.3 Armiranje u snopovima Podužna armatura smije se i grupno postavljati, u snopovima od dvije, tri ili četiri šipke, ali, samo dvije mogu biti jedna iznad druge ili jedna pored druge. Dužina ankerisanja i potrebni zaštitni sloj betona za armaturu u snopu određuje se kao za okruglu šipku površine poprečnog presjeka koja odgovara armaturi u snopu. Kako je kod armiranja u snopu lošija prionljivost između betona i armature, dužina ankerisanja povećava se u odnosu na pojedinačno armiranje za sljedeće vrijednosti: - za snop sastavljen iz dvije šipke 1,20 - za snop sastavljen iz tri šipke 1,33 - za snop sastavljen iz četiri šipke 1,50


271

Slika 9.3: Armiranje u snopovima

9.1.4 Poprečna armatura (uzengije)

Slika 9.4: Razmak podužnih šipki i načini uvezivanja uzengijama

Uzengije zajedno sa podužnom armaturom tvore armaturni koš i moraju biti zatvorene sa kukom. One ujedno sprečavaju poprečne dilatacije te prihvataju dijagonalne sile zatezanja.. Da bi armaturni koš bio dovoljno krut promjer uzengija mora biti minimalno 1/3 promjera podužne armature, s tim da je maksimalni promjer 12mm. Kod pravougaonih uzengija maksimalan odnos stranica može biti 2:1.


272

Razmak uzengija s mora zadovoljiti slijedeće kriterije: - s ≤ 0,25m - s ≤ b - s ≤ 12 . ds

gdje je: b – širina poprečnog presjeka ds – promjer podužne šipke Podužna armatura obavezno se postavlja u uglovima uzengija ili u blizini ugla kako bi bilo spriječeno izvijanje. Maksimalan razmak podužnih šipki kod stubova ne smije biti veći od 0,4m, odnosno kod zidova 0,25m. Preporučuje se promjer podužnih šiki u granicama 12mm ≤ ds ≤ 40mm, odnosno < b/8. 9.2 Konstruktivne pojedinosti stubova Stubovi su konstruktivni elementi napregnuti na centrični i ekscentrični pritisak. Minimalne dimenzija stranice stuba u monolitnoj izvedbi je 20cm, odnosno u montažnoj izvedbi 14cm. Dimenzije stubova mogu biti i manje ukoliko nosivost stubova nije važna. Minimalni promjer podužnih armaturnih šipki je 12mm za stubove dužine stranice d ≥ 200mm, 10mm za stubove dužine stranice 120 ≤ ds ≤ 200mm. Minimalna podužna armatura u stubovima određuje se izrazom:

cyd

Sdmin,s A003,0

fN15,0A ⋅≥⋅

= (9-1)

gdje je: NSd – vrijednost normalne sile mjerodavne za dimenzioniranje Ac – ukupna površina poprečnog presjeka betona

Maksimalna podužna armatura ne treba da premaši graničnu vrijednost 0,08Ac. 9.2.1 Raspored armature u stubovima U svakom uglu poprečnog presjeka potrebna je najmanje jedna šipka. Najveći razmak podužne armature ne smije biti veći od 300 mm. Kod stubova širine b ≤ 400 mm dovoljna je po jedna šipka u uglovima. U okolinu uglova uzengija može se postaviti do 5 podužnih šipki, tj ugrađene uzengije mogu osigurati od izvijanja 5 armaturnih šipki.

Slika 9.5: Raspored podužnih šipki u blizini ugla uzengije


273

Ako se u blizini ugla uzengije postavi više od 5 armaturnih šipki moraju se ugraditi dodatne međuzengije za sprečavanje izvijanja podužne armature.

Slika 9.6: Slom stuba usljed izvijanja armature i otkidanja zaštitnog sloja betona

Kod kružnih poprečnih presjeka potrebno je najmanje 6 šipki podužne armature.

9.2.2 Parametri poprečne armature

Slika 9.7: Glavna uzengija (Pos 1) na razmaku “s” I međuuzengije (Pos 2) na

rasteru “2s”


274

a) Minimalni promjer poprečne armature ds,z ds,z ≥ 6 mm (kod mreža ≥ 5 mm)

ds,z ≥ 4

,xsd

gdje je: ds,z – promjer poprečne armature ds,x – promjer podužne armature

b) Maksimalni razmak poprečne armature s ≤ 12 ds,x

s ≤ b s ≤ 300 mm gdje je: s – razmak vilica ds,x – najmanji promjer podužne armature

Na krajevima stubova ugrađuje se dvostruko više poprečne armature. Isto tako uzengije se pogušćavaju u području nastavka podužne armature ako je ds,x > 14mm. U području gdje dolazi do promjene pravca podužnih šipki potrebne su dodatne uzengije za preuzimanje skretnih sila. 9.3 Konstruktivne pojedinosti ploča Glavna armatura ploča postavlja se u jednom smjeru ili dva zavisno od odnosa stranica ploče. Za odnos stranica lx/ly > 2 ploča se armira glavnom armaturom u smjeru kraćeg raspona, a ako je lx/ly < 2 armira se glavnom armaturom u oba smjera. Kod jednoosno napregnutih ploča okomito na smjer glavne armature postavlja se podiona armatura. Razmaci šipki glavne armature u području najvećih napona ne smiju biti veći od 1,5h, gdje je „h“ visina ploče, niti veći od 35cm. Na mjestima na kojima se armatura smanjuje zbog opadanja momenata, razmak armaturnih šipki ne smije biti veći od 40cm. Čisto rastojanje između šipki armature ne smije biti manje od 4cm. Ako su ploče opterećene koncentričnim silama, razmak između šipki glavne armature ne smije iznositi više od 1,5h, odnosno 20cm. Na krajnjim slobodnim osloncima ploča potrebno je saviti jednu trećinu do jednu polovinu glavne armature i prevesti je preko oslonca. Kod varijante sa ravnim šipkama na krajnjem osloncu ploča se armira za negativni moment veličine 25% maksimalnog momenta u polju. Ova armatura vodi se u polje na dužini 0,2leff od unutrašnje strane oslonca. Ploče moraju u području najvećeg napona imati presjek armature najmanje 0,15% betonskog presjeka ako je armirana glatkom, 0,10% rebrastom, odnosno 0,075% mrežastom armaturom. Podiona armatura ne smije biti manja od 20% glavne armature, odnosno 0,1% betonskog presjeka. Razmak podione armature ne smije biti veći od 2,5h, odnosno 40cm.

Koncept sigurnosti

41

5. KONCEPT SIGURNOSTI

5.1. Osnove koncepta sigurnosti Projektovanje konstrukcije objekta provodi se korištenjem poznatih tehničkih pravila, koja su rezultat sveukupnog inžinjerskog iskustva. Učesnici u izgradnji jednog objekta (investitor, projektanti i izvođač) trebaju osigurati primjenu pozitivnih iskustava.

Koncept sigurnosti zasniva se na: 1. Mjerama za umanjenje mogućnosti greške ljudskog faktora; 2. Postizanju dovoljne rezerve sigurnosti između naprezanja i otpornosti nosive

konstrukcije; 3. Mjerama za ograničenje oštećenja konstrukcije.

5.1.1 Mjere za umanjenje ljudske greške U normi prEN 1990-01 definisani su slijedeći zahtjevi u pogledu projektovanja konstrukcije:

o Konstrukciju će projektovati kvalificirano i iskusno osoblje; o Građenje će biti provedeno od strane odgovornog i iskusnog osoblja; o Nadzor i kontrola kvalitete provest će se od strane kvalificiranog osoblja, tj. u

projektnim biroima, kod montažne gradnje u pogonima i na gradilištu; o Primjena građevinskih materijala i proizvoda koji po svojim svojstvima odgovaraju

relevantnim standardima; o Dimenzije konstrukcije će odgovarati projektovanim mjerama; o Ispunit će se svi zahtjevi koji se odnose na materijale i izvedbu.

Ispunjavanjem prethodno navedenih zahtjeva smanjuje se mogućnost ljudske greške na minimum. Pri tome se mora naglasiti da ove mjere ne pokrivaju ljudske greške iz nehata. Dakle, podrazumjeva se odgovornost radnog osoblja. 5.1.2 Osnovni zahtjevi za nosivu konstrukciju Objekat mora biti tako projektovan i izveden da za vrijeme izvedbe i upotrebe pod mogućim opterećenjem ima zadovoljavajuću pouzdanost da neće doći do neželjenih posljedica, kao što su:

o Rušenje objekta ili pojedinih dijelova, o Nedopušteno velike deformacije, o Oštećenja drugih elemenata ili opreme u objektu usljed prevelikih deformacija, o Neočekivanih iznenadnih oštećenja većih razmjera.

Konstrukcija mora biti dimenzionirana tako da njena nosivost, upotrebljivost i trajnost ispunjava date uslove.

Dimenzioniranje konstrukcije i svojstava građevinskih materijala mora se provesti tako da je u eksploatacionom vijeku konstrukcije, sa dovoljno velikom pouzdanošću, zadovoljen uslov:

E ≤ R (odnosno C) ili Z ≤ R (odnosno C) – E ≥ 0 (5-1)

U nejednačini (5-1) oznake imaju slijedeće značenje: E – naprezanje kao funkcija vremena i položaja


42

R – otpornost C – kriterij upotrebljivosti (npr. dopuštena deformacija) Z – sigurnosna distanca (ili zona sigurnosti)

Vrijednost sigurnosne distance Z ima slijedeće značenje: Z > 0 Konstrukcija je sigurna odnosno upotrebljiva za planiranu upotrebu Z = 0 Konstrukcija se nalazi u graničnom stanju nosivosti odnosno upotrebljivosti Z < 0 Konstrukcija se ruši ili nema potrebnu sigurnost ili upotrebljivost

Sa stanovišta racionalnosti konstrukcije povoljno je graditi objekte sa što manjom zonom sigurnosti. Odgovor koji treba dati projekat konstrukcije jeste zadovoljenje potrebnih zahtjeva u pogledu sigurnosti ali isto tako i racionalnosti, koji su oprečni jedno drugom.

Pravilno projektovana konstrukcija predstavlja optimum zahtjeva pouzdanosti i racionalnosti.

Za vrijeme projektovanja konstrukcije nisu poznate tačne vrijednosti veličina R i E, tj. otpornost R možemo tek izmjeriti nakon izvedbe konstrukcije, a opterećenje tek u fazi eksploatacije konstrukcije. Dakle, u procesu dimenzioniranja trebamo donijeti odluku sa kojom veličinom rizika želimo imati posla. Da bi smo ove rizike umanjili, koriste se pomoćna sredstva, koja osiguravaju dovoljnu sigurnost nosivosti buduće konstrukcije. Najvažnije pomoćno sredstvo je statički proračun, koji se sastoji od

o Određivanja statičkih veličina za očekivano opterećenje konstrukcije, o Proračuna naprezanja u konstrukciji o Usporedbe naprezanja sa nosivošću konstrukcije, koja se postiže

dimenzioniranjem poprečnih presjeka i svojstava materijala.

Između teoretskog modeliranja konstrukcije i izvedene stvarne konstrukcije za vrijeme njene eksploatacije postoje slijedeća odstupanja:

a) Sistemska odstupanja (netačnost modela) o Model opterećenja o Model konstrukcije o Model otpornosti

Netačnost modela posljedica je nepouzdanosti postupka dimenzioniranja. Sa razvojem računarske tehnike dolazi do smanjenja ovih netačnosti. b) Slučajna odstupanja (nepouzdanost mehaničkih veličina)

o Opterećenje (intenzitet) o Geometrijske veličine (mjere) i o Svojstva materijala

Stvarna nosivost konstrukcije može se samo pomoću zakona vjerovatnoće predviđati. Pri tome se koriste stohastički modeli na osnovu probnih ispitivanja. Međutim, obim tih ispitivanja uglavnom je nedovoljan. Uticaj slučajnih nepouzdanosti na sigurnost, tj. pouzdanost konstrukcije moguće je razmatrati samo pomoću stohastičkih metoda (teorija pouzdanosti). Za potrebe prakse potrebna su pojednostavljenja teorije. Iz toga je proizašao parametarski koncept sigurnosti kod kojeg su mehaničke veličine uzete kao osnovne promjenljive sa karakterističnim vrijednostima, koje netačnost modela i nepouzdanosti opisuju sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti. Ovi parametri se linearno kombiniraju i opisuju model konstrukcije približan stvarnosti. 5.1.3 Mjere za ograničenje oštećenja Bez obzira na sve prethodno preduzete mjere u pogledu umanjenja faktora ljudske greške i osiguranja zone sigurnosti, još uvijek nije isključena mogućnost greške.

Koncept sigurnosti

43

Ostaje još uvijek određeni dio rizika. Postoji još uvijek mogućnost da prilikom projektovanja nisu razmatrana neka opterećenja, da su bez obzira na sistematsku kontrolu propuštene neke stvari, da dođe do slučajnog preklapanja ekstremnih uticaja, da dođe u određenom vremenskom intervalu do preopterećenja, uticaja ljudske ili prirodne katastrofe (npr.eksplozija) ili do grešaka usljed ljudskog neznanja ili neprepoznavanja nekog problema. Kontrola i nadzor kod dosta objekata za vrijeme projektovanja i izvođenja je samo povremena, osim kod mostova, brana, elektrana.

Prema tome treća strategija koncepta sigurnosti jeste slučajeve otkazivanja konstrukcije umanjiti, posebno eventualne smrtne slučajeve.

Moguća oštećenja konstrukcije mogu se određenim mjerama ograničiti ili umanjiti, kao što su:

o nosivim sistemom sa umanjenom podložnošću štetama; o nosivim sistemom kod kojeg otkazivanje pojedinog dijela konstrukcije neće značiti

rušenje objekta; o nosivim sistemom sa najavljenim otkazom; o proizvodnjom pouzdanih nosivih veza sistema.

5.1.4 Osiguranje zadovoljavajuće pouzdanosti Zadovoljavajuća pouzdanost konstrukcije može se postići slijedećim mjerama:

o Dokazom graničnih stanja nosivosti i upotrebljivosti; o Izgradnjom u skladu sa konstruktivnim pravilima za beton i armirani beton; o Osiguranjem trajnosti konstrukcije; o Razmatranjem slučajeva opterećenja za konačno stanje (eksploatacija objekta) i za

faze gradnje; o Osiguranjem duktilnosti elemenata (minimalna armatura).

5.1.5 Pregled postupaka dokazivanja Sigurnost konstrukcije dokazuje se usporedbom rezultirajućih proračunskih vrijednosti naprezanja i otpornosti za definirana granična stanja i njima pripadajuće situacije dimenzioniranja.

Granična stanja Prekoračenjem graničnih stanja konstrukcija ne ispunjava projektovane zahtjeve. Razlikujemo,

- granično stanje nosivosti – njihovim prekoračenjem dolazi do loma konstrukcije,

- granično stanje upotrebljivosti – njihovim prekoračenjem nisu zadovoljeni upotrebni zahtjevi konstrukcije ili njenih pojedinih dijelova.

Situacije za dimenzioniranje Da bi se zadovoljila funkcionalnost objekta za vrijeme izgradnje i upotrebe, mora se provesti istraživanje objekta za moguće mjerodavne situacije za dimenzioniranje, koje se pojavljuju u graničnim stanjima. Ove situacije za dimenzioniranje povezane su sa kriterijima dokaza i pripadajućim oblicima dokaza. Pregled strukture koncepta dimenzioniranja daje se u tabeli 5.1.


44

Tabela 5.1: Struktura koncepta dokaza Granično stanje Nosivost Upotrebljivost

Zahtjevi Sigurnost osoblja Sigurnost konstrukcije

Ugodnost osoblja Funkcija konstrukcije Izgled konstrukcije

Kriteriji dokaza

Gubitak sigurnosti položaja Otkaz čvrstoće Otkaz stabilnosti Zamor materijala

Ograničenje naprezanja Izgradnja prslina Deformacije Vibracije

Situacije za dimenzioniranje

Stalno i promjenljivo Izvanredno Zemljotres

Rijetka odnosno karakteristična Česta Kvazi – česta

Akcija na nosivu konstrukciju

Računska vrijednost naprezanja (destabilizirajući uticaji, poprečne sile)

Računska vrijednost djelovanja (naprezanja, širine prslina, deformacije)

Reakcija nosive konstrukcije

Računska vrijednost otpornosti (stabilizirajući uticaji, čvrstoća materijala, otpornost presjeka)

Kriteriji upotrebljivosti (dopušteno naprezanje, dekompresija, širina prslina, deformacije)

Dimenzioniranje za granična stanja

Dimenzioniranje mora biti, prema prEN 1990-01, provedeno u slijedećim koracima: 1. Postavka modela konstrukcije i modela opterećenja za granična stanja nosivosti i

upotrebljivosti sa računskim vrijednostima za geometrijske veličine; 2. Određivanje reprezentativnih vrijednosti (opširnije u 5.1.6) za uticaje i svojstva

materijala; 3. Proračun rezultirajućih računskih vrijednosti (vidi 5.1.7) kroz linearnu kombinaciju

reprezentativnih vrijednosti sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti (opširnije u 5.2);

4. Analiza konstrukcije za razne situacije za dimenzioniranje i slučajeve opterećenja; 5. Dokaz graničnih stanja (vidi 5.1.8).

Računska vrijednost uticaja na konstrukciju ne smije da prekorači računsku vrijednost reakcije konstrukcije. 5.1.6 Reprezentativne vrijednosti Teoretske reprezentativne vrijednosti uticaja (F) i svojstava materijala (X) označavaju se kao karakteristične vrijednosti (Fk odnosno Xk) (vidi prEN 1990-01). Karakteristične vrijednosti predstavljaju osnovu za kontrolu, za vrijeme proizvodnje materijala, izvedbe konstrukcije i upotrebe konstrukcije. Razlikujemo karakteristične vrijednosti za uticaje i karakteristične vrijednosti za svojstva materijala:

1. Karakteristične vrijednosti za uticaje

Karakteristične vrijednosti uticaja (Fk) date su u normama koje se odnose na uticaje. Karakteristična vrijednost za stalne uticaje Gk u općenitom slučaju je srednja vrijednost.

Koncept sigurnosti

45

Samo u slučaju kada je koeficijent varijacije VG > 0,10 uzimaju se donja (5%) i gornja (95%) fraktilna vrijednost. Karakteristična vrijednost za promjenljive uticaje Qk općenito je 98% fraktilna vrijednost sa povratnim periodom od 1 godinu. U slučaju kombinacije više promjenljivih uticaja reprezentativne vrijednosti za promjenljive uticaje Qrep,i dobiju se kao proizvod karakterističnih vrijednosti Qk sa faktorom kombinacije ψi (≤ 1,0), i to su:

a) Kombinirana vrijednost: Qrep,0 = ψ0 . Qk Kombinirana vrijednost odredit će se tako da pri njenoj upotrebi u kombinacijama uticaja ne bude umanjena pouzdanost konstrukcije.

b) Česta vrijednost: Qrep,1 = ψ1 . Qk Česta vrijednost odredit će se tako da bude ograničen period prekoračenja u povratnom periodu (npr. 5%) ili učestalost prekoračenja (npr. 300 puta u godini).

c) Kvazi - česta vrijednost: Qrep,2 = ψ2 . Qk Kvazi - česta vrijednost odredit će se tako da period prekoračenja u jednom promatranom dijelu povratnog perioda (50%) odgovara vremenskoj srednjoj vrijednosti. Za uticaje od vjetra i prometa kvazi – statička vrijednost u pravilu je nula (prEN 1990-01).

Kod zamora materijala mogu se uzeti u razmatranje i druge reprezentativne vrijednosti.

Slika 5.1: Prikaz reprezentativnih vrijednosti promjenljivog opterećenja

2. Karakteristične vrijednosti za svojstva materijala Karakteristične vrijednosti za svojstva materijala (Xk) date su u specifičnim normama za određene vrste materijala i obično su prikazane u oblik fraktilne vrijednosti statističke raspodjele i to:

- kao 5% fraktilna vrijednost čvrstoće; - kao srednja vrijednost krutosti; - gornja nazivna vrijednost za prinudna naprezanja.


46

5.1.7 Proračunske vrijednosti a) Proračunske vrijednosti za uticaje

Reprezentativne vrijednosti Frep odnosno karakteristične vrijednosti Fk uvećane parcijalnim koeficijentima sigurnosti predstavljaju proračunske vrijednosti Fd :

Fd = γEd . γf . Frep = γF . Frep (5-2)

Za Frep može se uzeti Gk, Qk ili Orep,i. b) Proračunske vrijednosti za svojstva materijala

Proračunske vrijednosti Xd korigiraju se pomoću faktora η, koji uzima u obzir trajanje opterećenja, vlažnost, temperaturu, i sl.

Xd = η(Xk/γRd . γm) = η(Xk/γM) (5-3) Značenje pojedinih parcijalnih koeficijenata sigurnosti, kao i njihov međusobni odnos prikazan je na slici 1.5.

Slika 5.2: Odnosi između pojedinih parcijalnih faktora sigurnosti

c) Proračunske vrijednosti za naprezanja Naprezanja (E) jesu odgovor konstrukcije na akciju (F) i zavise od geometrijskih veličina (a) i svojstava materijala (X).

Shodno prethodno rečenom općeniti oblik proračunske vrijednosti je:

Ed = E (Fd1, Fd,2,…,ad,1, ad,2,…,Xd,1, Xd,2,…) (5-4) Primjenom parcijalnih koeficijenata sigurnosti (vidi slika 5.2) dobijamo:

1. Oblik za nelinearan proračun presječnih veličina prema (prEN1990-01)

Ed = γEd . E (γg,1

. Gk,1, γg,2 . Gk,2,…, γq,1

. Qrep,1, γq,2 . Qrep,2…) (5-5)

Sa faktorima uticaja γg,j i γq,i i faktorom za model konstrukcije i opterećenja γEd

2. Oblik za linearno – elastični proračun presječnih veličina

Ed = γg,1 . EGk,1 + γg,2

. EGk,2 + … + γQ,1 . EQrep,1 + γQ,2

. EQrep,2 +…) (5-6)

Koncept sigurnosti

47

Reprezentativne vrijednosti uticaja EGk,j i EQrep,i su reakcije konstrukcije na reprezentativne vrijednosti uticaja Gk,j i Qrep,i i mogu biti odgovarajuće presječne sile, ali isto tako i unutrašnje sile ili naprezanja.

d) Proračunske vrijednosti za geometrijske veličine

Općenito je definisana nominalna vrijednost anom. Odstupanje Δa razmatra se ako ono ima uticaja na pouzdanost konstrukcije, npr. u slučaju imperfekcije kod proračuna stabilnosti: ad = anom odnosno ad = anom + Δa (5-7) e) Proračunske vrijednosti za otpornost

Otpornost (R) zavisi od geometrijskih veličina (a) i svojstava materijala (X). Stoga općeniti oblik proračunske vrijednosti je,

Rd = R (ad,1, ad,2,…,Xd,1, Xd,2,…) (5-8) Primjenom parcijalnih koeficijenata sigurnosti dobijemo:

1. Oblik za odvojene parcijalne koeficijente sigurnosti

,...)a,a,...,X

,X

(R1R 2,nom1,nom2,m

2,k2

1,m

1,k1

Rdd γ

ηγ

ηγ

= (5-9)

sa koeficijentima materijala γm,i i koeficijentima modela otpornosti γRd

2. Pojednostavljeni oblik sa sumarnim parcijalnim koeficijentima sigurnosti

,...)a,a,...,X

,X

(RR 2,nom1,nom2,M

2,k2

1,M

1,k1d γ

ηγ

η= (5-10)

sa preračunskim koeficijentom ηi karakteristična vrijednost za svojstva materijala Xk i parcijalni koeficijent sigurnosti za materijal γM,i

5.1.8 Dokaz graničnih stanja a) Granično stanje nosivosti

Dokazuje se potrebna pouzdanost (sigurnost) građevinskih elemenata ili konstrukcije kroz usporedbu proračunskih vrijednosti uticaja i otpornosti. U prEN 1990-01 razlikuju se dva granična stanja nosivosti: stabilnost i otkaz konstrukcije.

a1) Granično stanje stabilnosti

Za dokaz stabilnosti konstrukcije smatra se da je tijelo kruto i oblik dokaza je:

Ed,dst ≤ Ed,stb (5-11)

Ed,dst – proračunska vrijednost naprezanja usljed destabilizirajućih uticaja Ed,stb – proračunska vrijednost naprezanja usljed stabilizirajućih uticaja

a2) Granično stanje otkaza konstrukcije

Otkaz konstrukcije dešava se kroz lom, nedopušteno velike deformacije ili zamor materijala. Pri tome se dokaz u poprečnom presjeku, elementu ili spoju radi u obliku,

Ed ≤ Rd (5-12)


48

Ed – proračunska vrijednost naprezanja (presječne sile) Rd – proračunska vrijednost otpornosti (nosivost)

b) Granično stanje upotrebljivosti

Za granično stanje upotrebljivosti može se koristiti isti oblik dokaza kao kod graničnog stanja nosivosti. Ed ≤ Rd odnosno Cd (5-13)

Ed – proračunska vrijednost uticaja (deformacije, naprezanja) Rd – kriterij upotrebljivosti (granična vrijednost uticaja pri postavljenim uslovima

upotrebljivost)

5.2.Kombinacije djelovanja na konstrukciju Za svaki kritičan slučaj moraju se odrediti proračunske vrijednosti naprezanja odnosno uticaja usljed kombinacije istovremenih nezavisnih dejstava na konstrukciju. Za različite situacije dimenzioniranja u graničnim stanjima vrijede specifična pravila kombinovanja prikazana u nastavku.

5.2.1 Nezavisni uticaji za objekte visokogradnje

Da bi se razni mogući uticaji na konstrukciju ograničili na razumnu mjeru, nezavisni uticaji su podijeljeni u tabeli 5.2.

Tabela 5.2. Nezavisni uticaji za objekte visokogradnje Stalni uticaji Promjenljivi uticaji Vlastita težina Prednaprezanje Pritisak zemlje Stalni pritisak tekućine

Gk Pk

Gk,E Gk,H

Korisno opterećenje, Prometno opterećenje Snijeg i led Vjetar Temperaturni uticaji Promjenljivi pritisak tekućine Slijeganje temeljnog tla

Qk,N Qk,S Qk,W Qk,T Qk,H

Qk,Δ Posebni uticaji Ad Uticaji od zemljotresa AEd 5.2.2 Granična stanja nosivosti a) Stalne i promjenljive situacije za dimenzioniranje (Osnovne kombinacije)

Ova situacija za dimenzioniranje odgovara normalnim uslovima upotrebe konstrukcije, sa prolaznim povremenim situacijama koje su vremenski ograničene.

Općeniti oblik

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ+⋅γ= ∑ ∑

≥ >1j 1ii,ki,0i,Q1,k1,QkPj,kj,Gd QQPGEE (5-14)

Alternativni oblik (prEN 1990-01)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ψ⋅γ+⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ= ∑ ∑

≥ >1j 1ii,ki,0i,Q1,k1,01,QkPj,kj,Gd QQPGEE (5-15)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ+⋅γ⋅ξ= ∑ ∑

≥ >1j 1ii,ki,0i,Q1,k1,QkPj,kj,Gj,Gd QQPGEE (5-16)

Koncept sigurnosti

49

Mjerodavna je nepovoljnija proračunska vrijednost. ξG,j je koeficijent kombinacije za nezavisni stalan uticaj Gk,j.

Oblik za proračun linearno-elastičnih presječnih sila

Kod linearno-elastičnog proračuna konstrukcije mogu se proračunske vrijednosti odrediti prema izrazu (5-6), Ed = ΣγG,j

. EGk,j + γP . EPk + γQ,1

. EQk,1 + ΣγQ,i . ψQ,i

. EQk,i (5-17) Karakteristična vrijednost dominantnog promjenljivog uticaja EQk,1: γQ,1 . (1-ψ0,1) . EQk,1 = Max.[ γQ,i . (1-ψ0,i) . EQk,i] (5-18) b) Posebne situacije za dimenzioniranje

Ovo su situacije koje se odnose na posebna stanja konstrukcije ili njenog okruženja, kao što su vatra, eksplozija, poplava, otkazivanje pojedinih nosača konstrukcije i sl.

Općeniti oblik

EdA = E(ΣγGA,j . Gk,j + γPA

. Pk + Ad + ψ1,1 . Qk,1 + Σψ2,i

. Qk,i (5-19)


Ed = ΣγGA,j . EGk,j + γPA

. EPk + EAd + ψ1,1 . EQk,1 + Σψ2,i

. EQk,i (5-20)

Karakteristična vrijednost preovlađavajućeg promjenljivog uticaja EQk,1:

(ψ1,1-ψ2,1) . EQk,1 = Max.[ (ψ1,i-ψ2,i). EQk,i] (5-21) c) Situacije za dimenzioniranje usljed zemljotresa

Općeniti oblik

EdA = E(ΣGk,j + Pk + γI . Ad + Σψ2,i . Qk,i) (5-22)


Ed = ΣEGk,j + EPk + γI . EAd + Σψ2,i . EQk,i (5-23)

Oznake u gornjim izrazima : Gk,j karakteristična «j» vrijednost nezavisnog stalnog uticaja Gk Pk karakteristična vrijednost prednaprezanja Qk,i karakteristična «i» vrijednost nezavisnog promjenljivog uticaja Qk Qk,1 dominantan nezavisan promjenljivi uticaj Ad proračunska vrijednost posebnog uticaja AEd proračunska vrijednost seizmičkog uticaja γI pripadajući faktor važnosti EGkj pripadajući nezavisni uticaji γGj pripadajući parcijalni koeficijenti sigurnosti ψ0, ψ1 faktori kombinacije


50

5.2.3 Granično stanje upotrebljivosti

a) Rijetka situacija za dimenzioniranje

Ova situacija odgovara ekstremnim upotrebnim uslovima, koji ne ostaju na konstrukciji. Općenito se opisuje kroz karakteristične kombinacije:

Općeniti oblik

Ed,rijetko = E(ΣGk,j + Pk + Qk,1 + Σψ0,i . Qk,i) (5-24)


Ed,rijetko = ΣEGk,j + EPk + EQk,1 + Σψ0,i . EQk,i (5-25)

Karakteristična vrijednost dominantnog promjenljivog uticaja EQk,1:

(1-ψ0,1) . EQk,1 = Max.[ (1-ψ0,i). EQk,i] (5-26) Sa karakterističnim kombinacijama dokazat će se dopuštena naprezanja i ograničiti zaostale plastične deformacije ili oštećenja u mikropukotinama.

b) Česta situacija za dimenzioniranje

Ova situacija odgovara čestim upotrebnim uslovima, koji ne ostaju na konstrukciji.

Općeniti oblik

Ed,često = E(ΣGk,j + Pk + ψ1,1 . Qk,1 + Σψ2,i

. Qk,i) (5-27)


Ed,često = ΣEGk,j + EPk + ψ1,1 . EQk,1 + Σψ2,i

. EQk,i (5-28)

Karakteristična vrijednost dominantnog promjenljivog uticaja EQk,1:

(ψ1,1 -ψ2,1) . EQk,1 = Max.[ (ψ1,1 -ψ2,i). EQk,i] (5-29)

Sa čestim kombinacijama dokazat će se dopuštena širina prslina i zaštita armature od korozije.

c) Kvazi-stalna situacija za dimenzioniranje

Ova situacija odgovara stalnim (permanentnim) uslovima upotrebe sa dugotrajnim uticajima na konstrukciju.

Općeniti oblik

Ed,perm = E(ΣGk,j + Pk + Σψ2,i . Qk,i) (5-30)


Ed,perm = ΣEGk,j + EPk + Σψ2,i . EQk,i (5-31)

Sa kvazi-stalnom kombinacijom dokazat će se dopušteni progib konstrukcije. U pravilu se naprezanje u graničnom stanju upotrebljivosti proračunava u linearno-elastičnom području. U datim kombinacijama za granično stanje upotrebljivosti parcijalni koeficijenti sigurnosti mogu se uzeti 1,0.

Koncept sigurnosti

51

5.2.4 Granično stanje zamora

Granično stanje zamora definisano je tako da je nivo uticaja sa izmjerenim brojem promjene opterećenja ograničen za situacije dimenzioniranja u graničnom stanju upotrebljivosti i da je proračunska vrijednost otpornosti materijala ispunjena za granično stanje nosivosti.

Kombinacija uticaja za dokaz zamora: Ed,fat. = E{Gkj; Pk; Qk,Δ; ψ1,T Qk,T; Qk,N } su u skladu sa nezavisnim uticajima prema tabeli 5.2.

5.2.5 Faktori kombinacije ψ

Faktori kombinacije za visokogradnju dati su u tabeli 5.3. Oni važe za nezavisne uticaje iz tabele 5.2, ali ne za pojednostavljene kombinacije u dijelu 5.2.8.

Za istovremenu pojavu više korisnih opterećenja ili pokretnih opterećenja različitih kategorija primjenjuju se veće vrijednosti faktora kombinacije tih kategorija.

Pokretna opterećenje na jednom spratu višespratnice jesu još strožije korelirana jer su jedna od drugih nezavisna. Stoga se za ostale konstruktivne elemente (stubove, zidove, temelje) ne određuju uticaji prema kombinacijama za nezavisne uticaje, nego pomoću specifičnih faktora umanjenja.

Uticaji od pritiska zemlje i stalnog pritiska tekućine uzimat će se kao stalno opterećenje, prema tome ne smije se umanjivati faktorima kombinacije. Faktori kombinacije za promjenljivi pritisak vode odredit će se za lokalitet upotrebe od strane proizvođača i nadležne institucije. Faktori kombinacije za opterećenje mašinama odredit će se na osnovu uslova upotrebe.Za dominantne uticaje za vrijeme izgradnje važe posebni faktori kombinacije.

Tabela 5.3 Faktori kombinacije ψ Uticaji ψ0 ψ1 ψ2

Korisno opterećenje Kategorija A: Stambeni i izložbeni prostori Kategorija B: Poslovne prostorije Kategorija C: Sajamske prostorije Kategorija D: Prodajni prostori Kategorija E: Skladišta

0,7 0,7 0,7 0,7 1,0

0,5 0,5 0,7 0,7 0,9

0,3 0,3 0,6 0,6 0,8

Pokretno opterećenje Kategorija F: Vozila ≤ 30kN Kategorija G: 30kN < Vozilo ≤ 160kN Kategorija H: Krovovi

0,7 0,7 0,0

0,7 0,5 0,0

0,6 0,3 0,0

Snijeg i led Mjesta do nadmorske visine +1000m Mjesta preko nadmorske visine +1000m

0,5 0,7

0,2 0,5

0,0 0,2

Vjetar 0,6 0,5 0,0 Uticaji temperature 0,6 0,5 0,0 Slijeganje tla 1,0 1,0 1,0 Posebni promjenljivi uticaji1) 0,8 0,7 0,5 1) Uticaji u visokogradnji koji nisu eksplicitno navedeni 5.2.6 Parcijalni koeficijenti sigurnosti γF

Parcijalni koeficijenti sigurnosti za uticaje i konstrukciju u visokogradnji dati su u tabeli 5.4. Primjenljivi su i za sve druge normalne inžinjerske konstrukcije.


52

Situacije Kriterij dokaza Uticaji Simbol P/T A

Stalno opterećenje: vlastita težina konstrukcije, stalni uticaji, uticaji tla, podzemna voda i slobodno stojeća voda

nepovoljnopovoljno

γG,sup

γG,inf

1,10 0,90

1,000,95

Kod malih oscilacija stalnih uticaja, kao što je dokaz sigurnosti upotrebe

nepovoljnopovoljno

γG,sup

γG,inf

1,05 0,95

1,000,95

Nepovoljni promjenljivi uticaj γQ 1,50 1,00

Gubitak stabilnosti konstrukcije vidi izraz (1-17)

Posebni uticaji γA - 1,00Neovisni stalni uticaji (vidi gore)

nepovoljnopovoljno

γG,sup

γG,inf

1,35 1,00

1,001,00

Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno

γQ

1,50

1,00

Otkaz konstrukcije njenog dijela ili temelja, kroz lom ili pretjerane deformacije vidi (1-18)

Posebni uticaji γA - 1,00

Neovisni stalni uticaji (vidi gore) γG

1,00 1,00

Neovisni promjenljivi uticaji nepovoljno

γQ

1,30

1,00

Otkaz temeljnog tla kroz lom u tlu

Posebni uticaji γA - 1,00P – Stalna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 1) T – Prolazna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 2) A – Posebna situacija za dimenzioniranje (Slučaj 3) Specifična pravila za betonske konstrukcije

- Parcijalni koeficijent sigurnosti za prednaprezanje općenito je γP = 1,00 Kod nelinearnog proračuna presječnih sila parcijalni koeficijenti sigurnosti za prirast naprezanja u prednapregnutim kablovima bez prianjanja jesu, γP,sup = 1,20 odnosno γP,inf = 0,83

- Kod linearno-elastičnog proračuna prinudnih presječnih sila sa krutošću neispucalog poprečnog presjeka i srednjim modulom elastičnosti Ecm može se parcijalni koeficijent sigurnosti γQ umanjiti za, γQ,Zw = 1,50 . 2/3 = 1,00

- Faktor nesigurnosti modela u graničnom stanju zamora iznosi γEd,fat = 1,00

- Montažni elementi u fazi izgradnje opterećeni na savijanje i uzdužnu silu γG,temp = 1,15 odnosno γQ,temp = 1,15

Koncept sigurnosti

53

5.2.7 Parcijalni koeficijenti sigurnosti γM Parcijalni koeficijenti sigurnosti γM za otpornost kod betonskih konstrukcija dati su u tabeli 5.5. Oni važe u graničnom stanju nosivosti uz uzimanje u obzir graničnog stanja zamora.

Tabela 5.5 Linearno-elastični proračun Nelinearni

proračun Otpornost prema Beton Armatura,

Prednapeta

Stalna i prolazna situacija za dimenzioniranje γc 1,50 γs 1,15 γR 1,30

Posebna situacija za dimenzioniranje γcA 1,30 γsA 1,00 γRA 1,10

Dokaz na zamor γc,fat 1,50 γs,fat 1,15 γR,fat 1,30 Specifična pravila za masivne konstrukcije

- Kod montažnih elemenata kod kojih je prisutna stalna kontrola proizvodnje i minimalne čvrstoće, γc se može umanjiti

γc,pref = 1,35 - Za uzimanje u obzir velikih promjena svojstava materijala za betone visoke

čvrstoće od C55/67 i LC55/60 γc, γcA i γc,fat odnosno γc,pref uvećavaju se sa faktorom:

0,1

500)MPa(f

1,1

1ck

'c ≥

−=γ

- Kod nearmiranih elemenata važe slijedeći parcijalni koeficijenti sigurnosti: γc = 1,80 odnosno γcA = 1,55


54

5.3.Osnove za dimenzioniranje sa parcijalnim koeficijentima sigurnosti 5.3.1 Određivanje pouzdanosti konstrukcije Na slici 5.3 prikazan je dijagram redoslijeda raznih metoda za kalibriranje jednačina za dimenzioniranje u graničnim stanjima.

Slika 5.3: Pregled metoda za analizu pouzdanosti

Evropske norme zasnovane su u biti na metodama Ia, koje su poboljšane primjenom metoda Ic.

Kod metoda II i III stepena, kao mjera pouzdanosti konstrukcije koristi se vjerovatnoća da neće doći do otkaza konstrukcije Ps = (1 – Pf). Pf je vjerovatnoća otkaza konstrukcije. Za promatranu vrstu otkaza u određenom promatranom vremenu.

Pf = Φ (-β) (5-32)

Φ je funkcija raspodjele za standardnu normalnu raspodjelu. Tabela 5.6: Zavisnost između β i Pf prema jednačini (5-32)

Pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 β 1,28 2,32 3,09 3,72 4,27 4,75 5,20

Ukoliko je proračunata vjerovatnoća otkaza konstrukcije veća nego date ciljne vrijednosti P0, odnosno, utvrđena vrijednost indeksa pouzdanosti β prema tabeli 5.7 nije postignuta, onda se konstrukcija smatra nesigurnom. Tabela 5.7: Vrijednost indeksa pouzdanosti β za građevinske elemente

Vrijednost indeksa pouzdanosti Granično stanje 1 godina 50 godina Nosivost 4,7 3,8 Zamor 1,5 do 3,81)

Upotrebljivost 3,0 1,5 1) Zavisno od mogućnosti provjere, sanacije i tolerancije oštećenja

Koncept sigurnosti

55

5.3.2 Proračun vjerovatnoće otkaza konstrukcije

Koncept sigurnosti u građevinarstvu izgrađen je na vjerovatnoći otkaza konstrukcije. Za njegov proračun usvajaju se slijedeće pretpostavke:

o Promatrane mehaničke veličine (uticaji, geometrijske veličine, svojstva materijala) su nezavisne, osnovne promjenljive sa normalnom raspodjelom,

o Granično stanje će biti opisano sa linearnom jednačinom.

Za m nezavisnih slučajnih veličina xi sa normalnom raspodjelom dobije se m-dimenzionalna raspodjela gustoće prema multiplikacionom pravilu proračuna vjerovatnoće,

sa mXi = E [Xi] očekivana vrijednost slučajne veličine Xi σXi = (Var [Xi])1/2 standardno odstupanje slučajne veličine Xi Jednačina graničnog stanja g(x) u x-prostoru g(x) = c0 + c1 . x1 + c2 . x2 + … + cm . xm (5-34) Pri tome su ci determinističke konstante, koje zavise od podataka o konstrukciji (geometrija, krutost). Zavisnost između jednačina (5-33) i (5-34), u slučaju dvije osnovne promjenljive x1 i x2 odnosno r (otpornost) i e (naprezanje), prikazana je na slici 5.4.

Slika 5.4.: Jednačina graničnog stanja u x-prostoru

Tačka za dimenzioniranje xd zadana je sa parom promjenljivih (xd1, xd2). Prostor standardiziranih osnovnih promjenljivih (y-prostor)

U daljnjem matematičkom tretmanu osnovne promjenljive transformirat će se iz x-prostora, pomoću standardiziranih veličina u y-prostor:


56

Xi

Xiii

mXyσ−

= (5-35)

sa srednjom vrijednošću «0» i standardnim odstupanjem «1». Gustoću raspodjele standardiziranih veličina dobijemo transformacijom jednačine (5-33) uz pomoć jednačine (5-35),

)y21exp(

)2(

1)y(f...)y(f)y(f)y,...,y,y(fm

1i

2i

2mmym22y11ym21y ∑

=

⋅−⋅π

=⋅⋅⋅= (5-36)

Ova raspodjela gustoće je u y-prostoru simetrična kugla u odnosu na koordinatni početak. Hiper površine istih raspodjela gustoće su m-dimenzionalne kugle sa središtem u koordinatnom početku.

U promatranom slučaju sa dvije osnovne promjenljive dobiju se kocentrični krugovi. Iz jednačine (5-34) može se jednačina graničnog stanja g(x) transformirati u h(y),

∑ ∑= =

=⋅σ⋅+⋅+=m

1i

m

1iiXiiXii0 0ycmcc)y(h (5-37)

Jednačina graničnog stanja gradi m-dimenzionalnu hiper ravninu u y-prostoru, a što predstavlja, u slučaju sa dvije osnovne promjenljive, pravac (vidi slika 5.5).

Slika 5.5: Jednačina graničnog stanja u standardiziranom prostoru

Linearna jednačina (5-37) može se prikazati u obliku,

0y)y(hm

1iii =⋅α−β= ∑

=

(5-38)

sa faktorom značaja,

∑=

σ⋅

σ⋅−=α

m

1i

2Xii

Xiii

)c(

c (5-39)

Koncept sigurnosti

57

i indeksom pouzdanosti,

∑

∑

=

=

σ⋅

⋅+=β

m

1i

2Xii

Xii

m

1i0

)c(

mcc (5-40)

Indeks pouzdanosti β je centralna veličina u teoriji pouzdanosti. Apsolutni iznos β je najkraće rastojanje između koordinatnog početka y=0 i hiper površine h(y)=0 (vidi slika 5.5). β je pozitivno, ako koordinatni početak y-prostora leži u području bez otkaza (h(0)>0), a negativno, ako koordinatni početak y-prostora leži u području otkaza (h(0)<0). Faktori važnosti αi jesu pravci kosinusa mjereno od koordinatnog početka na hiper ravan h(y)=0. Pri tome važi,

1m

1i

2i =α∑

=

(5-41)

Vjerovatnoća otkaza proračunava se kroz integraciju gustoće raspodjele, prema jednačini (5-36), preko područja otkaza u standardiziranom prostoru:

{ }

∫∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Π⋅

π=

= i

21

m

1i0)y(hy

2/mf dy2yexp...

)2(1P

≺

(5-42)

Ukoliko se odabere novi koordinatni sistem u1, u2,…,um, takav da je os u1 postavljena u pravcu β, tada se dobije u «u» sistemu vjerovatnoća otkaza:

∫∫ ∫∫ β−Φ=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Π⋅

π=

=

∞

∞−

β−=

∞−

∞

∞− −

)(du2uexp...

)2(1P i

2i

m

1i

u

1m2/mf

1

(5-43)

Odgovarajuća vjerovatnoća da neće doći do otkaza konstrukcije,

)()(1Ps βΦ=β−Φ−= (5-44) Jednačine (5-43) i (5-44) prikazuju transformacioni odnos između vjerovatnoće otkaza Pf i indeksa pouzdanosti β. Svaka tačka u standardiziranom prostoru je raspodjela gustoće standardizirane osnovne promjenljive Yi. Pri tome takođe svaka tačka ima u graničnoj ravni h(y)=0 gustoću raspodjele. Na temelju simetričnih svojstava standardne normalne raspodjele, gustoća raspodjele ima svoj maksimum , kako za granično stanje yd, tako i za nesigurno područje.

max fy (y) = f(yd)

To znači, da se otkaz sa najvećom vjerovatnoćom dešava kod yd. Yd je podnožna tačka okomice iz koordinatnog početka na graničnu ravan, sa koordinatama

Ydi = αi . β i=1,2,…,m (5-45)

Iz praktičnih razloga može se položaj ove tačke prikazati u originalnom x-prostoru:

Xdi = mXi + σXi . αi . β (5-46)

Tačka otkaza sa najvećom vjerovatnoćom je ujedno pogodna tačka za proračunsku vrijednost determinističkih normi sa nivoom sigurnosti Pf = Φ(-β). Ove tačka yd odnosno xd poznate su još kao proračunske tačke.

Koordinate proračunske tačke odredit će se kroz četiri veličine:


58

o Očekivana vrijednost mXi i standardno odstupanje σXi određuju se kroz raspodjelu vjerovatnoće od Xi,

o Indeks pouzdanosti β uzima u obzir uticaj potrebne pouzdanosti na položaj proračunske tačke,

o Faktor značaja αi je mjera za relativni dio varijacije Xi u ukupnoj varijaciji mjere pouzdanosti.

αi može imati vrijednost od –1 do +1. Ako αi leži bliže –1 ili +1 to znači da varijacija Xi ima odlučujući uticaj na pouzdanost konstrukcije. Ukoliko je αi mala vrijednost, varijacija Xi praktično je bez značaja. Predznak veličine αi pokazuje da li proračunska tačka leži u gornjem ili u donjem području raspodjele. Pri tome važi slijedeća definicija:

o αi je za veličinu na strani naprezanja pozitivan o αi je za veličinu na strani otpornosti negativan

5.3.3 R – E model

Sigurnost konstrukcije pod statičkim opterećenjem određuje se poređenjem veličine naprezanja E sa veličinom otpornosti R. Otkaz se dešava ako je R < E. Ako označimo,

R = X1= otpornost E = X2 = naprezanje (uticaj, opterećenje)

Prema jednačini (5-34) možemo granično stanje u dvodimenzionalnom originalnom prostoru prikazati,

g(x) = x1 – x2 = r – e = 0 (5-47)

Ako su R i E stohastički nezavisne jedna od druge, slijedi da je vjerovatnoća otkaza,

∫ ∫ ∫∞

∞−

=

∞−

∞

∞−

⋅⋅=⋅⋅=er

ERf de)e(f)e(Fdedr)e,r(fP (5-48)

ako prvo integriramo po r, ili

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

=

∞

∞−

⋅⋅−=⋅⋅=re

REf dr)r(f))r(F1(drde)e,r(fP (5-49)

ako prvo integriramo po e.

Rješenje integrala (5-49) moguće je samo u specijalnim slučajevima, kao kada su R i E funkcije normalne raspodjele. Za srednje vrijednosti otpornosti i dejstva μR i μE i standardnih devijacija σR

2 i σE2, granica sigurnosti Z = R-E ima srednju vrijednost i

standardnu devijaciju: ERz μ−μ=μ (5-50) 2E

2R

2Z σ+σ=σ (5-51)

Vjerovatnoća otkaza konstrukcije je,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σμ−

Φ=≤=≤−=z

zf

0)0Z(P)0ER(PP (5-52)

gdje je Φ standardna normalna funkcija raspodjele (srednja vrijednost nula i jedinična standardna devijacija), Φ(0,1) (slika 5.6).

Koncept sigurnosti

59

Slika 5.6: Standardna raspodjela granice sigurnosti Z = R - E

Koristeći izraze (5-50), (5-51) i (5-52) dobije se izraz za vjerovatnoću otkaza [5-53]:

( )

( ))(P 2/12

R2S

SRf β−Φ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

σ+σ

μ−μ−Φ= (5-53)

gdje je β= μZ / σZ. Isto tako integrali (5-48) i (5-49) mogu biti riješeni aproksimativnim numeričkim metodama, od kojih je najjednostavnija korištenjem trapeznog pravila.

Primjer 5.1

Armiranobetonska prosta greda dužine 5m opterećena je koncentričnim teretom Q, čija je srednja vrijednost μQ = 150 kN i standardna devijacija σQ

2 = 5 kN2. Utvrđena nosivost na savijanje grede ima srednju vrijednost μR = 250 kNm i standardnu devijaciju σQ

2 = 10 kNm2. Potrebno je odrediti vjerovatnoću otkaza.

Dokaz se radi uz pretpostavku da je vlastita težina grede i dužina nepromjenljiva.

E = QL/4 = 100.5/4 = 500/4 kNm

Srednja vrijednost i standardna devijacija uticaja je,

kNm50,18715045

45

QE =⋅=μ=μ

22Q

22E )kNm(81,75

1625)

45( =⋅=σ⋅=σ

5,625,187250ERz =−=μ−μ=μ

155102E

2R

2Z =+=σ+σ=σ

Indeks pouzdanosti β = 62,5/15 = 4,17.

Vjerovatnoća otkaza grede je : 5f 107,1)17,4()(P −⋅=−Φ=β−Φ=


60

6. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI

6.1 Osnovne postavke proračuna Teorija proračuna prema metodi graničnih stanja zasniva se na postizanju prihvatljive vjerovatnoće da projektovana konstrukcija neće biti neprikladna za upotrebu. Pri tome su uzeti u obzir svi tehnički i ekonomski uslovi koji vrijede u bilo koje vrijeme i u bilo kojoj zemlji za sigurnost, funkcionalnost i trajnost konstrukcije.

Granično stanje nosivosti, koje odogovara maksimalnom kapacitetu nosivosti, može biti: - gubitak ravnoteže konstrukcije ili njezina elementa promatranih kao kruto tijelo

(klizanje, prevrtanje, izvijanje); - granično stanje loma ili prekomjerne deformacije kritičnog presjeka; - gubitak ravnoteže zbog velikih deformacija (teorija II. Reda); - granično stanje loma uzrokovano zamorom; - transformacija konstrukcije u mehanizam (proračun po teoriji plastičnosti).

Određivanje statičkih veličina za presjeke (normalne, poprečne sile, momenti savijanja i torzije) provodi se na idealizovanoj šemi konstrukcija za najnepovoljnije kombinacije opterećenja. Zavisno od ponašanja materijala konstrukcije i konstrukcije u cjelini, mogu se za direktno i indirektno djelovanje proračunati statičke veličine po linearnoj teoriji, linearnoj teoriji sa ograničenom preraspodjelom, teoriji plastičnosti i nelinearnoj teoriji.

Linearna teorija, koja se danas još uvijek najviše upotrebljava, bazira se na linearnom odnosu između napona i deformacija, te pretpostavlja da su presječne sile proporcionalne opterećenju.

Metoda graničnih stanja promatra stanje deformacija i napona neposredno pred lom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka u stanju neposredno pred lom, valja poznavati i ostala naponska stanja koja prethode graničnom stanju.

Slika 6.1: Naponska stanja

U naponskom stanju I naponi pritiska i zatezanja su mali i opravdano se može pretpostaviti linearna raspodjela napona (Navierova hipoteza). Krajnje stanje I (Ia) opisuje najavu otkazivanja čvrstoće na zatezanje betona. U naponskom stanju II zategnuta zona je raspucala i isključuje se iz nosivosti, dok raspodjela naprezanja na pritisak ide po krivulji. Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcija zasnovano je na naponskom stanju II.

Granično stanje nosivosti

61

Naponsko stanje III je stanje neposredno pred lom, kada pukotine dosežu neutralnu os i neutralna os se pomjera prema gore, te dolazi do smanjenja pritisnute zone.

Način na koji će doći do loma armiranobetonskih elemenata zavisi od postotka armiranja, djelovanja presječnih sila i mehaničkim karakteristikama betona i armature. U opštem slučaju lom može nastati:

a) iscrpljenjem zategnute armature; b) iscrpljenjem betona na pritisak; c) istodobnim iscrpljenjem zategnute armature i pritisnutog betona.

Lom presjeka usljed iscrpljena zategnute armature još se naziva duktilan lom, jer lomu prethodi mehanizam otvaranja pukotina i naglašene deformacije armature u zategnutoj zoni.

Lom zbog iscrpljenosti betona nastaje kod relativno većeg postotka armiranja, pri čemu naprezanje armature ne dostiže granicu razvlačenja. Ovaj lom se dešava bez naglašenih pukotina i većih deformacija i još se naziva neduktilan lom.

Balansirani lom je lom zbog istodobne iscrpljenosti čelika i betona i nastaje uz prethodno naglašene deformacije i pukotine.

Prilikom projektovanja konstrukcije preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istovremene iscrpljenosti čelika i betona ili još bolje, zbog osiguranja duktilnosti, samo čelika.

Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcija prema EC2 zasniva se na slijedećim pretpostavkama:

- presjeci ostaju ravni i nakon deformisanja; - potpuna prionljivost betona i položene armature; - zanemarenje čvrstoće na zatezanje betona; - korištenje zamjenskog računskog bilinearnog dijagrama ponašanja betona i čelika (σ-ε

dijagrama) koji približno opisuju elastična i plastična svojstva materijala. 6.1.1 Računska nosivost presjeka

Računska nosivost presjeka je u funkciji karakteristične čvrstoće betona i granice razvlačenja čelika, parcijalnih koeficijenata sigurnosti za materijale, te dimenzija presjeka i površine armature.

Čvrstoća betona na pritisak klasifikuje se prema klasama čvrstoće betona, koja odgovara čvrstoći na pritisak betonskog cilindra fck ili čvrstoća na pritisak betonske kocke fck,cube. U narednoj tabeli daju se klase čvrstoće betona.

Tabela 6.1: Klase čvrstoće betona, karakteristična čvrstoća pri pritisku fck (cilindar 150/300mm), karakteristična čvrstoća pri pritisku fck,cube (kocka150/150mm), karakteristična čvrstoća betona pri zatezanju fctk, srednja čvrstoća betona pri zatezanju fctm (N/mm2)

Klase čvrstoće betona

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

fck,cube 16 20 25 30 37 45 50 55 60

fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1

fctk0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9

fctk0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3


62

Računska čvrstoća na pritisak betona dobije se reduciranjem karakteristične čvrstoće na pritisak sa parcijalnim koeficijentom γc = 1,50:

c

ckcd

ffγ

⋅α= (6-1)

Koeficijent α uzima u obzir razliku čvrstoće u objektu i čvrstoće probnog cilindra, koja je prvenstveno posljedica dugotrajnih dejstava. Uzima se vrijednost α=1,0 za granično stanje upotrebljivosti i α=0,85 za granično stanje nosivosti.

Razvoj čvrstoće betona i njegov odnos sa deformacijom zavisi od niza parametara: - tehnologije betona (vrste cementa, količine cementa, vodocementnog faktora,

agregata, granulometrijskog sastava, hemijskih dodataka); - spravljanja, ugradnje i njegovanja betona; - uslova okoline (temperatura, vlažnost); - efektivne debljine elementa; - starosti betona pri nanošenju opterećenja; - brzine nanošenja opterećenja.

Na slici 6.2 prikazan je σ-ε dijagram za nelinearnu analizu presječnih sila, i koji se koristi za proračun kratkotrajnih deformacija.

Slika 6.2: Dijagram naprezanje-deformacija za određivanje deformacija i presječnih sila

gdje je: Ecm – srednja vrijednost modula elastičnosti (sekantni modul) fcm – srednja vrijednost čvrstoće na pritisak εcp – deformacija na granici velikih izduženja εcu – maksimalna deformacija fctm – srednja vrijednost čvrstoće na zatezanje

Granična deformacija betona je εcu = -0,0035.

Deformacija betona na granici velikih izduženja je εcp = -0,002.


63

Slika 6.3: Dijagram naprezanje-deformacija za dokaz nosivosti i dimenzioniranje

Na slici 6.4 dat je dijagram ponašanja armaturnog čelika, koji je danas u upotrebi.

Slika 6.4: Dijagram naprezanje-deformacija za armaturni čelik

gdje je: ftk – karakteristična čvrstoća loma (5%-fraktil) σs0,2k – granica velikih izduženja (5%-fraktil) σek – karakteristična elastična granica Es – modul elastičnosti εuk – karakteristična deformacija loma


64

Oblik dijagrama u pritisnutom području može se uzeti sličan kao u zategnutom području. Računski dijagram armaturnog čelika može se zamijeni bi-linearnim dijagramom prikazanim na slici 6.5.

Slika 6.5: Bi-linearni dijagram sa idealnim plastičnim područjem

Računska čvrstoća armaturnog čelika dobije se reduciranjem čvrstoće na granici velikih izduženja sa parcijalnim koeficijentom γs = 1,15:

s

ff yk

yd γ= (6-2)

Modul elastičnosti armaturnog čelika uzima se Es = 200 GPa = 20000 kN/cm2. Maksimalna deformacija armaturnog čelika za dimenzioniranje je εsu = 0,02.

6.1.2 Granična deformaciona stanja

Slika 6.6: Granična deformaciona stanja


65

Kao granična deformaciona stanja označavaju se ravnine deformacija za koje su unutar poprečnog presjeka dostignute granične deformacije, a da pri tome ni na jednom dijelu poprečnog presjeka nisu prekoračene. Na slici 6.6 prikazana su granična defromaciona stanja prema EC2.

Granična deformacija centrično pristisnutog poprečnog presjeka postiže se kada se pri računskoj čvrstoći na pritisak betona fcd javljaju pripadajuća skraćenja betona εcp. To znači da je granična deformacija centrično pritisnutog betona εcp.

Kao slijedeće karakteristično granično deformaciono stanje možemo izdvojiti deformacionu ravninu koja prolazi kroz tačku 0 i B.U ovom slučaju granična deformacija na gornjem rubu poprečnog presjeka je εc2 = εcu, dok je na donjem rubu deformacija εc1 = 0. Područje u kojem deformaciona ravnina prolazi kroz tačku A, označeno je kao područje 1 i predstavlja deformacije presjeka opterećenog ekscentričnim pritiskom malog ekscentriciteta.

Slijedeća karakteristična granična deformaciona ravnina prolazi kroz tačku B, tj. na gornjem rubu poprečnog presjeka je granična deformacija εc2 = εcu, dok istovremeno armatura sa površinom As1 dostiže granicu tečenja (εs1 = εyk,0.95).

Slika 6.7: Definicija εyk,0.95

Sva deformaciona stanja područja 2 i 3 jesu stanja u kojem je na pritisnutom rubu beton iskorišten, dok se armatura nalazi u području tečenja. Područje 2 i 3 je područje deformacija poprečnog presjeka opterećenog na savijanje ili savijanje sa uzdužnom silom pritiska.

Područje 4 je područje savijanja ili savijanja sa uzdužnom silom zatezanja. U tom području deformacija armature ima graničnu vrijednost εsu, dok se deformacije betona smanjuju od granične deformacije prema nuli.

U području 5 kompletan poprečni presjek je izložen zatežućem naprezanju i ovo je područje omeđeno graničnom deformacionom ravninom koja prolazi kroz tačke C i D, u kojoj je kompletna armatura u poprečnom presjeku iskorištena.


66

6.2 Elementi napregnuti na savijanje

6.2.1 Teorija elastičnosti

Na slici 6.8 prikazana je greda od idealno elastičnog materijala, opterećena momentom savijanja Msd.

Slika 6.8: Greda napregnuta na savijanje

gdje je : Msd,Vsd presječne sile σ(z) raspodjela naprezanja (linearna) C rezultantna sila pritiska, koja zamjenjuje djelovanje naprezanja u pritisnutoj zoni pri savijanju T rezultantna sila zatezanja, koja zamjenjuje djelovanje napona u zategnutoj zoni pri savijanju z krak unutrašnjih sila h visina poprečnog presjeka

Dejstvo konstantnog momenta savijanja uzduž grede daje u svim poprečnim presjecima istu sliku napona σz, koja je prikazana na slici 6.9.

Slika 6.9: Čisto savijanje, linearna raspodjela naprezanja afina deformacionoj ravnini


67

U površinskom elementu dzbdA ⋅= na rastojanju z od težišne osi Y djeluje sila:

dzb)z(dA)z()z(dN ⋅⋅σ=⋅σ= (6-3)

Pod djelovanjem sile dN(z) javlja se u poprečnom presjeku moment:

dzzb)z(z)z(dN)z(dM ⋅⋅⋅σ=⋅= (6-4)

Ako primjenimo Hukov zakon i Bernulijevu hipotezu ravnih presjeka: )z(E)z( ε⋅=σ (6-5)

z)z( ⋅ϑ=ε (6-6) Dobije se izraz za reaktivni moment savijanja :

dzbzE)z(dN ⋅⋅⋅⋅ϑ= (6-7) dzzbE)z(dM 2 ⋅⋅⋅⋅ϑ= ⇒ ∫ ∫ ⋅⋅ϑ=⋅⋅⋅⋅ϑ== JEdzzbE)z(dMM 2

R (6-8)

Iz RS MM = dobije se izraz za zaokretanje štapnog elementa : EJMS=ϑ (6-9)

pri čemu je : ϑ krivljenje (zaokretanje štapnog elementa dužine 1 ) SM aktivni moment savijanja RM reaktivni moment savijanja E modul elastičnosti J moment inercije poprečnog presjeka u odnosu na težišnu os

Naprezanje pritisnutog dijela poprečnog presjeka može se zamijeniti rezultantnom silom pritiska C :

∫ ∫ ⋅⋅ϑ=⋅⋅⋅⋅ϑ== CSEdzzbE)z(dNC (6-10) Analogno se može odrediti rezultantna sila zatezanja T:

∫ ⋅⋅ϑ== tSE)z(dNT (6-11) Ovi izrazi vrijede kada se radi o čistom savijanju i nema normalne sile N.

Uslov ravnoteže uzdužnih sila Σx=0 : C + T =0

Uslov ravnoteže ΣM=0 : RS MM =

aaS zCzTM ⋅−=⋅= (6-12)

Iz (6-12) : tt

Sa S

JSE

EJT

Mz =

⋅⋅ϑ⋅ϑ

== (6-13)

Za pravougaoni poprečni presjek je :

4h

2hbS;

12hbJ t

3

⋅⋅

=⋅

= ; h32

SJZ

ta ⋅== (6-14)

6.2.2 Armiranobetonska greda

Čvrstoća na zatezanje betona je znatno manja od čvrstoće na pritisak. Zbog toga nearmirani betonski presjek ima malu nosivost na savijanje. Dodavanjem armature u zategnutu zonu presjeka kapacitet nosivosti na savijanje se bitno povećava. Rezultanta sila zatezanja je znatno veća od sile zatezanja koju može da preuzme beton. Beton u zategnutoj zoni ispuca i isključuje se iz nosivosti na zatezanje (slika 6.10).


68

Slika 6.10: Armiranobetonska greda napregnuta na savijanje

6.2.3 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka

Za dimenzioniranje armiranobetonskih presjeka koristi se računski dijagram za beton pravac + parabola, te bilinearni dijagram sa horizontalnom gornjom granom do deformacije 20%o za armaturu.

Slika 6.11: Dijagram naprezanja mjerodavan za dimenzioniranje

Približan proračun može se provesti zamjenom dijagrama pavougaonik+parabola sa pravougaonim dijagramom, gdje je σc = fcd, pri čemu se odgovarajuće greške pokrivaju time što se u proračunu nosivosti računa sa 80% pritisnute zone ( x8,0dc ⋅= ).

Slika 6.12: Pravougaona raspodjela naprezanja u pritisnutoj zoni


69

gdje je : z (m) -unutrašnji krak sila d (m) -statička visina presjeka dc (m) -visina fiktivnog pritisnutog pojasa x (m) -položaj neutralne osi fcd (MN/m2) -računska čvrstoća na pritisak betona fck (MN/m2) -karakteristična čvrstoća na pritisak betona MRd (MNm) -reaktivni momenat mjerodavan za dimenzioniranje μ -bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja

Rezultantna sila pritiska je : ccd AfC ⋅= , pri čemu je cc dbA ⋅=

Reaktivni moment savijanja je : ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅=⋅−=

2d

ddbfzCM cccdRd (6-15)

Bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja: 2cd

Rd

dbfM

⋅⋅=μ (6-16)

Ako (6-16) uvrstimo u (6-15) dobije se : ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−=μd2

d1

dd cc (6-17)

Uz uvođenje smjene : dd c

c =δ (6-18)

μ−−=δ

=μ+δ−δ

211

022

c

c2

c

c25,1 δ⋅=ξ (koeficijent položaja neutralne osi) (6-19) Hvatište rezultante pritiska leži u težištu šrafirane površine prikazane na slici 6.12.

Mehanizam nosivosti armiranobetonske grede može se pojednostavljeno prikazati pomoću rešetkastog modela (slika 6.13). Gornji pojas rešetke je beton površine cdb ⋅ . Armatura zategnute zone tvori donji pojas rešetke. Hvatište rezultante zatežuće sile leži u težištu poprečnog presjeka armature.

Slika 6.13: Pojednostavljeni model mehanizma nosivosti unutar grede

Krak unutrašnjih sila je: 2

ddz c−= (6-20)

Ako uvedemo odnos : dz

=ζ (koeficijent kraka unutrašnjih sila) (6-21)

Iz prethodnih izraza je: ξ−=δ−=ζ 4,01211 c (6-22)

ili c

2

ccd

2cdRd

dd

dbfdbf

CM

z ⋅μ=

⋅⋅⋅⋅⋅μ

== (6-23)

Nakon što smo dimenzionirali pritisnuti pojas pristupa se dimenzioniranju zategnutog pojasa. Iznos rezultantne sile pritiska C u pritisnutom pojasu odgovara sili zatezanja T u zategnutom pojasu: Σ x = 0 ⇒ C = T.


70

Prema tome sila zatezanja je: z

MT Sd= (6-24)

Ova sila se prihvata pomoću armature : ss AT ⋅σ= (6-25) Zakon ponašanja armaturnog čelika dat je na slici 6.14.

Slika 6.14: Bi-linearan dijagram ponašanja armaturnog čelika

Slika 6.15: Dijagram deformacije armiranobetonskog poprečnog presjeka

Na osnovu sličnosti trokuta može se uspostaviti veza :

dx

scc ε+ε−=

ε− ⇒ cs x

d1 ε⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ε

cc

ccs

8,01ε⋅

δ−δ

=ε⋅ξ−ξ

=ε (6-26)

Za naprezanje u armaturi σs = σs(εs) potrebna površina armature je :

s

Sds z

MA

σ⋅= (6-27)

Ovaj izraz vrijedi općenito. Sa pretpostavljenim unutrašnjim krakom sila se vrši preddimenzioniranje. Nakon završetka dimenzioniranja može se sračunati tačna vrijednost z.

Za poprečni presjek kod kojeg je armatura potpuno iskorištena izraz (6-27) dobija oblik :

sd

Sds fz

MA

⋅= (6-28)

Ukoliko se sa izrazom (6-26) dobiju deformacije armature veće od εsu, pritisnuti pojas neće biti u potpunosti iskorišten. U tom slučaju se unutrašnji krak sila može približno odrediti:

su

su

0035,00021,0

ε+ε+

=ζ (6-29)


71

Razlikujemo slijedeća područja dilatacija čelika (vidi slika 6.14) :

Područje 1 - Dilatacija čelika leži unutar područja suse ε≤ε≤ε pri čemu je :

eε - dilatacija na granici elastičnosti

suε - granična dilatacija = dilatacija pri slomu Naprezanje u armaturi dostiže vrijednost na granici tečenja fsd : sds f=σ Kao posljedica tečenja armature dolazi do polaganog loma sa otvaranjem velikih pukotina i velikim progibima.

Područje 2 - Dilatacija čelika veća od εsu

U ovom slučaju beton u stanju loma nije iskorišten. Presjek je nedovoljno armiran. Nastaje prije slom u armaturi nego u betonu.

sds f=σ

Područje 3 - Dilatacija čelika je manja od εe

Poprečni presjek je prearmiran. Ne dolazi do tečenja armature. sss E ε⋅=σ

Dešava se slom pritisnute zone presjeka bez najave.

Da ne bi došlo do ove pojave mogu se preduzeti slijedeće mjere : - povećanje pritisnute zone i/ili kraka unutrašnjih sila - odabir veće marke betona - postavljanje armature u pritisnutoj zoni

Primjer 1 Zadano je :

Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,25m; h = 0,85m

Čvrstoća materijala : fcd = -20 MN/m2; fsd = 478 MN/m2

Moment savijanja : Msd = 800 kNm Odrediti : Potrebnu površinu armature As (cm2)

Preddimenzioniranje:

Pretpostavlja se odstojanje težišta zategnute armature od zategnutog ruba presjeka :

ds1=0,05m m80,005,085,0dhd 1s =−=−= m72,08,09,0d9,0z =⋅=≈

kN111172,0

800z

MT sd ===

243

4

sds cm2,2310

10478111110

fTpotA =⋅

⋅=⋅=

Usvojeno : 4Φ24 (As = 18,10cm2)

2Φ20 (As = 6,28cm2) usv.As = 24,38cm2


72

Slika 6.16: Raspodjela armature

Položaj težišta za prikazani raspored armature je: a = 12mm. Prema tome odstojanje težišta armature od ruba poprečnog presjeka je ds1 = 52+12=64mm ≈ 0,07m. Statička visina presjeka je: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.

Slika 6.17: Ulazni parametri za dimenzioniranje

Konačno dimenzioniranje:

263,078,025,01020

800dbf

M232

cd

Sd =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=μ

3115,0)263,02(11211c =⋅−−=μ−−=δ

m243,078,03115,0dd cc =⋅=⋅δ=

389,03115,025,125,1 c =⋅=δ⋅=ξ

m304,078,0389,0dx =⋅=⋅ξ=

- kontrola dilatacije armature:

0055,0)0035,0(389,0

1389,01cs =−⋅

−=ε⋅

ξ−ξ

=ε (εe < εs < εsu)

8443,03115,0263,0

c

==δμ

=ς


73

m659,078,08443,0dz =⋅=⋅ς=

kN1215659,0

800zMT ===

23

424

sds cm4,25

10478101215cm10

fTpotA =

⋅⋅

=⋅=

pot.As > usv.As, prema tome potrebna je dopuna armature : 6Φ24 (As = 27,14cm2)

Slika 6.18: Nova raspodjela armature

Statička visina ostaje nepromijenjena: d = h-ds1 = 0,85-0,07 = 0,78m.

Slika 6.19: Rubno naprezanje betona εc =εcp=-2%o

U nastavku se daje postupak dimenzioniranja za pretpostavljeni računski dijagram naprezanja betoa u obliku parabole (slika 6.19).

ξ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= dbf32xbf

32C cdcd (6-30)

d831x

83dz ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ⋅−=⋅−= (6-31)


74

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ⋅−⋅ξ⋅⋅⋅⋅=⋅=

831dbf

32zCM 2

cd1 (6-32)

22

cd

11 4

132

dbfM

ξ⋅−ξ⋅=⋅⋅

=μ (6-33)

Na slici 6.20. prikazan je dijagram deformacija iskorištenog betona:

Slika 6.20: Rubno naprezanje betona εc =εcu=-3.5%o

0035,0x

002,0x1

−=

− (6-34)

d7/4x1 ⋅ξ⋅= (6-35)

ξ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=74dbf

32xbf

32C cd1cd1 (6-36)

ξ−⋅⋅⋅=−⋅⋅= )741(dbf)xx(bfC cd1cd2 (6-37)

d1491x

85xdz 11 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ⋅−=⋅+−= (6-38)

d1431

2xx

dz 12 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ξ⋅−=

−−= (6-39)

22112 zCzCM ⋅+⋅= (6-40)

22

cd

2¸2 98

332117

dbfM

ξ⋅−ξ⋅=⋅⋅

=μ (6-41)

Izrazi za dimenzioniranje izvedeni su za slijedeća područja deformacija: - područje deformacija a: 1μ≤μ ⇒ 002,0cpc −=ε≥ε

Uvođenjem smjene 002,0;;3/14/1

cpcp

c −=εεε

=ϕξ−ξ−

=α (6-42)

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ−ξα⋅μ

⋅−−α

=ϕ3/13

41123 (6-43)

ξϕ−ϕ−= )3/1(v c (6-44)

cvμ

=ζ (6-45)

ϕ⋅−=ε⋅ϕ=ε 002,0cpc (6-46)

cs1

ε⋅ξξ−

−=ε (6-47)


75

- područje deformacija b: 21 μ≤μ≤μ ⇒ 0035,0002,0 cuccp −=ε≥ε≥−=ε

( ) ( )212216 ξ−⋅−μ−⋅=α (6-48)

( )α−+ξ⋅−= 231v c (6-49)

cvμ

=ζ (6-50)

( ) cpc 12ε⋅

α−ξ−⋅ξ

=ε (6-51)

cs1

ε⋅ξξ−

−=ε (6-52)

gdje je: 2cd

sd

dbfM

⋅⋅=μ bezdimenzionalna vrijednost aktivnog momenta savijanja.

Bezdimenzionialna vrijednost sile u pritisnutom pojasu je : ( )

dbfC

cdc ⋅⋅

=ν − (6-53)

i bezdimenzionalna vrijednost sile u zategnutom pojasu je:

dbfAf

dbfT

cd

ssd

cds ⋅⋅

⋅=

⋅⋅=ν (6-54)

Potrebna površina armature dobije se iz uslova ravnoteže uzdužnih sila: 0sc =ν+ν (6-55)

dbff

vAsd

cdcs ⋅⋅⋅= (6-56)

U nastavku se uvodi pojam mehanički stepen armiranja :

dbA s

⋅=ρ i ρ⋅=ρ

cd

sd

ff

(6-58)

Ukoliko u duktilnoj armiranobetonskoj konstrukciji mjestimično dođe do tečenja armature u zategnutoj zoni, posljedica je otvaranja serije prslina, koje zajedno formiraju plastični zglob kao na slici 6.21.

Slika 6.21: Otvaranje plastičnog zgloba


76

Rotacija zgloba : ( )∫ ϑ=θpll

mpl dx (6-59)

jedino je moguća ako se srednje krivljenje υm u području lpl može odvijati bez otkaza betona u pritisnutoj zoni. Pri tome se unutarnji krak sila neznatno mijenja.

zAfM ssdpl ⋅⋅= (6-60) Pri otvaranju plastičnog zgloba dolazi do premještanja sila u manje opterećena područja (preraspodjela opterećenja). Nakon dostizanja momenta tečenja dolazi do otvaranja narednog zgloba. Opterećenje duktilne konstrukcije može se povećavati sve do momenta kada konstrukcija postaje mehanizam tj. kada usljed otvaranja narednog plastičnog zgloba postaje kinematski pomjerljiva. Pomoću plastičnog ili nelinearnog proračunskog modela moguće je odrediti granično stanje nosivosti. Preduslov je da na mjestu otvaranja plastičnog zgloba postoji dovoljna sposobnost rotacije presjeka θpl. Prevelika količina armature stvara krtost i zbog toga je treba izbjegavati. Da bi se izbjegla krta konstrukcija, treba ispuniti slijedeći uslov :

dx

dx ∗

≤ (6-61)

Najveće moguće odstojanje neutralne osi x*, prema EC2, iznosi: x* = 0,45d za beton ≤ C35/45 x* = 0,35d za beton ≥ C40/50 Dilatacija armature εs ne smije biti manja od dilatacija na granici elastičnosti εe.

ec

c

dx

ε+ε

ε=

∗

(6-62)

Dodavanjem armature u pritisnutoj zoni povećava se nosivost pritisnutog pojasa bez dodatnog povećanja dimenzija betonskog presjeka ili kvalitete betona. Najveća moguća sila u betonu CC je za stanje deformacija prikazano na slici 6.22, gdje je εc2= -0,0035 na pritisnutom rubu betona, neutralna os je na maksimalno dozvoljenom rastojanju x*.

Slika 6.22: Pritisnuta armatura

∗⋅= x8,0d c (6-63) Betonska pritisnuta zona za prikazano deformaciono stanje može preuzeti slijedeći reaktivni momet :

0dbfC ccdc <⋅⋅= (6-64)

zC2

dddbfM c

cccdc ⋅−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅= (6-65)

Ako je moment akcije MSd veći od Mc, razliku momenata csd MMM −=Δ preuzima pritisna armatura AS2 . Položaj armature definisan je na slici 6.22. Sila u pritisnutoj armaturi je:


77

2s2s dd

MC−Δ

−= (6-66)

Dilatacija u pritisnutoj armaturi je : 00035,0xd

1 2s2s <⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=ε∗

(6-67)

Naprezanje u armaturi (Hukov zakon) : 2ss2s E ε⋅=σ (6-68) odnosno u plastičnom području: sd2s f−=σ (6-69)

Na osnovu izraza (6-66) do (6-69) slijedi izraz za potrebnu površinu pritisne armature :

( )2s2s2s dd

MA−⋅σ

Δ−= (6-70)

U tom slučaju armatura u zategnutoj zoni treba preuzeti sile T i ΔT :

sd

2s

c

sd1s f

ddM

zM

fTTA

−Δ

+=

Δ+= (6-71)


GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE:

Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m Armatura u poprečnom presjeku: As = 38,06cm2

MATERIJAL:

Beton C 25/30: fck = 25 MN/m2; Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2

DEFORMACIONO STANJE POPREČNOG PRESJEKA: ε0 = -0,000287; ϑ = 0,01071

Za zadane geometrijske karakteristike, karakteristike materijala i deformaciono stanje poprečnog presjeka odrediti presječne sile u presjeku.


78

0035,0)3,0(01071,0000287,0z 2c02c −=−⋅+−=⋅ϑ+ε=ε

00293,0)3,0(01071,0000287,0z 1c01c =⋅+−=⋅ϑ+ε=ε

00239,0)25,0(01071,0000287,0z 1s01s =⋅+−=⋅ϑ+ε=ε

m3268,0xxd

2c1s2c

=⇒ε

=ε+ε

m1868,0xxx

1cp

1

2c

=⇒ε

=ε

1.UDIO BETONA U NOSIVOSTI PRESJEKA

- ZATVORENO RJEŠENJE

∫ ⋅σ=2

0

z

zcc dz)z(b)z((N

∫ ∫ ⋅=⋅⋅σ=2

0

2

0

z

z

z

zccc dz)zdN(dz)z)z(b)z((M

- NUMERIČKO RJEŠENJE (SIMPSON-OVO PRAVILO)

εcp = -0,002; εcm = -0,001;

2cd0 m/MN25f −=⋅α=σ ; 2

cp

cm

cp

cmcdm m/MN5205,12)2(f −=

εε

−⋅εε⋅⋅α=σ ; σu = 0

kN65,622b)4(6x

N m01

1c −=⋅σ+σ⋅=

kN48,700)1868,03268,0(3,016670)xx(bfN 1cd2c −=−⋅⋅−=−⋅⋅⋅α=

kN13,132348,70065,622NNN 2c1cc −=−−=+=


79

kNm97,55b)z4z3aM mm101c =⋅⋅σ⋅+⋅σ=

kNm09,161)2

zzz(NM 12

12c2c =−

+⋅=

kNm06,217MMM 2c1cc =+=

- RJEŠENJE POMOĆU IZRAZA ZA POVRŠINU

Površina kvadratne parabole jednaka je 2/3 površine opisanog pravougaonika. Presječne sile dobijene primjenom ovog pravila su:

kN79,622N 1c −=

kN48,700N 2c −=

kN27,1323NNN 2c1cc −=+=

kNm99,55)x83z(NM 111c1c =⋅−⋅=

kNm09,161)2

zzz(NM 12

12c2c =−

+⋅=

kNm08,217MMM 2c1cc =+=

2.UDIO ARMATURE U NOSIVOSTI PRESJEKA

ssss A)(N ⋅εσ= Ako je : εs ≤ εyd ⇒ )z(E)z( sss ε⋅=σ

εs > εyd ⇒ yds f)z( =σ ; za armaturu RA 400/500 fyd = 400/1,15 = 347,8 MN/m2

00174,0200000

8,347Ef

s

ydyd ===ε

ydsyd1s f00239,0 =σ⇒ε>=ε

kN8,132306,3834782N s =⋅=

kNm96,330)05,0

2h(8,1323zNM ss =−⋅=⋅=

2.REAKTIVNE SILE U POPREČNOM PRESJEKU

Reaktivne sile = Udio od betona + Udio od zategnute armature

kN08,13238,1323NNN scRd =+−=+=

kNm0,54896,33006,217MMM scRd =+=+= (Presjek napregnut na čisto savijanje.)


80

Primjer 2b Zadano je :


Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,50m; h = 1,05m; d = 1,00m Armatura u poprečnom presjeku: As = 9Φ25(44,18cm2) MATERIJAL: Beton C 30/37: fck = 30 MN/m2; fcd = 30/1,5 = 20 MN/m2 Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2

DEFORMACIONO STANJE POPREČNOG PRESJEKA: εco = -0,00215; εs1 = 0,00189

1.UDIO BETONA U NOSIVOSTI PRESJEKA

m53,0xxd

0c1s0c

=⇒ε

=ε+ε

; m49,015,2

253,02xx0c

1 =⋅

=ε⋅

=

MN78,2fbx32N cd11c −=⋅α⋅⋅⋅=

MN34,0)49,053,0(5,02085,0)xx(bfN 1cd2c −=−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅α=

MN12,334,078,2NNN 2c1cc −=−−=+=

MNm01,1)2

)xx(2h(N)x

83)xx(

2h(NM 1

2c111cc =−

−⋅+−−−⋅=

2.UDIO ARMATURE U NOSIVOSTI PRESJEKA

2ydsyd1s m/MN82,347f00174,000189,0 ==σ⇒=ε>=ε

MN54,110000

18,4482,347N s =⋅=

MNm73,0)05,0525,0(54,1zNM ss =−⋅=⋅=

2.REAKTIVNE SILE U POPREČNOM PRESJEKU

Reaktivne sile = Udio od betona + Udio od zategnute armature MN58,154,112,3NNN scRd −=+−=+=

MNm74,173,001,1MMM scRd =+=+= (Presjek napregnut na savijanje sa uzdužnom silom.)


81



Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m

MATERIJAL:


STATIČKI UTICAJI:

Msd = 283,26 kNm = 0,28326 MNm

2

c

ckcd N/mm 7,16

5,125f

f ==γ

= ; 2

s

ykyd N/mm 348

15,1400f

f ==γ

=

Odrediti potrebnu armaturu za granično stanje nosivosti.

1. ODREĐIVANJE DIJAGRAMA DEFORMACIJA

Prvo moramo odrediti stanje deformacija koje je usklađeno sa pripadajućim reaktivnim unutrašnjim silama.

1. korak : Granično stanje deformacija 4

: slijedi -0,050 -0,0035 : za

su

cu

=ε=ε

m 0,036

0,0500,00350,00350,55

εεεd

xεx

εεd

s1cu

cu

cus1cu

=+

⋅=

+⋅

=⇒=+

m 0,02060,0035

0,0020,0036εεx

xεx

εx

cu

cp1

cp

1

cu

=⋅

=⋅

=⇒=

m 0,285xzz m 0,264xzz m 0,302hz 101202 =+==−===

Određivanje reaktivnih sila u poprečnom presjeku :

MN 0,0688αxf32bN 1cdc 1

=⋅⋅⋅⋅=


82

( ) MN 0,0722αxxfbN 1cdc 2=⋅−⋅⋅=

MN 0,146NNN c2c1c1 =+=

MNm 0,0191x83zNM 11c1c1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=

MNm 0,02262x-x

zNM 12c2c2 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅=

MNm 0,0417MMM c2c1c =+=

Proračun kraka unutrašnjih sila :

m 0,286NM

ec

cc ==

m 0,2505,03,0es =−=

m 0,536eez sc =+=

Reaktivni moment je : MNm 0,07830,5360,146zNM cr =⋅=⋅=

MNm 0,283MMM sdrRd =<=

2. korak : Granično stanje deformacija 3

0,00336-0,0035

yk,0.95s1

cu

=ε=ε=ε

Slijedi za gornje vrijednosti : MN 1,099N c =

MNm 0,206M c =

m 0,4370,250,187z m 0,187NM

ec

cc =+===

MNm 0,4800,4371,099M r =⋅= sdRd MM >

3. korak : Stanje deformacije

0,010-0,0035

yds1

cu

=ε=ε=ε

m 241,0NM

e MN 577,0Nc

ccc ===

m 0,491eez MNm 0,139M scc =+==

OK! - MMNm 0,283zNM sdcr ==⋅=


83

csd

s NMN 0,577z

MN ===

( ) yds1syk,0.95s1s

spot. fσ 0,010

σN

A =ε⇒ε>=ε=

( ) cm 18,84Aa 20 6 odabrano cm 16,5810348

0,577A 224pot. =φ=⋅=

2. DIMENZIONIRANJE POMOĆU BLOKA NAPREZANJA

Približno EC 2 dopušta proračun sa dijagramom naprezanja u obliku pravougaonika s tim da se netačnost pokriva tako da se uzima 80 % pritisnute zone. x0,8d c ⋅=

ccccdc dbA AfαN ⋅=⋅⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅=⋅=

2d

-ddbfαzNM cccdcRd

187,055,03,07,161

285,0dbfα

Mμ

22cd

sd =⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

Visina pritisnute zone : ( ) m 0,140,550,261d x 261,021125,1 =⋅=⋅ξ==μ⋅−−⋅=ξ

Unutrašnji krak sila : ( ) m 0,493dz 896,04,01 =⋅ρ==ξ⋅−=ρ

Kontrola dilatacije čelika :

36,391,9261,0

1261,05,315,3s >=−

⋅−=ξ−ξ

⋅−=ε ‰

24

yd

sdpot. cm 16,5010

348493,0283,0

fzM

A =⋅⋅

=⋅

=

Minimalna armatura prema EC 2 : 24

ykmins, cm 48,210

40055,03,06,0

fdb0,6A =⋅

⋅⋅=

⋅⋅>

22mins, cm 50,16cm 48,2db0015,0A <=⋅⋅>

Maksimalna armatura prema EC 2 : 224

cmaxs, cm 50,16cm 721060,030,004,0A04,0A >=⋅⋅⋅=⋅=


84

Primjer 4

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,40m; h = 0,80m; d = 0,75m MATERIJAL:

Beton C 25/30: fck = 25 MN/m2; 2

c

ckcd N/mm 7,16

5,125f

f ==γ

=

Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2 ; 2

s

ykyd N/mm 348

15,1400f

f ==γ

=

STATIČKI UTICAJI: Mg = 120,00 kNm Mp = 80,00 kNm Potrebno je dimenzionirati presjek opterećen na savijanje.

kNm 282801,51201,35M sd =⋅+⋅=

DIMENZIONIRANJE POMOĆU TABELA

075,0

75,04,067,16282,0

dbfαM

μ22

cd

sd =⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

iz tabele 9.35 : 0789,0c −=ν ; 9507,0=ρ ; 575,1c −=ε ; % 2,39ε10,00ε es =>=

cm 11,34m 0,0011340,750,4

347,8316,670,0789A 22

s ==⋅⋅−⋅−= 2

s cm 12,07A 16 6 : Usvojeno =φ Primjer 5

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,40m; h = 0,80m; d = 0,75m MATERIJAL:

Beton C 16/20: fck = 16 MN/m2; α=0,85; 2

c

ckcd N/mm 67,10

5,116f

f ==γ

=

Armatura RA 400/500: fyk = 400 MN/m2 ; 2

s

ykyd N/mm 83,347

15,1400f

f ==γ

=

STATIČKI UTICAJI: Msd = 800,00 kNm Potrebno je dimenzionirati presjek opterećen na savijanje.

( )400/500RA 332,0μ392,0

75,04,067,1085,0800,0

dbfαM

μ gran.22cd

sd =>=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

Potrebna je armatura u pritisnutoj zoni.

MNm 771,0332,00,80,410,67,850 M

dbfα

Mμ 2

gran.2cd

gran.gran. =⋅⋅⋅⋅=⇒

⋅⋅⋅=

kNm 29771800ΔM =−= PRITISNUTA ARMATURA As2 :

MN 0,41430,700,290N s2 −=−=


85

( )2

22

yd

s2s2

cm 12,32 28 2 : USVOJENO

cm 91,11m 001191,083,347

4143,0fN

A

φ

===−=

ZATEGNUTA ARMATURA :

pomoću tabele : 0,332μ ⇒= 0789,0c −=ν

9507,0=ρ

575,1c −=ε

% 2,39ε10,00ε es =>=

( ) cm 66,0591,1175,8311,910,750,4347,83

10,670,4211fN

dbff

νA 2

yd

s2

yd

cdcs =+=+⋅⋅

−⋅−=+⋅⋅⋅=

2a cm 26,94A 28 8 : Usvojeno =φ

Primjer 6

Zadano je :

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE: Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m

MATERIJAL:


STATIČKI UTICAJI: Msd = 520,00 kNm Nsd = 200,00 kN

2

c

ckcd N/mm 67,10

5,116f

f ==γ

=

2

s

ykyd N/mm 83,347

15,1400f

f ==γ

=

Potrebno je dimenzionirati presjek opterećen na savijanje i normalnu silu.

MOMENAT U ODNOSU NA TEŽIŠTE ARMATURE :

MNm 470,025,0200,0520,0zNMM ssdsdssd, =⋅−=⋅−=

5,3 ; 62,3 0,8012; 311,055,03,067,16

470,0dbfα

Mμ cs22

cd

sd =ε=ε=ρ⎭⎬⎫

=⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

0727,055,03,067,16

200,0dbf

Nν

cd

sd =⋅⋅

=⋅⋅

=

22

yd

sd

yd

ssd,s cm 4,36m 00364,000057,000307,0

83,347200,0

83,34755,08012,0470,0

fN

dρfM

A ==+=+⋅⋅

=+⋅⋅

=


86


86



Pravougaoni poprečni presjek : b = 0,30m; h = 0,60m; d = 0,55m

MATERIJAL:


STATIČKI UTICAJI:

Msd = 580,00 kNm 2

c

ckcd N/mm 7,16

5,125f

f ==γ

=

2

s

ykyd N/mm 348

15,1400f

f ==γ

=

Potrebno je odrediti armaturu dvostruko armiranog presjeka. Rješenje 1. Pronaći reaktivno stanje deformacija za Msd Moguće je iterativno ili pomoću bloka dijagrama napona :

383,0

55,03,07,160,1580,0

dbfαM

μ22

cd

sd =⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

Visina zone pritiska : ( ) ( ) 645,0383,021125,121125,1 =⋅−−⋅=μ⋅−−⋅=ξ

Deformacija armature : 95.0,yks 36,3 93,1645,0

1645,05,315,3 ε=<=−

⋅−=ξ−ξ

⋅−=ε

Momenti akcije su preveliki, potrebna je pritisnuta armatura. 2. Granično stanje deformacija 3 0035,0εε cuc2 −==

00336,0εε yk,0.95s1 ==

Na osnovu datog stanja deformacija može se odrediti max moment koji može presjek bez pritisnute armature preuzeti.

510,036,35,3

5,35,3

5,3 36,315,31s

gran.1s =+

=ε+

=ξ⇒=ξ−ξ

⋅−=ε

( ) 325,02

25,1510,011

225,1

.gr11 21125,1

22

gr.gr.gran. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ξ−−

=μ⇒μ⋅−−⋅=ξ

MNm 493,055,030,07,161325,0M dbfα

Mμ 2

gran.2cd

gran.gran. =⋅⋅⋅⋅=⇒

⋅⋅⋅=

Razliku momenata mora preuzeti pritisnuta armatura : MNm 0,0870,4930,580ΔM =−= 3. Pritisnuta armatura As2

m 0,50,050,050,6a =−−= s2s NΔN −= aΔNaNΔM s1s2 ⋅=⋅−=


87

MN 174,0ΔN MN 0,174aΔMN s1s2 =−=−=

( )s2s

s2s2 ε σ

NA =

Određivanje visine pritisnute zone i dilatacije pritisnute armature m 0,2810,550,510dξx gr.gr. =⋅=⋅=

88,2x

05,0xεε

ε05,0x

εx

gr.

gr.cus2

s2

gr.

cu

gr. =−

⋅=⇒−

=

PAŽNJA ! yddbs, εε >

Dimenzioniranje će se raditi za 74,1200000

348E

fε yd

yd ===

ydsyds2 f ε 2,88ε =σ⇒>=

( )2a

24

yd

s2s2 cm 6,03A 16 3 cm 5,010

3480,174

fN

Apot =φ=⋅==

4. Zategnuta armatura As1 Određivanje kraka unutrašnjih sila :

( ) ( ) 0,7960,5100,41ξ0,41ρ gr.gran. =⋅−=⋅−=

24

yd

gran.gran.s1, cm 36,2310

3480,550,7960,493

fdM

Apot =⋅⋅⋅

=⋅⋅ρ

=

s2ΔNs1, Apot Apot s1=

2s cm 36,370,536,32Apot =+=

Minimalno potrebna armatura prema EC 2 : 224

yk

tmins, cm 36,37cm 48,210

40055,03,06,0

fdb0,6

A <=⋅⋅⋅

=⋅⋅

>

224tmins, cm 36,37cm 48,21055,030,00015,0db0015,0A <=⋅⋅⋅=⋅⋅>

Maksimalna armatura prema EC 2 : 224

cmaxs, cm 36,37cm 721060,030,004,0A04,0A >=⋅⋅⋅=⋅=

6.2.3 Dimenzioniranje greda T presjeka

Grede T presjeka često se koriste u praksi, zbog svoje racionalnosti. Na slici 6.23. prikazana je međuspratna konstrukcija sa više rebara na određenom rastojanju.

Slika 6.23: Sudjelujuća širina ploče beff


88

Kod T greda kod kojih je širok pritisnuti pojas pritisnuta zona se ne deformira ravno. Pritisnuti pojas djeluje kao ljuska. Dolazi do nejednolike raspodjele naprezanja.

Slika 6.24: Raspodjela naprezanja na pritisak σx i tok neutralne osi kod T grede

Pojednostavljeno se može uzeti raspodjele naprezanja konstantna na sudjelujućoj širini beff (slika 6.25). Sudjelujuća širina dobije se iz uslova da pojednostavljena konstantna raspodjela napona daje istu rezultantnu silu pritisnutog pojasa kao stvarna raspodjela napona.

Slika 6.25: Efekat ljuske i «sudjelujuća širina» beff

Za potrebe proračuna presječnih sila u T presjeku može se odrediti sudjelujuća širina ploče pomoću izraza :

beff = bw + b1 + b2 (6-72)


89

1 Primjer 8 Zadano je:

PRESJEČNE SILE: MG=250 kNm MQ=150 kNm MATERIJAL: C25/30;RA 400/500

2 3 4 Potrebno je dimeznionirati armiranobetonski T presjek

Rješenje: Računske vrijednosti presječnih sila koje naprežu presjek: 1,50γ1,35;γ QG ==

kNm1860,007001,506001,35MSd =⋅+⋅=

kNm00,1860MkN00,0N s,SdSd =⇒=

cm72880dhd 1 =−=−= Računske čvrstoće materijla: 1,15γ1,50;γ sc ==

2

s

ykyd

2

c

ckcd mm/N348

15,1400f

f;mm/N67,165,1

25ff ==

γ===

γ=

1. Dimenzioniranje T presjeka po tačnom postupku

Relativni računski momenat s obzirom na težište zategnute armature:

110,0667,172200

10000,1860fdb

M2

cd2

f

s,Sds,Sd =

⋅⋅⋅

=⋅⋅

=μ

567,630200

bb

w

f >==

14,07210

dh f ==

Za izračunati 110,0s,Sd =μ i odnose bf/bw=6,67 i hf/d=0,14 iz tabela u prilozima je: 63,14i19,0;5,1181000 1ss =ε=ξ=ω⋅

Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:

2

yd

Sd

yd

cdfs1s cm74,81

8,3400,243

34867,1672200

10005,118

fN

ff

dbA =−⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅ω=


90

2. Dimenzioniranje približnim postupkom uz zanemarenje napona pritiska betona u rebru - bf/bw>5

Za izračunati 110,0s,Sd =μ iz tabele za dimenzioniranje jednostruko armiranih pravougaonih prsjeka, u prilozima, je .172,0=ξ Približna visina pritisnute zone betona, odnosno približan položaj neutralne osovine iznosi: cm10hcm4,1272172,0dx f =>=⋅=⋅ξ= Približna veličina kraka unutrašnjih sila: cm672/10722/ddz f =−=−= Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:

2Sd

f

s,Sd

yd1s cm77,79

6710000,1860

8,341N

2hd

Mf1A =

⋅⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

⋅=

Približna vrijednost računskih napona pritiska betona u pritisnutoj zoni:

22

fff

s,Sdcd mm/N9,13mm/kN39,1

102006710000,1860

8,341

hb2

hd

M==

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=σ

2cd

2cd mm/N17,1467,1685,0f85,0mm/N9,13 =⋅=⋅<=σ

10∅32; RA 400/500 Usvojena armatura: stv.As1=80,42 cm2


91

b1 = l0/10 i b1≤a1 (6-73) b2 = l0/10 i b2≤a/2 (6-74)

Kod greda sa širokim pojasima krak unutrašnjih sila može se odrediti na približan način:

f

fc

h25,1xza2hdz

hd⋅≥

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

=… (6-75)

Pri čemu se pretpostavlja da samo ploča preuzima naprezanja na pritisak i da je raspodjela naprezanja u pritisnutom pojasu konstanta (slika 6.26).

Slika 6.26: Grede sa širokim pojasima

Ako je položaj neutralne osi x < l,25hf , poprečni presjek dimenzionira se kao pravougaoni poprečni presjek sa krakom unutarnjih sila :

2d

dz c−= (6-76)

Slika 6.27: Poprečni presjek geometrijski T presjek, statički radi kao pravougaoni presjek

Postupak dimenzioniranja kao i kod pravougaonog poprečnog presjeka zavisi od odabira oblika računskog dijagrama naprezanja na pritisak. Približnim postupkom dimenzioniranja pomoću blok dijagrama naprezanja, uz korištenje oznaka sa slike 6.28, dobije se proračunska površina poprečnog presjeka pritisnutog pojasa,

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β+

δδ

β−⋅=c

c 1dbAc (6-77)

uz slijedeća značenja pojedinih parametara prethodnog izraza:

dd

;b

b;

dh c

cwf =δ=β=δ (6-78)


92

β

δ−⋅δ⋅β−−μ

=μ)

21()1(

0 (6-79)

0c 211 μ−−=δ (6-80) c25,1 δ⋅=ξ (6-81)

)( c δ−δβ+δ

μ=ς (6-82)

Slika 6.28: Greda T presjeka: oznake za dimenzioniranje

Nakon što se pomoću navedenih izraza odredi unutarnji krak sila rezultantna sila pritiska se

može odrediti pomoću izraza:z

MC Sd−=

Srednje naprezanje u pritisnutom pojasu : c

c AC

=σ .

Ako je naprezanje manje ili jednako čvrstoći betona na pritisak onda pritisnuti pojas može preuzeti silu C : cdc f≤σ Ukoliko neutralna os prolazi kroz rebro i pritisnuti pojas T presjeka nije širok, tj. beff/bw ≤ 5, dimenzionira se tako da se pritisnuti pojas T oblika zamijeni sa pravougaonim širine bi = λb

.beff. Postupak pronalaženja koeficijenta λb objašnjen je u priručnicima za dimenzioniranje armiranobetonskih elemenata.

6.3 Elementi napregnuti na savijanje sa poprečnom silom U građevinskoj praksi veoma rijetko se može javiti slučaj savijanja bez poprečne sile. Obično je greda opterećena na poprečne sile kao što je prikazano na slici 6.29. Pod djelovanjem poprečnih sila javljaju se tzv. smičuće pukotine (slika 6.29a). Princip prenošenja opterećenja kroz gredu zasniva se na rešetkastom modelu (slika 6.30). Pritisnuti štapovi su prikazani podebljano, zategnuti štapovi tanko, a nul-štapovi kao isprekidane linije. Ugao θ, koji pritisnute dijagonale zatvaraju sa horizontalom odgovaraju nagibu prslina na slici 6.29a. Ovaj nagib za dokaz na smicanje mora biti u granicama : 0,4 ≤ cot θ ≤ 2,5 – kod greda sa konstantnom uzdužnom armaturom 0,5 ≤ cot θ ≤ 2,0 – kod greda sa promjenljivom uzdužnom armaturom


93

Prema EC2 proračun sa uglom θ = 450 se uzima kao standardni proračun. Pritisnute dijagonale predstavljaju betonska rebra koja se formiraju između prslina. Sile vertikalnih zatežućih štapova preuzimaju se putem vilica.

Slika 6.29: Greda izložena kombinaciji djelovanja momenta savijanja i poprečne sile

Slika 6.30: Rešetkasti model prenosa opterećenja kroz gredu

6.3.1 Sile u pojasnim štapovima rešetke Na slici 6.31 prikazan je dio grede sa slike 6.30, tj. područje između dva vertikalna štapa rešetke.


94

Slika 6.31: Određivanje sila u štapovima rešetkastog modela

Za presječne sile u presjeku m-m važi: ΣV = 0: 0VD z =+ (6-83)

za

DD

z

x = (6-84)

Θ⋅−=⋅= cotVzaDD zx (6-85)

Θ

−=

sinVD (6-86)

ΣMu = 0: 0M2zDzO mx =+⋅+⋅ (6-87)

Θ+−= cot2V

zM

O m (6-88)

ΣMo = 0: 0M2zDzU mx =+⋅−⋅− (6-89)

Θ+= cot2V

zM

U m (6-90)

Kontrola : 0DUO0H x =++⇒=Σ (6-91) Dijagonale na slici 6.30 predstavljaju rezultantu polja naprezanja na pritisak širine a. Dikretizirana rešetka (slika 6.30) može se prikazati i kao «razmazana» rešetka (slika 6.32.).

Slika 6.32: Štapovi dikretiziranog rešetkastog modela kao rezultante polja naprezanja


95

Sile u pojasima rešetke dobijene izrazima (6-83) do (6-91) jesu rezultantne sile «razmazanog» rešetkastog modela. Treba voditi računa da se sila V prenosi na više betonskih dijagonala (slika 6.33). ∑Δ= VV . Prema tome na jednu dijagonalu otpada dio sile ΔD. Svaka dijagonala putem vilica prenosi silu u pojase i u pojasu nastaje sila UOcotVDx Δ−=Δ=θ⋅Δ−=Δ

Slika 6.33: «Razmazani» rešetkasti model

Prema tome svaki betonski štap preuzima silu ΔDx pri čemu se ova sila kontinuirano mijenja, dok kod diskretnog rešetkastog modela sile u pojasima se skokovito mijenjaju. Za «razmazani» rešetkasti model u bilo kojem presjeku x sile u pojasima armiranobetonske grede su :

( ) ( ) ( )θ⋅+−= cot

2xV

zxMxC (6-92)

( ) ( ) ( )θ⋅+= cot

2xV

zxMxT (6-93)

Prema tome usljed djelovanja poprečne sile javlja se dodatna sila u pojasima, koja rasterećuje pritisnuti pojas, a dodatno opterećuje zategnuti pojas, θ⋅± cot

2V .

6.3.2 Nosivost betonske dijagonale u rebru

Slika 6.34: Polje naprezanja na pritisak u rebru

U presjeku 2-2 poprečnu silu VSd preuzima dijagonala : θ

−=

sinV

D sd (6-94)

Sila u dijagonali djeluje na površini AC : θ⋅⋅= coszbA wc (6-95)


96

gdje je: bw - širina rebra.

Naprezanje u betonskoj pritisnutoj dijagonali je : c

c AD

=σ (6-96)

tj. θ⋅θ⋅⋅

−=σ

cossinzbV

w

sdc (6-97)

Napon u betonu za pritisnutu dijagonalu ograničen je na: cdc fv ⋅≤σ (6-98)

gdje je ν - faktor umanjenja, koji iznosi

5,0200f

7,0v ck ≥−= (6-99)

Faktor umanjenja ν pokriva pojavu dvoosnog naponskog stanja koje se javlja usljed istezanja vilica i zbijanja pritisnutog betonskog pojasa (pritisak+zatezanje). Maksimalna poprečna sila koju može preuzeti betonski presjek je: θ⋅θ⋅⋅⋅⋅= cossinzbfvV wcd2Rd (6-100) Uslov nosivosti betonskog presjeka je: 2Rdsd VV ≤ (6-101)

6.3.3 Nosivost uzengija Sila pritisnute betonske dijagonale, na mjestu uvođenja sile u uzengije, formira betonski luk, koji je potrebno uravnotežiti zategom. Zategu predstavljaju uzengije, koje moraju biti zatvorene kako bi uravnotežile sile unutar poprečnog presjeka (slika 6.35).

Slika 6.35: Nosivost uzengija

Betonski pritisnuti štapovi u uglovima uzengija takođe dovode do koncentracije napona. Skretne sile u uglovima uzengija imaju na beton efekat rezanja, kao što je pokazano na slici 6.36. Savijanje vilica radi se oko valjka relativno malog najmanjeg promjera db = 3ds. Zbog toga dolazi do velikih skretnih sila koje djeluju na beton poput sječiva.Ova koncentracija napona može se preuzeti jedino ako se u uglovima predvidi uzdužna armatura, koja spriječava pojavu prslina u betonu efektom “cijepanja”betona. Kao što je prikazano na slici 6.33, jedna uzengija nosi dio poprečne sile ΔV. Ukupnu poprečnu silu V preuzima red uzengija na dužini

θ⋅= cotzs .


97

Slika 6.36: Uzdužna armatura kao armatura protiv»cijepanja» betona

Maksimalni podužni razmak uzengija smax prema EC2 je:

- za :V51V 2Rdsd ⋅≤ mm300d8,0Smax ≤⋅= (6-102)

- za :V32VV

51

2Rdsd2Rd ⋅≤<⋅ mm300d6,0Smax ≤⋅= (6-103)

- za :V32V 2Rdsd ⋅> mm200d3,0Smax ≤⋅= (6-104)

Poprečni razmak rebara uzengije ne smije prekoračiti vrijednosti :

- za 2Rdsd V51V ⋅≤ : mm800dSmax ≤= (6-105)

- za 2Rdsd V51V ⋅> : mm300d6,0Smax ≤⋅= (6-106)

Uzengije koje su postavljene u skladu sa konstruktivnim zahtjevima standarda EC2 mogu preuzeti poprečnu silu: θ⋅⋅⋅= cotzafV swsd3Rd (6-107)

gdje je s

Aa swsw = (6-108)

Oznake u gornjim izrazima imaju slijedeće značenje VRd3 (kN) – maksimalna nosivost uzengija Asw (cm2) – površina poprečnog presjeka uzengija s (m) – razmak uzengija fsd (kN/m2) – računska vrijednost napona tečenja u uzengijama asw (cm2) – suma svih poprečnih presjeka uzengija na dužini jedan metar Granično stanje nosivosti na poprečne sile je zadovoljeno ako je otpornost poprečnog presjeka na poprečne sile veća od aktivne poprečne sile, matematički napisano izrazima (6-109) i (6-110) :

- standardni postupak : 3Rd1Rdsd VVV +≤ (6-109) - postupak sa promjenljivim nagibom betonskih rebara : 3Rdsd VV ≤ (6-110)

Na osnovu gore navedenih izraza može se eksplicitno odrediti potrebna površina armature na jednom metru dužine grede :

- standardni postupak : zf

VVs

Aasd

1Rdsdswsw ⋅

−== (6-111)

- postupak sa promjenljivim nagibom betonskih rebara: θ⋅⋅

=cotzf

Va

sd

sdsw (6-112)


98

6.3.4 Područje uvođenja koncentrične sile U pojedinim zonama grede, gdje se uvodi relativno velika koncentrična sila, postoje tzv. područja uvođenja sila. To znači da postoji ispod opterećenja formirano područje prslina (slika 6.37a).

Slika 6.37: Uvođenje koncentrične sile


99

Horizontalne komponente formiranih betonskih dijagonalnih štapova rešetke preuzimaju se podužnom zatežućom armaturom, a vertikalna komponenta se vješa putem uzengija. Ova rešetka prikazana je na slici 6.37b. Na slici 6.37c je elastično rasprostiranje opterećenja pod uglom 450 u odnosu na težišnu os, što ima za posljedicu zaokruživanje momentnog dijagrama. Model na slici 6.37b jedino je prihvatljiv ako se obezbijedi dodatna podužna armatura (zatežuća armatura protiv «cijepanja»). Na slici 6.37d prikazane su sile rasprostiranja kroz betonske štapove i sile vješanja opterećenja. Ako se momentni dijagram između sila F/2 poravna (slika 6.37d-linija 2), usvojena podužna armatura na savijanje je dovoljna i za preuzimanje sila rasprostiranja.

Slika 6.38: Smanjenje presječnih sila u zoni oslonaca

Sličan mehanizam unosa sile nalazimo kod srednjih oslonaca kontinuiranih nosača, gdje je u području oslonaca momentni dijagram ravan, a za dijagram poprečnih sila može se reaktivna sila R do rastojanja zcotθ od oslonca uzeti kao kontinuirano opterećenje.


100

6.3.5 Problem ankerisanja na krajnjim osloncima Rešetka prikazana na slici 5.30 opisuje takođe prenošenje opterećenja kroz armirano betonsku gredu sve do krajnjeg oslonca. Sila O1 u gornjem pojasu je nula. Prema tome rezultantna podužna sila usljed dejstva poprečne sile biti će preuzeta zatežućim pojasom, θ⋅= cotVT (6-113) sa nagibom pritisnute dijagonale na osloncu θ = 300. Da bi se izbjegao lom u zoni ankerisanja iznad oslonca (slika 6.39), potrebno je progustiti uzengije.

Slika 6.39: Lom u zoni ankerisanja

Na slikama 6-40 – 6-43 date su mogućnosti ankerisanja podužne armature u području oslonaca.

Slika 6.40: Potrebna dužina ankerisanja Slika 6.41: Rješenje za grede male visine

Slika 6.42: Potrebna dužina ankerisanja


101

Slika 6.43: Ankerisanje pomoću horizontalnih ukosnica

6.3.6 Sekundarna nosivost Osim nosivosti grede putem modela rešetke postoje i ostali načini nošenja unutar nosača, koji rezultiraju preuzimanjem dijela poprečne sile VRd1. 6.3.6.1 Nosivi sistem «Luk sa zategom» Na slici 6.44 prikazan je model luka sa zategom koji se sreće kod relativno širokih rebara i/ili umanjene vitkosti štapova.

Slika 6.44: Nosivi sistem «Luk sa zategom» Kod ovog modela dio poprečne sile se prenosi kao z-komponenta normalne sile u luku. Armatura u zoni zatezanja djeluje kao zatega. Da bi se mogao «odigrati» ovakav mehanizam nosivosti mora se najmanje trećina armature iz polja voditi do oslonaca i dobro ankerisati.


102

Kod srednjih oslonaca kontinuiranih nosača i oslonaca konzola, te uglova ramova i mjesta prednapinjanja mora se voditi najmanje l/4 maksimalne armature iz polja do oslonca i ankerisati. 6.3.6.2 Efekat uklinjavanja podužnom armaturom Kod pojave pukotina usljed savijanja ili smicanja naročito kod visokih rebara armatura, osim nosivosti na zatezanje, igra ulogu «uklinjavanja» pukotina i promjene smjera pukotine prema z-osi (slika 6.45).

Slika 6.45: Efekat «uklinjavanja» pukotine podužnom armaturom

Kada govorimo o uklinjavanju pukotina, onda moramo dodati još jedan bitan uticaj, uklapanja zrna agregata, koje takođe djeluje na uklinjavanje pukotine, tj. preuzima dio smičuće sile. 6.3.6.3. Krutost na savijanje betonskih rebara U modelu rešetke prikazane betonske dijagonale u stvarnosti nisu idealni štapovi rešetke. One ustvari imaju svoju krutost na savijanje, koja se zanemaruje u rešetkastom modelu.

6.3.7 Poprečna sila koju element preuzima bez smičuće armature VRd1 Kod armirano betonske grede sa tankim rebrom i visokim naprezanjem na smicanje sekundarne nosivosti date u dijelu 6.3.6 daju malu silu otpornosti VRd1. Ako je VSd < VRd1 teoretski nije potrebna smičuća armatura. Kod greda sa širokim rebrima i/ili manjim smičućim naprezanjima, mora se ipak predvidjeti minimalna smičuća armatura. U EC2 dat je izraz za dio poprečne sile za koju nije potrebna smičuća armatura:

( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd ⋅⋅σ−ρ⋅+⋅⋅τ= (6-114)

pri čemu je : τRd (MN/m2) – računska vrijednost za čvrstoću na smicanje fck (MN/m2) – karakteristična čvrstoća na pritisak betona

k = 1,6 – d ≥ 1,0 (d u metrima) , ili k = 1,0 ako je više od pola zatežuća armature savijeno

02,0db

A

w

1s1 ≤

⋅=ρ (6-115)

As1 (m2) – poprečni presjek zatežuće armature koja je minimalno za veličinu d ankerisana od promatranog presjeka

bw (m) – širina rebra


103

d (m) – statička visina presjeka

c

dcp A

N=σ (6-116)

Nd (kN) – računska vrijednost normalne sile usljed vanjskih podužnih sila ili sila prednapinjanja Ac (m2) – površina ukupnog betonskog poprečnog presjeka

Tabela 6.2: Klase čvrstoće betona, karakteristična čvrstoća pri pritisku fck (cilindar 150/300mm), računska čvrstoća na smicanje τRd (N/mm2) C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 fck 16 20 25 30 35 40 45 50 τRd 0,22 0,26 0,30 0,34 0,37 0,41 0,44 0,48

6.3.8 Minimalna smičuća armatura Ako se prilikom dimenzioniranja grede dobije armatura na smicanje manja od unaprijed definirane minimalne armature na smicanje tada se u pravilu uzima količina minimalne armature na smicanje. Količina armature na smicanje slijedi iz jednačine, θ⋅⋅⋅= cotzafV swsd3Rd , (6-117) ako se za mjerodavnu poprečnu silu uzme zb25,1V wRd3Rd ⋅⋅τ⋅= (6-118) i ugao pritisnute dijagonale θ = 45o minimalna smičuća armatura je:

wsd

Rdswmin,sw b

f125

sAa ⋅

τ⋅≥= (6-119)

pri čemu je: asw (cm2/m) – poprečni presjek armature vilica po metru dužnom. Asw (cm2) – poprečni presjek vilica (uglavnom dvosječne) s (m) - razmak vilica τRd (MN/m2) - računska vrijednost čvrstoće na smicanje fsd (MN/m2) - računska vrijednost naprezanja pri tečenju vilica bw (cm) - širina rebra Ploča i slični građevinski elementi, gdje nosivost na smicanje nema znatnu vrijednost, mogu se izvesti bez minimalne armature na smicanje.

6.3.9 Spojna armatura između pojasa i rebra 6.3.9.1. Sile smicanja na spoju pojasa i rebra Do sada je razmatrana samo nosivost podužne armature u zategnutom pojasu i smičuće armature (vilice) u rebru. Nosivost na smicanje pojasa može se odrediti pomoću modela rešetke (vidi dio 6.3.9.2) pri čemu odgovarajuća armatura u zategnutim štapovima mora biti najmanje minimalna u skladu sa 6.3.8. Srednje mjerodavno podužno smicanje po jedinici dužine dobije se prema izrazu:

v

dsd a

FV

Δ= (6-120)

ΔFd - razlika podužnih sila na dužini av u promatranom presjeku pojasa. av - rastojanje između nul-tačaka momenata i maksimalnih vrijednosti momenata


104

Potreban je dokaz da je: 2Rdsd VV ≤ (6-121)

3Rdsd VV ≤ (6-122) sa vrijednostima,

fcd2Rd hf2,0V ⋅⋅= (6-123)

sdf

sffRd3Rd f

sAh5,2V ⋅+⋅τ⋅= (6-124)

Oznake Asf i sf predstavljaju armaturu na spoju pojasa i rebra po visini pojasa hf i razmak šipki ove armature. Za bolje razumijevanje uspostaviće se sljedeći odnosi:

Slika 6.46: Gredni element izložen konstantnoj poprečnoj sili

Sile C i T u pojasima određuju se pomoću jednačina ( ) ( ) ( )θ⋅+−= cot

2xV

zxMxC i

( ) ( ) ( )θ⋅+= cot

2xV

zxMxT , ali isto tako, u pritisnutom pojasu, kao i zategnutom pojasu

djeluju dijelovi pojasnih sila izvan rebra. Te sile nazivamo Cf i Tf. Kod konstantne poprečne sile mijenja se moment savijanja na dužini a: aVM ⋅=Δ (6-125) Ovaj moment ΔM uzrokuje promjenu sila pritiska i zatezanja u pojasima:

azV

zMC ⋅−=

Δ−=Δ (6-126)

azV

zMT ⋅=

Δ=Δ (6-127)

ili nakon transformacije: aVzTzCM ⋅=⋅Δ=⋅Δ−=Δ (6-128) Ako je ukupna sila C u pritisnutom pojasu je: cc dbC ⋅⋅σ= (6-129) onda se dobije odgovarajući dio sile Cf koji nosi pojasnica: cfcf dbC ⋅⋅σ= (6-130)

tako da se dobije odnos: bbCC f

f ⋅= (6-131)


105

odnosno promjena sile: bbCC f

f ⋅Δ=Δ (6-132)

Sila u zategnutom pojasu je: ss AT ⋅σ= (6-133) te dio sile Tf u pojasnici je: sfsf AT ⋅σ= (6-134) pri čemu je:

Asf (cm2) – podužna armatura u polovici pojasnice As (cm2) – ukupna podužna armatura u zategnutom pojasu

Slika 6.47: Bezdimenzionalne sile smicanja između pojasa i rebra (presjek A-A) i pojasnice

(flanše) i rebra (presjek B-B) Iz jednačina (6-126) i (6-127) dobije se za promjenu sila u pojasu po metru dužnom:

zV

aCv AA =

Δ−=− (6-135)

zV

aTv AA =

Δ=− (6-136)

vA-A – sila smicanja svedena na jedinicu dužine

Ako prethodne izraze uvrstimo u jednačine bbCC f

f ⋅Δ=Δ i s

sff A

ATT ⋅Δ=Δ , dobijemo

pripadajuću silu u pojasnici (flanši) po metru dužnom:

bb

zV

aCv ff

BB ⋅=Δ−

=− (6-137)

s

sffCC A

AzV

aTv ⋅=

Δ=− (6-138)


106

Usljed odgovarajuće sile smicanja VA-A dolazi do promjene sila u pojasu CT Δ−=Δ (6-139)

koje se prihvataju na horizontalnoj priključnoj površini (presjek A-A) između pojasa i rebra. Takođe se preko vertikalnog priključnog presjeka B-B mora preuzeti razlika sile u pritisnutoj pojasnici ΔCf kao odgovarajuća sila smicanja vB-B. Prethodno navedeno važi i za razliku sile ΔTf u zategnutoj pojasnici. 6.3.9.2. Rešetkasti model za pojas Kao i u rebru, tako i u pojasnici (flanši) preuzimanje smicanja može se predstaviti pomoću rešetkastog modela.

Slika 6.48: Poprečna armatura pojasnice

Na slici 6.48 predstavljen je rešetkasti model uvođenja sile ΔCf u rebro. Serija betonskih pritisnutih štapova u pojasnici, koji su pod uglom α u odnosu na x os zatvaraju se serijom poprečnih štapova. Na slici 6.48. prikazane su rezultante “razmazane” rešetke.


107


107

6.3.9.2.1 Nosivost poprečne armature u pritisnutom pojasu Aktivna sila zatezanja u štapu okomitom na priključnu površinu (presjek B-B) glasi: α⋅Δ−= tanCT ff (6-140)

Iz jednačine (6-137) je: α⋅⋅⋅= tanbb

azVT f

f (6-141)

Ako je ΔC promjena podužne sile u pojasnici na dužini a, mora se poprečna zatežuća sila preuzeti pomoću poprečne armature isto tako na dužini a: aafT sfsdf ⋅⋅= (6-142) pri čemu je:

Tf (kN) – poprečna sila zatezanja u pojasnici na dužini a bf, b (m) – širine definisane na slici 6.46. α (o) – ugao nagiba betonskih štapova u pritisnutoj pojasnici

koji može biti u granicama: 25o ≤ α ≤ 75o. fsd (kN/m2) – računska vrijednost napona pri tečenju poprečne armature asf (10-4cm2/m) – površina poprečne armature po metru dužnom.

Kroz izjednačavanje jednačina (6-141) i (6-142) dobije se eksplicitno poprečna sila koja se preuzima putem poprečne armature:

α⋅⋅⋅⋅= cotbbzafV

fsfsdRd (6-143)

Aktivna poprečna sila mora biti manja ili jednaka reaktivnoj poprečnoj sili (VSd ≤ VRd), što iz prethodne jednačine dovodi do izraza za dimenzioniranje potrebne poprečne armature u pritisnutom pojasu:

sd

fsdsf f

tanbb

zVa α

⋅⋅≥ (6-144)

6.3.9.2.2 Nosivost betonskih pritisnutih štapova u pritisnutom pojasu Na sličan način određuje se nosivost kosih betonskih štapova u pojasnicama :

α⋅α⋅⋅⋅⋅⋅= cossinbbzhfvV

ffccdRd (6-145)

pri čemu je : ν (-) – faktor umanjenja čvrstoće betona fcd (kN/m2) – računska vrijednost čvrstoće na pritisak betona hfc (m) – visina pritisnute pojasnice z (m) – krak unutarnjih sila

6.3.9.2.3 Nosivost poprečne armature u zategnutom pojasu Sila koju preuzima poprečna armatura u zategnutom pojasu je:

β⋅⋅⋅⋅= cotAAzafV

sf

ssfsdRd (6-146)

pri čemu je: Asf (cm2/m) – podužna armatura u jednoj pojasnici As (cm2/m) – ukupna podužna armatura u zategnutom pojasu


108

Iz jednačine (6-146) dobije se izraz za određivanje potrebne poprečne armature u zategnutom pojasu :

sds

sfsderf,sf f

tanAA

zV

a β⋅⋅≥ (6-147)

Ugao β između pritisnutih štapova i podužnog smjera, u zategnutom pojasu, treba uzeti isti kao u rebru (β=θ). 6.3.9.2.4 Nosivost betonskih pritisnutih štapova u zategnutom pojasu Za nosivost betonskih pritisnutih štapova u zategnutom pojasu važi:

β⋅β⋅⋅⋅⋅⋅= cossinAA

zhfvVsf

sfccdRd (6-148)

hft (m) – visina zategnutog pojasa Nosivost poprečne armature i betonskih pritisnutih štapova u pojasnicama dokazana je ako je zadovoljen uslov nosivosti : Rdsd VV ≤ .

6.3.10 Dimenzioniranje dvopoljnog sandučastog nosača na savijanje i smicanje 6.3.10.1. Podaci o sistemu

MATERIJAL : Beton C 40/50 ; α = 0,85 Čelik RA 400/500 OPTEREĆENJE: q = 50 kN/m 6.3.10.2. Presječne sile

Maksimalni moment na osloncu : [ g i q preko oba polja ] ( ) ( ) ( ) MNm 8,175750,1250,25l0,125gqM 22

osl. −=⋅−⋅=⋅−⋅+=


109

Maksimalna reakcija na srednjem osloncu :

( ) MN 23,4750,251,25lgq1,25A M =⋅⋅=⋅+⋅= Reduciranje momenta iznad oslonca :

MNm 9,28

0,14,238

aAM oslM =

⋅=

⋅=Δ

Maksimalni moment u polju (pokretno operećenje samo na jednom polju): ( ) ( ) MN 75,1057507,02,0096,005,0l0,07g0,096qM 22

F =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅= 6.3.10.3. Dimenzioniranje na savijanje (ULS)

DIMENZIONIRANJE NA SAVIJANJE U MAKSIMALNO OPTEREĆENOM PRESJEKU U POLJU

MNm 142,761,35105,75γMM FSd =⋅=⋅=

0671,0234,30,8

76,142fdb

Mμ 2

cd2

Sd =⋅⋅

=α⋅⋅⋅

=

0,06950,0671211μ211c =⋅−−=⋅−−=δ

m 296,0236,025,1d1,25 x m 0,2363,40,0695dd ccc =⋅=⋅==⋅=⋅δ= Veličina x je veća od debljine ploče hf, poprečni presjek se mora dimenzionirati kao T greda .

125,00,80,1

bb

0735,04,325,0

dh

δeff.

wf ===β===

0,0570,07350,320,07350,8δ0,32δ0,8μ 22u =⋅−⋅=⋅−⋅=

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −δ⋅⋅β⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−⋅β−⋅δ= 1

32

34

211μ 0

( ) 0736,010735,032125,0

34

20735,01125,010735,0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⋅=

μμμ 0u →<< proračun T grede sa fiktivnom debljinom flanše 0fh

m 23,04057,00736,0057,00671,025,02,04

μμμμ

h0,2huo

uffo =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

⋅⋅=

0678,04,323,0

dh

δ fo ===

( ) ( )[ ]0785,0

2/δ1β1δμα oo =

β−⋅−⋅−

=

0,08190,0785211μ211c =⋅−−=⋅−−=δ

m 348,00819,04,325,1d1,25 x c =⋅⋅=δ⋅⋅=

( ) 965,0δδβδ

μρoco

=−⋅+

= m 3,2813,40,965dρz =⋅=⋅=

MN 43,53,281142,8

zM

T Sd ===

24

yds cm 125010

3485,43

fTA pot. =⋅==

USVOJENO : ( )2

s cm 1254,25A 32 156 =∅


110

DIMENZIONIRANJE NA SAVIJANJE IZNAD OSLONCA

Četvrtina armature iz polja se vodi preko srednjeg oslonca. Ova armatura ima funkciju pritisnute armature iznad oslonca.

2prit.s, cm 312,5A =

Sila u pritisnutoj armaturi je: MN 10,883480,03125Fs =⋅= Momenat u odnosu na težište zategnute armature: MNm 35,895,510,88aFM ss =⋅=⋅=

( ) ( ) MNm 4,33-21,3582,9175,8-MMM oslSd =⋅+=γ⋅Δ+= MNm 51,19789,354,233M beton =−=

Odabir debljine donje ploče u području oslonaca :

MN 64,63,40,9

197,51C pot. =⋅

≈ m 0,56230,5

64,6fbC pot.h pot.

cdf =

⋅=

⋅α⋅≈

ODABRANO : cm 60h f = Dimenzioniranje na momenat Mbeton :

1488,0234,35

8,197fdb

Mμ 2

cd2

beton =⋅⋅

=α⋅⋅⋅

=

176,04,36,0

dh

δ f === 0,25,01,0

bb

eff.

w ===β

0,1310,1760,320,1760,8μ 2u =⋅−⋅=

( ) 17,01176,0322,0

34

2176,012,01176,0 μ 0 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−⋅=

μμμ 0u →<< proračun pločaste grede sa fiktivnom debljinom flanše 0fh

m 535,04131,017,0131,01488,060,02,04

μμμμ

h0,2huo

uffo =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

⋅⋅=

157,04,3

535,0d

hδ f

o ===

( ) ( )[ ]1643,0

2/δ1β1δμα oo =

β−⋅−⋅−

=

0,180701643211μ211c =⋅−−=⋅−−=δ

gran.c 35,0226,01807,01,251,25 ξ=<=⋅=δ⋅=ξ

( ) 92,0δδβδ

μρoco

=−⋅+

= m 3,1283,40,92dρz =⋅=⋅=

MN 63,243,128197,8

zM

T beton ===

2M,s

yds cm 74,21295,312

34824,63A

fTA pot.

s=+=+=

USVOJENO : ( )2

s cm 6,1302A 32 652 =∅


111

6.3.10.4. Dimenzioniranje na poprečne sile (ULS)

DIMENZIONIRANJE NA POPREČNE SILE U REBRU GREDE Proračun poprečne sile na odstojanju d od ruba srednjeg oslonca:

MN 0,97V 3,9ΔV

757,0311,7

=Δ⇒=+

MN 10,730,9711,7ΔVVV osl. =−=−=

MN 14,481,3510,73VSd =⋅= 6.3.10.4.1 Standardni postupak za elemente sa računski potrebnom smičućom armaturom Potreban dokaz : Rd3Sd VV ≤ ; Rd2Sd VV ≤ Da li je potrebna smičuća armatura?

( )( ) dbσ0,15ρ401,2kτV wcplRdRd1 ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

40/50 C za N/mm 41,0τ 2Rd =

1k = - za građ. elemente kod kojih je više od 50% uzdužne armature )metrimau (d 1d-1,6k ≥= - za sve ostale slučajeve

0,02db

Aρ

w

sll ≤

⋅= 02,0ρ 06,0

4,30,121306,0ρ ll =⇒=⋅

=

U ovom primjeru uzimamo da je cijela zatežuća armatura uzeta u obzir.

c

Sdcp A

Nσ = - u ovom primjeru nema normalne sile

( )( ) MN 79,24,30,102,0402,1141,0VRd1 =⋅⋅⋅+⋅⋅=

Rd1Sd VMN 48,14V >= - potrebna smičuća armatura !

Da li je betonsko rebro dovoljne nosivosti?

( )cotα1d0,9bfν21V wcdRd2 +⋅⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=

0,5200f0,7ν ck ≥−= ; 5,0

200407,0 =−=ν

( ) MN 48,14VMN 45,20013,40,91,026,70,521V SdRd2 =>=+⋅⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅= ok !

Koja je količina armature potrebna da presjek ima nosivost na poprečne sile (VRd3 ) ?

wdcdRd3 VVV += cdV - udio u nosivosti koji otpada na beton ( )Rd1V wdV - udio u nosivosti smičuće armature

( ) sinαcotα1f0,9dS

AV yd

swwd ⋅+⋅⋅⋅=


112

/m'cm 109,8/mm 0,010983483,40,9

2,7914,48f0,9dVV

a 22

yd

Rd1Sdsw ==

⋅⋅−

=⋅

−= - za okomite vilice

USVOJENO: 8- sječna uzengija otvorena prema gore /m'cm 110,88a 14/10 2stv =∅

6.3.10.4.2 Dimenzioniranje na smicanje između pojasnice (flanše) i rebra


113

Dimenzioniranje zategnutog pojasa

0,5200f0,7ν ck ≥−= ; 5,0

200407,0 =−=ν

Dokazuje se da pritisnuti štap u zategnutom pojasu može preuzeti naprezanja na smicanje:

MN48,14MN85,235,057,4128,325,07,265,0cossinAA

zhfVsf

sftcdRd2 >=⋅⋅⋅⋅⋅=β⋅β⋅⋅⋅⋅⋅ν=

Kod ravnomjerne raspodjele armature po širini poprečnog presjeka važi:

57,4

25,3

8bb

AA

fsf

s ===

Proračun potrebne poprečne armature u zategnutom pojasu:

m/cm3,2300233,04351

57,41

128,348,14

ftan

AA

zV

a 2

yds

sfsdspot ==⋅⋅=

β⋅⋅=

USVOJENO: dvosječne Φ20/25cm = 25,14 cm2/m Dimenzioniranje pritisnutog pojasa

0,5200f0,7ν ck ≥−= ; 5,0

200407,0 =−=ν

Dokazuje se da pritisnuti štap u pritisnutom pojasu može preuzeti naprezanja na smicanje:

MN48,14MN3,315,025128,36,07,265,0cossin

bbzhfV

ffccdRd2 >=⋅⋅⋅⋅⋅=β⋅β⋅⋅⋅⋅⋅ν=

Proračun potrebne poprečne armature u pritisnutom pojasu:

m/cm430043,04351

52

128,348,14

ftan

bb

zV

a 2

yd

fsdspot ==⋅⋅=

β⋅⋅=

USVOJENO: trosječne Φ20/20cm = 47,13 cm2/m 6.3.10.4.3 Dimenzioniranje na poprečne sile sa promjenljivim nagibom pritisnutih dijagonala Maksimalna poprečna sila kod oslonca A : ( slučaj kao za maksimalni moment u polju ) ( ) MN 7,27750,050,4380,20,375VA A =⋅⋅+⋅=≅

( ) MN -11,48750,257,27lqgVV ABl =⋅−=⋅+−= Poprečna sila na odstojanju d od ruba oslonca A ( širina ležaja A je 0,4 m ) :

MN 0,90V

20,43,4

ΔV75

11,487,27=Δ⇒

+=

+

MN 6,370,90-7,27ΔVVV Ared.A ==−=

MN 8,601,356,37γVV red.A

red.Sd =⋅=⋅=

Pritisnuti štapovi prema EC 2 mogu zatvarati ugao 2,688,21 ÷=Θ . Pritisnuti štapovi sa manjim nagibom smanjuju potrebnu poprečnu armaturu (uzengije) i povećavaju veličinu pomaka dijagrama momenata al. Nosivost pritisnutih štapova Rd2V je najveća za ugao

45=Θ .

Kod ovog postupka nosivost betona na poprečne sile Rd1V ne smije se uzeti u obzir !

Odabrano : 30=Θ , vertikalne vilice 90=α


114

DOKAZ IZNAD OSLONCA «B» : Nosivost betonskih pritisnutih štapova u rebru :

tanΘcotΘbfν

V wcdRd2 +

⋅⋅= ili cosΘsinΘzbfνV wcdRd2 ⋅⋅⋅⋅⋅=

( ) MN 14,48VMN 17,7cos30sin303,40,91,026,70,5V SdRd2 =>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

Potrebne uzengije:

/m'cm 51,781030cot3484,39,0

48,14cotΘfz

Va 24

yd

Sdsw =⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

Odabrano : 8-sječne vilice cm 12/10 ∅ DOKAZ IZNAD OSLONCA «A»:

MN 60,8VMN 17,7V SdRd2 =>=

/m'cm 63,461030cot3484,39,0

60,8cotΘfz

Va 24

yd

Sdsw =⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

Odabrano : Osmosječne vilice cm 12/20 ∅ Minimalna smičuća armatura :

sinαbρS

Aa w

swminsw, ⋅⋅== 0,0013 : 5.5 tabela2 EC iz =ρ

/m'cm 1310012500,0013a 2minsw, =⋅⋅⋅⋅=

Odabrano: 8-sječne vilice cm 8/30 ∅ Maksimalni razmak vilica : Oslonac A : MN 8,60VSd = MN 54,37,1751V51 2Rd =⋅=⋅>

MN 8,117,1732V32 2Rd =⋅=⋅< cm 30d0,6Smax ≤⋅= cm 03S cm 2043400,6 max =→=⋅=

Oslonac B : MN 14,48VSd = MN 8,117,1732V32 2Rd =⋅=⋅>

cm 20d0,3Smax ≤⋅= cm 02S cm 0213400,3 max =→=⋅= 6.3.10.5. Pokrivanje dijagrama momenata

Sila zatezanja: SdsSd,

Sd Nz

MT +=

Sila zatezanja (pomaknuti dijagram): ( )cotαcotΘ21VTF SdSdSd −⋅⋅+=

Horizontalni pomak linije sile zatezanja (određivanje veličine pomaka al) :

( ) 0cotcot2za l ≥α−Θ⋅=

90 sa =α 0cot2za l ≥Θ⋅=

d0,9z sa ⋅= m 65,230cot2

4,39,0a l =⋅⋅

=


115

Sila zatezanja koju preuzima poprečni presjek: usv.s,ydRd AfT ⋅= ( zTM RdRd ⋅= ) Kod savijanja sa normalnom silom na zatežuću silu dobijenu iz dijagrama momenata dodaje se veličina normalne sile. Obzirom da u ovom primjeru nema uzdužnih sila, sile zatezanja pokrit će se pokrivanjem momentnog dijagrama. U polju : /m'cm 1254pot.As, 2= MN 43,64101254348T 4

Rd =⋅⋅= − MNm 143,183,28143,64M Rd =⋅= Iznad oslonca : /m'cm 2130pot.As, 2= MN 74,12102130348T 4

Rd =⋅⋅= − MNm 231,853,28174,12M Rd =⋅= Preko krajnjeg oslonca vodi se sA 41 i preuzima sila ankerisanja Fs :

SdlSd

s Nd

aVF +

⋅=

MN 9,811,357,27VSd =⋅=

MN 10,91MN 7,653,42,659,81Fs <=⋅=

Ankerisanje krajeva šipki armature Osnovna vrijednost dužine ankerisanja za dobro prianjanje (za armaturu u gornjoj zoni vrijedi loše prianjanje – područje prianjanja II ):

bd

ydb f

f4

l ⋅∅

= mm 43,7527,3

3484

32lb =⋅=

min,b.usv,s

.pot,sbanet,b l

AA

ll ≥⋅⋅α=

Minimalna dužina sidrenja: bminb, l0,3l ⋅= ∅≥ 10 mm 010≥


116

mm 225,73752,430,3l minb, =⋅= ; mm 3203210 =⋅

Uslov: mm 320lmm 43,7520,143,7520,1l minb,netb, =≥=⋅⋅= Ako se reducira poprečna sila na rastojanju d od kraja oslonca, zatežuća armatura se mora ankerisati na dužini 2,5d od ruba oslonca : m 5,83,42,5d2,5 =⋅=⋅ . Kod srednjih oslonaca na dužini : m 252,90,7523,42,5ld2,5 net.b, =+⋅=+⋅ Npr.: Za moment na udaljenosti m 0,85x = MNm 92M Sd = , potrebna armatura je:

24

yd

Sdpot.s, cm 75,80510

348281,392

fzM

A =⋅⋅

=⋅

=

Kod promjenljivog nagiba pritisnutih štapova 30=Θ mjerodavna poprečna sila je: cotΘfzaV ydswRd3 ⋅⋅⋅=

12/20 ∅ preko oslonca A : MN 69,830cot3484,39,01063,46V 4Rd3 =⋅⋅⋅⋅⋅= −

12/10 ∅ preko oslonca B : MN 90,1430cot3484,39,01051,78V 4Rd3 =⋅⋅⋅⋅⋅= −

minsw,a8/30 =∅ : MN 10,330cot3484,39,01044,13V 4Rd3 =⋅⋅⋅⋅⋅= −

Kod pokrivanja dijagrama poprečnih sila prema standardnom postupku uzima se u obzir udio sile Rd1V , pri čemu treba obratiti pažnju da Rd1V ima različite vrijednosti u zavisnosti od širine rebra bw ili ako je promjenljiva površina zatežuće armature Asl.


117

6.3.11 Greda sa pojasima u nagibu Kod nosača sa ravnim pojasima u nagibu mijenja se rastojanje od pritisnutog pojasa do zategnutog pojasa linearno. Prema tome, može se i promjena kraka unutarnjih sila uzeti kao linearna. Ponašanje nosača u pogledu nosivosti može se predstaviti rešetkastim modelom.

Slika 6.49 – “Sedlasti” nosač sa gornijm pojasom u nagibu i “trbušasti” nosač sa donjim

pojasom u ngibu Usljed promjenljive visine rebra uzima se vlastita težina g1 sa povećanjem prema sredini nosača. Dijagram momenata usljed g1+g2+q blažeg je nagiba u odnosu na kvadratnu parabolu. gdje je: g1 (kN/m) - vlastita težina nosača g2 (kN/m) - stalno opterećenje (npr. ploča) q (kN/m) - promjenljivo opterećenje (npr. snijeg) Za aktivni moment savijanja koji se preuzima armaturom važi sljedeća jednačina:

θ⋅⋅+=⋅ cot2zVMzT sdsdsd (6-149)

Pomaknuti dijagram momenata za mjeru z/2⋅cotθ predstavlja silu u zategnutom pojasu TSd koja se dobija preko kraka unutarnjih sila. Usvojena zatežuća armatura sa površinom poprečnog presjeka As,usv. može preuzeti sljedeći momenat savijanja: zAfzT usv,ssdRd ⋅⋅=⋅ (6-150) Ako je akcija Rdsd TT ≤ ispunjen je uslov nosivosti.


118

Linija pokrivanja momenata TRd⋅z rasprostire se na način kao i krak unutarnjih sila, tj. linearno do tačke S. Presječna tačka S odgovara mjestu gdje je krak unutarnjih sila jednak nuli, tj. na mjestu gdje se produžene linije pojasa presijecaju.Tačka dodira tangente na pomaknuti dijagram momenata, koja prolazi kroz tačku S daje nam poprečni presjek koji je mjerodavan za dimenzioniranje.

Iz uslova Rdsd TT ≤ dobija se potrebna zatežuća armatura: msd

mpot,s zf

MA⋅

= (6-151)

6.3.11.1 Smicanje Kroz nagib pojasa, sile u pojasima djeluju koso i time izazivaju vertikalne komponente koje, uglavnom, djeluju suprotno od aktivnih poprečnih sila. Prema tome, rebro preuzima poprečnu silu (Vred.).

Slika 6.50 – Definicija pozitivnog smjera pravca nagiba pojasa

Ukupna poprečna sila dobije se prema slici 6.50: tdccdodsd VVVV ++= , (6-152) gdje je: Vod - vrijednost poprečne sile za dimenzioniranje u poprečnom presjeku Vccd - vrijednost komponente poprečne sile mjerodavne za dimenzioniranje u

pritisnutoj zoni paralelno sa Vod Vtd - vrijednost komponente poprečne sile mjerodavne za dimenzioniranje u

zategnutoj zoni paralelno sa Vod Vccd i Vtd uzimaju se kao pozitivni ako imaju isti smjer kao Vod. Dio sile koju preuzima rebro je: tdccdsdod VVVV −−= (6-153)

( )γ+β−= tantanzMVV sdod (6-154)

Slika 6.51 – Slomljeni nosač sa paralelnim pojasima

U slučaju slomljenog nosača sa paralelnim pojasima dobija se prethodni izraz sa β = - γ:


119

( )γ+β−= tantanzMVV sdod (6-155)

( )β−β−= tantanzMVV sdod (6-156)

sdod VV = (6-157) Dobiju se vertikalne komponente Vccd i Vtd suprotnog smjera.

Slika 6.52 – Područje loma slomljenog nosača

U području loma slomljenog nosača sa paralelnim pojasima, dobijaju se skretne sile. Posebno je važno da se u tom području ne završava armatura, nego da se provede ravno i ankeruje u pritisnutu zonu. Da bi se skretne sile zatvorile u uglu skretanja dodaju se dodatne vilice. Ovakvo razmišljanje važi i za lučne zakrivljene štapove, s tim da su tu skretne sile raspoređene po cijeloj dužini štapa.

Slika 6.53 – Zakrivljeni nosač

Da bi se ove skretne sile zatvorile, koriste se vilice, koje se ujedno dobiju dimenzioniranjem grede na smicanje. Skretne sile u području loma sedlastih nosača određujemo zu pretpostavku da je u sredini polja, gdje se nalazi sljeme, poprečna sila nula (slika 6.54). Pri tome, mora aktivna sila u rebru Vod biti jednaka po veličini, ili suprotnog smjera u odnosu na vertikalnu komponentu Vccd od sile u gornjem pojasu C. Vod stvara pod uglom θ polje napona pritiska u betonu (pritisnuti štapovi), čija vertikalna komponenta ulazi u sumu sile Vccd. Prema tome, s obje strane betonski štapovi drže ravnotežu sa skretnim silama 2 ⋅ Vccd. Kod T presjeka, u području izvijanja treba voditi da jedan dio sile u pritisnutom pojasu djeluje u ploči (slika 6.55). Skretne sile u pojasnici (flanši) stvaraju u poprečnom smjeru momente savijanja koji se preuzimaju pomoću odgovarajuće poprečne armature (slika 6.55b).


120

Slika 6.54 – «Sedlasti» nosač: Ravnotežno stanje u sljemenu

Slika 6.55 – Skretne sile u pojasnici T presjeka

6.4. Elementi napregnuti na savijanje sa normalnom silom Kod kombinacija djelovanja (My, Vz i Nx) problem se rješava pomoću poznatog rešetkastog modela, gdje normalna sila i moment savijanja uzrokuju podužne sile u pojasima, dok poprečna sila izaziva opterećenje u rebru, ali, takođe i u pojasu.

Slika 6.56 – Jednoosna kombinacija djelovanja: savijanje, poprečna sila i normalna sila

Da bismo razjasnili dejstvo poprečnih sila M i N, koristimo se zamišljenim modelom. Zamislimo fiktivnu poprečnu gredu oslonjenu u težištu pritisnutog i zategnutog pojasa na koju djeluju poprečne sile M i N (slika 6.57). Sile u pojasu C i T odgovaraju reaktivnim silama fiktivne poprečne grede.Ako poprečne sile M i N djeluju u sredini između pritisnutog i zategnutog pojasa, tada važi za sile u pojasu:

2Ncot

2V

zMC +θ⋅+−= ;

2Ncot

2V

zMT +θ⋅+= (6-158)


121

Slika 6.57 – Zamišljeni model: Unos sile preko fiktivne poprečne grede

Ako djeluje pozitivna normalna sila (sila zatezanja) pritisnuti pojas će biti rasterećen, a zategnuti pojas opterećen. Ako djeluje negativna normalna sila (sila pritiska) pritisnuti pojas će biti opterećen, a zategnuti pojas rasterećen. Pri tome zategnuti pojas treba biti napregnut na zatezanje (T≥0). Umjesto presječnih sila (M, N) koje djeluju u sredini fiktivne poprečne grede, može se uvesti normalna sila N sa ekscentricitetom: e = M/N, što daje iste sile u pojasima. Javljaju se slijedeći karakteristični slučajevi naprezanja: 6.4.1 Presjek opterećen normalnom silom zatezanja (N>0; M = N⋅e)

Slika 6.58 – Normalna sila zatezanja

a) Veliki ekscentricitet

0z

2zeN

T >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

+= (6-159)


122

0z

2zeN

C >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

−= (6-160)

Sila zatezanja T je veća po apsolutnom iznosu od sile C za veličinu sile N. b) Granica između velikog i malog ekscentriciteta Vanjska normalna sila ima hvatište u zategnutom pojasu (e = z/2). Iz prethodnih izraza slijedi: T = N > 0 C = 0

c) Mali ekscentricitet Opterećenje N ima hvatište između oslonaca (e<z/2). Obje reaktivne sile su pozitivne.

( )

0z

e2zN

T1 >+⋅

= (6-161)

( )

0z

e2zN

T2 >−⋅

= (6-162)

6.4.2 Presjek opterećen normalnom silom pritiska (N<0; M = N⋅e)

Slika 6.59 – Normalna sila pritiska

a) Veliki ekscentricitet

( )

0z

e2zN

C <−⋅

= (6-163)

( )

0z

e2zN

T >+⋅

= (6-164)

b) Granica između velikog i malog ekscentriciteta Normalna sila ima hvatište u pritisnutom pojasu (e = -z/2). C = N T = 0 c) Mali ekscentricitet Sila N ima hvatište između pojasa (-z/2 ≤ e ≤ z/2). Obje sile pojasa su negativne. Ovaj slučaj će biti objašnjen u poglavlju 6.6.


123

6.4.3 Dokaz nosivosti kod sila sa velikim ekscentricitetom Proračun se radi svođenjem presječnih sila u težište zategnute armature. ( )ts zeNM −⋅= (6-165) ili ts zNMM ⋅−= (6-166)

Slika 6.60 – Svođenje presječnih sila u težište zategnute armature

z

MC s−= (6-167)

Nz

MT ssd += (6-168)

Prethodne jedančine važe kako za pritisak, tako i za zatezanje, s tim što se mijenja predznak normalne sile, a što utiče na intenzitet sila u pojasima. Dokaz nosivost zategnutog pojasa je isti kao kod čistog savijanja: Rdsd TT ≤ ; ssdRd AfT ⋅=

Potrebna armatura je: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= N

zM

f1A s

sdusv,s (6-169)

6.5 Elementi napregnuti na torziju Dimenzioniranje na torziju, kao i dimenzioniranje na smicanje, ograničeno je na dokaz graničnog stanja nosivosti. Granično stanje upotrebljivosti osigurava se kroz konstruktivna pravila. Prije nego što se pristupi dimenziniranju nosača, potrebno je odrediti presječne sile. Na slici 6.61 prikazane su presječne sile torziono napregnute proste grede sa jednim i dva torziono kruta oslonca.


124

Slika 6.61 – Presječne sile torziono napregnute grede

Torzioni moment je moment koji opterećenje pravi u odnosu na težišnu tački smicanja poprečnog presjeka. Težišna točka smicanja identična je težištu presjeka samo kod dvoosno simetričnih presjeka. Poprečni presjek nema torzije samo kada je hvatište opterećenja u težišnoj tački smicanja.

Slika 6.62 – Položaji težišne tačke smicanja M u odnosu na težište presjeka S

U daljnjem postupku pretpostavlja se da se poprečni presjek slobodno deformiše pod uticajem torzije (St.Venant-ova torzija). Dimenzioniranje armiranobetonske grede na torziju radi se za granično stanje nosivosti, tj, ispucali poprečni presjek.


125

Naprezanje torzijom: T

TT W

Mτ =max (6-170)

Zaokretanje poprečnog presjeka pod dejstvom torzije: )I/(GM TT ⋅=ϑ (6-171)

Slika 6.63 – Torzija cilindričnog štapa – trajektorije glavnih naprezanja

Kod poprečnih presjeka koji se slobodno deformišu usljed torzije nema podužnih naprezanja σx = σy = 0. Naprezanja torzije odgovaraju glavnim naprezanjima; Tτσσ =−= 21 (6-172)

O45=ϕ Za tankostijene šuplje presjeke naprezanje torzijom je:

tA

Mτk

TT ⋅⋅=

2 (6-173)

gdje je: Ak – površina koju zatvara linija povučena težištem površine stijenke šupljeg poprečnog presjeka

Torzioni moment inercije je:

∫

⋅=

tdsA4

I2

kT (6-174)

Slika 6.64 – Tok naprezanja na torziju pravougaonog i šupljeg poprečnog presjeka


126

Slika 6.65 – Torzioni moment inercije torzioni moment otpornosti poprečnih presjeka prema teoriji elastičnosti


127

Slika 6.65 – Torzioni moment inercije torzioni moment otpornosti poprečnih presjeka

prema teoriji elastičnosti Tok naprezanja torzijom možemo opisati pomoću Prandtl-ove analogije sa mjehurom sapunice. Volumen mjehura sapunice proporcionalan je torzionom momentu inercije IT. Nagib mjehura je proporcionalan naprezanju torzije τT. Iz analogije slijedi da su naprezanja torzije τT najveća na rubu poprečnog presjeka. U sredini poprečnog presjeka i na oštrim rubovima naprezanja torzije su nula.

Slika 6.66 - Prandtl-ova analogija sa mjehurom sapunice za elastične materijale

Dokaz nosivosti na torziju potreban je samo ako je neophodan da bi zadovoljili uslove ravnoteže (ravnotežna torzija) i radi se u skladu sa EC2-1, 4.3.3.1.


128

Ukoliko se naprezanje na torziju javlja usljed monolitne veze sa drugim elementom (torzija kompatibilnosti), može se u pravilu zanemariti dokaz nosivosti na torziju. Osnova za zanemarenje tačnijeg dokaza je veliki pad torzione krutosti armiranobetonskog elementa pri prelazu u naponsko stanje II. Prepručuje se kod velikih naprezanja torzijom dokazati nosivost armature uz ograničenje prslina. Nadalje je potrebno izvršiti kontrolu deformacija.

Slika 6.67 - Ravnotežna torzija i torzija kompatibilnosti

Slika 6.68 - Ravnotežna torzija i

torzija kompatibilnosti

Slika 6.69 - Zaokretanje grede šupljeg i punog poprečnog presjeka


129

Provedeni eksperimenti su pokazali da nakon otvaranja prve prsline nosi rubni dio površine punog poprečnog presjeka, u koji je smješten armatura. Takođe je utvrđeno da puni poprečni presjek ima jednake deformacije usljed naprezanja torzijom kao šuplji poprečni presjek sa istom površinom (slika 6.69). Isto tako ustanovljeno je da zaokretanje ne zavisi od odnosa visine i širine poprečnog presjeka, u slučaju da je površina poprečnog presjeka konstantna duž grede (slika 6.70).

Slika 6.70 - Torziona krutost pravougaonih poprečnih presjeka različitih odnosa stranica

Naponsko stanje II može se dovoljno tačno opisati korištenjem zamjenskog šupljeg poprečnog presjeka, čija težišnica prolazi težištem armatunih šipki. Naprezanja na smicanje su pod nagibom 1350 u odnosu na os grede. Kako se inače u praksi postavljaju konstruktivne armaturne šipke uz bočnu stijenku po visini grede, ove armaturne šipke ujedno čine torziono napregnut zamjenski rešetkasti model.

Slika 6.71 - Rešetkasti model

Rešetkasti model sastoji se od zatvorenih uzengija i podužnih šipki, koje su jednoliko raspoređene po obimu vanjske površine poprečnog presjeka. Sile u štapovima rešetkastog modela, odnosno naprezanja dobiju se iz uslova ravnoteže.


130

Slika 6.72 - Model smičuće stijenke

6.5.1 Rešetkasti model šupljeg sanduka sa podužnim šipkama i uzengijama

Iz uslova ravnoteže u čvorovima rešetke slijedi:2

DZuz = (6-175)

Iz uslova ravnoteže u vertikalnom presjeku slijedi:

244 DZL ⋅=⋅ (6-176)

222

4⋅⋅=⋅

⋅= m

mSd bDbDT (6-177)

Prema tome sile u štapovima rešetke su:

2⋅=

m

Sd

bTD ;

m

SduzL b2

T2

DZZ⋅

=== (6-178)

gdje je: bm – rastojanje uzengija zamjenjujuće rešetke

Razmak pritisnutih dijagonala je:2

45cos mOmD

bba =⋅= (6-179)

2m

T

D bM

aDD' == (6-180)

Za razmak uzengija muz bs = dobije se sila u pojedinačnim uzengijama:

2m

Sd

uz

uzuz b2

TsZ

Z'⋅

== (6-181)

Za razmak podužnih šipki mL bus ==4

dobije se sila u pojedinačnim šipkama:


131

22 m

Sd

L

LL b

TsZZ'

⋅== (6-182)

gdje je: u – vanjski obim površine jezgre

Naprezanje u uzengiji je:S,uz

uz

k

Sduz

S,uz

uzs,uz A

sA2

Ts

AZ'

f ⋅⋅

=⋅= (6-183)

Naprezanje u podužnoj šipki je:∑∑⋅

⋅=⋅=

S,L

k

k

Sdk

S,L

Ls,L A

uA

TuA

Z'f2

(6-184)

Naprezanje na pritisak betona je:kk

Sd

kc tA

TtD'f

⋅⋅==

2 (6-185)

Slika 6.73 - Rešetkasti model za čistu torziju sa torzionom armaturom od podužnih šipki i

uzengija (nagib pritisnute dijagonale 450) Proračunska vrijednost naprezanja na smicanje u naponskom stanju II za pravougaoni poprečni presjek je:


132

kk

SdT tA

Tτ⋅⋅

=2

(6-186)

tAT kT ⋅⋅⋅= τ2 (6-187) gdje je: T – sila smicanja Ak – površina jezgre (površina koju zatvara središnja linija šupljeg poprečnog presjeka) tk – debljina stijenke zamjenskog šupljeg poprečnog presjeka Za debljinu stijenke tk prema EC2 vrijede slijedeće vrijednosti:

≤≤ kkk /uAt stvarna debljina stijenke

lk cnom2t ⋅≥ gdje je: cl – zaštitni sloj betona podužne armature Na slici 6.74 daje se tok sila smicanja u poprečnim presjecima raznih oblika.

Slika 6.74 - Sile smicanja kod otvorenih i zatvorenih poprečnih presjeka

Ukoliko je poprečni presjek elementa sastavljen iz više dijelova proračun se radi na dva načina:

1. Ako su naprezanja od torzije manjeg intenziteta zanemari se nosivost dijela poprečnog presjeka manje krutosti i radi se dokaz nosivosti kao za pravougaoni poprečni presjek;

2. Ako su naprezanja od torzije većeg intenziteta ukupan moment torzije u odnosima krutosti podijeli se na pojedine dijelove poprečnog presjeka i radi se dokaz nosivosti za pojedine pravougaone poprečne presjeke


133

Slika 6.75 - Površina jezgre sastavljenog poprečnog presjeka

6.5.2 Rešetkasti model za proizvoljan nagib pritisnutih dijagonala Θ

Slika 6.76 - Rešetkasti model za čistu torziju sa torzionom armaturom od podužnih šipki i

uzengija (proizvoljan nagib pritisnute dijagonale) Iz uslova ravnoteže u čvoru A slijedi: θsinDZuz ⋅= (6-188) Iz uslova ravnoteže u vertikalnom presjeku: θDZL cos44 ⋅⋅=⋅ (6-189)


134

odnosno, sila dejstva torzije je: )d(bθDT kkSd +⋅⋅= sin (6-190) Iz gornjih jednačina dobiju se sile u štapovima rešetke:

)d(bθsinT

Dkk

Sd

+⋅= (6-191)

)d(bT

θsinDZkk

Sduz +

=⋅= (6-192)

θ)d(b

TθDZkk

SdL cotcos ⋅

+=⋅= (6-193)

Sile po jedinici dužine dobiju se kada se gornji izrazi podijele sa rastojanjem šipki: - rastojanje pritisnutih dijagonala: θda kD cos⋅= - rastojanje uzengija: θcotbθtan/bs kkuz ⋅== - rastojanje podužnih šipki: 442 /u)/d(bs kkkL =+⋅= Za pravougaoni poprečni presjek dobiju se naprezanja: - naprezanje uzengije

S,uz

uz

k

Sd

S,uz

uz

kkk

Sduz

S,uz

uzs,uz A

sθcotA2

TAs

θcotb)d(bT

sAZ'

f ⋅⋅⋅

≈⋅⋅⋅+

=⋅= (6-194)

- naprezanje podužne šipke

∑∑∑⋅

⋅⋅

≈⋅

⋅+⋅

=⋅=S,L

k

k

Sd

S,L

k2

kk

Sdk

S,L

Ls,L A

uA2

θcotTA

θcotu)d(b5,0

Tu

AZ'

f (6-195)

- naprezanje betona na pritisak

θtancθtan1tA2

T

θtancθtan1td)d(b

Tt

'Dfkk

Sd

kkkk

Sd

kc

+⋅⋅⋅

≈

+⋅⋅⋅+

== (6-196)

Slika 6.77 - Model ispucalog punog poprečnog presjeka pod dejstvom torzije


135

6.5.3 Dokaz nosivosti pritisnutog betonskog rebra

1RdSd TT ≤ (6-197)

cd

kk

Rdc fν'

θθtA

Tf ⋅≤

+⋅⋅⋅

=

cottan12

1 (6-198)

Noisvost pritisnutog betonskog rebra: θθ

νtancot

'21 +

⋅⋅⋅⋅= kkcd

RdAtfT (6-199)

Pri tome treba voditi računa da se u proračun ulazi sa istim uglom θ za dimenzioniranje na poprečne sile i torziju.

35,0200

7,07,0' ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= ckfν ( 2

ck mm/Nuf ) (6-200)

Ukoliko su uzengije uz obje strane zamišljenog šupljeg poprečnog presjeka može se prethodna veličina uzeti:

5,0200

7,0 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ckfν ( 2

ck mm/Nuf ) (6-201)

Faktor umanjenja ν mora biti isti za dimenzioniranje na poprečne sile i torziju. 6.5.4 Dokaz nosivosti armature

2RdSd TT ≤

ywduz,S

uz

k

2Rduz,s f

As

cotA2T

f =⋅θ⋅⋅

= (6-202)

Nosivost armature je: θcot22 ⋅⋅⋅⋅=s

AfAT swywdkRd (6-203)

Potrebna podužna armatura dobije se:

yldl,S

k

k

2RdL.s fcot

Au

A2T

f =θ⋅⋅⋅

=∑

(6-204)

θ⋅⋅⋅

=⋅ cotA2

uTfA

k

k2Rdyldsl (6-205)

gdje je: uk – obim površine Ak s – razmak uzengija fywd – proračunska vrijednost čvrstoće na granici razvlačenja uzengije fywk/1,15 fyld – proračunska vrijednost čvrstoće na granici razvlačenja podužnih šipki

fylk/1,15 Asw – površina poprečnog presjeka uzengija Asl – površina poprečnog presjeka dodatnih podužnih šipki potrebnih za preuzimanje torzije Ukoliko je poznata armatura može se nosivost poprečnog presjeka na torziju odrediti slijedećim izrazima:

yldk

sLywd

swk2Rd f

uA

fs

AA2T ⋅⋅⋅⋅⋅= (6-206)


136

yldk

sL

ywdsw

2

fuA

fs

A

tan⋅

⋅=θ (6-207)

Pri tome treba voditi računa da je zadovoljen uslov: 5,2cot4,0 ≤θ≤ . 6.5.5 Raspored armature Prilikom rasporeda torziono napregnute armature treba poštovati slijedeća pravila:

1. Uzengije moraju biti zatvorene, Krajevi uzengija moraju biti ankerisani preklopom ili pomoću kuka pod uglom 1350 dužine kuka ≥5Φ ili 50mm;

2. Podužni razmak uzengija ne smije prekoračiti slijedeće granice: - za Sd2Rd VV5/1 ≥ mmds 3008,0max ≤= - za 2RdSd2Rd V3/2VV5/1 ≤< mmds 3006,0max ≤= - za 2RdSd V3/2V > mmds 2003,0max ≤=

3. Preklop uzengija uz vanjsku stranu rebra dopuštena je samo za rebraste šipke; 4. U uglovima uzengija mora se postaviti minimalno jedna šipka, ostale šipke

raspoređuju se na jednakom razmaku po obimu uzengije; 5. Podužni razmak torzionih uzengija treba biti ≤ uk/8 a razmak podužnih šipki ≤

350mm.

Slika 6.78 - Torziona armatura


137

6.5.6 PRIMJER : Pravougaoni presjek opterećen Torzijom Beton C30/37

2

c

ckcd mmN20ff =

γ=

RA 400/500 2

s

ykyd mmN348

ff =

γ=

kN10,18VSd = kN00,8TSd =

cm5,2c =

2cm6003020hbA =⋅=⋅= ; ( ) ( ) cm10030202hb2u =+⋅=+⋅=

uAtc2 knom ≤≤⋅ ; 6t5 k ≤≤ ; cm6,56,05,22tk =+⋅=

cm4,146,520bk =−= ; cm4,246,530dk =−= 2

kkk cm36,3514,244,14dbA =⋅=⋅=

Nosivost pritisnute betonske dijagonale:θ+θ⋅⋅⋅ν⋅

=tgcot

Atf2T kcd1,Rd ; °=θ 45

35,039,0200307,07,0

200f7,07,0 ck >=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=ν

Sd1,Rd TkNm69,30MNm03069,045tg45cot

035136,0056,02039,02T >==°+°

⋅⋅⋅⋅=

Potrebna površina poprečnog presjeka torzione armature :

mcm27,3348035136,02

10008,0cotfA2

Ta 24

ydk

SdSw ′=

⋅⋅⋅

=θ⋅⋅⋅

=

Potrebna površina poprečnog presjeka podužnih šipki :

mcm54,2348035136,02776,010008,0

fA2cotuTA 2

4

ydk

kSdSl ′=

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

θ⋅⋅=


138

Dimenzioniranje na poprečne sile Dokaz pritisnutih štapova :

cm3,2624,110,230d =−−−=

θ+θ⋅ν⋅⋅

=tgcot

fzbV cdw2,Rd ; MN0181,0VMN369,0

12039,0263,09,020,0V Sd2,Rd =≥=⋅⋅⋅⋅

=

Potrebna površina poprečnog presjeka poprečne armature:

θ⋅⋅=

cotfzV

ayd

Sdv,sw ; mcm19,210

348263,09,001810,0a 24

v,sw ′=⋅⋅⋅

=

UKUPNO : mcm37,427,3219,2aaa 2

T,swv,swsw =+=+=

Minimalni stepen armiranja : 0013,0.min w =ρ

mcm37,4mcm6,2100sin200013,0a.min 22sw <=⋅α⋅⋅=

Maksimalni dozvoljeni razmak uzengija :

cm7,98

6,778uS k

.max ===

→≤ 2,RdSd V51Vza mm300d8,0Smax ≤⋅=

cm30cm8,20268,0Smax <=⋅= USVOJENE UZENGIJE : 500400RA10/8O/

mcm37,4mcm00,5a 22sw >=

6.5.7 Dimenzioniranje za kombinaciju naprezanja od poprečne sile, torzije i momenta savijanja Dimenzioniranje je zasnovano na interakcionim jednačinama, koje su rezultat eksperimenata. Ovdje će biti objašnjen pojednostavljeni postupak dimenzioniranja u skladu sa EC2, 4.3.3.2.2. Podužna armatura odvojeno se određuje za naprezanje na savijanje i naprezanje na torziju, pri čemu treba voditi računa o slijedećem:

- U zoni zatezanja podužnu armaturu opterećenu na torziju treba dodati potrebnoj količini armature opterećenoj na savijanje;

- U zoni pritiska usljed savijanja nije potrebno dodavati dodatnu torzionu podužnu armaturu, ukoliko su naponi zatezanja usljed torzije manji od napona pritiska usljed savijanja.

Kod velikih naprezanja na savijanje provjerava se maksimalni glavni napon pritiska. cdc f⋅≤ ασ (6-208)

85,0=αsa

Naprezanje na smicanje usljed torzije:tA

Tk

SdT ⋅⋅=

2τ (6-209)

Torzioni moment TSd i njemu pripadajuća poprečna sila VSd trebaju ispuniti uslov:


139

12

2

2

1

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Rd

Sd

Rd

Sd

VV

TT (6-210)

θθν

tancot2

1 +⋅⋅⋅⋅

= kcdRd

AtfT (6-211)

Prethodni izraz može se transformisati na slijedeći način:

)2sin(sincos2tancot

21 θνθθν

θθν

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+

⋅⋅⋅⋅= kcdkcd

kcdRd AtfAtfAtfT (6-212)

Dimenzioniranje uzengija za poprečne sile i torziju može se raditi odvojeno. Pri tome se mora uzeti ugao θ isti za oba dimenzioniranja. Približno se može uzeti da za pravougaoni poprečni presjek nije potrebna armatura na smicanje i torziju, osim minimalne armature, ukoliko su zadovoljeni slijedeći uslovi:

5,4/wSdSd bVT ⋅≤ (6-213)

15,41 Rd

wSd

SdSd V

bVTV ≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

+⋅ cdc f⋅≤ ασ (6-214)

PRIMJER

cm45b = cm65h =

cm5,17tw = MNm100,0TSd =

37/30C , 85,0=α RA 400/500

cm0,3cnom =

Površina betona: hbA ⋅= 2cm29256545A =⋅= ( )hb2u +⋅= ( ) cm22065452u =+⋅=

Debljina stijenke t: u/Atc2 nom ≤≤⋅ i ≤ stvarne debljine zida tw t= A/u cm3,13220/2925 ==

cm3,13t632 =≤=⋅ cm5,17≤


140

Rastojanje unutrašnjeg kraka uzengije od ruba: cm3,13tcm5,1435,17ct nomw =>=−=− )th()tb(Ak −⋅−= 2

k cm1639)3,1365)3,1345(A =−⋅−= ( )[ ])th(tb2uk −+−⋅= [ ] cm68,166)3,1365()3,1345(2uk =−+−⋅=

35,0)200/f7,0(7,0v ck ≥−⋅=

35,0385,0)200/307,0(7,0v ≥=−⋅= Dimenzioniranje pritisnutog betonskog rebra Nagib pritisnute dijagonale: °=θ 45

θ+θ⋅⋅⋅ν⋅

=tgcot

Atf2T kcd1Rd MNm168,0

45tg45cot1639,0133,020385,02

=°+°⋅⋅⋅⋅

=

MNm100,0TMNm168,0T Sd1Rd =≥= Dimenzioniranje torzione armature

θ⋅⋅⋅⋅= cotafA2T swydk2Rd

θ⋅⋅⋅=

cotfA2Ta

ydk

SdSw mcm77,8

3481639,021010,0 2

4

′=⋅⋅

⋅=

Usvojene uzengije Φ10/8cm; asw = 9,81cm2/m Minimalna armatura uzengija: m/cm85,310015,1720011,0sinba 2

wmin,sw ′=⋅⋅⋅⋅=α⋅⋅ρ= Dimenzioniranje podužne armature

ydk

kSdSl fA2

cotuTA⋅⋅

θ⋅⋅= mcm62,14

3481639,02101668,11,0 2

4

′=⋅⋅⋅⋅⋅

=

Usvojeno : 4Φ14, As = 6,16cm2 u uglovima 14Φ10, As = 11,00cm2 uzduž vanjskog obima

2slpot

2usv sl cm62,14Acm16,17A =>=∑

PRIMJER 2 – Kombinacija naprezanja od poprečne sile i momenta Ako poprečni presjek iz prethodnog primjera dodatno opteretimo poprečnom silom VSd=0,280MN, uz pretpostavku nagiba pritisnutih dijagonala θ=450 i sračunati ν=0,385, dokaz nosivosti radi se na slijedeći način: Dokaz nosivosti pritisnutog rebra

cm1,602/4,12,13652/ddchd suznom =−−−=−−−=


141

θ+θ⋅ν⋅⋅

=tgcot

fzbV cdw2,Rd za α = 900

MN280,0VMN729,045tan45cot

20385,0601,09,0175,02V Sd2,Rd =≥=°+°

⋅⋅⋅⋅⋅=

MNm168,0T 1Rd =

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

2Rd

Sd

1Rd

Sd

VV

TT 198,0

729,0280,0

168,0100,0

≤=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Dokaz nosivosti armature

θ⋅⋅=

cotfzVa

yd

Sdsw mcm88,1410

1348601,09,0280,0 24 ′=⋅

⋅⋅⋅=

Torziona armatura je: Φ10/8cm asw = 9,81cm2/m (jednosječne uzengije) Potrebna armatura za preuzimanje poprečnih sila je: m/cm72,34/87,14 2 ′= (četverosječne uzengije) Ukupna potrebna poprečna armatura je:9,81+3,72=13,53cm2/m dužine vanjske strane zida Usvojena armatura: Φ12/8cm, asw = 14,14cm2/m.


142

6.6 Štapni elementi opterećeni uzdužnom silom Stubovi su štapni elementi opterećeni relativno velikim silama pritiska u odnosu na momente savijanja. Usljed deformacije štapa w(x), momentu savijanja M1 prema teoriji 1. reda pridodaje se tzv. Moment deformacije, ( ) ( )xwNxM ⋅=Δ (6-215) tako da se odgovarajući moment savijanja uvećava: ( ) ( ) ( )xMxMxM 12 Δ+= (6-216) Teorija 2. reda uzima u obzir ovaj efekat i time se smanjuje kapacitet nosivosti stuba. Osjetljivost stuba na djelovanja data u teoriji 2. reda mogu se opisati pomoću koeficijenta

vitkosti:ilo=λ .

Zamjenjujuća dužina štapa l0 određuje se za svaki model stuba zasebno, na osnovu rubnih uslova, te krutosti stuba i priključnih elemenata na stub.

Slika 6.79 - Moment deformacije prema teoriji 2.reda

Za proračun pojedinih zamjenjujućih dužina štapova, u praksi je usvojeno nekoliko modela koji tretiraju razne uslove oslanjanja stubova. Na slici 6.79 skicirani su osnovni Euler-ovi slučajevi za koje su date granice zamjenjujućih dužina štapova.


143

6.6.1 Stubovi male vitkosti Ukoliko se nosivost stuba kroz deformaciju smanjuje do 10 %, može se zanemariti uticaj po teoriji 2. reda. Kod stubova sa konstantnim ekscentricitetom sile vrijedi gornji kriterij ukoliko vitkost λ ne prekoračuje graničnu vitkost λcrit: 25crit =λ za 36,0u ≥ν (6-217) ili

u

crit15ν

=λ za 36,0u <ν (6-218)

gdje je:

νu - bezdimenzionalna veličina normalne sile za granično stanje nosivosti:Af

N

cd

Sdu ⋅=ν

Za stubove kod kojih je ispunjen uslov (λ ≤ λcrit) smatra se da “nisu vitki”. U tom slučaju, presječne sile mogu se odrediti po teoriji 1. reda. Dokaz nosivosti se radi za najnepovoljniju kombinaciju presječnih sila. Mehanizam nosivosti štapnog elementa opterećenog na savijanje sa podužnom silom objasnit će se na modelu armiranobetonske prizme preko koje je postavljena greda od čeličnog profila, kruto vezana za prizmu.

Slika 6.80 - Model za demonstraciju uticaja savijanja sa podužnom silom

Biće razmatran dokaz nosivosti u poprečnom presjeku A-A za položaje opterećenja od 1 do 7.


144

6.6.1.1 Slučaj 1: Centrični pritisak

Slika 6.81 - Centrični pritisak

Presječne sile, NS=-F, MS=0, stvaraju jednolike deformacije u poprečnom presjeku, 2s1sc ε=ε=ε=ε (6-219) Iz zakona ponašanja materijala, dobijaju se pripadajuća naprezanja σc, σs1, σs2. Reaktivne poprečne sile su: ( )

2s2s1s1sccR AAAN σ⋅+σ⋅+σ⋅=− (6-220) 0M R =

Iz uslova NS = NR, za pretpostavljeni poprečni presjek dobije se stanje deformacija, ili za dato stanje deformacija potrebna armatura.


145

6.6.1.2 Slučaj 2: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – mali ekscentricitet

Slika 6.82 - Savijanje sa uzdužnom silom pritiska

Kod malog ekscentriciteta kompletan poprečni presjek napregnut je na pritisak (naponsko stanje I). Presječne sile u poprečnom presjeku A-A su: FNS −= FeMS ⋅= Moment savijanja dovodi do zaokretanja ravnine deformacija. Za razliku od centričnog pritiska, ekscentrični pritisak dovodi do rasterećenja ruba 1. Na suprotnom rubu 2 dobijamo veće deformacije usljed pritiska εc2 i ovaj rub označavamo kao “pritisnuti rub pri savijanju”.


146

Rezultanta sila pritiska u betonu: ( )∫ ⋅σ=A

cc dAC (6-221)

i sila pritiska Cs2 u pritisnutoj armaturi: ( )2ss2s2s AC εσ⋅= (6-222) zajedno daju rezultantnu silu pritiska C2, 2sc2 CCC += (6-223) ( )1ss1s1s1 ACC εσ⋅== (6-224) Vanjska uticajna sila F mora biti u ravnoteži sa reaktivnim silama C2 i C1. 6.6.1.3 Slučaj 3: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – srednji ekscentricitet

Slika 6.83 - Savijanje sa uzdužnom silom pritiska-srednji ekscentricitet


147

Kod malog ekscentriciteta nul-tačka linije deformacije leži izvan poprečnog presjeka. Deformacija εc1 je negativna. Sa povećanjem ekscentriciteta opterećenja deformacija pritiska εc1 će biti sve manja. Kod srednjeg ekscentriciteta dolazi do promjene predznaka deformacije εc1. Poprečni presjek prelazi u naponsko stanje II. Zategnuta armatura još nije dostigla granicu tečenja. Deformacija čelika εs1 je u elastičnom području. Kod malog i srednjeg ekscentriciteta opterećenja, poprečni presjek otkazuje bez najave, preko betona na pritisnutom rubu i istovremenog tečenja pritisnute armature. Tek kod velikih ekscentriciteta zategnuta armatura dostiže granicu tečenja. Tada poprečni presjek postaje duktilan i slom se najavljuje putem otvaranja prslina. Kod srednjeg ekscentriciteta javlja se zategnuta reaktivna presječna sila, 1ss1s1s1 EATT ε⋅⋅== (6-225) Rezultantna sila pritiska je: 2sc2 CCC += (6-226) Rastojanje između sile zatezanja T1 i sile pritiska C2 odgovara kraku unutrašnjih sila z. 6.6.1.4 Slučaj 4: Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – veliki ekscentricitet

Slika 6.84 - Savijanje sa uzdužnom silom pritiska-srednji ekscentricitet


148

Kod velikog ekscentriciteta dolazi do tečenja zategnute armature As1. Pri dimenzioniranju presjeka sile akcije premještaju se u težište zategnute armature: FN −= ( )1s1s zeFM +⋅= (6-227) Veličina i položaj sile pritiska 2sc2 CCC += ovisi isključivo od momenta Ms1:

z

MC 1s2 −= (6-228)

Sila Ts1 u zategnutoj armaturi reducira se za veličinu sile pritiska N:

( )−+= Nz

MT 1s1s (6-229)

6.6.1.5 Slučaj 5: Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja – veliki ekscentricitet

Slika 6.85 - Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja-veliki ekscentricitet


149

FN += ( )1s1s zeFM −⋅= (6-230) Sila Ts1 u zategnutoj armaturi uvećava se za veličinu sile zatezanja N:

( )++= Nz

MT 1s1s (6-231)

6.6.1.6 Slučaj 6: Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja – mali ekscentricitet

Slika 6.86 - Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja-mali ekscentricitet

Ukoliko se linija djelovanja sile F nalazi između armature As1 i As2 kompletan poprečni presjek je napregnut na zatezanje, 0Cc = . Ležajevi fiktivne grede padaju u linijama djelovanja armature As1 i As2.

( )s

s1s z2

ezNT += ; ( )

s

s2s z2

ezNT −= (6-232)

Potrebna armatura je: As1,2 = TS1,2/fy (6-233)


150

6.6.1.7 Slučaj 7: Centrično zatezanje Kod centričnog zatezanja (e = 0):

2NTT 2s1s == ;

y2s1s f2

NAA == (6-234)

6.6.1.8 Reaktivne presječne sile Reaktivne presječne sile određuju se za pretpostavljeno stanje deformacija i dijele na dio presječne sile koji preuzima beton (Nc, Mc) i dio presječne sile koji preuzima armatura (NS, MS). 6.6.1.8.1 Dio reaktivne presječne sile koju preuzima beton

Slika 6.87 - Poprečni presjek, deformacija i naprezanje betona

Tok naprezanja u betonu dijeli se u dva područja. U području 2 sa visinom x0 raspodjela naprezanja je konstantna. Pripadajući dio reaktivnih presječnih sila je: ( )

oc2c xbfN ⋅⋅= − (6-235)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅⋅= −

2x

2hxbfM o

oc2c (6-236)

U području 1 raspodjela naprezanja je parabolična.

( )∫ ⋅⋅σ=o

u

z

zc1c dzbzN (6-237)

( )∫ ⋅⋅σ⋅=o

u

z

zc1c dzbzzM (6-238)

Rješenjem integrala primjenom Simpson-ovog pravila dobije se,

( ) b46

zzN umoou

1c ⋅σ+σ+σ⋅−

= (6-239)

( ) bzz4z6

zzM uummooou

1c ⋅⋅σ+⋅σ+⋅σ⋅−

= (6-240)


151

Prema tome, dio reaktivne presječne sile koju preuzima beton je: 2c1cc NNN += (6-241) 2c1cc MMM += (6-242) Za određivanje reaktivnih presječnih sila koriste se tabele i dijagrami, kao pomoćni alat za dimenzioniranje. Ovi pomoćni alati urađeni su za bezdimenzionalne veličine reaktivnih presječnih sila svedene na jedinicu poprečnog presjeka.

Slika 6.88 - Jedinični poprečni presjek u naponskom stanju I

Jednačine (6-235) i (6-236) mogu se za područje integracije 2 transformirati u sljedeći oblik,

oc

2c2c bhf

Nξ−==ν (6-243)

( )2

1bhf

M oo2

c

2c2c

ξ−ξ==μ (6-244)

Primjenom izraza (6-239) i (6-240), te oznaka sa slike 6.88., za područje integracije 1 dobiju se izrazi:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

σ⋅+

σ⋅

ζ−ζ−=ν

c

u

c

m

c

oou1c ff

4f6

(6-245)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζ⋅

σ+ζ⋅

σ⋅+ζ⋅

σ⋅

ζ−ζ=μ u

c

um

c

mo

c

oou1c ff

4f6

(6-246)

Slika 6.89 - Jedinični poprečni presjek u naponskom stanju II (εc2

(-)≤εcp(-))


152

Slika 6.90 - Jedinični poprečni presjek u naponskom stanju II (εc2

(-)≥εcp(-))

Kod srednjih i velikih ekscentriciteta poprečni presjek prelazi u naponsko stanje II, kao što je dato na slici 6.89 i 6.90. Za bezdimenzionalne veličine reaktivnih presječnih sila vrijede izrazi od (6-243) do (6-246). 6.6.1.8.2 Dio reaktivne presječne sile koju preuzima armatura

Slika 6.91 - Poprečni presjek armature, dilatacija armature

Na osnovu pretpostavljenih rubnih deformacija εc1 i εc2 određuju se deformacije u armaturi:

( )1s2c1c

2c1s dhh

−⋅ε−ε

+ε=ε (6-247)

2s2c1c

2c2s dh

⋅ε−ε

+ε=ε (6-248)

Iz zakona ponašanja čelika, dobiju se naprezanja u čeliku: ( )1ss1s εσ=σ ; ( )2ss2s εσ=σ (6-249) Reaktivne presječne sile su: 2s2s1s1ss AAN σ⋅+σ⋅= (6-250)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅σ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅σ⋅= 2s2s2s1s1s1ss d

2hAd

2hAM (6-251)


153

Uvođenjem smjene,

h

d 1s1s =δ ;

hd 2s

2s =δ (6-252)

bhA 11s ρ= ; bhA 22s ρ= (6-253) 21 ρ+ρ=ρ (6-254) gdje je: ρ - mehanički stepen armiranja, može se udio armature u preuzimanju reaktivnih presječnih sila predstaviti u bezdimenzionalnoj formi.

c

s

s

2s2

c

s

s

1s1s f

fff

ff

⋅σ⋅ρ+⋅

σ⋅ρ=ν (6-255)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+−⋅⋅

σ⋅ρ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−⋅⋅

σ⋅ρ=μ 2s

c

s

s

2s21s

c

s

s

1s1s 2

1ff

f21

ff

f (6-256)

Zamjenom,

c

s1s

c

s11 f

fbhA

ff

⋅=⋅ρ=ω (6-257)

c

s2s

c

s22 f

fbhA

ff

⋅=⋅ρ=ω (6-258)

gdje je: ω - koeficijent armiranja, izrazi (6-255) i (6-256) transformišu se u oblik,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ⋅

ρρ

+σ

⋅ω=νs

2s

1

2

s

1s1s ff

(6-259)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−⋅

σ⋅

ρρ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−

σ⋅ω=μ 2s

s

2s

1

21s

s

1s1s 2

1f2

1f

(6-260)

Za simetrično armiranje vrijedi: 21 ρ=ρ=ρ ; 2s1ss δ=δ=δ ; 21 ω=ω=ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ+

σ⋅ω=ν

s

2s

s

1ss ff

(6-261)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ−

σ⋅ω=μ s

s

2s

s

1ss 2

1ff

(6-262)

U zavisnosti od oblika i dimenzija poprečnog presjeka urađeni su dijagrami interakcije bezdimenzionalnih veličina reaktivnih presječnih sila.

( )( )

ccd

Sd

AfN

⋅=ν

−− (6-263)

hAf

M

ccd

Sd

⋅⋅=μ (6-264)

Na slici 6.92 dat je primjer dijagrama interakcije za pravougaoni poprečni presjek armiran armaturom sa granicom izduženja 500 MPa.


154

Slika 6.92 - Dijagram interakcije za dimenzioniranje stubova prema teoriji I.reda


155

6.6.2 Vitki stubovi Vitki stubovi jesu stubovi izloženi izvijanju. Pod izvijanjem smatramo otkazivanje stabilnosti u stanju granične nosivosti, kada usljed deformacije štapa dolazi do gubitka ravnoteže i potom do loma. Ovo nestabilno stanje označeno je kao stanje labilne ravnoteže između aktivnog i reaktivnog momenta u poprečnom presjeku, bez prekoračenja čvrstoće materijala stuba. 6.6.2.1 Stabilnost štapova U teoriji stabilnosti defromaciona linija štapa pretpostavlja se u sinusnom obliku, kao što je prikazano na slici 6.93.

Slika 6.93 - Model stuba sa obostrano zglobnim osloncima i ekvivalentni konzolni stub

( )o

2 lxsinexw π

⋅= (6-265)

( )oo

2 lxcos

lexw π

⋅π

⋅=′ (6-266)

( )o

2o

2

2 lxsin

lexw π

⋅π⋅−=′′ (6-267)

U označenom poprečnom presjeku m-m važi: 11 eNM ⋅= (6-268)

2eNM ⋅=Δ (6-269)

( )2112 eeNMMM +⋅=Δ+= (6-270) Aktivne presječne sile su: 21a eNMM ⋅+= (6-271) Lineariziranjem diferencijalne jednačine savijanja grede

( ) ( ) ( )xwEJ

xMx r ′′−==ϑ (6-272)


156

Napomena: Lineariziranje diferencijalne jednačine 6.272 je približni postupak koji ima za pretpostavku da je deformacija e2 relativno mala u odnosu na dužinu štapa ( o2 le << ).

i postavljanjem izraza (6-267) za mjerodavni poprečni presjek 2lx o= ,

2o

2

2o

le

2lw π

⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′′ (6-273)

dobije se reaktivni moment savijanja

22o

2

r el

EJM ⋅π⋅

= (6-274)

U gornjem izrazu prvi član je Euler-ova sila, 2o

2

E lEJN π⋅

= . Prema tome konačan izraz za

reaktivni moment je: 2Er eNM ⋅= (6-275) Jednačine (6-271) i (6-275) daju linearan odnos između promjenljivih e2 i M. Ovi odnosi prikazani su na slici 6.94.

Slika 6.94 - Teorija 2.reda kod linearnog ponašanja materijala

Za odgovarajuću deformaciju štapa e2 dobije se ravnoteža između aktivnog i reaktivnog momenta savijanja,


157

1

NN

eeE

12

−= (6-276)

Ako je deformacija štapa manja od vrijednosti e2, štap se vraća u ravnotežni položaj jer je aktivni moment savijanja Ma veći od reaktivnog momenta savijanja Mr. Prema tome, deformacija štapa je manja od potrebne. Ako se poveća deformacija štapa za vrijednost +Δe tako da se izgubi ravnoteža, reaktivni momenat Mr je veći od aktivnog Ma. Deformacija štapa se smanjuje. Štap se ponovno vraća u ravnotežno stanje e2. U ovom slučaju kako god se štap deformiše vraća se u položaj e2. Dakle, imamo posla sa stabilnom ravnotežom. Na slici 6.94 pokazana je analogija sa kuglom u V utoru. Uslovi prikazani na slici 6.94. vrijede za neograničeno linearno ponašanje materijala Slika 15.28 važi za neograničeno linearno ponašanje materijala, uz ispunjenje uslova da je: o2E leiNN <<< U ovom slučaju ne radi se o nestabilnosti, nego o tzv. naponskom stanju 2. reda. Za N = NE presječna tačka G nalazi se u beskonačnosti.

Slika 6.95 - Centrično pritisnut štap N<NE

Kod centrično opterećenog stuba, kod kojeg je N < NE ravnotežna tačka G leži u koordinatnom početku (e2 = 0). Za N = NE pravci akcije i reakcije se preklapaju (slika 6.96). Svaka deformacija štapa e2 daje moguće ravnotežno stanje (indiferentna ravnoteža). Na slici 6.96 pokazana je analogija sa kuglom koja leži na ravnoj površini. Svaki položaj kugle može biti ravnotežni.


158

Slika 6.96 - Centrično pritisnut štap Euler-ovom silom (silom izvijanja) N=NE

Slika 6.97 - Slučaj nestabilnosti N>NE

Pod dejstvom sile izvijanja postoji doduše teoretski ravnoteža. Ipak dostizanje sile izvijanja izaziva otkazivanje nosivosti, jer minimalna promjena sile, odnosno mala imperfekcija osi štapa dovodi do labilnog stanja i sloma.


159

6.6.2.2 Nelinearno ponašanje materijala (armirani beton) Kod nelinearnog ponašanja materijala, tok reakcije više nije pravac (slika 6.98).

Slika 6.98 - Nelinearno ponašanje materijala (armirani beton): Teorija 2.reda

Iako se teoretski susrećemo sa dva stanja ravnoteže P1 i P2, praktično je u praksi samo prvo stanje stabilno stanje.

Slika 6.99 - Nelinearno ponašanje materijala (slučaj nestabilnosti)


160

Ako normalna sila N raste, pravac akcije zaokreće se oko presječne tačke S. Obje tačke P1 i P2 se približavaju jedna drugoj, sve dok se ne nađu u istoj tački K (slika 6.99). Sila N za koju je pravac akcije tangenta na krivu reakcije jeste kritična normalna sila NK. U ravnotežnoj tački K je nestabilno stanje ravnoteže, kao što je pokazano analogijom sa kuglom na slici 6.99. Kritična sila NK odgovara graničnom stanju nosivosti. U pojednostavljenju postupka idemo korak dalje da liniju savijanja uzimamo kao sinusnu liniju. Iz diferencijalne jednačine savijanja grede dobije se:

220

2

2 el⋅

π=ϑ (6-277)

Korištenjem prethodnog izraza možemo dijagrame M/e2 sa slika 6.98 i 6.99 prikazati kao M/ϑ dijagrame, kako je to pokazano na slici 6.100.

Slika 6.100 - Određivanje kritičnog opterećenja pomoću M/ϑ dijagrama u mjerodavnom

poprečnom presjeku Na osnovu izraza (6-277) kritična deformacija štapa ek je:

k2

20

k2lee ϑ⋅π

== (6-278)

i moment savijanja ( )21K2 eeNM +⋅= (6-279) 6.6.2.3 Geometrijske imperfekcije i nepoželjan ekscentricitet Uslijed netačnosti prilikom izvedbe konstrukcije može se desiti da osa stuba nije potpuno vertikalna i nije potpuno ravna. Isto tako, linija dejstva uzdužne sile može da odstupa od položaja i pravca kako je planirano. Da bi se ta nepovoljna djelovanja obuhvatila, promatra se odgovarajuća dodatna imperfekcija štapa.


161

Slika 6.101 - Geometrijske imperfekcije-(a)preddeformacija štapa, (b) kosi konzolni stub

Kod bočno pomjerljivog vrha stuba, os štapa će se zaokrenuti u odnosu na vertikalu za mjeru αa.

l100

1a

⋅=α (6-280)

gdje je: αa – ugao u radijanima l - dužina u metrima Uslovi koji trebaju biti ispunjeni su:

- Vitki stubovi (λ>λcrit): 2001

a >α (6-281)

- Stubovi koji nisu vitki (λ≤λcrit): 4001

a ≤α (6-282)

Računski dodatni ekscentricitet ea je:

2le 0

aa ⋅α= (6-283)

Ovaj ekscentricitet se pribraja već predviđenom ekscentricitetu opterećenja e0 prema teoriji 1. reda.

N

Me 10 = (6-284)

a01 eee += (6-285) U mjerodavnom poprečnom presjeku, gdje je deformacija štapa najveća prema teoriji 2. reda, ukupni ekscentricitet etot je: 21tot eee += (6-286) Osim toga u svakom poprečnom presjeku stuba potrebno je usvojiti minimalni ekscentricitet:

20hetot ≥ (6-287)


162

6.6.2.4 Vremenski ovisne deformacije Kroz skupljanje i puzanje betona, dolazi često do pojave deformacija koje su zavisne od vremena. Ove procese uzrokuje kvazi-stalno opterećenje (slučaj opterećenja graničnog stanja upotrebljivosti SLS). Plastične dugotrajne deformacije, djeluju na krivu M/ϑ tako što je paralelno pomjeraju, kao što je prikazano na slici 6.102.

Slika 6.102 - Promjena dijagrama M-ϑ kroz puzanje i skupljanje betona

Kako je momenat usljed puzanja betona obično mali, dovoljno je izvršiti približno određivanje dejstva:

Sd

cr2cr M

Mee ⋅= (6-288)

cr21tot eeee ++= (6-289) Prethodne jednačine zasnivaju se na tome da je plastična deformacija poprečnog presjeka ϑcr jednaka po veličini elastičnoj deformaciji ϑel od kvazi-stalnog dejstva Mcr (slika 6.103).

Slika 6.103 - Pojednostavljenje uticaja od puzanja i skupljanja


163

6.6.3 Postupak pomoću modela stuba Postupak pomoću modela stuba zasniva se na dva pojednostavljenja: 1. Kompleksni problem nosivosti prema teoriji 2. reda svodi se na razmatranje pojedinačnih štapova. 2. Dimenzioniranje štapova provodi se korištenjem jednostavnih modela. Dimenzioniranje nosivih konstrukcija sa povezanim stubovima ne provodi se na ukupnom sistemu, nego na slobodno stojećim zamjenjujućim štapovima – modeli stubova. Dužine i uslovi oslanjanja pojedinačnih štapova izvađenih iz nosive konstrukcije, kao i opterećenje, uzimaju se tako da simuliraju što je moguće više stvarno stanje u nosivoj konstrukciji. Na ovim pretpostavkama jedan kompleksan problem dimenzioniranja svodi se na jednostavno dimenzioniranje mjerodavnih poprečnih presjeka u sredini zamjenjujućih štapova. Modeli stubova se još nazivaju i osnovni štapovi ili standardni štapovi.

Slika 6.104 - Statički sistem i opterećenje modela stuba

Osnovni model stuba prikazan je na slici 6.104. To je štap koji je na oba kraja zglobno oslonjen i opterećen silom pritiska koja u odnosu na os štapa ima konstantan ekscentricitet e1.

6.6.3.1 Dimenzioniranje modela stuba

Slika 6.105 - Iteracioni postupak određivanja materijalne i geometrijske nelinearnosti


164

( ) ( )xxw ϑ=′′ (6-290) ( ) ( )∫∫ ++ϑ= 21 cxcdxxxw (6-291)

( ) ( ) ( )xwNxMxM 112 ⋅+= (6-292) Općenito se problem rješava primjenom metode konačnih elemenata i odgovarajućih algoritmama za određivanje materijalne i geometrijske nelinearnosti. Osim visoko teoretskih kompjuterskih modela, koriste se i jednostavni modeli. Ako se uzme da je deformacija štapa približno sinusne forme dobije se izraz za zakrivljenost poprečnog presjeka:

220

2

2 el⋅

π=ϑ (6-293)

Ukoliko želimo da raspodjela zakrivljenosti odgovara što više stvarnosti, prethodna jednačina poprima sljedeći oblik

220

2 el⋅

κ=ϑ (6-294)

Koeficijentom κ uzima se u obzir uticaj raspodjele krivljenja na međusobni odnos između izvijanja štapa e2 i krivljenja ϑ2 u mjerodavnom poprečnom presjeku. Kao što je pokazano na slici 6.106 ovaj koeficijent poprima vrijednosti između 8-12. Sinusna forma raspodjele krivljenja daje vrijednost κ = π2 ≈ 10.

Slika 6.106 - Koeficijent deformacije κ u zavisnosti od raspodjele zakrivljenosti ϑ(x)

Ukoliko odnos M/ϑ uzmemo približno linearan (slika 6.107) i raspodjelu krivljenja prema teoriji 2. reda kao paraboličnu, dobiju se za κ slijedeći izrazi:


165

6.6.3.1.1 Pojednostavljeno dimenzioniranje modela stubova prema EC2 Pojednostavljeno se usvaja bilinearan dijagram reaktivne normalne sile, momenta i zakrivljenosti.uzeti bilinearan tok (slika 6.107). Pri tome se pravac akcije i unutrašnje otpornost (reakcija) dodiruju u tački izvijanja K.

Slika 6.107 - Pojednostavljeni model nos ivosti


166

Tačka K se dobije za stanje deformacije kod kojeg dolazi do tečenja ili zatežuće ili pritisnute armature. Na slici 6.108 prikazan je N/M interakcioni dijagram za datu površinu armature As. Pojedine krive se dobiju nakon što se za različita stanja deformacija odrede pripadajuće reaktivne presječne sile NR i MR.

Slika 6.108 - N/M i N/ϑ interakcioni dijagram

U gornjem području N/M krive (⏐N⏐>⏐Nbal⏐) deformacija u pritisnutoj armaturi je na granici tečenja εyd (εs2 = εyd), dok deformacija u zategnutoj armaturi εs1 varira. U donjem području N/M krive (⏐N⏐<⏐Nbal⏐) deformacija u zategnutoj armaturi je na granici tečenja εyd (εs1 = εyd), dok deformacija u pritisnutoj armaturi εs2 varira. U tački Nbal (balansna tačka) deformacija u pritisnutoj armaturi As2 je deformacija tečenja εyd (-), a u zategnutoj armaturi As1 deformacija tečenja εyd (+). Pripadajuće krivljenje ϑbal je:


167

a

2 ydbal

ε⋅=ϑ (6-295)

Pojednostavljenje za gornji dio krive (⏐N⏐>⏐Nbal⏐) postiže se ako se uzme linearan odnos između krivljenja ϑk i normalne sile.

balud

Sdud2 NN

NNk−−

= (6-296)

bal2K k ϑ⋅=ϑ (6-297) U području donjeg dijela krive (⏐N⏐<⏐Nbal⏐) prema EC2 uzima se kritično krivljenje konstantno: bal2K k ϑ⋅=ϑ ; 1k 2 =

Ovom aproksimacijom nalazimo se na strani sigurnosti. Stvarna raspodjela N/ϑ dijagrama prikazana je na slici 6.108b isprekidanom linijom.

Slika 6.109 - Granična nosivost poprečnog presjeka Nud za centrični pritisak

Granična nosivost poprečnog presjeka opterećenog centričnim pritiskom Nud je: ccdc AfN ⋅= (6-298) sydcud AfNN ⋅+= (6-299)

Slika 6.110 - Simetrično armiran pravougaoni poprečni presjek:Balansirano

deformaciono stanje (εs1 = εyd =-εs2) ccdcdbal Af4,0h4,0bfN ⋅⋅=⋅⋅⋅= (6-300)


168

Kritična zakrivljenost poprečnog presjeka ϑk može se odrediti na osnovu izraza (6-296) i (6-297). Dodatni ekscentricitet usljed deformacije štapa e2 je:

bal2

20

K2

20

2 k10lle ϑ⋅⋅≈ϑ⋅

π= (6-301)

Koeficijent k2 je: 1NNNNk

balud

Sdud2 ≤

−−

=

Ukupni ekscentricitet etot je: 21tot eee += (6-302) a01 eee += (6-303)

Dimenzioniranje stubova u mjerodavim poprečnim presjecima vrši se za vanjske sile: SdN

totSdSd eNM ⋅= (6-304) Nesigurnost rezultata dimenzioniranja u području 15 ≤ λ ≤35 pokriva se faktorom k1 (slika 6.111).

75,020

k1 −λ

= (6-305)

Slika 6.111 - Izravnavanje prelaznog područja između teorije 1.reda i teorije 2.reda

Tok dimenzioniranja modela stubova prema EC2 1. ccdc AfN ⋅= 2. cbal N4,0N ⋅= 3. sydcud AfNN ⋅+=

4. balud

Sdud2 NN

NNk−−

= za ⏐NSd⏐>⏐Nbal⏐

1k 2 = za ⏐NSd⏐≤⏐Nbal⏐


169

5. 2yd

2yd

k kd9,0

2k

a2

⋅⋅

ε⋅=⋅

ε⋅=ϑ

6. 75,020

k1 −λ

= ≤ 1

7. k1

20

2 k10l

e ϑ⋅⋅=

8. a01 eee += 9. 21tot eee += 10. SdN

totSdSd eNM ⋅= 11. Dimenzioniranje poprečnog presjeka za presječne sile NSd, MSd → As 12. U slučaju ponavljanja vraćamo se na korak 3.

13. Ako je cyd

Sdmin,ss A003,0

fN15,0AA ≥⋅

=< uzima se minimalna armatura.


170

6.6.4 Primjer Zadano: NSd = 1000 kN, VSd = 30 kN

Materijal:

- beton C30/37

2

c

ckcd mm/N0,20

5,130ff ==

γ=

- armatura fyk= 500 N/mm2 2

s

ykyd mm/N8,434

5,1500f

f ==γ

=

1. Dimenzioniranje stuba u y smjeru (izvijanje oko z osi) 1.1. Kontrola vitkosti

991,10

1000il0

Z ===λ

cm1,101235i

2

==

471575,1225

ee225

02

01crit =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=λ

cm75,12035

20hee min,001 ====

cm15m15,01000150

NMe

Sd

Sd02 ====

0201 ee ≤

Za e01 mora se odrediti minimalni moment, dok će se e02 reducirati na osnovu promjenljivog momenta.

m0,1052ll col0 =⋅=⋅β=


171

5,2341,0

1515

ucrit ==

ν=λ

41,035,020

1000Af

N2

ccd

Sdu =

⋅=

⋅=ν

λz >λcrit → potrebna je teorija 2. reda 1.2. Proračun mjerodavnog ekscentriciteta opterećenja etot 2a0tot eeee ++= - ekscentricitet prema teoriji 1. reda:

cm15m15,01000150

NMe

Sd

Sd02 ====

cm75,12035

20hee min,001 ====

- dodatni ekscentricitet na osnovu promjenljive raspodjele momenta: cm0,1075,14,0156,0e4,0e6,0e 0102e =⋅+⋅=⋅+⋅= - neželjeni ekscentricitet:

2le 0

1a ⋅ν=

2001

2001

2241

0,51001

l1001

1col

1 =ν⇒<=⋅

=⋅

=ν

cm5,22

10002001ea =⋅=

- ekscentricitet prema teoriji 2. reda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

r1

10lKe

20

12

35za1K1 >λ=

d9,0

K2r1 yd2

⋅

ε⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

00217,0200000

8,434Ef

S

ydyd ===ε

1NNNNK

balud

Sdud2 ≤

−−

=

(dopušteno je da se uzme K2 = 1 , u suprotnom potrebna iteracija) ydtot,sccdud fAAfN ⋅+⋅⋅α=

(usvojeno: AS,tot = 40 cm2) MN82,38,434104035,02085,0N 42

ud =⋅⋅+⋅⋅= − MN98,035,0204,0Af4,0N 2

ccdbal =⋅⋅=⋅⋅=

0,199,098,082,300,182,3K2 ≈=

−−

=

1KNN 2balSd =→≈ cm30d =


172

0161,03,09,0

00217,012r1

=⋅

⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

m161,00161,01010e

2

2 =⋅=

cm6,281,165,20,10eeee 2a0tot =++=++= 1.3. Dimenzioniranje - granično stanje nosivosti (savijanje sa uzdužnom silom) kN1000NSd = kNm286286,01000eNM totSdSd =⋅=⋅= Ulazni parametri za interakcioni dijagram:

41,02035,035,0

1fhb

N

cd

Sd =⋅⋅

=⋅⋅

=ν

333,02035,035,0

286,0fhb

M2

cd2Sd =

⋅⋅=

⋅⋅=μ

15,014,0355

hd1 ≈== ⇒ 6,0tot =ω

2

cdydtot2s1stot,s cm9,33

208,43435356,0

ffhbAAA =

⋅⋅=

⋅⋅ω=+=

usvojeno : 2cm2,36...248 φ

2. Dimenzioniranje stuba u z smjeru (izvijanje oko y osi) 2.1. Kontrola vitkosti m0,1052ll col0 =⋅=⋅β=

991,10

1000il0

y ===λ

cm1,101235i

2

==

5,2341,0

1515

ucrit ==

ν=λ

41,035,020

1000Af

N2

ccd

Sdu =

⋅=

⋅=ν

λy > λcrit → potrebna je teorija 2. reda


173

2.2. Proračun mjerodavnog ekscentriciteta opterećenja etot 2a0tot eeee ++= 0ee 0201 ==

2le 0

1a ⋅ν=

2001

2001

2231

0,51001

l1001

1col

1 =ν⇒<=⋅

=⋅

=ν

cm5,22

10002001ea =⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

r1

10lKe

20

12

35za1K1 >λ=

d9,0

K2r1 yd2

⋅

ε⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

00217,0200000

8,434Ef

S

ydyd ===ε

1NNNNK

balud

Sdud2 ≤

−−

=

MN98,035,0204,0Af4,0N 2ccdbal =⋅⋅=⋅⋅=

1KNN 2balSd =→≈ cm30d =

0161,03,09,0

00217,012r1

=⋅

⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

m161,00161,01010e

2

2 =⋅=

cm6,181,165,20,0eeee 2a0tot =++=++= 2.3. Dimenzioniranje - granično stanje nosivosti (savijanje sa uzdužnom silom) kN1000NSd = kNm286286,01000eNM totSdSd =⋅=⋅= Ulazni parametri za interakcioni dijagram:

41,02035,035,0

1fhb

N

cd

Sd =⋅⋅

=⋅⋅

=ν

217,02035,035,0

186,0fhb

M2

cd2Sd =

⋅⋅=

⋅⋅=μ

15,014,0355

hd1 ≈== ⇒ 25,0tot =ω

2

cdydtot2s1stot,s cm1,14

208,43435352,0

ffhbAAA =

⋅⋅=

⋅⋅ω=+=

usvojeno : 2cm1,18...244 φ


174

6.6.5 Nepomjerljivi i pomjerljivi ramovi U osnovi postoji razlika između nepomjerljivih i pomjerljivih ramova. Pojedinačni stubovi koji su dio nepomjerljivih sistema, mogu se bez problema modelirati pomoću modela stuba, jer se sa zadovoljavajućom tačnošću mogu odrediti pripadajuće zamjenjujuće dužine štapova l0 i zamjenjujući ekscentriciteti e0 (slika 6.112)

Slika 6.112 - Sistemi koji su pogodni za modeliranje primjenom postupka modela stubova

Za pojedinačne stubove dužina izvijanja se određuje prema slici 6.79.

Slika 6.113 - Stubovi stepenasto promjenljivog presjeka

Stub prikazan na slici 6.113 pojavljuje se kod montažne gradnje i kod hala sa kranskom stazom. Njegova dužina izvijanja prema teoriji elastičnosti određuje se iz dijagrama sa slike 6.114.


175

Slika 6.114 - Određivanje dužine izvijanja stubova stepenasto promjenljivog presjeka

6.6.5.1 Nepomjerljivi višespratni ramovi Zamjenjujuća dužina štapa l0 za stubove između čvora A i B (slika 6.115) određuje se: col0 ll ⋅β= 0,1≤β

( ) 4,0lJE

lJEkk

bbcm

colcolcmBA >

⋅α⋅

⋅=∑∑ (6-306)

gdje je: lcol – dužine stubova lb – rasponi greda Jcol – momenti inercije stubova Jb – moment inercije greda Ecm – sekantni modul elastičnosti betona α - koeficijent koji uzima u obzir način oslanjanja rigli rama


176

α = 1 – kruto ili elastično oslanjanje α = 0,5 – zglobno oslanjanje α = 0 – konzolne grede

Slika 6.115 - Nepomjerljivi ram

Primjer: proračun krutosti kA u čvoru A

2b2b1b1b

2col2col1col1colA lJ5,0lJ

lJlJk⋅+

+= (6-307)

Slika 6.116 - Nomogram za određivanje koeficijenta β za nepomjerljive ramove


177

Granična vrijednost vitkosti za nepomjerljive ramove je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=λ

01

02lim e

e225 (6-308)

Slika 6.117 - Granična vitkost

6.6.5.2 Pomjerljivi ramovi Kod bočno pomjerljivih sistema određuje se stepen bočne pomjerljivosti da bi se utvrdilo je li moguće primijeniti postupak sa zamjenjujućim štapovima ili nije. 6.6.5.2.1 Ukrućene nosive konstrukcije Većinom su višespratni ramovi konstrukcije ukrućene sa zidovima ili sličnim konstrukcijama. Kod visokih objekata mogu i ukrućenekonstrukcije biti znatne vitkosti. U tom slučaju nemamo više posla sa krutim konstrukcijama. Da bismo osigurali da veći dio ukrućenih elemenata ne prelazi u naponsko stanje II, trebalo bi da napon zatezanja prilikom eksploatacije konstrukcije ne prelazi vrijednost fctk,0.05. Naravno da konstruktivni elementi nisu apsolutno kruti, tako da trebamo uzeti u obzir sve imperfekcije koje nastaju usljed uticaja na konstrukciju (slika 6.118). Opterećenje ΔH usljed zakošenja αa:

∑=

α⋅=Δn

1iajij VH (6-309)

2001

l1001

a ≥=α (6-310)


178

Slika 6.118 - Ukrućeni građevinski elementi

Pomjerljivi višespratni ramovi mogu se tretirati kao nepomjerljivi sistemi ukoliko su ukrućeni elementi nosive konstrukcije simetrično raspoređeni i ispunjavaju slijedeće kriterije ukrućenja: 11 n1,02,0:3n ⋅+=κ≤ (6-311) 6,0:3n1 ≤κ> (6-312)

∑∑

⋅⋅=κ

ccm

Vtot JE

Fh (6-313)

gdje je: κ - mjera za bočnu pomjerljivost n1 – broj spratova htot – ukupna visina nosive konstrukcije mjerena od temelja ili određene nepomjerljive ravnine Ecm – sekantni modul elastičnosti betona ∑Jc – suma momenata inercije svih vertikalnih ukrućenih elemenata u promatranom smjeru savijanja ∑FV – suma svih vertikalnih opterećenja (uključujući vlastitu težinu) u upotrebnom stanju (γF = 1) koja djeluje kako na ukrućene tako i na neukrućene elemente


179

Nosiva konstrukcija smatra se pomjerljiva ukoliko ne zadovoljava gornje kriterije. 6.6.5.2.2 Neukrućene nosive konstrukcije Ramovi bez elemenata za ukrućenje mogu se smatrati nepomjerljivim, što znači proračun prema teoriji 1. reda, ako svaki stub rama koji nosi više od 70% srednje vertikalne sile NSd,m ima vitkost λ manju od granične vitkosti λcrit (6.119)

2

VFm,Sd n

FN ⋅γ= (6-314)

NSd,m – srednje vertikalno opterečenje FV – suma svih vertikalnih sila (uključujući vlastitu težinu) γF – faktor opterećenja za ULS

Slika 6.119 - Granična vitkost λcrit

Vitkost λ za pomjerljive sisteme određuje se na osnovu nomograma sa slike 6.120.

Slika 6.120 - Nomogram za određivanje koeficijenta β za pomjerljive ramove


180

Kod vitkih sistema, primjena postupka sa zamjenjujućim štapovima nije tačna. Za dokaz nosivosti sistema uzimanje u obzir nelinearnog ponašanja materijala je neophodno. Međutim i kod ovog slučaja β-nomogram je od velike pomoći za prvi korak preddimenzioniranja armature. 6.6.5.3 Zamjenjujući ekscentricitet Da bismo pritisnuti štap rama sveli na model stuba, osim zamjenjujuće dužine l0, potreban nam je konstantni zamjenjujući ekscentricitet ee.

Slika 6.121 - Određivanje zamjenjujućeg ekscentriciteta ee

Promjenljivi ekscentricitet e0 uzduž osi štapa zamjenjujemo sa konstantnim zamjenjujućim ekscentricitetom ee. Na slici 6.121 definirane su oznake i uslovi za određivanje zamjenjujućeg ekscentriciteta. 0102 ee ≥ (6-315) 02011e e6,0e4,0e ⋅+⋅= (6-316) 022e e4,0e ⋅= (6-317) 2ee1ee eeiee ≥≥ (6-318) Ukupni ekscentricitet prema postupku modela stuba, mjerodavan za dimenzioniranje u odgovarajućem poprečnom presjeku je: 2aetot eeee ++= (6-319) Osim toga, krajevi štapova se dimenzioniraju za ekscentricitete koje srećemo na krajevima (e01 i e02). Pri čemu je minimalni ekscentricitet koji se usvaja za proračun

20hemin 0 = (6-320)

6.6.5.4 Imperfekcije Kod pojedinačnih štapova i nepomjerljivih sistema imperfekcije geometrije i hvatišta opterećenja uzimaju se u proračun preko neželjenog ekscentriciteta ea. Ovaj ekscentricitet dobije se ukoliko se os štapa zaokrene za ugao αa kako je pokazano na slici 6.122. Kod dokaza nosivosti pomjerljivih sistema u svakom slučaju se imperfekcija mora uzeti u obzir.


181

Na slici 6.122 pokazane su dvije mogućnosti uzimanja u obzir imperfekcije, i to: - preko zakošenja sistema za ugao αa ili; - preko zakošenja opterećenja (dodatna horizontalna sila H).

aijij VH α⋅= (6-321)

Slika 6.122 - Imperfekcije pomjerljivih ramova

6.6.6 Dvoosni ekscentricitet Ukoliko hvatište opterećenja ey i ez,

Sd

y,Sdz

Sd

z,Sdy N

Me

NM

e == (6-322)

pada u šrafirano područje sa slike 6.123 može se sa dovoljnom tačnošću provesti odvojeni dokaz za pojedine glavne osi. To je slučaj ukoliko su ispunjeni sljedeći uslovi:

2,0hebe

2,0behe

z

y

y

z ≤≤ (6-323)

Geometrijske imperfekcije se uzimaju o obzir neovisno jedna od druge.

Slika 6.123 - Kriterij za odvojeni dokaz u pravcu glavnih osi


182

U slučaju da je ez>0,2h (slika 6.124) mora se odvojeni dokaz u poprečnom smjeru (oko slabije glavne osi z) raditi sa umanjenom širinom b’. Vrijednost b’ odgovara visini pritisnute zone x za savijanje oko jače glavne osi y u naponskom stanju I. Ukoliko kriteriji iz prethodnih jednačina nisu ispunjeni, onda je potrebno provesti tačniji dokaz pomoću prostornog štapnog modela (3D-ram).

Slika 6.124 - Zamjenjujuća visina h' za odvojeni dokaz oko slabije z osi


183

6.7 Ploče Ploče su ravninski površinski nosači čija je visina presjeka mala u odnosu na dužine lx i Ly (sl. 6.125).

Slika 6.125 - Tanka ploča

Teorija proračuna ploča polazi od toga da normala na srednju ravan prije i nakon deformacije ostaje okomita na srednju ravan. Smičuće deformacije se, dakle, zanemaruju. Ovo pojednostavljenje je dozvoljeno samo kod tankih ploča.

Nagib ϕ i krivljenje ϑ savijene površine mogu se odrediti pomoću parcijalnih izvoda. Za presjek u smjeru osi x važi:

( )x

y,xw∂

∂=ϕ (6-324)

( )2

2

xy,xw

∂∂−

=ϑ (6-325)

Ako se ploča sa slike 6.125 zamijeni sa nizom greda jedinične širine kako je pokazano na slici 6.127, tada važi za traku ploče poznata relacija štapne statike:

2

2

x xwEJEJm

∂∂⋅=ϑ⋅= (6-326)

Slika 6.126 - Kvalitativno određivanje toka momenata savijanja mx i my


184

Na slici 6.126 prikazana je ploča koja je upeta na dva ruba i zglobno oslonjena na preostala dva. Linija progiba u x i y smjeru ucrtana je na tlocrtu ploče. Između presjeka 3-3 i 4-4 progibi w(x) su konstantni. To je područje gdje oslonci A-A i B-B nemaju uticaja. Krivljenje ϑ je nula, pa su i momenti savijanja mx nula. Opterećenje q će se isključivo prenositi u y-smjeru. Mjerodavan je moment savijanja my koji se određuje za gredu jedinične širine. Nul-tačke momenata se nalaze u prevojnim tačkama savijenih površina, dok se maksimalni momenti nalaze tamo gdje savijena površina ima najmanji radijus krivljenja.

ϕ

=ϑ↔min

1maxmmax (6-327)

Slika 6.127 - Modeliranje savitljive ploče kao nosivog roštilja

Roštiljni štapni model Na slici 6.127 prikazan je aproksimativan način proračunskog tretmana savitljive ploče pomoću niza ortogonalnih greda, koje tvore nosivi roštilj. Kako su redovi greda povezani međusobno, deformacije su jednake u zajedničkim tačkama, tj. na mjestima ukrštanja ortogonalnih greda. Nizovi greda se savijaju. Dolazi do dvoosnog prenosa opterećenja, što znači da oba reda nosača preuzimaju odgovarajući dio opterećenja. Princip nosivosti objašnjen je na dvije izdvojene grede. Na nosač 1 otpada dio opterećenja koji se naziva q1. Na nosač 2 otpada dio opterećenja q2. 21 qqq += (6-328) Za progib wm u središtu ploče važi 21m www == (6-329)

EJ

lq384

5w4x1

1⋅

⋅= (6-330)


185

EJ

lq384

5w4y2

2

⋅⋅= (6-331)

Iz prethodnih izraza dobije se, 4

x

y

2

1

ll

qq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6-332)

Na osnovu prethodne analize lako se može dokazati da se kraći štap 2 sa slike 6.127 jače zaokreće pa, prema tome, iz prethodnih jednačina ima veći moment nego duži štap 1. Prema tome za dati slučaj sa slike 6.127 gdje je lx > ly važi nejednakost 12 qq > . U slučaju kada je lx >> ly dobije se iz prethodnih jednačina q1 ≈ 0 i q2 ≈ q, što znači da se opterećenje q potpuno prenosi u poprečnom smjeru y. Roštiljni štapni model ne opisuje dovoljno nosivost ploče.

Slika 6.128 - Nosivost ploče izložene savijanju

Slika 6.129 - Dimenzioniranje na savijanje armiranobetonske ploče

U slučaju armiranobetonskih ploča može se približno dimenzioniranje izvršiti tako da se ploča tretira kao ortogonalno položene trake jedna preko druge, odnosno kao pojedinačne grede pravougaonog poprečnog presjeka jedinične širine. Međutim roštiljnim štapnim modelom ne možemo objasniti efekat djelovanja deformacije poprečno na smjer glavnog dejstva (slika 6.130). Trake ploče položene jedna preko druge deformiraju se i zbog poprečnih deformacija koje nastaju usljed momenta savijanja my kao što je prikazano na slici 6.130. xy ε⋅ν−=ε (6-333) Pritisnuta zona se proširuje usled poprečne deformacije, a zategnuta zona se smanjuje. Zbog uslova kontinuiteta, otvaranje fuga između traka ploča nije moguće. Stoga odgovarajući poprečni moment my, pripadajuće poprečne deformacije εy kao i poprečno krivljenje ϑy se poništavaju,

EJmy

y =ϑ (6-334)

EJmx

xy ⋅ν=ϑ⋅ν=ϑ (6-335)


186

xy mm ⋅ν= (6-336)

Slika 6.130 - Poprečni momenti usljed poprečne dilatacije

Moment usljed deformacija u poprečnom smjeru može nastati i ako nema savijanja u y smjeru, tj. ako je

0yw2

2

=∂∂ (6-337)

Primjer je pokazan na slici 6.126, gdje između presjeka 3-3 i 4-4 prema izrazu (6-336) ipak imamo momente iako je u ovom području krivljenje ϑx je nula. Iz ovog razloga daje se preporuka da se kod jednoosno napregnutih ploča i u poprečnom smjeru postavlja minimalno 20% od podužne armature asy. Prema tome, konačni izraz za odnos momenta i krivljenja kod tankih ploča je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅ν+

∂∂

⋅−= 2

2

2

2

x yw

xwKm (6-338)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅ν+

∂∂

⋅−= 2

2

2

2

y xw

ywKm (6-339)

Veličina K predstavlja krutost ploče.

( ) 12hE

112hE

1EJK

3

2

3

2

⋅=

ν−⋅⋅

=ν−

= (6-340)

Ukoliko je ν2<<1 može se u prethodnoj jednačini zanemariti, tako da K odgovara krutosti trake ploče jedinične širine.


187

6.7.1 Momenti uvrtanja Kod roštiljnog modela prikazanog na slici 6.127 u oba sistema paralelnih nosača mogu se pojaviti torzioni momenti. Slično djelovanje torziji takođe se pojavljuje i kod ploča. To djelovanje se naziva moment uvrtanja. Pripadajuća deformacija se nazivaju uvrtanje ploče. Da bismo objasnili uvrtanje ploče promatramo pravougaonu ploču opterećenu jednako podijeljenim opterećenjem (slika 6.131).

Slika 6.131 - Tanka ploča

Na slici 6.131b i 6.131c izdvojene su trake ploče u osi Y3 i X8. Uvrtanje trake ploče X8 odgovara zaokretanju tangente na liniju savijanja traka ploče Y1-Y5. Isto važi za traku ploče Y3. Kao uvrtanje ψ možemo označiti promjenu zaokretanja poprečnog presjeka po jedinici dužine.

yx

w2

∂∂∂

=Ψ (6-341)

Trake ploče su, u nedeformisanom stanju, pravougaonog poprečnog presjeka. Usljed smicanja, pri uvrtanju će se poprečni presjeci traka ploče deformisati u paralelogram (slika 6.132). Pojavljuje se odgovarajući napon smicanja τx,y(z) , koji je linearno raspodijeljen po visini poprečnog presjeka (slika 6.133). Pojednostavljeno se može raditi sa konstantnim srednjim naponom smicanja τm. Iz napona smicanja dobija se rezultantni moment uvrtanja mx,y. ( )

( )∫ ⋅⋅τ=h xyxy dzzzm (6-342)

Kako je element ploče (slika 6.132) opterećen na uvrtanje u x i y smjeru, krutost na uvrtanje je, u odnosu na torzionu krutost štapnog elementa, upola manja.


188

Zavisnost između deformacije ploče w i momenata uvrtanja mxy = myx daje se izrazom,

( )yx

wK1m2

xy ∂∂∂

⋅⋅ν−−= (6-343)

Slika 6.132 - Uvrtanje ψ pločastog elementa usljed dejstva momenta uvrtanja

Slika 6.133 - Odnos naprezanja na smicanjeτxy=τyx, smičućih sila sxy = syx i momenta

uvrtanja mxy = myx

Ukoliko se napon smicanja sa slike 6.133 integrira preko polovine visine poprečnog presjeka, kao rezultante se dobijaju dvije sile smicanja po jedinici dužine sxy koje tvore par sila sa unutrašnjim krakom sila za.


189

h32za ⋅= (6-344)

4hs xyxy ⋅τ= (6-345)

6

hzsm2

xyaxyxy ⋅τ=⋅= (6-346)

Ako element ploče podijelimo u dvije ljuske dobije se naprezanje zamjenjujućih ljuski prema slici 6.134.

Slika 6.134 - Cijepanje ploče na par ljuski

Smičuće sile sxy = syx daju glavne normalne sile c i t (slika 6.134b) u poprečnom presjeku koje djeluju pod uglom od 45o. Može se vidjeti da su sile zatezanja u gornjoj ljuski (2) okomito orijentisane u odnosu na sile zatezanja u donjoj ljuski (1). Kod armiranobetonskih ploča je potrebno predvidjeti odgovarajuću armaturu na uvrtanje koja se postavlja kako je prikazano na slici 6.134c. Pravac postavljanja armature trebao bi biti pod uglom od 45o gdje je jedan red armature okomit u odnosu na drugi, ali je to konstruktivno nepovoljno i postoji uvijek opasnost da se zamijene pravci armature. Zbog toga se obično, armatura na uvrtanje postavlja u obliku kvadratne ortogonalne mreže sa površinom as, koja je paralelna sa koordinatnim osima. Momentima uvrtanja dodaju se momenti savijanja, tako da se armatura u x i y smjeru dimenzionira za momente xyx mm + (6-347)

xyy mm + (6-348)


190

6.7.2 Određivanje presječnih sila Raspodjela sila na oslonce ploče zavisi od uslova oslanjanja (rubnih uslova). Rubni uslovi određuju pravce trajektorija glavnih momenata, a kao što je poznato poprečne sile odgovaraju promjeni momenata savijanja. Na slici 6.135 prikazane su trajektorije glavnih momenata za različite rubne uslove, odnosno uslove oslanjanja ploče.

Slika 6.135 - Trajektorije glavnih momenata; a) slobodno oslonjena ploča, b) upeta ploča,

c) na tri strane slobodno oslonjena ploča Pojednostavljeno, za potrebe proračuna u praksi, raspored sila na oslonce ploče može se odrediti kao što je prikazano na slici 6.136. Ovaj raspored odgovara približno rasporedu trajektorija glavnih momenata.


191

Slika 6.136 - Opterećenje oslonaca ploče

6.7.2.1 Ugao slobodno oslonjene ploče Na slici 6.137a prikazan je tok momenata savijanja i momenata uvrtanja slobodno oslonjene ploče.

Slika 6.137 - Ugao slobodno oslonjene ploče


192

Iz slike 6.137b može se vidjeti da se dodatne smičuće sile od momenta uvrtanja u uglovima ploča zbrajaju i daju koncentričnu silu veličine, xye m2R = (6-349) Usljed ovog dejstva ploča teži ka izdizanju, stoga je potrebno u uglovima ankerisati silu Re. Na slici 6.138 prikazano je dejstvo sile ankerisanja Re na presječne sile u području ugla ploče.

Slika 6.138 - Ankerisanje ugla slobodno oslonjene ploče

U presjeku A-A djeluje negativni moment savijanja m1. Poprečno na njega u presjeku B-B djeluje pozitivni moment savijanja m2. Na slici 6.139 prikazan je raspored armature koja pokriva uticaje sa slike 6.138.

Slika 6.139 - Armatura savijanja i uvrtanja ugla slobodno oslonjene ploče


193

6.7.2.2 Jednačina ploče

Slika 6.140 - Ravnoteža sila u smjeru osi z

Iz ravnoteže sila u z smjeru,

0dxdyy

vdydx

xvdydxq yx =⋅⋅

∂

∂+⋅⋅

∂∂

+⋅⋅ (6-350)

dobije se diferencijalna jednačina savijanja ploče,

( )K

y,xqyw

yxw2

xw

4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂⋅+

∂∂ (6-351)

Uz uvođenje zamjene,

4

4

x xwKq

∂∂⋅= (6-352)

4

4

y ywKq

∂∂⋅= (6-353)

22

4

xy yxwK2q∂∂

∂⋅= (6-354)

diferencijalna jednačina savijanja ploče može se napisati u obliku, qqqq yxyx =++ (6-355) Nažalost, teorija ploča je samo u posebnim slučajevima (kružna ploča) rješiva u zatvorenom obliku. Pravougaone ploče se rješavaju primjenom Fourier-ovih redova. Na ovom osnovu su napravljene tabele i krivulje na osnovu kojih se direktno ili preko uticajnih površina mogu odrediti presječne sile u pločama. Kod diferencijalnog proračuna rješava se približno diskretizacijom. Vrijednosti funkcije w(x,y) određuju se samo u tačkama na konkretnom rasteru. S naučnog stanovišta, nedostatak ove metode je da odgovarajuća diskretizacija važi samo za određeni oblik ploče i određene rubne uslove, što znači da nema općenitog rješenja. Danas, uz primjenu metoda konačnih elemenata ploče se dijele u konačan broj elemenata, trougaonog ili četverougaonog oblika. Čvorovi elemenata imaju tri stepena slobode: w, ϕx i ϕy. Primjenom interpolacionih funkcija na osnovu pomaka u čvorovima elemenata određuju se pomaci unutar elemenata, čime je numerički definiran problem.


194

6.7.3 Tačkasto oslonjene ploče Linijski oslonjene ploče leže na zidovima ili podvlakama, pa su, prema tome, uzduž cijelog ruba oslonjene. Tačkasto oslonjene ploče oslanjaju se na stubove, pri čemu mogu biti ravne ploče ili gljivaste ploče (slika 6.141).

Slika 6.141 - Različiti oblici gljivastih ploča

Na narednoj slici date su trajektorije glavnih momenata ploče tačkasto oslonjene na stubove sa vutama opterećene jedanopodijeljnim opterećenjem.

Slika 6.142 - Trajektorije glavnih momenata


195

Iznad stubova javljaju se negativni momenti, koji su rotaciono simetrično raspoređeni. Ipak, iz praktičnih razloga, mreže armature postavljaju se ortogonalno. To vrijedi i za pokrivanje negativnih momenata iznad stubova, kao i pozitivnih momenata u polju. Na slici 6.143 prikazana je deformaciona linija tačkasto oslonjene ploče iznad oslonaca i u polju.

Slika 6.143 - Linija savijanja ravne tačkasto oslonjene ploče

Na osnovu šematski prikazane deformacije tačkasto oslonjene ploče opterećene kontinuiranim opterećenjem, usvojen je osnovni princip proračuna nosivosti tačkasto oslonjene ploče analizom traka u polju i nad osloncima (distribucija momenata savijanja).

Slika 6.144 - Distribucija momenata savijanja


196

6.7.3.1 Proboj ploče Kod tačkasto oslonjenih ploča posebno važan je dokaz otpornosti na proboj u graničnom stanju nosivosti.

Slika 6.145 - Proboj ploče

Dokaz nosivosti na poprečne sile koje izazivaju proboj vrši se u kritičnom kružnom presjeku usporedbom uticajnih poprečnih sila vEd po jedinici dužine sa silama otpora za granično stanje nosivosti vRd. Tok dokaza na proboj može se opisati na sljedeći način:

1. Određivanje debljine ploče kao i srednje statičke visine d u području uvođenja tačkastog opterećenja ili u području reaktivnih sila;

2. Provjera stepena armiranja izvan presjeka koji se dokazuje sa stanovišta minimalnog stepena armiranja;

3. Određivanje opterećene površine ALOAD; 4. Određivanje kritičnog kružnog presjeka ucrit; 5. Određivanje mjerodavne uticajne poprečne sile vEd; 6. Određivanje mjerodavne nosivosti na poprečne sile vRd; 7. Dokaz nosivosti: vEd ≤ vRd

6.7.3.1.1 Model za dimenzioniranje, opterećena površina ALOAD i kritični kružni presjek

ucrit za osnovni slučaj proboja (bez ojačanja glave stuba) Model za dimenzioniranje osnovnog slučaja proboja za armiranobetonsku ploču i armiranobetonsku temeljnu ploču prikazan je na slici 6.146. Debljina ploče h, kao i srednja statička visina d, određuju se u okviru preddimenzioniranja. Minimalna debljina ploče sa armaturom na proboj iznosi 200 mm.


197

Slika 6.146 - Model dimenzioniranja osnovnog slučaja proboja

Da bi se dokaz na proboj proveo opterećena površina ALOAD treba zadovoljiti sljedeće geometrijske pretpostavke:

a) Promjer lc opterećene površine kružnog oblika ALOAD ne smije biti veći od 3,5 puta srednje statičke visine d ploče;

b) Obim uc opterećene površine pravougaonog oblika ALOAD ne smije biti veća od 11 puta srednje statičke visine d, gdje odnos između veće dužine stranice a prema manjoj dužini stranice b nije veći od 2;

c) Opterećena površina ALOAD kod oblika koji odstupaju od gore navedenih se može svesti na opterećenu površinu kružnog i pravougaonog oblika.

Za dimenzioniranje armature na savijanje u području oslonaca ploče zatežuća armatura koja se postavlja preko opterećene površine ALOAD se mora provjeriti osim za maksimalnu veličinu momenta i za minimalni moment savijanja. Moment savijanja koji je mjerodavan za dimenzioniranje daje količinu armature u poprečnom presjeku, te na osnovu toga možemo odrediti stupanj armiranja. Stupanj armiranja nam poslije služi za određivanje mjerodavne nosivosti na poprečne sile vRd.

Slika 6.147 - Primjeri kritičnih kružnih presjeka ukrit


198

Kritični kružni presjek rasprostire se na odstojanju 1,5d afino opterećenoj površini ALOAD. Na slici 6.147 dati su primjeri kritičnih kružnih presjeka za razne slučajeve. Ukoliko je svijetlo odstojanje aR opterećene površine od slobodnog ruba ploče veće ili jednako 3d dokaz na proboj u kritičnom kružnom presjeku se vrši kao kod unutra položene opterećene površine. Ukoliko je svijetlo odstojanje aR od slobodnog ruba manje od 3d treba voditi računa da obim ukrit kritičnog kružnog presjeka ne bude veći nego kod unutar položenih opterećenih površina. Posebno kod manjih opterećenih površina i većih debljina ploča h može se uzeti kod odstojanja od ruba 3d kritični kružni presjek kao kod unutar položene opterećene površine. U okviru studije parametara obuhvaćen je uticaj promjera lc kružnog oblika opterećene površine i srednje statičke visine d armiranobetonske ploče na obim ucrit kritične kružne površine sa opterećenom površinom u blizini ruba, te je određeno kritično odstojanje od slobodnog ruba za koje je mjerodavan kritični kružni presjek unutar položene opterećene površine kružnog oblika.

Slika 6.148 - Kritično odstojanje od slobodnog ruba do kojeg je mjerodavan kritični

kružni presjek površine položene unutar ploče 6.7.3.1.2 Dokaz nosivosti Dokaz nosivosti na proboj radi se za granično stanje nosivosti usporedbom uticajne poprečne sile vEd i nosivosti na poprečne sile vRd po jedinici dužine u promatranom kružnom presjeku. Mjerodavne vrijednosti nosivosti na poprečne sile za ploče i temelje bez armature na proboj i ploče i temelje sa armaturom za proboj za dimenzioniranje su različite. Stoga treba provesti sljedeće dokaze:

- Ploče i temelji bez armature na proboj vEd ≤ vRd,ct

- Ploče i temelji sa armaturom na proboj vEd ≤ vRd,max vEd ≤ vRd,sy vEd ≤ vRd,ct,a

gdje su: vRd,ct – nosivost na poprečne sile uzduž kritičnog kružnog presjeka ploče bez armature na proboj


199

vRd,ct,a – nosivost na poprečne sile uzduž vanjskog kružnog poprečnog presjeka koji omeđuje područje armirano armaturom na proboj. Ova vrijednost opisuje prelaz sa otpornosti na proboj bez armature na poprečne sile vRd,ct na otpornost na poprečne sile normalnog područja ploče u ovisnosti od širine lw područja armiranog armaturom na proboj vRd,sy – nosivost na poprečne sile sa armaturom na proboj uzduž unutarnjeg poprečnog presjeka za koji se radi dokaz. vRd,max – maksimalna nosivost na poprečne sile uzduž kritičnog kružnog presjeka. Za udio betona u nosivosti na proboj razlikuju se:

- područje proboja vRd,ct - prelazno područje vRd,a,ct - normalno područje u ploči vRd,ct

Slika 6.149 - Udio betona u nosivosti na proboj

Određivanje nosivosti presjeka na poprečne sile po jedinici dužine vRd,ct Ukoliko želimo izbjeći postavljanje armature na proboj, mjerodavna uticajna poprečna sila za dimenzioniranje po jedinici dužine vEd ne smije biti veća od nosivosti presjeka na poprečne sile vRd,ct. ( )[ ] d12,0f10014,0v cd

31

ck11ct,Rd ⋅σ⋅−⋅ρ⋅⋅κ⋅η⋅= (6-356)

[ ] 0,2mmd2001 ≤+=κ (6-357)

gdje su: η1 = 1 za normalni beton; za lahki beton uzima se iz tabele 10 DIN 1045-1

d – srednja statička visina; d = 2

dydx +

dx, dy – statičke visine ploče u x i y smjeru u promatranom kružnom presjeku ρ1 – srednji stepen armiranja unutar promatranog kružnog presjeka


200

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

⋅≤⋅=

02,0

40,0111 yd

cd

yx ff

ρρρ (6-358)

ρ1x, ρ1y – bezdimenzionalni stepen armiranja odgovarajuće zategnute armature u x i y smjeru koja se postavlja unutar kružnog presjeka i ankeruje izvan promatranog kružnog presjeka σcd – vrijednost srednjeg normalnog napona u betonu mjerodavnog za

dimenzioniranje unutar promatranog kružnog presjeka

2

y,cdx,cdcd

σ+σ=σ

x,c

x,cdx,cd A

N=σ (6-359)

σcd,x, σcd,y – normalni napon u betonu mjerodavan za dimenzioniranje unutar promatranog kružnog presjeka u x i y smijeru NEd,x, NEd,y – srednja uzdužna sila mjerodavna za dimenzioniranje u

poprečnim presjecima Ac,x i Ac,y kroz kritični kružni presjek usljed prednapinjanja ili određenog posebnog opterećenja.

Određivanje maksimalne nosivosti presjeka na poprečne sile po jedinici dužine vRd,max

Prilikom raspoređivanja smičuće armature u kritičnom presjeku maksimalna nosivost na poprečne sile se ograničava na 1,5 puta vrijednosti nosivosti na poprečne sile vRd,ct da bi se izbjeglo otkazivanje nosivosti betona na pritisak. ct,Rdmax,Rd v5,1v ⋅= (6-360) Određivanje nosivosti na poprečne sile sa armaturom na proboj koja je okomita na ravan ploče vRd,sy

Proračun armature na proboj radi se u presjecima prikazanim na slici

Slika 6.150 - Mjerodavni presjeci za dokaz nosivosti ploce sa armaturom na proboj koja je

okomita na ravan ploče


201

Mjerodavni poprečni presjek U1 leži na odstojanju 0,5d od ruba površine uvođenja opterećenja ALOAD. Slijedeći mjerodavni poprečni presjek U2 leži na odstojanju od prethodnog sw ≤ 0,75d. Prvi red armature postavljen je u mjerodavnom poprečnom presjeku U1. Potrebna količina armature odgovara nosivosti na poprečne sile vRd,sy.

u

fAvv ydsws

c,Rdsy,Rd

⋅⋅κ+= (6-361)

Za sljedeće redove armature mjerodavna je nosivost na poprečne sile vRd,sy koja se određuje prema sljedećoj jednačini,

w

ydswsc,Rdsy,Rd s

du

fAvv ⋅

⋅⋅κ+= (6-362)

gdje su: vRd,c – udio betona u nosivosti, može se uzeti vRd,c = vRd,ct κsAswfyd – sila za koju se dimenzionira armatura na proboj za svaki red armature u – obim mjerodavnog poprečnog presjeka sw – sudjelujuća širina reda armature sw ≤ 0,75d κs – koeficijent koji uzima u obzir uticaj visine građevinskog elementa na

efikasnost armature

κs = 0,7 + 0,3 ⋅400

400−d ⎩⎨⎧≤≥

0,17,0

d u mm

Stepen armiranja armaturom na proboj koja je postavljena okomito na ravninu ploče ne smije biti manji od minimalnog stepena armiranja minρw.

ww

sww min

usA

ρ≥⋅

=ρ (6-363)

Ukoliko se računski dobije da je potreban samo jedan red armature, u tom slučaju se u drugi red postavlja minimalna armatura na odstojanju sw. Određivanje nosivosti na poprečne sile sa armaturom na proboj koja je kosa u odnosu na ravan ploče vRd,sy Kod armature na proboj koja se sastoji od kosih šipki dokaz nosivosti na poprečne sile radi se u presjecima U1 i Ua. Nagib α kosih šipki je 45o ≤ α ≤ 90o. Dokaz nosivosti armature na proboj u mjerodavnom poprečnom presjeku U1 vrši se prema izrazu,

u

fsinA3,1vv yds

c,Rdsy,Rd

⋅α⋅⋅+= (6-364)

gdje su: vRd,c – udio betona u nosivosti, može se uzeti vRd,c = vRd,ct 1,3As sinα fyd – sila za koju se dimenzionira armatura na proboj za svaki red armature u – obim mjerodavnog poprečnog presjeka α – nagib kosih šipki u odnosu na ravninu ploče


202

Slika 6.151 - Mjerodavni presjeci za dokaz nosivosti ploce sa armaturom na proboj koja je

kosa u odnosu na ravan ploče

Minimalan stepen armiranja sa kosim šipkama ne smije biti manji od min.ρw.

wsw

w minudsinA

ρ≥⋅

α⋅=ρ (6-365)

Određivanje nosivosti na poprečne sile po jedinici dužine vanjskog kružnog presjeka vRd,ct,a Vanjski kružni presjek Ua predstavlja prijelaz sa područja ploče armiranog armaturom na proboj na područje ploče bez armature na proboj i leži na odstojanju 1,5d od zadnjeg reda armature. U ovom presjeku Ua treba dokazati da je nosivost na poprečne sile u području ploče bez armature na proboj veća od odgovarajuće uticajne poprečne sile vEd. ct,Rdaa,ct,Rd vv ⋅κ= (6-366)

71,0d5,3I29,01 w

a ≥⋅⋅

−=κ (6-367)

gdje su: vRd,ct – nosivost ploče na poprečne sile bez armature na proboj κa – koeficijent koji uzima u obzir prijelaz sa stanja proboja u stanje smicanja lw – širina područja sa armaturom na proboj izvan površine uvođenja opterećenja ALOAD


203

6.7.3.1.3 Proboj ploče na stubovima sa ojačanom glavom stuba Na slici 6.152 je prikazan općeniti model za dimenzioniranje ploče na stubovima sa ojačanom glavom.

Slika 6.152 - Model dimenzioniranja kod stubova sa ojačanom glavom

Za kritični kružni presjek izvan i unutar ojačanja glave stuba smije se približno uzeti kružni oblik. Polumjeri površina uvođenja opterećenja određuju se prema sljedećim izrazima cHex,crit l5,0ld5,1r ⋅++⋅= (6-368) ( ) cHex,crit l5,0ld5,1r ⋅++⋅= (6-369)

Kod stubova sa prizmatičnom ili piramidalnom formom ojačanja glave stuba sa kvadratnom ili pravougaonom površinom uvođenja opterećenja koja ima dužine ivica bc i hc može se kritični kružni presjek odrediti prema sljedećim jednačinama: cccrit hb56,0d5,1r ⋅⋅+⋅≤ (6-370) ccrit b64,0d5,1r ⋅+⋅≤ (6-371)

Documents

Eurocode2 Complete