UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

EVA BENEDICIC

ORTOGONALNE KROZNICE

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

STUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UCITELJ

SMER: FIZIKA - MATEMATIKA

EVA BENEDICIC

MENTOR: prof. dr. MATIJA CENCELJ

ORTOGONALNE KROZNICE

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem mentorju prof. dr. Matiji Cenclju za vso strokovno pomoc,

nasvete in vodenje pri nastajanju diplomskega dela.

Velika zahvala gre tudi druzini, ki mi je tekom studija stala ob strani in me

podpirala.

Prav tako se zahvaljujem vsem prijateljem in prijateljicam za sodelovanje in pomoc

v casu studija in pisanja diplomske naloge.

I

Povzetek

Obravnavamo inverzijo ravnine glede na kroznico, potenco tocke glede na krog in

ortogonalne kroznice.

Osnovna literatura je ustrezno poglavje knjige Osnove moderne elementarne geome-

trije avtorja Howarda Evesa.

Kljucne besede: Harmonicna cetverka, inverzija tocke glede na kroznico, inverzija

premice glede na kroznico, inverzija kroznice glede na kroznico, ortogonalni kroznici,

potenca tocke na krog, potencna os, potencno sredisce.

III

Abstract

Inversion in a circle, the power of a point with respect to a circle and orthogonal

circles are considered.

The basic literature is Howard Eves: Modern Elementary Geometry.

Keywords: Harmonic conjugation, point inversion relative to the circle, line inver-

sion relative to the circle, circle inversion relative to the circle, orthogonal circles,

the power of a point with respect to a circle, the radical axis of a pair of circles, the

radical center of circles.

V

Kazalo

Zahvala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Povzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Poglavje 1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Poglavje 2. Osnovni pojmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Harmonicna cetverka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Inverzija glede na kroznico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Poglavje 3. Ortogonalne kroznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Konstrukcija potencne osi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Potencno sredisce treh kroznic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

VII

Kazalo slik

Harmonicna cetverka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Inverzija tocke glede na kroznico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Korak 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Korak 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Korak 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Inverzija tocke glede na kroznico, ko je tocka znotraj kroznice. . . . . . . . . . . . . . . . 4

Inverzija tocke glede na kroznico, ko je tocka zunaj kroznice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Inverzija premice q glede na kroznico K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Inverzija premice q glede na kroznico K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Inverzija premice q glede na kroznico K je kroznica L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Podobnost trikotnikov v inverziji kroznice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Inverzija kroznice L glede na kroznico K je kroznica M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ortogonalni kroznici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Harmonicna cetverka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Tangentnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Ortogonalni ”kroznici”K1 in p(AO1B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ortogonalni kroznici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tocka P znotraj kroznice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Tocka P zunaj kroznice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Potenca tocke na kroznico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Potenca tocke na kroznico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Potencna os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Potencna os dveh sekajocih se kroznic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IX

Ortogonalna kroznica na K1 in K2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Potencna os dveh nekoncentricnih kroznic K1 in K2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ortogonalna kroznica na K1 in K2, ki lezi na potencni osi kroznic K1 in K2. . . 21

Potencno sredisce treh kroznic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Ortogonalna kroznica O na vse tri kroznice K1, K2 in K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Tri kroznice, ki se paroma sekajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

X

POGLAVJE 1

Uvod

Ortogonalne kroznice predstavljajo del moderne elementarne geometrije, ki je nada-

ljevanje in razsiritev srednjesolske geometrije. V veliki meri temelji na Evklidovih

elementih, ki so bili napisani ze v letih okrog 300 pr.n.st.. Za vpeljavo ortogonalnih

kroznic bomo za zacetek potrebovali nekatere dele osnovne geometrije krogov, kot

so potenca tocke na kroznico, radikalna in potencna os dveh kroznic ter potencno

sredisce kroznic.

Ceprav pojem potenca tocke na krog najdemo ze v tretji knjigi Evklidovih elemen-

tov, je koncept prvic bolj podrobno razvil francoski matematik Louis Gaultier leta

1813 v svojem delu Journal de l’Ecole Polytechnique. Prvic se pojavijo pogoji ra-

dikalne osi in radikalnega centra. Izraz potenca je uvedel nekoliko kasneje svicarski

matematik Jacob Steiner. Zacetne studije pravokotnih kroznic so izvedli v zacetku

devetnajstega stoletja Gaultier, Poncelet, Steiner, J. B. Durrende in drugi.

1

POGLAVJE 2

Osnovni pojmi

2.1. Harmonicna cetverka

Harmonicna cetverka je poseben primer dvorazmerja, ki opisuje medsebojno lego

stirih tock na premici.

Naj bodo A, B, C, D stiri kolinearne tocke, tako da velja D(A;B;C;D) = −1.

To pomeni, da par tock C in D razdeli interval [AB] navznoter in navzven v istem

razmerju in obratno, tudi par A in B razdeli interval [CD] navznoter in navzven v

istem razmerju. Recemo, da je cetverka tock A,B,C,D harmonicna cetverka.

Slika 1. Harmonicna cetverka.

Definicija 2.1. [1] Naj bodo A, B, C, D stiri kolinearne tocke. Cetverka danih tock

je harmonicna cetverka, D(A;B;C;D) = −1 ce, in samo ce velja OB2

= OC · OD,

kjer je tocka O razpolovisce AB.

2

2.2. Inverzija glede na kroznico

V magistrskem delu Diofantski vidiki Steinerjevega porizma iz leta 2014, katerega

avtor je Nejc Barovic [4] in na spletni strani o inverziji kroznice [5] najdemo zelo

podrobno opisano inverzijo glede na kroznico, iz cesar je povzeto tudi nadaljnje

podpoglavje.

Najprej definirajmo inverzijo tocke glede na kroznico K kot transformacijo ravnine

brez sredisca kroznice K (to je, brez tocke O). Nato ravnino dopolnimo se s tocko

”neskoncno”in definirajmo inverzijo tocke glede na kroznico K kot transformacijo

tako dopolnjene ravnine same vase.

Definicija 2.2. Naj bo kroznica K s srediscem v tocki O in polmerom r ter tocka

A poljubna tocka v ravnini, tako da velja O 6= A. Inverzija tocki A na poltraku

OA z zacetkom v tocki O, priredi drugo tocko A′ na tem poltraku tako, da velja

| OA | · | OA′ |= r2.

Tocko A′ imenujemo inverzna tocka tocke A glede na kroznico K.

Definicija 2.3. [5] Naj bo v evklidski ravnini Π tocka O sredisce kroznice K =

K(O, r) s polmerom r. Ravnino dopolnimo z neskoncno tocko O∞. Tako dobljeno

ravnino imenujemo inverzna ravnina Σ. Inverzija ravnine Σ glede na kroznico K je

bijektivna preslikava f : Σ 7→ Σ za katero velja: ce je A ∈ Π\{0}, je slika A′ = f(A)

tocka na poltraku OA, tako da velja | OA | · | OA′ |= r2, sredisce inverzije O pa se

preslika v tocko O∞ in obratno.

Slika 2. Inverzija tocke glede na kroznico.

3

Oglejmo si geometrijsko konstrukcijo inverzije tocke, premice in kroznice glede na

izbrano kroznico ter na primerih spoznajmo nekaj znacilnosti inverzije glede na

kroznico.

• Geometrijska konstrukcija inverzije tocke glede na kroznico

Po Definiciji 2.2 si izberimo poljubno tocko A, ki lezi v ravnini kroga, ki ga omejuje

kroznica K in je razlicna od sredisca O; (O 6= A). Konstrukcijo lahko izvedemo

s pomocjo sestila in ravnila. Najprej narisemo poltrak OA, nato skozi tocko X

nacrtamo tetivo XY pravokotno na poltrak OA. V krajiscih tetive, to je v tockah

A in B, nacrtamo tangenti na kroznico K. Tangenti sekata poltrak OA v tocki

A′.

Slika 3. Korak 1. Slika 4. Korak 2. Slika 5. Korak 3.

Slika 6. Inverzija tocke glede na kroznico, ko je tocka znotraj kroznice.

Oglejmo si se primer, ko tocka A lezi zunaj kroznice K (Slika 7). Tocko A′ dobimo z

obratnim postopkom konstrukcije, kot je bila opisana v prejsnjem primeru. In sicer,

najprej narisemo poltrak OA in nato skozi tocko A nacrtamo tangenti na kroznico

4

K. Tangenti narisemo tako, da nacrtamo kroznico skozi sredisce O in tocko A, s

premerom OA. Po Talesovem izreku vemo, da je kot, ki ima vrh na kroznici, njegova

kraka pa potekata skozi krajisce premera te kroznice, pravi kot. Zato sta presecisci

kroznic K in L tocki X in Y , ki ju povezemo tako, da dobimo tetivo. Presecisce

tetive XY s poltrakom OX je tocka A′.

Slika 7. Inverzija tocke glede na kroznico, ko je tocka zunaj kroznice.

Cim bolj se tocka A priblizuje kroznici K, tem blizje je inverzna tocka A′ kroznici

K na drugi strani. Torej, ce tocka A lezi na kroznici K, se z inverzijo na kroznico

preslika sama vase.

• Inverzija premice glede na kroznico

Po Definiciji 2.3 je premica p skozi sredisce inverzije O kar sebi inverzna, saj velja

f(p) ⊂ p. Inverzija je involucija, zato velja p = f(f(p)) ⊂ f(p). Tako dobimo kar

p = f(p), kar pomeni, da se premica p res slika sama vase.

Poglejmo, kaj dobimo, ce poljubna premica ne poteka skozi sredisce kroznice K, to

je, skozi sredisce inverzije.

Narisemo poljubno premico q (slika 8), ki ne poteka skozi tocko O. Nato nacrtamo

pravokotnico na premico q skozi sredisce kroznice K, ki jo oznacimo s t. Presecisce

teh dveh premic je tocka A. Po ze znanem postopku tocki A priredimo inverzno

tocko A′ glede na kroznico K. Na premici q nato oznacimo se dve poljubni tocki B

in C, ki jima prav tako priredimo inverzni tocki B′ in C ′ glede na kroznico K.

5

Slika 8. Inverzija premice q glede na kroznico K.

Na sliki 9 vidimo, da sta si trikotnika 4OAB in 4OB′A′ podobna, saj imata pri

ogliscu O skupen kot, iz cesar sledi, da je

OA ·OA′ = r2 = OB ·OB′.

Od tod dobimo, da je

OA : OB = OA′ : OB′.

Sledi, da se trikotnika ujemata v razmerju dveh stranic in kotu med njima, torej sta

si res podobna. Zato tudi velja, da sta kota

∠OB′A′ = ∠OAB =π

2,

torej sta oba prava.

Slika 9. Inverzija premice q glede na kroznico K.

6

Tocka A′ lezi na kroznici L s premerom OA′ in s srediscem na njegovem razpoloviscu,

kar je prikazano na sliki 10, saj iz gemetrije vemo, da sredisce ocrtane kroznice v

pravokotnem trikotniku lezi na njegovi hipotenuzi, kar je v nasem primeru na OA.

Torej je f(q) ⊂ L. Pokazimo se, da velja obrat, L ⊂ f(q). Vzemimo poljubno tocko

X 6= O na kroznici L. Premica skozi tocki X in O seka premico q v natanko eni

tocki X ′, ki je kar inverzna tocka tocke X. Sredisce kroznice K oziroma sredisce

inverzije, pa se preslika v neskoncno tocko. Premica q je torej lahko mimobeznica,

tangenta ali pa sekanta.

Slika 10. Inverzija premice q glede na kroznico K je kroznica L.

Ce je q tangenta, je iz primerov inverzije tocke glede na kroznico in premice glede

na kroznico ocitno, da tocki A in A′ sovpadata in je premer kroznice L enak OA

oziroma polmeru kroznice K. V primeru, ko q seka kroznico K v tockah X in Y , pa

je kroznica L dolocena s srediscem O in negibnima tockama X in Y .

• Inverzija kroznice glede na kroznico

Kot smo opazili v zgornjem primeru je inverzija involucija, kar pomeni, da velja, da

je enaka svojemu obratu. Ker je inverzija premice na kroznico kroznica (ce gledamo

zgornji primer, je inverzija premice q na kroznico K, ki ne poteka skozi tocko O,

kroznica L skozi sredisce inverzije O). Torej velja tudi obrat. Inverzija kroznice L,

ki poteka skozi sredisce O, na kroznico K je premica q, ki pa ne poteka skozi sredisce

inverzije O, kar pa je ze prikazano na sliki 10.

7

Poglejmo si se primer inverzije kroznice L, ki ne poteka skozi sredisce inverzije O,

na kroznico K (slika 11).

Poljubno si izberemo kroznico L, ki ne poteka skozi sredisce kroznice K. Premica

p naj poteka skozi sredisce kroznice L in tocko O. S tockama A in B oznacimo

presecisci premice p in kroznice L. Tocka X naj bo poljubna tocka na kroznici L.

Tockam A,B in X po ze znanem postopku priredimo inverzne tocke A′, B′ in X ′

glede na kroznico K. Podobno kot v zgornjem primeru, sta si trikotnika OXA in

OX ′A′ ter trikotnika OXB in OX ′B′ podobna, saj imata isti vrh ter enako razmerje

dveh stranic, ki sledi iz Definicije 2.2.

Slika 11. Podobnost trikotnikov v inverziji kroznice.

Oznacimo naslednje kote, ki jih vidimo na sliki 11:

∠OXA = α in ∠OA′X ′ = α′

∠OXB = β in ∠OB′X ′ = β′

∠AXB = γ in ∠A′X ′B′ = γ′.

Dokazimo, da je γ′ = γ, saj γ lezi nad iztegnjenim kotom ∠ASB na kroznici L.

α = α′ ter β = β′. Od tod sledi, da je

γ′ = β′ − α′ = β − α = γ =π

2.

Po Talesovem izreku kot γ′ lezi nad daljico A′B′, ki predstavlja iztegnjeni kot ∠A′B′.

Od tod sledi, da tocke A′, B′ in C ′ lezijo na isti kroznici, katere premer je daljica

A′B′, ki jo poimenujemo M.

8

Slika 12. Inverzija kroznice L glede na kroznico K je kroznica M.

Opisane lastnosti inverzije kroznice lahko sedaj zapisemo kar v skupno trditev.

Trditev 2.4. Lastnosti inverzije glede na kroznico K = K(O, r):

(1) premice, ki potekajo skozi sredisce O, se z inverzijo preslikajo same vase;

(2) premice, ki ne potekajo skozi sredisce O, preslika v kroznice, ki potekajo

skozi O;

(3) kroznice, ki ne potekajo skozi O, se preslikajo v kroznice;

(4) kroznice skozi sredisce O kroznice K, se z inverzijo preslikajo v premice;

(5) tocke, ki lezijo na kroznici K, se z inverzijo preslikajo same vase, torej so

tocke na kroznici fiksne tocke inverzije;

(6) tocke v notranjosti kroznice se preslikajo v tocko zunaj kroznice K in obratno

(ko se tocka priblizuje srediscu, se preslikana tocka od sredisca oddaljuje);

(7) velikosti kotov med premicami oziroma kroznicami se ohranijo;

(8) pri dani kroznici K, se vse premice skozi sredisce kroznice O in vse ostale

kroznice, ki kroznico K sekajo pod pravim kotom, z inverzijo glede na kroznico

K preslikajo same vase.

9

POGLAVJE 3

Ortogonalne kroznice

Definicija 3.1. [3] Naj bosta K1 in K2 dve kroznici, ki se sekata v dveh tockah, kjer

sta tangenti pravokotni. Potem recemo, da sta kroznici ortogonalni. Ali drugace

receno, ce je v vsaki presecni tocki polmer ene kroznice pravokoten na polmer druge

kroznice sta kroznici ortogonalni.

Slika 13. Ortogonalni kroznici.

Spodaj nastete trditve ocitno sledijo neposredno iz definicije.

Izrek 3.2. [1] (1) Kot pod katerim se sekata dve kroznici v skupni tocki je enak v

kateremkoli preseciscu teh dveh kroznic.

(2) Ce sta dve kroznici ortogonalni, je daljica od sredisca prve kroznice do presecisca

obeh kroznic kar tangentna na drugo kroznico; in obratno; ce je daljica, od sredisca

prve kroznice do presecisca obeh kroznic, tangenta druge kroznice, sta kroznici orto-

gonalni.

(3) Naj bosta polmera kroznic r1 in r2 ter d srediscna razdalja dveh kroznic, potem

sta kroznici ortogonalni, ce in samo ce velja: r21 + r22 = d2.

(4) Ce sta dve kroznici ortogonalni, sredisce ene kroznice lezi zunaj druge kroznice.

10

Izrek 3.3. Naj bosta K1 in K2 kroznici, ki se sekata ortogonalno. Ce nosilka nekega

premera AB kroznice K1 seka kroznico K2 v tockah C in D, je cetverka A,B,C,D

harmonicna cetverka. Velja tudi obratno: ce kroznica K1 seka kroznico K2 tako, da

nosilka nekega premera AB kroznice K1 seka kroznico K2 v tockah C in D tako, da

je cetverka A,B,C,D harmonicna cetverka, se sekata kroznici ortogonalno.

Na sliki 14 vidimo nosilko premera AB kroznice K1, na kateri lezijo tocke A,B,C

in D. Ko velja O1B2

= O1C ·O1D, potem nosilka premera kroznice K1 harmonicno

seka kroznico K2.

Slika 14. Harmonicna cetverka.

Dokaz:

Naj boO1 na sliki 14 sredisce ene od para ortogonalnih kroznic in naj nosilka premera

AO1B te kroznice seka drugo kroznico v tockah C in D. Tocka P naj bo presecisce

obeh kroznic. Potem po Izreku 3.2.(2) velja (O1B)2 = (O1P )2 = (O1C)(O1D), saj

je O1P tangenta druge kroznice. Po Definiciji 2.1 sledi, da je, (A;B;C;D) = −1,

ker je O1 sredisce daljice AB.

Obratno, ce je (A;B;C;D) = −1, potem po Definiciji 2.1 sledi (O1P )2 = (O1B)2 =

(O1C)(O1D) in ker je nosilka daljice O1P tangenta na drugo kroznico, po Izreku

3.2.(2) sledi, da sta kroznici ortogonalni.

�

11

Definicija 3.4. (IN DOGOVOR). V nadaljevanju bomo tako kroznico, kot premico

imenovali ”kroznica”in se dogovorili, da sta dve premici tangenti tedaj, in le tedaj

ce bodisi sovpadata ali pa sta vzporedni. S tem dogovorom je jasno, kdaj sta dve

”kroznici”tangenti ena na drugo.

Iz definicije sledi, da je ”kroznica”torej lahko dejanska kroznica ali pa premica.

Locimo tri primere tangentnosti glede na vrsto ”kroznice”:

• tangentnost dveh kroznic (primer 1 na sliki 15)

• tangentnost premice in kroznice (primer 2 na sliki 15)

• tangentnost dveh premic (primer 3 na sliki 15)

Slika 15. Tangentnost.

Kot vidimo na sliki 15, locimo dva primera pri tangentnosti dveh kroznic in sicer,

ko se kroznici dotikata na zunanji strani glede na njuno sredisce in primer, ko se

dotikata na notranji strani. Pri tangentnosti dveh premic, pa se premici dotikata v

neskoncnosti.

Izrek 3.5. Obstaja natanko ena ”kroznica”, ki je ortogonalna na kroznico K1 in

poteka skozi dve tocki A in B v krogu z robom K1.

Dokaz:

Naj bo tocka O1 (na sliki 16) sredisce kroznice K1. Locimo dva primera, ko so tocke

A, O1 in B kolinearne oziroma ko so nekolinearne.

Ce so tocke A, O1 in B kolinearne, je premer AO1B, ki lezi na premici p skozi tocki

A in B ortogonalen na K1.

12

Slika 16. Ortogonalni ”kroznici”K1 in p(AO1B).

Ce tocke A, O1 in B niso kolinearne, naj bo tocka A′ taka tocka, da skupaj s tockami

O1, T in A (slika 17) predstavlja harmonicno cetverko, ki je opisana v poglavju 2.1.

Dobimo torej kroznico BAA′, ki poteka skozi tocki A in B in je po Izreku 3.3

ortogonalna kroznici K1. Tako torej v vsakem primeru obstaja vsaj ena ”kroznica”,

ki poteka skozi tocki A in B in je pravokotna na K1.

Za dokaz, da obstaja natanko ena taksna ”kroznica”, naj kroznica K2 predstavlja

katero koli ”kroznico”, ki poteka skozi A in B in je ortogonalna na K1. Ce je K2

premica, je to lahko le nosilka premera kroznice K1. Torej so A, O1 in B kolinearne

in K2 sovpada s premico, ki smo jo omenili. Ce je K2 kroznica, potem mora po

Izreku 3.3 tudi potekati skozi tocko A′ in zatorej sovpada s kroznico BAA′.

�

Slika 17. Ortogonalni kroznici.

13

Izrek 3.6. Naj bo tocka P nepremicna tocka v ravnini kroznice K. Ce premica m

poteka skozi tocko P in seka kroznico K v tockah A in B, potem velja, da je produkt

PA · PB neodvisen od pozicije premice m.

Naj bo tocka O sredisce kroznice K. Ce tocka P sovpada s tocko O ali lezi na

kroznici K, je izrek ociten. V primerih, ko tocka P lezi v ravnini kroga z robom K

oziroma izven le-tega (sliki 18 in 19) pa ni tako ocitno. Kroznici K oznacimo premer

MN , ki poteka skozi P ter povezemo tocko A s tocko M in B z N . V obeh primerih

dobimo dva trikotnika, 4PMA in 4PBN , ki sta si podobna, saj imata oba enako

velike kote. Od tod sledi, da je

PA : PM = PN : PB

oziroma

PA · PB = PM · PN.

Ker je premer MN nepremicen, je tudi desna stran zadnje enacbe, PM · PN kon-

stantna, torej neodvisna od pozicije premice m.

Slika 18. Tocka P

znotraj kroznice.

Slika 19. Tocka P zu-

naj kroznice.

Iz Izreka 3.6 lahko upraviceno napisemo naslednjo definicijo.

Definicija 3.7. Potenca tocke P na kroznico K je produkt razdalje tocke P

od katerihkoli razlicnih tock na K, ki sta s P kolinearna.

Zaradi zveznosti sledi, da je potenca tocke enaka tudi kvadratu razdalje tocke P od

dotikalisca tangente na kroznico K skozi tocko P .

14

Definicija nam poda ze znano enakost, ki jo preoblikujemo tako, da je primerna

glede na sliko 19:

PA · PB = PC · PD.

Slika 20. Potenca tocke na kroznico.

Iz definicije sledi, da locimo tri primere, kje lahko lezi tocka P glede na kroznico:

• P lezi zunaj kroznice - potenca tocke je torej enaka kvadratu razdalje od P

do dotikalisca tangente skozi P na kroznico (slika 20), torej je P pozitiven;

• P lezi na kroznici, torej je P enak nic;

• P lezi znotraj kroznice - potenca tocke je kar enaka minus kvadratu polovice

tetive pravokotne na OP v P , torej je P negativen.

Oglejmo si, kam nas pripelje enakost, ce gre ena od premic skozi sredisce kroznice,

druga pa je poljubna (slika 21).

Po Definiciji 3.7 velja

PA · PB = PC · PD.

Razdaljo PC in PD lahko zapisemo kot

PC = CO +OP = r +OP

ter

DC = OD −OP = r −OP.

Od tod sledi

PA · PB = r2 −OP 2,

kar lahko zapisemo v naslednji izrek.

15

Slika 21. Potenca tocke na kroznico.

Izrek 3.8. Naj bo P tocka v ravnini kroga K s srediscem O in polmerom r. Potenca

tocke P na kroznico K je potem enaka (OP )2 − r2.

Izrek 3.9. Potreben in zadosten pogoj, da sta dve kroznici ortogonalni je, da je

potenca sredisca ene od kroznic glede na drugo enaka kvadratu prvega polmera.

Dokaz:

Po Izreku 3.8 je potenca prvega sredisca glede na drugo kroznico (O1O2)2 − r22, kar

pa je po Izreku 3.2.(2) ravno enako r21.

�

Definicija 3.10. Tocke, ki imajo enake potence glede na dani nekoncentricni kroznici,

lezijo na tocno doloceni premici, ki ji recemo potencna os dveh kroznic.

Izrek 3.11. Potencna os dveh nekoncentricnih kroznic je pravokotna na nosilko

sredisc danih dveh kroznic.

Dokaz:

Naj bosta kroznici K1 s srediscem v O1 in polmerom r1 in K2 s srediscem v O2 in

polmerom r2 dve nekoncentricni kroznici. Tocka N naj poljubno lezi na potencni

osi teh dveh kroznic (N ima enaki potenci glede na K1 in K2). Tocka M naj lezi na

preseciscu pravokotnice na premico O1O2 skozi tocko N (slika 22).

16

Slika 22. Potencna os.

Po Izreku 3.8 velja

(NO1)2 − r21 = (NO2)

2 − r22.

Po Pitagorovem izreku dobimo

(O1M)2 = (O1M)2 + (MN)2

in

(NO2)2 = (MO2)

2 + (MN)2.

Odstejemo (NM)2 na vsaki strani in dobimo:

(O1M)2 − (NM)2 − r21 = (O2M)2 − (NM)2 − r22

(O1M)2 − r21 = (MO2)2 − r22,

oziroma,

(O1M +MO2)(O1M −MO2) = r21 − r22

O1M −MO2 =(r21 − r22)O1O2

Opazimo, da sta O1M in O2M neodvisni od lege tocke N . Obstaja natanko ena

taka tocka M na nosilki O1O2, ki zadostuje pogojem zgornje enakosti. Oglejmo si

primer, ce tocka lezi kjerkoli drugje na prvokotnici potencne osi. Potem po zgornji

enakosti velja,

O1M −MO2 = O1L− LO2.

17

Naj tocka L lezi med tockama O1 in M . Potem namesto O1L lahko zapisem nasle-

dnje,

(O1L+ LM)−MO2 = O1L− (LM +MO2),

oziroma

O1L−ML−MO2 = O1L−ML−MO2,

kjer je ML = 0 ali pa L sovpada s tocko M . Ce je tocka na potencni osi dveh

kroznic, lezi na pravokotnici na potencno os skozi O1O2, kar je ravno tocka M , ki

lezi na preseciscu in ima enaki potenci glede na dani kroznici.

Obratno, vsaka tocka, ki lezi na pravokotnici na premico O1O2 skozi tocko M , ima

enaki potenci na dani dve krozici in lezi na njuni potencni osi. Sledi, da je potencna

os dveh kroznic pravokotna na nosilko sredisc O1O2 v tocki M .

3.1. Konstrukcija potencne osi

• Kroznici se sekata

Potencna os poteka kar skozi presecisci kroznic.

Slika 23. Potencna os dveh sekajocih se kroznic.

Naj bosta kroznici K1 in K2 s polmeroma r1 in r2. Iscemo vse tocke X, ki imajo

enako potenco glede na dani kroznici.

Tocka X je v tem primeru poljubna tocka na potencni osi skozi presecisci A in B in

vidimo, da je potenca XA ·XB ista za obe kroznici.

18

Tangenti t iz tocke X do dotikalisca kroznice K1 v tocki C oziroma do dotikalisca

kroznice K2 sta enako dolgi. Izracunajmo dolzino take tangente, kjer t zapisemo kot

t = XC.

XC ·XC = XA ·XB,

t2 = XA ·XB

in

t =√XA ·XB.

Kroznica s srediscem v X in polmerom t seka obe kroznici K1 in K2 pravokotno

(slika 24).

Slika 24. Ortogonalna kroznica na K1 in K2.

19

• Kroznici se ne sekata

(1) Prvo pomozno kroznico K3 narisemo tako, da njeno sredisce O3 ne lezi na

nosilki O1O2 in hkrati seka obe kroznici K1 in K2 v tockah A1, B1, C1 in D1.

(2) Narisemo premico p1, ki poteka skozi tocki A1 in B1 (to je, presecisci kroznic

K1 in K3) in premico q1, ki poteka skozi tocki C1 in D1 (to je, presecisci K2

in K3). Premici se sekata v neki tocki, ki jo oznacimo z X.

(3) Drugo pomozno kroznico K4 narisemo tako, da ima sredisce v tocki O3, le

drugacen polmer in hkrati seka obe kroznici K1 in K2 v tockah A2, B2, C2

in D2.

(4) Po enakem postopku kot v drugem koraku narisemo premici p2 in q2 ter

presecisci premic oznacimo z Y .

(5) Povezemo tocki X in Y . Dobljena premica je potencna os kroznic K1 in K2.

Opazimo lahko, da je potencna os pravokotna na nosilko O1O2, ki poteka

skozi tocko X in tocko Y .

Slika 25. Potencna os dveh nekoncentricnih kroznic K1 in K2.

Tocki X in Y imata enako potenco glede na dani dve kroznici, saj lezita na potencni

osi kroznic K1 in K2.

20

Primer si oglejmo se racunsko, ki je povzeto po studijskem gradivu Geometrija nekoc

in danes avtorja prof. dr. Matija Cenclja.

Slika 26. Ortogonalna kroznica na K1 in K2, ki lezi na potencni osi

kroznic K1 in K2.

Razdaljo med srediscema O1O2 oznacimo z a, ki je seveda vecja od razdalje r1 + r2.

Tocko M na daljici O1O2 poiscemo tako, da ima enako potenco na obe kroznici.

a = m1 +m2, kjer je m1 = O1M in m2 = O2M

ter upostevamo, da velja:

(m1 − r1)(m1 + r1) = m21 − r21

ter

(m2 − r2)(m2 + r2) = m22 − r22.

Dobimo:

m21 − r21 = m2

2 − r22

.

Obrnemo zgornjo enakost in vstavimo a (m2 = a−m1):

r21 − r22 = m21 −m2

2 = m21 − (a−m1)

2 = m21 − (a2 − 2am1 +m2

1) = a(2m1 − a)

21

−a2 + 2am1 = r21 − r22

Izpostavimo m1 in dobimo

m1 =a

2+r21 − r22

2a

Enako napravimo za m2 in dobimo

a2 − 2am2 = r21 − r22

m2 =a

2+r22 − r21

2a

Izberimo si se poljubno tocko X na pravokotnici na premico O1O2 skozi tocko M

oziroma na potencni osi. Naj bo h razdalja od M do X. K zgornji enacbi nato

dodamo se h2 na obeh straneh in po Pitagorovem izreku dobimo:

h2 +m21 − r21 = h2 +m2

2 − r22

in zato

x21 − r21 = x22 − r22.

Na sliki 26 lahko vidimo, da je x1 = XO1 in x2 = XO2.

Vidimo, da ima X res enako potenco na obe kroznici in da sta m1 in m2 neodvisni

glede na lego poljubne tocke na potencni osi.

Izrek 3.12. [1] Naj bosta K1 in K2 poljubni kroznici in naj bo premica p njuna po-

tencna os. (1) Potem obstaja kroznica s srediscem na potencni osi, ki je ortogonalna

na K1 in K2.

(2) Ce je kroznica, katere sredisce lezi na potencni osi p, ortogonalna na K1, je

ortogonalna tudi na K2.

To je posledica Izreka 3.8, ki je predstavljena v zacetku podpoglavja Konstrukcja

potencne osi.

22

3.2. Potencno sredisce treh kroznic

Trditev 3.13. [1] Naj bodo K1, K2 in K3 tri nekoncentricne kroznice ter p, q in r

potencne osi parov danih kroznic. Potencne osi se sekajo v skupni tocki.

Dokaz:

Naj bo p potencna os kroznic K1 in K2, q naj bo potencna os K2 in K3 ter r potencna

os K1 in K3. Tocka X je presecisce p in q in ima enako potenco na vse tri kroznice.

Torej mora prav tako lezati na potencni osi prve in tretje kroznice, to je, na r.

�

Definicija 3.14. [1] Preseciscu potencnih osi treh nekoncentricnih kroznic recemo

potencno sredisce treh kroznic.

Posledica 3.15. Tri nekoncentricne kroznice imajo natanko eno skupno ortogo-

nalno kroznico, ki ima sredisce v potencnem srediscu, pod pogojem, da to sredisce

lezi zunaj kroznic.

Oglejmo si se konkreten primer zgornjega izreka in posledice, to je, potencnega

sredisca na potencni osi treh kroznic. Narisemo poljubne tri kroznice K1,K2,K3, ki

se med seboj lahko sekajo, lahko pa tudi ne.

Na spodnji sliki imamo primer, ko se pari K1 in K2 ter K1 in K3 med seboj ne

sekajo, K2 in K3 pa se sekata. Po ze znani metodi nacrtamo potencne osi za vsak

par kroznic, tako da dobimo tri potencne osi.

Slika 27. Potencno sredisce treh kroznic.

23

Presecisce vseh treh potencnih osi v tocki X pa je sredisce kroznice, ki je pravokotna

na vse tri kroznice.

Slika 28. Ortogonalna kroznica O na vse tri kroznice K1, K2 in K3

Poseben primer potencne osi treh kroznic je, ko se vse tri kroznice med seboj paroma

sekajo. Potencne osi skozi pare presecisc pa tvorijo sop.

Slika 29. Tri kroznice, ki se paroma sekajo.

24

Literatura

[1] Eves, H. (1992). Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Boston, London: Jones

and Bartlett Publishers, Inc.

[2] prof. dr. Matija Cencelj, Gtadivo pri predmetu Visja geometrija, 5.2.2015

[3] prof. dr. Matija Cencelj, Gradivo pri predmetu Geometrija nekoc in danes, Dodatek evklidske

geometrije, 2013

[4] Barovic, N. (2014). Diofantski vidiki Steinerjevega porizma (Magistersko delo). Fakulteta za

naravoslovje in matematiko, Maribor. (21.6.2017)

[5] http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/likar/inverzija.htm

(6.7.2017)

25