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1
Espacio muestral (S) es el conjunto de todos loseventos.
Ej: En el lanzamiento de una moneda hay dos posibleseventos, que salga cara (c) o que salga sello (s),entonces: 𝑺 = 𝒄, 𝒔
2Experimento: proceso que produce información. Ej: Lanzamiento de una moneda, lanzamiento de un dado,…
Evento (E): cada posible resultado de unexperimento.Ej: obtener una cara al lanzar una moneda, obtenerel número 1 al lanzar un dado,…
P(evento cierto) = 1
P(evento imposible) = 0
Por tanto,
La suma de la probabilidad de todos los
eventos del espacio muestral es uno:
10 iEP
3
1 iEP
Probabilidad
Es la posibilidad numérica de que un evento ocurra.
Propiedades
El espacio muestral para lanzar un dado es:
1,2,3,4,5,6S
1 iEP
4
La probabilidad de que al menos uno de los
eventos que están en el espacio muestral
ocurra es igual a 1.
Si se lanza un dado, el resultado debe ser un
número entre 1 y 6. Debido a que esto es una
certeza puede decirse que:
Ejemplo
Modelo de frecuencia relativa
EP
5
Utiliza datos que se han observado empíricamente, registra
la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el
pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra
nuevamente con base en estos datos históricos.
# de veces que ha ocurrido el evento
# total de observaciones
Ej: la probabilidad de aprobar un curso
Modelo Clásico
Cuando un experimento tiene n eventos distintos y
cada uno tiene la misma posibilidad de ocurrir.
6
EP# de formas en las que puede ocurrir un evento
# total de posibles resultados
Ej: La probabilidad de obtener una cara en un solo
lanzamiento de una moneda es 1/2
La probabilidad de sacar un 3 con un dado de seis
caras es: 1/6
𝑷 𝑨 =𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑨
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo:
Determine cuál(es) de los siguientes eventos tiene(n) la misma
probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda.
I) Obtener un número primo en el lanzamiento de un dado.
II) Al contestar una pregunta al azar de verdadero o falso, ésta
esté correcta.
III) Que tu equipo favorito de fútbol gane su próximo partido.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo II y III
e) I, II y III
7
En el curso de José todos los alumnos escribieron
el nombre de cada abuelo y su edad en un papel
y lo colocaron en una caja. Los números
registrados fueron:
70 – 81 - 81 - 90 – 85 -70 – 81- 67 – 55 – 90
Determine la probalilidad en porcentaje de que al
sacar un papelito la edad del abuelo sea mayor
que 60 años y menor que 80 años
a) 80%
b) 70%
c) 50%
d) 30%
8
Un escritorio tiene dos cajones, en el primero hay 4
lápices rojos y 2 azules; el segundo contiene 3 lápices
rojos y 3 azules. Si se abre un cajón al azar y se extrae
un lápiz, ¿cuál es la probabilidad de que el lápiz
elegido sea azul?
a) 1/3
b) 1/2
c) 5/6
d) 5/12
e) 7/12
9
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 veces
una moneda al aire se obtenga al menos una cara?
a) 1/8
b) 3/8
c) 1/2
d) 3/4
e) 7/8
10
Si en un curso de 35 alumnos hay 20 hombres y se
sabe que del total de mujeres, solamente a la
tercera parte le gusta ver teleseries. ¿Cuál es la
probabilidad de escoger un alumno al azar de
dicho curso y que sea mujer y no le gusten las
teleseries?
a) 1/7
b) 2/7
c) 1/3
d) 3/7
e) 3/4
11
Según un programa climatológico la probabilidad
de que mañana sea un día soleado es de 0,5 de que
amanezca parcial-nublado es un 0,3 y la tercera
opción es que amanezca lluvioso. Si existen
solamente esas tres alternativas. ¿Cuál es la
probabilidad de que mañana amanezca soleado o
lluvioso?
a) 0,15
b) 0,2
c) 0,7
d) 0,8
e) No se puede determinar
12
13Ordenaciones
!
!
n
r
nP
n r
Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea elegir un presidente y un vicepresidente ¿Cuántos
binomios distintos se pueden formar?
SOLUCIÓN:
Empleando la fórmula
!
!
n
r
nP
n r
3
2
3!
1!P 6
Presidente
Vice-Presid
Presidente María
Vice-Presid José
Presidente María María
Vice-Presid José Luis
Presidente María María José
Vice-Presid José Luis María
Presidente María María José José
Vice-Presid José Luis María Luis
Presidente María María José José Luís
Vice-Presid José Luís María Luís María
Presidente María María José José Luis Luis
Vice-Presid José Luis María Luis María José
CONCLUSIÓN:
* Piense en llenar casilleros
Presidente Vice-PresidPresidente
3Vice-PresidPresidente
3Vice-Presid
2
* IMPORTA EL ORDEN
Ejemplo
14
Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea elegir un presidente y un vicepresidente ¿Cuál es
la probabilidad de que Luis sea Vicepresidente?
Ejemplo
15
!
! !
n
r
n nC
r r n r
Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea nombrar una comisión de dos personas para
actividades varias ¿Cuántas comisiones diferentes habrán?SOLUCIÓN: 1C María, José
2C María, Luis
3C José, Luis
Empleando la fórmula
!
! !
n
r
n nC
r r n r
3
2
3 3!
2 2! 1!C
3 2
2
3
CONCLUSIÓN:
* NO IMPORTA EL ORDEN
SelecciónEjemplo
16 Suponga que tenemos un grupo de tres personas: María, José y
Luis. Se desea nombrar una comisión de dos personas para
actividades varias ¿Cuál es la probabilidad de que Luis pertenezca
a la comisión?
Ejemplo
En un estante hay 2 libros de historia y 3 de biología. ,Al azar, se
toma un libro y luego se toma un segundo libro. Encontrar la
probabilidad de que un libro de biología sea seleccionado: a) la
primera vez; b) ambas veces.
Ejemplo
23
Resp.
35
Resp. a) 310
b)
17
En la final de un concurso escolar de matemática participan
6 alumnos, de los cuales 3 pertenecen al colegio A. Si se
premia a los dos primeros con regalos diferentes, ¿cuál es
la probabilidad de que los alumnos del colegio A obtengan
los 2 premios?
Ejemplo
0.2Resp.
Uniones, intersecciones y relaciones entre
eventos
Un conjunto es toda reunión de objetos. Se asume que se han
identificado dos conjuntos A y B.
La intersección entre A y B, que se escribe A∩B, consta de los
elementos que son comunes tanto a A como a B
18
Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia
de uno prohíbe la ocurrencia del otro.
Sacar una cara o un sello al lanzar una moneda una vez. Si
se obtiene una cara, no puede ocurrir un sello.
Seleccionar una unidad de producción y encontrarla
defectuosa o no defectuosa son eventos mutuamente
excluyentes.
19
Los eventos colectivamente exhaustivos constan de
todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su
espacio muestral.
Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado
son 1,2,3,4,5,6. Debido a que existe la certeza de que uno
de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada es
igual a uno
1 2 3 4 5 6 1P
Los eventos colectivamente exhaustivos son S, L y A.Si un empleado se selecciona al azar
P(S)=170/500=0.34
P(L)=290/500=0.58
P(A)=40/500=0.08
Existe certeza que un empleado provenga de unade las categorías, por tanto, P(SvLvA)=1
20
Ejemplo
De los 500 empleados de una fábrica,
170 son administrativos (S), 290 son de
línea (L) y 40 son auxiliares (A).
Eventos independientes son eventos en los que la
ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la
ocurrencia del otro.
El resultado del lanzamiento de una moneda no
afecta el lanzamiento de un dado
Dos lanzamientos de una moneda son eventos
independientes también
21
Cuando se saca de un conjunto finito, como por ejemplo
una baraja de cartas, dos eventos son independientes si
y sólo si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer
elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo
elemento, los dos eventos son dependientes
Si se seleccionan dos trabajadores de la misma fábrica, la
probabilidad de que el primero sea un administrativo es
P(S)=170/500=0.34.
22
Si esta selección no se reemplaza, la probabilidad de que el
segundo sea uno de línea es P(L)=290/499, y no 290/500
Eventos complementarios son los eventos en
los que si un evento no ocurre, el otro debe
ocurrir.
Son colectivamente exhaustivos, porque si A no
ocurre, “no A” debe ocurrir. Por tanto,
1_
APAP
23
Si no se selecciona un miembro del personal
administrativo de la fábrica, entonces debe
ser o uno de línea o uno auxiliar
Las dos reglas de la probabilidad
Existe dos reglas básicas que deben
seguirse para calcular la probabilidad
de eventos más complejos:
Regla de la multiplicación
Regla de la adición
24
Regla de la multiplicación
Determina la probabilidad del evento
conjunto P(A∩B). Para encontrar la
probabilidad de A y B se multiplican sus
respectivas probabilidades.
Para eventos independientes la probabilidad
de dos eventos se vuelve:
BPAPBAP
25
La probabilidad de sacar un 3 con un dado y
una cara con una moneda es
12/12/16/133 CPPCP
312/396/352/13 EPHPEHP
26
La probabilidad de sacar una carta de las 13
cartas de corazones de una baraja de 52 cartas y
de sacar un número par con un dado es
EJEMPLO
Tablas de contingencia
Clasificación de los empleados
Género Administrativo Línea Auxiliar Total
Hombres 120 150 30 300
Mujeres 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
27Supongamos que en el problema anterior si hay 300 hombres
y 200 mujeres distribuidos de la siguiente manera
Si se escoge una persona al azar.
1. ¿Cuál es la probabilidad que sea de
línea?
2900.58
500P E
2. ¿Cuál es la probabilidad que sea
Hombre? 300
0.6500
P E
3. ¿Cuál es la probabilidad que sea
Hombre y administrativo?
120
500P E 4. ¿Cuál es la probabilidad que sea
de Línea o Auxiliar?
330
500P E
5. ¿Cuál es la probabilidad que sea de Línea o mujer?
290 200 140 350
500 500P E
Tablas de PROBABILIDAD
Clasificación de los empleados
Género Personal (S) Línea (L) Auxiliar (A) Total
Hombres (H) 120/500= 0.24 150/500=0.3 30/500= 0.06 300/500=0.6
Mujeres (M) 50/500= 0.1 140/500=0.28 10/500= 0.02 200/500=0.4
Total 170/500= 0.34 290/500=0.58 40/500= 0.08 500/500=1
28
La probabilidad de que el evento A ocurra,
dado que o a condición de que el evento B
ya haya ocurrido
P A P B AP A BP A B
P B P B
29
Probabilidad condicional
En el ejemplo de la fábrica, si se desea calcular la probabilidad de
que el trabajador sea hombre dado que es un miembro del
personal administrativo P(M/S) se puede hallar así
0.24
0.710.34
P M SP M S
P S
Por tanto,
124
5212
1524
FP
JFPJP
FP
FJPFJP
30
P(F/J) es 1 debido a que todas las jotas son
figuras
La probabilidad de sacar una jota de una baraja de 52
cartas es P(J)=4/52 debido a que hay 4 jotas en una
baraja. Se desea saber la probabilidad de que la cartas
sacada fuese una jota, dada la información adicional
de que es una figura (F). Es decir P(J/F). Ya que 4 de las
12 figuras de una baraja son jotas P(J/F)=4/12
Probabilidad de eventos dependientes
(probabilidad condicional)
Si los eventos son dependientes, entonces, se
debe considerar el primer evento al
determinar la probabilidad del segundo. Es
decir, la probabilidad del evento B
depende de la condición que A ya haya
ocurrido.
ABPAPBAP
31
El gerente de un banco recolecta datos sobre
100 de sus clientes. De los 60 hombres, 40
tienen tarjetas de crédito (C). De las 40
mujeres, 30 tienen tarjeta de crédito (C) . Diez
de los hombres tienen saldos vencidos (B),
mientras que 15 de las mujeres tienen saldos
vencidos (B). El gerente de crédito desea
determinar la probabilidad de que un cliente
seleccionando al azar sea una mujer con
tarjeta de crédito
32
WCPWPCWP
3.040/30100/40 WCPWPCWP
33
Claramente, P(W)=40/100. Además, de las 40
mujeres 30 tienen tarjetas de crédito. Por tanto,
dado que el clientes es una mujer, la probabilidad
de que tenga una tarjeta de crédito es
P(C|W=30/40. Entonces:
Regla de la Adición
Se utiliza para determinar la probabilidad de
A ó B, (cuando los eventos no son
mutuamente excluyentes)
BAPBPAPBAP
34
Se debe restar la probabilidad conjunta cuando los
eventos no son mutuamente excluyentes es para
evitar el doble conteo.
La probabilidad de sacar un as o una de las 13
cartas de corazones de una baraja es
HAPHPAP
52/152/1352/4 HAPHPAP
35
Los eventos A y H no son mutuamente
excluyentes, debido a que ambos ocurren si se
sacara el as de corazones. Por tanto,
Probabilidad del evento A o del evento B(cuando los eventos son mutuamenteexcluyentes)
BPAPBAP
36
La probabilidad de que un cliente prefiera súper(0.2) o extra (0.5) (eventos mutuamenteexcluyentes debido a que no puede preferirambas) es
7.05.02.0 EPSPESP
Teorema de Bayes
Definición para dos eventos A y B:
BDPBPADPAP
DAP
DBPDAP
DAPDAP
37
Teorema de Bayes
Sea 𝐴1; 𝐴2; 𝐴3; … ; 𝐴𝑛 un conjunto de sucesos
mutuamente excluyentes y exhaustivos, tales
que la probabilidad de cada uno de ellos es
distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del
que se conocen las probabilidades
condicionales 𝑝 𝐵 𝐴𝑖 𝑖 = 1, 2, 3, … ; 𝑛 .
Entonces, la probabilidad 𝑝 𝐴𝑖 𝐵 está dada por
la expresión:
1
i ii
i n
i ii
P B A P AP A BP A B
P BP B A P A
En una fábrica se utilizan dos máquinas para
producción. La máquina A produce el 60% de la
producción total, y la máquina B produce el
restante 40%. El 2% de las unidades producidas
por A son defectuosas, mientras que B tiene una
tasa de defectos del 4%. Se desea saber la
probabilidad de que la unidad defectuosa fue
producida por la máquina A
39 EJEMPLO
Máquina A
Máquina B
6.0AP
4.0BP
98.0_
ADP
02.0ADP
40
Unidad no defectuosa de A
Unidad defectuosa de A
96.0_
BDP
04.0
BDP
Unidad no defectuosa de B
Unidad defectuosa de B
588.098.06.0__
ADPAPDAP
012.002.06.0
ADPAPDAP
384.096.04.0__
BDPBPDBP
016.004.04.0
BDPBPDBP
429.0016.0012.0
012.0
DBPDAP
DAP
DP
DAPDAP
41Se desea saber la probabilidad de que la
unidad defectuosa fue producida por la
máquina A
Mientras que P(A)=0.6, P(A|D)=0.429. Se
nota que P(A|D)<P(A) debido a que la
máquina A produce un porcentaje menor de
defectos que la máquina B.
Dos candidatos A y B compiten por la gerencia de una
compañía. Las probabilidades de ganar estos
candidatos son de 0,7 y 0,3 respectivamente. Se sabe
que si gana A, existe un 0,8 de probabilidad de
introducir un nuevo producto N y si gana el candidato B
esa probabilidad es de 0,4.
a) Suponiendo que, después de las elecciones, ha sido
introducido el nuevo producto, ¿cuál es la
probabilidad de que el ganador de las elecciones
sea el candidato B?, ¿cuál es la probabilidad de que
haya ganado A?
b) Supón que después de las elecciones no se introdujo
el producto nuevo N. ¿Cuál es la probabilidad de
que el ganador de las elecciones haya sido A?
Ejemplo
Solución
Datos dados:
𝑝 𝐴 = 0,7 ; 𝑝 𝐵 = 0,3 ; 𝑝 𝑁 𝐴 = 0,8 ; 𝑝 𝑁 𝐵 = 0,4
a)
𝑝 𝑁 = 𝑝 𝑁 𝐴 ∙ 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝑁 𝐵 ∙ 𝑝 𝐵 = 0,8 0,7 + 0,4 0,3 = 0,68
𝑝 𝐵 𝑁 =𝑝 𝑁 𝐵 ∙ 𝑝 𝐵
𝑝 𝑁=0,4 ∙ 0,3
0,68= 0,1765 → 17,65%
También sabemos que: 𝑝 𝐴 𝑁 = 1 − 𝑝 𝐵 𝑁 = 0,8235 → 82,35%Probabilidad de que haya ganado A: 82,35%
Probabilidad de que haya ganado B: 17,65%
b) 𝑝 𝐴 ~𝑁 =𝑝 ~𝑁 𝐴 ∙ 𝑝 𝐴
𝑝 ~𝑁=
0,2 ∙ 0,7
0,32= 0,4375 → 43,75%
44
Deber
1. Un agente de bienes raices muestra casas a un potencial comprador. Hay diez casas
del precio deseado de una lista de la zona . E1 comprador tiene tiempo para visitar
solo tres de ellas. Si cuatro de las casas son nuevas y seis han sido ocupadas
previamente , y si las tres casas a visitar se escogen al azar, ¿cúal es la probabilidad
de que las tres sean nuevas?
2. Al poco tiempo de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados por cierta
compañía presetan grieta s en la parte inferior del bastidor princ ipal. Supongamos
que una ciudad en particular tiene 20 de estos, y que han aparecido grietas en 8 de
ellos. Si se escoge a1 azar una muestra de 5 autobuses, ¿cúal es la probabilidad de
que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles?
3. La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es 0.83;
la probabilidad de que 1legue a tiempo es 0.82, y la probabilidad de que salga y
llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión :
a)Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo
b)Haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo.
c)Encuentre la probabilidad de que el avión 1legue a tiempo dado que no salió a
tiempo.
45
4. Dos máquinas envasan gaseosa de manera automática, resultando que
la primera envasa el doble que la segunda. La primera máquina envasa
el 60% de las botellas con Ia cantidad exacta y la segunda el 84%. Una
botella tomada del transportador resultó llena con Ia cantidad exacta.
Hallar la probabilidad de que haya sido envasada por:
a)La primera máquina;
b)La segunda máquina.
5. En cierta ciudad, el 25% de los habitantes son ancianos, el 35 % adultos y el
40 % son niños. Se sabe que la gripe afecta al 5% de Ios ancianos, al 4% de los
adultos y al 2% de los niños.
a) Calcular la probabilidad de que un habitante, seleccionado
aleatoriamente, tenga gripe.
b) Si un habitante tiene gripe, ¿cuál es Ia probabilidad de que éste sea
anciano o niño?
Resp. 3.45%.
Resp. a) 10/17 b) 7/17
46 6. EI 35%, de los créditos que otorga un banco es para vivienda, eI
50%, para producción y el resto para consumo. Resultan morosos el
20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para
producción y el 70% para consumo.
a)Determine la probabilidad de que un crédito que ha resultado en
mora, haya sido otorgado para la producción.
b)La probabilidad de que un crédito que ha resultado en mora, haya
sido otorgado para la producción.
Resp. A) 0.75 b) 0.3
