Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
0
Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en
estudiantes de cuarto grado de educación primaria
Christian Arturo Olarte Zabala
Diana Pahola Suárez Mendoza
Director: Dr Rodolfo Vergel Causado
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencia y Educación
Maestría en Educación
Énfasis en Educación Matemática
Bogotá, 2018
1
Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en
estudiantes de cuarto grado de educación primaria
Christian Arturo Olarte Zabala
Diana Pahola Suárez Mendoza
Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación
Director: Dr. Rodolfo Vergel Causado
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencia y Educación
Maestría en Educación
Énfasis en Educación Matemática
Bogotá, 2018
2
Agradecimientos
Al profesor Dr Rodolfo Vergel por compartir su conocimiento y ayudarnos en este proceso
investigativo.
A los niños del Liceo Alta Blanca que participaron en la fase pilotaje y a la coordinadora
Ruth Rodríguez quien siempre estuvo con las puertas abiertas.
A las directivas y niños del colegio Canapro que participaron en la investigación, quienes
con gran entusiasmo asistieron cada sábado con ganas de aprender algo nuevo.
3
Resumen Analítico en Educación – RAE
1. INFORMACIÒN GENERAL
Título del documento Tesis de grado de Maestría.
Acceso al documento Universidad distrital Francisco José de Caldas.
Título del documento Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de
generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de
educación primaria.
Autores Olarte Zabala, Christian Arturo
Suárez Mendoza, Diana Pahola
Director Dr. Vergel Causado, Rodolfo
Unidad patrocinante Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Palabras clave Generalización de patrones, Evolución, Fórmulas corpóreas y
Problemas de la generalización.
2. DESCRIPCIÓN
Esta propuesta de investigación aborda la enseñanza-aprendizaje del álgebra en
educación primaria, previa al lenguaje alfanumérico y a partir de la generalización de
patrones como herramienta potenciadora. Desde una perspectiva sociocultural de la
educación matemática, y apoyados en la metodología multimodal se investiga la
evolución de fórmulas corpóreas, como indicativo de pensamiento algebraico, hacia
formas más sofisticadas en generalización de secuencias de patrones. El análisis se
realiza desde los tres problemas de la generalización (epistemológico, fenomenológico y
semiótico), apoyados en la idea que los gestos, movimientos y señalamientos evidencian
formas de pensamiento algebraico que tienen intenciones frente a una labor de
generalización de patrones.
3. FUENTES
Arzarello, F. (2006). Semiosis as a multimodal process. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, Special Issue on Semiotics, Culture, and
Mathematical Thinking, 267-299.
4
Centro de Innovación en la Enseñanza de Matemáticas (CIMT), (Julio de 2005). Centre
for Innovation in Mathematics Teaching. Recuperado el 25 de marzo de 2017.
Disponible en:
http://www.cimt.org.uk/projects/mepres/book9/bk9i10/bk9_10i1.html
Bautista, S y Cardozo, J. (2016). La evaluación desde la Teoría cultural de la
objetivación: Una experiencia con estudiantes de grado octavo. Tesis de Maestría.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia
Godino, J y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros.
Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada. Granada,
España. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros.
Mason, J., Graham, A., Pimm, D. y Gowar, N. (2014). Rutas hacia el / Raíces del
álgebra. (C. Valderrama, Trad.) Ibagué, Colombia: Colors Editores.
Moreno, P. (2014). La contracción semiótica como proceso de objetivación en
estudiantes de grado sexto en el campo del pensamiento algebraico. Tesis de
Maestría, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.
Pantano, O. (2014). Medios semióticos y procesos de objetivación en estudiantes de
tercer grado de primaria al resolver tareas de tipo aditivo en los naturales. Tesis de
Maestría, Universidad Pedagógica Nacional, Colombia, Bogotá, Colombia.
Radford, L. (2002). On heroes and the collapse of narratives: a contribution to the study
of symbolic thinking. Actas de la 16ª Conferencia del Grupo Internacional para
la Psicología de la Educación Matemática, PME 26, Anne D. Cockburn y Elena
Nardi (eds.), 4, 81-88.
Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs: A semiotic-cultural
approach to students' types of generalization. Mathematical thinking and learning,
5(1), 37-70.
Radford, L. (2005). ¿Why do gestures matter? Gestures as semiotic means of
Objectification. En Helen L. Chick, Jill L. Vincent (Eds.), Actas de la 29ª
Conferencia del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación
Matemática, Universidad de Melbourne, Australia, 1(1), 143-145.
Radford, L. (2008). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of
algebraic generalizations of patterns in different contexts. ZDM Mathematics
5
Education, 40, 83-96.
Radford, L. (2010a). The eye as a theoretician: Seeing structures in generalizing
activities. For the learning of mathematics, 30(2), 2-7.
Radford, L. (2010b) Layers of generality and types of generalization in pattern
activities, PNA, 4(2), 37-62.
Radford, L. (2010c). Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Research
in Mathematics Education, 12(1), 1-19.
Radford, L. (2013a). En torno a tres problemas de la generalización. En Rico, L.,
Cañadas. M., Gutierrez J., Molina, M y Segovia, I. (Eds,) Investigación en
didáctica de las matemáticas, Granada, Comares, 12(3)
Radford, L. (2013b). Three Key Concepts of the Theory of Objectification: Knowledge,
Knowing, and Learning. Journal of Research in Mathematics Education, 2 (1), 7-
44. Disponible en: http://doi.dx.org/10.4471/redimat.2013.19
Radford, L. (2017). Aprendizaje desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación.
En B. D' Amore y L. Radford, Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas:
problemas semióticos epistemológicos y prácticos, Bogotá, Colombia, UD
editorial. 113-134.
Radford, L. (2018). Algunos desafíos encontrados en la elaboración de la teoría de la
objetivación. PNA, 12(2), 61-80.
Radford, L. (2018). Teaching and learning algebraic thinking with 5- to 12-year-olds:
The global evolution of an emerging field of research and practice, (págs. 3-25).
New York: Springer.
Rojas, P. y Vergel, R. (2013). Procesos de Generalización y Pensamiento Algebraico.
Educación científica y tecnológica, Número especial, 688-694.
Tufts University. (2004). Functions as Patterns, Hops, Tables, and Mathematical
Expressions. Universidad Tufts. Boston, Massachusetts.
Vasilachis, I. (2006). La investigación cualitativa. En I. Vasilachis (Coord.). Estrategias
de investigación cualitativa, Barcelona, España: Gedisa. 23-64
Vergel, R. (2014a). Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto
y quinto grados de educación básica primaria (9-10 años). Tesis Doctoral.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.
6
Vergel, R. (2014b) El signo en Vygotski y su vínculo con el desarrollo de los procesos
psicológicos superiores. Folios, 39, 65-76.
Vergel, R. (2015). Sobre la emergencia del pensamiento algebraico temprano y su
desarrollo en educación primaria. Bogotá, Colombia. UD editorial.
Vergel, R. (2016). El gesto y el ritmo en la generalización de patrones. Uno Revista de
Didáctica de las Matemáticas. 73. 23-31.
Zapatera, A. (2016). Cómo desarrollar el pensamiento algebraico. Uno Revista
Didáctica de las matemáticas (32). 32-37.
4. CONTENIDOS
La investigación se desarrolla en seis capítulos, de la siguiente forma:
En el capítulo uno se desarrollan los aspectos preliminares: la delimitación del problema
y los objetivos de la investigación. En el capítulo dos se muestra el marco teórico bajo
el que se contextualiza la investigación, teniendo como referencia la teoría de la
objetivación y los tres problemas de la generalización. En el tercer capítulo se describe
la metodología de la investigación, las características de la población y las
reformulaciones de las tareas. Teniendo en cuenta los datos obtenidos, en el capítulo
cuatro se realizará el análisis fundamentado en el marco teórico de la evolución de las
fórmulas corpóreas en el transcurso por los tres problemas de la generalización.
La respuesta a la pregunta de investigación, reflexiones y síntesis se mostrarán en el
capítulo cinco. Finalmente, en el capítulo seis se observarán las referencias
bibliográficas y los anexos que se usaron en el desarrollo del trabajo.
5. METODOLOGÍA
Teniendo en cuenta la pregunta de investigación enmarcada en la perspectiva de la
teoría de la objetivación propuesta por Radford, se realizará un análisis multimodal,
donde, según Arzarello (2006) se debe tener en cuenta la relación de los diferentes
recursos semióticos movilizados durante la actividad (lenguaje escrito, lenguaje
hablado, gestos, acciones, etc). El desarrollo metodológico tomará la estructura de
Radford (2010b) adaptada por Pantano (2014) constituida por: fase 1 de diseño de las
7
tareas, fase 2 de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase
4 de interpretación de los datos.
6. CONCLUSIONES
Se plantea una respuesta a la pregunta de investigación, teniendo en cuenta la
articulación entre los objetivos descritos inicialmente, postulados teóricos de la teoría de
la objetivación, y el análisis multimodal. Se encontraron los siguientes medios
semióticos de objetivación:
Señalamientos con el lapicero.
Movimientos en el aire.
El spinner.
Señalamientos con los dedos.
Golpes sobre las hojas de trabajo o escritorio.
En cuanto a la evolución de fórmulas corpóreas se resalta la importancia de los nodos
semióticos, la contracción semiótica, la iconicidad y la experiencia en el trabajo con
secuencias de patrones. Para terminar brindamos en este caso particular del paso por los
tres problemas de la generalización conclusiones en cuanto a los tipos de secuencias
utilizadas en el campo fenomenológico, a la experiencia en la generalización de
patrones y la abducción analítica en el campo epistemológico y en cuanto a la
representación del objeto generalizado y los medios semióticos de objetivación en el
campo semiótico.
Elaborado por: Olarte Zabala, Christian Arturo
Suárez Mendoza, Diana Pahola
Revisado por: Dr. Vergel Causado, Rodolfo
Fecha de elaboración del resumen: 12 05 2018
8
Tabla de contenido
Tabla de contenido ................................................................................................................. 8
Tabla de Tablas....................................................................................................................... 9
Tabla de Ilustraciones ............................................................................................................. 9
Introducción .......................................................................................................................... 12
Capítulo 1 ............................................................................................................................. 14
Planteamiento del problema .......................................................................................... 14
Antecedentes ................................................................................................................. 17
Objetivos............................................................................................................................... 21
Capítulo 2 ............................................................................................................................. 22
Marco teórico ................................................................................................................ 22
Capítulo 3 ............................................................................................................................. 30
Metodología .................................................................................................................. 30
Recolección de la información ...................................................................................... 46
Capítulo 4 ............................................................................................................................. 48
Análisis multimodal ...................................................................................................... 48
Actividad en la tarea 1 ................................................................................................... 48
Actividad en la tarea 2 ................................................................................................... 60
Actividad en la tarea 3 ................................................................................................... 72
Actividad en la tarea 7 ................................................................................................... 83
Capítulo 5 ............................................................................................................................. 97
Conclusiones y reflexiones ........................................................................................... 97
Reflexiones .................................................................................................................. 102
Limitaciones del estudio ............................................................................................. 103
Referencias bibliográficas .................................................................................................. 104
Anexos ................................................................................................................................ 107
Hojas de trabajo Sarah, tarea 1 ....................................................................................... 107
Hoja de trabajo Sarah, tarea 1.1 ...................................................................................... 110
Hojas de trabajo Sarah, tarea 2 ....................................................................................... 111
Hojas de trabajo Sarah, tarea 3 ....................................................................................... 113
Hojas de trabajo Sarah, tarea 7 ....................................................................................... 115
9
Hojas de trabajo Juan David, tarea 1 .............................................................................. 117
Hoja de trabajo Juan David, tarea 1.1 ............................................................................. 119
Hojas de trabajo Juan David, tarea 2 .............................................................................. 120
Hojas de trabajo Juan David, tarea 3 .............................................................................. 123
Hojas de trabajo Juan David, tarea 7 .............................................................................. 125
Hojas de trabajo Manuel, tarea 1 .................................................................................... 127
Hoja de trabajo Manuel, tarea 1.1 ................................................................................... 128
Hojas de trabajo Manuel, tarea 2 .................................................................................... 129
Hojas de trabajo Manuel, tarea 3 .................................................................................... 131
Hojas de trabajo Manuel, tarea 7 .................................................................................... 133
Tabla de Tablas
Tabla 1: Descripción de las tareas. .................................................................................................................. 45 Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel. ......................................................................... 96
Tabla de Ilustraciones
Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a). .............................. 28 Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal. (Radford, 2010b) ....................................................... 31 Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014) ..................................................................................... 31 Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016). ................................................................. 32 Ilustración 5: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ............................. 33 Ilustración 6: Determinaciones en la dimensión espacial en la tarea 1 etapa de pilotaje. .............................. 33 Ilustración 7: Resultados de la tarea 2 donde el estudiante encuentra una característica común. ................. 34 Ilustración 8: Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a y tarea 2.1 “Término
de Monique” (Radford 2013a). ........................................................................................................................ 35 Ilustración 9: Posible generalidad en la tarea 3. ............................................................................................. 35 Ilustración 10: Tarea 3 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 36 Ilustración 11: Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................ 36
Ilustración 12: Tarea 5 secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................... 37
Ilustración 13: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 38 Ilustración 14: Tarea 2.1 “Término de Monique”. (Radford 2013a) .............................................................. 38 Ilustración 15: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 39 Ilustración 16: Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 17: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .......................... 40 Ilustración 18: Tarea 5 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 19: Tarea 6 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .................................. 41 Ilustración 20: Tarea 7 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 42 Ilustración 21: Cambio de la tarea número 7 en la fase de aplicación. Secuencia numérica con apoyo tabular
correspondiente a . ................................................................................................................................. 43 Ilustración 22: Tarea 1. .................................................................................................................................... 48 Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1. 49 Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura
número mil. ....................................................................................................................................................... 50
10
Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah. .......................................................................................... 51 Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire. ........................ 51 Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con
determinaciones sensibles en la dimensión numérica. ..................................................................................... 52 Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción
lingüística-perceptiva-gestual). Radford 2013a. .............................................................................................. 53 Ilustración 29: Tarea 1.1 de Sarah. ................................................................................................................. 53 Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David. ............................................................................. 54 Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados. ................................ 55 Ilustración 32: Fórmula implícita hecha por Juan David. ............................................................................... 55 Ilustración 33: Evidencia que Juan David puede no fijarse en el cuadrado sombreado. ................................ 57 Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente. .. 58 Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel. ...................................................... 59 Ilustración 36: Frase donde Manuel expresa la generalidad que encontró. .................................................... 59 Ilustración 37a: Tarea 2. .................................................................................................................................. 60 Ilustración 37b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su
parecido con el “spinner” ................................................................................................................................ 61 Ilustración 38: Sarah dibujando en el aire los círculos. .................................................................................. 62 Ilustración 39: Producción escrita de Sarah, donde se evidencia la estrategia que usa para encontrar la
cantidad de círculos de cualquier figura. ......................................................................................................... 64 Ilustración 40: Uso de medio de objetivación “spinner”. ................................................................................ 64 Ilustración 41: Posible forma en que Sarah ve los términos como dos filas en la base y después unir el centro
a la fila superior. .............................................................................................................................................. 64 Ilustración 42: Hoja de trabajo de Ana Lucía. ................................................................................................. 66 Ilustración 43: Fórmula para las figuras 10000, 853 y 4102 de Juan David. ................................................. 66 Ilustración 44: Fórmula para cualquier figura de Juan David. ....................................................................... 67 Ilustración 45: Figura donde Juan David si sombrea el círculo de la mitad que representa el “uno más”. .. 67 Ilustración 46: Actividad perceptual del Juan David donde realiza deslizamientos en torno al “Spiner”, toca
la figura y acompaña con la mirada sus sentencias. ........................................................................................ 68 Ilustración 47: Manuel describiendo la figura 25 haciendo uso de recursos perceptuales, gestuales y
verbales. ........................................................................................................................................................... 70 Ilustración 48: Término 5 de Manuel con sus posibles determinaciones en la dimensión espacial. ............... 70 Ilustración 49: Explicación de la figura número 25 y 30 de Manuel. .............................................................. 71 Ilustración 50: Fórmula para cualquier término de Manuel. .......................................................................... 71 Ilustración 51: Uso de la fórmula para hallar las figuras 2000 y 10000 en la tarea 2 de Manuel. ................. 71 Ilustración 52: Tarea 3. .................................................................................................................................... 72 Ilustración 53: Sarah indicado con golpes en las hojas 12 más 12 más 1. ...................................................... 73 Ilustración 54: Producción escrita de Sarah al resolver el ítem 5. .................................................................. 74 Ilustración 55: Espacios de los términos dejados intencionalmente en la fase de pilotaje. ............................. 75 Ilustración 56: Operaciones en la hoja de trabajo de Sarah de las figuras 12, 25 y 1500. ............................. 75 Ilustración 57: Primera fórmula concordante para la tarea 3 de Juan David. ............................................... 77 Ilustración 58: Segunda fórmula no concordante para la tarea 3 de Juan David. .......................................... 77 Ilustración 59: Tercera fórmula concordante de Juan David después de la labor conjunta. .......................... 77 Ilustración 60: Manuel muestra el “dos más” que encuentra en lo espacial. ................................................. 78 Ilustración 61: Método inductivo utilizado por Manuel en la tarea 3.............................................................. 79 Ilustración 62: Indicación en la hoja de trabajo de la diferencia de “dos fósforos más”. .............................. 81 Ilustración 63: Los diferentes métodos por ensayo y error de Manuel. ........................................................... 81 Ilustración 64: Manuel señalando el “uno más” en las figuras dadas. ........................................................... 82 Ilustración 65: Tarea 7. .................................................................................................................................... 83 Ilustración 66: Sarah recitando la fórmula para el término t. ......................................................................... 84 Ilustración 67: Uso de la estructura aditiva de las fórmulas que usa Sarah. .................................................. 85
11
Ilustración 68: Patrones figurales realizados por Sarah para representar una secuencia numérica con apoyo
tabular. ............................................................................................................................................................. 86 Ilustración 69: Operaciones de los términos dados en la hoja de trabajo de Juan David. .............................. 87 Ilustración 70: Juan David describiendo cómo encontró la fórmula con un método inductivo teniendo en
cuenta sus determinaciones sensibles de tipo numérico en L24 de la sesión 9. ............................................... 87 Ilustración 71: Respuesta de la pregunta cuatro de la Tarea 7 de Juan David. .............................................. 88 Ilustración 72: Juan David describiendo la figura tres de la tarea 7. ............................................................. 88 Ilustración 73: Respuesta de la pregunta cinco de la Tarea 7 de Juan David. ................................................ 89 Ilustración 74: Fórmulas para términos lejanos de Manuel concordante con lo esperado en la tarea 7. ....... 90 Ilustración 75: Fórmula para calcular cualquier término de la secuencia donde la indeterminancia no es
parte del discurso. ............................................................................................................................................ 90 Ilustración 76: A la izquierda Manuel mostrando la operación para encontrar el número del término con
número 3005 y a la derecha María Paula preguntándole el por qué de la división. ....................................... 91 Ilustración 77: División para encontrar el término a que pertenece el número 3005 y comprobación de su
hallazgo a la izquierda. .................................................................................................................................... 91 Ilustración 78: Manuel haciendo dos golpes y un deslizamiento para decir la fórmula del término p. ........... 93 Ilustración 79: Juan realizando tres golpes en el aire y al mismo tiempo moviendo la cabeza a la derecha
para decir la fórmula del término m, . .............................................................................................. 94 Ilustración 80: María Paula haciendo tres golpes con su dedo índice, hacia el frente, en el puesto y siguiendo
los golpes con la mirada mientras dice la fórmula para el término h. ............................................................. 94
12
Introducción
La preocupación por abordar pensamiento algebraico en edades tempranas no es nueva,
pero su respuesta requiere un estudio muy amplio, que ya se ha venido adelantando desde
diferentes perspectivas.
Al respecto los Lineamientos curriculares para el área de matemáticas (MEN, 1998, p.49)
afirman que “Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los
logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos
matemáticos fragmentados y compartimentalizados”, lo cual supone que el abordaje del
pensamiento variacional debe (y puede) darse desde los primeros años de escolaridad. Este
documento también propone iniciar el estudio de la variación (y por tanto del álgebra)
como un intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes y
además que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más
sofisticado a través de representaciones tabulares, gráficas de tipo cartesiano o sagital,
pictóricas e icónicas, instruccional, mecánica, de las fórmulas y las expresiones analíticas.
Por otro lado tomando ideas de Radford, quien ha investigado sobre el pensamiento
algebraico afirma que es muy poco lo que se sabe sobre dicho pensamiento y aún menos en
edades tempranas, al respecto el autor indica que el pensamiento algebraico es todavía muy
general en su caracterización y requiere mucha más investigación, pues los docentes
abordan pensamiento algebraico desde el uso de símbolos alfanuméricos y después de
haber abordado aritmética necesariamente, lo cual desde la postura de Radford pierde
validez, pues él, reconoce la existencia de una zona de emergencia del pensamiento
algebraico altamente ignorada, donde los estudiantes piensan algebraicamente sin
necesidad del uso del sistema semiótico propiamente algebraico y culturalmente e
históricamente constituido.
Ahora bien se pueden abordar los tres vectores del pensamiento algebraico desde los
medios que el estudiante moviliza en la toma de conciencia del objeto que pueden ser
provenientes de diferentes sistemas semióticos, entre los que se encuentran: el lenguaje
13
propio del álgebra, el lenguaje natural y además todas las expresiones gestuales, rítmicas y
corporales, por ello parece importante resaltar lo mencionado por Moreno (2014):
La verbalización no es la única muestra de la emergencia del pensamiento algebraico,
los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian formas
de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este
sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico.
De los planteamientos anteriores surge el interés de profundizar y poder nutrir lo
investigado en torno al pensamiento algebraico, teniendo en cuenta que la generalización de
patrones es una forma potente para el desarrollo del pensamiento algebraico, al respecto
Arzarello (2006) manifiesta que se deben tener en cuenta las formulaciones que expresan
generalizaciones. La naturaleza multimodal del pensamiento, según este autor, permite
observar actos de generalización a través de fórmulas corpóreas compuestas de acciones,
como gestos, ritmos, miradas, palabras, entre otras; dicha generalización se constituye en el
transcurso de los tres problemas de la generalización a saber el fenomenológico,
epistemológico y semiótico (Radford, 2013a), en el ámbito educativo en el contexto
cultural colombiano se pueden aportar más estudios en torno a evidenciar dichos problemas
en las producciones de los estudiantes y más aún en la evolución de las fórmulas corpóreas.
Se pretende estudiar el paso de los estudiantes por los tres problemas en una tarea de
generalización y enfocándonos en las fórmulas corpóreas que el estudiante moviliza y su
posible evolución a formas más sofisticadas de generalización en la búsqueda del desarrollo
de pensamiento algebraico.
14
Capítulo 1
Planteamiento del problema
De acuerdo con lo planteado por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN,
1998), el estudio de la variación puede ser iniciado desde los primeros grados de
escolaridad en el currículo de matemáticas (p. 51) entendiendo los sistemas algebraicos
como parte del pensamiento variacional, se puede inferir con dicha afirmación que es
posible realizar el tratamiento del álgebra en cualquier grado de escolaridad, en este mismo
sentido afirma Zapatera (2016), que la introducción del pensamiento algebraico desde los
primeros cursos escolares es posible mediante la observacion de patrones, relaciones y
propiedades matemáticas.
Teniendo en cuenta lo anterior se evidencia que desde hace algunos años hay estudios
demostrando el desarrollo de pensamiento algebraico en edades tempranas, sin necesidad
de usar símbolos alfa-numéricos, ni la aritmética como prerrequisito, se reconoce a Kaput
como precursor de estos estudios en lo que denominó “early algebra” o álgebra temprana,
al respecto Vergel (2014a) afirma que:
Conocemos muy poco sobre el pensamiento algebraico y, en particular, sabemos
menos sobre el pensamiento algebraico en niños y jóvenes. La investigación en álgebra
temprana comenzó hace apenas algunos años. El pensamiento algebraico es todavía
muy general en su caracterización y requiere mucha más investigación. (p.20)
Las ideas anteriores muestran que aunque existen investigaciones en álgebra temprana, aún
queda mucho por investigar, por ejemplo, Radford tiene una posición frente al pensamiento
algebraico. Tomando las ideas de Radford (2010b) se define pensamiento algebraico como
una forma particular de reflexionar matemáticamente. Desde nuestras consideraciones
podemos aseverar que el pensamiento algebraico, en tanto saber, es un conjunto de
procesos corporizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente. De
acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por tres
elementos (o vectores) estrechamente relacionados: sentido de la indeterminancia, la
analiticidad y la designación simbólica, siguiendo esas ideas Radford (2010b) afirma que la
15
generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de
introducir el álgebra en la escuela. (p.75)
Por consiguiente, se puede hablar de generalizaciones factuales y contextuales (Radford
2010b), entendiendo la generalización factual desde Radford (2003) como las acciones
ligadas a términos deícticos, gestos y actividad perceptual, al respecto afirma Vergel
(2014a) los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian
formas de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este
sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico.
Lo general o lo indeterminado en este estrato factual de generalización queda sin nombrar.
Por otro lado la generalización contextual hace referencia a un nivel más elevado sin
alcanzar las generalizaciones simbólicas, en este estrado de generalidad la indeterminancia
es explicita, se vuelve objeto del discurso.
Considerando las ideas precedentes, Vergel y Rojas (2013) afirman que:
El trabajo con tareas sobre generalización de patrones figurales parece ser una de las
estrategias para introducir el álgebra en la escuela, pues entre otros aspectos, posibilita
a los estudiantes acercarse a situaciones de variación importantes para el desarrollo del
pensamiento algebraico. (p. 692)
Por lo anterior puede afirmarse que la generalización es una forma de desarrollar el
pensamiento algebraico, es entonces cuando nos encontramos con tres problemas
estudiados por Radford, (2013a) que los estudiantes transcurren en su proceso de
generalización de patrones y que están mutuamente relacionados. Dichos problemas son:
1. Problema fenomenológico: donde el estudiante procede a una serie de
determinaciones1 sensibles para la escogencia de unas similitudes y diferencias de
los términos dados.
2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo
fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin
1 Las determinaciones sensibles posibles constituyen un conjunto extenso: los alumnos pueden fijar su
atención en la forma de los términos, en la cantidad de cuadros que constituyen cada uno de los términos, el
color, el espacio entre ellos, etc. (Radford, 2013a, p.5)
16
necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se
diferencia la generalización aritmética de la algebraica.
3. Problema semiótico: Donde se hace uso de sistemas semióticos para denotar el
objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural.
Estos problemas permiten un análisis de la actividad de generalización de patrones de los
estudiantes permitiendo articularlos con los estratos de generalidad propuestos por Radford,
al respecto parece importante mostrar las formas en que los estudiantes expresan la
generalidad, tomando el hecho de que no necesariamente expresan sus ideas por medio del
lenguaje natural, se puede hablar de fórmulas corporeizadas es decir según Vergel (2014a)
fórmulas expresadas a través de acciones que se despliegan en el espacio y el tiempo,
Radford (2005) se pronuncia al respecto expresando que:
La comprensión y el buen uso del simbolismo algebraico implican la consecución de
una forma cultural, sin embargo, no es la única forma de mostrar pensamiento
algebraico, pues se desconocería el papel de las fórmulas corpóreas; por tanto, el
objetivo es que “el proceso de objetivación permita dar cuenta de los aspectos
conceptuales que, debido a su propia generalidad, no pueden ser completamente
mostrados en el mundo concreto”. (p.1)
Retomando los argumentos anteriores y evidenciando que las fórmulas corpóreas son un
campo que requiere mayor investigación nos encontramos de acuerdo con Vergel (2014a)
al decir que es pertinente y necesario indagar la relación de las producciones de los
estudiantes y la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas, por ello
surge la siguiente pregunta:
¿Qué elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos intervienen en la evolución
de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas en el proceso de generalización de
secuencias de patrones en estudiantes de cuarto de primaria?
17
Antecedentes
En este apartado se presentan algunas investigaciones que se han realizado en torno al
pensamiento algebraico temprano, medios semióticos de objetivación y otros elementos que
permiten dar relevancia y fuerza a esta investigación, además de evidenciar la importancia
de indagar las fórmulas corpóreas y su evolución en cuanto a la generalización de
secuencias de patrones.
Una de las primeras contribuciones a esta investigación se encuentra en Radford (2002)
quien desde el campo de la educación matemática y la teoría de la objetivación realiza un
análisis del signo desde la perspectiva del pensamiento algebraico en dos aspectos. El
primero, la designación de los objetos de discurso en la construcción de narrativas
simbólicas y el significado de afirmaciones simbólicas, el segundo, los problemas surgidos
en las operaciones llevadas a cabo con los signos que relatan dicha narrativa. La actividad
se basó en el planteamiento del siguiente problema verbal: “Kelly tiene 2 caramelos más
que Manuel. José tiene 5 caramelos más que Manuel. Todos juntos tienen 37 caramelos”.
En este estudio se evidencian dificultades de los estudiantes jóvenes en el intento de
producir expresiones algebraicas a partir del lenguaje natural, teniendo en cuenta que la
variable es la cantidad de caramelos de algunos de los personajes del problema. Aquí se
encuentran elementos de juicio para abordar el paso por el tercer problema de la
generalización (Radford, 2013a) el cual es el problema semiótico, además de esto también
se evidencia el tercer estrato de generalidad donde los estudiantes llegan a usar el lenguaje
propio del álgebra. Esto indica que existen avances investigativos en torno a los tres
problemas de la generalización en el estrato factual.
Por otra parte, Radford (2010a) afirma que la generalización en los humanos es un proceso
social, conformado por prácticas propias cambiantes históricamente, asevera que es a través
del proceso visual que se logra generalizar. Por esto se considera importante la
investigación en torno a la generalización de patrones, planteando elementos teóricos y
aplicativos, donde se evidencie como los estudiantes van refinando su mirada en torno a un
objeto matemático en la interacción cultural con otros compañeros, el profesor y el mismo
18
objeto de la actividad. La domesticación del ojo es un proceso largo en el cual llegamos a
ver y reconocer el entorno a partir de los medios culturales.
A través de dicha actividad de generalización de patrones se logra construir fórmulas
encarnadas por medio de movilización de medios semióticos de objetivación como el gesto,
ritmo y lenguaje natural. Se hace énfasis en los recursos que se movilizan y se complejizan
en lo que Vygotsky denomina zona de desarrollo próximo.
Estas fórmulas encarnadas se expresan a través de acciones desplegadas en el espacio y el
tiempo, donde se concluye que pueden evolucionar a formas más sofisticadas por medio de
un refinamiento del ojo pero se requiere mayor investigación. En este sentido, la tesis
doctoral de Vergel (2014a) se constituye en uno de los principales referentes para este
trabajo, ya que esta permite evidenciar lo realizado en Colombia sobre el desarrollo del
pensamiento algebraico en educación primaria. Dicho referente movilizo el interés por
trabajar en el campo del álgebra temprana.
En el trabajo citado anteriormente se manifiesta la necesidad de indagar en el campo del
pensamiento algebraico en primaria, de allí surge la idea de investigar sobre las fórmulas
corpóreas pues el autor afirma que: “en particular, es materia de mayor investigación la
evolución de las fórmulas corpóreas de los estudiantes hacia formas más sofisticadas, lo
cual requiere un refinamiento de la actividad perceptual” (p.12).
La investigación muestra la articulación entre la teoría y la implementación de una serie de
tareas de generalización de patrones y proporciona los siguientes elementos teóricos
(Vergel 2014b):
1. Las generalizaciones que producen los estudiantes podrían no ser tan sofisticadas
entendiendo lo sofisticado como expresiones en términos de signos alfanuméricos.
2. Caracterización del pensamiento algebraico desde los planteamientos de Radford,
por medio de tres vectores: el sentido de la indeterminancia, la analiticidad y la
expresión semiótica.
3. Se debe reconocer que las formulaciones que expresan las generalizaciones de los
alumnos pueden componerse de acciones, tales como gestos, ritmos, miradas,
19
palabras, esto es, de formulaciones que se expresan y se despliegan en el espacio y
el tiempo.
En el primer numeral, el autor expone cómo el uso de los procesos psicológicos surgen de
la actividad humana mediada por instrumentos psicológicos de carácter semiótico. Vergel
(2014b) menciona que “el desarrollo cognitivo parece depender del dominio progresivo de
unos sistemas de mediación simbólica cada vez más complejos” (p.74). En este sentido, la
interacción según Vygotski, es una relación mediada simbólicamente, y se piensa con y a
través de los signos histórico y culturalmente constituidos.
En cuanto al numeral tres Vergel (2016) afirma que los gestos y el ritmo emergen como
medios semióticos de objetivación en una tarea de generalización de patrones; el autor
muestra varias posturas teóricas sobre el gesto y el ritmo en la actividad matemática, lo cual
enriquece las conceptualizaciones que se puedes usar en la presente investigación; define y
ejemplifica conceptos sobre el pensamiento algebraico temprano y una estructuración para
la generalización algebraica de secuencias figurales, pues dicha estructura permite clasificar
las generalizaciones que lleguen a hacer los estudiantes e interpretar sus actuaciones.
En cuanto al pensamiento algebraico temprano y el uso de medios semióticos de
objetivación, Radford (2008) afirma que la transformación de la generalización a través la
evolución de los nodos semióticos hasta llegar a múltiples contracciones semióticas
proporciona que los estudiantes adquieran formas superiores de generalidad algebraica.
En cuanto al estudio de la enseñanza del álgebra en edades tempranas y el uso de
secuencias Zapatera (2016) evidencia que la realización de diferentes tareas en los primeros
grados de escolaridad permite abordar el pensamiento algebraico (corriente denominada
pre-álgebra) haciendo uso de patrones con diferentes atributos (color, tamaño forma u
orientación) concluyendo que si se realiza un trabajo progresivo con los estudiantes se
pueden alcanzar las últimas fases del pensamiento algebraico desde una postura diferente a
la socio cultural.
Finalmente, Radford (2013a) expone la generalización como uno de los procedimientos
principales de la producción de conocimiento, afirmando que está transcurre por medio de
tres problemas mutuamente relacionados:
20
1. Problema fenomenológico: este problema se plantea en la escogencia de unas
determinaciones sensibles, donde participan: la intuición, atención, intención y
sensibilidad, entre otros; para encontrar similitudes y diferencias según la
interpretación que haya hecho el estudiante del objeto.
2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo
fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin
necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se
diferencia la generalización aritmética de la algebraica.
3. Problema semiótico: este se problema se plantea en el uso de sistemas semióticos
para denotar el objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural.
Los referentes mencionados aportan evidencia de algunos estudios relacionados con el
pensamiento algebraico, su relación con la generalización y enseñanza en edades
tempranas.
21
Objetivos
Objetivo general
Identificar los elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos que intervienen
en la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas de generalización de
secuencias de patrones en estudiantes educación primaria.
Objetivos específicos
1. Describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad
matemática con estudiantes de cuarto grado primaria.
2. Determinar elementos que permitan la evolución de fórmulas corpóreas hacia
formas más sofisticadas de generalización de secuencias de patrones en estudiantes
educación primaria.
3. Categorizar los medios semióticos de objetivación que emergen en el transcurso por
los tres problemas de la generalización (fenomenológico, epistemológico y
semiótico) en estudiantes de cuarto grado primaria cuando trabajan secuencias de
patrones.
22
Capítulo 2
Marco teórico
En esta sección se exponen ideas teóricas que se consideran pertinentes para la elaboración
de la investigación. Inicialmente se encuentran ideas sobre la teoría de la objetivación,
definiendo elementos importantes que se trabajan en dicha teoría haciendo énfasis en la
enseñanza-aprendizaje. Posteriormente se definirán y caracterizaran elementos importantes
del pensamiento algebraico, teniendo en cuenta la idea de generalización de patrones.
Sobre la Teoría de la objetivación
La teoría de la objetivación (TO) está dentro de las teorías de tipo sociocultural, donde se
muestra la enseñanza y el aprendizaje como una construcción social, difiriendo de teorías
individualistas en las que se privilegia la trasmisión de saberes y sujetos netamente
cognitivos dejando de lado su realidad cultural.
Por lo anterior surge la teoría de la objetivación donde se evidencia un sujeto de carne y
hueso, por ello es importante iniciar mostrando la forma en que se plantea la educación
desde los planteamientos de Radford (2014) quien afirma que la educación en general y la
enseñanza y aprendizaje en particular trata de saberes y seres, desde una perspectiva
ontológica el ser y el saber no pueden ocurrir de forma separada. Es decir se debe tener en
cuenta que en la enseñanza y aprendizaje deben estudiarse tanto los conocimientos en juego
(es decir el knowing de los alumnos), como la formación del alumno en tanto que sujeto
humano (becoming, es decir una transformación perpetua del sujeto).
Dentro de la TO un principio fundamental es el de labor conjunta entendida como una
actividad humana, este concepto está influenciado por el materialismo dialéctico, donde el
ser humano hace parte de la naturaleza y tiene necesidades que satisface activándose,
moviéndose y no realiza individualmente. La actividad de un sujeto esta mediada por sus
pares y la historia que los objetos llevan. Es este sentido Radford (2018) afirma que:
La característica social de la actividad no desaparece cuando laboramos solos (como
cuando el niño hace su deber de matemáticas en su casa). Podemos estar físicamente
23
solos, pero estamos recurriendo a recursos históricos, culturales y sociales (una
computadora, una calculadora, un lápiz, el lenguaje, la escritura, etc.) que hacen de esa
actividad una actividad social. (p.70)
La actividad en el aula de clase se ve como la forma de producción de saberes y
cooperación humana, donde los estudiantes gastan su energía encontrando gozo y
autorrealización en lo que hacen. Es a través de la labor conjunta que estudiantes y
profesores producen y se coproducen.
En la TO se tiene en cuenta que la enseñanza y el aprendizaje no son actividades separadas,
según Radford (2014) “la enseñanza- aprendizaje es la expresión de una forma de vida: una
labor conjunta que ocurre en un espacio socio-político al interior del cual tiene lugar"
(p.138). Cuando nacemos, nos encontramos en un mundo poblado de significados, un
mundo que ha sido transformado por generaciones pasadas; por ello los objetos que se
encuentran en el mundo llevan una experiencia que depende de la cultura en la que se
desarrollen. Tomando las ideas anteriores los objetos deben empezar a ser reconocidos por
el sujeto, para dicho reconocimiento deben pasar por el denominado proceso de
objetivación, el cual según Radford (2014) define como:
El proceso social, corpóreo y simbólicamente mediado de toma de conciencia y
discernimiento crítico de formas de expresión, acción y reflexión constituidas
históricamente y culturalmente. Es decir que en el proceso de objetivación participan
acciones corporales y simbólicas construidas en un entorno social. (p.141)
Continuando con las ideas anteriores es importante resaltar dentro de la teoría cultural de la
objetivación, los medios semióticos de objetivación, las concepciones teóricas de nodo
semiótico, contracción semiótica y finalmente hablar de elementos característicos del
pensamiento algebraico desde la perspectiva de generalización de patrones.
Medios semióticos de objetivación (MSO): Los medios semióticos de objetivación son
todos aquellos recursos (gestos, artefactos, signos) que moviliza el estudiante y el profesor
en el momento de tomar conciencia y hacer aparecer el objeto. En términos de Radford
(2003) son los “medios utilizados por los individuos que se encuentren en un proceso de
producción de significados, para lograr una forma estable de conciencia, para hacer
24
presente sus intenciones y organizar sus acciones y así adquirir las metas de sus acciones”
(p.4).
Dichos medios hacen parte importante para comprender el significado de las acciones
matemáticas que realizan los individuos, por ello según Vergel (2014a) es importante
identificarlos, analizar su emergencia y evolución.
Moreno (2014) resalta que “dentro de los medios semióticos de objetivación se debe dar
importancia al gesto, según la autora este es uno de los medios más recurrentes (…) en los
estudiantes que les permite comunicar ideas matemáticas abstractas, (…) es decir, los
gestos colaboran a lograr la objetivación del saber" (p.14), se puede decir que los gestos
hacen parte de la comunicación y ayudan a expresar ideas, además Vigotsky (como se cita
en Vergel, 2016) afirma que las dificultades ocasionadas por la comunicación verbal
pueden superarse al acompañar las palabras con gestos; hay que resaltar que la importancia
del gesto no radica solo en superar la dificultad de la comunicación verbal.
Nodos semióticos: En la actividad matemática es común que se usen simultáneamente
varios medios semióticos de objetivación, donde por ejemplo el lenguaje verbal, los gestos
y signos escritos trabajan de manera conjunta para expresar el objeto matemático; cuando
trabajan sistemas o medios semióticos de distinta naturaleza simultáneamente se dice que
aparece un nodo semiótico según Radford (2013b) un nodo semiótico es un segmento de la
actividad semiótica en la que los signos que provienen de diferentes sistemas semióticos se
complementan para lograr una toma de conciencia.
Contracción semiótica: Teniendo en cuenta la idea de nodo semiótico puede verse en
términos de Radford (2008) la contracción semiótica como la evolución de los nodos
semióticos, en tanto la sobriedad en el pensamiento está ligada a la manera como los
recursos semióticos van evolucionando de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más
sofisticadas.
Iconicidad: Desde los planteamientos de Moreno (2014) la objetivación del saber se logra
cuando los nodos semióticos evolucionan, una forma en que esto ocurre es cuando se toman
elementos de labores anteriores que permiten clarificar la labor actual, dentro de la
25
iconicidad se encuentra la orquestación icónica, es el proceso a través del cual los
estudiantes toman gestos o intenciones de otros sujetos para convertirlos en propios.
Sobre el pensamiento algebraico temprano
Como ya se mencionó la teoría de la objetivación surgió como una perspectiva diferente de
concebir la educación matemática, y una preocupación en torno a la enseñanza del álgebra
en la escuela. Este apartado se ocupa de definir rasgos en este último terreno.
Antes de abordar la idea de pensamiento algebraico es necesario aclarar el significado que
adquiere el álgebra desde la teoría de la objetivación, posteriormente se describirán los tres
estratos por los que el estudiante pasa en su proceso de generalización, como parte del
estudio en la teoría de la objetivación hablaremos de los tres problemas al resolver
secuencias de patrones y a partir de ellos se terminará con una breve definición fórmulas
corpóreas.
El álgebra es un lenguaje que comunica de forma sucinta, lo cual facilita su manipulación,
aunque por esta misma razón está dada a la incomprensión por parte de algunos sujetos. A
su vez es una herramienta para comunicar ideas complejas y abstractas, es especialmente
adecuado para expresar declaraciones generales (Mason, Graham, Pimm, y Norman, 2014).
Estos autores afirman que la generalidad es la vida de las matemáticas, y el álgebra es el
lenguaje con el cual se expresa esa generalidad, en este mismo sentido siguiendo a Vergel
(2015), estamos de acuerdo cuando afirma que “la generalización de patrones es
considerada como una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela”
(p.194).
De la idea anterior se destacan dos ideas importantes en el desarrollo de este trabajo, la
primera es la importancia del trabajo sobre secuencias de patrones (ya sea numéricos y
figurales) y las segunda, es la importancia de potenciar el pensamiento algebraico en
estudiantes jóvenes. En cuanto a esta última, se toma pensamiento algebraico desde
Radford (2010b) como una forma particular de reflexionar matemáticamente, en tanto saber
son procesos corporeizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente.
De acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por 3
elementos.
26
1. El sentido de indeterminancia (objetos básicos como incógnitas, variables y
parámetros), aquello opuesto a la determinancia numérica.
2. La analiticidad, como forma de trabajar los objetos indeterminados, es decir, el
reconocimiento del carácter operatorio de los objetos.
3. La designación simbólica o expresión semiótica de sus objetos, esto es, como la
manera específica de nombrar o referir a los objetos. (Vergel 2015a)
Estos 3 vectores o componentes analíticas están estrechamente relacionadas entre sí y dan
forma y sentido a las formas de pensamiento algebraico.
En este pensamiento algebraico Radford (2010c) reconoce tres formas o estratos
caracterizados por los medios semióticos de objetivación movilizados por los sujetos en su
actividad reflexiva, incluyendo percepción, movimientos, gestos o lenguaje natural. Esas
formas de pensamiento algebraico son factual, contextual y simbólico y a continuación
definiremos sus características:
Pensamiento algebraico factual: los medios semióticos de objetivación movilizados son
los gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras. En este estrato
de pensamiento, la indeterminancia no alcanza el nivel de enunciación, pues se expresa en
acciones concretas, por ejemplo, a través del trabajo sobre secuencias de números. Por esto
podemos afirmar que la indeterminancia queda implícita. Por ejemplo, el alumno señala
con la mirada, con su índice, realiza movimiento con un lápiz, dice “aquí”, señala y dice
“más dos” o dice “y así sucesivamente” lo que llama el autor deícticos espaciales o
temporales (Radford, 2010c).
Pensamiento algebraico contextual: Los gestos y las palabras son sustituidos por otros
medios semióticos de objetivación tales como frases “clave”. En este estrato de
pensamiento la indeterminancia es explicita, se vuelve objeto del discurso. La formulación
algebraica es una descripción del término general. Por ejemplo, el estudiante dice “arriba
quito uno” o “dos por la figura más uno” o “# de la figura más para la fila de arriba y # de
la figura más dos para la de abajo. Sumar dos para el total”. Esto significa que los
estudiantes en este estrato de pensamiento tienen que trabajar con formas reducidas de
expresión, lo cual sugiere pensar en la idea de contracción semiótica, en tanto hay
evolución de nodos semióticos (Radford, 2010c).
27
Pensamiento algebraico simbólico: Las frases clave son representadas por símbolos
alfanuméricos propios del álgebra. Por ejemplo, mediante expresiones como ó
. En este estrato de pensamiento “hay un cambio drástico en la manera de designar
los objetos del discurso”, a través de signos alfanuméricos del álgebra, lo cual hace pensar
en otro estado del proceso de objetivación de contracción semiótica (Radford, 2010b). En el
trabajo que abordaremos nos centraremos en los dos primeros estratos ya que es de ahí
donde surge la idea de fórmulas corpóreas, que son parte de nuestro objeto de estudio, y
que profundizaremos en ellas una vez definidos los tres problemas que están presentes en el
trabajo con generalización de patrones (Radford, 2010c).
El primero de los tres problemas que se abordara es el fenomenológico y la intención
perceptual en donde para generalizar una secuencia los estudiantes atienden a una serie de
determinaciones sensibles para encontrar similitudes y diferencias. Entre las características
en la que los estudiantes se pueden fijar está la cantidad de elementos de los términos, en la
forma que estos adquieren, el color, el espacio entre los elementos de cada término entre
muchos otros. El estudiante toma algunas de estas características desde la comprensión que
hace del objeto y la intención con la que lo aborda. Esa intención fenomenológica que el
estudiante tiene no es la misma que la del profesor, si lo fuera, no estaría por encima de las
capacidades del estudiante.
Muchas veces la escogencia de esas similitudes y diferencias no es la más adecuada para
abordar la tarea, por ejemplo el estudiante puede limitarse a la dimensión cuantitativa,
perdiendo la forma en la que el término fue dado y que le ayudaría a realizar su proceso de
generalización.
En las tareas que fueron abordadas por Radford (2013a) se les pedía a los estudiantes
realizar los términos no dados 5, 6 y 7 de la secuencia. Para hacer esto los estudiantes han
hecho una generalización de una propiedad común que encontraron en los términos dados
(por ejemplo que entre un término y el siguiente hay dos elementos de más) y afirman que
para encontrar cualquier otro término deben ir sumando dos elementos más hasta llegar al
término solicitado, tarea que deja de ser práctica cuando se piden términos muy lejanos
como el 25, 100 o el número 1000. Otros estudiantes más experimentados realizan un
28
trabajo de ensayo y error para encontrar la expresión correcta que pueda definir todos los
términos, ensayando con números pequeños su validez.
Estos procedimientos se encuentran en el problema epistemológico. Ninguno de ellos
cumple con lo que consideramos pensamiento algebraico, en cambio, si pueden
considerarse aritmético.Se puede considerar que el estudiante hace una generalización
algebraica cuando según Radford (2013a):
1. Se captura o identifica una característica común, sobre algunos elementos de la
secuencia, la toma de conciencia de esta característica se hace en el trabajo sobre un
terreno fenomenológico de observación de algunos términos.
2. La generalización o aplicación de esta característica común se hace sobre términos
cercanos no dados de la secuencia. En otras palabras se hace una generalización de
la característica común C (o como Pierce lo llamaría una abducción), y C se
convierte en hipótesis H.
3. Se usa esta propiedad común dada para deducir una expresión directa que permite
calcular el valor de cualquier término no dado de la secuencia.
Cabe resaltar en este punto que cuando la característica común C solo es utilizada para
pasar de un término a otro, se llega a una generalización aritmética, es decir, no se deduce
una expresión directa que permite calcular cualquier término. Por otro lado cuando el
estudiante induce una fórmula por ensayo y error, no se hace uso sino de la propiedad
numérica de forma aritmética y por tanto, tampoco corresponde a una generalización
algebraica. Este proceso se evidencia en el siguiente diagrama:
Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a).
29
No siempre que el estudiante use símbolos alfanuméricos está haciendo uso de su
pensamiento algebraico, de la misma forma que no siempre que esté ausente el lenguaje
propio del álgebra, se puede decir que el estudiante no posee pensamiento algebraico.
Como se mencionó anteriormente existen otras formas de manifestar pensamiento
algebraico (factual y contextual, en estas formas la generalización algebraica puede ser
efectuada a través de otros sistemas semióticos Radford (2013a).
Por ejemplo en Radford (2013a) los alumnos llegaron a construir una fórmula encarnada
en la acción y en el lenguaje y que se puede aplicar a cualquier término particular. En
palabras de Radford:
En el caso del término 25 la fórmula es 25 + 25 + 1. Pero lo alumnos pueden aplicarla
ahora a otros términos. Otro alumno propone el término 50, y dice: 50 + 50 + 1. La
encarnación (embodiment) de la fórmula en la acción y en el lenguaje natural es
potente, pero tiene sus límites. (Radford, 2013a, p. 12)
En esta fórmula encarnada lo indeterminado no es objeto del discurso pero si aparece
instanciada en algunos de sus términos (lejanos y cercanos), para que esto ocurra habrá que
mover la actividad de enseñanza-aprendizaje a otros niveles de generalidad en el que
aparecerán, del lado de los alumnos (estudiantes), nuevas formas de conciencia
mediatizados por el uso más abstracto del lenguaje oral y escrito (p.12).
Con los planteamientos expuestos se da cuenta de los principales elementos teóricos
necesarios para comprender y abordar la pregunta de investigación para posteriormente
delimitar la metodología implementada.
30
Capítulo 3
Metodología
Enmarcamos la metodología desde un enfoque cualitativo donde, según Vasilachis (2006),
la investigación cualitativa es interpretativa, inductiva, multimetódica y reflexiva. Emplea
métodos de análisis y de explicación, flexibles y sensibles al contexto social en el que los
datos son producidos. Se centra en la práctica real, situada, y se basa en un proceso
interactivo en el que intervienen el investigador y los participantes. (Vasilachis, y otros,
2006, pág. 29)
Teniendo en cuenta nuestro objeto de estudio y pregunta de investigación enmarcada en la
perspectiva de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006) se
realizará un análisis multimodal. Dicho análisis, según Arzarello (2006) debe tener en
cuenta la relación de los diferentes recursos semioticos movilizados durante la actividad
(Lenguaje escrito, lenguaje hablado, gestos, acciones, etc) tomando como referencia el
ciclo inspirado en Radford (2010b) en donde se desarrollan las siguientes fases: diseño de
las actividades de clase, implementación de las actividades de clase, interpretación de los
datos y generación de teoría.
En el presente desarrollo metodológico se tomará la estructura propuesta por Pantano
(2014) la cual está constituida por las siguientes fases: fase 1 de diseño de las tareas, fase 2
de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase 4 de
interpretación de los datos, como se observa en dicha estructura han sido modificadas las
dos últimas fases, ya que no se generará teoría; es importante hacer evidente la recolección
de datos previamente a su interpretación, ya que se adapta a los propósitos de la presente
investigación.
31
Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal.
(Radford, 2010b) Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014)
Los instrumentos de recolección de datos serán las producciones de los estudiantes, se
tomaran vídeos, registros fotográficos, entrevistas y producciones escritas; teniendo en
cuenta la fase de recolección de datos, se asumirán las consideraciones metodológicas de
Vergel (2016) donde la recolección de información estuvo precedida por el diseño previo
de tareas desarrollado en cuatro fases (Ver ilustración 4):
En la primera fase, se graban en vídeo todas las actividades de clase, por un lado la
sesión de clase completa y, por otro, discusiones focalizadas de algunos grupos en el
aula de clase en el momento de resolver tareas. La segunda fase refiere a la obtención
de hojas de trabajo de cada estudiante, advirtiendo que si la actividad no terminaba en
una sesión, las hojas de trabajo se recogían y se entregaban nuevamente en la siguiente
sesión. Las fases tres y cuatro hacen referencia, respectivamente, a la transcripción de
todos los vídeos correspondientes a las sesiones de trabajo y al análisis de vídeos y de
las hojas de trabajo en los cuales había evidencias de los procesos de resolución de las
tareas sobre generalización de patrones. (Vergel,2016, p.25)
32
Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016).
Se debe resaltar que el análisis de los datos se dará a la luz de la teoría recolectada en el
marco teórico, prestando especial atención a los medios semióticos de objetivación
movilizados por los estudiantes, con el fin de centrar nuestra atención en la evolución de las
fórmulas corpóreas.
Para la elaboración de las tareas se tuvo en cuenta una fase de pilotaje realizada con 5
estudiantes de grado tercero de un colegio privado en Bogotá. En el propósito de la tarea se
encontraba la discusión en grupos de trabajo, sin embargo los estudiantes trabajaron de
manera individual y posteriormente socializaron sus respuestas. Con la aplicación del
pilotaje se esperaba observar la emergencia de algunos medios semióticos de objetivación y
el transcurso por los tres problemas de la generalización.
Elaboración de tareas y pilotaje
Las tareas que se plantearon estaban relacionadas con la generalización de patrones, las
tareas 1 y 2 son tareas de patrones figurales con apoyo tabular. La tarea 1 es tomada y
METODOLOGÍA Recolección de los datos
Cuatro fases
1. Grabación en video
4. Análisis
Las clases
Videos
Posterior a la fase 1 Diseño de tareas y
pilotaje
Transcripciones
Diario de campo
Discusiones grupales
2. Obtención de hojas de trabajo Al finalizar cada sesión
3. Transcripción de los videos
Hojas de trabajo
33
adaptada de Godino y Font (2003) se adaptó con el propósito de fijar la atención de las
determinaciones sensibles de los estudiantes en los “fósforos” y no en los triángulos.
Tarea 1
Nombre: ________________Edad: ________Curso: ______________Fecha______________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja hasta la figura 6 2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.
Ilustración 5: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
En la fase de pilotaje los estudiantes logran crear sus propias generalidades, aunque no son
las que matemáticamente se esperan puede observarse lo que afirma Radford (2015) al
decir que los estudiantes dejan de lado determinaciones espaciales y tienden a fijarse en el
conteo, como se observa en la ilustración 6.
Ilustración 6: Determinaciones en la dimensión espacial en la tarea 1 etapa de pilotaje.
Es importante destacar que al ser la primera vez que los estudiantes se encuentran con este
tipo de tareas hace que no tengan claridad de su forma de proceder y sientan un poco de
temor, esto implica que los medios semióticos de objetivación de los estudiantes no surjan
34
de manera tan natural, por lo tanto se observa que la tarea 1 puede ser implementada pero
no como una tarea inicial.
La tarea 2 es tomada y adaptada de Radford (2013a) se plantea con el propósito de permitir
una familiarización de los estudiantes con este tipo de tareas, además de poder evidenciar
los medios semióticos de objetivación que permitan generar en los estudiantes una fórmula
por ensayo y error como lo afirma Radford (2013a), en la fase de pilotaje se observa que los
estudiantes identifican una comunalidad pero no se evidencia que la conviertan en
hipótesis, tal como se muestra en la ilustración 7. Se considera que la tarea debe ser
propuesta como tarea inicial, ya que facilita un acercamiento a tareas de generalización.
Ilustración 7: Resultados de la tarea 2 donde el estudiante encuentra una característica común.
Se propone una tarea 2.1 con el fin de observar las determinaciones sensibles de los
estudiantes, en la fase de pilotaje no se alcanza a hacer aplicación de dicha tarea, sin
embargo se considera importante su implementación debido a que es una tarea ya aplicada
por Radford (2013a) y es necesario contrastar los resultados en torno a los tres problemas
de la generalización con la misma.
Tarea 2
Nombre: ___________________Edad:____________Curso:_______Fecha:____________ Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja hasta la figura 6
2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.
35
3. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 20?
4. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 100?
5. Explica un procedimiento para calcular el número de cuadrados de cualquier figura.
Tarea 2.1
Santiago dibujo la figura 6 que se observa a continuación:
¿Santiago dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?
Ilustración 8: Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a y tarea 2.1 “Término de
Monique” (Radford 2013a).
Después de realizar varias tareas figurales con apoyo tabular, se considera importante
observar el proceder de los estudiantes con tareas numéricas y así mismo evidenciar los
medios semióticos que emergen, con la tarea 3 se evidencia que él posiblemente encuentra
una generalidad, aunque no da sentencias contundentes para conocer su característica
común, pues a diferencia de las secuencias numéricas no tiene la forma de verificar con
certeza sus afirmaciones.
Ilustración 9: Posible generalidad en la tarea 3.
36
En la tarea 3 el estudiante responde todas las preguntas dejándose guiar por su intuición y
sus determinaciones en la dimensión numérica. Se decide llevar esta tarea a la fase de
aplicación sin cambios pero en la fase de aplicación se cambiará la secuencia de 3n+1 por
una 3n+2 debido a que todas las tareas anteriores tienen un término independiente de 1, esta
sería la única a la que se le suman dos.
Tarea 3 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Calcula el término 5. 2. Calcula el término 10 3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? Explica cómo encontraste la
respuesta. 4. Explica un procedimiento para calcular el número de cualquier término.
Ilustración 10: Tarea 3 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a .
Tarea 4 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Dibuja hasta la figura 6.
2. Calcula la cantidad de cubos de la figura 12 sin dibujarla. Explica como lo haces. 3. ¿Cuántos cubos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos cubos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de cubos de cualquier figura.
Ilustración 11: Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a
37
Tarea 5 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja hasta la figura 6.
2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.
Ilustración 12: Tarea 5 secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a
Reformulación de las tareas y fase de aplicación
Posterior a la fase de pilotaje se realizó una reformulación de las tareas y se decide enfocar
la aplicación de las tareas a estudiantes de grado cuarto de primaria. No se aplicaron las
tareas 4 y 5 debido a su complejidad numérica de la generalización para estudiantes de esa
edad, se formularon 3 tareas adicionales para un total de 7 y se cambió el orden para
presentar las tareas a los estudiantes (Ver Tabla 1).
Se decide hacer implementación de un mayor número de tareas figurales con un total de 6 y
se fórmula una tarea numérica con apoyo tabular con el propósito de poder evidenciar una
contracción semiótica de las fórmulas encarnadas a fórmulas enmarcadas en el álgebra de
tipo simbólica y que tenga más influencia del conocimiento cultural e histórico.
A continuación se presentan las tareas para la fase de aplicación con las preguntas
correspondientes pero sin los espacios de respuesta para los estudiantes, las tareas finales
presentadas y escaneadas podrán ser consultadas en los anexos del presente trabajo.
38
Tarea 1 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja hasta la figura 6.
2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.
3. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 100?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de cuadrados de cualquier figura.
Ilustración 13: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Tarea 1.1 Tomás dibujo la figura 6 que se observa a continuación:
¿Tomás dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?
Ilustración 14: Tarea 2.1 “Término de Monique”. (Radford 2013a)
Tarea 2 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
39
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja la figura 5 y la figura 6.
2. Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin dibujarla. Explica cmo lo haces.
3. ¿Cuántos círculos tiene la figura 30?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de círculos de cualquier figura.
Ilustración 15: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Tarea 3 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja hasta la figura 6. 2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 20? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.
Tarea 4 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
40
Ilustración 16: Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Ilustración 17: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Tarea 5 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja la figura 4.
2. Calcula la cantidad de hexágonos de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.
3. ¿Cuántos hexágonos tiene la figura 20?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de hexágonos de cualquier figura.
Ilustración 18: Tarea 5 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Tarea 6
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja la figura 4 y la figura 5.
2. Calcula la cantidad de triángulos de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.
3. ¿Cuántos triángulos tiene la figura 30?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de triángulos de cualquier figura.
41
Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Dibuja la figura 7.
2. Calcula la cantidad de cuadrados grises de la figura 23 sin dibujarla. EXPLICA CÓMO LO
HACES.
3. EXPLICA UN PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR EL NÚMERO DE CUADRADOS
GRISES DE CUALQUIER FIGURA.
4. Tomás quiere construir la figura 31. Explica lo que debe hacer para construirla.
5. Tomás tiene una figura de esta secuencia. Él usó exactamente 48 cuadrados grises. ¿A qué
número de figura corresponde? Explica la manera como hallaste la respuesta.
6. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a clase en donde le expliques con
claridad y con todos los detalles cómo procederes para calcular rápidamente el número de
cuadrados grises de la figura 700.
Ilustración 19: Tarea 6 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .
Esta tarea se inserta después de la fase de pilotaje y estando en la fase de aplicación ya que
los estudiantes estaban acostumbrados a tener secuencias de patrones en donde la constante
fuese 1. En este caso la constante es cero (o no tiene constante) y se pretende evidenciar
cómo las tareas anteriores influyeron en la generalización de patrones.
Tarea 7 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Calcula el término 5. 2. Calcula el término 10.
42
3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? Explica como encontraste la respuesta.
4. Explica un procedimiento para calcular el número de cualquier término.
Ilustración 20: Tarea 7 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a .
Aplicación de las tareas
En esta etapa se empieza con la aplicación de las tareas en una institución privada del norte
de Bogotá, con 10 estudiantes de cuarto grado con edades entre los 9 y 10 años y los días
sábados de 10:00 am a 12:00 pm. En este proceso observamos la presentación de estas
secuencias estaba provocando en los estudiantes la idea que en todas las secuencias el
término independiente sumado siempre corresponde a 1, ya que así es en las tareas 1 a 6.
Adicionalmente, en la tarea 6 se insertan las preguntas 5 y 6 que pretenden aportar datos a
la investigación acerca de cómo los estudiantes hacen uso de la fórmula encarnada y la
manipulan para encontrar el número del término dado la cantidad de elementos de este, o
dicho de otra forma, encuentran una relación de la función inversa.
En estas dos últimas tareas se hace especial énfasis en la justificación de las respuestas en
las preguntas 2 y 3, esto para poder evidenciar las interpretaciones de las determinaciones
sensibles en la dimensión espacial y numérica que los estudiantes tienen frente a la tarea.
Tarea 7 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________
Observa la siguiente secuencia:
Teniendo en cuenta la información anterior:
1. Calcula el término 19.
2. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? EXPLICA CÓMO ENCONTRASTE LA
RESPUESTA.
3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 29? Explica como lo haces.
4. Explica un procedimiento para calcular cualquier término.
5. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a clase en donde le expliques con claridad
y con todos los detalles como procederes para calcular rápidamente el número que
43
corresponde al término 5753.
Ilustración 21: Cambio de la tarea número 7 en la fase de aplicación. Secuencia numérica con apoyo tabular
correspondiente a .
Como se mencionó anteriormente esta tarea fue sujeta a cambios con el fin de encontrar
más datos para la investigación. La fórmula de la generalización cambió a una secuencia
del tipo 3n+2 y se adiciona la pregunta 5 con el objetivo de evidenciar cómo los estudiantes
hacen uso de la fórmula encontrada con términos lejanos, en este caso el 5753. En esta tarea
no se introduce la pregunta de relación funcional inversa (como en la tarea anterior) ya que
los estudiantes no han tenido contacto con secuencias numéricas con apoyo tabular.
44
Tabla 1: Descripción de las tareas Las tareas escalan en el nivel de dificultad para propiciar la generalización de patrones de diferentes características en los estudiantes, pasando por generalizaciones de
secuencias correspondientes a ; dedicándole dos, tres, una y una tarea respectivamente.
Tareas
Clasificación de la
secuencia * Preguntas Justificación
FT NT EF EN
Tarea 1: Tomada y
adaptada de Radford
(2013a).
X
1. Dibuja hasta la figura 6.
2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin
dibujarla. Explica como lo haces.
3. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 100?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de
cuadrados de cualquier figura.
Empezar la aplicación de las tareas con una secuencia ya probada
por Radford y de donde emerge nuestro problema de investigación
en el contexto Colombiano.
Las primeras tres preguntas son adaptaciones de la tarea original,
preguntando por términos cercanos y lejanos, así como de un
procedimiento para hallar la cantidad de elementos de cualquier
figura (indeterminancia).
Tarea 1.1.: Tomada
y adaptada de
Radford (2013a).
X ¿Tomás dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?
Evidenciar si la escogencia en las determinaciones sensibles en la
dimensión espacial fue acertada por parte del estudiante para el
desarrollo de la tarea 1.
Tarea 2: Tomada y
adaptada de un
documento de la
Tufts University
((2004).
X
1. Dibuja la figura 5 y la figura 6.
2. Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin
dibujarla. Explica como lo haces.
3. ¿Cuántos círculos tiene la figura 30?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de
círculos de cualquier figura.
Continuar la actividad con una tarea de un nivel de complejidad
más alto con una figura que, creemos, es más intuitiva.
Los términos cercanos usados son mayores que en la anterior, pero
los lejanos se reducen.
Se diferencia uno de los elementos de una tonalidad oscura y
representa la suma de una constante en estos casos uno.
Tarea 3: Tomada y
adaptada de una
secuencia propuesta
por Godino y
Font(2003).
X
1. Dibuja hasta la figura 6.
2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin
dibujarla. Explica como lo haces.
3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 20?
4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100?
5. Explica un procedimiento para calcular el número de
fósforos de cualquier figura.
Cambia el uso del tipo de elementos, de figuras geométricas
regulares a los clasicos problemas con fosforos. Se inserta una
pregunta donde se pregunta por un termino cercano pero mayos a
los usados anteriormente.
Esta item pregunta por una relacion funcional directa.
Tarea 4: Tomada de
Centro de
Innovación en la
Enseñanza de
Matemáticas
(CIMT, 2005).
X
1. Dibuja la figura 4 y la figura 5.
2. Calcula la cantidad de triángulos de la figura 10 sin
dibujarla. Explica como lo haces.
3. ¿Cuántos triángulos tiene la figura 30?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de
triángulos de cualquier figura.
Esta actividad es parecida a la número 2 pero sus elementos no
están con un espacio intermedio, como en la tarea 1, por esto se cree
que el estudiante debe adquirir una habilidad previa para manejar
este tipo de patrones.
De igual forma se diferencia uno de los elementos de una tonalidad
oscura y representa la suma de una constante en estos casos uno
Tarea 5: Tomada de
Centro de
Innovación en la
X
1. Dibuja la figura 4.
2. Calcula la cantidad de hexágonos de la figura 10 sin
dibujarla. Explica como lo haces.
Continúa la actividad con una tarea de un nivel de complejidad más
alto, ya que la generalización es 6n+1 y las figuras son hexágonos
regulares.
45
Tabla 1: Descripción de las tareas.
Enseñanza de
Matemáticas
(CIMT, 2005).
3. ¿Cuántos hexágonos tiene la figura 20?
4. Explica un procedimiento para calcular el número de
hexágonos de cualquier figura.
Los términos cercanos usados son mayores que en la anterior, pero
los lejanos se reducen.
Tarea 6: Tomada de
Centro de
Innovación en la
Enseñanza de
Matemáticas
(CIMT, 2005).
X
1. Dibuja la figura 7
2. Calcula la cantidad de cuadrados grises de la
figura 23 sin dibujarla. EXPLICA COMO LO
HACES.
3. EXPLICA UN PROCEDIMIENTO PARA
CALCULAR EL NÚMERO DE CUADRADOS
GRISES DE CUALQUIER FIGURA.
4. Tomás quiere construir la figura 31. Explica lo
que debe hacer para construirla.
5. Tomás tiene una figura de esta secuencia. Él usó
exactamente 48 cuadrados grises. ¿A qué número de
figura corresponde? Explica la manera como hallaste
la respuesta.
6. Escribe un mensaje a un compañero, que no
asistió a clase en donde le expliques con claridad y con
todos los detalles como procederes para calcular
rápidamente el número de cuadrados grises de la figura
700.
Esta tarea se inserta después de la fase de pilotaje y estando en la
fase de aplicación ya que los estudiantes estaban acostumbrados a
tener secuencias de patrones en donde la constante fuese 1. En este
caso la constante es cero (o no tiene constante) y se pretende
evidenciar como las tareas anteriores influyeron en la
generalización de patrones.
Adicional a esto se insertan las ´preguntas del tipo 5) y 6) que
pretenden aportar datos a la investigación acerca de cómo los
estudiantes hacen uso de la fórmula encarnada y la manipulan para
encontrar el número del término dado la cantidad de elementos de
este, o dicho de otra forma, encuentran una relación de la función
inversa.
En estas tareas se hace especial énfasis en la justificación de las
respuestas en las preguntas 2) y 3), esto para tener evidenciar las
interpretaciones de las determinaciones que los estudiantes tienen
frente a la tarea.
Tarea 7:
Elaboración
autónoma apoyadas
en las tareas de las
anteriores.
X
1. Calcula el término 19.
2. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100?
EXPLICA COMO ENCONTRASTE LA
RESPUESTA.
3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 29?
Explica cómo lo haces.
4. Explica un procedimiento para calcular cualquier
término.
5. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a
clase en donde le expliques con claridad y con todos
los detalles como procederes para calcular rápidamente
el número que corresponde al término 5753.
Esta tarea pertenece a una generalizacion 3n+2 y es netamente
numérica. Busca indagar mas profundamente en el aspecto
epistemológico de la generalizacion.
Las preguntas son similares a las tareas anteriores pero sin patrones
figurales.
* FT: Figural con apoyo tabular; NT:Numerica con apoyo tabular; EF: Exclusivamente figural; EN: Exclusivamente numérica.
46
Recolección de la información
Descripción de la población
Las tareas fueron aplicadas en una institución de carácter privado al norte de la ciudad de
Bogotá con un total de 10 estudiantes de grado cuarto con edades de 9 a 10 años. Para la
aplicación se realizaron 9 sesiones los días sábados en las instalaciones del colegio entre
mayo y agosto del 2017, con un tiempo aproximado de 2 horas cada una. Para la
recolección de la información se tienen en cuenta las cuatro fases propuestas por Miranda,
Radford y Guzmán (2007).
Fase 1: Grabación en vídeo de las actividades de clase:
Para esto, se contó con una cámara de vídeo que capturó algunas sesiones completas y en
otros momentos discusiones focalizadas de algunos grupos en el momento de resolver las
tareas. La mayoría de las veces los vídeos fueron tomados por la docente investigadora
mientras el docente investigador interactuaba con los estudiantes. Estas grabaciones fueron
guardadas por sesión de clase.
Fase 2: Obtención de las hojas de trabajo de cada estudiante:
Al finalizar cada sesión se recogen las hojas de trabajo, en caso de no terminar la tarea se
entregaban nuevamente la siguiente sesión, se solicitó escribir con esfero, no borrar ni
tachar lo realizado a no ser que fuese necesario para comunicar algo. Todas las hojas de
trabajo y hojas adicionales fueron escaneadas archivadas por tarea y por estudiante para
facilitar el acceso a las imágenes.
Fase 3: Trascripción de las sesiones:
Las tres primeras sesiones son transcritas en su totalidad, sin embargo para evitar la
saturación de información se seleccionan los videos y los fragmentos que representan un
dato, estos son denominados como segmentos salientes de actividad y son los que se
transcriben (Ver anexos de las transcripciones). Las anotaciones y transcripciones se hacen
según Vergel (2014a) de la siguiente forma:
Es necesario anotar, para efectos de claridad en los diálogos (transcripciones de los
videos) presentados, que las participaciones de los estudiantes fueron caracterizadas
por líneas (e.g., L1, L2,…), cada una de las cuales indica la ocasión en la que un solo
estudiante habló. Si un grupo de estudiantes responde en coro, escribiremos
“Estudiantes en coro”. El número de línea vuelve a comenzar cuando cambiamos de
47
tarea. En cada línea se escribió, en letra tipo cursiva y entre corchetes ([…]), si lo dicho
por el estudiante fue acompañado de algún gesto o de algún símbolo escrito. Algunas
palabras aclaratorias que sirven para dar coherencia a las elocuciones de cada
participante fueron también escritas en ese tipo de letra y entre esos signos
parentéticos. Los puntos suspensivos (…) son utilizados para indicar breves pausas
hechas por parte de los estudiantes y de la profesora durante sus participaciones. Estos
diálogos están acompañados, en la medida de lo posible, de las producciones en las
hojas de trabajo en donde planteamos las tareas y de imágenes que reconstruyen
algunos episodios de los videos y que muestran la movilización de medios semióticos
de objetivación en la actividad matemática de los estudiantes. (p. 98)
En nuestro caso las líneas comenzarán como L01, L02, L03... iniciando de nuevo con la
numeración en los cambios de sesión, es importante resaltar que a medida que se hacen las
transcripciones se toman las imágenes correspondientes a las hojas de trabajo y/o a
imágenes del video que contienen un dato potencial. Para no transcribir todo el volumen de
información se observan todos los videos y se seleccionan aquellos que pueden contribuir a
la solución de la pregunta de investigación. Por último, no se analiza la actividad de todos
los estudiantes sino de tres seleccionados teniendo en cuenta su asistencia y participación
en la totalidad de las sesiones, de igual forma en el análisis aparecerán ocasionalmente los
demás debido a la labor conjunta.
Fase 4: Análisis de video y hojas de trabajo:
Se realiza un análisis multimodal de los datos obtenidos, donde según Arzarello (2006) se
debe tener en cuenta la relación de diferentes recursos semióticos movilizados durante la
actividad.
Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación y siendo coherentes con la teoría
bajo la cual se suscribe, se toma como fuente de análisis los medios semióticos de
objetivación que movilizan los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones, de forma
que se pueda dar evidencia de ciertos nodos semióticos, haciendo énfasis en aspectos
fenomenológicos, epistemológico y semióticos que emerjan; se realizará un análisis
multimodal de la actividad, donde se pueda mostrar algunas contracciones semióticas y así
poder evidenciar una posible evolución de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más
sofisticadas.
48
Capítulo 4
Análisis multimodal
Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación y siendo coherentes con la teoría
bajo la cual se suscribe, se tendrá en cuenta para el análisis los medios semióticos de
objetivación que movilizan los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones, de forma
que se pueda dar evidencia de ciertos nodos semióticos, haciendo énfasis en aspectos
fenomenológicos, epistemológico y semióticos que emerjan; se realizó un análisis
multimodal de la actividad, donde se pueda mostrar algunas contracciones semióticas y así
poder evidenciar una posible evolución de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más
sofisticadas.
Actividad en la tarea 1
Tarea 1: Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a .
Ilustración 22: Tarea 1.
Se inicia la sesión aclarando las condiciones básicas para la realización de las tareas de
acuerdo a la TO como lo son el trabajo de manera grupal, que las hojas de trabajo se
marcan con los datos solicitados y se escribe siempre con esfero. En esta primera sesión se
pretende plantear una tarea ya utilizada en investigaciones anteriores en el marco de la TO
con el fin de familiarizar a los estudiantes con este tipo de tareas y la forma de trabajar en
las sesiones de clase.
En el desarrollo de esta tarea se hallaron determinaciones sensibles en la dimensión
espacial y numérica que permitió a los estudiantes responder las preguntas que se les hacía.
Algunas de estas determinaciones tienen sentido para el estudiante aunque no son correctas
si consideramos el objetivo de la tarea. Sin embargo esto les permite empezar a comprender
cómo se comportan los términos de la secuencia. En los estudiantes emergen las primeras
fórmulas expresadas a través del cuerpo y el lenguaje natural oral y escrito.
49
Actividad que involucra a Sarah en la tarea 1
A continuación presentamos un segmento de actividad donde se evidencian algunos
aspectos que intervienen en las fórmulas corpóreas. En este caso un fragmento de
transcripción de la sesión 1 de las estudiantes Sarah y Ana Lucía.
L137. Profesor: Por favor explícame la última respuesta, esa última respuesta, ¿quién
quiere explicarla de las dos?
L138. Estudiantes al tiempo (Sarah y Ana Lucía): Yo.
L139. Profesor: Ella levantó primero la mano, primero tú y luego tú, [Señalando Sarah a
Ana Lucía respectivamente].
L140. Ana Lucía: Acá nos dicen que expliquemos el procedimiento para calcular el número
de cuadros de cualquier figura, y acá nos inventamos una figura 8 [Señala la hoja donde se
encuentra la figura 8].
L141. Profesor: Okey.
L142. Ana Lucía: Y acá [leyendo y señalando la hoja] hicimos que en los cuadros de arriba
tenía uno más que el de abajo y el de abajo tenía uno menos. Porque en la figura uno, acá
tenía uno [refiriéndose al cuadro de abajo] acá tenía uno más [refiriéndose a los cuadros
de arriba] y acá uno menos [refiriéndose al cuadro de abajo nuevamente].
Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1.
La estudiante se apoya en el término número 1 para caracterizar la forma de las figuras
enfatizando que en la fila de arriba hay “1 cuadrado más” (ver Ilustración 25), la
estudiante muestra una intención perceptiva hacia la estructura espacial al descomponerla
en dos (Radford, 2017). Desde el campo fenomenológico estas determinaciones sensibles
50
permiten en el campo epistemológico y semiótico encontrar fórmulas que permiten hallar
términos cercanos y lejanos.
En el siguiente fragmento de la sesión dos se evidencia cómo las estudiantes después de
trabajar en la tarea 1 por un tiempo y de discutir en las respuestas, pueden dar cuenta de una
fórmula apoyada por frases claves y deícticos, haciendo uso de las determinaciones
sensibles en la dimensión espacial ya que descompone la figura en dos partes “arriba y
abajo” (ver Ilustración 26) y la diferencia entre las filas es “1 cuadradito más” (ver
Ilustración 25) que encontraron al enfrentarse por segunda vez a la tarea, se puede decir que
en las declaraciones de Sarah se quiere hacer referencia a todas las figuras de la secuencia y
las expresa por medio de un nodo semiótico donde involucra gestos, medios lingüísticos,
perceptivos y escritos.
L46. Sarah: En lo que yo le expliqué, como acá decía la secuencia, entonces lo que yo
entendía era acá una menos [refiriéndose a la parte inferior de la figura] y acá una más
[refiriéndose a la parte superior de la figura]. Aquí como decía calcular la cantidad de
cuadrados de la figura 10, aquí sumamos 100 más 101 y en la 1.000 sería 1.000 y 1.001.
Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura número mil.
L48. Mariana: Sarah, pero espera no entiendo, acabo de contar los cuadros y me da 10,
mira, 1, 2, 3, 4, 5 (…) 1, 2, 3, 4 y 5, sería 10.
L49. Sarah: Pero este [señala el cuadro sombreado], sería uno más. Uno más arriba y uno
menos abajo.
L50. Mariana: Bueno.
L51. Sarah: Y acá para la figura 100, sumamos 100 y 101, eso nos da 201. Y acá
explicamos los cuadros de arriba tienen uno más que los de abajo.
L52. Profesora: Digamos si yo le quisiera explicar a alguien que no estuviera acá, digamos
que tú le quieres explicar a Mateo y no tienes la hoja. Le quieres explicar eso que me estás
explicando a mí sin la hoja.
L53. Sarah: ¿Sin la hoja?
51
L54. Profesora: Sí, sin la hoja. Digamos Mateo te dice que le expliques la figura 1.000.
L54. Sarah: Yo le pondría 1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba [muestra horizontalmente los
cuadros de arriba y abajo].
L56. Profesora: ¿1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba?
L57. Sarah: [Afirma con la cabeza].
L58. Profesora: Y (…) si él te dijera pero yo quiero cualquiera, cualquiera, no importa el
número. No importa el número ¿tú qué le dirías?
L59. Sarah: Cualquiera el número que elijas abajo y arriba uno.
L60. Profesora: ¿Arriba uno?
L61. Sarah: [Afirma con la cabeza].
L62. Profesora: Osea, pone digamos un ejemplo acá tres y arriba uno.
L63. Sarah: Arriba uno más que tres, osea cuatro.
L64. Profesora: Ujum. Entonces otra vez ¿si fuera cualquier número?
L65. Sarah: Abajo pones el número y arriba le sumas uno a ese número.
Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah.
Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire.
Desde los planteamientos de Vergel (2016) se puede decir que la estudiante está
actualizando una forma de pensamiento algebraico factual, donde por medio de su actividad
52
semiótica muestra una generalidad, además de evidenciar algunas frases claves; donde la
generalidad encontrada en el campo fenomenológico se convierte en una característica
común; sin embargo es importante aclarar que según Vergel (2016) para la estudiante
“cualquier número” puede hacer referencia a un número particular “el que ella elija” y no
necesariamente a un conjunto de números, este tipo de sentencias puede hacer que Sarah
evolucione haciendo lo indeterminado parte del discurso.
No podemos asegurar que la estudiante se encuentre en un estrato de pensamiento
algebraico contextual, ya que la indeterminación no hace parte de su discurso, como ya se
ha demostrado. En la parte de su producción escrita, tampoco se evidencia todavía
pensamiento algebraico simbólico, pero si aritmético.
En cuanto al paso por los tres problemas de la generalización, en el caso de Sarah se
observa que desde el campo fenomenológico parte de las determinaciones sensibles que
extrajo de la figura en cuanto a lo espacial “filas arriba y filas abajo” y lo numérico “arriba
una más que abajo” para llegar a encontrar la cantidad de cuadrados de figuras lejanas
como la número 1000, hace representaciones en el aire usando sus manos y operaciones en
la hoja de trabajo. En el terreno epistemológico tiene en cuenta las determinaciones
sensibles que le permiten encontrar una característica común y extrapolarla a términos
lejanos, permitiendo así en el campo semiótico dar declaraciones verbales, escritas y
corporales de una fórmula, que no evidencia una escritura algebraica formal.
Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con determinaciones
sensibles en la dimensión numérica.
A continuación se muestra cómo Sarah al trabajar la tarea 1.1 extrae propiedades espaciales
de los términos que apoyan sus determinaciones sensibles en la dimensión numérica, ella
observa que “en la fila de arriba no hay los mismos que abajo” y apoya estas afirmaciones
53
contando los cuadrados e indicando cuántos deben estar en cada fila, dichas afirmaciones se
hacen evidentes en el siguiente segmento saliente de la sesión dos:
L154. Mariana: Yo escribí está mal dos puntos, porque hay empieza por qué ya que en la
figura debería haber seis arriba y cinco abajo ya que arriba le ponemos uno y abajo le
quitamos uno.
L155. Profesor: ¿Y tú qué dices?
L156. Sarah: Que también mal porque en la fila de arriba no hay los mismos que abajo.
L157. Profesor: ¿Y no hay la misma cantidad en la figura arriba y abajo?
L158. Sarah: No, porque acá hay seis y acá seis, acá deberían ser seis [Señalando la fila de
abajo] y acá siete [Señalando la fila de arriba].
L159. Profesor ¿Y tú, lo mismo?
L160. Mariana: Sí.
Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción lingüística-
perceptiva-gestual). Radford 2013a.
Ilustración 29: Tarea 1.1 de Sarah.
54
Con el trabajo realizado por Sarah en esta tarea puede confirmarse el transcurso por los tres
problemas de la generalización y según Radford (2013a, p.8) “es aquí donde la estructura
espacial es portadora de índices perceptivos generalizables. Para utilizar dichos índices
hay que ver los términos no como un conglomerado de cuadrados, sino como cuadrados
propiciamente organizados.” En este caso, Sarah ve la figura como filas arriba y filas
abajo, donde siempre hay “uno más” en la de arriba.
Actividad que involucra a Juan David en la tarea 1
En el caso de Juan David se evidencia determinaciones sensibles desde la dimensión
numérica dejando de lado la dimensión espacial de la secuencia para hallar una fórmula,
pero respetándola para dibujar términos específicos. Analizado desde el campo
epistemológico y teniendo un pensamiento numérico sofisticado, propone estrategias
basadas en procedimientos de ensayo y error llega a una fórmula que concuerda con
aspecto numérico de la figura, pero no con el espacial, aunque respeta la configuración
espacial en el aspecto pictórico. (Radford, 2013a)
Juan David siempre le resta 4 a los términos, pero no obtiene el resultado correcto. Luego
de una labor conjunta con sus compañeros, a través de la iconicidad evidencia que su
fórmula no concuerda con la de la secuencia “filas abajo y arriba”.
L100. Profesor: ¿Tú quieres explicar la tres?
L101. Juan David: Entonces en la segunda que me ayudo a resolver esta es que yo tome
desde el seis y le sume cuatro veces hasta llegar al diez y yo después lo multiplique por el 3
y me da 30 entonces yo dije no puede ser, entonces yo le reste 3 y no me daba reste 4 y me
dio 26, entonces acá hice lo miso pero con el 100 y ya.
Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David.
L102. Profesor: Y después le restaste cuatro y te dio 296.
L103. Juan David: Sí.
55
L104. Profesor: Listo. ¿Alguien tiene otra hay? A ver yo cojo uno así al azar. Tú [se dirige
donde Manuel], mira yo veo que en la pregunta número dos tú me dices que la figura 10
tiene (…).
L105. Manuel: Veintiún cuadros.
L106. Profesor: Te falta algo ¿qué te falta?
Como posible conclusión se observa la tarea 1.1 de Juan David para afirmar que las
determinaciones sensibles en la dimensión espacial son importantes para crear una fórmula
encarnada y posterior emergencia de pensamiento algebraico. Desde la perspectiva de
Radford (2017, p.117) “la respuesta tiene sentido para el estudiante, aunque
probablemente es cierto que, al enfocarse en la numerosidad de los términos de la
secuencia, puede resultar más difícil llegar a una fórmula general como ”.
Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados.
En este caso el estudiante realiza una generalización que se podría escribir así: se parte de
los términos dados y pretende hallar la cantidad de cuadrados
de cada término . Entonces él procede haciendo donde n es el
número de la figura, e y es la cantidad de cuadrados.
Ilustración 32: Fórmula implícita hecha por Juan David.
56
La multiplicación sofisticada que muestra Juan David da cuenta de una actividad perceptual
refinada, ya que hay evidencia de subitización en la manera cómo percibe la figura, pues
Juan David en un principio es el único estudiante que usa la multiplicación, mientras Sarah
y otros estudiantes la evitan. La expresión que Juan David logra hace uso de una estructura
multiplicativa, lo cual reduce la fórmula en cierto modo, pues según las ideas de Vergel
(2014, p.125) “sugiere una especie de proceso genético en el cual toma decisiones entre lo
que se considera relevante e irrelevante, es un síntoma de aprendizaje y de desarrollo
conceptual, es decir, de toma de conciencia”.
En la sesión dos Juan David socializa con Manuel, Ana Lucía y Samuel, aquí Juan David se
da cuenta que su respuesta es diferente a la de sus compañeros como se observa en el
siguiente diálogo:
L01. Manuel: Como en la secuencia siempre hay un cuadro de más arriba, yo puse seis
cuadros arriba y cinco cuadros abajo y en la figura seis lo mismo siete cuadros arriba y seis
cuadros abajo. En el punto dos para calcular los cuadros de la figura 10, eh entonces como
ya dije arriba siempre hay uno de más, entonces yo hice once cuadros arriba y diez abajo,
sume los cuadros y me dio 21. Lo mismo hice para el 10, para el 100 digo.
L02. Profesora: Entonces explícales ¿qué harías si tuvieras que encontrar cualquier figura,
digamos la figura 1.000.000, qué harías?
L03. Manuel: Aaa ya sé, ja un osea habría un millón uno de cuadros arriba y un millón
abajo [acompaña sus sentencias con movimientos horizontales].
L04. Profesora: ¿Entonces cuántos cuadros habría en total?
L05. Manuel: Habría dos millones uno.
L06. Profesora: ¿Dos millones uno?
L07. Manuel: Sí.
L08. Profesora: Ahora tú, cuéntanos ¿cómo hiciste esos ejercicios? [Refiriéndose a Juan
Felipe].
L09. Juan Felipe: (…) En la figura cinco hice seis arriba, cinco abajo, en la figura seis, siete
arriba y seis abajo. En la figura diez me dieron 26.
L10. Profesora: ¿Y por qué hiciste eso?
L11. Juan Felipe: Para que me diera el número de cuadros.
57
L12. Profesora: [Pregunta a Manuel] ¿y tú estás de acuerdo con ellos?
L13. Manuel: No.
L14. Profesora: ¿Por qué no?
L15. Manuel: Porque (…), osea, no te entiendo ¿por qué restaste?
L16. Profesora: Entonces digamos si hiciera la misma pregunta a Juan David y Juan Felipe,
que le hice ahorita a Manuel ¿cuántos cuadros tendría para ustedes la figura un millón?
L17. Juan David: (…) ¿Un millón? Dos millones novecientos noventa y seis. No digo, 996
cuadritos.
L18. Samuel: Profe yo.
L19. Profesora: A ver ¿qué quieren decir ustedes?
L20. Samuel: Esa pregunta sería como que un millón abajo y un millón noventa y nueve
abajo.
L21. Profesora: ¿Dime? Otra vez.
L22. Samuel: Pues un millón uno arriba y un millón abajo [acompaña sus sentencias con
movimientos horizontales, diferenciando los cuadros de arriba y abajo] y ya.
L23. Profesora: ¿Y entonces cuántos serían en total?
L24. Samuel: Dos millones uno.
En las líneas L15, L16 y L17 se ve como Juan David evade la respuesta a la pregunta de
Manuel y no responde el por qué hace uso de la resta, en las producciones escritas de Juan
David se observa que no tiene en cuenta el cuadrado sombreado debido al método de
ensayo y error de las figuras dadas 1, 2, 3 y 4 para deducir la fórmula. En el mismo
fragmento de actividad a Juan David se le dificulta hallar la cantidad de cuadrados de la
figura un millón, según Radford (2013a) este tipo de procedimientos inductivos hacen que
la abducción no sea usada de forma analítica, por lo tanto la generalización de Juan David
aún no es algebraica. Estas afirmaciones están apoyadas en las producciones escritas al no
sombrear el cuadrado superior derecho del término (ver Ilustración 33) y numerar los
cuadrados de forma consecutiva (ver Ilustración 34).
Ilustración 33: Evidencia que Juan David puede no fijarse en el cuadrado sombreado.
58
Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente.
Desde los planteamientos de Radford (2013a) en el campo fenomenológico Juan David
centra su atención en la dimensión numérica contando la cantidad de cuadrados de cada
figura, desde el campo epistemológico evidencia que la secuencia es ascendente, además
encuentra una característica común inducida, haciendo una generalización de tipo
aritmética lo cual le dificulta encontrar términos lejanos, desde el campo semiótico puede
hacerse evidente desde las producciones escritas que en su representación la variable en sí
(el número del término) no es objeto del discurso, sin embargo puede hallar la cantidad de
cuadrados de términos cercanos.
Actividad que involucra a Manuel en la tarea 1
Manuel desde el inicio de la tarea se fija en la dimensión espacial y numérica de la figura, a
pesar de ser la primera vez que se enfrenta a este tipo de tareas él identifica que la figura
está compuesta por cuadrados debidamente ordenados en dos filas e indica el cuadrado
oscuro tomándolo como “uno más”, esto evidencia que Manuel tiene una mirada refinada
(Radford, 2015), por lo tanto se debe observar la evolución en la percepción visual del
estudiante pues el tener un ojo crítico será importante en el estudio y la actividad que
establezca con sus compañeros permitirá un avance significativo, donde Manuel irá
domesticando aún más su mirada y logrará reconocer los medios culturales de manera más
rápida, pues según Radford (2010a, p.4) la domesticación del ojo es un proceso largo en el
cual llegamos a ver y reconocer las cosas de acuerdo a medios culturales.
A continuación se muestra un segmento de diálogo entre Manuel y el profesor, en el cual se
puede hacer evidente lo descrito anteriormente:
L129. Profesor: ¿Quieres explicarme algo? Haz de cuenta que yo no sé nada de eso.
L130. Manuel: En el segundo punto, entonces como en la figura siempre tiene (…) por
ejemplo la figura uno tiene arriba dos cuadros y abajo uno, entonces arriba los cuadros de
59
arriba siempre tienen uno más a la cantidad de la figura entonces en todos yo hice (…) once
cuadros arriba y once cuadros arriba, diez cuadros abajo entonces yo lo sume me dio 21
cuadros.
L131. Profesor: Entonces en la 100.
L132. Manuel: En la 100 yo hice lo mismo, eh 101 cuadros arriba 100 cuadros abajo, los
sume y me dio 201 [Tímidamente Manuel hace señalamientos en el aire de los cuadros e
indica con su mano el uno más que agrega].
Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel.
En lo realizado por Manuel se puede evidenciar el papel que juegan los tres problemas de la
generalización planteados por Radford (2013a) ya que en el campo fenomenológico el
estudiante extrae determinaciones sensibles frente a lo espacial y numérico; esto le permite
transitar al campo epistemológico al utilizar sus determinaciones para hallar términos
lejanos de la secuencia, expresando una generalidad al afirmar: “yo cojo siempre la misma
cantidad, pero uno más y luego lo sumo para que me del resultado”.
Ilustración 36: Frase donde Manuel expresa la generalidad que encontró.
60
Los registros semióticos movilizados se evidencian permanentemente por medio del
cuerpo, gestos y habla, Manuel despliega una serie de medios semióticos para expresar la
característica común hallada. Desde la perspectiva de Stacey (como se cita en Vergel 2014)
Manuel usa una pauta lineal ya que asume indirectamente que (𝑛) = 𝑎𝑛 + 𝑏 apoyado en la
evidencia, se nota una cierta influencia del dibujo en el desarrollo de la estrategia por
Manuel. Con lo observado en este fragmento de actividad se puede inferir que en el
transcurso de las siguientes tareas las fórmulas corpóreas pueden evolucionar y llegar a un
pensamiento algebraico simbólico.
Actividad en la tarea 2
Tarea 2: Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a .
Ilustración 37a: Tarea 2.
Con esta tarea se pretende acercar un poco más a los estudiantes al trabajo con este tipo de
configuraciones, además de identificar las determinaciones sensibles que tienen los
estudiantes para lograr sus generalizaciones, es importante empezar a comparar los medios
semióticos de objetivación que surgen en los estudiantes y así mismo comenzar a
identificar una posible evolución de las fórmulas corpóreas que van emergiendo en el
trabajo realizado. En esta tarea se prestó especial atención a las determinaciones sensibles
asociadas a la dimensión espacial de la figura y su parecido a un juguete que estuvo de
moda en el momento de la aplicación llamado Fidget spinner y que posteriormente permitió
a un grupo de estudiantes referirse a la forma de la figura (Ver ilustración 37b) usándolo
como medio semiótico de objetivación.
61
Ilustración 38b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su parecido con el
“spinner”
Actividad que involucra a Sarah en la tarea 2
Para el desarrollo de esta tarea Sarah trabaja con su compañero Luis Felipe, en un primer
momento los estudiantes se fijan en la dimensión espacial de la figura asegurando que son
“tres filas” con la misma cantidad de círculos en cada una, sin embargo al avanzar en los
planteamientos de la tarea identifican que les hace falta incluir el círculo del centro, al
evidenciar que les hace falta el círculo oscuro empiezan a dirigir su mirada hacia la
dimensión numérica sin olvidar la espacial, los planteamientos anteriores se hacen
evidentes en la producción escrita por Sarah y en el siguiente diálogo:
L45. Profesor: Tú, pregunta número 3 [refiriéndose a Juan Felipe].
L46. Juan Felipe: ¿La 3?
L47. Profesor: Sí, ¿o quieres explicar la 2?
L48. Juan Felipe: No, ¿cuántos círculos tiene la figura 30? Yo sume 30 tres veces y (…)
Entonces lo sume y me dio 90, entonces 90 cuadros en cada fila.
L49. Profesor: Entonces, te hago una pregunta ¿cuántos círculos tiene la figura 1?
L50. Juan Felipe: Círculos (…).
L51. Sarah: Uno arriba [señala con la cabeza] otro a los lados que es la fila (…).
L52. Profesor: Dime, dime.
L53. Sarah: Que (…) aquí como todo empieza, aquí es uno, aquí es uno y aquí es uno y
después dos, dos, dos, después tres, tres, tres y va sumando [mientras habla va marcando
los círculos en el aire].
62
Ilustración 39: Sarah dibujando en el aire los círculos.
L45. Profesor: ¿Entonces cuántos circulitos tiene la figura 1?
L46. Sarah: 4.
L47. Profesor: ¿Cuántos circulitos tiene la figura número 2?
L48. Juan Felipe: 7.
L49. Profesor: 7, ¿la figura número 3?
L50. Sarah: Diez.
L51. Profesor: 10 ¿la 4?
L52. Sarah: [Dirigiéndose a Juan Felipe] Solo tienes que sumarle 3.
L53. Juan Felipe: 13.
L54. Profesor: 13, ¿La figura número 5?
L55. Sarah: ¿Señor?
L56. Profesor: ¿La figura número 5?
L57. Juan Felipe: 16.
L58. Sarah: [Cuenta en su hoja de trabajo] 16.
L59. Profesor: 16, utiliza esta fórmula para hallar la cantidad de círculos de la figura 5
[señala la fórmula que Sarah había dado al principio de sumar tres veces el número] a ver
si te da.
L60. Sarah: A entonces acá 5 más 5 más 5.
L61. Profesor: Dale, a ver cuánto te da.
L62. Sarah: Da 15.
L63. Profesor: ¿15?
L64. Sarah: No, no [niega con la cabeza].
L65. Profesor: Pues sí si da 15, pero entonces tú me estás diciendo que acá hay 16.
L66. Juan Felipe: Aa profe, profe.
63
L67. Profesor: Cuéntame.
L68. Juan Felipe: Acá contaríamos este cuadro [refiriéndose al círculo negro]
L69. Profesor: ¿Cuadro?
L70. Juan Felipe: Aa círculo, círculo y hay quedaría el 15.
L71. Profesor ¿Entonces, apliquemos la fórmula para la figura número 6? Primero
contemos la cantidad de círculos de la figura 6.
L72. Juan Felipe: 18.
L73. Sarah: Más el del centro 19.
Después del diálogo con el profesor, los estudiantes empiezan a realizar nuevos
planteamientos, ya que Sarah no observa que el círculo sombreado hace parte de la figura
añadiendo una unidad más al resultado, si está en su campo perceptivo “el problema radica
más bien en la no identificación de que la espacialidad de los términos nos da claves
interesantes desde el punto de vista algebraico” (Radford, 2013a, p. 118), Se podría deducir
una forma de ver la secuencia de Sarah la cual corresponde a la figura 19, está apoyado en
la fórmula que ella extrae al observar que estaba olvidando el círculo sombreado de la
mitad la adhiere al último sumando.
Sarah muestra en su producción escrita la estrategia usada para incluir el círculo que les
hace falta “el del centro” (ver Ilustración 39), además de ello usa el medio semiótico de
objetivación “spinner” (que emergió en el trabajo con la tarea 2) para estar segura de la
dimensión espacial de las figuras (ver Ilustración 40). Dicho medio semiótico de
objetivación emerge de Juan David quien al iniciar la sesión asocia las figuras dadas en la
tarea con un spinner.
64
Ilustración 40: Producción escrita de Sarah, donde se evidencia la estrategia que usa para encontrar la cantidad de
círculos de cualquier figura.
Ilustración 41: Uso de medio de objetivación “spinner”.
.
Ilustración 42: Posible forma en que Sarah ve los términos como dos filas en la base y después unir el centro a la fila
superior.
Como se evidencia en la actividad de la tarea 1 de Sarah, ella hace uso de una estructura
aditiva para determinar fórmulas, por tanto el recurso que usa en esta ocasión es tomar el
último sumando y adicionarle el “uno más”. En la parte derecha de la Ilustración 41 se
evidencia la corrección de la fórmula de Sarah (corrección de la suma 25+25+25 a
25+25+26) después de la interacción con el docente.
Las producciones escritas de Sarah dan cuenta de las dimensiones numéricas y espaciales
pues según Radford (2008, p. 8) “el trabajo algebraico sobre el terreno fenomenológico va
a reposar sobre la articulación de dos estructuras diferentes: una de tipo numérica y otra
de tipo espacial”; al comparar la figura seis con el spinner nos muestra que la figura está
conformada por un centro y “tres filas de círculos”, en L51 Sarah identifica la figura
compuesta por filas; en el campo epistemológico se evidencia que al centrar su atención en
lo numérico y espacial es posible hacer abstracciones a otros términos, en este caso Sarah
expresa su comunalidad al afirmar: “Que si me dan el número en vez de la gráfica, el
número que me dé lo sumo una vez también otra, pero para la otra le sumo uno que es el
de la mitad”; en el campo semiótico Sarah expresa su generalidad por medio de la
65
“actividad multimodal donde interviene gestos, señalamientos, registros escritos con
símbolos matemáticos y lenguaje natural”. Radford (2018, p. 12).
Actividad que involucra a Juan David en la tarea 2
A continuación observamos un fragmento de la actividad de Juan David en su labor
conjunta con el docente y Ana Lucía. Se evidencia que por el contrario del trabajo con la
Tarea 1, Juan David ya tiene en cuenta la configuración espacial de la secuencia para
determinar una fórmula y apoyándose en el medio semiótico de objetivación el “Spinner”.
L01. Juan David: Profe por fin a la moda, escogieron los spinner, esto es lo mismo que la
pasada. ¿Toca calcular todo, o solo de un lado?
L02. Profesor: De toda la figura.
L03. Ana lucía: Primera pregunta, dibuja la figura cinco y seis.
L04. Juan David: En la figura cinco, nosotros vimos que acá en el spinner hay en un lado
cuatro, por otro lado cuatro y por otro cuatro, en la figura seis pusimos cinco, cinco, cinco y
el de la mitad.
L05. Profesor: Pregunta número dos.
L06. Ana Lucía: Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin dibujarla, sumamos 25
más 25 más 25 y sumamos uno nos da 76.
L07.Profesor: Listo, pregunta 3.
L08. Juan David: ¿Cuántos círculos tiene la figura 30? Entonces cogemos la figura 30 y
multiplicamos por tres que son los tres lados y nos dio noventa, después le sumamos uno
que es el centro y nos dio noventa y uno
L09. Profesor: Cuatro.
L10. Ana Lucía: [leyendo su hoja de trabajo] Acá hicimos la figura siete, nosotros
multiplicamos el número de la figura por los lados que son 3, después de multiplicarlo le
sumamos 1.
66
Ilustración 43: Hoja de trabajo de Ana Lucía.
L10. Profesor: ¿Y esa figurita de allá es la figura…?
L11. Juan David: Siete.
L12. Profesor: ¿Siete? Ven déjame ver, cuenta los circulitos.
L13. Juan David: Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete. Uno, dos, tres, cuatro, cinco,
seis y siete. Y uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete.
L14. Profesor: Listo chicos, al respaldo de la hoja encontrar la cantidad de círculos de los
términos: primero 2.000, segundo10.000, tercero 853 y cuarto 4.102.
L15. Juan David: Tenemos que hacer lo mismo. En la línea L04 y L08 se evidencia un
aparente dominio de la fórmula, que es la que corresponde con la dimensión espacial de la
secuencia, apoyado en las figuras 5 y 30. Después de esto los estudiantes encontraron la
cantidad de circulitos de cada una de las figuras como se evidencia en la Ilustración 42 y
que también concuerda con lo expresado por ellos en el segmento de actividad de anterior.
Ilustración 44: Fórmula para las figuras 10000, 853 y 4102 de Juan David.
En la fórmula se evidencia que las sentencias están acompañadas de frases claves que
indican que puede extrapolar su característica común no solo a términos lejanos sino
también a cualquier “número” del término.
67
Ilustración 45: Fórmula para cualquier figura de Juan David.
En los dibujos de sus figuras 5 y 6 puede intuir que comprende características en la
dimensión espacial de la figura como sus tres brazos y el círculo sombreado de la mitad que
indica que se le suma “uno más” y adicionalmente que la cantidad de círculos en cada
brazo de la figura corresponde al “número” del término.
Ilustración 46: Figura donde Juan David si sombrea el círculo de la mitad que representa el “uno más”.
En los movimientos de Juan David caracterizando el término 7 (línea del dialogo L14)
señala primero el “lado” inferior derecho del “spinner”, después el inferior izquierdo, y
finalizando con el lado superior. Cuando se le pregunta porque pintaste ese de la mitad lo
apunta y dice “le sumamos 1”.
68
Ilustración 47: Actividad perceptual del Juan David donde realiza deslizamientos en torno al “Spiner”, toca la figura y
acompaña con la mirada sus sentencias.
En este caso designa la indeterminancia con el término “número”, el cual es tratado
analíticamente: “Primero multiplicamos el número de la figura por sus lados sin contar el
centro y después al resultado le sumamos uno”. La expresión semiótica de la
indeterminancia (Ver ilustraciones 42 a 46) es el “número de la figura” y su carácter
operatorio es “multiplicamos por sus lados sin contar el centro y después al resultado le
sumamos uno”.
En el campo fenomenológico el estudiante desde la dimensión espacial extrae
determinaciones sensibles asociadas a los tres lados de la figura y el círculo sombreado y
desde la dimensión numérica cuenta la cantidad de círculos en cada lado y el centro. En el
campo epistemológico observa que la cantidad de círculos en cada “lado” corresponde al de
la figura y que el sombreado es el “uno más” del Spinner, extrapolando estas dos
características comunes para hallar la fórmula. Por último las diferentes expresiones
semióticas que el estudiante utiliza forman un nodo semiótico ya que utiliza su
corporalidad, su percepción para describir términos cercanos, también utiliza lenguaje
verbal para dar fórmulas de “cualquier término” y escrito para dar la cantidad de círculos
de términos lejanos.
69
Actividad que involucra a Manuel en la tarea 2
A continuación se muestra un segmento de actividad donde Manuel trabaja en labor
conjunta con Dayan y María Paula. En esta transcripción Manuel demuestra una vez más
que sus posibles determinaciones sensibles en la dimensión espacial y numérica permiten la
emergencia de fórmulas para términos lejanos y términos desconocidos.
L198. Profesor: Dayan, figura número cinco.
L199. Dayan: Porque hay cinco círculos y aquí hay cinco círculos.
L200. Profesor: Ok, ¿y la figura número seis?
L201. Dayan: Que tiene seis acá, seis acá y seis acá. [Señala con el esfero la hoja].
L202. Profesor: Ok, pregunta número dos Manuel.
L203. Manuel: Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 , sin dibujarla, explica cómo
lo haces, pues yo, a mí me dio 26 ya que yo cogí el veinticinco y lo multiplique por tres y le
sume uno [Hace movimientos en el aire para explicar lo que realizó, con sus manos forma
en el aire la configuración de la figura].
L204. Profesor: Pregunta número tres.
L205. Manuel: Hice lo mismo, treinta por tres y le sume uno.
L206. Profesor: Pregunta número cuatro.
L207. Manuel: Ahora, explica un procedimiento para calcular el número de círculos de
cualquier figura, yo cojo el número lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más uno,
ya que eso me daría el resultado. q
En L203 el estudiante Manuel acompaña sus sentencias con movimientos para demostrar
que su fórmula funciona correctamente (ver Ilustración 47) moviendo primero su mano
hacia el frente y después dos movimientos rápidos indicando los lados de inferiores de la
figura.
70
Ilustración 48: Manuel describiendo la figura 25 haciendo uso de recursos perceptuales, gestuales y verbales.
Los ítems 2 y 3 de la hoja de trabajo sugieren que Manuel identificó dos características
comunes de la figura las cuales son los tres lados de los términos y el círculo sombreado de
la mitad. Notemos para el caso de esta secuencia las determinaciones sensibles que los
estudiantes obtuvieron fueron similares, lo cual indica un nivel de éxito de la tarea 2
propuesta (ver Ilustración 48).
Ilustración 49: Término 5 de Manuel con sus posibles determinaciones en la dimensión espacial.
Para Manuel la forma de ver la figura influyó en la fórmula encontrada que se evidencia en
la resolución de los ítems 2 y 3 de la tarea 2, ya que multiplica por tres el número de la
figura y después le suma 1 que es “el del centro”.
71
Ilustración 50: Explicación de la figura número 25 y 30 de Manuel.
Después de evidenciar que las operaciones realizadas le permiten con cierta seguridad
encontrar la cantidad de círculos de términos cercanos y también otros fuera de su campo
perceptual. Manuel propone una fórmula concordante con la secuencia para dar respuesta al
ítem 4 de la tarea que se ve apoyada en la actividad previamente estudiada.
Ilustración 51: Fórmula para cualquier término de Manuel.
En la Ilustración 50 Manuel utiliza su fórmula para hallar términos fuera de su alcance
perceptivo haciendo uso de la abducción que logró extrapolando sus características
comunes.
Ilustración 52: Uso de la fórmula para hallar las figuras 2000 y 10000 en la tarea 2 de Manuel.
En este caso designa la indeterminancia con el término “Cualquier figura”, el cual es
tratado analíticamente: “yo cojo el número lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más
uno”. La expresión semiótica de la indeterminancia en el caso de la producción de Manuel
72
(Figuras 26 a 29) es “número de círculos de cualquier figura” y su carácter operatorio o
analiticidad: “lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más uno”. (Vergel, 2015)
En cuanto al paso por los tres problemas, Manuel en el campo fenomenológico observa los
tres lados de los términos (arriba, y los lados de la base) junto con el círculo sombreado y
desde la dimensión numérica cuenta que la cantidad de círculos en cada lado y el centro. En
el campo epistemológico observa, al igual que Juan David, que la cantidad de círculos en
cada lado es igual al número de la figura y que el sombreado es el “sumar 1”, extrapolando
estas dos características comunes para hallar una fórmula concordante.
Actividad en la tarea 3
Tarea 3: Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a .
Ilustración 53: Tarea 3.
Esta tarea se plantea con la intención de aumentar la cantidad de preguntas que indagan por
figuras cercanas pero manteniendo los términos lejanos. Esto se realiza para que los
estudiantes plasmen en las hojas de trabajo sus determinaciones sensibles en términos
dentro de su campo perceptivo debido a que la configuración espacial es diferente a la
Tarea 1 aunque corresponde a la misma expresión , y con el fin de identificar las
fórmulas corpóreas que usan los estudiantes en el momento de enfrentarse a
configuraciones más complejas en las cuales es menos evidente observar el “más uno”.
Actividad que involucra a Sarah en la tarea 3
En esta sesión surge evidencia que Sarah en labor conjunta con Ana Lucia encuentra una
fórmula que corresponde a la secuencia. La fórmula surgió después de realizar una
multiplicación por tres, ya que las determinaciones sensibles en el campo espacial se
centran en la configuración de triángulos que se observan en la figura, dejando de lado que
cada triángulo comparte un fósforo con el de la derecha exceptuando el primero.
73
Sarah junto con sus compañeros y los profesores realizan varios intentos para interpretar la
figura y los contrastan con la cantidad de fósforos hasta llegar a la conclusión que se ve en
el siguiente fragmento de transcripción:
L108. Sarah: Surgió algo más chévere profe.
L109. Samuel: Están haciendo experimentos ahí.
L110. Profesora: Otra vez, háganlo y me cuentan.
L111. Ana Lucía: Es que nos acabamos de dar cuenta de que contamos estos [refiriéndose a
los fósforos de la figura 3], 1, 2, 3, 4, 5 (…) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, entonces más tres seis, más
una siete.
L112. Sarah: Pasa lo mismo aquí [señala la figura 4]
L113. Ana Lucía: Cuatro más cuatro ocho más una nueve, entonces nos acabamos de dar
cuenta de eso.
L114. Profesora: ¿Entonces cómo podrían hacer la 12?
L115. Estudiantes en coro: ¡Eh!
L116. Profesora: Aquí me dicen que tres más tres más uno [señala la figura 3] ¿cierto?
Cuatro más cuatro más uno [señala la figura 4] ¿Y en la doce entonces?
L117. Ana Lucía: Sería, seis más seis doce más una trece.
L118. Sarah: Ya entendí, doce más doce y más una [golpea con el lapicero la mesa para
indicar el doce más doce e indica el más uno en el aire].
Ilustración 54: Sarah indicado con golpes en las hojas 12 más 12 más 1.
74
L118. Profesora: ¿Cuánto les da a ver?
L119. Sarah: Espera [realiza la operación en la hoja] doce más doce, cuatro, dos más una
25, no tengo que hacerla, 25 palitos.
L120. Profesora: ¿Entonces la figura 20?
L121. Sarah: 41.
L122. Profesora: ¿Por qué 41?
L123. Sarah: Porque 20 más 20, 40, 40 más 1 41.
L124. Profesora: ¿La 100?
L125. Sarah: 201.
L126. Profesora: ¿Y la 1.000?
L127. Sarah: 2.001.
L128. Profesora: ¿Y entonces la figura n?
L129. Sarah: n (…) n (…) n máximo uno [risas].
L130. Ana Lucía: Sería 2.001.
L131. Profesora: No, la n.
L132. Samuel: m, u, 1(…) ¿n 1?
L133. Ana Lucía: N mil uno.
L134. Sarah: Entonces solo lo sumamos dos veces y le sumamos uno [expresa con sus
manos lo que hace].
L135. Profesora: ¿Entonces cómo sería?
L136. Ana Lucía: N más n más uno.
L137. Sarah: ¡Aa! Listo ya lo tenemos.
Ilustración 55: Producción escrita de Sarah al resolver el ítem 5.
En el campo fenomenológico desde la dimensión espacial los estudiantes ven triángulos, las
puntas de los fósforos pero no toman los espacios en las figuras (Ver Ilustración 55) y
desde la dimensión numérica evidencian que el doble del número de la figura más uno da
como resultado la cantidad de fósforos, sin embargo esta característica común, ya en el
75
campo epistemológico, es encontrada exclusivamente desde lo numérico dejando de lado lo
espacial y apoyados con la labor conjunta (Profesores, Ana Lucia, Samuel y Sarah).
Ilustración 56: Espacios de los términos dejados intencionalmente en la fase de pilotaje.
Ya en el campo semiótico Sarah representa corpóreamente las figuras con movimientos
circulares y tres golpes en la hoja de trabajo acompañados con su mirada o percepción
visual. Es importante en esta parte evidenciar que ella representa la fórmula con
operaciones aisladas acompañadas de lenguaje verbal (Ver Ilustración 56) ya que en L120
afirma que “doce más doce, cuatro, dos más una 25, no tengo que hacerla, 25 palitos”
haciendo referencia a que no tiene que sumar el “más uno” de forma escrita por que ella
tiene conocimiento de que siempre se va a sumar y no ve necesario realizarlo en su hoja de
trabajo. Es decir que en la cantidad de fósforos que representan las operaciones de la
Ilustración 56 son 25, 51 y 3001.
Teniendo en cuenta la producción de Sarah puede decirse que en este caso ella expresa la
generalidad con cantidades indeterminadas y así mismo se hace evidente su evolución de lo
corpóreo al usar menos gestos, movimientos y palabras, al hacer uso de la N estamos de
acuerdo con Vergel (2016, p. 116) “al decir que la abducción, convertida en hipótesis, es
aplicada para deducir apodícticamente una fórmula que proporciona el valor de cualquier
figura particular”.
Ilustración 57: Operaciones en la hoja de trabajo de Sarah de las figuras 12, 25 y 1500.
76
La evidencia de los videos, las transcripciones y las hojas de trabajo sugieren que desde las
determinaciones sensibles en la dimensión espacial no eran las adecuadas para determinar
una fórmula para la secuencia. Por ejemplo, al observar la cantidad de triángulos
correspondía con el número de la figura los estudiantes (en su totalidad) multiplicaban el
número de la figura por tres, pero al contrastar con los casos dados evidenciaban que no
correspondían con la cantidad de fósforos. Es decir que las determinaciones sensibles en la
dimensión espacial no garantizan el éxito en la evolución de las fórmulas corpóreas como
lo podrían hacer las determinaciones sensibles en la dimensión numérica junto a la espacial,
la labor conjunta y la experiencia previa con secuencias de patrones.
Actividad que involucra a Juan David en la tarea 3
Juan David evidencia que las figuras tienen una configuración espacial determinada,
muestra la conformación de los fósforos pero al igual que Sarah no fijan su atención en lo
espacial (ver figura 33). En el desarrollo de esta área se observa que el estudiante toma un
método similar al usado en la tarea 1, posiblemente Juan David asoció la dimensión
numérica de estas dos tareas. Se había visto una evolución en la tarea 2 cuando la
característica común que abduce está apoyada en la dimensión espacial de la figura sin
embargo en la tarea 3 volvió a usar un método previo fijándose en la dimensión numérica y
haciendo uso de un método inductivo. A continuación se muestra un fragmento de dialogo
entre Juan David y el profesor dando evidencia de lo descrito anteriormente.
L65. Juan David: Cojo el número de la figura le resto uno y ese número que me dio lo
multiplico por dos y le sumo 3 y me da el resultado de los palitos que hay.
L66. Profesor: Entonces eso es lo que me tienes que escribir bien resaltado, cojo el número
de la figura le resto uno y ese número que me dio lo multiplico por dos y le sumo 3.
L67. Juan David: ¿Qué?
L68. Profesora: Lo mismo que le dijiste a él es lo que tienes que escribir.
L69. Juan David: Se me olvido lo que dije profe. ¿Qué era?
L70. Profesor: Entonces tú vuelves y me explicas.
L71. Juan David: Cojo el número de la figura le resto uno y ese número que me dio lo
multiplico por dos y le sumo 3.
L72. Profesor: Eso es lo que me tienes que escribir.
77
|En la Ilustración 57 se evidencia que la primera fórmula que obtiene concuerda en el
aspecto numérico pero al ser hallada por inducción no corresponde con la dimensión
espacial. Juan David es reiterativo con este método aritmético para hallar fórmulas ya que
lo había usado en la Tarea 1.
Ilustración 58: Primera fórmula concordante para la tarea 3 de Juan David.
La segunda fórmula emerge mediante labor conjunta modificando la primera parte de
donde restaba uno, pero al contrastar con la cantidad de fósforos de los términos dados
cambia de nuevo su fórmula a la que se muestra en la Ilustración 59.
Ilustración 59: Segunda fórmula no concordante para la tarea 3 de Juan David.
La tercera fórmula que sí corresponde a la dimensión espacial y numérica de la secuencia la
logra a partir de la iconicidad. No se puede afirmar que Juan David posea pensamiento
algebraico en este punto, pues hasta el momento sus conclusiones han estado basadas en el
ensayo y error.
Ilustración 60: Tercera fórmula concordante de Juan David después de la labor conjunta.
En el campo fenomenológico su atención sigue enfocada en el aspecto numérico de la
secuencia, por tanto en el campo epistemológico las características que abduce dependen
del método inductivo por ensayo y error, “estos métodos de generalización son más bien
78
aritméticos” (Radford, 2013a, p. 6) Por último en el campo semiótico representa las
fórmulas a través del lenguaje escrito, de operaciones aritméticas y a través de su
corporalidad. En cuanto a fórmulas corpóreas de Juan David se puede decir no
evolucionaron en esta tarea pero si lo habían hecho en la anterior al tener en cuenta la
dimensión espacial.
Actividad que involucra a Manuel en la tarea 3
Para desarrollar esta tarea Manuel trabaja dos sesiones, donde inicialmente centra su
atención en la dimensión espacial, haciendo uso de los espacios que muestra el aumento de
“dos más” (ver ilustraciones 33 y 38), después de observar la dimensión espacial empieza a
fijarse en lo numérico, hace varios métodos y comparte sus hallazgos con sus compañeros,
sin entender muy bien la relación entre la cantidad y lo espacial, tras varios intentos es el
único estudiante que hace evidentes sus determinaciones sensibles en lo numérico y
espacial encontrando una relación entre ambas. En el siguiente dialogo se hace evidente lo
descrito hasta el momento:
L01. Profesor: Manuel una pregunta ¿osea que tú te fijaste en estos espacios chiquitos que
hay en las figuras? [Señala las figuras dadas en la tarea].
L02. Manuel: Mira yo vi que en un triángulo siempre hay tres fósforos, pero ya cuando
empiezan a poner más fósforos son de a dos, como por ejemplo en la figura dos acá está el
triángulo y empezaron a poner dos y dos [dibuja en el aire con el lapicero la configuración
de ese más dos], lo mismo con la figura tres.
Ilustración 61: Manuel muestra el “dos más” que encuentra en lo espacial.
79
L03. Profesor: Ok, la pregunta es la misma osea ¿tú te fijaste en estas formaciones que
quedan acá aparte? ¿Cierto? Mira que acá hay dos fosforitos pegados despegados del resto
y así mismo los dibujaste.
L04. Manuel: Sí.
L05. Profesor: Ok, entonces por eso es que tú dices que siempre se le pega un pedacito de
estos que son (…).
L06. Manuel: Dos fósforos.
L07. Profesor: Dos fósforos, listo. Entonces figura cinco ¿Cuál es?
L08. Manuel: La figura cinco es esta [Señala la figura que realizó con su lapicero]
L09. Profesor: ¿Por qué?
L10. Manuel: Porque tiene los cinco triángulos.
L11. Profesor: Cinco triángulos, señálame los cinco triángulos.
L12. Manuel: Este, este, este, este y ese [Señala con su lapicero los cinco triángulos de la
figura].
L13. Profesor: A ok. Figura número seis.
L14. Manuel: La figura número seis es esta [Señala con su lapicero] (…) que tiene seis
triángulos.
L15. Profesor: Listo, no tienes que contármelos, ya sabemos que hay seis ¿cierto?
L16. Manuel: Ujum, aquí en la 12 hice la primera yo puse 3 y empecé a sumar 2 hasta
llegar a la cantidad y me dio en este caso 25.
Ilustración 62: Método inductivo utilizado por Manuel en la tarea 3.
L17. Profesor: Dice, en la figura primera cogí tres fósforos y luego empiezo a sumar dos
hasta llegar a la cantidad. ¿Entonces cómo llegaste a la figura número 20?
80
L18. Manuel: La figura número 20, como ya tenía los resultados de la figura 12 empecé a
sumar hasta llegar a 20.
En este fragmento de transcripción Manuel encuentra una característica común que abduce
para llegar a un método (no a una fórmula) para encontrar la cantidad de fósforos de las
figuras dadas y de las figuras 20 y 25, lo cual indica que la propiedad no es usada de forma
analítica y por tanto no se puede afirmar que sea pensamiento algebraico. En lo que sigue
de la transcripción se evidencia el intento de encontrar una fórmula a partir de sus
determinaciones espaciales, que consiste en observar los triángulos, olvidando la sentencia
de la línea L02 donde suma dos fósforos cada vez.
L19. Profesor: ¿Entonces para la figura 100 cómo hiciste?
L20. Manuel: La figura 100, como casi nunca da un número par, entonces yo empecé
multiplicando (…) esto 100 por 3 nos da 300, pero como aquí nunca nos da un número par
y en los números que tienen ceros en el último me da uno, como por ejemplo en la 20 da
41, en la 100 da 301.
Dentro de sus determinaciones en el aspecto numérico Manuel afirma que el resultado
siempre es un número impar lo cual va a ser importante cuando contraste sus resultados con
las figuras dadas. Sin embargo dentro de sus determinaciones espaciales no extrae las
similitudes y diferencias que son más importantes al momento de encontrar una fórmula, ya
que al igual que Juan David utiliza un método inductivo de ensayo y error, lo cual hace que
sea difícil llegar a una generalidad y encontrar términos lejanos.
En la sesión 5 Manuel continúa con la tarea 3, hace evidente el uso de varios métodos, al
ser socializados muestra que no son coherentes con lo que requiere, logra identificar el
comportamiento de la secuencia frente a lo numérico, como se muestra en siguiente
fragmento de transcripción.
L01. Manuel: Ahora si entre en una triple confusión.
L02. Profesor: ¿Triple confusión uno cómo puede estar confundido tres veces? Miremos las
figuras, ¿tú qué haces cuándo haces la figura número uno?
L03. Manuel: Pues (…) tres fósforos.
L04. Profesor: Tres fósforos, listo, figura número 2.
81
L05. Manuel: Pues dos fósforos más.
L06. Profesor: Dos fósforos más, listos, muéstrame los dos fósforos que le sumaste.
Ilustración 63: Indicación en la hoja de trabajo de la diferencia de “dos fósforos más”.
L07. Profesor: Listo, figura número 3.
L08. Manuel: Ya hice eso, he probado varios métodos pero ningún concuerda.
L09. Profesor ¿Osea tú quieres llegar al resultado con una única multiplicación?
L10. Manuel: He multiplicado por varios números pero ninguno me da.
L11. Profesor: Pues mira las figuras a ver si alguna te coincide.
L12. Manuel: No coincide, he intentado con el 2, 3, 4 y 5, ninguno me sirve.
L13. Profesor: Bueno intentemos, empecemos con el 4, figura uno, uno por cuatro, cuatro
¿y la figura uno tiene cuatro?
Ilustración 64: Los diferentes métodos por ensayo y error de Manuel.
L59. Manuel: Con el dos me dio 110.
L60. Profesor: No, tú hiciste mal la multiplicación, eso te da 100.
82
L61. Manuel: Igual no me coincide.
L62. Profesor: No te coincide, ¿pero qué te haría falta?
L63. Manuel: Tendría que sumarle uno.
L64. Profesor: Ah bueno, intentemos hacer eso con estás [señala las figuras encontradas
anteriormente].
L65. Manuel: (…).
L66. Juan David: dos por una dos más una tres, dos por dos cuatro más una cinco, dos por
tres seis más una siete dos por cuatro ocho más una nueve, listo, fin.
L67. Manuel: ¿Por qué voy a sumarle uno? ¿Por qué voy a sumarle uno?
L68. Profesor: Tú no entiendes por qué toca sumarle uno, no lo ves por ningún lado, vuelve
y mira las figuras, la disposición de los fósforos a ver si de pronto.
L69. Profesor: ¿Cómo van?
L70. Manuel: Me dio 201.
L71. Profesor: Te acuerdas lo que yo te había dicho de mirar como habías dibujado la
figura.
L72. Manuel: Sí, un palo y (…) [dibuja en el aire].
L73. Profesor: ¿Sabes de dónde sale ese más uno?
L74. Manuel: Sí [Señala el primer fósforo de cada figura].
Ilustración 65: Manuel señalando el “uno más” en las figuras dadas.
L75. Profesor: Listo, entonces ya sabes de donde sale ese más uno. Figura número mil.
83
L76. Manuel: 2001, por fin.
En el caso de Manuel se puede evidenciar que sus fórmulas corpóreas son expresadas a
través de los diálogos y producción escrita, ya que expresa menos desde lo gestual. En el
paso por los tres problemas se observa en lo fenomenológico tiene en cuenta la dimensión
espacial al centrar su atención en los espacios, conformación por triángulos, a diferencia de
sus compañeros no se fija en las cabezas de los fósforos, sin embargo en el campo
epistemológico usa solo algunas de las determinaciones encontradas en el terreno
fenomenológico que no le permiten hallar una fórmula sino un método aritmético.
Es importante resaltar la insistencia de Manuel por encontrar el “uno más” del cual hablan
sus compañeros, esto lo lleva a revisar nuevamente sus determinaciones en el campo
espacial y encontrar una justificación de la fórmula. Sus representaciones en el campo
semiótico pasan por señalamiento y actividad perceptual, a diferencia de sus compañeros
expresa menos a través de los movimientos, pero su producción escrita es más elaborada
dando evidencia de su paso por una estructura de generalización de la secuencia. En las
hojas de trabajo no se muestra una fórmula general para cualquier término de la secuencia,
es decir que la variable no aparece como objeto del discurso: esta aparece instanciada en
algunos de sus valores, podemos hablar de una fórmula encarnada a través de una
actividad multimodal en la que interviene la percepción, (…) los símbolos matemáticos y el
lenguaje natural (Radford, 2013a, p. 12) pero sus gestos aparecen en menor medida.
Actividad en la tarea 7
Tarea 7: Secuencia numérica apoyada por representación tabular correspondiente a
5 8 11 14 17
Término 1 Término 2 Término 3 Término 4 Término 5
Ilustración 66: Tarea 7.
Esta tarea pertenece a una generalizacion y fue modificada en la etapa de aplicación
ya que correspondia a , los estudiantes en tareas anteriores buscaban continuamente
el “uno mas” y en este caso la suma es de dos unidades mas. La tarea busca indagar más
profundamente en el aspecto epistemológico de la generalizacion, las preguntas son
84
similares a las tareas anteriores pero sin patrones figurales y la intención es observar como
emergen las fórmulas corpóreas en una secuencia de este tipo.
Actividad que involucra a Sarah en la tarea 7
En este caso Sarah no expresa la fórmula con una estructura aditiva como era usual en
tareas anteriores, la recita verbalmente con una estructura multiplicativa a diferencia de las
veces anteriores Sarah no realiza gestos o movimientos corporales cómo se evidencia en el
siguiente segmento de transcripción donde trabaja en labor conjunta con Ana Lucia.
L01. Profesor: Digamos si yo te pregunto por la figura número 150 ¿qué te toca hacer?
L02. Sarah: ¿Cómo?
L03. Profesor: Digamos si yo te pregunto por el término 150.
L04. Sarah: Entonces sumo (…) multiplico 150 por 3 y al resultado le sumo dos [En este
caso Sarah no hace expresiones corporales sino que solo recita la fórmula].
Ilustración 67: Sarah recitando la fórmula para el término t.
L05. Profesor: ¡He! Anita si yo te preguntara por el término número 250. ¿Cómo harías?
L06. Ana Lucia: ¿Término qué?
L07. Profesor: 250.
L08. Ana Lucia: Pues sería sumar [audio no entendible]
L09. Profesor: Ok, ¿Y el término un millón?
85
L10. Ana Lucia: Se suma tres veces un millón, más un millón, más un millón y al resultado
le sumamos dos daría tres millones dos.
L11. Profesor: Figura 1503 Sarita
L12. Sarah: 1503?
L13. Profesor: ¿Cómo harías para encontrar el numerito?
L14. Sarah: 1503 por 3 y al resultado le sumo dos.
L15. Profesor: ¿Si yo te preguntara por la figura t?
L16. Sarah: ¿T?
L17. Profesor: Donde t es cualquier número.
L18. Sarah: Multiplicarlo por tres y al resultado le sumo dos.
L19. Profesor: Anita si yo te preguntara por la figura s.
L20. Ana Lucia: Pues sería sumar tres veces s y al resultado le sumo dos.
En las declaraciones de Sarah en las tareas 1, 2 y 3 hace uso de la suma para expresar su
fórmula, hasta ese momento se observa que intenta evitar la multiplicación para dar sus
generalidades (Ver tabla 2). Sin embargo en la tarea 7 hace un intento por usarla, pero al
revisar sus registros escritos expresa su generalidad con la suma (Ver Ilustración 67), hasta
este momento y con lo visto en las diferentes tareas se tiene la hipótesis de que la estructura
multiplicativa facilita el desarrollo del pensamiento algebraico, sin embargo al hacer
revisión bibliográfica no se encontró ninguna referencia que apoye esta postura por lo cual
nos atrevemos a realizar la anterior afirmación desde nuestras observaciones con respecto a
la evolución de fórmulas corpóreas.
Ilustración 68: Uso de la estructura aditiva de las fórmulas que usa Sarah.
86
Las producciones de Sarah y Ana Lucía muestran que parece ser cierta la declaración de
Vergel (2016) al expresar que la movilización de gestos y movimientos es menos intensa en
tareas numéricas que en aquellas que tienen índices geométricos. Al presentar a los
estudiantes secuencias figurales estuvieron motivados por encontrar una configuración
espacial que correspondiera con los términos numéricos dados, es por ello que Sarah ve la
necesidad de asociar una figura a la secuencia como se observa en la Ilustración 68.
Ilustración 69: Patrones figurales realizados por Sarah para representar una secuencia numérica con apoyo tabular.
En cuanto al paso por los tres problemas de la generalización en el campo fenomenológico
Sarah ve la necesidad de usar determinaciones espaciales, identifica en labor conjunta con
sus compañeros la necesidad de sumar 2, Sarah logra tener en cuenta sus determinaciones
espaciales y hacer una generalidad expresando: “Multiplicar por tres y al resultado le sumo
dos” finalmente en el campo semiótico se puede decir que Sarah en esta tarea hizo uso de
registros verbales y escritos.
Actividad que involucra a Juan David en la tarea 7
A continuación se observa cómo Juan David en la tarea 7 hace uso nuevamente de un
método inductivo por ensayo y error para hallar la fórmula. Aunque según Radford (2013a)
no posee pensamiento algebraico, a través de sus movimientos se puede inferir que si hace
uso de la indeterminancia al realizar un movimiento con su mano derecha y elevar su
mirada (ver Ilustración 70).
L21. Profesor: Término 100.
87
L22. Juan David: 302.
L23. Profesor: ¿Por qué? acá, me explicas. ¿Tú por qué utilizas el 1 del término 1 el dos del
término dos y el tres del término tres? ¿cómo es que haces esto acá? vuélveme a explicar
eso.
L24. Juan David: (...) Lo primero que hice fue que, fue [audio no entendible] y vi que era
una secuencia de a tres, entonces empecé a multiplicar por tres y vi que no daba, luego le
sumé dos y me dio cinco [señalando y observando el término 1 de la tarea 7 con
movimientos circulares], después empecé a sumarle dos [señalando y observando el
término dos con movimientos circulares] y me dio todos los resultados [haciendo un
desplazamiento de izquierda a derecha de la secuencia de la tarea 7 y levantando la
mirada al tiempo que hace el desplazamiento].
Ilustración 70: Operaciones de los términos dados en la hoja de trabajo de Juan David.
Ilustración 71: Juan David describiendo cómo encontró la fórmula con un método inductivo teniendo en cuenta sus
determinaciones sensibles de tipo numérico en L24 de la sesión 9.
88
En la misma sesión Juan David encuentra, nuevamente, una fórmula general a partir de
ensayo y error pero en el caso de este tipo de secuencias, este método le permitió
encontrarla con facilidad, ya que había usado este método inductivo en múltiples ocasiones.
L47. Profesor: Explica un procedimiento para calcular cualquier término [leyendo la
pregunta 4 de la hoja de trabajo].
L48. Juan David: Multiplico el término por tres y le sumo dos [leyendo la respuesta dada
en la pregunta 4 de la hoja de trabajo].
Ilustración 72: Respuesta de la pregunta cuatro de la Tarea 7 de Juan David.
L49. Profesor: Multiplico la figura (...) término por tres (…).
L50. Juan David: Figura o término [haciendo movimientos de “saltos” con las manos].
Ilustración 73: Juan David describiendo la figura tres de la tarea 7.
L51. Profesor: (...) y le sumo dos. Escríbele un mensaje a un compañero que no asistió a
clase (…) [refiriéndose a la pregunta 5].
L52. Juan David: Toca multiplicar 5753 y al resultado le sumo dos [leyendo su hoja de
trabajo]. Está muy claro.
89
Ilustración 74: Respuesta de la pregunta cinco de la Tarea 7 de Juan David.
Teniendo en cuenta la producción de Juan David en la tarea 7 puede decirse que él busca
establecer ciertas relaciones entre los números de los términos y los números
correspondientes, al no tener elementos espaciales obliga a Juan David a establecer
relaciones numéricas que al parecer provocan una generalización, lo realizado por Juan
David está en relación con lo planteado por Vergel (2016) en no encontrar relación entre la
abducción y la hipótesis, pues en la línea L48 se observa que ha logrado crear su hipótesis,
aunque parece que las generalizaciones creadas por Juan David son aritméticas están muy
cerca de ser algebraicas. Se puede concluir que Juan David por medio de procesos
inductivos ha logrado domesticar su ojo y centrar su atención en las determinaciones
numéricas, constantemente logra extrapolar una propiedad en el campo epistemológico y
denotarla con diferentes recursos semióticos (gestos, señalamientos, palabras, escritos).
Actividad que involucra a Manuel en la tarea 7
A continuación observamos como Manuel en la séptima y última tarea deduce una fórmula
para encontrar cualquier término de una secuencia numérica con apoyo tabular y sin la
necesidad de generar una secuencia figural de apoyo para expresar la generalidad. En el
fragmento de transcripción y en las imágenes de sus hojas de trabajo se ve reflejado que no
solo comprende cómo se comporta la figura sino que va un poco profundo y encuentra
parcialmente una función inversa.
L47. Profesora: Manuel ¿Cómo?
L48. Profesor: ¿Qué fue lo que acabaste de decir?
L49. Manuel: Que tocaba multiplicar (...) esto (...) por tres y sumarle dos. Acá en el
término, digamos, tres por uno, tres por dos, así [señalando el término número uno].
L50. María Paula: Puede servir el término uno pero no entiendo este término dos.
L51. Manuel: Término dos, dos por tres (...) [audio no entendible].
90
Ilustración 75: Fórmulas para términos lejanos de Manuel concordante con lo esperado en la tarea 7.
Ilustración 76: Fórmula para calcular cualquier término de la secuencia donde la indeterminancia no es parte del
discurso.
En este fragmento es “interesante aquí notar que si bien este estudiante había comenzado
con un procedimiento en el cual la abducción analítica o hipótesis no era clara, al parecer el
esquema operacional adquiere mayor consolidación” (Vergel, 2016, p.123). En este caso
como en el de Juan David en la tarea 7 se fortalece más esta afirmación, ya que en estos dos
casos es muy evidente que las operaciones manifiestan e inclusive fortalecen el
entendimiento del comportamiento de la secuencia como se observa en L55 y en las
Ilustraciones 74 y 75.
Continuando en esta misma sesión Manuel, más adelante, produce un método efectivo para
encontrar la relación entre un número dado y su término correspondiente.
L70. Profesora: Duro [hablándole a Manuel].
L71. Manuel: Porque el término de acá atrás, entonces acá se multiplica por tres (…).
L72. María Paula: Pero esto es una división [Mira su propia hoja y después mira la de
Manuel y señala su división].
91
Ilustración 77: A la izquierda Manuel mostrando la operación para encontrar el número del término con número 3005 y
a la derecha María Paula preguntándole el por qué de la división.
L73. Profesora: Espérate, esa pregunta de Paula me gusta, ¿Por qué divides?
L74. Manuel: Porque acá tocaría dividir esto en 3 en 3005 (...) ¿si me entienden?
Ilustración 78: División para encontrar el término a que pertenece el número 3005 y comprobación de su hallazgo a la
izquierda.
En la Ilustración 76 y 77 apoyados con el fragmento de transcripción en L74 se sugiere que
Manuel en labor conjunta con María Paula y la profesora están encontrando un método de
cálculo numérico para la función inversa en el caso del número 3005. Realiza una división
descubriendo que el cociente le da indicios del término, pero Manuel no evidencia, que el
residuo le da evidencia del “más dos” de la secuencia, sin embargo hace la comprobación
de su hallazgo en la parte izquierda de la Ilustración 77.
Desde el campo fenomenológico Manuel halla varias características comunes que le
permiten generar, en labor conjunta, una fórmula concordante con la secuencia desde el
epistemológico, esto lo realiza apoyado en operaciones básicas para hallar los términos
92
preguntados e inclusive halla un método numérico potente para una función inversa de la
secuencia que se encuentra representada en el campo semiótico.
Actividad de Manuel, Juan David y María Paula en labor conjunta de la tarea 7
A continuación se realiza análisis de una discusión focalizada en el grupo de trabajo
conformado por María Paula, Juan David y Manuel, quienes logran a través de la labor
conjunta concluir aspectos importantes para el desarrollo de la tarea; se muestra una parte
de la transcripción de lo trabajado en la sesión:
L132. Profesor: Bueno cómo es la fórmula digamos para el término 100.
L133. Juan David: Eh.
L134. María Paula: Multiplicar el número de la figura por tres y al resultado le sumo dos.
L135. Profesora: ¿Cómo? Yo no escuché nada.
L136. Juan David: Multiplicar el 100 por tres y después sumarle dos y ya.
L137. Profesor: Figura 150 ¿cómo la hallarías? [Mirando a Juan David].
L138.Juan David: Multiplicar el 100 por tres y después sumarle dos.
L139. Profesor: Figura 1000 [Mirando a María Paula].
L140. María Paula: Multiplicar el 1000 por tres y al resultado le sumo dos.
L141. Profesor: Figura 5000 [Mirando a Juan David].
L142. María Paula: Lo mismo.
L143. Profesor: ¿Cómo sería? Dímelo.
L144. María Paula: ¿Yo?
L145. Profesor: Si tú.
L146. María Paula: Multiplicar el número de la figura por tres y al resultado le sumo dos.
L147. Profesor: Figura w.
L148. Juan David: Eh w, w por dos Eh (...) W por tres igual dos igual cualquier número.
[María Paula niega lo que dice Juan David con la cabeza].
L149. María Paula: ¿Lo del abecedario? ¿Las vocales?
L150. Profesora: W cualquier número.
L151. Profesor: W no representa una letra como tal, w representa cualquier otro número,
cualquiera, cualquiera. Si y les preguntara (...).
L152. María Paula: Multiplicar el número de la figura por tres y al resultado le sumo dos.
93
L153. Profesor: por eso, ¿y la w?
L154. María Paula: Uno.
L155. Profesor: No porque la w no sé cuánto vale.
L156. María Paula: Por eso [María Paula mira al piso y hace una pausa].
L157. Profesor: Cómo Haríamos, figura w ¿cómo sería la fórmula?
L158. Juan David: Cualquier número.
L159. María Paula: Coger un número.
L160. Juan David: [audio no entendible].
L161. Profesor: No, el número es w, como sería la fórmula con w.
L162. Manuel y Juan David: [al tiempo] W por tres [Juan David hace movimientos con la
mano para callar a Manuel y levanta la voz].
L163. Manuel: W por tres más dos igual cualquier número.
L164. Profesor: Y figura p, Manuel, Manuel, Manuel [Mira a Manuel para darle la
palabra].
L165. Manuel: P por tres más dos igual un número [Manuel golpea con el marcador su
dedo anular mientras dice cada parte de la fórmula].
Ilustración 79: Manuel haciendo dos golpes y un deslizamiento para decir la fórmula del término p.
L166. Profesor: Figura m Juan.
L167. Juan David: ¿La figura qué?
L168. Profesor: La figura m.
94
L169. Juan David: M por tres más dos igual cualquier número [Hace movimientos en el
aire hacia su izquierda a medida que dice la fórmula y que gira la cabeza hacia su
derecha].
Ilustración 80: Juan realizando tres golpes en el aire y al mismo tiempo moviendo la cabeza a la derecha para decir la
fórmula del término m, .
L170. Profesor: Mapis, Figura número h.
L171. María Paula: Multiplicar h por tres y al resultado le sumo dos.
Ilustración 81: María Paula haciendo tres golpes con su dedo índice, hacia el frente, en el puesto y siguiendo los golpes
con la mirada mientras dice la fórmula para el término h.
95
En el fragmento de transcripción entre L132 y L171 y en las imágenes 78, 79 y 80 emerge
el resultado de una labor conjunta que ha transcurrido a lo largo de la sesión 9 donde los
estudiantes exponen los argumentos que han construido, a partir de las preguntas hechas
por el profesor. Con las evidencias se toma en cuenta lo dicho por Vergel (2014a)
El diálogo, como parte de la labor conjunta, sugiere que los estudiantes no sólo han
tomado conciencia de la característica común sino que la han generalizado, han
propuesto una abducción, esto les permite encontrar el término de figuras grandes o
remotas. (p. 114)
De esta labor conjunta que emerge se debe destacar los señalamientos, saltos en el aire que
movilizan casi de forma sincrónica los estudiantes, desde los planteamientos de Pantano
(2014) “puede inferirse que en la labor conjunta está emergiendo un nodo semiótico
colectivo, en el cual los gestos realizados por un sujeto son complementados por otro para
objetivar el saber puesto en juego en la actividad” (p.57).
Para finalizar, a continuación en la Tabla 2 se presentan las frases claves que tres de los
estudiantes produjeron a través de las 7 tareas. Esto con el objetivo de seguir el transcurso
de la evolución de fórmulas a nivel verbal y/o escrito.
Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel.
Estudiante Producción
tarea 1
Producción
tarea 2
Producción
tarea 3
Producción
tarea 4
Producción
tarea 5
Producción
tarea 6
Producción
tarea 7
Sarah En lo que yo
le expliqué,
como acá
decía la
secuencia,
entonces lo
que yo
entendía era
acá una
menos
[refiriéndose
a la parte
inferior de la
figura] y acá
una más
[refiriéndose
a la parte
superior de
la figura].
Que si me da
el número en
vez de la
gráfica, el
número que
me dé lo
sumo una vez
también otra,
pero para la
otra le sumo
uno que es el
de la mitad.
Entonces
solo lo
sumamos
dos veces y
le sumamos
uno [expresa
con sus
manos lo
que hace]
N más n más
uno.
Toca sumar
cualquier
número tres
veces y
después
sumarle
uno.
Cualquier
número lo
multiplicamos
por seis y le
sumamos uno.
Toca
multiplicar
el número
de la figura
por 4.
Toca sumar
el término 3
veces y
después
sumarle 2.
96
Juan
David
Entonces en
la segunda
que me
ayudo a
resolver esta
es que yo
tome desde
el seis y le
sume cuatro
veces hasta
llegar al diez
y yo después
lo
multiplique
por el 3 y me
da 30
entonces yo
dije no
puede ser,
entonces yo
le reste 3 y
no me daba
reste 4 y me
dio 26,
entonces acá
hice lo
mismo pero
con el 100 y
ya.
Primero
multiplicamos
el número de
la figura por
un lado sin
contar el
centro,
después al
resultado le
sumamos 1.
Cojo el
número de la
figura le
resto uno y
ese número
que me dio
lo multiplico
por dos y le
sumo 3 y me
da el
resultado de
los palitos
que hay.
Multiplico
el número
por 3
después le
sumo 1 que
es el centro.
Multiplicamos
los lados de la
figura por el
número de la
figura después
sumar 1 que
es el centro.
Multiplico
el número
de la figura
sumándole
una por
cuatro que
son los
lados.
Multiplicar
el término
por 3 y
sumarle 2.
Manuel Yo cojo
siempre la
misma
cantidad,
pero uno
más y luego
lo sumo para
que me del
resultado
Yo cojo los
círculos de la
figura y los
multiplicó
con el 3 y el
resultado lo
sumo más 1.
Pues es que
a mí siempre
me da un
número
impar y
estoy
confundido
acá
[refiriéndose
a la figura
100] porque
no sé si da
301 o 201
La cantidad
de la figura
tiene dos
cuadros
más se lo
sumo y
luego
multiplico
por 4 para
llegar al
resultado.
Multiplicar
por 3 y
sumarle 2
para hallar
el resultado.
Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel.
97
Capítulo 5
Conclusiones y reflexiones
A continuación se plantea una posible respuesta a la pregunta de investigación, teniendo en
cuenta la articulación entre los objetivos descritos inicialmente, postulados teóricos de la
teoría de la objetivación, y un análisis multimodal; posteriormente se plantean algunas
reflexiones frente al ejercicio de investigación realizado.
Respuesta a la pregunta de investigación
Para dar respuesta a la pregunta de investigación ¿Qué elementos semióticos,
epistemológicos y fenomenológicos intervienen en la evolución de fórmulas corpóreas
hacia formas más sofisticadas en el proceso de generalización de secuencias de patrones
en estudiantes de cuarto de primaria? se analizaron las producciones de cada una de las
tareas (las grabaciones en video, las transcripciones de los segmentos salientes de actividad,
las hojas de trabajo y el diario de campo) prestando especial atención en las formas en que
los estudiantes comunican sus ideas entre sí, por ello se busca evidencia de los medios
semióticos de objetivación que surgieron en el desarrollo de la investigación:
Señalamientos con el lapicero: Es un medio semiótico de objetivación usado en diferentes
momentos por los estudiantes, donde por medio de éste hacen conteos y relaciones entre los
elementos presentados en las tareas, generalmente los señalamientos fueron acompañados
con elocuciones y acentuaciones de voz junto con golpes en el aire o su hoja de trabajo.
Puede decirse que es una forma en la que los estudiantes expresan sus opiniones con los
recursos con los que disponen sin necesidad de hacer uso del lenguaje escrito.
Movimientos en el aire: Los estudiantes movilizan este medio semiótico de objetivación
para expresar la configuración espacial o numérica de algunos elementos de los términos de
las secuencias, el medio semiótico de objetivación surgió especialmente para denotar el
“uno más” de muchas secuencias, realizar movimientos circulares o rectilíneos como un
intento por describir figuras cercanas o lejanas al profesor u otro compañero. Estos
movimientos en el aire se realizaban comúnmente con la mano derecha y regularmente se
acompañaban de movimientos con la cabeza y/o la mirada.
98
El spinner: En la tarea 3 surge la necesidad de caracterizar la forma de las figuras, para
ello los estudiantes parten de sus determinaciones sensibles en la dimensión espacial de la
figura, asociadas a un centro y tres brazos con igual cantidad de círculos. Un grupo de
estudiantes asociaron esto a la forma de un Fidget spinner (juguete de moda en el momento
de la aplicación de la tarea 2 que se muestra en la Ilustración 37b), lo cual permitió referirse
a la configuración espacial de los términos dados apoyando el proceso de generalización y
permitiendo la objetivación del saber. El spinner se convierte en medio semiótico de
objetivación al mediar la intención de los estudiantes.
Señalamientos con los dedos: Este medio semiótico de objetivación permite a los
estudiantes evidenciar signos, conceptos y permite mostrar las soluciones que plantean en
las hojas de trabajo, los señalamientos permiten interpretar y reflexionar la actividad
realizada en las tareas.
Golpes sobre las hojas de trabajo o escritorio: Este medio semiótico de objetivación fue
usado por los estudiantes para expresar el comportamiento de las secuencias, fue usado más
frecuentemente por Sarah en el momento de conformar sus fórmulas basadas en lo aditivo.
En este medio semiótico de objetivación los estudiantes hacían tantos golpes como
acentuaciones en la frase, por ejemplo, hacían tres golpes (Ver última parte de
análisis de María Paula) y en el caso se realizaban 4 golpes.
Evolución de fórmulas corpóreas
Teniendo en cuenta la postura de fórmulas corpóreas y de evolución que se tomó en este
trabajo y que se aborda en el marco teórico se llegó a las siguientes conclusiones.
La contracción semiótica: En el transcurso de la aplicación los estudiantes usaron
diferentes medios semióticos de objetivación como se enunció en el apartado anterior. Al
inicio de las actividades fueron más frecuentes, sin embargo con el transcurso del tiempo
cuando trabajaban con más tareas fueron disminuyendo en intensidad y variedad de medios
semióticos, siendo más evidentes los medios escritos y verbales, es importante nombrar que
se evidenció mayor uso de medios semióticos de objetivación en tareas que tenían
99
componentes espaciales o geométricos y en las tareas numéricas con apoyo tabular se
potenciaba el uso de la fórmula y las operaciones de forma escrita o verbalizada.
La iconicidad: Un ejemplo de ello es el medio semiótico de objetivación (MSO)
“spinner”, en un principio fue tomado para comprender y llegar a la fórmula .
Otros MSO fueron “filas arriba y filas abajo” junto con “arriba uno más y abajo uno
menos”; “uno más”.
Transcurso por los tres problemas
Después de la aplicación de las tareas se puede evidenciar que los estudiantes toman
determinaciones espaciales y numéricas en el campo fenomenológico, las determinaciones
que toman los estudiantes dependen de lo refinada que esté su mirada, entre más
experiencia tenga el estudiante con tareas relacionada con patrones será más fácil notar sus
determinaciones. Con lo realizado en esta investigación se evidencia que la característica
común es extrapolada al tener un trabajo arduo en el campo epistemológico, aunque es
difícil lograr una abducción analítica porque los estudiantes se basan en procedimientos
inductivos de ensayo y error, es posible lograrla por medio de la labor conjunta realizada
con otros compañeros. En cuanto a la forma de denotar los objetos matemáticos es
importante resaltar los diferentes medios semióticos de objetivación que van evolucionado,
ya que en los estudiantes va emergiendo una fórmula encarnada, como en el caso de los tres
estudiantes analizados, denotándola a través del cuerpo y la producción escrita.
En cuanto a los tipos de secuencias utilizadas y el campo fenomenológico:
Las secuencias geométricas apoyan la evolución de fórmulas corpóreas con la condición
que estas tengan ayudas visuales en lo espacial y geométrico, ya que entre más indicios de
una fórmula estén implícitos en la figura, mayor será la actividad desde el campo
fenomenológico al extraer determinaciones sensibles desde la dimensión espacial con
mayor facilidad.
Un ejemplo de estas ayudas visuales que permitieron la producción de determinaciones
sensibles estuvo en la tarea uno (una secuencia ya aplicada y probada en investigaciones
anteriores) donde la cantidad de cuadrados sin sombrear en las “filas arriba y abajo”
100
correspondía al número del término y el cuadrado sombreado correspondía al “uno más”.
Un segundo ejemplo se observó en la tarea 2 donde la cantidad de círculos en cada lado del
“Spinner” también correspondía al número de la figura y el círculo sombreado de la mitad
al “más uno”. En contraste en la tarea tres, los estudiantes requirieron de más tiempo para
hallar la generalidad debido a que en la figura no eran muy evidentes el “más uno” y lados
o filas que le indicaran al estudiante donde encontrar el número de la figura y así hallar una
fórmula. En el caso de Manuel fue necesario mayor tiempo para el análisis de la secuencia
para relacionarla con la fórmula que había hallado aparentemente de manera inductiva, sin
embargo en la interacción con el profesor pudo encontrar los espacios que le indicaban la
separación de dos fósforos y el fósforo inicial que indicaba el “más uno”. En conclusión, es
enriquecedor el trabajo con secuencias figurales que hablen por sí solas ya que permiten el
surgimiento de fórmulas.
En cuanto las secuencias numéricas (no figurales) se puede trazar una serie de rutas
similares a la estructura de generalización de secuencias figurales (ver ilustración 1) sin
embargo dentro de las determinaciones sensibles los estudiantes toman recursos de tareas
anteriores o de otros compañeros (surgimiento de iconicidad) para poder extraer
características comunes en el campo epistemológico. En parte de estas generalizaciones los
estudiantes hacen uso de métodos inductivos de ensayo y error, como lo hace Juan David y
Manuel, pero es más interesante observar los recursos que tomaron Sarah junto con Ana
Lucía al generar una secuencia figural que correspondiera con la numérica (ver actividad de
la tarea 7 de Sarah). Este último caso es meritorio de mayor investigación ya que todavía
quedan muchas inquietudes como investigador para poder entrar a hacer inferencias.
Es importante aclarar que para el análisis en esta investigación fue importante el uso de los
dos tipos de secuencias, tanto numéricas como geométricas (las dos con apoyo tabular) ya
que permitieron el surgimiento de datos de gran importancia para dar respuesta a la
pregunta de investigación, sin embargo, la secuencia presentada pudo ser más productiva en
el sentido de la evolución de fórmulas corpóreas ya que se usaron secuencias
correspondientes a fórmulas iguales ( o por ejemplo). La variedad de
secuencias y de posibles fórmulas amplia el espectro de MSO y de recursos movilizados
por el estudiante, en otras palabras, no es conveniente usar las mismas fórmulas para varias
101
tareas ya que esto produce en los estudiantes la sensación que en todas, por ejemplo, hay
que sumarle “más uno” cuando puede que no sea necesario sumar algo adicional o sumarle
“más dos”. En este sentido se amplían las determinaciones sensibles desde la dimensión
numérica al usar variedad de tareas, de secuencias y de tipos de secuencias.
En cuanto a la experiencia en la generalización de patrones y la abducción analítica
Tanto la variedad de tareas, de secuencias y de tipos de secuencias como el uso de
secuencias que hablen por sí solas que permiten el surgimiento de fórmulas mediante las
determinaciones sensibles son de gran importancia en la abducción de características
comunes en el campo epistemológico con mayor eficacia y prontitud. En este caso la
experiencia de los estudiantes con seis tareas con fórmulas correspondientes a
y (todas figurales con apoyo tabular) permitió a los estudiantes
abordar una secuencia numérica y extraer una fórmula concordante a la esperada través de
diferentes recursos usados con anterioridad.
En cuanto a la representación del objeto generalizado y los MSO
En cuanto a la utilización de diversas secuencias se evidenció que a medida que los
estudiantes adquirían más experiencia en el transcurso por la estructura de generalización
de secuencias figurales denotaban o representaban lo indeterminado a través de MSO
menos ininteligibles o complejos mediante la contracción semiótica de los nodos
semióticos utilizados reiteradamente.
De la misma forma la representación del objeto generalizado y su comprensión se ven
fuertemente influenciadas por el tipo de generalización abducida ya sea aritmética o
algebraica. En el caso de la generalización algebraica, la abducción analítica del objeto
generalizado depende del carácter operatorio, en este sentido el dominio de una estructura
multiplicativa permite ampliar la variedad de cálculos que se pueden hacer, por ejemplo, el
surgimiento de una fórmula para la función inversa de una secuencia en el caso de Manuel.
En conclusión, el uso de una estructura aditiva también permite realizar generalizaciones
como es el caso de las tareas de Sarah, pero generar fórmulas de las secuencias aplicadas en
este trabajo con una multiplicación asociada permite una generalización más útil para los
estudiantes.
102
Reflexiones
En este apartado se encuentran las reflexiones generales de esta investigación, mostrando
alcances y limitaciones que se encontraron en el proceso.
El buen constructo teórico facilitó el análisis debido a la investigación en torno a la teoría
de la objetivación. En cuanto a la metodología hay es conveniente ser muy riguroso en la
fase de pilotaje, ya que permite agilizar el proceso de investigación permitiendo dar
respuesta a la pregunta planteada de forma eficiente, pues las tareas planteadas deber ser
pertinentes para el objeto de investigación.
Por otro lado se debe resaltar la importancia de las observaciones ya que identificar medios
semióticos de objetivación es complejo, teniendo en cuenta que todo gesto o movimiento
que se despliegue en la actividad no necesariamente es un medios semióticos de
objetivación, por ello se considera un factor relevante que la persona encargada de grabar
las sesiones tenga conocimiento de la Teoría de la Objetivación.
La variedad del tipo de tareas y de preguntas adquirió mayor importancia que la cantidad,
ya que aplicar tareas similares provoca en la recolección de datos saturación teórica, ya que
os datos se van a emerger muy similares de forma repetitiva, en cambio, la variedad de
secuencias de patrones en cuanto a las fórmulas que podrían emerger de estos y su
representación gráfica, evidencian datos más enriquecedores en menor cantidad de
sesiones.
103
Limitaciones del estudio
Desde las experiencias vividas en la construcción de esta investigación es importante
resaltar algunos aspectos limitantes para desarrollar un estudio bajo la perspectiva de la
teoría de la objetivación, desde nuestra experiencia encontramos:
1. Selección de las tareas: es importante empezar a cambiar el tipo de tareas que se
presenta a los estudiantes, teniendo en cuenta su contexto cultural. Las tareas
pueden ser elaboradas con material concreto, donde posiblemente los estudiantes
puedan extrapolar comunalidades de forma vivencial y así lograr conciencia. La
fase de pilotaje debe ser trabajada rigurosamente, centrando la atención en el objeto
de estudio planteado.
2. Refinamiento de la actividad perceptual: como investigadores se debe tener claro el
objeto de estudio, de forma que la mirada no se desvié hacia elementos que
posiblemente no contribuyan a resolver la pregunta de investigación, desde el marco
de la teoría de la objetivación van a hacerse evidentes muchos constructos teóricos
que se deben reportar sin embargo los investigadores deben tener cuidado en no
desviar la mirada de su objetivo. Las preguntas que se formulen a los estudiantes
deben ser claras y tener un propósito, ya que la constitución del dato depende en
gran medida de las interacciones que hay entre profesor y estudiante.
104
Referencias bibliográficas
Arzarello, F. (2006). Semiosis as a multimodal process. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, Special Issue on Semiotics, Culture, and
Mathematical Thinking, 267-299.
Centro de Innovación en la Enseñanza de Matemáticas (CIMT), (Julio de 2005). Centre for
Innovation in Mathematics Teaching. Recuperado el 25 de marzo de 2017.
Disponible en: http://www.cimt.org.uk/projects/mepres/book9/bk9i10/bk9_10i1.html
Bautista, S y Cardozo, J. (2016). La evaluación desde la Teoría cultural de la objetivación:
Una experiencia con estudiantes de grado octavo. Tesis de Maestría. Universidad
Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá, Colombia
Godino, J y Font, V. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros.
Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada. Granada, España.
Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros.
Mason, J., Graham, A., Pimm, D. y Gowar, N. (2014). Rutas hacia el / Raíces del álgebra.
(C. Valderrama, Trad.) Ibagué, Colombia: Colors Editores.
Moreno, P. (2014). La contracción semiótica como proceso de objetivación en estudiantes
de grado sexto en el campo del pensamiento algebraico. Tesis de Maestría,
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.
Pantano, O. (2014). Medios semióticos y procesos de objetivación en estudiantes de tercer
grado de primaria al resolver tareas de tipo aditivo en los naturales. Tesis de
Maestría, Universidad Pedagógica Nacional, Colombia, Bogotá, Colombia.
Radford, L. (2002). On heroes and the collapse of narratives: a contribution to the study of
symbolic thinking. Actas de la 16ª Conferencia del Grupo Internacional para la
Psicología de la Educación Matemática, PME 26, Anne D. Cockburn y Elena Nardi
(eds.), 4, 81-88.
Radford, L. (2003). Gestures, speech, and the sprouting of signs: A semiotic-cultural
approach to students' types of generalization. Mathematical thinking and learning,
5(1), 37-70.
Radford, L. (2005). ¿Why do gestures matter? Gestures as semiotic means of
Objectification. En Helen L. Chick, Jill L. Vincent (Eds.), Actas de la 29ª
105
Conferencia del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación
Matemática, Universidad de Melbourne, Australia, 1(1), 143-145.
Radford, L. (2008). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of algebraic
generalizations of patterns in different contexts. ZDM Mathematics Education, 40,
83-96.
Radford, L. (2010a). The eye as a theoretician: Seeing structures in generalizing activities.
For the learning of mathematics, 30(2), 2-7.
Radford, L. (2010b) Layers of generality and types of generalization in pattern activities,
PNA, 4(2), 37-62.
Radford, L. (2010c). Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Research in
Mathematics Education, 12(1), 1-19.
Radford, L. (2013a). En torno a tres problemas de la generalización. En Rico, L., Cañadas.
M., Gutierrez J., Molina, M y Segovia, I. (Eds,) Investigación en didáctica de las
matemáticas, Granada, Comares, 12(3)
Radford, L. (2013b). Three Key Concepts of the Theory of Objectification: Knowledge,
Knowing, and Learning. Journal of Research in Mathematics Education, 2 (1), 7-44.
Disponible en: http://doi.dx.org/10.4471/redimat.2013.19
Radford, L. (2017). Aprendizaje desde la perspectiva de la Teoría de la Objetivación. En B.
D' Amore y L. Radford, Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: problemas
semióticos epistemológicos y prácticos, Bogotá, Colombia, UD editorial. 113-134.
Radford, L. (2018). Algunos desafíos encontrados en la elaboración de la teoría de la
objetivación. PNA, 12(2), 61-80.
Radford, L. (2018). Teaching and learning algebraic thinking with 5- to 12-year-olds: The
global evolution of an emerging field of research and practice, (págs. 3-25). New
York: Springer.
Rojas, P. y Vergel, R. (2013). Procesos de Generalización y Pensamiento Algebraico.
Educación científica y tecnológica, Número especial, 688-694.
Tufts University. (2004). Functions as Patterns, Hops, Tables, and Mathematical
Expressions. Universidad Tufts. Boston, Massachusetts.
Vasilachis, I. (2006). La investigación cualitativa. En I. Vasilachis (Coord.). Estrategias de
investigación cualitativa, Barcelona, España: Gedisa. 23-64
106
Vergel, R. (2014a). Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y
quinto grados de educación básica primaria (9-10 años). Tesis Doctoral. Universidad
Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia.
Vergel, R. (2014b) El signo en Vygotski y su vínculo con el desarrollo de los procesos
psicológicos superiores. Folios, 39, 65-76.
Vergel, R. (2015). Sobre la emergencia del pensamiento algebraico temprano y su
desarrollo en educación primaria. Bogotá, Colombia. UD editorial.
Vergel, R. (2016). El gesto y el ritmo en la generalización de patrones. Uno Revista de
Didáctica de las Matemáticas. 73. 23-31.
Zapatera, A. (2016). Cómo desarrollar el pensamiento algebraico. Uno Revista Didáctica
de las matemáticas (32). 32-37.