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Análisisdecircuitos.Examendejuniode2010
EnriqueSánchez.Dpto.TeoríadelaSeñalyComunicaciones.ETSIT‐Vigo.IngenieríaTécnicadeTelecomunicación
1
Examendejuniode2010
Soluciones
Análisisdecircuitos
IngenieríaTécnicadeTelecomunicaciónPrimercurso
Añoacadémico2009‐10
EnriqueSánchezDepartamentodeTeoríadelaSeñalyComunicaciones
EscuelaTécnicaSuperiordeIngenierosdeTelecomunicaciónUNIVERSIDADDEVIGO
correoelectrónico:[email protected]
Sitiosweb:http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html
http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/acGDAF.html
http://www.tsc.uvigo.es
http://www.teleco.uvigo.es
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PROBLEMA1
Enelcircuitodelafigura,enelquelafuenteindependienteescontinuadevalor
VG,noseproducenmáscambiosdespuésdelcierredelinterruptor.a. HalladlosvaloresdevC,iC,vLeiLparat=0‐,t=0+yt=∞(1.2puntos).b. Hallad las ecuaciones diferenciales que rigen la evolución de vC(t) e iL(t)
parat≥0s(0.8puntos).c. La fuente independiente continua es sustituida por otra variable con el
tiempo,vG(t)ylafuentedependienteesdejadaencircuitoabierto(g=0S).Enestascondiciones,halladlafuncióndetransferenciaparat≥0s,estandoaquélladefinidacomo
€
H(s)=V0(s)VG(s)
siendoVO(s)yVG(s),respectivamente,lastransformadasdeLaplacedevO(t)yvG(t).Sielcircuitosecomportacomounfiltro,¿aquétipocorresponde?(1.2puntos).
d. ObtenedlaexpresióntemporaldevO(t)parat≥0s(0.8puntos)sabiendoquevG(t)eslafunciónescalónunitarioyquelafuncióndetransferenciadelcircuitoes
€
H(s)=VO(s)VG(s)
=1012
s2 + 2×106s + 2×1012
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PROBLEMA1,apartadoaPara t = 0‐ s, las inductancias son cortocircuitos y las capacidades, circuitos
abiertos,conloque
€
vL(0− )=0 V iC(0
− )=0 A Además,
€
iL(0− )= − iC(0
− )=0 A
€
vC(0− )= vL(0
− )+ [iL(0− )+ gvC(0
− )]R ⇒ vC(0−)=0 V
Parat=0+s,hademantenerselacontinuidaddelatensiónenlacapacidadydelacorrienteenlainductancia,conloque
€
vC(0+ )= vC(0
− )= 0 V iL(0+)= iL(0
− )= 0 A
Además,secumplenlasrelaciones
€
VG − vC(0+ )
R= iC(0
+ )+ iL(0+) ⇒ iC(0
+ )=VGR
€
vC(0+ )= vL(0
+ )+ [iL(0+ )+ gvC(0
+ )]RO ⇒ vL(0+)= 0 V
Ent=∞selcircuitoestáenrégimenpermanentecontinuo,locualsignificaquelas inductancias y las capacidades son, respectivamente, cortocircuitos y circuitosabiertos.Esdecir,
€
iC(∞)= 0 A vL(∞)= 0 V
Además,
€
VG − vC(∞)R
= iC(∞)+ iL(∞)
vC(∞)= vL(∞)+ [iL(∞)+ gvC(∞)]R⇒
vC(∞)=VG
2− gR
iL(∞)=VGR
1− gR2− gR
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PROBLEMA1,apartadob
Enelcircuito,parat≥0s,secumplenlassiguientesrelaciones:
(1)
€
VG − vC(t)R
= iC(t)+ iL(t) vC(t)= vL(t)+ [iL(t)+ gvC(t)]R (2)
Además, la inductancia y la capacidad están caracterizadas, respectivamente,porlassiguientesrelacionesfuncionales:
(3)
€
vL(t)= LdiL(t)dt
iC(t)=CdvC(t)dt
(4)
DespejandoiL(t)de(1),yteniendoencuenta(4),seobtiene
€
iL(t)=VGR−vC(t)R
−CdvC(t)dt
(5)
Sustituyendo(5)en(2),yteniendoencuenta(3),sellegaa
€
LCd2vC(t)dt2
+LR
+ RC
dvC(t)dt
+ (2− gR)vC(t)= VG (6)
DespejandovC(t)de(2)ysustituyendoel resultadoen(1), teniendoencuenta(4),seobtiene
€
LCd2iL(t)dt2
+LR
+ RC
diL(t)dt
+ (2− gR)iL(t)=(1− gR)VG
R (7)
Lasecuaciones(6‐7)sonlasecuacionesdiferencialesbuscadas.
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PROBLEMA1,apartadoc En las condiciones indicadas (fuente dependiente en circuito abierto) yutilizando transformadas de Laplace, el circuito queda en la formamostrada en lafiguraadjunta,conloque,aplicandoanálisispormallas,sellegaa
€
VG(s)= IG(s) R +1sC
−
I0(s)sC
0= −IG(s)sC
+ I0(s)1sC
+ sL + R
⇒ H(s)=I0(s)RVG(s)
=1/(LC)
s2 + s RL
+1RC
+
2LC
La respuesta en frecuencia del circuito se obtiene a partir del módulo de sufuncióndetransferencia,llegándoseaque
€
H(s)=VO(s)VG(s)
⇒ H(jω) = H(s)s=jω
=
1LC
2LC
−ω2
2
+1RC
+RL
ω
2
ω→ 0 rad/s ⇒ H(jω)→ 12
ω intermedia ⇒ valor finito de H(jω)
ω→∞ rad/s ⇒ H(jω)→ 0
Luegoelcircuitosecomportacomounfiltropasobajo.
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PROBLEMA1,apartadod
€
vG(t)=u(t)⇒ VG(s)=1s
€
VO(s)=H(s)VG(s)=1012
s(s2 + 2×106s + 2×1012 )=N(s)D(s)
€
s2 + 2×106s + 2×1012 = 0 ⇒ sc = −α + jβ sc* = −α − jβ
α =106 s−1 β =106 rad/s
€
VO(s)=K 0s
+Kcs − sc
+Kc*
s − sc*
K 0 =sN(s)D(s)
s=0 s−1
= 0.5 V
Kc =(s − sc )N(s)
D(s)
s=sc
=(− 0.25 + j0.25)×106 V ⇒
⇒ Kc = 0.25 2 ×106 V θc = arctg 0.25×106
− 0.25×106= −135 °
Enconsecuencia,
€
vO(t)=K 0u(t)+ 2Kc e−αt cos(βt + θc )= 0.5 + 0.5 2 ×106e−10
6 t cos(106 t −135 °) V
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PROBLEMA2
Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,
funcionaenrégimensinusoidalpermanenteaunafrecuenciaangularω.
a. Escribid un sistema algebraico de cuatro ecuaciones a partir del cual seaposibledeterminar losvaloresdeIG,Ia,IbeIc.Noobtengáis losvaloresdeestosfasores(0.8puntos).
b. Suponiendo conocido el valor de Ia, obtened la tensiónVcd y la potenciacompleja entre c y d. No desarrolléis los cálculos; basta con dejarlosindicados(0.4puntos).
c. Obtened losparámetrosdeadmitanciadelcuadripoloabcd;en loposible,agrupadimpedanciassindesarrollarloscálculoshastaobtenerexpresionesfinales.¿Puedesersimétricoestecuadripolo?(0.6puntos).
d. Suponiendoqueloselementosdelcircuitotienenlosvaloresindicadosmásabajo, calculad el equivalente de Thévenin entre los puntosa yb. Podéishacerloconsiderandoelcircuitotalycomohasidodibujadoobienapartirdelconocimientodelosparámetrosdeadmitancia(0.6puntos).
€
VG =1 V ωM =0.5Ω a =3RG =1Ω Rb =2.5Ω Rc =8.1Ω
ωLG =0.5Ω ωLa =0.5Ω ωLb =1Ω ωLc =1ΩωCG =2S ωCb =1S ωCc =1S
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e. Suponiendoqueloselementosdelcircuitotienenlosvaloresindicadosmásabajo,obtenedlaexpresióntemporaldelapotenciaenlaramacd.Utilizadaproximaciones matemáticas razonables y agrupaciones de impedanciassiemprequeseaposible(0.6puntos).
€
vG(t)= VDC + VAC cos(ωt + ϕ)
€
VDC =1 V VAC =1 V ω =1Mrad/s ϕ =0 °
RG =1Ω LG =0.5µH La =0.5µH CG =2µFRb =2.5Ω M =0.5µH Lb =1µH Cb =1µFRc =8.1Ω a =3 Lc =1µH Cc =1µF
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PROBLEMA2,apartadoa
Reflejandoimpedancias,seobtiene
€
VG = IG RG +1
jωCG
−
IajωCG
0 = −IGjωCG
+ Ia1
jωCG+ jωLG + jωLa +
(ωM)2
jωLb + Rb +1
jωCb
+
Rc +1
jωCc+ jωLc
a 2
0 = Ia jωM + Ib jωLb + Rb +1
jωCb
Ia = aIc
PROBLEMA2,apartadob
Denuevoreflejandoimpedancias,setiene
€
Vcd = Ia jωLa +(ωM)2
jωLb + Rb +1
jωCb
+
Rc +1
jωCc+ jωLc
a2
Scd =VcdIa
*
2
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PROBLEMA2,apartadoc
Haciendo
€
V1 = Vab V2 = Vcd
I1 = IG
I2 : corriente que entra en c
teniendo en cuenta que las impedancias reflejadas en los primarios de ambostransformadores(linealeideal,respectivamente)son
€
Zlin =(ωM)2
jωLb + Rb +1
jωCb
Zid =
Rc +1
jωCc+ jωLc
a 2
yaplicandoanálisispornudos,sellegaa
€
I1 =V11
jωLG+ jωCG
−
V2jωLG
I2 = −V1jωLG
+ V21
jωLG+
1jωLa + Zlin + Zid
(1)
Lasecuacionesquedefinenlosparámetrosdeadmitanciason
€
I1 =V1y11 + V2y12 I2 =V1y21 + V2y22 (2)
Comparando término a término (1) y (2) se obtienen los parámetros deadmitanciabuscados,queson
€
y11 =1
jωLG+ jωCG y12 = −
1jωLG
y21 = −1
jωLGy22 =
1jωLG
+1
jωLa + Zlin + Zid
Para que sea simétrico, el cuadripolo ha de ser recíproco. Esto exige que secumplaquey12=y21.Estacondiciónsecumplesiempre.Además,hadecumplirsequey11=y22.SalvoenelcasodequeRb=0Ω=Rc,estacondiciónnopuedesatisfacerse,porque y11 es un parámetro imaginario puro,mientras que y22 tiene partes real eimaginaria.
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PROBLEMA2,apartadod
Utilizando losdatosdel problema, lasdosprimeras ecuacionesdel apartadoaquedan como se indica, con lo que esposible obtener los valoresde las corrientesimplicadas,apartirdelascualessecalculalatensiónequivalentedeThévenin.
€
1= IG(1− j0.5)+ j0.5Ia0 = j0.5IG + Ia(1+ j0.5)
⇒IG = 0.66 + j0.33AIa = − j0.33A
VTh =Vab =IG − IajωCG
= 0.33− j0.33V
AlsustituirCGporuncortocircuitotodalacorrientesuministradaporlafuentesevapordichocortocircuito, con loque la impedanciaequivalentedeThéveninsecalculacomosigue:
€
IN = Iab =VGRG
=1A ⇒ ZTh =VThIN
= 0.33− j0.33Ω
Sirecurrimosalosparámetrosdeadmitancia(cuyosvaloressehanobtenidoapartir de las expresiones del apartado c y los datos del problema), la tensiónequivalentedeThéveninsecalculacomoseindicaacontinuación.
€
y11 = 0S y12 = j2S y21 = j2S y22 = 0.8 − j2.4 S
€
VG = I1RG + V1I2 = 0 A
I1 =V1y11 + V2y12I2 =V1y21 + V2y22
⇒ VTh =V1 =VGy22
y22 + RG(y11y22 − y12y21)
Utilizandolasmismasecuaciones,lacorrientedeNortonsecalculacomosigue:
€
V1 = 0 V ⇒ IN = I1 =VGRG
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PROBLEMA2,apartadoe
Como puede observarse, la excitación tiene dos componentes, con lo que, deacuerdo con el principio de superposición, también habrá dos componentes en lacorrienteylatensióndesalida.Esdecir,
€
ia(t)= IaDC + iaAC(t)= IaDC + IaAC cos(ωt + θ)v2(t)= V2DC + v2AC(t)= V2DC + V2AC cos(ωt + γ)
p2(t)= ia(t)v2(t)
Componentecontinua
Para la componente continua (vG(t) = VDC), las capacidades y las inductanciasson,respectivamente,circuitosabiertosycortocircuitos,conloquelaparteizquierdadelcircuitoquedareducidaalafuenteenserieconunaresistencia(losprimariosdelostransformadoressoncortocircuitos).Enconsecuencia,
€
IaDC = I1 =VDCRG
=1A V2DC = IaDC Rcd = 0 V
Componentesinusoidal
Para la componente sinusoidal (VG = 1 V) hay que utilizar las dos primerasecuacionesdel apartado a. Teniendo en cuentaque losdatos coinciden con losdelapartadoe,sellegaalmismoresultadoconrespectoalacorriente.Esdecir,
€
IaAC = − j0.33 A ⇒ iaAC(t)=Re{IaACejωt } =0.33cos(ωt −90 °) A
V2AC = IaAC jωLa +(ωM)2
jωLb + Rb +1
jωCb
+
Rc +1
jωCc+ jωLb
a2
=0.17− j0.33 V ⇒ v2AC(t)=Re{V2ACejωt } =0.37cos(ωt −63.43 °) V
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PROBLEMA3
Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,funcionaenrégimensinusoidalpermanente.
Lasvariacionesdelaamplitudylafaseconlafrecuenciaangulardelafunciónde
transferencia,H(jω) = VL(jω)/VG(jω), son las representadas en la figuraque sigue acontinuación.
a. Hallad la frecuenciaangularpara laque laentraday la salidadel circuito
tienenlamismafase(0.5puntos).b. Como puede observarse en las figuras del enunciado, el circuito se
comportacomoun filtropasobanda.Hallad las frecuenciasangularesquelimitanlabandadepaso(0.5puntos).
c. Explicad cualitativamente por qué la fase de la función de transferenciatiendea‐90°parafrecuenciasmuyelevadas(0.5puntos).
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d. Suponiendo que la fuente de tensión está caracterizada por una funciónperiódicacomolarepresentadaenlafiguraquesigue,obtenedeldesarrolloenseriedeFourierdedichafunciónexpresadoennotacióntrigonométrica(0.75puntos).
e. Suponiendoquelaexcitaciónesdelaformaindicadaenlafiguraquesigue,
obtenedsutransformadadeFourier(0.75puntos).
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PROBLEMA3,apartadoa
Silaentradaylasalidaestánenfase,estosignificaquelafasedelafuncióndetransferenciaesnula.
Buscando esa condición en la figura que muestra la variación de la fase seobtiene
ω0=2×103rad/s
PROBLEMA3,apartadob
Lasfrecuenciasquelimitanlabandadepasosonaquellasqueverificanloqueseindicaacontinuación.
€
H(jω)max
= 0.25
ω =ω1ω2
⇒ H(jω) =H(jω)
max
2≈ 0.175
Enlafiguraquemuestralavariacióndelmódulodelafuncióndetransferenciacon la frecuencia angular puede observarse que las frecuencias para las que dichomódulotieneelvalorindicadoson
€
ω1 = 0.8×103 rad/s ω2 = 5×103 rad/s
PROBLEMA3,apartadoc
A frecuencias elevadas (varios órdenes de magnitud superiores a la deresonancia), lascapacidadesy las inductanciassecomportancomocortocircuitosycircuitosabiertos,respectivamente.Enconsecuencia,paratalesfrecuencias
€
IG ≈VGRG
⇒ VCG ≈IGjωCG
⇒ ∠VCG ≈∠IG − 90 ° ≈∠VG −∠RG − 90 °
Porotro lado,VCGcoincideconVLyaqueestamossuponiendoque lacorrientequecirculaporlaramaR‐Lesmuypequeña.Lacaídadetensiónendicharamaseráprácticamente la que se tenga en la inductancia, puesto que ésta presenta unaimpedanciamuysuperioraladelaresistencia.
Esdecir,entreVGyVLhayundesfasedeaproximadamente90°,queeselmismoquepresentalafuncióndetransferencia.
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PROBLEMA3,apartadod
LaseriedeFourierseobtienecomoseindicaacontinuación.
€
av =1T
vG(t)dt0T∫ =
1T
VlowdtT/4T/2∫ +
1T
Vhighdt3T/4T∫ =
VlowT
t[ ]T/4T/2
+VhighT
t[ ]3T/4T
= 0.75 V
€
ak =2T
vG(t)cos2kπtT
dt =
2T
Vlow cos2kπtT
dt +
2T
Vhigh cos2kπtT
dt =3T/4
T∫T/4T/2∫0
T∫
=Vlowkπ
sen 2kπtT
T/4
T/2
+Vhighkπ
sen 2kπtT
3T/4
T
= −1kπ
sen kπ2
+ 2sen
3kπ2
€
bk =2T
vG(t)sen2kπtT
dt =
2T
Vlowsen2kπtT
dt +
2T
Vhighsen2kπtT
dt =3T/4
T∫T/4T/2∫0
T∫
= −Vlowkπ
cos 2kπtT
T/4
T/2
−Vhighkπ
cos 2kπtT
3T/4
T
=1kπ
cos kπ2
+ 2cos
3kπ2
− 2 + cos kπ( )[ ]
€
Ak = ak2 + bk
2 ϕk = arctg bkak
€
vG(t)= av + Ak cos2kπtT
−ϕk
k=1
∞
∑
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PROBLEMA3,apartadoe
AplicandoladefinicióndetransformadadeFourier,setiene
€
F(ω)= A(ω)− jB(ω)= vG(t)e−jωtdt = Vlowe
−jωtdt + Vhighe−jωtdt =3T/4
T∫T/4T/2∫−∞
∞∫
= −Vlowjω
e−jωt[ ]T/4T/2
−Vhighjω
e−jωt[ ]3T/4T
=
=1ω
Vlow senωT2
− sen
ωT4
+ Vhigh sen(ωT)− sen
3ωT4
−
−jω
Vlow cos ωT4
− cos
ωT2
+ Vhigh cos
3ωT4
− cos(ωT)