EXAMEN SEPTIEMBRE 2015

1.- Sea el número escrito en base decimal 944X63973Y87641. Sabemos que es múltiplo de 33 y que el número formado por las cifras X63973Y es múltiplo de 8. Halle las cifras X e Y, justificando la respuesta (2 puntos).

2.- Sea G un grafo con 14 vértices etiquetados con los números del 1 al 14.

Dos vértices m y n tienen una arista común si y sólo si |m - n| es múltiplo de 4 o de 7.

a) Estudie si G es euleriano y, en caso contrario, si existe o no un camino euleriano.b) Estudie si el grafo es bipartito.c) Encuentre un ciclo hamiltoniano. (3 puntos)

3.- Sea G un grafo (no multigrafo ni pseudografo) conexo con n 2 vértices.

Demuestre que tiene que haber en G al menos dos vértices con el mismo grado. (1 punto)

4.- a) Tenemos 5, 2, 1 y 4 bolas, respectivamente, de cuatro colores C1, C2, C3 y C4. ¿Cuántos resultados diferentes se obtienen al colocar esas bolas en cuatro cajas si las bolas de color Ci han de ir en la caja i y en cada caja pueden colocarse cualquier número de bolas desde 0 hasta el número total de bolas de ese color? (Las bolas de cada color son indistinguibles).

b) Sea la descomposición factorial de un número natural N = p1s1·p2

s2····· prsr, con los

si > 0 para todo i. ¿Cuántos divisores tiene el número N? (2 puntos)

5.- Halle la solución general del sistema de congruencias: x ≡ 2 mod (5), 2x ≡ 3 mod (7), 3x ≡ 5 mod (11). (2 puntos).