c Christophe Bertault - MPSI Raisonner, rdiger

Exercice 1

Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1) n N, n > 2 = n > 3. 2) x R, x > 2 = x > 3.3) (x, y) (R)2, x < y = 1

x>

1

y.

4) z, z C \ {i}, z 6= z = z + iz i 6=

z + i

z i .

Exercice 2

Traduire en bon franais naturel les propositions suivantes, puis dterminer en justifiant

leur valeur de vrit.

1) n N, N N/ n 6 N N N/ n N, n 6 N .2) y R+, x R/ y = ex x R/ y R+, y = ex.3) Soient f : R R une fonction.

x R, y R/ y = f(x) y R/ x R, y = f(x).

Exercice 3

Soit f : R R une fonction. Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :1) f est croissante. 2) f prend des valeurs aussi grandes que lon veut.3) f possde un minimum. 4) f sannule au plus une fois.

Exercice 4

Soit f : R R une fonction. Comprendre les propositions suivantes, les illustrer parune ou plusieurs figures et dterminer leur ngation.

1) M R/ x R, f(x) 6M . 2) x R, f(x) > 0 = x > 0.3) x R, f(x) > 1 ou f(x) 6 1.

Exercice 5

Soit E ={x, y}un ensemble, o x et y sont deux objets distincts. Les propositions

suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

x E, {x} E, {x} E, E, E, {} E.Exercice 6

Soit x un objet quelconque. Dcrire en extension les ensembles P({x})

et P(P({x}))

.

Exercice 7

Montrer que : 1){x R/ x2 = 4x 2

} R+.

2){(x, y) R2/ t R+/ x = ln t et y = t 1

}{(x, y) R2/ x 6 y

}.

3){z C/ |z 1| = |z + 1|

}={z C/ Re(z) = 0

}.

Exercice 8

Soient E un ensemble et{Ai}iI

un ensemble de parties de E.

Montrer les galits :

(iI

Ai

)c=iI

Aci et

(iI

Ai

)c=iI

Aci .

Exercice 9

Soient A, B, C et D quatre parties dun mme ensemble E. Montrer que :

1)(Ac)c

= A. 2) A B = Bc Ac.3) A Bc = A Cc A B = A C.4) si A B = E et si A B = , alors B = Ac.5) si E = A B C, si A D B, si B D C et si C D A,

alors D A B C.Exercice 10

Si A et B sont deux ensembles, on appelle diffrence symtrique de A et B lensemble(A \B) (B \A) not A B. Montrer que : A B = (A B) \ (A B).Exercice 11

On note (un)nN la suite dfinie par u0 = 0 et pour tout n N : un+1 =3un + 4.

Montrer que pour tout n N : 0 6 un 6 4.

Exercice 12

On note (an)nN la suite dfinie par a0 = 1, a1 = 2 et pour tout n N : an+2 = a2n+1

an.

Dterminer une expression explicite de an pour tout n N.

Exercice 13

On note (un)nN la suite dfinie par u0 = 0, u1 = 0, u2 = 2 et pour tout n N :un+3 = 3un+2 3un+1 + un.

Montrer que pour tout n N : un = n(n 1).

Exercice 14

1) On note P la fonction x 7 4x3 3x.Montrer que pour tout R : cos(3) = P (cos ).

2) Montrer que, pour tout n N, il existe deux fonctions polynomiales Cn et Sntelles que pour tout R : cos(n) = Cn(cos ) et sin(n) = Sn(cos ) sin .

Exercice 15

Montrer que : z C,(( > 0, |z| < ) = z = 0).

Comparer avec la proposition : z C, > 0, (|z| < = z = 0).Exercice 16

On rappelle que2 est irrationnel. Montrer que : x, y R \ Q/ xy Q.

Exercice 17

Montrer par analyse-synthse que toute fonction de R dans R est la somme, dune unique

faon, dune fonction paire et dune fonction impaire.