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7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
1/100
EXERCCIOS DE
CIRCUITOS ELTRICOS II
Professora Ruth Pastra Saraiva Leo
Universidade Federal do Cear UFC
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
2/100
Captulo 01Exerccios
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa:RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Qual o perodo, a freqncia e a velocidade angular de uma onda senoidal em que 5 ciclosso realizados em 12 s?
O perodo T de uma onda senoidal o tempo necessrio para completar um ciclocompleto da onda.
5 12
1
c ms
c x
122,4
5x ms= =
Freqncia
3
1 1420
2, 4 10f Hz
T= = =
Velocidade angular
2 2 420 2638,94f rad s = = =
61802638,94 2638,94 60 9 10 rpmrad s
2. Se o pico positivo de uma onda senoidal ocorre em 1ms e o prximo pico positivo ocorre em2,5ms, qual o perodo da onda?
t1=1ms
t2=2,5msT=t2-t1=1,5ms
t1 t2
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3. Se o tempo entre picos negativos de uma dada onda senoidal 50 s, qual a freqncia daonda?
6
1 150 200
50 10T s f kHz
T = = = =
4. Certa onda senoidal percorre 4 ciclos em 20 ms. Qual a freqncia da onda? A freqncia de uma onda dada pelo nmero de ciclos realizados em 1s.
s1x
s020,0c4
Hz200
020,0
4x ==
5. Quantos pontos mximos tm uma onda senoidal de 60 Hz?
Se em um ciclo h 2 pontos mximos em 60 ciclos haver 120 pontos mximos acada segundo.
6. Um gerador de 2 pares de plos tem uma rotao de 100 rps. Determine a freqncia datenso gerada.
2 100 2002
pf n Hz= = =
7. Se a freqncia gerada de um gerador de quatro plos 60 Hz, qual a velocidade de rotaoem rpm?
120 120 601800
120 4
p n ff n rpm
p
= = = =
8. Determine o valor eficaz de uma onda senoidal de amplitude igual a 4,5 V, e o valor mdioda onda de meio ciclo.
O valor eficaz de uma onda senoidal igual ao Vp/2.
V182,32
5,4
2
VV prms ===
O valor mdio de uma onda senoidal completa retificada igual a Vmed=0,6366.Vp.
V865,25,46366,0V6366,0V pmed ===
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9. Qual o valor eficaz em cada um dos seguintes casos: Vp=2,5 V; Vpp=10 V; Vmed=1,5 V?
Para Vp=2,5V V768,12
5,2
2
VV
prms ===
Para Vpp=10V V536,322
10
22
VV pprms =
=
=
Para Vmed=1,5V )rmsmed V26366,0V = V666,16366,02
5,1Vrms =
=
10.Calcule o valor mdio de meia onda para ondas senoidais de:Vp= 10 V;Vrms=2,3 V;Vpp=60 V.
2
0
2 20,6366
T
med p pV V sen t dt V T T
= =
[ ]0, 6366 10 6,366medV V= =
[ ]0,6366 2 0,6366 2 2,3 1,035med rmsV V V= = =
[ ]0,6366 0,6366 30 19,0982pp
med
V
V V= = =
11.Se uma onda senoidal A cruza o zero no sentido positivo em 15 e uma outra senide B, demesma freqncia, cruza em 23, qual o ngulo de fase entre as senides?
O deslocamento angular entre as duas senides de (23 - 15)=8, estando a senideA adiantada em relao senide B.
Considerando a expresso geral de uma senide em que f(t)=Fp.sen(t ), tem-se:
fA(t15) = 0 t+=0; como t=15 A=-15
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fB(t23) = 0 t+=0; como t=23 B=-23
Assim, as sinusides so definidas como:
fA(t)=A.sen(t 15) e fB(t)=B.sen(t 23)
12.Quando o zero no sentido positivo de uma senide ocorre em 0o, qual o ngulocorrespondente aos seguintes pontos?
a) pico positivo b) zero no sentido negativoc) pico negativo d) fim do primeiro ciclo completo (2)
Definio de f(t):
f(t0) = 0 t+=0 =0 f(t)=A.sen(t)
a) Para f(t)=A t=/2
b) Para f(t)=0 t=
c) Para f(t)=-A t=3/2
d) Para f(t)=0 t=2
13.Uma tenso senoidal tem um valor de pico de 20 V. Qual o valor instantneo da onda a 65de seu cruzamento por zero?
14.Determine as expresses das senides A, B e C da figura abaixo e o valor instantneo paraum ngulo instantneo t de 90.
Senide A: f(t)=5.sen(t+45) f(t)=5.sen(90o + 45o)=5x0,707=3,536Senide B : f(t)=7,5.sen(t) f(t)=7,5.sen(90)=7,5Senide C: f(t)= 10.sen(t-60) f(t)=10.sen(90o 60o)=10x0,5=5
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16.Determine o perodo, freqncia, e razo cclica para o trem de pulsos abaixo.
T=10sf=1/T=1/10=0,1Hzd=(tw/T).100=(1/10).100=10%
17.Determine o valor mdio de cada uma das formas de onda abaixo.
Vmed= base + d.(amplitude)
V2,0210
1
0Vmed =+=
V5,352
11Vmed =+=
V0220
101Vmed =+=
18.Qual a harmnica de segunda ordem de uma freqncia fundamental de 1kHz? f2 =2x f1 = 2x1kHz = 2kHz
19.Qual a freqncia fundamental de uma onda quadrada com perodo igual a 10s?
A freqncia fundamental e dada por: f1=1/10=0,1Hz
20.Atravs da srie de Fourier determine as componentes de freqncia presentes em uma ondaquadrada.
1s
10s
1ms
10ms
2
0
V(V)
1 2 3 4 5 6
1
6
0
V(V)
0 10 20 30 40 50 60-1
+1
V(V)
f(t)
t
V
-V
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Definio da onda de tenso no tempo:
(t) = +V 0 t T/2
(t) = -V T/2< t T
Os coeficientes a0, ah, bh, ch, e h sero obtidos:
( )
022
2
2
2
2
2
20
2
0 2
00
=
=
=
+=
=
TT
T
T
V
tt
T
V
VdtVdtT
dttfT
a
T
T
T
T T
T
T
Como a onda de tenso quadrada e simtrica em relao ao tempo, seu valor mdio zero e, porconseguinte, a0 nulo.
Os coeficientes ah e bh:
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
[ ] h00hV
hsen2hsen0senhsenh
V
tT
2hsen
T
2h
1t
T
2hsen
T
2h
1
T
V2
dtthcosVdtthcosVT2
dtthcostfT
2a
T
2T
2T
0
2T
0
T
2T 11
T
0 1h
==
+=
=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]
"
"
,8,6,4,2h,0
,7,5,3,1h,h
V4
11hcos2h
V
hcos2hcos0coshcosh
V
tT
2hcos
2h
Tt
T
2hcos
2h
T
T
V2
dtthsendtthsenT
V2
dtthsentfT
2b
T
2
T
2T
0
2T
0
T
2T 11
T
0 1h
==
==
++=
++=
+
=
=
=
Portanto, a funo no domnio das freqncias :
( ) ( ) { }"1,3,5,7,h,thsenh
V4tf 11h =
=
A funo f(t) uma funo senoidal, portanto mpar (f(x)=-f(-x)) e como tal os coeficientes dotermo co-senoidal so nulos. Por tratar-se de uma onda quadrada as componentes de freqnciaso mpares.
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Para uma funo de onda quadrada par, tem-se:
A onda de tenso definida como:
(t) = +V - T/4 t T/4
(t) = -V T/4< t 3T/4
Como visto a funo simtrica em relao ao eixo do tempo com a0=0.
O coeficiente ah dado por:
( ) ( )
( ) ( )
{ }",3,13
2
3
2
3
22
3
22
2212
212
coscos2
cos2
43
4
4
4
4
4
43
4 11
0 1
==
=
+
+
=
=
=
=
hh
V
hsenhsen
h
V
hsenhsenhsenhsenh
V
tT
hsen
Th
tT
hsen
Th
T
V
dtthVdtthV
T
dtthtfT
a
T
T
T
T
T
T
T
T
T
h
O coeficiente bh e dado por:
t
V
f(t)
-V
T/2 T
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( ) ( )
( ) ( )
h
hh
h
V
hhhhh
V
tT
hh
Tt
Th
h
T
T
V
dtthsendtthsenT
V
dtthsentfT
T
T
T
T
T
T
T
T
T
h
02
cos2
3cos
2cos
2
3cos
2cos
2cos
2cos
2
2cos
2
2
2
2b
43
4
4
4
4
4
43
4 11
0 1
=
=
+
+
=
+
=
=
=
Portanto, funo no domnio da freqncia pode ser escrita como:
( ) ( ) { }"1,3,5,7,h,cos4
11=
=th
h
Vtf
h
Note que em sendo uma funo par, somente o termo em co-seno existe e por se tratar de umaonda quadrada apenas as componentes mpares esto presentes.
Na forma trigonomtrica compacta, tem-se:
02ac 00 ==
",7,5,3,1h,h
V4bac 2h
2hh ==+=
ngulo da co-senide:
D90a
btg
h
h1h =
=
ngulo da senide:
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D0b
atg
h
h1h =
=
Assim tem-se:
( ){ }
( )thsenh
V4t 1,5,3,1h
=
"
ou
( ){ }
( )D"
90thcosh
V4t 1
,5,3,1h
=
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Captulo 02Exerccios
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa:RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Converter os seguintes nmeros complexos da forma retangular para a formapolar e indicar no plano complexo o quadrante a que pertencem.
(a) A=8+j6 (b) A=-7+j10 (c) A=-12-j18 (d) A=10-j5
|A| = A2
A
2
x y+1o e 4o quadrantes
= arctg (xy
A
A
)
2o e 3o quadrantes
=180 tg-1(xy
A
A )
64 36 10A = + =
( )1 8 53,136tg= =
49 100 12,21A = + =
( )1 10180 1257tg= =
144 324 21,63A = + = 25 100 11,18A = + =
yA
xA
|A|
yA
|A|
-xA
=180o
-
(a) 1 quadrante (b) 2 quadrante
-yA|A|
-xA
=-180o+
-yA
xA
-|A|
3 quadrante4 quadrante
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( )1 18180 236,3112tg= = ( )1 5 26,5710tg
= =
2. Converter as seguintes quantidades polares para a forma retangular.
(a) 1030 (b) 200-45 (c) 4135
3. Calcule as seguintes operaes.
(a) (-10-j20)/(1030) (b) (8+j6).(10-j5)
(c) (10050)/(2520) (d) (1045).(520)
4. Trs fontes de tenso senoidais de mesma freqncia angular so conectadasem srie como mostra a Figura. Determine a tenso e a corrente total expressasna forma polar. A resistncia uma grandeza com ngulo zero.
VT=2,50o + 4,230o + 5,1-45o =
=(2,5+j0) + (3,64+j2,1) + (3,61-j3,61) = 9,74-j1,51=9,86-8,79o V
mA79,897,18,887,9105
1V
R1
I3T
=
==
~
~
~
5k
2,50o V
4,230o V
5,1-45o V
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Captulo 03Exerccios
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Determine a corrente rms total e em cada componente L1, L2 e L3 na Figura 1.Expresse a corrente na forma polar.
A reatncia total: 632
321 10334,634020
402050 =
+
+=
+
+= jj
LL
LLLjXT
= mjXT 34,994
A corrente total: 1 310 0
994,34 10 90F
T L
T
VI I
jX
= = =
D
D
A9006,10II 1LTD==
A corrente em L2:( )
+
=+
=4020
409006,10
32
32
D
LL
LII TL
A9071,6I 2LD=
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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A corrente em L3: DD 9071,69006,1023 == LTL III
A9035,3I 3LD
=
Diagrama fasorial:
Qual a tenso sobre L1 e sobre L2//L3?
+
+=
+
+
=
4020
402050
50010
32
321
11
D
LL
LLL
LVV FL
V01,2V 1LD=
DD 01,201013//2 == LFLL VVV V09,7V 3L//2LD=
Ou( ) V0108,29006,10901050105,22 63111 DDD === LLL IjXV
( ) V09,79035,3901040105,22 63333 DDD === LLL IjXV
2. Determine a potncia reativa do circuito da Figura 1.
Potncia total: ( )22 06,1090994,0 == DTTT IjXS [ ]100,63TS j var =
ou[ ]* 10 0 10,06 90 100,6 90 100,6T F TS V I j var = = = =
D D D
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3. Suponha que voc dispe de um indutor de 12 mH, sendo este o menor valordisponvel. Voc necessita de uma indutncia de 8 mH. Que valor pode ser
usado em paralelo a fim de obter 8 mH?
x
xT LL
LLL
+
=
128
128
=
=
LL
LLL
T
T
x mH24L x =
4. Determine a reatncia total de cada circuito da Figura 2 quando uma tenso comuma freqncia de 5 kHz aplicada aos terminais de cada circuito.
No circuito (a) o ncleo da bobina de ferro e no circuito (b) de ar. Como o ferro
apresenta menor relutncia passagem de fluxo, e em sendo a indutncia L=/i,implica que a indutncia em (a) maior que em (b).
No circuito (a):
+=
+
+=
15
5011052 3
32
321
LL
LLLXT = k1,136XT
No circuito (b):( ) 33
321
321 10200
1001001052
=+++
= LLL
LLLXT 1,57TX k=
Qual a reatncia equivalente do arranjo (b) usando os componentes de (a)?
( ) ( )1 2 3 31 2 3
1 10 52 5 10 29,452 k
1 10 5TL L L
XL L L
+ +
= = = + + + +
5. Quantas espiras so necessrias para produzir 30 mH com uma bobina enroladaem um ncleo cilndrico de rea transversal de 10x10-5 m2 e comprimento de0,05m? O ncleo tem uma permeabilidade de 1,2x10-6.
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l
ANL
2 =
56
23
1010102,1
1051030
=
=A
lLN
voltas3535N =
6. Uma bateria de 12 V conectada aos terminais de uma bobina com resistnciade enrolamento igual a 12 e indutncia de 100 mH. Qual a corrente na
bobina? Qual a tenso nos terminais da bobina?
A1R
VIF ==
Aps a energizao, a reatncia da bobina nula, o que significa que toda a
tenso est aplicada sobre o resistor.7. Qual a energia armazenada pela bobina da questo 6 e quanto tempo leva para
alcanar esta energia?
32 101002
1
2
1 == FILW mJ50W =
O tempo que a bobina leva para atingir 50mJ de:
1210100555 3===
R
Lt ms67,41t =
8.Na Figura 3 (a), quanto vL no instante que a chave CH1 fechada? E quanto vL aps 5? Na Figura 3(b), quanto vL no instante que CH1 abre e CH2 fecha?Quanto vL aps 5?
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Circuito (a):No instante que CH1 fechada a tenso aplicada sobre R e L, no entanto a
corrente nula no havendo queda de tenso sobre R e assim, toda tenso da fonte aplicada sobre o indutor: vL=25V com a mesma polaridade da fonte para opor-se mudana da condio de corrente nula. Aps 5 o indutor um curto-circuito evL=0V.
Circuito (b):Com CH1 fechada e CH2 aberta, a corrente de estado permanente que circulaatravs de R1 e L dada por:
AR
V
I 08,212
25
1 ===
Quando CH1 aberta, uma tenso induzida criada nos terminais de L de modo amanter a corrente de 2,08 circulando por um instante. Neste caso, a tensovL=R2.I=100.2,08=208V. O indutor opera como uma fonte de corrente. Passados5 aps a abertura de CH1 e fechamento de CH2, a corrente no indutor decai a zeroe vL=0V.
9. Em cada circuito da Figura 4, que freqncia necessria para produzir umareatncia XC de 100.
Circuito (a):Cf2
1XC
=
CXC2
1f
=
kHz88,33f =
Circuito (b): 21T CCC += CT XC2
1f
=
Hz69,63f =
Circuito (c):21
21T CC
CCC
+
=
CT XC2
1f
=
kHz18,3f =
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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10.Determine o valor de C1 na Figura 5.
V0390I90XV 3XC3C3CDDD ==
kHz54,141XC2
1f
3C3
=
=
mA9033,590X
VI
2C
3C2C
D
D
=
=
mA9033,9III 3C2C1CD=+=
V02I90XV 1C1C1CDD ==
== D9023,375I
VX
1C
1C1C
F003,0Xf2
1C
1C1
=
=
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
23/100
Captulo 04Exerccios
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
24/100
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Determine a tenso nos terminais do capacitor na forma polar e a corrente nocapacitor. O circuito visto pela fonte capacitivo ou indutivo? Qual o valor dacorrente total? Determine o fator de potncia de deslocamento do circuito. Qual
a potncia entregue pela fonte e qual a potncia absorvida pelo indutor efornecida pelo capacitor?
Figura 1.
a) Tenso nos terminais do capacitor.
( )2 2
1 1 2
////
CC F F
L C T
R X ZV V V
R jX R X Z
= = + +
[ ]+=+= 500100011 jjXRZ L
[ ]Sjj
Xj
RY
C
223
22
102,0101,0500
1
101
1
11
+=+
=
+=
~
R1
R2VF=500
o
XL
1k 500
1kXC500
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
25/100
( )
( )( ) ( )
( ) [ ]=
=+
=
+==
400200105
2,01,010
2,01,0
2,01,010
102,01,0
11
2
2
22
2
22
2
jjj
jYZ
ou simplesmente
[ ]==
=
=
=
40003,20043,6322,447
57,2603,1118
9010500
500101
90500101 3
3
3
2
22
j
jjXR
jXRZ
C
C
D
D
DD
=+= T21T ZZZZ
( ) ( )
[ ]
1000 500 200 400 1200 100
1204,16 4,76
TZ j j j= + + = +
= D
Ento
[ ]VVZ
ZV F
T
C
DD
D
D
19,6857,18050
76,416,1204
43,6322,4472 =
=
=
A corrente no capacitor
[ ]mAX
VI
C
C
C
D
D
D
D
81,2114,3790500
19,6857,18
90=
=
=
VF
VC
IC
-68,19o21,81
o
Figura 2. Diagrama fasorial da tenso e corrente no capacitor.
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Usando o circuito equivalente de Thvenin para o clculo da tenso e corrente emC, tem-se que o circuito da Figura 1 ser decomposto em circuito a ser
equivalenciado e a carga.
O circuito a ser equivalenciado e a carga como mostrado na Figura 3.
Figura 3. Circuito a ser equivalenciado e sua carga.
A tenso de Thvenin que a tenso de circuito aberto dada por:
[ ]
2
1 2
1000
50 0 24, 25 14,042000 500
TH F
L
RV V
R R jX
Vj
= + +
= = +
D D
A corrente de curto circuito nos terminais do circuito a ser equivalenciado dadapor:
[ ]1
50 00,045 26,57
1000 500F
cc
L
VI A
R jX j
= = =
+ +
D
D
A impedncia de Thvenin obtida por:
[ ]24,25 14,04
542,25 12,530,045 26,57
THTH
cc
VZ
I
= = =
D
D
D
A impedncia de Thvenin poderia ainda ser obtida considerando a impednciaequivalente do circuito da Figura 3 (a), vista dos terminais abertos, com as fontesindependentes desativadas, substitudas por suas impedncias internas.
1k
~
R1
R2VF=500
o
XL
1k 500
(a)
XC500
Carga
(b)
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Figura 4. Circuito para clculo da impedncia de Thvenin.
( )[ ]
1 2
1 2 542,25 12,53L
TH
L
R jX R
Z R R jX
+
= = + +D
c.q.d.
O circuito de Thvenin constitui-se em uma fonte em srie com uma impedncia.Assim, o circuito de Thvenin alimentar a carga XC, como mostra a Figura 5.
Figura 5.
A tenso sobre C dada por:
[ ]
500 90 24,25 14,04542,25 12,53 500 90
18,57 68,20
CC TH
TH C
jXV V
Z jX
V
=
= +
=
D
D
D D
D
c.q.d.
A corrente em XC obtida por:
[ ]24,25 14,04
37,14 21,8542, 25 12,53 500 90
THC
TH C
VI mA
Z jX
= = =
+
D
D
D D
c.q.d.
~
RTH
VTH
XTH
XC500
Carga
1kR2
500
R1 XL
1k
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b) O circuito visto pela fonte apresenta impedncia [ ]= D76,416,1204TZ , sendo,
portanto de natureza indutiva.
c) A corrente total entregue pela fonte.
[ ]mAZ
VI
T
FT
D
D
D
76,452,4176,416,1204
050=
==
d) O fator de potncia de deslocamento
( ) 997,076,4coscos ===DFPD atrasado ou indutivo.
e) A potncia entregue pela fonte.
( ) ( )[ ]VAj
IVS TFT
173,007,276,408,2
76,41052,41050 3*
+==
==
D
DD
A potncia absorvida pelo indutor.
( ) VArjjIXQ TLL 862,01052,41500232 ===
A potncia fornecida pelo capacitor.
( ) VArjjIXQ CCC 690,01014,37500232 ===
A potncia reativa resultante no circuito
( ) [ ]VArjjQQQ CL 172,0690,0862,0 ===
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
29/100
2. Determine a tenso sobre cada componente do circuito e desenhe o diagramafasorial de tenso e corrente.
Figura 6.
Impedncias nos ramos( ) ( ) [ ]=== 32,628105010222 6611 LfXL
( ) ( ) [ ]=== 64,12561010010222 6622 LfXL
A tenso nos terminais de cada componente do circuito pode ser obtida por divisorde tenso.
[ ]VVjXR
RV F
L
R
DD
D
29,6225,2305029,6271,709
330
11
11 =
=
+=
[ ]VVjXR
jXV F
L
LXL
DD
D
D
71,2727,4405029,6271,709
9032,628
11
11 =
=
+=
ou simplesmente
( ) [ ]
1 1
50 0 23,25 62,29
50 10,80 20,57 39, 2 20,57 44,27 27,69
XL F RV V V
j j V
= =
= = =
D D
D
A tenso nos componentes do ramo 2:
[ ]222 2
100050 0 31,13 51,49
1605,97 51,49R FL
RV V V
R jX
= = = +
D D
D
330 1k
L2
100HL1
50H
R1 R2
VF=500o
f=2MHz~
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[ ]VVjXR
jXV F
L
LXL
DD
D
D
51,3812,3905049,5197,1605
9064,1256
22
22 =
=
+=
ou
( ) [ ]
2 2
50 0 31,13 51, 49
50 19,38 24,36 30,63 24,36 39,12 38,50
XL F RV V V
j j V
=
=
= = + =
D D
D
A tenso pode tambm ser calculada calculando-se a corrente que flui atravs decada um dos componentes.
11
FVIZ
=
Em que
( ) ( ) ( )
[ ]=
+=
+=+=
D29,6271,709
33032,62832,628330 1221
1121
21111
tg
RX
tgXRjXRZ LLL
Portanto:
[ ]mAZ
VI F
D
D
D
29,6245,7029,6271,709
050
11 =
==
A corrente no ramo 2:
[ ]mAZ
VI F D
D
D
49,5113,3149,5197,1605
050
22 =
==
em que
( ) ( ) ( )
[ ]=
+=
+=+=
D49,5197,1605
100064,125664,12561000 1222
2122
22222
tg
RX
tgXRjXRZ LLL
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Assim, a tenso nos terminais dos componentes dada por:
( ) ( ) [ ]1 1 1
370,45 10 62,29 330 23,25 62,29
RV I R
V
=
= = D D
( ) [ ]1 1 1
370, 45 10 62, 29 628,32 90 44, 27 27,71
L LV I X
V
=
= = D D D
[ ]2 2 2 31,13 51, 49RV I R V = = D
[ ]2 2 2 39,12 38,51L LV I X V = = D
O diagrama fasorial para as tenses e correntes:
Figura 7.
3. Que valor de capacitor de acoplamento necessrio ao circuito abaixo tal que osinal de tenso na entrada do amplificador 2 seja no mnimo 70,7% do sinal detenso da sada do amplificador 1 quando a freqncia de 20 Hz?
Figura 8.
C
100
Amplificador 1 Amplificador 2
VF
I1
VR1
VXL1
VF
I2VR2
VXL2
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
1
1
2
2
50 0
70,45 62,29
31,13 51, 4923, 25 62, 29
44,27 27,71
31,13 51, 49
39,12 38,51
F
R
XL
R
XL
V V
I mA
I mA
V V
V V
V V
V V
=
=
= =
=
=
=
D
D
D
D
D
D
D
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O circuito RC srie defasador adiantado, i.., a tenso de sada sobre oAmplificador 2 adiantada da tenso de entrada dada pelo Amplificador 1.
E2C
2RV
XR
RV
+=
Nota-se pela expresso de |VR| que para freqncias altas a tenso de sada sofrepouca atenuao, se trata, portanto de um filtro passa alta.
Como 707,0=E
R
V
V, tem-se que:
( )( )
( ) 222
2
100
100707,0
CX+=
32 101050005,0 =+CX
[ ]= 100CX (positiva)
Cf2
1
XC = FXfC C 77,795100202
1
2
1
===
A freqncia de 20 Hz do circuito denominada de freqncia de corte.
4. Para o filtro RC mostrado na Figura 1, calcular:
Figura 9. Filtro RC.
a) A constante de tempo para o filtro.b) A freqncia de corte do filtro.c) Qual seria o resultado se a entrada fosse de 5V CC? Qual a tenso atravs do
resistor?
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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d) Qual seria o resultado se fosse 5V CA em uma freqncia muito alta? Nestecaso, qual a tenso atravs do resistor?
A constante de tempo para o filtro dada por:
( ) ( ) [ ]3 6 310 10 0,01 10 0,1 10RC s = = =
A freqncia de corte de um filtro RC obtida para a condio em que:
RCfC
=2
1
RC2
1fC
=
1
c
= Portanto,
[ ]31 1
1591,55
2 2 0,1 10
cf Hz
= = =
Se a tenso da fonte fosse contnua e igual a 5V, a reatncia capacitiva seriainfinita e a tenso de sada seria igual entrada, i.., 5V. A tenso no resistor serianula uma vez que a corrente zero.
Se a tenso da fonte fosse alternada de 5V a uma freqncia muito alta, a reatnciacapacitiva seria pequena e a tenso de sada seria dada por:
( )[ ]
2 2
3
23 2
10 105 5
10 10 0
R F
c
RV V
R X
V
= +
= = +
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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4. Em que valor deve ser ajustado o reostato do circuito abaixo de modo que acorrente total seja de 10 mA? Qual o ngulo da corrente?
Figura 10.
=== 10001010 10 3I
VZ F
2C
22 XRZ +=
( ) ( )=
=
=
589
10027,010102
12
163
CfXC
( ) ( ) [ ]=== 13,8085891000 2222 CXZR
O ngulo da corrente e dado por
( )
1
3 61 1 2 10 10 0,027 10 36,11808,13
CXtgR
tg
=
= =
D
ou
[ ]310 0
10 10 36,11808,13 589, 46
FVI AZ j
= = =
D
D
R
C
0,027F~
10mA
VF=100o V
f=10kHz
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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5. Calcular a tenso de sada do circuito da Figura 11 usando equivalncia deimpedncias Y.
Figura 11.
A reatncia capacitiva do circuito Xc entre os terminais a-n dada por:
[ ]121
3183,012 100 500 10c
X k
= =
As impedncias vistas dos terminais a, b, c so calculadas por:
Z
Z.ZZ.ZZ.ZZ
cn
ancncnbnbnanab
++=
Z
Z.ZZ.ZZ.ZZan
ancncnbnbnanbc
++=
Z
Z.ZZ.ZZ.ZZbn
ancncnbnbnanca
++=
( )
( )
3 6 2
3 2
3 2
3183 10 1000 3183 101000 2200 2,2 10
2200 3183 10 7002,6
an bn
bn cn
cn an
Z Z j j
Z Z
Z Z j j
= =
= =
= =
3 6 2
6 2
2, 2 10 10.185,63 10
3183,01 10
an bn bn cn cn anZ Z Z Z Z Z j
j
+ + =
=
a b
c
n
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[ ]
an bn bn cn cn an
cn
6
3
. . .Z Z Z Z Z Z
Z3183,01 101446,82
2,2 10
abZ
jj k
+ +=
= =
[ ]
an bn bn cn cn an
an
6
3
. . .Z Z Z Z Z Z
Z
3183,01 101000
3183 10
bcZ
jj k
+ +=
= =
[ ]
an bn bn cn cn an
bn
6
3
. . .Z Z Z Z Z Z
Z
3183,01 103183,01
1 10
caZ
jj k
+ +=
= =
A impedncia Zbc est em paralelo resistncia R3, que resulta em:
( ) ( )[ ]
3 6
33 3 63
1 10 1 10 901 10 901 10 1 10
bc
bc
R ZZ kR Z j
= = = +
D
D A tenso sobre Z que a mesma sobre R3 obtida aplicando-se divisor de tenso,em que:
[ ]3
3
1 105 0 2,84 55,35
1 10 1446,82
Z F
ab
ZV V
Z Z
Vj
=
+
= =
D D
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6. Um motor absorve da rede eltrica uma potncia de 5kW em 220V / 60Hz comFPD=0,6 indutivo. Determine o capacitor para aumentar o fator de potncia de
deslocamento para 0,9 indutivo.
[ ]35 10
8,340,6D
PFP S kVA
S
= = =
A potncia reativa absorvida da rede pelo motor:
( ) [ ]2 2 2 2 68,34 5 10 6,67Q S P kVAr = = =
Se o fator de potncia de deslocamento deve ser aumentado para 0,9, considerandoque o trabalho realizado pela carga o mesmo, i., a potncia til consumida pelacarga de 5kW, tem-se que:
( )1cos 0,9 25,84 = D
( )25,84 0,48Q
tgP
= =D
Como P=5kW, a potncia reativa Q fornecida pela rede ao motor de:
[ ]30,48 5 10 2,42Q kVAr = =
Desta forma a potncia reativa fornecida pelo capacitor ao motor:
[ ]6,67 2,42 4,25CQ Q Q kVAr = = =
Considerando que o banco de capacitores ligado em paralelo ao motor que opera
em 220 V, tem-se que a capacitncia do banco de capacitores dada por:
( )[ ]
22
3
22011,39
4, 25 10c c
VX
Q= = =
[ ]1 1
2342 60 11,39c
C FX
= = =
S0,6
S0,9
QC
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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7. Uma carga indutiva dissipa 1kW com corrente 10A / 60Hz com =60o.
a) Determine o capacitor para corrigir o fator de potncia de deslocamento para0,85 atrasado;b) Calcule a corrente total fornecida pela fonte aps a correo;c) Determine a potncia aparente total aps a correo.
O ngulo representa o defasamento entre tenso e corrente da carga, sendo ongulo do tringulo de potncia. Assim, a potncia reativa absorvida pela cargaindutiva antes da correo do fator de potncia de deslocamento igual a:
( ) ( ) [ ]360 1 10 1,73Q tg P tg kVAr = = =D
Como o fator de potncia dever ser corrigido para 0,85, a nova potncia reativaabsorvida da rede pela carga de:
( )1cos 0,85 31,79 = = D
( ) ( ) [ ]331,79 1 10 619,78Q tg P tg VAr = = =D
A compensao de reativo fornecida pelos capacitores de:
[ ]1730,0 619,78 1,11cQ Q Q kVAr = = =
A potncia aparente para a condio anterior correo do FPD dada por:
[ ]1,1
10002,0
0,5D
PS kVA
FP= = =
A magnitude da tenso que alimenta a carga indutiva pode ser obtida por:
[ ]2000
20010
SV V
I= = =
Assim, a capacitncia do banco pode ser calculada por:
( )[ ]22
111073,61
377 200cQC F
V
= = =
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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A potncia aparente aps a correo do FPD dada por:
[ ]2,2
10001176,47
0,85D
PS VA
FP= = =
A corrente entregue pela fonte carga aps a correo do FPD dada por:
[ ]221176,47
5,88200
SI A
V= = =
Qual a corrente suprida pelo capacitor?Considerando a tenso da fonte de alimentao como referncia angular, tem-se:
[ ]200 0V V= D
O fasor corrente da carga indutiva igual a:
[ ]1 10 60I A= D
E o fasor corrente aps a correo do fator de potncia de deslocamento igual a:
[ ]2 5,88 31,79I A= D
Assim a corrente no ramo do capacitor dada por:
( ) ( ) [ ]2 1
2 1 5,88 31,79 10 60 5,56
c
c
I I I
I I I j A
= +
= = =D D
Note que o sinal da corrente no capacitor positivo. Note ainda que no seriacorreto simplesmente operar com os valores eficazes das correntes para obtenoda corrente no ramo do capacitor. Note ainda que considerando a correnteencontrada para Ic, a potncia no ramo capacitivo resulta em:
( ) ( ) [ ]200 0 5,56 90 1,11cQ V I kVAr = = =D D
I2 Ic
I1
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
40/100
8. Em uma instalao fabril tem-se uma subestao de 1500kW com FPD=0,8 ind.Deseja-se adicionar uma carga de 250kW com FPD=0,85 ind. Qual a potncia
reativa do capacitor que deve ser adicionada para que a subestao no sejasobrecarregada?
O deslocamento angular entre a tenso e corrente supridas pela SE de 1500kW de:
( )1cos 0,8 36,87 = = D
A potncia reativa ento dada por:
( ) ( ) [ ]3
36,87 1500 10 1125Q tg P tg kVAr = = =
D
A potncia aparente complexa da SE de:
[ ] [ ]1 1500 1125 1875 36,78S j kVA kVA= + = D
A potncia complexa da carga adicional de:
( )
[ ]
31
2
250 10cos 0,85 31,79
0,85294,12 31,79 245 154,94
D
PS
FPj kVA
= =
= = +
D
D
A potncia total antes da correo de:
( ) ( )
[ ]
1500 1125 245 154,94
1745 1279, 94 2164,1 36, 26
TS j j
j kVA
= + + +
= + = D
Considerando que a SE suprir a potencia til total de 1745kW, para que no haja
sobrecarga na SE ser necessria que a potncia reativa indutiva na SE seja igual a:
( ) ( ) [ ]2 22 2
1 1875 1745 686TQ S P kVAr = = =
Portanto, faz se necessrio compensar com banco de capacitores o equivalente a:
[ ]1279, 94 686 594c TQ Q Q kVAr = = =
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
41/100
Captulo 05Exerccios
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Prof Ruth P. S. Leo Email: [email protected]
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintescasos de circuito srie ou tanque ideal:a) L= 300 H e C= 0,005 F
b) L= 250 H e C= 400 pF
[ ] [ ]0 6 61 1
816,5 129,95300 10 0,005 10
krad s kHzLC
= = =
[ ] [ ]0 6 121 1
3162,28 503,29250 10 400 10
krad s kHzLC
= = =
2. Qual o valor do indutor necessrio para obter a ressonncia em 1500 kHz comuma capacitncia de 250 pF?
( )[ ]20 22 3 12
0
1 1 145
2 1500 10 250 10L H
LC C
= = = =
3. Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mHpara haver ressonncia em 50 Hz?
( )
[ ]0 22 30
1 1 120,26
2 50 500 10C F
LLC
= = = =
4. Um circuito srie formado por R=125, L=800 mH e C=220pF. Qual o valorda impedncia (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torn-loressonante a 10 kHz?
[ ]3 32 10 10 800 10 50,27LX j L j j k = = =
[ ]3 121 1
72,342 10 10 220 10C
X j j j kC
= = =
7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth
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Prof Ruth P. S. Leo Email: [email protected]
Para os valores de L e C, o circuito RLC srie no est em ressonncia nafreqncia de 10 kHz. Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se
adicionar, em srie, um valor de reatncia indutiva complementar para igualar-se reatncia capacitiva do circuito.
[ ] [ ]3
3
22, 07 1022,07 0,35
2 10 10L
L
XX j k L H
= = = =
A indutncia total do circuito ento igual a: [ ]0,35 0,8 1,15TL H= + = .
Neste caso
[ ]3, 2 10 10 1,15 72,26L T TX j L j k = = =
Uma outra possibilidade associar em paralelo um outro capacitor ao jexistente com o fim de aumentar a capacitncia total e diminuir a reatnciacapacitiva total para j50,27 k.
[ ]
[ ]
1 2
3 3
,
2 2
1 1316,60
2 10 10 50,27 10
316,60 220 96, 6
T
T
C T
T
C C C
C pFX
C C C pF
= +
= = =
= = =
Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se adicionar, em paralelo, umcapacitor de 96,9 pF em paralelo ao capacitor de 220 pF de modo que areatncia capacitiva total seja igual reatncia indutiva do circuito.
5. Determine a freqncia ressonante srie do circuito da Fig. 1 e a impedncia docircuito para freqncias igual, abaixo e acima de 0.
VF
R
10L
100m
1
2
C
0.01u
0 0 Fig. 1 Circuito RLC Srie.
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A freqncia ressonante em um circuito RLC srie dada por:
( ) ( ) s/rad78,316221001.010100 1LC1 630 =
==
ou
Hz92,50322
f 00 ==
Em 0 a impedncia do circuito de apenas: Z=R=10.
Em um circuito RLC srie a magnitude e o ngulo de fase da impedncia do
circuito so dados por:
=
+=
R
CLtg
C
LRZ
)/1(
1
1
2
2
O comportamento do circuito para valores de freqncia menores e maiores que a
freqncia ressonante mostrado nas Figs 2 e 3.
Fig.2 Variao de |VC|, |VL|, |VR| com a freqncia para Q pequeno.
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Fig.3 Variao de |VC|, |VL|, |VR| com a freqncia para Q grande.
Nota-se que para < 0 |VC| > |VL|, o que denota impedncia do circuito comcomponente imaginria capacitiva dominante (corrente comum).
Por outro lado, para > 0 |VC| < |VL|, o que denota impedncia comcomponente imaginria dominantemente indutiva.
Para freqncias abaixo de 0, considerando:
0 2000 5032, 92 2000, 0 3032, 92f f Hz= = =
implica em impedncia predominantemente capacitiva e igual a:
( ) ==+=
+=
+=
D83,8995,334194,3341j1058,524764,1905j10
1001,092,30322
11010092,30322j10
fC2
1fL2jRZ
63
Para freqncias acima de 0, considerando:
0 2000 5032, 92 2000 7032, 92f f Hz= + = + =
Implica em impedncia predominantemente indutiva e igual a:
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( )
36
12
2
110 2 7032,92 100 102 7032,92 0,01 10
10 4418,91 2263,0 10 2155,91 2155,93 89,73
Z R j f Lf C
j
j j
= +
= +
= + = + = D
6. Quais as freqncias de corte e a banda de passagem do circuito ressonante daFig.1?
As freqncias de corte para um circuito RLC ressonante podem ser expressascomo:
2
1
2
2
1
2 2
1
2 2
R R
L L LC
R R
L L LC
= + +
= + +
Assim:
3
1050
2 2 100 10
R
L= =
63 6
1 11000 10
100 10 0,01 10LC = =
( )
[ ]
( ) [ ]
2 61
2 92
50 50 1000 10
50 31622,82 31572,82
50 50 1 10 31672,82
rad s
rad s
= + +
= + =
= + + =
A banda de passagem:
[ ]2 1 31672,82 31572,82 100 rad s = = =
A banda de passagem tambm obtida por:
[ ]310
100100 10
Rrad s
L
= = =
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7. Calcule |I|, |VR|, |VL| e |VC| na ressonncia para o circuito da Fig. 4.
R
2.2k
XL
1k
1 2
XC
1k
0 0
VF50V
Fig. 4 Circuito RLC Srie.
Na ressonncia, |I| mximo e a tenso da fonte est aplicada sobre R:
( )0 350
22,72,2 10
FV
I mAR
= = =
Pela Lei de Ohm, tem-se que:
( )( ) V50102,2.107,22IRV 33R === Ou
[ ]50R FV V V= =
Na ressonncia, as tenses sobre o indutor e o capacitor so iguais em magnitude eopostas em fase.
L CV V=
( ) ( ) [ ]3 30 90 22,7 10 1,0 10 90 22,7 90L LV I X V = = = D D D D
( ) ( ) [ ]3 30 90 22,7 10 1,0 10 90 22,7 90C C CV IX I X V = = = = D D D D
Note que na ressonncia |VL| e |VC| so menores que |VR|, assemelhando-se aogrfico da Fig. 1.
8. Para o circuito da Fig. 4, determine o fator de qualidade Q do circuito.
Note que |VL|=|VC| menor que |VF|, denotando um circuito de baixa seletividade.
Na ressonncia tem-se que:
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( )
( )
0 0 0
0
0 0
F LL F F
F
C F
V XV I L L V Q V
R R
I VV Q V
C CR
= = = =
= = =
Ento
454,050
7,22
V
VQ
F
L ===
O fator de qualidade Q de um circuito RLC srie pode tambm ser calculado por:
454,0101102,2
1XX
R
1
C
L
R
1Q 6
3CL=
===
Qual o valor de L e de C para o circuito da Fig.4?
9. Determine as correntes em cada ramo e a corrente total do circuito da Fig. 5.Est o circuito operando em uma freqncia menor, igual, ou maior que afreqncia de ressonncia?
VF5/0oR
2.2
XC
5
XL10
1
2
0 0 0 0 Fig. 5 Circuito RLC Paralelo
A corrente em cada ramo:
A027,22,2 05RVIF
RD
D
===
A901905
05
90X
VI
C
FC
D
D
D
D
=
=
=
A905,09010
05
90X
VI
L
FL
D
D
D
D
=
=
=
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A corrente total:
A4,1232,25,0j27,2905,0901027,2IIII LCR
DDDD =+=++=++=
O circuito apresenta caractersticas capacitivas (corrente total adiantada da tenso),portanto opera com freqncia acima da ressonante.
Na ressonncia, BL=BC.
Fig. 6 Curva da impedncia em circuito paralelo.
Como
[ ]SjX
BL
L 1,09010
1
90
1=
=
=
DD
e
[ ]SjX
BC
C 2,0905
1
90
1=
=
=
DD
so diferentes, o circuito no opera em ressonncia. No entanto, XL>XC, o queindica uma freqncia de operao acima da freqncia ressonante (>0).
Com base na expresso:
CL
CL
XX
XjXZ
=
note que para freqncias baixas, XL pequena e domina no valor resultante de Z,o circuito portanto tem caractersticas indutivas. Ao contrrio, para freqncias
XL < XC XC < XL
Indutivo Capacitivo
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altas, XC pequena e domina no valor resultante de Z e o circuito tem, portanto,caractersticas capacitivas.
10.Considere o circuito abaixo:
Figura 7. Circuito RLC ressonante.
Qual a freqncia ressonante? Qual a largura de banda? Qual o fator dequalidade Q? E quais as freqncias de corte?
[ ]0 6 31 1
14.586,50,1 10 47 10
rad sLC
= = =
A largura de banda de passagem em um circuito RLC paralelo dada por:
G
C =
Como a condutncia do circuito dada por: 1G R=
Tem-se que a largura da banda de passagem de:
[ ]4 71 1
100010 10
Grad s
C RC = = = =
O fator de qualidade:
0 14586,5 14,61000
Q
= = =
O fator de qualidade para um circuito RLC paralelo tambm obtido por:
63
3
1 0,1 1010 10 14,59
47 10
C CQ R
G L L
= = = =
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As freqncias de corte podem ser obtidas em funo de (0, ) ou em funo de(0, Q).
20
2
1 22
+
+= 20
2
2 22
+
+=
Considerando que:
[ ]
( ) [ ]2 22 3
0
1000500
2 2
14.586, 5 212.765, 98 10
rad s
rad s
= =
= =
Assim,
( )
[ ]
222 3
1 0 500 500 212.765,98 102 2
500 14.595,07 14.095,07 rad s
= + + = + +
= + =
[ ]2
22 0 500 14.595,07 15.095,072 2
rad s
= + + = + =
As freqncias de corte tambm podem ser calculas a partir da freqncia
central 0 e Q.2
1 0
2
2 0
1 11
2 2
1 11
2 2
Q Q
Q Q
= +
= + +
Tem-se que:1 1
0,03432 2 14,59Q
= =
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( ) [ ]
( ) [ ]
22
1 0
22
2 0
1 11 14.586,5 0,0343 1 0,0343 14.094,76
2 2
1 11 14.586,5 0,0343 1 0,0343 15.095,39
2 2
rad sQ Q
rad sQ Q
= + = + =
= + + = + + =
As freqncias de corte tambm podem ser calculas a partir da expressoanloga ou dual s freqncias de corte para um circuito RLC srie.
2
1
1
2 2
G G
C C LC
= + +
3 6
1 1500
2 2 10 10 0,1 10RC = =
3 6
1 1212.765.957,45
47 10 0,1 10LC = =
( )
[ ]
( )
[ ]
2
1
2
2
500 500 212.765.957, 45
500 14595,07 14.095,07
500 500 212.765.957,45
15095,07
rad s
rad s
= + +
= + =
= + +
=
11.Para o circuito srie paralelo da Fig. 8 calcule o circuito tanque equivalente.
R
4.7k C
0.02u
L5m
1
2
0 0 0 0
VF15.9kHz
Rw
25
Fig.8 Circuito RLC Paralelo.
Converso do ramo srie em ramo paralelo:
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L5m
1
2
0
Rw
25
Rp Lp
1
2
0
( ) ( ) pP22
w22
w
w
pPw
PS
L
1
jR
1
LR
L
jLR
R
L
1j
R
1
LjR
1
YY
=++
=+
=
( )22
w
P
w
R LR
R
+=
( )22
2
w
p
R LL
L
+=
A resistncia total do circuito tanque:
PT
P
R RR
R R
=
+
12.Qual a freqncia ressonante 0 e o fator de qualidade Q do circuito tanque noideal da Fig.8?
Na ressonncia BL=BC
( )C
LR
L
w
=+ 22
2
2
0
L
C
R C L
R C L
LC
=
Como RC=0, tem-se que:
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( ) ( )
( ) ( ) [ ]
2 62
3
0 3 6
25 0,02 1011
5 10
99.874,925 10 0,02 10
LR C
L
rad sLC
= = =
A freqncia ressonante pode ser obtida para o circuito tanque ideal equivalente,i..,
0
1
pL C
=
A indutncia Lp do circuito tanque equivalente ideal na ressonncia dada por:
( ) ( ) ( )
( )[ ]
222 3 320
22 3 30
25 99,87 10 5 100,005
99,87 10 5 10
w
p
R LL H
L
+ += = =
Assim
[ ]0 3 61 1
1005 10 0,02 10p
k rad sL C
= = =
O fator de qualidade de um circuito paralelo dado por:
0Q
=
em que a banda passante para o circuito tanque equivalente:
1
T
G
C R C = =
Assim Q dado por:
1
1P
T
pT
L C CQ R
LR C
= =
Na ressonncia RT dado pelo paralelismo entre Rp e R, em que Rp depende dafreqncia considerada.
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( ) ( ) ( )[ ]
222 3 320
25 100 10 5 1010025
25w
P
w
R LR
R
+ +
= = =
[ ]310025 4,7 10
3199,8310025 4700
PT
P
R RR
R R
= = =
+ +
A indutncia Lp do circuito tanque equivalente ideal na ressonncia dada por:
( ) ( ) ( )
( )[ ]
222 3 320
22 3 30
25 100 10 5 100,50
100 10 5 10
w
p
R LL H
L
+ += = =
Assim Q na ressonncia pode ser obtido:
60, 02 103199,83 0,64
0,5T p
CQ R
L
= = =
Assim, a freqncia ressonante obtida a partir de Q:
( )( )
srad
Q
Q
LC
58,154131541358,0100000
1156,0
156,0
1002,0105
1
1
1
2
2
63
2
2
0
==
+=
+=
13.O circuito a-b da Figura 9 deve deixar passar uma corrente de 45 kHz comimpedncia mnima e bloquear uma corrente de 15 kHz to eficazmente quanto
possvel. R0=20, R1=40 , e C2=0,05 F so constantes. A resistncia docapacitor desprezvel. L1 susceptvel de ser variado por toda a faixa
necessria e suposto que a resistncia do ramo 1 40 quando L1 fixado novalor desejado. Certo valor de C0 ou de L0 (de suposta resistnciadesprezivelmente pequena) deve ser colocado em srie com R0 para se obter oefeito seletivo estabelecido anteriormente.
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Figura 9 Circuito RLC misto.
a) Determinar L1 que colocar o circuito em paralelo b-c em ressonnciaparalela em 15 kHz.
b) Calcular a impedncia equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado paraseu valor ressonante em 15 kHz. b-c predominantemente capacitivo ou
predominantemente indutivo em 45 kHz?c) Qual o tipo de reatncia (indutiva ou capacitiva) que deve ser disposta em
srie com R0 para levar o ramo a-b a ressonncia em srie? Calcular o valorde L0 ou C0 que necessrio para colocar o circuito ab em ressonncia emsrie em 45 kHz.
d) Supondo-se que o ramo a-b foi colocado em ressonncia em srie em 45kHz, qual a impedncia real de a-b em 45 kHz? Em 15 kHz?
e) Delinear o processo acima para o efeito sintonizador inverso, i.., para ocircuito a-b deixar passar 15 kHz e bloquear 45 kHz.
Soluo:a) A condio de ressonncia paralela para o ramo b-c dada por:
122 2 2
1 1
L CB B
LC
R L
=
=+
Desenvolvendo a equao para L1, tem-se:
02121212
2 =+ RCLLC
22
21
22
2
1 2
411
C
RCL
=
[ ]sradf 78,94247101522 3 ===
( ) ( ) ( )( )
264,888
926,01
264,888
142,011
1005,078,942472
401005,078,9424741162
2262
1
=
=
=
L
L1
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[ ]
[ ]mHL
mHL
083,0264,888
074,0
168,2
264,888
926,1
2
1
==
==
A indutncia igual a 2,168 mH ser selecionada uma vez que produzir uma menorcondutncia na condio de ressonncia (i.., maior impedncia) contribuindo deforma eficaz para um menor valor da corrente bloqueada em 15 kHz.
b) A impedncia equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado para seu valorressonante em 15 kHz.
( ) ( )( )211
211,
CL
CLbceq
XXjR
jXjXRZ
++
=
( ) [ ]( ) [ ]==
===
74,701005,0104521
99,61210168,21045263
2
3311
C
L
X
LX
Ento:
( ) ( )
( )[ ]=
=
+
+= D
D
D
51,8992,79
78,8572,543
73,314,43455
74,7099,61240
74,7099,61240,
j
jjZ
bceq
A impedncia equivalente Zeq,bc predominantemente capacitiva.
c) Para levar o ramo a-b a ressonncia srie deve-se inserir uma reatncia indutivaem srie com R0.
O valor de L0 que leve o ramo a-b ressonncia a 45 kHz dado por:
( )( )
[ ]mHsen
LZL bceq 283,034,282743
93,79
10452
51,8993,79
0Im 30,045 ====
D
d) A impedncia do ramo a-b a 45 kHz?
[ ]
,45 0 , 20 79,92 89,51
20 0,68 79,92 82,55 75,49
ab eq bcZ R Z
j
= + = +
= + =
D
D
A impedncia do ramo a-b a 15 kHz?
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A resistncia do ramo a-b a 15 kHz dada por:
( ) ( )
[ ]
,15 0 15 015
22 3 3
3 3
1
40 2 15 10 2,168 1020 2 15 10 0,283 10
40
20 26, 67 1083, 76 1104, 08 1,38
abZ R j L
G
j
j
= + +
+ = + +
= + + = D
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Captulo 06Exerccios
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH P.S. LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Calcular a corrente no ramo bc para o circuito da Figura 1.1ohm
4 ohms
1
2
3 omhs
0
Zg1=1+j3 ohms
100+j0 v olts
2 ohms
2 ohms 8 ohms
Zg2=1+j5 ohms
43,3+j25 v olts
Figura 1
O circuito apresenta duas fontes, e pelo teorema da superposio a sua soluopode ser obtida investigando-se a contribuio de cada uma delas,
independentemente, para a resposta do circuito.
Inicialmente admite-se que a fonte g2 desativada, Eg2=0, sendo substituda porsua impedncia interna.
1ohm
4 ohms
1
2
3 omhs
0
Zg1=1+j3 ohms
100+j0 v olts
2 ohms
2 ohms 8 ohms
5 ohms
1
2
1 ohm
Figura 1.a.
( ) ( ) ( )( )
=+=++
+=
++
+= D17,772,3462,069,3
4233
4233
2
2j
jj
jj
ZZZ
ZZZZ
cdgce
cdgce
cf
b
a
c
d
e
f
b
a
c
d
e
f
Ibc
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( ) ( ) ( ) =+=++++=++= D64,471,5462,069,5462,069,331311 jjjjZZZZ cfbcgbf
AjjjIbc
D65,449,17417,143,17462,069,50100 ==
++=
Admite-se agora que Eg1=0, substituda por sua impedncia interna.
1ohm
4 ohms
1
2
3 omhs
0
2 ohms
2 ohms 8 ohms
3 ohms
1
2
1 ohm
Zg2=1+j5 ohms
43,3+j25 v olts
Figura 1.b.
( ) ( ) ( ) ( )=+=
++
+++=
++
+= D43,1858,15,05,1
422
423131j
j
jjj
ZZZ
ZZZZ
cdbcab
cdbcab
ca
A impedncia vista pela fonte Zg2:
==++++=++= D05,2915,55,25,45,05,182512 jjjjZZZZ cacegea
A corrente no ramo ec:
Ajj
j
Z
EI
ea
g
ec
D06,5972,934,855,25,4
253,432=+=
+==
Aplicando divisor de corrente para determinar a contribuio de Eg2 no ramo bc:
( )( )
( ) Ajjj
jI
ZZZ
ZI ec
cdgcb
cd
bc
D52,7768,75,766,134,8544
42
1
=+=++
+=
++=
A corrente no ramo bc ento:
AjjjIII bcbcbcD49,2912,18917,877,155,766,1417,143,17 ====
b
a
c
d
e
f
Ibc
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2. Calcule a corrente que circular na carga ZL=300o quando conectada aosterminais ab do circuito mostrado na Figura 2. Considere que a impedncia da
fonte desprezvel.
0
100+j0 v olts
j10 ohms
1 2
j10 ohms
1 2
-j20 omhs
Figura 2
Se uma impedncia Z for conectada entre dois pontos quaisquer de uma redeenergizada, a corrente resultante I, atravs desta impedncia, a diferena de
potencial V entre estes dois pontos, antes da conexo (ou VTH), dividida pela somada impedncia conectada Z e da impedncia Z0, onde Z0 (ou ZTH) a impednciado resto da rede quando vista dos terminais atravs dos quais conectada aimpedncia Z.
Para o clculo da tenso Vab (antes da conexo de ZL), tem-se que:
+===
cdec
F
cdcdcdcdabZZ
VZIZVV
( )V
jjjVV THab
D
D
02002010
010020 =
==
Na determinao da impedncia equivalente vista dos terminais ab, todas as fontesde f.e.m. devem ser supostas nulas e substitudas por suas impedncias internas.
( ) ( )=
+=
+
+= 30
2010
201010 j
jj
jjj
ZZ
ZZZZ
cecd
cecd
acTH
a
b
c
d
e
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0
VTH=200+j0 v olts
ZTH=j30 ohms
1 2
ZL=30 ohms
Figura 2.a.
De acordo com o teorema de Thvenin, a corrente na carga:
AjZZ
VI
LTH
TH
L
D
D
4572,43030
0200=
+
=
+=
Note que a tenso Vab com a carga difere da condio sem a carga:
Vab= 141,6-45V VTH = 2000oV
3. dado o circuito mostrado na Figura 3. Determinar a potncia entregue a umacarga com impedncia Zab=3+j3 que suposta como conectada nos terminaisab.
2 ohms
0
Zg1=1+j1 ohms
44,71+j22,38 v olts
1 ohm
Zg2=2+j1 ohms
100+j0 v olts-j5 omhs
j3 ohms1 2
j3 ohms1 2
Figura 3
A potncia entregue impedncia Zab calculada por:
*ZabZabZab IVS =
Usando o teorema de Thvenin, ser calculada a tenso Vab antes da conexo deZab. Para tanto, ser aplicado o teorema da superposio a fim de conhecer a
a b
a
b
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corrente que circula na resistncia de 1 como contribuio de cada uma dasfontes.
Considerando Eg2 desativada, sendo substituda por sua impedncia interna, tem-seque a impedncia do circuito vista por Eg1 dada por:
2 ohms
0
Zg1=1+j1 ohms
44,71+j22,38 v olts
1 ohm
-j5 omhs
j3 ohms1 2
j3 ohms1 2
j1 ohm
1
2
2 ohms
Figura 3.a.
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
=+=
++=
+++=
+++
+++++++=
D
D
13,861,105,15,10
44,1891,74313
54343
51231
512313211
j
jj
jjj
jjj
jjjjjZ
A corrente do circuito:
Aj
jI D
D
D
46,1871,413,861,10
59,2650
5,15,10
38,2271,44=
=
+
+=
A corrente atravs da resistncia nos terminais ab:
( )A
jjjI DD
D
11,5348,746,1871,451231
905=
+++
=
Considerando Eg1 desativada, sendo substituda por sua impedncia interna, tem-se:
a bI
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2 ohms
0
1 ohm
-j5 omhs
j3 ohms1 2
j3 ohms1 2
Zg2=2+j1 ohms
100+j0 v olts
j1 ohm
1
2
1 ohm
Figura 3.b.
A impedncia do circuito vista pela fonte Eg2:
( ) ( )
( )
( ) ( )
==
++=++
=
+++++++
+++
=
D
D
D
D
43,1891,75,25,7
433,5591,74343,1816,3
87,3625
123151132
51132
j
jj
jjjjj
jjj
Z
A corrente atravs da resistncia nos terminais ab:
Aj
ID
D
43,1864,125,25,7
0100=
=
A corrente no resistor ab:
AAIIIRabDDDD 06,5348,1293,12648,1243,1864,1211,5348,7 ====
A tenso Vab ou tenso de Thvenin:
VIRVV RababTHabD93,12648,12 ===
A impedncia de Thvenin vista dos terminais ab ser obtida desativando Eg1 e Eg2,substitudas por suas impedncias internas.
a bI
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2 ohms
0
1 ohm
-j5 omhs
j3 ohms1 2
j3 ohms1 2
j1 ohm
1
2
1 ohm
j1 ohm
1
2
2 ohms
Figura 3.c.
( ) ( )( )
( ) ==++=
++++++
+++=
DD 04,2196,65,25,6423,5591,7
31253211
53211
jj
jjjjj
jjjZ
( ) ( )==
+
=
+
= D
D
6,288,010488,015,25,6
104,2196,6 2j
jRZ
RZZ
ab
ab
TH
A corrente na impedncia Zab:
( )A
jjZZ
VI
abTH
THZab
D
D
24,16861,23310488,0
42,15474,122
=++
=
+=
A potncia fornecida a Zab ento:
( ) ( ) ( ) VAjjIZS ZababZabD459,2844,2044,2061,233 2
2=+=+==
4. Uma mquina geradora tem uma impedncia de 0,5+j1 e est conectada auma carga por uma linha de 0,25+j2 . Em que carga ser realizada a mximatransferncia de potncia? Se a tenso gerada for de 20V, qual ser a potnciarecebida pela carga quando ajustada para a mxima transferncia de potncia?Determinar a perda na linha e a perda na mquina geradora.
0,25 ohms
0
Zg=0,5+j1 ohms
V
? ohm
j2 ohms1 2
? ohms
1
2
Figura 4.
a b
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Para a mxima transferncia de potncia carga, a impedncia da carga deve ser
igual ao conjugado da impedncia do sistema. Assim,
( )= 375,0 jZL
Para o clculo da potncia entregue carga, tem-se que a corrente no circuito daFigura 4 calculada por:
AZZZ
VI
Llinhag
D
D
034,135,1
020=
=
++=
Assim,
( ) ( ) VAjjIZS LLD96,7566,55118,53583,13334,13375,0 2
2====
A perda na linha:
( ) WIRP linhalinha 49,4434,1325,022===
A perda no gerador:
( ) WIRP gg 98,8834,135,022===
Note que a potncia til da carga igual s perdas no sistema (mquina e linha). Acorrente nesta condio de operao limitada apenas pela resistncia, sendo,
portanto mxima, o que implica em condutores de maiores bitolas. Para a mximatransferncia de potncia a carga deve ter componente reativa dual a do sistema.Em geral, as cargas apresentam reatncia indutiva. Alm disso, na condio de
mxima transferncia de potncia o sistema torna-se instvel.
5. Resolver a questo anterior se a impedncia receptora for restringida resistncia pura.
AjZZZ
VI
Llinhag
D
D
43,6397,535,1
020=
+
=
++=
A potncia entregue carga:
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( ) ( ) VAIZS LLD073,2697,575,0 2
2===
A perda na linha:
( ) WIRP linhalinha 91,897,525,022===
A perda no gerador:
( ) WIRP gg 82,1797,55,022===
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Captulo 07Exerccios
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR - UFC
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA - DEECURSO DE CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH LEO
LISTA DE EXERCCIOS
1. Um sistema abc trifsico, equilibrado, a trs condutores de 110 Vrms, alimenta umacarga em tringulo, constituda por trs impedncias iguais de 545 . Determinar ascorrentes de linha Ia, Ib, e Ic e traar o diagrama de fasores.
Considerando um conjunto de tenses trifsicas equilibradas que alimentam a carga:
VV
VV
VV
ca
bc
ab
120110
120110
0110
+=
=
=
As correntes de fase Iab, Ibc, e Ica:
A
Z
VI
AZ
VI
AZ
VI
ca
caca
bc
bcbc
ab
abab
7522
455
120110
16522455
120110
4522455
0110
=
==
=
==
=
==
As correntes de linha Ia, Ib e Ic:
AIII
AIII
AIII
bccac
abbcb
caaba
45105,38165227522
165105,38452216522
75105,3875224522
===
===
===
Como as correntes de fase so equilibradas, as correntes de linha podem ser obtidas a
partir de:
Ibc
c
a
b
110V
110V
110V
Ic5 45
Ib
Ia
+ -
5 45 5 45
+
+ -
-Iab Ica
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( )( )( ) AII
AII
AII
cac
bcb
aba
45105,383075223303
165105,3830165223303
75105,383045223303
===
===
===
Ainda, uma vez obtida Ia, a corrente de linha nas outras fases podem ser obtidas
simplesmente por:
( )( ) AII
AII
ac
ab
45105,3812075105,38120
165105,38195105,3812075105,38120
===
====
Note ainda que a soma das correntes de fase nula, o que retrata uma condio de
equilbrio:
07522165224522 =++=++ cabcab
III
A soma das correntes de linha ser sempre nula, independente do equilbrio ou no das
correntes de fase. Em caso de desequilbrio das correntes de fase, tem-se uma condio
de desequilbrio nas correntes de linha cuja soma fasorial nula.
O diagrama fasorial:
Note que as correntes de linha tm magnitude 3 vezes maior que a magnitude dacorrente de fase e esto atrasadas de 30 de suas respectivas correntes de fase. Tal
condio ocorre em sistemas equilibrados.
2. Um sistema trifsico, equilibrado, com trs fios e 400 Vrms, alimenta duas cargasbalanceadas em Y. Uma carga um motor de induo que pode ser representado por
uma impedncia de 10+j5 por fase. A outra uma carga equivalente 15 por fase.Existe diferena de potencial entre n e n? Prove.
Determinar a potncia mdia:
(a)Fornecida carga resistiva de 15 .(b)Fornecida ao motor de induo.(c)Fornecida por uma fase da fonte.(d)Qual o fator de potncia do motor e do sistema?
Iab
Ibc
Ica
-45-120
-30
Ia
Ib
-30
Ic
-30
Vab
Vca
V c
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Para demonstrar o potencial de n e n ser inicialmente calculado o equivalente de cadacarga. Como as cargas so equilibradas, tem-se que:
( )
===
=+=+==
451533
57,2654,33153051033
,,,
,,,
RYReq
MYMeq
ZZ
jjZZ
As tenses de linha de alimentao so:
[ ]
[ ]
[ ]
400 0
400 120
400 120
ab
bc
ca
V V
V V
V V
=
=
= +
RZM
n
a
b
c
n
R
R
Ia
Ib
Ic
Ia,M Ia,R
Z,eq,R
ZM
ZM
Z,eq,M
Z,eq,M Z,eq,M Z,eq,R Z,eq,R
Ib,RIb,M
Ic,R
n
b
c
+
a
n
R
R
R
ZM
ZMZM400 V
400 V
400 V
++++
+
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As correntes de fase em cada uma das cargas so calculadas como:
( )( ) AII
AII
AZ
VI
MeqabMeqca
MeqabMeqbc
Meq
abMeqab
43,9393,11120157,2693,11120
57,14693,11120157,2693,11120
57,2693,1157,2654,33
0400
,,,,,,
,,,,,,
,,
,,,
=+=+====
=
==
( )( ) AII
AII
AZ
VI
ReqabReqca
ReqabReqbc
Req
abReqab
12089,81201067,26120
12089,81201089,8120
089,8045
0400
,,,,,,
,,,,,,
,,
,,,
+=+=+=
===
=
==
As correntes de linha que alimentam cada uma das cargas, motor e resistncia, so:
( )( ) AII
AII
AIII
MaMc
MaMb
MeqcaMeqabMa
43,6366,20120157,5666,20120
57,17666,20120157,5666,20120
57,5666,2043,9393,1157,2693,11
,,
,,
,,,,,,,
=+=+=
===
===
( ) ( )
( ) ( ) AIIAII
AIII
RaRc
RaRb
ReqcaReqabRa
904,151201304,15120
1504,151201304,15120
304,1512089,8089,8
,,
,,
,,,,,,,
+=+=+=
===
=+==
Note que as correntes que alimentam cada uma das cargas so simtricas ou equilibradas,
i.., mesma magnitude e defasadas de 120 eltricos.
Com as correntes de linha podem-se calcular as tenses de fase nas cargas motora e
resistiva conectadas em Y.
( ) ( ) ( ) ( )
V
jIZV aMMan
3099,230
57,5666,2057,2618,1157,5666,20510
=
=+==
( ) ( ) [ ]10 5 20.66 176,57 230,99 150bn M bM V Z I j V = = + =
ou simplesmente
( ) ( )VVV
VVV
ancn
anbn
9099,230120
15099,230120130230120
+=+=
===
Na resistncia, as tenses de fase:
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( ) ( )
VVV
VVV
VIZV
ancn
anbn
aRRan
90231120
150231120
30231304,15015
+=+=
==
===
Pode ser visto que Van=Van, Vbn=Vbn, e Vcn=Vcn, denotando que n e n esto no mesmopotencial. Embora os neutros das cargas no estejam ligados entre si, como as cargas so
equilibradas e alimentadas por tenses equilibradas no haver deslocamento no neutro das
cargas.
A potncia mdia entregue carga resistiva:
( ) kWIRIVIVP aRRaRanRReqababR 672,104,151533cos3cos322
,,,,3 =====
A potncia mdia fornecida ao motor de induo:
( ) [ ]
2
3 , , , , ,
2
3 cos 3 cos 3
3 10 20,66 12,805
M ab ab eq M M an a M M M a MP V I V I R I
kW
= = =
= =
A potncia mdia fornecida por uma fase da fonte:
( ) ( ) kWPPP RM 826,73
477,23805,12672,10
3
1
3
1,3,31 ==+=+=
Para determinar o fator de potncia do motor tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 , , ,
400 0 11,93 26,57 231 30 20,66 56,57 4772,46 26,57
ab ab eq M an a M S V I V I
VA
= =
= = =
( )894,0
46,4772
57,26cos46,4772
1
1 ===
S
PFPD
O fator de potncia de deslocamento do sistema:
VASSS RM 26,1569,8111034,355757,2646,4772,1,11 =+=+=
( ) 965,026,15cos == FPD
3. Trs impedncias de carga de 1560 so conectadas em delta e alimentadas porlinhas cada uma das quais tendo 1 de resistncia e 1 de reatncia indutiva. Se astenses de linha no lado de entrada das impedncias da linha forem trifsicas,
equilibradas e iguais a 115 V, determinar:
(a)A tenso atravs das impedncias de carga.(b)Perda de potncia nas linhas de suprimento e a potncia dissipada pela carga.
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A impedncia equivalente Y da carga:
=
==
6053
6015
3
1, ZZ Yeq
A impedncia total equivalente por fase:
, , argtotal eq linha Yeq c aZ Z Z= +
( ) ( )+==++=+= 33,5j5,371,5638,66051j1ZZZ n'a'aaeq,total
As tenses de linha de alimentao:
[ ]
[ ]
[ ]
115 0
115 120
115 120
ab
bc
ca
V V
V V
V V
=
=
= +
A corrente de linha que alimenta a carga:
A
Z
V
Z
VI
eqtotal
ab
eqtotal
ana
71,8641,1071,5638,6
3040,66
71,5638,6
303
0115
303
,,
=
=
=
==
( ) ( ) AIIAII
ac
ab
29,3341,10120171,8641,1012029,15341,10120171,8641,10120
=+=+====
1560
-
+
+
+
1+j1
a
b
c
1+j1
1+j1
115 V
115 V
115 V
1560 1560
ab
c
n
Zeq,Y Zeq,Y
Ib
Ia
Ic
+
+
+
-
-
-
-
-
Zeq,Y
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A tenso de fase na carga equivalente Y:
( ) ( )( ) ( ) V29,9305,52120171,2605,52120VVV71,14605,52120171,2605,52120VV
V71,2605,5271,8641,10605IZV
nanc
nanb
aY,eqna
=+=+====
===
A tenso de fase na carga :
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) VVV
VVV
VVV
baac
bacb
naba
29,12315,90120129,315,90120
71,11615,90120129,315,90120
29,315,9030171,2605,523303
=+=+=
===
==+=
A prova pode ser obtida a partir de:
( )
( )( )( )( ) Vj
j
IIZVV
ZIVZIV
balinhaabba
linhabbalinhaaab
3,318,9071,115,25011571,5603,18110115
29,15341,1071,8641,10110115
==+=
+=
=
+=
A perda na linha:
( ) WIRP alinhalinha 104,32541,1013322
===
A potncia dissipada pela carga:
( ) WIZIRP aYeqaacac 76,81241,102
153cos33
22
,
2
argarg ====
4. A figura abaixo mostra uma carga indutiva trifsica equilibrada ligada em estrela, semacesso ao terminal neutro, e alimentada por uma fonte trifsica equilibrada com a
seqncia de fase abc. Supondo que se disponha de dois wattmetros, pede-se que:
(a)Esboce o diagrama esquemtico de ligao dos wattmetros para que se obtenhamas potncias trifsicas, ativa e reativa, da carga.
(b) Deduza as expresses das potncias trifsicas ativa e reativa a partir das leituras deP1 e P2 obtidas dos wattmetros.
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Dados/Informaes Tcnicas:
_ Pi a leitura da potncia obtida pelo wattmetro i._ Z a impedncia de carga por fase (Z=|Z|ej);
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(b) Se medidores de volt-ampre reativos substiturem W1 e W2, determinar suasrespectivas leituras.
(c) Determinar o fator de potncia de deslocamento resultante da carga composta.(d) Quanto de compensao reativa seria necessrio para levar o fator de potncia do
sistema para 0,92 atrasado?
Estando os wattmetros conectados com a fase c como referncia para a bobina de
potencial, tem-se que a leitura de cada wattmetro pode ser obtida a partir das expresses:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
30cos30coscos
30cos30coscos
2
1
+===
===
bbcbbc
V
Ibbc
aacaac
V
Iaac
IVIVIVW
IVIVIVW
bc
b
ac
a
As tenses de linha equilibradas aplicadas s cargas so:
VV
VV
VV
ca
bc
ab
150200
90200
30200
+=
=
+=
Como sobre a bobina de potencial do wattmetro W1 est aplicada a tenso com polaridade
Vac, tem-se que:
VVV caac
30200180 ==
As correntes de linha so calculadas como:
( ) ( )FPDV
FPDP
FPDV
SI
IVS
LL
L
LL
1
3
13
3
cos3
cos3
3
==
=
A corrente de linha da carga 1 de 3kW:
Va
Vb
Ia
30
Vbc
Ib
-30
-
Vac
VcVca
-
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( )
( )
A
FPDV
FPDP
IL
a
6032,17
5,0cos5,02003
3000
cos3
1
1
3
1,
=
=
=
A
II ab
18032,17
1201,1,
=
=
A
II ac
6032,17
1201,1,
=
+=
Corrente de linha da carga 2 de 4kVA:
( )
( )
A
FPDV
SI
L
a
87,3655,11
8,0cos2003
104
cos3
13
13
2,
=
=
=
A
II ab
13,8355,11
12022,
==
A
II ac
87,15655,11
12022,
=
+=
As correntes de linha suprida pela fonte s duas cargas:
( )
( ) ( )( ) ( )AjII
AjII
AjIII
ac
ab
aaa
53,1996,173,9563,1912027,2463,19120
46,1194,1527,14463,1912027,2463,19120
07,89,1727,2463,1987,3655,116032,172,1,
+==+=+=====
==+=+=
O ngulo de defasamento entre a tenso de fase e a corrente de fase:
A potncia registrada por cada wattmetro:
Vab=200+30 V
Va=115,470 V
Ia=19,63-24,27 A
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( )( )
( )
( )W
IVW
W
IVW
bbc
aac
65,292.23027,24cos63,19200
30cos
38,906.33027,24cos63,19200
30cos
2
1
=+=
+=
==
=
onde o ngulo representa o ngulo de impedncia da carga vista pela fonte.
A potncia total trifsica:
WWW 03,619965,292.238,906.321 =+=+
Se ao invs de wattmetros tivssemos varmetros, as potncias reativas registradas em
cada varmetro seriam obtidas a partir de:
( ) ( )1 30 3 30cbc
V
ac a ac a cn cIQ V I sen V I sen V I sen = = =
( ) ( )2 30 3 30bcb
V
bc b bc b an aIQ V I sen V I sen V I sen = = + = +
A leitura em Q1 e Q2 seria:
( )
( ) [ ]1 30
200 19,63 24,27 30 391,97 var
ac aQ V I sen
sen
=
= =
( )( ) [ ]2
30
200 19,63 24,27 30 3187,04 var
bc b
Q V I sen
sen
= +
= + =
A potncia reativa da instalao:
[ ]1 2 391,975 3187,04 2795,065 varQ Q+ = + =
A potncia reativa pode ainda ser calculada a partir da leitura dos wattmetros:
( )( )
[ ]
1 23
3 3906,38 2292,65
2795,06 var
Q W W=
=
=
O fator de potncia de deslocamento do sistema:
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( )( ) ( )
912,0
27,24cos451,0cos03,6199
065,2795cos
cos
11
21
211
=
==
=
++
=
tgtg
PP
QQtgFPD
Como a potncia reativa do conjunto de cargas positiva, significa dizer que a potncia
reativa indutiva e, por conseguinte, o FPD indutivo ou atrasado.
O FPD pode ser calculado simplesmente pela defasagem entre tenso de fase e corrente de
fase como mostra o diagrama fasorial.
( )( ) 912,027,24cos27,240coscosFPD aa
V
I====
Potncia reativa de compensao:
Para um FPD=0,912 IND foi visto que a potncia reativa da instalao de 2795,06 var.
Para que o FPD aumente para 0,92 IND, tem-se que a potncia reativa necessria ser de:
( )
=
=
+
=
11
2
22
2
22
FPDPP
FPD
PQ
QP
PFPD
( )( )
[ ]2
0,92 2
12292,65 1 976,66 var
0,92Q
= =
A potncia de compensao igual a:
[ ]0,92 0,912 976, 66 2795, 06 1818, 4 var Q Q Q = = = (capacitivo).
6. Se ao circuito da questo 5, sem compensao, for acrescentada uma carga monofsicade 4 kW, com fator de potncia unitrio entre os terminais b e c, determine o fator de
potncia resultante de todo o circuito e a potncia de compensao em caso de violao
do fator de potncia regulamentado (0,92).
Vab=200+30 V
Va=115,470 V
Ia=19,63-24,27 A
QS0,912
S0,92
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A corrente que alimenta a carga monofsica:
[ ]
*
bc
4000 0I 20 90
200 90
bc bc bcS V I
A
=
= =
As correntes de linha do circuito so:
( )[ ]
( )[ ]
,1 ,2
,1 ,2
,1 ,2
17,32 60 11,55 36,87 19,63 24, 27 17,9 8,07
17,32 180 11,55 83,13 20 90
35,27 116,86 15,94 31,47
17,32 60 11,55 156,87 20 90
39,56 92,
a a a
b b b bc
c c c bc
I I I
j A
I I I I
j A
I I I I
= += + = =
= + +
= + +
= =
= + = +
=
( )[ ]84 1,96 39,54j A= +
A potncia do circuito antes da adio da carga de 4kW foi calculada como:
[ ]3 6199, 03 2795, 065 6800, 03 24, 27S j VA = + =
A potncia complexa total do circuito:
VAS 33,1510,105750400027,2403,68003 =+=
A potncia til do circuito:
( ) WP 03,199.10400003,6199400027,24cos03,68003 =+=+=
Se o mtodo dos dois wattmetros for usado para o clculo da potncia til trifsica,
tomando-se a fase c como referncia, e considerando-se que as tenses de linha mantm-se
equilibradas, i..,
VV
VV
VV
ca
bc
ab
150200
90200
30200
+=
=
+=
e
Duas
Cargas
3Equili-
bradas
a
b
c
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VVV caac 30200180 ==
com correntesIa eIb dadas por:
[ ]
[ ]
19,63 24,27
35, 27 116,86
a
b
I A
I A
=
=
As expresses para as potncias medidas pelos wattmetros, tomando-se a fase c como
referncia:
( )
( ) WIVW
W
IVW
bcc
b
ac
a
V
Ibbc
V
Iaac
97,292.686,26cos27,35200
cos
38,906.373,5cos63,19200
cos
2
1
===
==
=
A potncia trifsica:
WWWP 35,199.1097,292.638,906.3213 =+=+=
O fator de potncia de deslocamento:
96,01,575.1003,199.10
3
3 ===
SPFPD indutivo.
O FPD poderia ser calculado a partir da potncia til e reativa. Os volt-ampre reativos so
calculados por:
( ) [ ]
1
200 19,63 5,73 391,97 var
ac
a
V
ac a IQ V I sen
sen
=
= =
( ) [ ]1
200 35,27 26,86 3.187,08 var
bc
b
V
bc b I
Q V I sen
sen
=
= =
A potncia reativa trifsica:
[ ]3 1 2 391,97 3.187,08 2.795,11 varQ Q Q = + = + =
Para sistemas desequilibrados, a potncia reativa no pode ser obtida a partir da leitura dos
wattmetros:
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( )
( )VAr
WWQ
7,133.4
97,292.638,39063
3 213
=
=
=
O FPD ento:
( )( ) ( )
atrasado96,0
33,15cos274,0cos35,199.10
11,795.2cos
cos
11
3
31
=
==
=
=
tgtg
P
QtgFPD
No h necessidade de compensao.
7. Uma carga trifsica, alimentada pela rede (380 V, 60 Hz) consome uma potncia ativade 10 kW. Utilizando o mtodo dos dois wattmetros (que so iguais e ligados s fases
1 e 2 respectivamente) procurou-se medir o fator de potncia de deslocamento a partir
das suas indicaes chegando-se ao valor de 0,7 (indutivo). Qual a indicao de cada
um dos wattmetros?
Sabe-se que em um sistema trifsico equilibrado:
( )
3 1 2
3 1 2
3
3
3
P W W
Q W WQ
tgP
= +
= =
Ento:
( ) ( )10,7 cos 0,7 45,57FPD ind = = =
( )
[ ]
3
3
3
45,57 1,0210 10
10,2 var
Qtg
Q k
= =
=
Tem-se o sistema de equaes dado por:
( )
3 3
1 2 1 2
3 3
2
10 10 10 10
10,2 10 3 10 10 2
W W W W
W
= + =
=
[ ]
[ ]
33
2
1
10 10 0,21 5 10 0,88 4,42
2 3
10 4,42 5,58
W kW
W kW
= = =
= =
8