Exercicios Grafos 15 16 2 - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~drodelo/MD/15_16/Exercicios_Grafos_15_16_pg_1_28.pdf · UALG-2015/16 Matema´ticaDiscreta-Exerc´ıciosdeGrafos Indiqueosgrafos:

UALG - 2015/16 Matematica Discreta - Exercıcios de Grafos

1. Desenhe o grafo nao orientado G = (X,Γ) para:

(a) X = {a, b, c, d} e Γ = {{a, b} , {b, c} , {c, d}} .

(b) X = {a, b, c, d} e Γ = φ.

(c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e

Γ = {{1, 2} , {2, 2} , {2, 3} , {3, 4} , {3, 4} , {3, 5} , {6, 7} , {6, 8} , {7, 8}} .

2. Desenhe o grafo orientado G = (X,Γ) para:

(a) X = {a, b, c, d} e Γ = {(a, b) , (b, c) , (c, d)} .

(b) X = {a, b, c, d} e Γ = φ.

(c) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e Γ = {(1, 2) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (3, 4) , (3, 5) , (6, 7) , (6, 8) , (7, 8)} .

3. Em cada alınea dois grafos sao iguais. Identifique-os.

(a)

(b)

(c)

1


4. Desenhe o grafo cuja matriz de adjacencia e

(a)

0 1 1

1 0 1

1 1 0

(b)

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

(c)

0 1 0 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

(d)

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

(e)

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 0

(f)

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

0 0 0 0 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

(g)

0 1 0

0 0 0

1 1 0

(h)

0 1 0 0

0 0 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

(i)

0 1 0 1

0 0 0 0

1 1 0 1

1 0 0 0

(j)

0 0 0 1 0

1 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

(k)

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

(l)

0 0 0 1 0

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

.

2


5. Sejam A1 = {1, 2, 3, 4, 5} , A2 = {2, 4, 6, 8} , A3 = {3, 5, 12} e A4 = {5, 8, 10} . Dese-

nhe o grafo de vertices A1, A2, A3 e A4, tal que exista uma aresta entre dois vertices

se e so se a interseccao dos respectivos conjuntos e nao vazia. Construa a matriz de

adjacencia do grafo.

6. Um grafo tambem pode ser descrito pela lista dos sucessores de cada vertice. Seja G

o grafo descrito por:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Γ(x) 2, 3, 4 1, 3, 5 1, 2, 4 7 3, 6, 7 5, 6 9, 10 8, 10 8, 9

em que Γ(x) representa a lista dos sucessores do vertice x.

(a) Represente matricialmente o grafo.

(b) Represente graficamente o grafo.

7. Determine a matriz de adjacencia de todos os grafos simples dos exercıcios 1, 2 e 3.

8. Considere os grafos nao orientados

(i) (ii) (iii)

(iv) (v)

3


Indique os grafos:

(a) com arestas multiplas.

(b) com lacetes.

(c) simples.

(d) completos.

9. Considere os grafos orientados

(i) (ii) (iii)

(iv) (v)

Indique os grafos:

(a) com arcos multiplos.

(b) com lacetes.

(c) simples.

(d) completos.

10. Desenhe os grafos nao orientados completos K1, K2, K3, K4, K5 e K6.

4


11. Seja G um grafo simples nao orientado. Um grafo simples (nao orientado) G com o

mesmo conjunto de vertices de G diz-se o grafo complementar de G quando uma

aresta existe em G se e so se nao existe em G. Desenhe os grafos complementares de:

(a) (b) (c)

(d) (e)

12. Um grafo simples nao orientado diz-se bipartido quando o seu conjunto de vertices

X pode ser dividido em dois subconjuntos Y e Z, com X = Y⋃

Z e Y⋂

Z = ∅, de

modo que cada aresta do grafo liga um vertice de Y a um vertice de Z. Determine

quais dos seguintes grafos sao bipartidos:

(a) (b)

5


(c) (d)

13. Um grafo bipartido G = (X,Γ) com X = Y⋃

Z, diz-se completo quando todos os

vertices de Y sao adjacentes a todos os vertices de Z.

(a) Represente os grafos bipartidos completos K1,2, K1,3, K2,2, K2,3 e K3,3.

(b) Quantos vertices e arestas tem Kr,s? Justifique.

(c) Quantos vertices e arestas tem Kr,s? Justifique.

14. Determine, para os seguintes grafos,

(i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

6


(a) Os graus dos vertices.

(b) A soma dos graus dos vertices.

(c) O numero de arestas.

(d) A relacao entre os valores determinados em (b) e em (c).

(e) Se o grafo e regular.

15. Repita o exercıcio anterior para os grafos do exercıcio 8.

16. Determine, para os seguintes grafos,

(i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

(a) Os graus de entrada e de saıda dos vertices.

(b) A soma dos graus de entrada e de saıda dos vertices.

(c) O numero de arcos.

(d) A relacao entre os valores determinados em (b) e em (c).

(e) Se o grafo e pseudo-simetrico.

17. Repita o exercıcio anterior para os grafos do exercıcio 9.

7


18. Sera possıvel encontrar um grafo simples nao orientado com quatro vertices de graus

1,3,3,3. E se for nao simples?

19. E possıvel haver um grafo nao orientado com oito vertices de graus: 2, 2, 3, 4, 5, 5,

6, e 8 ? Justifique.

20. Desenhe um grafo orientado:

(a) com vertices a, b e c tais que

gr− (a) = gr− (c) = 1,

gr+ (a) = gr− (b) = gr+ (c) = 2 e

gr+ (b) = 0.

(b) com 4 vertices tais que 2 vertices tem o grau de saıda e de entrada iguais a 2.

21. Mostre que nao existem grafos nao orientados regulares com 7 vertices de grau 3.

22. Considere o seguinte grafo nao orientado e complete as frases de modo a obter

afirmacoes verdadeiras:

(a) xyzvyxw e um de comprimento

(b) yzuzy e um de comprimento

(c) uvzyvw e um de comprimento

(d) yzuvwy e um de comprimento

23. Considere o seguinte grafo orientado e complete as frases de modo a obter afirmacoes

verdadeiras:

8


(a) vwxywx e um de comprimento

(b) xywxywx e um de comprimento

(c) vwxyw e um de comprimento

(d) xyzvwx e um de comprimento

24. Indique quais dos grafos do exercıcio 8 sao conexos.

25. Indique quais dos grafos do exercıcio 9 sao fortemente conexos.

26. Verifique se os grafos do exercıcio 4 sao conexos ou fortemente conexos.

27. Seja G o grafo cuja matriz de adjacencia e:[

1 2 3 4 5 6 7 8 9

]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

(a) Determine o grau de cada vertice.

(b) Faca uma representacao de G.

(c) Verifique se ha um caminho entre 1 e 9.

(d) Escreva as componentes conexas de G.

28. Determine as componentes fortemente conexas do grafo do exercıcio 6.

9


29. Encontre as componentes fortemente conexas do grafo descrito na seguinte tabela:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Γ(x) 12 1, 3 10 5, 6 4, 6 3, 9 8, 9 7 10 9 10 2, 3

30. Seja G o grafo complementar de um grafo G. Preencha a seguinte tabela:

K9 K9,9 K4,5 K9,9 K4,5

No de vertices

No de arestas

Soma dos graus dos vertices

conexo

31. Numa pequena cidade ha uma rede de autocarros, muito mal planeada, com carreiras

ligando 10 zonas da cidade, que vamos designar por maiusculas de A a J. Na tabela

que se segue podem-se encontrar as ligacoes existentes (representadas por *)

A B C D E F G H I J

A ∗ ∗

B

C ∗ ∗ ∗

D ∗

E ∗

F ∗

G ∗ ∗

H ∗ ∗

I ∗

J ∗ ∗

10


(a) Para que zonas da cidade se pode deslocar um passageiro que esteja na zona F?

(b) Para ir de C para H qual o numero mınimo de autocarros que um passageiro

deve usar?

(c) O sistema garante o transporte de passageiros entre qualquer par de zonas?

(d) Caso a sua resposta anterior tenha sido negativa, apresente uma solucao, inse-

rindo novos percursos, que permita o transporte de passageiros entre qualquer

par de zonas da cidade.

32. Verifique se os seguintes grafos nao orientados admitem circuitos ou caminhos de

Euler e/ou de Hamilton:

(a) (b)

(c) (d)

33. Verifique se os seguintes grafos orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler

e/ou de Hamilton:

11


(a) (b)

(c) (d)

34. Verifique se os seguintes grafos nao orientados admitem circuitos ou caminhos de

Euler e, no caso de existirem, determine-os utilizando o algoritmo de Fleury:

(a) (b) (c)

12


(d) (e)

(f) (g)

35. Verifique se os seguintes grafos orientados admitem circuitos ou caminhos de Euler

e, no caso de existirem, determine-os utilizando o algoritmo de Fleury:

(a) (b)

13


(c) (d)

36. Verifique se no grafo correspondente a matriz de adjacencia A existe um circuito de

Euler. Em caso afirmativo use o algoritmo de Fleury para o determinar.

A =

0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 0

37. A figura seguinte representa a planta de uma casa. Existe alguma forma de percorrer

a casa (iniciando o trajecto dentro ou fora de casa) passando por cada porta uma e

uma so vez?

14


38. No grafo seguinte cada aresta representa uma avenida e cada vertice representa uma

esquina entre avenidas. Pretende-se entregar o correio nesta area iniciando a entrega

no ponto R e terminando no ponto K, passando em cada avenida exactamente uma

vez. Determine um possıvel percurso a efectuar.

39. Considere o grafo nao orientado

(a) Determine o numero de arestas.

(b) Identifique os circuitos.

(c) Qual e o menor numero de arestas que e preciso apagar para retirar todos os

circuitos?

(d) Retire essas arestas de modo a obter uma arvore de suporte do grafo original.

(e) Quantos caminhos simples existem entre cada par de vertices da arvore de su-

porte?

(f) Identifique as pontes na arvore de suporte.

15


40. Um grafo tem dez vertices numerados de 1 a 10. Existe uma aresta entre i e j se

i+ j e ımpar e corresponde-lhe o custo |i− j|.

(a) Determine a matriz de custos correspondente.

(b) Sera o grafo conexo? Justifique

41. Uma empresa de telecomunicacoes esta a instalar uma rede de fibra optica que cubra

varias localidades no Alentejo. As distancias e as ligacoes possıveis entre as locali-

dades estao esquematizadas na rede abaixo. Decida quais as ligacoes que devem ser

executadas de modo a que todas as localidades fiquem ligadas com um mınimo de

fibra optica.

42. Os agentes A, B, C, D, E, F, G e H sao conspiradores polıticos. De forma a coordenar

os seus esforcos e vital que cada agente seja capaz de comunicar directa ou indirec-

tamente com todos os outros conspiradores. Esta comunicacao, contudo, envolve um

certo risco para cada um deles. Os factores de risco associados a cada comunicacao

directa entre dois conspiradores estao apresentados na tabela seguinte:

16


A A A A A B B C C C C D D E

B C E F G C F D F G H E H H

9 3 8 3 4 10 6 6 4 5 7 6 3 5

Todas as comunicacoes entre pares de conspiradores que nao estejam na tabela sao

impraticaveis pois os servicos secretos ja os tem referenciados. Qual e o menor risco

total envolvido para que uma mensagem seja passada a todos os conspiradores?

43. A camara municipal de um pequeno municıpio rural resolveu alcatroar alguns cami-

nhos de terra batida entre aldeias. Os caminhos existentes e as distancias entre as

aldeias sao as que se mostram na figura. Nao havendo dinheiro para alcatroar todos

os caminhos, e preciso escolher os caminhos a alcatroar com o custo mınimo de modo

que haja um percurso entre cada par de aldeias por estradas alcatroadas. Determine

um solucao para este problema.

44. O senhor Francisco tem clientes em cinco cidades, as quais chamaremos, para sim-

plificar, A, B, C, D e E. Ele planeia uma viagem para visitar cada uma delas. O

senhor Francisco mora na cidade A e planeia comecar e terminar a viagem em sua

casa. A ordem pela qual ele tem que visitar as cidades nao e importante para os

seus negocios. Na figura, mostra-se as ligacoes aereas existentes entre as cidades bem

17


como o preco dos bilhetes de aviao para cada ligacao. Qual sera a sequencia que

minimize os gastos com transportes?

45. Resolva o problema do caixeiro viajante onde as distancias entre localidades sao:

(a)

A B C D E

A - 5 4 7 6

B 5 - 6 3 5

C 4 6 - 5 6

D 7 3 5 - 6

E 6 5 6 6 -

(b)

A B C D E

A - 13 20 12 19

B 13 - 18 11 -

C 20 18 - 12 15

D 12 11 12 - 19

E 19 - 15 19 -

18


(c)

A B C D E F

A - 6 7 4 6 5

B 6 - 3 10 9 6

C 7 3 - 6 4 6

D 4 10 6 - 7 2

E 6 9 4 7 - 8

F 5 6 6 2 8 -

(d)

A B C D E F

A - - 17 20 20 15

B - - 11 - 16 20

C 17 11 - 21 - 18

D 20 - 21 - 25 20

E 20 16 - 25 - 19

F 15 20 18 20 19 -

46. Utilizando o algoritmo de Dijkstra determine o caminho mais curto do no A para o

no G na rede representada pela seguinte matriz de distancias:

[

A B C D E F G

]

A

B

C

D

E

F

G

0 9 11 0 0 0 0

9 0 9 0 14 0 0

11 9 0 14 11 0 0

0 0 14 0 7 10 15

0 14 11 7 0 10 0

0 0 0 10 10 0 11

0 0 0 15 0 11 0

19


47. Considere o grafo nao orientado valorado representado na matriz:

[

A B C D E F

]

A

B

C

D

E

F

0 2 0 0 0 6

2 0 1 0 8 5

0 1 0 10 4 2

0 0 10 0 1 0

0 8 4 1 0 1

6 5 2 0 1 0

(a) Quantos caminhos de comprimento ( no de arestas ) 3 existem entre os vertices

A e D ? Quais sao? Destes qual e o menos pesado e qual e o mais pesado?

(b) Utilizando o algoritmo de Dijkstra determine o caminho mais barato entre os

vertices A e D.

(c) Determine a arvore geradora mınima do grafo.

48. Determine o caminho mais curto entre os vertices A e F:

20


49. Determine o caminho mais curto entre os vertices A e D:

50. Determine o caminho mais curto de A para G para os seguintes grafos com pesos

definidos pelas matrizes de adjacencia:

(a)

0 7 13 28 0 0 0

0 0 4 0 25 10 0

0 0 0 5 6 0 0

0 0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0 12

0 0 0 0 0 0 0

(b)

0 3 0 8 0 4 0 0

0 0 7 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 3 0 0 0

0 0 1 0 0 0 3 4

0 0 0 2 0 0 0 6

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 3 0

51. Resolva o problema do carteiro chines para o seguinte grafo:

21


52. Resolva o problema do carteiro chines para os grafos:

53. Um funcionario de uma empresa de parques de estacionamento tem que percor-

rer todas as ruas onde funciona estacionamento pago, para recolher o dinheiro das

maquinas, uma vez por dia. As maquinas encontram-se a intervalos regulares ao

longo das ruas cujo mapa se desenha a seguir. Os numeros sobre as arestas corres-

pondem aos comprimentos das ruas em centenas de metros. Determine o percurso a

percorrer pelo funcionario de modo a minimizar o espaco percorrido

54. Os grafos que se seguem sao todos planares. Redesenhe-os de modo a que nao haja

cruzamento de arestas. Para cada um dos grafos que desenhou verifique a validade

da formula de Euler.

22


(a) (b)

(c) (d)

55. Determine os graus das faces das representacoes planares obtidas no exercıcio aterior.

Qual e a relacao entre a soma dos graus das faces e o numero de arestas?

56. Desenhe um grafo simples e planar com:

(a) quatro faces de grau 3. (b) seis faces de grau 4. (c) duas faces de grau 5.

(d) seis vertices de grau 3. (e) oito vertices de grau 4. (f) doze vertices de grau 5.

57. Verifique que os seguintes grafos nao sao planares:

(a) (b)

23


(c)

58. Represente de forma planar o dual dos seguintes grafos planares:

(a) (b) (c)

59. Determine o numero cromatico k dos seguintes grafos e de um exemplo de uma

k-coloracao:

(a) O grafo cıclico C4 (generalize para Cn, n par).

(b) O grafo cıclico C5 (generalize para Cn, n ımpar).

(c) O grafo bipartido K2,3 (generalize para Ki,j, i, j ∈ N).

(d) O grafo completo K6 (generalize para Kn, n ∈ N).

60. Determine directamente o polinomio cromatico dos seguintes grafos:

(a) (b) (c) (d)

24


(e) (f) (g) (h)

61. Determine directamente o polinomio cromatico e o numero cromatico de:

(a) Kn, ∀n ∈ N.

(b) uma arvore.

62. Utilize a eliminacao e contraccao de arestas para determinar o numero cromatico k

e uma k-coloracao dos seguintes grafos:

(a) (b) (c) (d)

63. Considere os seguintes mapas:

(a) Represente os grafos duais.

(b) Determine o polinomio cromatico dos grafos duais obtidos na alınea anterior.

(c) Determine o numero cromatico k e de um exemplo de uma k-coloracao dos

grafos duais obtidos na alınea anterior.

(d) Obtenha uma coloracao dos mapas de modo que regioes fronteiras tenham cores

distintas.

25


64. Sendo dado o seguinte mapa:

(a) Desenhe o grafo dual que lhe corresponde.

(b) Encontre uma coloracao propria dos vertices do grafo dual.

(c) Use o resultado da alınea anterior para colorir o mapa.

65. Sendo dado o seguinte mapa:

26


(a) Desenhe o grafo dual que lhe corresponde

(b) Encontre uma coloracao propria dos vertices do grafo dual

(c) Use o resultado da alınea anterior para pintar o mapa

66. Encontre uma coloracao propria para o seguinte grafo:

67. Pretende-se marcar exames de 4 disciplinas das quais se sabe que: ha alunos que vao

fazer os exames das duas primeiras; ha alunos que vao fazer exame da primeira e da

quarta; ha alunos que vao fazer exame da segunda e da terceira e ha alunos a fazer

exame da terceira e da quarta. Estabeleca um horario para estes 4 exames ocupando

o mınimo possıvel de tempos lectivos e de modo a que nenhum aluno tenha exames

sobrepostos.

68. Na tabela seguinte:

A B C D E F G

A * * * *

B * * * * *

C * * * * *

D * * * * *

E * * * *

F * * * *

G * * * * *

27


* indica disciplinas (A, · · · , G) que tem alunos em comum. E necessario determinar o

horario de funcionamento destas 7 disciplinas num determinado dia. Qual e o menor

numero de tempos necessarios para leccionar todas as disciplinas?

69. Na preparacao de uma expedicao cientıfica a Marte e necessario encontrar tripulacoes

sem incompatibilidades, pois irao permanecer um longo perıodo confinados a nave.

Ha 10 voluntarios para a expedicao e pretende-se organizar duas equipas. Analisados

os 10 indivıduos, foi construıda a seguinte matriz de incompatibilidades:

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0

(nesta matriz 1 significa indivıduos incompatıveis e 0 indivıduos compatıveis). Orga-

nize as duas equipas de modo a que nao haja incompatibilidades entre os membros

de cada equipa.

70. Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as segintes afirmacoes:

(a) Um grafo bipartido pode ter polinomio cromatico igual a k(k − 1)2(k − 2).

(b) Se um grafo G admite uma 3-coloracao e contem K3, entao χ(G) = 3.

(c) Se um grafo G tem um vertice com grau 4, entao χ(G) > 5.

(d) Nao existem grafos planares cujo dual tenha polinomio cromatico igual a

k(k − 1)(k − 2)2(k − 3)(k − 4)2.

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