Probabilidade e a Exercicios Com Gabarito

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DepartamentodeMatematicaSeccaodeEstatsticaeAplicacoesProbabilidadeseEstatsticaEXERCICIOSEdicao de Fevereiro de 2007FormularioP(X= x) =

nx

px(1 p)nxP(X= x) =exx!P(X= x) = p(1 p)x1x = 0, 1, . . . , n x = 0, 1, . . . x = 1, 2, . . .E(X) = np V ar(X) = np(1 p) E(X) = V ar(X) = E(X) =1pV ar(X) =(1 p)p2P(X= x) =

Mx

N Mn x

Nn

fX(x) =1b a,a x bx = max {0, n N+ M} , . . . , min {n, M} E(X) =b + a2V ar(X) =(b a)212E(X) = nMNV ar(X) = nMNN MNN nN 1fX(x) =122exp

(x )222,x IR fX(x) = ex,x 0E(X) = V ar(X) = 2E(X) =1V ar(X) =12X /n N(0, 1)X S/n t(n1)

X1X2

(12)

21n1+22n2 N(0, 1)X S/na N(0, 1) S2=1n 1ni=1

XiX

2

X1X2

(12)

S21n1+S22n2a N(0, 1)

X1X2

(12)

(n11)S21+(n21)S22n1+n22

1n1+1n2

t(n1+n22)(n 1)S22 2(n1)ki=1(OiEi)2Eia 2(k1)ri=1sj=1(OijEij)2Eija 2(r1)(s1)Yi = 0 + 1xi + i0=Y 1 x1=ni=1xiYin xYni=1x2i n x2 2=1n 2ni=1

YiYi

2,Yi =0 +1xi 2=1n 2ni=1Y2inY2

1

2

ni=1x2i n x200

1n+x2x2in x2

2 t(n2)11

2x2in x2 t(n2)

0 +1x0

(0 + 1x0)

1n+( xx0)2x2in x2

2 t(n2)R2=

ni=1xiYin xY

2

ni=1x2i n x2

ni=1Y2inY2

Captulo1Estatsticadescritiva1.1Umaescolaavaliaoseucursoatravesdeumquestionariocom50perguntassobrediversosaspectosdeinteresse. Cadaperguntatemumarespostanumaescalade1a5, ondeamaiornotasignicamelhordesempenho. Paracadaalunoeentaoencontradaanotamedia. Na ultimaavaliacaorecorreu-seaumaamostrade42alunos,eosresultadosestaoembaixo.4.2 2.7 4.6 2.5 3.3 4.74.0 2.4 3.9 1.2 4.1 4.03.1 2.4 3.8 3.8 1.8 4.52.7 2.2 3.7 2.2 4.4 2.82.3 1.9 3.6 3.9 2.3 3.43.3 1.8 3.5 4.1 2.2 3.04.1 3.4 3.2 2.2 3.0 2.8(a) Proceda`aorganizacaodosdadosconstruindoumquadrodefrequenciasondegurem as frequencias absolutas, absolutas acumuladas e relativas acumuladas.(b) Desenheorespectivohistograma.(c) Identiqueasclassesmodalemediana.(d) Calcule a media e o desvio padrao usando os dados agrupados e tambem usandoosdadosnaoagrupados. Compareosresultados.(e) Calculeamedianaeos1oe3oquartis.1.2Num estudo para analisar a capacidade de germinacao de certo tipo de cereal foramsemeadas cincosementes emcadaumdos vasos dumconjuntode vasos iguais,contendoomesmotipodesolo, eregistou-seon umerodesementesgerminadas.Obtiveram-seosseguintesresultados:nodesementesgerminadasporvaso 0 1 2 3 4 5nodevasos 16 32 89 137 98 25(a) Calculeamedia,amedianaeamodadon umerodesementesgerminadas.(b) Representegracamenteosresultados.(c) Calculeaproporcaodevasoscommaisdetressementesgerminadas. (Teste26Jan1995)11.3Realizou-seumaexperienciacomumaperfuradorahidraulicaamdeconhecerasuacapacidade de perfuracaoemestruturas rochosas. Paratal foi observadaaprofundidade (empolegadas) de perfuracaoem 10 locais,cujos dados seencontramabaixo:10.6 10.7 10.1 10.9 10.810.2 11.0 10.3 10.5 10.9Apresente tres medidas de localizacaoe de dispersaoparaos dados observados,interpretando-asesugerindoqualamelhor, dentrodecadaumdosgruposdeme-didas.1.4Asnotasnaisobtidasem3turmasnadisciplinadeProbabilidadeseEstatsticaforamasseguintes:Turma 1 2 3noalunos 30 35 40media 13 10 9desviopadrao 2 2.2 2.1(a) Calculeamediaeodesviopadraodasnotasobtidasnoconjuntodetodososalunos.(b) No nal o professor entendeu alterar linearmente as notas de forma que a mediaeodesviopadraodasnotasdetodososalunosfossem12e2respectivamente.Sabendoqueumalunodaturma1obteve10valores, calculeasuanotananovaescalaadoptadapeloprofessor. (Exame23Jun1992)1.5Odepartamentodepessoal deumacertarmafezumlevantamentodossalariosdos 120 funcionarios do sector administrativo, tendo obtido os seguintes resultados.FaixasalarialFrequenciaRelativa[0, 2] 0.25]2, 4] 0.40]4, 6] 0.20]6, 10] 0.15(a) Esboceohistogramacorrespondente.(b) Calculeaproximadamenteamedia,avarianciaeodesviopadraodossalarios.(c) Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionarios, havera alteracaonamediadossalarios?Enavarianciadossalarios?Justique.(d) Responda`aquestaoanteriorparaocasodeserconcedidoumaumentode2unidadesatodososfuncionarios.2Captulo2Nocoesdeprobabilidade2.1Admita que um lote contem pecas pesando 5, 10, 15, 20 g e que existem pelo menos2 pecas de cada peso. Retiram-se 2 pecas do lote. Seja Xo peso da 1apeca retiradaeY opesoda2apecaretirada. Utilizandooplanoxymarque:(a) Oespacoderesultados.(b) OacontecimentoA = {(x, y) : x = y}.(c) OacontecimentoB= {(x, y) : y> x}.(d) OacontecimentoC= A2apeca eduasvezesmaispesadadoquea1a.(e) OacontecimentoD = A1apecapesamenos10gdoquea2a.(f) OacontecimentoE= Opesomediodasduaspecas emenorque15g.2.2Sejam A e Bacontecimentos tais que P(A) +P(B) = x e P(AB) = y. Determineemfuncaodexedeyaprobabilidadede:(a) Naoserealizarnenhumdosdoisacontecimentos.(b) Queserealizeumeumsodosdoisacontecimentos.(c) Queserealizepelomenosumdosdoisacontecimentos.(d) Queserealizequantomuitoum unicoacontecimento.2.3Mostreque:(a) SeAeBsaoacontecimentostaisqueA BentaoP(A) P(B).(b) ParaquaisqueracontecimentosCeDtem-seP(C D) P(C) P(C D).(c) P

ni=1Ai

ni=1P(Ai), n IN.2.4Umacoleccaode100programasdecomputadorfoiexaminadaparadetectarerrosde sintaxe, input/output ede outrotipo diferentedosanteriores. Desses100programas, 20tinhamerros desintaxe, 10tinhamerros deinput/outpute5tinham erros de outro tipo, 6 tinham erros de sintaxe e de input/output, 3 tin-ham erros de sintaxee de outro tipo, 3 tinham erros de input/outpute de outro3tipoe 2 tinham os tres tipos de erros considerados. Um programa e seleccionado aoacasodestacoleccao. Determineaprobabilidadedequeoprogramaseleccionadotenha:(a) Exclusivamenteerrosde sintaxe.(b) Pelomenosumdostrestiposdeerros.2.5Num lancamento de um dado viciado, a probabilidade de ocorrer cada n umerompareodobrodaprobabilidadedeocorrercadan umeropar.(a) Indique qual o espaco de resultados e calcule a probabilidade de cada acontec-imentoelementar.(b) Calculeaprobabilidadedequeon umerodepontosobtidonolancamentododadosejasuperiora3.(c) Calculeaprobabilidadedequeon umerodepontosobtidonolancamentododadosejaumquadradoperfeito.2.6Umalotariatem10000bilhetesnumeradosde0000a9999. On umerodoprimeiropremio eon umerodobilhetesadonumaextraccaoaoacaso.(a) Um jogador comprou um bilhete com o n umero 6789. Qual a probabilidade delhesairoprimeiropremio?(b) Se o jogador comprar todos os bilhetes cujos n umeros tem todos os algarismosiguais,qualaprobabilidadedelhesairoprimeiropremio?(c) Qualaprobabilidadedon umeropremiadotertodososalgarismosdiferentes?(Teste26Nov1994)2.7Numaladeesperadeautocarroestao4homens,3mulherese2criancas. Qualaprobabilidadede:(a) Aspessoas,dentrodecadaumdaquelestresgrupos,estaremdeseguida?(b) As2criancasestaremjuntas?2.8Considere o lancamento de 3 dados perfeitos, sendo um branco, outro preto e outroverde. Determineaprobabilidadedeobterumasomadepontosiguala10.2.9Deumgrupode50alunosdoIST(10alunosporano)eescolhidaaoacasoumacomissaocoordenadorade4pessoas. Qualaprobabilidadede:(a) Serescolhidoumeumsoalunodo1oano?(b) Seremescolhidosumaluno(esoum)do1oanoeumaluno(esoum)do5oano?(c) Seremescolhidosnomaximodoisalunosdo1oano?(d) Seremtodosdomesmoano?2.10Umgrupodeapostadoresdototoboladecidiujogartodasasapostaspossveiscon-tendo 7 vitorias em casa,4 empates e 2 vitorias fora. Calcule a probabilidade dessegrupoganharototobola.42.11Suponhaqueumacidadetemn + 1habitantesequeumdelescontaumboatoaoutro, queporsuavezorepeteaumterceiro, eassimsucessivamente. Emcadapasso, apessoaque ouve oboatoe escolhidaaoacasode entre as nrestantes.Determineaprobabilidadedequeumboatosejacontadorvezes:(a) Semantesvoltarasercontado`apessoaquelhedeuincio.(b) Semqueninguemooucamaisdoqueumavez.2.12Considereumdadoequipamentoqueeconstitudopor 10transstores dos quaisdois sao defeituosos. Suponha que dois transstores sao seleccionados ao acaso, comreposicao.(a) Escrevaoespacoderesultadoscorrespondenteaestaexperienciaaleatoriaecalculeasrespectivasprobabilidades.(b) Calculeasprobabilidadesdosseguintesacontecimentos:A1Sairumtransstordefeituosona1atiragem.A2Sairumtransstordefeituosona2atiragem.A3Sairpelomenosumtransstordefeituoso.A4Sairexactamenteumtransstordefeituoso.(c) Responda`asmesmasquestoesde(a)e(b)masagoraconsiderandoquenaohouvereposicao.2.13Umabolsacontemmoedasdeprataecobreemigualn umero. Extrai-seaoacasoesemreposicaoduasmoedas. Calculeaprobabilidadedeque:(a) A segunda moeda extrada seja de prata, sabendo que a primeira era de cobre.(b) Saiaumamoedadepratana2atiragem.(c) Umaeumasodasmoedassejadeprata.(d) Pelomenosumadasmoedassejadecobre.2.14Umaurnacontem5bolasbrancase5bolaspretas. Doisjogadores, AeB, tiramalternadamenteeumdecadadevezumaboladaurna. Ojogador quetirar aprimeirabolabrancaganhaapartida.(a) Considereaexperienciaaleatoriaassociadaaestejogoeescrevaocorrespon-denteespacoderesultados.(b) Calcule a probabilidade de cada jogador ganhar a partida sabendo que o jogadorA eoprimeiroatiraraboladeurna.(c) Responda novamente `as alneas (a) e (b) mas agora considerando que as bolassaoextradascomreposicao.2.15Considereoseguintetrocodeumcircuitoelectrico

r rA B1235e designe por Fi o acontecimentoo interruptor i esta fechado(i = 1, 2, 3). SuponhaqueF1eF2saoindependentes,comprobabilidadesiguaisa1/2equeF3temumaprobabilidade condicional de 1/8 quando os interruptores 1 e 2 estao fechados e umaprobabilidadecondicionalde1/10quandoapenasointerruptor1estafechado.(a) ProvequeF1eF2saoindependentes.(b) Calculeaprobabilidadedeointerruptor2estarfechadodadoquehacorrenteentreosterminaisAeB.(Exame9Jul 1994)2.16A execucao de um projecto de construcao de um edifcio no tempo programado estarelacionadacomosseguintesacontecimentos:E=escavacaoexecutadaatempoF=fundacoesexecutadasatempoS=superestruturaexecutadaatemposupostosindependentesecomprobabilidadesiguaisa, respectivamente, 0.8, 0.7e0.9. Calculeaprobabilidadede:(a) O edifcio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazosnastresactividadesreferidas.(b) Oprazodeexecucaosercumpridoparaaescavacaoenaosercumpridoempelomenosumadasoutrasactividades. (Exame14M