Exercises A

Ασκήσεις ΄Αλγεβρας Α Λυκείου 1

Λυγάτσικας ΖήνωνΠρότυπο Πειραmicroατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής

11 Σεπτεmicroβρίου 2012

1LaTEX

Πρόλογος

Το εγχειρίδιο αυτό έχει γραφεί για τους microαθητές της Α Λυκείου του Προτύπου Πει-ϱαmicroατικού Λυκείου της Βαρβακείου Σχολής Βασική προυπόθεση παραmicroένει η καλήγνώση των microεθοδολογιών και ασκήσεων του σχολικού ϐιβλίου Οι ασκήσεις που πε-ϱιέχονται εδώ είναι επι πλέον ϐοηθήmicroατα και δεξιότητες

Λυγάτσικας ΖήνωνΜαθηmicroατικόςΚαθηγητής του Προτύπου Πειραmicroατικού Λυκείου της Βαρβακείου ΣχολήςΑθήνα Αύγουστος 2012

i

ii

Περιεχόmicroενα

1 Τι είναι η απαγωγή σε άτοπο 1

11 Ασκήσεις στην απαγωγή σε άτοπο 4

2 Πιθανότητες 1

3 Πραγmicroατικοί Αριθmicroοί 3

31 Οι Πράξεις και οι ιδιότητές τους 332 ∆υνάmicroεις 433 ∆ιάταξη Πραγmicroατικών 9

331 Κάποιες αξιοσηmicroείωτες ανισότητες 11332 Παρατηρήσεις 12

34 Απόλυτη Τιmicroή 1235 Ρίζες Πραγmicroατικών Αριθmicroών 1536 Ασκήσεις Επανάληψης 17

4 Εξισώσεις 21

41 Η Εξίσωση α middot x+ β = 0 2142 Η Εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0 23

421 ΄Αθροισmicroα και γινόmicroενο ϱιζών 27422 Αναγωγή σε δευτέρου ϐαθmicroού εξίσωση 29

43 ∆ιαθεmicroατικά Θέmicroατα 31

5 Ανισώσεις 33

51 Ανίσωση 1oυ Βαθmicroού 3352 Ανίσωση 2oυ Βαθmicroού 34

6 Πρόοδοι 39

61 Αριθmicroητική Πρόοδος 3962 Γεωmicroετρική Πρόοδος 41

7 Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων 43

8 Μελέτη ϐασικών Συναρτήσεων 47

iii

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1

Τι είναι η απαγωγή σε άτοπο

Πρόκειται για microια microέθοδο αποδοχής της αλήθειας microιας πρότασης παρά για microια από-δειξη της πρότασης της ίδιας Για τον λόγο αυτό microέχρι το 20021 η αρχή της ατόπουαπαγωγής δεν ϑεωρήθηκε ισχυρή microαθηmicroατική microέθοδος απόδειξης απο έναν στενό κύ-κλο microαθηmicroατικών Για να πούmicroε την αλήθεια δεν κρύβουmicroε τη συmicroπάθειά microας προςτον στενό αυτό κύκλο

Grosso modo η microέθοδος ϐασίζεται σε microια αρχή η οποία ισχυρίζεται ότι δεν microπορείταυτόχρονα να είναι αληθής η πρόταση P καθώς και η άρνησή της notP

Ας πάρουmicroε όmicroως τα πράγmicroατα απο την αρχή δηλαδή απο την microεριά της ΛογικήςΘεωρίας Για να συνεννοηθούmicroε microια πρόταση ϑα είναι για εmicroάς είτε microια αλγεβρικήπαράσταση (συντακτικά σωστή) ή microια απλή microη τυπική microαθηmicroατική πρόταση (συντα-κτικά σωστή) της γεωmicroετρίας πχ υπάρχει microοναδική κάθετος απο σηmicroείο προς ευθείαΘεωρείστε λοιπόν microια τέτοια πρόταση P Η απαγωγή σε άτοπο είναι microια microέθοδος πουοδηγούmicroαστε στην αλήθεια της P microέσα απο το εξής σχήmicroα

bull Σκοπός Υποθέστε ότι ισχύει η πρόταση Q και ϑέλουmicroε να αποδείξουmicroε ότι ηπρόταση P είναι λογική συνέπεια της Q συmicroβολικά QrArr P

bull Αρχή Αντί για να αποδείξουmicroε ευθέως ότι η αλήθεια της πρότασης P είναι λο-γική συνέπεια της Q κάνουmicroε το εξής αποδεχόmicroαστε προσωρινά την αλήθειατης πρότασης notP αν τότε οι προτάσεις Q και η notQ είναι λογικές συνέπειες τηςnotP η microαθηmicroατική ϑεωρία microου είναι αντιφατική πράγmicroα που δεν είναι αποδε-κτό Αναιρώ λοιπόν την υπόθεση ότι η notP είναι αληθής και δέχοmicroαι microή έχονταςτίποτα καλύτερο την αλήθεια της P Συmicroβολικά αυτό γράφεται (

(notP rArr Q) και (notP rArr notQ))rArr P (11)

∆εν είναι δύσκολο να διακρίνετε εδώ τη διάσηmicroη επιχειρηmicroατολογία της κλασσικήςmicroαθηmicroατικής λογικής που λέει ότι αν microέσα σε microια ϑεωρία όπως είναι η γεωmicroετρία ήη άλγεβρα απο microια πρόταση microπορούmicroε να αποδείξουmicroε ταυτόχρονα microια πρόταση Qκαθώς και την άρνησή της notQ τότε microπορούmicroε να αποδείξουmicroε οτιδήποτε Απαράδεκτοστα microαθηmicroατικά και όχι microόνο Πράγmicroατι είναι το παράδοξο του ψευδόmicroενου που

1Για τους microυηmicroένους είναι η χρονιά όπου η αρχή του αποκλειοmicroένου τρίτου πήρε microια ϑέση στον πίνακατων ισοmicroορφισmicroών Curry-Howard

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ

ανάδειξε ο ϐρετανός B Russell δες επίσης την microετάφραση της οmicroιλίας του JY Girardστο blog microου httpblogsschgrzenonlig

Ας δούmicroε για παράδειγmicroα την εφαρmicroογή σελίδα 49 του σχολικού ϐιβλίου η οποίαισχυρίζετε την αλήθεια της εξής συνεπαγωγής

Αν ο a2 είναι άρτιος ακέραιος τότε και ο a είναι άρτιος

Αν προσπαθήσετε να δώσετε microια ευθεία απόδειξη της συνεπαγωγής αυτής ϑα σκον-τάψετε πάνω στην διττή συmicroπεριφορά του ακεραίου a άλλη συmicroπεριφορά έχουν τατετράγωνα των αριθmicroών 246 και άλλη των αριθmicroών 357 Είναι απολύτως λο-γικό λοιπόν να σκεφθείτε ότι η απόδειξη εξαρτάται άmicroεσα απο το ότι ο a είναι άρτιοςή περιττός επιλογή που σχετίζεται microε το συmicroπέρασmicroα της αρχικής πρότασης Επί-σης η ϑεωρία αριθmicroών ταξινοmicroεί τους ακεραίους ανάλογα microε την διαιρετότητα microε το2 συγκεκριmicromicroένα σε δύο microεγάλες κατηγορίες τους άρτιους και περιττούς Ακέραιοςπου να είναι ταυτόχρονα άρτιος και περιττός δεν υπάρχει Αυτό microου δίνει ένα microεγάλοavantage και αποφεύγω ταυτόχρονα τον ϕαύλο κύκλο του ευθύ αποδεικτικού συλλο-γισmicroού Απλά ϑα χρειασθώ microια στρατηγική που δεν είναι και τελείως άγνωστη καιδεν είναι τίποτα άλλο παρά αυτό που καλούmicroε η αρχή της απαγωγής σε άτοπο

΄Οmicroως κάνουmicroε microαθηmicroατικά δεν ϑα αφήσουmicroε τη ϑέση microας στη χρήση των λέξεωντης καθηmicroερινής γλώσσας ∆εν ψάχνουmicroε για αληθείς προτάσεις αλλά για τυπικά

2

αληθείς προτάσεις ΄Εχει διαφορά

Η πρόταση P είναι Ο a είναι άρτιος ακέραιος

Η πρόταση notP είναι Ο a είναι περιττός

Η πρόταση Q είναι Ο a2 είναι άρτιος ακέραιος

Η πρόταση notQ είναι Ο a2 είναι περιττός

Ας δούmicroε το σχέδιο της απόδειξης Υποθέτουmicroε ότι η notP είναι τυπικά αληθήςΠροφανώς αφού η πρόταση Q είναι υπόθεση είναι τυπικά αληθής και έτσι η συνεπα-γωγή (notP rArr Q) είναι εκ των προτέρων αληθής

Σηmicroειώστε ότι αν A είναι ψευδής και B αληθής τότε ο συλλογισmicroός ArArr B είναιαληθής ΄Ετσι ΄Εχω σπίτι στο Λονδίνο άρα είmicroαι πλούσιος είναι αληθής συλλογισmicroόςαν και δεν έχω σπίτι στο Λονδίνο Ενώ ο συλλογισmicroός Η γή είναι στρογγυλή τότε ο

Γαλιλαίος είναι πλοίο είναι λάθος Αν ψευδής πρόταση εξάγεται απο αληθή τότε ησυνεπαγωγή είναι λάθος

Στη σελίδα 49 του σχολικού ϐιβλίου ϐλέπουmicroε ότι και η (notP rArr notQ) είναι αληθήςισχύει δηλαδή

αν a είναι περιττός (πρόταση notP )rArr ο a2 είναι περιττός (πρόταση notQ)

΄Ετσι η αρχική παραδοχή ότι η πρόταση notP είναι τυπικά αληθής οδηγεί σε αδιέξο-δο αφού είναι υπεύθυνη για την ϕαυλότητα της ισχύος της Q και notQ ΄Αρα σύmicroφωναmicroε την αρχή 11 ισχύει η αντίθετή της που δεν είναι άλλη εκτός απο την ίδια την P

2Η τυπικότητα είναι κάτι το αυστηρά ορισmicroένο στα microαθηmicroατικά

3

Ας επιχειρήσουmicroε και δεύτερο παράδειγmicroα Αν a2 + b2 = 0 τότε a = b = 0

Απόδειξη

Ας δούmicroε το σύνολο των προτάσεων αναλυτικά

Η πρόταση P είναι a = b = 0

Η πρόταση notP είναι ΄Ενας τουλάχιστον απο τους a και b είναι 6= 0

Η πρόταση Q είναι a2 + b2 = 0

Η πρόταση notQ είναι a2 + b2 6= 0

Ας υποθέσουmicroε ότι είναι αληθής η notP Τότε είναι αληθές ότι

notP rArr Q (12)

Θα αποδείξουmicroε ότι και η συνεπαγωγή

notP rArr notQ (13)

είναι αληθής

Πράγmicroατι

1 Αν a = 0 και b 6= 0 τότε a2 + b2 = 02 + b2 = b2 6= 0

2 Οmicroοίως αν a 6= 0 και b = 0

3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0

΄Αρα απο τις σχέσεις 12 και 13 έπεται ότι η αρχική υπόθεση ότι η notP είναιαληθής δεν ευσταθεί διότι τότε όλη η microαθηmicroατική microας ϑεωρία είναι αντιφατική ΄Αρασύmicroφωνα microε την αρχή 11 είναι αληθής η P ή ότι a = b = 0

Ας πάρουmicroε και ένα παράδειγmicroα απο τη Γεωmicroετρία Πάρτε το Θεώρηmicroα Απο

σηmicroείο εκτός ευθείας διέρχεται microοναδική κάθετος στην ευθεία (σελίδα 43 σχολικού ϐι-

ϐλίου)

Απόδειξη∆εν ϑα επαναλάβουmicroε εδώ την απόδειξη αλλά ϑα κάνουmicroε το σκελετό του συλλογι-σmicroού

Η πρόταση P είναι Υπάρχει microοναδική κάθετος προς ευθεία απο δοθέν ση-

microείο εκτός αυτής

Η πρόταση notP είναι Υπάρχουν δύο τουλάχιστον διαφορετικές ευθείες κά-

ϑετες προς ευθεία απο δοθέν σηmicroείο εκτός αυτής


Η πρόταση Q είναι ΄Ολες οι εφεξής και παραπληρωmicroατικές γωνίες έχουν τις

microη κενές πλευρές αντικείmicroενες ηmicroιευθείες (ϑεώρηmicroα σελ 19)

Η πρόταση notQ είναι Υπάρχουν εφεξής και παραπληρωmicroατικές γωνίες που

δεν έχουν τις microη κενές πλευρές αντικείmicroενες ηmicroιευθείες


notP rArr Q (14)

Το ϐιβλίο αποδεικνύει ότι και η συνεπαγωγή

notP rArr notQ (15)


Σχήmicroα 11 Η απόδειξη της σχέ-σης 15 είναι η ακόλουθη ΄Εστωότι ισχύει η notP δηλαδή υπάρχεικαι άλλη κάθετος AΓ εκτός τηςAAprime όπου Aprime το συmicromicroετρικό τουA Τότε α+ β = 90o + 90o = 180o

microε τα σηmicroεία A Γ και Aprime όχι συ-νευθειακά ΄Αρα ισχύει η notQ

Αφού λοιπόν είναι αληθείς και η 14 και η 15 συmicroπεραίνουmicroε σύmicroφωνα microε τηναρχή 11 ότι η P είναι αληθής δηλαδή η microοναδικότητα της καθέτου

Θα αναρωτηθείτε ίσως αν κάθε ϕορά που χρησιmicroοποιείτε την αρχή της απαγωγήςσε άτοπο ϑα πρέπει στήνετε όλο αυτό το ιδιόρυθmicroο σκηνικό ΄Αλλωστε δεν υπάρχει καιστο ϐιβλίο ΄Εχετε απόλυτο δίκαιο Αυτό που αναλύσαmicroε δεν είναι η καθηmicroερινότητααλλά το υπόβαθρο του microηχανισmicroού Μπορείτε να το αγνοήσετε αλλά αν κάνετε λάθοςστους συλλογισmicroούς να ξέρετε ότι ϑα ακυρωθεί η προσπάθειά σας Είναι microηχανισmicroόςκαι ϑέλει και αυτός τον απαιτούmicroενο χρόνο εξοικείωσης Μην ξεχνάτε επίσης ότι οισπουδές που κάνουmicroε είναι εγκύκλιες

Μία παρατήρηση ακόmicroα ϑα προσέξατε microία διαφορά στη χρήση της απαγωγής σεάτοπο στην άλγεβρα και γεωmicroετρία Η πρόταση Q δεν είναι σχηmicroατικά η ίδια στουςδύο microαθηmicroατικούς τοmicroείς Στο γεωmicroετρικό παράδειγmicroα η πρόταση δεν ϐρίσκεταιmicroεταξύ των προτάσεων της υπόθεσης του προβλήmicroατος αντίθετα στην άλγεβρα είναιη υπόθεση η ίδια Αυτό συmicroβαίνει εξ αιτίας της πολυπλοκότητας των γεωmicroετρικώνπροτάσεων οι οποίες δεν είναι τυπικές όπως αυτές της άλγεβρας Για τον λόγο αυτόmicroάλλον εκτός microερικών εξαιρέσεων στη γεωmicroετρία microένει να ανακαλυφθεί η πρότασηQ

11 Ασκήσεις στην απαγωγή σε άτοπο

Παρακάτω γράψτε τον πίνακα των εmicroπλεκοmicroένων προτάσεων στην απόδειξη των κατω-τέρω συλλογισmicroών microε άτοπο απαγωγή Οι αποδείξεις των προτάσεων είναι στο σχολικό

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ 5

ϐιβλίο

1 Αν |x|+ |y| = 0 τότε x = y = 0Η πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

2 Χρησιmicroοποιώντας απαγωγή σε άτοπο για την αλήθεια του συλλογισmicroού Για νϕυσικός αριθmicroός ισχύει ότι ν2 + 4ν + 5 περιττός τότε ο ν isin NΝ είναι άρτιος ναγράψετε τις προτάσεις που εmicroπλέκονται όπως κάναmicroε στα παραδείγmicroαταΗ πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

3 Σύmicroφωνα microε το σχολικό ϐιβλίο να γράψετε τις προτάσεις που εmicroπλέκονται στηναπόδειξη microε απαγωγή σε άτοπο του συλλογισmicroού Αν x y ϑετικοί πραγmicroατικοί

και ν ϑετικός ακέραιος τότε x lt yx gt yx = y

hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν

Η πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

4 Ο αριθmicroος

radic2 είναι άρρητος Να γράψετετε τις παρακάτω προτάσεις απο την

απόδειξη σε απαγωγή σε άτοπο που είναι γραmicromicroλενη στο σχολικό ϐιβλίοΗ πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

5 Αν α2 είναι άρτιος τότε και ο α είναι άρτιοςΝα γράψετετε τις παρακάτω προτά-σεις απο την απόδειξη σε απαγωγή σε άτοπο που είναι γραmicromicroλενη στο σχολικόϐιβλίοΗ πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

6 Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ microία ορθή γωνία (Βιβλ Γεωmicroετρίας σελ 53 Πόρι-σmicroα)



7 Απο σηmicroείο εκτός ευθείας άγεται microοναδική κάθετος προς την ευθεία (ΒιβλΓεωmicroετρίας σελ 43 Θεώρηmicroα)Η πρόταση P είναι Η πρόταση notP είναι Η πρόταση Q είναι Η πρόταση notQ είναι

8 Αποδείξτε όλους τους παραπάνω συλλογισmicroούς

9 ∆είξτε microε απαγωγή σε άτοπο την αλήθεια της πρότασης Για κάθε πραγmicroατικό

αριθmicroό x 6= minus2 ισχύει ότιx+ 1

x+ 26= 1

10 Ο ϕίλος microου ο Πέτρος microου είπε ότι Το απόγευmicroα της ∆ευτέρας ίσως περάσωαπο το σπίτι σου Αν δεν σε ϐρώ εκεί τότε ϑα σου αφήσω microήνυmicroα κάτω απο τηνπόρτα Αλλά το απόγευmicroα της ∆ευτέρας αναγκάστηκα να ϕύγω απο το σπίτιmicroου Γυρνώντας το ϐράδυ στο σπίτι δεν ϐρήκα τίποτα κάτω απο την πόρτα Τιέχει συmicroβεί πραγmicroατικά

Αποδείξτε τον ισχυρισmicroό σας microε απαγωγή σε άτοπο

11 ∆είξτε ότι δεν υπάρχει πραγmicroατικός αριθmicroός έτσι ώστε x2 = minus1

12 ∆είξτε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι απο άνισες πλευρές ϐρίσκονται όmicroοια άνι-σες γωνίες ∆ιατυπώστε το αντίστροφο του ϑεωρήmicroατος αυτού και αποδείξτε τοmicroε απαγωγή σε άτοπο (ϑεώρηmicroα παρ 311 σελ 54 σχολικό ϐιβλίο γεωmicroετρίας)

13 Αν οι αριθmicroοί e π π2 e2 και eπ είναι άρρητοι αποδείξτε ότι το πολύ ένας αποτους αριθmicroούς π + e π minus e π2 minus e2 π2 + e2 είναι ϱητός

Κεφάλαιο 2

Πιθανότητες

14 Το Παράδοξο του Μεγάλου ∆ούκα της Τοσκάνης

Ο Γαλιλαίος (1554-1642) είναι γνωστός για το έργο του στην αστρονοmicroία καιϕυσικά για την εφεύρεση του τηλεσκοπίου Ωστόσο το 1620 έγραψε ένα microικρόmicroνηmicroόνιο που αφορούσε το παιχνίδι των Ϲαριών σε απάντηση ενός αιτήmicroατος τουπροστάτη του ∆ούκα της Τοσκάνης Ο Γαλιλαίος ήταν τότε Πρώτος Μαθηmicroατικόςτου Πανεπιστηmicroίου της Πίζας και Πρώτος Φιλόσοφος του Μεγάλου ∆ούκα καιείναι αυτός που microαζύ microε τον Καρντάν έγραψε για πρώτη ϕορά σχετικά microε τονλογισmicroό των πιθανοτήτων Τα γραπτά τους δηmicroοσιεύθηκαν microετά την περίφηmicroηαλληλογραφία microεταξύ του Πασκάλ και Φερmicroά η οποία σηmicroατοδοτεί επίσηmicroατην έναρξη της ϑεωρίας πιθανοτήτων Είναι γνωστό ότι ο Μεγάλος ∆ούκας έζησετον XVII αιώνα είχε αδυναmicroία στα τυχερά παιχνίδια ΄Ενα από τα αγαπηmicroένατου παιχνίδια ήταν να αθροίζει τους αριθmicroούς που έφερναν τρία Ϲάρια ΄ΕναϹάρι είναι ένας κύβος microε 6 πλευρές Σε κάθε πλευρά αναγράφεται ένας εκτων αριθmicroών 123456 Σαν microεγάλος παίκτης που ήταν παρατήρησε ότι τοαθροισmicroα 10 εmicroφανιζόταν ελαφρώς συχνότερα από ότι το άθροισmicroα 9 Είπελοιπόν στο Γαλιλαίο την παρατήρησή του εκφράζοντας την απορία αφού και στιςδύο περιπτώσεις είναι έξι οι δυνατότητες των αριθmicroών 123456 που ϕέρνουνάθροισmicroα 10 ή 9 δηλαδή

10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

∆εν ϑα εξηγήσουmicroε εδώ το γιατί ϑεωρήθηκε η παρατήρηση αυτή παράδοξο Μπορούmicroε όmicroως να κάνουmicroε το πρώτο ϐήmicroα για την προσέγγισή του

Υποθέστε λοιπόν ότι ϱίχνετε τρία Ϲάρια και σηmicroειώνετε κάθε ϕορά τις ενδείξειςκάθε πλευράς Συmicroβολίζουmicroε microε Ω τον δειγmicroατικό χώρο του πειράmicroατος ∆ίδεταιτο πλήθος των στοιχείων του δειγmicroατικού χώρου Ν(Ω) = 216 Κατασκευάστε δύοδενδροδιαγράmicromicroατα ένα για το ενδεχόmicroενο

Α να ϕέρω άθροισmicroα ενδείξεων ίσο microε 10και ένα για το ενδεχόmicroενοΒ να ϕέρω άθροισmicroα ενδείξεων 9

(α΄) Ποιο είναι το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοmicroένου Α και ποιο για τοενδεχόmicroενο Β

(ϐ΄) Βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α) και Ρ(Β)

(γ΄) Μπορείτε να εξηγείσετε γιατί ο Μεγάλος ∆ούκας είχε κάνει σωστή παρατή-ϱηση

15 Ρίχνουmicroε τρείς ϕορές ένα Ϲάρι microε έξι αριθmicroηmicroένες πλευρές 123456 καισηmicroειώνουmicroε τα αποτελέσmicroατα a την πρώτη ϕορά b την δεύτερη και c τηντρίτη ΄Ετσι έχουmicroε ένα ενδεχόmicroενο που το σηmicroειώνουmicroε microε (a b c)

(α΄) Βρείτε τον αριθmicroό όλων των πιθανών ενδεχοmicroένων του πειράmicroατος

(ϐ΄) Θέλουmicroε τώρα απο τις τιmicroές του (a b c) να σχηmicroατίσουmicroε ένα τρίγωνο (πι-ϑανόν αmicroβλυγώνιο) microε πλευρές a b και c (το (c a b) δίνει άλλο τρίγωνο)

i Μεταξύ των παρακάτω αποτελεσmicroάτων ποιά δίνουν πραγmicroατικά ένατρίγωνοΑ΄ (3 5 3)

Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)

Ας δεχθούmicroε ότι έχουmicroε 156 περιπτώσεις που οι τρείς αριθmicroοί είναιπλευρές τριγώνου

ii Ποιά είναι η πιθανότητα το τρίγωνο να είναι ισόπλυερο iii Ποιά είναι η πιθανότητα το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο iv Είναι αλήθεια ότι είναι πιθανότερο να πάρετε ένα τρίγωνο ισοσκελές

παρά ένα τρίγωνο όχι ισοσκελές Γιατί

Κεφάλαιο 3

Πραγmicroατικοί Αριθmicroοί

31 Οι Πράξεις και οι ιδιότητές τους

16 Η πρόταση

(xminus 1)(x2 + 1) = 0hArr xminus 1 = 0 και x2 + 1 = 0

είναι αληθής ή ψευδής ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας

17 Τοποθετήστε το σύmicroβολο rArr ή hArr στα κενά ώστε να είναι σωστοί οι παρακάτωσυλλογισmicroοί

(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0

18 Η παρακάτω πρόταση ισχύει για κάθε a b c isin ΙR microε b c 6= 0

Ανa

b=a

c τότε b = c

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας

3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

19 Για ποιές τιmicroές του x isin ΙR ορίζεται η παράσταση

1

1 +1

1 +1

x

Να γίνει απλό το παραπάνω σύνθετο κλάσmicroα

20 Αν x =1

2004και y = 2004 να υπολογίσετε την παράσταση

A = minus6(xminus y)xminus 3[xminus (x+ y)xminus x(x+ y)] + 3x

21 Ανx

2=y

3=z

5και y + z = 5 να ϐρείτε τους αριθmicroούς x y και z

22 Αν x+ y = 3 να ϐρεθεί η τιmicroή της παράστασεις

A = (6xminus 2y)[minus (x+ 2y)2 + 4(minusxminus 2y)minus [xminus (xminus 2y)]

]

23 Να ϐρεθούν οι τιmicroές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις

A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1

24 Υποθέτω ότι a b c d isin ΙRlowast microεa

b=b

c=c

d ∆είξτε ότι

c+ d

d=ac2 + b2d

acd

32 ∆υνάmicroεις

25 Ισχύει (αminus β)2 = (minusα+ β)2 για κάθε α β isin ΙR ∆ικαιολογήστε την απάντησήσας

26 Ισχύει (α minus β)3 = (β minus α)3 για κάθε α β isin ΙR ∆ικαιολογήστε την απάντησήσας

27 Να συmicroπληρώστε τα κενά ώστε οι παραστάσεις να είναι τέλεια τετράγωνα

(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +

(γ΄) 16a2 minus 24a+

(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2

32 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ 5

28 Να δειχθεί ότι η τιmicroή της παράστασης A =

(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3

(5minus x)3(25minus x2)3 είναι

ανεξάρτητη της microεταβλητής x (x 6= 5minus5)

29 Να δείξετε ότι (x+

1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0

30 (α΄) Να απλοποιηθεί η παράσταση (a+ β)2 minus (aminus β)2

(ϐ΄) Να ϐρεθεί η τιmicroή της παράστασης (2004

2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2

31 Να γίνουν γινόmicroενα οι παραστάσεις

(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4

(δ΄) 100a2 minus 4(aminus 1)2

32 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις

(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab

33 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)

(x2 minus x) + 2xminus 2

x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1

(xminus 2)(xminus 1)

5)x2 minus 3x+ 2

x2 minus xmiddot x2 + 2x

x2 + xminus 2

34 Αν a2 minus b2 minus 2aminus 6bminus 8 = 0 δείξτε ότι b = minusaminus 2 ή b = aminus 4

35 Αν x2 minus a2 minus 2xy + y2 = 0 δείξτε ότι y = xminus a ή y = x+ a

36 (α΄) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις A = x2minus10x+25 καιB = 25minusx2

(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005

(5minus x)2005(25minus x2)2005

i Για ποιές τιmicroές του x ορίζεται η παράσταση Γii Απλοποιήστε την Γ



(α΄) A =(xminus 2)2

(3minus y)2divide 2xminus x2

9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy

xy2 minus y3)4( y minus x

x2 + 2xy + y2

)338 Να δειχθεί ότι η τιmicroή της παρακάτω παράστασης είναι ανεξάρτητη των x και y

[(xminus3y2 minus xy3)divide xy2

]divide(1minus x4y

x4

)

39 Να δειχθεί ότι ισχύει [x2 minus xy + y2

x3 + y3(x2 minus y2)

]divide 1

x2 + xy + y2= x3 minus y3

40 Να γίνουν γινόmicroενο οι παραστάσεις

A = 2x(4x+ 6)(2x+ 2) + 6x(2x+ 3)(3x+ 3)minus 4x(6x+ 9)(x+ 1)(x+ 5)Γ = 9x2y3 minus 3x4y2 minus 6x3y3 + 18xy4

41 (α΄) Να γίνει γινόmicroενο η παράσταση x3 + 6x2 + 12x+ 8

(ϐ΄) Να λύσετε την εξίσωση x3 + 6x2 + 12x+ 8 = 0

42 Να γίνει γινόmicroενο η παράσταση

(xminus y)(x2 + xy + y2

)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2


(α΄)(2x2 + xminus 6)(x3 minus 3x2 + 2x)

(x2 + 4xminus 5)(4x2 minus 6x)

(ϐ΄)x3 minus 8

x2 minus 4divide x2 + 2x+ 4

x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y

44 Αν α+ β = 1 και α2 + β2 = 1 να ϐρεθεί η τιmicroή της παράστασης A = α3 + β3

45 Αν x+1

x= y +

1

y τότε να δείξτε ότι είτε x = y είτε xy = 1

46 (α΄) Να microετατρέψτε σε γινόmicroενο την παράσταση α+ β + 1 + αβ

(ϐ΄) Αν α gt 1 και αβ + β + α = 0 να δείξτε ότι ο αριθmicroός α+ 1 είναι αριθmicroόςδιαφορετικός του 0 και έχει αντίστροφο τον β + 1

47 Να εκτελεσθούν microε σύντοmicroο τρόπο οι πράξεις


(α΄) (x+ a)(x2 minus ax+ a2)minus (xminus a)(x2 + ax+ a2)

(ϐ΄) (x+ a)(xminus a)(x2 minus ax+ a2)(x2 + ax+ a2)

48 ∆είξτε ότι

(α΄) Αν (x+ y)2 = x2 + y2 τότε x = 0 ή y = 0 Ισχύει το αντίστροφο

(ϐ΄) Αν (x+y)3 = x3+y3 τότε x = 0 ή y = 0 ή x+y = 0 Ισχύει το αντίστροφο

49 Στην άκσηση αυτή καλό ϑα είναι να δώσετε στο τέλος microία γενίκευση του ισχυ-ϱισmicroού σας

(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)

ii Εξηγείστε ϐάσει του παρακάτω σχήmicroατος 31 την αλήθεια της ισότη-τας E2

Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2

(γ΄) Ποιό σχήmicroα ϑα microπορούσε να δικαιολογήσει την αλήθεια των παρακάτωπαραστάσεων

13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2

50 Να αποδειχθούν οι ταυτότητες

(α΄) (α+ β)(α3 minus β3)minus (αminus β)(α3 + β3) = 2αβ(α+ β)(αminus β)

(ϐ΄) (α+ β)(β + γ)(γ + α) = αβ2 + βγ2 + γα2 + α2β + β2γ + γ2α+ 2αβγ

(γ΄) (α+ β + γ)2 + (α+ β minus γ)2 minus (αminus β + γ)2 minus (αminus β minus γ)2 = 8αβ

(δ΄) (α+β+γ)3 = α3+β3+γ3+3αβ(α+β)+3βγ(β+γ)+3γα(γ+α)+6αβγ


(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)

((αminus β)2 + (β minus γ)2 + (γ minus α)2

)(ϝ΄) Αν α+ β + γ = 0 τότε α3 + β3 + γ3 = 3αβγ


(α΄) A =[ (xminus 1)2(xminus 1)minus4

(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =

7x3yminus1 minus x3yminus1

y3x5

52 Να γίνουν οι πράξεις

(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y

53 (α΄) ∆είξτε ότι για κάθε πραγmicroατικό αριθmicroό β ίσχύει

(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β

(ϐ΄) Αν β είναι ένας περιττός ακέραιος τότε οι β + 1 και β minus 1 είναι άρτιοι και

οιβ + 1

2β minus 1

2ακέραιοι αριθmicroοί

(γ΄) ∆είξτε ότι κάθε περιττός ακέραιος είναι διαφορά τετραγώνων δύο ακεραίωναριθmicroών

54 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση A =(

1 + xminus x2 + x3)2

+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1

55 Να αποδειχθεί ότι ο αριθmicroόςA = 2007middot20093minus2008middot20063 είναι κύβος ακεραίουαριθmicroούΥπόδειξη Αν a = 2007 ο αριθmicroός A γράφεται a(a + 2)3 minus (a + 1)(a minus 1)3 ∆είξτε ότι (2a+ 1)3

56 Αν για τους πραγmicroατικούς αριθmicroούς α β γ δ ισχύει αδ minus βγ = 1 τότε α2 +β2 + γ2 + δ2 + αβ + γδ 6= 1Υπόδειξη Υποθέστε το αντίθετο ότι δηλαδή

α2 + β2 + γ2 + δ2 + αβ + γδ = 1 = αδ minus βγ

΄Αρα α2 + β2 + γ2 + δ2 + αβ + γδ = 1 = αδ minus βγ∆είξτε ότι η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναmicroη microε την

(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0

η οποία οδηγεί σε άτοπο

33 ∆ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ 9

57 (α΄) Να υπολογίσετε το κλάσmicroα (8n+1 + 8n

)2(

4n minus 4nminus1)3 (31)

για n = 0 1 2 3

(ϐ΄) ∆είξτε ότι το αποτέλεσmicroα είναι το ίδιο για όλες τις τιmicroές του n

33 ∆ιάταξη Πραγmicroατικών

58 Αν αminus β gt α+ β τότε

(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0

(ε΄) Τίποτα απο τα προηγούmicroενα

59 Αν α ge 0 να συγκριθούν οι αριθmicroοί α και α2

60 (α΄) Αν α2 + β2 = 0 δείξτε ότι α = β = 0

(ϐ΄) Αν (x+ 1)2 + (y + 2)2 + (w minus 3)2 = 0 να ϐρείτε τα x y και w

61 Αν α2 + β2 gt 0 δείξτε ότι α 6= 0 ή β 6= 0

62 (α΄) Αν x πραγmicroατικός να λυθεί η ανίσωση (x2 + 1)(xminus 1) gt 0 (1)

(ϐ΄) Αν x επαληθεύει την ανίσωση (1) να δείξετε ότι x2 gt x

(γ΄) Αν x lt y ϑετικοί πραγmicroατικοί οι οποίοι δεν επαληθεύουν την ανίσωση (1)να συγκρίνεται τους αριθmicroούς |xminus 1|y και |1minus y|x

63 Αν 1 le x le 2 και 3 le y lt 5 να ϐρείτε microεταξύ ποιών τιmicroών ϐρίσκονται οιπαραστάσεις

(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2

64 Αν α+ β = 4 να δειχθεί ότι αβ le 4 και α2 + β2 ge 8

65 (α΄) Αν α gt minus2 να δείξτε ότι 4 + 2α gt 2 + α

(ϐ΄) Αν α gt minus1 gt β να αποδείξτε ότι 1 + α+ β + αβ lt 0

(γ΄) Αν α le minus2 να αποδείξτε ότια3

2+ 4 le α2 + 2α


(δ΄) Αν α gt 0 και β lt 0 να αποδείξτε ότι (αminus β)( 1

αminus 1

β

)ge 4

66 Αν α β γ είναι ϑετικοί πραγmicroατικοί να δείξετε ότι

(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9

67 Αν για τους α β ισχύουν

(α΄) α gt 0

(ϐ΄) α gt β και

(γ΄) α2 minus β2 = minus1

2

να δείξετε ότι β lt 0

68 Αν x isin [minus2π π) και x = 2κπ +π

4 κ isin ΖZ να ϐρείτε τον x

69 Αν x y z gt 0 να δειχθεί ότι

(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z

70 Να ϐρείτε τις τιmicroές των x y γαι τις οποίες ισχύει

5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0

71 Να ϐρείτε τις κοινές λύσεις σε microορφή διαστηmicroάτων των ανισώσεων

(α΄) minus2(x+ 1) le 5 και 3x+ 1 gt 2(xminus 3)

(ϐ΄) x+ 6 gt 0 και 1minus 3x lt 0

72 (α΄) Να ϐρείτε το πρόσηmicroο της παράστασης A = 2x2 + y2 minus 2xminus 4xy + 7

(ϐ΄) Να ϐρείτε την ελαχίστη τιmicroή της παράστασης A και στη συνέχεια να προσ-διορίσετε τις τιmicroές των x και y για τις οποίες συmicroβαίνει το ελάχιστο

73 Να ϐρεθούν οι ακέραιοι αριθmicroοί x που επαληθεύουν τις ανισώσεις

1) minus 4(x+ 4) le 3(x+ 1) + 4 2)5(xminus 2)

2+ 3 lt

3x+ 1

2

74 Να εξετάσετε το πρόσηmicroο των παρακάτω αλγεβρικών παραστάσεων

(α΄) A = x2 + y2 minus xy(ϐ΄) B = x2 + y2 + xy

75 (α΄) ∆είξτε ότι αν 0 lt x lt 1 τότε 1

x+

1

1minus xge 4


(ϐ΄) ∆είξτε ότι η πιθανότητα P (A) ενός ενδεχοmicroένου A sub Ω ικανοποιεί τηνανισοτική σχέση του πρώτου ερωτήmicroατος

76 ΄Εστω δειγmicroατικός χώρος Ω microε A ένα εκ των ενδεχοmicroένων του Αν α lt β τότε

α lt α middot P (A) + β middot P (Aprime) lt β

77 ∆είξτε ότι για κάθε x y isin ΙR 2x(xminus y) ge 2xminus (y2 + 1)

331 Κάποιες αξιοσηmicroείωτες ανισότητες

78 Για οποιουσδήποτε ϑετικούς αριθmicroούς α β ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες

21

α+

1

β

leradicα middot β le α+ β

2leradicα2 + β2

2

79 (Ανισότητα Andreescu) Για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθmicroούς x y και αυθαίρε-τους αριθmicroούς α β ισχύει η ακόλουθη ανισότητα

α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)

80 Χρησιmicroοποιώντας την ανίσωση 32 σελίδα 11 αποδείξτε ότι

(α΄) για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθmicroούς x y z και αυθαίρετους αριθmicroούς α β γισχύει

α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)

(ϐ΄) ∆είξτε ότι για οποιουσδήποτε πραγmicroατικούς a b και c ισχύει (a+ b+ c)2 le 3(a2 + b2 + c2)

81 Χρησιmicroοποιώντας την ανίσωση 33 σελίδα 11 αποδείξτε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για οποιουσδήποτε αριθmicroούς α123 και β123(

α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23

)82 (α΄) ∆είξτε ότι x2 + y2 ge 2xy

(ϐ΄) Αν επι πλέον x ge y και y ge z δείξτε ότι z2 + xy ge xz + yz(γ΄) ∆είξτε ότι για κάθε τιmicroή x y z έχουmicroε

x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)

83 Χρησιmicroοποιώντας την ανίσωση 34 σελίδα 11 δείξτε ότι για τους ϑετικούςπραγmicroατικούς α β γ ισχύει

(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α


332 Παρατηρήσεις

Υπάρχουν δύο πράγmicroατα που ϑα πρέπει να γίνουν κατανοητά στο κεφάλαιο τωνανισοτήτων

(α΄) οι ανισοτικές σχέσεις microεταξύ των στοιχείων των αριθmicroοσυνόλων και ειδικό-τερα του ΙR (πυκνότητα QΙ και QΙ α) και

(ϐ΄) οι συνέπειες των ανισωτικών σχέσεων microεταξύ αλγεβρικών παραστάσεων

Οι πρώτες ϑα microας οδηγήσουν να κατανοήσουmicroε την ανάλυση και ειδικότερατην δοmicroή του συνόλου των πραγmicroατικών αριθmicroών και ϕυσικά την έννοια τουαπείρου ∆ύο χαρακτηριστικές ασκήσεις είναι

84 ΄Εστω ότι ισχύει a lt b Να αποδείξετε ότι a lta+ b

2lt b Στη συνέχεια να

γράψετε δέκα τιmicroές του x για τις οποίες ισχύει a lt x lt b

85 ∆είξτε ότι microεταξύ δύο ϱητών πάντα microπορούmicroε να ϐρούmicroε έναν άρρητο1 ή δείξτε

ότι αν α β isin QΙ microε α lt β ο αριθmicroόςα+ β

radic2

1 +radic

2isin QΙ και ότι

α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β

86 ΄Εστω x = 0999999999999999999999999999999999999 Ποιά απο τα παρα-κάτω είναι σωστά

(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1

(γ΄) Το x είναι ο microεγαλύτερος ϑετικός microικρότερος του 1

Φυσικά ϑα πρέπει να δώσετε microια microαθηmicroατική αιτιολόγιση

Οι αλγεβρικές ανισώσεις παίζουν σηmicroαντικό ϱόλο σε όλους τους microαθηmicroατικούςκλάδους Αν δεν πεισθείτε απο την πολυmicroορφία των ασκήσεων που παραθέτου-microε microπορείτε να ανατρέξετε στο VM Tikhomirov ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ εκδόσεις Κάτοπτρο 1999 Μία microικρή γεύση πήρατε στο κεφάλαιο331 Περισσότερες πληροφορίες microπορείτε να αντλήσετε απο ϑέmicroατα Μαθηmicroα-τικών διαγωνισmicroών και ιδίως την ϐιβλιογραφία που προέρχεται απο χώρες όπωςΡουmicroανία Ουγγαρία Πολωνία και Βουλγαρία

34 Απόλυτη Τιmicroή

87 Να χαρακτηρίσετε σαν Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις

(α΄) | minus 3 + 2| lt | minus 3|+ |2|1Στην Γ Λυκείου ϑα αντιmicroετωπίσετε το Θεώρηmicroα των ενδοιαmicroέσων τιmicroών που λύνει και το παρακάτω

σηmicroαντικό πρόβληmicroα ∆είξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f ΙR rarr QΙ είναι σταθερή

34 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 13

(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α

∣∣∣(γ΄) Αν |α+ β| = |α|+ |β| τότε αβ gt 0

(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις (ϐ) και (δ)

88 Απο την ισότητα |x|+ |y| = 0 προκύπτει ότι

(α΄) x gt 0 και y gt 0

(ϐ΄) |x| και |y| είναι αντίθετοι αριθmicroοί(γ΄) x = 0 και y = 0

(δ΄) x gt 0 και y lt 0

89 Η εξίσωση |2minus 3x|+ |5xminus 6| = 0 έχει

(α΄) 1 λύση

(ϐ΄) 2 λύσεις

(γ΄) αδύνατη

(δ΄) έχει λύση για κάθε x gt6

5

90 Η ανίσωση |x| le minusx αληθεύει

(α΄) για κάθε x πραγmicroατικό

(ϐ΄) δεν υπάρχει πραγmicroατικός x έτσι ώστε να είναι αληθής

(γ΄) για κάθε x gt 0

(δ΄) για κάθε x le 0

(ε΄) για x = 0

91 Αν x le 0 και y ge 0 ποιό απο τα παρακάτω είναι σωστό

(α΄) |x|+ |y| = x+ y

(ϐ΄) |x|+ |y| ge |x+ y|(γ΄) |x| minus |y| = minusxminus y(δ΄) |y| minus |x| = |xminus y|

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις (γ) και (δ)

92 Να συmicroπληρώσετε τα κενά σε κάθε microία από τις παρακάτω σχέσεις

(α΄) x gt 1 =rArr |xminus 1| =

(ϐ΄) x gt 1 =rArr |2minus 2x| =

(γ΄) Αν |a| = minusa =rArr a 0

(δ΄) Η εξίσωση |x| = minus1 είναι

(ε΄) Η ανίσωση |x| lt minus5 είναι

(ϝ΄) |x| gt minus5 =rArr


93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004

(α΄) έχει microοναδική λύση

(ϐ΄) είναι αόριστη

(γ΄) είναι αδύνατη

94 Στη σχέση |aminus b| le |a|+ |b| το ίσον ισχύει όταν

(α΄) a b ετερόσηmicroοι

(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2

95 (α΄) ∆είξτε ότι ∣∣∣∣∣a∣∣minus ∣∣b∣∣∣∣∣ le ∣∣aminus b∣∣ Πότε ισχύει το ίσον

96 (α΄) Αν x y 6= 0 να δειχθεί ότιx2

y2+y2

x2ge 2 Πότε ισχύει το ίσον

(ϐ΄) Να λυθεί η εξίσωση(2xminus 1)2

(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2

97 Να ϐρείτε τις τιmicroές των x y z σε κάθε παράσταση

(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0

(ϐ΄) x2 minus 2x+ 1 + |xminus y|+ z2 minus 4z + 4 = 0

(γ΄) (x+ 1)2 minus 2|x+ 1| middot |y + 1|+ y2 + 2y + 1 + x2 minus 4x+ 4 = 0

98 Αν minus1 lt x lt 2 να δειχθεί ότι∣∣3minus |xminus 2|

∣∣ = x+ 1

99 Αν |x| le 2 και |y| le 3 να δειχθεί ότι |3xminus y| le 9

100 Αν x 6= 0 να δειχθεί ότι (|x| minus x) middot( x|x|

+ 1)

= 0

101 Αν∣∣∣4minus x1minus x

∣∣∣ = 2 τότε |x| = 2 Ισχύει το αντίστροφο

102 (α΄) Να δειχθεί ότι |x+ y|2 + |xminus y|2 = 2|x|2 + 2|y|2(ϐ΄) Αν |x| = |y| = |x+ y| να δείξετε ότι |xminus y| =

radic3|x|

103 Να δειχθεί ότι

(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3

104 Να απλοποιηθεί η παράστασηx2 + 2|x|x2 minus 4

+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4

35 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 15

105 Να δειχθεί ότι x

|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3

106 Να απλοποιηθεί η παράσταση

A =|α+ 1|| minus 1minus α|

+|α2 minus 2||2minus α2|

+|α3 minus β3 + γ3 minus 3αβγ||3αβγ minus γ3 + β3 minus α3|

Υποθέστε ότι τα κλάσmicroατα είναι καλά ορισmicroένα

107 Να υπολογισθούν τα x y αν |xminus y|+ |y + 3| = 0

108 (α΄) Να δείξετε ότι |xminus y| le |x|+ |y| και |x| minus |y| le |xminus y|(ϐ΄) Αν ισχύει |x minus 1| + |x minus 3| lt α για κάποιο x πραγmicroατικό να δείξετε ότι

α gt 2

109 ∆ίδεται η παράσταση S =|x|+ |α||x| minus |α|

όπου α isin ΙRlowast

(α΄) Να υπολογίσετε τις τιmicroές του x για τις οποίες ορίζεται η S

(ϐ΄) Να λύσετε την εξίσωση S = 2

(γ΄) ∆είξτε ότι S =x2 + α2 + 2|xα|

x2 minus α2

110 Αν x y isin ΙRlowast και∣∣∣∣x|y|+ y|x|

xy

∣∣∣∣ = 2 να δείξετε ότι οι αριθmicroοί x y είναι οmicroόσηmicroοι

111 Αν x y z ω gt 0 καιx

y=y

z=z

ω να δείξετε ότι |xminus ω| ge 3|y minus z|

112 Αν x y isin ΙRlowast να δείξετε την ισοδυναmicroία

|2x+ 3y| lt |x+ 6y| lArrrArr∣∣∣∣xy∣∣∣∣minus ∣∣∣yx ∣∣∣ lt 8

3

113 (α΄) Για τον πραγmicroατικό αριθmicroό α ισχύει |α| ge α ή |α| ge minusα ∆ικαιολογήστε

(ϐ΄) Να συmicroπληρώσετε την ισοδυναmicroία |x| = |α| lArrrArr

(γ΄) Για τους microη microηδενικούς πραγmicroατικούς x y ισχύει |xy| + xy = 0 Να

υπολογίσετε την τmicroή της παράστασης K =2x

|x|+|y|y

(δ΄) Να ϐρείτε το x το οποίο ανήκει στο διάστηmicroα [minus1 10] και για το οποίοισχύει ||xminus 2| minus 3| le 4

35 Ρίζες Πραγmicroατικών Αριθmicroών

114 Είναι σωστή ή λανθασmicroένη καθεmicroιά από τις παρακάτω προτάσεις ν isin NΝlowast

(α΄) 3radicx6y12 = x2y4

(ϐ΄) 4radicx12y8 = x3y2


(γ΄) 4radicx4y8 = |x|y2

(δ΄) 2νradicα2ν middot β2ν = |α| middot |β|

(ε΄) 2νradicα2ν + β2ν = |α|+ |β|

(ϝ΄) 3radicα3 + β3 lt α+ β microε (α β gt 0)

(Ϲ΄) 3radicx2 middot 6radicx4 = x 3

radicx

(η΄) Αν x gt 0 τότε

radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx

115 Γράψτε απλούστερα τις παραστάσεις

radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)

116 Απλοποιήστε χωρίς υπολογιστή το

radic810 + 410

84 + 411

117 Λύστε τις εξισώσεις

x2 = 81 1 21minus x2 = 0 x2 + 25 = 0x3 minus 25 middot 106 = 0 x4 = 9 middot 106 0 3x2 = 0 147

118 Να απλοποιήσετε τους παρακάτω αριθmicroούς microε την ϐοήθεια των ταυτοτήτων

(α΄) (radic

5minus 2)2

(ϐ΄) (3minus 2radic

2)50(3 + 2radic

2)50

119 Να απλοποιηθεί η παράσταση αν |x| lt 1radicx2 minus 2x+ 1

xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1

120 Η παράσταση A =radicx2 minus 8x+ 16minus

radicx2 minus 10x+ 25 να γραφεί χωρίς ϱιζικά

και απόλυτες τιmicroές

121 Γράψτε τους παρακάτω αριθmicroούς χωρίς ϱιζικά στον παρανοmicroαστή

2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1

36 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 17

122 Αν x gt 4 να microετασχηmicroατίσετε την παράσταση A σε ισοδύναmicroη microε ϱητό παρανο-microαστή

A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4

123 Να λυθεί η εξίσωση 2(1minus x)minusradic

3(x+ 1) = 0

124 (α΄) Να δειχθεί ότι για α β ge 0 ισχύει α+ β minus 2radicαβ ge 0

(ϐ΄) Να προσδιορίσετε τις τιmicroές των ϑετικών αριθmicroών α β για τους οποίουςισχύει β minus 2

radicαβ + α2 minus α+ 1 = 0

125 Βρείτε ποιά απο τις ακόλουθες παραστάσεις

1minus xradic

2 xradic

2minus 2 minus2xradic

2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx

έχει τον εξής πίνακα προσήmicroου

ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus

126 Να υπολογισθεί η παράσταση A =3radic

3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7

127 Να ϐρείτε τους α β και γ γνωρίζοντας ότι

(αminus 1)2 + |2αminus β|+radicαminus β minus γ = 0

128 Ανradicxy(radic 1

xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x

)= 0 να δειχθεί ότι x = 1 ή y = 1

129 (α΄) Ποιά συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν οι ακέραιοι n και m έτσι ώστε

1radicn+radicm

=radicnminusradicm

(ϐ΄) Βρείτε τον πιό microικρό ακέραιο n τέτοιον ώστε

1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100

36 Ασκήσεις Επανάληψης

130 Να αποδείξετε ότι

(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|


131 (α΄) Να υπολογίσετε τα αναπτύγmicroατα(xminus y

2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2

(ϐ΄) Αν x2 minus xy +9y2

4minus 2y +

1

2= 0 να αποδείξετε ότι x =

1

4και y =

1

2

132 (α΄) Να αποδειχθεί ότι 2(a2 + b2) ge (a+ b)2

(ϐ΄) Αν για τους ϑετικούς a και b ισχύει a+ b = 3 να αποδειχθεί ότι (a+

1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18

133 Σ΄ ένα δεδοmicroένο κύκλο (O r) να εγγραφεί ορθογώνιο microεγίστου εmicroβαδού

134 (α΄) Να αποδειχθεί η ταυτότητα

(α2 + β2 + γ2)(x2 + y2 + z2)minus (αx+ βy + γz)2 == (βxminus αy)2 + (γy minus βx)2 + (γxminus αz)2

(ϐ΄) ∆είξτε ότι οι διχοτόmicroοι τριγώνουABΓ διέρχονται απο ένα σηmicroείο I (το οποίοονοmicroάζεται έγκεντρο)

(γ΄) ΄Εστω τρίγωνο ABΓ και σηmicroείο P στο εσωτερικό του Αν x y z οι απο-στάσεις του P απο τις πλευρές του τριγώνου ABΓ και x + y + z = δόπου δ γνωστό microήκος να ϐρεθεί η ϑέση του σηmicroείου P ώστε το άθροισmicroαx2 + y2 + z2 να είναι το ελάχιστο δυνατό

135 Για ποιές τιmicroές του πραγmicroατικού αριθmicroού x η παράσταση

A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1

είναι ανεξάρτητη του x

136 Να λυθεί η εξίσωση 3x2 + 3y2 + 3z2 = 2xy + 2xz + 2yz

137 Αν α β γ πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδειχθεί ότι

(α΄) α3 + β3 + γ3 lt αβ(α+ β) + βγ(β + γ) + γα(γ + α)

(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4

(γ΄)∣∣α2 + β2 minus γ2

∣∣ lt 2αβ

138 Αν κ isin QΙ και 0 lt κ lt 1 να δειχθεί ότι ο αριθmicroός

α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ

είναι ϱητός

139 Αν νradic|α|ν + β minus 1 ge |α| middot ν

radicβ και α isin ΖZ

lowast β isin (1+infin) ν isin NΝlowast να δείξετε ότι

ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1


140 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 19989 Α΄ Λυκείου) ΄Εστω ότι για ϑετικούςπραγmicroατικούς αριθmicroούς α β γ ισχύει

αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0

141 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 20012 Α΄ Λυκείου) Αν για τους πραγmicroατικούςαριθmicroούς x y z ισχύει ότι xyz = 1 να υπολογίσετε την τιmicroή της παράστασης

K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1

142 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 20034 Α΄ Λυκείου) Να ϐρεθούν οι ακέραιοια β για τους οποίους ισχύει η ισότητα

αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις

41 Η Εξίσωση α middot x+ β = 0

143 Να λυθεί η εξίσωση5xminus 1

x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1

144 Να ϐρείτε το λ isin ΙR έτσι ώστε η εξίσωση λ(λx minus 1) = x(4λ minus 4) minus λ2 να είναια) αδύνατη και ϐ) ταυτότητα

145 Να λυθούν οι εξισώσεις

(α΄) (x2 minus 4)(xminus 1) = (x2 minus 1)(xminus 2)

(ϐ΄) 2minus x2 + 7x

x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3

1minus x(γ΄) x2(xminus 4) + 2x(xminus 4) + (xminus 4) = 0

(δ΄) x(x2 minus 1)minus x3 + x2 = 0

(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0

(ϝ΄) x(xminus 2)2 + x2 minus 4x+ 4 = 0

(Ϲ΄) (x2 minus 4)(x+ 1) = (x2 minus 1)(xminus 2)

(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0

146 Αν 9x2+6x+2+y2minus2y+z2 = 0 microπορείτε να προσδιορίσετε τους πραγmicroατικούςx y και z

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

147 (α΄) Να ϐρεθούν οι τιmicroές του λ isin ΙR έτσι ώστε η εξίσωση λ2xminusλ2+4 = (4λminus4)xνα είναι ταυτότητα

(ϐ΄) Για τις τιmicroές του λ που ϐρήκατε στην ερώτηση (α) να λυθεί ως προς y ηεξίσωση (y2 minus λ2) = 2y minus 2λminus 1

148 Για ποιές τιmicroές των λ micro isin ΙR η εξίσωση

λ2(xminus 1) + λ2 + micro2x+ 2 = (2λminus 1) + 2λ+ micro

είναι ταυτότητα

149 ∆ίνεται η εξίσωση λ2x+ 2λ+ λ2 + 4x = 0

(α΄) Να γραφεί στην γενικευmicroένη microορφή εξίσωσης 1ου ϐαθmicroού

(ϐ΄) Να λυθεί για τις διάφορες τιmicroές του λ

(γ΄) Να ϐρείτε το λ ώστε να έχει λύση το 2

150 Να λυθεί η εξίσωση|x+ 1| minus |1minus x|

x=x

2

151 Να λυθεί για τις διάφορες τιmicroές του λ isin ΙR η εξίσωση

xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2

152 Αν ο x = 2 είναι λύση της εξίσωσης αxminus 3 = 11 να ϐρείτε τον α

153 Να λυθουν οι εξισώσεις

(α΄) 1minus |x| minus 1

7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0


(α΄) |xminus 2| = 2xminus 1

(ϐ΄) |xminus 2| = |2xminus 1|

(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0

155 (α΄) Αν α β isin ΙR να δείξετε ότι |α+ β| = |α|+ |β| lArrrArr α middot β ge 0

(ϐ΄) Να λύσετε την εξίσωση |7minus 6x|+ |x2 minus 2x+ 5| = |x2 minus 8x+ 12|

156 (α΄) Αν x y isin ΙR να δείξετε ότι |x|+ |y| = 0lArrrArr x = y = 0

(ϐ΄) Να λύσετε την εξίσωση 2|x+ 3| = |x2 minus 9| = 0

157 Να γίνει γινόmicroενο η παράσταση A = 7(3x+ 2)2(3minus x)2 + (3x+ 2)(xminus 3)3 καινα λύσετε την εξίσωση A = 0

42 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αX2 + βX + γ = 0 23

158 Να λυθεί ως προς x η παράσταση3α+ 1

α+ xminus αminus 1

αminus x=

2α(a2 minus 1)

x2 minus α2 a isin ΙR Για

ποιές τιmicroές του α οι ϱίζες της εξίσωσης είναι πρώτοι αριθmicroοί

159 Θεωρώ την εξίσωση λ2(λminus x) + λ2micro = micro2(microminus x) + λmicro2 (1) microε λ micro isin ΙR

(α΄) Να λύσετε την εξίσωση

(ϐ΄) Αν micro lt 0 και micro2 gt λ2 και x0 η microοναδική λύση της (1) δείξτε ότι x30 +(microminus λ)3 minus 8micro3 gt 0

160 ∆ίνονται οι εξισώσεις (xminus 5)3 + (8minus 2x)3 = minus(xminus 3)3 (1)

(λ2 minus 25)x = λminus 6 + (minusρ+ 4)100000 (2)

(λminus 5)2 minus λx = 5x+ 3 (3)

∆είξτε ότι οι ϱίζες της εξίσωσης (1) είναι microήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνουΑν ρ είναι το microήκος της υποτείνουσας του προηγουmicroένου όρθογωνίου τριγώνουδείξτε ότι για την τιmicroή του λ για την οποία η εξίσωση (2) είναι αόριστη η εξίσωση(3) είναι αδύνατη

161 Να ϐρείτε τη τιmicroή του λ isin ΙR για την οποία η εξίσωση λ3

radic|x|radic|x| =

radic|x| microε

άγνωστο το x είναι αόριστη

162 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 20067 Α΄ Λυκείου) Να λυθεί η εξίσωση

λ(λx+ 3) = λ3 + 2λxminus 2

για τις διάφορες πραγmicroατικές τιmicroές της παραmicroέτρου λ

42 Η Εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0

163 Να γίνουν οι ερωτήσεις κατανόησης στη σελίδα 96 και 97 του σχολικού

164 Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ ή Λ

(α΄) Ισχύει 2x2 minus 3x+ 1 = 0lArrrArr minus2x2 + 3xminus 1 = 0

(ϐ΄) ΄Εστω αx2 + βx+ γ = 0 α 6= 0 ΄Οταν τα α β και γ αντικατασταθούν αποτα αντίθετά τους η τιmicroή της διακρίνουσας αλλάζει

(γ΄) Η εξίσωση(xminus

radicradic2)2

= 0 έχει διπλή ϱίζα

(δ΄) Η εξίσωση αx2 + γ = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική

(ε΄) Η εξίσωση x2 = x έχει διπλή ϱίζα το 0

(ϝ΄) Το κλάσmicroα1

x2 + x+ 1ορίζεται για κάθε x isin ΙR

(Ϲ΄) Αν ∆ = 0 τότε η διπλή ϱίζα της αx2 + βx+ γ = 0 είναι η minusβα


(η΄) Αν ∆ gt 0 και γ = 0 τότε η αx2 + βx+ γ = 0 έχει ϱίζα το 0

(ϑ΄) Αν υπάρχει isin ΙR έτσι ώστε α2 + β + γ = 0 τότε η αx2 + βx + γ = 0έχει δύο παραγmicroατικές ϱίζες

165 Αν α+ β + γ = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0 έχει ϱίζα τη 1

166 Αν p είναι ϱίζα της εξίσωσης x2+αx+β = 0 να αποδειχθεί ότι |p|2 le |α||p|+ |β|


(α΄) x2 minus (radic

3minusradic

2)xminusradic

6 = 0

(ϐ΄) αβx2 minus (αminus β)xminus 1 = 0 αβ 6= 0

(γ΄) x2 minus∆x+ 2∆ = 0 όπου ∆ η διακρίνουσά της

168 ∆ίδεται η εξίσωση x2minus (λ3minus 2013λ)xminus (|λ|2013 + |λ|2012 + |λ|+ 1) = 0 ∆είξτεότι για κάθε λ πραγmicroατικό η εξίσωση έχει δύο ϱίζες

169 ΄Εστω η εξίσωση x2 minus x(5αminus 4) + 6α2 + 13aminus 5 = 0

(α΄) Βρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης

(ϐ΄) να προσδιορισθεί η παράmicroετρος α έτσι ώστε οι ϱίζες να ανήκουν στο διά-στηmicroα (minus10 4]

170 (α΄) Αν x y ϱητοί λ gt 0 καιradicλ άρρητος τότε να αποδείξετε ότι

x+ yradicλ = 0lArrrArr x = 0 και y = 0

(ϐ΄) Να δειχθεί ότι αν α β γ κ ϱητοί αριθmicroοί λ gt 0 καιradicλ άρρητος και η

εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 α 6= 0 έχει ϱίζα τον αριθmicroό κ +radicλ τότε η

εξίσωση αυτή έχει για ϱίζα και τον συζυγή του κminusradicλ

171 ∆είξτε ότι η πραγmicroατική ϱίζα ρ της εξίσωσης x3 minus 5 = 0 δεν είναι δυνατόννα είναι ϱίζα microιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθmicroού microε συντελεστές ϱητούς αριθmicroούςΜπορείτε microε την ϐοήθεια ενός συστήmicroατος συmicroβολικού υπολογισmicroού το Mapleή το Mathematica να ϐρείτε microία εξίσωση δευτέρου ϐαθmicroού microε συντελεστές στοΙR έτσι ώστε να έχει ϱίζα το ρ και της οποίας οι συντελεστές να είναι όλοι διάφοροιτου 0

172 Αν αβ 6= 0 1 και |α minus β| = |α| + |β| η εξίσωση αx2 +|αβ| minus 1

αβ minus 1x + β = 0 έχει

ϱίζες πραγmicroατικές και άνισες

173 ΄Εστω α β isin ΙR microε την ιδιότητα d(β2 α) + α = 0

(α΄) Να αποδείξετε ότι α lt 0

(ϐ΄) Να υπολογίσετε το β

(γ΄) Για την τιmicroή του β που ϐρήκατε στο δεύτερο ερώτηmicroα δείξτε ότι η εξίσωσηx2 minus 2(α+ β)x+ α(β + 1) = 0 έχει δύο ϱίζες πραγmicroατικές και άνισες

174 Αν οι αριθmicroοί (xminus1)(4xminus3) και1

2(4xminus30)(26xminus6) είναι διαδοχικοί ακέραιοι

τότε

(α΄) να υπολογίσετε το x


(ϐ΄) να ϐρείτε αυτούς τους ακεραίους

175 Θεωρούmicroε τις δύο εξισώσεις

x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)

όπου α β γ και δ πραγmicroατικοί αριθmicroοί διαφορετικοί ανα δύο για τους οποίουςισχύει

αγ

4= β + δ Αν ∆1 και ∆2 οι διακρίνουσες των (1) και (2) αντίστοιχα

τότε

(α΄) να ϐρείτε το πρόσηmicroο του αθροίσmicroατος ∆1 + ∆2

(ϐ΄) να αποδείξετε ότι τουλάχιστον microία από αυτές έχει ϱίζες πραγmicroατικές

176 ∆ίνονται οι δύο εξισώσεις

x2 minus (2λminus 1)xminus 3 = 0 (1) και x2 minus (λminus 2)x+ 3λ = 0 (2)

microε λ 6= 1 Αν οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ϱίζα να ϐρείτε

(α΄) την κοινή ϱίζα

(ϐ΄) την τιmicroή του λ



(ϐ΄) Αν έχουmicroε σε microία ϱίψη το ενδεχόmicroενο (a b c) τότε σχηmicroατίζουmicroε την εξί-σωση p(x) = ax2 + bx+ c = 0 microε άγνωστο τον xΓια παράδειγmicroα αν έχουmicroε (2 5 6) τότε σχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση p(x) =2x2 + 5x+ 6 = 0

i Το 0 microπορεί να είναι ϱίζα της εξίσωσης p(x) = 0ii ∆είξτε ότι η εξίσωση p(x) = ax2 + bx + c = 0 δεν δέχεται καmicromicroία

πραγmicroατική ϱίζα ϑετική ή microηδένiii Υπάρχουν a b c έτσι ώστε τοminus1 να είναι ϱίζα της p(x) = ax2+bx+c =

0 Ποιές είναι αυτές οι τιmicroές των a b cΠοιά είναι η πιθανότητα του ενδεχοmicroένουΑ το minus1 είναι ϱίζα της

εξίσωσης

178 (Μηχανολόγοι ΕΜΠ 1954) ΄Εστω τριώνυmicroο p(x) = αx2+βx+γ όπου α β γ isinΖZ Αν p(0) και p(1) είναι περιττοί αριθmicroοί να δείξετε ότι το p(x) δεν έχει ακέραιαϱίζα

179 ∆ίδονται δύο πραγmicroατικά τριώνυmicroα

p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0

q(x) = αprimex2 + βprimex+ γprime αprime 6= 0


(α΄) ∆είξτε ότι για να έχουν τα δύο τριώνυmicroα αντίστροφες ϱίζες πρέπει και αρκεί

α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime

(ϐ΄) Να προσδιορισθούν οι τιmicroές των παραγmicroατικών παραmicroέτρων λ και micro ώστετα τριώνυmicroα

p(x) = (λ+ 2)x2 minus (2micro+ 3)x+ 3

καιq(x) = (microminus 2)x2 minus 13x+ 2λ

να έχουν ϱίζες αντίστροφες


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0


∆είξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν τα δύο τριώνυmicroα ϱίζεςανάλογες microε λόγο κ 6= 0 είναι

α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2

181 (Απαλείφουσα τριωνύmicroων) ∆ίδονται δύο πραγmicroατικά τριώνυmicroα

p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0


΄Εστω ρ1 lt ρ2 οι δύο πραγmicroατικές ϱίζες του p(x) = 0 ∆είξτε ότι η ικανή καιαναγκαία συνθήκη για να έχιουν τα τριώνυmicroα p(x) και q(x) microία τουλάχιστονκοινή ϱίζα είναι η αλγεβρική παράσταση

R = α2q(ρ1)q(ρ2) = (αγprime minus αprimeγ)2 minus (αβprime minus αprimeβ)(βγprime minus βprimeγ) (41)

να είναι ίση microε 0 και αβprime minus αprimeβ 6= 0 Η δε κοινή ϱίζα είναι ίση microε

minusαγprime minus αprimeγ

αβprime minus αprimeβ

182 Να προσδιορισθεί η τιmicroές των λ micro isin ΙR ώστε τα τριώνυmicroα

p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10

q(x) = x2 + (microminus 3)x+ 3λ+ 1

να έχουν ϱίζες αντίθετες

183 Να προσδιορισθεί ο πραγmicroατικός λ για να έχουν οι παρακάτω εξισώσεις microίακοινή ϱίζα και να υπολογισθεί

p(x) = x2 + (λminus 8)x+ 3(λminus 4) = 0

q(x) = x2 + (2λminus 19)x+ 2(2λminus 3) = 0


421 ΄Αθροισmicroα και γινόmicroενο ϱιζών


(α΄) Η εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0 α 6= 0 microε ϱίζες 1 και 2 είναι ισοδύναmicroη microετην (xminus 1)(xminus 2) = 0

(ϐ΄) ΄Οταν η microία εκ των δύο ϱιζών microίας εξίσωσης δευτέρου ϐαθmicroού είναι το 2 καιτο άθροισmicroα των ϱιζών P = 4 τότε ∆ = 0

(γ΄) Υπάρχουν δύο πραγmicroατικοί αριθmicroοί microε γινόmicroενο και άθροισmicroα 1(δ΄) Αν οι ϱίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 α 6= 0 είναι ετερόσηmicroες τότε

αγ gt 0(ε΄) Η εξίσωση x2 minus 5x+ 2 = 0 έχει 2 ϱίζες αντίθετες(ϝ΄) Αν η εξίσωση x2 minus λx + 1 = 0 λ isin ΙRlowast έχει δύο ϱίζες άνισες αυτές είναι

αντίστροφες(Ϲ΄) Αν 1 2 είναι δύο ϱίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 α 6= 0 οι |1||2| είναι ϱίζες της εξίσωσης αx2 + β|x|+ γ = 0

185 Να ϐρεθεί η συνθήκη microεταξύ των α β γ α 6= 0 έτσι ώστε οι ϱίζες της εξίσωσης αx2 + βx+ γ = 0 να είναι

(α΄) αντίθετοι αριθmicroοί(ϐ΄) αντίστροφοι αριθmicroοί

186 Να ϐρεθούν οι πραγmicroατικοί αριθmicroοί p για τους οποίους η διαφορά των δύο ϱιζώντης εξίσωσης x2 minus px+ pminus 9 = 0 είναι ίση microε 6

187 Να ϐρεθούν όλοι οι πραγmicroατικοί αριθmicroοί p και q για τους οποίους η εξίσωσηx2 + px+ q = 0 έχει ϱιζες τους p και q

188 ∆ίνεται η εξίσωση x2 minus (λ3 minus 28)xminus 1 = 0 (1)

(α΄) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ϱίζες πραγmicroατικές και άνισες για κάθελ isin ΙR

(ϐ΄) Να ϐρείτε το λ ώστε οι ϱίζες της (1) να είναι αντίθετες(γ΄) Ποιές είναι οι δύο αυτές αντίθετες ϱίζες

189 ∆ίνεται η εξίσωση x2 minus λx+ |1minus λ| = 0 (1)

(α΄) Να ϐρείτε τις τιmicroές του λ ώστε η εξίσωση (1) να έχει ϱίζες πραγmicroατικές(ϐ΄) Αν x1 x2 οι πραγmicroατικές ϱίζες της (1) και ισχύει x1 = 2x2 να ϐρείτε τις

ϱίζες x1 και x2 καθώς και την αντίστοιχη τιmicroή του λ

190 (α΄) Αν δύο ϑετικοί αριθmicroοί x και y έχουν σταθερό άθροισmicroα x+ y = α δείξτεότι το γινόmicroενό τους γίνεται microέγιστο όταν x = y

(ϐ΄) Αν δύο ϑετικοί αριθmicroοί x και y έχουν σταθερό γινόmicroενο x middot y = α δείξτεότι το άθροισmicroά τους γίνεται ελάχιστο όταν x = y

191 Αν ρ1 και ρ2 είναι ϱίζες της εξίσωσης x2 minus βx + γ = 0 να υπολογισθεί τοάθροισmicroα x31 + x32 συναρτήσει των συντελεστών της εξίσωσηςΥπόδειξη x31 + x32 = β3 minus 3βγ


192 Αν ρ1 και ρ2 είναι ϱίζες της εξίσωσης αx2 + βx+ γ = 0 α 6= 0 να υπολογίσετετο |x1 minus x2| συναρτήσει των συντελεστών της εξίσωσης

Υπόδειξη |x1 minus x2| =radic

∆

|α|

193 Η εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0 α 6= 0 έχει ϱίζες οmicroόσηmicroες όταν είναι

A P gt 0 και S lt 0 B P gt 0 και S gt 0 Γ ∆ gt 0 και S gt 0

∆ ∆ ge 0 και P gt 0 E ∆ gt 0 και P gt 0

Να σηmicroειώσετε τη σωστή απάντηση και να τη διακαιολογήσετε

194 Να λυθεί η εξίσωση x2 minus ∆x + S = 0 όπου ∆ η διακρίνουσά της και S τοάθροισmicroα των ϱιζών

195 ∆ίνεται η εξίσωση x2minus 2(micro+ 3)x+micro2 + 6microminus 5 microε ϱίζες ρ1 και ρ2 Αποδείξτε ότιη διαφορά ρ1 minus ρ2 δεν εξαρτάται απο το micro

196 Αν ρ1 και ρ2 είναι ϱίζες της x2 + (α + γ)x + αγ minus β2 = 0 να ϐρεθούν οι ϱίζεςτης εξίσωσης y2minus (ρ1 + ρ2)y+ ρ1ρ2 + β2 χωρίς να χρησιmicroοποιηθεί ο τύπος πουλύνει τη δευτεροβάθmicroια εξίσωση

197 ∆ίδεται η εξίσωση x2 minus 27x + 180 = 0 Χωρίς να υπολογισθούν οι ϱίζες τηςϐρείτε microία δευτεροβάθmicroια εξίσωση της οποίας οι ϱίζες είναι οι αντίστροφοι τωνϱιζών της δοθείσας εξίσωσης

198 Αν x1 x2 είναι ϱίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 να σχηmicroατίσετε microία άλληεξίσωση η οποία να δέχεται ως ϱίζες τους αριθmicroούς κx1 κx2 όπου κ ακέραιοςαριθmicroός

199 ∆ίδεται η εξίσωση x2+βx+γ = 0 Αν x1 x2 είναι οι ϱίζες της να κατασκευασθείmicroία δευτεροβάθmicroια εξίσωση microε ϱίζες τις 2|x1|+ 3|x2| και 2|x2|+ 3|x1|

200 ∆ίδεται η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 και α γ 6= 0 microε ϱίζες ρ1 και ρ2 έτσι ώστε

|ρ1| 6= |ρ2| Αν micro ο microεγαλύτερος από τους ∣∣∣∣ρ1ρ2∣∣∣∣ ∣∣∣∣ρ2ρ1

∣∣∣∣ να αποδειχθεί

(α΄) ότι 2

∣∣∣∣1minus β2

2αγ

∣∣∣∣minus 1 lt micro lt 2


2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ

∣∣∣∣(γ΄) Εξετάστε τις προυποθέσεις έτσι ώστε ο β να είναι microηδέν

201 Αν microεταξύ των ϱιζών x1 x2 και των ακεραίων συντελεστών α β γ της εξίσωσης

αx2+βx+γ = 0 ισχύουν οι σχέσεις αγ lt 0 και |α|middot|x1+x2|+1

2gt 2α2 middot|x1 middotx2|

να αποδειχθεί ότι οι ϱίζες είναι άρρητοι αριθmicroοί


422 Αναγωγή σε δευτέρου ϐαθmicroού εξίσωση


(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0

(ϐ΄) (2xminus 1)2 minus∣∣∣12minus x∣∣∣minus 1

2= 0

(γ΄) (xminus 2)2 +radicx2 minus 4x+ 4 = 3

(δ΄) 5 middot 25n minus 7 middot 10n + 2 middot 4n = 0 microε n isin NΝ

(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0

(ϝ΄) αν xminus 1

x= y δείξτε ότι x2 +

1

x2= y2 + 2 Με την παρατήρηση αυτή λύστε

την εξίσωση x2 +1

x2+ 2xminus 2

x= 5

203 Να ϐρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η υπο-τείνουσα είναι 15 cm και το εmicroβαδόν του δεν αλλάζει αν η microια κάθετη πλευράαυξηθεί κατά 2 cm ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 10 cm Μπορείτε να κατασκευά-σετε microε κανόνα και διαβήτη ένα τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο

204 ∆ίδονται δύο καmicroπύλες microε εξισώσεις x2 + y2 = 5 (είναι ένας κύκλος) και y =1

x(είναι microια ισοσκελής υπερβολή)

(α΄) Σχεδιάστε στο Geogebra τις δύο καmicroπύλες και ϐρείτε τα κοινά του σηmicroεία

(ϐ΄) Να ϐρεθούν αλγεβρικά τα σηmicroεία τοmicroής των δύο καmicroπυλών

205 Αν ξέρουmicroε ότι το σύστηmicroαx4 + y4 = αxy = β

έχει τέσσερες ακέραιες λύσεις από

τις οποίες η microια είναι η (1 2) να ϐρείτε τις άλλες λύσεις χωρίς να λύσετε τοσύστηmicroα

206 ΄Εστω η διτετράγωνος εξίσωση (1) αx4 + βx2 + γ = 0 Να αποδειχθεί ότι

(α΄) η (1) έχει τέσσερες πραγmicroατικές και άνισες ϱίζες όταν β2 minus 4αγ gt 0

minusβαgt 0 και

γ

αgt 0

(ϐ΄) η (1) έχει microόνο δύο πραγmicroατικές ϱίζες ανγ

αlt 0

(γ΄) η (1) δεν έχει πραγmicroατικές ϱίζες αν β2 minus 4αγ gt 0 minusβαlt 0 και

γ

αgt 0 ή

β2 minus 4αγ lt 0

207 Να διερευνηθεί το είδος των ϱιζών της (microminus1)x4minus4x2+micro+2 = 0 για τις διάφορεςτιmicroές του πραγmicroατικού micro

Υπόδειξη ∆είξτε ότι για micro isin (minusinfinminus3) και micro isin (minus3minus2) η εξίσωση δεν έχει ϱίζες

για micro isin (minus2 1) microόνο δύο πραγmicroατικές για micro isin (1 2) έχει 4 πραγmicroατικές και για

micro isin (2infin) καmicromicroία πραγmicroατική ϱίζα


208 Να λυθεί η εξίσωση (x2 minus x+ 1)4 minus 6x2(x2 minus x+ 1)2 + 5x4 = 0

209 Να λυθεί η εξίσωση α|x|3 + β|x|2 + β|x|+ α = 0

210 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 19989 Α΄ Λυκείου) Να ϐρεθούν οι πραγmicroατικέςλύσεις της εξίσωσης

x2 + x =42

x2 + x+ 1

211 (∆ιαγωνισmicroός Θαλής Μαθ Ετ 20078 Α΄ Λυκείου) Να ϐρεθούν οι ακέραιεςϑετικές ϱίζες της εξίσωσης

x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0

212 Για ποιές τιmicroές του micro η εξίσωσηx+ 3

2= |x| + micro(x + 1)(3 minus x) έχει τέσσερες

διαφορετικές πραγmicroατικές ϱίζες


3(1 + α2 + α4)x = (1 + α+ α2)2x+ α5 + α4 + α3 minus α2 minus αminus 1

ως προς x ϑεωρώντας το α ως παράmicroετρο

214 (CRUX v37 n4 2011 M452)

(α΄) Υποθέστε ότι x =

radicα+

radicα+radicα+ για α gt 0 Αποδείξτε ότι x2 minus

α = x

(ϐ΄) Να υπολογίστε τον ακέραιο radic30 +

radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +

radic30 + είναι η ϑετική ϱίζα της x2minus30 = x ή x = minus5 6

΄Αρα

radic30 +

radic30 +

radic30 + = 6 οmicroοίως

radic6 +

radic6 +radic

6 + = 3 καιradic42 +

radic42 +

radic42 + = 7

43 ∆ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 31

43 ∆ιαθεmicroατικά Θέmicroατα

215 ΄Εστω εξίσωση αx2 + βx+ γ = 0 α 6= 0 Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική διακρί-νουσα δίνει την ποιότητα των ϱιζών της δευτεροβάθmicroιας εξίσωσης Υπάρχει γε-

ωmicroετρική διακρίνουσα της δευτεροβάθmicroιας εξίσωσης ΄Ενα γεωmicroετρικό microέγεθοςδηλαδή που ϑα καθορίζει αν το γράφηmicroα της συνάρτησης f(x) = αx2 + βx+ γέχει ή όχι κοινά σηmicroεία microε τον άξονα xprimex

216 Θέλουmicroε να συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώσουmicroε τον παρακάτω πίνακα microε ϕυσικούςαριθmicroούς ακολουθώντας τους δύο παρακάτω κανόνες

1ος Κανόνας Κάθε γραmicromicroή περιέχει διαδοχικούς ϕυσικούς αριθmicroούς

2ος Κανόνας Σε κάθε γραmicromicroή το άθροισmicroα των τετραγώνων των αριθmicroών πουϐρίσκονται στην αριστερή περιοχή είναι ίσο microε το άθροισmicroα των τετραγώνωντων αριθmicroών στην δεξιά περιοχή microε τα έντονα τετράγωνα δες σχήmicroα 41΄Ετσι για παράδειγmicroα στην πρώτη γραmicromicroή 32 + 42 = 52

Σχήmicroα 41 ΄Ασκηση 216

Τότε

(α΄) ∆είξτε ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος να συmicroπληρώσουmicroε την πρώτη γραmicro-microή

(ϐ΄) Συmicroπληρώστε τις επόmicroενες γραmicromicroές του πίνακα

(γ΄) ∆είξτε ότι αν συνεχίσουmicroε να συmicroπληρώνουmicroε τον πίνακα προσθέτονταςκάθε ϕορά και microία νέα γραmicromicroή στο κάτω microέρος ϑα υπάρξει γραmicromicroή πουϑα περιέχει τον αριθmicroό 2004 Προσδιορίστε την ακριβή ϑέση του 2004στον πίνακα


Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις

51 Ανίσωση 1oυ Βαθmicroού

217 Να λύσετε τις ανισώσεις

d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2


(α΄) 2(|x| minus 3) le 3(|x| minus 4)

(ϐ΄) |xminus 4| le 4

(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4

(ε΄) minus1 le |x+ 3| le 0

(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2

(Ϲ΄)∣∣∣|xminus 3| minus 2

∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2

(ϑ΄) |x+ 1| lt |xminus 3| lt 4

(ι΄) |xminus 2|+ |x+ 3| le 4minus x

219 Αν α lt β lt γ lt δ να ϐρεθεί πότε η παράσταση

A = |αminus x|+ |β minus x|+ |γ minus x|+ |δ minus x|

διατηρεί σταθερή τιmicroή

33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ




(α΄)radicx2 minus 10x+ 25 lt 9

(ϐ΄)|xminus 1| minus 4

2+

5

3lt|xminus 1|

3

222 (α΄) Να κάνετε πίνακα προσήmicroων για την minusx2 + x+ 2

(ϐ΄) Να λύσετε την ανίσωση | minus x2 + x+ 2| le 1minus x(x+ 6)

223 ∆ίδεται το τριώνυmicroο p(x) = x2 minus 3αx +(β + γ)2

9 Αν α β γ είναι πλευρές

τριγώνου 4ABΓ να ϐρείτε το πρόσηmicroο του τριωνύmicroου για κάθε x isin ΙR

224 Να αποδείξετε ότι για κάθε λ isin ΙR η εξίσωση x2 minus 2λx + λ minus 1 = 0 έχει ϱίζεςπραγmicroατικές και άνισες

225 ∆ίνεται η εξίσωση ax2 + 3ax + a + 5 = 0 a isin ΙR Να ϐρείτε τις τιmicroές του a γιατις οποίες η εξίσωση

(α΄) έχει ϱίζες ίσες

(ϐ΄) έχει ϱίζες άνισες


226 Να ϐρείτε για ποιές τιmicroές του λ ισχύουν τα επόmicroενα

(α΄) Η εξίσωση 3x2 minus 4λx+ λ+ 1 = 0 έχει δύο διάφορες λύσειςΑπάντηση λ lt 3minus

radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)

(ϐ΄) λx2 + 4λx+ 1 gt 0 για κάθε x isin ΙR( Απάντηση 0 lt λ le 14)

(γ΄) Το κλασmicroαx

x2 + x+ λορίζεται για κάθε x isin ΙR ( Απάντηση 1

4lt λ)

(δ΄) Η παράστασηradic

2x2 + λx+ 1 ορίζεται για κάθε x isin ΙR (Απάντηση minus2radic

2 lt λ lt2radic

2

227 ∆ίνεται το τριώνυmicroο pλ(x) = λx2 + 2(λminus 1)x+ λ+ 1 microε λ isin ΙR

(α΄) Να ϐρείτε το πλήθος των σηmicroείων τοmicroής της γραφικής παράστασης τηςpλ(x) microε τους άξονες για τις διαφορετικές τιmicroές της παραmicroέτρου λ

(ϐ΄) Να ϐρείτε τις πραγmicroατικές τιmicroές του λ ώστε η εξίσωση pλ(x) = 0 να έχειδύο άνισες πραγmicroατικές ϱίζες x1 x2 microε |x1 + x2| = minusx1 minus x2

Απάντηση

(α΄) Να διακρίνεται δύο περιπτώσεις λ = 0 και λ 6= 0

(ϐ΄) Απο την |x1 + x2| = minusx1 minus x2 και το ότι |x| = minusx για x lt 0 συmicroπεραίνουmicroε ότιx1 + x2 lt 0

52 ΑΝΙΣΩΣΗ 2Oυ ΒΑΘΜΟΥ 35

228 ΄Εστω Ω δειγmicroατικός χώρος microε ισοπίθανα ενδεχόmicroενα

Ω = minus7minus6minus5minus4minus3minus2minus1 0 1 2 3

Να ϐρείτε την πιθανότητα του ενδεχοmicroένου

A = x isin Ω 2xminus 1 lt x2 minus 4 lt 12

229 Ονοmicroάζουmicroε ακέραιο microέρος ενός πραγmicroατικού x συmicroβολικά [x] το microεγαλύτεροακέραιο microικρότερο ή ίσο του x Εύκολα microπορείτε να δείτε ότι ισχύει [x] le x le[x] + 1 Για παράδειγmicroα

[2 4] = 2 [minus2 45] = minus3 [radic

2] = 1 [67] = 67 [π] = 4

΄Εστω f(x) = x2 minus 46[x] + 13 Ο στόχος της άσκησεις είναι να λυσουmicroε τηνεξίσωση f(x) = 0

(α΄) Βρείτε το ακέραιο microέρος του αριθmicroούradic

2057 και επαληθεύστε ότι είναιλύση της εξίσωσης f(x) = 0

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι το 1 δεν είναι λύση της f(x) = 0ii ∆είξτε ότι αν x lt 1 η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει λύση

΄Εστω p(x) = x2 minus 46x+ 13

i Χρησιmicroοποιώντας την ανισότητα [x] le x δείξτε ότι για κάθε x p(x) lef(x)

ii ∆είξτε ότι αν x isin ΙR και p(x) gt 0 τότε ο πραγmicroατικός x δεν είναι λύσητης f(x) = 0

(γ΄) Για κάθε x δώστε τον πίνακα microεταβολής προσήmicroου του p(x) ∆είξτε ότι όλεςοι λύσεις της f(x) = 0 είναι αυστήρα microικρότερες του 46

(δ΄) i Αν xminus 1 lt [x] για κάθε x τότε f(x) lt p(x) + 46ii ∆είξτε ότι όλες οι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 είναι αυστηρά microεγαλύ-

τερες του 44

(ε΄) i Ποιά είναι τα πιθανά ακέραια microέρη των λύσεων της f(x) = 0ii ∆είξτε ότι η εξίσωση f(x) = 0 δέχεται σαν ϱίζες την

radic2057 και microια

άλλη την όποία και να ϐρείτε

230 Για ποιές τιmicroές του x καθεmicroία από τις παρακάτω ϱίζες radic2x2 minus 7x+ 3

radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1

έχει έννοια πραγmicroατικού αριθmicroού

231 Το τριώνυmicroο f(x) = x2 minus 5x minus 6 έχει ϱίζες τους αριθmicroούς minus1 και 6 Ποιά απότις παρακάτω ανισώσεις είναι σωστή A f(0 97777) gt 0 B f(0 2008) ge 0 Γ f(1 97777) lt 0

∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0

232 Για ποιές τιmicroές του x ισχύει η διπλή ανισώτηταminus3 lt minusx2 + 2x+ 3 lt 0


233 Να κάνετε τον πίνακα προσήmicroων της συνάρτησης f(x) = (x+ 3)2 minus 12x

234 Να λύσετε τις εξισώσεις

(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1

(γ΄) x2 minus 5x+ 6 gt 0

(δ΄) 4x2 ge 4xminus 1

(ε΄) x2 ge 4xminus 4

235 Υπάρχουν τιmicroές του λ ώστε οι τιmicroές της συνάρτησης

λx2 minus 3xradic

2 + λminus 1 microε λ 6= 0

να διατηρούν σταθερό πρόσηmicroο για κάθε x isin ΙR

236 (α΄) Κατασκευάστε στο Geogebra το τριώνυmicroο f(x) = x2 + 4x+ λ+ 3

(ϐ΄) Υπάρχουν τιmicroές της παραmicroέτρου λ ώστε το τριώνυmicroο να ϐρίσκετε πάνω απότον οριζόντιο άξονα

(γ΄) Να ϐρείτε τις τιmicroές αυτές της παραmicroέτρου λ

(δ΄) Για τις τιmicroές του λ που ϐρήκατε παραπάνω να ϐρείτε το πλήθος των ϱιζώντης εξίσωσης λf(x) = (x2 + 2)(λminus 1)

237 Να δείξετε ότι για κάθε x isin ΙR και y 6= 0 η παράσταση x2 +xy+y2 είναι ϑετική

238 Να κάνετε τον πίνακα προσήmicroων της συνάρτησης

p(x) = (1minus x)(2 + xminus x2)(x2 minus x+ 1)

και να λύσετε την ανίσωση p(x) le 0


p(x) = x2012(xminus 2)2013(x2 minus 16)2014(x2 minus xminus 1)

και να λύσετε την ανίσωση p(x) gt 0


(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1

241 Αν η εξίσωση (2λminus 1)x2 minus 3xminus λ+ 2 = 0 έχει δύο ϱίζες ετερόσηmicroες να ϐρείτετο λ


242 Να λύσετε τα συστήmicroατα ανισώσεων

i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5

x(1minus x) le minus1

iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x

minusx2 lt minus4x+ 4

243 Να λύσετε την ανίσωση( x

xminus 2

)2minus |x||xminus 2|

minus 1 lt 0

244 (Μια άσκηση του Μ Γκούρη από το wwwmathematicagr)∆ίνεται η εξίσωση (

|m| minus 1)x2 minusmx+ 1 = 0 (51)

(α΄) Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( 51) έχει λύση για κάθε τιmicroή του πραγmicroατικούαριθmicroού m

(ϐ΄) Για ποιές τιmicroές τουm η η εξίσωση ( 51) έχει δύο λύσεις x1 x2 microε x1minusx2 6=0

(γ΄) ΄Εστω m 6= plusmn1 και S P το άθροισmicroα και το γινόmicroενο των ϱιζών της ( 51)αντίστοιχα Να δείξετε ότι m middot S ge P + 1

(δ΄) Για ποιές τιmicroές του m η εξίσωση ( 51) έχει λύση το 1

(ε΄) Ανm = 20112012 δείξτε ότι η εξίσωση ( 51) ϑα έχει δύο άνισες λύσεις απότις οποίες microόνο microια ϑα είναι ακέραια

Απάντηση

(α΄) Η εξίσωση microπορεί να είναι πρωτοβάθmicroια ή δευτεροβάθmicroια εξίσωση ΄Αρα ϑα δια-κρίνουmicroε περιπτώσεις

i Αν |m| 6= 1 ή m 6= plusmn1 έχουmicroε πάντα ∆ = (|m| minus 2)2 ge 0ii Για m = 1 δίνει x = 1 και για m = minus1 δίνει x = minus1

΄Αρα η ( 51) έχει τουλάχιστον 1 ϱίζα για κάθε m isin ΙR

(ϐ΄) Οι δύο ϱίζες της εξίσωσης ( 51) είναι

x12 =mplusmn (|m| minus 2)

2

έτσι x1 6= x2 hArrm+ |m| minus 2

26= mminus |m|+ 2

2hArr 2|m| 6= 4hArr m 6= 2 m 6= minus2

(γ΄) Για m 6= plusmn1 είναι S =m

|m| minus 1και P =

1

|m| minus 1 ΄Αρα


mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1

|m| minus 1minus 1 ge 0

hArr |m|2 minus |m|+ 1minus 1

|m| minus 1ge 0

hArr |m|(|m| minus 1)

|m| minus 1ge 0

hArr |m| ge 0Που ισχύει για κάθε m

(δ΄) Αν x1 = 1 τότε η ( 51) γίνεται |m| minus 1minusm+ 1 = 0hArr |m| = m η οποία ισχύει όταν m ge 0

(ε΄) Για m = 201112012 προφανώς η διακρίνουσα είναι gt 0 και η εξίσωση ( 51) έχειδύο πραγmicroατικές ϱίζες Τότε

x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι

61 Αριθmicroητική Πρόοδος

245 Να ϐρείτε το άθροισmicroα

(α΄) των πρώτων 30 όρων της ακολουθίας an = 5nminus 4 n isin NΝlowast

(ϐ΄) των πρώτων 40 όρων της ακολουθίας an = minus5nminus 4 n isin NΝlowast

246 Να ϐρείτε το άθροισmicroα των ακεραίων από 1 microέχρι 200 που δεν είναι πολλαπλάσιατου 4 ή του 9


(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155

248 Αν σε microια αριθmicroητική πρόοδο microε 2003 όρους ο microεσαίος είναι 1 να ϐρείτε τοS2003

249 ΄Εστω ότι το άθροισmicroα των πρώτων n όρων microιας ακολουθίας (an) είναι Sn =2n2 minus n για κάθε n isin NΝ

lowast

(α΄) Να ϐρείτε τον an(ϐ΄) Να δείξετε ότι η ακολουθία (an) είναι αριθmicroητική πρόοδος

(γ΄) Να ϐρείτε τον a1 και τη διαφορά ω

250 ΄Ενα ϑέατρο έχει 15 σειρές καθισmicroάτων Στη πρώτη σειρά έχει 60 ϑέσεις και στητελευταία 18 ϑέσεις Αν το πλήθος των ϑέσεων ελαττώνεται από σειρά σε σειράκατά τον ίδο πάντα αριθmicroό ϑέσεων να ϐρείτε το πλήθος των ϑέσεων

(α΄) που ελαττώνεται από σειρά σε σειρά

39

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΟ∆ΟΙ

(ϐ΄) της microεσαίας σειράς(γ΄) όλων των ϑέσεων του ϑεάτρου(δ΄) από τη 5η σειρά εως και τη 13η σειρά

251 Για έναν σταθερό ακέραιο k ge 2 λέmicroε ότι ο ϕυσικός N είναι ένας kminusαριθmicroόςαν microπορεί να γραφεί στη microορφή

N = 1plusmn 2plusmn plusmn k (61)

Για παράδειγmicroα

bull Αν k = 2 οι 2minusαριθmicroοί είναι ο minus1 και 3 αφού 1minus 2 = minus1 και 1 + 2 = 3bull Αν k = 3 οι 3minusαριθmicroοί είναι

1minus 2minus 3 = 41 + 2minus 3 = 01minus 2 + 3 = 21 + 2 + 3 = 6

(α΄) i Γράψτε σε αύξουσα σειρά όλους τους 4minusαριθmicroούςii Ο ϕυσικός 11 είναι ένας 5minusαριθmicroός

(ϐ΄) i Ποιός είναι ο microεγαλύτερος kminusαριθmicroός και ποιός ο microικρότερος συναρ-τήσει του k

ii Ποιός είναι ο microικρότερος ακέραιος k ge 2 έτσι ώστε ο 51 να είναιkminusαριθmicroός

(γ΄) i Για κάθε k ge 2 δείξτε ότι όλοι οι kminusαριθmicroοί είναι είτε άρτιοι είτεπεριττοί

ii Να ϐρείτε τους ακεραίους k ge 2 για τους οποίους οι kminusαριθmicroοί είναιπεριττοί

(δ΄) Για k = 2 και k = 3 microπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε ότι η γραφή τουkminusαριθmicroού N στη microορφή 61 είναι microοναδική

i Βρείτε όλες τις τιmicroές του k που η γραφή 61 είναι microοναδικήii Υπάρχει ακέραιος k για τον οποίο ένας kminusαριθmicroός N δέχεται 2011

διαφορετικές γραφές της microορφής 61

252 ΄Ενας τετράγωνος πίνακας microε 2012 γραmicromicroές (αριθmicroηmicroένες από 1 έως 2012) και2012 στήλες (αριθmicroηmicroένες από 1 έως 2012) είναι χρωmicroατισmicroένος σε άσπρο καιmicroαύρο όπως microια σκακιέρα Το πρώτο τετράγωνο (1η γραmicromicroή minus 1η στήλη) έχειχρώmicroα microαύρο

Σε κάθε τετράγωνο γράφουmicroε το γινόmicroενο του αριθmicroού της γραmicromicroής επι τουαριθmicroού της στήλης που ϐρίσκεται το τετράγωνο Πχ αν το τετράγωνο είναιστην 41-η γραmicromicroή και στην 2 στήλη τότε το τετράγωνο έχει τον αριθmicroό 41 times2 = 82 ΄Εστω M το άθροισmicroα των αριθmicroών των microαύρων τετραγώνων και A τοάθροισmicroα των αριθmicroών των άσπρων τετραγώνων

(α΄) ΜεMi σηmicroειώνουmicroε το άθροισmicroα των αριθmicroών που ϐρίσκονται στην iminusοστήγραmicromicroή και στα microαύρα κουτάκια και microε Ai σηmicroειώνουmicroε το άθροισmicroα τωναριθmicroών που ϐρίσκονται στην iminusοστή γραmicromicroή και στα άσπρα κουτάκια

62 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ∆ΟΣ 41

i ∆είξτε ότι M1 minusA1 = minus1006 και M2 minusA2 = 2 middot 1006ii ∆είξτε κάτι γενικότερο Mi minus Ai = λ middot i middot 1006 microε λ = 1 αν ο αριθmicroός

της γραmicromicroής είναι άρτιος και λ = minus1 αν ο αριθmicroός της γραmicromicroής είναιπεριττός

(ϐ΄) ∆είξτε ότι M minusA = 10062

62 Γεωmicroετρική Πρόοδος

253 (α΄) Αν οι a b g είναι διαδοχικοί όροι microιας γεωmicroετρικής προόδου να δείξετεότι a2 + b2 + g2 = (a+ b+ g)(aminus b+ g)

(ϐ΄) Αν οι a b g είναι διαδοχικοί όροι microιας γεωmicroετρικής προόδου να δείξετεότι (aminus g)2 + (bminus g)2 + (bminus d)2 = (aminus d)2

254 Να ϐρείτε το άθροισmicroα των πρώτων δέκα όρων της γεωmicroετρικής προόδου στηνοποία είναι a2 + a6 = 34 και a3 + a7 = 68

255 Η ένταση του ϕωτός microειώνεται κατά 10 όταν διέρχεται από ένα ϕίλτρο Αν Inείναι η ένταση του ϕωτός αφού διέλθει διαδοχικά microέσα από n τέτοια ϕίλτρα ναϐρείτε έναν αναδροmicroικό τύπο καθώς και το γενικό όρο της ακολουθίας (In)

Ποιά ϑα είναι η ένταση του ϕωτός αν διέλθει microέσα από 10 τέτοια ϕίλτρα και ηαρχική ένταση είναι I0

256 Να ϐρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους γεωmicroετρικής προόδου ώστε να έχουν γι-

νόmicroενο 16 και οι δύο microεσαίοι να έχουν άθροισmicroα20

3

257 ΄Εστω ότι οι αριθmicroοί x y z ω είναι τέσσεροι διαδοχικοί όροι microε τη σειρά πουδίνοντε γεωmicroετρικής προόδου microε λόγο λ = 2 Αν x+ y+ z = 336 να ϐρείτε τοάθροισmicroα y + z + ω


Κεφάλαιο 7

Βασικές έννοιες των

Συναρτήσεων

258 Να εξετάσετε ως προς τη microονοτονία τη συνάρτηση f(x) = x7 minusradic

3minus 6x

259 ∆ίδεται η συνάρτηση f(x) = |λ|xminus 3(x+ 1)

(α΄) Να κατασκευάσετε στο Geogebra ένα microοντέλο της συνάρτησης παραmicroετρικόως προς λ Για ποιές τιmicroές του λ αλλάζει microονοτονία

(ϐ΄) Να εξετάσετε αλγεβρικά τη microονοτονία της συνάρτησης f(x) επαληθεύονταςτους προηγούmicroενους ισχυρισmicroούς

260 Αν η συνάρτηση h είναι γνησίως microονότονη στο σύνολο ΙR να λύσετε τις εξισώσεις h(x) = h(2xminus 3) και h(x3)minus h(27) = 0

Υπόδειξη Αν microια συνάρτηση είναι γνησίως microονότονη ισχύει ότι

f(x1) = f(x2)lArrrArr x1 = x2

261 ΄Εστω δυο συναρτήσεις f g ΙR minusrarr ΙR microε το ίδιο είδος microονοτονίας Να δείξετεότι η συνάρτηση h(x) = f

(g(x)

)είναι γνησίως αύξουσα

262 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR να δείξετε ότι

f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)

263 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο ΙR να δείξετε ότι

i f(radic

6minus 3) gt f(radic

3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)

iii f(2x2 + 2013) lt f(2012) iv f(minusα2 + α) gt f(minusα+ 2)

43

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

264 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 +radicxminus 1

(α΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισmicroού της f

(ϐ΄) Να εξετάσετε την microονοτονία της f

(γ΄) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παρουσιάζει ελέχιστο

(δ΄) Να ϐρείτε το f(10) και να λύσετε

i την εξίσωση f(x) = 103

ii την ανίσωση f(x) lt 103

(ε΄) Να δείξετε ότι f(2012

2011

)minus 1 gt 0

265 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =

radic4minus x2 + 2

x


(ϐ΄) Σχεδιάστε την συνάρτηση στο Geogebra

(γ΄) Μπορείτε να δικαιολογήσετε τη microορφολογία της συνάρτησης

(δ΄) Γιατί το γράφηmicroα Cf έχει κέντρο συmicromicroετρίας το O(0 0)


minusx2013 αν x lt 0

x2013 αν x ge 0 Να δείξετε ότι η Cf έχει

άξονα συmicromicroετρίας τον άξονα yprimey

267 Αν microια συνάρτηση f microε πεδίο ορισmicroού όλο το σύνολο των πραγmicroατικών αριθmicroώνΙR είναι περιττή τότε η συνάρτηση g(x) = |f(x)| είναι άρτια

268 ∆ίνονται οι συναρτήσεις f g A minusrarr ΙR όπου η f είναι περιττή και η g άρτιαΝα δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = f(x) middot g(x) είναι περιττή

269 ΄Εστω η συνάρτηση f ΙR minusrarr ΙR για την οποία ισχύει f(x+ y) = f(x) + f(y)για κάθε x y isin ΙR

(α΄) Να ϐρείτε το f(0)

(ϐ΄) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή

270 ΄Εστω η συνάρτηση f ΙR minusrarr ΙR η οποία είναι περιττή Να δείξετε ότι ησυνάρτηση g(x) = f(|x|) middot |f(x)| είναι άρτια

271 ΄Εστω η συνάρτηση f ΙR minusrarr ΙR Να δείξετε ότι

(α΄) η συνάρτηση g(x) = f(a+ x)minus f(aminus x) είναι περιττή

(ϐ΄) η συνάρτηση h(x) = f(bminus x) + f(b+ x) είναι άρτια

272 ΄Εστω η συνάρτηση f ΙR minusrarr ΙR για την οποία ισχύει

f(x) middot f(minusx) = [f(x)]2

για κάθε x isin ΙR Να δείξετε ότι η f είνα άρτια

45

273 Σκοπός είναι να ϐρούmicroε microια συνάρτηση f NΝ minusrarr NΝ που επαληθεύει τις δύοπαρακάτω συνθήκες

bull f(1) = 1

bull για κάθε ϕυσικό m και n

f(m+ n) = f(m)times f(n) + f(n) + f(m)

(α΄) Υποθέτουmicroε ότι microια τέτοια συνάρτηση f υπάρχει

i Υπολογίστε το f(0)ii Υπολογίστε τα f(2) f(3) f(6)

(ϐ΄) ∆είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n f(n+ 1) = 2f(n) + 1

(γ΄) Θέτω για κάθε ϕυσικό n g(n) = f(n) + 1∆είξτε ότι για κάθε ϕυσικό m και n g(n+m) = g(n)times g(m)

(δ΄) Να ϐρείτε την συνάρτηση f που ανταποκρίνεται στο πρόβληmicroα

274 ΄Εστω η συνάρτηση f που πάει Ϲύγη ϕυσικών αριθmicroών σε ϕυσικούς αριθmicroούςσύmicroφωνα microε τους κανονες

f(0 y) = y + 1 f(x 0) = f(xminus 1 1) f(x+ 1 y + 1) = f(x f(x+ 1 y))

Να ϐρείτε τις τιmicroές f(2 1) και f(2 2)

275 ΄Εστω microια πραγmicroατική συνάρτηση f ορισmicroένη στο (0+infin) όπως ο παρακάτωπίνακας

Πίνακας Τιmicroών

x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109

Η συνάρτηση αυτή έχει την εξής ιδιότητα Για κάθε πραγmicroατικούς αριθmicroούς x gt 0 και y gt0 ισχύει

f(xtimes y) = f(x) + f(y)

(α΄) Βρείτε το f(4) και συmicroπληρώστε τον δι-πλανό πίνακα

(ϐ΄) Υπολογίστε το f(245)

(γ΄) Υπολογίστε το f(1)

(δ΄) ∆είξτε ότι για κάθε x gt 0

f

(1

x

)= minusf(x)

276 Η τεθλεσmicroένη γραmicromicroή L στο σχήmicroα 71 είναι δεδοmicroένη

Θέλουmicroε να ϐρούmicroε microια ευθεία ε παράλληλη στον άξονα των τετmicroηmicroένων έτσιώστε AM = MBΜέθοδος

(α΄) Βρείτε την συνάρτηση f που έχει σαν γράφηmicroα την τεθλασmicroένη L



(ϐ΄) Αν ε η Ϲητούmicroενη ευθεία microε τύπο y = λ 0 le λ le 3 εκφράστε συναρτήσειτου λ τις τετmicroηmicroένες των σηmicroείων A M και B

(γ΄) ∆είξτε ότι η Ϲητούmicroενη ευθεία ε αντιστοιχεί στην τιmicroή του λ που ικανοποιεί

την σχέση xM =xA + xB

2

Κεφάλαιο 8

Μελέτη ϐασικών


277 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις microε Σωστό ή Λάθος ΄Εστω η συνάρ-τηση f(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0

(α΄) Αν το τριώνυmicroο f(x) γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο τότε η Cf εφάπτεταιστον άξονα των τετmicroηmicroένων

(ϐ΄) Αν ∆ lt 0 και α lt 0 η Cf ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα των τετmicroηmicroένων

(γ΄) Η κορυφή της Cf είναι το σηmicroείο(minus β

2α

∆

4α

)

(δ΄) Αν αγ lt 0 η Cf τέmicroνει τον ϑετικό ηmicroιάξονα Ox και τον αρνητικό ηmicroιάξοναOyprime

(ε΄) Η Cf έχει άξονα συmicromicroετρίας την ευθεία x =β

2α

278 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

(α΄) 4x2 + 4xy minus 15y2

(ϐ΄) 3(2xminus 5y)2 minus (2xminus 5y)minus 2

279 ΄Εστω η συνάρτηση f(x) =αx2 + x+ 5αx+ 5α

3x2 + xminus 2

(α΄) Να κάνετε το διάγραmicromicroα στο Geogebra

(ϐ΄) Να ϐρείτε το πεδίο ορισmicroού της f

(γ΄) Να απλοποιήσετε την παράσταση της f

(δ΄) Μετακινήστε την παράmicroετρο α στον δροmicroέα ∆ικαιολογήστε την microορφή τηςσυνάρτησης όταν α = minus1

(ε΄) Για α = 2 να ϐρείτε τα κοινά σηmicroεία της Cf και της ευθείας ε y =x

3+ 3

280 Να ϐρείτε το λ ώστε το τριώνυmicroο 2x2 +4ax

5minus 1

10λ2 + 3

47

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

(α΄) να αναλύεται σε γινόmicroενο δύο πρωτοβαθmicroίων παραγόντων

(ϐ΄) να είναι τέλειο τετράγωνο

(γ΄) να microην αναλύεται σε γινόmicroενο πρωτοβαθmicroίων παραγόντων

(δ΄) Να κάνετε το διάγραmicromicroα στο Geogebra Ποιά η γεωmicroετρική ερmicroηνεία τωνπαραπάνω ερωτήσεων στο διάγραmicromicroα

281 Θέλουmicroε να δούmicroε πως microια αλγεβρική σχέση ερmicroηνεύεται γεωmicroετρικά microέσα α-πό τα διαγράmicromicroατα συναρτήσεων Λύστε πρώτα αλγεβρικά το πρόβληmicroα καιστη συνέχεια microε τη ϐοήθεια του Geogebra δείτε την γεωmicroετρική υόσταση τωνανισοτήτων

Αποδείξτε ότι

(α΄) Για 0 le x le 1 ισχύει x2 le x leradicx

(ϐ΄) Για x ge 1 ισχύειradicx le x le x2

282 (α΄) ∆ιατυπώστε έναν ισχυρισmicroό σχετικά microε την ϑέση των δύο καmicroπυλών

y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)

(ϐ΄) ∆είξτε την αλήθεια του ισχυρισmicroού σας λύνοντας την ανίσωση

x2 ge 2xminus 1 (83)

283 ∆ίνεται η παραβολή y = x2 minus xminus 2 Να ϐρείτε

(α΄) την κορυφή της παραβολής

(ϐ΄) τον άξονα συmicromicroετρίας

(γ΄) τα σηmicroεία τοmicroής της παραβολής microε τους δύο άξονες συντεταγmicroένων

284 Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = |x2 minus 9|

285 ∆ίνεται η παραβολή y =radic

5x2 minus λminusradic

2 +radic

2xminus λ

3 Να ϐρείτε το λ ώστε

(α΄) να τέmicroνει τον άξονα xprimex σε δύο σηmicroεία

(ϐ΄) να εφάπτεται στον άξονα xprimex

(γ΄) να microην έχει microε τον άξονα xprimex κανένα κοινό σηmicroείο

286 Αν για τη συνάρτηση f(x) = αx2+βx+γ ισχύει α middotγ lt 0 να ϐρείτε ποια από τιςπαρακάτω γραφικές παραστάσεις σχήmicroα 81 ϑα microπορούσε να αντιπροσωπεύσειτην f

287 Να ϐρείτε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παραβολήτου παρακάτω σχήmicroα 82

288 Να ϐρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f(x) = (2λ minus 2)x2 minus 2(λ2 minus 7)x minus 1 λ 6= 1

να παρουσιάζει microέγιστο στο x =1

123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4

Σχήmicroα 81 Επέλεξτε την

κατάλληλη καmicroπύλη

-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Σχήmicroα 82 Ποιά είναι η

συνάρτηση

289 ∆ίδοντε οι συναρτήσεις f(x) = x2 minus 4xminus 3 και h(x) =

∣∣∣∣2xminus 3

∣∣∣∣(α΄) Αν

A = x isin NΝ f(x) lt 0

καιB = x isin NΝ h(x) le 2

να ϐρείτε τα A cupB A capB και AminusB

(ϐ΄) Να υπολογίσετε την απόσταση της κορυφής της παραβολής f(x) από το

σηmicroείο(3

2 0)

(γ΄) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησηςradicf(x) + 8minus h(x)

290 Να ϐρείτε την εξίσωση της παραβολής y = αx2 + βx + γ που τέmicroνει τον άξονατων x στα σηmicroεία microε τετmicroηmicroένες minus2 και 35 ενώ τον άξονα των y στο σηmicroείο microετεταγmicroένη minus408

291 Να ϐρείτε την microεγίστη τιmicroή της ελάχιστης τιmicroής της συνάρτησης f(x) = x2 +(λ + 2)x minus 3 ∆ουλέψτε στο Geogebra για να κατανοήσετε την microεταβολή τουελαχίστου της συνάρτησης f(x) δες σχήmicroα 84

292 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx2 + 2(2minus λ2)xminus 1 Να ϐρείτε το λ ώστε η f ναείναι γνησίως αύξουσα στο (minusinfinminus1] και γνησίως ϕθίνουσα στο [minus1infin)

293 Να ϐρεθεί η καmicroπύλη στην οποία ανήκουν οι κορυφές των παραβολών y =x2 minus 2λxminus 2 για τις διάφορες τιmicroές του λ


Σχήmicroα 83 Το microέγιστο του ελαχίστου A της συνάρτησης f(x)

294 Αν η συνάρτηση f(x) = (λ3 minus 1)x2 + 2λxminus 8 είναι γνησίως ϕθίνουσα στο ΙR ναϐρείτε το λ

295 Σε ένα ορθοκανονικό σύστηmicroα αξόνων ϑεωρούmicroε σηmicroείο A = (2 0) και σηmicroείοB(x 0) x gt 0 ΄Εστω ε η κάθετος από το A στον άξονα των τετmicroηmicroένων καισηmicroεία M1 και M2 σηmicroεία της ε έτσι ώστε AM1 = AM2 = OB = micro Η εύθειαη κάθετος στον άξονα των τετmicroηmicroένων στο σηmicroείο B τέmicroνει τις OM1 και OM2

στα σηmicroεία N1 και N2 αντίστοιχα δες σχήmicroα 84


Υπολογίστε τις συντεταγmicroένες των σηmicroείων N1 και N2 συναρτήσει του x και

δείξτε ότι τα σηmicroεία αυτά ανήκουν στις παραβολές y =1

2x2 και y = minus1

2x2

296 ΄Εστω τρίγωνο 4ABΓ ισοσκελές microε κορυφή Γ AB = 8cm και ΓH = 6cm ΄ΕστωM σηmicroείο της πλαυράς AB σηmicroειώνουmicroε microε x = AM και f(x) το εmicroβαδόν τουγραmicromicroοσκιασmicroένου πολυγώνου δες σχήmicroα 85 ∆είξτε ότι η συνάρτηση ορίζεται

51

στο διάστηmicroα [0 8] και είναι η

f(x) =

3

4x2 αν 0 le x le 4

24minus 3

4(8minus x)2 αν 4 lt x le 8


297 Σκοπός της άσκησης είναι να συγκρίνουmicroε τη ϑέση ενός αριθmicroού ξ ως προς τιςδύο πραγmicroατικές ϱίζες ενός τριωνύmicroου

(α΄) ΄Εστω τριώνυmicroο microε πραγmicroατικούς συντελεστές p(x) = αx2+βx+γ (α 6= 0)

i ∆είξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το τριώνυmicroο δύοπραγmicroατικές ϱίζες είναι

αp(ξ) lt 0 (84)

ii ∆είξτε ότι αν το ξ είναι ίσο microε microια εκ των δύο ϱιζών της p(x) = 0 τότε p(ξ) = 0

iii Αν ρ1 lt ρ2 οι δύο πραγmicroατικές ϱίζες της P (x) = 0 η αναγκαία καιικανή συνθήκη για να είναι ξ lt ρ1 lt ρ2

(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι

∆ gt 0 αp(ξ) gt 0 ξ lt minus β

2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)

(ϐ΄) Στη συνέχεια ϑα κάνουmicroε microια εφαρmicroογή του αποτελέσmicroατος που ϐρήκαmicroεπαραπάνω Θα ϐρούmicroε τις τιmicroές της παραmicroέτρου λ έτσι ώστε η παράmicroετροςνα ϐρίσκεται microεταξύ των ϱιζών της εξίσωσης

p(x) = λx2 minus (λ+ 1)x+ 3minus λ = 0 (86)

i Γράψτε στο Geogebra το γράφηmicroα του τριωνύmicroου p(x) microε την παρά-microετρο λ

ii Καταγράψτε τις τιmicroές της παραmicroέτρου λ που ικανοποιούν την συνθήκητου προβλήmicroατος


iii Επαληθεύστε τον ισχυριmicroσmicroό σας microε τα ϑεωρητικά αποτελέσmicroατα πουαποδείξατε στο πρώτο ερώτηmicroα 297α΄

298 ∆ίδεται πραγmicroατική παράmicroετρος λ και το τριώνυmicroο

p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)

(α΄) ∆ώστε τη microορφή του τριωνύmicroου στο Geogebra

(ϐ΄) Καταγράψτε τη ϑέση του αριθmicroού minus1 ως προς τις ϱίζες του τριωνύmicroου p(x)για τις διάφορες τιmicroές του λ

(γ΄) Επαληθεύστε αλγεβρικά τις πειραmicroατικές διαπυστώσεις σας

299 Σκοπός της άσκησης είναι να παρουσιάσουmicroε έναν αλγόριθmicroο που ϑα καθορίζειτη ϑέση δύο αριθmicroών ξ1 lt ξ2 ως προς τις ϱίζες microιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθmicroού

(α΄) ΄Εστω τριώνυmicroο microε πραγmicroατικούς συντελεστές

p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)

∆είξτε ότι η ϑέση των αριθmicroών ξ1 και ξ2 είναι αυτή που περιγράφεται απότον παρακάτων πίνακα

αp(ξ1) lt 0 και αp(ξ2) lt 0 ρ1 lt ξ1 lt ξ2 lt ρ2

αp(ξ1) lt 0 και αp(ξ2) gt 0 ρ1 lt ξ1 lt ρ2 lt ξ2

αp(ξ1) gt 0 και αp(ξ2) lt 0 ξ1 lt ρ1 lt ξ2 lt ρ2

ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0

ξ1 lt ρ1 lt ξ2 lt ρ2ήρ1 lt ξ1 lt ρ2 lt ξ2

β2 minus 4αγ gt 0αp(ξ1) gt 0αp(ξ2) gt 0

και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α

ξ1 lt ρ1 lt ρ2 lt ξ2

ξ1 lt ξ2 lt ρ1 lt ρ2

ρ1 lt ρ2 lt ξ1 lt ξ2

(ϐ΄) i ∆ώστε το παραmicroετρικό τριώνυmicroο

p(x) = (λminus 1)x2 minus 2(3λ+ 1)x+ 9λ λ 6= 1 (89)

στο Geogebra

53

ii Καταγράψτε microετακινώντας την παράmicroετρο λ στην αντίστοιχη ϱάmicroβδοτις τιmicroές της παραmicroέτρου που χαρακτηρίζουν τη ϑέση των αριθmicroών minus1και 0 ως προς τις ϱίζες της p(x) = 0

iii Επαληθεύστε την καταγραφή σας microε τον πίνακα που κατασκευάσαmicroεστο ερώτηmicroα 299α΄

300 Να αποδειχθεί χωρίς να χρησιmicroοποιήσουmicroε την διακρίνουσα ότι

(α΄) η εξίσωση

(xminus 1)(x+ 2) + (x+ 1)(xminus 2)minus (xminus 1)(xminus 2) = 0

έχει δύο ϱίζες πραγmicroατικές εκ των οποίων η microια ανήκει στο διάστηmicroα (1 2)

(ϐ΄) η εξίσωσηA2

xminus a+

B2

xminus β= Γ2 (x 6= α β)

έχει δύο πραγmicroατικές ϱίζες

301 Να ευρεθεί το microέγιστο και το ελάχιστο του κλάσmicroατος

xminus 4

x2 minus 3xminus 3

Υπόδειξη Θέσεxminus 4

x2 minus 3xminus 3= micro και δουλέψτε για το τριώνυmicroο

microx2 minus (3micro+ 1)xminus 3micro+ 4

Πρόλογος

Το εγχειρίδιο αυτό έχει γραφεί για τους microαθητές της Α Λυκείου του Προτύπου Πει-ϱαmicroατικού Λυκείου της Βαρβακείου Σχολής Βασική προυπόθεση παραmicroένει η καλήγνώση των microεθοδολογιών και ασκήσεων του σχολικού ϐιβλίου Οι ασκήσεις που πε-ϱιέχονται εδώ είναι επι πλέον ϐοηθήmicroατα και δεξιότητες

Λυγάτσικας ΖήνωνΜαθηmicroατικόςΚαθηγητής του Προτύπου Πειραmicroατικού Λυκείου της Βαρβακείου ΣχολήςΑθήνα Αύγουστος 2012

i

ii















6 Πρόοδοι 39




iii


Κεφάλαιο 1










1







2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




ii















6 Πρόοδοι 39




iii


Κεφάλαιο 1










1







2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3


















6 Πρόοδοι 39




iii


Κεφάλαιο 1










1







2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





Κεφάλαιο 1










1







2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 1










1







2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3










2













3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




3


Απόδειξη







notP rArr Q (12)


notP rArr notQ (13)


Πράγmicroατι



3 Αν a b 6= 0 τότε a2 + b2 6= 02 + 02 = 0




ϐλίου)












notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3










notP rArr Q (14)


notP rArr notQ (15)










ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





ϐιβλίο





hArr xν lt yν

xν gt yν

xν = yν













x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3










x+ 26= 1






Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 2




10 = 6 + 3 + 1= 6 + 2 + 2= 5 + 4 + 1= 5 + 3 + 2= 4 + 4 + 2= 4 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

9 = 6 + 2 + 1= 5 + 3 + 1= 5 + 2 + 2= 4 + 4 + 1= 4 + 3 + 2= 3 + 3 + 3 (6 δυνατότητες)

1












Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3















Β΄ (2 5 2)

Γ΄ (4 2 6)

∆΄ (6 3 5)

Ε΄ (6 1 4)




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 3







(α΄) x = y x+ 3 = y + 3

(ϐ΄) x = y x2 = y2

(γ΄) xy 6= 0 x 6= 0 και y 6= 0


Ανa

b=a

c τότε b = c


3



1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






1

1 +1

1 +1

x


20 Αν x =1



21 Ανx

2=y

3=z




]


A =4

1minus 2

x+ 3

B =

1

2xminus 1

4minus 2

x+ 1


b=b

c=c


c+ d

d=ac2 + b2d

acd





(α΄) a2 minus 3a+

(ϐ΄) x2 + xy +


(δ΄)1

x2+ x+

(ε΄) + 6ab+ a2

(ϝ΄) + 5 + x2



(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






(x2 minus 10x+ 25

)3(x+ 5)3




1

x

)2minus(xminus 1

x

)2= 4 x 6= 0



2005+

2005

2004

)2minus(2004

2005minus 2005

2004

)2


(α΄) 27x3 minus 8

(ϐ΄) x3 + 1

(γ΄) x4 + 4



(α΄)a3 + b3

(aminus b)2 + ab

(ϐ΄)a

a+ 1minus a

1minus aminus 2a2

a2 minus 1

(γ΄)a3 minus b3

(a+ b)2 minus ab


1)x2 + x+ 1

x+ 1middot x

2 minus 1

x3 minus 12)


x2 minus 1

3)x3 minus 2x2 + x

x2 minus x4)

x(xminus 2) + 1


5)x2 minus 3x+ 2


x2 + xminus 2




(ϐ΄) ΄Εστω Γ =(x2 minus 10x+ 25)2005(x+ 5)2005







9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3








9minus y2

(ϐ΄) B =( x2 + xy


x2 + 2xy + y2



]divide(1minus x4y

x4

)



]divide 1








)+ (y minus x)

(x2 minus xy + y2

)+ xy2 minus yx2




(ϐ΄)x3 minus 8


x3 + 8

(γ΄)

1

x2minus 1

y2

1

x+

1

y

divide xy

xminus y


45 Αν x+1

x= y +

1












(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3











(α΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 = (1 + 2)3 (E2)


Σχήmicroα 31 13 + 23 = (1 + 2)2

(ϐ΄) i ∆είξτε ότι 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 (E3)


Σχήmicroα 32 13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2


13 + 23 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2







(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





(ε΄) α3 + β3 + γ3 minus 3αβγ =1

2(α+ β + γ)





(xminus 1)minus3

]minus2(ϐ΄) B =


y3x5


(α΄)1

1minus x+

1

1 + x+

2

1 + x2+

4

1 + x4+

8

1 + x8

(ϐ΄)x3 minus y3

x2 minus y2 +2x2

1 +x+ y

xminus y


(β + 1

2

)2

minus

(β minus 1

2

)2

=

β


οιβ + 1

2β minus 1





+ x3

Υπόδειξη (


+ x3 =(


minus 1 + x3 + 1





(α+ β)2 + (αminus δ)2 + (γ + δ)2 + (β + γ)2 = 0




)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






)2(


για n = 0 1 2 3




(α΄) α gt β

(ϐ΄) β lt 0

(γ΄) α lt 0

(δ΄) β gt 0










(α΄) 2x+ y

(ϐ΄) 3xminus 2y

(γ΄)2x

yκαι

(δ΄) 2x2 + y2





2+ 4 le α2 + 2α



αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






αminus 1

β

)ge 4


(α+ β + γ)

(1

α+

1

β+

1

γ

)ge 9


(α΄) α gt 0



2





(α΄)x2 + y2

x+ yge x+ y

2και

(ϐ΄)x2 + y2

x+ y+y2 + z2

y + z+z2 + x2

z + xge x+ y + z


5x2 + 4x+ y2 minus 2xy + 1 = 0








2+ 3 lt

3x+ 1

2




x+

1

1minus xge 4








21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3











21

α+

1

β


2leradicα2 + β2

2


α2

x+β2

yge (α+ β)2

x+ y(32)



α2

x+β2

y+γ2

zge (α+ β + γ)2

x+ y + z(33)



α1β1 + α2β2 + α3β3

)2le(α21 + α2

2 + α23

)(β21 + β2

2 + β23



x2 + y2 + z2 ge xy + xz + yz (34)


(α΄)αβ

γ+αγ

β+βγ

αge α+ β + γ

(ϐ΄)α2

β2+β2

γ2+γ2

α2ge α

β+β

γ+γ

α












radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3















radic2

1 +radic


α ltα+ β

radic2

1 +radic

2lt β


(α΄) x = 1

(ϐ΄) x lt 1










(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





(ϐ΄) Αν α 6= 0 τότε ∣∣∣α+

1

α

∣∣∣ gt |α|+ ∣∣∣ 1α


(δ΄) Αν |α+ 5| lt |α|+ 5 τότε α lt 0







(α΄) 1 λύση




5






(ε΄) για x = 0


(α΄) |x|+ |y| = x+ y











93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





93 Η εξίσωση(|a|+ |b|+ 100

)x = 2004






(ϐ΄) a = 0 ή b = 0

(γ΄) a+ b = 0

(δ΄) a+ b 6= 0

(ε΄) a b gt 2



y2+y2



(x+ 1)2+

(x+ 1)2

(2xminus 1)2= 2


(α΄) |xminus 1|+ |y + 2|+ |z| = 0




∣∣ = x+ 1



+ 1)

= 0




radic3|x|


(α΄)36minus a2

2|a|+ 12= 3minus |a|

2

(ϐ΄)2a2 minus 18

6 + 2|a|= |a| minus 3


+ 22minus |x|

x2 minus 4|x|+ 4



|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






|x|+

y

|y|+

x

|z|le 3








α gt 2






x2 minus α2


xy



y=y

z=z




3





|x|+|y|y












radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3










radicx


radicx2

3

radicxradicx = x 4

radicx


radic8 middotradic

72 middotradic

144radic

7 5 middotradic

30 middotradic

0 09

radic44

40middotradic

8

11

radic52 middot 7

radic3 middot 108

radic5 middot 103

minusradic

28minus 2radic

175 + 4radic

0 63

radic8 + 2

radic15minus

radic8minus 2

radic15

(7radic

2 + 2radic

7) middot (7radic

2minus 2radic

7)


radic810 + 410

84 + 411




(α΄) (radic

5minus 2)2


2)50(3 + 2radic

2)50


xminus 1+

radicx2 + 2x+ 1

x+ 1





2

1minusradic

3

5radic

7radic2

1minus 5radic

2radic2minus 1



A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






A =(xminus 4)2

xminus 4radicx+ 4


3(x+ 1) = 0





1minus xradic

2 xradic


2 + 2 minus2x+radic

2 2minusradicx


ξ minusinfinradic

2

2+infin

+ 0 minus


3 middot 3

radic4 +radic

7 middot 3

radic4minusradic

7




xy+radicxy minus

radicx

yminusradicy

x



1radicn+radicm

=radicnminusradicm


1radic2 + 1

+1radic

3 +radic

2+

1radic4 +radic

3+ +

1radicn+ 1 +

radicnge 100



(α΄) (x2 + y2)(z2 + t2) ge (xz + yt)2

(ϐ΄)radic

(x2 + 5)(y2 + 7) ge |xy +radic

35|



2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






2

)2και

(yradic

2minus 1radic2

)2


4minus 2y +

1


1

4και y =

1

2



1

a

)2

+

(b+

1

b

)2

ge 169

18







A =

radicx+ 2

radicxminus 1 +

radicxminus 2

radicx+ 1





(ϐ΄)α+ β

α+ γ+β + γ

β + α+γ + α

γ + βlt 4


∣∣ lt 2αβ


α =

radic9

κ+ 1minus 2radicκ

+

radic9

κ+ 1 + 2radicκ





ή α2013 = 1 ή α2013 = minus1



αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






αβ

(α+ β

2minus γ

)+ βγ

(β + γ

2minus α

)+ γα

(γ + α

2minus β

)= 0


K =1

y + 1minus y

x+ 1

+1

z + 1minus z

y + 1

+1

x+ 1minus x

z + 1


αβ2 + 2αβ + α = 2β2 + 4β + 3


Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 4

Εξισώσεις



x2 minus 1minus 2

xminus 1=

3

x+ 1





x2 minus 1=

2xminus 1

x+ 1+

3



(ε΄) (x+ 1)2 + x2 minus 1 = 0



(η΄)x

xminus 1=

x

x2 minus 4

(ϑ΄)x

xminus 1=

1

minusx+ x2

(ι΄)x+ 1

x2 minus 1+

2

x2 minus 2x+ 1= 0


21












x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3















x=x

2


xminus 2

λ3=

4x+ 1

λ2




7=

3|x| minus 2

5minus |x|

(ϐ΄) |x+ 1|+ |1minus x2| = 0




(γ΄) (x+ 2)2 minus |x+ 2|+ 1

4= 0

(δ΄) |x|3 minus 3x2 + 3|x| minus 1 = 0









αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







αminus x=

2α(a2 minus 1)











radic|x|radic|x| =

radic|x| microε











radicradic2)2














3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3











3minusradic

2)xminusradic

6 = 0






















τότε





x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







x2 + αx+ 2β = 0 (1) και x2 + γx+ 2δ = 0 (2)


αγ


τότε














εξίσωσης



p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0




α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






α

γprime=

β

βprime=

γ

αprime






p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0



α

αprime=

β

βprimeκ=

γ

γprimeκ2


p(x) = αx2 + βx+ γ α 6= 0








p(x) = x2 minus (2λ+ 1)x+ 10






























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




























∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







∆

|α|














(α΄) ότι 2


2αγ



2αγ

∣∣∣∣

(ϐ΄) 1 lt


2αγ









(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







(α΄)(

2x+1

x

)2minus 3(

2x+1

x

)minus 4 = 0


2= 0



(ε΄)2xminus 1

xminus 2+

xminus 2

2xminus 1minus 5

2= 0



1



x2+ 2xminus 2

x= 5












γ

αgt 0


αlt 0


γ

αgt 0 ή










x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3








x2 + x =42

x2 + x+ 1


x6 + 2x3y2 + 3x3 + 3y2 + y4 minus 40 = 0







214 (CRUX v37 n4 2011 M452)


radicα+


α = x


radic30 +

radic30 + radic

6 +radic

6 +radic

6 +

minus

radic42 +

radic42 +

radic42 +

Υπόδειξη

(α΄) x2 = α+

radicα+radicα+

(ϐ΄) Το

radic30 +

radic30 +


΄Αρα

radic30 +

radic30 +


radic6 +

radic6 +radic


radic42 +

radic42 + = 7









Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3












Τότε





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 5

Ανισώσεις



d(2x 1) ge 1

2d(x 5) le 2




(γ΄)|x| = 2|x| gt 1

(δ΄) 1 lt |x| lt 4


(ϝ΄)∣∣∣2|x| minus 3

∣∣∣ lt 2


∣∣∣ lt 1

(η΄)∣∣∣3|x| minus 1

∣∣∣ lt 2






33







2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3










2+

5

3lt|xminus 1|

3













radic57

8ή λ gt 3+

radic57

8)




4lt λ)



2 lt λ lt2radic

2




Απάντηση










2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3











2] = 1 [67] = 67 [π] = 4















radicx2 minus 4x+ 4

radicx2 + 9x+ 18

radic2x2 minus x+ 1



∆ f(2008) le 0 E f(minus2008) gt 0





(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







(α΄) 2x2 le 1

(ϐ΄) x2 le 3x+ 1





λx2 minus 3xradic















(α΄)2x+ 1

xminus 1gt 0

(ϐ΄)x+ 1

2xminus 1ge 1




i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3






i

1minus 3x lt 0

x2 ge 2xminus 4ii

x2 lt 5


iii

4minus x2 le 0

x2 ge xminus 4iv

x2 ge 1

x2 gt 4x



xminus 2


minus 1 lt 0








Απάντηση






2


26= mminus |m|+ 2




1



mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





mS ge P + 1 hArr m2

|m| minus 1ge 1

|m| minus 1+ 1

hArr m2

|m| minus 1minus 1



|m| minus 1ge 0


|m| minus 1ge 0




x =20112012 minus (|20112012| minus 2)

2=

2

2= 1

Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 6

Πρόοδοι







(α΄) 1 + 7 + 13 + + x = 280

(ϐ΄) (x+ 1) + (x+ 4) + (x+ 7) + + (x+ 28) = 155



lowast





39































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3


































3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3
















3



Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3





Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 7




3minus 6x








(g(x)



f

(2

π

)lt f

( π

3

) f(2α) le f(α2 + 1)


i f(radic


3minusradic

2)

ii f(

4radic

34)gt f(

radic6)


43










2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3













2011

)minus 1 gt 0


radic4minus x2 + 2

x





















45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




45


bull f(1) = 1













x f(x)2 3 01033 4 771245 6 98976 7 78157 8 451089101001000

1000000109







f

(1

x

)= minusf(x)









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3









2

Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Κεφάλαιο 8







2α

∆

4α

)



2α





3x2 + xminus 2






3+ 3


5minus 1

10λ2 + 3

47











y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3














y = x2 (81)

y = 2xminus 1 (82)










2 +radic

2xminus λ









123

49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




49

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3

-2

-1

1

2

3

C1 C2

C3 C4



-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2


συνάρτηση



∣∣∣∣(α΄) Αν





σηmicroείο(3

2 0)















2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3













2x2


51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




51


f(x) =

3


24minus 3






αp(ξ) lt 0 (84)



(ρ1 lt ρ2 lt ξ

) είναι


2α

(ξ gt minus β

2α

)(85)








p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3







p(x) = (λ+ 1)x2 minus 4λx+ 2λ+ 3 (87)






p(x) = αx2 + βx+ γ (a 6= 0) (88)





ή

p(ξ1)p(ξ2) lt 0



και

ξ1 lt minus

β

2α ξ2 gt minus

β

2α

ξ2 lt minusβ

2α

ξ1 gt minusβ

2α






στο Geogebra

53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




53








xminus a+

B2




xminus 4

x2 minus 3xminus 3




Documents

Exercises A