expectativas institucionais relacionadas à transição entre o ensino

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SIRLENE NEVES DE ANDRADE

EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS RELACIONADAS À TRANSIÇÃO ENTRE O ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR PARA O CASO DA

NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

SÃO PAULO 2012

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

SIRLENE NEVES DE ANDRADE



SÃO PAULO 2012

Tese submetida à banca examinadora da

Universidade Bandeirante de São Paulo, como

exigência para defesa de Tese para obtenção

do título de Doutora em Educação Matemática,

sob a orientação da Professora Doutora

Marlene Alves Dias.

SIRLENE NEVES DE ANDRADE



TESE APRESENTADA A UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Presidente e Orientador

Nome: Marlene Alves Dias

Titulação: Doutora em Matemática – Universidade Dennis Diderot – Paris 7

Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo

Assinatura: _____________________________________________________

2º Examinador

Nome: Maria Helena Palma de Oliveira

Titulação: Doutora em Psicologia Aprendizagem e Desenvolvimento Humano

- USP


Assinatura: _____________________________________________________

3º Examinador

Nome: Nielce Meneguelo Lobo da Costa

Titulação: Doutora em Educação - USP


Assinatura: _____________________________________________________

4º Examinador

Nome: Maria Elisabette Brisola Brito Prada

Titulação: Doutora em Educação (Currículo) – PUC - SP


Assinatura: _____________________________________________________ 5º Examinador

Nome: Elias Estevão Goulart

Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica - USP

Instituição: USCS

Assinatura: ____________________________________________________

6º Examinador

Nome: Éder Mateus de Souza

Titulação: Doutor em Matemática - UFPE

Instituição: UFS

Assinatura: _____________________________________________________

NOTA FINAL: _______________

Biblioteca

Bibliotecário:___________________________________________________

Assinatura:____________________________________ DATA ___/___/___ .

São Paulo, ___ de __________ de ____.

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me permitiu chegar até aqui.

A Professora Doutora Marlene Alves Dias, pela amizade e consideração, pela

orientação segura, dedicação incansável e oportunidades que me proporcionou.

A Professora Doutora Michèle Artigue, pelas valiosas contribuições oferecidas a esta

pesquisa.

A todos os professores e colegas do Programa de Mestrado e Doutorado em

Educação Matemática pelo apoio e troca de experiências, em especial ao Guilherme

Galvão de Menezes, pelos serviços prestados aos estudantes e aos professores.

Ao Programa Mestrado & Doutorado, que integra o Programa de Formação

Continuada de Educadores da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, em

especial ao funcionário Eduardo Silva da Diretoria de Ensino Sul 3, pelo competente

trabalho realizado.

A minha família, em especial, ao meu esposo Augusto pelo incentivo, compreensão

e estímulo.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é caractrerizar a transição para o caso da noção de função exponencial na transição

entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes processos de estudo e ajuda ao

estudo que sobrevivem e se reconstroem atualmente nessas etapas escolares, de forma que os professores

disponham de material para reflexão e, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus

estudantes, possam realizar escolhas mais conscientes, a fim de conduzir esse processo de maneira satisfatória,

permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos e mesmo utilizá-los de forma

disponível quando necessário, podendo, desse modo, enriquecê-los no momento em que forem usados como

ferramentas explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções. Sendo assim, para o

desenvolvimento desta pesquisa, primeiramente, destacamos pontos fundamentais de alguns estudos

relacionados à transição do Ensino Médio ao Ensino Superior, em particular, daqueles que analisam as práticas

e propostas de trabalho com o objeto função nas etapas escolares citadas. Elegemos como referencial teórico

central a abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD. Para tanto, consideramos as noções de

relações institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não ostensivos e os níveis de co-determinação,

conforme definição de Chevallard e Bosch e Chevallard. Como referencial teórico de apoio, utilizamos a

abordagem teórica em termos dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de

Robert e a noção de quadro e mudança de quadros de Douady. Em um primeiro momento, analisamos, como a

Lei de Diretrizes e Bases da Educação, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e

Médio e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, propõem a evolução para a introdução da noção de

função exponencial no Ensino Médio brasileiro. Em seguida, foram selecionados quatro livros para a análise das

relações institucionais existentes, dois são livros didáticos avaliados pelo Ministério da Educação e Cultura para

o Programa Nacional do Livro Didático, um destinado aos professores e estudantes de licenciatura e outro

destinado a estudantes dos anos iniciais do Ensino Superior. Na análise desses livros, focamos no modo como

os mesmos apresentam a noção de função exponencial e que tipos de tarefas são oferecidos para os estudantes

com base em uma grade de análise construída para esse fim, segundo Dias. Nessa análise, tentamos, ainda,

colocar em evidência que nível de conhecimento pode ser esperado dos estudantes que terminam o Ensino

Médio e iniciam o Ensino Superior, em relação às necessidades em termos de articulação de quadros,

manipulação de ostensivos e evocação de não ostensivos em relação à própria noção de função exponencial e

outras noções em jogo, considerando a relação institucional que se pode desenvolver por meio dos livros

didáticos escolhidos. A análise da coerência entre as propostas institucionais e as relações pessoais esperadas

dos estudantes foram analisadas por meio das avaliações institucionais ENEM, UNICAMP e ENADE, e que

evidenciou a necessidade de um trabalho mais refinado, o qual pode ser desenvolvido pelo professor ou pelo

próprio estudante. Finalmente, na tentativa de analisar as práticas usuais, construímos um questionário para

identificar as escolhas dos professores em relação ao trabalho a ser desenvolvido sobre a noção de função

exponencial e suas propriedades, seja no final do Ensino Médio ou no início do Ensino Superior. Devido ao

reduzido número de questionários recolhidos, não tivemos dados para identificar como as relações institucionais

esperadas e existentes estão interferindo nas práticas usuais, mas consideramos que, em particular, as relações

institucionais existentes mostram um trabalho matemático que poderia ser utilizado de modo melhor articulado e

contextualizado na própria matemática pelos professores do Ensino Superior.

Palavras-chave: Matemática. Função exponencial. Transição entre Ensino Médio e Ensino Superior. Ostensivos

e não ostensivos. Níveis de conhecimento. Quadros.

RÉSUMÉ

Le but de ce travail est d'étudier la notion de fonction exponentielle dans la transition entre lènseignement

secondaire et lènseignement supérieur afin quòn comprenne les différents processus d'étude et aide à l'étude

qui survivent et se reconstruisent maintenant dans ces deux étapes scolaires ; et également pour que les

enseignants disposent de matériel à la réflexion. Ces derniers ayant accès à la connaissance préalable des

étudiants pourront donc faire des choix conscients et ainsi conduire ce processus d’une manière plutôt

satisfaisante, permettant à ces étudiants de mobiliser et dùtiliser leurs connaissances de façon disponible en cas

de besoin, les enrichir en les utilisant en tant quòutils explicites pour l’introduction de nouveaux concepts et

notions. Pour le développement de la recherche nous présentons, tout dàbord, une étude de certains travaux liés

à la transition entre lènseignement secondaire et lènseignement supérieur, tout particulièrement ceux qui

portent sur les pratiques et les propositions de travail avec l’objet fonction dans ces deux étapes scolaires. Nous

avons choisi en tant que cadre théorique central la Théorie Anthropologique du Didactique – TAD. Nous

considérons, par conséquent, les notions de relations institutionnelles et personnelles, praxéologie, ostensifs et

non ostensifs et les noveaux de co-détermination selon la définition de Chevallard et Bosch et Chevallard. En tant

que cadre théorique d’appui nous avons utilisé l’approche théorique sur les trois niveaux de connaissances

attendues des étudiants, selon la définition de Robert et les notions et changements de cadres selon Douady.

Dans un premier temps, nous avons analysé via « Lei de Diretrizes e Bases da Educação », « Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e Médio » et « Proposta Curricular do Estado de São Paulo »

comment ces documents proposent l’évolution à l’introduction de la notion de fonction exponentielle dans

l’enseignement secondaire au Brésil. Puis, nous avons choisi quatre manuels pour analyser les relations

institutionnelles y existantes, deux entre eux évalués par le Ministère de l’Education et de la Culture à travers le

« Programa nacional do Livro Didático », lùn pour les enseignants et les étudiants de premier cycle et làutre

pour les premières années de l’enseignement supérieur. Dans l’analyse de ces livres nous avons observé

comment ils présentent la notion de fonction exponentielle et quels types de tâches sont offerts aux étudiants à

partir d’une grille d’analyse construite à cet effet. Dans cette analyse nous essayons également de mettre en

évidence le niveau de connaissance peut-être attendu des étudiants qui terminent leurs études secondaires et

commencent le supérieur en relation avec les besoins en termes d’articulation de cadres, manipulation

dòstensifs et évocation de non ostensifs par rapport à la notion de fonction exponentielle et d’autres notions en

jeu lorsque nous considérons le rapport institutionnel que nous pouvons développer à travers les manuels

choisis. La cohérence entre les propositions institutionnelles et les rapports personnels attendus des étudiants ont

été estimés à travers des évaluations institutionnelles ENEM, UNICAMP et ENADE qui montrent le besoin d’un

travail plus effectif qui peut être développé par l’enseignant ou par l’étudiant lui-même. Enfin, dans le but

d’analyser les pratiques habituelles, nous avons construit un questionnaire pour identifier les choix des

enseignants par rapport au travail à être développé sur la notion de fonction exponencielle et ses propriétés, soit

à la fin de l’enseignement secondaire ou au début du supérieur. En raison du nombre limité de questionnaires

collectés, nous n’avons pas assez de données pour identifier comment les relations institutionnelles attendues et

existentes interfèrent dans les pratiques usuelles. Mais nous considérons plus particulièrement que les relations

institutionnelles présentent un travail mathématique qui pourrait être mieux articulé et contextualisé dans la

mathématique elle-même par les enseignants de l’enseignement supérieur.

Mots-clés: Mathématiques. Fonction exponentielle. Transition entre l'enseignement secondaire et supérieur.

Ostensifs et non ostensifs. Cadres.

SUMMARY

This labor has the objective to study a basic exponential function in transaction between high school methodology

and university methodology, that, help understanding in some different process of studying and helping in exist

study in fact this process currently reconstruct in school steps, so that the teachers offer material for thought, and

when they have access in prior knowledge of their students, so they can to realize conscious choices, in other

that, they can lead this process in the midst of satisfactory way, they are allowing the students can be capacity to

mobilize their knowledge and they use in able way when necessary, can be, this way, enriches at the moment

they will use how new tools for introductions new ideas and new notions. Is face of, for development this survey,

to begin with, we will show some reviews destined in transaction high school methodology and University

methodology, in special, the people or teachers, who analysis practices and proposes to work with objective in

steps cited. We chose center referential theory for the approach about the anthropology theory of didactic – ATD.

In fact, we are considering the notions relations of institutions and people, for example, praxeology, ostentatious

and not ostentatious, with that the co-determinations of levels, in accordance in definition of Chevallard and

Bosch. Regarding support theory, we can use the approach theory in terms of three level of knowledge their

students expected, according to Roberty definition and the notion of change Duady. In the first of time, we

analyzed, by guideline law and education base, National curriculum parameters of Sao Paulo State, how these

documents can offer the evolution in the introduction of notion exponential function in Brazilian High School. After

that, we can chose four books with the proposal to analyze institutional relations existing, two books are didactics

books evaluated by Education and Culture Ministry for the Book Didactics National program, the one with

destined to teachers and students of graduated and another book are indicated to initial University students.

When we analyzed this books, we can observed in mode the books have the notion exponential function and they

have types of tasks, which, are offered for students after analyze step will be construction for this result. In this

analyze, we also can try to show in highlights how level of knowledge, we hope in the students able to finish High

School and they start in University, considering the needs of step articulation terms, manipulations in ostensible

and call up of not ostensible in exponential function and other notions in play, considering the institutional relation

and people relation propose in students, we could analyze by institutional rating ENEM, UNICAMP and ENADE,

we can show needs of a great job, which can be to develop by teacher and basic student. Finally, we tried of

analyze the usual practices, we could construction one survey to indentify the teachers choices in job relationship,

who will be develop about the notion exponential function and their properties, in the finally high school or begin

University. Due to reduce of caught survey, we could not have information for identify

how expected and existed institutional relations, that are interfering in usual practice, but we considered in

special, exist institutional relations, how that show mathematic job, which, can be to use in better articulation and

contextualized in mathematic to University teachers.

Key Words: Mathematic. Exponential function. Action in between High School and University. Ostensible and not

ostensible. Knowledge level and steps.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Estágios de ação, processo, objeto................................................. 26

Figura 2 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011.................................................. 56

Figura 3 - Elementos da Teoria Antropológica do Didático.............................. 72

Figura 4 - Exemplo 1 Nível técnico da atividade matemática.......................... 75



Figura 7 - Exemplo 1 Nível mobilizável da atividade matemática.................... 77



Figura 10 - Exemplo 1 Nível disponível da atividade matemática................... 78

Figura 11 - Exemplo 2 Nível disponível da atividade matemática................... 79

Figura 12 - Gráfico da função exponencial...................................................... 128

Figura 13 – Introdução..................................................................................... 139

Figura 14 - Propriedades da função exponencial............................................ 142

Figura 15 - Definição do número irracional e................................................... 146

Figura16 - Introdução Stocco e Diniz............................................................... 150

Figura 17 - Exercício 6..................................................................................... 151

Figura 18 - Gráfico Cartesiano dos casos da função crescente e

descrecente......................................................................................................

153

Figura 19 - Exercícios resolvidos..................................................................... 154

Figura 20 - Exercícios resolvidos..................................................................... 154

Figura 21 - Atividade........................................................................................ 156

Figura 22 - Definição Stewart........................................................................... 167

Figura 23 - Exemplo 1 Stewart......................................................................... 167

Figura 24 - Exemplo 2 Stewart......................................................................... 168

Figura 25 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011................................................ 261

Figura 26 - Resposta do cursinho da Poli da questão vestibular..................... 262

Figura 27 - Resposta do cursinho Objetivo da questão vestibular................... 263

Figura 28 - Resposta esperada da questão 9.................................................. 264

Figura 29 - Resposta acima da média da questão 9....................................... 264

Figura 30 - Resposta abaixo da média da questão 9...................................... 265





Figura 35 - Resposta acima da média questão 7............................................ 268

Figura 36 - Resposta abaixo da média questão 7........................................... 269

Figura 37 - Resposta esperada questão 6....................................................... 270

Figura 38 - Resposta acima da média questão 6............................................ 270

Figura 39 - Resposta abaixo da média questão 6........................................... 271

Figura 40 - Resposta esperada questão 10..................................................... 272

Figura 41 - Resposta acima da média da questão 10..................................... 272

Figura 42 - Resposta abaixo da média da questão 10.................................... 273

Figura 43 - Resposta esperada questão 7....................................................... 274






Figura 49 - Resposta esperada da questão 12................................................ 278




Figura 53 - Resposta acima da media da questão 17..................................... 280

Figura 54 - Resposta abaixo da media da questão 17.................................... 281




LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Questionamentos........................................................................... 44

Quadro 2 - Escopo para o desenvolvimento da matemática no ensino

fundamental ....................................................................................................

82

Quadro 3 - Extrato da grade curricular do curso de Licenciatura em

Matemática da USP.........................................................................................

92

Quadro 4 - Extrato plano de ensino da disciplina Cálculo para funções de

uma variável real I............................................................................................

93

Quadro 5 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em Matemática

do Mackenzie...................................................................................................

95

Quadro 6 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em

Matemática.......................................................................................................

96

Quadro 7 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e

Integral I...........................................................................................................

97

Quadro 8 - Extrato do plano de ensino da disciplina Matemática Básica II..... 98

Quadro 9 - Extrato das disciplinas obrigatórias do curso de Licenciatura em

Matemática da UNB.........................................................................................

101

Quadro 10 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Cálculo 1..................... 102

Quadro 11 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Álgebra para o Ensino

1 e 2.................................................................................................................

103

Quadro 12 - Disciplinas do Núcleo comum...................................................... 105

Quadro 13 – Ementa da disciplina Básica....................................................... 106

Quadro 14 - Ementa da disciplina Cálculo I.................................................... 106

Quadro 15 - Extrato da grade curricular do Curso de Licenciatura em

Matemática.......................................................................................................

107

Quadro 16 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e

Integral I...........................................................................................................

109

Quadro 17 - Habilidades 19 à 23.................................................................... 176

Quadro 18 - Habilidades 10 a 14..................................................................... 178

Quadro 19 - Habilidades 24 a 26..................................................................... 181

Quadro 20 - Habilidade 15 à 18....................................................................... 183

Quadro 21 - Habilidades 19 à 23..................................................................... 185

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Efetivo Frequência e Porcentagem sobre etapas escolares de

atuação dos professores..................................................................................

219

Tabela 2 - Professores que trabalham a noção de função exponencial.......... 220

Tabela 3 - Escolha das definições dadas para introduzir função

exponencial......................................................................................................

222

Tabela 4 - Materiais utilizados nas aulas......................................................... 224

Tabela 5 - Materiais utilizados nas avaliações................................................. 225

Tabela 6 - Momentos do uso da calculadora................................................... 226

Tabela 7 - Quantidade de aulas....................................................................... 226

Tabela 8 - Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio................... 228

Tabela 9 - Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio e Superior

e Superior.........................................................................................................

229

Tabela 10 - Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo

professores do Ensino Médio...........................................................................

230


professores do Ensino Médio e Superior e Superior.......................................

231


professores do Ensino Médio e Superior e Superior.......................................

232

Tabela 13 - Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial

segundo professores do Ensino Médio............................................................

233

Tabela 14 - Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial

segundo professores do Ensino Médio e Superior e Superior.........................

233

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................. 16

2 ESTADO DA ARTE...................................................................................... 22

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS..................................................................... 26

2.2 AS PESQUISAS TEÓRICAS SOBRE A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO

E ENSINO SUPERIOR....................................................................................

26

2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES................................................................. 40

3 PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E METODOLOGIA................................... 41

3.1 TRAJETÓRIA E CONTEXTO DA PESQUISA........................................... 41

3.2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA......................................................... 42

3.3 OBJETIVOS DA PESQUISA...................................................................... 45

3.3.1 Objetivo geral........................................................................................ 45

3.4 METODOLOGIA DA PESQUISA............................................................... 48

4 REFERENCIALTEÓRICO DA PESQUISA.................................................. 52


4.2 ARTICULAÇÃO DE QUADROS EM FUNÇÃO DAS TÉCNICAS

UTILIZADAS.....................................................................................................

54

4.2.1 A noção de quadro................................................................................ 54

4.2.2 A noção de quadro e mudança de quadros em função da técnica

utilizada...........................................................................................................

55

4.3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO – TAD.............................. 60

4.4 OS TRÊS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS

ESTUDANTES

75

5 A EVOLUÇÃO DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS

ANALISADAS POR MEIO DOS DOCUMENTOS OFICIAIS DO ENSINO

MÉDIO E ENSINO SUPERIOR.......................................................................

80

5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................... 80

5.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO

FUNDAMENTAL..............................................................................................

82


MÉDIO..............................................................................................................

84

5.4 PROPOSTA DO ESTADO DE SÃO PAULO............................................. 89

5.5 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O

ESTUDO DA NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO

SUPERIOR.......................................................................................................

91

5.5.1 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de

licenciatura em matemática da Universidade de São Paulo – USP..........

92


licenciatura em matemática da Universidade Presbiteriana Mackenzie...

94


licenciatura em matemática da Universidade de Brasília – UNB..............

100


licenciatura em matemática da Universidade de Campinas –

UNICAMP.........................................................................................................

104


licenciatura em matemática do Centro Universitário Fundação Santo

André – FSA....................................................................................................

107

5.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES........................................................... 111

6 GRADE DE ANÁLISE.................................................................................. 113


6.2 A GRADE DE ANÁLISE............................................................................. 115

6.3 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE..................................... 116

6.4 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE..................................... 135

7 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES VIA

LIVROS DIDÁTICOS.......................................................................................

132


7.2 A OBRA DE LUIZ ROBERTO DANTE INTITULADA MATEMÁTICA

“CONTEXTO E APLICAÇÕES” (VOLUME 1)..................................................

137

7.3 A OBRA DE KÁTIA STOCCO SMOLE E MARIA INEZ DINIZ

INTITULADA MATEMÁTICA “ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)........................

148

7.4 A OBRA DE ELON LAGES LIMA, PAULO CEZAR PINTO CARVALHO,

EDUARDO WAGNER, AUGUSTO CÉSAR MORGADO INTITULADA

MATEMÁTICA “MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)...............

158

7.5 A OBRA DE JAMES STEWART INTITULADA “CÁLCULO” (VOLUME 1) 166


8 MACROAVALIAÇÕES E A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR 173


8.2 ENEM......................................................................................................... 174

8.2.1 ENEM 2009 – Função Exponencial...................................................... 175

8.2.2 ENEM 2010 - Função Exponencial....................................................... 178

8.2.3 ENEM 2011 - Função exponencial....................................................... 180

8.3 UNICAMP................................................................................................... 189

8.3.1 UNICAMP 2002................................................................................. 189

8.3.2 UNICAMP 2003...................................................................................... 189

8.3.3 UNICAMP 2004...................................................................................... 190

8.3.4 UNICAMP 2005...................................................................................... 193

8.3.5 UNICAMP 2006...................................................................................... 195

8.3.6 UNICAMP 2007...................................................................................... 199

8.3.7 UNICAMP 2008...................................................................................... 200

8.3.8 UNICAMP 2009...................................................................................... 200

8.3.9 UNICAMP 2010...................................................................................... 202

8.3.10 UNICAMP 2011.................................................................................... 206

8.4 ENADE....................................................................................................... 208

8.4.1 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do

ENADE – 2005.................................................................................................

209


ENADE – 2008.................................................................................................

209


ENADE – 2011.................................................................................................

211


9 ANÁLISE DAS PRÁTICAS INSTITUCIONAIS ASSOCIADAS À NOÇÃO

DE FUNÇÃO EXPONENCIAL VIA QUESTIONÁRIO DE INFORMAÇÕES...

217


9.2 RESULTADOS........................................................................................... 217


10 CONCLUSÃO............................................................................................. 235

REFERÊNCIAS............................................................................................... 243

ANEXOS.......................................................................................................... 257

16

1 INTRODUÇÃO

Sabemos que a deficiência do ensino em todos os níveis tem várias causas.

No entanto, nesta pesquisa, analisaremos apenas as deficiências relativas ao

trabalho com a matemática, tanto do ponto de vista do que é esperado do estudante

quanto do professor, quando se considera a passagem do Ensino Médio para o

Ensino Superior no que diz respeito à noção de função exponencial.

Observamos que, na passagem de uma etapa escolar para a outra, como, por

exemplo, Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II, Ensino Fundamental

II para o Ensino Médio, Ensino Médio para o Ensino Superior, tanto os professores

quanto os estudantes sempre tentam justificar as dificuldades encontradas em

função da abordagem dada nas etapas anteriores à determinadas noções que se

supõem mobilizáveis ou disponíveis na nova etapa da escolaridade.

Sabemos também que a questão das diferentes possibilidades de abordagem

de uma mesma noção não está necessariamente associada apenas à questão dos

conhecimentos mobilizáveis ou disponíveis, mas depende também de outros fatores

como, por exemplo, as escolhas culturais, as restrições dos diferentes sistemas

educativos e as expectativas em relação ao trabalho dos estudantes, que são

diferentes entre uma etapa escolar e a outra. Nas diferentes etapas escolares,

podemos trabalhar uma mesma noção de forma diferente, mas, para tal, é preciso

encontrar os meios adequados que possam ajudar os estudantes a compreender as

formas de pensamento próprias do Ensino Médio e as encontradas no Ensino

Superior.

Artigue (2001) mostra a importância de se tratar a matemática em suas

múltiplas faces no nível universitário, variando em função do desempenho que se

deseja que os estudantes tenham com a matemática, ou seja, a matemática formal

ou a matemática que serve de ferramenta para um determinado setor de atividade.

Essa necessidade do Ensino Superior coloca em evidência a diferença entre

a matemática desenvolvida no Ensino Médio e aquela a ser trabalhada no Ensino

Superior que exige que os estudantes, qualquer que seja sua bagagem inicial,

devam aprender a matemática relativamente sofisticada. Isso nos mostra a

importância de estudar e questionar sobre os possíveis processos de aprendizagem

entre essas duas etapas da escolaridade. Isto também pode nos ajudar a

17

compreender melhor esses mesmos processos para as etapas mais elementares,

uma vez que os conhecimentos desenvolvidos nas etapas anteriores servem de

ferramentas para a introdução de novos conhecimentos.

O questionamento sobre a questão da transição entre as diferentes etapas

escolares, em particular, entre o Ensino Médio e o Ensino Superior, conduziu-nos à

identificação da existência de trabalhos sobre esse tema. Verificamos que existem

poucas pesquisas nesse sentido e que, tanto no Ensino Médio quanto no Ensino

Superior, os estudantes têm grandes dificuldades, pois, muitas vezes, não mobilizam

e/ou não dispõem dos conhecimentos prévios necessários para o seu

desenvolvimento escolar e profissional e os professores têm, em geral, poucos

recursos para auxiliar os discentes.

Normalmente, essas dificuldades estão associadas a não mobilização dos

conhecimentos matemáticos apropriados anteriormente. Isto conduz a uma situação

de desinteresse por parte dos estudantes, difícil de ser ultrapassada, uma vez que a

falta de conhecimentos mobilizáveis tende a aumentar no decorrer das diferentes

etapas da escolaridade, tornando cada vez mais difícil a identificação de recursos

para auxiliar no processo de estudo e ajuda ao estudo, dificultando, assim, a

aprendizagem.

Essa situação se reflete na qualidade de ensino da matemática em todas as

etapas escolares, mais especificamente, no Ensino Médio e Ensino Superior. Dessa

forma, neste trabalho, propomo-nos a estudar a transição entre o Ensino Médio e

Ensino Superior, escolhendo a noção matemática de função exponencial como

objeto matemático central para o presente estudo. A escolha dessa noção

matemática está associada a sua importância tanto no desenvolvimento da própria

matemática como para as aplicações em outras ciências.

Além disso, consideramos que, ao se elaborar um planejamento ou um plano

de ensino, devemos ter claras as questões referentes à organização dos conteúdos

com os quais desejamos trabalhar, assim como a escolha de uma bibliografia

adequada. Dessa forma, o estudo da transição entre o Ensino Médio e o Ensino

Superior, quando se considera a noção de função exponencial, poderá auxiliar a

fazer uma seleção das noções associadas a esse conteúdo e a escolher quais

devem ser aprofundadas e/ou direcionadas para as necessidades de interesse da

escola, da comunidade ou de um determinado curso. Após a superação deste

momento, há ainda a dificuldade de desenvolvê-lo em sala de aula.

18

Para melhor compreender como os possíveis processos de ensino e

aprendizagem podem funcionar nas diferentes etapas da escolaridade e que tipos

de articulações entre as noções associadas aos conceitos de função exponencial

são possíveis de serem levadas em conta pelo ensino, estudamos nesta pesquisa

as expectativas institucionais relacionadas à transição entre o Ensino Médio e

Ensino Superior. Tal escolha está baseada no fato de que o conceito de função

exponencial aparece nos três últimos anos da escola básica e é de considerável

importância para o curso de Matemática e de outras ciências no Ensino Superior.

Em geral, a noção de função exponencial é introduzida no Ensino Médio e

sua utilização como ferramenta na matemática e na solução de aplicações das

outras ciências é trabalhada no Ensino Superior. Neste momento, supõe-se que os

estudantes já tenham certa familiaridade com a manipulação das diferentes

representações da função exponencial e da aplicação de suas propriedades para

que possam utilizá-las em situações de diferentes contextos.

Dessa forma, vale ressaltar a importância da noção de função exponencial

tanto para os futuros matemáticos como para aqueles que utilizam a matemática

como ferramenta para desenvolver suas atividades. Fazemos tal afirmação porque

essa função permite integrar matemática, física, química, biologia e outras ciências,

ou seja, trata-se de uma função importante quando se deseja trabalhar a

interdisciplinaridade.

Ademais, em geral, os professores tanto do Ensino Médio como do Ensino

Superior relatam a dificuldade de encontrar meios que conduzam os estudantes a

aplicarem de forma eficaz seus conhecimentos prévios sobre as propriedades de

potência e operações com números racionais.

Esses mesmos professores, em geral, possuem poucas alternativas de

trabalho, pois não refletiram sobre a questão da transição entre uma etapa escolar e

a outra e não compreendem porque os estudantes não são capazes de resolver

determinadas tarefas se já se encontram em uma determinada etapa escolar. Logo,

os docentes tendem a pensar que os alunos já deveriam dominar determinadas

noções, não apresentando dificuldades em mobilizá-las quando necessário.

Considerando as justificativas mencionadas para a nossa escolha de estudar

a transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior no que diz respeito à noção de

função exponencial, passamos à identificação dos estudos e das análises em seus

respectivos capítulos.

19

No segundo capítulo, apresentamos um estudo de alguns trabalhos

relacionados à transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. Em particular,

mostramos pesquisas que analisam as práticas e as propostas de trabalho com o

objeto matemático função nessas etapas escolares, foco da presente investigação.

No capítulo 3, descrevemos a problemática, os objetivos e a metodologia da

pesquisa anunciadas após delinear minha trajetória, meus questionamentos o

contexto em que a pesquisa está inserida.

No capítulo 4, apresentamos o referencial teórico central da pesquisa, ou

seja, a abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD, em particular, as

noções de relações institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não

ostensivos e os níveis de co-determinação, conforme definição de Chevallard (1992,

1994, 1998, 2002, 2002a, 2007, 2007a) e Bosch e Chevallard (1999). Ainda nesse

capítulo, fazemos uma breve descrição da abordagem teórica em termos dos três

níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de Robert

(1997, 1998), assim como da noção de quadro e mudança de quadros de Douady

(1984, 1992).

No capítulo 5, expomos as considerações feitas nos documentos oficiais para

melhor compreender, por meio do olhar sobre as novas propostas institucionais, as

mudanças necessárias para implementar esses novos contextos institucional e

cultural, isto é, o que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96, os

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCN, 1997), os

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM, 2000), o Plano

Nacional de Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Base, 2001), o

Ensino Médio Orientações Educacionais (PCN +), as Orientações Curriculares para

o Ensino Médio (2006) e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008). Por

meio da noção de níveis de co-determinação, analisamos as necessidades de novas

orientações para auxiliar os professores a introduzir a noção de função exponencial

no Ensino Médio brasileiro, observando, em função dos níveis de co-determinação,

se houve evolução nessas novas propostas.

No capítulo 6, estudamos, primeiramente, as diferentes tarefas usualmente

encontradas nos livros didáticos de matemática, destinados aos primeiros anos do

Ensino Médio e Ensino Superior para a introdução e aplicação da noção de função

exponencial. Em seguida, construimos uma grade de análise com o propósito de

servir de instrumento que permite analisar, sem exaustividade, a articulação de

20

quadros em função dos ostensivos a serem manipulados e dos não ostensivos a

serem evocados e os níveis de conhecimento necessários para a introdução e

aplicação dos conhecimentos sobre a noção de função exponencial e suas

propriedades tanto no Ensino como no Ensino Superior.

No capítulo 7, analisamos a relação institucional esperada para o estudo da

noção exponencial tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior. Essas análises

foram desenvolvidas em quatro livros didáticos escolhidos para essa pesquisa, dos

quais um é destinado aos estudantes dos cursos de introdução ao Cálculo

Diferencial e Integral, um destinado a professores de Matemática do Ensino Médio e

para estudantes de licenciatura em Matemática e os outros dois são dedicados aos

estudantes do Ensino Médio.

Buscamos, no capítulo 8, analisar as relações pessoais esperadas sobre o

ensino e a aprendizagem da noção de função exponencial, tanto no Ensino Médio

como no Ensino Superior, considerando as macroavaliações institucionais.

Escolhemos três macroavaliações institucionais duas que representam as

expectativas institucionais para o final do Ensino Médio, isto é, o Exame Nacional do

Ensino Médio – ENEM (2009, 2010, 2011), o vestibular da Universidade de

Campinas – UNICAMP (2002 à 2011) e o Exame Nacional de Desempenho dos

Estudantes – ENADE para o Ensino Superior. As tarefas analisadas são aquelas

que tratam especificamente da noção de função exponencial ou dos conhecimentos

a ela associados.

Após as análises das relações institucionais e pessoais por meio de

documentos oficiais e das avaliações institucionais, apresentamos, no capítulo 9, um

questionário cujo objetivo era identificar as escolhas dos professores, que

participassem da pesquisa, em relação ao trabalho realizado com a noção de função

exponencial e suas propriedades, assim como das expectativas dos mesmos em

relação aos conhecimentos prévios disponíveis de seus estudantes seja no final do

Ensino Médio ou no início do Ensino Superior. No entanto, os resultados

encontrados não nos permitiram avançar na discussão, apenas apontar novas

questões que poderão servir para futuras pesquisas.

Finalmente, na conclusão, retomamos as questões iniciais, uma vez que as

que apareceram no decorrer desta pesquisa foram discutidas nos respectivos

capítulos. Em razão das análises efetuadas, apresentamos reflexões e indícios para

o desenvolvimento da noção de função exponencial e suas propriedades de forma a

21

atingir as expectativas institucionais apresentadas nos diferentes documentos

considerados para esta pesquisa.

22

2 ESTADO DA ARTE

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Esta pesquisa tem por objetivo estudar a noção de função exponencial na

transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes

processos de estudo e de ajuda ao estudo1 que sobrevivem e se reconstroem2

atualmente nas etapas escolares mencionadas. Com este estudo, pretende-se

oferecer material que auxilie os professores em suas reflexões quanto aos

conhecimentos prévios de seus estudantes, o que lhes permitirá realizar escolhas

mais conscientes e, assim, conduzir o processo de maneira satisfatória. Busca-se

ainda possibilitar aos estudantes que mobilizem seus conhecimentos prévios para

que possam utilizá-los quando necessário, a fim de que sirvam como ferramentas

explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções.

O que nos conduziu à escolha da noção de função exponencial como domínio

de estudo e ao interesse especial pelas possibilidades oferecidas por essa noção

matemática para tratar as questões de articulação entre os diferentes sistemas de

representação simbólica desse objeto matemático nas diferentes áreas em que ela

pode ser aplicada.

Sendo assim, neste primeiro capítulo, apresentaremos um estudo de alguns

trabalhos relacionados à transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. Em

particular, mostraremos pesquisas que analisam as práticas e as propostas de

trabalho com o objeto matemático função nessas etapas escolares foco da presente

investigação.

1 Na perspectiva da “Teoria Antropológica do Didático”, segundo Chevallard (2002, 2002a), o

processo de estudo e ajuda ao estudo corresponde, de uma maneira geral, ao “topos” dos estudantes, ou seja, ao conjunto de gestos destes, que os conduz à autonomia didática. Tais gestos variam conforme o tipo de dispositivo de estudo (aula expositiva, seminário, palestra, etc.) e o objeto de estudo que, por sua vez, são propostos pelo professor. A compreensão do objeto estudado corresponde ao moderno critério de aprendizagem cujo efeito deixa em aberto a questão da responsabilidade de quem ajuda a estudar e do que é estudado. 2 A Teoria Antropológica do Didático, segundo Chevallard (2002, 2002a), considera a noção de

ecologia dos saberes, ou seja, a pesquisa da vida dos mesmos nas instituições, pois esses dependem de adaptações às restrições que, muitas vezes, estão associadas à economia de saberes. No capítulo 3, apresentaremos algumas referências sobre a noção de ecologia.

23

Por meio de uma revisão da literatura, foi possível identificar trabalhos que

tratam mais especificamente da noção de função e outros, cujo objeto de estudo é a

geometria analítica, a álgebra linear, as matrizes e os sistemas lineares.

Encontramos, ainda, pesquisas mais teóricas sobre a transição, como a de Gueudet

(2008).

Na sequência, primeiro, demonstraremos as pesquisas teóricas seguidas dos

trabalhos sobre geometria analítica, álgebra linear, matrizes e sistemas lineares. Por

fim, traremos considerações a respeito da existência de poucas pesquisas que

tratam especificamente do objeto matemático função, sobretudo, da noção de

função exponencial.

2.2 AS PESQUISAS TEÓRICAS SOBRE A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E

ENSINO SUPERIOR

O estudo sobre a transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior tem sido

uma preocupação constante de diversos pesquisadores em didática da matemática.

A seguir, apresentaremos alguns trabalhos teóricos associados a essa problemática

para localizar nossa proposta em relação às pesquisas existentes.

Consideramos, inicialmente, o trabalho de Artigue (2004) que aborda a

questão do desafio imposto pelas questões associadas à transição entre o Ensino

Médio e o Ensino Superior. No estudo citado, a autora identifica os seguintes

desafios como sendo os enfrentados quanto ao ensino da matemática na transição

do Ensino Médio ao Ensino Superior: a massificação do ensino, que segundo a

autora já vem sendo considerada tanto no ensino como pelas pesquisas sobre o

mesmo para o Ensino Médio, mas que apresenta ainda grandes dificuldades, já em

relação ao Ensino Superior esse desafio ainda não é levado em conta; a introdução

das mudanças tecnológicas que precisam ser adaptadas ao trabalho com a

matemática; o desgaste da imagem da ciência que atrai cada vez menos estudantes

e o fato da educação, apesar de ter um valor fundamental, levar à uma concepção

que a torna uma mercadoria, submetendo, assim, os sistemas educativos às regras

de mercado.

24

Artigue (2004) salienta também que os desafios ultrapassam o tratamento

matemático e didático, mas ela afirma só ter condições de tratar algumas questões

sob esta ótica. Após observar que a Matemática é apresentada como um edifício

bem estruturado que possibilita um desenvolvimento e uma expansão constante, a

autora considera esta imagem como parcial, pois a Matemática pode ser vista

também como uma cultura.

Seguindo essa reflexão, a escritora cita o trabalho de Hall (1998 apud

ARTIGUE 2004) que pondera sobre a existência de três níveis na cultura

matemática, a saber:

- o nível formal que corresponde às crenças sobre o que é a matemática, quais são

suas ferramentas e os métodos que a legitimam;

- o nível informal que está associado aos esquemas de ação e de pensamento, às

formas não explícitas de desenvolver, de pensar e raciocinar em matemática que

estão associadas à experiência e à prática;

- o nível técnico que corresponde às técnicas institucionalizadas e às teorias, isto é,

à parte explícita do conhecimento matemático.

Na sequência, Artigue (2004) avalia que as fontes que permitem compreender

como funcionam essas culturas são os programas, os textos oficiais e livros

didáticos. Além destes, há ainda as ferramentas de avaliação e as observações

diretas de estudantes e do funcionamento das diferentes classes. Isso lhe permite

considerar a cultura dominante no Ensino Médio (lycée) como sendo a francesa e

identificar os problemas encontrados quando se leva em conta a realidade das

classes.

Artigue (2004) observa que existem restrições relativas aos momentos e à

introdução dos conceitos que fazem com que os estudantes tenham diferentes

meios para que possam experimentar e conjecturar em função das situações que

lhes são propostas e das especificidades de seus cursos. Existe ainda uma

diversidade de dispositivos de ensino que tornam mais difícil a estruturação dos

saberes, aliados com a peculiaridade de diferentes professores para cada

dispositivo. A autora salienta a dificuldade enfrentada pelos professores, em função

de sua formação universitária e da necessidade de conduzir um ensino

pluridisciplinar.

Isso conduz Artigue (2004) a ponderar que, para os estudantes, a cultura se

caracteriza pelo encontro de diversos domínios e problemas de forma superficial, o

25

que não permite que os discentes operacionalizem, estabilizem e estruturem seus

conhecimentos. Ela observa ainda quais práticas pedagógicas que contribuem para

fortalecer essas dificuldades.

A partir dessas reflexões, Gueudet (2008), ao propor sua habilitação3 para

orientar pesquisas, faz uma síntese de pesquisas em didática da matemática sobre

a transição entre Ensino Médio e Ensino Superior, estudando especialmente aquelas

associadas à entrada na universidade. Gueudet (2008) restringe-se à identificação

de trabalhos associados ao domínio da álgebra linear nos primeiros anos do Ensino

Superior e às pesquisas relativas ao emprego de fontes “on line”4 para o ensino e a

aprendizagem de matemática em todos os níveis escolares.

Gueudet (2008) inicia o primeiro capítulo de sua habilitação, esclarecendo

que as pesquisas em didática da matemática conduzem a considerar vários quadros

teóricos e a escolher modos de coleta e análise de dados que geram um

determinado olhar do pesquisador sobre seu objeto de pesquisa. A autora indica

seu artigo “Investigating the secondary-tertiary transition” de 2008a, em que discute

a transição Ensino Médio e Superior por meio da perspectiva descrita acima, isto é,

dos diferentes olhares e das diversas perspectivas que se pode utilizar como filtro

para compreender as dificuldades encontradas pelos estudantes nas diferentes

etapas escolares.

Segundo Gueudet (2008a), conforme o olhar eleito no início da pesquisa, é

que iremos diagnosticar as dificuldades e interpretá-las, no intuito de obter diferentes

visões da transição e, consequentemente, chegar à proposta de ações didáticas

distintas.

Isso conduz Gueudet (2008a) a considerar quatro formas diferentes de olhar a

questão da transição entre o Ensino Médio e Superior, as quais detalharemos na

sequência:

- olhar sobre o modo de pensar, que corresponde aos saberes

intrinsecamente mais complexos os quais necessitam de novos modos de pensar.

Em relação a esse olhar, a autora cita o trabalho de Gray et al. (1999 apud

GUEUDET, 2008a) que parte de um conjunto de propriedades que serão utilizadas

3 Habilitação corresponde a um trabalho de pesquisa, orientado por um pesquisador habilitado e

apresentado para um júri, que qualifica o doutor para se tornar orientador. Trata-se de uma complementação da pesquisa que é realizada pelo candidato após o doutorado. 4 Fontes “on line”: curso gratuito para estudantes da escola elementar, do Ensino Fundamental e do

Ensino Médio. Exemplo: Académie en ligne: <http://www.academie-en-ligne.fr/default.aspx>.

http://www.academie-en-ligne.fr/default.aspx

26

para construir um objeto e deduzir outras propriedades desse objeto, necessitando,

assim, de um pensamento matemático avançado. Segundo Gueudet (2008a), os

estudantes, em geral, não têm uma representação clara de determinada noção,

quando não são capazes de fornecer exemplos e dar contra exemplos.

Ainda nesse artigo, a autora traz como exemplo a noção de função de uma

variável real a valores reais, salientando que os estudantes têm dificuldades de ver

essa função como uma ação que transforma um número em outro, em seguida,

como um processo e finalmente como um objeto sobre o qual podemos agir. Em

outras palavras, os discentes não conseguem fazer somas, compor e considerá-las

como um conjunto que satisfaz determinadas propriedades.

Para o olhar “modo de pensar”, a autora identifica o trabalho de Dubinsky

(1991) que considera os diferentes estágios na percepção de um conceito pelos

estudantes. Isso conduz o autor a propor um ensino cuja percepção de um conceito

segue os estágios de ação, processo e objeto, os quais são sucessões de

momentos de transição como podemos verificar na figura 1.

Figura 1 - Estágios de ação, processo, objeto. Fonte: Dias, p. 18

Para construir sua teoria e aplicá-la a conceitos matemáticos específicos,

Dubinsky (1991) se apoia sobre os conhecimentos dos matemáticos e as

observações do trabalho realizado pelos estudantes. O autor propõe-se a determinar

para alguns conceitos matemáticos um modo de descrição que evidencie os

processos de abstração refletida conforme definição encontrada na teoria de Piaget.

Interiorização

Generalização

Encapsulação

Ação

OBJETO

PROCESSO

Coordenação Inversão

27

Isso conduz Dubinsky (1991) a desenvolver o que ele denomina decomposição

genética do conceito, considerando que ela possibilita a construção de estratégias

de aprendizagem.

Observamos que a análise dos exemplos de abstração refletida

desenvolvidos por Piaget conduziram Dubinsky (1991) a isolar cinco tipos de

métodos de construção dos conhecimentos. Isto foi realizado através da abstração

refletida no pensamento matemático avançado, a saber:

A interiorização que corresponde à tradução de uma sucessão de ações

materiais em um sistema de operações interiorizadas. É a interiorização que criará o

processo.

A coordenação geral das ações que corresponde à composição de

coordenações de dois ou mais processos para a construção de um novo processo.

A encapsulação ou a conversão de um processo dinâmico em um objeto

estático.

A generalização expansional que corresponde à aplicação de um esquema

existente a uma coleção de fenômenos mais amplos.

A inversão que corresponde à construção de um novo processo pela inversão

do processo original.

Dubinsky (1991) utiliza os cinco métodos acima, que visualizamos no

esquema apresentado, para descrever como os novos objetos, processos e

esquemas podem ser construídos.

Seguindo com a explanação sobre os diferentes olhares, temos:

- olhar sobre a organização dos conhecimentos: corresponde à nova

organização em rede dos conhecimentos. Aqui, Gueudet (2008a) considera como

um exemplo sobre esse olhar o trabalho de Rey et al. (2003 apud GUEUDET,

2008a). Este coloca em evidência a necessidade de fazer alusão às novas práticas

de referência, isto é, ao trabalho dos matemáticos de profissão e às novas

necessidades em relação ao que se espera que possa ser desenvolvido pelos

estudantes.

Quanto às novas práticas de referência, podemos citar a pesquisa de Robert

(1997, 1998) que apresenta os seguintes exemplos para o trabalho esperado dos

estudantes: em relação às demonstrações em matemáticas, ela observa que, no

28

Ensino Superior, essas se tornam mais longas e podem levar em conta dois tipos de

raciocínios análogos, para uma mesma demonstração, existem vários argumentos

mais ou menos interligados que podem dificultar a identificação de seu papel na

mesma.

Robert (1997, 1998) ressalta ainda que o implícito do verdadeiro ou falso

corresponde a uma dificuldade incontornável e os quantificadores podem tornar-se

indispensáveis; mas não é fácil saber anteriormente se é o caso de utilizá-los. Ela

salienta que não podemos demonstrar tudo, uma vez que é preciso considerar o

nível de conceituação que nos encontramos, pois cada nível pode ser visto como

uma prateleira em um campo conceitual de conhecimentos matemáticos, que

corresponde a uma organização coerente de uma parte desse campo. Esta é

caracterizada pelo objeto matemático apresentado de uma determinada forma pelos

teoremas sobre esses objetos e pelos métodos a eles associados que possibilitam a

solução de problemas e situações que os estudantes encontram em diferentes

momentos do processo de ensino e aprendizagem.

Dessa forma, dependendo do nível de conceituação, podemos ser conduzidos

a mudar o que deve ser justificado, a considerar as diferenças de tempo de trabalho

dos estudantes, a escolher uma ou mais aplicações para um mesmo teorema e a

considerar certa disponibilidade dos conhecimentos esperada dos estudantes, a qual

deve ser explicitada pelos professores.

Robert (1997, 1998) explicita ainda que, entre as práticas dos especialistas,

isto é, dos matemáticos de profissão, as que podem ser consideradas como

necessárias para o desenvolvimento dos estudantes são: o caráter disponível de um

grande número de conhecimentos, de sua organização e da relação entre eles. O

especialista dispõe notadamente de vários tipos de questionamentos, pois, para ele,

existem sistemáticas, mesmo que implícitas como, por exemplo, as questões de

estrutura, homogeneidade, coerência, integração sobre o caráter local ou global,

finito ou infinito, questões de existência, unicidade, exaustividade, a diferença, entre

outras.

Robert (1997,1998) observa ainda que os especialistas recorrem a situações

de referência que lhes são suficientemente familiares, possibilitando observar as

anomalias, testar hipóteses e conjecturar. Além disso, a autora ressalta que a escrita

em matemática é uma atividade importante do trabalho do matemático, pois gera

uma dinâmica de questionamentos mais precisos imposta pelas exigências de rigor.

29

Em função das práticas dos especialistas, Robert (1997, 1998) faz algumas

considerações sobre as atividades esperadas dos estudantes na transição entre o

Ensino Médio e o Ensino Superior, a saber: a atividade de escrever torna-se

primordial e conduz a exigências suplementares da parte dos professores; e o

trabalho pessoal exige do estudante um tempo considerável para o trabalho em casa

e para as demonstrações em matemática que variam de acordo com os diferentes

cursos.

As práticas dos especialistas apresentadas por Robert (1997,1998) e as

atividades esperadas dos estudantes na transição entre o Ensino Médio e o Ensino

Superior permitem considerar a observação abaixo, feita por Gueudet (2008a), que

ressalta as dificuldades encontradas pelos estudantes para iniciar, controlar e validar

seu raciocínio quando enfrentam um novo problema ou uma nova situação.

Como exemplo, a autora cita a pesquisa de Battie (2003 apud ROBERT,

1997) que ao propor a tarefa aos estudantes: “demonstrar que raiz de 2 não é

racional”, observa que para os mesmos faltam automatismos, iniciativas e eles têm

ainda dificuldade em raciocinar por absurdo. Segundo Gueudet (2008a), o que falta

para os estudantes em relação ao raciocínio aritmético são as dimensões

organizadoras e operatórias e os meios de controle dos resultados encontrados. Ela

observa ainda que, nesse caso, o processo de transição seja longo, pois necessita

que se construa uma rede de situações de referência, e que se adquira experiência

matemática, como foi possível identificar na proposta de Robert (1997, 1998) sobre

as práticas a serem desenvolvidas pelos estudantes.

Gueudet (2008a) propõe como ação didática para auxiliar os estudantes fazer

com que esses últimos encontrem situações variadas que lhes sirvam de referência

e que lhes permitam adquirir os meios de controle necessários. É preciso ainda

considerar problemas que exigem autonomia dos estudantes, mas é também

necessário respeitar o tempo de pesquisa indispensável para a realização do

trabalho proposto.

- olhar sobre a linguagem e os modos de comunicação: corresponde a

empregar uma linguagem matemática diferente, que exige novos símbolos e um

novo tipo de discurso. Ademais, significa utilizar novas regras de comunicação, isto

é, as demonstrações e as exigências de rigor são necessárias.

Gueudet (2008a) após observar que, em geral, os estudantes não empregam

corretamente essa nova linguagem e não respeitam as novas regras de

30

comunicação, escolhe o exemplo abaixo, que permite visualizar essa dificuldade,

retirado de Nardi e Lannone (2005 apud GUEUDET, 2008a), no qual as autoras

observam que: ao responder a questão “Seja x IR tal que x 0 e n IN, x < 1/n.

Qual o valor de x?”, os estudantes consideram que x = 0, o que corresponde a uma

resposta que “soa matemática”.

Gueudet (2008a) considera ainda o trabalho de Berger (2004 apud

GUEUDET, 2008a) que observa que os estudantes aprendem um novo símbolo

como uma nova palavra e que testam por analogia até utilizá-lo conforme a

expectativa da instituição. Assim, a escrita se torna progressivamente mais produtiva

a partir da entrada no Ensino Superior.

A autora refere-se ainda ao trabalho de Durand-Guerrier e Arsac (2003 apud

GUEUDET, 2008a) o qual mostra que os estudantes não utilizam as regras da lógica

para explicitar o trabalho realizado nas demonstrações. Então, quando essas são

falsas, o professor é capaz de localizá-las por meio dos conhecimentos matemáticos

e não pela lógica.

Em relação ao trabalho de Dreyfus (1999 apud GUEUDET, 2008a), a autora

retira as seguintes argumentações: não existe um ensino explícito do que é um

argumento matemático válido. Existem variações de rigor nos livros didáticos e não

existem critérios de validade para uma produção escrita dos estudantes que sejam

os mesmos para todos os professores.

O levantamento dessas pesquisas conduz Gueudet (2008a) a considerar que

a transição em relação ao modo de comunicação corresponde à chegada a um novo

país, portanto, ao encontro de uma nova língua e de novas leis e regras. Para tal, a

ação didática proposta pela autora seria ensinar essa nova língua e essas novas leis

e regras de forma explícita, o que, muitas vezes, exige uma adaptação do conteúdo

de ensino.

Finalmente, Gueudet (2008a) considera como modo de analisar a transição

aquele para o qual o olhar é centrado na instituição, observando que a matemática

praticada no Ensino Médio é diferente daquela que será trabalhada no Ensino

Superior. Isto deve ocorrer, ultrapassando a simples consideração dos conteúdos

em jogo, uma vez que o mesmo conteúdo será tratado de forma diferente, a mesma

tarefa será efetuada com outra técnica e as técnicas ensinadas são explicadas de

outra forma.

31

Se nos referimos às organizações praxeológicas de Chevallard (2002, 2002a),

o bloco prático (tipos de tarefas e técnicas) será explicitado, justificado e controlado

por meio de um novo bloco teórico (tecnologia e teoria). Gueudet (2008a) indica que

o estudo da transição sob esse novo modo de observá-la, em geral, conduz a

identificar dificuldades de emprego de novas técnicas pelos estudantes que utilizam

aquelas desenvolvidas no Ensino Médio e que não são suficientes para responder

as tarefas propostas no Ensino Superior.

Para melhor explicitar essas dificuldades encontradas pelos estudantes

Gueudet (2008a) refere-se ao trabalho de Bosch et al.(2004 apud GUEUDET,

2008a), uma vez que este observa que, nas instituições de Ensino Médio

espanholas, em geral, cada tipo de tarefa corresponde à uma técnica, existindo

poucas atividades de modelagem ou interpretação. Os diferentes tipos de tarefas

não são articulados entre eles e quase não se propõem tarefas abertas.

Ao considerar a transição, Boch et al.(2004) ressaltam que não é previsto um

retorno aos tipos de tarefas encontradas no Ensino Médio, o que corresponde a uma

expectativa institucional afastada do trabalho que já foi realizado anteriormente.

Gueudet (2008a) discute ainda o trabalho de Castela (2004 apud GUEUDET,

2008a), cujo olhar sobre duas diferentes formas de ensino encontradas na França,

que correspondem a expectativas institucionais diferentes, mostra que os estudantes

que seguem seus cursos universitários são confrontados a exames frequentes, os

quais são preparados pelos próprios professores para um conjunto limitado de

conteúdo e, em geral, com exercícios próximos aos trabalhados em aula e que

exigem a aplicação das técnicas desenvolvidas no curso. Segundo Castela (2004

apud GUEUDET, 2008a), as expectativas em relação ao trabalho dos estudantes é

que eles reproduzam as técnicas sobre exercícios já vistos.

Castela (2004) observa que os estudantes seguem durante dois anos o curso

de forma a passar no concurso final ao término desses estudos. Essa nova

abordagem favorece o trabalho sobre novos problemas. Portanto, cabe aos

estudantes tomar as iniciativas necessárias, aqueles que devem levá-los ao trabalho

autônomo em relação a qualquer tipo de tarefa que se possa exigir ao final de dois

anos de estudo após o Ensino Médio (lycée).

Observamos aqui que nossa pesquisa se insere nesse último modo de olhar a

transição. Em outras palavras, mostramos que as análises apresentadas têm por

centro as diferentes expectativas institucionais, onde se considera as mudanças de

32

culturas entre o Ensino Médio e o Ensino Superior e, mais especificamente, os

conhecimentos prévios sobre a noção de função exponencial que podem ser

considerados como mobiliáveis e disponíveis pelos estudantes que iniciam o Ensino

Superior.

Na sequência, consideraremos uma breve discussão de outros trabalhos que

vêm sendo publicados em congressos e revistas internacionais nesses últimos anos,

em particular, aqueles que tratam a questão da transição para as disciplinas de

álgebra linear e análise matemática.

Em relação às pesquisas em álgebra linear ou geometria analítica,

destacamos os trabalhos de Dorier (1993a), que apresenta um estudo

epistemológico da emergência do conceito de posto no estudo dos sistemas de

equações lineares. Observamos ainda que Dorier (1990) apresenta em sua tese de

doutorado um estudo epistemológico e didático sobre o ensino da álgebra linear nos

primeiros anos da universidade e estudos posteriores levam o autor a concluir, em

seu artigo Dorier (2002), que, em educação matemática, não se pode dar uma

solução milagrosa para vencer todas as dificuldades em aprender e ensinar álgebra

linear. Vários trabalhos diagnosticaram as dificuldades dos alunos, análises

epistemológicas e experimentais, propondo ensinos que oferecem apenas uma

remediação local. No entanto, esses trabalhos conduziram a novas dúvidas, novos

problemas e a dificuldades que não devem ser interpretadas como uma falha.

Dorier (2002) ressalta que para melhorar o ensino e a aprendizagem da

matemática não se pode recorrer apenas a uma remediação válida para todos os

processos cognitivos e matemáticos, pois estes são muito mais complexos que tal

visão idealista/simplista. Segundo o autor, é necessário um conhecimento mais

profundo da natureza dos conceitos e das dificuldades cognitivas que eles provocam

para que se possa auxiliar os professores a tornar o ensino mais rico, sem recorrer

às formas rígidas e dogmáticas, mas sim à flexibilidade.

O estudo de Dorier (2002) lhe permitiu concluir que, em vários países,

investigações em educação matemática têm influenciado reformas curriculares como

é o caso do Linear Algebra Curriculum Study Group na América do Norte.

Encontramos ainda no caderno destinado a um ensino diferenciado da

matemática para os primeiros anos da universidade na França, os trabalhos de:

- Rogalski (1990) que discute as mudanças em termos de novo tipo de estudante e

diferentes objetivos para o ensino. O autor observa a existência de mudanças

33

sociais constantes que conduzem a um Ensino Médio científico mais democrático,

aumentando o número de estudantes que têm acesso a este, mas, ao mesmo

tempo, alguns discentes surgem menos preparados, o que conduz a um

empobrecimento dos conteúdos matemáticos, pois a sociedade espera que o estudo

deva preparar para um trabalho específico. Assim, os aspectos culturais ou gerais

do ensino parecem cada vez mais um valor por si mesmo que não auxilia os

estudantes em suas expectativas futuras.

Esse quadro conduz Rogalski (1990) a apontar uma necessidade de

transformação do Ensino Superior que leve em conta as dificuldades observadas

pelos professores, quais sejam: preferência por copiar ao invés de compreender,

falta de interesse pelos comentários epistemológicos ou históricos, os estudantes

geralmente aceitam o que é proposto sem questionamentos próprios, não se

interessam por obras matemáticas, procuram receitas para as avaliações no lugar

de compreender a profundidade dos diferentes conceitos, possuem conhecimentos

compartimentados em pequenas fatias que não possibilitam que se operem as

relações entre eles, não pensam jamais nos erros ou contradições como fontes de

questões que conduzam a uma melhor compreensão. Segundo Rogalski (1990), os

estudantes possuem uma epistemologia escolar no lugar de uma epistemologia

científica.

As constatações acima levam Rogalski (1990) a considerar os elementos que

seguem como aqueles que podem ser utilizados pelos professores para auxiliar os

estudantes a compreender a matemática que se pretende desenvolver no Ensino

Superior: problematizar o ensino, isto é, responder questões que são colocadas

pelos próprios estudantes; alterar a forma de trabalho dos estudantes; ensinar

conhecimentos que conduzam ao sentido ao invés de aplicar receitas; considerar

novos meios de cálculos para dar acesso a novas maneiras de trabalhar alguns

conceitos e para diminuir o peso das tarefas repetitivas; construir e implementar

cenários de ensino e de atividades que façam com que os estudantes trabalhem

esses novos objetivos.

Já em 1990, encontramos, no trabalho de Rogalski (1990), reflexões sobre a

transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior que podem auxiliar professores e

estudantes a modificar as condições dos estudantes que iniciavam o Ensino

Superior.

34

- Uma proposta de ensino de métodos em matemática inspirada em trabalhos

de Robert, Rogalski, Samurcay (1990 apud ROBERT,1990), Robert e Tenaud (1989

apud ROBERT,1990), Rogalski (1989 apud ROBERT,1990), Rogalski (1990) apud

ROBERT,1990) em que é considerada a questão da resolução de problemas

trabalhados por Polya (1965 apud ROBERT, 1990), Larson (1983 apud ROBERT,

1990) e Schoenfeld (1988 apud ROBERT, 1990).

No artigo “Enseigner des méthodes en mathématiques”, Robert (1990)

esclarece que “método ou conjunto de métodos” sobre um campo dado é a

descrição de um conjunto de atividades do tópico. Estas são identificadas por meio

da análise e classificação dos problemas que se pode resolver em um quadro bem

preciso, utilizando as ferramentas e técnicas disponíveis, as estratégias e táticas

possíveis, a gestão do tempo para a escolha das estratégias e seus

desenvolvimentos, a consciência dessas escolhas, os meios de controle e o retorno,

quando necessário, para novas escolhas.

Na sequência, a autora apresenta um plano com algumas etapas, na tentativa

de instruir como elaborar e ensinar um método. Para isso, ela considera as

experiências de Robert e Tenaud (1989 apud ROBERT,1990) e Schoenfeld (1980

apud ROBERT,1990).

A escritora mostra ainda que existem alguns questionamentos que devem ser

considerados quando da elaboração de um ensino baseado no método por ela

proposto, a saber: em que domínios matemáticos podemos detectar a existência de

métodos úteis e aqueles que são suscetíveis de ser ensinados?; Podemos encontrar

ou elaborar um encaminhamento metódico para os domínios da fronteira

matemática/física?; Os diferentes aspectos de um método são sempre

indispensáveis?; Quando podemos iniciar um ensino de métodos?; Como ter certeza

que um método não é utilizado de maneira formal, como um algoritmo, ou como um

simples respeito ao contrato com o professor?; Quais restrições devem respeitar as

situações de ensino para assegurar que os casos considerados na questão anterior

não se produzam?; Qual parte da elaboração de um método será devolvida ao

estudante?; Como avaliar um método, de um lado, no que concerne a sua eficácia

operacional (interna à matemática), de outro lado, quanto à utilidade de seu ensino?

A autora conclui que “um dos objetivos do ensino de um método é que esse

seja completamente esquecido, isto é torne-se um automatismo [...]” (ROBERT,

1990, p.79).

35

- Rogalski (1990) discute as dificuldades encontradas pelos estudantes de um

curso de introdução à Álgebra Linear. Trata-se de uma pesquisa mais ampla,

desenvolvida por Rogalski, Robert, Dorier e Robinet para a qual Rogalski (1992a,

1992b,1992c, 1995) construiu e implementou um curso de introdução à Álgebra

Linear centrado no estudo dos espaços vetoriais de IRn.

Encontramos ainda alguns trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de

Álgebra Linear que são os considerados no estudo de Dorier (2002), para os quais

ponderamos os questionamentos envolvidos.

- Hillel et Sierpinska (1994), que, referindo-se ao trabalho de Piaget e Garcia

(1983), interrogam-se sobre os três níveis de desenvolvimento das ações cognitivas

(intra, inter e trans) em jogo num curso de introdução à Álgebra Linear.

No livro “Enseignement de L’Algèbre Lineaire en Question”, organizado por

Dorier et al (1997), destacamos :

- Sierspinska, Defense Khatcherien e Saldanha (1997) sobre o que eles

denominam os três modos de pensar em Álgebra Linear: o modo sintético

geométrico, o modo analítico e aritmético e o modo analítico estrutural.

- Harel (1997) trata dos três princípios de aprendizagem e ensino para o caso

da álgebra linear. Foi desenvolvido no grupo de estudo do currículo de álgebra linear

composto por dezesseis professores do departamento de matemática de todo

Estados Unidos. Os três princípios são: o princípio da concretização, o princípio da

necessidade, o princípio da generalização.

- Hillel (1997) discorre sobre os níveis de descrição e o problema da

representação em Álgebra Linear. O autor considera os três níveis de descrição ou

tipos de linguagem: a linguagem da teoria geral, a linguagem da teoria mais

específica em IRn e a linguagem geométrica do espaço para duas ou três

dimensões.

- Pavlopoulou (1997) trata da coordenação de registros de representação

semiótica.

- Dias (1995) sobre os problemas de articulação entre diferentes sistemas de

representações simbólicas em Álgebra Linear.

- Bardy, Bellac, Le Roux, Memin e Saby (1993) analisam, considerando os

textos oficiais dos programas de matemática do “terminale” (corresponde ao último

ano do Ensino Médio da França), o que poderia ser conectado ao ensino

universitário de álgebra linear.

36

- Behaj (1997) foca a sua tese sobre a estruturação do saber.

Ainda sobre geometria e álgebra linear, destacamos a tese de Gueudet

(2000) sobre o papel do geométrico no ensino e na aprendizagem de álgebra linear.

Em relação às pesquisas sobre análise matemática, observamos que, na

França, a partir de 1970, já existia uma preocupação em propor novas abordagens.

Isto deveria ocorrer de forma a considerar as dificuldades enfrentadas pelos novos

estudantes cujas características foram apresentadas acima, quando nos referimos

ao trabalho de Rogalski (1990).

Legrand (1990) propõe uma atividade para a transmissão da regra do debate

científico em um curso de matemática. Esta, segundo o autor, é uma ferramenta

didática à disposição dos professores para incentivar os estudantes no

desenvolvimento das noções e dos métodos que possa tratar dos conhecimentos

científicos classicamente ensinados, despertando a curiosidade, interesse e até

mesmo entusiasmo dos discentes.

A atividade proposta por Legrand (1990) visava confrontar os rudimentos da

lógica matemática com os hábitos herdados da gestão cotidiana. Mais precisamente,

a atividade abordava o problema do sentido que os estudantes conferem ao

verdadeiro e ao falso em matemática.

Artigue e Rogalski (1990) apresentam uma engenharia didática para o ensino

de equações diferenciais realizada na Universidade de Lille1 cujo objetivo é de não

reduzir o ensino das equações diferenciais à aprendizagem de técnicas de resolução

algébrica. Para tal, os autores consideraram o quadro algébrico da resolução “exata”

por meio de fórmulas explícitas, expressões finitas, desenvolvimentos em série e

expressões integrais, o quadro numérico da resolução numérica aproximada e o

quadro geométrico do estudo global, qualitativo do retrato de fase da equação.

Rogalski (1990) apresenta um exemplo de aplicação em trabalho dirigido

antes da construção dos números reais, cujo objetivo era problematizar essa

construção.

As dificuldades também aparecem em outros países e atualmente

encontramos os seguintes trabalhos que procuram novos meios para tratar dessas

dificuldades, em particular com os estudantes dos primeiros anos da universidade:

- González-Martín et al (2009), sobre o conceito de soma infinita e sua complexidade

epistemológica, que torna difícil sua aceitabilidade, podendo ser a causa de sua

redução aos aspectos algorítmicos.

37

- Kidron (2002), que identifica as dificuldades de se compreender a dualidade

processo-objeto referente ao conceito de série.

- Mamoma (1990), que identifica a existência da confusão entre os conceitos de

sequências e séries e a resistência em enxergar as sequências como um tipo de

função.

- Bortoloti et al (2010), que discutem alguns resultados sobre análise de erros nas

respostas de um teste de matemática sobre conteúdos de matemática básica

associados à noção de função. Tais testes foram aplicados em 450 estudantes de

graduação da Universidade da Bahia e seu referencial teórico está baseado em

Pinto (2000), Borasi (1996) e Cury (2007) que apresentam ferramentas teóricas para

análise dos erros dos estudantes.

- Gerofsky (2010), que propõe uma intervenção pedagógica sobre o

desenvolvimento da noção de função polinomial por meio de gestos, movimentos e

sons com um grupo de 8 estudantes em uma escola de Vancouver, no Canadá.

- Nasser (2010), cujo trabalho está focado na dificuldade da construção do conceito

de função, limite e derivada na aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral. Oito

alunos foram acompanhados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, o

referencial teórico da pesquisa foi baseado na Teoria Epistemológica de Obstáculo

conforme Brousseau e Sierpinska.

- Egin et al (2010), que mostram a importância da utilização da tabela de valores no

ensino da noção de função e está baseado na teoria dos registros de representação

semiótica (Duval,1993) e na noção de contrato didático segundo definição de

Brosseau (1998). Foi aplicado um questionário para 23 professores e três questões

para 120 alunos do Ensino Médio.

Os trabalhos acima correspondem a uma rápida demonstração da

importância do estudo da transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior e a

atenção que vem sendo dada pelos pesquisadores de Educação Matemática nos

diferentes países em relação à investigação das funções na etapa que antecede os

primeiros anos da universidade. Observamos ainda que a noção de função, em

geral, quando considerada, restringe-se apenas à introdução geral ou às funções

polinomiais e que a relação entre o trabalho desenvolvido no Ensino Médio e no

Superior não é levada em conta nessas pesquisas. No entanto, podemos verificar

que esses trabalhos possibilitaram compreender as questões associadas às

dificuldades dos estudantes que iniciam o Ensino Superior, as quais, portanto, estão

38

relacionadas à transição entre as duas etapas escolares consideradas em nossa

pesquisa.

Dessa forma, a escolha dos trabalhos acima demonstrados está centrada

naqueles que têm mais afinidade com a nossa pesquisa seja pelo objeto de estudo,

seja por tratar da transição ou de novas propostas de trabalho com os estudantes

que iniciam o Ensino Superior. Todavia, cabe-nos considerar que não se pretendeu

realizar um estudo exaustivo, mas sim apresentar um levantamento que mostrasse a

importância da questão da transição e a preocupação dos educadores matemáticos

em encontrar novos meios para auxiliar os estudantes a ultrapassar suas

dificuldades.

Após o estudo de publicações sobre a transição entre o Ensino Médio e o

Ensino Superior, traçaremos uma breve discussão sobre dissertações e teses

brasileiras que tratam dessa problemática ou que se referem ao estudo da noção de

função e, mais particularmente, da noção de função exponencial.

Assim, começamos destacando o estudo foi realizado por Azzolini (2012) em

sua dissertação de mestrado sobre as relações institucionais esperadas e existentes

na transição entre os ensinos fundamental, médio e superior. Este trabalho

considera a noção de função quadrática. A autora realizou uma pesquisa

bibliográfico/documental que lhe permitiu concluir que as relações institucionais

esperadas e existentes são coerentes, mas é preciso que professores e estudantes

desenvolvam um processo de estudo e ajuda ao estudo, utilizando o material

analisado que poderá auxiliá-los a melhorar as condições atuais do Ensino Médio e,

consequentemente, do Ensino Superior.

Por meio de material disponível na internet, Azzolini (2012) identificou

dissertações e teses das universidades: Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo - PUC-SP, Universidade Luterana do Brasil – ULBRA, Universidade Federal de

Pernambuco - UFPE, Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP,

Universidade Estadual Paulista - UNESP, Universidade Cruzeiro do Sul - UNICSUL,

Universidade Bandeirante do Brasil – UNIBAN.

As disseetações e teses brasileiras compiladas no trabalho de Azzolini (2012)

mostram que os estudos sobre funções está centrado nas funções polinomiais, em

particular, nas funções afim e quadrática com ênfase no estudo das questões de

representações desses objetos matemáticos por meio da teoria dos registros de

representação semiótica de Duval. Dentre as quatorze pesquisas encontradas sobre

39

funções, oito correspondem às funções afim e quadrática e oito usam a teoria dos

registros de representação semiótica como referencial, mesmo que, em algumas

dessas pesquisas, essa teoria sirva de referencial teórico de apoio para o

desenvolvimento das investigações realizadas.

Apenas uma pesquisa trata do conteúdo função exponencial que é o trabalho

de Souza (2010). Há ainda a pesquisa de Mariani (2006) que explicita tratar sobre a

transição Ensino Médio e Superior, mas que não usa como objeto matemático de

estudo a função exponencial. O objetivo do trabalho sobre transição, de Mariani

(2006), é analisar os conhecimentos sobre a noção de função mobilizados pelos

estudantes de um curso de “Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral”.

A tese de doutorado de Mariani (2006), cujo título é “Transição da educação

básica para o ensino superior: a coordenação de registros de representação e os

conhecimentos mobilizados pelos alunos no curso de cálculo” traz elementos que

permitem compreender quais conhecimentos sobre a noção de função são

mobilizados pelos estudantes de um curso de introdução ao Cálculo. A autora

centrou suas análises nos registros de representação semiótica utilizada pelo grupo

de estudantes que participaram da pesquisa.

Em relação à noção matemática objeto de estudo da nossa pesquisa,

encontramos apenas o trabalho de Souza (2010), cujo objetivo foi analisar a

eficiência das atividades apresentadas no caderno do professor de 2008 da

Secretaria do Estado de São Paulo, segundo o desempenho de 14 alunos da 2º

série do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo em relação à noção de

função exponencial. Para tal pesquisa, foi usada a metodologia da Engenharia

Didática segundo Artigue (1990) e o referencial teórico para a construção dos

elementos da engenharia está baseado na teoria dos registros de representação

semiótica de Duval (1993).

Azzolini (2012) identifica ainda as pesquisas de Andrade (2006) e Gouveia

(2007), as quais, mesmo não tratando especificamente a questão da transição entre

o Ensino Médio e Superior, apresentam elementos que permitem a reflexão sobre os

conhecimentos desenvolvidos pelos estudantes do Ensino Médio e as reais

possibilidades de trabalho com as noções de função afim e intervalos sobre IR.

Existem ainda três dissertações desenvolvidas no âmbito do projeto em que

se insere nossa pesquisa por Simião (2010), Faro (2011) e Jammal (2011), mas que

correspondem a estudos sobre matrizes e sistemas lineares e geometria analítica.

40

O estudo apresentado não é exaustivo, mas mostra a importância e o

ineditismo da nossa proposta em relação aos trabalhos existentes, pois trata da

transição entre o Ensino Médio e Superior, considerando como objeto matemático

de estudo a noção de função exponencial. Em particular, no Brasil, notamos que é

preciso dar mais atenção à questão da transição entre as diferentes etapas

escolares e que a noção de função exponencial é pouco explorada nas pesquisas, o

que nos incentivou a propor esse tema para o nosso estudo.

2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

O estudo das pesquisas teóricas, em particular a de Gueudet (2008) e

Gueudet (2008a), auxiliou-nos a situar nossa pesquisa em relação às pesquisas

existentes sobre transição entre Ensino Médio e Ensino Superior.

As pesquisas associadas às disciplinas de Geometria Analítica, Álgebra

Linear, Análise Matemática e Cálculo Diferencial e Integral colocam em evidência

que, mesmo existindo grupos constituídos que tratam das dificuldades dos

estudantes do Ensino Superior, ainda há necessidade de novas pesquisas, em

particular as associadas aos problemas culturais de cada país onde são

desenvolvidas, pois foram realizadas diversas pesquisas para determinados

conteúdos, mas o aspecto cultural foi pouco considerado. Observamos, nesse

sentido, que o trabalho de Dias et al. (2010) coloca em evidência as diferenças

culturais existentes nas propostas de ensino da noção de função entre a França e o

Brasil, quando se considera a transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior.

As pesquisas representadas pelo estudo de Azzolini (2012), que representam

algumas das dissertações e teses brasileiras, mostram que o estudo das funções

está centrado nas funções polinomiais, em particular nas funções afim e quadrática

com ênfase no estudo das questões de representações desses objetos matemáticos

por meio da teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval.

No capítulo que segue, apresentaremos a problemática, os objetivos e a

metodologia da nossa pesquisa.

41

3 PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E METODOLOGIA

3.1 TRAJETÓRIA E CONTEXTO DA PESQUISA

Em 2004, iniciei o mestrado (ANDRADE, 2006), o qual conclui em 2006.

Nessa época, já considerava a questão da identificação dos conhecimentos

adquiridos no Ensino Médio, tendo em vista que eles podem servir como

conhecimentos prévios para a introdução de novas noções no Ensino Superior.

Na dissertação, observei quais as expectativas institucionais para o

desenvolvimento da noção de função afim para um grupo restrito de estudantes de

uma escola pública de São Paulo. Esse estudo teve como base a análise das

respostas do SARESP 2005 e me conduziu a concluir que, apesar dos documentos

oficiais e livros didáticos indicarem uma proposta na qual se articulavam os

conhecimentos sobre a noção de função afim tanto para situações intramatemáticas

como para situações extramatemáticas, em geral, os estudantes apenas

identificavam a função e seu gráfico quando essa era dada explicitamente no

enunciado da situação.

Considerando que a noção de função afim, em geral, corresponde à primeira

função numérica já tendo sido trabalhada no último ano do Ensino Fundamental II e

sido revisitada no primeiro ano do Ensino Médio, acreditávamos que os estudantes

fossem capazes de aplicar o conceito de função e, em particular, a noção de função

afim em qualquer tipo de situação em que fosse necessária a utilização dessa noção

tendo ela sido pedida explicitamente ou não. No entanto, com os resultados

encontrados, observamos que existe um grande trabalho a ser desenvolvido tanto

em relação ao conceito de função como de função afim para os estudantes que

terminam o Ensino Médio.

Em 2008, ao iniciar o doutorado, retomei a pesquisa anterior e, considerando

o fato de existir um projeto específico que tratava da transição entre o Ensino Médio

e Ensino Superior, escolhi estudar os problemas associados às expectativas

institucionais relacionadas a essa transição para o caso da noção de função

exponencial.

42

A escolha da noção de função exponencial está associada à prática docente,

pois notamos que, nas aulas de Cálculo Diferencial e Integral, em geral, quando se

introduz a noção de derivada, os estudantes são capazes de reconhecer as funções

afim e quadrática, mesmo que nem sempre sejam capazes de utilizá-las quando não

são dadas explicitamente. Ainda assim, os estudantes têm dificuldades com a

definição e as propriedades das potências, consequentemente, muitas vezes, eles

não reconhecem a função exponencial, suas propriedades e seu gráfico.

Considerando como conceito matemático norteador da nossa pesquisa a

noção de função exponencial, iniciamos o trabalho com o seguinte questionamento:

“Quais conhecimentos sobre a noção de função exponencial desenvolvidos no

Ensino Médio podem ser considerados como conhecimentos prévios disponíveis

para o trabalho com essa mesma noção no Ensino Superior?”.

Essa questão nos conduz a uma reflexão sobre a possibilidade de

identificação das expectativas institucionais e dos professores dessas duas etapas

escolares para melhor compreender as questões associadas a essa transição.

Dessa forma, após várias discussões e estudos, resolvemos dar ênfase ao trabalho

desenvolvido no Ensino Médio e, por meio de um questionário, verificar como

reagem os professores do Ensino Médio e do Ensino Superior em relação aos

conhecimentos prévios supostos adquiridos e àqueles que os estudantes são

realmente capazes de utilizar espontaneamente.

Assim, nosso questionamento ultrapassa a identificação das expectativas

institucionais indicadas na questão inicial, procurando coligar a ela a ideia dos

professores das duas etapas escolares em relação às reais possibilidades de

trabalho dos estudantes com a noção de função exponencial, suas propriedades e

seu gráfico.

Apresentado o contexto e o questionamento que orientou nossas escolhas,

descrevemos, a seguir, a problemática da pesquisa.

3.2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA

A questão inicial e a reflexão a que ela conduziu possibilitam descrever nossa

problemática como a identificação das expectativas institucionais e das ideias dos

43

professores do Ensino Médio e Ensino Superior quanto às reais possibilidades de

trabalho dos estudantes com a noção de função exponencial. Tal problemática pode

nos auxiliar a mostrar que as dificuldades encontradas pelos estudantes dependem

das abordagens dadas a uma determinada noção matemática e não ao trabalho

desenvolvido pelo professor da etapa anterior, pois o mesmo segue as orientações

para aquele público determinado.

O exemplo de Gueudet (2008), ao considerar o olhar sobre o modo de

pensar, refere-se ao exemplo de Dubinsky (1991) para o caso da noção de função

de uma variável real, que é inicialmente trabalhada como uma ação que transforma

um número em outro, em seguida, podendo ser abordada como um processo. Em

outras palavras, significa que a função é trabalhada como uma transformação global

e, finalmente, como um objeto sobre o qual se pode agir como, por exemplo, a soma

de funções e o conjunto de funções. Ao retomar essas considerações, observamos

que essa última abordagem é introduzida apenas nas disciplinas de Álgebra, Cálculo

Diferencial e Integral e Álgebra Linear no Ensino Superior.

Além disso, as diferentes possibilidades de abordagem para uma mesma

noção não está necessariamente associada apenas à questão dos conhecimentos

disponíveis. Segundo Artigue (2001), ela depende também de outros fatores como,

por exemplo, culturais, restrições dos diferentes sistemas educativos e expectativas

em relação ao trabalho dos estudantes, os quais são diferentes entre uma etapa

escolar e a outra e que parecem permitir a pesquisa de novas experiências que

possam ajudar os estudantes na transição entre as formas de pensamento próprias

do Ensino Médio e as encontradas no Ensino Superior.

Observamos ainda que Artigue (2001) procura mostrar a importância de se

tratar a matemática em suas múltiplas faces no nível universitário, estando ela

dirigida aos futuros matemáticos ou àqueles cujas relações futuras com a

matemática serão menos centrais. Deseja-se, assim, que os estudantes tenham

acesso à matemática formal ou às necessidades matemáticas de um determinado

setor de atividade, o que exige que os discentes do Ensino Superior, qualquer que

seja sua bagagem inicial, devam aprender uma matemática relativamente

sofisticada.

Isso nos mostra a importância de estudar e questionar os possíveis processos

de aprendizagem dessa etapa da escolaridade. Isto porque esse aprofundamento

pode nos ajudar a compreender melhor esses mesmos processos para as etapas

44

mais elementares. No capítulo 1, apresentamos pesquisas sobre a transição entre o

Ensino Médio e Ensino Superior e verificamos que no Brasil existem poucos

trabalhos nesse sentido.

Esse estudo preliminar e os resultados das macroavaliações nos conduzem a

considerar que, tanto no Ensino Médio quanto no Ensino Superior, os estudantes

têm grandes dificuldades, pois, muitas vezes, eles não dispõem das competências e

habilidades necessárias para o seu desenvolvimento escolar e profissional e os

professores dispõem de poucos recursos para auxiliá-los. Nesse sentido, alertamos

para o fato de que muitas dessas dificuldades estão associadas a não mobilização

dos conhecimentos matemáticos adquiridos anteriormente. Isto, por sua vez, conduz

a uma situação de desinteresse por parte dos estudantes, difícil de ser ultrapassada,

uma vez que a falta de conhecimentos mobilizáveis tende a aumentar no decorrer

das diferentes etapas da escolaridade. Essa situação se reflete na qualidade de

ensino da matemática no Ensino Médio e Ensino Superior.

Dessa forma, nosso estudo pretende encontrar novos meios de reflexão que

possam conduzir a uma melhora no nível do ensino e aprendizagem de matemática,

pois as análises das relações institucionais e pessoais esperadas e existentes

servirá como meio de identificação de elementos para a construção de cenários de

ensino e aprendizagem específicos aos diferentes grupos em função dos

conhecimentos prévios de seus integrantes. Melhora esta, em particular, quanto à

noção de função exponencial, suas propriedades e seu gráfico tanto no Ensino

Médio como em relação às noções trabalhadas nas outras etapas da escolaridade

em que essa noção, seu gráfico e suas propriedades serão considerados como

ferramentas disponíveis no Ensino Superior.

Para isso, damos continuidade ao trabalho com os seguintes

questionamentos:

1) Quais os conhecimentos matemáticos necessários para compreender a

noção de função exponencial no Ensino Médio e no Ensino Superior e para poder

aplicá-la de forma eficaz?

2) Sobre que níveis de conhecimento é possivel fundamentar essas

necessidades: técnicos, mobilizáveis ou disponíveis?

3) Em que sistema de tarefas e práticas podem ser desenvolvidos esses

três níveis de conhecimento?

45

4) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o

desenvolvimento da noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino

Superior?

5) Quais as expectativas institucionais sobre as relações pessoais

desenvolvidas pelos estudantes para a noção de função exponencial? Elas estão em

conformidade com as relações institucionais existentes?

6) Qual a expectativa dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior

sobre a noção de função exponencial em relação aos conhecimentos prévios dos

estudantes que ingressam na universidade?

Quadro 1: Questionamentos Fonte: A pesquisa.

Na sequência, consideraremos o objetivo geral e os objetivos específicos da

pesquisa.

3.3 OBJETIVOS DA PESQUISA

3.3.1 Objetivo geral

O objetivo geral desta pesquisa é estudar a noção de função exponencial na

transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes

processos de estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se reconstroem

atualmente nessas etapas escolares. Pretende-se, com isto, possibilitar que os

professores disponham de material para reflexão a fim de que, quando os mesmos

tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus estudantes, possam realizar

escolhas mais conscientes e, assim, conduzir esse processo de maneira satisfatória,

permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos

prévios e utilizá-los de forma disponível quando necessário, podendo, assim,

enriquecê-los quando esses são usados como ferramentas explícitas para a

introdução de novos conceitos e novas noções.

46

Assim, a escolha do estudo sobre a noção de função exponencial na

transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior justifica-se por visar compreender

os diferentes processos de estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se

reconstroem atualmente nessas etapas escolares. Dessa forma, os professores

podem ter material para reflexão e acesso aos conhecimentos prévios de seus

estudantes e assim realizar escolhas mais conscientes que conduzam a um

processo de estudo e ajuda ao estudo satisfatório que finalmente permita aos

estudantes serem capazes de mobilizar seus conhecimentos e mesmo utilizá-los de

forma disponível quando necessário.

No caso da noção de função exponencial, por exemplo, os estudantes que

dispõem dos conhecimentos sobre o gráfico dessa função desenvolvidos no Ensino

Médio poderão utilizá-los no estudo do crescimento e decrescimento da função e de

assíntotas horizontais. Isto permite compreender melhor as variações da função em

relação aos seus coeficientes, estudo este que nos parece mais simples quando se

dispõe da noção de derivada e suas propriedades, o que permite justificar as

propriedades das funções.

Dessa maneira, a escolha de centrar o domínio de estudo na noção de função

exponencial, como mostra o exemplo citado, tem interesse especial, pois se trata de

uma noção matemática que oferece possibilidades para discutir as questões de

articulação entre os diferentes sistemas de representação simbólica desse objeto

matemático nos diferentes domínios em que ele pode ser aplicado tanto no Ensino

Médio como no Ensino Superior. Isto nos conduziu aos seguintes objetivos

específicos:

- Estudar a noção de função exponencial no Ensino Médio para compreender

melhor quais os conhecimentos podem ser considerados como mobilizáveis ou

disponíveis pelos estudantes quando ingressam no Ensino Superior.

- Analisar em que sistema de tarefas e práticas se inserem esses

conhecimentos.

- Analisar as exigências institucionais para o ensino e a aprendizagem da

noção de função exponencial, tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, via

documentos oficiais.

- Analisar as propostas existentes para desenvolver a noção de função

exponencial tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, via livros didáticos

analisados e indicados para esses níveis.

47

- Analisar, por meio das avaliações institucionais, quais relações pessoais se

supõem que os estudantes deva desenvolver no decorrer do Ensino Médio e do

Ensino Superior para o objeto matemático função exponencial.

- Estabelecer um conjunto de tarefas que possam ser utilizadas no Ensino

Médio de forma que essas sirvam de referência para o desenvolvimento da noção

de função exponencial e que possam servir ainda como base para a identificação de

conhecimentos prévios que os estudantes são capazes de mobilizar ao iniciar o

Ensino Superior.

Centralizamos, assim, o estudo da função exponencial, inicialmente, no

Ensino Médio, para:

Compreender sobre quais conhecimentos relativos à noção de função

exponencial é possível construir as bases para introdução das noções Cálculo

Diferencial e Integral.

Mostrar a importância de um trabalho que permita, por meio de certo número

de tarefas usuais, considerar os conhecimentos prévios dos estudantes.

Consideramos como conhecimentos prévios dos estudantes em relação à noção de

função exponencial:

- Definir e calcular potência de expoente inteiro e de expoente racional;

- aplicar as propriedades de potência;

- representar um número sob a notação científica;

- calcular as raízes exatas, por meio da definição e das propriedades de radicais;

- operar com radicais, simplificando-os quando possível;

- aproximar potências com expoente irracional;

- definir função exponencial, construir seu gráfico e classificá-la como crescente ou

decrescente;

- aplicar o conceito de função exponencial na resolução de problemas;

- aplicar as propriedades de função exponencial na resolução de equações e

inequações exponenciais;

- resolver problemas por meio de equações e inequações exponenciais.

Para desenvolver este trabalho, consideramos a metodologia descrita na sequência.

48

3.4 METODOLOGIA DA PESQUISA

A fim de alcançar os objetivos descritos anteriormente, realizamos uma

pesquisa documental com análise de conteúdo sobre a transição Ensino Médio e

Superior. Destacamos trabalhos que considerem a noção de função e, mais

especialmente, o conceito de função exponencial.

Assim, desenvolvemos uma análise das propostas institucionais para o ensino

e a aprendizagem da noção de função exponencial no Ensino Médio via documentos

oficiais do Estado de São Paulo. Quanto à análise das propostas institucionais para

o Ensino Superior, baseamo-nos em planos de ensino para universidades públicas e

privadas do Estado de São Paulo. Além disso, elaboramos uma sondagem sobre as

práticas “Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas à

noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino Superior” (ANEXO A). A

amostra final é de vinte questionários de professores do Ensino Médio e Ensino

Superior, embora este material tenha sido distribuído para um conjunto de cento e

cinquenta professores.

Efetuamos um levantamento dos tipos de tarefas usuais trabalhadas tanto no

Ensino Médio como no Ensino Superior, quando se considera a noção de função

exponencial. Para organizar esse processo, construímos uma grade de análise,

conforme modelo utilizado por Dias (1998) em sua tese sobre a articulação de ponto

de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear. As tarefas foram

identificadas nos diferentes materiais didáticos destinados aos dois segmentos

escolhidos para realizar a pesquisa: o Ensino Médio e o Ensino Superior.

Por se tratar de uma pesquisa cuja essência é documental com análise de

conteúdo, escolhemos analisar as relações institucionais existentes por meio de

livros didáticos indicados nos documentos oficiais e planos de ensino das

universidades às quais tivemos acesso, bem como investigar as relações pessoais

esperadas dos estudantes por meio de macroavaliações aplicadas ao final do

Ensino Médio. Estão são as seguintes: as provas dos 3 últimos anos do Exame

Nacional do Ensino Médio – ENEM; as provas dos 10 últimos anos do vestibular da

UNICAMP e as 3 provas da macroavaliação Exame Nacional de Desempenho de

Estudantes – ENADE, aplicada para os estudantes do primeiro e último ano do

Ensino Superior.

49

Para a análise das relações institucionais esperadas, elegemos um total de

quatro livros didáticos. Assim, o material analisado é composto de dois livros

indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio – PNLEM,

um livro destinado aos professores do Ensino Médio e um livro didático que tem sido

indicado na bibliografia básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral para a

maioria dos cursos do Ensino Superior cuja grade contempla essa disciplina.

As obras escolhidas para análise são:

Ensino Médio

- Matemática Contexto e Aplicações, de Luiz Roberto Dante (2010).

- Matemática - Ensino Médio, de Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (2010).

- A Matemática do Ensino Médio, de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho,

Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (2006).

Ensino Superior

- Cálculo, Volume 1, de James Stewart (2011).

Algumas condições foram determinantes na escolha dos livros, a saber:

Analisamos o material descrito acima por meio da grade de análise construída

com esse propósito e fundamentada no quadro teórico que será apresentado no

capítulo que segue.

Os documentos oficiais analisados correspondem àqueles que foram

publicados a partir do decreto de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases 9394/96) que

estabeleceu as diretrizes e bases para a Educação Nacional que foi complementada

em 2001 por meio do Plano Nacional da Educação (Lei 10172, BRASIL, 2001). Este

delineou os objetivos e as prioridades da educação no Brasil e considerou a

necessidade da avaliação nacional desse plano cujo objetivo é levar em conta a

redução das desigualdades sociais e regionais e a democratização da gestão do

ensino público. Para tanto, foram implementados os Parâmetros Curriculares

Nacionais.

Assim, a escolha dos documentos oficiais foi realizada em função das novas

orientações que foram sendo desenvolvidas com a intenção de atingir o objetivo

indicado na avaliação nacional. Observamos aqui que os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997, 2000, 2002, 2002a, 2006) e os livros didáticos, indicados

pelo Programa Nacional do Livro Didático – PNLD, correspondem aos documentos

indicados pelo Ministério da Educação. Tais documentos salientam a necessidade

50

de preparar os estudantes para que tenham oportunidades iguais tanto na

continuidade de seus estudos quanto nos seus desenvolvimentos profissionais.

Após as análises dos documentos oficiais e dos livros didáticos elegidos

considerando a noção de função exponencial, buscamos compreender quais as

relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o Ensino Médio e

iniciam e terminam o Ensino Superior. Dessa forma, para o estudo das exigências

institucionais para o ensino e a aprendizagem da noção função exponencial, tanto

no Ensino Médio como no Ensino Superior, escolhemos analisar que conhecimentos

são considerados como disponíveis por meio de duas macroavaliações do final do

Ensino Médio e uma macroavaliação do início e fim do Ensino Superior.

As macroavaliações institucionais escolhidas como representantes das

relações pessoais esperadas ao final do Ensino Médio foram: o Exame Nacional do

Ensino Médio – ENEM, que avalia as condições do Ensino Médio e atualmente

serve como meio para acesso a diversas universidades públicas e é fundamental

para obter bolsas de estudo nas universidades privadas do país; o Vestibular da

Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, pois a avaliação para acesso à

universidade de Campinas apresenta no site da Comissão Permanente para os

Vestibulares - COMVEST as respostas esperadas, isto é, a relação pessoal

esperada e exemplos de respostas que correspondem a resultados acima da média

e abaixo da média, dando, assim, uma noção do funcionamento dos estudantes que

participaram dessa prova e que correspondem a um extrato da população que

terminou o Ensino Médio e pretende continuar seus estudos.

Para o Ensino Superior, optamos analisar as provas para o curso de

Licenciatura em Matemática do Exame Nacional de Desempenho de Estudantes–

ENADE cujo objetivo é avaliar os cursos oferecidos pelas instituições de Ensino

Superior, podendo, dessa maneira, nos auxiliar a compreender qual a relação

pessoal esperada dos professores de matemática e se essas estão em

conformidade com as relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o

Ensino Médio. Observamos que são alguns desses professores que irão trabalhar

com os estudantes do Ensino Médio, portanto, eles devem estar preparados para

desenvolver as relações institucionais esperadas e existentes com seus estudantes.

Isso nos conduziu a cruzar as relações institucionais esperadas e existentes

assim como as relações pessoais esperadas dos estudantes para verificar se as

mesmas estão em conformidade e qual o nível de conhecimento esperado dos

51

estudantes para o seu desenvolvimento, isto é, quais os conhecimentos prévios

exigidos dos estudantes para que se possam desenvolver as diferentes propostas

analisadas.

Finalmente, consideramos a sondagem sobre as práticas “Questionário de

informações sobre as práticas institucionais associadas à noção de função

exponencial no Ensino Médio e Ensino Superior” e cruzamos os resultados

encontrados com as expectativas institucionais tanto para o desenvolvimento do

processo de estudo e ajuda ao estudo quanto para as exigências encontradas nas

macroavaliações escolhidas, pois esses documentos nos dão uma visão mais ampla

das possibilidades de trabalho com os conhecimentos matemáticos desenvolvidos

no Ensino Médio e mesmo no Ensino Superior.

No capítulo que segue, apresentaremos uma breve descrição do referencial

teórico utilizado na presente pesquisa.

52

4 REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA


Neste capítulo, desenvolveremos o referencial teórico da pesquisa, que está

centrada na abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD. Para tanto,

consideramos as noções de relações institucionais e pessoais, praxeologia,

ostensivos e não ostensivos e os níveis de co-determinação, conforme definição de

Chevallard (1992, 1994, 1998, 2002, 2002a, 2007, 2007a) e Bosch e Chevallard

(1999), os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo

definição de Robert (1997, 1998), bem como a noção de quadro e mudança de

quadros de Douady (1984, 1992).

Observamos que a Teoria Antropológica do Didático possibilita a identificação

das praxeologias existentes nas propostas institucionais assim como as expectativas

institucionais e dos professores dos Ensinos Médio e Superior sobre os

conhecimentos prévios dos estudantes relativos à noção de função exponencial na

transição entre essas duas etapas escolares. A abordagem em termos de níveis de

conhecimento esperados dos estudantes permite estudar a articulação entre as

diferentes formas de conhecimento associadas a essa noção assim como as

variações em termos de exigências institucionais na transição entre as etapas

escolares em foco.

A noção de quadro e mudança de quadros auxilia na assimilação dos

possíveis domínios intramatemáticos e extramatemáticos que podem ser articulados

na transição Ensino Médio e Ensino Superior. Além disso, tais definições evidenciam

aqueles conceitos com os quais os estudantes tiveram um contato, o que ultrapassa

a simples caracterização não ostensiva dos conteúdos a eles associados, isto é,

trata-se de domínios para os quais os conhecimentos associados foram evocados e

manipulados por meio de diferentes representações associadas ao conceito em jogo

nas tarefas propostas aos estudantes.

Sendo assim, considerando que a pesquisa está centrada na TAD, na

abordagem teórica sobre os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes

e na noção de quadro e mudança de quadros, apresentaremos, primeiramente, uma

53

breve descrição da teoria e das abordagens teóricas que escolhemos como

elementos chave para nosso estudo.

Iniciamos, então, considerando a articulação entre as diferentes formas de

conhecimento quando se estuda a noção de função exponencial na transição entre

os Ensinos Médio e Ensino Superior. Para tanto, distinguimos diferentes quadros,

conforme definição de Douady (1984, 1992), que possibilitam o tratamento flexível

dos conhecimentos matemáticos e das outras ciências em que a matemática serve

como ferramenta explícita do trabalho a ser realizado.

Colocamos assim em evidência, por meio da abordagem escolhida, as

diferentes necessidades de articulação quando se deseja uma formação que leve

em conta a capacidade de um trabalho flexível no desenvolvimento de uma

determinada tarefa em ciências ou matemática, em particular, quando se

consideram os estudantes que iniciam o Ensino Superior. Isto porque, espera-se

destes discentes que, ao término do terceiro grau, sejam capazes de desenvolver

com autonomia as diferentes tarefas que lhes são propostas e que exigem a

aplicação de uma noção matemática, no caso, a noção de função exponencial.

Cabe-nos destacar que essa autonomia está associada à flexibilidade

cognitiva que, em matemática, está relacionada à capacidade de trabalhar em

diversos quadros em que é necessário manipular diferentes ostensivos e evocar os

não ostensivos que lhe são associados, podendo mudar de quadro quando

necessário, sem que para isso seja feito algum apelo explícito. Em outras palavras,

significa saber utilizar os ostensivos de representação mais adequados e evocar os

não ostensivos associados para a resolução de uma tarefa, sabendo planejar,

analisar, desenvolver, justificar e controlar o trabalho matemático desenvolvido

nessa mesma tarefa seja escolar ou profissional.

Certamente, para alcançar essa autonomia de trabalho articulando diferentes

quadros, o nível de conhecimento esperado dos estudantes é o disponível, pois lhes

cabe identificar os conhecimentos matemáticos em jogo numa determinada tarefa.

Então, para tornar mais clara a importância da teoria e das abordagens teóricas

escolhidas para o desenvolvimento de um sujeito capaz de trabalhar de forma

flexível, quando lhe é proposta uma tarefa na qual a noção de função exponencial

deve ser utilizada, daremos exemplos que associam essa noção matemática com as

escolhas teóricas acima enunciadas.

54

Dessa maneira, iniciaremos com a exposição da abordagem teórica em

termos de quadros, ressaltando sua importância na formação para a autonomia em

relação à utilização da noção de função exponencial nas tarefas que podem ser

propostas no início do Ensino Superior, considerando os conhecimentos prévios

adquiridos no Ensino Médio, conforme se pode verificar na sequência deste capítulo.

4.2 ARTICULAÇÃO DE QUADROS EM FUNÇÃO DAS TÉCNICAS UTILIZADAS

Na sequência, apresentaremos um breve estudo da relação entre a

abordagem teórica em torno da noção de quadro em função das abordagens

utilizadas para o desenvolvimento de um tipo de tarefa, mostrando sua importância

no desenvolvimento de atividades matemáticas associadas à noção de função

exponencial. Isto sempre com o objetivo de formar indivíduos que possam dispor

dos conceitos associados a esta noção de forma a aplicá-los quando necessário,

não ficando presos a determinados quadros e sabendo escolher a técnica mais

adequada quando houver necessidade.

4.2.1 A noção de quadro

No decorrer deste texto, apresentaremos uma breve descrição das noções de

quadro e mudança de quadros, conforme definição de Douady (1984,1992) que

introduz essas noções em sua tese, em 1984, em uma perspectiva de teorização

didática, baseada sobre uma análise epistemológica sobre o trabalho do matemático

profissional. Isso conduz a autora a colocar em evidência a dualidade dos conceitos

matemáticos, os quais, em geral, funcionam como ferramentas implícitas e em

seguida explícitas da atividade matemática antes de adquirirem o status de objeto e

de serem trabalhados como tal; o papel desempenhado pelas mudanças de quadros

nas atividades e na produção matemática.

Douady (1984, 1992) descreve a noção ferramenta implícita como aquela que

corresponde a um conceito em elaboração, podendo durar vários anos. Como

55

exemplo, podemos considerar a noção de potenciação e suas propriedades, a qual é

desenvolvida desde o sexto ano do ensino fundamental uma vez que se consideram

os conjuntos numéricos em que essa operação é definida.

Douady (1984, 1992) descreve ferramenta explícita como aquela que

corresponde a um conceito ou a uma noção que é utilizada intencionalmente para

resolver um problema. Consideramos como exemplo para a nossa pesquisa a

utilização da noção de potência e suas propriedades para resolver problemas de

juros compostos, em que, muitas vezes, utiliza-se a fórmula sem associá-la à noção

de função exponencial. Nesse caso, é a operação de potenciação e suas

propriedades que é usada como ferramenta explícita do trabalho em jogo.

Finalmente, Douady (1984, 1992) define objeto como componente cultural

que ocupa um lugar bem determinado no complexo edifício do saber matemático,

sendo reconhecido socialmente. Para Douady, o objeto é matematicamente definido

não dependendo de seu uso, o que permite assim a capitalização do saber não

importando qual a utilização que dele se faça. Dessa forma, ele possibilita a

extensão do corpo de conhecimentos, o reinvestimento em novos contextos que

podem ser distintos do original. Como exemplo de objeto associado à operação de

potenciação e suas propriedades, podemos considerá-la como objeto no momento

em que, ao definir função exponencial, utilizamos a operação de potenciação e suas

propriedades como elemento que permite mostrar a existência da função

considerada.

4.2.2 A noção de quadro e mudança de quadros em função da técnica utilizada

Para melhor ilustrar as noções de ferramenta implícita e explícita e de objeto

definidas por Douady, escolhemos os exemplos que seguem relacionados à noção

de função exponencial desenvolvidos no Ensino Médio e revisitados no Ensino

Superior. Assim, mostramos um exemplo do vestibular da FUVEST – 2011, primeira

fase, em que duas instituições diferentes, conforme Anexo C, propõem respostas

nas quais a noção de função exponencial é trabalhada apenas no quadro algébrico,

mas exige uma variedade de representações para encontrar a resposta correta.

56

Seja f(x) = a+2bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semireta ]–1, [ e

o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, ). Então o produto

a.b.c vale:

a) 4 b) 2 c) 0 d) –2 e) –4

Figura 2 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011. Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).

Para solucionar a questão, pode-se determinar que a = –1, observando que

imagem de f é a semireta ]–1, [, isto é, que a reta y = –1 é a assíntota horizontal da

função dada, para tanto, é necessário dispor de conhecimentos do quadro analítico.

Uma vez determinado o valor de a, utiliza-se o quadro algébrico e, após identificar

que f(1) = 0 e f(0) = , constrói-se um sistema de duas equações exponenciais e

determina-se os valores de b e c. Nesse caso, as noções de intervalo e sua

representação geométrica, assíntota horizontal e sistema de equações exponenciais

são ferramentas explícitas para solucionar a questão em que a ferramenta implícita

função exponencial é dada explicitamente.

Outra técnica para a solução da questão apresentada é representar

graficamente os pontos dados, o conjunto imagem e a assíntota horizontal y= –1, o

que permite determinar o valor de a, visualizando o deslocamento da função em

relação ao eixo y. Na sequência, utiliza-se a mesma técnica da solução enunciada

acima.

Com base nesse exemplo, quando o professor define a função exponencial e

suas representações, ao discutir a variação da função com a de seus coeficientes,

por meio das representações fórmula e gráfica, ele deve ficar atento para mostrar

como o objeto matemático função exponencial varia e qual sua relação com outras

noções associadas à noção de função, como é o caso do conjunto imagem e sua

representação enquanto um intervalo cuja representação geométrica é a semireta

]–1, [ imaginada sobre o eixo das ordenadas.

O objeto matemático, tal como definido por Douady (1984, 1992), é parte de

um edifício mais amplo que é o saber matemático, constituindo assim o que ela

denomina quadro, que corresponde a um ramo da matemática, das relações entre

os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais que

lhes são associadas. As imagens mentais são essenciais, pois funcionam como

57

ferramentas dos objetos do quadro. Dois quadros podem conter os mesmos objetos,

mas diferem pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas.

No exemplo mostrado, observamos que a primeira técnica é desenvolvida

diretamente quando se dispõe de conhecimentos do quadro analítico, mas a

segunda técnica, além de não exigir conhecimentos relacionados a esse quadro,

permite uma melhor visualização da variação da função em relação a todos os seus

coeficientes. Nesse caso, a utilização da representação gráfica pode servir de

facilitador para a criação das imagens mentais necessárias para melhor

compreender a tarefa proposta.

Para a noção de função exponencial, quando esse conteúdo é trabalhado no

Ensino Médio, observa-se que, em geral, ele é desenvolvido em pelo menos dois

quadros: o quadro da álgebra e o quadro da análise matemática. O primeiro deles é

utilizado quando a função exponencial é definida por um conjunto formado por pares

ordenados e, normalmente, não se utiliza a representação da função por meio de um

conjunto de pontos representados entre parênteses, sendo mais comum representá-

los por uma tabela, o que facilita a sua representação gráfica em um sistema

cartesiano ortogonal. Já o segundo, ou seja, o quadro da análise matemática a é

utilizado quando a função é definida por uma fórmula.

Douady define as mudanças de quadros, ressaltando que são atividades

constantes no trabalho diário dos matemáticos. Segundo Douady (1992), mudar de

quadro é um meio para se obter formulações diferentes de um problema, que podem

ou não ser equivalentes, mas que possibilitam um novo acesso às dificuldades

encontradas e permitem utilizar novas ferramentas e técnicas que não eram

adequadas para a formulação inicial. As traduções de um quadro em outro terminam

sempre em resultados desconhecidos, em novas técnicas, permitindo, assim, a

criação de novos objetos matemáticos, enriquecendo tanto o quadro original como

os quadros auxiliares de trabalho.

Considerando o exemplo FUVEST (2011), primeira fase, observamos que, na

primeira técnica para determinar o valor de a, usamos apenas conhecimentos

associados ao quadro analítico, enquanto que, para a segunda, apesar da tarefa ter

sido enunciada no quadro analítico, recorremos ao quadro algébrico por meio da

representação gráfica do conjunto imagem da função e de dois de seus pontos.

Visualizamos sua forma e pudemos, então, determinar o valor de a por meio da

58

aproximação da reta y = – 1, sem utilizar a noção de assíntota horizontal, que

poderá ser introduzida a partir da interpretação do gráfico encontrado.

Esse tipo de processo conduz Douady a transpor as características do

trabalho dos matemáticos para o domínio da didática, na qual as mudanças de

quadro serão denominadas jogos de quadros. A autora enfatiza a questão da

dialética entre as noções de ferramenta e objeto definidas acima.

Os jogos de quadros, organizados pelos professores, são transposições

didáticas das mudanças de domínios e são vistos na teoria de Douady como meios

privilegiados para suscitar desequilíbrios cognitivos e permitir a ultrapassagem

desses desequilíbrios em um novo equilíbrio de nível superior.

O exemplo FUVEST (2011) – primeira fase pode ser utilizado pelos

professores para constituir um jogo de quadros e a noção de assíntota horizontal,

que funciona como ferramenta para a determinação de a. Esta poderá ser

introduzida no Ensino Superior e permitirá revisitar noções, conceitos e ideias

desenvolvidas no Ensino Médio que podem servir de suporte para o tratamento de

uma determinada noção enquanto objeto matemático.

Assim, a noção de quadro é centrada no fato de que uma mesma noção pode

funcionar em diferentes ambientes conceituais e técnicos e que ela pode apresentar

características específicas para cada um desses ambientes, sendo as diferenças

existentes um dos motores e das ferramentas da criação matemática.

No caso da noção de função exponencial, a sua introdução, geralmente é

feita via exemplos numéricos contextualizados por meio de dobraduras de um

retângulo, da meia vida de substâncias radioativas, pelo desenvolvimento de uma

cultura de bactérias ou pela determinação de juros compostos. Esses exemplos

servem como motivadores para a introdução da noção de função exponencial que é

generalizada de duas maneiras, primeiro, após uma revisão sobre potenciação e

suas propriedades sobre os diferentes conjuntos numéricos, é considerada a

condição de existência da função exponencial, isto é, dado um número real a

(a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de IR em

*

IR definida por f(x) = ax ou y = ax ou defini-se a função exponencial como a

função f, de IR em IR, que a cada número x associa o número ax, com a > 0 e a ≠ 1,

é denominada função exponencial de base a f: IR → IR, x ├→ ax, com a > 0 e a ≠ 1

59

e na sequência faz-se uma revisão da potenciação para os conjuntos numéricos N,

Z, Q e IR.

Essa descrição da noção de função exponencial ou a consideração da

condição de existência permite estudar as propriedades dessa função e suas

diferentes representações, assim como seus casos particulares. Dessa forma, torna-

se possível fazer as articulações com outros quadros, sejam eles intramatemáticos

como a geometria ou a matemática financeira ou extramatemáticos como a física, as

ciências sociais, a economia, etc.

No exemplo demonstrado, podemos verificar como funciona o processo

denominado por Douady de dialética ferramenta-objeto. Trata-se de um processo

cíclico que organiza as funções do professor e dos alunos e para o qual os conceitos

matemáticos podem desempenhar o papel de ferramenta para resolver um

problema, como é o caso da função exponencial quando utilizada, por exemplo, para

resolver problemas de geometria, matemática financeira, progressões geométricas

ou aplicada em física, biologia ou em outro quadro, ou de objeto, quando definimos a

função exponencial. Assim, podemos considerar suas propriedades e

representações, permitindo a construção de um saber organizado.

Na dialética ferramenta-objeto, em determinado momento, certo conceito

matemático é objeto de estudo e, em outro, ele é utilizado como ferramenta explícita

na construção de um novo conceito. Por exemplo, se o objeto função exponencial é

conhecido dos estudantes, ele poderá ser utilizado como ferramenta explícita na

introdução da noção de progressão geométrica ou de juros compostos.

Outro exemplo é o caso da função exponencial enquanto objeto matemático

de estudo, em geral, no quadro algébrico por meio de suas representações e da

variação de seus coeficientes no Ensino Médio. No entanto, ela terá “status” de

ferramenta explícita em Física quando se estuda a desintegração de uma substância

radioativa.

É importante observar que, para Douady (1992), o objeto e sua representação

se confundem, mas é preciso reconhecer que diferentes representações apontam

para um mesmo objeto e, apenas ao se articular essas diferentes representações, é

que se pode obter uma melhor concepção do objeto em questão. O exemplo

FUVEST (2011) – primeira fase coloca em evidência a importância das

representações no desenvolvimento das situações envolvendo funções

exponenciais.

60

Mesmo levando em conta a questão das diferentes representações de um

mesmo objeto matemático, as noções de ostensivos e não ostensivos introduzidas

por Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999) possibilitam compreender a

importância das diferentes representações externas para a manipulação das

representações internas que serão evocadas durante o desenvolvimento das

técnicas que permitem resolver um determinado tipo de tarefa.

Observamos, nesse sentido, que os ostensivos ou as representações

externas dependem da técnica escolhida ou desenvolvida. Estas estão associadas

aos possíveis níveis de conceituação conforme definição de Robert (1997), isto é,

uma determinada fase em um campo de conhecimentos matemáticos (campo

conceitual) correspondendo a uma organização coerente de uma parte do campo,

caracterizada por objetos matemáticos apresentados de certa maneira, dos

teoremas sobre esses objetos, dos métodos associados a esses teoremas e dos

problemas que os estudantes podem resolver com os teoremas do nível considerado

e utilizando os métodos propostos para serem trabalhados em uma determinada

etapa escolar.

Antes de definir e considerar alguns exemplos sobre as noções de ostensivos

e não ostensivos, faremos uma breve introdução da Teoria Antropológica do

Didático – TAD, considerando as noções de praxeologia e relações institucionais e

pessoais que são utilizadas para a análise das relações institucionais esperadas via

documentos oficiais, das relações institucionais existentes via livros didáticos e das

relações pessoais esperadas dos estudantes via macroavaliações.

4.3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO – TAD

Chevallard (1998) inicia seu artigo, explicitando que a Teoria Antropológica do

Didático – TAD situa a atividade matemática, consequentemente, o estudo da

matemática, no conjunto das atividades humanas e das instituições sociais. Isto,

segundo o autor, conduz a várias direções e mesmo a ignorar algumas delas.

Ainda conforme Chevallard (1998), falar de legitimidade da didática da

matemática exige que se considerem objetos distintos. Em primeiro lugar, a

matemática e, na sequência, os estudantes, os professores, os livros didáticos, etc.,

61

isto é, todos os objetos necessários para tratar das questões a ela associadas.

Assim, segundo Chevallard (1998), a premissa básica da TAD aceita que toda

atividade regular humana pode ser entendida por meio de um modelo único

denominado praxeologia.

O autor define o conceito de praxeologia por meio das noções de tarefa, t, e

de tipo de tarefas, T. Quando uma tarefa t está relacionada com um tipo de tarefa T,

escrevemos: t T. Salientando que, na maioria dos casos, uma tarefa (bem como o

tipo de tarefa relacionada) é expressa por um verbo, o autor considera os seguintes

exemplos: varrer o cômodo, desenvolver uma expressão literal dada, dividir um

inteiro por outro, cumprimentar um vizinho, ler um manual de instruções, subir

escadas, integrar a função x → xlnx entre x = 1 e x = 2, etc.

Além disso, Chevallard (1998), por meio de exemplos cotidianos e

matemáticos, explicita a noção de tipo de tarefa, isto é, para considerar um tipo de

tarefa, é preciso que se tenha um objeto relativamente preciso. Como exemplo o

autor indica: subir escadas é um tipo de tarefa, mas subir simplesmente não é. Do

mesmo modo, calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo de tarefa, mas

calcular somente é o que o autor denomina gênero de tarefa, que demanda uma

determinação.

Segundo Chevallard (1998), um gênero de tarefas é apresentado sob a forma

de diferentes tipos de tarefas, incluindo o conteúdo intimamente relacionado.

Calcular... é um gênero de tarefas, calcular o valor (exato) de uma expressão

numérica contendo um radical é um tipo de tarefa, bem como calcular o valor

numérico de uma expressão que contém a letra x quando o valor de x é dado.

Durante os anos de faculdade, o gênero Calcular... é enriquecido com novos tipos

de tarefas; será o mesmo da época da escola, em que os estudantes irão primeiro

aprender a calcular com vetores, e depois, mais tarde, a calcular uma integral ou

uma primitiva e assim por diante. O mesmo ocorre, naturalmente, para os gêneros

Demonstrar ..., Construir..., ou Expressar ... em função de ...

Finalmente, o autor conclui que as tarefas, os tipos de tarefas e os gêneros de

tarefas não são dados pela natureza: eles são os "artefatos", as "obras", as

construções institucionais, cuja reconstrução em tal instituição, por exemplo, em uma

classe, é um problema em si, sendo assim objeto de estudo da didática. Após definir

tarefa, tipo de tarefa e gênero de tarefas, Chevallard (1998) observa que tratará

62

primeiro a estática das praxeologias, ignorando sua dinâmica e, em particular, sua

gênese.

Para tal fim, considera que uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa T.

precisa, em princípio, de uma maneira de fazer, de realizar as tarefas de tipo T, logo,

t T . Essa maneira de fazer é indicada por e denominada técnica (do grego

tekhnê, saber-fazer). Assim, uma praxeologia relativa ao tipo de tarefa T contém

uma técnica relativa à T. Logo, a praxeologia é composta de um bloco prático-

técnico [T, ], que o autor identifica como um saber-fazer. Dessa forma, saber fazer

certo tipo de tarefa T é dispor de certa maneira para realizar as tarefas desse tipo.

O autor observa ainda que, se uma técnica corresponde a uma maneira de

fazer, ela só pode ser bem sucedida para uma parte )( de tarefas do tipo T às

quais ela está relacionada, parte que ele denomina de âmbito de aplicação da

técnica. Portanto, a técnica pode falhar para o complementar T\ )( , isto é,não

sabemos executar todas as tarefas de tipo T. Como exemplos, o autor considera

que qualquer técnica de cálculo para os números naturais falha a partir de certa

magnitude desses números e o fato que não sabemos, em geral, fatorar um inteiro

dado, principalmente quando essa fatoração depende de certas técnicas

criptográficas. Isso o conduz a ressaltar que, muitas vezes, em matemática

esquecemos que uma mesma técnica não permite executar todas as tarefas do

mesmo tipo.

Além disso, Chevallard (1998) observa que uma técnica pode ser superior a

outra, mesmo sobre o tipo de tarefa T como um todo, pelo menos para uma

determinada parte de T.

Nesse momento, antes de tratar da natureza das técnicas, nos parece

interessante apresentar um exemplo de técnica associada a um tipo de tarefa. Para

tanto, utilizamos a tarefa FUVEST– primeira fase (2011).

Considerado o tipo de tarefa dado nesse exemplo que corresponde a

identificar a translação da função em relação ao eixo das ordenadas, calcular o valor

numérico dos pontos dados e resolver um sistema de equações exponenciais.

Mesmo se tratando do tipo de tarefa: Determinar o valor dos coeficientes de uma

função exponencial dada por meio de sua representação algébrica. Se trabalhamos

apenas com funções do tipo f(x) = abx, com a= 2, , 3 e , não dispomos das técnicas

63

necessárias para calcular o valor numérico dos coeficientes da função dada, mesmo

se as técnicas de cálculo do valor numérico da função e método de solução de

sistemas de equações exponenciais são conhecidas. No caso, observamos que a

representação do conjunto imagem por meio de um intervalo aberto, em geral, não é

tratada no Ensino Médio assim como a translação da função em relação ao eixo das

ordenadas.

Nesse sentido, cabe considerar a ressalva feita por Chevallard (1998) de que

nem toda técnica tem natureza algorítmica ou quase algorítmica, mas, em

matemática, existe uma tendência para a algoritmização, embora dependa do tipo

de tarefa normalmente mais complexa.

O exemplo escolhido para ilustrar o nosso referencial teórico mostra que, na

tarefa da FUVEST– primeira fase (2011), a técnica não depende apenas dos

algoritmos geralmente desenvolvidos no Ensino Médio, mas é preciso analisar o

conjunto imagem seja esboçando o gráfico da função seja apenas considerando a

translação da função em relação ao eixo das ordenadas. Para tal, basta interpretar o

conjunto imagem, que é dado por meio de uma representação em intervalos.

Portanto, não existe uma técnica algorítmica para desenvolver essa parte da tarefa.

Observamos ainda que a tarefa possa ser considerada mais complexa justamente

por essa necessidade de interpretar as representações da função sem que para isso

seja necessário desenvolver cálculos algorítmicos.

Chevallard (1998) enfatiza ainda que, em uma dada instituição, para um

determinado tipo de tarefa T, é desenvolvida apenas uma técnica ou um número

reduzido das mesmas, excluindo algumas alternativas possíveis, mas que podem

existir em outras instituições. Segundo o autor, essa exclusão está associada aos

atores da instituição e os conduz a uma verdadeira paixão institucional pelas

técnicas naturalizadas na instituição.

Após definir técnica como uma maneira de fazer e dar exemplos que mostram

que as diferentes técnicas não são algoritmos e dependem dos atores das

instituições, Chevallard (1998) introduz a noção de tecnologia, denotada por que

corresponde a um discurso racional (logos) sobre a técnica (tekhnê - ). Segundo o

autor, esse discurso é focado inicialmente na justificativa racional da técnica de

forma a garantir que a mesma permita que muitos sejam capazes de realizar as

64

tarefas de tipo T. Essa definição de tecnologia leva o autor a esclarecer que o estilo

da racionalidade varia segundo a instituição.

Chevallard admite como fato da observação que em uma instituição I, seja

qual for o tipo de tarefas T, a técnica relativa a T está sempre acompanhada de

pelo menos um embrião ou, mais frequentemente, de um vestígio de tecnologia .

Em muitos casos, até mesmo certos elementos tecnológicos são integrados à

técnica.

Como exemplo, o autor considera a aritmética elementar, em que o mesmo

discurso tem uma dupla função, técnica e tecnológica, na medida em que permite

tanto encontrar o resultado exigido (função da técnica) como justificar que este é o

resultado esperado (função da tecnológica), como quando alguém diz: “Se 8 pirulitos

custam 10 Francos, 24 pirulitos, são 3 vezes 8 pirulitos, custarão 3 vezes mais, logo,

3 vezes 10 Francos”. Assim, o fato de existir uma técnica canônica, em princípio

somente reconhecida e aplicada, confere a esta técnica uma virtude

"autotecnológica": fazer assim, não exige uma justificativa, uma vez que esta é a

maneira correta de fazer em I.

O autor destaca ainda que uma segunda função da tecnologia é de explicar,

tornar inteligível, esclarecer a técnica. Assim, se a primeira função justificar

corresponde a fornecer o que é pretendido, a segunda consiste em explicar por que

isso ocorre. Segundo Chevallard (1998), essas duas funções são assumidas de

maneira desigual e, em matemática, a função justificar prevalece tradicionalmente

por meio da exigência da demonstração, sobre a função explicar. As tecnologias têm

ainda uma terceira função que é produzir técnicas.

Chevallard (1998) esclarece ainda que o discurso tecnológico contém

afirmações mais ou menos explícitas para as quais podemos perguntar o porquê

desse discurso. Isso conduz a um nível superior de justificativa-explicação-

produção, que Chevallard (1998) denota e denomina teoria, que corresponde ao

discurso tecnológico ou à tecnologia da tecnologia.

Isso permite a Chevallard (1998) considerar que, em torno de um tipo de

tarefa T, está, em princípio, um trio constituído por uma técnica (pelo menos uma)

, uma tecnologia de , , e uma teoria de , . O todo constitui uma

praxeologia pontual denotada [T/ / / ], isto é, uma praxeologia relativa a um

65

único tipo de tarefa T. Tal praxeologia ou organização praxeológica é constituída de

um bloco prático técnico [T/ ] e de um bloco tecnológico-teórico [ / ]. O bloco

[ / ] é, normalmente, identificado com um saber e o bloco [T/ ] com um saber

fazer. Segundo o estudioso, vulgarmente designamos uma praxeologia [T/ / / ]

inteira ou mesmo parte dela como sendo um saber, o que incentiva a redução do

saber fazer e, assim, a produção de divulgação de praxeologias, pois existem

tecnologias que esperam ser empregadas pela primeira vez e outras que não são

mais utilizadas.

Chevallard (1998) justifica a ênfase dada ao saber, explicitando que

raramente encontramos praxeologias pontuais. Geralmente, em uma instituição

dada I, uma teoria propicia várias tecnologias, cada uma das quais, por sua vez,

justifica e torna inteligível várias técnicas, correspondentes a todos os tipos de

tarefas. As organizações pontuais vão então se agregar, primeiramente em

organizações locais, centradas em uma determinada tecnologia, em seguida, em

organizações regionais, formadas no entorno de uma teoria.

As organizações globais são praxeologias complexas obtidas, em uma

instituição dada, para agregar as várias organizações regionais correspondentes às

várias teorias. Assim, a passagem de uma praxeologia pontual para uma

praxeologia local centra-se na tecnologia, da mesma maneira que a subsequente

praxeologia regional terá como primeiro plano a teoria. Dessa forma, em ambos os

casos, a visibilidade do bloco dos saberes aumenta em detrimento daquele do

saber-fazer. Tal desequilíbrio, sem dúvida, pode ser justificado porque, em muitos

casos, os tipos de tarefas T precedem o bloco teórico, que foi construído como meio

para justificar uma técnica relacionada a um tipo de tarefa, mas, estruturalmente, o

saber pode gerar uma técnica para um dado tipo de tarefa, o que pode conduzir à

apresentação do saber fazer, nos livros didáticos, como uma simples aplicação do

saber.

Como exemplos no ensino da matemática, Chevallard (1998) considera que

um tema de estudo é frequentemente identificado com uma determinada tecnologia,

por exemplo, teorema de Pitágoras, teorema de Tales, ou melhor, implicitamente,

com o bloco teórico ou do saber correspondente, pois essa tecnologia permite

produzir e justificar, por meio de aplicações, as técnicas relativas a vários tipos de

tarefas. Convém notar, entretanto, que outros temas de estudo, tais como fatoração

66

e resolução de equações, são expressos tradicionalmente em termos de tipos de

tarefas.

Chevallard (1998) ressalta que a noção de praxeologia como foi apresentada

mostra-se bastante genérica, exigindo que se aprofundem os estudos sobre as

mesmas. Isso pode ser efetuado por meio da investigação empírica e da análise de

dados observacionais recolhidos. Para tanto, é importante observar que, antes de

definir praxeologia, Chevallard (1992, 2007) introduz a noção de relação de uma

pessoa X a um objeto O, R(X, O), ou de uma instituição I a esse mesmo objeto,

RI(O).

Segundo Chevallard (1992), os objetos ocupam uma posição privilegiada,

pois são o “material e base” da construção teórica. Assim, para ele, tudo é objeto,

logo, as pessoas X e as instituições I são objetos de um tipo particular. Desse modo,

um objeto existe no momento em que uma pessoa X ou uma instituição I reconhece

esse objeto como existente. Assim, diremos que o objeto O existe se existe pelo

menos uma pessoa X ou uma instituição I que tem uma relação com este objeto.

Isso conduz o autor a considerar que conhecer um objeto O, no sentido da teoria

apresentada, é tanto para uma pessoa como para uma instituição ter uma relação

com O. A pessoa X (ou a instituição I) conhece O se existe R(X,O) (respectivamente,

RI(O)). Podemos dizer que um objeto existe se ele é conhecido por pelo menos uma

pessoa ou uma instituição, mas ele poderá existir apenas para esta pessoa ou para

esta instituição.

Chevallard (2007) explicita que a escolha de introduzir esses elementos na

teoria deve-se, por um lado, ao fato de subordinar sob uma única entidade toda a

cultura que, no seu frenesi “psicológico”, foi desenvolvida em torno da vida da mente

e, por outro lado, objetivar a infinidade heterogênea de posturas pessoais ou

institucionais que podem coexistir dentro de um espaço cognitivo culturalmente

compartilhado. Como exemplo, o autor cita a noção de logaritmo, a qual, em sua

opinião, nenhuma insitituição pode ”possuir”, mas existe a relação que ele,

pessoalmente, tem com essa noção, assim como aquela que ele deveria ter quando

ocupasse tal posição em determinada instituição. Essa relação não é a mesma para

o professor de matemática e física de uma determinada etapa escolar. A noção

assumida é aquela que evocamos quando, por exemplo, tal sujeito de determinada

instituição pergunta se conhecemos essa noção, ou seja, trata-se da noção que

supomos em conjunto, uma vez que fazemos parte de uma cultura comum.

67

Chevallard (2007) esclarece que a noção de relação permite formular

facilmente diversos problemas, pois ela fornece uma linguagem que possibilita

precisar certas descrições. Como exemplo, o autor apresenta a questão da

avaliação, ou seja, se consideramos que, em uma instituição, a relação de um

sujeito, em determinada posição, com um objeto para o qual existe uma relação

institucional não vazia, somos levados a supor que as pessoas que estão numa

determinada posição e se sujeitam a essa instituição devem ter certo conhecimento

desse objeto, ou seja, o descrito pela relação institucional. Quando esse

conhecimento é avaliado por um especialista da instituição, supõe-se que ele

apreciará o grau de conformidade da relação pessoal com a relação institucional

para o mesmo objeto.

A partir do exemplo acima, Chevallard (2007) enfatiza a relatividade dos

conteúdos e das formas de conhecimento que eles inspiram e alimentam. Assim, a

definição de relação a um objeto faz aparecer nessa relação tudo o que a pessoa é

conduzida a fazer com esse objeto, incluindo o que ela pensa ou mesmo sonha em

realizar. Isso conduz à noção de praxeologia que possibilita o estudo mais refinado

dessa relação. Assim, para observar o nascimento ou a evolução de uma relação a

um objeto, seja ela institucional ou pessoal, devemos observar o indivíduo ou a

instituição em atividades nas quais eles ativam esse objeto. Isso conduz

progressivamente às noções de tipo de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias.

Para melhor explicitar a relação a um objeto por meio da noção de

praxeologia, Chevallard (2007) considera o exemplo de uma instituição na qual os

sujeitos em determinada posição tenham somente que resolver equações da forma

ax= b utilizando a seguinte técnica: Escrever a equação dada sob a forma a

bx

ln

ln ,

em seguida, utilizar a calculadora para efetuar a operação indicada. Ao usar essa

técnica, podemos considerar que a relação com o objeto “logaritmo” corresponde

apenas à tecla da calculadora utilizada para resolver equações do tipo ax= b. Para o

autor, isso conduz à dinâmica cognitiva, estilizando o objeto em função do emprego

que dele fazemos.

O exemplo acima conduz Chevallard (2007) a considerar as noções de

ostensivos e não ostensivos que possibilitam explicitar, para o exemplo

demonstrado, o papel do objeto logaritmo em função dos ostensivos manipulados e

68

das regras de manipulação utilizadas que por sua vez existem por meio dos não

ostensivos que as sustentam.

Para melhor compreender essa relação entre as noções de ostensivos e não

ostensivos com as noções de relação a um objeto e praxeologia, definimos a seguir

ostensivos e não ostensivos e seu papel na Teoria Antropológica do Didático nos

referindo a Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999).

Após considerar que em toda atividade humana, somos chamados a realizar

diferentes tipos de tarefas e que para cada uma delas existe uma técnica,

Chevallard (1994) coloca as seguintes questões:

Do que é feita uma técnica?

De que ingredientes ela é composta?

Em que consiste a “execução” de uma técnica?

Para responder a essas questões, Chevallard (1994) estabelece uma

distinção fundamental entre dois tipos de objetos: os objetos ostensivos e os objetos

não ostensivos.

Chevallard (1994) define ostensivos como sendo os objetos que têm para nós

uma forma material, sensível. Exemplos:

• Um objeto material (uma caneta, um compasso, etc.) é um ostensivo.

• Também são objetos ostensivos:

• Os gestos: ostensivos gestuais;

• As palavras, e, mais genericamente, o discurso : ostensivos

discursivos;

• Os esquemas, desenhos, grafismos: ostensivos gráficos;

• As escritas e os formalismos: ostensivos escriturais.

A característica dos ostensivos é que eles podem ser manipulados. Essa

manipulação sendo considerada no sentido amplo, isto é, a manipulação no sentido

estrito (compasso, caneta, etc), mas também pela voz, olhar, etc. Ao contrário dos

objetos ostensivos, os objetos não ostensivos, que denominamos usualmente de

noções, conceitos, ideias, etc., não podem ser manipulados, eles só podem ser

evocados por meio da manipulação dos ostensivos associados.

Como exemplo dos objetos ostensivos e não ostensivos, Chevallard (1994)

utiliza a noção de logaritmo e, por meio da equação exponencial 2x = 10, explicita

que, na sua solução, utilizamos tanto ostensivos como não ostensivos, tal como é

possível observar no texto a seguir.

69

Consideramos que, ao dizer que “tomamos o logaritmo dos dois membros”,

estamos utilizando os ostensivos gestuais, discursivos e escriturais, mas existe

também o conceito de logaritmo que é mencionado por meio do não ostensivo

escritural ou discursivo quando esses são disponíveis. Os ostensivos escriturais

permitem escrever, por exemplo: 2x = 10 ↔ ln2x = ln10 ↔ x ln2 = ln10 ↔ x =

(ln10)/(ln2). Assim, a técnica para resolver equações da forma ax = b supõe um

sistema de ostensivos conectados e articulados a certo número de não ostensivos

(por exemplo: o conceito de logaritmo).

Observamos que, ao mencionar a palavra logaritmo, estamos nos referindo

ao não ostensivo enquanto que, ao dizer que “tomamos o logaritmo dos dois

membros”, trata-se do ostensivo que será aplicado à equação exponencial para

desenvolver a técnica que permite resolvê-la. Isso conduz Chevallard (1994) a

observar que existe uma dialética necessária entre ostensivos e não ostensivos, pois

os ostensivos são manipulados por meio de regras, cuja distinção é feita pelos não

ostensivos, enquanto que os não ostensivos são evocados por meio da manipulação

dos ostensivos.

Dessa forma, a resposta para as três questões colocadas inicialmente sobre a

composição de uma técnica e como executá-la é que toda técnica supõe a ativação

de um complexo de objetos, uns ostensivos, os que serão manipulados, e outros

não ostensivos, os que serão evocados. Logo, a manipulação dos ostensivos é

regrada com a ajuda dos não ostensivos e estes, inversamente, são evocados com

a ajuda dos ostensivos.

Considerando o exemplo sobre logaritmo e a composição das técnicas,

Chevallard (1994) ressalta que os ostensivos discursivos são essenciais. Em

conjunto com os ostensivos gestuais e gráficos, eles constituem o material mais

primitivo de toda atividade humana.

Chevallard (1994) adverte que a atividade matemática, em geral, conduz a

esquecer o papel dos ostensivos, o que corresponde a uma visão idealista da

atividade humana, pois essa visão leva a considerar os não ostensivos como

necessários e essenciais, enquanto que os ostensivos seriam apenas contingentes e

não essenciais. Por exemplo, o conceito de logaritmo sendo essencial para a

solução das equações do tipo ax = b, enquanto que a notação ln seria apenas

contingente.

70

Por outro lado, Chevallard (1994) mostra ainda como uma visão materialista

da atividade matemática se opõe à visão idealista por meio das noções de

ostensivos e não ostensivos, pois a visão materialista corresponde a considerar a

atividade matemática como material e, assim, os não ostensivos não poderiam

existir sem os ostensivos e nem estes últimos sem os primeiros.

Assim, essa mudança de visão da atividade matemática tem consequências

imediatas. Como exemplo Chevallard (1994) considera “o sinal de equivalência, que

foi banido do atual ensino secundário (ensino médio) francês até um nível

relativamente elevado”. O motivo para retirá-lo é que os estudantes não

compreendem a noção de equivalência e seriam conduzidos apenas a utilizar esse

símbolo sem compreendê-lo, o que corresponde a uma visão idealista.

Isso conduz Chevallard (1994) a contrapor essa justificativa por meio da

dialética entre ostensivos e não ostensivos. Segundo o autor, a ideia subjacente é

que convém compreender primeiro (“abstratamente”) a noção de equivalência antes

de utilizar (“concretamente”) o sinal de equivalência. No entanto, inversamente,

podemos sustentar que a noção de equivalência e o emprego regrado do sinal de

equivalência se elaboram em conjunto, em uma dialética na qual o sinal tem um

papel tão importante quanto o conceito: a noção de equivalência emerge do

emprego, cada vez retificado, do sinal de equivalência.

Chevallard (1994) conclui, afirmando que a “compreensão” de um conceito

matemático depende da técnica em que esse conceito é utilizado. Ela depende de

todo o sistema de objetos não ostensivos e ostensivos ativados por essa técnica.

Como exemplo ele utiliza a noção de proporcionalidade, pois, na opinião do autor,

para compreender a noção de proporcionalidade, deve-se executar de maneira

pertinente pelo menos uma técnica de resolução de problemas de

proporcionalidade.

Além disso, Chevallard (1994) considera que a compreensão de uma noção

difere segundo a técnica utilizada. Como exemplo ele apresenta o seguinte

problema de proporcionalidade: 5 balas custam 6 reais. Quanto custará 7 balas?

Esse problema pode ser resolvido por uma das seguintes técnicas:

• Técnica do século XVIII. Temos: 5 : 6 : : 7 : x.

• Técnica do século XX. Temos: f(5) = 6 com f linear.

Logo , f(7) = f(7.1) = 7f(1) =7.(1/5) f(5) = (7/5) x 6 = ...

71

Apresentamos a seguir um organograma por nós construído que resume a

relação entre as noções de praxeologia, relações institucionais e pessoais e

ostensivos e não ostensivos enquanto elementos da Teoria Antropológica do

Didático que servem de ferramenta para análise das atividades matemáticas:

72

Figura 3 - Elementos da Teoria Antropológica do Didático. Fonte: a pesquisa.

OSTENSIVOS

NÃO OSTENSIVOS

RELAÇÃO PESSOAL Intervir

RELAÇÃO INSTITUICIONAL

BLOCO PRÁTICO-TÉCNICO

(SABER FAZER)

- t TAREFAS T TIPO DE

TAREFAS

resolver

- TÉCNICAS

BLOCO TEÓRICO-

TECNOLÓGICO (SABER)

- TECNOLOGIA DAS

TÉCNICAS

justificar,explicar,

produzir

- TEORIA DAS TÉCNICAS

compor compor

Justificar, explicar, produzir

manipular

evocar

73

Ainda com relação à Teoria Antropológica do Didático, consideramos as

noções de ecologia e os níveis de co-determinação que também são ferramentas de

análise utilizadas nessa pesquisa. Isto porque, nos diferentes momentos, o saber e o

saber fazer sobrevivem e se reconstroem em função das expectativas institucionais,

o que nos conduziu a levar em conta essas duas noções associadas à Teoria

Antropológica do Didático.

A noção de ecologia dos saberes corresponde à pesquisa da vida dos

mesmos nas instituições, pois esses dependem de adaptações às restrições que

muitas vezes estão associadas à economia de saberes. Chevalard (2002, 2002a),

ao considerar a noção de ecologia, define habitat como o lugar onde vivem os

objetos matemáticos considerados, nicho correspondendo à função que esses

objetos ocupam em cada um de seus habitats e milieu como o conjunto dos objetos

para os quais a relação institucional é estável e não problemática.

Assim, para o caso do estudo das funções exponenciais no Brasil, podemos

supor que seu primeiro habitat é o estudo das funções numéricas no Ensino Médio e

seu segundo habitat é o das disciplinas em que ela pode ser utilizada para a

introdução de novas noções, como Cálculo Diferencial e Integral ou para a aplicação

à modelagem de situações de outras ciências como a Física, o que supõe uma

sobrevivência que deve se adaptar às condições e restrições de vida em cada

habitat. Essas possibilidades de viver em diferentes lugares fazem com que, no

Ensino Médio, a função exponencial tenha um papel de assimilação por meio de

seus ostensivos de representação, podendo ser aplicada em determinadas

situações contextualizadas, e, no Ensino Superior, sua função é servir de ferramenta

explícita na introdução de novos conhecimentos matemáticos ou na modelagem de

situações das outras ciências. Dessa maneira, podemos considerar que os

ostensivos de representação algébrico (fórmula) e gráfico da função exponencial

correspondem ao milieu em ambos os habitats em que ela sobrevive no sistema de

ensino brasileiro.

As praxeologias são os componentes dos diferentes habitats e, segundo

Chevallard (2007a), as condições e restrições que determinam o processo de

difusão praxeológico são exploradas e localizadas com a ajuda de uma escala que

contém diferentes níveis de co-determinação uma vez que elas podem se situar em

determinado nível da escala, mas podem se exprimir em outro. Assim, não podemos

isolar o que se passa em uma classe do conjunto do sistema de ensino. Para a

74

análise das condições e restrições de difusão do processo de difusão praxeológico,

Chevallard (2007a) define os seguintes níveis de co-determinação: tópicos ↔ temas

↔ setores ↔ domínios ↔ disciplinas ↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔

civilização.

Esses níveis descrevem as relações recíprocas entre os níveis mais

específicos e os mais gerais do sistema didático. Assim, para as organizações

matemáticas, podemos considerar o tema associado a uma tecnologia e a uma

organização matemática local como, por exemplo, a representação gráfica da função

exponencial cujos tópicos podem estar associados a um tipo de tarefa e ligado a um

setor que corresponde a uma teoria, por exemplo, o estudo das funções numéricas.

Esse setor podendo estar mergulhado em um domínio, como o da álgebra que, por

sua vez, faz parte de uma disciplina, a matemática, para a qual existem indicações

de estratégias e técnicas para desenvolvê-la, isto é, a pedagogia a ser considerada,

que pode ser escolhida pelo grupo de professores de uma determinada escola que

segue as orientações de documentos construídos pela sociedade que, por sua vez,

está mergulhada em determinada civilização.

Chevallard (2007a) introduz os diferentes níveis e os denomina níveis de co-

determinação porque seus efeitos são sentidos nos dois sentidos, como podemos

evidenciar por meio do exemplo citado e do esquema: tópicos ↔ temas ↔ setores

↔ domínios ↔ disciplinas ↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização.

Desse modo, o que podemos fazer em determinado nível depende das

condições e restrições criadas pelas escalas superiores que iniciam por civilização.

Além disso, ao modificar as condições e restrições de um nível inferior, teremos

repercussões sobre os níveis superiores.

Chevallard (2007a) ressalta que tradicionalmente os estudantes se limitam

aos tópicos, os professores aos temas, os setores, domínios e mesmo as disciplinas

são da responsabilidade dos responsáveis pela construção dos programas e os

didatas se limitam à disciplina. Ainda segundo o autor, a Teoria Antropológica se

interessa necessariamente pelos níveis superiores, ou seja, pedagogia, escola,

sociedade e civilização.

Portanto, deve-se considerar a importância das análises didáticas e das

ferramentas que possibilitam a construção de cenários de aprendizagem para que

os estudantes construam seus conhecimentos. Além disso, é preciso permitir que os

dicentes possam edificar seus saberes por meio de uma organização que lhes

75

auxiliem a tratar de situações variadas, já que dispõem de, pelo menos, uma parte

das noções visadas.

Para tanto, Robert (1997, 1998) propõe a abordagem em torno dos três níveis

de conhecimento esperados dos estudantes que, segundo a autora, podem auxiliar

o professor a construir esses cenários de aprendizagem. Esse trabalho poderá

também auxiliar o professor na escolha dos saberes visados, conforme tentamos

mostrar na breve apresentação da abordagem proposta por Robert.

4.4 OS TRÊS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS ESTUDANTES

Robert (1997, 1998) apresenta um estudo sobre algumas ferramentas de

análise epistemológica e didática para organizar os conhecimentos matemáticos a

serem ensinados no Ensino Médio e na Universidade. Então, ao tratar da construção

de cenários de aprendizagem, a pesquisadora introduz uma nova ferramenta

denominada os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes. Esses níveis

são:

O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto. Está

relacionado principalmente aos procedimentos e definições utilizadas em uma

determinada tarefa. Para o caso das funções exponenciais, definidas dos reais nos

reais, podem-se considerar os seguintes exemplos como correspondentes a um

nível técnico da atividade matemática:

Figura 4 - Exemplo 1 Nível técnico da atividade matemática. Fonte: Dante (2010, p. 241).

76

Figura 5 - Exemplo 2 Nível técnico da atividade matemática. Fonte: Dante (2010, p. 241).

Figura 6 - Exemplo 3 Nível técnico da atividade matemática. Fonte: Souza (2010, p.162).

Observamos nos exemplos demonstrados que as tarefas exigem apenas a

aplicação da definição de valor numérico (exemplo 1), construção de gráfico e

determinação do conjunto imagem (exemplo 2) e identificação de funções

exponenciais dadas por meio de sua fórmula, o que subentende a utilização da

definição (exemplo 3).

O nível mobilizável corresponde a um início de justaposição de saberes de

certo domínio, podendo até corresponder a uma organização. Vários métodos

podem ser mobilizados. O caráter ferramenta e objeto do conceito estão em jogo,

mas o que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é

considerado mobilizado, se acessível, isto é, se o estudante o utiliza corretamente.

77

Exemplos:

Figura 7 - Exemplo 1 Nível mobilizável da atividade matemática. Fonte: Dante (2010, p. 256).

Figura 8 - Exemplo 2 Nível mobilizável da atividade matemática.

Fonte: Dante (2010, p.257).

Figura 9 - Exemplo 3 Nível mobilizável da atividade matemática. Fonte: Dante (2010, p. 241).

78

Podemos observar que, nos exemplos considerados, identificamos o nível

mobilizável, pois, no exemplo 1, trata-se de uma situação contextualizada para a

qual a função é definida explicitamente. No exemplo 2, é dada a função e a equação

exponencial e o estudante precisa relacioná-las. Já no exemplo 3, o estudante deve

mobilizar a condição para que uma função exponencial seja crescente ou

decrescente.

O nível disponível corresponde a saber responder corretamente o que é

proposto sem indicações de poder, por exemplo, dar contra-exemplos (encontrar ou

criar), mudar de quadro (fazer relações) e aplicar métodos não previstos. Esse nível

de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento de situações de

referência variadas que o estudante sabe que as conhece (servem de terreno de

experimentação), ao fato de dispor de referências, de questionamentos, de uma

organização, podendo funcionar para um único problema ou possibilitando fazer

resumos.

Exemplos:

Figura 10 - Exemplo 1 Nível disponível da atividade matemática. Fonte: Paiva (2009, p.180).

79

Figura 11 - Exemplo 2 Nível disponível da atividade matemática. Fonte: Dante (2010, p. 256).

Nos exemplos, não existem representações nem algébrica, nem gráfica que

auxiliem os estudantes a identificar qual a função em jogo. Esse tipo de tarefa deve

apresentar maior dificuldade do que as apresentadas como nível mobilizável. Os

dois exemplos que correspondem ao nível disponível e representam situações

denominadas de “problemas cotidianos” ou “problemas contextualizados” são os que

apresentam maior dificuldade, pois nem sempre fazem parte do cotidiano ou do

contexto dos estudantes, exigindo que os discentes reconheçam nelas alguma

situação familiar para que possam buscar em suas estruturas cognitivas os

elementos necessários para sua solução. Sendo assim, parece interessante verificar

que tipos de situação são propostas aos estudantes, isto é, que tipo de relação

institucional existe para que seja possível compreender melhor as relações pessoais

que podem ser desenvolvidas.

No capítulo que segue, apresentamos as relações institucionais esperadas

para o processo de estudo e ajuda ao estudo dos estudantes dos Ensinos Médio e

Superior quando se introduz a noção de função exponencial ou quando é preciso

utilizá-la como ferramenta explícita para a solução de novas tarefas ou na introdução

de novos conhecimentos.

80

5 A EVOLUÇÃO DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS ANALISADAS

POR MEIO DOS DOCUMENTOS OFICIAIS DO ENSINO MÉDIO E ENSINO

SUPERIOR


O desenvolvimento das relações institucionais esperadas tanto para o Ensino

Médio como para o Ensino Superior obedecem a dinâmicas complexas que

dependem das condições e restrições impostas pelos vários atores que agem nos

diferentes níveis de co-determinação que compõem o sistema de ensino. As

questões associadas a esse desenvolvimento podem ser abordadas de diversas

formas, mas trataremos apenas das questões didáticas associadas a uma noção

matemática específica que é a noção de função exponencial, suas propriedades e

representações tendo em vista que é este o foco de nossa investigação.

Assim, neste capítulo, demonstramos alguns resultados sobre a evolução das

propostas institucionais para a introdução da noção de função exponencial no

Ensino Médio brasileiro, observando que as mudanças estão associadas ao decreto

de 1996, o qual estabeleceu as diretrizes e bases para a educação nacional. Essa

lei foi complementada em 2001, com o Plano Nacional de Educação cujos objetivos

são: elevar o nível de escolaridade da população, melhorar a qualidade de ensino

em todos os níveis, reduzir as desigualdades sociais e regionais em relação ao

acesso e à permanência na educação pública e democratizar a gestão do ensino

público prevendo a participação dos profissionais da educação na elaboração do

projeto pedagógico da escola e a participação da comunidade escolar e local nos

conselhos escolares e equivalentes.

Para atingir esses objetivos, foi priorizado o ensino obrigatório dos 7 aos 14

anos, que foi estendido para dos 6 aos 14 anos a partir de 2004, a ampliação do

atendimento nos Ensinos Médio e Ensino Superior, a valorização dos profissionais

da educação e desenvolvimento de sistemas de informação e avaliação em todos os

níveis e modalidades de ensino.

81

Observamos assim que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96 e

o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Bases) em

2001, consideram a necessidade de ampliar o atendimento tanto do Ensino Médio

como do Ensino Superior. Para tanto, novas propostas curriculares foram

introduzidas na tentativa de melhorar o ensino desde a Educação Básica até o

Ensino Superior.

Certamente, essas propostas impactaram em todas as etapas escolares, em

particular, na transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior, pois as mudanças

propostas para o Ensino Médio precisam ser consideradas quando se elaboram os

currículos dos diferentes cursos do Ensino Superior. Isto especialmente em relação

aos cursos de licenciatura em matemática cujo objetivo é a formação inicial dos

futuros professores, como é o caso do curso de licenciatura em matemática, objeto

deste estudo.

Assim, além do estudo da evolução das propostas institucionais para o Ensino

Médio, analisamos também os planos de ensino de 3 universidades públicas, 1

universidade privada e 1 centro universitário que correspondem às propostas

curriculares para o desenvolvimento das diferentes disciplinas dos cursos do Ensino

Superior. Nesse trabalho, consideramos apenas os planos de ensino para as

disciplinas em que a noção de função exponencial é tomada como um objeto de

estudo, uma ferramenta explícita para a introdução de novos conhecimentos ou para

a aplicação em tarefas intra ou extramatemáticas.

Verificamos que, ao mesmo tempo em que se delinearam os objetivos e as

prioridades da educação no Brasil por meio da Lei de Diretrizes e Bases da

Educação nº 9394/96 e o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de

Diretrizes e Bases) em 2001, considerando que a avaliação nacional deve levar em

conta a redução das desigualdades sociais e regionais e a democratização da

gestão do ensino público, iniciou-se a implementação dos Parâmetros Curriculares

Nacionais em 1997. Nestes, encontramos referenciais para a renovação e

reelaboração da proposta curricular, que fica a cargo de cada escola, pois o Plano

Nacional da Educação prevê a participação de todos os profissionais da educação

na construção dessa proposta.

Iniciaremos, portanto, nossa exposição por meio de uma breve apresentação

dos objetivos e da proposta de tratamento dos conteúdos matemáticos a partir do

82

Ensino Fundamental, dando ênfase ao tratamento da noção de função. Este estudo

é feito nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental.


FUNDAMENTAL

Em 1997, foram publicados os Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL,1997) para o Ensino Fundamental, em que se encontram os objetivos em

termos das capacidades que se espera que os estudantes desenvolvam durante

essa etapa escolar. Isso conduz à indicação dos objetivos gerais a seguir como

escopo para o desenvolvimento da matemática no Ensino Fundamental.

- identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e

transformar o mundo à sua volta [...]

- fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto

de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre

eles [...]

- resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados [...]

- comunicar-se matematicamente [...]

- estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos [...]

- sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos

[...]

- interagir com seus pares de forma cooperativa [...] respeitando o modo de pensar

dos colegas e aprendendo com eles.

Quadro 2 - Escopo para o desenvolvimento da matemática no Ensino Fundamental. Fonte: BRASIL (1997, p. 37).

Em relação aos conteúdos a serem desenvolvidos, salienta-se que o estudo

dos números e das operações deve ser contemplado e trabalhado no campo da

Aritmética e da Álgebra, o estudo do espaço e a forma no campo da Geometria e o

estudo das grandezas e medidas por meio da articulação entre os campos da

Aritmética, Álgebra e Geometria. Isto significa que é importante que o professor

83

possa agir nas escolhas relacionadas a esses campos, os quais, em nossa

pesquisa, correspondem à articulação de quadros.

Nesse sentido, podemos destacar que a ação do professor depende de sua

formação inicial e contínua e que se insere no nível de co-determinação escola, isto

é, o professor deve ser capaz de identificar, nos diferentes quadros, as formas de

tratamento dos conteúdos com seus estudantes.

Para auxiliar os docentes nessa tarefa, o documento apresenta uma breve

discussão sobre a forma de trabalho relacionada aos domínios que são introduzidos

no Ensino Fundamental. A ênfase para o final do segundo ciclo dessa etapa escolar

deve ser dada à Álgebra para a qual se propõe o trabalho com situações-problema

que ajudem os estudantes a modelar, demonstrar e representar problemas por meio

de equações, identificando parâmetros, variáveis e relações e conhecendo as regras

para a solução de uma equação.

O documento ressalta ainda que existe uma variedade de conexões entre os

diferentes campos, ficando a cargo dos professores as escolhas de articulação entre

esses campos. Em outras palavras, o professor é chamado a participar do nível de

co-determinação pedagogia uma vez que suas escolhas estão associadas à visão

que o docente tem da aprendizagem e ao papel que se deseja exercer no processo

de estudo e ajuda ao estudo.

Para isso, o trabalho deve ser desenvolvido por meio de diferentes recursos,

entre os indicados estão: resolução de problemas, história da matemática,

tecnologias da informação e jogos. Observamos que essa proposta vem ao encontro

de vários estudos desenvolvidos nos programas de pós-graduação em Educação

Matemática, o que pode ser considerado como incentivo ao desenvolvimento desse

campo de pesquisa no Brasil.

No que se refere à introdução da noção de função no Ensino Fundamental, a

proposta indica que o estudo da proporcionalidade permite articular diferentes

noções, tais como a resolução de problemas multiplicativos, o estudo de

porcentagem, de semelhança de figuras, de matemática financeira e a análise de

tabelas, gráficos e funções. A proposta é que se dê ênfase aos fenômenos do

mundo real, abordando os problemas por vários pontos de vista.

Assim, se nos referirmos aos níveis de co-determinação (sociedade ↔ escola

↔ pedagogia ↔ disciplina ↔ domínio ↔ setor ↔ tema ↔ tópico), conforme

Chevallard (2007a), observaremos que a responsabilidade do professor de

84

matemática não se limita ao setor, que corresponde à escolha dos conteúdos a

serem trabalhados, mas os docentes desempenham um papel essencial nos níveis

escola e pedagogia, pois lhes cabe escolher tanto a organização curricular como a

forma de trabalho com os estudantes.

As expectativas institucionais em relação ao desenvolvimento da noção de

função linear ao final do Ensino Fundamental são que os estudantes tenham

desenvolvido uma relação pessoal com esse objeto matemático que lhes permita

aplicá-lo em situações contextualizadas por meio dos ostensivos de representações

fórmula, tabela e gráfico. Espera-se ainda que os discentes sejam capazes de

articular esse conhecimento com a noção de proporcionalidade.

Verificamos que esse estudo centrado em situações contextualizadas e do

mundo real é proposto também nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio (PCNEM) publicados em 2000, (BRASIL, 2000). Na sequência,

apresentamos uma breve discussão sobre as propostas para o Ensino Médio

implementadas por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio.

5.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO

O documento que contém as propostas institucionais indicadas nos

Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000) estabelece

um novo perfil para o currículo. Os elaboradores dessa proposta se apoiaram em

competências básicas que possibilitem a inserção dos jovens na vida adulta.

Além disso, o documento esclarece que é preciso dar significado ao

conhecimento escolar por meio da contextualização, da interdisciplinaridade e do

incentivo ao raciocínio e à capacidade de aprender de forma a conduzir o estudante

à autonomia. O documento não faz sugestão de conteúdo, indicando apenas os

princípios da reforma curricular de maneira a orientar o professor a buscar novas

abordagens e metodologias.

Logo, quando nos referimos aos níveis de co-determinação, verificamos que

cabe à escola a organização de sua pedagogia, a ênfase a ser dada à disciplina

matemática, assim como as escolhas em relação ao momento de considerar o

85

domínio e setor, ficando a cargo do professor encontrar novos meios para o

desenvolvimento dos temas dos diferentes domínios e setores propostos pelo grupo.

Nesse caso, o professor também tem sua ação a partir do nível escola e pedagogia,

pois se espera que esse profissional participe ativamente tanto da organização

curricular como das escolhas em relação à aprendizagem e ao papel que ele deve

desempenhar no sistema de ensino.

Diante dessas considerações, salientamos a importância da formação do

professor para que o mesmo possa desempenhar as funções que lhe são atribuídas

no documento analisado. Afinal, espera-se que o professor possa agir sobre os

níveis de co-determinação escola e pedagogia, o primeiro estando associado às

organizações curriculares e ao sistema de formação dos professores e o segundo se

referindo, mais particularmente, à percepção da aprendizagem e,

consequentemente, ao papel do professor no processo de estudo e ajuda ao estudo.

Essa ampla responsabilidade deixada a cargo dos professores e das

instituições de ensino conduziram a uma diversidade de projetos para o

desenvolvimento de um determinado conteúdo que deve ser avaliado ao final das

diferentes etapas escolares conforme prescrição da Lei de Diretrizes e Bases da

Educação nº 9394/96 e o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de

Diretrizes e Bases) em 2001. A referida lei e o plano mencionados consideram a

necessidade de avaliação em todos os níveis e modalidades de ensino.

Desse modo, as dificuldades apresentadas nessas avaliações podem ter sido

causadas pela diversidade de projetos para o desenvolvimento de um mesmo

conteúdo, conduzindo, assim, a um novo documento: os Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000a). Nesse novo documento, enfatiza-se

que o saber matemático, científico e tecnológico deve ser desenvolvido como

condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas.

Por isso, cabe à matemática do Ensino Médio desenvolver os instrumentos de

expressão e raciocínio de forma articulada com as disciplinas de biologia, física e

química e as competências essenciais que envolvem habilidades associadas aos

quadros algébrico, geométrico, estatístico e probabilístico, mostrando a importância

de suas diferentes representações.

Nos PCNEM (BRASIL, 2000a), são explicitadas as competências e

habilidades que se espera desenvolver, sendo as mesmas classificadas em três

grandes grupos, a saber: representação e comunicação, investigação e

86

compreensão, contextualização sócio-cultural. Essas competências e habilidades

devem ser trabalhadas de forma interdisciplinar e contextualizada entre as

disciplinas de matemática, física, química e biologia e fica a cargo dos professores

encontrar os meios para desenvolver essa proposta. Assim, referindo-nos aos níveis

de co-determinação, cabe aos professores das quatro disciplinas a escolha dos

diferentes domínios a serem trabalhados no Ensino Médio.

Como exemplo, consideramos os domínios da Álgebra e da Geometria

Analítica e, mais particularmente, o setor das funções para o qual se destaca, nos

PCNEM (BRASIL, 2000a), a importância de tratá-lo de forma articulada, citando

como exemplo para o domínio da Álgebra a questão da articulação das sequências

e funções e, para o domínio da Geometria Analítica, a articulação das propriedades

de retas e parábolas com as propriedades dos gráficos das funções

correspondentes, isto para as articulações internas, mas é preciso não esquecer o

trabalho interdisciplinar. Enfatiza-se ainda o papel das funções como ferramenta

para descrever e estudar o comportamento de determinados fenômenos tanto das

ciências como do cotidiano.

Assim, o documento destaca que o objetivo do ensino da Matemática em

relação à introdução do conceito de função é garantir a flexibilidade para tratar esse

conceito por meio de diferentes situações intra e extramatemáticas. No entanto,

somente essas indicações não são suficientes para auxiliar os educadores na

construção de seus projetos, o que conduz à publicação do documento Orientações

Educacionais complementares, em 2002, denominado PCN+ Ensino Médio

(BRASIL, 2002).

Nesse novo documento, são retomadas as competências e habilidades para

as quatro disciplinas com exemplos para auxiliar educadores e professores na

construção dos projetos escolares. Encontramos ainda nesse documento a

estruturação da matemática em três domínios, álgebra: números e funções,

geometria e medidas, e análise de dados, como sugestão para organizar os

conteúdos a serem desenvolvidos.

Para o estudo das funções, são dadas orientações sobre como trabalhá-lo

com exemplos para auxiliar os professores a desenvolver esse domínio de forma

interdisciplinar e flexível, levando em conta a proposta anterior. A proposta para a

introdução do estudo das funções indica a exploração qualitativa das relações entre

duas grandezas em diferentes situações, em que os exemplos sugeridos

87

consideram situações extramatemáticas, como a relação idade e altura, e

intramatemáticas, como área do círculo e raio. Indica-se ainda que se apresentem

outras relações funcionais e que se utilizem diferentes representações que

possibilitem estudar as propriedades das funções como, por exemplo, o

crescimento.

Utilizando apenas a palavra representação, solicita-se ainda que se expresse

em palavras, o que para nós corresponde aos ostensivos discursivos ou escritos, a

forma algébrica representada por uma função. Como exemplo, é dada a função

f(x) = 2x + 3, na qual lemos que a mesma associa a um dado valor x o seu dobro,

acrescido de três unidades. Segundo o documento, esse discurso pode facilitar a

identificação da ideia de função em outras situações.

Explicita-se ainda que o estudo das funções deve progredir com diferentes

modelos – linear, quadrático, exponencial e periódico. Para o modelo exponencial, o

exemplo considerado é o do crescimento de uma colônia de bactérias, que deve ser

trabalhado por meio dos diferentes ostensivos de representação escrita, em

particular, dos ostensivos algébrico, tabela e gráfico e suas respectivas

interpretações.

São dadas ainda indicações sobre o desenvolvimento do modelo linear

(f(x) = ax) associado à noção de proporcionalidade direta, e essa discutida como

modelo de crescimento. Isso deve permitir tratar o modelo de decrescimento com a

proporcionalidade inversa (f(x) = . Para evitar equívocos, propõe-se que se

apresentem situações do cotidiano que ilustrem diferentes tipos de

crescimento/decrescimento de grandezas em relação.

Indica-se ainda que se tratem situações que necessitam da noção de função

afim e que se introduza a função quadrática por meio dos problemas clássicos de

determinação de área máxima, bem como que se desenvolvam suas propriedades e

representações. Para as funções trigonométricas, ressalta-se que se priorizem as

relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e co-seno. As funções

trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas

então definidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. É indicado ainda o estudo

das funções polinomiais, em particular aquelas que podem decompor-se em

produtos de funções afim, o que permite associar esse estudo ao da divisão

polinomial por x – a, em que a corresponde a um dos zeros da função.

88

Finalmente, em relação ao estudo das funções exponenciais indica-se:

[...] As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, crescimento de populações, intensidade sonora, pH de substâncias e outras [...] (BRASIL, 2002, p. 118).

Em relação às propostas de articulação com outros conhecimentos

matemáticos a serem introduzidos no mesmo ano do Ensino Médio, identificamos as

progressões geométricas associadas ao estudo das funções exponenciais cujo

domínio é o conjunto dos números naturais. Assim, o documento de 2002, apesar de

dar exemplos do trabalho matemático a ser desenvolvido no Ensino Médio, não foi

suficiente para auxiliar educadores e professores nas dificuldades encontradas.

Em 2006, foi publicado um novo documento, Orientações Curriculares para o

Ensino Médio, no qual se mantém a proposta inicial, com a matemática estruturada

em quatro blocos: números e operações, funções, geometria, análise de dados e

probabilidade. Nesse documento, observamos que, no domínio da álgebra, para o

setor das funções, são dados exemplos mais específicos para o desenvolvimento do

trabalho articulado e flexível proposto nos documentos anteriores, mas ainda fica a

cargo dos educadores e professores a construção do projeto de suas respectivas

escolas. O texto abaixo permite compreender a ampliação das orientações em

relação aos textos anteriores.

É pertinente discutir o alcance do modelo linear na descrição de fenômenos de crescimento, para então introduzir o modelo de crescimento/decrescimento exponencial (f(x) = a

x). É interessante discutirem

as características desses dois modelos, pois enquanto o primeiro garante um crescimento à taxa constante, o segundo apresenta uma taxa de variação que depende do valor da função em cada instante. Situações reais de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo exponencial. Dentre as aplicações da Matemática, tem-se o interessante tópico de Matemática Financeira como um assunto a ser tratado quando do estudo da função exponencial [...] Nos problemas de aplicação em geral, é preciso resolver uma equação exponencial, e isso pede o uso da função inversa – a função logaritmo. O trabalho de resolver equações exponenciais é pertinente quando associado a algum problema de aplicação em outras áreas de conhecimento, como Química, Biologia, Matemática Financeira, etc. Procedimentos de resolução de equações sem que haja um propósito maior devem ser evitados. Não se recomenda neste nível de ensino um estudo exaustivo dos logaritmos (BRASIL, 2006, p.74 – 75).

Apesar das sucessivas orientações, como já anunciado acima, os estudantes

do Ensino Médio, ao serem avaliados pelas macroavaliações institucionais, têm

89

mostrado muitas dificuldades. Um dos fatores que pode estar associado a essa

constatação é que as provas são construídas levando em conta as orientações dos

documentos acima discutidos.

Observamos ainda que, em geral, os professores utilizam o livro didático

como elemento para discussão e proposta de trabalho. Todavia, mesmo se os livros

didáticos são avaliados pelo Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e

distribuídos para os estudantes após escolha pelos professores, não se verifica uma

melhora nos resultados dos estudantes do ensino público nas macroavaliações a

que são submetidos no final do Ensino Médio. Em função de uma macroavaliação

específica do Estado de São Paulo, o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar

do Estado de São Paulo - SARESP, a secretaria de Educação do Estado de São

Paulo implementou, a partir de 2008, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo.

Essa nova proposta mantém as orientações dos documentos oficiais nacionais, mas

traz um trabalho específico para o desenvolvimento dos conteúdos.

5.4 PROPOSTA DO ESTADO DE SÃO PAULO

A Proposta do Estado de São Paulo, lançada em 2008, indica os conteúdos a

serem desenvolvidos em cada bimestre e os mesmos são introduzidos, por meio do

“Cadernos do Professor” e do “Caderno do Aluno”, nos quais o conteúdo relacionado

ao setor das funções é proposto para ser trabalhado a partir do segundo bimestre do

primeiro ano do Ensino Médio, em que as funções afim e quadrática são supostas

como trabalhadas no segundo bimestre, as funções exponencial e logarítmica no

terceiro bimestre e as funções trigonométricas no primeiro bimestre do segundo ano

do Ensino Médio.

Além de determinar domínio e setor, os diferentes temas associados a cada

setor já vêm organizados por meio de situações que possibilitam a

interdisciplinaridade e a flexibilidade dos conteúdos. A Proposta do Estado de São

Paulo, como o próprio nome indica, é uma proposta que pode ou não ser

implementada pelos professores, mas é importante observar que esse documento

serve de base para a construção da macroavaliação SARESP, a qual avalia o

rendimento dos estudantes e está associada à progressão funcional do professor.

90

O reflexo desse documento nos parece positivo porque outras secretarias

estão seguindo o modelo de São Paulo na tentativa de garantir a nova formação dos

estudantes indicadas nos diferentes documentos oficiais. Trata-se de um documento

que visa à proposição de um currículo mínimo, o que poderá auxiliar a melhorar os

resultados da macroavaliação SARESP. Ainda assim, no Relatório Pedagógico de

2010 do SARESP (SEE,2010), quando apresentadas as porcentagens de alunos

distribuídas nos níveis de proficiência na 3ª série do Ensino Médio, temos 42,1% dos

alunos no nível suficiente, apenas 0,3% no nível avançado, sendo que ainda 57,7%

dos alunos encontram-se no nível insuficiente. Com base nestas porcentagens,

podemos perceber que uma significativa parcela de alunos não possuem

conhecimentos básicos de matemática esperados como conhecimentos prévios

disponíveis para o final dessa etapa escolar.

As análises apresentadas mostram a tentativa de mudar a situação do Ensino

Médio brasileiro, em particular, do Ensino Médio público do Estado de São Paulo, o

que vem conduzindo os responsáveis pelas propostas educacionais a procurar

novos meios que auxiliem professores e estudantes a uma melhor interação.

Consequentemente, busca-se atingir a construção de um melhor processo de estudo

e ajuda ao estudo, pois professores e estudantes devem desenvolver em conjunto

seus projetos de forma que os estudantes possam adquirir os conhecimentos

necessários para entrar no Ensino Superior e realizar seus estudos de forma eficaz.

Assim, as dificuldades apresentadas pelos estudantes nas macroavaliações e

a experiência enquanto professora dos Ensinos Médio e Superior nos conduziu à

análise dos planos de ensino de cursos de licenciatura em matemática de 3

universidades públicas (USP, UNICAMP, UNB), 1 universidade privada (Mackenzie)

e 1 centro universitário (FSA) para: identificar se existe uma preocupação em

revisitar conhecimentos sobre a noção de função exponencial, suas propriedades e

suas representações de forma que as mesmas são tratadas da mesma forma como

foram introduzidas no Ensino Médio; ou se um trabalho mais específico, em que a

noção de função exponencial é trabalhada enquanto ferramenta explícita para a

introdução de novas noções em outros contextos ou para a aplicação em diferentes

tipos de situações contextualizadas.

Na sequência, evidenciaremos a análise das relações institucionais

esperadas para o trabalho com a função exponencial, suas propriedades e

91

representações para instituições que tratam especificamente essa noção para os

cursos de licenciatura em Matemática.

5.5 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O ESTUDO

DA NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO SUPERIOR

A análise das expectativas institucionais em relação à noção de função

exponencial, suas propriedades e representações no Ensino Superior foram

analisadas via planos de ensino, considerando as seguintes questões:

- Em que disciplina(s) é(são) tratada(s) a(s) noção(ões) de função

exponencial?

- Em que nível de co-determinação podemos considerar a atuação do

professor do Ensino Superior quando do trabalho com a noção de função

exponencial?

- A função exponencial é tratada como um novo objeto matemático a ser

introduzido de forma diferente da proposta para o Ensino Médio, na qual ela é

considerada como ferramenta explícita para solução de situações contextualizadas?

- Quais os ostensivos de representação considerados?

- Quais os não ostensivos em jogo?

- Que quadro(s) é (são) considerado(s) quando do tratamento da função

exponencial no Ensino Superior?

Considerando essas questões, apresentamos, a seguir, os resultados das

análises para as instituições nos quais foi possível encontrar dados que nos dessem

indícios sobre a forma de tratamento da noção de função exponencial no Ensino

Superior. Dessa forma, começamos pela análise das relações institucionais

esperadas associadas ao tratamento da noção de função exponencial para o curso

de licenciatura em Matemática da Universidade de São Paulo.

92


licenciatura em matemática da Universidade de São Paulo – USP

O curso de licenciatura em Matemática da Universidade de São Paulo – USP

dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão distribuídas em oito

semestres para o curso diurno e dez semestres para o noturno. A noção de função

exponencial é revisitada na disciplina Cálculo para funções de uma variável real, no

primeiro semestre do curso, conforme extrato da grade.

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DIURNO

Código 45024-1

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NOTURNO

Código 45024-4

1o semestre 1

o semestre

MAT01

05

Geometria Analítica (4) MAT0105 Geometria Analítica (4)

MAT13

51

Cálculo p/funções de 1variável real I

(6) + 1 créd.trab.

MAT1351 Cálculo p/funções de 1variável real I

(6) + 1 créd.trab.

MAE15

11

Estatística para Licenciatura I (4) MAT1513 Laboratório de Matemática (4)

MAT15

13

Laboratório de Matemática (4) 4300160 Ótica (2)

430016

0

Ótica (2)

Quadro 3 - Extrato da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da USP. Fonte: USP (2010).

Na sequência, apresentamos o plano de ensino da disciplina que nos

permitiu considerar os elementos de respostas para as questões que nos colocamos

inicialmente.

93

1.1.1.1 MAT1351 CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL I

OBJETIVOS: Estudo da variação de uma grandeza em relação à variação de outra grandeza: a idéia

de função. O conceito de taxa de variação média e instantânea: a derivada de uma funções. Técnicas

do Cálculo; estudo das aplicações clássicas do Teorema do Valor Médio. Desenvolver atividades de

Prática como Componente Curricular.

CONTEÚDO: Equações e inequações; definição de função e gráficos; funções polinomiais de

primeiro e segundo graus; funções modulares; funções inversíveis; funções exponenciais e

logarítmicas; funções trigonométricas e suas inversas.Taxa de variação, velocidade, coeficiente

angular da reta tangente; o conceito de derivada em um ponto; a função derivada; aproximações e

linearidade local; conceitos intuitivo e definições de limite, de continuidade e de diferenciabilidade;

regras de derivação. O Teorema do Valor Médio e suas aplicações. O comportamento de uma

função: um estudo qualitativo; o gráfico de uma funções, comportamento no infinito, regras de

L'Hospital. Problemas de otimização. Aproximação de funções: fórmula de Taylor com resto de

Lagrange.

CARGA HORÁRIA SEMANAL E NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 horas-aula, 6 créditos-aula; 2 horas-

trabalho, 1 crédito-trabalho.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA: D. Hughes-Hallett et alii, Cálculo, volume I, Editora Edgard Blücher Ltda,

São Paulo, 1999; G.F. Simmons, Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, MacGraw-Hill, São

Paulo, 1987; L. Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, Harbra, São Paulo, 1977; J.

Stewart. Cálculo, volume I, Editora Pioneira - Thomson Learning, São Paulo, 2001. P. Boulos,

Introdução ao Cálculo, volume I.

Quadro 4 - Extrato plano de ensino da disciplina Cálculo para funções de uma variável real I. Fonte: USP (2010).

Observamos, em função dos objetivos da disciplina, do conteúdo previsto, das

horas-aula e das referências bibliográficas, que se propõe revisitar a noção de

função, em particular, as funções exponenciais. A forma de desenvolvimento da

disciplina fica a cargo do professor, o que corresponde à atuação do mesmo no nível

setor, o que, em geral, corresponde à sua responsabilidade.

Considerando a bibliografia básica indicada, verificamos que a noção de

função exponencial é tratada enquanto ferramenta explícita para o desenvolvimento

das noções de limite e derivada de uma função. Isto nos leva a considerar que essa

função corresponde a um conhecimento prévio disponível.

Assim, os ostensivos de representação algébrico (fórmula) e gráfico da função

exponencial e os não ostensivos propriedades das potências, conceito de função

exponencial e suas propriedades são considerados como os conhecimentos prévios

adquiridos no Ensino Médio e servem de apoio para a introdução de novos

94

conhecimentos, em particular, para o estudo das noções de limite e derivada de uma

função.

Dessa forma, o estudo da noção de função exponencial desenvolvido no

quadro algébrico no Ensino Médio serve como ferramenta explícita para a introdução

da noção de limite e derivada no Ensino Superior.

Logo, para a noção de função exponencial, espera-se que os estudantes que

iniciam o curso de licenciatura em matemática sejam capazes de defini-la e aplicar

suas propriedades no estudo da noção de limite e derivada uma vez que podem

considerar suas representações e as propriedades de crescimento e decrescimento,

assíntota horizontal, aproximação do eixo das abscissas e deslocamento em relação

ao eixo das ordenadas. Os ostensivos de representação, em particular, o ostensivo

de representação gráfica poderão ser justificados por meio das noções de limite e

derivada de uma função, facilitando a compreensão da variação dos gráficos quando

se varia os coeficientes da função. Por exemplo, a questão do vestibular da FUVEST

2011, primeira fase, discutida no capítulo 4, ilustra como os conhecimentos

adquiridos no Ensino Médio podem auxiliar na introdução de novas noções no

Ensino Superior.

Na sequência, apresentamos os resultados da análise das relações

institucionais esperadas para o curso de licenciatura da Universidade Presbiteriana

Mackenzie.


licenciatura em matemática da Universidade Presbiteriana Mackenzie

O curso de licenciatura em Matemática da Universidade Presbiteriana

Mackenzie - Mackenzie dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão

distribuídas em seis semestres denominados etapas. A noção de função

exponencial é revisitada na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I e

Matemática Básica II, no primeiro e segundo semestres do curso, conforme extrato da

grade onde são consideradas as cargas horárias (CH) e a quantidade semanal de aulas

teeóricas (T) e práticas (P).

95

Matriz Curricular para o curso de licenciatura em Matemática

1ª Etapa

Cód.

Disc. Nome da Disciplina CH T P

100.11

97.8 Cálculo Diferencial e Integral I 090 06 -

093.11

70.1 Ética e Cidadania I 030 02 -

070.11

76.8 Fisica Experimental I 030 - 02

070.11

75.1 Física Geral I 060 04 -

070.11

82.2 Fundamentos de Física I 060 04 -

100.11

98.6 Geometria Analítica e Vetores I 060 04 -

100.11

12.9 Matemática Básica I 060 04 -

110.11

84.1 Métodos Computacionais I 060 02 02

Total 450 26 04

Quadro 5 - Extrato da grade curricular do curso de licenciatura em Matemática do Mackenzie. Fonte: MACK (2009).

http://mackenzie.br/12349.html#_blank








96

Quadro 6 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em Matemática. Fonte: MACK (2009).

Na sequência, apresentamos os planos de ensino das disciplinas de Cálculo

Diferencial e Integral I e Matemática Básica II que nos permitiram considerar os

elementos de respostas para as questões que nos colocamos inicialmente.

Objetivos: GERAIS: Familiarizar os alunos com funções de uma variável real e

seus gráficos, explorando os conceitos de limite, continuidade,

derivadas e suas diversas aplicações.

ESPECÍFICOS: Após a conclusão da Disciplina, o acadêmico deverá

ser capaz de utilizar os conceitos acima descritos para resolver

problemas e para prosseguir seus estudos.

Ementa: Funções elementares e seus gráficos. Limite e continuidade.

Derivadas. Teorema do Valor Médio e algumas de suas aplicações.

Aplicações da Derivada. Noções de primitiva

2ª Etapa

Cód. Disc. Nome da Disciplina CH T P

100.1271.0 Cálculo Diferencial e Integral II 060 04 -

100.1283.4 Cálculo Numérico 060 04 -

221.2202.8 Didática 060 04 -

093.1271.4 Ética e Cidadania II 030 02 -

070.1276.4 Física Experimental II 030 - 02

070.1271.3 Física Geral II 060 04 -

221.2201.1 Fundamentos da Educação 060 04 -

070.1290.1 Fundamentos de Física II 030 02 -

100.1208.7 Geometria Analítica e Vetores II 030 02 -

100.1217.6 Matemática Básica II 030 02 -

Total 450 28 02











97

Conteúdo

Programático:

1. Funções elementares e seus gráficos. – Recordação superficial

das funções elementares vistas no ensino médio e seus gráficos.

1.2 – Estudo de outras funções dadas por leis, gráficos ou tabelas.

1.3 – Exercícios do livro texto.

2. Limites e continuidade.

2.1 – Noção intuitiva de limite.

2.2 – Propriedades operatórias dos limites. Exercícios do livro texto.

2.3 – Limites envolvendo. Assíntotas. Exercícios do livro texto.

2.4 – Limites fundamentais.

3. Derivadas.

3.1 – Definição; interpretações geométrica e cinemática. Exercícios da

página 154.

3.2 – Regras de derivação e derivada de algumas funções

elementares. Exercícios do livro texto.

3.3 – Regra da cadeia. Exercícios do livro texto.

3.4 – Derivadas implícitas e derivadas de funções inversas. Exercícios

do livro texto.

4. Teorema do Valor Médio.

4.1 – Teoremas de Fermat, de Rolle e do valor médio e corolários.

4.2 – Regra de L’HOSPITAL. Exercícios do livro texto.

4.3 – Problemas de máximo e mínimo. Exercícios do livro texto.

4.4 – Estudo da variação de funções. Exercícios do livro texto.

5. Regras de primitivação- se houver tempo suficiente Noções

primeiras de integral. Integral definida: Regra de Barrow.

Bibliografia: Básica: STEWART, J., - Cálculo, Volume I, 5a Edição, Pioneira, São Paulo, 2005. Complementar: ÁVILA, G. S. S., Cálculo, Volume 1, 7a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2003 GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Volume l, 5a Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2001. LEITHOLD, L., Cálculo com Geometria Analítica, Harper & Row, 1977 SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1987 SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Makron Books, 2a ed., 2000

Quadro 7 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Fonte: MACK (2009).

98

Objetivos: Gerais: Resgatar o conteúdo do ensino fundamental e médio, com

a finalidade de preparar o aluno para a licenciatura.

Específicos: Números complexos. Funções exponenciais e

logarítmicas.

Geometria plana.

Ementa: Operações com números complexos – interpretação geométrica,

extração de raízes.

Funções exponenciais, propriedades, equações e inequações

exponenciais

Funções logarítmicas, propriedades, equações e inequações

logarítmicas

Geometria Plana

Conteúdo

Programático:

Operações com números complexos – interpretação geométrica.

Extração de raízes. Função exponencial, construção de gráficos e

propriedades. Equações e inequações exponenciais. Função

logarítmica, construção de gráficos e propriedades. Equações e

inequações logarítmicas.

Geometria plana (ponto, reta, plano, ângulo, triângulos,

quadriláteros, teorema de Tales, etc.)

Bibliografia: Básica:

IEZZI, G; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar.

Volume 2 – Logaritmos e exponenciais. São Paulo: Atual Editora,

2004.

DOLCE, O.;POMPEO J.N. Fundamentos de Matemática

Elementar. Volume 9 – Geometria Plana. São Paulo: Atual Editora,

2004.

Complementar:

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Volume 1. Rio de

Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2001.

MACHADO, A.S. Matemática - Temas e Metas. Volume 1 e 2. São

Paulo:

Atual Editora, 1998.

Quadro 8 - Extrato do plano de ensino da disciplina Matemática Básica II. Fonte: MACK (2009).

A noção de função exponencial é tratada tanto na disciplina de Cálculo

Diferencial e Integral I como na disciplina de Matemática Básica II, no entanto, na

disciplina de Cálculo, ela não é considerada explicitamente. Observamos pelas

ementas e pelo conteúdo programático indicados nos planos de ensino que, na

disciplina de Cálculo, a noção de função exponencial é trabalhada enquanto objeto

99

matemático que pode funcionar como ferramenta explícita para a introdução das

noções de limite e derivada.

Apesar de ser considerada como uma ferramenta disponível no primeiro

semestre do curso, ela é revisitada por meio dos ostensivos de representação

algébrico e gráfico na disciplina de Matemática Básica II do segundo semestre e, em

função da bibliografia indicada, não se propõe explicitamente um trabalho com

situações contextualizadas, mesmo se a proposta é preparar o estudante para a

licenciatura. Isso nos conduz a pensar que a ênfase é dada aos ostensivos de

representação escrita na forma algébrica e gráfica e aos não ostensivos,

propriedades das potências, conceito de função exponencial e suas propriedades.

Mesmo utilizando a função exponencial como ferramenta explícita para o estudo das

noções de limite e derivada, em função da bibliografia indicada, o trabalho de

articulação entre os quadros algébrico e analítico fica a cargo do professor.

Percebemos ainda que, para a disciplina de Cálculo, a noção de função

exponencial é tratada enquanto conhecimento prévio disponível e, para a disciplina

de Matemática Básica II, a mesma função deve ser revisitada da forma em que já se

supõe tenha sido trabalhada no Ensino Médio conforme planos de ensino dessas

disciplinas apresentado nas páginas 99 e 100.

Causa-nos estranheza que a proposta de revisitar a noção de função

exponencial não seja tratada na disciplina de Matemática Básica I, no mesmo

semestre em que é introduzida a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, pois,

em Matemática Básica, poderia ser retomado o trabalho desenvolvido no Ensino

Médio e, na disciplina de Cálculo I, seria possível considerar a contextualização

intramatemática da função em jogo.

Ressaltamos que o professor tem poucas escolhas, em função do conteúdo

programático definido na ementa e que sua participação nos diferentes níveis de co-

determinação fica restrita ao tema. Porém, o docente pode reconsiderar o seu

trabalho e, por meio de um discurso tecnológico adequado, indicar para seus

estudantes as possibilidades de articulação entre os quadros algébrico e analítico e

ainda mostrar a importância dos conhecimentos de cálculo para os futuros

professores que poderão introduzir de forma consciente a noção de derivada no

Ensino Médio.

Na sequência, demonstraremos os resultados das análises efetuadas para o

curso de licenciatura em Matemática da Universidade de Brasília – UNB.

100


licenciatura em matemática da Universidade de Brasília – UNB

O curso de licenciatura em Matemática de Brasília – UNB não dispõe de uma

grade curricular fixa, mas de um elenco de disciplinas obrigatórias e seletivas que

possibilitam diversas escolhas desde que se observem os pré-requisitos indicados.

O curso normalmente deve ser concluído em quatro anos.

O quadro a seguir corresponde às disciplinas obrigatórias do referido curso.

DISCIPLINAS OBRIGATÓRIAS

Depto/Disciplina Créditos Área

113611 - ÁLGEBRA PARA ENSINO 1 E 2 006 000 000 006 AC

113107 - ÁLGEBRA 1 004 000 000 006 AC

113204 - ANÁLISE 1 006 000 000 006 AC

113034 - CÁLCULO 1 004 002 000 006 AC

113042 - CÁLCULO 2 004 002 000 006 AC

113051 - CÁLCULO 3 004 002 000 006 AC

113417 - CÁLCULO NUMÉRICO 004 000 000 006 AC

192015 - DIDÁTICA 1 002 002 000 004 AC

113301 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1 004 000 000 006 AC

118001 - FÍSICA 1 004 000 000 000 AC

118010 - FÍSICA 1 EXPERIMENTAL 000 002 000 000 AC

118028 - FÍSICA 2 004 000 000 000 AC

118036 - FÍSICA 2 EXPERIMENTAL 000 004 000 000 AC

124966 - FUND DESENV E APRENDIZAGEM 004 002 000 006 AC

117161 - GEOMETRIA 1 004 000 000 006 AC

117170 - GEOMETRIA 2 004 000 000 004 AC

113093 - INTRODUCAO À ALGEBRA LINEAR 004 000 000 006 AC

http://www.serverweb.unb.br/matriculaweb/graduacao/disciplina.aspx?cod=113611

















101

113913 - INTRODUCAO À CIEN. COMPUTACAO 002 002 000 004 DC

194221 – ORGAN. DA EDUCACAO BRASILEIRA 003 001 000 004 AC

115045 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 004 002 000 006 DC

191027 - PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO 1 004 000 000 002 AC

113115 - TEORIA DOS NÚMEROS 004 000 000 006 AC

113069 - VARIÁVEL COMPLEXA 1 004 002 000 006 AC

Quadro 9 - Extrato das disciplinas obrigatórias do curso de Licenciatura em Matemática da UNB. Fonte: UNB (2010).

A noção de função exponencial é revisitada na disciplina de Cálculo 1 e e

novamente estudada na disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2. Nesta última, as

disciplinas de Cálculo 1 e 2 são pré-requisitos, logo, os estudantes só poderão

cursar Álgebra para o ensino 1 e 2 no terceiro semestre do curso.

Na sequência, apresentamos extratos dos planos de ensino dessas duas

disciplinas, pois são eles que nos permitiram responder às questões inicialmente

colocadas.

Ementa: 1. Função de uma variável real

2. Limites e Continuidade

3. Derivada

4. Integral

5. Aplicações da integral

Programa: 1. Funções: conceito de função; exemplo de funções de uma variável real;

tipos de funções; gráficos; função composta; função inversa; funções

trigonométricas e suas inversas; função exponencial; função logaritmo

2. Limite e continuidade: conceito de limite; propriedades dos limites; limites

laterais; limites envolvendo o infinito; continuidade; Teorema do Valor

Intermediário

3. Derivadas: conceito de derivada; reta tangente e reta normal; derivadas

laterais; regras básicas de derivação; regra da cadeia; taxas relacionadas;

derivada da função inversa; derivação implícita; comportamento de funções;

máximos e mínimos; Teorema do Valor Médio; regras de l’Hospital;

concavidade, inflexão e gráficos; problemas de otimização

4. Integrais: primitivas; integrais indefinidas e suas propriedades; integral

definida e suas propriedades; Teorema Fundamental do Cálculo; integração







102

por substituição; integração por partes; integração por frações parciais;

integração de produtos de funções trigonométricas; integração por

substituição inversa; integração por substituições especiais.

5. Aplicações da integral: aplicações da integral ao cálculo de áreas planas,

comprimento de curvas, volumes e áreas de sólidos.

Bibliografia: Bibliografia Básica:

G.B. THOMAS, 11a ed., CÁLCULO - VOLUME 1, Pearson Education do

Brasil.

J. STEWART, 5a ed., CÁLCULO - VOLUME 1, Pioneira/Thomson Learning.

Bibliografia Complementar:

H. L. GUIDORIZZI, 5a ed., Um curso de cálculo, vol. 1, LTC, 2001.

G.S.S. AVILA, 4ª ed., Cálculo 1, LTC

MUNEN-FOULIS, Cálculo – Vol. 1, Guanabara Dois

S. LANG, 1a ed., Cálculo de uma variável, LTC

DEMIDOVICH, Problemas e exercícios de análise, Ed. MIR.

Quadro 10 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Cálculo 1. Fonte: UNB (2010).

Ementa: - IDENTIFICAR. DESENVOLVER E RESOLVER PROBLEMAS ALGÉBRICOS. - DESENVOLVER O PROCESSO DE DESCOBERTO MATEMÁTICA. - ESCOLHER NÍVEIS DE RIGOR E METODOS DE DESENVOLVER O ENSINO DA ÁLGEBRA. - ESTABELECER INTERPRETACÕES ALGÉBRICAS E GEOMETRICAS PARA PROBLEMAS.

Programa: - DESENVOLVER O APROFUNDAMENTO E APRECIAÇÃO DE CONTEÚDOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR. - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ENFASE A APLICAÇÕES. - QUESTIONAMENTO SOBRE A IMOPORTÂNCIA DE TÓPICOS NOS CURRICULOS DE 1º. E 2º. GRAUS. - PESQUISA, ELABORAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE PROPOSTAS ALTERNATIVAS PARA O ENSINO - APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA: TÓPICOS A SEREM ABORDADOS; - SISTEMA DE NUMERACAO DECIMAL E INTERPRETAÇÃO LÓGICA PARA OS ALGORITMOS DAS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS. - EXTENSÃO DOS NATURAIS AS FRAÇÕES POSITIVAS. INTERPRETACOES LÓGICAS DAS 4 OPERAÇÕES. - EXTENSÃO DOS NATURAIS AOS INTEIROS, - SIGNIFICADOS FÍSICOS E MATEMÁTICOS PARA ESTA EXTENSÃO. - INTERPRETAÇÕES LÓGICAS DAS REGRAS DE SINAIS PARA OPERAÇÕES. - EXTENSÃO DOS INTEIROS AOS RACIONAIS. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS RACIONAIS. - NÚMEROS IRRACIONAIS. CARDINALIDADE DO CONJUNTO DOS RACIONAIS E O IRRACIONAIS. - INTRODUCAO A LINGUAGEM ALGEBRICA. EQUACOES DE 1º. E 2º. GRAUS. SISTEMAS DE EQUAÇÕES. - APRESENTAÇÃO DE DADOS EM TABELAS E GRÁFICOS DIVERSOS.

103

Quadro 11: Extrato do Plano de ensino da disciplina Álgebra para o Ensino 1 e 2. Fonte: UNB (2010).

Observando os extratos dos planos de ensino das disciplinas em que a noção

de função exponencial aparece explicitamente, podemos considerar que a atuação

do professor se limita ao nível setor, o que corresponde à forma clássica de ação do

professor quando se leva em conta os diferentes níveis de co-determinação.

É possível identificar, por meio das referências bibliográficas indicadas nos

dois planos de ensino, que a função exponencial é tratada como objeto matemático

desenvolvido por meio de seus ostensivos de representação na forma algébrica

(fórmula), na forma de tabela e gráfica, considerando como não ostensivos as

propriedades das potências, a definição de função exponencial, suas propriedades e

seu gráfico, manipulados por meio dos ostensivos indicados acima.

Ressaltamos ainda que a noção de função exponencial e seus ostensivos de

representação são usados como ferramentas explícitas para a introdução de novas

noções na disciplina de Cálculo 1, em que se privilegia o quadro analítico. Como não

há nenhuma indicação, a articulação entre o quadro analítico a ser desenvolvido e o

quadro algébrico já trabalhado no Ensino Médio fica totalmente a cargo do professor

e a bibliografia indicada não auxilia na realização desse trabalho.

Na disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2, fazendo jus ao seu nome, o

desenvolvimento proposto privilegia o quadro algébrico, que será o usado para o

estudo das funções no Ensino Médio. Em relação aos ostensivos e não ostensivos,

são considerados os mesmos da disciplina de Cálculo 1.

Na bibliografia, não é possível encontrar elementos que indiquem a

articulação entre o quadro algébrico e analítico, mesmo se a disciplina Cálculo 1 é

- PLANO ALGEBRIZADO: CORRELAÇÃO ENTRE REGIÕES DO PLANO E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS. - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES. - FUNCOES DE 1º. E 2º. GRAUS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. - FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍITMO. - ANÁLISE COMBINATÓRIA: ARGUMENTO E ORGANIZAÇÃO DE CONTAGEM. ARRANJOS, COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES.

Bibliografia: TROTTA, IMENES & JAKOBOVIC, MATEMATICA APLICADA; VOL 1, 2 E 3 FREMONT, HERBERT, TEACHING SEC. MATH THROUGH APPLICATIONS E. WILLIAMS & H. STWARD HARLOW 3a. EDICAO, PRIMARY MATHEMATICS TODAY ED. LONGMAN 1982

104

pré-requisito para a disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2. Isto nos leva a concluir

que essa articulação fica a cargo do professor, mas a utilização da função

exponencial para modelar situações contextualizadas é implicitamente considerada,

uma vez que os livros indicados na bibliografia propõem esse tipo de tarefa para os

estudantes.

Nas duas disciplinas consideradas, foi possível observar que a noção de

função exponencial serve de conhecimento prévio disponível para a introdução de

novas noções ou para a modelagem de situações contextualizadas, todavia, esse

trabalho fica a cargo de professores e estudantes.

Na sequência, mostramos os resultados das análises efetuadas para o curso

de licenciatura em Matemática da Universidade de Campinas – UNICAMP.


licenciatura em matemática da Universidade de Campinas – UNICAMP

O curso de licenciatura em Matemática de Campinas – UNICAMP não dispõe

de uma grade curricular fixa, mas de um elenco de disciplinas obrigatórias (núcleo

comum) e seletivas que possibilitam diversas escolhas. O curso normalmente deve

ser concluído em quatro anos.

O quadro a seguir corresponde às disciplinas do núcleo comum:

Núcleo Comum ao Curso:

EL211 Política Educacional: Estrutura e Funcionamento da Educação Brasileira

EL284 Educação Matemática Escolar I

EL511 Psicologia e Educação

EL683 Escola e Cultura

EL684 Educação Matemática Escolar II

EL774 Estágio Supervisionado I

EL874 Estágio Supervisionado II

EL883 Práticas Pedagógicas em Matemática

F 128 Física Geral I

F 228 Física Geral II

MA044 Matemática IV

MA109 Matemática Básica

http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0005/0005.html#EL211








http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0029/0029.html#F 128

http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0029/0029.html#F 228

http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0032/0032.html#MA044


105

MA111 Cálculo I

MA141 Geometria Analítica e Vetores

MA148 Fundamentos da Matemática

MA211 Cálculo II

MA220 Matemática Discreta

MA224 Resolução de Problemas Matemáticos

MA311 Cálculo III

MA327 Álgebra Linear

MA502 Análise I

MA520 Geometria Plana e Desenho Geométrico

MA553 Teoria Aritmética dos Números

MA673 Elementos de Álgebra

MA770 Geometria

MA811 Cultura Matemática I

MA812 Cultura Matemática II

MA813 Cultura Matemática III

MA901 Estágio Supervisionado I

MA902 Estágio Supervisionado II

MC102 Algoritmos e Programação de Computadores

ME951 Estatística e Probabilidade I

MS211 Cálculo Numérico

Quadro 12 - Disciplinas do Núcleo Comum. Fonte: UNICAMP (2010).

Entre as disciplinas do núcleo comum, identificamos que a noção de função

exponencial é explicitamente indicada para ser trabalhada na disciplina de

Matemática Básica e implicitamente em Cálculo I, pois, nos extratos dessas

ementas, os quais serão apresentados a seguir, encontramos apenas indicações

sobre o domínio a ser desenvolvido no caso de Cálculo I e o setor para Matemática

Básica como é possível observar nos quadros que seguem.



















http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0023/0023.html#MC102

http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0031/0031.html#ME951

http://www.dac.unicamp.br/sistemas/catalogos/grad/catalogo2012/coordenadorias/0033/0033.html#MS211

106

MA091 - Matemática Básica

OF:S-1 T:004 P:002 L:000 O:000 D:000 HS:006 SL:006 C:006 AV:N EX:S FM:75%

Pré-Req.: Não há

Ementa: Conjuntos de números (naturais, inteiros, racionais, reais e complexos), sequências reais.

Estudo elementar de funções reais: gráficos, operações com funções, tipos de funções. Funções

trigonométricas: definições, gráficos. Função exponencial e função logarítmica. Polinômios: raízes.

Sequências reais. Progressões. Noções de limite e continuidade.

Quadro 13 - Ementa da disciplina Básica. Fonte: UNICAMP, 2010.

MA151 - Cálculo I

OF:S-5 T:004 P:000 L:000 O:000 D:000 HS:004 SL:004 C:004 AV:N EX:S FM:75%

Pré-Req.: Não há

Ementa: Funções reais de uma variável real. Limite. Continuidade. Derivada. Integral. Técnicas de

integração.

Quadro 14 - Ementa da disciplina Cálculo I. Fonte: UNICAMP (2010).

Com base nas disciplinas, podemos supor que fica a cargo do professor

articular os conhecimentos algébricos adquiridos no Ensino Médio com os novos

conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior, em particular, na disciplina

Cálculo 1. Mesmo contando com poucos elementos para responder nossas

questões, podemos considerar que os ostensivos privilegiados são os na forma de

representações algébrica (fórmula) e gráfica e que os não ostensivos em jogo são as

propriedades das potências, a definição de função exponencial e de suas

propriedades.

O quadro privilegiado é o analítico, mas o professor pode assumir a

responsabilidade que em geral lhe é atribuída e articular os quadros algébrico e

analítico. Além disso, considerando que a ênfase dada às tarefas do vestibular da

UNICAMP é a aplicação dos conceitos e das noções introduzidos no Ensino Médio

em situações contextualizadas, espera-se que esse trabalho seja retomado no

Ensino Superior, isto é, que se utilize a função exponencial como ferramenta

explícita para a modelagem de situações da própria matemática, das outras ciências

e do cotidiano, ampliando as situações de referência que os estudantes

desenvolveram no Ensino Médio.

Na sequência, trazemos os resultados das análises efetuadas para o curso de

licenciatura em Matemática da Fundação Santo André – FSA.

107


licenciatura em matemática do Centro Universitário Fundação Santo André –

FSA

O curso de licenciatura em Matemática do Centro Universitário Fundação

Santo André – FSA dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão

distribuídas em quatro séries. Logo, o curso se desenvolve em quatro anos.

A grade curricular da primeira série do curso é apresentada a seguir:

DISCIPLINAS / SÉRIES Carga

horária

semanal

Carga

horária

anual

1ª SÉRIE

Cálculo Diferencial e Integral I 04 144

Álgebra I 04 144

Geometria I 04 144

Geometria Analítica 04 144

Tecnologias e Laboratório de Ensino de

Matemática

02 72

Políticas Públicas em Educação 02 72

Educação Física 02 72

Quadro 15 - Extrato da grade curricular do Curso de Licenciatura em Matemática. Fonte: UNICAMP (2010).

A partir das disciplinas indicadas na grade e após a análise de seus planos de

ensino, identificamos, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, a proposta de

revisar conteúdos dos Ensinos Fundamental e Médio. Para tanto, nos objetivos

específicos da disciplina, explicita-se a forma de trabalho com esses conteúdos.

Na sequência, mostramos um extrato da grade de análise da disciplina de

Cálculo Diferencial e Integral I, da qual retiramos ementa, programa detalhado e

bibliografia:

108

2 Ementa

-Revisão do Ensino Fundamental e Ensino Médio(detalhado abaixo)

-Limite e Continuidade de Funções de Uma Variável ;

-Estudo da Função Derivada e suas Aplicações ;

-Integrais e suas aplicações.

-Ao longo do ano desenvolveremos atividades relativas às Práticas Pedagógicas , leitura e

interpretação de problemas.

Programa detalhado da Disciplina

Revisão:

a) Conjuntos Numéricos (N , Z , Q , I , R )

b) Intervalos

c) Funções de uma variável real (domínio, imagem, gráfico de funções

elementares e funções definidas por mais de uma sentença )

d) Fatoração, potenciação, radiciação(racionalização)

e) Polinômios (divisão de polinômios)

Limite de Funções: ( função de uma variável real )

• Conceitos e significados

• Limites finitos e propriedades operatórias

• Limites indeterminados

• Continuidade de funções

• Limites infinitos

• Limites no infinito

• Limites fundamentais

Função Derivada: ( função de uma variável real )

• A derivada ( conceitos- significado geométrico-reta tangente)

• Função Derivada ( definição e propriedades)

• Derivada de Função Composta

• Derivabilidade e Continuidade de Funções

• Derivação Logarítmica

• Regra de L'Hospital

Estudo da Variação de Funções: (função de uma variável real )

Teorema de Rolle-( Teorema do Valor Médio )

Gráfico de Funções

intervalo de crescimento/decrescimento da função

concavidade e ponto de inflexão

ponto máximo e ponto mínimo

pontos de descontinuidade

assíntotas

Problemas de máximo e mínimo de funções ( aplicações )

109

Diferenciais ( conceitos e aplicações simples)

Integrais:

a) A Integral como área:

conceitos, significados, definições

a integral definida- teorema fundamental do cálculo

propriedades operatórias

cálculo de integrais definidas imediatas

b) A Integral Indefinida ( definição e notação)

c) Métodos de Integração

1) método de integração por substituição

2) método de integração por partes

3) método de integração para funções racionais por frações parciais

d) Aplicações da Integral Indefinida

1) cálculo da área de uma região plana limitada por curvas dadas por uma

função

2) cálculo do comprimento de arco de uma curva dada por uma função

Bibliografia

Básica:

BOULOS, Paulo e ABUD, Zara Issa - Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo:Makron Books,

1999.

FLEMING, Diva M. Cálculo A .São Paulo: Editora Atlas,1992.

CATTARUZZI, Antonio e ROCHA, Helenice D.M. e DONATTO, Wladimir- Notas de Aula. São

Paulo:[s.n.],1992

Complementar:

ROCHA, Luiz Mauro. Cálculo I. São Paulo: Editora Atlas,9ª.ed.,1987

AYRES , Frank Jr. Cálculo. São Paulo: McGraw-Hill,1981

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Ao Livro Técnico

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo.São Paulo: Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A.

Quadro 16 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Fonte: UNICAMP (2010).

A citação a seguir, que corresponde aos objetivos específicos da disciplina,

coloca em evidência a preocupação em utilizar os conhecimentos desenvolvidos nos

Ensinos Fundamental e Ensino Médio como conhecimentos prévios de apoio à

introdução de novos conhecimentos, em particular, das noções de limite, derivada e

integral.

110

Sendo uma disciplina do Curso de Licenciatura em Matemática, pretende-se reforçar os conceitos adquiridos no Ensino Fundamental e Ensino Médio, bem como eliminar distorções apreendidas, insistindo sempre na necessidade de formalizar. Com os conceitos adquiridos principalmente em Limite de Funções e Função Derivada, aplicar no estudo e comportamento de funções, resolvendo pequenos problemas de Máximo e Mínimo de Funções e construir um esboço do gráfico de algumas funções. Com o cálculo de Integrais pretende-se que saiba calcular áreas e aplicar estes conhecimentos em Mecânica e Economia. Os pré-requisitos necessários e fundamentais para o fluxo de entendimento normal do Cálculo Diferencial e Integral, remontam a todos os conhecimentos que foram adquiridos ao longo do Ensino Fundamental e Ensino Médio, dando-se ênfase ao mecanismo operacional da matemática, e cujo desconhecimento, mesmo em parte, acarreta todas as dificuldades sentidas pelo aluno. (Plano de Ensino FSA, 2012).

A análise da ementa, do programa detalhado e da bibliografia nos permitiu

encontrar elementos de resposta às questões consideradas para a análise da

relação institucional esperada para o tratamento da noção de função exponencial no

Ensino Superior. Assim, observamos que a noção de função exponencial é

introduzida na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, possibilitando ao

professor atuar no nível de co-determinação domínio, pois espera-se que o

estudante articule os conhecimentos sobre a noção de função exponencial adquirida

no Ensino Médio com os conhecimentos de Cálculo a serem introduzidos no Ensino

Superior.

Dessa forma, a função exponencial é tratada enquanto objeto matemático e

se espera que seja utilizada como ferramenta implícita para a introdução de novos

conhecimentos em situações intramatemáticas. Em função do trabalho a ser

realizado e da bibliografia indicada, podemos supor que os ostensivos de

representação algébrico (fórmula) e gráfico são privilegiados e que os não

ostensivos em jogo são as propriedades das potências, a definição de função

exponencial e suas propriedades.

A indicação para que se revisitem os conteúdos dos Ensinos Fundamental e

Ensino Médio conduz à articulação entre os quadros algébrico e analítico. Isto supõe

uma contextualização intramatemática da noção de função exponencial que é

introduzida no Ensino Médio apenas no quadro algébrico e que, pela proposta, deve

ser articulada com as noções de limite, derivada e integral do quadro analítico.

111


Lembrando que as praxeologias são os componentes dos diferentes habitats,

que são os lugares onde vivem os objetos matemáticos, no nosso estudo, sobre a

noção de função exponencial, observamos que a escala correspondente aos

diferentes níveis de co-determinação é que determina o processo de difusão

praxeológico. Dessa maneira, ressaltamos que a noção de níveis de co-

determinação é introduzida, pois as condições e restrições desse processo de

difusão podem ser exploradas e localizadas em um nível, mas se exprimir em outro.

Retomando a escala: tópicos ↔ temas ↔ setores ↔ domínios ↔ disciplinas

↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização, conforme a definição de

Chevallar (2007a), observamos que as relações institucionais esperadas para os

Ensinos Fundamental e Médio não limitam o professor no nível setor, isto é, a ação

apenas sobre estudo das propriedades algébricas ou analíticas das funções, pois o

docente pode agir no nível escola, participando da organização curricular, o que

supõe a participação nos outros níveis.

Já com a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, implementada em

2008, a ação do professor se limita ao nível tema, uma vez que ele pode ampliar a

proposta, utilizando os livros didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro

Didático – PNLD. Apesar dos educadores e professores ficarem limitados apenas

aos temas, quando fazem uso apenas dos Cadernos do Professor e do Aluno, os

mesmos podem servir de material de apoio e auxiliar no desenvolvimento da

interdisciplinaridade e flexibilidade quando integrados aos seus respectivos projetos.

As análises das grades curriculares e dos planos de ensino das universidades

públicas, da universidade privada e do centro universitário mostraram uma tendência

de utilizar a função exponencial enquanto objeto matemático, que será usado como

ferramenta implícita para o desenvolvimento das noções de limite em derivada na

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Em geral, a noção de função exponencial

é utilizada como ferramenta na disciplina de Cálculo e supõe-se que os ostensivos

de representação algébrico e gráfico, assim como os não ostensivos propriedades

das potências, definição de função exponencial e suas propriedades, correspondem

aos conhecimentos prévios disponíveis, nos quais podemos nos apoiar para

introduzir novas concepções.

112

Apesar da noção de função exponencial estar indicada como conteúdo a ser

desenvolvido na disciplina de Cálculo para todos os cursos das instituições

consideradas nesta pesquisa, apenas no plano de ensino da referida disciplina para

o Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Universitário Fundação Santo

André existe uma orientação para articular os conhecimentos sobre as funções

exponenciais desenvolvidos no Ensino Médio por meio do quadro algébrico com os

novos conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior por meio do quadro

analítico. Assim, somente para um curso encontramos a indicação explícita da

necessidade de articular os conhecimentos adquiridos no Ensino Médio com os

novos conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior, o que corresponde à

articulação entre os quadros algébrico e analítico.

Para os Cursos de Licenciatura em Matemática da UNICAMP, Mackenzie e

UNB são propostas disciplinas cujo objetivo é revisitar conteúdos dos Ensinos

Fundamental e Médio. Todavia, nenhuma orientação explícita é dada, ficando assim

a cargo dos professores e estudantes efetuar as articulações necessárias.

Observamos ainda que as referências bibliográficas dos planos de ensino

considerados não indicam obras recentes, mesmo do Ensino Médio, em que essa

articulação se faz presente por meio de tarefas contextualizadas.

Na sequência, demonstramos a grade de análise por nós construída que

serve como ferramenta de análise para as relações institucionais existentes, quais

foram aqui examinadas via livros didáticos indicados no Programa Nacional do Livro

Didático – PNLD e das relações pessoais esperadas dos estudantes ao final do

Ensino Médio e início e final do Ensino Superior, aqui analisadas via as

macroavaliações ENEM, vestibular UNICAMP e ENADE.

113

6 GRADE DE ANÁLISE


Neste capítulo, estudamos os diferentes tipos de tarefas associados à noção

de função exponencial quando de sua introdução no Ensino Médio e aplicação na

apresentação de novos conhecimentos no Ensino Superior. Mostramos, por meio

dessas tarefas, que a função exponencial pode ser usada para modelar

matematicamente.

Para a introdução dessa nova função é importante resgatar o conceito de

potência nos diferentes conjuntos numéricos e suas propriedades, portanto, é

preciso revisitar noções já estudadas nas séries anteriores, tendo em vista que elas

são consideradas conhecimentos prévios à introdução da noção de função

exponencial. Esses conhecimentos já trabalhados em diferentes níveis precisam ser

revisitados e retrabalhados por meio da articulação de quadros em função dos

ostensivos que permitem manipulá-los e dos não ostensivos evocados durante esse

processo.

Por exemplo, após definir a função exponencial por meio do ostensivo de

representação algébrica (fórmula), consideram-se as potências com expoente

natural, inteiro, racional, irracional, sendo que nessa última é importante utilizar uma

calculadora para determinar o valor aproximado do expoente e as respectivas

potências. Considerando que os números reais são a reunião dos racionais e

irracionais, defini-se a potência com expoente real que corresponde ao domínio da

função exponencial. Assim, observamos que, para a definição dessa função, é

necessário recorrer aos não ostensivos potenciação, às suas propriedades e aos

conjuntos numéricos introduzidos no Ensino Fundamental e revisitados no Ensino

Médio que correspondem aos ostensivos escriturais ou orais associados para a

explicitação da manipulação efetuada.

O desenvolvimento das diferentes tarefas que podem aparecer tanto no

Ensino Médio como Superior exige que se disponha de conhecimentos prévios em

relação às noções que servem de ferramentas explícitas para o desenvolvimento do

trabalho matemático em jogo, bem como a escolha da representação adequada, ou

114

seja, do ostensivo de representação a ser utilizado que auxilia em uma melhor

interpretação da tarefa proposta. Certamente, essas tarefas envolvem ainda

mudanças de quadros que dependem da etapa escolar em que a noção de função

exponencial está sendo trabalhada.

Considerando as necessidades anteriormente apresentadas, observamos

ainda que a noção de função exponencial é indispensável para o estudo de Cálculo

Diferencial e Integral, outros domínios da própria Matemática assim como para as

mais diversas ciências. Podemos considerar como exemplo, para mostrar a

importância do estudo da função exponencial, a noção matemática de progressão

geométrica proposta para ser desenvolvida no Ensino Médio com a devida

articulação com a função exponencial e a noção de juros compostos. Além disso, a

função exponencial serve como ferramenta explícita para modelar fenômenos de

outras ciências como a física, a biologia, a economia, isto é, a função exponencial e

as noções a ela associadas devem ser uma ferramenta matemática disponível para

o trabalho em diferentes disciplinas ou áreas tanto no Ensino Médio como no Ensino

Superior.

Para melhor precisar essa necessidade, podemos considerar a noção de

juros compostos em Matemática Financeira que, em geral, é desenvolvida no Ensino

Médio e revisitada no Ensino Superior, em particular para os cursos de

Administração nos quais a ênfase é dada à utilização de novas tecnologias para o

cálculo de juros, supondo que os estudantes dispõem de conhecimentos sobre a

função exponencial que possibilitam a aplicação sem necessidade de explicitar suas

propriedades, tal como mostra o trabalho de Cabello (2010). O mesmo ocorre para o

modelo matemático associado à desintegração radioativa que, em geral, é

trabalhado nos cursos de Física no Ensino Superior.

Assim, quando se considera a introdução da noção de função exponencial no

contexto escolar, verificamos que, normalmente, ela é trabalhada com uma ênfase

sobre os ostensivos de representação algébrico e gráfico nos dois primeiros anos do

Ensino Médio e espera-se que os estudantes possam aplicar essas representações

nos diferentes contextos, em especial, para alguns cursos específicos do Ensino

Superior. Então, para melhor compreender algumas necessidades associadas à

noção de função exponencial expostas, construímos uma grade de análise, na qual

identificamos os diferentes tipos de tarefas que sobrevivem atualmente nos Ensinos

Médio e Superior no Brasil.

115

6.2 A GRADE DE ANÁLISE

Construímos a seguinte grade de análise com o propósito de servir de

instrumento que permitisse analisar a articulação de quadros em função dos

ostensivos a serem manipulados e dos não ostensivos a serem evocados. Além

disso, nossa grade possibilita a identificação do nível de conhecimento esperado dos

estudantes para a própria noção de função exponencial assim como dos

conhecimentos prévios associados para a sua introdução e aplicação enquanto

ferramenta explícita para o desenvolvimento do trabalho matemático na introdução

de novos conhecimentos intramatemáticos e extramatemáticos.

Dessa forma, nossa grade de análise segue o modelo proposto por Dias

(1998) em sua tese, e foi desenvolvida:

Em função dos diferentes tipos de tarefas associadas à noção de

função exponencial encontrada no Ensino Médio e no Ensino Superior;

Em função das variáveis dessas tarefas, para as quais se deu ênfase

ao nível de conhecimento pedido explicitamente no enunciado e os diferentes níveis

de conhecimento que podem ser identificados em relação a outras noções que

devem ser utilizadas para a solução da tarefa. Certamente, a explicitação dos

diferentes níveis de conhecimento esperados dos estudantes exige que se considere

a articulação de quadros, a manipulação dos ostensivos e a evocação dos não

ostensivos associados.

Primeiramente, estudamos as diferentes tarefas usualmente encontradas nos

livros didáticos de matemática, destinados aos primeiros anos do Ensino Médio e

Superior para a introdução e aplicação da noção de função exponencial e, em

seguida, os diferentes níveis de conhecimento exigidos dos estudantes na solução

dessas tarefas.

Para a noção de função exponencial, consideramos cinco classes de

noções:

e) A noção de potência e suas propriedades

f) A noção de equações exponenciais

g) A definição da função exponencial

h) A noção de gráfico da função exponencial

i) A noção de limite no infinito para a função exponencial

116

Para cada uma dessas noções, selecionamos as diferentes tarefas

encontradas em livros didáticos destinados ao Ensino Médio e ao Ensino Superior.

As tarefas a seguir correspondem àquelas, em geral, encontradas nos livros

didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático para 2012, 2013 e

2014 – PNLD e nos dois livros didáticos do Ensino Superior, objeto de estudo nesta

pesquisa.

Para a análise das tarefas, consideramos as seguintes variáveis das tarefas:

• Técnicas e tecnologias associadas à tarefa

• Teorias associadas às tecnologias

• Quadro(s) em que a tarefa é enunciada

• Quadro(s) de solução da tarefa

• Ostensivos de representação escrita

• Não ostensivos associados

• Nível de conhecimento esperado dos estudantes

Na sequência, apresentamos exemplos de funcionamento da grade para os

diferentes tipos de tarefas encontradas.

6.3 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE

Nos exemplos de funcionamento da grade de análise, consideramos a tarefa

geral e, em seguida, apresentamos um ou mais exemplos para ilustração. Esses

exemplos são casos particulares e escolhemos apresentar as tarefas, retiradas de

livros didáticos destinados ao Ensino Médio e ao Ensino Superior, pois, ao mesmo

tempo em que se tenta apresentar os diferentes tipos de tarefas, que podem ser

trabalhadas em um curso de introdução da noção de função exponencial, é possível

mostrar as necessidades em termos de articulação de quadros, manipulação de

ostensivos e evocação de não ostensivos assim como das necessidades em função

do nível de conhecimento esperado dos estudantes em relação à própria noção de

função exponencial e as outras noções em jogo.

Em outras palavras, isso significa que, por meio dos exemplos, podemos

identificar as diferentes formas de conhecimento que permitem compreender melhor

quais as margens de manobra existentes para que os estudantes sejam capazes de

117

identificar os diferentes conhecimentos em jogo. Assim, os discentes podem

responder corretamente a tarefa proposta em função da etapa escolar em que eles

se encontram.

Na sequência, iniciamos, apresentando os possíveis quadros de trabalho para

cada classe de noção, assim como os diferentes ostensivos de representação

utilizados na manipulação do trabalho matemático em jogo e os não ostensivos

respectivamente evocados. Em seguida, demonstraremos a tarefa geral e os

respectivos exemplos para os quais aplicamos a grade de análise.

1 - Noção de potência e suas propriedades

Para essa classe de noção, identificamos os seguintes quadros:

Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar as

propriedades de potências e/ou para desenvolver cálculos com expressões que

envolvem potências. Exemplo: Efetue, utilizando as propriedades das potências:

60,8. 60,5

Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para aplicar as

propriedades de potências e/ou para desenvolver cálculos com expressões que

envolvem potências. Exemplo: Reduza a expressão a uma única potência:

Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de

representação escrita e não ostensivos associados:

Ostensivo de Representação em forma de potência explícita: Exemplo: 128 = 27. O

não ostensivo associado é a noção de potência.

Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: Exemplo: 2x

e x2. O não ostensivo associado é a noção de potência.

Ostensivo de Representação em forma de potência simbólica: transformar um

número real em potência. Exemplo: ax. O não ostensivo associado é a noção de

potência.

Ostensivo de Representação decimal de um número real: O número é dado na

forma decimal. Os não ostensivos associados são as noções de número decimal e

potência de base 10. Exemplo: 0,000005 = 5x10–6 (notação científica).

118

Ostensivo de Representação fracionária explícita: O número é dado na forma

fracionária explícita. O não ostensivo associado é a noção de fração. Exemplo: .

Ostensivo de Representação fracionária simbólica: O número é dado na forma

fracionária simbólica. O não ostensivo associado é a noção de fração.

Exemplo: . , com b diferente de zero.

Identificamos duas tarefas associadas a essa classe de noção que, em geral,

são trabalhadas no Ensino Médio, revisitadas no Ensino Superior ou apenas

introduzidas no Ensino Superior conforme identificação EM, ES ao lado da tarefa.

Tarefa 1: Aplicar as propriedades de potência de mesma base. (EM, ES)

Exemplo: Determinar o número real que representa o produto: 60,8.60,5

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar as propriedades

da potência e/ou utilizar uma calculadora científica para efetuar o cálculo pedido.

A tecnologia depende da resposta esperada:

- quando o resultado deve ser dado na forma de potência com expoente decimal,

basta justificar pela propriedade “na multiplicação de potências de mesma base

conserva-se a base e somam-se os expoentes”.

- quando o resultado deve ser dado na forma de expoente fracionário, após utilizar a

propriedade, é preciso fazer a passagem da representação decimal para a

representação fracionária.

- pode-se ainda representar a potência na forma de multiplicação de um número

inteiro por uma potência com expoente decimal e este pode ser convertido na forma

de fração ou por meio da raiz de expoente fracionário.

- ao utilizar uma calculadora, para encontrar o número real que representa o produto

dado, basta calcular cada potência e efetuar o respectivo produto, podendo também

aplicar a propriedade e fazer o cálculo no final.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de potência de expoente real e suas

propriedades e noção de conjunto dos números reais, suas operações e

propriedades.

Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico.

Quadro(s) de solução da tarefa: numérico.

119

Ostensivos de representação escrita: representação em forma de potência,

representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,

representação algébrica explícita.

Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, operações com

potências e propriedades das potências, a noção de número real, suas operações e

propriedades, a noção de radiciação, suas operações e propriedades.

Nível de conhecimento esperado dos estudantes: É preciso dispor de

conhecimentos sobre as propriedades das potências de mesma base e operações

com números reais, em particular com decimais e frações.

Tarefa 2: Reduzir expressões que envolvem potências. (EM)

Exemplo: Reduza a expressão a uma única potência: ·

Técnicas e tecnologias associadas: Uma primeira técnica consiste em transformar os

números em potências 2, 5 e 10 e aplicar as propriedades das potências de mesma

base e potência de quociente.

A tecnologia associada corresponde a converter os números decimais na

forma de fração decimal, fatorar numeradores e denominadores das frações

encontradas e aplicar as propriedades de potência de mesma base. Após esse

desenvolvimento, encontra-se uma fração elevada a um expoente negativo, na qual

se aplica a propriedade da potência de um número negativo que, para o caso da

base ser um número fracionário, inverte-se a fração, encontrando uma potência de

base 5. Convertendo-se os números inteiros em potências de base 5, aplica-se a

propriedade da potência de potência e multiplicação e divisão de potências de

mesma base.

Uma segunda técnica corresponde a efetuar a divisão dos números decimais

e em seguida utilizar as propriedades das potências de mesma base.

A tecnologia associada a esta técnica depende da possibilidade de utilizar ou

não a calculadora, pois, para os que não dispõem desse instrumento, é necessário

dividir dois decimais, o que corresponde a acertar as casas decimais e efetuar a

divisão. Após encontrar como resultado da divisão o número 5, recaímos na

tecnologia descrita no final da técnica anterior.

120

Teorias associadas às tecnologias: Noção de potência de expoente real e suas

propriedades e noção de conjunto dos números reais, suas operações e

propriedades.

Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: algébrico.

Quadro(s) de solução da tarefa: algébrico.




Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, operações e

propriedades das potências, a noção de número real, suas operações e

propriedades, a noção de radiciação, suas operações e propriedades.


conhecimentos sobre as propriedades das potências de mesma base e operações

com números reais, em particular com decimais e frações.

Em relação à classe de noção de equações exponenciais, identificamos as

tarefas que seguem.

2 – Noção de equações exponenciais


Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar a

definição e/ou as propriedades de potências para resolver equações nas quais a

incógnita aparece no expoente.

Exemplo: Determine o expoente da base 7 para que a potência formada seja

igual a 343.

Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para aplicar a

definição e/ou as propriedades de potências para resolver equações nas quais a

incógnita aparece no expoente.

Exemplo: Resolva a equação: 2x = 0,25

Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de representação

escrita e não ostensivos associados:

Ostensivo de Representação em forma de potência numérica explícita: transformar

uma frase em uma potência.

121

Exemplo: A potência de base 5 elevada a certo expoente resulta em 625.Qual

é o expoente? O não ostensivo associado é a definição de potência.

Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: resolver uma

equação na qual a incógnita aparece no expoente. Exemplo: 32x - 12.3x + 27 = 0. O

não ostensivo associado é a noção de potência e suas propriedades para

transformar a equação dada em uma equação do segundo grau.

Tarefa 3: Determinar o expoente de uma base dada para que a potência seja igual a

um número conhecido. (EM)

Exemplo: Determine o expoente da base 7 para que a potência formada seja

igual a 343.

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em calcular o expoente da

potência de 7 que é igual a 343.

Teorias associadas às tecnologias: Decomposição de um número em forma de

produto de números primos e definição de potência.

Quadro em que a tarefa é anunciada: numérico.

Quadro(s) de solução da tarefa: numérico se a opção for a construção de uma tabela

que mostre o aumento de 71 para 73 e algébrico se a opção for uma equação

exponencial.

Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência numérica

explícita.

Não ostensivos associados: noção de potência de expoente natural.


conhecimentos sobre a definição de potência e decomposição de um número real

em forma de produto de fatores primos. Em relação à resolução da equação na qual

a incógnita encontra-se no expoente, trata-se de desenvolver as técnicas e fórmulas

associadas à resolução das equações exponenciais.

Tarefa 4: Resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente. (EM)

Exemplo: Resolver a equação exponencial em IR: =

Técnicas e tecnologias associadas: Reduzir o 1º e o 2º membros às potências de

mesma base, utilizando a definição de potência e suas propriedades.

Teorias associadas às tecnologias: Definição de potência de expoente real e suas

propriedades e técnicas de resolução de equações do 1º e 2º graus.

122






Não ostensivos associados: resolução de equação do 1º e 2º grau, definição de

potência de expoente real e suas operações e propriedades, operações no conjunto

dos números reais e suas propriedades, radiciação e suas operações e

propriedades.

Nível de conhecimento esperado dos estudantes: Em relação à resolução de

equações nas quais a incógnita encontra-se no expoente, trata-se de desenvolver as

técnicas e fórmulas associadas à resolução das equações do 1º e 2º graus,

acompanhadas das técnicas de propriedades das potências.

Quanto à classe de noção definição de função exponencial, identificamos as

tarefas apresentadas no item a seguir.

3 – A noção de função exponencial

Para essa classe de noção, constatamos os seguintes quadros:

Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com os dados numéricos da tarefa e

calculamos o que é pedido por meio de uma sequência de cálculo em que um

resultado depende do anterior, tal como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo: Uma amostra de 4 kg de uma substância radioativa se desintegra à razão

de 0,25% ao ano. Qual é a equação que expressa a massa M dessa amostra, em

quilograma, em função do tempo t, em ano?

Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para identificar e ou

classificar (crescente ou decrescente) uma função exponencial dada por meio da lei

de sua formação, por meio de uma tabela ou da língua natural.

Exemplo1: Identifique as funções exponenciais:

a) f(x) = (0,3)2x b) f(x) = (-4)x c) f(x) = 123x

Exemplo 2: Certo banco oferece um investimento que rende uma taxa de 6% ao ano

de juros compostos. Observe a simulação de um investimento de R$ 1.500,00 em

um período de três anos.

123

Ano (n) Juro (j) Montante (M)

1 1.500,00. 0,06 = 90,00 1.500,00 + 90,00 = 1.590,00

2 1.590,00. 0,06 = 95,40 1.590,00 + 95,40 = 1.695,40

3 1.695,40. 0,06 = 101,12 1.500,00 + 101,12 = 1.786,52

f) Qual das funções a seguir determina o montante M obtido ao final do ano n,

ao se investir R$ 1.500,00?

M = 1500 (6)n ou M = 1500 (1,06)n

g) Qual será o montante ao final de 4 anos? E de 6 anos?

Exemplo 3: Determine m IR para que a função f(x) = (2m – 1)x seja crescente em

IR.

Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de representação

escrita e não ostensivos associados:

Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: Determinar o valor

de y correspondente ao valor de x, dada a lei de formação de uma função exponencial.

Exemplo: Sendo f(x) = 3x, determine f(-4). O não ostensivo associado é a noção de função

exponencial e definição de potência.

Ostensivo de Representação em forma de tabela (numericamente):

Exemplo:

x -2 -1 0 1 2

y

1 3 9

O não ostensivo associado é a noção de função exponencial.

Ostensivo de Representação em forma de língua natural: Determinar o valor da

variável dependente correspondente ao valor da variável independente, dado um

problema que envolve a noção de função exponencial. Exemplo: Para analisar o

efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria, cientistas fizeram

experimentos expondo uma população desse microorganismo ao remédio e

verificando o tempo necessário para que fosse exterminada. Ao final, verificou-se

que a população da bactéria d dias após a exposição ao remédio poderia ser

124

estimada por meio da função p(d) = 6000.(0,25)d. Dois dias após a exposição ao

remédio, a população da bactéria reduziu-se a quantos por cento da população

inicial?

Tarefa 5: Classificar em crescente ou decrescente a função definida por uma

função exponencial explícita. (EM)

Exemplo: Identifique a função exponencial f(x) = (0,01)x como crescente ou

decrescente:

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em verificar por meio da

definição função exponencial y = ax com a > 0 e a ≠ 1, que se trata de uma função

decrescente, pois 0,001 é um número entre 0 e 1.

A tecnologia consiste em escolher valores para a variável x, constatando-se

que na medida em que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui.

Uma segunda tecnologia consiste em construir o gráfico da função

exponencial e constatar visualmente que a função em questão é decrescente.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de potência

de expoente real, noção de construção de gráfico cartesiano de uma função.



Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência algébrica

explícita.

Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de potência de

expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades, a noção de

plano cartesiano, a noção de coordenadas cartesianas, a noção de construção de

gráfico cartesiano.


conhecimentos sobre as noções de função crescente e decrescente, função

exponencial e noção de construção de gráfico cartesiano de uma função.

Tarefa 6: Identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de

uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural.

(EM)

125

Exemplo: Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se

que, durante os próximos quatro anos, um imóvel sofrerá desvalorização de 10% ao

ano.

Se hoje o valor do imóvel é de R$ 200.000,00, escreva uma equação que

expresse o valor do imóvel V, em real, em função do tempo t, em ano, para os

próximos quatro anos.

Qual será o valor daqui a quatro anos?

Técnicas e tecnologias associadas: Para a primeira questão, a técnica consiste em

representar o valor do imóvel como uma função exponencial do tipo y = kax com a >

0 e a ≠ 1, usando a função y como V (valor do imóvel), k como valor inicial do imóvel,

a como (1 – 0,1 ), ou seja, 0,9 (taxa de desvalorização do imóvel) e x como t

(tempo), ficando com a equação V = 200.000 (0,9)t, onde t varia em quatro anos, isto

é, 0 ≤ t ≤ 4.

Para a segunda questão, uma primeira técnica é calcular o valor relativo ao

quarto ano, por meio de uma sequência, onde se calcula para cada ano a

desvalorização correspondente ao ano anterior. Uma segunda técnica é aplicar o

valor de tempo igual a 4 na equação encontrada na primeira questão.

Teorias associadas às tecnologias: para a técnica em que se utiliza o cálculo

sequencial do desconto a teoria associada é a noção de conjunto numérico (real) e

suas operações e propriedades.

Para a utilização da fórmula de montante, a teoria associada é a noção de

função exponencial mesmo se esta muitas vezes é apresentada aos estudantes de

forma articulada com a noção de matemática financeira.

Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico e algébrico.

Quadro(s) de solução da tarefa: numérico e algébrico.

Ostensivos de representação escrita: representação em língua natural e

representação na forma de potência algébrica explícita.


expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades, a noção de

intervalos reais e a noção de porcentagem.

126


conhecimentos sobre a noção porcentagem, a noção de desconto e a noção de

intervalos reais.

Tarefa 7: Calcular o valor numérico de uma função exponencial. (EM)

Exemplo: Em pesquisa realizada, constatou-se que a população P de uma

determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25.2t, em que t representa

o tempo em horas. Qual é a população de bactérias, após duas horas?

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste representar o valor do

número de bactérias como uma função exponencial do tipo y = Kax com a > 0 e

a≠ 1, usando a função y como P (número da população de bactérias), k como valor

inicial da população, a como 2 e x como t (tempo) , ficando com a equação V = 25.2t,

onde t varia em duas horas.

A tecnologia consiste em calcular o valor numérico da função exponencial

para t = 2.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de cálculo

numérico de uma função e potência de expoente real.




explícita.


expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades.


conhecimentos sobre a noção de função exponencial, noção de cálculo numérico de

uma função e noção da potência e suas propriedades.

4 – A noção de gráfico da função exponencial


127

Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar a

definição e/ou as propriedades de potência com o objetivo de elaborar uma tabela a

fim de determinarmos pontos num plano cartesiano que leve à construção de um

gráfico que represente uma função exponencial.

Exemplo: Esta tabela representa uma função exponencial de IR IR.

Preencha os valores da tabela abaixo e, a partir dela, trace um gráfico usando o

plano cartesiano bem como dê o conjunto imagem da função.

x -2 -1 0 1 2

y

1 2

Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para esboçar ou

reconhecer um gráfico que represente uma função exponencial como crescente ou

decrescente em IR.

Exemplo1: Esboce o gráfico cartesiano da função exponencial y = 3x de domínio IR.

Para essa classe de noção identificamos os seguintes ostensivos de

representação escrita e não ostensivos associados:

Ostensivo de Representação em forma de tabela (numericamente):

Exemplo:

x -2 -1 0 1 2

y

1 3 9

O não ostensivo associado é a noção de função exponencial.

Ostensivo de Representação na forma de potência algébrica explícita: Exemplo:

y = ax com a > 0 e a≠ 1. O não ostensivo associado é a noção de função

exponencial.

Ostensivo de Representação em língua natural: a função exponencial é descrita por

meio de um texto em língua portuguesa. Exemplo: Numa cultura, há 100 bactérias

num determinado instante. Após dez minutos, existem 900 bactérias. Sabendo-se

128

que elas aumentam segundo uma função exponencial f(t) = at, onde a é o número de

bactérias e t é o tempo em horas, quantas bactérias existirão em 1 hora?

Ostensivo de Representação gráfica: a função exponencial é representada pelo

conjunto de todos os pontos (x, y) (curva contínua acima do eixo x que passa pelo

ponto (0,1)) com x e y real em um referencial cartesiano, cujos pontos satisfazem à

equação y= ax com a > 0 e a ≠ 1,onde x D(f).

A curva contínua destacada é o gráfico da função exponencial.

Figura 12 - Gráfico da função exponencial. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178).

Para a classe de noção gráfico da função exponencial, identificamos as tarefas

apresentadas a seguir.

Tarefa 8: Esboçar o gráfico cartesiano da função exponencial de domínio IR. (EM)

Exemplo: Esboce o gráfico cartesiano de domínio IR de y = 3x.

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar a definição de

potência para determinar as coordenadas dos pontos pertencentes ao sistema

cartesiano, os quais, unidos, formam a curva do gráfico solicitado.

A tecnologia consiste em elaborar uma tabela de dupla entrada, escolhendo

valores para a variável x e determinando y de forma que os mesmos satisfaçam à

função y = 3x, onde x pertence ao domínio da função. Em seguida, é preciso

representar num plano cartesiano os pontos encontrados.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de definição de potência, noção de

sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais, noção de abscissa e ordenada,

129

noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função, noção de gráfico de

uma função.




explícita e representação gráfica.

Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, a noção de

número real, suas operações e propriedades, a noção de plano cartesiano, as

noções de abscissa e ordenada e a noção de coordenadas cartesianas.


conhecimentos sobre definição de potência e construção de gráficos no plano

cartesiano.

Tarefa 9: Classificar em crescente ou decrescente a função definida pela sua

representação gráfica cartesiana. (EM)

Exemplo: Classifique a função exponencial como crescente ou decrescente.

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em verificar visualmente por

meio do gráfico dado que se trata de função crescente.

130

A tecnologia consiste em considerar valores para a variável x, constatando-se

que na medida em que o valor de x aumenta, o valor de y aumenta, o mesmo pode

ser feito de forma visual por meio do ostensivo gestual. Trata-se de uma tarefa onde

é preciso associar abscissa e ordenada mesmo que de forma aproximada, isto é,

devem-se localizar alguns pontos no gráfico da função.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de potência

de expoente real, noção de localização de pontos no gráfico cartesiano.



Ostensivos de representação escrita: representação em forma de tabela,

representação gráfica.

Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de função

crescente e decrescente, a noção de ponto em um sistema cartesiano ortogonal.


conhecimentos sobre a noção de função crescente e decrescente, noção de função

exponencial e a noção de localização de pontos no gráfico cartesiano de uma

função.

Tarefa 10: Identificar a lei de formação de uma função exponencial do tipo y = ax

com a > 0 e a ≠ 1 por meio de uma representação gráfica cartesiana. (EM)

Exemplo: O gráfico a seguir representa uma função exponencial, determine a

equação que representa essa função.

131

x

y

Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar a representação

na forma de potência algébrica explícita y = ax para os valores de x e determinar os

valores correspondentes de y. Em seguida, deve-se achar o valor de a por meio da

resolução da equação exponencial encontrada.

A tecnologia consiste em utilizar os pontos dados no gráfico e aplicá-los na

função y = ax com a > 0 e a ≠ 1, determinando, assim, o valor de a.

Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de

resolução de equação exponencial, noção de coordenadas cartesianas, localização

de pontos em gráficos cartesianos.

Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico.

Quadro(s) de solução da tarefa: numérico e algébrico.

Ostensivos de representação escrita: representação gráfica e representação na

forma de potência algébrica explícita.

Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, noção de coordenadas

cartesianas e noção de resolução de equação exponencial.


conhecimentos sobre a noção de função exponencial, noção de coordenadas

cartesianas, noção de localização de pontos em gráficos cartesianos e a noção de

equação exponencial.

132

Para a classe de noção limite no infinito à função exponencial,

destacamos uma tarefa na próxima seção .

5 - A noção de limite no infinito para a função exponencial


Quadro analítico: A função é dada por meio da notação algébrica associada à noção

de limite de uma função, supondo-se, assim, a utilização da definição e das

propriedades de limite de uma função.

Tarefa: Suponha a > 1. Mostre que:

n

nalim

(ES)

Técnicas e tecnologia associadas: A técnica corresponde a fazer uma mudança de

variável para a base a e utilizar o binômio de Newton para determinar uma

sequência e, em seguida, calcular o limite da sequência encontrada.

Teorias associadas às tecnologias: Trata-se de encontrar a mudança de variável

adequada para desenvolver a base a representada na nova variável por meio do

binômio de Newton. Na sequência, é preciso mostrar que a função exponencial é

sempre maior do que uma parte do desenvolvimento do binômio, o que conduz a

uma função afim, permitindo determinar diretamente o limite no infinito.

Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: quadro analítico (quadro da análise

matemática).

Quadro(s) da solução da tarefa: quadro analítico.

Ostensivos de representação escrita: representação de limite de uma função.

Não ostensivos associados: noções de função exponencial e limite no infinito.

Nível de conhecimento esperado dos estudantes: É preciso dispor do conceito de

binômio de Newton, das noções de função exponencial e afim e da noção de limite

no infinito.


Apesar do número reduzido de tarefas apresentadas, observamos que, em

geral, as tarefas identificadas exigem que se disponha de conhecimentos sobre as

133

propriedades das potências de mesma base, das operações com números reais e

das representações fracionárias e decimais, bem como de suas respectivas

conversões, as quais podemos considerar como as técnicas associadas à noção de

potência desenvolvida no Ensino Fundamental. Além disso, é preciso ainda dispor

de conhecimentos sobre fatoração, resolução de equações e inequações, em

particular, as equações e inequações exponenciais que correspondem ao trabalho a

ser realizado no Ensino Médio.

De modo geral, as tarefas associadas às propriedades de função exponencial

exigem que se disponha de conhecimentos sobre sua definição, suas propriedades

e seus gráficos. Esses conhecimentos também são desenvolvidos no Ensino Médio,

ou seja, as tarefas que necessitam da utilização da função exponencial e das

equações e inequações exponenciais exigem o nível mobilizável ou disponível em

relação às técnicas associadas às referidas noções.

Quando consideramos as tarefas contextualizadas, observamos que, além

dos conhecimentos associados à própria função exponencial, às suas propriedades

e a seu gráfico, é preciso dispor de conhecimentos específicos do contexto utilizado.

Nesse sentido, cabe ressaltar que, quando os estudantes dispõem de

conhecimentos sobre a noção de função exponencial, suas propriedades e seu

gráfico, eles podem utilizá-los, por exemplo, para introduzir a noção de juros

compostos. Caso contrário, dificilmente, nos cursos gerenciais, eles irão trabalhar

dessa forma. Por isso, o que é trabalhado no Ensino Médio acaba parecendo não ter

interesse para os estudantes dessa área, o que não corresponde à realidade. Temos

aqui um tema interessante para ser desenvolvido tanto no Ensino Médio como no

Ensino Superior, tendo em vista que os professores podem aproveitar os

conhecimentos prévios de seus estudantes e introduzir novas noções de forma a

torná-los mais ricos, diferenciados e elaborados em termos de significado, tal como

mostra Moreira (2005). Observamos ainda que é importante associar aumento ou

desconto por meio do ostensivo de representação gráfica, o que permite aos

estudantes compreender melhor a velocidade do crescimento ou decrescimento do

valor em questão. As funções exponenciais são úteis na modelagem de muitas

aplicações nas diferentes áreas do Ensino Superior. Nesta etapa escolar, não

encontramos tarefas específicas, mas o estudante é levado a utilizar tabelas,

expressões algébricas e gráficos que denominamos ostensivos de representação

escrita. Estes são supostos como conhecimentos suficientes para identificar a

134

função exponencial como modelo matemático para a solução de diferentes tarefas

em diversos contextos ou ainda usar essas representações para manipular e

explicar a variação da função exponencial para diferentes bases e em relação aos

possíveis valores que podemos atribuir aos seus coeficientes.

Em geral, a função exponencial é utilizada como ferramenta explícita para o

desenvolvimento das noções de limite, derivada e integral no Ensino Superior.

Nesse caso, observamos que, se os estudantes dispõem de conhecimentos sobre a

função exponencial, suas propriedades e seus gráficos, podemos utilizá-los como

conhecimentos prévios de base para a introdução de novos conhecimentos.

No próximo capítulo, apresentamos os resultados da análise das relações

institucionais existentes, aqui estudadas via livros didáticos indicados no PNLD ou

nos planos de ensino dos Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades.

135

7 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES VIA LIVROS

DIDÁTICOS


O livro didático é um instrumento de grande importância no desenvolvimento

e na elaboração das aulas pelo professor. O livro didático de matemática, em

particular, é um importante aliado para o estudante como fonte de acesso à

matemática fora do ambiente escolar. Apesar de existirem outros materiais didáticos,

o livro, após ser distribuído gratuitamente em todas as escolas públicas do país,

tornou-se para muitos uma extraordinária fonte de estudo e ajuda ao estudo.

Sendo assim, elegemos analisar de que forma os livros didáticos apresentam

a noção de função exponencial e que tipos de tarefas são oferecidas para os

estudantes. Em outras palavras, buscamos averiguar qual a relação institucional

para o estudo da noção de função exponencial que é desenvolvida nos livros

didáticos escolhidos para esta pesquisa.

Dessa forma, decidimos analisar um conjunto de quatro livros didáticos de

matemática, dos quais um é destinado aos estudantes dos cursos de introdução ao

Cálculo Diferencial e Integral, um destinado a professores de Matemática do Ensino

Médio e para estudantes de licenciatura em Matemática e os outros dois são

dedicados aos estudantes do Ensino Médio.

Os livros elegidos para o estudo das relações institucionais existentes no

Ensino Médio são: “Matemática Contexto e Aplicações” (DANTE, 2010) e

Matemática: Ensino Médio (STOCCO; DINIZ, 2010), ambos avaliados e aprovados

pelo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM/2010. Esses livros

foram escolhidos por se tratarem de obras cujas explicitações dos diferentes níveis

de conhecimento esperados dos estudantes, a articulação de quadros e a

manipulação dos ostensivos e evocação dos não ostensivos associados, estavam

mais bem adaptadas às ferramentas de análise propostas neste trabalho, mesmo se

estas termologias não são tratadas com a mesma nomenclatura aqui utilizada.

A eleição dos livros do Ensino Médio foi fundamentada nos que ofereceram

maior gama de articulação de quadros intra e extramatemáticos e que, dessa forma,

136

favorecem uma análise em termos e níveis de conhecimento, pois diferentes noções

são trabalhadas em diferentes níveis.

Elegemos o livro “A matemática do Ensino Médio” Lima e al,(2006) por se

tratar de uma obra destinada a professores e estudantes de licenciatura de

matemática, bem como porque, para este livro, a questão da articulação entre as

diferentes formas de conhecimento tem um papel central, ainda que os autores não

tratem dessas questões da mesma maneira como se propõe neste trabalho.

Com relação ao livro didático de matemática do Ensino Superior, elegemos o

livro “Cálculo” (STEWART, 2010) que é atualmente é utilizado em cursos em que a

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é uma dos componentes curriculares e

que trata da questão da articulação entre as diferentes formas de conhecimento,

fazendo uma observação sobre as distintas maneiras de representar uma função,

mostrando a importância da passagem de uma representação para outra como meio

para alcançar um melhor entendimento da noção de função.

Uma vez elegidas as obras, estruturamos a análise em torno das seguintes

questões:

1 - Quais os conhecimentos supostos disponíveis para introduzir a noção de função

exponencial?

2 - Como é introduzida a noção de função exponencial, quais ostensivos de

representações são utilizados e como eles se articulam?

3 - Existe um discurso tecnológico e/ou teórico que justifica as noções consideradas

no curso e o tratamento dos exemplos que as acompanham de forma a auxiliar os

estudantes no desenvolvimento dos níveis mobilizável e disponível?

4 - Quais são os quadros (numérico, algébrico ou analítico) necessários para o

desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes?

5 - Que pesos respectivos ocupam os níveis técnicos, mobilizáveis ou disponíveis

(ROBERT,1997,1998), nas tarefas propostas aos estudantes?

Com base nas questões expostas, iniciamos nossas análises com um

comentário que permite mostrar a apresentação geral das noções associadas ao

conceito de função exponencial.

Para as análises dos livros didáticos elegidos, consideramos como parte do

professor, a introdução teórica da noção de função exponencial, ou seja, o discurso

tecnológico ou teórico e os exercícios resolvidos, isto é, o tratamento dos exemplos.

Como parte do estudante, verificamos os exercícios propostos aos estudantes.

137

Além disso, são analisadas as articulações entre os diferentes ostensivos de

representação e quadros introduzidos para o estudo da noção de função

exponencial tanto para o trabalho suposto do professor como do estudante.

Verificamos ainda quais os níveis de conhecimentos técnicos, mobilizáveis ou

disponíveis (ROBERT, 1997,1998), são privilegiados nas tarefas propostas aos

estudantes quando se consideram as aplicações das noções de função exponencial

e as outras noções a ela associadas.

Primeiramente, apresentamos a obra Matemática “Contexto e Aplicações”

(DANTE, 2010). Em seguida, está a análise da obra Matemática: Ensino Médio

(STOCCO; DINIZ, 2010) e, finalmente, a obra “Cálculo” (STEWART, 2010).

7.2 A OBRA DE LUIZ ROBERTO DANTE INTITULADA MATEMÁTICA “CONTEXTO

E APLICAÇÕES” (VOLUME 1)

Trata-se de uma obra de três volumes destinados aos estudantes do Ensino

Médio, cuja finalidade, segundo o autor, é contribuir para o trabalho do professor em

sala de aula e para o processo de aprendizagem dos estudantes, consolidando e

aprofundando o que foi visitado no Ensino Fundamental.

O primeiro volume é dividido em 12 capítulos, sendo os dois primeiros

capítulos destinados a temas, em geral, trabalhados no Ensino Fundamental, o

domínio das “Funções” é introduzido no capítulo 3, seguido dos setores Função

Afim, Função Quadrática e Modular. A Função Exponencial, nosso objeto de estudo,

é introduzida no capítulo 5, os demais capítulos são dedicados aos domínios:

Logaritmo e Função Logarítmica, Progressões, Matemática Financeira,

Trigonometria no Triângulo Retângulo e Geometria Plana.

Os temas sobre “Função Exponencial” foram divididos em 10 tópicos, a saber:

• Introdução

• Revisão de potenciação

• Simplificação de expressões

• Função Exponencial

• Equações exponenciais

• Inequações exponenciais

138

• Aprofundamento do estudo da função exponencial

• As funções f(x) = ax e g(x) = a-x

• O número irracional e e a função exponencial ex

• Aplicações da função exponencial

Observamos que o autor, de modo geral, apresenta cada tópico de forma

detalhada, com definições e exercícios resolvidos, para os quais existe um discurso

tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento,

explicitando os conhecimentos prévios supostos disponíveis do Ensino

Fundamental, tal como é recomendado nas propostas governamentais.

Desse modo, comentamos e analisamos, a seguir, os dez tópicos para melhor

compreender a proposta dos autores.

O tópico: Introdução

A introdução do livro é apresentada, considerando uma situação-

problema que corresponde a uma cultura de bactérias, cuja população dobra a cada

hora, isto é, o número de bactérias está relacionado com o tempo. Em seguida, o

autor associa a resolução da situação mencionada ao modelo matemático “função”

do tipo “exponencial”, f(x) = b.2x, onde b representa o número inicial de bactérias, x é

o tempo decorrido e f(x) o número de bactérias para um determinado tempo x.

139

Figura 13 - Introdução. Fonte: Dante (2010, p.230).

O tópico: Revisão de potenciação

A revisão de potenciação é introduzida com o seguinte questionamento: Será

que a expressão ax tem sentido para todo número real x?

Potência com expoente natural

O autor define uma potência de base a e expoente n como um produto de n

fatores iguais a a. Usando definição, o autor mostra a propriedade fundamental

(multiplicação de potência de mesma base) am . an = am + n .

Com base na propriedade fundamental, são demonstradas as outras

propriedades de potência, obedecendo à ordem dos conjuntos numéricos do

expoente da potência, ou seja, potência com expoente inteiro, potência com

expoente racional, potência com expoente irracional e potência com expoente real.

Para essa primeira apresentação de revisita às noções já trabalhadas no

Ensino Fundamental, os ostensivos de representação utilizados são:

Ostensivo de Representação em forma de potência explícita: Exemplo: 35 = 243. O

não ostensivo associado é a noção de potência.

Ostensivo de Representação fracionária explícita: O número é dado na forma

fracionária explícita. O não ostensivo associado é a noção de fração.

140

Exemplo: = 32 = 9

Ostensivo de Representação decimal de um número real: O número é dado na

forma decimal. Os não ostensivos associados são as noções de número decimal e

notação científica. Exemplos: 32,45 = 3,245.10 = 3,245 .101 (notação científica).

A definição de potência e suas propriedades são justificadas por meio de um

discurso tecnológico associado às técnicas e aos procedimentos que correspondem

à aplicação dessas noções. No entanto, esse trabalho do livro não explora a

contextualização no tratamento dos exemplos e o desenvolvimento dos níveis

mobilizável e disponível está associado às articulações e operações nos conjuntos

numéricos.

Observamos, assim, que, para definir potência de expoente real, o autor

introduz a noção de potência de expoente irracional, explicitando a necessidade da

utilização de uma calculadora científica, uma vez que a mesma é determinada por

meio de aproximações racionais. Nesse sentido, é importante ressaltar a

necessidade de um discurso tecnológico específico que auxilia a compreender a

noção de número irracional e a questão da aproximação.

Para o desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes, é

necessário apenas o quadro numérico, algumas exigem que se mobilize ou

disponha de conhecimentos associados às operações e propriedades para um

determinado conjunto numérico, como podemos observar no exemplo que segue:

Calcule as potências com expoente inteiro em IR (DANTE, 2010, p. 232):

.

Trata-se da Tarefa 1 (Aplicar as propriedades de potência de mesma base). A

técnica consiste em aplicar as propriedades da potência e espera-se que o

estudante dê o resultado na forma fracionária. A tecnologia consiste em, após

representar o número dado na forma de fração mista em uma única fração, utilizar a

propriedade da potência. É preciso que o estudante disponha de conhecimentos

sobre as propriedades das potências e operações com números reais, em particular

com os números racionais representados na forma de fração.

141

O tópico: Simplificação de Expressões

Este tópico é apresentado com 6 exemplos (exercícios resolvidos), em que as

técnicas e os procedimentos associados às propriedades das potências são

aplicados para simplificação de expressões. Nesse momento, são articulados os

ostensivos de representação escrita (representação em forma de potência,


representação algébrica explícita) e também os não ostensivos associados (a noção

de potência de expoente real, operações e propriedades das potências, a noção de

número real, suas operações e propriedades, a noção de radiciação, suas

operações e propriedades).

A técnica associada a esses exemplos consiste em transformar os números

em potências e aplicar as propriedades das potências de mesma base e a

tecnologia correspondente exige que se disponha de conhecimentos sobre a

conversão de números decimais na forma de fração decimal, fatoração de

numeradores e denominadores das frações encontradas e aplicação das

propriedades de potência de mesma base. Essas tecnologias são justificadas por

um discurso cujo objetivo é auxiliar o leitor a seguir tais transformações tanto para o

quadro numérico ou algébrico.

Para tarefas propostas aos estudantes, podemos considerar que as mesmas

exigem apenas o nível técnico, pois se trata de aplicações das técnicas e dos

procedimentos apresentadas nos exemplos.

O tópico: Função exponencial

A definição, que na realidade é uma condição de existência, é apresentada

por meio do ostensivo de representação em forma de potência algébrica explícita

(fórmula), isto é, f(x) = ax, seguido do ostensivo de representação em forma de

tabela e do ostensivo de representação gráfica.

Os exemplos são acompanhados de um discurso teórico que os justificam e

podem auxiliar o leitor a reconhecer a função exponencial por meio de suas

propriedades, em particular, das associadas à sua definição e ao seu gráfico. Por

exemplo: o gráfico da função exponencial f(x) = ax tem por imagem o semieixo y > 0.

142

O autor explicita que as propriedades da função exponencial são observadas

por meio de seu gráfico, ou seja, ele utiliza uma tecnologia centrada nos ostensivos

de representação da função exponencial para justificar suas propriedades, uma vez

que não dispõe de recursos teóricos, como mostra o exemplo que segue.

Figura 14 - Propriedades da função exponencial. Fonte: Dante ( 2010, p. 238).

As propriedades apresentadas acima e visualizadas por meio do ostensivo de

representação gráfica podem ser revisitadas no Ensino Superior, quando os

estudantes dispõem das noções de limite e derivada, pois, nesses casos, os

estudantes podem compreender melhor as propriedades e estudar novamente a

função exponencial num contexto intramatemático. Dessa forma, não se repete o

que foi feito no Ensino Médio, articulam-se conhecimentos prévios com novos

conhecimentos e se justificam utilizando, por meio do Cálculo, as propriedades que

se supõem verdadeiras apenas pela visualização do gráfico da função exponencial.

As tarefas propostas para os estudantes articulam os quadros numéricos e

algébricos e exigem o nível técnico, no momento em que se reproduz o exemplo e o

nível mobilizável, quando se espera que o estudante mobilize o cálculo numérico

nos diferentes conjuntos e as passagens do ostensivo de representação na forma de

143

potência algébrica explícita para o ostensivo de representação gráfica ou a

passagem do registro de representação gráfica para o registro de representação na

forma de potência algébrica explícita de uma função exponencial. A expectativa é a

de que os estudantes disponham das formas de descrições algébricas entre

grandezas e suas representações introduzidas e apresentadas no capítulo 3, o qual

é destinado ao estudo de funções.

Para as tarefas de construção de gráfico no plano cartesiano, seu

desenvolvimento exige que se disponha de conhecimentos associados à definição

de potência, pois, após determinar as coordenadas de alguns pontos, os mesmos

são representados no sistema cartesiano ortogonal, chegando-se, assim, à curva do

gráfico solicitado. Assim, os conhecimentos supostos disponíveis são a definição de

potências e a representação de pares ordenados no sistema cartesiano ortogonal

plano.

Para as tarefas que classificam em crescente ou decrescente a função

exponencial definida pela sua representação na forma de potência algébrica, a

técnica consiste em verificar visualmente, por meio do valor numérico da base da

potência, os dois casos possíveis, isto é, se a base da função exponencial está entre

0 e 1 a função é decrescente e, quando é maior do que 1, a função é crescente.

Aqui, novamente, observamos que o autor associa a função a seu gráfico e

visualmente estabelece o discurso tecnológico que justifica a propriedade da função.

Para as tarefas que identificam a lei de formação de uma função exponencial

do tipo y = ax com a > 0 e a ≠ 1, por meio de uma representação gráfica cartesiana,

é necessário o quadro numérico e o quadro algébrico para a sua solução e a técnica

consiste em aplicar a representação na forma de potência algébrica explícita y = ax

para os valores de x e determinar os valores correspondentes de y, em seguida,

deve-se achar o valor de a por meio da resolução da equação exponencial

encontrada. Nesse caso, é preciso dispor de conhecimentos sobre potenciação e suas

propriedades e um método de solução de equações exponenciais.

O tópico: Equações Exponenciais

Este tópico é apresentado dos quadros numérico e algébrico, utilizando os

ostensivos de representação escrita (representação em forma de potência,

144


representação algébrica explícita).

Os exemplos são acompanhados de um discurso tecnológico que justifica as

articulações de quadros e ostensivos de representação que auxiliam o leitor no

desenvolvimento desses exercícios resolvidos.

Para a resolução das tarefas propostas para o estudante, são necessários o

quadro numérico e quadro algébrico, bem como mobilizar os conhecimentos sobre a

definição de potência e decomposição de um número real em forma de produto de

fatores primos e desenvolver as técnicas e fórmulas associadas à resolução

equações exponenciais desenvolvidas nos exemplos. Faz-se preciso ainda dispor

dos conhecimentos de métodos de resolução de equação do 1º e 2º grau e sistemas

de duas equações com duas incógnitas.

O tópico: Inequações Exponenciais

Este tópico relaciona o crescimento e decrescimento da função exponencial

com a resolução das inequações por meio de gráficos, isto é, faz a articulação entre

os ostensivos de representação escrita e o ostensivo de representação gráfica.

Existe um discurso tecnológico que justifica as noções de inequações do 1º e

2º grau consideradas no curso e tratamento das técnicas e procedimentos que

auxiliarão o estudante no desenvolvimento das tarefas propostas.

As tarefas propostas aos estudantes exigem o nível técnico em relação à

resolução de equações nas quais a incógnita encontra-se no expoente, pois se trata

de desenvolver as técnicas e fórmulas associadas à resolução equações do 1º e 2º

graus, acompanhadas das técnicas de propriedades das potências, conforme os

exemplos dados. O nível mobilizável só aparece nas inequações em que no

enunciado é dada uma desigualdade sem explicitar que se trata de uma inequação

exponencial. Finalmente, consideramos que o nível disponível só está em jogo nas

tarefas que exigem que se observe o domínio da função.

Para a solução das tarefas propostas aos estudantes, são necessários os

quadros algébrico e numérico, além dos ostensivos de representação escrita

(representação em forma de potência, representação fracionária, representação de

radicais, representação decimal, representação algébrica explícita) e não ostensivos

associados (resolução de equação do 1º e 2º grau, definição de potência de

145

expoente real e suas operações e propriedades, operações no conjunto dos

números reais e suas propriedades, radiciação e suas operações e propriedades)

para aplicar as técnicas e os procedimentos como reduzir o 1º e o 2º membros às

potências de mesma base, utilizando as noções de definição de potência e suas

propriedades.

O tópico: Aprofundando o Estudo da Função Exponencial

Neste tópico, o autor faz uma conexão entre função exponencial e progressão

geométrica (PG) por meio de um exemplo contextualizado no quadro da matemática

financeira.

Os ostensivos de representação utilizados são o ostensivo de representação

em forma de potência algébrica explícita, o ostensivo de representação em forma de

tabela e o ostensivo de representação em língua natural.

Existe um discurso tecnológico que justifica a articulação da noção de função

exponencial do tipo y = kax com a > 0 e a ≠ 1, com as noções progressões

geométricas e de juros compostos consideradas no tratamento dos exemplos em

que o ostensivo de representação em língua natural e ostensivo de representação

na forma de potência algébrica explícita são utilizados para mostrar a relação entre

funções exponenciais, progressões geométricas e juros compostos.

Para a resolução das tarefas propostas aos estudantes, é necessário o

quadro numérico e o quadro algébrico, mobilizar a noção de função como a relação

de duas variáveis e dispor dos conhecimentos de progressão geométrica e juros

compostos.

O tópico: As funções f(x) = ax e g(x) = a-x

Mostra graficamente a reciprocidade da função exponencial por sua lei de

formação e pelo seu gráfico, isto é, o ostensivo de representação na forma de

potência algébrica explícita e o ostensivo de representação gráfica.

Existe um discurso tecnológico que justifica a noção de simetria considerada

e o tratamento com o exemplo que acompanha essa noção pode auxiliar o

estudante no desenvolvimento do nível mobilizável exigido na tarefa proposta ao

estudante.

146

O tópico: O número irracional e e a função exponencial ex

O autor define o número irracional e como limite da sequência com

n {1,2,3,4,...}, isto é, articula os ostensivos de representação em forma de

potência, ostensivos de representação na forma fracionária, ostensivo de

representação na forma decimal e ostensivo de representação na forma algébrica

explícita, conforme figura a seguir:

Figura 15 - Definição do número irracional e. Fonte: Dante (2010, p. 249).

147

Existe um discurso tecnológico que justifica as considerações apresentadas

pelo autor que determina alguns valores da sequência e conclui que e é um

número irracional que tende lentamente a 2,7182818284... quando n aumenta

indefinidamente. A tabela construída para as funções f(x) = ex e f(x) = e-x permite

visualizar a reciprocidade dessas duas funções.

Para o desenvolvimento da tarefa proposta ao estudante, são necessários os

quadros algébricos e numéricos, além das articulações das noções de valor

numérico de uma função e gráfico de uma função. Além disso, podemos ainda

considerar que essa tarefa exige o nível técnico em relação ao uso da tabela e

mobilizável em relação à noção de função exponencial e sua representação gráfica.

O tópico: Aplicações da função exponencial

Nesse tópico, o autor mostra que a função exponencial, além da lei de

formação f(x) = ax, também pode ser representada por f(x) = C.akx que é a

característica para certos tipos de fenômenos.

O exemplo é trabalhado por meio de um problema que relaciona o número

esperado de habitantes de uma cidade com o tempo dado em anos pela função

dada f(t) = K. 20,05t.

Existe um discurso tecnológico que justifica a aplicação da noção de função

exponencial por meio de cinco etapas para a resolução deste problema: lendo e

compreendendo, planejando a resolução, executando o que foi planejado, emitindo a

resposta e aplicando o problema.Em outras palavras, mostra-se que o discurso não

trata apenas da aplicação da noção matemática em jogo, mas da técnica e do

procedimento necessário para a resolução de uma situação contextualizada.

É necessária a articulação entre os quadros numérico e algébrico para

resolução das tarefas que exigem o nível mobilizável em relação à aplicação da

noção de função exponencial e disponível em relação às técnicas e aos

procedimentos que envolvem essa noção. Isto, nessa etapa, já é considerado

conhecimento prévio disponível.

Na sequência, apresentamos a obra de Kátia Stocco Smole e Maria Inez Diniz

(2010).

148

7.3 A OBRA DE KÁTIA STOCCO SMOLE E MARIA INEZ DINIZ INTITULADA

MATEMÁTICA “ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)

A obra de Kátia Stocco Smole e Maria Inez Diniz é composta de três volumes

destinados aos estudantes do Ensino Médio, cuja finalidade, segundo as autoras, é

desenvolver os temas selecionados de forma que o estudante possa usufruir do

valor científico, informativo e instrumental da Matemática. Isto significa que a obra

deve servir tanto para aqueles que necessitam da Matemática para continuar seus

estudos assim como para a utilização da mesma à leitura de textos cotidianos e à

aplicação em tarefas da vida diária.

O primeiro volume é dividido em duas partes, a primeira, intitulada “Números,

Estatística e Funções”, contém as nove primeiras unidades e a segunda,

“Trigonometria”, contém as duas últimas unidades, em um total de 11 unidades,

sendo a primeira unidade destinada a temas, em geral, trabalhados no Ensino

Fundamental, a segunda unidade destinada à análise de dados (estatística). O

domínio das ralações entre grandezas “Funções” é introduzido na unidade 3,

seguido dos setores Função Afim, Função Quadrática, Sequências (Progressão

Aritmética e Progressão Geométrica).

A Função Exponencial, nosso objeto de estudo, é introduzida na unidade 7,

as demais unidades são dedicadas aos domínios: Logaritmo e Função Logarítmica,

Operações entre Funções, Trigonometria no Triângulo Retângulo e Relações

Trigonométricas em um Triângulo qualquer.

Os temas sobre “Função Exponencial” foram divididos em 03 tópicos, a saber:

• Função Exponencial.

• Equações Exponenciais.

• Inequações.

Observamos que as autoras, em geral, apresentam cada tópico de forma

detalhada, com definições e exercícios resolvidos, para os quais existe um discurso

tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento,

explicitando conhecimentos prévios supostos disponíveis do Ensino Fundamental,

tal como é recomendado nas propostas governamentais.

Comentamos e analisamos os três itens, a seguir, para melhor compreender a

proposta das autoras.

149

O tópico: Função Exponencial

A definição da função exponencial é apresentada por meio do ostensivo de

representação em língua natural, ostensivo de representação gráfica, ostensivo de

representação na forma de tabela, ostensivo de representação na forma de potência

algébrica explícita (fórmula), isto é, f(x) = ax.

A introdução da função exponencial é apresentada, considerando uma

situação-problema, que corresponde ao crescimento de uma folha com forma

circular de uma planta aquática, cujo diâmetro triplica a cada mês, isto é, o diâmetro

está relacionado com o tempo em meses. Em seguida, as autoras representam o

crescimento dessa folha em um gráfico, mostrando, assim, que o diâmetro aumenta

aproximadamente 80 vezes em 4 meses. Além disso, por meio do ostensivo de

representação na forma de tabela, que contém a variação do diâmetro em função do

tempo, as autoras generalizam, utilizando o ostensivo de representação forma de

potência para finalmente associar a situação ao modelo matemático “função” do tipo

“exponencial”, f(x) = 3x ou y =3x, onde 3 representa o triplo do diâmetro da folha, x é

o tempo decorrido em meses e y o tamanho da folha para um determinado tempo x,

conforme podemos observar na figura a seguir:

150

Figura 16 - Introdução Stocco e Diniz. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.173).

Os exemplos são acompanhados de um discurso tecnológico que os

justificam, como na Figura16, na qual as autoras apresentam a função por meio de

sua representação gráfica, observando que se trata de uma função contínua e que,

para o caso considerado, o diâmetro cresce exponencialmente. As autoras justificam

ainda as restrições à base a, ou seja, a > 0 e a ≠ 1, utilizando a definição de função

exponencial através do ostensivo de representação algébrico intrínseco, isto é, f: IR

→IR dada por x ├→ y = ax, com a >0 e a ≠ 1.

Depois de mostrar como podem ser obtidos os valores de ax, quando x é

irracional, a partir de potências de ar, com r assumindo valores racionais que se

aproximam de x, na “seção para saber mais”, as autoras apresentam um quadro que

contém todas as propriedades da potência, mas esse trabalho não explora o

151

tratamento de exemplos numéricos. Observamos, então, que fica a cargo do

professor exemplificar numericamente as propriedades da potência de expoente

real, em particular, determinar as potências de expoente fracionário e irracional, que

supõem a utilização de uma calculadora.

Para o desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes, é necessário

articular os quadros numérico e algébrico, algumas exigem que se mobilize ou

disponha de conhecimentos associados às operações e propriedades da

potenciação e radiciação para um determinado conjunto numérico, como podemos

observar no exemplo que segue:

Figura 17 - Exercício 6. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.175).

O exemplo da Figura 17 corresponde à Tarefa 1 (Aplicar as propriedades de

potência de mesma base). Para resolver o item a, a técnica empregada consiste em

aplicar a definição da potência, pois se espera que o estudante dê o resultado na

forma de potência. Assim, é preciso que o estudante disponha de conhecimentos

sobre a transformação de um número inteiro em forma de potência de base 10, isto

é, o estudante deve dispor da noção de notação científica, estudada na unidade 1.

Nos itens b e c, a técnica empregada consiste em identificar a sequência

onde cada termo é encontrado, elevando 10 a um expoente igual à posição do termo

na sequência. É preciso que o estudante disponha da noção de sequência e termo

geral de uma sequência, estudadas na unidade 6.

Antes de introduzir o gráfico da função exponencial, há uma segunda seção

“para saber mais”, na qual as autoras fazem a articulação entre as noções de

progressão geométrica e função exponencial por meio de exemplos que articulam os

ostensivos, ostensivo em língua natural, ostensivo de representação em forma de

Observe a seqüência 10 100 1000 10000

Indique o 5º, o 18º e o 100º termos dessa sequência

Explique como essa sequência é formada.

Encontre o termo geral da sequência.

152

tabela, ostensivo de representação gráfica e ostensivo de representação em forma

de potência algébrica explícita.

Neste ponto, observamos que, para a solução das tarefas propostas aos

estudantes, é preciso que o professor explicite a articulação entre os diferentes

ostensivos de representação e que, por se tratarem de tarefas que exigem o nível

disponível, alguns conhecimentos considerados como conhecimentos prévios

poderão ser revisitados ou até introduzidos pelo professor em função dos diferentes

grupos de estudantes com os quais está desenvolvendo esse trabalho.

Assim, o gráfico da função exponencial é introduzido por meio de exemplos,

que são acompanhados de um discurso tecnológico que justifica a passagem do

quadro numérico para o quadro algébrico e do ostensivo de representação na forma

algébrica explícita para ostensivo de representação em forma de tabela e, na

sequência, para o ostensivo de representação gráfica.

Em seguida, as autoras justificam, por meio da representação gráfica, os

casos em que há a função crescente e decrescente, com dois exemplos que são

acompanhados de um discurso teórico, uma vez que, a partir da definição de função

exponencial, elas consideram a condição de existência, isto é, a função exponencial

é aquela cujo gráfico está acima do eixo Ox para todo x pertencente a IR e tem por

imagem o conjunto dos números reais positivos e diferentes de zero, Im(f) = *IR , e

corta o eixo Oy no ponto (0,1), como podemos observar na figura a seguir:

153

Figura 18 - Gráfico Cartesiano dos casos da função crescente e descrecente. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178)

Após a discussão sobre a propriedade de crescimento e decrescimento da

função exponencial, as autoras apresentam dois exemplos (exercícios resolvidos). O

primeiro envolve a construção e interpretação de gráfico e a classificação em

crescente ou decrescente da função exponencial definida pela sua representação na

forma de potência algébrica explícita. A técnica consiste em verificar visualmente,

por meio do valor numérico da base da potência, os dois casos possíveis, isto é, se

a base da função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente e, quando é

maior do que 1, a função é crescente.

Observamos que as autoras associam a função dada a seu gráfico e

visualmente estabelecem o discurso tecnológico que justifica a propriedade de

crescimento e decrescimento da função dada, assim como a identificação do

domínio e imagem da mesma. Nesse momento, elas introduzem ostensivamente,

por meio da representação gráfica da função dada, a variação do conjunto imagem,

que corresponde à função f(x) = b + ax e que poderá servir de apoio para o estudo

das assíntotas horizontais no Ensino Superior.

A figura 19, a seguir, coloca em evidência o trabalho sobre os ostensivos de

representação algébrico e explícito, tabela e gráfico, sendo que o ostensivo na forma

de representação gráfica permite visualizar as propriedades das funções dadas.

154

Figura 19 - Exercícios resolvidos. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178).

Figura 20 - Exercícios resolvidos. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.179).

155

O segundo exemplo enfoca uma situação-problema do vestibular da FUVEST

2007, na qual se relaciona o número de bactérias com o tempo para a reprodução

das mesmas. Trata-se de uma tarefa que, por estar associada à noção de função

exponencial, exige o nível mobilizável, mas que, ao ser dada em uma avaliação,

será considerada disponível. As autoras apresentam sua solução, desenvolvendo

um discurso tecnológico que permite encontrar a função exponencial a partir do

cálculo de alguns casos particulares. Assim, a noção de função exponencial e a

definição de potência são os elementos teóricos considerados no discurso que

acompanha esse exemplo. A explicitação do trabalho matemático a ser realizado

pode auxiliar o estudante na aplicação dessa forma de raciocínio nas tarefas que lhe

são propostas a seguir.

Assim, consideramos que, para as tarefas de construção de gráfico no plano

cartesiano, o desenvolvimento proposto exige que se disponha de conhecimentos

associados à definição de potência, pois, após determinar as coordenadas de alguns

pontos, os mesmos são representados no sistema cartesiano ortogonal, chegando-

se à curva do gráfico solicitado. Neste momento, os conhecimentos supostos

disponíveis são a definição de potência e suas propriedades e a representação de

pares ordenados no sistema cartesiano ortogonal plano.

Para as tarefas de classificação da função exponencial em crescente ou

decrescente, sendo esta definida pela sua representação na forma de potência

algébrica explícita, a técnica consiste em verificar visualmente, por meio do valor

numérico da base da potência, os dois casos possíveis, isto é, se a base da função

exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente e, quando é maior do que 1, a

função é crescente.

Para as tarefas que consistem em identificar a lei de formação de uma função

exponencial do tipo y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, quando esta é dada por meio de uma

situação problema, é necessário articular os quadros numérico algébrico para sua

resolução. Assim, observamos que este tipo de tarefa exige o nível mobilizável em

relação à aplicação da noção de função exponencial e disponível em relação às

técnicas e aos procedimentos que envolvem essa noção, em particular, a definição

de potência e suas propriedades e a representação de pontos no sistema cartesiano

ortogonal plano.

Existe ainda uma secção “no computador” para a qual é proposta uma

atividade de construção gráfica, usando o “software” Winplot. Trata-se de uma tarefa

156

interessante, pois consiste em comparar e analisar os gráficos da função afim

f(x) = 2x, da função quadrática g(x) = x2 e da função exponencial h(x) = 2x, em uma

primeira etapa e, na etapa seguinte, verificar como se comporta o gráfico da função

exponencial quando se adiciona uma constante à sua lei de formação.

Figura 21 - Atividade. Fonte: Stocco e Diniz (2010, p. 180).

Observamos que as autoras têm uma preocupação com a confusão que os

estudantes fazem com o uso da representação algébrica e que, na falta do

computador, o professor pode propor esta atividade em malha quadriculada.

Ressaltamos ainda que, na análise das questões da segunda fase do vestibular da

UNICAMP dos últimos dez anos, que é apresentada no capítulo 7, é possível

157

observar que alguns estudantes, mesmo tendo sido aprovados na primeira fase,

apresentam esse tipo de dificuldade na solução de tarefas que envolvem a noção de

função exponencial.

As equações exponenciais são apresentadas, utilizando os ostensivos de

representação escrita (representação em forma de potência, representação

fracionária, representação de radicais, representação decimal, representação

algébrica explícita) e a noção de potência e suas propriedades. Em alguns casos,

espera-se que os estudantes disponham de conhecimentos de métodos de

resolução de equações do primeiro e segundo graus.

Para as inequações exponenciais, as autoras relacionam o crescimento e

decrescimento da função exponencial com a resolução das inequações por meio dos

gráficos correspondentes, isto é, faz-se a articulação entre os ostensivos de

representação escrita e o ostensivo de representação gráfica.

Os exemplos sobre equações e inequações exponenciais são

acompanhados de um discurso tecnológico que justifica as articulações de quadros

e dos ostensivos de representação necessários para o desenvolvimento da tarefa.

Em geral, os conhecimentos sobre os métodos de resolução de equações do

primeiro e segundo graus são tratados como conhecimentos prévios disponíveis,

não sendo discutidos pelas autoras.

Assim, para a resolução das tarefas propostas aos estudantes, é necessária a

articulação dos quadros numérico e algébrico, a mobilização de conhecimentos

sobre a definição de potência e decomposição de um número real em forma de

produto de fatores primos e o desenvolvimento das técnicas e fórmulas associadas à

resolução equações exponenciais desenvolvidas nos exemplos. É preciso, ainda,

dispor dos conhecimentos dos métodos de resolução de equações do 1º e 2º grau e

sistemas de duas equações com duas incógnitas.

Observamos também que, para as tarefas que exigem a aplicação da noção

de função exponencial em situações contextualizadas, o estudante precisa dispor do

conceito, das técnicas e dos procedimentos associados a essa noção. Ressaltamos

ainda que esses conhecimentos são desenvolvidos ao longo do capítulo destinado

ao estudo da função exponencial e que, após sua explicitação, utilizando, em geral,

três tipos de tarefas, espera-se que os estudantes disponham dos conhecimentos

prévios necessários, uma vez que as tarefas propostas no livro exigem apenas os

níveis técnico e mobilizável, com já destacamos anteriormente.

158

Na sequência, apresentamos uma breve análise da obra Matemática do

Ensino Médio de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,

Augusto César Morgado.

7.4 A OBRA DE ELON LAGES LIMA, PAULO CEZAR PINTO CARVALHO,

EDUARDO WAGNER, AUGUSTO CÉSAR MORGADO INTITULADA

“MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)

Trata-se de uma obra que, segundo os autores, cobre o programa sobre

funções do Ensino Médio, uma vez que o tema central dessa etapa escolar são as

funções reais de uma variável real do ponto de vista elementar, isto é, sem o uso do

Cálculo Infinitesimal.

A obra foi concebida a partir de um curso de aperfeiçoamento para

professores de Matemática, iniciado no segundo semestre de 1996, no Instituto de

Matemática Pura e Aplicada – IMPA, cujos instrutores são o autor Elon Lages Lima e

seus colaboradores Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César

Morgado. Ainda segundo os autores, a obra visa dar apoio bibliográfico ao professor

que, em geral, conta praticamente com o livro texto que adota como única fonte de

referência.

Trata-se de uma obra de três volumes destinados, conforme afirmam os

autores, a dar apoio a professores de matemática e contribuir para o seu trabalho

em sala de aula, bem como apoiar o processo de aprendizagem de estudantes do

curso de Licenciatura em Matemática, solidificando e aprofundando o que foi visitado

no Ensino Médio.

O primeiro volume, o qual analisaremos, é dividido em 09 capítulos, sendo os

quatro primeiros capítulos destinados a temas, em geral, trabalhados no Ensino

Fundamental, Conjuntos, Números Naturais, Números Cardinais e Números Reais, o

domínio das “Funções” é introduzido no capítulo 5. A Função Exponencial, nosso

objeto de estudo, é introduzida no capítulo 8, o último capítulo é dedicado às

Funções Trigonométricas.

Os autores iniciam a obra, introduzindo a noção de conjunto no primeiro

capítulo e ressaltam sua importância atual para expressar os conceitos matemáticos,

159

pois, segundo eles, a linguagem dos conjuntos permite dar aos conceitos e às

proposições a precisão e a generalidade que são características da Matemática.

No segundo capítulo, os autores passam à noção de número, observando

que, se os conjuntos auxiliam a Matemática, os números são junto com o espaço os

principais objetos de que se ocupa a Matemática e terminam a descrição do

conjunto dos números naturais definindo a relação de ordem entre os naturais e

suas propriedades.

No capítulo 3, os autores, antes de introduzirem a noção de números

cardinais, ressaltam a importância dos números naturais, justificando sua utilização

no processo de contagem. Eles articulam essa noção com a noção de função,

introduzindo, assim, este conceito.

Dessa forma, os autores introduzem a noção de função de um conjunto X em

um conjunto Y definindo domínio, contra-domínio e imagem de uma função. Nesse

momento, os autores aproveitam para fazer algumas recomendações que, na

realidade, são justificativas para as representações atualmente utilizadas para a

noção de função.

A partir da noção de função e bijeção, os autores definem número cardinal e

apresentam exemplos e contra-exemplos, articulando conhecimentos nos domínios

da álgebra e da geometria, buscando fatos históricos para ilustrar a definição e

introduzir novas noções associadas à noção do que está sendo trabalhado.

A noção de números reais é introduzida no capítulo 4, articulando domínios

como a álgebra, a geometria, a história da matemática, a análise matemática e,

quando possível, outros domínios, tais como a física, considerando também

situações cotidianas.

Ainda neste capítulo sobre os números reais, os autores tratam a questão das

desigualdades e dos intervalos para introduzir a noção de valor absoluto que é

articulada com a noção de distância entre dois pontos. Para finalizar o capítulo, os

autores introduzem a noção de sequência, articulando essa noção com as definições

de funções anteriormente introduzidas e as noções de números naturais e números

reais e como exemplos de sequências, eles consideram as progressões aritmética e

geométrica que, em geral, são os exemplos de sequências trabalhados no Ensino

Médio e que podem ser articulados com outras noções da própria matemática ou

com outros domínios, como a biologia, a física e a economia.

160

Nos capítulo 5, 6 e 7 os autores introduzem a noção de Funções Afins,

Funções Quadráticas e Funções Polinomiais. Eles retomam as definições de produto

cartesiano e consideram sua representação algébrica simbólica intrínseca e sua

representação gráfica, mesmo se não utilizam esta terminologia, mas certamente

não tratam das conversões entre elas, pois esse trabalho não faz parte do objetivo

de sua obra.

O capítulo 8 “Funções Exponenciais e Logarítmicas” foi dividido em 11

tópicos, a saber:

1. Introdução

2. Potências de expoentes racional

3. A Função Exponencial

4. Caracterização da Função Exponencial

5. Funções Exponenciais e progressões

6. Função Inversa

7. Funções Logarítmicas

8. Caracterização das Funções Logarítmicas

9. Logaritmos Naturais

10. Função Exponencial de base e

11. Como verificar que depende apenas de h.

Observamos que o autor, em geral, apresenta cada tópico de forma

detalhada, com definições e demonstrações, para os quais existe um discurso

tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento.

Certamente, o trabalho desenvolvido é para professores e não para estudantes do

Ensino Médio, supondo que o leitor tenha certa familiaridade com as noções que

estão sendo tratadas e suas diferentes representações.

Comentamos e analisamos os onze itens para melhor compreender a

proposta dos autores, conforme se pode verificar na sequência.

O tópico: Introdução

Os autores aproveitam um exemplo apresentado no capítulo 5 para mostrar a

diferença entre uma função afim e uma função exponencial. Trata-se da abordagem

em que uma quantia x, investida durante um prazo fixo e determinado, gerou, no

161

final desse período, o valor f(x), constatando que, se uma determinada quantia é

aplicada a juros fixos, capitalizados continuamente, a função c(t) é uma função

crescente de t. Isso permite mostrar que a função c(t) não é uma função afim de t,

pois c(t+h) – c(t) não depende apenas do acréscimo h, mas também de t, o que

conduz à procura de um novo modelo matemático essa segunda situação.

O problema é analisado mais detalhadamente por meio de um discurso

tecnológico justificado teoricamente pela noção de proporção. Entretanto, as

representações e o conhecimento algébrico associados à noção de função são

supostos conhecidos. Finalmente, conclui-se que o modelo matemático conveniente

para descrever a variação de um capital aplicado a juros fixos, em função do tempo,

deve ser uma função crescente da forma c(t) = co. at.

Observamos aqui que os autores consideram o exemplo de aplicação de um

capital a juros fixos, capitalizados continuamente como um conhecimento prévio

disponível para os leitores. Eles salientam que este mesmo modelo matemático

pode ser empregado em outras situações em que ocorrem as funções exponenciais

como, por exemplo, quando se estuda a desintegração radioativa, a qual também é

um exemplo utilizado pelos autores dos livros do Ensino Médio.

A diferença entre a introdução desses exemplos no Ensino Médio e a

proposta da obra em questão pode ser explicada pela escolha de trabalhar o saber

fazer (tarefas e técnicas) no Ensino Médio e justificar (tecnologia e teoria) o mesmo

no Ensino Superior, considerando que os estudantes dispõem dos conhecimentos

prévios sobre números reais e suas propriedades.

O tópico: Potências de expoente racional

Os autores definem uma potência de base a e expoente n como um produto

de n fatores iguais a a. Usando esta definição, os autores mostram a propriedade

fundamental (multiplicação de potência de mesma base) am . an = am + n . Com base

nesta propriedade fundamental demonstram outras propriedades da potência.

Em seguida, mostram que a sequência cujo n-ésimo termo é an é crescente

quando a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e constante para a = 1.

Para essas demonstrações, os ostensivos de representação utilizados são:

162

Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita:

Exemplo: , ou seja, O não ostensivo

associado é a noção de potência.

Ostensivo de Representação fracionária simbólica: O número é dado na

forma fracionária simbólica. O não ostensivo associado é a noção de fração.

Exemplo: onde se tem para todo n

A definição de potência e as suas propriedades são justificadas por meio de

um discurso tecnológico associado às demonstrações que justificam as técnicas e

os procedimentos. Mas esse trabalho não explora a contextualização no tratamento

dos exemplos e o desenvolvimento dos níveis mobilizável e disponível está

associado às articulações e operações nos conjuntos numéricos, à noção de

sequência e à noção de limite.

Observamos aqui que as noções anteriormente consideradas são supostas

disponíveis pelos autores.

O tópico: A Função Exponencial

Os autores definem função exponencial, demonstrando que a mesma

deve satisfazer às seguintes propriedades:

Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A

função exponencial de base a, , indicada pela notação f(x) = ax, deve ser

definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer x,y IR:

1) ax . ay = ax + y;

2) a1 = a

3) x < y ax < ay, quando a > 1 e x < y ay < ax, quando 0 < a < 1.

4) A função , definida por f(x) = ax, é ilimitada superiormente.

5) A função exponencial é contínua.

6) A função exponencial , f(x) = ax, a 1, é sobrejetiva.

Novamente, observamos que os autores trabalham com os ostensivos de

representação intrínsecos, uma vez que o objetivo dos mesmos é demonstrar as

propriedades anunciadas. Além disso, é evidente que o nível de conhecimento

163

esperado dos leitores em relação às noções de Álgebra e Introdução ao Cálculo

Diferencial e Integral são supostas disponíveis.

Finalmente, nesse capítulo, os autores mostram, por meio de um exemplo,

para o qual eles utilizam os ostensivos de representação algébrico explícito e

gráfico, que o crescimento exponencial supera o crescimento de um polinômio. Esse

trabalho é realizado pelos autores dos livros didáticos do Ensino Médio analisados

nesta pesquisa, a diferença está no exemplo escolhido, pois, no Ensino Médio, os

autores comparam a função exponencial apenas com a função y = x2.

O tópico: Caracterização da Função Exponencial

Os autores colocam em evidência a importância da função exponencial, em

particular, para os estudantes do Ensino Superior, pois esta definição é essencial

para trabalhar problemas intra e extramatemáticos. Para tal, os autores enfatizam a

necessidade de distinguir, por meio de suas propriedades, as funções afim,

quadrática e exponencial.

Isso os conduz a enunciar e demonstrar os seguintes teoremas que

caracterizam uma função exponencial:

Teorema: (caracterização da função exponencial) Seja uma

função monótona injetiva (isto é, crescente ou descrecente). As seguintes

afirmações são equivalentes:

1) f(nx) = f(x)n para todo n Z e todo x IR;

2) f(x) = ax para todo x IR;onde a = f(1);

3) f(x+y) = f(x) . f(y) para quaisquer x,y IR.

Teorema: (Caracterização das funções de tipo exponencial) Seja g:

uma função monótona injetiva (isto é, crecente ou decrescente) tal que, para x,h IR

quaisquer, o acréscimo relativo dependa apenas de h, mas não de x.

Então, se b = g(0) e a = , tem-se g(x) = bax para todo x IR.

Nos tópicos função exponencial e progressões, função inversa, funções

logarítmicas, caracterização das funções logarítmicas e logaritmos naturais, os

autores articulam conhecimentos prévios e novos conhecimentos em que a noção

de função exponencial serve de ferramenta explícita para as demonstrações dos

164

teoremas considerados. Além disso, quando possível, os autores ilustram os

resultados desses teoremas por meio do ostensivo de representação gráfico.

Observamos aqui que os teoremas apresentados permitem compreender as

articulações entre função exponencial, progressões aritméticas e geométricas e

exemplos contextualizados indicados nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o

Ensino Médio. Mais uma vez, os autores consideram as tecnologias e teorias do

saber associadas ao saber fazer trabalhado no Ensino Médio.

Destacamos ainda que é proposto um tópico específico para a função

exponencial de base e. As considerações e os exemplos utilizados demandam o

emprego das noções de limite no infinito, derivada de uma função de uma variável

real num ponto x.

Essa obra é destinada à formação contínua de professores de matemática ou

de estudantes dos últimos anos dos cursos de licenciatura e bacharelado em

matemática, uma vez que seu desenvolvimento supõe que se disponha de

conhecimentos de Álgebra e Cálculo Diferencial e Integral.

Finalmente, observamos que se trata de uma obra que os professores

deveriam consultar no momento em que aparecessem dúvidas sobre como ensinar

determinados conceitos matemáticos e, mais particularmente, como articulá-los.

Na sequência, apresentamos as expectativas institucionais sobre os

conhecimentos necessários para o trabalho com a noção de função exponencial no

Ensino Superior.

7.5 A OBRA DE JAMES STEWART INTITULADA “CÁLCULO” (VOLUME 1)

A obra de James Stewart DAE a 6º edição da versão de “Cálculo”, uma obra

de dois volumes destinados aos estudantes do Ensino Superior, cuja finalidade,

segundo o autor, é auxiliar o estudante em sua descoberta do Cálculo.

O primeiro volume é dividido em 08 capítulos, sendo o primeiro capítulo

destinado ao domínio das funções, seguido das noções de Limites e Derivadas,

Regras de Derivação, Aplicações de Derivação, Integrais, Aplicações de Integração,

Técnicas de Integração e aplicações de Integração.

O tema “Funções e Modelos” foi dividido em 6 tópicos, a saber:

165

1.1Quatro Maneiras de Representar uma Função

1.2 Modelos Matemáticos: uma lista de funções essenciais

1.3 Novas Funções a partir de Antigas

1.4 Calculadoras Gráficas e Computadores

1.5 Funções Exponenciais

1.6 Funções Inversas e Logaritmos

Observamos que o autor, em geral, apresenta esse tema de forma detalhada,

valorizando as quatro maneiras de representação das funções: verbal, a qual, neste

trabalho, denominamos ostensivo de representação na língua natural, numérica ou

ostensivo de representação na forma de tabela, visual ou ostensivo de

representação gráfico e algébrico ou ostensivo de representação na forma algébrica

intrínseca ou explícita. A consideração das diferentes representações o auxilia na

revisão das funções numéricas por meio de tarefas contextualizadas, as quais

devem ser modeladas por tais funções. Neste momento, o autor utiliza um discurso

tecnológico que articula o conceito de função com suas diferentes representações.

Contudo, as técnicas e os procedimentos dessa revisão são considerados

conhecimentos prévios supostos disponíveis e as passagens de uma representação

para outra são não são trabalhadas explicitamente, ficando a cargo de professores e

estudantes. Podemos supor, assim, que o autor propõe este capítulo como um meio

de orientação ao estudo para aqueles que não dispõem dos conhecimentos

esperados como disponíveis para a introdução das noções de limite, derivada e

integral de uma função.

O tópico: Funções Exponenciais

A função exponencial é introduzida no tópico 1.2 Modelos Matemáticos: uma

Lista de Funções Essenciais, com ênfase nas duas representações, a representação

algébrica intrínseca e explícita ou ostensivo de representação algébrica intrínseco ou

explícito e visual ou ostensivo de representação gráfica, por meio de dois exemplos

do quadro numérico, que correspondem à escolha da maioria dos autores, conforme

podemos observar na figura a seguir:

166

Figura 22 - Definição Stewart. Fonte: Stewart (2011, p.24).

No tópico 1.5, Funções exponenciais, o autor retoma as representações

algébricas explícitas das funções exponencial e quadrática e faz uma breve

discussão sobre a questão da confusão entre as funções f(x) = 2x e g(x) = x2,

destacando que, na função exponencial, a variável está no expoente. Esse tipo de

dificuldade também foi notado nas macroavaliações brasileiras, o que nos conduz a

pensar que se trata de uma dificuldade recorrente.

Em seguida, retoma-se à função exponencial representada na forma

geralmente desenvolvida nos diferentes materiais analisados - f(x) = ax, e estuda,

para os diferentes conjuntos numéricos, a definição de potência e suas

propriedades, dando ênfase, como já havia sido feito pelos autores dos livros

didáticos do Ensino Médio, à necessidade de aproximações quando se deseja

determinar potência de expoente irracional.

A partir do gráfico da função exponencial, o autor considera uma família de

funções y = ax, variando a, para visualizar as propriedades de crescimento e

decrescimento desta função, as quais passam todas pelo ponto (0,1), possuem

167

domínio real e cuja imagem é definida no intervalo (0, ). Ainda por meio da

representação gráfica das funções é que o autor estabelece um discurso tecnológico

para justificar que a é diferente de 1.

Da mesma forma, usando a representação gráfica da função y = 3 – 2x, o

autor determina seu domínio e sua imagem do gráfico y = 3 – 2x. Nesse momento,

seu discurso está associado à construção do gráfico da função y = 2x, da reflexão do

mesmo em relação ao eixo x e da translação deste considerando a reta (assíntota

horizontal) y = 3, isto lhe permite determinar intervalo sobre IR que representa o

conjunto imagem. Na figura 21, a seguir, é possível verificar o trabalho proposto pelo

autor.

Figura 23 - Exemplo 1 Stewart. Fonte: Stewart (2011, p.45).

Apesar de haver uma revisão sobre as reflexões e translações de gráficos na

secção 1.3, observamos que esse tipo de solução requer a introdução de novos

conhecimentos, pois, em geral, não se considera essa forma de raciocínio sobre os

gráficos das funções quando estas são introduzidas no Ensino Médio. Em geral, nos

livros do Ensino Médio, a mudança da representação algébrica da função

exponencial para a representação visual (gráfico) consiste em elaborar uma tabela

de dupla entrada, escolhendo valores para a variável x e determinando y de forma

que os mesmos satisfaçam à função y = ax, onde x pertence ao domínio da função,

168

em seguida, representa-se esta curva no plano cartesiano e infere-se sobre suas

propriedades por meio da análise do gráfico.

Para o exemplo 2, o autor sugere o uso de uma ferramenta gráfica

(calculadora ou software) para comparar e analisar os gráficos da função

exponencial f(x) = 2x e da função quadrática g(x) = x2, conforme figura a seguir.

Figura 24 - Exemplo 2 Stewart. Fonte: Stewart (2011, p.45).

Observamos que há uma preocupação do autor no uso da ferramenta gráfica

que poderá auxiliar na compreensão da leitura das propriedades das funções dadas

por meio de seu gráfico, o que pode ser considerado como uma forma visual de

distinguir o conceito e as diferenças entre os tipos de funções dadas.

Para as aplicações das funções exponenciais, o autor enfatiza que função

exponencial é um modelo matemático que permite descrever diversos tipos de

fenômenos.

O exemplo que é apresentado corresponde a uma população de bactéria que

dobra a cada hora, isto é, o número de bactérias está relacionado com o tempo. Em

seguida, o autor associa a resolução desta situação ao modelo matemático “função”

do tipo “exponencial”, f(t) = 2t, onde t é o tempo decorrido e f(t) o número de

bactérias para um determinado tempo t. Este mesmo exemplo aparece nos materiais

do Ensino Médio. O autor utiliza um discurso tecnológico semelhante ao já

169

encontrado no Ensino Médio para identificar e especificar as variáveis dependentes

e independentes na aplicação da noção de função exponencial como um modelo

matemático para o estudo de situações contextualizadas.

O autor introduz o número irracional e por meio da determinação do

coeficiente angular da reta tangente à curva n ponto (0,1). Após considerar que o

coeficiente angular da reta tangente à curva y = 2x é aproximadamente igual 0,7 e

que o coeficiente angular da reta tangente à curva y = 3x é aproximadamente igual a

1,1, o autor observa que existe uma função exponencial cujo coeficiente angular da

reta tangente à sua curva no ponto (0,1) é igual a 1. Isso o conduz a considerar que

o valor da base a para tal função é igual a e, que é um número entre 2 e 3. Ao

introduzir a derivada da função exponencial, o autor utiliza esta propriedade para

mostrar que o 11

lim0

h

eh

h. Este resultado é justificado por meio de um discurso

tecnológico centrado na propriedade, que o coeficiente angular da reta tangente ao

gráfico da função f(x) = ex no ponto (0, 1) é igual a 1. Mais uma vez, o autor utiliza o

ostensivo de representação gráfica como meio para mostrar que 11

lim0

h

eh

h e

para destacar o interesse de utilizar a função f(x) = ex na descrição de fenômenos

que dependem do modelo exponencial.

As tarefas propostas aos estudantes seguem os exemplos propostos pelo

autor e, para as tarefas contextualizadas, os conhecimentos desenvolvidos no

Ensino Médio são suficientes. É importante observar que o autor utiliza os

conhecimentos sobre a função exponencial revisitados no capítulo 1 como

conhecimentos prévios para introduzir novas noções como, por exemplo, o cálculo

de limite e as regras de derivação no capítulo 3.

170


A análise da obra de Dante (2010) permitiu identificar conhecimentos prévios

supostos disponíveis para a introdução da noção de função exponencial no Ensino

Médio, a saber: as noções de conjuntos numéricos, suas operações e propriedades,

em especial, as noções de potenciação, radiciação e propriedades de potências de

mesma base e dos radicais. Além disso, espera-se que os estudantes compreendam

a diferença entre números racionais e irracionais e possam utilizá-los em diferentes

situações, podendo interpretar os resultados encontrados.

Dante (2010) introduz a noção de função exponencial por meio de uma

situação contextualizada, mesmo que artificial, para, em seguida, considerar a

definição de potência nos diferentes conjuntos numéricos e dar uma definição de

função exponencial que, na realidade, trata-se da condição de existência para a

função f(x) = ax.

A introdução dos ostensivos de representação tabela e gráfico assim como

das propriedades da função exponencial são feitas por meio de um discurso

tecnológico que justifica técnicas e procedimentos considerados. Da mesma forma,

as tarefas resolvidas são tratadas por meio desse mesmo discurso e, quando

necessário, o autor explicita a necessidade da utilização de uma calculadora

científica para o desenvolvimento do trabalho em jogo.

As tarefas propostas aos estudantes exigem que se articulem os quadros

algébrico e numérico e, em geral, exigem o nível mobilizável no que se refere à nova

noção introduzida, isto é, a noção de função exponencial. No entanto, os

conhecimentos sobre conjuntos numéricos e suas operações e propriedades,

equações do primeiro e segundo grau, sistemas de duas equações e duas

incógnitas e fatoração são considerados como conhecimentos prévios disponíveis

no desenvolvimento do curso e nas propostas de trabalho para os estudantes.

Na obra de Dante (2010), observamos que, nas tarefas propostas aos

estudantes, as que demandam o nível disponível, em geral, são aquelas em que se

considera uma situação contextualizada, onde se espera que os estudantes

identifiquem a função a ser utilizada. Ressaltamos que mesmo essas tarefas, por se

encontrarem no capítulo que trata da noção de função exponencial, podem também

171

ser consideradas como tipos de tarefas que exigem nível mobilizável em relação à

nova noção que está sendo introduzida.

Assim, as expectativas institucionais em relação às tarefas que demandam o

nível disponível, em geral, ficam associadas às avaliações, onde nenhuma indicação

sobre a noção em jogo é dada.

A análise da obra de Stocco e Diniz (2010) apresenta uma distinção inicial em

relação à obra de Dante (2010), ao definir a função exponencial somente na

sequência por meio do ostensivo de representação gráfica para considerar a

condição de existência.

Os exemplos e as tarefas propostas aos estudantes são semelhantes aos de

Dante (2010), mas existe um diferencial que é a proposta de comparação entre os

três tipos de funções introduzidas no início do Ensino Médio, isto é, a função afim,

quadrática e exponencial. Esse trabalho permite enriquecer conhecimentos prévios e

coloca em evidência as diferenças entre os três modelos matemáticos que, em

geral, apresentam dificuldade quando da sua aplicação em situações

contextualizadas que exigem o nível disponível.

Observamos que os estudantes que dispõem dos conhecimentos sobre

função exponencial desenvolvidos em uma das duas obras aqui analisadas, que

correspondem às relações institucionais existentes para o Ensino Médio, devem

estar preparados para enfrentar as diferentes macroavaliações. Consequentemente,

pode-se supor que os discentes podem identificar essa função assim como algumas

de suas representações e propriedades, o que pode ainda auxiliar o professor do

Ensino Superior, uma vez que o mesmo pode se referir a esta função como

conhecimento prévio, o que possibilita a introdução de novas noções, em particular,

na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.

Um exemplo de um trabalho deste tipo é encontrado na obra de Stewart

(2011). A análise da obra que, em geral, é usada na disciplina de Cálculo Diferencial

e Integral, no Ensino Superior, mostra que o autor revisita a noção de função

exponencial retomando alguns tópicos já trabalhados no Ensino Médio, mas

introduzindo uma nova proposta quando do estudo da função exponencial f(x) = ex, o

que permite a articulação de conhecimentos prévios com os novos conhecimentos a

serem introduzidos na disciplina de Cálculo.

Encontramos no livro de Stewart (2011) uma proposta de trabalho onde os

conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio são reformulados e articulados para

172

servirem de apoio à introdução de novas noções no Ensino Superior. Assim, o

trabalho, segundo esta proposta, possibilita revisitar conhecimentos prévios de

forma que estes não representem apenas uma reprodução do que já foi

desenvolvido no Ensino Médio.

Vimos, assim, que a obra de Stocco e Diniz (2010) nos parece a mais

adequada para a introdução da definição de função exponencial, suas

representações e propriedades quando se considera as expectativas institucionais

tanto para o Ensino Médio (documentos oficiais) como para o Ensino Superior

(planos de Ensino de universidades públicas e privadas). A escolha desta obra como

a mais apropriada se deve ao fato das autoras definirem função exponencial e não

introduzirem a mesma por meio de sua condição de existência como ocorre na obra

de Dante (2010).

A obra de Stewart (2011) confirma a necessidade de um estudo mais

detalhado da função exponencial e articulado com as noções de Cálculo que se

introduz no início do Ensino Superior. Além disso, os professores que desejarem

ampliar seus conhecimentos ou de seus estudantes podem utilizar a obra de Lima e

tal (2006) a qual mostra que, para resolução de situações sejam elas

intramatemática ou extramatemática, é necessário conhecer as propriedades

características de cada função.

As obras são construídas de acordo com as propostas institucionais e exigem

um bom escalonamento de tempo para que possam ser trabalhadas de forma

planejada, organizada e estruturada. Ademais, as avaliações de passagem do

Ensino Médio para o Ensino Superior podem supor os conhecimentos desenvolvidos

nas obras de Stocco e Diniz (2010) e Dante (2010) como disponíveis.

Na sequência, apresentamos os resultados das análises das relações

pessoais esperadas dos estudantes estudadas via macroavaliações.

173

8 MACROAVALIAÇÕES E A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR


Buscamos, neste capítulo, fazer uma análise das expectativas institucionais

em relação à aprendizagem dos estudantes, isto é, das relações pessoais

esperadas sobre o ensino e aprendizagem da noção de função exponencial, tanto

no Ensino Médio como no Ensino Superior, considerando as macroavaliações

institucionais. Para tanto, escolhemos três macroavaliações institucionais, duas na

transição do Ensino Médio para o Ensino Superior e uma para o final do Ensino

Superior.

Primeiramente, para o Ensino Médio, escolhemos analisar as três últimas

edições do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), que avalia o desempenho

dos estudantes ao fim da escolaridade básica. Em seguida, averiguamos as dez

últimas edições da prova da segunda fase do vestibular da UNICAMP, que classifica

e seleciona candidatos para a matrícula inicial na Universidade Estadual de

Campinas. Finalmente, para o Ensino Superior, escolhemos o Exame Nacional de

Desempenho dos Estudantes – ENADE que avalia os cursos oferecidos pelas

instituições de Ensino Superior em nosso país.

Desse modo, temos por objetivo verificar quais as relações pessoais

esperadas dos estudantes em relação ao nosso objeto de estudo, função

exponencial, com base nas relações institucionais existentes, sem qualquer

julgamento de valor sobre as tarefas retiradas das provas. Assim, iniciaremos,

apresentando os resultados encontrados para as três últimas edições do ENEM, que

são aquelas que classificam os estudantes para entrada nas universidades federais

e para as bolsas do Prouni nas instituições particulares de Ensino Superior.

174

8.2 ENEM

Desde 1998, o Ministério da Educação do Brasil - MEC realizou quatorze

edições do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), cujo objetivo principal é

avaliar o desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica, para conferir o

desenvolvimento de competências fundamentais ao exercício pleno da cidadania, tal

como é proposto nos documentos oficiais apresentados no capítulo 5.

Em 2009, o ENEM foi modificado por várias razões, entre elas: a necessidade

de reformular o currículo do Ensino Médio e democratizar as oportunidades de

acesso às vagas federais no Ensino Superior, possibilitando a mobilidade acadêmica

e induzindo a reestruturação dos currículos do Ensino Médio. No entanto, essa

recomendação ainda não corresponde à realidade, pois algumas universidades

públicas federais utilizam o resultado do ENEM apenas como um dos elementos que

compõem a nota classificatória para o acesso à universidade.

Com essa mudança de objetivo para a macroavaliação ENEM, as provas das

edições 2009, 2010 e 2011 foram reformuladas. Dessa maneira, elas correspondem

a um objeto importante para as nossas análises, pois possuem elementos que

permitem identificar as tarefas usualmente pedidas nesse tipo de avaliação, em

particular, aquelas associadas à noção de função exponencial.

Observamos que o Exame Nacional do Ensino Médio ENEM está baseado

nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino Fundamental e Médio, dos

quais estudamos, no quarto capítulo deste trabalho, os objetivos e as finalidades, na

tentativa de identificar as necessidades de mudanças de quadros, a ênfase dada

aos ostensivos de representação escrita e não ostensivos associados, mesmo se

essas articulações não são tratadas por meio dessa terminologia. Assim, este

estudo permite verificar se existe conformidade entre as expectativas institucionais

de trabalho com os estudantes e as exigências sobre o que se supõe como

conhecimento prévio disponível.

A prova do ENEM é constituída de 180 questões objetivas e uma redação,

formuladas com base na Matriz de Referência divulgada pelo MEC, sendo 45

questões para a área de conhecimento Matemática e suas Tecnologias (Álgebra e

Geometria).

175

Na matriz de referência para a prova de Matemática e suas Tecnologias,

estão descritas as competências e habilidades (indicadas por H) que se esperam do

estudante do Ensino Médio. Para compreender como funciona essa macroavaliação,

primeiro, consideramos a matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias

indicada para essa macroavaliação, com o respectivo gabarito relacionado à

resposta correta para a tarefa proposta, identificando apenas aquelas em que a

noção de função exponencial está em jogo.

Assim, consideramos para as análises os seguintes itens:

I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e

disponível (segundo definição de Robert,).

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa.

III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial.

Na sequência, apresentamos uma discussão em relação a cada tarefa.

8.2.1 ENEM 2009 – Função Exponencial

No ano de 2009, apenas a questão de número 139 do caderno amarelo está

relacionada à noção de função exponencial. Ela foi identificada entre as 45 de

matemática para um total de 90 questões que compunham a prova de redação e

linguagens, códigos e suas tecnologias e matemática e suas tecnologias.

Questão 139

Matriz de referências de Matemática e suas Tecnologias

Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que

os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas, usando representações

algébricas, o que corresponde à competência de área 5 enunciada a seguir:

Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis

socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

(BRASIL, 2009).

Segundo o mesmo documento, a competência de área 5 está associada às

habilidades apresentadas a seguir:

176

H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre

grandezas.

H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.

H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

algébricos.

Quadro 17 - Habilidades 19 à 23. Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2009. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16 dez. 2011.

Ao identificar as habilidades relacionadas à competência de área 5,

observamos que as mesmas correspondem a relacionar os ostensivos de

representação escrita com a representação da lei de formação de uma função e os

não ostensivos associados à noção de função de uma variável real a valores reais,

articular quadros numérico e algébrico para resolver situações contextualizadas da

própria matemática, das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos

auxilia a compreender qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na

solução desse tipo de tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio

das ferramentas didáticas por nós utilizadas.

Tarefa

Suponha que o modelo exponencial y = 363 e0,03x, em que x = 0 corresponde

ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a

população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa

população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre

2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população

com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:

A) 490 e 510 milhões.

B) 550 e 620 milhões.

C) 780 e 800 milhões.

D) 810 e 860 milhões.

E) 870 e 910 milhões.

177

Gabarito: E


disponível (segundo definição de Robert,):Técnico.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do

valor numérico de uma função exponencial, propriedades das potências, produto de

números decimais.

III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial

apresentada na grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de

mesma base); tarefa 6(identificar e /ou determinar a lei de formação da função

exponencial de uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em

língua natural) e tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).

Discussão:

Podemos identificar claramente os dados e a variável do problema, já que é

dada a representação algébrica da função exponencial. Isto permite, através de uma

verificação, checar a resposta aproximada da apresentada por meio do cálculo do

valor numérico da função. Na realidade, a técnica a ser utilizada em relação à

função exponencial é a da determinação do valor numérico de uma função para um

valor dado de x, a qual é uma técnica que se repete para os diferentes tipos de

funções estudadas no Ensino Médio.

Observamos que o contexto dado não auxilia no desenvolvimento da questão

nem para estimular os estudantes sobre a importância da noção em jogo. Trata-se

apenas de uma contextualização dispensável, pois bastaria pedir para calcular o

valor numérico da função representada por meio do ostensivo de representação

algébrica considerando os dados da tarefa. Esse tipo de tarefa já era bastante

utilizado antes das propostas de mudanças para o Ensino Médio.

Além disso, a tarefa exige que o estudante reconheça que o valor encontrado

se encontra entre dois valores dados de um intervalo sobre IR. A maior dificuldade

encontrada nessa questão poderá estar associada aos cálculos que devem ser

efetuados sem uso de calculadora, os quais necessitam de tempo, embora o

candidato não disponha de muito, pois não podemos nos esquecer de que a prova

é composta de 90 questões e uma redação.

178

8.2.2 ENEM 2010 - Função Exponencial

No ano de 2010, apenas a questão de número 177 do caderno amarelo pode

ser considerada como uma aplicação da noção de função exponencial e suas

propriedades, pois ela exige que se mobilizem as propriedades da potência que, em

geral, é um dos temas tratados quando se introduz a noção de função exponencial e

suas propriedades no Ensino Médio. A referida questão foi identificada entre as 45

de matemática para um total de 90 questões que compunham a prova de redação e

linguagens, códigos e suas tecnologias e matemática e suas tecnologias.

Questão 177


os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas usando representações

algébricas que corresponde à competência de área 3 enunciada a seguir:

Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a

compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. (BRASIL, 2009)



H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.

H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do

cotidiano.

H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento

consistente.

H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Quadro 18 - Habilidades 10 a 14. Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2009. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16 dez. 2011

Observamos que as habilidades relacionadas à competência de área 3

correspondem a relacionar os ostensivos de representação escrita com a

representação em forma, medidas de grandezas, e os não ostensivos associados à

notação científica para resolver situações contextualizadas da própria matemática,

179

das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender

qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de

tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas

didáticas por nós utilizadas.

A tarefa está diretamente associada ao conteúdo grandezas e medidas,

necessitando da noção de proporcionalidade para resolver uma situação cotidiana,

envolvendo apenas a noção de potência para a sua solução. Apesar de articular

grandezas e medidas, não se exige mudança de quadros e apenas os ostensivos de

representação numérica dos dados são necessários. É preciso dispor de

conhecimentos sobre a transformação das grandezas e medidas em potências de

dez para resolução da atividade.

Tarefa

Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e

outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que

estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo

poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555),

National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras

através dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana.

Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa

cidade?

a) 10-2

b) 103

c) 104

d) 105

e) 109

Gabarito: E


disponível (segundo Robert): Técnico.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de produto de

números inteiros e/ou propriedades da potência, em especial a propriedade do

180

produto de potências de mesma base. Para a resposta da tarefa é preciso dispor de

conhecimentos sobre transformação de números decimais em potência de dez.

III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial apresentada na

grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base).

Discussão:

É preciso identificar claramente os dados e o que se pede, isto é, relacionar

10 litros de óleo que contaminam 10 milhões de litros d’água com os 1000 litros de

óleo que são consumidos por famílias de uma cidade em uma semana. Apesar disto,

essa relação poderá ser feita por meio de uma regra de três simples ou utilizando a

noção de função linear, que é um conhecimento desenvolvido já no Ensino

Fundamental e que é revisitado no Ensino Médio.

Essa tarefa foi considerada como um tipo que poderia ser trabalhado no

Ensino Médio em função da necessidade de utilizar a noção de potência de base

dez e as propriedades das potências de mesma base. Todavia, podemos considerar

que esses conhecimentos são apenas revisões de conteúdos desenvolvidos no

Ensino Fundamental.

8.2.3 ENEM 2011 - Função exponencial

As questões de números 161, 173 e 177 do caderno amarelo foram

identificadas entre as 45 de matemática para um total de 90 questões mais uma

redação que compõem tal caderno. Essas questões podem ser consideradas como

uma aplicação da noção de função exponencial, potência e suas propriedades, pois

elas exigem que se mobilizem as propriedades da potência, o cálculo de

porcentagem e juros compostos, os quais, em geral, são temas tratados quando se

introduz a noção de função exponencial e suas propriedades no Ensino Médio.

Questão 161



os estudantes sejam capazes de modelar, resolver e interpretar tarefas, usando

181

representações algébricas e gráficas, o que corresponde à Competência de área 6 -

Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e

tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e

interpretação. (BRASIL, 2011).

Segundo o mesmo documento, a competência de área 3 está associada

às habilidades apresentadas a seguir:

Quadro 19 - Habilidades 24 a 26 Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br> Acesso em: 16 dez. 2011.

Tal como para as tarefas das avaliações anteriores, as habilidades

relacionadas à competência de área 6 correspondem a relacionar os ostensivos de

representação escrita com a representação tabela e os não ostensivos associados à

noção de definição de função de uma variável real a valores reais, articular quadros

numérico e algébrico quando necessário para modelar situações contextualizadas

da própria matemática, das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos

auxilia a compreender qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na

solução desse tipo de tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio

das ferramentas didáticas por nós utilizadas.

Tarefa

Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior

retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o

rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB

(certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no

quadro:

H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a

construção de argumentos.

182

Rendimento mensal (%) IR (imposto de renda)

POUPANÇA 0,560 ISENTO

CDB 0,876 4% (sobre o ganho)

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:

A poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.

A poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.

O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.



Gabarito: D


disponível (segundo Robert): Disponível.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção da porcentagem,

noção de números racionais e suas operações, noção de definição da função

exponencial, noção de cálculo de valor numérico da função exponencial.


grade de análise: Tarefa 6 (identificar e /ou determinar a lei de formação da função


língua natural) e tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).

Discussão:

Como uma primeira estratégia, podemos chamar montante M a quantia que

uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i

durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C (1 + i)t,

essa fórmula corresponde à função exponencial do tipo y = kax com a > 0 e a ≠ 1,

usando a função y como M ( montante), K como valor C (capital), a como (1 + i)

(valor inicial da aplicação mais a taxa) e x como t (tempo). Para uma segunda

estratégia, um pouco mais simples do que a anterior, porém que exige mais cálculo

mental, basta aplicar a noção de porcentagem ao valor de aplicação inicial, já que o

tempo t corresponde a apenas um mês.

183

Questão 173




algébricas aplicadas a situações cotidianas, o que corresponde à Competência de

área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da

realidade e a solução de problemas do cotidiano (BRASIL, 2011).

Segundo o mesmo documento, a competência de área 4 está associada

às habilidades apresentadas na figura a seguir:

Quadro 20 – Habilidade 15 à 18 Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16 dez. 2011.

Mais uma vez, as habilidade relacionadas à competência de área 6

correspondem a relacionar os ostensivos de representação escrita com a

representação em língua natural e tabela e os não ostensivos associados à noção

de definição de variação de grandezas. Não há necessidade de articular quadros

para resolução de situações contextualizadas da própria matemática, das outras

ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender qual o nível

de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de tarefa, mesmo

se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas didáticas por nós

utilizadas.

H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.

H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.

H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso

para a construção de argumentação.

H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de

grandezas.

184

Tarefa

A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície.

Estrelas não muito quentes (cerca de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as

estrelas amarelas, como o sol, possuem temperatura em torno de 6000 K; as mais

quentes são brancas ou azuis porque a temperatura fica acima dos 10 000K.

A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas

dessas classes.

Estrelas da Sequência Principal

Classe

Espectral

Temperat

ura

Luminosid

ade

Mas

sa

Rai

o

O5 40 000 5 x 105 40 18

B0 28 000 2 x 104 8 7

A0 9 900 80 3 2,5

G2 5 770 1 1 1

M0 3 480 0,06 0,5 0,6

Temperatura em Kelvin

Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade.

Disponível em: HTTP:// zenite.nu Acesso em 01 de maio de 2010 (adaptado)

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior do que a

temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?

a) 20 000 vezes a luminosidade do sol.

b) 28 000 vezes a luminosidade do sol.

c) 28 850 vezes a luminosidade do sol.

d) 30 000 vezes a luminosidade do sol.

e) 50 000 vezes a luminosidade do sol.

Gabarito: A


disponível (segundo Robert): Técnico.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de potência e suas

propriedades.

185


grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base).

Discussão:

As grandezas e medidas aparecem como instrumento de contextualização

com as ciências. É dada uma tabela que relaciona essas medidas em classe

espectral, temperatura, luminosidade, massa e raio de algumas estrelas e a

temperatura das estrelas relacionadas com sua cor, por exemplo, o sol com 6 000 k.

Há a necessidade de relacionar o sol com G2 (primeira coluna e quinta linha da

tabela), multiplicar essa temperatura por 5 e relacioná-la com BO (primeira coluna e

terceira linha da tabela) e, nos dados encontrados, aplicar a multiplicação de

números inteiros.

Questão 177




algébricas aplicadas a exemplos cotidianos que correspondem à competência de

área 5 enunciada a seguir: Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas

que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando

representações algébricas. (BRASIL, 2011)



H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre

grandezas.

H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.

H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

algébricos.

Quadro 21 - Habilidades 19 à 23. Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16 dez. 2011.

186

Tal como para os exemplos acima considerados, ao identificar as habilidades

relacionadas à competência de área 5, observamos que as mesmas correspondem

a relacionar os ostensivos de representação escrita com a representação tabela e a

representação da lei de formação de uma função e os não ostensivos associados à

noção de função de uma variável real, articular quadros algébrico e geométrico é

necessário para modelar situações contextualizadas da própria matemática, das

outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender qual o

nível de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de tarefa,

mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas didáticas

por nós utilizadas.

Tarefa

Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que

lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades

liquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

Investimento A: 3% ao mês

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período

anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

n 1,03n

3 1,093

6 1,194

9 1,305

12 1,426

Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa

deverá:

a) Escolher qualquer um dos investimentos A,B, ou C, pois suas rentabilidades

anuais são iguais a 36%.

b) Escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a

39%.

187

c) Escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as

rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

d) Escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as

rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.

e) Escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a

rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.

Gabarito C



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de porcentagem,

noção de números racionais e suas operações, noção de taxa de juros

compostos, noção da potência e suas propriedades.


grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base),

tarefa 6(identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma

situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e

tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).

Discussão:

São dados três tipos de investimentos A, B e C e uma tabela que relaciona n

com as aproximações da taxa de 3 % ao mês para 3, 6, 9 e 12 meses. Solicita-se o

melhor tipo de investimento ao longo de um ano. Há apenas a necessidade de

calcular a taxa do investimento C por meio de (1 + i)t, usando (1 + i) como (1 + 0,18)

e t como 2, (1 ano igual a dois semestres). Para o investimento A, que é dado em

meses, basta relacionar a última linha da tabela, pois um ano tem 12 meses; para o

investimento B, é dado no enunciado que os juros são de 36% ao ano.

188

8.3 UNICAMP

A Unicamp - Universidade de Campinas - realiza anualmente um vestibular

próprio cujo objetivo é selecionar e permitir o acesso de estudantes aos seus cursos

de graduação.

O Vestibular Nacional da Unicamp tem duas fases constituídas de provas

comuns a todas as áreas que avaliam a aptidão e o potencial dos candidatos para o

curso em que pretendem ingressar. Para compor a nota final da 1°fase, é utilizada a

nota do ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio (parte de Conhecimentos Gerais).

Os candidatos aprovados para a 2ª fase fazem todas as provas

independentemente do curso escolhido. As provas de Matemática acontecem no 1º

dia junto com as provas de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa.

As questões de Matemática do Vestibular Unicamp, na segunda fase,

procuram identificar se os candidatos dispõem de conhecimentos da Matemática do

Ensino Fundamental e Médio. Em relação à noção de função exponencial, espera-se

que o candidato saiba resolver situações matemática relacionadas à noção de

potência, sua definição e suas propriedades, à noção de função exponencial e suas

representações, em particular seu gráfico e à noção de equações exponenciais e,

em alguns casos, estas noções estão associadas à definição de logaritmo e suas

propriedades.

A prova da segunda fase do Vestibular da UNICAMP mostra um grande

número de aplicações que necessitam de diferentes níveis de conhecimento em

relação à noção de função exponencial. Tais aplicações são relacionadas às noções

matemáticas em jogo por meio da articulação de quadros em função dos ostensivos

que permitem manipulá-los e dos não ostensivos evocados na sua solução.

O desenvolvimento das diferentes tarefas relacionadas à noção de função

exponencial que aparecem nesta prova exige do candidato uma boa capacidade de

leitura de textos, formulação de problemas e bom raciocínio abstrato. A expectativa

é que os candidatos identifiquem e formulem os modelos capazes de resolver

matematicamente a situação proposta. Além da escolha da representação

adequada, isto é, do ostensivo de representação a ser utilizado que auxilia na

manipulação e em uma melhor interpretação da situação proposta, é preciso que se

disponha de conhecimentos prévios em relação às noções que servem de

189

ferramenta explícita para o desenvolvimento da resposta mais adequada, mesmo se

essas articulações não são tratadas utilizando essa terminologia.

Desse modo, consideramos os seguintes itens para a análise das questões:


disponível (segundo Robert).



Em seguida, apresentamos uma discussão em relação a cada questão e

indicamos o anexo correspondente à resposta esperada, a resposta acima da média

e a resposta abaixo da média indicada pela equipe responsável pelo vestibular. A

escolha de colocar esse material em anexo está associada à rápida visualização das

relações pessoais esperadas e daquelas que são, em geral, desenvolvidas pelos

estudantes.

8.3.1 UNICAMP 2002

Não encontramos qualquer questão relacionada à noção de função

exponencial entre as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que

compunham a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e

Matemática no 1º dos três dias consecutivos de provas.

8.3.2 UNICAMP 2003

Uma tarefa relacionada à noção de função exponencial foi identificada entre

as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que compunham a

prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º

dos três dias consecutivos de provas.

190

Questão 09 - Tarefa

O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:T (t) = TA

+ α3βt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em

minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O

referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de –18ºC. Um

termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a –16ºC

após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.

b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é

apenas 2/3 °C superior à temperatura ambiente.


disponível (segundo Robert); disponível para a interpretação que a temperatura

ambiente corresponde à temperatura do congelador, isto é, - 18 °C.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de sistemas de

equações exponenciais, noção de equações exponenciais, noção de potência e

suas propriedades e noção do cálculo do valor numérico de uma função

exponencial.

III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 4

(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6

(identificar e/ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação

enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e tarefa 7

(cálculo do valor numérico de uma função exponencial).

Discussão:

É dada uma função exponencial, que relaciona o processo de resfriamento de

um determinado corpo com o tempo, indicada por T (t) = TA + α3βt, onde T(t) é a

temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a

temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. Entretanto, a

função não é inteiramente conhecida, pois existem os parâmetros α e β a serem

determinados e que são pedidos no item a, os quais poderão ser encontrados por

meio de um sistema de equações exponenciais com a utilização da definição das

propriedades das potências. Para o item b, a função é conhecida, uma vez que os

parâmetros α e β foram determinados no item a, assim, pode-se obter o valor de t,

191

substituindo os valores na função exponencial, para o qual a temperatura do corpo

no congelador é apenas 2/3 °C superior à temperatura ambiente.

Nas análises, observamos que o exemplo de resposta acima da média

corresponde à expectativa institucional. Todavia, o exemplo abaixo da média, que foi

dado por um estudante que tinha sido classificado na primeira fase, mostra que o

mesmo não domina o cálculo do valor numérico de uma função exponencial, pois faz

confusão entre temperatura e tempo. No Anexo D, podemos visualizar as respostas

esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo análise

desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.

Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de

referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.

Contudo, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de função

exponencial, não trabalharam com situações contextualizadas, podem apresentar

dificuldades do tipo da que aparece no exemplo abaixo da média, onde o estudante

não é capaz de associar corretamente os dados com as variáveis T (temperatura) e

t(tempo).

8.3.3 UNICAMP 2004

Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre





A função L (x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a

x metros de uma lâmpada.

a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1

metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de

distância recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada

e esse objeto.

192


disponível (segundo Robert): Mobilizável.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do valor

numérico de uma função exponencial, noção de sistemas de duas equações

exponenciais, definição de logaritmos e suas propriedades e noções de equações

logarítmicas e de logaritmo neperiano (ln).

III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4


(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação



Discussão:

É dada uma função exponencial que relaciona o nível de iluminação de um

objeto, em luxes, com sua distância pela função exponencial, onde L (x) é o nível de

iluminação, x a distância entre um objeto e uma lâmpada e a e b são constantes.

Entretanto, a função não é inteiramente conhecida, pois existem os parâmetros a e b

a serem determinados e que são pedidos no item a. Esses parâmetros poderão ser

encontrados por meio de um sistema de equações exponenciais. O cálculo do valor

de a poderá ser encontrado por meio da resolução de uma equação do 2º grau,

podendo ou não usar uma mudança de variável, já, para determinação do valor de b,

será necessário o uso da definição de logaritmo, logaritmo natural e/ou logaritmo

neperiano (ln), dependendo da escolha a ser considerada.

Para o item b, a função é conhecida uma vez que são determinados os

parâmetros a e b no item a. Assim, a distância entre o objeto e a lâmpada será

determinada através do cálculo do valor de x, com a resolução de uma equação

logarítmica obtida com a substituição dos valores de a e b encontrados no item a.

Sobre a constante e, ela poderá ser usada como o número irracional se o

candidato assim a conhecer ou apenas como outra constante qualquer, sem a

necessidade do cálculo do logaritmo neperiano (ln). Isso mostra que fica a cargo do

professor de matemática do Ensino Médio introduzir a noção do número irracional e,

e que o candidato que dispõe deste conhecimento poderá desenvolver a tarefa de

uma forma mais econômica.

193

O exemplo de resposta acima da média corresponde à expectativa

institucional. O exemplo abaixo da média, por sua vez, mostra a importância do

trabalho de sistemas de equações com duas variáveis que é iniciado no Ensino

Fundamental e revisitado com mais aprofundamento no Ensino Médio, pois o

candidato, apesar de montar o sistema com as duas equações, não o resolveu, o

que podemos interpretar como a falta de conhecimento que deu método para a

resolução de sistemas de equações exponenciais. No Anexo E, podemos visualizar

as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo

análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.

Observamos que esse tipo de questão avalia se o candidato é capaz de

resolver um problema contextualizado que envolve a noção de função exponencial e

indica a importância de se trabalhar esta noção de forma mais aprofundada no

Ensino Médio. Isto deve ser feito principalmente com a formulação do sistema de

equações exponenciais e da explicitação de um método de resolução para estes

sistemas, onde o conceito da função exponencial está em jogo.

Tarefas desse tipo, em geral, são trabalhadas no Ensino Superior e, em

momentos de avaliação, tal como o do vestibular, espera-se que os estudantes

disponham dos conhecimentos a elas associados. Lembramos que apenas a noção

de função exponencial, sistemas de equações exponenciais e logaritmos foram

introduzidas no Ensino Médio, as outras noções em jogo, em particular a noção de

potência e suas propriedades são consideradas como conhecimentos prévios

disponíveis, uma vez que foram introduzidas no Ensino Fundamental e deveriam ser

revisitadas no Ensino Médio, tornando-se, assim, mais ricos, elaborados e

diferenciados em termos de significado, conforme ressalta Moreira (2005).

8.3.4 UNICAMP 2005





194

Questão 7 - Tarefa

Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros

capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou

retiradas, encontre:

a) O capital acumulado após 2 anos.

b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja

maior que o dobro do capital inicial.

Se necessário, use log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477


disponível (segundo Robert): disponível.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de juros compostos

por meio da relação da fórmula de montante M = C. (1 + i)n, onde M é montante, c

capital, i taxa e n tempo ou noção de progressão geométrica por meio da fórmula da

progressão geométrica an = a1. qn – 1 em que an é o a1, termo inicial, e q razão com a

lei de formação da noção de função exponencial, noção da definição de potência e

suas proriedades,noção de inequações exponenciais, noção da definição de

logaritmo e suas propriedades.






Discussão:

A função exponencial que relaciona o capital acumulado com o tempo de

aplicação desse capital é inteiramente desconhecida, pois não é dada nenhuma

fórmula relacionada com juros compostos ou sequência, nem a lei de formação da

função exponencial. Para resolução do item a, pode-se usar a fórmula de juros

compostos (montante) ou a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica;

para o item b, é necessário fazer a resolução de uma inequação exponencial que

envolve definição, mudança de base e propriedades de logaritmo, onde a definição e

as propriedades da potência são fundamentais.

195

Observamos que esse tipo de tarefa aparece com frequência em livros

didáticos, onde o conhecimento de juros compostos está associado à noção de

função exponencial. Ainda assim, quando ultrapassada esta associação, que é

pedida no item a, essa questão alerta para a importância da definição de logaritmo,

suas propriedades e mudança de base, exigidas para resolução do item b.

Além disso, a relação de juros compostos com a noção função exponencial

ficou caracterizada no item a onde aparece “capital acumulado”, isto mostra como é

importante trabalhar a diferença entre a relação de juros simples com a noção de

função afim e a relação de juros compostos com a noção de função exponencial no

Ensino Médio.

Notamos que, no exemplo de resposta acima da média, o candidato usa a

fórmula do termo geral de uma progressão geométrica – PG, que mostra a escolha

de modelagem matemática para a situação-problema dada. No entanto, o exemplo

abaixo da média, que foi dado por um candidato que tratou a questão como juros

simples, o que é muito comum em questões que envolvem juros, mostra a

importância do trabalho com resolução de problemas que envolvem as noções de

juros simples e compostos no Ensino Fundamental e Médio de forma articulada para

que os estudantes possam compreender a diferença entre eles. No Anexo F,

podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da

média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.



Porém, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de juros, não

trabalharam com situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo

da que aparece no exemplo abaixo da média, onde o estudante não é capaz

distinguir corretamente as noções de juros simples e juros compostos.

8.3.5 UNICAMP 2006


as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham a

196




A concentração de CO2 na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo

Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos

últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável

supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO2 irá se manter

constante nos próximos anos.

a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO2 na atmosfera em

relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial — ou seja,

aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de

377,4 ppm de CO2 na atmosfera.

b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO2 na atmosfera

será 50% superior àquela observada em 2004. Se necessário, use log10 2 ~ 0,3010 ,

log10 2,1 ~ 0,3032 e log10 3 ~ 0,4771.


disponível (segundo Robert): disponível.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de porcentagem,

noção da definição de função exponencial, noção de conjunto dos números racionais

e suas operações, noção de equações exponenciais, definição de logaritmo, suas

proriedades e mudança de base.






Discussão:

A função exponencial que relaciona concentração de CO2 na atmosfera em

relação ao tempo t, dado em anos, não é conhecida, pois não é dada nenhuma

fórmula relacionada com a lei de formação da função exponencial.

197

Para resolução do item a, são necessárias as noções de taxa e porcentagem,

pois é dada a taxa anual de 0,5%, ou seja, (1 + i)t, onde i é a taxa e t o tempo,

resultando em 1,005. Observamos que essa noção geralmente é abordada no final

Ensino Fundamental e pode ser revisitada no Ensino Médio, em particular, quando

se introduz a noção de função exponencial. Enfim, para se chegar à função

esperada, é preciso ainda associar a concentração inicial de CO2 relacionada com o

tempo t a uma função exponencial do tipo f(x) = b. ax, onde b é o coeficiente 377,4, a

é a taxa anual 1,005 e t o tempo, ficando, assim, a função: C(t) = 377,4 (1,005)t.

Visualizamos ainda aqui que, além de identificar a função que modela a situação

contextualizada, é preciso considerar f(x) como C(t) e a variável x igual a t, o que

necessita de uma abordagem explícita durante o processo de estudo e ajuda ao

estudo.

Para o item b, é indispensável a resolução de uma equação exponencial que

envolve definição, mudança de base e propriedades de logaritmo, onde a operação

com números racionais e a definição e propriedades da potência são fundamentais.

O exemplo de resposta acima da média corresponde à expectativa

institucional. Porém, o exemplo abaixo da média mostra que o candidato não

emprega corretamente o conceito de função exponencial, pois faz confusão entre

função afim e função exponencial. No Anexo G, podemos visualizar as respostas





Por outro lado, aqueles canddatos que, mesmo conhecendo a noção de função

exponencial seus procedimentos algébricos e suas representações, não trabalharam

com situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo da que

aparece no exemplo abaixo da média, no qual o estudante não é capaz de associar

corretamente os dados com o conceito de função exponencial, fazendo inclusive

confusão entre esta função e a função afim.

Vemos que esse tipo de questão mostra a importância de modelar

fenômenos naturais usando a noção de função exponencial, bem como algumas

noções que são vistas no Ensino Fundamental e pouco revisitadas no Ensino Médio,

como as de porcentagens e taxa anual de crescimento que são essenciais para o

desenvolvimento do problema.

198

8.3.6 UNICAMP 2007






O decaimento radiativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P0 .2-bt, onde t é

um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a

concentração inicial do estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.

a) Se a concentração do estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, meia vida

do estrôncio 90 é 29 anos, determine o valor da constante b.

b) Dada uma concentração inicial P0, de estrôncio 90, determine o tempo necessário

para que a concentração seja reduzida a 20% de P0. Considere log2 10 ~ 3,32.


disponível (segundo Robert): mobilizável.

II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de porcentagem,

noção de equação exponencial, definição de logaritmo e suas propriedades.


(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e tarefa 6


enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural).

Discussão:

A função P(t) = P0 .2-bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é

uma constante real e P0 é a concentração inicial do estrôncio 90, ou seja, a

concentração no instante t = 0 relaciona decaimento radiativo do estrôncio 90 com o

tempo t. Dada no enunciado da questão a função está associada com a lei de

formação da função exponencial do tipo f(x) = b. ax, onde b é o coeficiente P0, a é

igual a 2, b uma constate e t o tempo.

199

Para o item a, é necessária a resolução de uma equação exponencial

associada à noção de porcentagem e para o item b a função fica conhecida uma vez

que foi determinado valor da constante b no item a. Assim, o tempo necessário para

que a concentração seja reduzida a 20% de P0 será determinado por meio do

cálculo do valor de x, com a resolução de uma equação exponencial em que é

necessário aplicar a noção de logaritmo.

Observamos que o exemplo de resposta acima da média corresponde à

expectativa institucional. Porém, o exemplo abaixo da média mostra a importância

do trabalho de resolução de problemas no Ensino Médio e Fundamental que

envolvam situações do mundo científico, pois, apesar do candidato empregar

corretamente os procedimentos algébricos, o mesmo confundiu um número que

aparecia no enunciado do problema com o dado do problema. No Anexo H,

podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da

média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.



Todavia, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de função

exponencial seus conceitos e procedimentos algébricos, não trabalharam com

situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece

no exemplo abaixo da média.

8.3.7 UNICAMP 2008

Não encontramos questão relacionada à noção de função exponencial entre




200

8.3.8 UNICAMP 2009






O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função

que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t,

o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é

T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text , onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a

refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante

durante toda a viagem). Sabendo que T0 = 21ºC e Text = 30ºC, responda às questões

abaixo.

a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra

do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboce abaixo o gráfico de T(t).

b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para

que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário, use log10 2 ~ 0,3010, log10 3 ~ 0,48 e

log10 5 ~ 0,70



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do valor

numérico de uma função exponencial, noção de construção de gráfico de uma

função no plano cartesiano, noção de equação exponencial, definição de logaritmo e

suas propriedades.




enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural); tipo 7

(cálculo do valor numérico de uma função exponencial) e tarefa 9 (esboçar o gráfico

cartesiano da função exponencial de domínio IR).

201

Discussão:

A função T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text relaciona a temperatura (em graus

Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, onde

T0 = 21ºC é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e

Text = 30ºC constante.

Para o item a, é necessário o cálculo do valor numérico da função dada que

envolve a manipulação da potência com expoente inteiro negativo e suas

propriedades, operação com números racionais e a construção do gráfico de uma

função tipo exponencial com expoente negativo em um plano cartesiano. É preciso

observar também que a temperatura é a variável dependente e o tempo a variável

independente.

Para o item b, é preciso resolver a equação exponencial associada à

definição e às propriedades de logaritmos. Esta equação é determinada quando se

substitui a temperatura inicial acrescida de 4 graus, a temperatura interna e externa

do ônibus na lei de formação da função do tipo exponencial dada.


expectativa institucional. Porém, o exemplo abaixo da média coloca em evidência a

importância das articulações entre as representações algébricas e gráficas, pois

estas são importantes para desenvolver as estratégias de resolução da situação-

problema relacionada dada. Ressaltamos aqui que o candidato, apesar de empregar

corretamente os procedimentos algébricos, na construção do gráfico, tratou a função

exponencial como uma função afim. Novamente notamos, portanto, a confusão entre

esses dois tipos de função, o que merece uma atenção especial no processo de

estudo e ajuda ao estudo tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior. No

Anexo I, podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e

acima da média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo

vestibular.

Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõem e articulam os

conceitos e procedimentos algébricos da noção de função e suas representações, é

possível responder a questão corretamente. No entanto, aqueles candidatos que,

mesmo conhecendo os conceitos, os procedimentos e as representações da noção

de função seja ela do tipo exponencial ou outros tipos como função afim, não

trabalharam com situações contextualizadas, onde estas articulações são

202

necessárias, podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no exemplo

abaixo da média.

8.3.9 UNICAMP 2010

Encontramos duas questões relacionadas à noção de função exponencial

entre as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham

a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no

1º dos três dias consecutivos de provas.


Sejam dadas as funções f(x) = e g(x) = 4x .

a) Represente a curva y = f(x) no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece

log2(y).

b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações:

Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de equação

exponencial, noção de função afim, definição de logaritmo e suas propriedades,

noção de construção de gráfico no plano cartesiano.


(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e tarefa 8

(esboçar o gráfico cartesiano da função exponencial de domínio IR).

203

Discussão:

Para o item a, a função f(x) = está relacionada com y = f(x) onde o eixo y

representa uma escala logarítmica. É necessário realizar a resolução de uma

equação exponencial que envolve a definição de logaritmo e suas propriedades,

chegando a log2(y) = 3 – 4x. Como o eixo y está na escala logarítmica log2(y), a

representação gráfica da função será uma reta.

Para o item b, é preciso mobilizar a mudança de variáveis e articular com a

noção de resolução de um sistema de equação exponencial associado à definição

de logaritmo e suas propriedades que, dependendo do conhecimento prévio do

candidato, poderá ser resolvido de diferentes formas, em diferentes quadros.

No exemplo de resposta acima da média (ANEXO J), o candidato usou

corretamente as propriedades da potência de mesma base para construir um

sistema de duas equações com duas incógnitas e aplicou o método de Gauss-

Jordan para a resolução do sistema linear, que mostra a articulação entre diferentes

formas de conhecimento e representações e indica a importância de se levar em

conta, explicitamente no ensino, diferentes formas de articulação dos conhecimentos

associados a uma determinada noção. Todavia, mesmo aqueles que compreendem

os conceitos, os procedimentos algébricos e as representações algébricas e gráficas

da noção de função podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no

exemplo abaixo da média, pois não trabalham as diferentes formas de articulação

dos conhecimentos no desenvolvimento de uma mesma tarefa, que são

considerados conhecimentos prévios para o estudante que termina o Ensino Médio.

Observamos ainda que esse tipo de tarefa, em que se considera uma nova

escala e esta depende da noção de logaritmo, não é tratado habitualmente no

Ensino Médio, podendo causar dificuldades para os estudantes. Isto pode ser

evidenciado no exemplo abaixo da média, onde o estudante utiliza propriedades dos

logaritmos e das potências de uma forma totalmente desorganizada.


Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrante

usando estratégias agressivas de propaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos

integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos

204

participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas na

primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira e assim por diante.

Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100

associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o

número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos entrarão no site

B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos

associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

b) Em quantas semanas o site B espera chegar a marca de 10000 membros?



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de progressão

geométrica, noção de soma dos termos da progressão geométrica, noção de

progressão aritmética, noção de soma dos termos da progressão aritmética, noção

de equação exponencial, noção de função afim, definição de potência.


(Identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma

situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e

Tarefa 7 (Calcular o valor numérico de uma função exponencial).

Discussão:

Trata-se de uma tarefa e sua resolução exige que se modele

matematicamente a situação-problema proposta. Nenhuma indicação sobre a noção

matemática em jogo é dada ao estudante, ficando a cargo do mesmo identificar no

enunciado, cujas informações são apresentadas em língua natural, qual a

ferramenta matemática que permite modelar a situação.

É dado que o site A tem 150 participantes atualmente e espera conseguir 100

novos participantes em um período de uma semana, bem como dobrar esse número

a cada semana subsequente, no item a são demandadas duas perguntas.

Na primeira pergunta, é pedido o número de membros novos daqui a 6

semanas. O número de membros que o site A admitirá na semana n é o n-ésimo

termo de uma progressão geométrica – PG com razão igual a 2 e primeiro termo

100, ou seja an = 100.2n-1, que é uma característica da função exponencial do tipo

205

f(x) = b.ax . A função relaciona o número de membros que o site admitirá daqui a 6

semanas com o número de semanas.

Na segunda pergunta, é pedido a números de membros que o site espera ter

daqui a 6 semanas. Como o número de semanas é igual a 6, temos a sexto termo

da PG igual a 3200, e o número total de membros do site A será a soma dos seis

primeiros termos com o número inicial de habitantes. Para a resolução deste item é

necessário o uso da fórmula da soma dos termos de uma PG finita que, em geral, é

pouco trabalhada no Ensino Médio.

No item b, é dado o número de 2200 membros do site B, e acredita-se que, a

cada semana, esse número aumente em 100 novos membros. É pedido o número

de semanas n necessário para o site B atingir 10000 membros, o qual pode ser

obtido por meio do cálculo da soma dos termos de uma progressão aritmética – PA

com primeiro termo igual a 100 e razão igual a 100. Para a resolução deste item

também é necessário o uso de fórmula da soma dos termos de uma PA.


expectativa institucional. Porém, o exemplo de resposta abaixo da média mostra que

o estudante confundiu a fórmula dos termos de uma PG com a fórmula dos termos

de uma PA, indicando que o candidato se apropria, mas não com significado, da

noção de Progressão Aritmética e Geométrica, pois ele não é capaz de associar

corretamente essas duas noções e não utiliza a soma dos termos no

desenvolvimento da questão. No Anexo K, podemos visualizar as respostas





Contudo, aqueles canditatos que, mesmo conhecendo à noção de Progressão

Aritmética e Progressão Geométrica e os ostensivos de representação que lhe são

associados, necessitam de um trabalho específico com situações contextualizadas

para que possam ultrapassar as dificuldades do tipo das que aparecem no exemplo

abaixo da média.

206

8.3.10 UNICAMP 2011

Encontramos apenas uma questão relacionada à noção de função

exponencial entre as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que

compunham a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e

Matemática no 1º dos três dias consecutivos de provas.


Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos

processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte

função:

P(T) = 100(1− 2-0,1T)

a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de

computadores terão apresentado falhas?

b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos

suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de

processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma

Q(T) = 100(1− 2cT ) , o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de

uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo

(ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse

caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2(7) ≈ 2,81.



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de função exponencial,

noção de porcentagem, noção de equação exponencial, noção de definição de

logaritmo e suas propriedades.


(Resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e Tarefa 7

(Calcular o valor numérico de uma função exponencial).

207

Discussão:

A função P(T) = 100(1− 2-0,1T) relaciona o percentual dos processadores com

o número T que representa o anos transcorridos até que esses processadores

apresentem falhas.

Para a resolução do item a, é necessário o cálculo do número de anos por

meio da resolução da equação exponencial formada quando P(T) for igual a 75.

Observamos que é necessário disponibilizar a noção de porcentagem, não basta

que o candidato saiba manipular a noção de porcentagem, aqueles que não

analisam e interpretam criticamente os dados de um problema devem apresentar

dificuldades como mostra o exemplo abaixo da média, em que o candidato usa P(T)

como 75%, não se atentando ao enunciado que já apresentava o número de anos

em percentual.

Para o item b, é preciso resolver a equação exponencial associada à

definição logaritmo e suas propriedades, que fica conhecida quando se igualam as

duas funções dadas, sendo a primeira ¼ da segunda e calculando o seus

respectivos valores numéricos para T igual a 10 anos. Observamos no exemplo de

resposta abaixo da média um erro muito comum no emprego da propriedade de

logaritmo de um quociente, em que numa mesma base o logaritmo do quociente de

dois números é igual à diferença entre os logaritmos desses dois números e não ao

quociente entre os logaritmos desses dois números. Esta propriedade está

associada à noção da propriedade da divisão de potência de mesma base, o que

mostra a importância de demonstrar as propriedades dos logaritmos utilizando as

propriedades das potências.

Como as propriedades das potências são trabalhadas em todos os anos do

Ensino Fundamental, espera-se que os estudantes disponham desses

conhecimentos e, no Ensino Médio, possam utilizá-los não apenas como

ferramentas explícitas para a solução de diferentes tipos de tarefas

contextualizadas, mas também na introdução de novos conhecimentos, como é o

caso das propriedades dos logaritmos.

Os dois tipos de resposta encontradas na avaliação da UNICAMP mostram

que, quando se dispõe dos conceitos de função exponencial e se emprega

corretamente procedimentos da noção de potência e suas propriedades, é possível

responder a questão corretamente. Porém, aqueles candidatos que, mesmo

conhecendo os conceitos, os procedimentos e as representações da noção de

208

função exponencial, não se apropriaram desses conhecimentos matemáticos com

significado podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no exemplo

abaixo da média.

Nesse sentido, consideramos que se apropriar dos conhecimentos

matemáticos com significado corresponde à possibilidade de articular

conhecimentos prévios, no exemplo, as propriedades das potências, com novos

conhecimentos que, para esta tarefa específica, correspondem a associar as

propriedades dos logaritmos às propriedades das potências.

No Anexo M, podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas

abaixo e acima da média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável

pelo vestibular.

8.4 ENADE

O ENADE – Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – é uma prova

escrita que avalia o rendimento dos alunos de graduação em relação aos conteúdos

programáticos previstos nas diretrizes curriculares do respectivo curso de graduação

desses estudantes. Tal prova é usada para análise dos cursos de ensino superior

brasileiro e um dos procedimentos de avaliação do Sistema Nacional de Avaliação

da Educação Superior – SINAES, o exame é realizado pelo Instituto Nacional de

Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP, autarquia vinculada ao

Ministério da Educação, segundo diretrizes estabelecidas pela Comissão Nacional

de Avaliação da Educação Superior - CONAES, órgão colegiado de coordenação e

supervisão do SINAES.

O exame é destinado a estudantes ingressantes e concluintes do Ensino

Superior, a participação de estudantes selecionados é obrigatória sendo uma

condição necessária para a emissão do histórico escolar.

A primeira edição do ENADE ocorreu em 2004 e as provas de cada área do

conhecimento ocorrem no máximo a cada três anos, substituindo assim o antigo

Exame Nacional de Cursos (Provão) criado em 1996.

Para compreender melhor os conhecimentos desenvolvidos sobre a noção de

função exponencial que foram solicitados nas últimas edições do ENADE para

209

estudantes de licenciatura em matemática, identificamos apenas as tarefas em que

essa noção está em jogo.

Para nossas análises, identificamos os seguintes itens:


disponível (segundo definição de Robert).



Na sequência, apresentamos uma discussão em relação a cada questão.

Apresentamos, na sequência, as tarefas que envolvem a noção de função

exponencial encontradas no Exame Nacional de Desempenho de Estudantes.

8.4.1 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do ENADE - 2005

Não encontramos quaestões relacionadas à noção de função exponencial

entre as 10 questões da licenciatura em matemática para um total de 40 questões

que compunham a prova, sendo as 10 primeiras de formação geral, seguidas de 10

questões comuns à licenciatura e ao Bacharelado e, finalmente, 10 questões

específicas da Licenciatura.



as 10 questões da licenciatura em matemática para um total de 40 questões que

compunham a prova, sendo as 10 primeiras de formação geral seguidas de 20

questões comuns à licenciatura e ao Bacharelado e, finalmente, 10 questões

específicas da Licenciatura (9 objetivas e 1 discursiva).

210


Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte

questão: Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função

crescente?

Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão resposta, é

adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos

A. considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores

da função f em muitos pontos e comparem os valores obtidos.

B. considerem m = 1 e k = 1, m = – 1 e k = 1 esbocem os gráficos da função f e, em

seguida, comparem esses dois gráficos.

C. formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de uma

das funções y = mekx, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos

encontrados.

D. esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e–x e analisem o que acontece com

esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes

positivas ou negativas.

E. construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de –5 a

5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de função

exponencial, definição da potência de expoente real, noção de localização de pontos

no sistema cartesiano ortogonal, noção de sistemas de coordenadas cartesianas

ortogonais, noção de domínio, contra-domínio e imagem de uma função, noção de

gráfico de uma função, noção de cálculo do valor numérico de uma função e

potência de expoente real.


(calcular o valor numérico de uma função exponencial), Tarefa 8 (esboçar o gráfico

cartesiano da função exponencial de domínio IR) e Tarefa 9 (classificar em

crescente ou decrescente a função definida pela sua representação gráfica

cartesiana).

211

Discussão:

Trata-se de uma questão mais genérica em que os conhecimentos

desenvolvidos no Ensino Médio são pedidos explicitamente. Para resolvê-la,

utilizam-se o ostensivo de representação da função exponencial na forma de

potência algébrica explícita e o ostensivo de representação gráfica. As dificuldades

que podem aparecer estão associadas à base irracional que não é trabalhada no

Ensino Médio e, em geral, não se desenvolve o estudo da noção de função

exponencial e a análise de seu gráfico no Ensino Superior.

Além disso, é necessário que se disponha de conhecimentos sobre a análise

da variação do gráfico de uma função e de seus parâmetros, o que atualmente é

deixado a cargo do Ensino Superior, mas que, em geral, como mostram as análises

apresentadas no capítulo 5, não é trabalhada nesta etapa escolar, mesmo nos

cursos onde é prevista uma disciplina de nivelamento, que quase sempre revisita a

noção de função exponencial da mesma forma que a desenvolvida no Ensino Médio,

sem contextualizar nas novas disciplinas.

Desse modo, observamos a possibilidade de mostrar a variação dos

coeficientes da função exponencial, quando se trabalha com as noções de limite e

derivada de uma função e suas propriedades, para a construção de na disciplina de

Cálculo. Mais uma vez, tem-se a oportunidade de revisitar conhecimentos prévios

quando são introduzidos novos conhecimentos.


Encontramos apenas uma questão relacionada à noção de função

exponencial entre as 10 questões para os estudantes dos cursos de Licenciatura em

Matemática para um total de 40 questões que compunham a prova, sendo as 10

primeiras de formação geral seguidas de 20 questões comuns à Licenciatura e ao

Bacharelado e, finalmente, 10 questões específicas da Licenciatura.


Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser

preparada a cultura, é dada pela função B(t) = 9t – 2.3t + 3, t 0 .

212

O tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 6 colônias é de

A. 1 hora.

B. 2 horas.

C. 3 horas.

D. 4 horas.

E. 6 horas.



II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Definição de potência de

expoente real e suas propriedades, noção de equação do 1º grau e suas técnicas de

resolução, noção de equação do 2º grau suas técnicas de resolução.


(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente).

Discussão:

Encontramos uma inequação exponencial que, para determinar sua solução,

necessita de uma mudança de variável, usando artifícios de cálculo. Isto a

transformará em uma inequação quadrática ou do segundo grau, portanto,

corresponde ao tipo de inequação trabalhada no Ensino Médio, podendo, assim, ser

considerada como conhecimento prévio para os estudantes do Ensino Superior.


Nas tarefas relacionadas à noção de função exponencial encontradas nas

avaliações institucionais analisadas, sejam elas preparadas pelos órgãos

governamentais ou vestibulares, podemos verificar que as situações

contextualizadas foram as mais privilegiadas e que nem todos os 11 diferentes tipos

de tarefas trabalhados no capítulo 5 foram tratados.

Essas diferentes tarefas foram retiradas dos livros do Programa Nacional do

Livro para Ensino Médio – PNLEM, isto é, os recomendados e distribuídos pelo

Ministério da Educação. Os dois livros analisados são aqueles que tinham o maior

213

número de exemplos e articulações tanto intramatemática como extramatemática

referentes à noção de função exponencial.

Em relação ao trabalho em termos de conceitos, procedimentos e

representações, as tarefas elaboradas pelos órgãos governamentais são diferentes

das tarefas dos vestibulares, lembrando que as provas de vestibulares são

eliminatórias, enquanto as governamentais são usadas para avaliar e estabelecer

novos caminhos tanto para o Ensino Médio como para o Superior.

As tarefas elaboradas pelos órgãos governamentais, que correspondem às

questões do ENEM e ENADE, apesar de representarem, na sua maioria, noções

matemáticas por meio de situações contextualizadas, em particular a noção de

função exponencial, o estudante precisa dispor de conhecimentos associados à

conversão do texto em língua natural para a representação de uma função

exponencial. Nesse caso, podemos considerar que aqueles que dispõem de um

discurso tecnológico adequado estão mais preparados para reconhecer o tipo de

função no enunciado e na sequência, em geral, aplica-se a definição de função

exponencial e as propriedades de potência, o que corresponde a uma tarefa que

exige o nível técnico em relação à noção matemática em jogo.

A análise das cinco tarefas encontradas nas provas do ENEM mostrou que o

trabalho em termos de conceitos, procedimentos e representações em relação à

noção de função exponencial exige apenas que o estudante reconheça o tipo de

função e utilize os conhecimentos associados às tarefas 1, 6 e 7 identificadas no

capítulo 6:

• Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base): quatro

questões, 139 do ano de 2009, 177 do ano de 2010 e 173 e 177 do ano de 2011.

• Tarefa 6 (identificar e /ou determinar a lei de formação da função


língua natural): três questões, 139 do ano 2009, 161 e 177 do ano de 2011.

• Tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial): três

questões, 139 do ano de 2009, 161 e 177 do ano de 2011.

Se considerarmos os três níveis de conhecimento esperado dos estudantes:

técnico, mobilizável e disponível:

• Nível técnico: três questões, 139 do ano de 2009, 177 do ano de 2010

e 173 do ano de 2011.

• Nível disponível: duas questões, 161 e 177 do ano de 2011.

214

As tarefas elaboradas por vestibulares também privilegiam as situações

contextualizadas, mas, depois de ultrapassada a fase em que o estudante precisa

interpretar o problema identificando o que é pedido, é preciso dispor dos conceitos e

das noções que envolvem a noção de função exponencial e assim mobilizar essas

noções, procedimentos, representações e respectivas conversões, quadros e

mudança de quadros.

Observamos aqui que alguns desses conhecimentos envolvem outros

conhecimentos, tais como as definições e propriedades das potências de mesma

base, a definição de logaritmo e suas propriedades, o que corresponde a dispor de

conhecimentos prévios adquiridos nos Ensinos Fundamental e Médio, ditos

mecânicos como a memorização de definições e propriedades, mas que

correspondem às técnicas necessárias e que precisam ser disponíveis quando se

deseja resolver tarefas em que elas fazem parte dos procedimentos a serem

utilizados.

A utilização ágil, rápida e consciente desses conhecimentos pode ser muito

eficaz para enriquecer conhecimentos prévios e adquirir novos conhecimentos, por

exemplo, quando se articulam diferentes ostensivos de representação e é

necessário efetuar uma mudança de quadros.

Esse trabalho, mesmo se não tratando explicitamente e com os termos

indicados acima, é exigido quando se utilizam as situações contextualizadas. Assim,

cabe ao professor fazer a mediação e ajudar o estudante a reconhecer esses

conhecimentos prévios, muitas vezes naturalizados e utilizados de maneira

autônoma. Dessa forma, fica ainda a cargo do professor auxiliar seus estudantes a

compreender, interpretar e resolver situações do cotidiano ou do mundo tecnológico

e científico, que é um dos objetivos do ensino de Matemática no Ensino Médio.

A mediação entre os conhecimentos prévios dos estudantes e a resolução de

tarefas deve ser feita pelo professor por meio da manipulação dos ostensivos de

representação e evocação dos não ostensivos associados. Isto subentende a

utilização de um discurso tecnológico adequado para cada grupo de estudantes.

Sendo assim, o professor precisa estar preparado para escolher um material

didático que esteja de acordo com os documentos oficiais e que atenda às

necessidades específicas de seus estudantes em termos dos conteúdos propostos

para serem trabalhados nas diferentes etapas escolares. Em geral, o material

atualmente privilegiado é o livro didático, pois este é indicado e ofertado pelo

215

Ministério da Educação no caso do Ensino Médio e exigido como material de apoio

pelas Comissões de Avaliação no caso do Ensino Superior.

O trabalho com os três níveis de conhecimento é responsabilidade

profissional do professor e, para isso, é necessário sua capacitação e valorização.

Devemos lembrar que, em função das restrições que lhe são impostas, muitas vezes

o professor só trabalha no nível técnico.

Ao analisar as tarefas do ENADE, observamos que, mais uma vez, a ênfase é

dada à modelagem matemática, o que supõe a articulação dos ostensivos de

representação e as mudanças de quadros, que é recomendado pelos documentos

oficiais, mesmo se não se utiliza esta nomenclatura.

Observamos aqui que o tipo de tarefa sobre a noção de função exponencial

pedido no ENADE corresponde às tarefas já encontradas no Ensino Médio, portanto,

os professores do Ensino Superior podem utilizar os livros indicados pelo PNLEM

como material de apoio para os estudantes com dificuldade, pois os mesmos podem

revisitar conteúdos do Ensino Médio sem que para isso seja necessário um trabalho

específico em sala de aula. Nesse caso, o professor poderia auxiliar em diferentes

momentos atividades extra classe. Nesse sentido, cabe-nos lembrar que Robert

(1997, 1998) indica que os estudantes sabem “coisas”, algumas precisam ser

retrabalhadas em sala de aula, mas nem tudo pode ser revisto.

Assim, a prova do ENADE, no que se refere à noção de função exponencial,

não deveria apresentar dificuldades para os estudantes que tiveram um primeiro

encontro com essa noção no Ensino Médio e que deveriam apenas enriquecê-las ao

aplicá-las no estudo de novas noções durante o Ensino Superior.

A análise das provas do ENEM e, em particular, da UNICAMP, mostram que,

em geral, os estudantes têm dificuldades para resolver tarefas que envolvem

conhecimentos das outras ciências e situações contextualizadas. Quando

consideramos, por exemplo, a tarefa da UNICAMP 2003, podemos supor que a nova

representação onde y corresponde à T e x corresponde à t pode ter sido um

obstáculo para a solução da tarefa, pois, normalmente, os estudantes não fazem

sozinhos essa relação que deve ser explicitada pelo professor. Esse tipo de

trabalho está associado ao que Duval (1995) denomina tratamento de um registro de

representação semiótica e deve ser revisitado no Ensino Superior para que o futuro

professor possa estar preparado para escolher um bom material didático. Nesse

sentido, Moreira (2005) adverte para o fato de que uma das condições para a

216

aprendizagem significativa é a construção ou utilização de um material

potencialmente significativo.

As macroavaliações ENEM, UNICAMP e ENADE colocam em evidência as

diferenças entre os estudantes que passam no vestibular da UNICAMP e,

consequentemente, dispõem dos conhecimentos prévios necessários para seguir

seus cursos no Ensino Superior, e aqueles que, mesmo tendo sido aprovados no

ENEM, muitas vezes, não têm sucesso no ENADE, ainda que os tipos de tarefas

solicitadas nessas duas provas sejam muito próximos.

Esta constatação nos conduziu a concluir que os resultados das

macroavaliações indicam que os estudantes, em sua maioria, não atribuem o

significado esperado para os conceitos matemáticos, os quais, por sua vez, são

trabalhados no Ensino Médio e revisitados no Ensino Superior.

No próximo capítulo, apresentamos os resultados do questionário sobre as

práticas institucionais associadas à noção de função exponencial trabalhadas no

Ensino Médio e Ensino Superior conforme resposta de alguns professores que

ministram aulas em uma dessas etapas de ensino ou nas duas.

217

9 ANÁLISE DAS PRÁTICAS INSTITUCIONAIS ASSOCIADAS À NOÇÃO DE

FUNÇÃO EXPONENCIAL VIA QUESTIONÁRIO DE INFORMAÇÕES


Após as análises das relações institucionais e pessoais por meio de

documentos oficiais, para melhor compreender o funcionamento do processo de

estudo e ajuda ao estudo da noção de função exponencial e suas propriedades tanto

no Ensino Médio como no Ensino Superior, elaboramos um questionário que permite

identificar as escolhas dos professores, que participaram da pesquisa, em relação

ao trabalho realizado com a noção de função exponencial e suas propriedades

assim como das expectativas dos mesmos em relação aos conhecimentos prévios

disponíveis de seus estudantes seja no final do Ensino Médio ou no inicio do Ensino

Superior.

A apresentação dos resultados será efetuada questão por questão, seguida

por meio de uma tabela, seguida de um comentário relacionando as respostas do

professores para as questões.

Foram distribuídos 150 questionários e só retornaram 20, pois existem

professores que atualmente trabalham apenas no Ensino Fundamental e outros que

não se sentiram a vontade para responder o questionário, pois não ministram

disciplinas em que a função exponencial e suas propriedades são utilizada como

objeto de estudo ou ferramenta para a solução de problemas relacionados a outros

conteúdos como, por exemplo, a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Os

professores do Ensino Médio introduzem essa noção no primeiro ano e não é

previsto uma revisita nos outros anos.

9.2 RESULTADOS

Iniciamos apresentando cada questão, seguida de uma tabela com o efetivo,

a frequência, a porcentagem e um comentário. Quando possível relacionamos o

resultado das questões já apresentadas com a que está sendo analisada.

218

Questão 1: Você atua em que níveis:

- Médio.

- Superior.

- Médio e Superior.

- Outros.

Tabela 1– Efetivo Freqüência e Porcentagem sobre etapas escolares de atuação

dos professores

Nível de

Atuação

Efetivo Frequência Porcentagem

Médio 12 0,6 60%

Superior 3 0,15 15%

Médio e

Superior

3 0,15 15%

Outros 2 0,1 10%

Total 20 1 100%

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Entre os 20 professores que responderam o questionário identificamos 12

professores do Ensino Médio, 3 do Ensino Superior, 3 do Ensino Médio e Superior e

2 de outros cursos não informados. A predominância de professores do Ensino

Médio está associada ao grupo que entregou os questionários, pois muitos desses

professores se sensibilizaram com a pesquisa por fazer parte do Programa de Pós

Graduação em Educação Matemática.

Observamos ainda, que os professores do Ensino Médio, em geral, trabalham

com o conteúdo função exponencial e suas propriedades e que somente os

professores do primeiro ano do Ensino Superior, que ministram Cálculo Diferencial e

Integral ou uma Matemática de nivelamento, algumas vezes revisitam as funções

numéricas já introduzidas no Ensino Médio.

219

Questão 2: Você introduz a noção de função exponencial ou apenas utiliza essas

funções no desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos que as envolvam?

( ) Sim ( ) Não

Tabela 2 – Professores que trabalham a noção de função exponencial

Introdução Efetivo Porcentagem

Sim 15 75%

Não 5 25%

Total 20 100%

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Entre os 20 professores que responderam ao questionário 15 professores

responderam sim para a questão. Sendo 10 sobre 12 do Ensino Médio, 2 sobre 3 do

Ensino Superior, 3 sobre 3 do Ensino Médio e Superior, 1 sobre 2 de outras etapas

escolares.

Ressaltamos aqui, que para os professores que participaram da pesquisa,

85% dos atuantes no Ensino Médio responderam sim, entre eles apenas 2 observam

que introduzem esta noção e 1 a utiliza enquanto ferramenta. Podemos supor que

os outros 7 também introduzem a noção e não sentiram necessidade de explicitar o

trabalho realizado.

Para os 75% dos professores do Ensino Superior, apenas 1 explicitou o

trabalho realizado, ou seja, introduz a noção e aplica em outros conteúdos.

É importante ressaltar que entre os 3 professores que atuam no Ensino Médio

e Superior, 100% responderam sim, mas não especificaram se a introduzem ou

utilizam como ferramenta.

Questão 3: Dadas as definições abaixo de função exponencial, qual você escolheria

para definir essa noção com os seus estudantes? Justifique.

220

Definição 1:

Revisão de potenciação

Potência com expoente natural: Dados um número real positivo a e um número

natural diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an

que é igual ao produto de n fatores iguais a a : an= a.a.a.a...a

Potência com expoente inteiro: Como a igualdade a0.a1 = a0+1 deve ser válida,

teremos a0 = 1. Assim, a única possibilidade que temos é definir a0 = 1, com a ≠

0.Em seguida, dado qualquer n N*, devemos ter, para a ≠ 0: a-n.an = a-n + n = a0 = 1.

Portanto a-n.an = 1, ou seja, n

n

aa

1

.

Potência com expoente racional: um número real positivo cuja n-ésima potência

é igual a a. Pela definição de raiz, esse número é , a raiz n-ésima de a. Logo: =

com a real positivo e n = 2,3,4,...

Potência com expoente irracional: A potência ax, com x irracional e a real positivo

é determinada por meio de aproximações de racionais. Em geral, para isso

utilizamos uma calculadora científica. Exemplo: . Tomamos as aproximações

racionais do número irracional 2 , que são: 1; 1,4; 1,41; 1,414;... e temos

definidas as potências com expoente racional 21, 21,4, 21,41, 21,414....

A medida que 1; 1,4; 1,41; 1,414;... se aproximam de 2 e 21, 21,4, 21,41, 21,414, se

aproximam de 22 .

Usando a calculadora, obtemos: 21 = 2, 21,4 = 2,639015, 21,41 = 2,657371, 21,414 =

2,664749; ...; = 2,665144...

Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a

real positivo.

Potência com expoente real: Basta lembrar que os números reais resultam da

reunião dos números racionais com os números irracionais, portanto, as potências

com números reais correspondem aos dois últimos casos acima.

Definição de função exponencial: Dado um número real a (a> 0 e a ≠ 1)

denomina-se função exponencial de base a a uma função de f de IR em *

IR

definida por f(x) = ax ou y =ax .

221

Definição 2:

Definição de função exponencial: A função f ,de IR em IR, que a cada número x

associa o número ax, a>0 e a≠1, é denominada função exponencial de base a. f :

com a> 0 e a ≠ 1

Na seqüência apresentar a seguinte revisão de potenciação:

Potência de expoente negativo: Por exemplo, 9

1

3

13

2

2 . De modo geral,

n

n

aa

1

, com a ≠ 0.

Potência com expoente fracionário ou racional: Por exemplo: 22822 2 32

3

. De modo

geral, n mn

m

aa , para a > 0 , m Z e n N*.

Potência com expoente irracional: para determiná-la devemos considerar

potências de expoentes racionais e fazer aproximações por falta e excesso.

Exemplo: 22 tem expoente irracional e, para chegar ao seu valor, devemos

considerar as potências de expoentes racionais. Tomando valores racionais

aproximados de 2 , por falta e por excesso, temos: por falta: 1; 1,4; 1,41; 1,414;...

por excesso 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143... Construímos, então, as sequências. 21,

21,4, 21,41, 21,414... e 22, 21,5, 21,42, 21,415. Os valores dessas potências tendem para um

único valor, que é definido por 22 = 21,414..

Tabela 3 – Escolha das definições dadas para introduzir função exponencial

Nível de

Atuação

Definição 1 Definição 2

Médio 8 4

Superior 2 0

Médio e

Superior

1 1

Outros 2 0

Total 13 5

Fonte: a pesquisa.

222

Discussão:

Dentre os 20 professores que participaram da pesquisa, apenas 02 não

responderam a questão. Observamos que 13 professores que trabalham esta noção

sejam no Ensino Médio, Superior ou outra etapa escolar escolheu a primeira

definição que, em geral, é a mais empregada nos livros didáticos tanto os anteriores

aos Parâmetros Curriculares Nacionais quanto os editados após PCN.

Ressaltamos que não se trata de uma definição, mas da condição de

existência da função exponencial. Em geral, quando se considera esta condição

como definição não se estuda a variação do conjunto imagem da função.

Ao utilizar a definição 2, os autores, mesmo ao explicitando que se trata da

condição de existência, apresentam um estudo da função f(x) = b + ax mostrando o

deslocamento da função em relação ao eixo y e a variação do conjunto imagem.

Dessa forma, a escolha da definição 2, que é realmente a definição de função

exponencial, exige que se estude a condição de existência e a variação do conjunto

imagem da função. Este trabalho poderá ser revisitado no Ensino Superior, quando

se introdução da noção de assíntota horizontal.

Questão 4: Que material didático você utiliza no seu curso:

3 Apostila ( ) Qual?____________________________________

4 Caderno da nova proposta do ensino público ( )

5 Livro didático. Quais? ____________________________________

6 Material próprio.

7 Outros.

223

Tabela 4 – Materiais utilizados nas aulas

Tipo de material Efetivo

Material próprio 2

Livro Didático 4

Apostila 4

Caderno 2

Caderno + livro didático 4

Caderno + material próprio 2

Outros 2

Total 20

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

A tabela acima mostra a importância do livro didático sobre os outros

materiais considerados, pois 8 professores utilizam o livro didático. Dos 6

professores que usam o Caderno da Proprosta Curricular do Estado de São Paulo, 4

utilizam outro material como complemento.

Em geral, os professores escolhem um material para trabalhar com seus estudantes,

mas 4 dos 6 professores que usam o Caderno parecem indicar a necessidade de

complementar o trabalho proposto no mesmo.

Questão 5: Que material didático você utiliza para avaliação:

Apostila ( ) Qual?_____________________________________

Caderno da nova proposta do ensino público ( )

Livro didático Qual?____________________________________

Macro-avaliações (FUVEST, ENADE, SARESP, ENEM, etc) ( )

Quais? ___________________________________________________

Outros

224

Tabela 5 – Materiais utilizados nas avaliações

Tipo de material Efetivo

Apostila 1

Caderno 2

Livro Didático 1

Macroavaliações 2

Macroavaliações + outros 1

Livro Didático + outros 1

Apostila + outros 1

Apostila + Livro Didático + Macroavaliações 1

Caderno + Macroavaliações + outros 1

Caderno + Macroavaliações + Livro Didático 2

Caderno + Material Próprio 1

Outros 6

Total 20

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Os resultados apresentados na tabela acima mostram uma grande

diversidade de escolha para as avaliações, mas, em geral, os professores são

coerentes com as escolhas feitas para suas aulas. Apenas as macroavaliações são

mais constantes, o que é compreensível uma vez que os estudantes do Ensino

Médio são avaliados anualmente e os do Ensino Superior a cada três anos.

Questão 6: Seus alunos podem utilizar calculadora em:

aula;

prova;

aula e prova;

nem aula, nem prova.

Que tipo de calculadora: ________________________________________

225

Tabela 6 – Momentos do uso da calculadora

Momentos do uso da calculadora Efetivo

Aula 6

Prova 0

Aula e prova 7

Nem aula, nem prova 7

Total 20

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Observamos que ainda existem professores que não utilizam a calculadora

em aula, o que pode dificultar o trabalho com os números decimais e irracionais.

Ressaltamos ainda, que entre os professores que permitem o uso da

calculadora apenas 5 identificam a necessidade que a calculadora seja cientifica.

Quando os autores Dante (2010), definição 1 e Stocco e Diniz (2010),

definição 2, revisitam a noção de potenciação para os diferentes conjuntos

numéricos, os mesmos colocam em evidência a necessidade do uso de uma

calculadora científica para determinar por aproximação a potência de expoente

irracional.

Questão 7: Quantas aulas você utiliza para desenvolver a noção de função

exponencial? Você define logaritmo e função logarítmica?

Tabela 7 – Quantidade de aulas

Quantidade de aulas Efetivo

1 aula 1

de 2 a 4 aulas 7

de 5 a 7 aulas 3

12, 14, 15 e 21 4

2 meses 1

Não responderam 4

Total 20

Fonte: a pesquisa.

226

Discussão:

Os resultados indicados na tabela acima mostram uma grande diversidade da

quantidade de aulas para se desenvolver o conteúdo associado à noção de função

exponencial. Podemos supor que esta variação está relacionada às necessidades

em termos de revisita de conhecimentos prévios dos estudantes e as exigências em

termos do estudo das propriedades da função exponencial, da introdução da noção

de logaritmos e das aplicações consideradas no curso e finalmente do tempo

estipulado pela instituição.

Questão 8: Escolha os tipos de exercícios você trabalha com seus estudantes:

- reconhecimento de uma função exponencial; (a)

- construção e interpretação do gráfico da função exponencial; (b)

- situações contextualizadas envolvendo a noção de função exponencial; (c)

- calcular o valor numérico para funções com base natural positiva e expoentes

inteiros; (d)

- calcular o valor numérico para funções com base racional e irracional positiva e

diferente da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais; (e)

- relação entre função exponencial, progressão geométrica e juros compostos; (f)

- definição de logaritmo; (g)

- definição e propriedades de logaritmos; (h)

- função logarítmica e sua representação gráfica; (i)

- limite, derivada e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. (j)

- Outros (k)

227

Tabela 8 – Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio

Tipo de exercício Ensino Médio Efetivo

(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k) 2

(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) 3

(a), (b), (c), (d), (f), (g), (h), (i) 2

(b), (c), (e), (f), (g), (h), (i) 1

(a), (b), (c), (d), (g), (h), (i) 1

(a), (c), (f), (g), (h) 1

(b), (c), (h), (i) 1

(c), (f), (g) 1

Total 12

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Os resultados apresentados na tabela acima mostram que os professores do

Ensino Médio procuram abranger a maioria dos tipos de exercícios que, em geral,

são propostos nos livros didáticos do Ensino Médio.

Considerando as respostas dadas, observamos que a ênfase é dada as

situações contextualizadas conforme proposta dos Parâmetros Curriculares

Nacionais, além disso, podemos considerar que a escolha se centraliza nas

aplicações da função exponencial com as noções de juros progressão geométrica.

Como podíamos esperar, o cálculo do valor numérico com base natural

positiva e expoentes inteiros, a construção de gráfico e a noção de logaritmo, suas

propriedades e função logarítmica e sua representação gráfica são tarefas inseridas

no trabalho dos professores do Ensino Médio.

O trabalho com as funções com base racional e irracional positiva e diferente

da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais é considerado apenas por 6

professores do Ensino Médio e o estudo do limite, derivada e integral por 2

professores.

Na realidade, para o trabalho com as funções com base racional e irracional,

podemos ponderar que alguns professores não tratam esta questão por

considerarem que seus estudantes não estão devidamente preparados para

compreender a representação dos números reais.

228

Observamos aqui a questão da introdução do conjunto dos números reais,

que não é bem compreendida pelos estudantes, conforme dissertação de Gouveia

(2007) que mostra a dificuldade dos estudantes de determinarem valor de x, a partir

do gráfico de uma função que representa uma situação contextualizada, num

determinado intervalo sobre IR.

Em relação às noções de limite, derivada e integral, não existe orientação

para o trabalho com as funções exponenciais no Ensino Médio nos Parâmetros

Curriculares Nacionais. Logo, trata-se de uma escolha do professor em função dos

estudantes com os quais está trabalhando.

Tabela 9 – Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio e Superior e

Superior

Tipo de exercício Ensino Médio e Superior e

Superior

Efetivo

(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) 1

(a), (b), (c), (f), (g), (h), (i), (j) 1

(a), (b), (c), (d), (f), (g), (h), (i), (j) 3

Não respondeu 1

Total 6

Fonte: a pesquisa.

A análise das respostas dos professores dos Ensinos Médio e Superior e

Superior mostra mais uma vez que a maior dificuldade está no trabalho com a

função exponencial para o caso em que a base é racional e irracional positiva e

diferente da unidade e os expoentes racionais e/ou irracionais.

Todos os tipos de tarefas trabalhadas pelos professores do Ensino Médio são

revisitadas pelos professores do Ensino Superior que também utilizam a função

exponencial como ferramenta explicita para o desenvolvimento das noções de limite,

derivada e integral, mesmo se apenas um dos professores que responderam o

questionário trabalha as potências de base irracional.

229

Tabela 10 – Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo professores do

Ensino Médio

Conhecimentos consolidados e a consolidar –

professores do Ensino Médio

Efetivo

Potenciação e propriedades 6

Construção e Análise do gráfico 2

Situações contextualizadas 2

Definição de função exponencial e suas

propriedades e gráfico

1

Não respondeu 1

Total 12

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Dos 12 professores do Ensino Médio, apenas 1 não respondeu a questão.

A análise das respostas coloca em evidência a necessidade de revisitar a noção de

potenciação e suas propriedades, a definição de função exponencial e o estudo de

suas propriedades, a construção e análise de seu gráfico.

Apenas 2 professores, dos 11 que responderam a questão, propõem que

se trabalhe com situações contextualizadas. Neste caso, estas situações podem

corresponder a utilização da função exponencial como ferramenta explicita para a

solução de tarefas intramatemáticas e extramatemáticas.

Questão 9: O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que

é preciso consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção

de função exponencial? (apenas para professores do ensino médio)

230


Ensino Médio



Efetivo


Construção e Análise do gráfico 2

Situações contextualizadas 2

Definição de função exponencial e suas


1

Não respondeu 1

Total 12

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Dos 12 professores do Ensino Médio, 01 não respondeu a questão. A análise

das respostas coloca em evidência a necessidade de revisitar a noção de

potenciação e suas propriedades, a definição de função exponencial e o estudo de

suas propriedades, a construção e análise de seu gráfico.

Apenas 2 professores, dos 11 que responderam a questão, propõem que se

trabalhe com situações contextualizadas. Neste caso, estas situações podem

corresponder a utilização da função exponencial como ferramenta explicita para a

solução de tarefas intramatemáticas e extramatemáticas.

Questão 10: O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é

preciso consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de

função exponencial? (apenas para professores do ensino superior)

231


Ensino Superior


professores do Ensino Médio Superior

Efetivo


Definição de função exponencial suas


1

Não respondeu 4

Total 6

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Dos 6 professores do Ensino Superior que responderam o questionário,

apenas 2 consideram necessário revisitar a noção de função exponencial e suas

propriedades.

Os três professores do Ensino Superior não responderam a questão,

podemos supor aqui que os mesmos ou não trabalham com este conteúdo e suas

aplicações ou que não têm claro quais os conhecimentos sobre a função

exponencial e suas propriedades são desenvolvidos no Ensino Médio.

Observamos ainda que, dos dois professores que trabalham em outras etapas

escolares apenas 1 respondeu a questão e considerou a necessidade de revisitar a

noção de potenciação, de definir função exponencial, seu gráfico e suas

propriedades.

Questão 11: Por quais motivos você não trabalha ou não trabalharia a noção

de função exponencial e/ou logarítmica ?

232

Tabela 13 – Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial segundo


Motivos de não trabalhar a noção de função

exponencial e/ou logarítmica – professores do

Ensino Médio

Efetivo

Para estudantes da área de humanas 1

Sem motivos 7

Não respondeu 4

Total 12

Fonte: a pesquisa.

Discussão:

Os professores parecem considerar a noção de função exponencial

importante e que a mesma deve ser trabalhada no Ensino Médio, pois mesmo

aquele que responde que para os estudantes da área de humanas poderia não

introduzir esta noção, termina fazendo uma ressalva que a considera importante

mesmo neste caso.

Tabela 14 – Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial segundo

professores do Ensino Médio e Superior e Superior

Motivos de não trabalhar a noção de função

exponencial e/ou logarítmica – professores do

Ensino Médio e Superior e Superior

Efetivo

Não estar no programa 1

Sem motivos 2

Não respondeu 3

Total 6

Fonte: a pesquisa.

233

Discussão:

Os professores do Ensino Superior confirmam os resultados encontrados para

os estudantes do Ensino Médio, isto é, para eles a noção de função exponencial é

importante e só não a utilizam quando não fizer parte do programa.

Para os dois professores da categoria outros, encontramos as mesmas

respostas indicadas pelos professores do Ensino Médio.


Apesar do número reduzido de questionários, podemos supor que a noção de

função exponencial, seu gráfico e suas propriedades, em geral, podem provocar

dificuldades para os estudantes que iniciam o Ensino Superior, pois a mesma é

tratada com maior ou menor profundidade dependendo do tempo de lhe é dedicado.

Os professores do Ensino Médio reconhecem a necessidade de revisitar esta

noção quando de sua utilização no Ensino Superior, mesmo se eles já a

introduziram seguindo as orientações oficiais e fizeram o possível para que os

estudantes se apropriassem desta noção da melhor forma possível.

Mas, a escolha, pela maioria, dos professores que responderam ao

questionário, da condição de existência para a definição de função exponencial, nos

permite ressaltar que as tarefas do tipo FUVEST 2011 ou de provas do vestibular da

UNICAMP devem representar bastante dificuldade para alguns estudantes, em

particular, para aqueles que tiveram apenas 6 ou 7 aulas dedicadas ao estudo de

noção exponencial.

As respostas dos professores ao questionário colocam em evidência a

diversidade de relações institucionais e mesmo que não tenha sido explicitado pelos

professores, o trabalho por eles realizado está sujeito à restrições que limitam o seu

desenvolvimento.

Observamos ainda que os professores, em geral, utilizam diferentes meios

para auxiliar seus estudantes no processo de estudo e ajuda ao estudo relacionado

à noção de função exponencial.

234

O uso da calculadora precisa ser discutido, pois torna-se uma ferramenta

facilitadora para a introdução da noção de função exponencial, principalmente em

relação ao cálculo de potência com expoente irracional.

235

10 CONCLUSÃO

Apresentamos neste capítulo algumas considerações conclusivas, a partir das

informações obtidas nos capítulos anteriores desta tese. Buscamos, assim,

responder as seguintes questões que, conforme anunciado na introdução,

conduziram a presente pesquisa.

1) Quais os conhecimentos matemáticos necessários para compreender a

noção de função exponencial no Ensino Médio e no Ensino Superior a fim de

poder aplicá-la de forma eficaz ?

2) Sobre que níveis de conhecimento é possível fundamentar essas

necessidades: técnicos, mobilizáveis ou disponíveis?

3) Em que sistema de tarefas e práticas podem ser desenvolvidos esses

três níveis de conhecimento?

4) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o

desenvolvimento da noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino

Superior?

5) Quais as expectativas institucionais sobre as relações pessoais

desenvolvidas pelos estudantes para a noção de função exponencial? Elas

estão em conformidade com as relações institucionais existentes?

6) Qual a expectativa dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior

sobre a noção de função exponencial em relação aos conhecimentos prévios

dos estudantes que ingressam na universidade?

Ao longo deste trabalho, ancoramo-nos na tentativa de melhor justificar as

escolhas e compreender os diferentes processos de estudo e ajuda ao estudo que

sobrevivem e se reconstroem atualmente na transição entre o Ensino Médio e

Ensino Superior, quando se considera a noção de função exponencial. Tal escolha

de pesquisa visou possibilitar que os professores disponham de material para

reflexão a fim de que, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos

236

prévios de seus estudantes, possam realizar escolhas mais conscientes e, assim,

conduzir o processo de ensino e de aprendizagem de maneira satisfatória.

Uma forma dessa pesquisa chegar aos professores seria sua utilização em

cursos de formação inicial e continuada em que se discutisse diferentes formas de

trabalho com a noção de função exponencial. Nesse momento, pode-se dar ênfase

às diferentes técnicas e tecnologias em jogo e as possibilidades de aplicação das

mesmas para grupos de estudantes distintos.

Dessa maneira, permitir-se-á que os estudantes sejam capazes de mobilizar

seus conhecimentos prévios e utilizá-los de forma disponível quando necessário,

podendo, assim, enriquecê-los quando esses são usados como ferramentas

explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções. Para tanto,

escolhemos um referencial teórico que foi sendo utilizado durante o trabalho,

auxiliando a encontrar indícios para esclarecimento das questões anteriormente

apresentadas e de outras indagações que apareceram naturalmente.

Após a revisão de alguns trabalhos que tratam mais especificamente da

noção de função, outros cujo objeto de estudo é a geometria analítica, a álgebra

linear, as matrizes, os sistemas lineares e as pesquisas mais teóricas sobre a

transição, como a de Gueudet (2008), situamos esta pesquisa, mais particularmente,

sobre o olhar centrado na instituição. Isto porque concordamos com a observação

apresentada por Gueudet (2008) que ressalta a diferença entre a matemática

praticada no Ensino Médio e a praticada no Ensino Superior.

Essa seleção nos conduziu a centrar nosso referencial teórico na Teoria

Antropológica do Didático – TAD, para a qual consideramos as noções de relações

institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não ostensivos e os níveis de co-

determinação, conforme definição de Chevallard (1992), 1994, 1998, 2002, 2002a,

2007, 2007a) e Bosch e Chevallard (1999), nos três níveis de conhecimento

esperados dos estudantes, segundo definição de Robert (1997, 1998), bem como a

noção de quadro e mudança de quadros de Douady (1984, 1992).

O referencial teórico escolhido nos auxiliou, em primeiro lugar, a analisar a

evolução das relações institucionais esperadas, cujo trabalho foi desenvolvido por

meio da identificação dos níveis de co-determinação nos documentos oficiais do

Ensino Médio e Superior que compõem o sistema de ensino. A análise desses

documentos colocou em evidência a liberdade da escola para a construção de seu

projeto pedagógico do Ensino Médio, essa nova forma de trabalho é proposta a

237

partir Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96 e do Plano Nacional de

Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Bases), lei n° 10122 de 2001. Isto

permite que os professores tenham liberdade para atuar já no nível escola e não no

nível setor como indicam os estudos de Chevallard (2007, 2007a).

Observamos que para o Ensino Médio esta liberdade não foi bem

compreendida pelos diferentes educadores em nível nacional, em particular, pelos

professores que não dispunham de material suficiente para compreendê-la. Assim,

foram publicados novos documentos onde se encontravam exemplos específicos

para a construção de material que possibilitasse a articulação dos conteúdos

matemáticos na própria matemática e nas outras ciências.

Nesse sentido, ressaltamos o caso de São Paulo que, a partir de 2008,

introduziu uma Proposta Curricular em que os temas associados a cada setor

fossem organizados por meio de situações que possibilitam a interdisciplinaridade e

a flexibilidade de conteúdos. Em outras palavras, isto significa que o professor fica

limitado ao nível tópico.

Essa Proposta foi transformada em Currículo Oficial do Estado de São Paulo

a partir de 2010. É importante ressaltar que o trabalho proposto nos Cadernos do

Professor e do Aluno, os quais compõem a Proposta, não nos parece suficiente para

a introdução da noção de função exponencial. Isto porque é exigida a

complementação do material pelo professor, o qual, muitas vezes, não recebe o

material em tempo hábil, ficando a seu cargo a escolha da abordagem a ser

considerada.

Em relação ao Ensino Superior, verificamos que, para as universidades

analisadas, os planos de ensino deixam evidente a falta de articulação entre a noção

de função exponencial e sua utilização como ferramenta explícita para o

desenvolvimento de questões da própria matemática e das outras ciências.

Para os cursos analisados, apenas o curso de Licenciatura em Matemática do

Centro Universitário da Fundação Santo André considera a revisita de conteúdos, os

quais se supõe que tenham sido desenvolvidos no Ensino Médio, articulada com os

novos conhecimentos a serem introduzidos na disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral. Consideramos este modo de trabalho como a forma mais adequada para

essa revisita, pois associa conhecimentos prévios a novos conhecimentos, o que,

segundo Moreira (2005), faz com que o novo conhecimento adquira significado para

238

o aprendiz e o conhecimento prévio fica mais rico, diferenciado, elaborado em

termos de significados, o que dá mais estabilidade aos discentes.

Após a identificação das relações institucionais esperadas, construímos uma

grade de análise, a qual constituiu o instrumento que permitiu responder as três

primeiras questões que colocamos inicialmente.

Assim, para a primeira questão, identificamos que as noções de conjuntos

numéricos, suas operações e propriedades, de potência e suas propriedades,

equações do primeiro e segundo grau e equações exponenciais, inequações

exponenciais, definição de função, domínio, contra-domínio e imagem de uma

função, definição de função exponencial, a noção de gráfico da função exponencial

e sua interpretação, as propriedades de continuidade, monotonicidade e sobrejetora,

injetora e bijetora para as funções de uma variável real a valores reais, e a noção de

limite no infinito como as funções que correspondem aos conhecimentos

necessários para compreender a noção de função exponencial no Ensino Médio e

Ensino Superior, a fim de que os alunos possam ser capazes de aplicá-la enquanto

conhecimento prévio disponível quando necessário.

Ressaltamos ainda que desenvolver as técnicas associadas à noção de

potência e suas propriedades facilita a passagem da representação algébrica

explícita (fórmula) de uma função exponencial para a representação gráfica, uma

vez que os estudantes dispõem das regras e leis do cálculo numérico em relação ao

conjunto dos naturais, inteiros, racionais e irracionais. Isto permite aplicar os valores

numéricos na variável independente para determinação da variável dependente na

fórmula da função exponencial e, assim, construir o gráfico da mesma. Esse

conhecimento também serve como ferramenta explícita para a resolução de

equações e inequações exponenciais e situações-problema que envolvem essa

função. Desse modo, articular diferentes sistemas de representação e reconhecer

relações entre várias representações da função exponencial são conhecimentos

necessários para poder identificar sua similaridade com novos conceitos.

A grade nos auxiliou ainda a determinar um sistema de tarefas e práticas que

podem ser consideradas como as técnicas que permitem solucionar essas tarefas.

Encontramos um número reduzido de tarefas, isto é, 11 tarefas, para as quais as

técnicas associadas estão relacionadas à aplicação da noção de potência e suas

propriedades, resolução de uma equação exponencial, reconhecer uma função

exponencial, efetuar a conversão de suas representações, identificar as

239

propriedades de uma função exponencial por meio de sua representação algébrica

e/ou gráfica, determinar o valor numérico de uma função exponencial dada por meio

de sua representação algébrica e representar graficamente uma função exponencial.

Ressaltamos aqui que o trabalho com a noção de função exponencial

desenvolvido no Ensino Médio é centrado na definição de potência, na definição de

função exponencial e suas representações, sendo considerada como conhecimento

prévio disponível ao final do Ensino Médio a passagem da representação na forma

algébrica (fórmula) para a representação gráfica. Como se pôde perceber, não é

dada ênfase à passagem do gráfico para a fórmula, apenas considera-se necessário

dispor de conhecimentos sobre a interpretação do gráfico de uma função

exponencial.

Em geral, no Ensino Superior, supõe-se que os conhecimentos dos

estudantes sobre a noção de função exponencial, suas representações e

propriedades, possibilitem a identificação da mesma como modelo matemático para

resolver questões intra e extramatemáticas.

Em relação às obras analisadas, as quais correspondem às relações

institucionais existentes, observamos que os livros didáticos de Dante (2010) e

Stocco e Diniz (2010) estão de acordo com as propostas institucionais esperadas,

pois os mesmos dão ênfase à definição e às propriedades de uma função

exponencial assim como a suas representações algébrica e gráfica. Observamos

ainda que esses livros permitem uma seleção mais adequada ao nível dos

estudantes das estratégias de trabalho com a noção de função exponencial.

Dos dois livros analisados para o Ensino Superior, constatamos que a obra de

Stewart (2011) corresponde a um estudo que não deveria colocar muitas

dificuldades para os estudantes que dispõem dos conhecimentos desenvolvidos nas

obras analisadas para o Ensino Médio. Fazemos esta afirmação porque se trata de

uma utilização das ferramentas introduzidas no Ensino Médio para a ampliação de

conhecimentos associados à noção de função exponencial no Ensino Superior.

Já a obra de Lima et al. (1997) nos parece mais adequada aos estudantes

que dispõem dos conhecimentos sobre a noção de função exponencial

desenvolvidos no Ensino Médio, da sua utilização enquanto ferramenta para a

introdução das noções de Cálculo Diferencial e Integral, para aplicação em outros

contextos matemáticos e extramatemáticos de forma que propriedades da mesma

possam ser justificadas por meio da articulação com outros conhecimentos. Trata-se

240

de uma obra importante para aqueles que procuram esclarecer algumas dúvidas no

momento de preparar suas aulas, uma vez que as propriedades das funções, em

particular da função exponencial, são demonstradas por meio de teoremas.

Observamos aqui que o ostensivo de representação mais utilizado pelos autores é o

ostensivo de representação algébrico intrínseco (y = a x), o que está de acordo com

sua proposta de trabalho. Em alguns momentos, os autores fazem uso do ostensivo

de representação gráfico para visualização das propriedades demonstradas.

Em relação às expectativas institucionais para as relações pessoais

desenvolvidas pelo estudantes que terminam o Ensino Médio e aqueles que

terminam o Ensino Superior, verificamos que as mesmas são coerentes com as

propostas institucionais quando se consideram as tarefas do Exame Nacional do

Ensino Médio – ENEM, do vestibular da Universidade de Campinas – UNICAMP e

do Exame Nacional de Avaliação do Ensino Superior – ENADE.

Destacamos que, para o ENEM (2009, 2010, 2011), são encontradas cinco

questões que correspondem às tarefas habituais identificadas na grade de análise,

sendo que entre essas cinco questões três exigem o nível técnico e duas o nível

disponível em relação às noções identificadas como necessárias para a introdução

da noção de função exponencial.

Para o vestibular da UNICAMP, entre 2002 e 2011, encontramos nove

questões que correspondem às tarefas usuais identificadas na grade de análise,

sendo que, em uma mesma questão, podemos associar mais de uma das tarefas

apresentadas na grade de análise. Além disso, constatamos que, das nove questões

identificadas, cinco exigem o nível mobilizável e quatro o nível disponível em relação

às noções identificadas como necessárias para a introdução da noção de função

exponencial.

Finalmente, para o ENADE (2005, 2008, 2011), encontramos duas questões

relativas aos anos de 2008 e 2011 que tratam das noções que envolvem a noção de

função exponencial. Esses dois exemplos exigem o nível mobilizável em relação à

noção de função exponencial e o nível disponível em relação às propriedades e

representações da função exponencial e a resolução de equações e inequações.

Quanto às expectativas dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior,

para as quais construímos um questionário que foi discutido com a pesquisadora

Michèle Artigue, o número de questionários avaliados não nos permitiu determinar

241

os conhecimentos prévios supostos adquiridos e aqueles que os estudantes são

realmente capazes de utilizar espontaneamente.

Podemos considerar que o baixo número de questionários avaliados parece

ao momento em que se introduz a noção de função exponencial no Ensino Médio.

Assim, seria mais interessante repensar quais conteúdos são importantes para

serem desenvolvidos no Ensino Médio de forma que os estudantes sejam capazes

de aplicá-los de forma autônoma.

Assim, voltamos à questão da autonomia das escolas na construção de seus

projetos pedagógicos, pois, nesse caso, os professores poderiam identificar os

conhecimentos prévios de seus estudantes nas diferentes séries do Ensino Médio e

propor a introdução da noção de função exponencial no momento mais adequado.

Essa mesma proposta vale para o Ensino Superior.

Na realidade, o baixo número de respostas nos conduz a colocar a seguinte

questão: “Como resolver o problema atualmente muito divulgado pela imprensa que

é o baixo desempenho dos estudantes que terminam o Ensino Médio, em particular,

em relação aos conhecimentos matemáticos que se supõem disponíveis ao final

dessa etapa escolar?”.

Assim, duas novas questões se colocam para serem estudadas “Quais

conteúdos matemáticos podem ser desenvolvidos plenamente no Ensino Médio e

quais seriam deixados para serem trabalhados no Ensino Superior?” e “Devemos

dar ênfase à quantidade ou à qualidade dos conteúdos matemáticos propostos para

serem desenvolvidos no Ensino Médio?”. Essas questões servem como reflexão

para professores e educadores no momento em que realizam seus planejamentos e

planos de ensino e para considerá-las é preciso que os mesmo tenham um

levantamento detalhado dos conhecimentos prévios dos diferentes grupos de

estudantes de forma a desenvolver um trabalho que tenha sentido e interesse para

cada grupo considerado.

Observamos, por fim, que a determinação de mecanismos específicos para o

desenvolvimento da noção de função exponencial não está dissociada dos

conhecimentos prévios disponíveis dos grupos de estudantes com os quais

trabalhamos. Esses mecanismos podem variar de uma classe para a outra em uma

mesma escola.

Diante dessas constatações, compreendemos que é preciso garantir a

utilização de diferentes meios no processo de estudo e ajuda ao estudo por parte

242

dos professores, bem como é necessário que os estudantes cumpram o seu papel,

isto é, que eles participem das diferentes atividades propostas pelo grupo no qual

estão inseridos.

243

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http://www.comvest.unicamp.br/vest_anteriores/vest_ant.html

257

ANEXOS

ANEXO A – Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas

à noção de função exponencial e logarítmica no Ensino Médio e Superior.

Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas à noção de

função exponencial e logarítmica no Ensino Médio e Superior.

1) Você atua em que níveis:

a) Médio;

b) Superior;

c) Médio e Superior.

d) Outros

2) Você introduz a noção de função exponencial e/ou logarítmica ou apenas

utiliza essas funções no desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos que as

envolvam?

( ) Sim ( ) Não

3) Dadas as definições abaixo de função exponencial, qual você escolheria para

definir essa noção com os seus estudantes? Justifique.

Definição 1:

Revisão de potenciação

Potência com expoente natural: Dados um número real positivo a e um número

natural diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an

que é igual ao produto de n fatores iguais a a : an= a.a.a.a...a

Potência com expoente inteiro: Como a igualdade a0.a1 = a0+1 deve ser válida,

teremos a0 = 1. Assim, a única possibilidade que temos é definir a0 = 1, com a ≠

0.Em seguida, dado qualquer n N*, devemos ter, para a ≠ 0: a-n.an = a-n + n = a0 = 1.

Portanto a-n.an = 1, ou seja, n

n

aa

1 .

258

Potência com expoente racional: um número real positivo cuja n-ésima potência

é igual a a. Pela definição de raiz, esse número é , a raiz n-ésima de a. Logo: =

com a real positivo e n = 2,3,4,...

Potência com expoente irracional: A potência ax, com x irracional e a real positivo

é determinada por meio de aproximações de racionais. Em geral, para isso

utilizamos uma calculadora científica. Exemplo: . Tomamos as aproximações

racionais do número irracional 2 , que são: 1; 1,4; 1,41; 1,414;... e temos

definidas as potências com expoente racional 21, 21,4, 21,41, 21,414....

A medida que 1; 1,4; 1,41; 1,414;... se aproximam de 2 e 21, 21,4, 21,41, 21,414,

se aproximam de 22 .

Usando a calculadora, obtemos: 21 = 2, 21,4 = 2,639015, 21,41 = 2,657371, 21,414 =

2,664749; ...; = 2,665144...

Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a

real positivo.

Potência com expoente real: Basta lembrar que os números reais resultam da

reunião dos números racionais com os números irracionais, portanto, as potências

com números reais correspondem aos dois últimos casos acima.

Definição de função exponencial: Dado um número real a (a> 0 e a ≠ 1)

denomina-se função exponencial de base a a uma função de f de IR em *

IR

definida por f(x) = ax ou y =ax .

Definição 2:

Definição de função exponencial: A função f ,de IR em IR, que a cada número x

associa o número ax, a>0 e a≠1, é denominada função exponencial de base a. f :

com a> 0 e a ≠ 1

Na seqüência apresentar a seguinte revisão de potenciação:

Potência de expoente negativo: Por exemplo, 9

1

3

13

2

2 . De modo geral,

n

n

aa

1 , com a ≠ 0.

Potência com expoente fracionário ou racional: Por exemplo:

22822 2 32

3

. De modo geral, n mn

m

aa , para a > 0 , m Z e n N*.

259

Potência com expoente irracional: para determiná-la devemos considerar

potências de expoentes racionais e fazer aproximações por falta e excesso.

Exemplo: 22 tem expoente irracional e, para chegar ao seu valor, devemos

considerar as potências de expoentes racionais. Tomando valores racionais

aproximados de 2 , por falta e por excesso, temos: por falta: 1; 1,4; 1,41; 1,414;...

por excesso 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143... Construímos, então, as sequências .21,

21,4, 21,41, 21,414... e 22, 21,5, 21,42, 21,415. Os valores dessas potências tendem para um

único valor, que é definido por 22 = 21,414..

4) Que material didático você utiliza no seu curso:

a) Apostila ( ) Qual?____________________________________

b) Caderno da nova proposta do ensino público ( )

c) Livro didático Quais? ____________________________________

d) Material próprio.

e) Outros.

5) Que material didático você utiliza para avaliação:

a) Apostila ( ) Qual?_____________________________________

b) Caderno da nova proposta do ensino público ( )

c) Livro didático Qual?____________________________________

d) Macro-avaliações (FUVEST, ENADE, SARESP, ENEM, etc) ( )

Quais? ___________________________________________________

e) Outros.

6) Seus alunos podem utilizar calculadora em:

a) aula;

b) prova;

c) aula e prova;

d) nem aula, nem prova.

Que tipo de calculadora:

260

7) Quantas aulas você utiliza para desenvolver a noção de função exponencial?

Você define logaritmo e função logarítmica?

8) Escolha os tipos de exercícios você trabalha com seus estudantes:

- reconhecimento de uma função exponencial;

- construção e interpretação do gráfico da função exponencial;

- situações contextualizadas envolvendo a noção de função exponencial;

- calcular o valor numérico para funções com base natural positiva e expoentes

inteiros;

- calcular o valor numérico para funções com base racional e irracional positiva e

diferente da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais;

- relação entre função exponencial, progressão geométrica e juros compostos;

- definição de logaritmo;

- definição e propriedades de logaritmos;

- função logarítmica e sua representação gráfica;

- limite, derivada e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.

- Outros

9) O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é preciso

consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de função

exponencial? (apenas para professores do ensino médio)

10) O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é preciso

consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de função

exponencial? (apenas para professores do ensino superior)

11) Por quais motivos você não trabalha ou não trabalharia a noção de função

exponencial e/ou logarítmica ?

261

ANEXO B – Exemplo Vestibular FUVEST 2011

Seja f(x) = a+2bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem

de f é a semireta ]–1, [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos

(1, 0) e (0, -3/4). Então o produto a.b.c vale:

a) 4 b) 2 c) 0 d) –2 e) –4

Figura 25 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011. Fonte: FUVEST –1 ª fase (2011).

262

ANEXO C - Resposta questão vestibular FUVEST 2011 - º fase

Figura 26 - Resposta do cursinho da Poli da questão vestibular. Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).

263

Figura 27 - Resposta do cursinho Objetivo da questão vestibular. Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).

264

ANEXO D - Questão 9 2º Fase UNICAMP 2003

Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média

Figura 28 - Resposta esperada da questão 9. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).

Figura 29 - Resposta acima da média da questão 9. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).

265

Figura 30 - Resposta abaixo da média da questão 9. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).

266

ANEXO E - Questão 7 2º Fase UNICAMP 2004




267


268

ANEXO F - Questão 7 2º Fase UNICAMP 2005



Figura 35 - Resposta acima da média questão 7. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2005).

269

Figura 36 - Resposta abaixo da média questão 7. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2005).

270

ANEXO G - Questão 6 2º Fase UNICAMP 2006


Figura 37 - Resposta esperada questão 6. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006)

Figura 38 - Resposta acima da média questão 6. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006).

271

Figura 39 - Resposta abaixo da média questão 6. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006).

272

ANEXO H - Questão 10 2º Fase UNICAMP 2007


Figura 40 - Resposta esperada questão 10. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2007).


273

Figura 42 - Resposta abaixo da média da questão 10. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2º fase (2007).

274

ANEXO I - Questão 07 2º Fase UNICAMP 2009


Figura 43 - Resposta esperada questão 7. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2009).


275


276

ANEXO J - Questão 07 2º Fase UNICAMP 2010




277


278

ANEXO K - Questão 12 2º Fase UNICAMP 2010




279


280

ANEXO L - Questão 17 2º Fase UNICAMP 2011



Figura 53 - Resposta acima da media da questão 17. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).

281

Figura 54 - Resposta abaixo da media da questão 17. Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).

282

ANEXO M - Questão 21 2º Fase UNICAMP 2011




283


284

ANEXO N – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Título da Pesquisa: “AS POSSÍVEIS ARTICULAÇÕES DAS NOÇÕES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR”

Pesquisadora: Sirlene Neves de Andrade

Orientadora: Marlene Alves Dias

O sra (sr.)____________________________________________ está sendo convidada (o) a

participar desta pesquisa que tem como objetivo é estudar a noção de função exponencial na

transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes processos de

estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se reconstroem atualmente nessas etapas escolares.

Pretende-se, com isto, possibilitar que os professores disponham de material para reflexão a fim de

que, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus estudantes, possam

realizar escolhas mais conscientes e, assim, conduzir esse processo de maneira satisfatória,

permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos prévios e utilizá-los de

forma disponível quando necessário, podendo, assim, enriquecê-los quando esses são usados como

ferramentas explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções.

Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora realize seu trabalho. A sra

(sr.) tem liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer

fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais

informações sobre a pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto e, se necessário

através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.

Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os

procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres

Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos

procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.

Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente

confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão conhecimento dos dados.

Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum benefício direto.

Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre os conhecimentos

associados à noção de função exponencial supostos disponíveis pelos professores do Ensino Médio

e Superior, de forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa servir de

apoio para a aplicação dessa mesma noção na introdução de novos conhecimentos matemáticos no

Ensino Superior em função dos conhecimentos prévios dos estudantes. Este estudo será publicado

285

em congressos e revistas nacionais e internacionais e, além disso, o pesquisador se compromete a

divulgar os resultados obtidos aos participantes da pesquisa.

Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa, bem

como nada será pago por sua participação.

Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para participar

desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro que recebi cópia deste

termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados

obtidos neste estudo.

Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.

Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida, manifesto meu

consentimento em participar da pesquisa

______________________________

Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa

__________________________________

Sirlene Neves de Andrade

___________________________________

Marlene Alves Dias

Pesquisador: Sirlene Neves de Andrade, RG 20. 496. 692, TELEFONE PARA CONTATO: (11) 3442

4242

e-mail: [email protected]

Orientador: Marlene Alves Dias, RG 6.148.297, TELEFONE PARA CONTATO: (11) 5631 9002

e-mail: [email protected]

Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000

E-mail: [email protected]

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expectativas institucionais relacionadas à transição entre o ensino