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Experimento: Pêndulo Simples

Introdução

O pêndulo simples é um sistema mecânico ideal constituído de uma partícula de

massa m suspensa por um fio inextensível e sem massa de comprimento L, conforme

mostrado na Fig. 1. Quando o pêndulo está em repouso (Fig. 1a), as duas forças que agem

sobre a partícula, o seu peso (mg) e a tensão aplicada pelo fio (τ), se equilibram. Porém, se o

pêndulo for afastado de sua posição de equilíbrio (Fig. 1b), de modo que a direção do fio faça

um ângulo θ com a vertical, o componente do peso perpendicular ao fio, de módulo

P⊥=mgSenθ, agirá no sentido de restaurar o equilíbrio, fazendo o pêndulo oscilar, sob a ação

da gravidade.

Figura 1 - (a) Pêndulo simples em repouso. (b) Pêndulo simples em pequenas oscilações.

Todo movimento oscilatório é caracterizado por um período T, que é o tempo

necessário para se executar uma oscilação completa. Para pequenas amplitudes de oscilação,

tais que Senθ≈θ (θ < 15º), o período de oscilação do pêndulo simples não depende do ângulo

θ, e é dado pela equação:

2L

Tg

em que g é a aceleração local da gravidade. A demonstração desse resultado requer

conhecimento de matemática de nível superior ao exigido nesta disciplina mas,

experimentalmente, é simples ser verificado.

Elevando ao quadrado os dois lados desta equação, obtemos a seguinte expressão:

2

2 2

2

44 .

L LT g

g T

O pêndulo simples é um sistema mecânico caracterizado pelo seu período T, e este,

por sua vez, depende apenas dos parâmetros L e g, para pequenas oscilações.

Usando os valores do comprimento do pêndulo e do período, junto com as incertezas

desses, é possível calcular a melhor estimativa de g e a melhor estimativa da incerteza.

2

Experimento 1: Pêndulo simples de comprimento fixo

O resultado de uma medida possui uma incerteza que decorre da limitação da precisão

de qualquer instrumento de medida utilizado. De um modo geral, se a menor divisão de um

instrumento de medida é Δx, haverá um incerteza de 0,5Δx. Por exemplo, se usamos uma

régua milimetrada para medir o comprimento de uma corda, provavelmente conseguiremos

dizer (por exemplo) que essa mede entre 585mm e 586mm, mas não conseguiremos ser mais

precisos. Assim, seria razoável relatar o comprimento com a incerteza instrumental como

585,5mm±0,5mm.

Além da incerteza intrínseca ao equipamento (± metade da menor divisão), existem

outros fatores que influem no resultado de uma medida. Para exemplificar os problemas que

podem surgir em fazer uma medição simples, nesta experiência iremos medir o período de

um pêndulo.

Objetivo

Usar um cronômetro para obter a melhor estimativa do período de um pêndulo de

comprimento fixo, bem como a melhor estimativa da incerteza nesse valor;

Investigar a possibilidade de diminuir a incerteza no período medindo vários períodos

juntos;

Encontrar o valor da aceleração da gravidade local e a incerteza nesse valor utilizando

um pêndulo de comprimento fixo.

Material utilizado

Fio fino;

Uma haste de metal;

Cronômetro;

Régua

Procedimento

Passo 1

Monte um pêndulo simples com o equipamento disponível em sua bancada, usando um fio de

comprimento de aproximadamente 60 cm (não precisa ser esse comprimento exato). Anote o

comprimento do pêndulo (indicando a incerteza nessa medida) no espaço reservado no início

da Guia do Experimento.

Passo 2

Solte o pêndulo de tal forma que o ângulo inicial entre o fio e o vertical não seja muito

grande (θ < 15º). Meça com o cronômetro um período do pêndulo (o tempo gasto para ir e

voltar da posição inicial). Anote o valor que você obteve na Tabela 1 da Guia do

Experimento. (Repare que a unidade de medida, no caso segundos (s), aparece em cada

coluna da tabela).

Passo 3

Repita o passo 2 um total de 10 vezes, procurando soltar o pêndulo sempre da mesma altura,

assim tentado evitar que as condições da experiência sejam modificadas. Provavelmente os

valores obtidos para o período do pêndulo serão diferentes. Em outras palavras, as variações

3

encontradas entre as medidas são maiores do que a incerteza (desvio) do instrumento de

medida (o cronômetro). Podemos ver que nem sempre a incerteza da experiência corresponde

à incerteza instrumental. Há ainda uma margem de erro, não devida ao instrumento apenas,

mas devida ao próprio processo de experimentação, que podemos chamar de incerteza ou

desvio experimental.

Às vezes, algumas medidas do valor do período coincidem. Pode ser que todas

coincidam. Mas mesmo se todas as medidas fossem iguais (digamos 1,45s) isso não significa

que não haveria uma incerteza associada a esse valor. Na verdade, seria razoável concluir que

o período fosse entre 1,445s e 1,455s, ou seja (1,450±0,005)s. Em geral, não podemos esperar

medir uma grandeza com uma precisão maior (incerteza menor) do que o instrumento de

medida!

Deixando de lado a incerteza instrumental por enquanto, em face dos valores

diferentes para "o período", surge a questão do qual é o valor "verdadeiro" do período.

Devem estar começando a perceber que nunca saberemos o valor "verdadeiro" do período (se

é que isso existe), então seria melhor perguntar qual é nossa melhor estimativa do período.

O consenso é que a melhor estimativa do valor de uma grandeza é a média das

medições feitas. Assim se medirmos uma grandeza física t, digamos, n vezes, obtendo valores

t1, t2, ..., tn, a melhor estimativa de t é

1

1 n

i

i

Valor Médio de t t tn

(É comum escrever t ou t para denotar o valor médio de t.)

Passo 4

Usando suas medidas do período do pêndulo, calcule a melhor estimativa do período e

escreva esse resultado no espaço reservado em baixo da Tabela 1. Por enquanto mantenha

todos os algarismos, uma vez que só saberemos onde fazer o arredondamento quando

conhecemos a incerteza experimental.

Após decidir qual é a melhor estimativa do período, devemos fornecer também uma

ideia da incerteza em nosso resultado, ou a melhor estimativa da incerteza. Um bom ponto de

partida é calcular quanto cada medição difere do valor médio, ou seja o valor de i it t t

(e comum usar o símbolo para denotar o desvio no objeto seguinte). Chamamos essa

diferença o desvio da medida. Se uma medição for maior que a média, essa medição terá um

desvio positivo; se for menor do que a média terá um desvio negativo.

Passo 5

Preencha coluna 3 de Tabela 1 com os desvios, it t , de cada medição da média.

Parece que um valor razoável para a melhor estimativa da incerteza no período seria a média

dos desvios. Porém, já que o desvio mede a diferença (com sinal) de cada valor da média, e

haverá aproximadamente tantos valores acima da média quanto abaixo, os valores positivos e

negativos dos desvios se cancelam e a média dos desvios será zero. Para se convencer disso,

tente isso com seus resultados (devido a arredondamento pode ser que essa média não seja

exatamente zero.)

Pensando bem, o que nos interessa é a magnitude da incerteza, que podemos entender

como o valor absoluto da incerteza, assim dispensando o sinal. Portanto propomos como a

melhor estimativa da incerteza, a media dos valores absolutos dos desvios individuais. Sendo

assim, preencha coluna 4 de Tabela 1 com os valores absolutos dos desvios, it t .

4

Passo 6

Calcule a melhor estimativa da incerteza como a média dos valores na coluna 4. Escreva esse

valor no lugar reservado em baixo da Tabela 1. Assim como a incerteza instrumental, o

desvio médio deve ser arredondado para conter apenas um algarismo significativo.

Passo 7

Já que a incerteza experimental não pode ser menor do que a incerteza instrumental, compare

o desvio médio e a incerteza instrumental. Escolhendo o maior, coloque esse valor à direita

da última linha em baixo de Tabela 1.

Passo 8

Arredonde o valor do período para que o último algarismo significativo do período seja na

mesma casa decimal da incerteza do experimento. Essa linha é sua melhor estimativa do

período do pêndulo, com a melhor estimativa da incerteza.

Passo 9

Usando os valores do comprimento do seu pêndulo e do período, junto com as incertezas

desses, calcule a melhor estimativa de g e a melhor estimativa da incerteza de g, g . Sabendo

que

2 22L T

g gL T

,

em que ,g L Te são as incertezas da aceleração da gravidade, do comprimento do fio e

do período do pêndulo, respectivamente.

Reduzindo a Incerteza na Medição do Período

Não podemos contornar diretamente o limite de precisão imposto por nosso

instrumento de medida, mas às vezes (dependendo do experimento) é possível contornar esse

limite indiretamente. O experimento do pêndulo é um dos casos onde isso é possível.

A ideia é a seguinte: em vez de incluir somente um período do pêndulo em nossa

medida, medimos dez períodos contínuos. A incerteza instrumental continua a ser ±0,005s

para a medida no total. Mas, já que essa medida abrange dez períodos, a incerteza cai para

±0,0005 s por período.

Se repetirmos essa medida dez vezes (isto é deixamos o pêndulo balançar ida-e-volta

dez vezes, e fazemos isso dez vezes), podemos usar o mesmo raciocínio para diminuir o

desvio médio por período. Idealmente, a incerteza experimental no período deve diminuir por

um fator de dez.

Passo 10

Repita os passos anteriores mas, desta vez, medindo 10 períodos juntos dez vezes. Anote os

resultados na Tabela 2. A partir desse valores, calcule sua melhor estimativa de um período

(com melhor estimativa da incerteza) e a melhor estimativa aceleração local da gravidade

(com a melhor estimativa da incerteza).

5

Experimento 2: Pêndulo simples com diferentes comprimentos de fio

Procedimento

Passo 1

Repita os passos anteriores, medindo 10 oscilações para então obter o período. Desta vez,

meça com mais 3 comprimentos de fios diferentes (por exemplo, com 15, 30 45L e cm ).

Anote os resultados nas Tabela 3, 4 e 5.

Passo 2

Coloque os dados de T e de L em uma tabela.

L (m) T (s) T2 (s

2)

Passo 3

Usando papel milimetrado, construa um gráfico T2 versus L.

Passo 4

Trace, no gráfico, a reta que melhor se ajusta visualmente aos pontos. Essa reta deve ser do

tipo: y ax b .

Passo 5

Obtenha os valores dos coeficientes angular e linear da reta que melhor se ajusta aos pontos

do gráfico 2T L .

Passo 6

Com estes valores, encontre o valor da aceleração da gravidade local, g, com sua respectiva

incerteza, g . Discuta seus resultados, tendo como base o valor médio aproximado do valor

da aceleração da gravidade, 29,8mgs

.

Passo 7

O valor encontrado para o coeficiente linear b está de acordo com o esperado?

6

GUIA DO EXPERIMENTO

Nome: RA:

Nome: RA:

Nome: RA:

Nome: RA:

Nome: RA:

Tabela 1: Medindo Dez Período do Pêndulo L = ± mm

Medida nº i Período it s Desvio it t s it t s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Melhor estimativa do período, t : s

Incerteza instrumental: s

Desvio médio: s

Melhor estimativa do período (com incerteza): ± s

2________ _____ mgs

Tabela 2: Medindo Dez Período do Pêndulo L = ± mm

Medida nº i 10 Período iT s 1 Período it s Desvio it t s it t s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Melhor estimativa de 1 período, t : s

Incerteza instrumental: s

Desvio médio de 1 período s

Melhor estimativa do período (com incerteza): ± s

2________ _____ mgs

7

Tabela 3: Medindo Dez Período do Pêndulo L = ± mm

Medida nº i 10 Período iT s 1 Período it s Desvio it t s it t s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Melhor estimativa de 1 período (com incerteza): ± s

Tabela 4: Medindo Dez Período do Pêndulo L = ± mm

Medida nº i 10 Período iT s 1 Período it s Desvio it t s it t s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Melhor estimativa de 1 período (com incerteza): ± s

Tabela 5: Medindo Dez Período do Pêndulo L = ± mm

Medida nº i 10 Período iT s 1 Período it s Desvio it t s it t s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Melhor estimativa de 1 período (com incerteza): ± s