EXPERIMENTOS CON BURBUJAS DE JAB´ON

EXPERIMENTOS CONBURBUJAS DE JABON

Servicio Social de

Luis Eduardo Gonzalez Gonzalez

y

Gerardo Mejıa Rodrıguezcon la asesorıa de Clara Eugenia Garza Hume

PROLOGO

Estas notas son el producto del Servicio Social de los alumnos Luis EduardoGonzalez Gonzalez y Gerardo Mejıa Rodrıguez de la carrera de Fısica en laFacultad de Ciencias de la UNAM bajo la asesorıa de Clara Eugenia GarzaHume del IIMAS, UNAM.

El proposito de las notas es describir la fabricacion de modelos sencillosque permiten realizar experimentos interesantes que ayudan a comprender losproblemas de optimizacion utilizando pelıculas de jabon.

Debido a la complejidad matematica que plantean los problemas de super-ficies y caminos mınimos, es muy util pensar en explicarlos disenando practicas(cualitativas), es decir, hacer modelos muy descriptivos, logicos, sencillos, llama-tivos y con los que se pueda jugar. Esto facilita la explicacion de los principiosbasicos.

El problema real consiste en disenar un experimento que funcione, sea muydemostrativo, divertido y que sea de facil elaboracion. Ademas de que sea muybarato, que los materiales sean reciclados o materias primas y que se pueda usarmas de una vez.

Para cada caso (superficies mınimas y caminos mınimos) se diseno un proto-tipo experimental que llena la mayorıa de las expectativas antes mencionadas,pensado principalmente para jovenes de prefacultad y personas que no tienenestudios superiores en matematicas o fısica, pero antes de describir la elabora-cion de los mismos, queda claro que solo son una sugerencia para la elaboracionde los experimentos. No son manuales.

En general se recomienda la fabricacion de los solidos platonicos, es decir,el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro para el caso de la superficiesmınimas, mientras que para caminos mınimos se recomienda usar la imagina-cion o los polıgonos regulares para colocacion de los vertices. Notese que, entremas aristas o vertices contenga el modelo, se necesita de mas trabajo, tiempo,cuidado y paciencia para su elaboracion. No obstante en general las pelıculasformadas por estos ultimos son las mas espectaculares y llamativas.

Los modelos pueden construirlos desde ninos de aproximadamente 8 anos(con supervision de un adulto) pero en general el texto esta dirigido a jovenesde nivel medio superior con el fin de fomentar el interes por la ciencia.

Se considera que son de interes tanto para matematicos y fısicos como paraingenieros, arquitectos, profesores, personas interesadas en artes plasticas etc.

1

2

El capıtulo 1 contiene las explicaciones mas tecnicas pero su lectura no esnecesaria para la realizacion de los experimentos.

El capıtulo 2 detalla la fabricacion de modelos para visualizar caminos mıni-mos. Estos son los modelos mas complicados.

El capıtulo 3 describe como hacer y observar burbujas en el plano.El capıtulo 4 describe la fabricacion de modelos que permiten visualizar

problemas de minimizacion en el espacio.La lectura del Apendice se recomienda a los profesores.

Se agradece el apoyo tecnico de Ramiro Chavez y Ana Perez Arteaga. Seagradece la cooperacion de Jose Luis Rangel Lozada y de Catalina Stern.

CONTENIDO

PROLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Capıtulo 1. LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON

1.1 La fısica de las burbujas: Tension superficial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Agua con jabon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Las matematicas de las burbujas:superficies mınimas (Leyes de Plateau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Mezclas adecuadas para los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Fotografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capıtulo 2: UNA DIMENSION: CAMINOS MINIMOS

2.1 Tecnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capıtulo 3. DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS

3.1 Tecnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Panales de abejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Capıtulo 4. TRES DIMENSIONES: PELICULAS EN EL ESPACIO

4.1 Una burbujas, muchas burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.2 Fabricacion de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Modelos con popotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Problema de Kelvin (botella con burbujas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

APENDICE: Experiencia en el CCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4

Capıtulo 1

LA CIENCIA DE LAS

BURBUJAS

Antes de entrar en el fascinante mundo de las burbujas, es necesario conocerun poco mas sobre el agua, ya que es lo primero que necesitamos si queremosentender las burbujas.

1.1. LA FISICA DE LAS BURBUJAS

El agua es una molecula polar que esta formada por dos volumenes dehidrogeno y uno de oxıgeno. Polar significa que un lado de la molecula es positivoy el otro negativo.

Figura 1.1: Molecula de agua

Las propiedades del agua pueden dividirse en dos tipos: propiedades fısicasy propiedades quımicas.

5

6 LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS

PROPIEDADES FISICAS

El agua es un lıquido incoloro, inodoro e insıpido. A presion atmosferica,es decir a 760 mm de mercurio, el punto de fusion del agua pura es de 0oC yel punto de ebullicion es de 100oC; cristaliza en forma hexagonal, llamandosenieve o hielo. Se expande al congelarse entre los 0 y los -4o centıgrados, es deciraumenta de volumen, de ahı que la densidad del hielo sea menor que la del aguay por ello el hielo flote en el agua lıquida. El agua alcanza su densidad maximaa una temperatura de 4oC, que es de 1g/cm3 ([7]).

Su capacidad calorıfica es superior a la de cualquier otro lıquido o solido,siendo su calor especıfico de 1 cal/g, esto significa que una masa de agua pue-de absorber o desprender grandes cantidades de calor, experimentando apenascambios de temperatura, lo que tiene gran influencia en el clima. Sus caloreslatentes de vaporizacion y de fusion son 540 y 80 cal/g respectivamente.

Notese que el agua es la unica sustancia que a temperaturas normales puedeencontrarse en los tres estados de agregacion de la materia: solido, lıquido ygaseoso.

PROPIEDADES QUIMICAS

El agua es el compuesto quımico mas familiar para nosotros, el mas abun-dante y el de mayor importancia para nuestra vida. Una razon, desde el puntode vista quımico, es que casi la totalidad de los procesos quımicos se realizancon sustancias disueltas en agua.

No posee propiedades acidas ni basicas, combina con ciertas sales para formarhidratos, reacciona con los oxidos de metales formando acidos y actua comocatalizador en muchas reacciones quımicas.

La molecula de agua libre y aislada, formada por un atomo de oxıgeno unidoa otros dos atomos de Hidrogeno es triangular. En estado gaseoso el anguloformado por los enlaces (H-O-H) es de 104,5o y la distancia de enlace O-H es de0,96 A. Puede considerarse que el enlace en la molecula es covalente, con unacierta participacion del enlace ionico debido a la diferencia de electronegatividadentre los atomos que la forman.

1.2. AGUA CON JABON

Una mezcla para hacer burbujas esta constituida por moleculas de detergentey de agua. Cada molecula de jabon esta formada de una sal metalica y una largacadena de moleculas acidas y esta ionizada en solucion. Por ejemplo, en el casodel estereato de sodio, los iones de sodio tienen una carga positiva y estandispersos a traves de la solucion, los iones cargados negativamente estan cercade la superficie.

AGUA CON JABON 7

TENSION SUPERFICIAL

Resulta que la tension superficial del agua disminuye al mezclarla con de-tergente. Esta propiedad es la que permite limpiar mejor la ropa, porque aldisminuir la tension superficial del agua, esta penetra mejor en las fibras de lastelas y los quımicos que contienen esos detergentes actuan para sacar la mugrede ellas y ası limpiar la ropa.

Ademas, dado que un extremo del detergente es hidrofılico y el otro hidrofobi-co se forma una estructura de bi-capa que permite la formacion de burbujas.

Figura 1.2: Agua con jabon

Como sabemos, el agua esta hecha de moleculas. Los polos opuestos de estaspartıculas microscopicas se atraen unas con otras con fuerzas que dependen dela distancia entre ellas. Cuanto mas cerca esten dos moleculas sera mayor. Lafuerza de atraccion entre diferentes clases de atomos es llamada adhesion y entreatomos de la misma clase es llamada cohesion.

Aunque las fuerzas de atraccion entre dos moleculas son extremadamentepequenas, la atraccion combinada de miles de millones de moleculas contenidasen una pequena porcion de materia es sorprendentemente grande.

Las moleculas que componen un fluido pueden estar en el interior o en lasuperficie; las que estan en el interior del lıquido experimentan fuerzas en todaslas direcciones debido a que estan rodeadas por otras moleculas y por lo tantosu fuerza resultante es cero. En la superficie del lıquido, las moleculas soloexperimentan fuerzas debido a sus vecinas mas proximas y fuerzas debidas a las

8 LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS

moleculas del aire, como la densidad del aire es mucho menor que la densidad delfluido en general, luego entonces podemos decir que las moleculas en la superficieestan atraıdas parcialmente hacia el interior del fluido. Esta atraccion parcialhacia el interior del fluido hace que se forme una especie de membrana. A esteefecto se le llama tension superficial y tiende a reducir el area de la superficie.Gracias a este fenomeno, es que las gotas de agua y las burbujas son esfericas.

Figura 1.3: Tension superficial

Otro fenomeno debido a la tension superficial, es que los insectos puedanmoverse en la superficie del agua sin hundirse ([2]) o que no se hunda una agujao un clip (vease la figura (1.4).)

Tambien la capilaridad se debe a la tension superficial. Consiste basicamenteen la elevacion de un fluido a traves de tubos de pequenos diametros, llamadostubos capilares.

Antes de continuar con las burbujas revisemos un poco mas acerca de la capi-laridad. El agua sube por los tubos capilares debido a que la fuerza de adhesiondel vidrio con el agua es mayor que la fuerza de cohesion en el agua. Como sehabra ya notado, la tension superficial es una consecuencia de la cohesion, lacual evita que el agua vuelva descender. El agua seguira ascendiendo hasta quela tension superficial se equilibre con el peso del lıquido que suba por el tubo.

La altura a la que subira el agua en un tubo capilar se obtiene con la siguienteecuacion

h =2σ

Rρg.

LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES MINIMAS 9

Figura 1.4: Aguja en la superficie del agua

Aquı σ es la tension superficial, R es el radio de la seccion del tubo, ρ esla densidad del fluido y g es la aceleracion debida a la gravedad. La tensionsuperficial es la que regula parcialmente el ascenso de la savia dentro de losarboles.

1.3. LAS MATEMATICAS DE LAS

BURBUJAS: SUPERFICIES MINIMAS

Pueden hacerse los experimentos de los capıtulos 2, 3 y 4 antes de leer estaseccion.

Una pelıcula de jabon consiste en dos superficies separadas por una delgadacapa de fluido, cuyo ancho puede variar de 2,5×105 Aa 50 A. En la pelıcula cadasuperficie esta compuesta de iones de jabon separados por moleculas de agua.El ancho de la pelıcula decrece hasta alcanzar un tamano final de equilibrio.Cada una de las superficies tiene una tension superficial asociada.

En terminos matematicos la tension superficial se define como la fuerza decontraccion a lo largo de una lınea de longitud unitaria, siendo perpendiculareslas direcciones de la fuerza y de la lınea y estando ambas en la superficie dellıquido. Si F es la fuerza maxima y l es la longitud unitaria, la tension superficialσ, se obtiene con

10 LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON

Figura 1.5: Capilaridad

Figura 1.6: Estrutura de bi-capa en agua con jabon

σ =F

2l.

El factor dos se agrega debido al hecho ya mencionado de que las pelıculas dejabon estan formadas por dos capas.

Dentro de las burbujas hay aire a presion. Podemos relacionar la presioninterna de la burbuja con su radio y la tension de la pelıcula por medio de la


ecuacion de Laplace-Young

P =σ

2R.

La forma esferica de las burbujas se debe a que siguen el principio de mınimaenergıa y la energıa es proporcional a la superficie. Dado un volumen fijo, lafigura geometrica con menor superficie es la esfera.

1.3.1. LEYES DE PLATEAU

Antes de leer esta seccion se recomienda dar una revision minuciosa a lasfotografıas, o mejor aun, que ya se hayan hecho algunos de los modelos que sedescriben en capıtulos posteriores. Esto ultimo es muy importante porque deesta manera se evita estar prejuiciado con los resultados que se obtienen.

Los resultados que a continuacion se muestran son experimentales, es decirque surgieron de la observacion y descripcion de experimentos como los que sepueden hacer con los modelos que se describen en este trabajo.

El que describio estas tres leyes fue Joseph Plateau hace como 100 anos yencontro entre sus experimentos tres condiciones geometricas que cumplen laspelıculas de jabon.

Para encontrar la primera basta tomar cualquier modelo de caminos mınimosy mirarlo por uno de los costados. Se observa que son pelıculas las que formanel recorrido entre los vertices que se fijaron en el modelo.

Ahora si vemos los vertices formados por la pelıcula de jabon, todos sinexcepcion alguna estan formados por tres lıneas.

Primera ley: “Tres superficies de jabon se intersectan a lo largo de una lınea.El angulo formado por los planos tangenciales a dos superficies que seintersectan, en cualquier punto a lo largo de la lınea de interseccion de lastres superficies, es de 120o”.

Segunda ley: “ Cuatro de las lıneas, todas formadas por la interseccion de tressuperficies, se intersectan en un punto y el angulo formado por cada parde ellas es de 109o28’”.

Tercera ley: “Una pelıcula de jabon que puede moverse libremente sobre unasuperficie la intersecta en un angulo de 90o”.

La Primera y Segunda ley se pueden observar en cualquiera de los modelosde superficies mınimas. La Primera y Tercera ley se observan claramente en losmodelos de caminos mınimos.

Cabe destacar que si encuentra que alguna de esta leyes no parece cumplirse,basta perturbar (pegar o soplar) al modelo para que caiga en cualquiera de estassituaciones. Eso se debe a que lo que esta mirando no es un punto mınimo, esdecir estable, sino que mas bien es meta estable y cualquier perturbacion llevaa un estado mas estable.


1.3.2. ECUACION DE EULER-LAGRANGE

Si no quiere ver ecuaciones puede pasar a la seccion 1.4.

Las burbujas y pelıculas de jabon minimizan area. La rama de las matemati-cas que trata los problemas de minimizacion es el Calculo de Variaciones. Mi-nimizar area es equivalente a resolver una ecuacion diferencial parcial asociada,la ecuacion de Euler-Lagrange.

Muchas veces resolver matematicamente un problema es muy difıcil; los pro-blemas en los que se quieren maximos o mınimos son irresolubles y algunasveces hasta incomprensibles. Aun cuando ya se tiene entendido el problemay una ecuacion que lo modele, no siempre se sabe si tiene solucion; algunasveces se pueden hacer aproximaciones o se encuentran soluciones particularespara problemas muy especıficos. A veces existen soluciones que no se observanfısicamente.

Las burbujas y pelıculas de jabon que se muestran en las fotografıas o seobservan en los modelos son las superficies mınimas que se obtienen en cadacaso y aunque no conozcamos como se resuelven matematicamente sı conocemoslas soluciones porque las podemos ver y manipular.

Cada caso corresponde a minimizar la energıa de la pelıcula de jabon. Loque los diferencia son las condiciones a los que estan sometidos, por ejemplosi la pelıcula de jabon no hace contacto con nada se hace una burbuja esfericacomo las que todos hemos visto. Sin embargo la pelıcula cambia de forma sientra en contacto con otra burbuja, parece un muneco de nieve o si cae sobreuna superficie mojada se queda solo la mitad.

Lagrange formulo una teorıa matematica para resolver los problemas demecanica clasica (es decir, la que formulo Newton) con la cual a partir de unarelacion entre la energıa en reposo y la energıa en movimiento de los objetospodemos conocer la dinamica de los cuerpos.

Para encontrar los mınimos en la energıa de Lagrange y de hecho en laenergıa en general, se busca minimizar otra cosa que se llama la accion que esalgo ası como la suma de las energıas en cada punto. Encontrar estos mınimoses equivalente a resolver una ecuacion diferencial de la energıa.

A esta ecuacion se le conoce como la ecuacion de Euler-Lagrange y varıa mu-cho dependiendo del tipo de problema; puede resultar muy sencilla o totalmenteirresoluble.

Para las pelıculas de jabon, la ecuacion de Euler-Lagrange es en general unaecuacion diferencial parcial no lineal. Si la superficie esta dada por z = f(x, y) yH es la curvatura media de la superficie, la condicion para tener una superficiemınima es

H =

(

1 + f2

y

)

fxx − 2fxfyfxy +(

1 + f2

y

)

fyy

2(

1 + f2x

+ f2y

)3

2

,

donde los subındices denotan derivadas parciales, es decir,

fx =∂f

∂x, fxx =

∂2f

∂x2.


1.3.3. ECUACION DE YOUNG-LAPLACE

Para el caso de una burbuja de jabon ya conocemos la relacion entre lapresion P en la burbuja y la tension superficial σ; para el caso de tener dosburbujas unidas de tamanos diferentes, se puede calcular la curvatura de lapelıcula que se forma entre ellas. Pero ademas se puede conocer la presion queexiste sobre esta superficie.

P = σ

(

1

R1

+1

R2

)

.

Aquı R1 y R2 son los radios principales de curvatura sobre la superficie. Entoncespara la curvatura media tenemos la siguiente relacion

H =1

2

(

1

R1

+1

R2

)

.

Con esto podemos escribir ahora la ecuacion de Young-Laplace en la formade la ecuacion de Euler-Lagrange.

P

σ=

(

1 + f2

y

)

fxx − 2fxfyfxy +(

1 + f2

y

)

fyy

(

1 + f2x

+ f2y

)3

2

.

De esta manera ademas podemos ver que la ecuacion de Young-Laplace nosolo describe el caso de las burbujas, sino que tambien sirve para el caso de gotas(ya sea que esten sobre una superficie o que provengan de un tubo), chorros deagua por ejemplo y el fenomeno de la capilaridad.

Obviamente esta ecuacion cambia si cambiamos la geometrıa y se puedevolver mas sencilla pero esto depende del problema al que nos enfrentemos.

1.4. MEZCLAS ADECUADAS PARA LOS EX-

PERIMENTOS

Hasta ahora se ha estudiado la caracterizacion de la tension superficial delas mezclas de jabon y del agua; el siguiente paso es saber cuales son las mezclasque mejor funcionan para hacer burbujas.

La primera de la formulas que cualquier persona conoce para hacer burbujases la de detergente diluido en agua; se puede usar tanto detergente lıquido pararopa como jabon para trastes. Se recomienda Vel Rosita o Dawn amarillo.

Estas mezclas solo funcionan para hacer burbujas de tamano relativamentepequeno y de poca duracion, pero sirven bien para las pelıculas que se formanen los modelos de los caminos y superficies mınimas.

El secreto para aumentar la duracion es agregarles una sustancia que reduzcala evaporacion, que por lo regular es glicerina. Ası pues, la primera mezcla quese propone es:

-1 taza de agua.


-1 taza de glicerina.-1 taza de Vel Rosita.Utilizando esta mezcla obtenemos burbujas que duran bastante. La desven-

taja de usar esta formula es que la glicerina debe ser pura para que la mezclafuncione bien.

Si queremos obtener burbujas de gran diametro la formula a utilizar es:-2 tazas de agua-1 taza de Vel Rosita.-Media taza de agua con linaza.El agua con linaza utilizada en este caso debe tener una concentracion de 3

cucharadas soperas diluidas en tres cuartos de litro de agua, la mezcla se ponea hervir durante unos quince minutos y se mezcla con el Vel Rosita cuando elagua con linaza este aun tibia.

Si las mezclas se dejan reposar durante veinticuatro horas funcionan mejor.Los factores ambientales, tales como la humedad y la temperatura influyen enla duracion de las burbujas; a mayor humedad duran mas las burbujas ya quehay menos evaporacion.

1.5. FOTOGRAFIA

En realidad las fotografıas que fueron tomadas para este trabajo se lograronusando tipos de camaras e iluminaciones distintas para buscar el mejor resultadoposible para cada tipo de foto.

Por ejemplo, en las fotografıas guıa para la construccion de los modelos ladefinicion no es muy importante, sin embargo, en el caso de las burbujas es muyimportante no solo la definicion sino ademas la calidad en color, ya que de estodepende que se distingan las pelıculas de jabon y que tan vistosos son los reflejosque se forman sobre ellas.

Para tomar algunas fotografıas, como en el caso de los catenoides, se tomaronvideos con una camara handycam de 8mm con zoom optico (es decir que no seuso el zoom digital que tienen este tipo de videocamaras), e iluminacion blanca(como la que producen los llamados focos ahorradores).

Una vez que ya se contaba con los videos, tomados a 24 cuadros por segundo,se digitalizaron a videos con el tamano (en pıxeles) de la pantalla de television(normal, no de alta definicion) a 30 cuadros por segundo, y se tomaron algunoscuadros, que son las fotografıas.

En otro caso se tomaron directamente fotografıas con la luz natural o confocos incandescentes y con una camara fotografica digital. El unico cuidado quese tuvo en este caso fue que tiempo de apertura del obturador fuera el mas cortoque la camara permitiera tener.

Otra forma en la que se tomaron algunas imagenes consistio en conectaruna videocamara directamente a un ordenador y en tiempo real tomar algunoscuadros.

Cabe mencionar que para todas las fotos se uso una iluminacion que estu-viera en la parte posterior a la camara, tratando de evitar sombras y reflejos


que afectaran la visibilidad de las fotos. Se recomienda que si desean tomaralgunas fotografıas no se busquen cosas demasiado elaboradas; en general lascosas espontaneas resultan mejor.


Capıtulo 2

UNA DIMENSION:

CAMINOS MINIMOS

2.1. TECNICA EXPERIMENTAL

Un modelo sencillo para caminos mınimos consiste en colocar vertices sobreuna botella, con lo que ademas se demuestra que los principios basicos no de-penden de la geometrıa. Para hacerlos, con una aguja, alfiler o trozo de alambrecaliente (esto facilita la perforacion) se agujera una botella de plastico (de PET,como las de refresco).

Cabe aclarar que la botella tiene que ser transparente o no se va a observarnada, tiene que ser grande y previamente se le debieron cortar ambos extremos.

Una vez agujerada se hace pasar hilo a traves de los agujeros, de tal maneraque pasen de un lado a otro de la botella, formando una serie de columnasparalelas que comienzan en un lado y terminan al otro (vease la figura 2.1.)

Si el hilo esta muy cerca de las orillas, las pelıculas se forman entre la botellay los hilos. A las trayectorias marcadas sobre la superficie de la botella se lesllama geodesicas. Para observar de mejor manera las geodesicas se coloca unsolo hilo que atraviese la botella.

Un problema comun con este modelo sucede cuando se forma la pelıcula dejabon en el hilo hacia ambos lados, esto va a alterar la superficie por lo que esrecomendable romper uno de los lados. Ademas se puede formar una pelıcula dejabon dentro de la botella, que la cubra totalmente pero solo tiene que romperse.

Ahora se va a describir la elaboracion del prototipo que disenamos paravisualizar caminos mınimos en el plano. Se presenta el proceso de fabricacionde un hexagono regular.

Cabe aclarar que el procedimiento no es tan facil como el de las superfi-cies y que hasta cierto punto puede ser peligroso debido a que se trabaja confuego por lo que no recomendamos estos modelos para ninos muy pequenos nipiromaniacos.

17

18 UNA DIMENSION: CAMINOS MINIMOS

Figura 2.1: Modelo para observar geodesicas

Se puede empezar por los experimentos mas sencillos de los capıtulos 3 y 4.

Los materiales a usar se enumeran en la siguiente lista:

1. Cajas de CD, es muy importante que las tapas o al menos una sean trans-parentes, que no tengan hoyos o rebabas, que no sean opacas, que notengan residuos pegados o incrustados y sobre que no esten rotas ni es-trelladas sobre las caras. (Se puede usar cualquier otro trozo de acrılicodelgado de aproximadamente 10cm por 10cm.)

2. Hilo; puede usarse cualquier hilo grueso como por ejemplo hilo de canamoo hilo de nylon para pesca.

3. Remaches. Esto es opcional ya que es con estos con los que se le da es-tabilidad al sistema, aunque tambien pueden ser substituidos por algunaotra cosa por ejemplo trozos de goma.

Tenemos que recordar que en este caso lo que nos interesa es mostrar caminosmınimos, por lo que se piensa en dibujar figuras planas, entonces para escogerla cantidad de vertices y la disposicion de estos, debemos tener claro que entremas vertices mas agujeros se tienen que hacer y es mas trabajo.

Por otro lado, debemos de utilizar la mayor area posible sobre las tapas yno amontonarlos en un solo lugar, esto nos facilitara el trabajo, ademas de quelos fenomenos son mas notorios y que se eliminan los efectos de frontera.

Para este caso, como ya se habıa mencionado anteriormente, se escogio laelaboracion de un hexagono regular. Ahora bien, lo primero que se tiene que ha-cer es separar las tapas de las caja de CD. Esto puede variar mucho dependiendodel tipo de caja en este caso explicamos como separar las cajas mas comunes.

TECNICA EXPERIMENTAL 19

Figura 2.2: Caja de CD

Primero se quita la tapa superior; esto se hace solo abriendo la caja y jalandolas patas que la unen a la caja, luego se le quitan los papeles que tenga (si esque trae), esto no debe tener ningun problema.

Despues a la parte de abajo, se le tiene que quitar la base del disco, parahacerlo tenemos que girarla hacia el lado que tiene el margen de la tapa superior


y con ayuda de una una, desarmador o navaja, separar una de las esquinasintroduciendolo y girando, para que se bote la union.

Esto se hace en la otra esquina y se jala con cuidado para botar la base deldisco, (esta ultima se puede desechar), lo siguiente es colocar las tapas contra-puestas, es decir, juntar las caras externas como si se dieran la espalda.

Es necesario que una vez ası las tapas ya no se muevan una respecto a laotra; para ello podemos usar pinzas para colgar ropa. Si es necesario con muchocuidado se puede romper algunos de los bordes laterales tratando de no romperlas caras de las tapas.

Una vez fijo vamos a marcar con un plumon los vertices sobre una de lascaras, la cual va a ser la base del modelo (de preferencia sera la que este masmaltratada o sea de color).

Otra manera de marcarlos es hacer los puntos sobre un papel y colocar elpapel entre las dos tapas. Es util en el caso de los polıgonos regulares o si sequiere tener mas control sobre la disposicion de los puntos.

Lo siguiente es perforar las tapas. El tamano de la perforacion debe seraproximadamente igual al grosor del hilo. Se recomienda que para agujerar seusen, objetos con distintos diametros progresivamente de menor a mayor, estofacilitara la perforacion y evitara que se rompan las tapas.

Ahora bien para perforar, con mucho cuidado se calienta una aguja direc-tamente sobre una flama un par de minutos; si el tiempo de calentamiento esmuy corto puede suceder que la aguja se quede atorada, y al momento de querersacarla rompamos las tapas, por eso es recomendable usar guantes o unas pinzasy dejar que la aguja se caliente lo suficiente.

Con la aguja caliente se perforan las tapas justo donde se marcaron losvertices, esto se logra solo recargando la aguja sobre estas y se repite con todos


los vertices. Una vez que ya se perforaron todos se cambia la aguja por algo de undiametro mas grande (un clip desdoblado por ejemplo), y se perfora nuevamentesobre los hoyos. Esto se repite hasta que se tenga el tamano deseado.

Tambien se puede utilizar un taladro.

Cabe aclarar que se tienen que perforar ambas tapas, es decir que se debede atravesar de un lado a otro cuando se perfore. Cuando los agujeros estenlistos, con un remache caliente, sobre la base se perforan las esquinas, pero nose deben de atravesar las dos tapas, una tapa debe de quedar perforada y la


otra solo quedar marcada. Esto ultimo es optativo y sirve para marcar el lugardonde iran los remaches.

Figura 2.3: Remache en la tapa

Ya hecho lo anterior lo siguiente es separar las tapas; que como ya se habrandado cuenta quedaron pegadas, esto se tiene que realizar con mucho cuidado,porque de lo contrario se pueden romper. Para separarlas solo tenemos que jalar-


las muy despacio en direcciones opuestas, si se hace bien comenzara a “crujir”;esto significa que se estan despegando.

Cabe senalar que no importa si se estrellan, siempre y cuando no se rompan.Ya separadas se deben de eliminar todas las rebabas que le queden a los hoyos,esto se logra raspandolas con un exacto.

Finalmente si se accedio al uso, los remaches se incrustan sobre la base detal manera que la parte larga quede del lado de la superficie que nos interesa.Para hacerlo se calienta por un corto tiempo la parte “gorda”del remache y seintroduce sobre los hoyos en las esquinas (marcados anteriormente), una vezadentro se mete en agua para enfriarlo y ası el remache quede fijo sobre la tapa.

Figura 2.4: Remache en la tapa

Si se cae no importa, se puede pegar con algun pegamento si se desea. Si no,se le pueden quitar los remaches, esto sirve para guardar en un menor espaciolos modelos, cuando se quieran volver a usar solo se colocan nuevamente.

Para finalizar, cuando los remaches esten colocados en su lugar, sobre ellosse pone la otra tapa, en la misma posicion con la que se perforo, buscando quelas marcas coincidan con las cabezas de los remaches.

Se hace pasar el hilo de manera que atraviese por las dos tapas justo porlos agujeros que estan sobre la misma vertical. Un solo hilo es necesario y paraamarrar se hace un nudo en un extremo y se jala del otro, buscando que quedelo mas tenso que sea posible. Se hace un nudo y con esto se termina el modelo.

Si se prefiere no usar los remaches una vez separadas las tapas y elimina-das las rebabas, se hace pasar el hilo pero al momento de tensar se colocanlos substitutos del remache en las esquinas (en nuestro caso fueron gomas), osimplemente, no se tensa y se deja hilo para que se puedan separar una pulgada


Figura 2.5: Remache

Figura 2.6: Colocacion del hilo

las tapas. Si se deja menos hilo es posible que los efectos de frontera sean muynotorios y no se forme lo esperado.

Si se forman pelıculas entre los vertices y los remaches solo se tienen queromper.


Figura 2.7: Modelo terminado

Si se desea un modelo mas firme se pueden usar tornillos en vez de hilo yfijarlos con dos tuercas en cada cara.

Al sumergir los modelos terminados en agua con jabon observe cuidadosa-mente si se cumplen las leyes de Plateau.

26 DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS

Capıtulo 3

DOS DIMENSIONES:

CUMULOS PLANOS

3.1. TECNICA EXPERIMENTAL

La forma mas sencilla de observar cumulos planos es hacer muchas burbujassobre un acetato mojado. Lo que se ve sobre el acetato es un cumulo plano. Porejemplo, si se pone una burbuja sobre un acetato, la curva que se dibuja en estees un cırculo. Este es el equivalente bidimensional de la esfera.

Si se ponen dos burbujas se observa la figura 3.1.

Figura 3.1: Burbuja doble en el plano

27


Observe bien la curva que separa las dos burbujas. ¿Por que se curva comolo hace?

Agregue mas burbujas y observe como se comportan. En particular observeque se cumplen las Leyes de Plateau.

Figura 3.2: Burbujas sobre el agua

Si se quieren hacer burbujas del mismo tamano se puede utilizar una jeringa-sin aguja- (primero se jala el embolo y luego se toca la solucion de jabon conla punta). Tambien se puede utilizar una “pera”para bebe.

Es interesante observar lo que sucede al llenar con burbujas recipientes dedistintas formas, por ejemplo el redondo de la figura (3.3) o el esferico de lafigura (3.4).

Figura 3.3: Burbujas en un traste redondo


Figura 3.4:

3.2. PANALES DE ABEJAS

Cuando hay muchas burbujas juntas del mismo tamano el problema que tieneque resolver es: como subdividir el plano en areas iguales con perımetro mınimo.Si las abejas fueran bidimensionales tendrıan que resolver este mismo problemaal construir sus panales. La solucion que han encontrado es la siguiente:

Figura 3.5: Panal de abejas

En el plano los hexagonos proporcionan la configuracion optima. Esto fuedemostrado apenas en el ano 2000 por Hales ([3]).


Capıtulo 4

TRES DIMENSIONES:

PELICULAS EN EL

ESPACIO

En este capıtulo estudiaremos superficies mınimas en el espacio.

4.1. UNA BURBUJA, MUCHAS BURBUJAS

Una burbuja sola es siempre esferica. En el capıtulo 1 se vio la razon.

Figura 4.1: Una burbuja

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32 PELICULAS EN EL ESPACIO

¿Y si hay varias burbujas unidas? Para observar que sucede en este caso sepuede usar un aro multiple o coladera grande.

Figura 4.2: Cumulo de burbujas

Esto entre otras cosas sirve para observar los vertices y las lıneas que losunen, ya que estos son los que se busca reproducir con los modelos que sedescriben posteriormente.

Observe que se cumplen las leyes de Plateau.

4.2. FABRICACION DE MODELOS

La muestra mas sencilla de las superficies mınimas despues de las burbujas(formadas por soplarle al aro que ha sido sumergido en agua con jabon) yque se puede dejar estatico, es formar el catenoide verticalmente con pelıculas,es decir, la forma que toma el jabon cuando se introduce un aro (entre masredondo mejor) al jabon y se lo retira despacio horizontalmente, si el aro es losuficientemente grande, a simple vista se observa que se forma un “barrilito”dejabon, que comienza en el agua y termina en el aro.

Esto es mas espectacular si se toman dos aros (no necesariamente del mismotamano y forma) se juntan y se meten al jabon, al sacarlos se puede o no, romperla pelıcula formada dentro de cada aro (esto es importante porque pasan cosasdiferentes en cada caso).

Cuando se separan con cuidado, se forma nuevamente el barril (con cinturonsi no se rompio la pelıcula dentro del aro y sin cinturon en el caso contrario)

FABRICACION DE MODELOS 33

que comienza a deformarse en cuanto se muevan los aros. Tambien se puedenusar mas aros si ası se desea pero se necesitan una mayor cantidad de manospara jugar con ellos.

Las siguientes cuatro fotografıas muestran lo que sucede con un catenoidecuando se incrementa la separacion entre los aros. Despues de la ruptura lapelıcula se divide en dos discos.

Figura 4.3: Catenoide

Figura 4.4: Catenoide mas delgado

El siguiente caso y por mucho el mas creativo y espectacular, consiste enformar curvas cerradas usando un trozo de cable o alambre. El resultado es masinteresante si la curva no esta contenida en un plano.

34 PELICULAS EN EL ESPACIO

Figura 4.5: Catenoide. Justo antes de la ruptura

Figura 4.6: Despues de la ruptura. Hay dos discos sobre los aros y una burbujitainexplicable

Existen otros modelos sencillos de realizar y que son muy intuitivos; paraestos se recomienda ver las fotografıas y jugar con los materiales disponibles. Porejemplo con hilo y alambre o popotes, se pueden hacer superficies deformables,superficies con hoyos, etc.

Ahora bien, si se piensa en modelos mas complicados, o mejor dicho, endisenos en que los principios basicos sean mas claros y se tenga un mayor control,entonces se encuentra con que los prismas regulares y los solidos platonicos son

FABRICACION DE MODELOS 35

Figura 4.7: Modelo de alambre

Figura 4.8: Desde otro angulo

Figura 4.9: Otro modelo de alambre Figura 4.10: Desde otro angulo

Figura 4.11: Nudo de alambre

36 BURBUJAS EN EL ESPACIO

una excelente opcion.Esto se debe, por una parte a que son los solidos mas sencillos y por otra, a

que las superficies formadas muestran claramente la formacion de los angulos yla union entre pelıculas.

Y si no son muy rıgidos o muy bien elaborados, podemos deformar la geo-metrıa facilmente y demostrar que las Leyes de Plateau no dependen de esta, oencontrar algunos problemas de frontera que tambien son importantes de men-cionar.

4.3. MODELOS CON POPOTES

Para la elaboracion de estos prototipos se necesitan los siguientes materiales:

1. Popotes para cafe; es importante que sean popotes para cafe y no popotesconvencionales porque son mas duros y no se deforman, esto es impor-tante porque con estos se forman las aristas, el problema con los popotesconvencionales es que se rompen y se doblan con mucha facilidad y si noson firmes pues sencillamente la figura se deshace.

2. Hilo; casi cualquier hilo funciona pero se recomienda hilo grueso (por ejem-plo de nylon para pesca o de canamo) porque entre mas grueso es el hilomas estable queda la figura y mas resistente es; cabe aclarar que es muyimporartante que el hilo pueda pasar sin problema dentro del popote variasveces.

3. Plasti-loka o un equivalente; esto es opcional, es decir, si se necesita oquiere que los modelos sean rıgidos y no se muevan o duren mucho tiempoes recomendable usarla, pero si se quiere que los modelos se doblen sedeformen o se puedan desarmar es mejor no.

Lo primero que se hace es escoger una figura, en este caso se escogio eltetraedro. Una vez con la figura elegida se junta el numero de popotes que senecesite, es decir, el numero de aristas que la figura tenga- en este caso seis.

Ahora bien cabe aclarar que si la figura tiene muchas caras o caras muy gran-des, es mejor recortar los popotes ya que si la figura es muy grande se necesitade mucho jabon y una tarja lo bastante grande para que quepan las figuras. Paracortar los popotes se recomienda usar un “cutter”sobre una base rıgida aunquecon unas tijeras se puede tambien; en este caso tampoco se necesito cortar lospopotes.

Para formar la figura, se hace pasar el hilo por un popote, luego por otro,luego por otro y ası sucesivamente buscando que los popotes formen las carasde la figura (en este caso son triangulos), esto se ve mas claro en la siguientefigura:

Para esto existen dos tecnicas:La primera consiste en formar una cara y cortar el hilo e ir formando caras

sobre ella e ir cortando el hilo, esto es muy bueno si la figura tiene muchas caras,las caras tienen muchos lados o se tienen varios tipos de caras.

MODELOS CON POPOTES 37

Figura 4.12: Fabricacion del modelo usando popotes para cafe y usando un solohilo

La otra tecnica es no cortar el hilo y formar con uno solo todas las caras, estono es facil y pero sı muy divertido, sobre todo si se tiene mucha imaginacion.

En ambos casos es muy recomendable que en los vertices, todo popoteeste unido, por lo menos con un hilo, con todos los demas popotes en el vertice,es decir que no quede algun popote flojo o volando.


Figura 4.13: Figura con popotes hecha sin cortar el hilo

Cabe mencionar que es muy importante que las caras y los modelos engeneral esten muy bien apretados, es decir, que los hilos esten muy justos y losnudos bien amarrados; esto es porque, entre mejor apretada este la figura esmas estable, no se deforma tanto y es mas facil pegar.

Figura 4.14: Hilos muy flojos


Figura 4.15: Hilos bien apretados

Figura 4.16: Modelo terminado con plasti-loka

En estos momentos el modelo debe de estar ya terminado y se puede jugarcon el tranquilamente; claro que si se tienen muchas caras este proceso puedeser muy largo, pero no es complicado. Ahora bien, lo siguiente consiste en pegarel modelo; como ya se dijo esto es opcional.

Primero hay que asegurarse de que el modelo ya este bien amarrado y quelos nudos no sean muy grandes.

Tambien hay que cortar todos los hilos que sobren a excepcion de uno, elcual servira para sostener la figura.


Debe tenerse en cuenta que la plasti-loka tarda mucho tiempo en secarse porlo que, si el modelo tiene muchas caras, se recomienda inflar un globo dentro deel, de tal manera que ajuste el tamano del globo al volumen de la figura; estosirve para dejarla fija y facilita el colgarla.

Para pegar lo unico que debe hacerse es cortar pequenas bolitas de Plasti-loka y pegarlas por la parte exterior en las esquinas, teniendo cuidado en nomanchar por dentro de los vertices ya que esto podrıa arruinar el trabajo. Unavez seco, se pincha el globo (si se uso).

4.4. EL PROBLEMA DE KELVIN

Si se quiere llenar un plano con figuras geometricas iguales de perımetromınimo, la respuesta es que estas figuras deberan ser hexagonos. Los hexagonosno solo minimizan el area, si no que ademas, los angulos que forman entresı respetan las leyes de Plateau.

En tres dimensiones no es obvio cual estructura ordenada tendrıa la minımaenergia (mınima area). El problema de Kelvin consiste en lo siguiente: se tieneun volumen V y se desea llenar con figuras de volumen igual de tal formaque la superficie total S sea mınima. ¿Que figura(s) debe(n) usarse?, es decir,¿que arreglo de celdas de igual volumen llenando un espacio tienen superficiemınima? Para que el arreglo sea estable es necesario que se cumplan las leyesde Plateu.

Como se puede ver, el problema de Kelvin es un problema variacional, unproblema de minimizacion y las tecnicas matematicas que hasta ahora se cono-cen no le han dado una solucion analıtica. Es decir, es un problema abierto.

Lord Kelvin conjeturo en 1887 que la solucion tenıa que ser un octaedrotruncado llamado tetrakaidecahedro.

Muchos anos despues, en 1993, Weaire y Phelan encontraron otra particion,usando dos tipos de celdas de igual volumen, que mejora la particion de Kelvin.

Pero el problema sigue abierto.El problema de Kelvin se puede visualizar usando burbujas de jabon. Si

tomamos una botella grande de plastico y la llenamos de burbujas puede ana-lizarse la configuracion que adquieren. Las celdas cumplen las leyes de Plateaupero no puede concluirse mucho mas.

Para llenar de burbujas una botella es necesario hacer una pequena perfora-cion en el fondo de esta y luego sumergir la boca de la botella en un traste quecontenga agua con jabon y soplar con un popote flexible que tenga un extremodentro de la botella (veanse las figuras (4.17), (4.18), (4.19).)

Observe cuidadosamente los angulos y los tipos de poliedros que se formanen el interior de la botella.

Pueden encontrarse mas detalles en la literatura sobre espumas, por ejemplo([8]).


Figura 4.17:

Figura 4.18:


Figura 4.19:

Figura 4.20: Botella con burbujas

APENDICE:

Experiencia en el CCH

Una vez que se tuvieron los prototipos de las superficies y los caminos mıni-mos, se querıa ver si los estudiantes de nivel medio superior hacia los que vadirigido este trabajo los podian construir, es decir si los podıan fabricar ellosmismos con ciertas intrucciones como las que se han mencionado; para estose realizo una prueba con los jovenes del Colegio de Ciencias y Humanidadesplantel numero 3 Azcapotzalco. El grupo fue el del profesor Jose Luis RangelLozada, que constaba de 25 estudiantes. El tiempo que duro esta practica fueseis horas, de las cuales dos horas se les dio un poco de teorıa y las otras cuatrose dedicaron a hacer las figuras.

Para llevar a cabo el objetivo, se formaron 5 equipos y cada uno de estoseligio un solido geometrico, que podıa ser un cubo, una piramide de base trian-gular, una piramide de base cuadrada, un prisma de base triangular y un prismade base hexagonal; ademas tambien eligieron una figura geometrica plana, quepodıa ser un triangulo, un cuadrado, un hexagono, un pentagono. Los prime-ros prototipos que armaron fueron los de superficies mınimas, o sea los solidosgeometricos, con el hilo y los popotes para cafe; en este caso se tuvieron variosproblemas, ya que cuando se les indico que por los popotes hicieran pasar el hilopara formar la figura y que al mismo tiempo utilizaran la mınima cantidad dehilo, hubo estudiantes quienes por ejemplo, pasaron el hilo por los popotes, perosin formar su figura, es decir pasaron el hilo sobre todos los popotes de formacontinua sin hacer quiebres en las esquinas; un equipo no entendio que los ladosde su figura tenıan que estar constituidos por un solo popote, e intento hacerlos lados con dos popotes de longitud, lo cual no fue una buena idea, ya que lafigura que se obtiene es muy inestable y demasiado grande para que se puedaintroducir en una mezcla para hacer burbujas; por otra parte tambien se tuvoque tener cuidado de no colocar demasiada plasti-loka en las esquinas para queno se tuvieran problemas en las fronteras.

Ası pues se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:

-El hilo tiene que pasar por todos los popotes, pero no importa el numerode veces que pase por alguno de ellos.

-La mayor estabilidad se obtiene al tener solo un popote como arista.

Hay que mencionar que no vieron ningun prototipo armado antes de empe-

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zar, ası pues, hubiera sido mas prudente mostrarles un prototipo antes de quecomenzaran a armar los suyos.

Una vez que todos los equipos terminaron sus prototipos, los metimos en unamezcla de agua con shampoo Caprice y se obtuvieron las geometrıas mostradasen las siguientes figuras. Veanse ademas las pelıculas anexas.

Figura 4.21: Helicoide

Despues se dedicaron a hacer figuras para observar caminos mınimos. Antesque nada se les advirtio que no se querıan piromaniacos y que tuvieran muchocuidado con el fuego que se utiliza para perforar las cajas de cd. Se tuvieronlos siguientes problemas: los estudiantes se quemaron con los remaches, porquelos tenıan que calentar para perforar las cajas de cd, algunos quebraron lastapas cuando las estaban perforando, o cuando estaban retirando los residuosde plastico despues de haberlas perforado.

Despues de que terminaron de fabricar sus modelos, los metieron en la solu-cion, y observaron las figuras que se formaban para cada caso.

Lo que siguio despues de sus aventuras con burbujas, fue ver que habıanentendido y que no, ademas de que era deseable conocer sus puntos de vistaacerca de los modelos, ası que se les dio un pequeno cuestionario.

La primera pregunta hacia los estudiantes fue si se divirtieron o no con losmodelos, la respuesta en todos los casos fue que si, incluso hubo respuestasque aseguraban que esta actividad fue mas divertida que la clase normal defısica. Esto nos puede mostrar que la ciencia se puede apreciar mas de formaexperimental, ya que los estudiantes interactuan con los fenomenos de formadirecta, ademas de que se divierten.

La siguiente pregunta fue acerca de cual de los modelos les gusto mas, aquı las


Figura 4.22: Prisma triangular

Figura 4.23: Prisma triangular

respuestas ya no fueron tan homogeneas como en la pregunta anterior, ya que aalgunos les gustaron mas los modelos de superficies mınimas, a otros los de losde caminos mınimos.

La siguiente pregunta fue si los modelos eran sencillos de hacer o no; esta


Figura 4.24: Prisma hexagonal

Figura 4.25: Prisma hexagonal

es la pregunta importante, ya que como dijimos nuestro proposito era el de verque tanto se les dificultaba construir los modelos. La respuesta fue que eransencillos, aunque hubo personas que nos hicieron notar que entre mas aristastuviera el solido, o mas lados la figura geometrica plana la construccion se vuelve


Figura 4.26: Burbuja en formacion

un poco mas complicada, entonces es recomendable que se tome cierta habili-dad en construir solidos y polıgonos de pocos lados antes de intentar construirfiguras de muchos lados. Sin embargo a los estudiantes del Colegio de Cienciasy Humanidades se les hizo facil en general.

La siguiente pregunta era acerca de cuales de los modelos se les hizo masdifıcil construir, dos terceras partes del grupo constesto que el de los caminosmınimos, mientras que la otra tercera parte contesto que los prototipos de las su-perficies mınimas, de donde se puede ver que se les dificulto mas la construccionde su figura plana; el gran problema aquı fue la perforacion de las cajas.

La siguiente pregunta fue que nos dieran algunas sugerencias para mejorarla forma de construccion de los prototipos; en este caso las respuestas fueron:

-Reducir las dimensiones de las figuras.

-Pasar mas hilo por los popotes para el caso de las superficies mınimas.

-Utilizar tapas mas resistentes, para que no se rompan cuando se perforan,pero que no fueran tan difıciles de perforar.

-Cambiar el modo de perforacion, sin utilizar fuego.

-Utilizar popotes con diametros mas grandes.

-Hacer un video sobre la construccion para poder mostrar como se fabricanlos modelos.

Entonces se puede observar que los estudiantes de nivel medio superior sı soncapaces de construir los modelos, con ciertas indicaciones.

Con base en el cuestionario nos pudimos percatar de que a la mayorıa de losestudiantes no les gustan las ciencias. Esto basado en nuestro ultimo conjuntode preguntas:


a)¿Te agradan las ciencias, las matematicas y la tecnologıa?La respuesta a esta pregunta pregunta fue afirmativa para 19 personas, mien-

tras que solo 2 dijeron que no.b)Si te dijera que la ciencia es ası, ¿Considerarıas estudiar una carrera cien-

tifica?Aquı 8 personas dijeron que si, 8 que tal vez y 5 que no.c)¿Que carrera piensas estudiar?3 personas desean estudiar alguna ingenierıa, 5 licenciatura en area de cien-

cias sociales, 4 en el area medico-biologicas, 1 en artes, 5 personas que no sabenaun que van a estudiar y solo tres personas que piensan estudiar alguna carreracientıfica.

Bibliografıa

[1] Boys, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover1959.

[2] Bush, John, http://www-math.mit.edu/ bush/

[3] Hales, T., Cannonballs and. Honeycombs NOTICES OF THE AMS, 47,No. 4. pp440-449, 2000. www.ams.org/notices/200004/fea-hales.pdf

[4] Isenberg, C., The Science of soap films and soap bubbles, Dover 1992.

[5] Morgan, F., Geometric measure theory, Academic Press, 3a edicion 2000.

[6] Oprea, J., The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS,Student Mathematical Library Vol. 10, 2000.

[7] Stewart, Ian, What shape is a snowflake, W.H. Freeman and Company,New York 2001.

[8] Weaire, D., Hutzler,S. The physics of foams University of Oxford, 1999.

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Documents

EXPERIMENTOS CON BURBUJAS DE JAB´ON