Exponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija. -----------------------------------------------------------------------------------------------

1

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna funkcija

Mnogu procesi vo prirodata moàt da se opi{at so pomo{ na ekponencijalna

funkcija.Toa se procesite na radioaktivnoto raspa|awe, menuvaweto na atmosverskiot

pritisok so zgolemuvaweto na nadmorskata viso~ina,zgolemuvaweto na brojot na

bakteriite vo procesot na nivnoto razmnoùvawe, prekr{uvaweto na svetlinata pri

minuvawe niz voden sloj i dr.

Ztoa od interes e ispituvaweto na ovie funkcii.

Tek i grafik na eksponencijalna funkcija.

Vo prethodnata u~ebna godina ja izu~ivme funkcijata f(x)=x2, kade osnovata na

stepenot e promenliva x,a pokazatelot e konstanta, neja ja narekuvavme kvadratna

funkcija. Ovde }e ja obrabotime funkcijata od oblik f(x)=2x (i sli~ni na nea) kade

osnovata e konstanta a pokazatelot (eksponentot ) e promenlivat x, neja }e ja narekuvame

eksponencijalna funkcija.

Pro{iruvawe na poimot za stepen.

Poznato e deka i za stepeni so pokazatel cel, odnosno racionalen broj vaàt

slednite svojstva:

1 0

;nmnm aaa 60 ;1 aa

20

;0, aaa

a nm

n

m

70

0;00 aadef

;

30

;)( nmnm aa 80 0,

1 a

aa

n

n

40

;)( nnn baba 90

;; aaaa n mn

m

10,

50

0,)( bb

a

b

an

nn

; 100

ako 00 naa toga{

I na krajot od ova razgleduvawe da zabeleìme deka za stepen so realen pokazatel vaì:

-Za sekoj srsxrRxaRa i kade {to takov i ,0, se racionalni broevi, xa e realen

broj za koj vaì sxr aaa .

-Za Rxa i 1 vaì xa =1.

--Za sekoj srsxrRxaRa i kade {to takov i ,10, se racionalni broevi xa e

realen broj za koj vaì sxr aaa .


2

Primeri:

10

54

1

33 i osnovata na stepenite e 3 pri {to 3>1 toga{

5332362554

14

1

i~zna kade .

20

102 202,0 ,, i osnovata na stepenite 0,2 pri {to 0<0,2<1 toga{ 21,0

zna~i .2,02,0 21,0

30

1616

21682

21682

2,16

82

2

,

16161622221624 .

40

3125555555555 532 32

50

9333:3 22424

Poom i osnovni svojstva na eksponencijalna funkcija.

Definicija: Funkcijata ,: RRf zadadena so xaxf )( kade 10, aaRa i se

narekuva esponencijalna funkcija.

Od definicijata kako i od svojstvata 10

do 100

koi vaàt i za stepen so pokazatel realen

broj moème da gi navedeme slednite svojstva na eksponencijalna funkcija:

10

Domenot Df (definicionata oblast) za esponencijalna funkcija xaxf )( e mnoèstvoto

na realni broevi t.e Df=R.

20

Mnoèstvoto Vf na vrednosti na esponencijalna funkcija xaxf )( e: Vf=R+.

30

Za x=0, esponencijalna funkcija xaxf )( e ima vrednost 1)0( f

40 Esponencijalna funkcija

xaxf )( , za 0a monotono raste dodeka za 10 a , monotono

opa|a na celiot domen Df.

Dokaz: Svojstvata 10

i 20 sleduvaat direktno od definicijata. Od 10 a , sleduva

svojstvoto 30

.

Poslednoto svojstvo 40

}e go dokaème so dokaùvawe na implikaciite:

)f(x). f(x,aaxx aaxx

2121211) t.e

)f(x). f(x,aaxxa bxx

21212110) t.e


3

ohhx. xxxRxxa a kade t.e Neka ,,1) 122121

Od 11121

xhxhxxh aaaaaa

:sleduva

Kako posledica od svojstvoto 40 se izveduvaat i svojstvata:

50

Ako ,1 2121 xxaaa

xx

60

Ako ,10 2121 xxaaa

xx

70

Ako .0,0 2121 xxaaaa

xx

Dokaz: ]e ja dokaème samo prvata posledica, bidej}i ostanatite dve se dokaùvaat

analogno.

Neka i 1a 21 xxaa za,

i 11 xx gi imame slednite mo`nosti 21 xx , 21 xx ili

.21 xx

10

21 xx ne e vozmoèn bidej}i toga{ od svojstvoto 40

sleduva 21 xx

aa {to

protivre~i na uslovot.

20

21 xx isto taka 21 xx ne e vozmoèn bidej}i toga{ bi imale 21 xx

aa zna~i

ostanuva samo .21 xx

Primeri: Da ja odredime definicionata oblast na funkciite:

10

13xy Definicionata oblast D e sekoe ,Ra t.e D=R

20 }R\{Dy x 34 3

1

30 }R\{Dy x 2,2)

3

1( 4

52

Da ja opredelime monotonosta na funkcijata:

10

,xy 3,0 2

0 ,xy )2( 3

0 ,14 xy 4

0 ,

x

y

3

25

0 ,

xy 25 60

,

x

y

2,0

1

-Funkciite pod 10

i 40

monotono opa|aat bidej}i osnovata na stepenite e brojot pome|u

0 i 1 (svojstvo 40

) a funkciite pod 20

, 30

, 40 i 5

0 monotono rastat bidej}i osnovata na

stepenot e broj pogolem od 1.


4

Grafik na eksponencijalna funkcija.

Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 vo odnos

na zadaden pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata f(x)=x2 e

mnoèstvoto na to~ki xax, , Rx t.e G= Rxax x ,,

Za grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 spored dosega kaànoto imame:

- grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 se nao|a nad x-oskata.

- grafikot na eksponencijalnata funkcija f(x)=x2 ja se~e y-oskata vo to~kata (0,1)

bidej}i 110 aRaa i sekoe za .

Primeri: Da go konsruirame grafikot na eksponencijalnata funkcija xxf 2)( yxf )(

10 221120,

4

1

2

12)2( 10

2

2 ), f() f(f

x ... -2 -1 0 1 2 …

xxf 2)( … 1/4 1/2 1 2 4 …

Od ovoj slu~aj oskata Ox se narekuva asimptota na krivata, grafik na razgleduvanata

funkcija xxf 2)( .

20

,2

1,

3

1,

4

1,1,

4

5,

2

3,2,3,4

xxxxx

xxx yyyyyyyyy

xx

yy

5

4,

3

2


5

30

x

y

2

1

x ... -2 -1 0 1 2 …

xxf )2/1()( … 4 2 1 1/2 1/4 …


6

40

Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite:

xx yy 22 i

xx yy 33 i

50

xxx yeyy 32 60

xxx

yyy

4

1

3

1

2

1


7

Grafici na eksponencijalnite funkcii.

mayaymay pxpxx i ,

Vo slednite primeri }e ja sogledame polo`bata na grafikot na funkcijata spored

analiti~kiot zapis.

Primeri: Vo ist koordinaten sistem da gi nacrtame graficite na funkciite:

10 1

2

1,2

2

1,

2

1

xxx

yyy 20 ,3,3,3 21 xxx yyy

x -2 -1 0 1 2

x

y

2

1 4 2 1

2

1

4

1

x

y

2

1+2 6 4 3

2

5

4

9

x

y

2

1-1 3 1 0

2

1

4

3

X -2 -1 0 1 2

xy 3

9

1

3

1 1 3 9

13 xy

3

1 1 3 9 27

23 xy

81

1

27

1

9

1

3

1 1


8

,13

,3

,23

x

x

x

y

y

y

30

23 1 xy

40

50

,12

,2

,2

2

2

x

x

x

y

y

y


9

Eksponencija ravenka.

Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo stepenoviot pokazatel na

barem eden stepen , so osnova pozitiven realen broj, razli~en od 1 se narekuva

eksponencijalna ravenka.

10

Eksponencijalnata ravenka koja so identi~ni transformacii moè da se dovede vo

vidot: .1,0,)()( aaaa xgxf i

Vrz osnova na monotonosta na eksponencijalnata funkcija sleduva deka za .1,0 aa i

ravenkata (10

) e evivalentna na ravenkata )()( xgxf .

Zna~i ovde stepenite vo ekponencijalnite ravenki gi dobivame od ednakvite osnovi.

Primeri:

10

155255 2 xxx

20

5232242 233 xxxx

30

23

2

3

2

2

3

3

2

4

9

3

222

x

xxx

40

322825627

562422256222

3

21

xxxx

xxxxxx

20

Eksponencijalnata ravenka od vidot 100][ )( aaaF xf i kade

koja so smena )(xfa = y preminuva vo ravenkata 0][ yF .

Ako re{enijata na ravenkata ,...)2,1(0 i y f[y] ise toga{ re{avaweto na ravenkata

0][ )( xfaF se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkite )(xfa ,...)2,1( i yi .

Vo ovoj slu~aj velime deka eksponencijalnata ravenka ja re{avame so voveduvawe na smena.

Primeri: Da se re{at ekponencijalnite ravenki:

10

077872 xx xxxxx y 70778777 222

0782 yy 717,12

68

2

28648212,1

yyy

10)77(,7777,17 21

10 xxxxxx


10

20

0233323 2142252 xxxx

030233302333 22)2(2242 xxxxx y

,, yyyyy3

21

3

2.1

6

51

6

2411023 212,1

2

213 2 xx

30

xxx y 3033432

31312

24

2

12164034 2121

2

, yy,yyy ,

103313 x xxx

40

7222 3 xx 72222 3 xx

72)81(2 x 382 xx

Logaritamska funkcija

Logaritamskata funkcija e u{te edna funkcija so koja }e se zapoznaeme.Taa nao|a

golema primena, kako vo matematikata taka i vo drugite nauki. No najnapred potrebno e da

se zapoznaeme so noviot poim, poimot logaritam.

Poim za logaritam

Definicija: Logaritam na pozitiven realen broj b , za osnova )aaa 10(, i , e realniot

broj x, so koj treba da se stepenuva osnovata a za da se dobie brijot b .

baxb x

a log

Ako vo ravenstvoto bxba a

x log, so zamenime go ja dobivame relacijata: baba

log.

Neposredno od definicijata za logaritam sleduva:

10

1,01log 0 aa bidej}i

20

a aaa 1,0log bidej}i

30

nnn

a a ana bidej}i ,log .

-Koristej}i ja definicijata za logaritam da se proveri to`nosta na slednive ravenki:

10

5505log 1

5 20

227log3 ne e to~no bidej}i 2732

-Da se opredeli logaritmandot na logaritmite:

30

932log 2

3 bbb 40

424log4

2 bbb


11

50

32

1

2

15log

5

2

1

bbb

-Da se opredeli osnovata na logaritmite:

60

2,2424log 21

2 aaaa

70

5

1

5

11253125log

3

33

aaaa

-Da se opredelat logaritmite:

80

322828log 3

2 xx xx

90

35525

15

25

1log 2

5 xx xx

-Koristej}i go osnovniot logaritamski identitet da se presmeta:

100

272log7 11

0 632222

3log13log1 22

120

502255552log22log2 55

130

5

9

5

19

5log3

19333

3

5log25log2 33

Osnovni pravila na logaritmiraweto

-Algebarskite izrazi se logaritmiraat vrz osnova na slednite pravila:

Teorema1: Logaritam za osnova ,1,0, aaa od proizvodot na dva pozitivni realni broja

e ednakov na zbirot od nivnite logaritmi za istata osnova t.e yxxy aaa logloglog .

Dokaz: Soglasno so osnovniot logaritamski identitet za broevite x i y imame:

yx aa ayaxloglog

i mnoèj}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame:

yx aa aayxloglog

=yx aaa

loglog toga{ na ravenstvata 1loglog ana a

n

a i

yxayx aa

y

aaaa logloglog)(log

loglog

Teorema1: Logaritam za osnova ,1,0, aaa od koli~nik na dva pozitivni realni broja e

ednakov na razlikata od logaritmite na delenikot i delitelot za istata osnova t.e:

yxy

xaaa logloglog .


12

Dokaz: Delej}i gi soodvetnite strani na ravenstvoto dobivame:

y

x=

yx

y

x

aa

a

a

aa

a loglog

log

log

toga{ yxay

xaa

yx

aaaa loglogloglog

loglog

Teorema1: Logaritam za osnova ,1,0, aaa od stepen na pozitiven realen broj

)(, Rnxn e ednakov na proizvodot od pokazatelot na stepenot n i logaritmot za osnova

a na osnovata x na stepenot t.e .loglog xnx a

n

a

Dokaz: Vo osnovniot logaritamski identitet xaax

log dvete strani gi stepenuvame na n-ti

stepen, pa imame: xnnxn aa aaxloglog

toga{ xnax a

xn

a

n

aa logloglog

log .

Posledica: Logaritam za osnova ,1,0, aaa od koren na pozitiven realen broj e ednakov

na logaritmot za osnova a od potkorenoviot broj, podelen so korenoviot pokazatel t.e:

n

xx a

a

loglog

Primeri: Da gi logaritmirame izrazite:

10

xxx log5log5log5 20

)log(3log)(3log)(3 yxyxyx

30

zyxzyxz

yx

z

yxlog3log

2

1log2loglogloglog 32

3

2

3

2

40

zwyxz

wyx

z

wyxlog4log

3

1log

3

2log2log

2log

24

3 2

4

3 2

50

3loglogloglog4log3

4log

3

4 zyx

xyzxyz

60

zyxzxyzxy log2log2log2log2log2 2222

70

x=5,43•13,573

logx=log(5,43•13,573)

logx=log5,433+log13,573

logx=log5,43+3log13,57

logx=0,734799829+3•1,132579848

logx=0,734799829+3,397739543 logx=4,132539372x=13+68,73535


13

Sli~no za bilo koj pozitiven realen broj x imame akx lglg , k -se narekuva

karakteristika , alg se narekuva mantisa na logaritam od brojot x i se ozna~uva so m.

Bidej}i 101 a imame deka alg e broj ne pomal od 0 i pomal od 1.

Kratko }e zapi{eme )10,lg ,[Z,m,kRxmkx kade .

Za nao|awe na karakteristika za bilo koj pozitiven realen broj vaì:

1) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x , 0<x<1, e negativen broj ~ija

apsolutna vrednost e ednakva na brojot na nulite pred prvata cifra na x {to ne e

nula.

2) Karakteristikata na dekaden logaritam na brojot x ,x>1 e za eden pomala od brojot na

cifrite na negoviot cel del.

Vrski me|u logaritmi so razli~ni osnovi.

]e pokaème deka e dovolno da gi znaeme logaritmite so edna osnova (naj~esto 10) za da

moème da premineme na logaritmi so druga osnova.

Preminuvaweto od logaritmi so edna osnova kon logaritam so druga osnova e dadeno so

slednava vrska me|u logaritmite so razli~ni osnovi:

1,log

loglog , a,cR a,b,c

b

bb

c

ca

Dokaz: Osnovniot logaritamski identitet baba

log go logaritmirame so osnova s i pritoa

dobivame: .log

logloglogloglog)(log

log

a

bbabba

c

cccac

b

ca

Direktna posledica od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi e slednava:

1,,,,log

1log baRba

aba .

Vo osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi }e go izbereme b za nova osnova na

logaritmite:

ba

bb

ab

ba

log

1

log

loglog .

Primeri: Na najednostave na~in da presmetame:

10

4

1

81log

13log

3

81

20

15

1

2log5

2log3

1

2log

2log3

1

32log

2log2log

2

2

5

2

2

2

323

32

30

3lg

15lg

11lg

13lg

7lg

11lg

5lg

7lg

3lg

5lg15log13log11log7log5log 1311753

5log13lg

5lg1

3lg

5lg3lg

3lg

53lg3


14

40

23lg

3lg2

3lg

3lg

2lg

9lg

3lg

2lg9log2log

2

23

50

32lg2

7lg2

7lg

2lg3

2lg

7lg

7lg

2lg

4lg

49lg

7lg

8lg49log8log

2

23

47

-Od osnovnata vrska me|u logaritmi so razli~ni osnovi sleduvaat i slednive vrski:

bk

kba aa log1

log)

bbb a

a

loglog) 1

bkbc a

k

a loglog)

Dokaz: bkak

b

a

bkba aka log

1

lg

lg

lg

lglog)

ba

b

a

b

a

bbb a

a

loglg

lg

lg

lg

1lg

lglog)

11

ba

b

ak

bk

a

bkbc ak

kk

a loglg

lg

lg

lg

lg

lglog)

-Koristej}i gi vrskite me|u logaritmi so razli~ni osnovi da presmetame:

Primeri: 10 baa

aa

23log23log

2

1

13log3log

3

1

20

baaaaa

a

1

8log

1logloglog

3

1loglog 822

3

1

23

2 3

-Vo vrska so logaritmi so razli~ni osnovi moème da kaème i slednovo:

Mnoèstvoto od logaritmi na site pozitivni realni broevi so ista osnova

)1,0(, aaa se vika logaritamski sistem so osnova a .

30

3

4

3log2

1

2

3log2

1

2log

3log

4log

4log3log4log

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

3

2

13

ako a

40

b a 3lg5lg8log30 i ako

b

a

bb

1

)1(3

1

)5lg10(lg3

1

5

10lg3

3lg10lg

2lg3

)310lg(

2lg

30lg

8lg8log

3

30


15

Tek i grafik na logaritamska funkcija

Da se potsetime,pri definiraweto na logaritam }e kaème deka 10,log a axa i kade ,

ima smisla za sekoj pozitiven realen broj x, a vrednosta na ,log xa moè{e da bide koi da

bilo realen broj bidej}i pokazatelot b na stepenot ab=x , e koj i da bilo realen broj.

Sega moème da ja dodademe slednata definicija:

Definicija: Funkcijaata f:R+R, zadadena so f(x)= ,log xa kade a>0 i a 1 e realen broj i x

e nezavisna realna promenliva se narekuva logaritamska funkcija.

1) Domenot Df (definicionata oblast) za logaritamskata funkcija f(x) = ,log xa e

mnoèstvoto na pozitivni realni broevi t.e Df= R+.

2) Mnoèstvoto Vf na vrednosti na logaritamskata funkcija f(x) = ,log xa e sekoj realen

broj, t.e Vf = R.

3) Za x= 1, logaritamskata funkcija f(x) = ,log xa ima vrednost f(1) =0

4) Logaritamskata funkcija f(x) = ,log xa za x>, monotono raste dodeka za 0<x<1

monotono opa|a na celiot domen Df.

Dokaz: Svojstvata 1) i 2) sledat direktno od definicijata na logaritamska funkcija.

Od 01log a sleduva svojstvoto 3) dodeka svojstvoto 4) }e go dokaème so

dokaùvawe na implikacijata:

a) a>1 x1<x2 1log xa < ,log 2xa t.e f(x1)<f(x2)

b) 0< a<1 x1<x2 1log xa < ,log 2xa t.e f(x1)>f(x2)

Kako posledica od svojstvoto 4) se izveduvaat i slednive svojstva:

5) Ako a>1 1log xa < ,log 2xa toga{ x1<x2

6) Ako 0<a<1 1log xa < ,log 2xa toga{ x1> x2

7) Ako 1log xa = ,log 2xa toga{ x1=x2

Dokaz: ]e ja dokaème samo prvata posledica, bodej}i drugite se dokaùvaat analogno.

Neka a>1 i 1log xa < ,log 2xa za x1 i x2 gi imame slednite mo`nosti x1>x2, x1=x2 ili x1<x2

Prviot slu~aj x1>x2 ne e moèn bidej}i toga{ od svojstvoto 4) sleduva 1log xa > ,log 2xa {to

protivre~i na uslovot. Vtoriot slu~aj x1=x2 isto taka ne e vozmoèn bidej}i toga{ bi imale

1log xa = ,log 2xa zna~i ostanuva samo x1<x2.

Primeri: Da ja odredeime definicionata oblastna funkciite:

1) ),(Dxxx f 3.303)3(log2 i~zna

2) )Dxxx f 4,(.404)4(log5 i~zna

3) )(Dxxx f 0,.00)(log3 i~zna

4) )(DRxxx f ,4)4(log 22

7 i~zna sekoe za


16

Da ja opredelime monotonosta na funkciite:

1) y=lgx, 2) y=log0,2x, 3) y=log5(2+x) 4) y=log1/2x 5) log0,3(x-4) 6) y=log7(1+x2)

Funkciite pod 1), 3), 5) monotono rastatat bidej}i osnovata na logaritmite e broj polem od 1

dodeka funkciite po 2), 4), 6) monotono opa|aat bidej}i osnovata na logaritmite e broj

pome|u 0 i 1. (svojstvo 40)).

5) log2 (1-x2), 1-x2>0 (1-x) (1+x)>0 D f = (-1, 1).

6) ),2()1,(0)1)(2(1

2log

3

1

fDxx

x

x

Grafik na logaritamska funkcija

Sega ostanuva da go konstruirame grafikot na logaritamskata funkcija xxf alog)(

vo odnos na pravoagolen koordinaten sistem xOy. Grafikot na funkcijata xxf alog)(

e mnoèstvoto od to~ki (x, log a x), x R+, t.e G={(x, log a x), x R+}.

Za grafikot na logaritamskata funkcija xxf alog)( , a>0, a 1,spored dosega

kaànoto imame :

-od svojstvoto 1) sleduva deka toj se nao|a desno od ordinantnata oska x.

-od svojstvoto 2) sleduva deka toj se nao|a i pod i nad apscisnata oska y.

-od svojstvoto 3) sleduva deka toj se~e x oskata vo to`kata (1,0).

Primeri:

1) Da go konstruirame grafikot na funkcijata: xxf 2log)(

Na primer za x=4 imame f(x)=log24=2, za x=2

1 f(

2

1)=log2

2

1=-1

za x=3, f(3)=log23= 585,1301,0

477,0

2lg

3lg

za x= 585,01585,12log3log2

3log

2

3,

2

3222

f

x 4

1

2

1 1

2

3 2 3 4

y=log2x -2 -1 0 0,585 1 1,585 2

y=log2x


17

2) xxf

3

1log)( x=3 f(x)= 13log

3

1

x=2 f(2)= 631,0477,00

301,0

3lg1lg

2lg

3

1lg

2lg2log

3

1

x=5 f(5)= 465,1477,0

699,0

3lg1lg

5lg

3

1lg

5lg5log

3

1

i.t. n.

3) 2)1(log)1(loglog2)1(log 2222 xxxxy

x 9

1

3

1 1 2 3 5

y=log1/3x 2 1 0 -0631 -1 -1,465

y=log1/3x

2)1(log2 xy

)1(log2 xy

xy 2log


18

4) y=log3 x i y=-log3 x

Logaritamski ravenki.

Definicija: Ravenkata vo koja nepoznatata se nao|a vo logaritmandot ili vo

logaritamskata osnova na barem eden logaritam se vika ligaritamska ravenka.

10

Ligaritamskata ravenka od vidot bxa log , logaf(x)=b a>0, a 1kade {to a,b R ima

edinstveno re{enie x=a b,sli~no se re{avaat i logaritamskite ravenki od vidot:

logaf(x)=b i logf(x)c=b.

Primeri:

1) log5x=2 x=5 2 x=25

2) lg(x+2)=3 x+2=103 x=998 3) log2(x2-1)=3 x2-1=23 x2=9 x1=-3,x2=3

2

0 Logaritamska ravenka koja so pomo{ na nekoi identi~ni transformacii moè da se

dovede vo vidot: logaf(x)= logag(x), a>0, a 1 e ekvivalentna so ravenkata f(x)=g(x) pri {to

f(x)>0 i g(x)>0

Primeri :

1) lg2+lgx=1 lg2x=lg10 2x=10 x=5 2) log2x+log2(x+1)=1 log2x(x+1)=log22 x(x+1)=2 x2+x-2=0 x1=-2, x2=1

3) lg(x-3)-lg(x-7)=lg5 lg 835535lg7

3

xxx

x

x

2

0 Logaritamskata ravenka od vidot F[logaf(x)]=0 a>0, a 1 so smenata logaf(x)=y se sveduva

na ravenkata F[y]=0 Ako re{enijata na ovaa ravenka se yi ( i=1,2,…) toga{ re{avaweto na

ravenkata F[logaf(x)]=0 se sveduva na re{avawe na vkupnosta na ravenkata:

logaf(x)=y; yi ( i=1,2,…)


19

Primeri:

1) logx3+log3x=2 21

2loglog

13

3

yy

xx

(smena y=log3x)

y2-2y+1=0 y=1 zna~i logx3=1 odtuka x=3

2) log2x+log4x=6 log2x+2

1 log2x=6

2

3 log2x=6 log2x=4 x=16

3) log2 x• log3 x=log23 3

1,3)3(lg)(lg

2lg

3lg

3lg

lg

2lg

lg21

22 xxxxx

4

0 Ravenki koi se re{avaat so prethodno logaritmirawe na dvete strani na ravenkata:

Primeri: x3 logx=100=lg100 (3-lgx)lgx=2 (lgx)2-3lgx+2=0

lgx=1 lgx=2 x1=10 x2=100

Documents

Exponencijalna i logaritamska funkcija