Eym5b Ampere Biot-Savart - UPMElectricidad y Magnetismo 2010/2011 Tema 5: Magnetostática -b Ampère -Biot-Savart 2D 1 Magnetostática • Definición. • El potencial vector magnético

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 1

Magnetostática

• Definición.

• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.

• Ley de Biot y Savart.

• Ley de Ampère.

• Campo en puntos alejados. Momento magnético.

– Comportamiento en el infinito.

– Corrientes ligadas.

• Energía Magnética.

– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.

– Sistemas de corrientes filiformes.

– Coeficientes de inducción. Autoinducción.

– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.

• Transporte de energía.

• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall

J.L. Fernández JambrinaEyM 5b-1

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución.

• Se escoge el eje de simetría como eje z.

– Por la simetría de translación no puede haber variación con z:

– Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera componente z:

– Por la simetría de revolución el campo no esfunción de ϕ, salvo la variación propia de :

– No puede haber componente radial porqueno se cumpliría:

» Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial.

• En definitiva:

0=⋅∇ Br

( )ϕρ= ,HHrr

( ) ( )ϕϕρ+ρϕρ= ϕρ ˆ,ˆ, HHHr

( ) ( )ϕρ+ρρ= ϕρ ˆˆ HHHr

ϕ̂

( )ϕρ= ϕ ˆHHr

( )vJ J zz= ρ $

Z




Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución. (2)

• Escogiendo contornos que sean circunferenciasen planos z=cte y centradas en el eje z:

• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:

( )

( )πρρ

=⇒

ρ=ρρπ=⋅

πρ=ϕρ

⋅=⋅

ϕ

ρ

ϕ

π

ϕ

∫∫∫

∫

∫∫∫

2

2

2

0

2

0

IH

IdJSdJ

HdH

SdJldH

z

S

SC

rr

rrrr

( )ϕ

πρρ

= ˆ2

IHr

( )vJ J zz= ρ $

Z

( )vH H= ϕ ρ ϕ$

( ) ρρπ=ρ ∫ρ

dJI z0

2


• En el caso de una línea de corriente indefinida de valor que circule sobre el eje z:

– Por lo tanto:

• En el caso de que la corriente se distribuya uniforme-mente en un hilo de radio a:

– La corriente encerrada en la región interior es y:

ϕπρ

= ˆ2

IHr

a

Z

I

( ) azaIzJJ z



Cable Coaxial

• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor. Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:

• La corriente que fluye en el interiorde la circunferencia de radio ρ es:

( ) ( )

ρ<



Solenoide Indefinido

• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial:

– n es el número de espiras por unidad de longitud(altura en la figura).

• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco.

• La simetría de rotación garantiza la independencia respecto de ϕ:

• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no fluye corriente a través de ella.

• Si el campo tuviera componente radial no se cumpliría que:

ϕ=ϕ= ϕ ˆˆ nIJJ Sr

0=⋅∇ Br

( ) ( )ρ= HrHrrr

( ) ( )zHrH z ˆρ=rr

I

Z

a


• Escogiendo contornos como , exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z:

• Análogamente, con contornos como el , interior

• Y con contornos como el , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:

Solenoide Indefinido (2)

I

a

CB

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=>ρ∫ eazizez

AC

HHLHHldHrr

( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==ρ⇒ρ−ρ=⋅=



Solenoide Indefinido (3)

• Recordando que el campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es:

• Resulta que:

• Y por tanto:

• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axialy con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.

( ) znIzBlimctezh c

ˆµ==∞→

r

0; == ei HnIH

( )

<



– La componente y es constante a ambos lados de la hoja y es discontinuo en ella:

» Calculando circulaciones a lo largo de contornos como los de la figura:

– Por simetría cabe suponer:

– Finalmente:

Hoja Indefinida de Corriente (2)

z

y

vJ xs / / $

L

CA

CB

CCL

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) 000

0

0

0

JHHLHHldHLJ

HHLzHzHldH

HHLzHzHldH

yyyyC

C

yz

yyB

C

yz

yyA

C

=−⇒−=⋅=

=⇒−=⋅=

=⇒−=⋅=

+−+−

−

<

+−

+

>

+−

∫

∫

∫

rr

rrr

rrr

( )

<

>−=

0;2ˆ

0;2ˆ

0

0

zJy

zJyrHrr

0=+ −+ yy HH


• Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d.

• El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.

– Se escoge el eje Z coincidiendo con el eje del solenoide y el origen en el centro del solenoide.

– Si las espiras están muy próximas se pueden aproximar por una corriente superficial:

– Por la simetría de revolución el campo no dependerá de ϕϕϕϕ:

– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte:

Solenoide Toroidal



Solenoide Toroidal (2)

– Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte, solo habrá flujo neto de corriente (NI)cuando estén dentro del solenoide:

– Respetando la simetría, el otro tipo de líneas de campo que puede haber serían las contenidas en planos ρρρρ=cte, pero deberían estar generadas por corrientes según ϕϕϕϕ, que no existen.

– El campo sólo tendrá componente según ϕϕϕϕ:

– El campo en el interior es como el creado por una línea de corriente.

• El campo queda confinado en el interior del solenoide.

rH

NIh z h a b

resto

=− < < < <

2

2 2

0

πρπρπρπρϕϕϕϕ ρρρρ$ ;

;



Distribuciones de corriente axial (2)con simetría de translación.

• Generalizando la expresión del campo:

– Utilizando un origen de coordenadas general:

• Sumando las contribuciones:

• Para distribuciones superficiales y lineales:

– Todos los vectores son de dos dimensiones:

Y

X

Z

YJ

XJ

ZJr

′r

rr

r r rr r rJ = − ′

J

J

zJ

J

z rzr

dSJdSJBd

rr

r×

π

µ=ϕ

πρµ

= ˆ2

ˆ2

2

( )rrzrr

SdJBdrrr zJ ′−×

′−π

′µ=⇒′−=

rrrr

rrrrˆ

22

( ) ( ) ( )∫∫ ′′−′−×′

πµ

=S

Sdrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫ −−×

πµ

=′′−

′−×′

πµ

=i i

ii

C

S

rr

rrzIrBld

rr

rrrJrB

22

ˆ

22rr

rrrr

rr

rrrrrr

ρρ=+= ˆˆˆ yyxxrr

Las integrales se

extienden a la

traza de la

distribución sobre

la sección

transversal.


Ejemplo: Tira de corriente.

• Calculando en todo el espacio:

– La densidad de corriente es:

( ) ( ) ( )∫ ′′−′−×′

πµ

=C

S ldrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( )( )

( ) ( ) ( )( )

′−+−=′−×′

′−+=′−

′−+=′−

⇒

′=′

+=

yxxxywIrrrJ

xxyrr

xxxyyrr

xxr

yyxxr

Sˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ 222

rrrr

rr

rr

r

r

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

−+++

+

+−

−=

=

′−+−

′−=

=′′−+

′−+−=

−

−∫

2

2ln2

ˆˆ

2arctg

2arctg

2

ln2

ˆˆarctg

2

ˆˆ

2

2

22

2

2

22

2

2 22

wxy

wxyyx

y

wx

y

wx

w

I

xxyy

xy

xx

w

I

xdxxy

yxxxy

w

IrB

w

w

w

w

πµ

πµ

πµrr w

X

Y

zw

IJS ˆ=r

w

IX

Y

Z




Ejemplo: Tira de corriente. (2)

• Las funciones arcotangente son las encargadas de modelar la discontinuidad de la componente x correspondiente a la densidad de corriente.

( ) ( )( )

++−+

+

+−

−−=

2

2ln2

ˆˆ

2arctg

2arctg

2 2

22

wxy

wxyyx

y

wx

y

wx

w

IrB

πµrr


Ejemplo: Línea biplaca.

• Limitando el cálculo al plano de simetría:

– Trabajando con el conductor superior:

( ) ( ) ( )∫ ′′−′−×′

πµ

=C

S ldrr

rrrJrB

22

rr

rrrrrr

( )( )

( ) ( ) ( )( )

′+−−=′−×′

′+−=′−

′−−=′−

⇒

′+=′

=

yxxdywIrrrJ

xdyrr

xxydyrr

xxyd

r

yyr

Sˆˆ2

2

ˆˆ2

ˆˆ2

ˆ222

rrrr

rr

rr

r

r

( ) ( )( )

( )( ) xdy

w

w

Ixdy

yx

dy

x

w

I

xdxdy

yxxdy

w

IyyB

w

w

w

w

ˆ2

arctg2ln2

ˆˆ

2arctg

2

2

ˆˆ2

2ˆ

2

2

22

2

2 22

−πµ

−=

′+−+

−

′

πµ

−=

=′′+−

′+−πµ

−=

−

−∫r

Id

w

I

w

d/2

X

Y

zw

IJ S ˆ=r

X

Y

Z




Ejemplo: Línea biplaca. (2)

• Superponiendo los campos de ambos conductores.

• En el origen:

• Para líneas muy anchas:

– w>>d

( ) xdy

w

dy

w

w

Ix

dy

w

w

Ix

dy

w

w

IyyB ˆ

2arctg

2arctgˆ

2arctgˆ

2arctgˆ

−

−+π

µ=

+πµ

+−π

µ−=

r

( )yBx

d=wd=w/5

2 0 25 10

7

0

5 107

1 106

y

w=2

( ) xd

w

w

IB ˆarctg

20

πµ

=r

( )

( ) 0ˆ22

2/

ˆˆ22

2/

=

π−π

πµ

±=

>∞→

µ=

π+π

πµ

=

<∞→

xw

IyB

dywlim

xw

Ix

w

IyB

dywlim

r

r


Ejemplo: Línea biplaca. (3)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

• Líneas de campo: w=2, d=0.4


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