Medan Elektromaknit II

P e r t e m u a n ISelasa,1415 sd 1615Ruang T17Pembahasan :

1.Pendahuluan, 2.Hk. Biot-Savart, 3.Hk.Rangkaian Ampere-Persamaan Maxwell

4.Penerapan Hk. Ampere.1.Pendahuluan

Materi tatap muka sebelumnya diskusi tentang medan listrik sangat terbatas yaitu terbatas pada medan listrik statik yang ditandai oleh E atau D. Materi kulih Medan elektromagnit II lebih difokuskan pada medan magnetik statik, yang ditandai oleh H atau B. Ada kesamaan dan perbedaan-perbedaan antara medan elektrik dan medan magnetik. Seperti E dan D terkait menurut D = E untuk material ruang yang linier, H dan B terkait menurut B = (H. Lebih lanjut Tabel 7.1 memperlihatkan analogi antara besaran-besaran medan elektrik dan medan magnetik. Sebagian dari besaran medan magnetik akan diperkenalkan kemudian di dalam bab ini, dan yang lain akan diperkenalkan dalam pertemuan-pertemuan berikut. Analogi yang diperkenalkan disini untuk menunjukkan bahwa kebanyakan dari persamaan-persamaan yang kita sudah peroleh untuk medan listrik itu masih dapat digunakan untuk memperoleh persamaan-persamaan yang bersesuaian untuk medan magnetik jika analogi-analogi besaran-besaran yang ekuivalen disubstitusikan. Cara ini tidak kelihatan ketika kita sedang belajar konsep-konsep yang baru.

Suatu mata rantai yang terbatas antara medan elektrik dan medan magnetik dibentuk oleh Oersted pada tahun 1820. Seperti yang pernah dicatat, suatu medan elektrostatik dihasilkan oleh muatan statik atau muatan yang stasioner. Bila muatan itu sedang bergerak dengan percepatan yang tetap, suatu medan magnetis statik (atau medan magnetostatic) dihasilkan. Suatu medan magnetostatik dihasilkan oleh suatu arus konstan yang mengalir (arus searah). Arus yang mengalir ini bisa berkenaan dengan arus pemaknitan (magnetization currents ) seperti pada magnet permanen, arus-arus berkas elektron (electron-beam currents ) seperti di tabung hampa, atau arus konduksi seperti kawat yang menghantar arus. Di dalam bab ini, akan ditilik medan magnetik di dalam material ruang berkenaan dengan arus searah. Medan-medan magnetostatic di dalam ruang bahan(material) dicakup dalam materi-materi kuliah medan elektromagnetikII. Studi tentang magnetostatika bukan suatu kemewahan yang tidak penting akan tetapi hanya karena keperluan yang sangat dibutuhkan dan harus ada. Perkembangan dari motor-motor, transformator-transformator, mikrofon-mikrofon, kompas, bel telepon, pengendali fokus televisi, tampilkan iklan, kendaraan-kendaraan berkecepatan tinggi yang mengapung secara gaib dalam medan maknit (kereta api berkepatan tinggi), menyimpan memori, pemisah magnetik, dan seterusnya, melibatkan gejala magnetis dan memainkan peran yang penting di dalam kehidupan kita sehari-hari.

Ada dua hukum utama yang mengatur medan magnetostatik : (1) Hukum Biot-Savart dan (2) Hukum rangkaian Ampere. Seperti halnya Coulomb, hukum Biot-Savart adalah peraturan umum dari magnetostatika. Sama seperti hukum Gauss adalah suatu kasus khusus dari hukum Coulomb, hukum Ampere adalah kasus khusus dari hukum Biot-Savart dan dengan mudah diterapkan di dalam permasalahan distribusi arus simetrik. Kedua hukum dari magnetostatika dinyatakan dan diterapkan terlebih dulu; derivasi-deviasnya disediakan/dijelaskan kemudian dalam bab ini.

2.Hukum Biot-Savart

Hukum Biot-Savart menyatakan bahwa intensitas medan magnet dH yang dihasilkan pada suatu titik P, seperti yang ditunjukkan di dalam Gambar 7.1, oleh elemen arus diferensial I dl adalah sebanding dengan hasil kali I dl dan sinus sudut ( antara elemen dan garis yang menghubungkan P ke elemen dan berbanding terbalik dengan pangkat dua dari jarak R yaitu antara P dan elemen.

Gbr.7.1 Medan magnit dH di P berkenaan dengan elemen arus I dlyaitu

Dimana k adalan konstanta perbandingan. Dalam satuan SI,

sehingga Pers.7-2 menjadi,

dimana

Jadi arah dari dH dapat ditentukan oleh hukum tangan kanan dimana ibu jari menunjukan arah arus, jari yang memegang kawat adalah arah dari dH seperti ditujukan pada Gbr.7-2(a). Secara alternatif dapat menggunakan sekrup yang diputar ke kanan untuk menentukan arah dari dH; dengan ulir ditempatkan sepanjang kawat dan menunjuk pada arah arus yang mengalir, arah selanjutnya dari ulir tersebut adalah arah dari dH seperti pada Gbr. 7-2(b)

Gbr.7-2. Menentukan arah dari dH yang menggunakan (a) hukum tangan kanan, atau (b) hukum sekrup berulir kanan.Biasanya untuk mewakili arah dari intensitas medan magnet H (atau arus I) adalah suatu lingkaran kecil dengan suatu tanda titik atau silang yang tergantung pada apakah H ( atau I) adalah ke luar, atau memasuki, halaman kertas seperti yang digambarkan di dalam Gambar 7-3.

Gbr. 7-3. Representasi dari H (atau I) (a) keluar halaman kertas dan (b) memasuki halaman kertas

Sama seperti konfigurasi muatan yang berbeda (lihat Gambar 4-5), terdapat distribusi arus yang berbeda: arus saluran, arus permukaan, dan arus volume seperti yang ditunjukkan di dalam Gbr 7-4. Jika K digambarkan sebagai kerapatan arus permukaan (dalam amperes/meter ) dan J sebagai kerapatan arus volume (dalam amperes/meter pangkat dua), elemen-elemen sumber terkait sebagai

Gbr.7-4. Distribusi arus:(a) arus saluran, (b) arus permukaan, (c) arus volume

Jadi, dalam bentuk sumber distribusi arus, Hukum Biot-Savart pada Pers.7-4 menjadi,

Sebagai satu contoh, Persamaan 7-6 diterapkan untuk menentukan medan berkenaan dengan suatu filamen konduktor yang menghantan arus panjang AB terihat pada Gbr. 7-5. Asumsi bahwa konduktor terletak sepanjang sumbu z dimana ujung atas dan bawah membentuk sudut (2, (1 di P titik dimana H akan ditentukan.Catatan tertentu harus diambil tentang asumsi seperti ini yaitu tentang rumus yang harus diterapkan secara bersesuaian. Jika ditilik kontribusi dH di titik P berkenaan dengan elemen dI di (0, 0, z),

Gbr.7-5.Medan di titik P berkenan dengan filamen konduktor yang lurus

Ekspresi ini secara umum dapat diterapkan pada setiap filamen konduktor yang lurus dengan panjangnya terbatas. Catatan dari Pers. 7-12 bahwa H selalu sepanjang vektor satuan a( (yaitu, sepanjang jalur lingkaran yang konsentrik ) dengan tak mengindahkan panjang kawat atau dari titik perhatian P. Sebagai suatu kasus khusus, ketika konduktor itu semiinfinite ( berkenaan dengan P)sehingga titik A kini pada O(0, 0, 0) selagi B di (0, 0,(); (1 =90, (2 =90, dan Pers. (7-12) menjadi

Kasus yang lain adalah bila panjang konduktor tidak berhingga. Untuk kasus ini, titik A adalah pada (0, 0, (() sedangkan B pada titik (0, 0, ();(1 =180, (2 =0, dan Pers. (7-12) menjadi

Untuk mencari vector satuan a( pada Pers.7-12 sd 7-14 tidak selamanya mudah. Suatu pendekatan sederhana untuk menentukan a( dari

Dimana adalah vector satuan sepanjang saluran arus dan a( adalah vektor satuan sepanjang garis yang tegak lurus dari arus saluran ke titik medan.

Contoh Soal 1

Sebuah penghantar yang berbentuk segitiga tertutup diperlihatkan pada Gbr.6-6(a) menghantar arus 10 A. Hitunglah H di (0, 0, 5) berkenaan dengan sisi 1 dari loop.

Gbr.7-6 Untuk contoh 7-1: (a) penghantar yang berbentuk loop segitigaSolusiContoh ini meng ilustrasikan bagaimana Pers.7-12 digunakan pada setiap konduktor panjang yang menghantar arus. Titik kunci yang harus diingat dalam menggunakan Pers.7-12 adalah menggambar kembali (1, (2, ( dan a( Untuk mencari H di (0, 0, 5) berkenaan pada sisi 1 dari loop pada Gbr. 6-6 (a), tilik Gbr. 7-6 (b), dimana sisi 1 di anggap sebagai penghantar yang lurus. Catatan bahwa titik yang diperhatikan (0,0,5) dihubungkan sebagai awal dan ujung dari arus saluran. Perhatikan bahwa (1, (2, dan ( ditandai pada arti yang sama seperti pada Gbr. 7-5, dimana Pers.7-12 sebagai dasar.

Gbr.7-6 Untuk contoh 7-1: (b) sisi 1dari loop segitigaUntuk menentukan a sering sebagai bagian tersulit dalam menggunakan Pers.7-12. Sesuai dengan Pers.7-15, dan sehingga

Sehingga, Dengan demikian

Latihan 1:

Hitung H di (0, 0, 5) berkenaan dengan sisi 3 dari loop segitiga di Gbr. 7-6(a)

Jawaban :

mA/m.3.Hukum Rangkaian Ampere Persamaan Maxwell

Hukum Ampere tentang rangkaian menyatakan bahwa integral garis dari komponen tangensial H sekitar jalur tertutup adalah sama ketika arus yang di lingkupi oleh jalur tersebut.

Dengan perkataan lain, sirkulasi dari H sama dengan Ienc; sehingga,

Hukum Ampere adalah mirip dengan hukum Gauss dan mudah digunakan untuk menentukan H bila distribusi arus simetrik. Perlu dicatat bahwa Pers.7-17 selalu dipertahankan apakah distribusi arus itu simetrik atau tidak tetapi hanya dapat menggunakan persamaan itu untuk menentukan H ketika arus simetrik ada. Hukum Ampere adalah suatu kasus khusus dari hukum Biot-Savart.Dengan menerapkan teori Stoke pada bagian kiri dari Pers. (7-16), diperoleh

Bandingkan integral permukaan dalam Pers.7-16 dan 7-17 dengan jelas mengungkapkan bahwa,

Ini adalah persamaan ke tiga Maxwell; Pada dasarnya hukum Ampere dalam bentuk diferensial (atau titik) sedangkan Pers.7-16 adalah bentuk integral. Pengamatan dari Pers 7-19 bahwa yaitu medan magnetostatis tidak konservatif.

4.Penerapan Hukum AmpereSekarang penggunaan hukum Ampere dalam menentukan H untuk beberapa distribusi arus simetris seperti yang dilakukan untuk hukum Gauss. Tilik suatu saluran arus yang tidak terbatas, lembaran arus yang tidak terbatas dan saluran transmisi coaxial yang sangat panjang

A.Saluran yang sangat panjang (tidak terbatas)

Tilik suatu arus dalam bentuk filamen sepanang sumbu z yang panjangnya tidak terbatas, ditujukan pada Gbr. 7-10

Gbr. 7-10. Hukum Ampere yang diterpkan pada suatu saluran arus filamen panjang tidak berhingga.Menentukan H pada titik pengamatan P, biarkan suatu jalur tertutup melintasi P. Jalur ini, yang mana hukum Ampere akan digunakan, di kenal sebagai Jalur Ampere ( analoginya pada istilah permukaan Gauss). Pilih suatu lingkaran konsentris sebagai jalur Amperre yang dapat dilihat pada Pers.7-14, yang mana memperlihatkan bahwa H adalah konstan dengan syarat adalah ( konstan. Karena arus I menasuki seantero jalur ini, sesuai dengan hukum Ampere,

Seperti yang diharapkan dari Pers.7-14

B.Luasan Arus yang Tidak Berhingga

Tilik suatu lembaran arus tidak berhingga di bidang z = 0. Bila lembaranarus terssebut memiliki kerapatanarus yang seragam K = Kyay A/m seperti diperlihatkan pada Gbr. 7-11. Dengan menggunaka hukum Ampere pada jalue segi empat tertutup (jalur Ampere) memberikan

Untuk meng evaluasi integral, pertama-tama dipikirkan apakah H sama.Untuk menjangkau ini anggap lembaran arus berisikan filamen-filamen; dH diatas atau dibawah lembaran berkenaan dengan pasangan arus filamen dapat dihitung dengan menggunakan Pers.7-14 an 7-15. Seperti yang dijelaskan pada Gbr.711(b), resultante dH hanya memiliki komponen x saja. Juga, H pada sisi yang lain dari lembaran adalah negatif dari sisi yang lain. Berkenaan dengan luas dari luasan, luasan dapat dianggap berisikan pasangan-pasangan filamen-filamen sehingga kharakteristik dari H untuk sebuah pasangan adalah sama untuk luasan arus tidak berhingga, yaitu,

Gbr. 7-11. Penggunaan hukum Ampere pada suatu luasan tidak berhingga;(a) jalur tertutup1-2-3-4-1, (b) pasangan yang simetris dari filamen arus dengan arus sepanjang ayDimana Ho masih perlu ditentukan. Dengan meng evaluasi integral garis H dalam Pers.7-21 sepanjang jalur tertutup dalam Gbr.7-11(a) memberikan

Dari Pers. 7-21a dan 7-21b, diperoleh Substitusikan Ho dalam Pers.7-21b memberikan,

Secara umum, untuk kerapatan arus K A/m pada lembaran yang tidak berhingga

Dimana an adalah vektor satuan normal yang arahnya dari lembaran arus ke titik yang diminati.

C.Saluran Transmisi Coaxial Panjang Takberhingga

Tilik suatu jalur transmisi dengan panjang tidak terbatas terdiri dari dua silinder yang konsentrik terletak sepanjang sumbu-z. Penampang melintang ditunjukkan pada Gambar 7-12, di mana sumbu-z keluar dari halaman kertas ini. Jari-jari konduktor bagian dalam a menghantar selagi konduktor luar dengan jari jari b dan ketebalan t menghantar arus-balik . Akan ditentukan H di mana-mana dengan mengasumsi bahwa arus di distribusikan secara seragam pada kedua konduktor-konduktor.

Karena arus yang di distribusikan adalah simetrik, maka akan diterapkan hukum Ampere sepanjang jalur Amperian yang masing masing memiliki empat daerah kemungkinan :

Untuk daerah kenakan hukum Ampere pada jalur L1, memberikan

Gbr. 7-12 Penampang melintang saluran transmisi;arah positif z keluar dari halaman kertas.Karena arus di distribusikan di seantero penampang melintang,

Sehingga Pers.7-24 menjadi,

atau

7-25Untuk daerah kenakan hukum Ampere pada jalur L2, sebagai jalur Amperian,

atau

Oleh karena keseluruhan arus I dicakup oleh L2, dengan catatan bahwa Pers.7-26 sama seperti Pers.7-14 dan tidak bergantung pada a. Untuk daerah , dikenakan jalur L3, diperoleh,

untuk

Dan J dalam kasus ini adalah kerapatan arus (arus per satuan luas) dari konduktor bagian luar sepanjang (az yaitu,

Jadi,

Substitusikan ke Pers 7-27, diperoleh,

Untuk daaerah dkenakan jalur L4, diperoleh

atau,

Gabungkan Pers.7-25 ke 7-28 memberikan,

Magnitudo H di gambarkan seperti pada Gbr.3-13.

Gbr.7-13. Plot dari H( terhadap (.

Contoh Soal 7-5

Bidang z = 0 dan z = 4 menghantar arus masing-masing K = (10ax A/m dan K = 10 ax A/m. Tentukan H di (a) (1, 1, 1)(b) (0, (3, 10).

Solusi

Biarkan lembaran (sheet) arus yang paralel ada seperti pada Gbr. 7-14. Juga biarkan,

H = Ho + H4

Untuk Ho dan H4 adalah kontribusi berkenaan masing-masing dengan lembaran arus z = 0 dan z = 4. Gunakan Pers.7-23

Gbr. 7-14 untuk contoh soal 7-5 lembaran arus paralel tidak terbatas

(a) Di titik ( 1, 1, 1), yang mana diantara lempengan (0 < z = 1 < 4)

Sehingga,

H = 10ay A/m

(b) di titik (0, (3, 10), yang mana diatas dua lembaran ( z = 10 > 4 > 0)

Sehingga H = 0 A/m

Soal Latihan 7-5

Bidang y = 1 menghantar arus K = 50az mA/m. Hitunglah H di

(a)(0, 0, 0)

(b)(1, 5, (3)Jawaban: (a )25ax mA/m, (b) (25ax mA/mContoh 7-6

Sebuah Toroida keseluruhan dimensinya diperihatkan pada Gbr.7-15 memiliki N lilit dan menghantar arus I. Tentukan H didalam dan diluar toroida

Solusi

Gunakan hukum ampere pada jalur Amperian, yang mana adalah lingkaran dengan radius ( diperlihatkan dalam Gbr.7.15. Karena kawat N memotong melalui jalur ini masing-masing menghantar arus I, jumlah arus yang tercakup dalam jalur Amperian adalah NI. Sehingga,

atau

Gbr.7-15 untuk contoh 7-6;sebuah toroida dengan sebuah penampang melintang.Dimana (o adalah radius rata-rata dari toroida seperti diperlihatkan pada Gbr.7-15. Harga rata-rata dari H adalah;

Sebagai catatan bahwa ini adalah sama seperti rumus yang diperoleh pada H untuk titik didalam selenoid yang sangat panjang . Jadi Sebuah selenoida yang lurus dapat dianggap sebagai lilitan sebuah toroida khusus yang mana (o(. Diluar toroida, arus yang tercakup oleh jalur Amperian adalah NI NI = 0 sehingga H = 0

Soal Latihan 7-6

Sebuah Toroida dengan penampang melintang berbentuk lingkaran berpusat pada titik asal dan sumbu sama seperti sumbu z memiliki 1000 lilit dengan (o= 10 cm, a = 1 cm. Bila toroida menghantar arus 100 mA, Hitunglah (H( di titik;

(a)(3cm, (4 cm, 0)(b)(6 cm, 9 cm, 0)

Jawaban;(a) 0, (b) 147,1 A/m

Medan Elektromaknit II

Materi Kuliah II

Dosen

:Ir. Fielmann Lisi,MT

Jumlah Pertemuan :2 sd 3 kali tatap muka

P e r t e m u a n II

Rabu, 0730 sd 930Ruang T17

7-5Kerapatan Fluks Magnetik Persamaan Maxwell

Kerapatan fluks magnit B adalah sama dengan kerapatan fluks elektris D. Sebagai D = (oE didalam ruang hampa, sedangkan B berkaitan dengan intensitas medan maknit H sesuai dengan persamaan,

7-30

Untuk (o dalam henry/m (H/m) adalah konstanta yang dikenal sebagai permeabilitas ruang hampa, nilainya adalah,

7-31

Definisi yang paling tepat dari medan magnetik B, dalam bentuk gaya magnetik, akan diberikan pada bab berikut.Fluks magnetik yang melalui suatu permuaan S adalah

Untuk fluks magnetik ( dalam weber (Wb) dan kerapatan fluks magnetik dalam weber/meter kwadrat (Wb/m2 atau Tesla )

Gbr.7-16 Garis fluks maknit berkenaan dengan kawat lurus dengan arus menuju keluar dari kertas.Garis fluks magnetik adalah jalur atau edaran yang mana B adalah tangensial pada setiap titik dalam medan magnit. Adalah sepanjang garis dimana jarum kompas akan menyesuaikan dirinya sendiri bila ditempatkan di dalam medan magnit. Sebagai contoh, garis fluks berkenaan dengan kawat lurus panjang yang diperlihatkan dalam Gbr.7-16. Garis fluks ditentukan dengan menggunakan prinsip yang sama yang diikuti dalam bagian 4-10 untuk garis-garis fluks elektris. Arah dari B dimisalkan utara oleh jarum kompas. Catatan bahwa setiap garis fluks adalah tertutup dan tidak memiliki awal atau akhir. Melalui Gbr.7-16 untuk konduktor lurus yang menghantar arus, yang secara umum benar bahwa garis-garis fluks magnetik adalah dekat dan masing-masing tidak saling berpotongan tanpa memandang distribusi arus.Dalam medan elektrostatika, fluks yang melintas pada suatu permukaan tertutup adalah sama seperti muatan yang tercakup; yaitu, Jadi mungkin memiliki muatan elektris yang terisolasi seperti diperlihatkan pada Gbr. 7-17(a) yang mana juga terungkap bahwa garis-garis fluks elektris tidak perlu berdekatan. Tidak seperti garis-garis fluks magnit yang selalu menyelubungi magnit itu sendiri (dirinya sendiri) seperti diperlihatkan pada Gbr. 7-17(b). Faktanya adalah tidak mungkin dapat meng isorir kutub-kutub maknit (muatan maknit).

Gbr.7-17 Fluks yang meninggalkan permukaan tertutup berkenaan dengan :(a) muatan elektris yang diisolasi, (b) muatan maknit,

Gbr. 7-18 Pembagian secara terus menerus dari sebuah batang maknit menjadi batangan-batangan kecil dengan kutub-kutub utara dan selatan, diperlihatkan bahwa kutub-kutub maknit tidak dapat diisolir.

Sebagai contoh, bila diinginkan suatu kutub maknit yang diisolasi dengan membagi sebuah batang maknit secara terus menerus (membagi terus hingga sekecil mungkin), tetap akhirnya diperoleh juga bagian terkecil maknit yang tetap memiliki kutub utara dan selatan, diperlihatkan pada Gbr.7-18. Diperoleh bahwa suatu hal yang tidak mungkin untuk memisahkan kutub utara dengan kutub selatan.Jadi fluks total melalui suatu permukaan tertutup dalam medan maknit harus sama dengan nol yaitu,

Persamaan ini dirujuk sebagai hukum kekekalan fluksi maknit atau hukum Gauss tentang medan magnetostatika yaitu sebagai ( D ( dS = Q adalah hukum Gauss untuk medan elektrostatika. Walaupun medan magnetostatika tidak konservatif, fluks magnetik adalah kekal.Dengan menggunakan teori divergensi pada Pers 7-33, diperoleh

atau

Persamaan ini adalah persamaan Maxwell ke empat. Persamaan 7-33 atau 7-34 memperlihatkan bahwa medan magnetostatika tidak memiliki sumber atau muara. Dianjurkan pada Pers. 7-34 bahwa garis-garis medan magnet selalu kontinyu.7.6 Persamaan Maxwell untuk Medan Elektromagnetika Statis

Setelah diperoleh empat persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetika statis, yang ditabulasikan seperti pada Tabel 7-7

Dari tabel, dicatat bahwa orde dan asalnya persamaan-persamaan tersebut sudah dirubah untuk tujuan kejelasan.

Pilihan antara bentuk diferensial dan integral dari persamaan-persamaan bergantung pada problem tertentu. Dari Table 7-2 jelaslah bahwa suatu medan vektor yang digambarkan dengan sepenuhnya, menetapkan curl dan divergensinya. Suatu medan dapat berupa magnetis atau elektris jika memenuhi persamaan-persamaan Maxwell yang bersesuaian (lihat Problems 7-26 dan 7-27). Perlu dicatat bahwa Persamaan-persamaan Maxwell seperti ditabulasi pada Table 7-2 hanya untuk medan-medan EM yang statik. Seperti yang nanti dibahas di dalam Bab 9, persamaan-persamaan divergensi akan tetap sama untuk medan-medan EM yang berubah terhadap waktu tapi persamaan curl akan harus dimodifikasi.

7.7Skalar Magnetika dan Potensial Vektor

Penyederhanaan masalah medan elektrostatika yaitu hubungan potensial elektris V dengan intensitas medan elektris E,(E = ((V). Dengan cara yang sama, dapat didefinisikan suatu potensial, sejalan dengan medan magnetostatika B. Kenyataannya, potensial magnetika dapat berupa skalar Vm atau vektor A. Untuk mengdefinisikan Vm dan A melibatkan dua identitas yang penting (lihat Contoh 3-9 dan Latihan 3-9)

Yang mana harus dipertahankan untuk setiap medan skalar dan medan vektor A. Hanya sebagai E = ((V, dapat didefinisikan potensial skalar magnetika Vm (dalam Ampere) yang berhubungan dengan H sesuai dengan,

Kondisi yang terkait dengan persamaan ini adalah penting dan akan dijelaskan. Mengkombinasikan Pers.6-36 dan Pers.7-19 memberikan

Karena Vm harus memenuhi keadaan dalam persamaan (7-35a). Jadi potensial skalar magnetika Vm hanya didefinisikan dalam region dimana J = 0 seperti dalam Pers (7-36). Perlu dicatat disini bahwa Vm memenuhi persamaan Laplace hanya ketika V pada kerja medan elektrostatika; sehingga,

Telah diketahui bahwa untuk medan elektrostatika, ( ( B = 0 seperti dinyatakan pada Pers 7-34. Tujuan untuk memenuhi persamaan 7-34 dan 7-35b secara simultan, dapat didefinisikan vektor potensial magnetika A ( dalam Wb/m) seperti

Sama seperti yang didefinisikan

Dapat dijelaskan

Dibanding dengan yang diperoleh pada Pers. 7-41) sd Pers. 7-43. Dari Pers. 7-40, suatu pendekatan alternatif adalah untuk memperoleh Pers. 7-41 sd Pers. 7-43 dari Pers. 7-6 sd 7-8. Sebagai contoh, dapat diperoleh Pers. 7-41 dari Pers. 7-6 bersama dengan Pers. 7-39. Untuk melakukan hal ini, tulis Pers. 7-6 seperti

di mana R adalah vektor jarak dari elemen garis di titik sumber ke titik medan (x, y, z) seperti yang ditunjukkan pada dalam Gbr. 7-19 dan R = |R|, yaitu ,

sehingga

Gbr.7-19 Mengilustrasikan titik sumber dan titik medan (x, y, z)atau

Dimana diferensiasi terhadap x, y, dan z. Substitusikan persamaan ini ke Pers.7-44, diperoleh

Gunakan notasi vektor

dimana f adalah medan skalar dan F adalah medan vektor. Ambil dan , diperoleh

Oleh karena operator ( terhadap (x, y, z) sedangkan adalah fungsi dari , ( = 0.Sehingga,

Dengan persaman ini, Pers.7-47 disederhanakan menjadi

Bandingkan Pers.7-50 dengan Pers. 7-39 diperlihatkan bahwa

pembuktian Pers.7-41. Dengan meng substitusi Pers.7-39 ke Pers.7-32 dan gunakan teorema Stoke, diperoleh,

atau

Jadi fluks maknetik yang melalui areal tertentu dapat dicari dengan menggunakan salah satu Pers. 7-32 atau 7-51. Juga, medan magnetik dapat ditentukan dengan menggunakan baik Vm atau A; pilihan itu didikte oleh sifat alami yang diberikan kecuali bahwa Vm yang hanya dapat digunakan di suatu daerah sumber yang bebas. Pemakaian potensial vektor magnetik menyediakan suatu pendekatan tangguh, pendekatan yang rapi untuk memecahkan permasalahan EM, terutama sekali yang berkenaan dengan antena. Seperti akan diperkenalkan di Bab 13 (Bp. Drs. Elia Kendek Allo, MSc sebagai dosen penyaji), adalah lebih disukai untuk menemukan B dengan pertama-tama menemukan A di dalam permasalahan antena.

Contoh Soal 7-7

Ditentukan vektor potensial magnetika hitunglah total fluks magnetika yang melintasi permukaan

Solusi

Soal ini dapat dipecahkan dalam dua cara yang berbeda; dengan menggunakan Pers.7-32 atau Per.7-51

Metoda 1;

Sehingga,

Metoda 2;

Terapkan

Dimana L adalah jalur yang membatasi permukaan S ; (1, (2, (3, dan (4 adalah, masing-masing evaluasi dari ( A( dl sepanjang segmen L yang ditandai dari 1 sd 4 dalam Gbr. 7-20. Oleh karena A hanya memiliki komponen z

Gbr.7-20 untuk contoh soal 7-7

yaitu,

seperti yang diperoleh sebelumnya. Catatan bahwa arah lintasan atau jalur L harus bersesuaian dengan dS.Latihan Soal 7-7

Suatu distribusi arus memberikan kenaikan vektor potensial magnet

A = x2y ax + y2x ay 4xyz az Wb/m. Hitung(a) B di ((1. 2, 5) (b) Fluks yang melalui permukaan yang didefinisikan oleh z = 1, 0 ( x (1, (1 ( y ( 4

Contoh 7-8

Bila bidang z = 0 menghantar arus seragam K = Kyay

ini telah diperoleh pada bagian 7-4 dengan menggunakan Hukum Ampere. Tentukan hal ini dengan menggunakan konsep magnetik vektor potensial

Solusi

Tilik lembaran (sheet) arus seperti pada Gbr.7-21. Dari Pers.7-42

Pada soal ini,

di mana koordinat-koordinat yang ditinjau adalah untuk titik sumber sedangkan koordinat-koordinat yang tidak ditinjau adalah untuk titik medan. Perlu (dan biasanya ) untuk membedakan antara kedua titik-titik itu adalah untuk menghindari kebingungan (lihat Gambar 7-19). Karenanya

Di dalam integran, lebih disukai koordinat-koordinat yang dapat dirubah dari Cartesian ke silindris

Sehingga

Dengan hanya menggantikan z dengan ( z di Pers. (7.8.2) dan mengikuti prosedur yang sama, diperoleh;

Gbr.7-21 Untuk contoh 7-8 arus pada bidang yang tak terbatas7-8 Penurunan Hukum Biot-Savart dan Hukum Ampere

Hukum Biot-Savart dan hukum Ampere keduanya dapat diperoleh dengan menggunakan konsep magnetis potensial vektor. Penurunan itu akan melibatkan pemakaian identitas-identitas vektor di Pers. (7-48) dan

Karena hukum Biot-Savart seperti yang disampaikan dalam Pers. (7-4) pada dasarnya pada arus saluran (line), penurunan dimulai dengan Pers. (7-39) dan (7-41); yaitu;

di mana R didefinisikan seperti di Pers. (7-45). Jika identitas vektor di Pers. (7-48) diterapkan dengan membiarkan F = dl dan f = l/R, Pers. (7-53) menjadi

Karena ( beroperasi berkenaan dengan (x, y, z) dan dl' adalah suatu fungsi dari Juga

di mana aR adalah suatu vektor satuan dari titik sumber ke titik medan. Jadi, dengan demikian Pers. ( 7-54) (dengan menghilangkan ketelitian pada menjadi,

Yang mana ini adalah hukum Biot-Savart

Gunakan identitas dalam Pers.7-52 pada Pers.7-39, diperoleh

Hal ini dapat ditunjukan bahwa untuk medan magnet statika

sehingga dengan menggantikan B dengan (oH dan menggunakan Pers. (719), Pers. (7-58) menjadi

atau

yang disebut persamaan vektor Poisson. Hal ini serupa dengan persamaan Poisson di dalam elektrostatika. Pada koordinat Cartesian, Pers. (7-60) dapat diuraikan ke dalam tiga persamaan skalar:

yang dapat berupa sebagai persamaan-persamaan Poisson dalam bentuk skalar.

Hal itu dapat juga ditunjukkan bahwa hukum rangkaian Ampere itu adalah konsisten dengan definisi dari potensial vektor magnetik. Dari teorema Stokes dan Pers. (7-39),

dari Pers.7-52, 7-59, dan 7-60,

Substitusikan ini ke Pers.7-62 menghasilkan

Ini adalah hukum rangkaian Ampere !Kesimpulan

1. Dasar Hukum-hukum

Biot Savart, dan

Ampere

Pembahasan tentang medan magnetik statis telah dibicarakan.

Hukum Biot-Savart mirip dengan hukum Coulomb

Kuat medan dH di r oleh karena elemen arus I dl di r adalah

A/m

dan

Untuk distribusi arus permukaan atau volume I dl diganti dengan K

dS atau J dv sehingga I dl = K dS = J dv.

2. Hukum rangkaian Ampere mirip dengan hukum Gauss

Sirkulasi H sekitar jalur tertutup = arus yang dicakup oleh jalur yaitu

atau

Hukum Maxwell III

Bila distribusi arus adalah simetrik sehingga jalur Ampere ( dimana

adalah konstan), Hukum Ampere berguna dalam menentukan H yaitu

atau

3. Fluks magnetik yang melalui bidang S diberikan oleh Pers.

Dimana B adalah kerpatan fluks magnetik dalam Wd/m2

dalam ruang hampa H/m = permeabilitas ruang hampa.

4. Oleh karena tidak ada magnet yang dapat di isolir atau tidak ada magnet yang memiliki kutub tunggal (mono pole), fluks magnetik bersih yang melalui permukaan tertutup = 0

atau

( ( B = 0

Hukum Maxwell IV

5. Pada titik ini, Hukum Maxwell hingga IV untuk Elektromagnetik (EM) telah dibicarakan

6. Potensial skalar magnetik Vm dirumuskan sebagai

Dan vektor potensial magnetik A sebagai

Dimana V A = 0 dengan rumusan A, fluks magnet yang melalui suatu bidang S dapat diperoleh dari

dimana L adalah jalur tertutup yang merumuskan S (lihat Gbr.3-30).

Dibandingkan dengan menggunakan hukum Biot-Savart, medan magnet yang berkenaan dengan suatu distrubusi arus dapat diperoleh dengan menggunakan A, suatu pendekatan yang jitu yang mana khususnya berguna dalam teori antena. Untuk elemen arus

potensial vektor magnet di r adalah

7. Terdapat keserupaan dari elemen-elemen antara medan elektrik dan medan magnetik. Sebagian dari ini adalah terdapat di Table 7-1. Sesuai dengan persamaan Poisson , sebagai contoh, adalah PAGE 19

_1296826570.unknown

_1355364255.unknown

_1422108479.unknown

_1422108520.unknown

_1422108713.unknown

_1422109153.unknown

_1422108801.unknown

_1422108540.unknown

_1422108508.unknown

_1355365176.unknown

_1422104708.unknown

_1422105219.unknown

_1355365553.unknown

_1355366197.unknown

_1355364582.unknown

_1355365073.unknown

_1355364275.unknown

_1297518157.unknown

_1298213014.unknown

_1298213742.unknown

_1298213996.unknown

_1298214405.unknown

_1298216219.unknown

_1330696248.unknown

_1355364233.unknown

_1298215733.unknown

_1298214174.unknown

_1298213902.unknown

_1298213155.unknown

_1298213657.unknown

_1298213111.unknown

_1297681261.unknown

_1297681922.unknown

_1297680832.unknown

_1296851027.unknown

_1297515182.unknown

_1297516796.unknown

_1297517739.unknown

_1297516673.unknown

_1296853556.unknown

_1297514656.unknown

_1297514734.unknown

_1296853755.unknown

_1296852201.unknown

_1296850608.unknown

_1296850979.unknown

_1296850422.unknown

_1295769140.unknown

_1296825481.unknown

_1296825728.unknown

_1296826166.unknown

_1296825589.unknown

_1296824914.unknown

_1296825059.unknown

_1295901374.unknown

_1295615955.unknown

_1295720067.unknown

_1295720216.unknown

_1295615995.unknown

_1295616341.unknown

_1295604409.unknown

_1295612775.unknown

_1295604195.unknown