Ηλεκτροστατικά Πεδία

Ηλεκτρομαγνητικά Πεδία Α Καθ. Ηλίας Ν. Γλύτσης

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

27/03/2021

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 2

Εξισώσεις Maxwell για Ηλεκτροστατικά Πεδία Ηλεκτροστατικά Πεδία

S

Περιοχή +

Περιοχή -

Οριακές Συνθήκες Ηλεκτροστατικού Πεδίου

Συντακτική Σχέση

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 3

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Σφαιρικών Συμμετριών Ηλεκτρικού Φορτίου

x

y

z

ε(r)

σ

a φ

θ

P(r, θ, φ)

ρ(r)

r

q

ε0

• Σημειακό φορτίο q στην αρχή των αξόνων

• Ομοιόμορφο επιφανειακό φορτίο σ (r=a)

• Χωρικό φορτίο με σφαιρικά συμμετρική πυκνότητα ρ(r)

Σφαιρικά Συμμετρικές Κατανομές Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 4

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell Σφαιρική Συμμετρία

Εφαρμογή Αστροβίλου Ηλεκτροστατικού Πεδίου

Καμπύλη Cφ

Καμπύλη Cθ

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 5

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell Επομένως μόνο η ακτινική συνιστώσα του

ηλεκτρικού πεδίου είναι μη-μηδενική

Εφαρμογή Νόμου Gauss

S

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 6

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 7

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 8

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 9

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell Σφαιρική Συμμετρία

Νόμος Faraday 0

0

0

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 10

Νόμος Faraday Νόμος Gauss

0

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 11

Νόμος Gauss

Εύρεση σταθερών C1 και C2

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 12

Οριακή Συνθήκη

Ηλεκτρικό Πεδίο

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 13

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Κυλινδρικών Συμμετριών Ηλεκτρικού Φορτίου

• Γραμμική πυκνότητα φορτίου λ στον άξονα z

• Ομοιόμορφο επιφανειακό φορτίο σ (rT=a) στο κυλινδρικό κέλυφος.

• Χωρικό φορτίο με κυλινδρικά συμμετρική πυκνότητα ρ(rT)

Κυλινδρικά Συμμετρικές Κατανομές Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 14

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell Κυλινδρική Συμμετρία

Εφαρμογή Αστροβίλου Ηλεκτροστατικού Πεδίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 15

Εφαρμογή Αστροβίλου Ηλεκτροστατικού Πεδίου

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 16

Κυλινδρική Συμμετρία

Νόμος Gauss

S = S1 ή S2

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 17

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 18

Παραδείγματα

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 19

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 20

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 21

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell Κυλινδρική Συμμετρία

Νόμος Faraday 0 0

0

0

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 22

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 23

Cφ

0

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 24

Νόμος Gauss 0 0

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 25

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 26

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Λόγω του απέραντου ομοιόμορφου επιφανειακού φορτίου το ηλεκτρικό πεδίο είναι συνάρτηση μόνο της μεταβλητής z

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 27

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 28

Νόμος Gauss

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 29

Με χρήση της Αρχής της Επαλληλίας

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 30

Γενίκευση για Απέραντη Επίπεδη Κατανομή Ηλεκτρικού Φορτίου

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 31

• Ομοιόμορφο επιφανειακό φορτίο σ (z = -h) παράλληλο στο επίπεδο xy • Χωρικό φορτίο σε απέραντη πλάκα πάχους 2h παράλληλη στο xy με πυκνότητα ρ(z)

Απέραντες Κατανομές Ηλεκτρικού Φορτίου

Ηλεκτροστατικό Πεδίο Λόγω Απέραντων Επίπεδων Κατανομών Ηλεκτρικού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 32

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell Συμμετρία λόγω Απέραντων Κατανομών

Ηλεκτρικού Φορτίου

Νόμος Gauss

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 33

Νόμος Gauss

Λύση με χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 34

Εναλλακτικός Τρόπος Χρησιμοποιώντας την Λύση Απέραντου Φορτισμένου Φύλλου

x0

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 35

Παράδειγμα

Απέραντου Φορτισμένου Φύλλου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 36

Παράδειγμα

Απέραντου Φορτισμένου Φύλλου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 37

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Απέραντες Κατανομές Φορτίων Παράλληλες στο Eπίπεδο xy

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 38

Νόμος Faraday (Αστρόβιλο Ηλεκτροστατικού Πεδίου)

0

0

0 0

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 39

Οριακή Συνθήκη (Εφαπτομενικό Ηλεκτρικό Πεδίο) z =-h & z= h

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 40

Οριακή Συνθήκη (Εφαπτομενικό Ηλεκτρικό Πεδίο) z = ± άπειρο

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 41

Νόμος Gauss

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 42

Οριακή Συνθήκη (Dn)

Χρειάζεται άλλη μια συνθήκη ???

Συνθήκη Αντισυμμετρίας

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 43

Τελικές Τιμές των ai

Λύση με χρήση των σημειακών εξισώσεων του Maxwell

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 44

Γενική Παρατήρηση για Ηλεκτροστατικά Προβλήματα

Παραδείγματα που είδαμε:

Σφαιρική Συμμετρία

Κυλινδρική Συμμετρία

Επίπεδη (xy) Συμμετρία

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 45

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Ορισμός

Καρτεσιανό Σύστημα

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 46

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Κυλινδρικό Σύστημα

Σφαιρικό Σύστημα

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 47

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα Σημειακού Φορτίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 48

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα 2 Σημειακών Φορτίων

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 49

Ετερόσημα Φορτία Ομόσημα Φορτία

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα 2 Σημειακών Φορτίων

Matlab’s Streamslice

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 50

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Σε χώρο με επιτρεπτότητα ε0 υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο που δίδεται από την σχέση:

(α) Να επιβεβαιωθεί ότι πρόκειται για ηλεκτροστατικό πεδίο (β) Να προσδιοριστούν όλες οι πυκνότητες φορτίου που δημιουργούν το πεδίο (γ) Να προσδοριστούν οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 51

Επομένως ικανοποιείται ο νόμος του αστροβίλου

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 52

Λόγω της συνάρτησης sgn(x) υπάρχει πιθανότητα ασυνεχειών στο επίπεδο x=0

Επομένως ικανοποιείται η συνέχεια του εφαπτομενικού ηλεκτρικού πεδίου

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 53

Ο νόμος Gauss και η οριακή συνθήκη για το D θα προσδιορίσουν τις πηγές του Ηλεκτρικού πεδίου

Εφόσον το ηλεκτρικό πεδίο δεν απειρίζεται πουθενά δεν υπάρχουν ούτε σημειακά φορτία ούτε γραμμικά φορτία

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 54

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 55

‘Εστω x > 0

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 56

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

With routine Fieldlines (Matlab Exchange)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 57

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου Παράδειγμα (από βιβλίο Βομβορίδη)

With routine Streamslice (matlab)

With routine Mmstream2/streamline (Matlab Exchange)

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 58

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου

y

x 0

b

a

σ = 0

σ ≠ 0 Φ = 0

Φ = V0

Καθ.Ηλίας Ν. Γλύτσης, Σχολή ΗΜΜΥ, ΕΜΠ 59

Δυναμικές Γραμμές Ηλεκτρικού Πεδίου