Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Στατιστική Ι
Ενότητα 3: Πιθανότητες
Δρ. Γεώργιος Κοντέος
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
2
Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας » έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
3
Σκοποί ενότητας 3
• Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως Αβέβαιες Διαδικασίες και Πείραμα.
• Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως Πιθανότητα και Ενδεχόμενο.
4
Περιεχόμενα ενότητας
• Bασικές Έννοιες.
• Στατιστικός Ορισμός Πιθανότητας.
• Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας.
• Παραδείγματα.
• Βασικές Πράξεις Ενδεχομένων-Παραδείγματα.
• Μεταθέσεις-Συνδυασμοί.
5
Βασικές έννοιες (1/8)
Στη στατιστική μιλάμε συχνά για αβέβαιες διαδικασίες:
• Την έκβαση και το αποτέλεσμα δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ή να προβλέψουμε με ακρίβεια.
Ένας άλλος όρος που χρησιμοποιούμε για μια διαδικασία είναι ο όρος πείραμα:
• Κάθε φορά που εκτελείται το πείραμα λέμε ότι έχουμε μια δοκιμή.
• Κάποια πειράματα έχουν γνωστό εκ των προτέρων αποτέλεσμα το οποίο δεν αλλάζει όσες δοκιμές και εάν κάνουμε.
6
Βασικές έννοιες (2/8)
• Για παράδειγμα, το νερό βράζει στους 100ο C και αυτό συμβαίνει όσες φορές και εάν επαναλάβουμε τη διαδικασία.
• Τέτοιου είδους πειράματα λέγονται προσδιορίσιμα και δεν αποτελούν αντικείμενο μελέτης της στατιστικής.
7
Βασικές έννοιες (3/8)
Τυχαίο πείραμα λέγεται το πείραμα του οποίου τα αποτελέσματα δεν μπορούν να προβλεφθούν με ακρίβεια:
• Αποτελούν κατεξοχήν αντικείμενο μελέτης της στατιστικής.
Απλά τυχαία πειράματα:
• Η ρίψη νομίσματος.
• Η ρίψη ζαριού.
Κάθε πιθανό αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος λέγεται δειγματικό σημείο και συμβολίζεται με s.
8
Βασικές έννοιες (4/8)
Tο σύνολο των δειγματικών σημείων συγκροτεί το δειγματικό χώρο ενός τυχαίου πειράματος που συμβολίζεται με S.
• Από τις αγγλικές λέξεις sample Space.
9
Βασικές έννοιες (5/8)
Στη ρίψη νομίσματος έχουμε δύο δειγματικά σημεία, Κεφάλι(Κ) και Γράμματα (Γ).
Στη ρίψη ζαριού έχουμε 6 δειγματικά σημεία τα: 1, 2, 3, 4, 5 και 6.
Ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου λέγεται ενδεχόμενο και συμβολίζεται με Ε.
Μπορεί ένα ενδεχόμενο:
• Να περιέχει μόνο ένα δειγματικό σημείο, οπότε λέγεται απλό ενδεχόμενο.
10
Βασικές έννοιες (6/8)
Μπορεί ένα ενδεχόμενο:
• Μπορεί να περιέχει περισσότερα από ένα δειγματικά σημεία, οπότε λέγεται σύνθετο ενδεχόμενο.
Για παράδειγμα, στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο:
• 𝐸1 = 𝑠 = 5 .
• Είναι ένα απλό ενδεχόμενο, αφού περιέχει μόνο τοδειγματικό σημείο 5.
11
Βασικές έννοιες (7/8)
Ενώ το ενδεχόμενο:
• 𝐸2 = 𝑠 = 𝜇𝜄𝜅𝜌ό𝜏𝜀𝜌𝜊 𝛼𝜋ό 6 είναι ένα σύνθετο ενδεχόμενο, αφού περιέχει τα δειγματικά σημεία 1, 2, 3, 4και 5.
Ένα ενδεχόμενο χωρίς κανένα δειγματικό σημείο:
• Δηλαδή ένα κενό σύνολο που συμβολίζεται με Ø λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο.
• Π.χ. στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο Ε1 = 𝑠 = 7 είναι ένα αδύνατο ενδεχόμενο, αφού το ζάρι δεν μπορεί να φέρει 7. Το 7 δεν είναι σημείο του δειγματικού χώρου.
12
Βασικές έννοιες (8/8)
Ένα ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα δειγματικά σημεία ταυτίζεται με το δειγματικό χώρο S και είναι ένα βέβαιο ενδεχόμενο.
Το ενδεχόμενο Ε1 = 𝑠 =1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 είναι ένα βέβαιο ενδεχόμενο:
• Εάν ρίξουμε το ζάρι θα έρθει αναγκαστικά 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6.
Παράδειγμα:
• Τυχαίοι αριθμοί για ρίψη ζαριού 100 φορές.
13
Διάγραμμα 1. Παράδειγμα 1 (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012 .ISBN: 978-960-93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ).
Παράδειγμα 1 (1/2)
14
Παράδειγμα 1 (2/2)
Πίνακας 1.(Προηγούμενη Διαφάνεια. Παράδειγμα 1 (1/2) ).
• Δειγματικά σημεία ρίψης ζαριού και αποτελέσματα για n ρίψεις ζαριού
15
Στατιστικός ορισμός πιθανότητας
Στατιστικός ορισμός πιθανότητας:
• 𝑃 =𝑓
𝑛.
Πιθανότητα = το όριο της σχετικής συχνότητας
• 𝑃𝑟 = lim𝑛→∞
𝑓
𝑛.
16
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (1/6)
Πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ενδεχομένου E1.
• P(E1)=Πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του δειγματικού χώρου.
Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας:
• Σε κάθε ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου S, αντιστοιχεί ένας αριθμός Ρ(E1) που ονομάζεται πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το E1.
17
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (2/6)
Τυχαία μεταβλητή είναι ένα χαρακτηριστικό, μια μέτρηση η οποία μεταβάλλεται τυχαία σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο μοτίβο ή τρόπο.
Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Χ, Υ, Ζ κλπ.
• Ενώ οι τιμές που παίρνουν με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα x, y, z κλπ.
Σε κάθε τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής αντιστοιχεί μια πιθανότητα να συμβεί.
18
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (3/6)
• Στο παράδειγμα με το ζάρι η τυχαία μεταβλητή Χ = ρίψη ζαριού παίρνει τις τιμές x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6.
• Η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μια τιμή συμβολίζεται με P(X=xi). Στο παράδειγμα με το ζάρι έχουμε:
• 𝑃 𝑥𝑖 =1
6, για 𝜄 = 1 έως 6.
19
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (4/6)
Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1:
• 𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 + 𝑃 𝑥3 + 𝑃 𝑥4 + 𝑃 𝑥5 + 𝑃 𝑥6 = 1
⟺1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6=1
• Με άλλα λόγια, το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων όλων των δειγματικών σημείων ισούται πάντοτε με 1.
20
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (5/6)
Η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μια τιμή συμβολίζεται με P(X=xi).
Στο παράδειγμα με το ζάρι έχουμε:
• 𝑃 𝑥𝑖 =1
6, για 𝜄 = 1 έως 6 .
Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1:
• 𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 + 𝑃 𝑥3 + 𝑃 𝑥4 + 𝑃 𝑥5 + 𝑃 𝑥6 = 1
⟺1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6+
1
6=1.
21
Κλασικός ορισμός πιθανότητας (6/6)
Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1 (συνέχεια):
• Με άλλα λόγια, το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων όλων των δειγματικών σημείων ισούται πάντοτε με 1.
22
Ιδιότητες (1/4)
Ιδιότητες:
• Η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου Α βρίσκεται πάντοτε μεταξύ του μηδενός και της μονάδας, 𝟎 ≤ 𝑷 𝑬𝟏 ≤ 𝟏.
• Η πιθανότητα όλου του δειγματικού χώρου ή αλλιώς του βέβαιου ενδεχομένου ισούται με την μονάδα Ρ(𝑆) = 1.
• Η πιθανότητα αδύνατου ενδεχομένου ισούται με το μηδέν Ρ(Ø) = 0.
23
Ιδιότητες (2/4)
Ιδιότητες (συνέχεια):
• Δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Sονομάζονται συμπληρωματικά ή αντίθετα αν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου και το άθροισμά τους μας δίνει το βέβαιο ενδεχόμενο, δηλαδή το δειγματικό χώρο S. Π.Χ. Τα ενδεχόμενα κορόνα και γράμμα.
Αν Ε είναι το αντίθετο (συμπληρωματικό) ενός ενδεχομένου Ε, τότε ισχύει η σχέση:
• 𝑃 Ε = 1 − 𝑃(𝐸).
24
Ιδιότητες (3/4)
Ιδιότητες (συνέχεια):
• Ένωση δύο ενδεχομένων E1 και E2, στο δειγματικό χώρο S, ονομάζεται το ενδεχόμενο της εμφανίσεως ενός τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα και συμβολίζεται με 𝚨 ∪𝚩 = 𝑬𝟏 ή 𝑬𝟐 .
• Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους:
o Αν η πραγματοποίηση του ενός ενδεχομένου αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου.
25
Ιδιότητες (4/4)
Ιδιότητες (συνέχεια):
• Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους συνέχεια):
• Π.Χ. Τα ενδεχόμενα 1 και 4 στην ρίψη ενός ζαριού. Αν Ε1 και Ε2 είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου, τότε ισχύει η σχέση:
o Ρ Ε1 ∪ Ε2 = Ρ Ε1 + Ρ Ε2 .
o Ε1 ∩ Ε2 = 0.
26
Παράδειγμα 1
Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 φύλλα. Ποια η πιθανότητα να εμφανιστεί άσσος ;
Λύση:
Επειδή οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 4 (4 άσσοι) και οι δυνατές περιπτώσεις 52 (όσα τα φύλλα της τράπουλας), συνεπάγεται ότι:
• 𝚸 (άσσου) = 𝟒/𝟓𝟐.
27
Παράδειγμα 2
Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές , ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν δύο Γράμματα ;
Λύση:
Ο δειγματικός χώρος αυτού του πειράματος τύχης, αποτελείται από οκτώ απλά ενδεχόμενα:
• S = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}.
Υπάρχουν τρία ενδεχόμενα με δύο φορές Γράμματα:
• ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ. Επομένως: 𝚸(𝟐𝚪) = 𝟑/𝟖.
28
Παράδειγμα 3
Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί το πολύ μια φορά Γράμματα (λιγότερες φορές από δυο).
Λύση:
• Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από οκτώ ενδεχόμενα.
• 𝑆 = 𝚱𝚱𝚱,𝚱𝚱𝚪, 𝚱𝚪𝚱, ΚΓΓ, 𝚪𝚱𝚱, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ .
Υπάρχουν τέσσερα ενδεχόμενα με λιγότερες από δύο φορές "Γράμματα": ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ. Συνεπώς:
• 𝚸(< 𝟐𝚪) = 𝟒/𝟖 = 𝟏/𝟐 .
• 𝚸(< 𝟐𝚪) = 𝟎, 𝟓 ή 𝟓𝟎%.
29
Παράδειγμα 4
Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν τέσσερις φορές Γράμματα.
Λύση:
• Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από οκτώ απλά ενδεχόμενα.
• 𝑆 = ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ .
Εάν ρίξουμε τρεις φορές ένα νόμισμα είναι απίθανο να εμφανιστούν τέσσερες φορές Γράμματα.
• Δηλαδή 𝚸(𝟒𝚱) = 𝟎/𝟖 = 𝟎.
30
Παράδειγμα 5
Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί μονός αριθμός;
Λύση:
• Δειγματικός χώρος: 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
Τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα (ίδια πιθανότητα εμφάνιση κάθε αριθμού). Επομένως για:
• Ε1 = 𝜇𝜊𝜈ό𝜍 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍 = 1,3,5 . τότε 𝚸 (𝚬𝟏) = 𝟑/𝟔 =𝟎, 𝟓.
31
Παράδειγμα 6
Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί αριθμός μικρότερος του 5;
Λύση:
• Δειγματικός χώρος: 𝑆 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
Η εμφάνιση του κάθε αριθμού είναι εξίσου πιθανή. Επομένως για:
• Ε1 = 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍 𝜇𝜄𝜅𝜌ό𝜏𝜀𝜌𝜊𝜍 𝜏𝜊𝜐 5 = 1,2,3,4 τότε 𝚸(𝚬𝟏) = 𝟒/𝟔 = 𝟐/𝟑.
32
Βασικές πράξεις ενδεχομένων
Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους:
• Αν η πραγματοποίηση του ενός ενδεχομένου αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου.
Σε δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 η πιθανότητα εμφανίσεως του Ε1 ή του Ε2 ισούται με το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων τους.
• Δηλαδή: Ρ (Α ή Β) = Ρ (Α 𝑈 Β) = Ρ (Α) + Ρ(Β).
33
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (1/7)
Παράδειγμα 1.
Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός 2 ή αριθμός 6;
Λύση:
• H εμφάνιση του αριθμού 2 αποκλείει την εμφάνιση του αριθμού 6.
• Το διαζευκτικό ή στις πιθανότητες σημαίνει άθροιση.
• Συμβολίζουμε τα ενδεχόμενα με τα γράμματα: 𝚬𝟏 = αριθμός 2, 𝚬𝟐 = αριθμός 6. Τότε Ρ(𝚬𝟏) =1/6 και Ρ(𝚬𝟐) = 1/6.
34
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (2/7)
Παράδειγμα 1 (συνέχεια).
Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός 2 ή αριθμός 6;
Λύση (συνέχεια):
• Ρ(𝚬𝟏ή𝚬𝟐) = Ρ(𝚬𝟏)+Ρ(𝚬𝟐) =𝟏
𝟔+
𝟏
𝟔=
𝟐
𝟔=
𝟏
𝟑= 𝟎, 𝟑𝟑
35
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (3/7)
Παράδειγμα 2.
Σε ένα παιχνίδι που συμμετέχουμε κερδίζουμε εάν κατά τη ρίψη ενός νομίσματος εμφανιστεί το ενδεχόμενο Κεφαλή ή το ενδεχόμενο Γράμματα. Τότε ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε;
Λύση:
Τα ενδεχόμενα Κεφαλή και Γράμματα είναι ασυμβίβαστα.
36
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (4/7)
Παράδειγμα 2 (συνέχεια).
Λύση (συνέχεια):
Επομένως η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Κ ή του ενδεχομένου Γ είναι:
• Ρ Κ ή Γ = Ρ Κ + Ρ Γ =1
2+
1
2.
• Ρ(Κ 𝛹 Γ) = 1,δηλαδή θα κερδίσουμε με βεβαιότητα.
37
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (5/7)
Παράδειγμα 3.
Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα, το χαρτί που τραβήξαμε, να είναι βαλές ή άσσος ;
Λύση:
• Η εμφάνιση του βαλέ αποκλείει την εμφάνιση του άσσου, συνεπώς τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα (αμοιβαίως αποκλειόμενα) και επομένως αθροίζουμε τις πιθανότητες.
38
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (6/7)
Παράδειγμα 3 (συνέχεια).
Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα, το χαρτί που τραβήξαμε, να είναι βαλές ή άσσος ;
Λύση (συνέχεια):
• Χαρακτηρίζουμε τα ενδεχόμενα με τα γράμματα Β(βαλές), Α (άσσος) και υπολογίζουμε τις ατομικές τους πιθανότητες.
39
Βασικές πράξεις:ένωση ενδεχομένων (7/7)
Παράδειγμα 3 (συνέχεια).
Επομένως είναι:
Β = βαλές, Α = άσσος και Ρ(Β) = 4/52, Ρ Α =4
52.
Τότε, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
• 𝚸 (𝚩 ή 𝚨) = 𝚸 𝚩 + 𝚸 𝚨 .
• 𝚸 (𝚩 ή 𝚨) = 𝟒/𝟓𝟐 + 𝟒/𝟓𝟐 = 𝟖/𝟓𝟐 .
40
Βασικές πράξεις. Τομή ενδεχομένων (1/4)
Τομή δύο ενδεχομένων E1 και E2 είναι:
• Το ενδεχόμενο εκείνο που πραγματοποιείται αν πραγματοποιηθούν και τα δυο ενδεχόμενα E1 και E2συγχρόνως. Π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Ε1 οι μονοί αριθμοί {1,3,5} και το ενδεχόμενο Ε2 ο αριθμός {3} έχουν ως τομή τον αριθμό 3.
• Ε1 ∩ Ε2 = 3.
41
Βασικές πράξεις. Τομή ενδεχομένων (2/4)
Τομή δύο ενδεχομένων E1 και E2 (συνέχεια):
Αν τα ενδεχόμενα Α και Β δεν αποκλείονται αμοιβαίως δηλ. η εμφάνιση του Α δεν αποκλείει και την ταυτόχρονη εμφάνιση και του Β τότε η πιθανότητα εμφανίσεως του Α ή του Β θα είναι:
• Ρ(Α ή Β)=Ρ(Α U Β) =Ρ (Α)+Ρ (Β)-Ρ(Α και Β).
42
Βασικές πράξεις : Τομή ενδεχομένων (3/4)
Παράδειγμα:
Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να είναι Βαλές ή Μπαστούνι;
Λύση:
Έχουμε τα ακόλουθα ενδεχόμενα: Β = βαλές και M = μπαστούνι. Οι ατομικές πιθανότητες τους είναι:
𝚸(𝚩) = 𝟒/𝟓𝟐, 𝚸(𝚳) = 𝟏𝟑 /𝟓𝟐 .
43
Βασικές πράξεις : Τομή ενδεχομένων (4/4)
Παράδειγμα:
Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να είναι Βαλές ή Μπαστούνι;
Λύση (συνέχεια):
Τα ενδεχόμενα Βαλές = Β και Μπαστούνι = Μ είναι μη ασυμβίβαστά. Επομένως:
• 𝑃(𝐵ή𝑀) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝐵 𝜅𝛼𝜄 𝑀).
• 𝑃(ΒήΜ) = 13/52 + 4/52 − 1/52 .
• 𝑃(ΒήΜ) = 16/52 = 0,308.
44
Μεταθέσεις
Οι τρόποι με τους οποίους διατάσσονται ένας αριθμός ατόμων ή πραγμάτων λέγονται μεταθέσεις.
Με άλλα λόγια μετάθεση των διαφορετικών πραγμάτων α1,α2, α3,...,αn ονομάζουμε τις διαφορετικές ομάδες που μπορούν να σχηματιστούν. Οι ομάδες δύναται να διαφέρουν:
• Ως προς τη σειρά (α1α2 ,α2α1) με όλους τους δυνατούς τρόπους.
• Μ𝑛 = 𝑛! = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ⋯∗ (𝑛 − 2) ∗ (𝑛 − 1) ∗ 𝑛 .
• 𝑛!: 𝑛 παραγοντικό.
45
Παράδειγμα 7
Με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 πόσους διαφορετικούςτετραψήφιους μπορούμε να σχηματίσουμε;
• Μ𝑛 = 𝑛! = 4! = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24.
• 1234, 2134, 3124, 4123, 1324, 2314, 3214, 4213.
• 1243, 2143, 3142, 4132.
46
Παράδειγμα 8 (1/2)
Σε ένα γήπεδο ανακοινώνουμε τα ονόματα των 6 παικτών μιας ομάδας βόλλεϊ και αυτοί ένας – ένας εισέρχονται σε αυτό. Πόσοι τρόποι διαφορετικοί υπάρχουν με τους οποίους μπορούμε να φωνάξουμε τους παίκτες;
Λύση:
• Ανακοινώνοντας το πρώτο όνομα έχουμε 6 επιλογές, τα έξι ονόματα των παικτών της ομάδας.
• Για να ανακοινώσουμε το δεύτερο όνομα έχουμε 5 επιλογές, αφού ένας παίκτης, ο πρώτος που φωνάξαμε το όνομά του, έχει ήδη σηκωθεί.
47
Παράδειγμα 8 (2/2)
Προχωρώντας στο τρίτο όνομα έχουμε πλέον 4 επιλογές, στο τέταρτο όνομα 3 επιλογές, στο πέμπτο όνομα 2 επιλογές και στο έκτο όνομα μας έχει μείνει να ανακοινώσουμε το όνομα του τελευταίου παίκτη.
Συνολικά λοιπόν, έχουμε:
• Μ𝑛 = 6! = 6! = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 = 720.
Υπάρχουν 720 διαφορετικοί τρόποι για να ανακοινώσουμε τα ονόματα των 6 παικτών.
• Το παραπάνω διαβάζεται ως έξι παραγοντικό.
48
Συνδυασμοί(1/2)
Όταν έχουμε να επιλέξουμε m στοιχεία από ένα σύνολο n,αλλά δεν μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης, τότε έχουμε συνδυασμούς των n στοιχείων ανά m.
• Υποθέτουμε n διαφορετικά στοιχεία α1, α2, α3,...,αn εκ των οποίων παίρνουμε m από αυτά.
• Στο σχηματισμό της κάθε ομάδας δεν παίζει ρόλο η σειρά εμφάνισης των στοιχείων.
• Εάν έχουμε α1α2 τότε το α2α1 δεν αποτελεί νέα ομάδα.
• Ισχύει 𝟏 < 𝒎 < 𝒏.
49
Συνδυασμοί(2/2)
Οι συνδυασμοί των 4 στοιχείων α, β, γ, δ ανά 2 είναι :
• αβ, αγ , αδ, βγ , βδ, γδ.
•42
= 6.
Το πλήθος των συνδυασμών των n πραγμάτων ανά m είναι:
•𝑛𝑚
=𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!.
50
Παράδειγμα 9
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια τριμελής επιτροπή από δώδεκα υποψήφιους;
Λύση:
Έχουμε συνδυασμούς 12 ανά 3:
•𝑛𝑚
=𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!⟺
123
=12!
3!(12−3)!=.
• =9!∗10∗11∗12
1∗2∗3∗9!= 220.
51
Παράδειγμα 10
Όταν συναντώνται 8 φοιτητές, πόσες διαφορετικές χειραψίες μπορούμε να έχουμε;
Λύση:
Έχουμε συνδυασμούς 8 ανά 2.
•𝑛𝑚
=𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!⟺
82
=8!
2!(8−2)!= .
• =6!∗7∗8
2!∗6!= 28 .
52
Παράδειγμα 11
Σε ένα φούρνο γίνονται τυρόπιτες χρησιμοποιώντας 7 είδη τυριών. Πόσες τυρόπιτες μπορούν να γίνουν με τρία είδη τυριών;
Λύση:
Έχουμε συνδυασμούς 7 ανά 3.
•𝑛𝑚
=𝑛!
𝑚!(𝑛−𝑚)!⟺
73
=7!
3!(7−3)!= .
• =4!∗5∗6∗7
1∗2∗3∗4!= 35 .
53
Τέλος Ενότητας