27. 7. 2003 1

FII–14 Magnetické dipóly

27. 7. 2003 2

Hlavní body

• Magnetické dipóly• Pole která produkují

• Chování ve vnějších magnetických polích

• Výpočet některých magnetických polí• Solenoid

• Toroid

• Vodič konečného průřezu

27. 7. 2003 3

Magnetický dipól I

• V elektrostatice jsme definovali elektrický dipól: Představujeme si jej jako dva náboje, které mají stejnou absolutní hodnotu ale opačnou polaritu a jsou drženy v určité vzdálenosti od sebe například pomocí pevné tyčinky. • Přestože celkový náboj je nulový, je díky rozdílné

poloze obou nábojů dipól zdrojem elektrostatického pole speciální symetrie, které klesá rychleji než pole bodových nábojů.

• Vnější elekrické pole se obecně snaží dipól natáčet a posunovat.

27. 7. 2003 4

Magnetický dipól II

• Magnetickým dipólem jsou buď tenké ploché permanentní magnety nebo proudové smyčky.• Jsou opět zdroji polí speciální symetrie, která také

klesají rychleji než pole přímých vodičů a

• ve vnějších magnetických polích jsou natáčeny nebo posunovány podobně jako elektrické dipóly.

• Pomocí magnetických dipólů vysvětlujeme magnetické vlastnosti látek.

27. 7. 2003 5

Magnetický dipól III

• Mějme kruhovou vodivou smyčku o poloměru a, protékanou proudem I. Popišme magnetické pole na ose smyčky ve vzdálenosti b.

• Rozdělme smyčku na malé kousíčky dl = ad a sečtěme vektorově jejich příspěvky k magnetické indukci s použitím Biot-Savartova zákona.

27. 7. 2003 6

Magnetický dipól IV

• Ze symetrie je směr magnetické indukce stejný jako směr osy smyčky, kterou nazveme osou z. V tomto případě znamená integrace pouze součet projekcí magnetické indukce do osy z

dBz = dB sin . A z geometrie:

sin = a/r 1/r2 = sin2 /a2

r2 = a2 + b2

• Proveďme integraci.

B

27. 7. 2003 7

Magnetický dipól V

• Protože magnetické dipóly jsou zdroji magnetického pole, jsou jím také ovlivňovány.

• V homogenním magnetickém poli bude na magnetický dipól působit moment síly, který bude jejich osu natáčet do směru magnetických siločar.

• Ilustrujme to na speciálním případě obdélníkové smyčky a x b, kterou protéká proud I.

27. 7. 2003 8

Otázka :

• Jaká je celková síla a moment síly na obdélníkovou smyčku, protékanou proudem, leží-li v rovině kolmé k siločárám homogenního magnetického pole?

• Jaký by byl rozdíl, kdyby byla smyčka kruhová?

27. 7. 2003 9

Odpověď

• Síla, působící na každou stranu, leží v rovině obdélníku a je k ní kolmá. Její orientace závisí na smyslu toku proudu. Každopádně, síly, působící na protilehlé strany se vyruší, protože proud v nich teče v opačném směru.

• U kruhové smyčky se síla, působící na její každý kousek dl, vyruší se silou působící na protilehlý kousek dl’.

27. 7. 2003 10

Magnetický dipól VI

• Z obrázku vidíme, že síly působící na strany a se snaží smyčku roztáhnout. Je-li pevná, síly se vyruší.

• Síly působící na strany b jsou horizontální. Horní působí do tabule a spodní z tabule. Lze je rozložit na složky z nichž jednen pár se opět snaží smyčku roztáhnout, ale druhý tvoří dvojici sil mající otáčivý účinek.

27. 7. 2003 11

Magnetický dipól VII• Moment síly můžeme najít například nalezením

projekce síly kolmo na smyčku:

T/2 = Fbsin a/2 • Protože obě síly působí ve stejném smyslu:

T = BIabsin • Užitím definice magnetického dipólového

momentu:

lze vztah pro moment síly zobecnit :

0mIabm

BmT

bF

27. 7. 2003 12

Princip galvanometru• Použítí proudové smyčky v homogenním

magentikém poli, u níž by byl moment síly kompenzován momentem síly pružiny, je možným principem měření proudu. Stupnice takového přístroje by ale byla nelineární!

• U skutečných přístrojů se používá speciální radiální ale v místě smyčky konstantní magnetické pole (radiální homogenní), kde síla, působící momentem síly, je vždy kolmá ke smyčce.

2sin NIabkT

27. 7. 2003 13

Magnetické pole solenoidu I

• Solenoid je dlouhá cívka s mnoha závity.• V případě konečného solenoidu je nutné

magnetické pole počítat jako superpozici magnetické indukce vyvolané jednotlivými závity.

• V případě solenoidu téměř nekonečného, kdy lze zanedbat okrajové efekty, můžeme elegantně použít ampérova zákona.

27. 7. 2003 14

Magnetické pole solenoidu II

• Jako uzavřenou křivku zvolíme obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s osou solenoidu.

• Ze symetrie lze předpokládat, že siločáry budou paralelní s osou solenoidu.

• Protože se uzavřené siločáry vrací „celým vesmírem“ jsou vně solenoidu nekonečně zředěny.

27. 7. 2003 15

Magnetické pole solenoidu III

• Je zřejmé, že nenulový příspěvek křivkového integrálu bude pouze přes stranu obdélníka, která je uvnitř solenoidu.

• Obklopuje-li obdélník N závitů s proudem I a jeho strana má délku l, potom:

Bl = 0NI• A zavedeme-li hustotu závitů, potom:

n = N/l B = 0nI

27. 7. 2003 16

Magnetické pole solenoidu IV

• Ze symetrie je patrné, že výsledná indukce je stejná, ať je náš obdélník ponořen do nitra solenoidu libovolně hluboko. Úvnitř dlouhého solenoidu je tedy homogenní pole.

• Pole co nejblížší homogennímu v určitém objemu je nutné vytvořit u mnoha metod např. hmotnostní spektroskopie nebo NMR.

• Relativně kvalitní pole lze získat pomocí tzv. Helmholtzových cívek. To je velmi krátký solenoid o velkém průměru, rozdělený na půlky.

27. 7. 2003 17

Magnetické pole toroidu I

• Toroid si lze představit jako solenoid uzavřený do sebe. Protože siločáry nemohou uniknout, nemusíme dělat žádné předpoklady o jeho velikosti.

• Má-li toroid poloměr R a N závitů, protékaných proudem I, můžeme jednoduše ukázat, že pole jen v toroidu a vypočítat jaká bude jeho velikost pro určitou siločáru.

27. 7. 2003 18

Magnetické pole toroidu II

• Budeme integrovat podél siločáry o poloměru r :

B 2r = 0NI B(r) = 0NI/2r

• Toto platí pro každé r uvnitř toroidu.

• Je patrné, že pole je:• nehomogenní, protože závisí na r.

• nulové vně toroidu.

27. 7. 2003 19

Magnetické pole vodiče konečného průřezu I

• Mějme přímý vodič o průměru R, kterým protéká proud I a předpokládejme konstantní proudovou hustotu.

• Použijme Ampérova zákona. Uvažujme dvě kruhové dráhy, jednu uvnitř a druhou vně vodiče.

• Dráha vně vodiče obemyká celý proud a pole je zde stejné jako, kdyby byl vodič nekonečně tenký.

• Dráha uvnitř vodiče obemyká jen část proudu, což vede k lineární závislosti indukce na r.

27. 7. 2003 20

Magnetické pole vodiče konečného pruřezu II

• Uvažujme kruhovou dráhu o poloměru r uvnitř vodiče:

B 2r = 0Ienc

• Obemknutý proud Ienc zde závisí na ploše, jejímž obodem je uvažovaná smyčka

Ienc = I r2/R2

B = 0Ir/2R2

27. 7. 2003 21

Problémy na rozmyšlení

• V oblasti, kde nejsou proudy musí být magnetické pole, jehož siločáry jsou rovnoběžné, zároveň homogenní.

• Pole, které vytváří pravoúhlý vodič, protékaný proudem.

• Vodivá tyč, ležící na dvou kolejnicích kolmo k homogennímu magnetickému poli, připojí-li se kolejnice ke zdroji.

27. 7. 2003 22

Giancoli

• Kapitola 27 – 5 a 28 – 4, 5

Kruhová proudová smyčka I

23

)(

2

4

4

2

4

2sin

4

sin

sin4

44

22

0

3

20

20

20

20

20

20

ba

IAr

Ia

r

Ia

dr

IadBB

r

IaddB

r

Iad

r

IdldB

zz

z

Kruhová proudová smyčka II

30 2

4)(

b

mbB

S = a2 je plocha smyčky a její normála má směr osy z. Můžeme definovat magnetický dipólový moment a předpokládat, že pole pozorujeme z velké dálkym takže b>>a. Potom:

Magnetický dipól je zdrojem magnetického pole speciální symetrie, které klesá se třetí mocninou vzdálenosti.

^

SIm

The vector or cross product I Let c=a.b

Definition (components)

The magnitude |c|

kjijki bac

sinbac

Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

The vector or cross product II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system.

ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)}

^