Βασικές Μικροοικονομικές Έννοιες · x1 να εκφράζει την ποσότητα του αγαθόύ 1 και x2 αντίστοιχα για το

Βασικές Μικροοικονομικές Έννοιες

Η ενασχόληση με το χρηματοπιστωτικό σύστημα και με το πεδίο της χρηματοοικο-

νομικής προϋποθέτει την κατανόηση βασικών εννοιών και «εργαλείων» που απαντώ-

νται σε όλο το εύρος της χρηματοοικονομικής πρακτικής. Ωστόσο, η ανάπτυξη αυτών

των «εργαλείων» δεν είχε ως στόχο να αποτυπώσουν με απόλυτη ακρίβεια την οι-

κονομική πραγματικότητα. Η φιλοδοξία μας -σε αντίθεση με ότι διατείνονται πολλοί

χρηματοοικονομολόγοι- δεν είναι να κάνουμε πρόβλεψη για την διαμόρφωση του οικο-

νομικού περιβάλλοντος στο μέλλον, πολύ περισσότερο να περιγράψουμε στην πλήρη

διάστασή του το χρηματοπιστωτικό σύστημα. Είναι να αποπειραθούμε να κατανοή-

σουμε όσο το δυνατόν περισσότερο την λειτουργία του -και στο πλαίσιο του εφικτού-

να προσπαθήσουμε να είμαστε αναλυτικοί. Η μικροοικονομική ανάλυση αποτελεί βασικό

αρωγό στην προσπάθειά μας.

Στην μικροοικονομική ανάλυση ποτέ δεν θα συναντήσετε πολυσύνθετα ερωτήματα εκ-

φρασμένα με πολύπλοκες διατυπώσεις. Τα ερωτήματα που θέτουμε είναι βασικά, όπως τι

είναι η αγορά, πως προκύπτουν οι τιμές των αγαθών, πως προκύπτει η ζήτηση, ποιος

ο ρόλος των προτιμήσεών μας στην διαδικασία των οικονομικών αποφάσεων κ.α.. Συνε-

πώς τα ερωτήματα που θέτουμε αποσκοπούν στην θεμελίωση των βασικών εννοιών, που

θα μας διευκολύνουν στην κατανόηση των οικονομικών φαινομένων. Η διαδικασία της

θεμελίωσης μόνο εύκολη δεν μπορεί να χαρακτηριστεί, και πολλές φορές η αναλυτική αυ-

στηρότητα προϋποθέτει την χρήση μαθηματικού λογισμού. Η μαθηματική τυποποίηση

1

της μικροοικονομικής κάνει πολλές φορές την μικροοικονομική δύσκολα προσπελάσιμη

στους προπτυχιακούς φοιτητές. Είναι, ωστόσο ον εκ των ουκ άνευ για τον σοβαρό

οικονομολόγο και το πιο βασικό εργαλείο στην «εργαλειοθήκη» του.

Βασική οντότητα της μικροοικονομικής είναι ο «οικονομικός πράκτορας» (economic agent)

- υπό την ευρεία έννοια του ατόμου που πράττει, επιτελεί στο οικονομικό περιβάλλον.

Δεν ενδιαφερόμαστε για άτομα τα οποία ενώ υπάρχουν στο οικονομικό περιβάλλον, δεν

συμμετέχουν ή δεν το επηρεάζουν με τον οποιοδήποτε τρόπο. Αλλά για άτομα που

ενεργούν και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Διαφορετικά τον «οικονομικό πράκτορα» θα

τον συναντήσουμε να αναφέρεται ως «οικονομική μονάδα» η απλώς ως «άτομο».

Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό που αποδίδουμε στον «οικονομικό πράκτορα» είναι ότι

«ενεργεί» με ορθολογικό τρόπο. Η οικονομική «πράξη» πρέπει να έχει έναν τελολογικό

χαρακτήρα, να εξυπηρετεί έναν σκοπό, και αυτό να συμβαίνει με τον πιο αποτελεσματικό

τρόπο. Επομένως η ορθολογικότητα της επιλογής ταυτίζεται με την αποτελεσματικότητα

της, δηλαδή με την επιδίωξη πχ. του καταναλωτή να επιλέξει το βέλτιστο επίπεδο

κατανάλωσής του ώστε να μεγιστοποιήσει την ευημερία του.

Πως επιλέγει ο «οικονομικός πράκτορας»;

Όλες οι διαδικασίες επιλογής έχουν ως αφετηρία ένα αρχικό σύνολο εναλλακτικών επι-

λογών. Για παράδειγμα, η διαδικασία επιλογής ενός μεταπτυχιακού προγράμματος από

έναν υποψήφιο γίνεται μέσα από ένα σύνολο διαφορετικών προγραμμάτων και πανε-

πιστημίων. Η επιλογή του υποψηφίου εδράζεται σε ένα ή περισσότερα κριτήρια (πχ.

επίπεδο σπουδών, δίδακτρα, προοπτικές απασχόλησης κα.) και η τελική επιλογή θα

πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ικανοποιεί στο μεγαλύτερο βαθμό όσα περισσότερα από

τα κριτήρια αυτά.

Όμοια ένας καταναλωτής, ο οποίος επιθυμεί να αγοράσει ένα τελικό προϊόν (πχ. ένα

Δ. Βολιώτης 2

καινούργιο αυτοκίνητο) θα επιλέξει ανάμεσα σε δύο οι περισσότερες επιλογές ώστε να

ικανοποιήσει τα κριτήρια που θέτει (πχ. κόστος, οικονομία συντήρησης κα.) σύμφωνα

με τις καταναλωτικές του ανάγκες. Σε κάθε περίπτωση, αφετηρία είναι ένα σύνολο εναλ-

λακτικών επιλογών μέσα από το οποίο θα πρέπει να προκύψει τουλάχιστον μία. Ας

ονομάσουμε το σύνολο αυτό ως το σύνολο E. Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο E περιλαμ-

βάνει τρεις επιλογές, τις α,β και γ, και θα περιγράφεται ως E = {α, β, γ}. Η διαδικασία

επιλογής προϋποθέτει την σύγκριση των εναλλακτικών κατά ζεύγη. Επομένως, ο κα-

ταναλωτής θα συγκρίνει την α με την β, την β με την γ και την γ με την α. Για

παράδειγμα, αν η β επικρατούσε των άλλων δύο και η α της γ, τότε η τελική διάταξη

θα ήταν

Πρώτη επιλογή β

Δεύτερη επιλογή α

Τρίτη Επιλογή γ

Η σύγκριση των εναλλακτικών κατά ζεύγη ορίζει το σύνολο των «διατεταγμένων ζευ-

γών» προτίμησης, τα οποία δείχνουν για κάθε ζεύγος ποιο είναι προτιμότερο. Για να

αποτυπώσουμε πιο αναλυτικά την παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιούμε την μαθημα-

τική κατασκευή που είναι γνωστή ως «διμελής σχέση»

..

Η διμελής σχέση ≻ σε ένα σύνολο E περιγράφει μια σχέση προτίμησης, ώστε

για κάθε ζεύγος ϵ, ϵ′ στο E με το ϵ προτιμότερο του ϵ′ από τον οικονομικό

πράκτορα, να γράφουμε ϵ ≻ ϵ′.

.

Διμελής σχέση (προτίμησης)

.

Στην αντίθετη περίπτωση κατά την οποία ο οικονομικός πράκτορας προτιμά το ϵ′

έναντι του ϵ, θα γράφουμε ϵ′ ≻ ϵ. Στην περίπτωση που ο οικονομικός πράκτορας είναι

αδιάφορος μεταξύ των δύο επιλογών, ουσιαστικά ισχύει ϵ ≻ ϵ′ και ϵ′ ≻ ϵ. Τότε, εν

συντομία γράφουμε ϵ ∼ ϵ′.


Μπορούμε να επεκτείνουμε την διμελή σχέση προτίμησης ώστε να περιλαμβάνει και την

περίπτωση της αδιαφορίας. Συμβολίζουμε την νέα σχέση με ⪰ και αναφερόμαστε σε

αυτή ως ασθενή προτίμηση.

..

Η διμελής σχέση ⪰ σε ένα σύνολο E περιγράφει μια ασθενή σχέση προτίμησης,

ώστε για κάθε ζεύγος ϵ, ϵ′ στο E με το ϵ να προτιμάται από τον οικονομικό

πράκτορα τουλάχιστον όσο το ϵ′ (το ίδιο ή και περισσότερο), να γράφουμε

ϵ ⪰ ϵ′.

.

Ασθενής προτίμηση

.

Επομένως, όταν ισχύει ϵ ⪰ ϵ′, τότε δύο τινά μπορεί να συμβαίνουν. Είτε o οικονομικός

πράκτορας προτιμά το ϵ από το ϵ′ (ϵ ≻ ϵ′) ή είναι αδιάφορος μεταξύ των δύο (ϵ ∼ ϵ′).

Συνεπώς, η μόνη περίπτωση που αποκλείεται είναι η ϵ′ ≻ ϵ. Κατ’ αναλογία με τον

χαρακτηρισμό της ασθενούς προτίμησης για την περίπτωση της ⪰ θα αναφερόμαστε

στην διμελή σχέση ≻ ως ισχυρή προτίμηση.

Πότε οι προτιμήσεις είναι ορθολογικές;

Μια από τις προϋποθέσεις που θέσαμε στην διαδικασία επιλογής του οικονομικού πρά-

κτορα είναι ότι αυτή οφείλει να είναι ορθολογική, δηλαδή η επιλογή να είναι πάντα

η καλύτερη δυνατή μεταξύ των εναλλακτικών. Επίσης δείξαμε ότι ο έλεγχος της προ-

τίμησης των κατά ζεύγη επιλογών μπορεί να εισαχθεί μέσω μιας διμελούς σχέσης. Στη

συνέχεια θα δείξουμε ότι η έννοια της ορθολογικότητας μπορεί να γίνει με τον κατάλληλο

χαρακτηρισμό αυτής της διμελούς σχέσης, την οποία ονομάσαμε προτίμηση.

Μια αναμενόμενη συμπεριφορά για έναν ορθολογικό οικονομικό πράκτορα είναι να είναι

αδιάφορος μεταξύ δύο απολύτως ομοίων πραγμάτων. Για να γίνουμε πιο αυστηροί

στην ερμηνεία των «απολύτως όμοιων πραγμάτων» ας υποθέσουμε ότι συγκρίνουμε

ακριβώς το ίδιο πράγμα με τον εαυτό του. Επομένως μεταξύ του ϵ και του ϵ, αν


είμαστε ορθολογικοί, ισχύει ϵ ∼ ϵ. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως «αυτοπάθεια» (ή

ανακλαστικότητα) και πιο αυστηρά ορίζεται: για κάθε ϵ στο σύνολο E θα πρέπει ϵ ⪰ ϵ.

Η δεύτερη, και πιο σημαντική, ιδιότητα που προσδιορίζει την ορθολογική συμπεριφορά

στο πλαίσιο μιας διμελούς σχέσης προτίμησης είναι η «μεταβατικότητα». Για να κατα-

νοήσουμε την ιδιότητα αυτή αναλογιστείτε την περίπτωση όπου E = {α, β, γ}, στην

οποία η κατά ζεύγη σύγκριση οδηγεί στο να προτιμούμε το β από το α και το α

από το γ. Το ζεύγος που υπολείπεται είναι το γ με to β. Τι συμβαίνει όμως όταν το

γ προτιμάται του β; Τότε δημιουργείται η ατέρμονη διάταξη

β ≻ α ≻ γ ≻ β ≻ α . . .

Με απλά λόγια, ο οικονομικός πράκτορας βρίσκεται στην δυσμενή θέση να μην μπορεί

να λάβει μια σαφή απόφαση καθώς όλες οι επιλογές του είναι αυστηρά καλύτερες και

αυστηρά χειρότερες των εναλλακτικών τους, ταυτόχρονα. Η «μεταβατικότητα» εξασφα-

λίζει την αποφυγή των κυκλικών προτιμήσεων και ορίζεται ως: Για ϵ, ϵ′ και ϵ′′ στο E ,

αν ισχύουν τα ϵ ≻ ϵ′ και ϵ′ ≻ ϵ′′ τότε θα πρέπει να ισχύει ταυτόχρονα και ϵ ≻ ϵ′′.

Τέλος, ένας ορθολογικός οικονομικός πράκτορας οφείλει να είναι σε θέση να συγκρίνει

κατά ζεύγη όλες τις διαθέσιμες επιλογές. Αν συμβαίνει αυτό για κάθε ζεύγος ϵ, ϵ′ στο

E , θα πρέπει να ισχύει είτε ϵ ≻ ϵ′ είτε ϵ′ ≻ ϵ ή ϵ ∼ ϵ′. Δεν επιθυμούμε επ’ ουδενί να

υπάρχει απροσδιοριστία του αποτελέσματος. Η αναφερόμενη αυτή ιδιότητα της διμελούς

σχέσης είναι γνωστή ως «πληρότητα»

..Μια διμελής σχέση προτίμηση είναι ορθολογική όταν ικανοποιεί ταυτόχρρονα

τις ιδιότητες της αυτοπάθειας, μεταβατικότητας και της πληρότητας.

.

Ορθολογικές προτιμήσεις

.

Τι μπορούμε να πούμε για την ένταση της προτίμησης;

Οι διμελείς σχέσεις προτίμησης μας δίνουν πληροφορία μόνο για την διάταξη των εναλλα-


κτικών και όχι για την ένταση της προτίμησης. Συνεπώς αν για οποιεσδήποτε επιλογές

ϵ, ϵ′ αν ισχύει ϵ ≻ ϵ′ το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι ο οικονομικός πράκτορας θα

επιλέξει το ϵ έναντι του ϵ′. Δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε πόσο περισσότερο προ-

τιμά το πρώτο από το δεύτερο. Η προτίμηση του μπορεί να είναι οριακή ή σημαντικά

μεγάλη.

Βαθμολόγηση των επιλογών - Η έννοια της ωφέλειας

Η διατύπωση των προτιμήσεων των οικονομικών πρακτόρων ως διμελείς σχέσεις δεν

αποτελεί τον μόνο τρόπος για να αποτυπωθούν. Μάλιστα, η χρήση διμελών σχέσεων

για τον σκοπό αυτό δεν εξυπηρετεί πάντα τους σκοπούς της ανάλυσής μας. Είναι πολλές

φορές πιο χρήσιμο να συνδέουμε τις προτιμήσεις αυτές με πραγματικούς αριθμούς. Μόνο

τότε είμαστε σε θέση να επεκτείνουμε την εργαλειοθήκη μας και να ενσωματώσουμε

σε αυτή μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται και σε άλλες επιστήμες, όπως ο

κλασικός μαθηματικός λογισμός. Για να δείξουμε πως μπορεί να επιτευχθεί αυτό θα

χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα μας με το σύνολο επιλογών E = {α, β, γ}. Με βάση

την κατά ζεύγη σύγκριση καταφέραμε να ορίσουμε μια διάταξη των επιλογών από το

καλύτερο προς το χειρότερο, πχ.,

β ≻ α ≻ γ.

Ξεκινούμε βαθμολογώντας τις εναλλακτικές επιλογές, δίνοντας υψηλότερη «βαθμολογία»

σε εκείνη την εναλλακτική που είναι υψηλότερα στις προτιμήσεις μας. Αν πάλι είμαστε

αδιάφοροι μεταξύ δύο εναλλακτικών, αυτές πρέπει να λάβουν ακριβώς την ίδια «βαθ-

μολογία». Οι πραγματικοί αριθμοί που θα χρησιμοποιήσουμε ως «βαθμούς» μπορεί να

είναι ακόμη και αρνητικοί, αρκεί πάντα οι προτιμότερες επιλογές να λαμβάνουν την υψη-

λότερη βαθμολογία. Η βαθμολογία που αποδίδει κάθε εναλλακτική θα την αποκαλούμε

επίπεδο ωφέλειας. Ας δούμε το ακόλουθο παράδειγμα.


Επιλογή Ωφέλεια 1 Ωφέλεια 2 Ωφέλεια 3

α -3 0 4

β -1 5.5 4

γ -8.5 6 5

Αν είμαι ο οικονομικός πράκτορας με προτιμήσεις που αποδίδονται από την «ωφέλεια

1», τότε είναι προφανές ότι προτιμώ περισσότερο την εναλλακτική β καθώς λαμβάνει την

υψηλότερη «βαθμολογία», τον υψηλότερο συγκριτικά αριθμό. Τελευταία στις προτιμήσεις

μου είναι η εναλλακτική γ, η οποία λαμβάνει και τον χαμηλότερο βαθμό. Αν πάλι

οι προτιμήσεις μου αποδίδονται από την «ωφέλεια 3» η εναλλακτική γ εμφανίζεται

υψηλότερα στις προτιμήσεις μου, ενώ ακολουθούν με το ίδιο επίπεδο ωφέλειας οι επιλογές

β και γ. Στην τελευταία αυτή περίπτωση ισχύει ότι ο οικονομικός πράκτορας είναι

αδιάφορος μεταξύ των β και γ.

Πολλές φορές είναι πιο πρακτικό να μην αποτυπώνουμε την ωφέλεια ως ένα πίνακα

πραγματικών τιμών αλλά ως μια πραγματική συνάρτηση. Η συνάρτηση θα έχει πε-

δίο ορισμού το σύνολο των εναλλακτικών επιλογών και θα δίνει τιμές στο σύνολο

των πραγματικών αριθμών, U : E 7→ R. Είναι επίσης επιβεβλημένο πολλές φορές να

αποδίδουμε ιδιαίτερα χαρακτηριστικά σε αυτές τις πραγματικές συναρτήσεις, τις οποίες

θα καλούμε εφεξής συναρτήσεις ωφέλειας. ωστόσο είναι προτιμότερο να δούμε αυτά τα

χαρακτηριστικά μέσα από την μελέτη της συμπεριφοράς του καταναλωτή.

Συμπεριφορά του καταναλωτή

Σκοπός μας σε αυτήν την ενότητα είναι να αναλύσουμε πρωτογενώς την διαδικασία

λήψης αποφάσεων του βασικού οικονομικού πράκτορα στο πλαίσιο της μικροοικονομι-

κής θεωρίας, του καταναλωτή. Συγκεκριμένα, θα χρησιμοποιήσουμε την κατασκευή των


προτιμήσεων που είδαμε προηγουμένως, εκφρασμένης τόσο ως μια διμελής σχέση όσο

και ως συνάρτηση ωφέλειας. Ως αφετηρία, θα χρησιμοποιήσουμε το πλαίσιο με έναν

καταναλωτή και δύο αγαθά, σε μια οικονομία στην οποία οι τιμές των αγαθών θα είναι

εξωγενώς καθορισμένες.

Αρχικά, υποθέτουμε ότι ο καταναλωτής διαθέτει εισόδημα ύψους m το οποίο μπορεί

να διαθέσει για την αγορά κάποιας ποσότητας από τα δύο αγαθά με σκοπό την

κατανάλωση. Στην ανάλυσή μας, ο καταναλωτής επιλέγει ένα ζεύγος x = (x1, x2) με

x1 να εκφράζει την ποσότητα του αγαθόύ 1 και x2 αντίστοιχα για το αγαθό 2.

Αυτό που επίσης ο καταναλωτής γνωρίζει είναι οι τιμές των αγαθών που δίνονται

από το ζεύγος p = (p1, p2). Ποιες ποσότητες αγαθών είναι σε θέση ο καταναλωτής να

αγοράσει εξαρτάται από το ύψος των τιμών αυτών, σε συνδυασμό με το εισόδημά του.

Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι η αξία των αγαθών που θα αποκτήσει δεν μπορεί να

ξεπερνά το εισόδημά του,

p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m.

Η σχέση που περιγράφεται παραπάνω λέγεται ο εισοδηματικός περιορισμός του κατα-

ναλωτή και όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω θα ικανοποιείται ισοτικά. Αν συμβολίσουμε

με X το σύνολο που αποτελείται από όλες τις δέσμες κατανάλωσης (x1, x2) που είναι

διαθέσιμες για αγορά. Προφανώς, αναμένουμε ο καταναλωτής να περιοριστεί σε εκείνες

μόνο για τις οποίες είναι σε θέση να αγοράσει, δεδομένου του εισοδήματός του. Επο-

μένως, μέσα από το σύνολο X θα περιορίσουμε την ενασχόλησή μας μόνο στις εφικτές

δέσμες. το εφικτό σύνολο που ικανοποιεί τον εισοδηματικό περιορισμό,

B(p1, p2;m) = {(x1, x2) ∈ X|p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m}

Το σύνολο των εναλλακτικών επιλογών που είναι διαθέσιμες στον καταναλωτή ορίζεται

από το σύνολο B, επομένως ορίζουμε τις προτιμήσεις του καταναλωτή ως μια διμελή

σχέση επί του B. Επομένως για δέσμες κατανάλωσης (x1, x2), (x′1, x

′2) θα λέμε ότι η

πρώτη είναι προτιμότερη της δεύτερης αν (x1, x2) ≻ (x′1, x

′2).


Μια πρώτη υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε για τις καταναλωτικές προτιμήσεις είναι

ότι οι καταναλωτές προτιμούν περισσότερη κατανάλωση από λιγότερη. Επομένως αν

υπάρχει διαθέσιμη δέσμη κατανάλωσης (x′′1, x

′′2) τέτοια ώστε x′′

1 > x1 και x′′2 > x2,

αναμένουμε ότι (x′′1, x

′′2) ≻ (x1, x2). Η ιδιότητα αυτή καλείται «μονοτονικότητα> των

προτιμήσεων.

Μια δεύτερη υπόθεση που επιθυμούμε να ισχύει έχει να κάνει με την επιδίωξη των

καταναλωτών για ποικιλία. Θεωρείστε ότι οι επιλογές που έχετε ως καταναλωτές είναι οι

εξής δύο:(x1, x2) = (10, 0) και (x′1, x

′2) = (0, 10). Στην πρώτη περίπτωση καταναλώνετε

10 μονάδες μόνο από το πρώτο αγαθό ενώ στην δεύτερη περίπτωση 10 μονάδες μόνο

από το δεύτερο αγαθό. Αν επιπλέον δεν έχετε αυστηρή προτίμηση τους ενός έναντι του

άλλου αγαθού θα ισχύει (x1, x2) ∼ (x′1, x

′2). Ένας καταναλωτής που επιθυμεί ποικιλία

στην κατανάλωση του θα προτιμούσε έναντι αυτών των δύο δεσμών μια τρίτη που θα

περιλαμβάνει ποσότητες και από τα δύο αγαθά. Αν για παράδειγμα ήταν διαθέσιμη μια

τρίτη δέσμη κατανάλωσης (x′′1, x

′′2) = (5, 5) θα έπρεπε να ισχύει

(x′′1, x

′′2) = (

1

2x1 +

1

2x′1,1

2x2 +

1

2x′2]) ⪰ (x1, x2) ∼ (x′

1, x′2).

Η ιδιότητα επιδίωξης για ποικιλία είναι γνωστή ως «κυρτότητα» των προτιμήσεων.

Ουσιαστικά, η ιδιότητα ισχύει για κάθε σταθμισμένο άθροισμα κατανάλωσης των δύο

δεσμών και όχι μόνο για ίση στάθμιση. Άρα, για κάθε t ∈ [0, 1] η δέσμη κατανάλωσης

(x′′1, x

′′2) = (t · x1 + (1− t)x′

1, t · x2 + (1− t) · x′2) είναι προτιμότερη έναντι των άλλων

δύο.

Οι ιδιότητες της μονοτονικότητας και της κυρτότητας ορίζουν μια κατηγορία προτιμήσεων

με πολλά αναλυτικά πλεονεκτήματα και είναι γνωστές ως νεοκλασικές προτιμήσεις. Στην

συνέχεια της ανάλυσής μας υποθέτουμε νεοκλασικές προτιμήσεις.


..Οι νεοκλασικές προτιμήσεις είναι μονοτονικές και κυρτές..

Νεοκλασικές προτιμήσεις

.

Η καμπύλη αδιαφορίας

Οι νεοκλασικές προτιμήσεις μπορούν να περιγραφούν και να ερμηνευθούν πιο εύγλωττα

μέσω του ακόλουθου διαγράμματος.

Σχήμα 1: Εισοδηματικός περιορισμός για διαφορετικά p2.

Το επίπεδο x1 − x2 αποτυπώνει το σύνολο κατανάλωσης X. Έστω μια οικογένεια από

δέσμες κατανάλωσης οι οποίες είναι αδιάφορες μεταξύ τους. Αν πάρουμε τυχαία μια

δέσμη κατανάλωσης (x1, x2) και βρούμε όλες εκείνες που είναι αδιάφορες αυτής, τότε

ορίζουμε το σύνολο

I(x) = {(x′1, x

′2) ∈ X|(x1, x2) ∼ (x′

1, x′2).}

Το σύνολο I(x) ορίζει όλα εκείνα τα σημεία που βρίσκονται επί της καμπύλης του

διαγράμματος, και η οποία είναι γνωστή ως καμπύλη αδιαφορίας. Αντίστοιχα, όλα τα


σημεία που βρίσκονται υψηλότερα από την καμπύλη αδιαφορίας ορίζουν το σύνολο των

δεσμών κατανάλωσης που είναι προτιμότερα της (x1, x2), δηλαδή το σύνολο

U(x) = {(x′1, x

′2) ∈ X|(x′

1, x′2) ≻ (x1, x2)}.

Το αντίθετο συμβαίνει με το σύνολο των δεσμών κατανάλωσης που υπολείπονται στην

προτίμηση έναντι της (x1, x2), δηλαδή το σύνολο

L(x) = {(x′1, x

′2) ∈ X|(x1, x2) ≻ (x′

1, x′2)},

το οποίο βρίσκεται χαμηλότερα από την καμπύλη αδιαφορίας.

Πόσες καμπύλες αδιαφορίας υπάρχουν;

Αν υποθέσουμε ότι οι ποσότητες κατανάλωσης είναι πραγματικοί αριθμοί (οι οποίοι

είναι άπειροι σε κάθε διάστημα) τότε θα έχουμε άπειρε καμπύλες αδιαφορίας. Θυμηθείτε

ότι οι συνδυασμοί κατανάλωσης είναι άπειροι και κάθε καμπύλη αδιαφορίας εκφράζει

την τάξη των δεσμών που είναι αδιάφορες μεταξύ τους Συνεπώς οι καμπύλες αδιαφορίας

θα καλύπτουν το επίπεδο x1 − x2.

Μπορούν οι καμπύλες αδιαφορίας να τέμνονται;

Όπως φαίνεται και στο σχετικό διάγραμμα, οι καμπύλες αδιαφορίας που προκύπτουν

από τις ίδιες προτιμήσεις δεν μπορούν να τέμνονται. Ας υποθέσουμε τρεις διαφορετικές

δέσμες κατανάλωσης, τις X = (x1, x2), Y = (y1, y2) και Z = (z1, z2). Παρατηρώντας

την καμπύλη αδιαφορίας στην οποία κείται η X , αυτή είναι υψηλότερα της δέσμης Y ,

το οποίο σημαίνει ότι X ≻ Y . Ταυτόχρονα, η δέσμη Z κείται επί της ίδιας καμπύλης

αδιαφορίας, δηλαδή X ∼ Z. Άρα μέχρι στιγμής έχουμε, X ≻ Y και X ∼ Z.

Παρατηρώντας την καμπύλη αδιαφορίας στην οποία κείται η Y βρίσκουμε αντίστοιχα,

Y ≻ X και Y ∼ Z. Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα έχουμε

X ≻ Y

X ∼ Z ∼ Y ⇒ X ∼ Y.


Σχήμα 2: Αδυνατότητα τομής καμπυλών αδιαφορίας.

Αντίφαση! Δεν μπορούν να ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα.

Ο οριακός λόγος υποκατάστασης

Με βάση τον ορισμό της καμπύλης αδιαφορίας, όλες οι δέσμες που την ορίζουν είναι

αδιάφορες μεταξύ τους για τον καταναλωτή. Έτσι για παράδειγμα για δέσμες κατανά-

λωσης x = (x1, x2) και x′ = (x′1, x

′2) με x ∼ x′, τότε οι δύο δέσμες ανήκουν στην ίδια

καμπύλη αδιαφορίας. Εφόσον για τον καταναλωτή καμία δεν ξεχωρίζει στην προτίμησή

του, συνεπάγεται ότι θα αποδίδουν το ίδιο επίπεδο ωφέλειας, ήτοι U(x) = U(x′). Γίνε-

ται αντιληπτό ότι εφόσον όλες οι δέσμες κατανάλωσης που βρίσκονται επί της καμπύλης

αδιαφορίας αποδίδουν ακριβώς το ίδιο επίπεδο ωφέλειας, η καμπύλη αδιαφορίας μπορεί

να ταυτιστεί με το επίπεδο ωφέλειας. και θα αναφερόμαστε ως η καμπύλη αδιαφορίας του

επιπέδου ωφέλειας U(x). Όπως μπορείτε να αντιληφθείτε από την γραφική απεικόνιση

της καμπύλης αδιαφορίας μπορούμε να επιλέξουμε μια διαφορετική δέσμη κατανάλωσης

επί της καμπύλης, αυξάνοντας την κατανάλωση του ενός αγαθού και μειώνοντας ταυ-

τόχρονα την κατανάλωση του άλλου αγαθού χωρίς να μεταβληθεί το επίπεδο ωφέλειας

που λαμβάνουμε.


Υποθέστε ότι ισχύει η παραπάνω περίπτωση, και ο καταναλωτής επιθυμεί να αυξήσει

την κατανάλωση του αγαθού 2, εις βάρος του αγαθού 1. Συγκεκριμένα, θα υποθέσουμε

ότι επιθυμεί να αυξήσει την κατανάλωση του αγαθού 2 κατά μία μονάδα. Η ερώτηση

που θα επιδιώξουμε να απαντήσουμε είναι, πόσο πρέπει να μειωθεί η κατανάλωση του

αγαθού 1 ώστε να μείνει σταθερό το επίπεδο ωφέλειας;

Για να απαντήσουμε την παραπάνω ερώτηση θα πρέπει να βρούμε την σχέση ανταλλα-

γής των δύο αγαθών, ουσιαστικά μια συναλλαγματική ισοτιμία που προσδιορίζει πόσο

«κοστίζει» το ένα αγαθό σε όρους του άλλου αγαθού, ακριβώς όπως ισχύει με τα ξένα

νομίσματα (πχ, πόσα δολάρια χρειάζονται για να αγοράσουμε ένα ευρώ). Το μέγεθος

αυτό καλείται Οριακός Λόγος Υποκατάστασης.

..ΟΛΥ =

∆x2

∆x1

.

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης

.

Το παραπάνω μέγεθος μπορεί να προσδιοριστεί για οριακές μεταβολές κατανάλωσης,

πχ. πόσο πρέπει να μειωθεί η κατανάλωση του αγαθού 21 ώστε να αυξηθεί οριακά η

κατανάλωση του αγαθού 2; Για να απαντήσουμε την ερώτηση αυτή πρέπει να χρησιμο-

ποιήσουμε τα εργαλεία του διαφορικού λογισμού και να υπολογίσουμε την παράγωγο

στο σημείο κατανάλωσης. Ο υπολογισμός της παραγώγου στο σημείο προϋποθέτει την

συνέχεια της καμπύλης αδιαφορίας, κάτι που συμβαίνει όταν η συνάρτηση ωφέλειας του

καταναλωτή είναι επίσης συνεχής.

Ωφέλεια κατανάλωσης

Έστω ότι οι προτιμήσεις του καταναλωτή αναπαριστώνται από μια συνάρτηση ωφέλειας

U : X 7→ R. Η συνάρτηση ωφέλειας δίνει μια «βαθμολογία» για κάθε δέσμη κατανάλω-

σης, έναν πραγματικό αριθμό. Για να μπορέσουμε να αναπαράγουμε τις καμπύλες αδια-


φορίας που συναντάμε στα διαγράμματά μας θα υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ωφέλειας

είναι συνεχής, και ικανοποιεί τα βασικά χαρακτηριστικά των νεοκλασικών προτιμήσεων,

δηλαδή ικανοποιεί την συνθήκη της μονοτονικότητας και της κυρτότητας.

Ας χρησιμοποιήσουμε ως παράδειγμα την τάξη συναρτήσεων Cobb-Douglas, που έχει την

γενική μορφή

U(x1, x2) = xa1 · xb

2.

Πιο συγκεκριμένα, υποθέτουμε την συνάρτηση U(x1, x2) = x1/41 x

3/42 , έχοντας κάνει

την επιπλέον παραδοχή ότι a + b = 1. Στην συνέχεια, θεωρείστε μια τυχαία δέσμη

κατανάλωσης, πχ. την x = (2, 3). Μπορούμε να υπολογίσουμε το επίπεδο ωφέλειας του

καταναλωτή για αυτή την δέσμη κατανάλωσης με μια απλή αντικατάσταση.

U(2, 3) = 21/4 · 33/4 = 2.71.

Όλες οι δέσμες κατανάλωσης που δίνουν επίπεδο ωφέλειας 2,71 θα ανήκουν στήν ίδια

καμπύλη αδιαφορίας. Για να δώσουμε την συναρτησιακή μορφή της καμπύλης αδιαφορίας

(για το επίπεδο ωφέλειας 2.71) θα πρέπει να λύσουμε ως προς το x2, καθώς οι καμπύλες

αδιαφορίας αποτυπώνονται στο επίπεδο x1 − x2.

U(x1, x2) = x1/41 · x3/4

2 = 2.71

x3/42 =

2.71

x1/41

x2 = 3/4

√2.71

x1/41

Μια άλλη έννοια που θα χρησιμοποιήσουμε στην ανάλυσή μας είναι αυτή της οριακής

ωφέλειας. Η τελευταία εκφράζει το επίπεδο μεταβολής της ωφέλειάς μας καθώς μεταβάλλε-

ται το επίπεδο κατανάλωσής μας. Για τους σκοπούς παρουσίασης της οριακής ωφέλειας

θα χρησιμοποιήσουμε ένα μονοτονικό μετασχηματισμό της συνάρτησης Cobb-Douglas, την

λογαριθμική συνάρτηση ωφέλειας,

U(x1, x2) = a ln(x1) + b ln(x2).


’Έτσι, αν αυξήσουμε οριακά την κατανάλωση του αγαθού 1, το επίπεδο ωφέλειας θα

μεταβληθεί κατά την ποσότητα

MU1 =∂U

∂x1

= a · (ln(x1))′ =

a

x1

.

Όμοια, η οριακή ωφέλεια για το αγαθό 2 είναι MU2 = b/x2.

Οριακή ωφέλεια και ΟΛΥ

Θυμίζουμε ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης (ΟΛΥ) απαντά το ερώτημα πόσο πρέπει

να μεταβληθεί η κατανάλωση ενός αγαθού και να υποκατασταθεί από το άλλο χωρίς

να μεταβληθεί το συνολικό επίπεδο ωφέλειας. Συγκεκριμένα, υποθέσαμε ότι η αύξηση

της κατανάλωσης του αγαθού 2 θα αυξήσει το επίπεδο ωφέλειας, ενώ θα πρέπει να

έχουμε ισόποση μείωση του επιπέδου ωφέλειας από την μείωση της κατανάλωσης του

αγαθού 1. Συνολικά, το επίπεδο ωφέλειας θα παραμείνει αμετάβλητο. Στην μαθηματική

του έκφραση πρέπει να ισχύει

MU1∆x1 +MU2∆x2 = ∆U = 0

MU1 +MU2∆x2

∆x1

= 0

MU1 +MU2 · ΟΛΥ = 0

ΟΛΥ = −MU1

MU2

Συνεπώς, στο πλαίσιο του παραδείγματός μας, ο ΟΛΥ δίνεται ως

ΟΛΥ = − a

x1

· x2

b= −0.25

0.75

x2

x1

(Δώστε ως παράδειγμα μια δέσμη κατανάλωσης ώστε να βρείτε) τον ΟΛΥ στο σημείο.)

Η ζήτηση του καταναλωτή

Το πρόβλημα του καταναλωτή συνοψίζεται στο εξής: Ο καταναλωτής επιδιώκει να

επιλέξει μια δέσμη κατανάλωσης η οποία ανήκει στον εισοδηματικό περιορισμό του και


μεγιστοποιεί την ωφέλειά του. Θα επιλέξει ποσότητες από το αγαθό 1 και 2 με βάση το

διαθέσιμο εισόδημά του και βασικό κριτήριο στην επιλογή του θα είναι να καταναλώσει

όσον το δυνατόν περισσότερο και στον καλύτερο συνδυασμό.

Εφόσον η ζήτηση προϋποθέτει να ικανοποιείται ο εισοδηματικό περιορισμός, σημαντικό

ρόλο στην ζήτηση των αγαθών διαδραματίζει και το ζεύγος των τιμών. Καθώς ένα αγαθό

γίνεται πιο φθηνό, ο καταναλωτής είναι σε θέση να ζητήσει μεγαλύτερες ποσότητες από

αυτό το αγαθό. Δείτε για παράδειγμα το ακόλουθο διάγραμμα.

Σχήμα 3: Εισοδηματικός περιορισμός για διαφορετικά p2.

Καθώς μειώνουμε την τιμή του αγαθού 2 ο εισοδηματικό περιορισμός μετατοπίζεται

στον κάθετο άξονα προς τα επάνω. Ένα άλλο σημείο που πρέπει να επισημάνουμε

είναι ότι καθώς οι τιμές αυξάνονται, κρατώντας το εισόδημα σταθερό, θα έχουμε μια

παράλληλη μετατόπιση προς την αρχή των αξόνων. Μειώνοντας ταυτόχρονα τις τιμές,

ο εισοδηματικός περιορισμός θα απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων.

Πέρα από την οποιαδήποτε παραμετροποίηση τιμών και εισοδήματος, η ζήτηση του

καταναλωτή θα βρίσκεται επί της εισοδηματικής γραμμής (budget line). Το πρόβλημα που


Σχήμα 4: Εισοδηματικός περιορισμός για παράλληλη μεταβολή τιμών.

λύνει ο καταναλωτής είναι το ακόλουθο πρόγραμμα.

..maxU(x1, x2) = a ln(x1) + b ln(x2)

ώστε

p1x1 + p2x2 = m

.

Πρόβλημα καταναλωτή

.

Λύνουμε το παραπάνω μαθηματικό πρόβλημα με αντικατάσταση. Ξεκινώντας από τον

εισοδηματικό περιορισμό, λύνουμε ως προς το x2 και αντικαθιστούμε στην συνάρτηση

ωφέλειας. Κατόπιν, υπολογίζουμε τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης.

x2 =m

p2− p1

p2x1.


Η συνάρτηση ωφέλειας γίνεται

U = a ln(x1) + b ln(m

p2− p1

p2x1).

Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης, λαμβάνουμε,

∂U

∂x1

= 0 ⇒ a

x1

+ b1

m−p1x1

p2

· (−p1p2) = 0

a

x1

+ bp2

m− p1x1

· (−p1p2) = 0

a

x1

=bp1

m− p1x1

Μετά από πράξεις, βρίσκουμε την ζήτηση για το αγαθό 1 να είναι

x∗1 =

am

(a+ b)p1.

Αντικαθιστώντας πίσω στον εισοδηματικό περιορισμό το x∗1 υπολογίζουμε το x∗

2.

Η λύση για τον υπολογισμό της ζήτησης μπορεί να προκύψει και με διαγραμματικό

τρόπο. Εφόσον, όπως δείξαμε η ζήτηση για να είναι βέλτιστη πρέπει να βρίσκεται επί

της εισοδηματικής γραμμής, δηλαδή ο εισοδηματικός περιορισμός ικανοποιείται ισοτικά,

θα πρέπει ταυτόχρονα να βρίσκεται και στην υψηλότερη δυνατή καμπύλη αδιαφορίας,

δηλαδή σε αυτή που αποδίδει το υψηλότερο επίπεδο ωφέλειας. Αυτό μπορεί να συμβαίνει

μόνο όταν ο εισοδηματικός περιορισμός εφάπτεται με την καμπύλη αδιαφορίας.

Εφόσον, ο εισοδηματικός περιορισμός είναι η εφαπτομένη της καμπύλης αδιαφορίας σοτ

βέλτιστο (την ζήτηση) και ο ΟΛΥ είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο (καθότι

είναι η πρώτη παράγωγος), θα πρέπει να ισχύει

ΟΛΥ = κλίση εισοδηματικού περιορισμού.

Αλλά η κλίση του εισοδηματικού περιορισμού (x2 = mp2

− p1p2x1) είναι ίση με τον λόγο

των τιμών.


Σχήμα 5: Διαγραμματική παροσίαση της ζήτησης

..ΟΛΥ = −MU1

MU2

= −p1p2..

Συνθήκη βελτιστότητας

.

Αn επιστρέψουμε πίσω στο παράδειγμά μας έχουμε MU1 =ax1

και MU2 =bx2. Άρα,

ΟΛΥ = −MU1

MU2

= − a

x1

x2

b= −p1

p2.

Μαζί με την εξίσωση του εισοδηματικού περιορισμού έχουμε δύο εξισώσεις με δύο

αγνώστους και λύνουμε για την ζήτηση (x∗1, x

∗2).

Αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης

Βάσει των υπολογισμών προηγουμένως, η ζήτηση για το αγαθό 1 είναι μια συνάρτηση


ως προς την τιμή του αγαθού

x1(p1) =am

(a+ b)p1.

Καθώς μεταβάλλουμε την τιμή του αγαθού λαμβάνουμε και διαφορετική ζήτηση για το

αγαθό. Ωστόσο στο γνωστό διάγραμμα προσφοράς και ζήτησης δεν εμφανίζεται στο

πεδίο ορισμού η τιμή του αγαθού αλλά η ποσότητα. Επί της ουσίας, η συνάρτηση που

συνηθίζουμε να απεικονίζουμε στο γνωστό διάγραμμα είναι η αντίστροφη συνάρτηση

ζήτησης, που δίνεται από την συνάρτηση

p1(x1) =am

(a+ b)x1

.

Ωστόσο, δεν έχει ιδιαίτερη σημασία καθώς μας δίνεται ακριβώς η ίδια πληροφορία.

Γενικότερα στα προβλήματα που θα αντιμετωπίσουμε στην συνέχεια υποθέτουμε ότι η

τιμή των αγαθών θα πρέπει να υπαγορεύεται από την αντιστροφή συνάρτηση ζήτησης,

δηλαδή p1(x1(p1)) = p Επομένως θα πρέπει να ισχύει αν παραγωγίσουμε ως προς την

τιμή η εξής σχέση,

[p1(x1(p1))]′ = [p]′ ⇒ p′1(x1(p1)) · x′

1(p1) = 1 ⇒ p′1(x1(p1)) =1

x′1(p1)

.

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή

Μια χρήσιμη πληροφορία που μας ενδιαφέρει σχετικά με την ζήτηση είναι πως αυτή

μεταβάλλεται καθώς μεταβάλλεται η τιμή του αγαθού. Μια πρώτη σκέψη που μπορεί να

μας βοηθήσει να λάβουμε μια απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι να υπολογίσουμε την

πρώτη παράγωγο ως προς την τιμή. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος δείκτης που μπορεί

να μας δώσει περισσότερη πληροφορία και αυτή είναι η ελαστικότητα ως προς την τιμή.

Η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή μας δίνει την ποσοστιαία μεταβολή στην ζη-

τούμενη ποσότητα για μεταβολή της τιμής κατά μια ποσοστιαία μονάδα (ή πολλαπλάσιά

της).


..ed =∆x1/x1

∆p1/p1..

Ελαστικότητα του αγαθού 1

.

Ως μέγεθος, η ελαστικότητα είναι αρνητική καθώς το αρνητικό πρόσημο αποδίδει την

αντίστροφη σχέση μεταξύ της ποσότητας και της τιμής. Καθώς αυξάνεται η τιμή μειώ-

νεται η ζητούμενη ποσότητα από τον καταναλωτή. Μπορούμε να υπολογίσουμε την

ελαστικότητα τόσο στην συνάρτηση ζήτησης όσο και στην αντίστροφη συνάρτηση

ζήτησης.

Για να κατανοήσουμε την χρησιμότητά της εξακολουθούμε το προηγούμενο παράδειγμά

μας. Υποθέστε ότι η τιμή του αγαθού 1 είναι p1 = 1.2 και το εισόδημα του καταναλωτή

m = 100. Επίσης ανακαλέστε ότι a = 0.25 και b = 0.75. Για αυτές τις τιμές των

παραμέτρων, ο καταναλωτής θα ζητήσει

x1 =am

(a+ b)p1= 0.25 · 100

1.2= 20.833

Έστω τώρα ότι η τιμή του αγαθού αυξάνεται στο επίπεδο p1 = 1.3, σε ποσοστιαία

βάση ∆p1/p1 = 0.0833 ή 8.33%.

Για το νέο επίπεδο τιμής η ζήτηση διαμορφώνεται στο επίπεδο x(1.3) = 19, 23 δηλαδή

θα μειωθεί κατά 7.69%. Μια πρώτη παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι

η ποσοστιαία μείωση της ζήτησης είναι μικρότερη από την ποσοστιαία αύξηση της

τιμής. Σε αυτή την περίπτωση υπολογίζοντας ότι η ελαστικότητα βρίσκουμε ότι είναι

μικρότερη της μονάδας.

ed =∆x1

x1

p1∆p1

= −0.92.

Στην περίπτωση που η μείωση της ζήτησης ήταν μεγαλύτερη θα είχαμε ελαστική ζήτηση

ενώ στην περίπτωσή μας θα λέμε ότι η ζήτηση είναι ανελαστική. Το ίδιο μέγεθος


υπολογίζουμε στην περίπτωση που η συνάρτηση ζήτησης είναι διαφορίσιμη ως προς

την τιμή με την ακόλουθη σχέση.

..ed =px′

1(p)

x1(p)..

Ελαστικότητα του αγαθού 1

.

Ωφέλεια υπό καθεστώς ρίσκου και αβεβαιότητας

Μέχρι τώρα, οι αποφάσεις του καταναλωτή για την ζήτηση των αγαθών λήφθησαν

υπό καθεστώς πλήρους βεβαιότητας. Ωστόσο, είναι αλήθεια ότι η συντριπτική πλειο-

ψηφία που λαμβάνουν καθημερινά οι οικονομικοί πράκτορες περιέχουν ρίσκο ή ακόμη

λαμβάνονται υπό καθεστώς αβεβαιότητας. Στη συνέχεια θα κάνουμε σαφή την διάκριση

των δύο αυτών εννοιών. Για να κατανοήσουμε το πλαίσιο λήψης αποφάσεων με ρίσκο

θεωρείστε την περίπτωση στην οποία οι καταναλωτές δεν εξαντλούν το σύνολο του

εισοδήματός τους (m) για την κατανάλωση των δύο αγαθών, αλλά πλέον έχουν ως

επιλογή την αποταμίευση μέρους αυτού. Το αποταμιευθέν ποσό θα το καταναλώσουν

σε μια μελλοντική στιγμή που, ενδεχομένως, έχουν μικρότερο εισόδημα.

Ας υποθέσουμε ότι από το εισόδημα των m = 100 ευρώ ένας καταναλωτής θα επιλέξει

να αποταμιεύσει 10 ευρώ, για το διάστημα μιας περιόδου. Οι επιλογές που έχει ως

προς την αποταμίευσή του είναι οι εξής δύο: 1) Να πραγματοποιήσει μια κατάθεση

στην τράπεζα, η οποία θα του αποφέρει στο τέλος της περιόδου το συνολικό ποσό

των 11 ευρώ, 2) Να τοποθετήσει τα χρήματα αυτά σε μια μετοχή. Θα υποθέσουμε δύο

διαφορετικά σενάρια για την μετοχή. Στο «καλό» σενάριο, η τιμή της μετοχής θα ανέλθει

σε ποσοστό 20 %, ενώ στο «κακό» σενάριο η τιμή μειώνεται κατά 30%. Στην επιστήμες

γενικότερα έχει επικρατήσει όταν διατυπώνουμε διαφορετικά σενάρια να αναφερόμαστε


σε αυτά ως πιθανές «καταστάσεις του κόσμου». Εδώ συγκεκριμένα θα αναφερόμαστε

στην «καλή» και στην «κακή» κατάσταση. Επομένως, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι

στην «καλή» κατάσταση τα 10 ευρώ που επενδύσουμε θα γίνουν 12 ευρώ, ενώ στην

«κακή» κατάσταση θα μειωθούν στο επίπεδο των 7 ευρώ, και θα έχουμε χάσει χρήματα.

Μια πρώτη παρατήρηση αναφορικά με την μετοχή του παραδείγματός μας είναι ότι στην

καλή κατάσταση κερδίζουμε λιγότερα αναφορικά με αυτά που χάνουμε στην «κακή»

κατάσταση. Για να κάνουμε την μετοχή πιο θελκτική στα μάτια του καταναλωτή, θα

υποθέσουμε επιπλέον ότι η «καλή» κατάσταση είναι σημαντικά πιο πιθανή. Ας ονομά-

σουμε με π την πιθανότητα να συμβεί η καλή κατάσταση. Αντίστοιχα, με πιθανότητα

(1 − π) θα συμβεί η «κακή» κατάσταση. Στην συνέχεια υποθέτουμε ότι η «καλή»

κατάσταση θα συμβεί με πιθανότητα π = 0.8.

Οι δύο επιλογές που έχει διαθέσιμες, επομένως, ο καταναλωτής για την αποταμίευσή

του μπορούν να συνοψιστούν στον ακόλουθο πίνακα.

Κατάσταση «καλή» «κακή»

π 0.8 0.2

Κατάθεση 11 11

Μετοχή 12 7

Ας υποθέσουμε ότι στο τέλος της περιόδου η τιμή του αγαθού είναι p = 1 ευρώ,

επομένως τα ποσά αυτομάτως ανάγονται σε μονάδες κατανάλωσης. Έστω επίσης ότι οι

προτιμήαεις του καταναλωτή περιγράφονται από μια λογαριθμική συνάρτηση ωφέλειας

U(x) = ln(x). Με βάση τα εργαλεία που έχουμε αναπτύξει μέχρι τώρα δεν είμαστε

σε θέση να υπολογίσουμε την ωφέλεια που θα λάβει ο καταναλωτής από την από-

κτηση της μετοχής. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε το επίπεδο

ωφέλειας από την μετοχή σε κάθε κατάσταση διαφορετικά. Η ωφέλεια στην «καλή»

κατάσταση υπολογίζεται να είναι U(12) = ln(12) = 2.485 ενώ στην «κακή» κατά-


σταση U(7) = ln(7) = 1.946. Αυτό που επιπλέον που μπορούμε να κάνουμε είναι να

υπολογίσουμε την μέση τιμή της ωφέλειας χρησιμοποιώντας τις πιθανότητες εμφάνισής

των δύο καταστάσεων. Το μέγεθος που θα υπολογίσουμε καλείται αναμενόμενη ωφέλεια.

EU(μετοχή) = 0.8 ln(12) + 0.2 ln(7) = 2.377.

Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη ωφέλεια από την

κατάθεση.

EU(κατάθεση) = 0.8 ln(11) + 0.2 ln(11) = ln(11) = 2.397.

Συγκρίνοντας την αναμενόμενη ωφέλεια των δύο επιλογών κατανοούμε ότι θα επιλέξει

την κατάθεση καθώς εξασφαλίζει υψηλότερο επίπεδο αναμενόμενης ωφέλειας.

Γενικότερα, ορίζουμε την συνάρτηση αναμενόμενης ωφέλειας ή οποία είναι γνωστή και

ως συνάρτηση vonNeumann και Morgenstern, τιμής ένεκεν των δημιουργών της, με την

μορφή

EU = πU(x1) + (1− π)U(x2),

Η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να γενικευθεί για οποιονδήποτε αριθμό καταστάσεων,

αρκεί να έχουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο καταστάσεων. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε

να έχουμε τρεις καταστάσεις του κόσμου για την μετοχή. «καλή», «μέτρια» και «κακή»

και να έχουμε μια απόδοση για κάθε κατάσταση. Επίσης θα πρέπει να έχουμε μια

συνάρτηση για να υπολογίζουμε το επίπεδο ωφέλειας σε κάθε κατάσταση (πχ. U(x) =

ln(x)), η οποία είναι γνωστή ως συνάρτηση Bernoulli.


..

EU =∑i∈S

πiU(xi),

όπου

S : Το σύνολο των καταστάσεων του κόσμου

πi : Η πιθανότητα εμφάνισης της κατάστασης i

U(xi) : Το επίπεδο ωφέλειας ατην κατάσταση i

.

Συνάρτηση αναμενόμενης ωφέλειας

.

Σε αυτό το σημείο, εισάγουμε άλλη μια έννοια, η οποία θα φανεί χρήσιμη στη συνέχεια

της ανάλυσής μας. Ορίζουμε τη αναμενόμενη (χρηματική) αξία μιας επιλογής όπως είναι

η μετοχή. Συγκεκριμένα για την μετοχή, η αναμενόμενη χρηματική αξία είναι

EV = 0.8 · 12 + 0.2 · 7 = 11

Επομένως, κατά μέσο όρο, η μετοχή θα πληρώσει 11 ευρώ, ακριβώς όσο πληρώνει και

η κατάθεση. Γιατί επομένως ο καταναλωτής επιλέγει την κατάθεση; Η απάντηση είναι

ότι η μετοχή ενέχει ρίσκο.

Ο καταναλωτής αγοράζοντας την μετοχή, όταν παρέλθει η περίοδος ποτέ δν θα λάβει

το ποσό των 11 ευρώ. Είτε θα λάβει 12 ευρώ ή 7 ευρώ. Αντίθετα, στην περίπτωση της

κατάθεσης ο καταναλωτής είναι βέβαιος ότι θα λάβει 11 ευρώ. Η μετοχή περιλαμβάνει το

ρίσκο για τον καταναλωτή να καταλήξει με 7 ευρώ, με την σημαντική πιθανότητα του

20%. Θέλοντας να αποφύγει αυτή την δυσμενή κατάσταση είναι έτοιμος να παραιτηθεί

από την πιθανότητα να λάβει τα 12 ευρώ στην κακή κατάσταση. Γενικότερα, μια

επιλογή που έχει διαφορετική απόδοση σε μια ή περισσότερες καταστάσεις του κόσμου,

οι οποίες προκύπτουν με γνωστές πιθανότητες θα είναι μια επιλογή με ρίσκο. Αν οι

πιθανότητες εμφάνισης των επιμέρους καταστάσεων δεν είναι a priori γνωστές για τον


καταναλωτή τότε αναφερόμαστε σε μια επιλογή με αβεβαιότητα.

Πόσο ρίσκο είναι έτοιμος να αναλάβει ο καταναλωτής/επενδυτής;

Παραπάνω καταλήξαμε στο ενδιαφέρον αποτέλεσμα ότι ο καταναλωτής θα προτιμήσει

την κατάθεση που του εξασφαλίζει με βεβαιότητα ακαθάριστη απόδοση 11 ευρώ σε

σχέση με την μετοχή ή οποία αποδίδει το ίδιο ποσό, κατά μέσο όρο. Συγκεκριμένα,

δείξαμε ότι

ln(11) > 0.8(12) + 0.2 ln(7).

Στην περίπτωση που ένας οικονομικός πράκτορας γενικότερα προτιμά με βεβαιότητα

ένα ποσό έναντι της επιλογής να λάβει το ίδιο ποσό, κατά μέσο όρο, θα λέμε ότι

αποστρέφεται το ρίσκο.

Εφόσον EV = 11, έχουμε ότι η ωφέλεια της αναμενόμενης χρηματικής αξίας είναι υψη-

λότερη από την αναμενόμενη ωφέλεια.

..U(πx1 + (1− π)x2) > πU(x1) + (1− π)U(x2)

.

Αποστροφή ρίσκου

.

Αν πάλι ο καταναλωτής είναι έτοιμος να αναλάβει το ρίσκο να βρεθεί με 7 ευρώ με

αντάλλαγμα να έχει την πιθανότητα 80% να κερδίσει 12 ευρώ, τότε θα λέμε ότι ο

καταναλωτής θα επιδιώξει το ρίσκο.

..U(πx1 + (1− π)x2) < πU(x1) + (1− π)U(x2)

.

Επιδίωξη ρίσκου

.

Τέλος, αν η παραπάνω σχέση ισχύει ισοτικά θα λέμε ότι ο οικονομικός πράκτορας

διατηρεί ουδέτερες προτιμήσεις έναντι του ρίσκου. Ενδιαφέρον σε αυτή την περίπτωση


είναι ότι η αναμενόμενη (χρηματική) αξία ισούται με την αναμενόμενη ωφέλεια, το οποίο

στο πλαίσιο τπυ παραδείγματός μας μεταφράζεται στο

U(11) = 0.8U(12) + 0.2U(7).

Αυτό συμβαίνει μόνο όταν έχουμε την απλή γραμμική συνάρτηση ωφέλειας U(x) = x.

Αντίθετα, η λογαριθμική συνάρτηση που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα εκφράζει κατανα-

λωτές που αποστρέφονται το ρίσκο, η οποία είναι και η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση.

Όμως αν ένας καταναλωτής αποστρέφεται το ρίσκο, είμαστε σε θέση να μετρήσουμε

την ένταση της αποστροφής του; Η απάντηση είναι καταφατική. Αναζητούμε εκείνο το

επίπεδο χρηματικής αξίας z για το οποίο ο καταναλωτής καθίσταται αδιάφορος μεταξύ

του να λάβει αυτό το ποσό και να αναλάβει το ρίσκο της μετοχής. Πιο συγκεκριμένα,

δείξαμε ότι αν του δώσουμε 11 ευρώ έναντι της μετοχής θα προτιμήσει τα 11 ευρώ.

Προφανώς αν μειώσουμε το ποσό των 11 ευρώ αυτό θα κάνει πιο θελκτική την μετοχή,

ωστόσο και πάλι δεν είμαστε σίγουροι ότι θα επιλέξει τελικά την μετοχή. Η ερώτηση

που θέτουμε είναι, πόσο πρέπει να μειώσω το ποσό των 11 ευρώ που αποδίδει η

κατάθεση ώστε ο καταναλωτής να καθίσταται αδιάφορος μεταξύ της κατάθεσης και της

μετοχής; Το ποσό, για το οποίο θα ισχύει η αδιαφορία του καταναλωτή καλείται βέβαιο

ισοδύναμο της μετοχής. Ας συμβολίσουμε το βέβαιο ισοδύναμο με z

..U(z) = πU(x1) + (1− π)U(x2)

.

.

Βέβαιο ισοδύναμο z

.

Πιο συγκεκριμένα, στο παράδειγμά μας το βέβαιο ισοδύναμο της μετοχής υπολογίζεται


να είναι

ln(z) = 0.8 ln(12) + 0.2 ln(7)

ln(z) = 2.377

eln(z) = e2.377 ⇒ z = 10.772

Επομένως, το βέβαιο ισοδύναμο της μετοχής αντιστοιχεί για τον καταναλωτή στο επί-

πεδο των 10,772 ευρώ. Ας εξετάσουμε πως ακριβώς ερμηνεύεται το μέγεθος αυτό. Έστω

ότι η κατάθεση αποδίδει στην χρονική περίοδο λιγότερο από τα κατά μέσο όρο 11

ευρώ της μετοχής, για παράδειγμα πληρώνει 10.9 ευρώ. Η αποστροφή του ρίσκου

του καταναλωτή είναι αρκετή ώστε αυτός να εξακολουθεί να θέλει να τοποθετήσει τα

χρήματά του στην κατάθεση. Η μείωση δεν καθίσταται ικανή να τον αποτρέψει να

αλλάξει την επιλογή του και να αναλάβει το ρίσκο της μετοχής. Το ίδιο αναμένουμε να

συμβεί αν μειώσουμε περαιτέρω την απόδοση της κατάθεσης στα 10,8 ευρώ. Αντίθετα,

αν είχαμε μαι γενναία μείωση στην απόδοση της κατάθεσης (πχ.10.5) είναι βέβαιο ότι

η μετοχή πλέον είναι πιο δελεαστική συγκριτικά με την μικρή απόδοση της κατάθε-

σης. Ποιο είναι το κατώφλι μεταστροφής της επιλογής του καταναλωτή; Η απάντηση

είναι το βέβαιο ισοδύναμο z. Δηλαδή, αν μειωθεί η απόδοση της κατάθεσης περίπου

στο επίπεδο των 10.77 ευρώ ο καταναλωτής καθίσταται αδιάφορος μεταξύ των δύο

επενδυτικών/αποταμιευτικών επιλογών του.

Μπορεί η αποστροφή ρίσκου να μετρηθεί με διαφορετικό τρόπο;

Αν η συνάρτηση ωφέλειας είναι διπλά διαφορίσιμη, υπάρχει ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο

ώστε να μετρήσουμε το επίπεδο αποστροφής ρίσκου των οικονομικών πρακτόρων. Ο

δείκτης αυτός καλείται συντελεστής (απολυτής) αποστροφής ρίσκου Arrow-Pratt, τιμής

ένεκεν στους εμπνευστές του.


..A(x) = −U ′′(x)

U ′(x).

Συντελεστής Arrow-Pratt

.

Μια πρώτη παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι στον αριθμητή του δείκτη

περιλαμβάνεται η δεύτερη παράγωγος της συνάρτηση ωφέλειας. Γνωρίζουμε ότι σε μια

μη γραμμική συνάρτηση, όπως είναι η συνάρτηση ωφέλειας μας δίνει πληροφορία για

τον βαθμό κυρτότητας (ή κοιλότητας) της συνάρτησης. Γενικά όσο ποιο μεγάλη είναι η

δεύτερη παράγωγος, τόσο πιο κοίλη εμφανίζεται να είναι η συνάρτηση. Και όπως θα

δείξουμε και παρακάτω όσο πιο μεγάλος είναι ο βαθμός κοιλότητας τόσο πιο μεγάλο

βαθμό αποστροφής ρίσκου θα εκφράζει για τον οικονομικό πράκτορα.

Όμοια, όταν το A(x) είναι θετικό, έχουμε έκφραση αποστροφής ρίσκου. Και όσο μεγα-

λύτερη τιμή παίρνει ο συντελεστής τόσο μεγαλύτερος ο βαθμός αποστροφής ρίσκου. Αν

πάλι ο συντελεστής παίρνει αρνητική τιμή τότε έχουμε έκφραση επιδίωξης για το ρίσκο,

και όσο πιο μικρή είναι αυτή η τιμή, τόσο μεγαλύτερος θα είναι ο βαθμός επιδίωξης.

Πότε είναι μια συνάρτηση ωφέλειας κοίλη;

Όταν ισχύει για π ∈ [0, 1] η ακόλουθη ανισότητα,

U(πx1 + (1− π)x2) ≥ πU(x1) + (1− π)U(x2).

Αλλά αυτός είναι ο ορισμός που δώσαμε για την αποστροφή ρίσκου. Παρατηρούμε

ότι αν μια συνάρτηση είναι κοίλη, όπως και οι συναρτήσεις Cobb-Douglas θα έχουμε

αποστροφή του ρίσκου. Ο βαθμός αποστροφής θα εξαρτάται από το επίπεδο των

εκθετών που χρησιμοποιούμε στην συνάρτηση. Παρατηρείστε το ακόλουθο διάγραμμα

(μίας μεταβλητής)

Παρατηρούμε ότι όσο πιο μικρός είναι ο εκθέτης τόσο πιο κοίλη εμφανίζεται η συνάρτηση


Σχήμα 6: Διάφορα επίπεδα αποστροφής ρίσκου

ωφέλειας. Υπάρχουν κατηγορίες συναρτήσεων (πχ. ισοελαστική) για τις οποίες ο εκθέτης

είναι ταυτόσημος με τον συντελεστή των Arrow-Pratt.

Αν δεν γνωρίζουμε την συνάρτηση ωφέλειας;

Η αρχική κατασκευή της διάταξης των επιλογών με βάση μια διμελή σχέση δεν είχε

καθόλου συναρτήσεις ωφέλειας. Θα ήταν χρήσιμο να διατυπώσουμε κάποια κριτήρια

απόφασης τα οποία είναι χρήσιμα όταν αγνοούμε την συνάρτηση ωφέλειάς μας. Στην

συνέχεια, μπορούμε να υποθέσουμε ορισμένα αντικειμενικά κριτήρια που μπορούν να

χρησιμοποιηθούν ανεξάρτητα των χαρακτηριστικών των οικονομικών πρακτόρων. Τα

κριτήρια αυτά εδράζονται στα εγγενή χαρακτηριστικά των επιλογών μας και η μόνη

υπόθεση που κάνουμε για τους οικονομικούς πράκτορες είναι ότι διατηρούν νεοκλασικές

προτιμήσεις. Θεωρείστε το παράδειγμα στο οποίο ο καταναλωτής μας έχει να επιλέξει

μεταξύ τριών μετοχών. Οι μετοχές αυτές, όπως προηγουμένως θα αποδίδουν σε δύο

καταστάσεις του κόσμου. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε έναν διαφορετικό τρόπο παρουσί-

ασης των μετοχών ως επιλογές. Θα τις αποτυπώνουμε ως ένα επαυξημένο διάνυσμα.


Για παράδειγμα, η αρχική μετοχή μας θα μπορεί να αποτυπωθεί ως το διάνυσμα

µ1 = [0.8, 0.2|12, 7].

Στο πρώτο μέρος του διανύσματος αναφέρεται η πιθανότητα εμφάνισης της κάθε κατά-

στασης. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, η «καλή» κατάσταση εμφανίζεται με πιθανότητα

80% και η «κακή» κατάσταση με πιθανότητα 20%. Στο δεύτερο μέρος εμφανίζονται οι

αποδόσεις σε κάθε κατάσταση. Στην «καλή» κατάσταση ο καταναλωτής λαμβάνει 12

ευρώ ενώ στην «κακή» 7 ευρώ. Η κατασκευή ενός τέτοιου επαυξημένου πίνακα είναι

γνωστή ως λοταρία ή στοίχημα.

Σε αυτό το σημείο εισάγουμε μια δεύτερη μετοχή και καλούμε το καταναλωτή να επιλέξει

μεταξύ των δύο.

µ2 = [0.8, 0.2|10, 5].

Αυτό που μπορούμε να παρατηρήσουμε αμέσως είναι ότι η µ2 έχει χαμηλότερη απόδοση

σε κάθε πιθανή κατάσταση. Στην «καλή» κατάσταση, αποδίδει 10 ευρώ έναντι των

12 ευρώ της µ1 και στην «κακή» κατάσταση αποδίδει 5 ευρώ έναντι των 7 ευρώ της

πρώτης. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η λοταρία µ1 κυριαρχεί της µ2 κατά κατάσταση.

Έστω τώρα ότι ο καταναλωτής έχει να επιλέξει μεταξύ της µ1 και της µ3, όπου

µ1 = [0.5, 0.5|12, 7].

Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση οι αποδόσεις των μετοχών είναι ίδιες.

Ωστόσο, η µ1 εμφανίζεται ανώτερη της µ2 ως προς την πιθανότητα εμφάνισης της

«καλής» κατάστασης. Με απλά λόγια, είναι πιο πιθανό να ανέβει η τιμή της μετοχής µ1

(80%) παρά η τιμή της μετοχής µ2 (50%). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η λοταρία µ1

κυριαρχεί της µ2 κατά πιθανότητα, (ή κυριαρχεί στοχαστικά). Η στοχαστική κυριαρχία

είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο στην χρηματοοικονομική θεωρία και εκεί αναπτύσσεται

στην πλήρη έκτασή του.


Αποφάσεις στο πλαίσιο της παραγωγής

Η δεύτερη μεγάλη κατηγορία προβλημάτων που θα μας απασχολήσει είναι αποφάσεις

που αφορούν την παραγωγή αγαθών και υπηρεσιών. Στο πλαίσιο αυτό βασικός οικονο-

μικός πράκτορας είναι ο ο παραγωγός. Στην κατηγορία του παραγωγού θα εντάξουμε

από ένα μικρό βιοτέχνη μέχρι και τον διευθύνοντα σύμβουλο ενός μεγάλου χρηματοπι-

στωτικού ιδρύματος. Και οι δύο προσπαθούν να αξιοποιήσουν με τον καλύτερο τρόπο

τους εισερχόμενους οικονομικούς πόρους στην παραγωγική διαδικασία, ώστε να εξα-

σφαλίσουν περισσότερα κέρδη ή άλλους στόχους που μπορεί να έχουν θέσει για την

επιχείρησή τους. Αυτοί είναι για παράδειγμα να εξασφαλίσουν μεγαλύτερο μερίδιο αγο-

ράς, ή να επιτύχουν υψηλότερους τζίρους ή ακόμη να εξασφαλίσουν μια θέση στην

επιχείρησή τους σε νέες αγορές.

Η βασική κατασκευή για να αποδώσουμε την παραγωγική διαδικασία ονομάζεται «τε-

χνολογία» και περιγράφει τον μετασχηματισμό των εισροών στην παραγωγή (παραγω-

γικών συντελεστών) σε ένα ή περισσότερα τελικά αγαθά ή υπηρεσίες. Οι εισροές αυτές

θα αποδίδονται στην ανάλυση μας με ένα διάνυσμα x = (x1, x2, . . . , xn) του οποίου

οι συντεταγμένες εκφράζουν μη αρνητικές ποσότητες παραγωγικών συντελεστών. Ο με-

τασχηματισμός των εισροών θα οδηγήσει στην παραγωγή y = (y1, y2, . . . , ym) τελικών

προϊόντων ή/και υπηρεσιών. Για να κρατήσουμε την ανάλυσή μας στο πιο απλό επίπεδο

θα θεωρήσουμε την περίπτωση δύο μόνο παραγωγικών συντελεστών (πχ. κεφάλαιο K

και εργασία L). Στην πραγματικότητα, οι εισροές μπορεί να περιλαμβάνουν, πρώτες ύλες,

ενέργεια, κόστος προβολής και διαφήμισης, κόστος έρευνας και πολλά άλλα. Στην περί-

πτωσή μας, οι εισροές θα είναι της μορφής (K,L), για την οποία συνήθως το κεφάλαιο

λογίζεται ως φυσικό κεφάλαιο ενώ η εργασία προσμετράται σε αριθμό εργατοωρών.

Η μαθηματική απεικόνιση της τεχνολογίας θα αποδίδεται από το τεχνολογικό σύνολο


T = {(x, y)} όπου x = (K,L) και y το μοναδικό τελικό προϊόν μας. Για κάθε ζεύγος

(K,L) δίνεται η ποσότητα που παράγεται από το προϊόν. Γίνεται εύκολα αντιληπτό

ότι διαφορετικές τεχνολογίες μπορούν να αξιοποιήσουν διαφορετικά τις εισροές. Μια

καλύτερη (υψηλότερη τεχνολογία) μπορεί να παράγει περισσότερο προϊόν για τους ίδιους

παραγωγικούς συντελεστές από μία άλλη λιγότερο προηγμένη. Όπως επίσης, μπορεί ο

παραγωγός να διαθέτει την τεχνολογία αλλά μην την αξιοποιεί αποτελεσματικά και να

παράγει χαμηλότερο προϊόν από αυτό που δυνητικά θα μπορούσε να παράγει. Κάτι

τέτοιο μπορεί να συμβαίνει γιατί δεν αξιοποίησε το σύνολο των εισροών και κάποιες

έμειναν αδιάθετες στην παραγωγή.

Ωστόσο, στην διαθέσιμη τεχνολογία για τον παραγωγό υπάρχει για κάθε ζεύγος εισροών

ένα επίπεδο παραγωγής το οποίο είναι το υψηλότερο μεταξύ των άλλων. Στην συνέχεια

ορίζουμε μια συνάρτηση, η οποία για κάθε ζεύγος εισροών μας δίνει το μέγιστο επίπεδο

παραγωγής.

..

Η συνάρτηση f : X 7→ Y , η οποία για κάθε διάνυσμα εισροών x απεικονίζει

το μέγιστο επίπεδο παραγωγής που μπορεί να επιτευχθεί y. Η συνάρτηση

παραγωγής είναι συνήθως:

▷ μη φθίνουσα

▷ εξασφαλίζει την πλήρη διάθεση των εισροών στην παραγωγή

.

Συνάρτηση παραγωγής

.

Η γνώση της συνάρτησης παραγωγής, η οποία δεν εξασφαλίζεται πάντα, μας επιτρέπει

να αξιολογήσουμε την τεχνική αποτελεσματικότητα της παραγωγής μιας επιχείρησης.

Αν ισχύει ότι το παραχθέν προϊόν y είναι ακριβώς το f(x) τότε αναφερόμαστε σε μια

τεχνικά αποτελεσματική παραγωγή. Αν πάλι το παραχθέν προϊόν υπολείπεται του f(x)

τότε η εκροή είναι τεχνικά αναποτελεσματική. Ένας εύκολος τρόπος να υπολογίσουμε το


επίπεδο τεχνολογικής αποτελεσματικότητας της παραγωγή είναι να υπολογίσουμε τον

λόγο τ = y/f(x). Το μέγεθος αυτό θα μας δώσει την τεχνολογική αποτελεσματικότητα

ως ποσοστό.

Όπως είπαμε, είναι πολύ πιθανό να μην είμαστε στην θέση να γνωρίζουμε την συνάρτηση

παραγωγής. Υπάρχουν άλλοι δείκτες μέτρησης της αποδοτικότητας της παραγωγής;.

Ένας εύκολος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε τον λόγο μεγέθυνσης εκροών προς τις

εισροές

..O/I =Απόδοση Εκροής

Απόδοση εισροής

.

Λόγος μεγέθυνσης εκροών-εισροών

.

Για παράδειγμα, έστω το προηγούμενο έτος είχαμε (x0, y0) = (10, 20) και το τρέχον έτος

προέκυψε (x1, y1) = (12, 28). Είμαι σε θέση να υπολογίσω την ακαθάριστη απόδοση

από την μεταβολή των μεγεθών.

x1

x0=

12

10= 1.2,

28

20= 1.4.

Βάσει των παραπάνω υπολογισμών ο λόγος υπολογίζεται να είναι O/I = 1.4/1.2 =

1.166. Η ανάγνωση αυτού του μεγέθους είναι ότι η παραγωγικότητα αυξήθηκε κατά

16.6%.

Οι καμπύλες ίσου προϊόντος

Θεωρείστε την ακόλουθη συνάρτηση παραγωγής f(K,L) = K3/4L1/4, η οποία ανή-

κει στην οικογένεια συναρτήσεων Cobb-Douglas. Η συνάρτηση Cobb-Douglas είναι μια

αύξουσα συνάρτηση και επίσης είναι συνεχής. Έστω για παράδειγμα ο παραγωγός

επιθυμεί να παράξει 1 μονάδα προϊόντος και επίσης επιθυμεί να γνωρίζει όλους εκείνους

τους συνδυασμούς παραγωγικών συντελεστών, δηλαδή κεφαλαίου και εργασίας, που θα

του εξασφαλίσουν μέγιστο επίπεδο παραγωγής 1 μονάδα προϊόντος. Η απάντηση στο


ερώτημα αυτό δίνεται από την λεγόμενη καμπύλη ίσου προϊόντος.

Για επίπεδο παραγωγής y ισχύει

y = K3/4L1/4 ⇒ L1/4 =y

K3/4

L =y4

K3

Αν αντικαταστήσω y = 1 η συνάρτηση που προκύπτει y = 1/K3 μου δίνει πόση

εργασία πρέπει να απασχολήσω για κάθε επίπεδο κεφαλαίου που είμαι έτοιμος να δια-

θέσω ώστε στο τέλος να παραχθεί ακριβώς μια μονάδα προϊόντος. Εφόσον η συνάρτηση

παραγωγής είναι συνεχής μπορώ να παράγω όλα τα ζεύγη (K,L) που ικανοποιούν αυτή

την συνθήκη.

Σχήμα 7: Καμπύλες ίσου προϊόντος για την f(K,L) = K3/4L1/4

Δίνοντας έναν πιο συγκεκριμένο ορισμό


..ΚΙΠ(y) = {(K,L)|f(K,L) = y}

.

Καμπύλη ίσου προϊόντος

.

Ο τεχνικός λόγος υποκατάστασης

Πίσω στην συνάρτηση παραγωγής μας f(K,L), δείξαμε ότι κρατώντας σταθερό το

επίπεδο παραγωγής y καταλήξαμε σε μια σχέση για την καμπύλη ίσου προϊόντος L(K),

συγκεκριμένα L(K) = y4/k3. Παρατηρούμε την αντίστροφη σχέση μεταξύ κεφαλαίου

και εργασίας ώστε να διατηρηθεί σταθερό το επίπεδο παραγωγής. Με άλλα λόγια, η

σχέση απαντά το ερώτημα, πόσο πρέπει να μειώσω (αυξήσω) το επίπεδο εργασίας

αν αυξηθεί (μειωθεί) το επίπεδο κεφαλαίου ώστε τελικά το επίπεδο παραγωγής να

παραμείνει σταθερό; Άρα υπάρχει μια σχέση υποκατάστασης μεταξύ κεφαλαίου και

εργασίας. Ο λόγος υποκατάστασης μεταξύ αυτών των δύο μεγεθών είναι κάτι που θα

μας απασχολήσει, κατ’ αντιστοιχία με τον οριακό λόγο υποκατάστασης στην θεωρία

του καταναλωτή, που στην περίπτωση των παραγωγικών συντελεστών θα ονομάσουμε

τεχνικό λόγο υποκατάστασης.

Ο τεχνικός λόγος υποκατάστασης ορίζεται ως η κλίση της εφαπτομένης επί της καμπύλης

ίσου προϊόντος, όπως ακριβώς δείξαμε ότι ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι η κλίση

της εφαπτομένης επί της καμπύλης αδιαφορίας,

∂f

∂K∆K +

∂f

∂L∆L = ∆f = 0

∂f

∂K+

∂f

∂L

∆L

∆K= 0

ΤΛΥ =∆L

∆K= −

∂f∂K∂f∂L


..ΤΛΥ =∆L

∆K= −

∂f∂K∂f∂L

.

Τεχνικός λόγος υποκατάστασης

.

Το ίδιο αποτέλεσμα λαμβάνουμε απο την παραγώγιση της συνάρτησης παραγωγής

f(K,L(K)).

∂f

∂K+

∂f

∂L

∂L

∂K= 0

∂f

∂K+

∂f

∂LL′(K) = 0

ΤΛΥ = L′(K) = −∂f∂K∂f∂L

Στην περίπτωση της f(K,L) = K3/4L1/4, λαμβάνουμε L′(K) = −3y4K−4. Έστω για

παράδειγμα ότι θέλουμε να παράγουμε μια μονάδα προϊόντος y = 1 και αυξήσουμε

κατά μία μονάδα το κεφάλαιο, πόσο πρέπει να μειωθεί το επίπεδο εργασίας; Κάνοντας

της αντικατάσταση προκύπτει ότι θα πρέπει να μειωθεί η εργασία κατά τρεις μονάδες.

Το οριακό προϊόν των συντελεστών

Στο σημείο αυτό, είναι χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη έννοια την οποία χρησι-

μοποιήσαμε στην παραπάνω σχέση. Παρατηρούμε ότι ο ΤΛΥ εκφράζεται ως ο λόγος

των μερικών παραγώγων της συνάρτησης παραγωγής ως προς τους παραγωγικούς

συντελεστές. Σε αντιστοιχία με την οριακή ωφέλεια της κατανάλωσης της θεωρίας του

καταναλωτή, στην περίπτωση του παραγωγού παρατηρούμε ότι η μερική παράγωγος

ως προς τους παραγωγικούς συντελεστές μας δίνει χρήσιμη πληροφορία για το πόσο θα

αυξηθεί η παραγωγή του προϊόντος αν αυξηθεί οριακά κάποιος από τους παραγωγικούς

συντελεστές, είτε το κεφάλαιο ή η εργασία. Στην περίπτωση που αυξάνεται οριακά το

κεφάλαιο αναφερόμαστε στο οριακό προϊόν του κεφαλαίου (MPK) και αντίστοιχα για

την εργασία, στο οριακό προϊόν της εργασίας (MPL). Υπό τους ορισμούς αυτούς θα


μπορούσαμε να επαναδιατυπώσουμε τον ΤΛΥ ως

ΤΛΥ = −MPK

MPL

Για να κατανοήσουμε καλύτερα την χρησιμότητα της έννοιας του οριακού προϊόντος,

ας υπολογίσουμε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου για την συνάρτησή μας f(K,L) =

K3/4L1/4.

MPK =3

4K−1/4L1/4 =

3

4(L

K)1/4

Ας υποθέσουμε ότι αρχικά χρησιμοποιούμε τις εισροές (K,L) = (50, 100). Αν αντικατα-

στήσουμε τα μεγέθη στο οριακό προϊόν του κεφαλαίου προκύπτει να είναι ίσο με 0.8919.

Η ερμηνεία του μεγέθους είναι ότι αν αυξήσουμε οριακά την χρήση του παραγωγικού

συντελεστή κεφάλαιο (K +∆K), η παραγωγή θα αυξηθεί κατά 0.8919 μονάδες προ-

ϊόντος. Ας εξετάσουμε μια δεύτερη περίπτωση, στην οποία χρησιμοποιούμε σημαντικά

περισσότερο κεφάλαιο και το ίδιο επίπεδο εργασίας, έστω ότι (K,L) = (70, 100). Αν

υπολογίσουμε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου στο νέο σημείο, αυτό θα προκύψει να

είναι 0.8199, μικρότερο από προηγουμένως.

Μια πρώτη παρατήρηση που έχουμε να κάνουμε σε αυτό το σημείο είναι ότι για

την συγκεκριμένη συνάρτηση παραγωγής όσο περισσότερο χρησιμοποιούμε από έναν

συντελεστή παραγωγής τόσο λιγότερο προϊόν αποφέρει μια επιπλέον μονάδα κεφαλαίου.

Αυτό σημαίνει ότι το οριακό προϊόν είναι φθίνον στην χρήση του συντελεστή. Πως, όμως

ερμηνεύεται αυτό το μαθηματικό αποτέλεσμα;

Ας υποθέσουμε ότι ένας εργάτης γης καλλιεργεί ένα αγρόκτημα. Αν ο γεωργός προσλάβει

έναν επιπλέον εργάτη θα μπορέσει να αξιοποιήσει πιο παραγωγικά την γη και να αυξήσει

την παραγωγή. Κάθε φορά που προσλαμβάνει έναν εργάτη θα παρατηρεί αύξηση της

παραγωγής του ωστόσο η αύξηση του προϊόντος από τον επιπλέον εργάτη θα τείνει

μειούμενη, δηλαδή κάθε εργάτης θα αυξάνει λιγότερο το προϊόν. Καταλαβαίνει εύκολα

κανείς ότι καθώς μεταβάλλεται το οριακό προϊόν στις μεταβολές του συντελεστή, θα


έχουμε και αντίστοιχη μεταβολή στον ΤΛΥ. Σε αυτή την περίπτωση, θα αναφερόμαστε

σε φθίνοντα ΤΛΥ.

Οικονομίες κλίμακας

Μέχρι τώρα εξετάσαμε τι συμβαίνει όταν μεταβάλλουμε έναν από τους δύο συντελεστές

παραγωγής. Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε, ωστόσο, τι θα συμβεί όταν μεταβάλλουμε και

τους δύο συντελεστές ταυτόχρονα. Aν διπλασιάσουμε τους συντελεστές παραγωγής και

διπλασιαστεί ακριβώς η παραγωγή τότε θα αναφερόμαστε σε σταθερές οικονομίες κλίμα-

κας. Αν πάλι ο παραγωγός διπλασιάσει το επίπεδο των παραγωγικών συντελεστών, και

το επίπεδο παραγωγής είναι υπό-διπλάσιο, τότε θα αναφερόμαστε σε φθίνουσες οικονο-

μίες κλίμακας. Τέλος αν υπερδιπλασιαστεί η παραγωγή θα αναφερόμαστε σε αύξουσες

οικονομίες κλίμακας.

..

Έστω πολλαπλασιάζω τους συντελεστές παραγωγής με συντελεστή µ > 0,

δηλαδή f(µK, µL)

Σταθερές οικονομίες κλίμακας f(µK, µL) = µf(K,L)

Αύξουσες οικονομίες κλίμακας f(µK, µL) > µf(K,L)

Φθίνουσες οικονομίες κλίμακας f(µK, µL) < µf(K,L)

.

Οικονομίες κλίμακας

.

Ας εξετάσουμε σε ποια από τις παραπάνω κατηγορίες ανήκει η συνάρτηση παραγωγής

μας, f(K,L) = K3/4L1/4. Για εισροές (K,L) = (50, 100) έχουμε επίπεδο παραγωγής

f(K,L) = 503/41001/4 = 59.46.

Αν διπλασιάσουμε την χρήση των παραγωγικών συντελεστών σε (K,L) = (100, 200),

τότε έχουμε

f(K,L) = 1003/42001/4 = 118, 92,


το οποίο σημαίνει ότι έχουμε σταθερές οικονομίες κλίμακας.

Σημαντικό ρόλο στο παραπάνω αποτέλεσμα διαδραμάτισε το γεγονός ότι οι εκθέτες

των παραγωγικών συντελεστών αθροίζουν στην μονάδα (για f(K,L) = AKaLb τότε

a+ b = 1) Ας δούμε τι ισχύει για την Cobb-Douglas γενικότερα.

..

Για την συνάρτηση παραγωγής f(K,L) = AKaLb,

Σταθερές οικονομίες κλίμακας a+ b = 1

Αύξουσες οικονομίες κλίμακας a+ b > 1

Φθίνουσες οικονομίες κλίμακας a+ b < 1

.

Οικονομίες κλίμακας συνάρτησης Cobb-Douglas

.

Ελαστικότητα συνάρτησης παραγωγής

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση παραγωγής έχει ένα μοναδικό συντελεστή, έστω το

κεφάλαιο, f(K). Ας υποθέσουμε τώρα ότι απασχολούμε αρχικά για την παραγωγή

10 μονάδες κεφαλαίου. Ας κάνουμε επιπλέον την παραδοχή ότι αυξάνοντας το επίπεδο

κεφαλαίου κατά μια επιπλέον μονάδα το τελικό προϊόν αυξάνεται κατά 20 μονάδες.

Μπορούμε να αξιολογήσουμε αν η αύξηση είναι ικανοποιητική με βάση την πληροφορία

που διαθέτουμε. Φαίνεται πως τα στοιχεία που διαθέτουμε δεν είναι επαρκή και χρεια-

ζόμαστε περισσότερες πληροφορίες για τις αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, αν για

10 μονάδες κεφαλαίου έχουμε επίπεδο παραγωγής 20 μονάδες, η αύξηση του κεφαλαίου

κατά 10% επέφερε αύξηση της παραγωγής 100% (από 20 μονάδες στις 40 μονάδες). Αν

πάλι για 10 μονάδες κεφαλαίου έχουμε παραγωγή 1000 μονάδες, η αύξηση 10% του

κεφαλαίου οδηγεί σε μόλις 2% αύξηση του προϊόντος.

Επομένως, για να είμαστε σε θέση να κάνουμε μια ασφαλή εκτίμηση πρέπει να αναλύουμε

τις ποσοστιαίες μεταβολές. Τον σκοπό αυτό εξυπηρετεί η ελαστικότητα της συνάρτησης


παραγωγής.

..ϵf(K)(K) =K · f ′(K)

f(K).

Ελαστικότητα συνάρτησης παραγωγής

.

Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την συνάρτηση παραγωγής f(K) = 3√K και αρχική

εισροή K = 10. Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι ϵf(K)(K) = K3·√K

· 32·√K

= −1/2.

Άρα για μια αύξηση του κεφαλαίου κατά 1% οδηγεί σε αύξηση της παραγωγής κατά

0.5%.

Συνάρτηση κερδών

Η συνάρτηση κερδών περιγράφεται ως

Π(x) = R(x)− C(x) = p · x− C(x).

Για να εξασφαλίζεται μοναδική λύση θα πρέπει να υποθέσουμε ότι είτε η συνάρτηση

εσόδων R(x) είναι αυστηρά κοίλη ή ότι η συνάρτηση κερδών είναι αυστηρά κυρτή ή

και τα δύο.

Υποθέτουμε ότι ο παραγωγός γνωρίζει την συνάρτηση ζήτησης, και επομένως και την

αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης p(x). Για να κρατήσουμε το παράδειγμά μας απλό

υποθέτουμε ότι αυτή αποτυπώνεται από την συνάρτηση p(x) = A−bx όπου A, b > 0.

Αντίστοιχα, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση κόστους περιλαμβάνει μόνο μεταβλητό κόστος

και δίνεται από την αυστηρά κυρτή συνάρτηση C(x) = dx2, όπου d > 0.


Η συνάρτηση κερδών γίνεται,

Π = px− dx2

= (A− bx)x− dx2

= Ax− (b+ d)x2

από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης

∂Π

∂x= 0 ⇒ A− 2(b+ d)x = 0 ⇒ x∗ =

A

2(b+ d)

Αντικαθιστώντας την βέλτιστη λύση στην συνάρτηση κερδών, υπολογίζω το μέγιστο

κέρδος της επιχείρησης.

Π = Ax∗ − (b+ d)x∗2

= (A− b · A

2(b+ d)) · A

2(b+ d)− d · ( A

2(b+ d))2

=A2

4(b+ d)

Στο βέλτιστο, το οριακό έσοδο R′(x) θα είναι ίσο με το οριακό κόστος (Π′ = R′−C ′ ≤

0). Άρα θα ισχύει ότι στο βέλτιστο,

Οριακό Έσοδο = Οριακό Κόστος.


..

Έστω ότι έχω το απλό πρόβλημα maxx∈X f(x).

Εφόσον το x∗ είναι τοπικό μέγιστο θα παίρνει την μέγιστη τιμή η συνάρτηση

για κάθε x που ανήκει σε μια γειτονιά του x∗, την N(x∗).

f(x∗) ≥ f(x), x ∈ N(x∗).

Αν γραμμικοποιήσουμε στο f(x∗) τότε.

f(x) ≈ f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗).

επομένως η πρώτη σχέση ξαναγράφεται ως

f(x∗) ≥ f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗)

ή

0 ≥ f ′(x∗)(x− x∗)

.

Αναγκαίες συνθήκες για τοπικό μέγιστο

.

Μια πρώτη παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε στο σημείο αυτό είναι ότι τόσο

το βέλτιστο επίπεδο παραγωγής όσο και τα μέγιστα κέρδη επηρεάζονται από την

παράμετρο b της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης. Η παράμετρος μας δίνει πληροφορία

για τον βαθμό που μεταβάλλεται η τιμή στις μεταβολές της ποσότητας. Επίσης μπορεί

να ερμηνευθεί το αντίστροφο μέγεθός της ως πόσο αντιδρά η ποσότητα ζήτησης στις

μεταβολές τις τιμής. Επικεντρώνουμε την προσοχή μας σε αυτό το χαρακτηριστικό και

θα προσπαθήσουμε να καταγράψουμε πως η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή

θα επηρεάζει την μονοπωλιακή δύναμη του παραγωγού.

Θυμίζουμε ότι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή δίνεται από την

ed =px′

1(p)

x1(p).


Υπολογίζοντας το οριακό έσοδο

R′(x) = p′(x)x+ p(x)

= p(x)[1 +xp′(x)

p(x)]

= p(x)[1 +x

p(x)· 1

x′(p(x))] καθώς ισχύει p′(x) = 1/x′(p)

= [1 +1

ed]p(x)

Επομένως στο βέλτιστο πρέπει να ισχύει

R′(x) = C ′(x)

[1 +1

ed]p(x) = C ′(x)

p(x) =ed

1 + edC ′(x)

Ενώ γενικά η τιμή εκφράζει το οριακό έσοδο για κάθε μονάδα παραγωγής που πουλάει

η επιχείρηση, εδώ παρατηρούμε ότι παρεμβάλλεται το μέγεθοςed

1+ed. Αυτό εκφράζει ένα

markup, για το βαθμό που ξεπερνά η τιμή που θέτει ο παραγωγός το οριακό κόστος.

Όσο υψηλότερη τιμή παίρνει ο λόγος αυτός τόσο μεγαλύτερη είναι και η μονοπωλιακή

δύναμη του παραγωγού, και για αυτό τον λόγο το χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε

την δύναμη αγοράς του. Ένα πολύ χρήσιμο ισοδύναμο του markup είναι ο δείκτης Lerner

ο οποίος αποδίδεται ως

L =p(x)− C ′(x)

p(x)=

1

−ed,

Για την κατανόηση του προβλήματος μεγιστοποίησης ας δώσουμε μερικές τιμές στις

παραμέτρους της αντιστροφής συνάρτησης ζήτησης και της συνάρτησης κόστους. Έτσι,

υποθέτουμε A = 10, b = 0.2 και d = 0.5. Προχωρώντας στις αντικαταστάσεις, βρίσκουμε

ότι x∗ = 7.143 και Π∗ = 35, 714. Επίσης, η τιμή στην ισορροπία υπολογίζεται να είναι

p(x∗) = p∗ = 10− 0.2× (7.143) = 8.571.


Αυτή η τιμή οδηγεί σε έσοδα για τον παραγωγό R(x∗) = 8.571 × 7.143 = 61.223,

ενώ το κόστος για την παραγωγή των x∗ = 7.143 υπολογίζεται να είναι C(x∗) =

1/2 × (7.143)2 = 25.511, το οποίο επιβεβαιώνει τα κέρδη Π = R(x∗) − C(x∗) =

61.223− 25.511 = 35.71

Τέλος είναι χρήσιμο να μετρήσουμε το markup για την περίπτωση. Η συνάρτηση ζήτησης

είναι

p(x) = 10− 0.2x

0.2x = 10− p ⇒ x(p) =10

0.2− 1

0.2p ⇒ x(p) = 50− 5p

Επομένως, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή υπολογίζεται να είναι:

ed =px′

1(p)

x1(p)=

−5× p

50− 5p≈ −6.

Αντίστοιχα το markup είναι:

ed1 + ed

=−6

1− 6= 1.2.


Documents

Βασικές Μικροοικονομικές Έννοιες · x1 να εκφράζει την ποσότητα του αγαθόύ 1 και x2 αντίστοιχα για το