Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Μελέτη κινηματικών εννοιών: Θέση, μετατόπιση, ταχύτητα, μέτρο ταχύτητας, και επιτάχυνση.

Διαφορά εννοιών "μετατόπισης“ - " διαστήματος" και "στιγμιαία“ –"μέση".

Μελέτη κίνησης με σταθερή επιτάχυνση.

Κίνηση

Κίνηση υλικού σημείου εκφράζεται συναρτήσει της θέσης και του χρόνου (t,x):

x=x(t) (Τροχιά η γραμμή στο χώρο των διαδοχικών θέσεων)

Τρεις παραδοχές: Κίνηση μόνο σε ευθεία γραμμή.

Αγνοούμε τις δυνάμεις που προκαλούν την

κίνηση. Κινηματική vs. Δυναμική (δύναμη και κίνηση)

Κινητό είναι υλικό σημείο.

1 Γ Α Κουρούκλης

Θέση και Μετατόπιση * Θέση : x(t) τη χρονική στιγμή t (ως προς την αρχή)

* Μετατόπιση

Μέγεθος: απόσταση μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης

Διεύθυνση (από την αρχική προς την τελική θέση): + ή - εάν η κίνηση είναι 1-D.

•Μετατόπιση : Δx=x(t2)-x(t1)

αρχή

τέλος

Τροχιά

μετατόπιση

θετική κατεύθυνση

αρνητική κατεύθυνση

αρχή

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κίνηση προς την θετική

κατεύθυνση:

μετατόπιση θετική.

π.χ. x(t1) = -3 και x(t2) = 3;

t1 < t2

Δx=x(t2)-x(t1) = 6 > 0

2 Γ Α Κουρούκλης

Μέση ταχύτητα και μέτρο ταχύτητας * Μέση ταχύτητα: μετατόπιση/χρόνος

* Μέτρο ταχύτητας: απόσταση/χρόνος

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Ακίνητο υλικό σημείο στη θέση x=-2

Καμπύλη x(t) για κινούμενο σημείο

Θέση για t=0

3 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

ave Γραφικά

Κλίση αυτής της γραμμής ave

υave έχει μέτρο και φορά

υave εξαρτάται μόνο από το

αρχικό και το τελικό σημείο

υave είναι ανεξάρτητο από τον δρόμο

Το μέτρο της ταχύτητας υ δεν έχει

κατεύθυνση.

4 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Στιγμιαία ταχύτητα και μέτρο ταχύτητας

Στιγμιαία ταχύτητα: Πόσο γρήγορα μια δεδομένη χρονική

στιγμή - Έκφραση της ταχύτητας σε ορισμένη χρονική στιγμή.

Η ταχύτητα βρίσκεται από την μέση ταχύτητα με την σμίκρυνση

του Δt: Διάνυσμα → διεύθυνση.

0limt

x dx

t dt

Στιγμιαίο μέτρο ταχύτητας βαθμωτό χωρίς διεύθυνση

Κλίση της εφαπτομένης →

5 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εύρεση της ταχύτητας σε διάγραμμα x - t

6 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εύρεση της ταχύτητας σε διάγραμμα x - t

7 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Επιτάχυνση

2 1

2 1

avat t t

2

20lim ( )

t

d d d dx d xa t

t dt dt dt dt dt

Επιτάχυνση: μέτρο αλλαγής της ταχύτητας.

Έχει μέτρο και κατεύθυνση όπως η ταχύτητα και η μετατόπιση.

Μέση επιτάχυνση

(Στιγμιαία) επιτάχυνση: η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο.

= δεύτερη παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο.

Επιτάχυνση της βαρύτητας: 1 g = 9.8 m/s2

8 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εύρεση της επιτάχυνσης σε διαγράμματα υx – t

9 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εύρεση της επιτάχυνσης σε διαγράμματα υx - t

10 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εύρεση της επιτάχυνσης σε διαγράμματα υx - t ή x -t

11 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Λύση προβλημάτων κινηματικής

12 Γ Α Κουρούκλης

( ) ( )x t t dt

( ) ( )( ) , ( )

dx t d tt a t

dt dt

Διαφορικός νόμος

•Γενικός νόμος συνδέει τα φυσικά μεγέθη "τοπικά"(x,t).

•Δυο διαφορικοί νόμοι

•Είναι διαφορικές εξισώσεις (εξισώσεις μεταξύ συναρτήσεων).

•Λύση (ολοκλήρωση) σημαίνει να βρεθεί η συνάρτηση x(t) ώστε η παράγωγος

της να είναι η ν(t) για κάθε χρονική στιγμή και το αντίστροφο.

•Π.χ.

•Η Λύση (η εύρεση της μιας) προϋποθέτει τη γνώση της άλλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εδικές περιπτώσεις

1. Ομογενής ευθύγραμμη κίνηση

Επιτάχυνση = 0 ταχύτητα = σταθερή

13 Γ Α Κουρούκλης

0

0

0

0

σταθερή

x t

x

dxdx dt x x t

dt

x x t

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Εδικές περιπτώσεις

Ομαλώς επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση

Επιτάχυνση = σταθερή

0

0

0

0

σταθερή

v t

v

da d a dt at

dt

at

0

210 0 0 0 2

0

210 0 2

x t

x

dxat dx at dt x x t at

dt

x x t at

0 0

2 210 02

2 2

0 0

σταθερή

2

x

x

da d a dx a x x

dx

a x x

14 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Καθορίζοντας γενικά την κίνηση σωματιδίου

• Προσοχή, κίνηση είναι γνωστή εάν x είναι γνωστό για κάθε t.

• Εάν η επιτάχυνση είναι γνωστή, μπορούμε να

υπολογίσουμε την ταχύτητα και τη θέση με 2 διαδοχικές

ολοκληρώσεις.

• Τρεις κατηγορίες κινήσεων μπορεί να διακριθούν:

- Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του t, a = f(t)

- Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του x, a = f(x)

- Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του ν, a = f(υ)

dx

dt

da

dt

2

2

d xa

dt

d d dx da

dt dx dt dx

15 Γ Α Κουρούκλης

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

16

• Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του t, a = f(t):

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

t td

a f t d f t dt d f t dt f t dtdt

0

0

0 0

x t t

x

dxdx dt dx vdt x x dt

dt

0 0 0

2 2

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

x x

x x

da f x d f x dx d f x dx f x dx

dx

•Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του x, a = f(x):

0 0

x t

x

dx dx dxdt dt

dt

Γ Α Κουρούκλης

Καθορίζοντας γενικά την κίνηση σωματιδίου

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

17

0 00

( )( ) ( ) ( )

td d d d

a f dt dt tdt f f f

0 0 0

0( )( ) ( ) ( )

x v

x v

d d d da f v dx dx x x

dx f f f

• Δίδεται η επιτάχυνση συναρτήσει του υ, a = f(υ) :

Γ Α Κουρούκλης

Καθορίζοντας γενικά την κίνηση σωματιδίου

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

18

Σύνοψη

Διαδικασία επίλυσης προβλημάτων κινηματικής:

1. Ορισμός συστήματος συντεταγμένων & της αρχής

2. Να θυμάστε τις σχέσεις των : x,υ,a,t :

3. Κατά την ολοκλήρωση, είτε ορισμένη (γνωστά τα όρια) είτε αόριστη και

προσθέτουμε μια σταθερά ολοκλήρωσης, υπολογιζόμενη από τις αρχικές

συνθήκες

dx

dt

da

dt

2

2

d xa

dt

d d dx da

dt dx dt dx

Γ Α Κουρούκλης

19 Γ Α Κουρούκλης