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Geomatica
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Ing. Msc. Ralfo Herrera Rosado
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil CENTRO DE CAPACITACIÓN TÉCNICA DEL DEPARTAMENTO DE TOPOGRAFÍA Y VÍAS DE TRANSPORTE
Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico.
Donde: LP : Longitud proyectada al plano cartográfico. LO : Longitud medida en el elipsoide de referencia. KESCALA : Factor de escala.
2
OESCALAP LKL
En la siguiente imagen se muestra un punto ''P'' ubicado sobre la superficie del elipsoide. El meridiano que pasa por ''P'' (sección meridiana o elipse meridiana) se confunde con el plano del papel.
3
4
Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por ''p'' en dicho punto.
Así pues, la latina geodésica '' '', es el ángulo limitado por la normal R el plano ecuatorial.
2/322
2
Sen.e1
e1a
R
4
Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por ''P'' en dicho punto.
2/122
Sen.e1
a
N
5
En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica de R y N respecto al punto en mención.
NRr
6
Para calcular KESCALA de un punto; primero es necesario conocer la posición de tal punto, expresadas en coordenadas geodésicas y UTM.
PTO COORDENADAS GEODÉSICAS COORDENADAS UTM
LATITUD LONGITUD NORTE ESTE ZONA
A N E #
Siendo así, el factor de Escala KESCALA de un punto se puede expresar del siguiente modo:
42 0000301. qqKK O
7
Donde:
e'2 : Cuadrado de la segunda excentricidad. N : Radio de curvatura de la primera vertical en el punto ''A''. Ko : Factor de escala en el Meridiana Central = 0,9996
: Latitud Geodésica.
12
2
0
2
21
102
cos1
000500
.000001.0
2
KN
eP
ESTEX
xq
8
Ejemplo 1.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto ''A''.
84:
0
"91.12'1476
"46.33'4311
WGSDatum
mh
Solución: Transformando a coordenadas UTM:
Cálculo de ''X'':
m0211.4537038N
m9239.205365E
18
0761.794134
9239.205365000500
ZONA
mX
X
Cálculo de N: Dado que el Datum de referencia es WGS84:
381694006.0e
0.1373786a
2
9
ZONA 18
9
Cálculo de P:
a 2
e2/1
22
sene1)m(N
Cálculo de K:
N222 KN
21e 21 cos12
e P
95.637901813
101318.8 006739497.0 006461137.1 012376753.0
137.0 378 6 10.00669438 33.46 43' 11º- 742 0.999861 018.95 379 6
X q2
qp4
q00003.0 K
0761.134794 134794076.0 000224879.09
10x90386.9 999824799.0
999824799.0K
10
Ejemplo 2.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto ''B''. :
Solución:
Transformando a coordenadas UTM:
84
0
"35.06'1576
"35.15'4411
WGSDatum
h
m921.1587028N
m723.593363E
mX
X
277.406136
723.593363000500
Cálculo de ''X'':
Cálculo de N: Dado que el Datum de referencia es WGS84:
381694006.0e
0.1373786a
2
11
Cálculo de ''P''
a 2
e2/1
22
sene1)m(N
Cálculo de ''K''
N2
o
2KN2
21
e21
cose1
2
P
677.020379613
1013187.8 006739497.0 006460592.1 01237674.0
137.0 378 6 381 694 0.006''15.35 44' 11- 471 0.999861 020.677 379 6
Xq
2
qp4
q00003.0 K
277.406136 136406277.0 00023029.08
10x03862.1 999830208.0
12
Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie Elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al plano cartográfico, se generan los puntos A' y B'. La longitud de la línea recta que une dichas proyecciones, toma el nombre de distancia de cuadrícula (LC).
13
Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano; su cálculo está gobernado por la fórmula aplicado al plano cartesiano Y-X.
2
AB
2
ABCNNEEL
14
m338.0672LC
En nuestro ejemplo 1 y 2:
Punto A:
Punto B:
mN
mE
B
B
921.1587028
723.593363
Aplicando la fórmula:
22
C021.4537038921.1587028924.205365723.593363L
m021.4537028N
m924.205365E
A
A
15
Distancia Geodésica, es la longitud entre los puntos A y B medida en la superficie del Elipsoide de referencia
0L
Distancia Geodésica, se puede calcular apoyándonos en el factor de escala de los puntos extremos que limita la mencionada línea.
16
Sea:
Según el concepto de factor de escala:
KA : Factor de escala del punto A. KB : Factor de escala del punto B. KESCALA : Factor de escala promedio.
2
KK
K
BA
ESCALA
17
ESCALA
C
oK
L
L
Lo : Distancia geodésica LP : Distancia de cuadrícula KESCALA : Factor de escala promedio.
Punto A:
999827503.0
2
KK
K
BA
Escala
Punto B:
Además:
999827503.0
338.0672
K
L
L
Escala
C
o
m338.0672LC
999830208.0KB
999824799.0KA
Cálculo de:
m695.0672Lo
18
Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el terreno (distancia reducida al horizonte) sobre el Elipsoide de referencia (Lo)
19
Asumiendo:
Semejanza de triángulos:
LT : Longitud Topográfica. hA : Altura Elipsoidal de ''A'' hB : Altura Elipsoidal de ''B'' R : Radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud promedio de A y B.
RM
MR
hR
L
L
Cuerda
T
Donde:
20
2
cos1
AB
Luego: TCUERDA
L
hR
MR
L
Para llevar : LCUERDA al Elipsoide (Lo), es necesario adicionar:
S
R24
L
2
3
CUERDA
A modo de ejemplo:
mm1,0Sm0005L
mm1Sm00010L
CUERDA
CUERDA
Para lo cual conlleva a deducir que para trabajos de Ingeniería con distancias menores o igual a 5 km; podemos despreciar Finalmente:
Factor de elevación
S
ToL
hR
MR
L
hR
MR
K.Elem
21
Ejemplo 3.- Considerando que los puntos ''A'' y ''B'' son los mismos presentados en el ejemplo 1 y 2. Calcular el factor de elevación; sabiendo que altura ortométrica es:
Calcular también la distancia topográfica entre A y B.
Solución:
En primer lugar, es preciso transformar las alturas ortométricas a Elipsoidales.
En el presente ejemplo nos hemos apoyado en el modelo Geoidal EGM 96-Perú, obteniendo:
m820,3H
m419,3H
B
A
m831.6503
2
hh
h
m302.8513h
m359.4503h
BA
B
A
22
Cálculo de R:
Cálculo de M:
m397.0703386R:Luego
"41.54'4311
"35.15'4411
"46.33'4311
PROMEDIO
B
A
m070,0M
2
cos1RMAB
23
Cálculo de Factor Elevación (KELEVACIÓN):
Cálculo de Distancia Topográfica (LT):
Sabiendo:
hR
MR
KELEVACIÓN
m695.0672Lo
831.6503397.0703386
07.03970703386
KELEVACIÓN
679994243045.0
695.0672
K
L
L
ELEVACIÓN
o
T
m886.0682LT24
m679994243045.0KELEVACIÓN
Es el producto proveniente entre el factor de elevación y el factor de escala.
K : Factor combinado entre A y B. KELEVACIÓN : Factor de elevación entre A y B. KESCALA : Factor de escala entre A y B.
El factor combinado K, permite transformar la distancia topográfica existente entre dos puntos a distancia de cuadrícula, directamente:
LC : Longitud de cuadrícula. K : Factor combinado. LT : Longitud Topográfica.
25
K = (KELEVACIÓN
) (KESCALA
)
LC =
K . LT
Ejemplo 4.- Considerando los ejemplos antecesores:
Se pide: A) Calcular el factor combinado. B) Calcular la distancia topográfica.
Solución:
Cálculo del factor combinado:
338.2067L
)promedio(304567424999.0K
)promedio(503827999.0K
C
ELEVACIÓN
ESCALA
679994243045.0999627503.0K
Cálculo de la distancia topográfica:
049992519073.0
338.0672
L
K
L
L
T
C
T
26
049992519073.0K
m886.0682LT
h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
359.4503 302.8513 338.0672 886.0682 695.0672
m94.400h)1
h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
359.5503 302.8513 338.0672 902.0682 695.0672
m94.300h)2
27
h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
302.8513 338.0672 918.0682 695.0672
m94.200h)3
359.6503
h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
359.7503 302.8513 338.0672 935.0682 943.0672
m94.100h)4
h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
359.7503 302.8513 338.0672 951.0682 695.0672
m943.0h)5
Como es de suponer, al analizar la influencia del desnivel en las distancias (Cuadrícula, Topográfica y Geodésica), la única longitud que sufre dicha influencia es la topográfica. En tal sentido se recomienda tomar desniveles no muy pronunciadas (máximo 400 metros).
28
H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
4193 8203 338.0672 875.0682 695.0672
401H)1
H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
5193 8203 338.0672 892.0682 695.0672
301H)2
H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
6193 8203 338.0672 908.0682 695.0672
201H)3
29
H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
7193 8203 338.0672 875.0682 695.0672
101H)4
H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA
8193 8203 638.0672 924.0682 695.0672
1H)5
Comparando los cuadros obtenidos con alturas ortométricas respecto a los obtenidos con alturas Elipsoidales, se deduce que en las longitudes Topográficas se presenta una diferencia promedio de 1 cm (en el presente caso). Se recomienda en lo posible trabajar con alturas Elipsoidales.
30
PTO UTM
N(m) E(m) ZONA h(m)
A
B
63.9723259 90.664703 17 369.0892
29.4173319 99.827690 17 932.3582
Calculando M : m151.1M
Calculando (LC) : m696.94813LC
31
Considerando M: 449997309762.0KCOMBINADO
Despreciando M: (M=0)
mLATOPOGRÁFIC
45.95213
mLATOPOGRÁFIC
447.95213
19997311579.0COMBINADOK
En el presente ejemplo, se observa que en 14 km (aprox.) de distancia Topográfica, existe tan solo una diferencia de 3 mm al despreciar el valor de M. Si consideramos que la máxima longitud a tomar es 5 km, la diferencia antes indicada será aún mucho menor. Finalmente concluimos que es posible despreciar el valor de M.
32
Considerando los datos del ejemplo anterior. Cálculo de los Radios de Curvatura del Meridiano en cada punto.
2
Para
127.1453366RPara
536.1563366RPara
BA
BB
AA
33
m82.1503366R
Calculando el radio medio entre A y B:
Considerando que para una distancia Topográfica de 14 km, la diferencia de resultados es cuanto al cálculo del Radio es de tan solo 1 cm; se concluye que basta con calcular el Radio promedio entre A y B para efectos de encontrar el factor de elevación.
m83.1503366
2
RR
RBA
Observación: En adelante para obtener el Factor Combinado entre dos puntos, será suficiente calcular independientemente el Factor Combinado de cada punto para luego promediarlo.
34
PTO UTM
N(m) E(m) ZONA h(m)
A 8 703 453.021 365 205.924 18 3 450.359
B 8 702 158.921 363 593.723 18 3 851.302
Calculando el Factor Combinado para cada punto:
PTO KESCALA KELEVACIÓN KCOMBINADO
A
B
8247986607999.0 99945591.0 999280804.0
0239998302082.0 999392723.0 999223035.0
35
m338.0672LC
Calculando el Factor Combinado Promedio entre A y B:
Calculando la Distancia Topográfica entre A y B:
Si comparamos el resultado obtenido (LT) respecto al calculado en el ejemplo 4; deducimos que son iguales.
749992519192.0
2
999223035.0999280804.0
K
K
m886.0682L
749992519192.0
338.0672
K
L
L
T
C
T
36
El Azimut de cuadrícula es aquel que se obtiene sobre la proyección del cilindro transversal de mercator. El Azimut de cuadrícula esta compuesta por:
37
A) Azimut Plano: t Es aquel ángulo medido desde el norte de la cuadrícula en sentido horario hacia la línea recta que une los puntos A y B. Su cálculo obedece a las mismas reglas establecidas en Topográfia.
Ejemplo: Datum WGS84
COORDENADAS UTM
PTO N (M) E (M) ZONA
B 8 703 453.021 365 205.924 18
A 8 702 158.921 363 593.723 18
:Calculando
38
"62.46'1451t
B) Azimut Geodésico Proyectado: T
La línea recta entre las puntas A y B ubicados en el elipsoide; se proyecta en el cilindro transversal de Mercator como una línea curva cóncava hacia el Meridiano Central.
39
El ángulo medido en sentido horario desde el norte de cuadrícula hasta la línea tangente en ''A'', se le llama Azimut Goedésico proyectado de A.
40
Corrección por Curvatura (T-t): Es la diferencia de los Azimuts de cuadrícula antes expuesto y debe ser aplicado en los lados de partida y llegada de una poligonal Geodésica.
41
8
21 108755.62 xxPxXXNtT BA
12
22
21
22
11
102
cos1
000500
000500
2
o
AB
KN
eP
Ex
Ex
NNNDonde:
42
e'2 : Cuadrado de la segunda excentricidad. N : Radio de curvatura de la primera vertical en el punto A. Ko : Factor de escala en el Meridiano Central = 0,9996
: Latitud Geodésica en el punto A.
Aplicando a nuestro ejemplo anterior: (T-t)
40123767394.0*
737.63790201
*
"35.15'4411*
076.794134924.205365000500*
277.406136723.593363000500*
1.1294*
2/122
2
1
P
sene
aN
X
X
NNN
A
A
AB
43
BA
Calculando el Azimut Geodésico proyectado (T)
"45.0BAtT Corrección por curvatura.
tTtT
En nuestro caso:
"45.0"62.46'1451T
44
"17.46'1451T
8108755.640123767394.0076.794134277.40613621.2941* BAtT
Cálculo de Coordenadas UTM de un Punto ''B'', conociendo las Coordenadas UTM de un punto ''A'', el Azimut Plano AB y la distancia de cuadrícula entre ambos. Ejemplo: COORDENADAS UTM
PTO N E ZONA
A 8 702 158.921 363 593.723 18
m338.0672ByAL
"62.46'1451tZ
C
ABAB
45
Calculando las Coordenadas UTM del punto B:
"62.46'1451cos338.0672921.1587028
cos
B
ABCAB
N
tLNN
m021.4537038NB
"62.46'1451338.0672723.593363 senE
tsenLEE
B
ABCAB
m924.205365EB
46
Cálculo de Coordenadas Topográficas de un punto «B», conociendo las Coordenadas UTM de A y B.
Ejemplo: Datum WGS84
COORDENADAS UTM
PTO N E ZONA h
A 8 702 158.921 363 593.723 18 3 851.302
B 8 703 453.021 365 205.924 18 3 450.359
Calculando el Factor Combinado para cada punto:
PTO KESCALA KELEVACIÓN KCOMBINADO
A 0.9998302082023 0.999392723 0.999223035
B 0.9998247986607 0.99945591 0.999280804
47
Calculando el Factor Combinado promedio entre A y B:
749992519192.0K
Calculando la distancia Topográfica entre A y B:
Calculando la corrección de Azimut por Curvatura (T-t)
"45.0tTBA
48
m886.0682L
749992519192.0
338.0672
K
L
L
T
C
T
Azimut plano tAB = 51
14'46.62'' Azimut Geodésico proyectado: T
"17.46'1451
"45.0"62.46'1451
T
T
tTtT
Cálculo de las Coordenadas Topográficas del punto B:
Como quiera que las Coordenadas Topográficas son relativas, es posible asignar al punto de partida (A), valores inspirados en nuestra imaginación; no obstante es prácticamente común asignarle como Coordenadas Topográficas al punto A, los mismos valores que las UTM.
49
Calculando las Coordenadas UTM del punto B:
"17.46'1451cos886.0682921.1587028
cos
B
ABTAB
N
TLNN
m993.4537038NB
"17.46'1451886.0682723.593363 senE
TsenLEE
B
ABTAB
m128.207365EB
50