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danile889l
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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La
factorización es encontrar los factores, dado el producto. Se llaman factores
de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como
resultado la primera expresión.
Ejemplo: si;
𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥2 + 5𝑥 + 6
tenemos que 𝑥 + 2 y 𝑥 + 3 son factores de 𝑥2 + 5𝑥 + 6 , así pues,
factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un
producto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos
podamos combinar dos o más de estos procedimientos.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto,
los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos
combinar dos o más de estos procedimientos.
1ºFactor común de un polinomio
Extraer factor común a un pol inomio cons is te en ap l i ca r la
propiedad d istr ibut iva .
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
Una raíz del pol inomio será s iempre x = 0
Descomponer en factores sacando factor común y hal lar las raíces
de:
1 x3 + x2 = x 2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Só lo t iene una raíz X = 0; ya que e l po l inomio, x 2 + 2 , no t iene
n ingún va lor que lo anu le; deb ido a que a l es ta r la x a l cuadrado s iempre
dará un número pos i t i vo , por tanto es i r reduc ib le .
3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
La raíces son x= a y x = b.
2ºIgualdad notable
1Diferencia de cuadrados
Una d i ferencia de cuadrados es igual a suma por d i ferencia.
a2 − b 2 = (a + b) · (a − b)
Descomponer en factores y hal lar las raíces
1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2 x4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x 2 + 4)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2Trinomio cuadrado perfecto
Un tr inomio cuadrado perfecto es igual a un b inomio al
cuadrado.
a2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b) 2
Descomponer en factores los tr inomio cuadrados perfectos y
hal lar sus raíces
La raíz es x = − 3.
La raíz es x = 2.
3ºTrinomio de segundo grado
Para descomponer en factores e l tr inomio de segundo grado
P (x) = a x 2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º
grado . S i las so luc iones a la ecuac ión son x 1 y x 2 , e l po l inomio
descompuesto será:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
Descomponer en factores los tr inomios de segundo grado y hal lar
sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los tr inomios de cuarto grado de
exponentes pares y hal lar sus raíces
x 4− 10x 2 + 9
x 2 = t
x 4 − 10x 2 + 9 = 0
t 2 − 10t + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
x 4 − 2x 2 − 3
x 2 = t
t 2 − 2t − 3 = 0
x 4 − 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) · (x + ) · (x − )
4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Uti l izamos el teorema del resto y la regla de Ruff in i .
Descomposic ión de un pol inomio de grado superior a dos y cálcu lo
de sus raíces
P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6
1Tomamos los d iv isores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Apl icando e l teorema del resto sabremos para que va lores la
d iv is ión es exacta .
P(1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3Divid imos por Ruff in i .
4Por ser la d iv is ión exacta , D = d · c
(x −1) · (2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 )
Una ra íz es x = 1.
Cont inuamos rea l i zando las mismas operac iones a l segundo fac tor .
Vo lvemos a probar por 1 porque e l pr imer f ac tor podr ía es ta r e levado
a l cuadrado.
P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
Ot ra ra íz es x = -1 .
E l tercer fac tor lo podemos encont ra r ap l i cando la ecuac ión de 2º
grado o ta l como ven imos hac iéndo lo , aunque t iene e l inconven iente de
que só lo podemos encont ra r raíces enteras .
E l 1 lo descar tamos y segu imos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0
P (2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en ú l t imo b inomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factor izac ión del pol inomio queda:
P(x) = 2x 4 + x3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −
3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Ejercicios resueltos de factorización de polinomios
Factor izar los pol inomios
19x 4 − 4x 2 =
x 2 · (9x 2 − 4) =
x2 · (3x + 2) · (3x − 2)
2x 5 + 20x 3 + 100x =
x · (x 4 + 20x 2 + 100) =
x · (x 2 + 10) 2
33x 5 − 18x 3 + 27x =
3x · (x 4 −6 x 2 + 9) =
= 3x · (x 2 − 3) 2
42x 3 − 50x =
=2x · (x 2 − 25 ) =
2x · (x + 5) · (x - 5)
52x 5 − 32x =
= 2x · (x 4 − 16 ) =
2x · (x 2 + 4) · (x 2 − 4) =
= 2x · (x 2 + 4) · (x +2) · (x − 2)
62x 2 + x − 28
2x 2 + x − 28 = 0
2x 2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)
Descomponer en factores los pol inomios
1
2xy − 2x − 3y +6 =
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)
325x 2 − 1=
= (5x +1) · (5x − 1)
436x 6 − 49 =
= (6x3 + 7) · (6x 3 − 7)
5x 2− 2x +1 =
= (x − 1) 2
6x 2 − 6x +9 =
= (x − 3) 2
7x 2 − 20x +100 =
= (x − 10) 2
8x 2 + 10x +25 =
= (x + 5) 2
9x 2 + 14x +49 =
= (x + 7) 2
10x 3− 4x 2 + 4x =
= x · (x 2 − 4x +4) =
= x · (x − 2) 2
113x 7 − 27x =
= 3x · (x 6 − 9 ) =
= 3x · (x 3 + 3) · (x 3 − 3)
12x 2− 11x + 30
x 2 − 11x + 30 = 0
x 2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
133x 2 + 10x +3
3x 2 + 10x +3 = 0
3x 2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)
142x 2− x −1
2x 2 − x −1 = 0
2x 2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)
Factor izar y hal lar las raíces de los pol inomios
1 2x3 − 7x2 + 8x − 3
P (1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )
P (1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2x3 − x2 − 4
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P (2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x 2+ x + 2 )
x 2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x 2+ x + 2 )
Ra íz: x = 2.
3x3 + 3x2 −4 x − 12
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x 2 + 5x +6)
x 2 + 5x +6 = 0
(x − 2) · (x + 2) · (x +3)
Las ra íces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
46x3 + 7x2 − 9x + 2
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P (2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2
= 0
(x+2) · (6x 2−5x +1)
6x 2 −5x +1 = 0
6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3