FAKÜLTE / YÜKSEKOKUL: İKTİSAT FAKÜLTESİauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/ekonometri_ue/...Ahmet Kılıçbay, “Ekonometrinin Temelleri”. İ.Ü. İktisat Fakültesi, İstanbul,

FAKÜLTE / YÜKSEKOKUL: İKTİSAT FAKÜLTESİ

BÖLÜM: EKONOMETRİ

DÖNEM (GÜZ / BAHAR): BAHAR

DERSİN ADI: EKONOMETRİ II

DERS NOTU YAZARININ

ADI ve SOYADI: PROF. DR. NİLGÜN ÇİL

CANLI DERS ÖĞRETİM

GÖREVLİSİNİN / ÜYESİNİN

ADI ve SOYADI:

PROF. DR. NİLGÜN ÇİL

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

1. HAFTA

PARAMETRELERE KONULAN

SINIRLAMALAR

2 / 19

İÇİNDEKİLER

Özet v.

1. Parametrelere Konulan Sınırlamalar 6

1.1. Sınırlı En Küçük Kareler 6

1.2. t Sınaması 7

1.3. F Sınaması 11

1.4. İki Regresyon Katsayısının Eşitliğinin Sınanması 12

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 19

ÖZET

Bu bölümde ekonometrik uygulamalarda bazı durumlarda parametrelerden birine veya

birkaçına sınırlama getirilerek tahminlerin etkinliğini nasıl arttırılabileceği gösterilecektir.

.

4 / 19

1. Parametrelere Konulan Sınırlamalar

1.1. Sınırlı EKK

Tahminlerin etkinliğini arttırmak amacıyla ekonometrik uygulamalarda bazı durumlarda

parametrelerden birine veya birkaçına sınırlama getirilerek model tahmin edilir. Bu

sınırlama, ya bazı parametrelerin gerçek değerlerinin önceden bilinmesi halinde ya da

iktisat teorisi bilgisine göre ekonomik kritere uyma zorunluluğu halinde ortaya

çıkmaktadır.

0 1 1

1

1 1

t tC Y MTM

Q AK L

doğrusal eşitlikveya

doğrusal olmayan eşitsizlik

α β

α β β β α

α βα β α β

= + = ⇒ < < >

=+ = →+ > + <

0 1 1 2 2

0 1

0 2 2

Y=β +β X +β X +u Tam modelH :β =0 sınırlamasıgetirlsin.Y=β +β X +u Sınırlandırılmış model

Çok değişkenli doğrusal regresyon modelinin bazı parametrelerinin değerinin sıfır

olduğunu düşünüp bunları birlikte test edebiliriz. Ho’ın kabulü durumunda tam modelden

değeri sıfır kabul edilen parametrelere ilişkin değişkenlerin yer almadığı sınırlandırılmış

modele geçilir.

5 / 19

Böyle bir işleme başvurma nedeni ise;

Regresyonda hedef olayın olabildiğince az fakat gerçekten olay için anlam ifade eden

değişkenlerle açıklanmasıdır. Bunun iki yararı vardır.

1- Bu şekilde önemli değişkenleri ayırabilmektir.

2- Olayı daha basite indirgeyerek kolay anlaşılmasını sağlamaktır.

1.2. t Sınaması

2 3i i

22 3

2 3

Maliyet Fonksiyonu

Y= Toplam Maliyet

X= Toplam Üretim

Y 141.766 63.47X 12.96X 0.9396X

SE (6.3733) (4.7786) (0.9857) (0.0591)

ˆ ˆKov(β ,β )= - 0.0576 R 0.9983

X ile X katsayılarının a

= + − +

=

ynı olduğu temel hipotezinitest edelim. n=10

6 / 19

0 2 3 2 3

0 2 3 2 3

2 3

2 3 2 3

2 2

H : β =β veya β β 0H : β β veya β β 0

ˆ ˆβ βt

ˆ ˆ ˆ ˆVar(β ) Var(β ) 2Kov(β ,β )12.9615 0.9396

t(0.9857) (0.0591) 2(-0.0576)

t 13.3130

0.05

/ 2 0.025

n-k=10-4=6 serbestlik dereces

h

h

h

αα

− =

≠ − ≠

−=

+ −

− −=

+ −

= −

==

i ile

13.3130 2.447 .

h tablot t

Ho red

>

− >

7 / 19

1.3. F Sınaması Yaklaşımı: Sınırlı EKKY

Modelde bir veya birden fazla doğrusal sınırlamanın olması durumunda sınırlamanın

geçerliliği F testi ile test edilir. Test için sınırlandırılmamış ve sınırlandırılmış modeller

tahmin edilir.

Sınırlamanın geçerli olmaması durumunda sınırlı ve sınırsız modellerin açıkladığı değişim

aynı olacaktır. Bu durumun varlığı, R2’den belli fakat bununda istatistiki açıdan anlamlı olup

olmadığı F testi ile test edilir.

Tam modelin hata terimlerine ilişkin değişkenlik,

2 2UR R

2 2

2 2R UR

ˆ û ve sınırlandırılmış modelin ise u olsun.

Modele alınan her ilave değişkenden elde edilen bilginin

ˆ ˆy ve u veya en azından değiştirmediği

ˆ ˆgöz önüne alınırsa u u olacaktır.

↑ ↓

≥

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

2 2 2R UR UR

Böylece sınırlandırılmış modelin yeterliliğini görmek açısınıdanˆ ˆ û u ile u karşılaştırılır.

Her iki ifadeki parametre sayısı farklılığını ortadan kaldırmak için kendi serbestlik dereceler

−∑ ∑ ∑

ine bölünür.

8 / 19

2 2UR

2 2R UR

2R

Tam modelde k sayıda parametre vardır. Dolayısıylaˆ û n-k 'den başka birşey değildir.

Sınırlandırılmış modelde m parametre bulunmaktadır.ˆ û u (n-m)-(n-k) 'da

k-m=c sınırlama vardır.

uF=

σ

−

∑

∑ ∑

∑ 2UR

(k-m)(n-k)2UR

2 2UR R

2UR

u (k-m)F

u (n-k)

veya

R -R (k-m)F=

1-R(n-k)

−∑∑

“H0: Kısıt vardır” şeklinde iken “H1: Kısıt yoktur” şeklindedir.

F hesap >F tablo ise H0 red H1 Kabul.

9 / 19

Örnek

1 2 3 4 5 6ˆ 10,787 0,613 0,073 0,32 0,081 0,038 0,217

se (11,589) (0,161) (0,1357) (0,1683) (0,2215) (0,147) (0,1782)

(0,93) (3,81) (-0,54) (1,90) (0,37

Y X X X X X X

t

= + − + + + −

2

2UR

0,05;23

0 1 1 3 3 1 3

2R

0 2 4 5 6

1

2 2R UR

2UR

) (0,26) (-1,22)

30

R 0,7326

u 1149

2,069

ˆ ˆ ˆˆ 9,87 0,643 0,211

u 1254,60

: 0

: En az biri sıfırdan farklıdır.ˆ û u (k-m)

F=u (n-k)

n

t

Y X X X X

H

H

F

β β β

β β β β

=

=

=

=

= + + = + +

=

= = = =

−

∑

∑

∑ ∑∑

0,05;4,23

1254,60 1149 / 7 30,528

1149 / 30 72,80

0,528 2,80

kabul.

Sınırlı model tercih edilir.

F

Ho

− −= =

−=

<

10 / 19

Örnek

ln ln ln ln ; sınırlandırılmamış model+ =1

=1-

ln ln ln (1 )ln

ln ln ln ln ln

ln( ) ln ln( ) ; sınırlı model

veya + =1, =1-

ln( ) ln ln( )

Q AK L

Q A K L

Q A K L

Q L A K L

Q KA

L L

Q LA

K K

α β

α βα ββ α

α αα α

α

α β α β

β

== + +

= + + −− = + −

= +

= +

11 / 19

Örnek

1 2 3

2 2

2 3

21

2 2R UR

2UR

2 2UR R

2UR

0 2 3

1

0,85 0,48 0,04 0,12

ˆ 5,20 ( ) 60 9

0 sınırlamasının geçerliliğinitest edelim.

1,20 0,9 0.804

;

ˆ û u (k-m)F=

u (n-k)

R -R (k-m)F=

1-R(n-k)

: 0

: En

i

i

i

Y X X X

u Y Y n

Y X R

Çözüm

veya

H

H

β β

β β

= + − −

= − = =

= =

= + =

−

= =

∑ ∑

∑ ∑∑

22UR 2

2 2UR R

2UR

0,05;2,5

0

az biri sıfırdan farklıdır.ˆ 5,20

R 1 1 0,91360

R -R (k-m) 0,913 0,804 / 2F= 3,13

1-R (1 0,913) / 9 4(n-k)

5,79

3,13 5,79

Sınırlamalar geçerlidir.

URu

y

F

H kabul

= − = − =

−= =

− −

=

<

∑∑

12 / 19

Örnek

0 1 2 3 4

1 2 3

3

4

0

ln ln ln ln ln

: Tavuk Eti Talebi

: Gelir

: Tavuk Eti Fiyatı: Balık Eti Fiyatı:Sığır Eti Fiyatı0, 0, 0,

0,

0,

0 ( )

Tavuk eti talebini

t t t t t t

t

t

t

t

t

D Y P PB PS u

D

Y

P

PB

PS

Rakip

Tamamlayıcıİlişkisiz

β β β β β

β β ββββ

= + + + + +

> < >

>

<

=

n balık ve sığır etleri ile ilişkisiz olduğu ön savını (temel hipotezini) test ediniz.

13 / 19

Cevap

0 3 4

0 1 2

2

2

2 2UR R

2UR

: 0

ln ln ln

(1)

ln 2,189 0,343ln 0,504ln 0,148ln 0,091ln

23, 0,9823

(2)

ln 2,0328 0,4515ln 0,3772ln

0,9801

R -R (k-m)F=

1-R(n-k)

(0,9823 0,9801) / 2

(1 0,98

t t t

t t t t t

t t t

H

D Y P

D Y P PB PS

n R

D Y P

R

F

β ββ β β= =

= + +

= + − + +

= =

= + −

=

−=

−

0,05;2,18

0

1,122423) / 23 5

3,55

1,1224 3,55

Sınırlamalar geçerlidir.Sınırlandırılmış model tercih edilir.

F

H kabul

=−

=

<

14 / 19

1.4. İki Regresyon Katsayısının (Parametresinin) Eşitliğinin Sınanması

i 0 1 1 2 2 3 3 i

2 3

0 2 3

1 2 3

0 2 3

1 2 3

Y =β +β X +β X +β X +uβ ,β ;EğimKatsayılarıH :β =βH :β βveya

H :β -β 0H :β -β 0

≠

=

≠

İktisadi anlamı: Her iki değişkeninde marjinal etkilerinde farkın bulunmadığıdır.

0 2 3

1 2 3

H :β -β 0H :β -β 0

=

≠ Gelir ile servetin katsayılarının aynı olduğunu ifade eder.

0 1 2 3lnQ=lnβ +β lnX+β lnY+β lnS ise;

Talebin gelir ve servete göre elsatikiyetinin aynı olduğu anlamına gelmektedir.

Test İstatistiği;

15 / 19

0 1 2 3

2 3 2 3

2 3

2 3 2 3 2 3

223

2 3 2 2 223 2 3

lnQ=lnβ +β lnX+β lnY+β lnS ise;ˆ ˆ(β β ) (β β )

t n-k s.d. ile t dağılımına uyar.ˆ ˆ(β β )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(β β ) Var(β ) Var(β ) 2Kov(β ,β )t t .

ˆˆ ˆKov(β ,β )1

Hesap

Hesap tablo

SE

SE

ise Ho red

r

r x x

σ

− − −=

−

− = + −

>

= −− × ∑ ∑

Örnek

1 3

2

0 1 3

1 1 3

21

23

1 3

2

2

13

9,87 0,643 0,211

(7,062) (0,118) (0,134)

R 0,7080

30

İki değişkenin marjinal etkilerinde fark var mıdır?H :

H :

51541,2

3994,97

2704,4

51541,2

ˆ 1254,9

0,5947

Y X X

SE

n

x

x

x x

y

u

r

β ββ β

= + +

==

=

≠

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑

16 / 19

Çözüm

213

1 3 2 2 213 1 3

1 3

1 3 1 3 1 3

1 3

1 3

1 3

0,05;27

0

ˆˆ ˆKov(β ,β )1

ˆ ˆKov(β ,β ) 0,009503

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(β β ) Var(β ) Var(β ) 2Kov(β ,β )ˆ ˆ(β β ) 0,22558

ˆ ˆβ β 0,643 0,21111,915

ˆ ˆ 0,22558(β β )1,915 2,065

27

H 'ın red

r

r x x

SE

SE

tSE

t

n k

σ= −

− ×

= −

− = + −

− =

− −= = =

−

< =

− =

∑ ∑

0

di için bir neden bulunmamaktadır.H Kabul

İki değişkenin marjinal etkilerinde fark yoktur.

17 / 19

Örnek

1958-1972 yılları arasındaki verilerden aşağıdaki üretim fonksiyonu tahmin edilmiştir.

1

2

1 2

2 2

1 2

0 1 2

1 1 2

:

:

:

ˆln 3,3384 1,4988ln 0,4899ln

(2,4495) (0,5398) (0,1020)

0,889 0,8702 15 3 12

ˆ ˆ( , ) 0,0384272

: 1

: 1

i

Y ÇıktıX Emek

X Sermaye

Y X X

se

R R n ps sd

Kov

H

H

β ββ ββ β

= − + +

= = = = =

= −+ =

+ ≠

Çözüm

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

0,025;15 3

0

ˆ ˆ(β +β ) (β +β )t

ˆ ˆ(β β )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(β β ) Var(β ) Var(β ) 2Kov(β ,β )(β +β ) 1verilen bilgiler yerine konduğunda

2,0845 çıkmaktadır.

t 2,176

2,0845 2,176

, Sabit getiri va

Hesap

hesap

SE

SE

t

H kabul

−

−=

−

− = + −

=

=

=

<rdır.

18 / 19

SORULAR

1.

2 3i i

22 3

2 3

Kar Fonksiyonu

Y= Toplam Kar

X= Toplam Üretim

Y 14.766 6.47X 2.96X 0.93X

SE (6.3733) (4.7786) (0.9857) (0.0591)

ˆ ˆKov(β ,β )= - 0.0776 R 0.9883

X ile X katsayılarının aynı olduğu te

= + − +

=

mel hipotezini

test edelim. n=30

2.

1 2 3

2 2

2 3

21

0,95 0,38 0,4 0,32

ˆ 6,20 ( ) 70 9

0 sınırlamasının geçerliliğinitest edelim.

1,20 0,9 0.798

i

i

i

Y X X X

u Y Y n

Y X R

β β

= + − −

= − = =

= =

= + =

∑ ∑

3.

1

2

1 2

2 2

1 2

0 1 2

1 1 2

:

:

:

ˆln 9,33 0,4988ln 0,3999ln

(2,4495) (0,5398) (0,1020)

0,989 0,9702 25 3 22

ˆ ˆ( , ) 0,0384272

: 1

: 1

Hipotezini test ediniz.

i

Y ÇıktıX Emek

X Sermaye

Y X X

se

R R n ps sd

Kov

H

H

β ββ ββ β

= − + +

= = = = =

= −+ =

+ ≠

19 / 19

KAYNAKÇA

Ahmet Kılıçbay, “Ekonometrinin Temelleri”. İ.Ü. İktisat Fakültesi, İstanbul, 1980.

Davidson,R., MacKinnon,J.G. “Econometric Theory and Methods”, Oxford Univesity Press,

2003.

Davidson,R., MacKinnon,J.G. “Estimation and Inference in Econometrics”, Oxford Univesity

Press, 1993.

Ebru Çağlayan, Selahattin Güriş, “Ekonometri Temel Kavramlar”, Der Yayınları, 2010.

Gujarati, D.N., “Basic Econometrics”, Mcgraw-Hill, New York, 2004.

Gujarati, D.N., “Essentials of Econometrics”, Mcgraw-Hill, New York, 1992.

Greene, W.H., “Econometric Analysis, Fifth Edition”, Prentice Hall, New Jersey,2003.

Hill, R.C., Griffiths, W.E., Lim, G.C., “Principles of Econometrics, Third Edition”, Wiley,USA, 2007.

Hill, R.C.,Griffiths, W.E., Judge, G.G., ”Undergraduate Econometrics, Second Edition” John Wiley and Sons Ltd, England, 2002.

Maddala, G.S., “Introduction to Econometrics, Third Edition”, John Wiley and Sons Ltd, England, 2001.

Mustafa Tekin, Ebru Çağlayan ” Excel ile Temel Ekonometri “, Der Yayınları, 2003

Selahattin Güriş, Ebru Çağlayan, Burak Güriş, “EViews ile Temel Ekonometri” Der Yayınları, 2011.

2. HAFTA

DİNAMİK MODELLER

2 / 14

İÇİNDEKİLER

Özet v.

2. DİNAMİK MODELLER

2.1. Dağıtılmış Gecikmeli ve Otoregresif (Ardışık Bağımlı) Modeller 6

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 14

ÖZET

Bu bölümde, çeşitli zaman serisi verileri kullanan regresyon modelleri incelenecektir. Gecikmenin iktisattaki öneminden ve gecikmenin farklı yaklaşımlarla modellenmesinden bahsedilecektir.

4 / 14


2.1. Dağıtılmış Gecikmeli ve Otoregresif (Ardışık Bağımlı) Modeller

Zaman serisi verileri kullanan regresyon modellerinde, model açıklayıcı değişkenlerin sadece şimdiki değerlerini değil, geçmiş (gecikmeli) değerlerini de içeriyorsa böyle modellere dağıtılmış gecikmeli model denir.

Model bağımlı değişkenin bir ya da daha önceki gecikmeli değerlerini içeriyorsa, bu model ise otoregresif (ardışık bağımlı) dır.

t 0 t 1 t-1 2 t-2 t

t 0 t t-1 t

Y =α+β X +β X +β X +u Gecikmeli ModelY =α+β X +λY +u Otoregresif Model

t 0 t t-1 tY =α+β X +λY +u , Bağımlı değişkenin geçmiş değerleriyle ilgili olarak zaman içindeki seyrini gösterdiği için dinamik modeldir.

Gecikmenin (Zamanın) İktisattaki Önemi

İktisatta bağımlı değişken (Y) ile bağımsız değişkenin (X) bağımlılığı çoğu zaman eş zamanlı değildir. Çoğu zaman Y ile X arasındaki ilişkide gecikme söz konusudur.

Gelir- Tüketim ilişkisini inceleyelim, Y= Tüketim X=Gelir olsun. Y=c+0,4Xt+0,3Xt-1+0,2Xt-2 Yukarıdaki eşitliğe göre, gelirde 2000$ zam olduğunda (∆X=2000$) tüketim o

yılda 800$, ertesi yılda 600$, sonraki yıl 400$ artacaktır.

5 / 14

Genel olarak;

t 0 t 1 t-1 2 t-2 t-k t

0

t0

t

Y =α+β X +β X +β X +...+β X +uβ Kısa dönem veya etki çarpanı

Yβ X

X'teki bir birim değişmeye karşılıkY'nin ortalama olarak değerindeki değişmeyi verir.

k

→

∂=∂

0 1

0 1 2

Eğer X'deki değişme daha sonra daaynen korunursa, (β +β ) bir sonrakidönemde Y'nin ortalama değerindeki değişmeyi verir. β +β β 2 dönem sonraki

Y'nin ortalama değerindeki değişmeyi verir.Bu kısmi top

+

k

i 0 1 2 ki=0

lamlara ara dönem çarpanları veya ara çarpanlar denir.

β =β +β +β +...+β =β∑

6 / 14

k

i 0 1 2 ki=0

β =β +β +β +...+β =β∑ , k. dönemin sonunda toplam (gecikmesi dağıtılmış) çarpandır.

* i ii k

ii=0

*i i

i

β ββ = =ββ

β :standartlaştırılmış βstandartlaştırılmış β 'lerin toplamıbelli bir sürede ortaya çıkan uzun dönemya da toplam etki oranını verir.

∑

t t t-1 t-2

t

t

Y =c+0,4X +0,3X +0,2X

Y :Enflasyon OranıX :PetrolFiyatıKısa dönem çarpanı=MCM=0,4Uzun dönem çarpanı=Uzun dönem MCM=0,4+0,3+0,2=0,9

1 $'lık artışın uzun dönemdeki etkisi 90 senttir.

0,4 0,3=0,44

0,9 0,

0,2=0,33 =0,23

9 0,9

X'teki bir birim değişmenin %44'ünün hemen

%77'sinin 1 yıl sonra, %100'ününde ikinci

yıl sonra ortaya çıkacağını gösterir.

7 / 14

Dağıtılmış Gecikmeli Modelin Tahmini

t 0 t 1 t-1 k t-k t

t t

t-1 t-2 t-k

t 0 t

t 0 t 1 t-1

Y =α+β X +β X +...+β X +uBurada,

X'ler olasılıksız (olasılık dağılımlı değişken değil)Kov(u X )=0

X ,X ,...,X 'da sabit değerlidir.EKK yöntemiuygulanabilir

Adım-adım regresyonY =α+β XY =α+β X +β XYt 0 t 1 t-1 2 t-2

t 0 t 1 t-1 k t-k

=α+β X +β X +β X

Y =α+β X +β X +...+β X

Adım-adım regresyon, gecikmeli değişkenlerin katsayıları istatistiksel açıdan anlamsızlaşınca ve/veya en az bir parametrenin işareti (+) dan (-)’ye veya (-)’den (+)’ya geçince durur.

Gecikme sayısı (k) yanlış belirlenmişse, model kurma hatasının sonuçları model için geçerli olacaktır.

Zorlukları

1) Gecikme sayısının ne olacağı hakkında bilgi yoktur.

2) Gecikme Sayısı arttıkça serbestlik derecesi azalır.

8 / 14

3) Çoklu doğrusal bağlantının artmasıyla Standart hatalar artacak, t istatistikleri anlamsızlaşacaktır.

Gecikmeli Modellere Koyck’un Yaklaşımı

t 0 t 1 t-1 k t-k t

k 0

k 0 k 0

Y =α+β X +β X +...+β X +uiçin Koyck;

β'ların aynı işaretli olduklarını ve bunların geometrikbiçimde azaldıklarını varsayar.β β

: Gecikmenin azalma (düşme) oranı0< 1

β β β β (1 )(1 )

k

k kveya

λλλ

λ λ λλ

=

<

= = −

− : .uyarlanma hızıdır

t

0 1 k

λ<1 olduğu için her β katsayısı öncekiβ'dan sayısal olarak daha küçk olduğunu, yani uzak geçmişe gittikçe gecikmenin

Y üzerindeki etkisinin azaldığını ileri sürer.

β >β >...>β

9 / 14

k

0

k

t

β gecikme katsayısının değeri, ortakβ ve λ'ya bağlıdır. λ 1'e ne kadar yakınsa

β 'daki azalma o kadar küçük olacaktır veX'in geçmiş değerleri Y üzerinde etkili olmuş olacaktır. λ 0'a ne kadar yakın

k

t

sa

β 'daki azalma o kadar büyük olacaktır veX'in geçmiş değerleri Y üzerinde etkisi az olmuş olacaktır.

k 0i=0

t 0 t

λ<1 varsayımı;Uzak β'lara yakındakilere göre daha az ağırlık tanınmış olur.

Uzun dönem çarpanı olan β'larıntoplamı sonlu olduğu için

1β =β 'dır.1-λ

Buna göre gecikmesi sonsuz model;

Y =α+β X +β

∞

∑

20 t-1 0 t-2 0 t-k tX +β X +...+β X +u

.

k

şeklinde de yazılabilirλ λ λ

10 / 14

Koyck Modelinin Çözümü

2t 0 t 0 t-1 0 t-2 t

2t-1 0 t-1 0 t-2 0 t-3 t-1

2 3t-1 0 t-1 0 t-2 0 t-3 t-1

t t-1

t t-1

Y =α+β X +β λX +β λ X +...+u1)Model bir dönem geri çekilir.

Y =α+β X +β λ X +β λ X +...+u2)λ ile çarpılır.λY =λα+β λX +β λ X +β λ X +...+λu3)Y ile λY farkı alınır.Y -λY 0 t t-1 t-1

t 0 t t-1 t

=(1-λ)α+β X +(u -λu )Y =(1-λ)α+β X +λY +vDağıtılmış gecikmeli bir modelotoregresif (ardışık bağımlı) modeleçevrilebilir.

11 / 14

t t

0

t t-1

v ; u ile λ'in hareketli ortalamasıdır.α ve sonsuz sayıda β'yı tahmin etmek yerine

α, β , λ tahmin edilir.Çoklu doğrusal bağlantı sorunu ortadan kalkmıştır.Burada,

Y ,Y olasılıklıdır. yani olasılık

t-1

lı bir açıklayıcı değişken vardır.EKKY göre açıklayıcı değişkenler olasılıksızdır.Eğer olasılıklı ise olasılıklı hata teriminden bağımsızolmaları gerekir. Dolayısıyla Y 'in hata teriminden

bağımsız olup olmadığının araştırılması gerekir.

Ortanca Gecikme

Ortanca gecikme X’teki bir birimlik kalıcı bir değişmeyi izleyen Y’deki toplam değişmenin ilk yarısının yani %50’sinin sağlanması için gereken zamandır.

Koyck Modeli Ortanca Gecikme ;

log 2-log λ

λ 0,2 ise ortanca gecikme=0,4306Y'deki toplam değişmenin yüzde 50'si yarım dönemden kısa bir sürede gerçekleşmektedir.

λ 0,8 ise ortanca gecikme=3,1067Y'deki toplam değişmenin yüzde 50'si 3 dö

=

=

nemden uzun bir süre geçmesi gerekmektedir.

12 / 14

Ortalama Gecikme

Koyck Modeli Ortalama Gecikme;

11

ise ortalama gecikme 1.2

Ortanca ve ortalama gecikme, Y 'nin X'e

tepki hızının birer ölçüsüdür.

λλ

λ

−

=

Örnek

t t t-1

0

KBTH:Kişi Başı Tüketim HarcamasıKBHG:Kişi Başı Harcanabilir Gelir.KBTH =-841,8568+0,7117KBHG +0,2954KBTH

Ortanca ve ortalama gecikmeyi bulunuz.

Cevap)

λ=0,2954(1-λ)α=-841,8568β =0,7117

Ortanca gecikmlog 2 log 2

e=- =- =0,5684log λ log 0,2956

ortalama gecikme=λ/(1-λ)=0,2954/0,7046=0,4192

13 / 14

SORULAR

1. Gecikmeli modeller ile otoregresif modeller arasındaki farkları belirtiniz.

2.

t t t-1 t-2

t

t

Y =c+0,5X +0,2X +0,1X

Y :Faiz OranıX :Enflasyon Oranı olsun.Kısa dönem çarpanı?Uzun dönem çarpanı?

Enflasyon Oranı'daki bir birim değişmenin % kaçının hemen%kaçının 1 yıl sonra, %kaçının ikinciyıl sonra ortaya çıkacağını gösterir.

3.

t t t-1

0



Cevap)

λ=0,2954(1-λ)α=-841,8568β =0,7117


e=- =- =0,5684log λ log 0,2956


14 / 14

KAYNAKÇA



2003.


Press, 1993.










3. HAFTA

DİNAMİK MODELLER-II

2 / 15

İÇİNDEKİLER

Özet v.

3. DİNAMİK MODELLER-II 6

3.1. Otoregresif (Ardışık Bağımlı) Modellerin Tahmini 6

3.2. Ölçekleme ve Ölçü Birimleri 10

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 15

ÖZET

Bu bölümde, çeşitli zaman serisi verileri kullanan regresyon modelleri incelenecektir. Gecikmenin iktisattaki öneminden ve gecikmenin farklı yaklaşımlarla modellenmesinden bahsedilecektir.

4 / 15


3.1. Otoregresif (Ardışık Bağımlı) Modellerin Tahmini

t 0 t t-1 t t-1

t 0 1 t t-1 t t-1

t 0 1 t t t

t 0 1 t 2 t-1 t

Koyck:

Y =α(1-λ)+β X +λY +(u -λu )Uyarlamalı BeklentilerY =γβ +γβ X +(1-γ)Y +[u -(1-γ)u ]Kısmi UyarlamaY =δβ +δβ X +(1-δ)Y +δuOrtak KalıpY =α +α X +α Y +v

Olasılıklı değişken ve ardışık bağımlılık için EKKY doğrudan uygulanamaz.

t-1 t

EKKY'nin uygulanabilmesi için,

Y ile v bağımsız dağılmalıdır.

5 / 15

t

t

2t

t t+s

u

-E(u )=0

-Var(u )=σ-Kov(u ,u )=0 s 0≠

t t

t

t t-1 t t-1 t-1 t-2

2t-1

2

v ; u için geçerli varsayımları sağlamayabilir.

v ardışık bağımlıdır.(v ,v ) [(u -λu )(u -λu )]

(u )

E E

Eλ

λσ

=

= −

= −

t t-10 ise (v ,v ) sıfırdan farklıdır.Eλ ≠

t-1

t-1

t

Koyck modelinde Y açıklayıcı değişken olarak

göründüğü için içindeki u varlığı nedeniyle

v ile ilişkili olmak zorundadır.

6 / 15

2t-1 t t-1 t t-1Kov(Y ,v )=Kov(Y ;u -λu )=-λσ

Bunların sonucu EKK tahmin edicilerieğilimli ve tutarsızdır, yani örneklem sonsuza doğru büyüse bile, tahmin ediciler

Ana kütle değerlerine yaklaşmazlar.

Araç Değişkenler Yöntemi

t-1 tY ile v arasındaki ilişki ortadan kaldırılabilirse, SEK tutarlı tahminler için kullanılabilir.

t 0 1 t 2 t-1

t 0 1 t 2 t-1

2t t 0 t 1 t 2 t-1 t

t t-1 0 t-1 1 t t-1 2 t-1 t-1

Y =α +α X +α Yˆ ˆ ˆY =nα +α X +α Y

ˆ ˆ ˆY X =α X +α X +α Y X

ˆ ˆ ˆY X =α X +α X X +α Y X

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

7 / 15

0 1 2

t-1 t t t-1 t

ˆ ˆ ˆα , α , α , SEK tahmin edicileribulunur. Tahminler tutarlıdır.(Tutarlı olmayabilirdir.)

Y ile v ilişkili iken, X , X , v ile ilişkisizdir.

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri

X ve Y değişkenlerinin ölçü birimleri regresyon bulgularını farklılaştırır mı? Eğer farklılaştırıyorsa, regresyon analizi için ölçü birimlerini seçerken nasıl bir yol izlememiz gerekir.

Y: Yatırımlar X:GSYİH

i 0 1 i

i

i

*i

*

1 2

1 2

ˆ ˆY =β +β XY TL

X TL

1000Y

1000

TL TL

w ve w ölçek çarpanlarıw =w 1000

i

i i

milyon

milyon

Y

X X

milyon milyar

→→

=

=

→

=

8 / 15

* * * * *0 1

*i 1 i

*2

ˆ ˆ ˆ

1000Y Y

1000

i i i

i

i i i

Y X u

Y w

X X w X

β β= + +

= =

= =

* *

* * * * *i 0 1 i i

*0 0

*1 1

*0 0

*1 1

2 *2

2 2

ˆ ˆ ˆY =β +β X +uˆ ˆ1) β ile βˆ ˆ2) β ile β

ˆ ˆ3) Var(β ) ile Var(β )ˆ ˆ4) Var(β ) ile Var(β )

ˆ ˆ5) ile

6) r ile r

İlişkiler nasıl olacak?xy x y

σ σ

9 / 15

0 0

1 2

22

0 2

2

1 2

22

EKK yönteminden şunları biliyoruz.ˆ ˆ

ˆ

ˆ( )

ˆ( )

ˆˆ

2

i i

i

i

i

i

i

Y X

x y

x

XVar

n x

Varx

u

n

β β

β

β σ

σβ

σ

= −

=

=

=

=−

∑∑

∑∑

∑∑

* *0 0

* **1 *2

*2* *20 *2

*2*1 *2

*2*2

EKK yöntemi sayesinde şunları da biliyoruz.

ˆ ˆ

ˆ

ˆ( )

ˆ( )

ˆˆ

2

i i

i

i

i

i

i

Y X

x y

x

XVar

n x

Varx

u

n

β β

β

β σ

σβ

σ

= −

=

=

=

=−

∑∑

∑∑

∑∑

10 / 15

Bu sonuçlar yardımıyla aşağıdaki eşitlikler elde edilir;

* *

*0 1 0

* 11 1

2

*2 2 21

* 20 1 0

2

* 11 1

2

2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

r =rxy x y

w

w

w

w

Var w Var

wVar Var

w

β β

β β

σ σ

β β

β β

=

= =

=

=

1 2

* *i i i i

Eğer w =w ise (Ölçek çarpanları aynı ise)

(Y ,X )'den (Y ,X ) ölçeğine geçerkeneğim katsayısı ve onun standart hatasıdeğişmeyecektir. Sabit terim ve sabit terimin

standart hatası Y'nin ölçek çarpanı 1 w ile çarpılır.

11 / 15

2

1

1

X'in ölçeği değişmezken (w =1) Y ölçeği w çarpanıyla çarpılırsa hemeğim katsayısı hem sabit terim hemde bunların standart hatası aynı w çarpanı ile çarpılır.

( )

1

2

2

Y'nin ölçeği değişmezken (w =1 iken) X ölçeği w çarpanıyla çarpılırsa eğim katsayısı eğim katsayısının standart hatası aynı 1 w çarpanı ile çarpılır. Bu durumda,

sabit terim ve onun standart hatası değişmez.

* *i i i i(Y ,X )'den (Y ,X ) ölçeğine geçilmesi

SEK tahmin edicilerinin özelliklerini etkilemez.

12 / 15

Örnek

2

2

I: Yatırımlar olmak üzere; I milyar TL, GSYİH milyar TLI=-37,0015205+0,17395GSYİH r 0,5641 (76,2611278) (0,05406)

(1)

I milyon TL, GSYİH milyon TLI=-37001,5205+0,17395GSYİH r 0,5641 (7

→ →

=

→ →

=

*2

2

*1

6261,1278) (0,05406)

(2)

I milyar TL, GSYİH milyon TLX =w X=1000X

I=-37,0015205+0,00017395GSYİH r 0,5641

(76,2611278) (0,00005406)

(3)

I milyon TL, GSYİH milyar TLY =w Y=1000Y

I=-3700,15205+173,

→ →

=

→ →

295GSYİH r 0,5641 (76261,1278) (54,06)

=

13 / 15

SORULAR

1. Gecikmeli modeller ile otoregresif modeller arasındaki farkları belirtiniz.

2.

14 / 15

t t t-1 t-2

t

t

Y =c+0,5X +0,2X +0,1X

Y :Faiz OranıX :Enflasyon Oranı olsun.Kısa dönem çarpanı?Uzun dönem çarpanı?

Enflasyon Oranı'daki bir birim değişmenin % kaçının hemen%kaçının 1 yıl sonra, %kaçının ikinciyıl sonra ortaya çıkacağını gösterir.

3.

t t t-1

0



Cevap)

λ=0,2954(1-λ)α=-841,8568β =0,7117


e=- =- =0,5684log λ log 0,2956


KAYNAKÇA



2003.

15 / 15


Press, 1993.










4. HAFTA

OTOKORELASYON-I

2 / 19

İÇİNDEKİLER

Özet v.

4. Otokorelasyon 6

4.1 Otokorelasyon nedir? 6

4.2 Otokorelasyonun sebepleri 6

4.3 Otokorelasyonun sonuçları 8

4.4 Otokorelasyonun test edilmesi 9

4.4.1 Run Sıra Testi

4.1.2.Durbin-Watson (DW-d) testi 10

4.3.2. Durbin-h testi 13

Sorular xv.

Kaynakça xvi.

3 / 19

ÖZET

Bu kısımda, klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri olan ve

herhangi bir gözleme ilişkin hata teriminin bir başka gözleme ilişkin hata terimini etkilemesi

olarak bilinen otokorelasyon problemi üzerinde durulacaktır. Öncelikle otokorelasyonun

tanımına, sebeplerine, sonuçlarına yer verilecek ve daha sonra da otokorelasyonu tespit etmek

için kullanılan en bilinen testlerden bahsedilecektir.

4 / 19

4. Otokorelasyon

4.1. Otokorelasyon nedir?

Otokorelasyon (ardışık bağımlılık, serial korelasyon); basit ve çoklu regresyon

modellerinde karşımıza çıkan bir problemdir. Klasik doğrusal regresyon modelinin temel

varsayımlarından biri önceki bölümlerde anlatıldığı gibi, anakütle regresyon modelindeki hata

terimlerinin birbirinden bağımsız olmasıdır. Diğer bir ifade ile istenen durum;

( ) 0 i jE u u i j= ¹

olmasıdır. Otokorelasyon; anakütle hata terimiyle ilgili bir kavram olup, herhangi bir gözleme

ilişkin hata teriminin bir başka gözleme ilişkin hata terimini etkilemesidir. i. gözlemin hata

terimi j. gözlemin hata terimi ile ilişkili ise bu durumda otokorelasyon söz konusudur.

( ) 0 i jE u u i j Otokorelasyon¹ ¹ Ş

Otokorelasyon genellikle zaman serilerinin kullanıldığı makro modellerde karşılaşılan bir

sorundur. Zaman serileri belli bir sıra izlerler ve bu sıranın değiştirilmesi söz konusu değildir.

Belli bir zamanda farklı kişilerden alınan veriler olan kesit verilerinde ise sıralama söz konusu

olmadığı için sıralamanın değişmesi sonucu etkilememektedir.

4.2. Otokorelasyonun sebepleri

Otokorelasyona sebep olan unsurlar aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir:

i. Model dışında bırakılan bağımsız değişkenler:

0 1 1 2 2 3 3 tY X X X ub b b b= + + + +

olması gereken modelde herhangi bir değişkeni bilerek ya da bilmeyerek model dışı bırakırsak

ve yeni model;

0 2 2 3 3 tY X X va a a= + + +

şeklinde tahmin edilirse ilk modeldeki 3b , yeni modeldeki 3a ’e asla eşit olmaz. Burada model

dışında bırakılan değişken hata teriminin bir kaynağı olacaktır. Bu hata terimi sadece bir dönemi

5 / 19

değil, tüm dönemleri etkileyecektir. Buna bağlı olarak da hata terimleri arasında bir ilişki yani

otokorelasyon söz konusu olacaktır.

ii. Model spesifikasyonunun yanlış belirlenmesi

Değişkenler arasındaki ilişkinin gerçek kalıbından farklı bir matematiksel kalıp ile ifade

edilmesi de hata teriminin kaynaklarından biridir. Örneğin ikinci dereceden ifade edilmesi

gereken bir modeli;

20 1 1 2 1Y X X ub b b= + + +

doğrusal bir şekilde

0 1 1Y X va a= + +

olarak oluşturuyorsak bir spesifikasyon hatasına sebep olmuş oluruz. Böyle bir durumda hata

terimleri gözlemler itibariyle ilişkili yani otokorelasyonlu olacaktır.

iii. İstatistik gözlemlerinde ara boşlukların bulunması

Ekonometrik uygulamalarda genellikle ham veriler yerine işlenmiş veriler kullanılmaktadır. 3

aylık verilerin kullanıldığı bir modelde söz konusu verilerin 3 ayın toplamının 3’e bölünmesiyle

elde edilmesi hata terimleri arasında bir bağımlılığa sebep olacaktır. Veriler böyle bir

düzenlenme sürecinden geçebildiği gibi aynı zamanda zaman serilerindeki eksik gözlemlerin

doldurulması da gerekebilir. Serinin ortasındaki boşlukların doldurulmasına enterpolasyon,

dışındakilerin doldurulmasına ise ekstrapolasyon adı verilmektedir. Böyle bir durum da hata

terimlerinin bağımlılığına sebebiyet verecektir.

iv. Gecikmeli ilişkiler

0 1 2 1t t tC Y C ub b b -= + + +

şeklinde ifade edilen tüketim modelinde C tüketimi, Y geliri, Ct-1 ise tüketimin bir önceki

dönem değerini ifade etmektedir. Buna bağlı olarak t dönemindeki tüketim, gelire ve (t-1)

dönemindeki tüketime bağlı olmaktadır. Tüketimi etkileyen en önemli değişken gelirdir. Hiç

gelirimiz olmasa dahi 0b kadar tüketim yapmak zorundayız. Zevklerimiz ve alışkanlıklarımız

da tüketim üzerinde etkili olmaktadır. Bu modelde zevk ve alışkanlıkları gösteren değişken Ct-

6 / 19

1’dir. Biz böyle bir ilişkiyi göz ardı edemeyiz. Edersek bir spesifikasyon hatası oluşur ve bu

kendini hata teriminde gösterir. Diğer bir ifade ile gecikmeli ilişkilerde gecikmeli değişken

model dışında bırakılırsa bu otokorelasyonun kaynağıdır. Ct-1 ihmal edildiğinde ortaya çıkan

hata terimi, bir dönem önceki tüketimin cari tüketim üzerindeki etkisinden doğan etkiyi

yansıtacak ve dönemler itibariyle birbiriyle ilişkili olacaklardır.

v. Konjonktür ve şok etkisi

Ekonomide ortaya çıkan bir savaş, finansal kriz, olağanüstü hava koşulları, grev vb. durumlar

sadece meydana geldikleri dönemi değil, daha sonraki dönemleri de etkileyecektir. Bu durumda

hata terimleri de birbiri ile ilişkili olacaktır. Örneğin üretim sürecinde ortaya çıkacak bir grev

birden çok dönemi etkiler. Bu, dönemlere ait hata terimleri arasında bir korelasyona sebep

olacaktır. İktisadi veriler birçok dönem şokların etkisinde kalmaktadır. Zaman serileri aynı

zamanda trend ve konjonktürün etkisi altındadır. Ele alınan dönemin başında konjonktür

yükseliyorsa ve ya azalıyorsa bunun itici gücü birkaç dönem sürecektir. Buna bağlı olarak hata

terimleri de ilişkili olacaktır.

4.3. Otokorelasyonun sonuçları

Daha önce de ifade edildiği gibi otokorelasyon herhangi bir gözleme ilişkin hata

teriminin bir başka gözleme ilişkin hata terimi ile ilişkili olması durumudur. Cari dönemin hata

teriminin, bir önceki dönem hata terimi ile ilişkili olması durumu aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

1t t tu pu e-= +

Söz konusu ilişki 1. derecedendir ve AR(1) şeklinde ifade edilebilir. Bu model iki kısımdan

oluşmaktadır. Modelin 1tpu - kısmı tesadüfi olmayan kısımdır. Hata terimi ile ilgili olan te kısmı

ise tesadüfi kısımdır. Buradaki p otokorelasyon katsayısı olup +1 ve -1 arasında değer alır. Bu

katsayının aldığı değere bağlı olarak otokorelasyonun durumu da değişmektedir. Yukarıdaki

ilişki;

1 1 2 2t t t tu p u p u e- -= + + , AR(2)

7 / 19

şeklinde ifade edildiğinde 2. dereceden otokoelasyon söz konusudur. Daha genel bir ifade ile,

gecikme sayısı n olduğunda ise n. dereceden otokorelasyon vardır demektir. Modelin tesadüfi

kısmını oluşturan te için bazı varsayımlarda bulunulmuştur:

- te ’nin beklenen değeri 0’dır. ( ) 0tE e =

- te ’nin varyansı sabittir. 2( )tVar e s=

- te ’lerotokorelasyonlu değildir. ( , ) 0t t sKOV e e+ = , 0s ¹

t 1 t-1 2 t-2 t

1 t-1 2 t-2

t

t 1 t-1 2 t-2 t-p t

AR(2) u =ρ u +ρ u +ε ρ u +ρ u Sistematik düzenlikısımε TesadüfiKısımAR(p) p.dereceden otoregresif süreç

u =ρ u +ρ u +...ρ u +ε

Hareketli Ortalama Süreci MA

p

→

→

t t t-1

t t 1 t-1 q t-q

(1)

u =ε +λεMA(q)

u =ε +λ ε +...+λ ε

İkisinin birlikte olduğu durum; ARMA(1,1);

t 1 t-1 t t-1

t 1 t-1 2 t-2 p t-p t 1 t-1 q t-q

ARMA(1,1) u =ρ u +ε +λε

ARMA(p,q)

u =ρ u +ρ u +...ρ u +ε +λ ε +...+λ ε

ARMA, otoregresif süreç ile hareketli ortalama sürecinin birlikteliğinden türetilir.

8 / 19

Otokorelasyonun varlığı halinde en küçük kareler yöntemiyle tahmin edilen

parametreler eğilimsiz, kararlı ve tutarlı fakat tesirsizdir. Tekrar hatırlanacak olursa;

t 0 1 t tY =β +β X +u modelinde,

i i1 2

i

2

1 2i

2t2

x yβ =

x

σˆVar(β )=x

uσ =

n-2olduğunu görmüştük.

∑∑

∑∑

AR(1) süreci olduğu durumda,

t t-1 t

t t-1 t

AR(1) u =ρu +ε -1<ρ<1ρ:1 gecikmeli otokorelasyon katsayısıu =ρu +ε

t t t-1 t-1

t t-1

t t-1

t-1

E [u -E(u )][u -E(u )ρ=

Var(u ) Var(u )

E(u ,u ) =

Var(u )

9 / 19

22

n-1

t t-1t=1

n2t

t=1

2 2

1

1

1

1

σ n-[2/(1-ρ)]-2ρrÊ(σ )=

n-2

x xr=

x

ˆρ ve r (+) ise, E(σ )<σ

β'ların varyansları da sapmalı ve olduğundan küçüktür.

βt=

ˆ(β )

β ;ˆ(β );

se

sapmasız

se sapmalı

↑↓

∑

∑

Otokorelasyonun varlığı halinde anakütle hata terimi varyansı gerçek değerinden daha

küçük tahmin edilecektir. Dolayısıyla parametrelerin varyansları ve standart hataları sapmalı,

daha küçük olacaktır. Payda kısmı daha küçük olacağından t hesap değeri olduğundan daha

büyük çıkacaktır. Buna istinaden modelde etkili olmayan değişkenler etkiliymiş gibi çıkacaktır.

Otokorelasyonun varlığı halinde aynı zamanda belirginlik katsayısı (R2) olduğundan büyük

tahmin edilmekte, t ve F testleri yanıltıcı sonuçlar vermektedir.

4.4. Otokorelasyonun test edilmesi

4.4.1. Run Sıra Testi

Sıra testi tesadüfiliğin araştırılması için parametrik olmayan bir testtir. Tesadüfilik,

verilerin dizilişi ile ilgili bir kavramdır. Birbirini izleyecek şekilde ard arda dizilen veriler

tesadüfi iseler birbirlerini etkilemeyeceklerdir. Herhangi bir nedenle tesadüfi değil iseler,

birbirlerini etkileyeceklerdir.

10 / 19

1.Aşama; Hipotezlerin formülasyonu

H0 : Otokorelasyon yoktur.

H1 : Otokorelasyon vardır.

2.Aşama;

n>20 halinde birbirini takip eden işaretlerin sayısı (k), aşağıdaki ortalama ve varyansla

normal dağılmaktadır.

n1= + işaretli kalıntı sayısı

n2= - işaretli kalıntı sayısı

n= n1 + n2

k=işaret sayısı

1 2

1 2

2 1 2 1 2 1 2k 2

1 2 1 2

2n nortalama: E(k)= +1

n +n

2n n (2n n -n -n )varyans: σ =

(n +n ) (n +n -1)

normaldağılır.

3.Aşama;

k

k k

0

k’nın %95 güvenle E(k) 1,96σarasında olması gerekir.E(k)-1,96σ E(k)+1,96σ ise%95 güvenle H kabul edilir.

k≤ ≤

Not: Gözlem sayıları n1 ve n2 20’den küçükse, n1 + işaretli, n2 – işaretli gözlenen işaret

sayısı (k) Tablo 6a’dan küçük veya eşit. Tablo 6b’den büyük veya eşit ise;

H0 Red, H1 Kabul.

11 / 19

Örnek

Yıllar Ût

1960 -1.21

1961 -1.12

1962 -0.79

1963 -1.14

1964 -0.89

1965 -1.42

1966 -0.29

1967 0.23

1968 0.99

1969 2.23

1970 2.75

1971 2.16

1972 2.54

1973 2.16

1974 2.65

1975 1.42

1976 1.44

1977 0.26

1978 0.95

1979 0.24

1980 -2.04

1981 -4.51

1982 -2.87

1983 -4.08

H0 : Otokorelasyon yoktur.

H1 : Otokorelasyon vardır.

(- - - - - - -)(+ + + + + + + + + + + + +) (- - - -)

12 / 19

1

2

1 2

1 2

1 2

2 1 2 1 2 1 2k 2

1 2 1 2

n 20

ˆn 13 ( + )

ˆn 11 ( - )

3

n + n

2n nE(k)= +1 12,92

n +n

2n n (2n n -n -n )σ = 5,6561(n +n ) (n +n -1)

2,378

t

t

k

u

u

k

n

σ

>=

=

==

=

=

=

k

1

1

2

%95 güven aralığı E(k) 1,96σ[12,92 1,96(2,378)] (8.2593,17.5779)

3 bu aralığın dışındadır.H Kabul,

Verilerin dizilimi tesadüfi değildir.13 (+)

11 (-)

değeri 7 19'dur3<7 , otokorelasyon v

k

n

n

tablo

==

==

ardır.

4.4.2. Durbin-Watson (DW-d) testi

Otokorelasyonu test etmek için kullanılan birçok test olmasına rağmen en çok

kullanılanı Durbin-Watson testidir. Durbin-Watson testinin kullanılmasında dikkat edilmesi

gereken bazı durumlar mevcuttur:

- Orijinden geçen regresyon modellerinde bu test uygulanmaz. Modelde bir sabitin

olması gerekmektedir.

- Testin uygulanabilmesi için; 1t t tu pu e-= + ile ifade edilebilen ve AR(1) model

olarak bilinen 1. dereceden otokorelasyonun olması istenmektedir.

- DW testi aynı zamanda otoregresif modellerde kullanılamamaktadır. Bu aşamada

durumudaha iyi anlayabilmek için otoregresif modelin ne olduğunu vurgulamak gerekmektedir.

13 / 19

0 1 1 2 2 3 1( 1) 4 2( 1) 5 1t t t t t t tY X X X X Y vb b b b b b- - -= + + + + + +

olarak ifade edilen modelde bağımlı değişken, bağımsız değişkenlerin gecikmeli değerlerinin

yanı sıra kendi bir dönem önceki değerinden de etkilenmektedir. Böyle bir model gecikmeli bir

modeldir, fakat kendi gecikmeli değeri de modelde bağımsız değişken olarak yer aldığından

dolayı otoregresif bir modeldir. Modelde bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri bulunuyorsa,

diğer bir ifade ile model otoregresif bir modelse bu durumda otokorelasyonun test edilebilmesi

DW testi kullanılamaz.

- DW testinin uygulanabilmesi için modellerde eksik gözlem olmamalıdır.

Testin hipotezleri şöyledir:

0

1

:

: va r

H Otokorelasyon yoktur

H Otokorelasyon dır

DW test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

21

2

2

1

ˆ ˆ( )

ˆ( )

t n

t t

t

t n

t

t

u u

DW

u

=

-

==

=

-

=å

å

Açılımı yapılırsa test istatistiği;

2 21 1

2

ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆt t t t

t

u u u uDW

u

- -+ -=

å å åå

haline dönüşmektedir. Burada 2 2

1ˆ ˆt tu u -@å å olarak eşit kabul edilirse;

21

2

ˆ ˆ ˆ2 2

ˆt t t

t

u u uDW

u

--=

olmaktadır. Sadeleştirilirse;

14 / 19

1

2

ˆ ˆ2 1

ˆt t

t

u uDW

u

-æ ö÷ç ÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø

åå

elde edilmektedir. Bu ifadedeki 1

2

ˆ ˆ

ˆt t

t

u u

u

-åå kısmı, otokorelasyon katsayısı p’nin tahminini

vermektedir. Burada hareketle DW istatistiği ve p arasındaki ilişki;

ˆ2(1 )DW p= -

olmaktadır.

ˆ1 1p- £ £ olduğundan hareketle;

• ˆ 1p = - ise 4DW = olur. Bu durumda negatif otokorelasyon söz konusudur.

• ˆ 0p = ise 2DW = ‘dir ve modelde otokorelasyon yoktur.

• ˆ 1p = ise 0DW = olur ve pozitif otokorelasyonun varlığını ifade eder.

Buna bağlı olarak DW; 0 4DW£ £ aralığında değer alabilmektedir. Anlaşılacağı gibi DW

değerinin 2’ye yakın bir değer olması modelde otokorelasyon olmadığına işaret etmektedir.

DW değerinin hesaplanmasından sonra alt sınır ( dL) ve üst sınır ( dU) kritik değerleri özel

hazırlanmış kritik değer tablosundan bulunarak karşılaştırma yapılır ve otokorelasyonun olup

olmadığına varsa negatif mi yoksa pozitif mi olduğuna karar verilir. Kritik değerlere bakılırken

modelde yer alan bağımsız değişken sayısı ( 'k ) esas alınmaktadır.

Hesaplanan DW istatistiği; ( dL) ( dU) değerleri arasına ve ya ( 4-dU) ( 4-dL) değerleri arasına

düşerse otokorelasyonun olup olmadığı konusunda karar veremeyiz. Bu değer aralıkları

kararsızlık bölgeleri olarak bilinir. Bu durumda alternatif otokorelasyon testleri kullanmamız

15 / 19

gerekmektedir. DW değeri; 0 ile ( dL) arasına düşerse otokorelasyon vardır ve pozitif

otokorelasyondur. Değer; ( 4-dL) ile 4 arasında ise yine otokorelasyon vardır fakat negatif

otokorelasyondur.

Örnek 1:

50 gözlemle;

0 1 1 2 2 3 3 4 4t t t t t tY X X X X vb b b b b= + + + + +

4 bağımsız değişkeni bulunan modelin tahmininden elde edilmiş DW istatistik değeri 1.43’tür.

Modelde otokorelasyonun olup olmadığını test ediniz.

0

1

: 0

: va r 0 0

H Otokorelasyon yoktur p

H Otokorelasyon dır p veya p=

¹ >

DW=1.82

Tablo değerleri 0.05a = ve 4 bağımsız değişken sayısı ( ' 4k = ) için 1.378dL = ve 1.721dU =

olarak bulunmuştur. Karşılaştırma yapıldığında aşağıdaki tablo elde edilmiştir.

DW değeri otokorelasyonun olmadığını ifade eden bölgeye düştüğü için H0 hipotezi kabul

edilmiştir. Modelde otokorelasyon yoktur. Bu istenen bir durumdur.

4.4.3. Durbin-h testi

Daha önce de ifade edildiği gibi DW testi orijinden geçen regresyon modellerinde ve

otoregresif modellerde kullanılamamaktadır. Bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri modelde

bağımsız değişken olarak yer alıyorsa otokorelasyonun varlığını tespit etmek amacıyla Durbin-

h testi kullanılmaktadır. Testin hipotezleri aşağıdaki gibidir:

16 / 19

0

1

: 0

: va r 0


H Otokorelasyon dır p=

¹

Testin istatistik değeri h ile gösterilir ve

ˆˆ1 .var( )

nh p

n b=

-

şeklinde hesaplanır. Buradaki n gözlem sayısı, p otokorelasyon katsayısıdır. ˆvar( )b ise bağımlı

değişkenin gecikmeli değerine ait parametrenin varyansıdır.

Durbih – h istatistiğinin dağılımı asimptotik olarak normal dağılıma uygundur ve bu test büyük

örnekler için geçerlidir. Durbin h testi de DW testi gibi 1. Dereceden otokorelasyon söz konusu

olduğunda kullanılır. Fakat ˆ.var( ) 1n b ³ ise bu test kullanılamaz. Böyle bir durumda Durbin’in

alternatif testi kullanılır. h istatistiği normal dağılıma uygun olduğu için bir sonraki aşamada

istatistik değeri 2Za

değeri ile karşılaştırılır.

h istatistik değeri; 2Za

± aralığında ise boş hipotez kabul edilir ve otokorelasyonun olmadığına

karar verilir. 2h Za

> + ise pozitif otokorelasyon, 2h Za

< - ise negatif otokorelasyon

bulunmaktadır. Anlaşılacağı gibi son iki durumda H1 hipotezi kabul edilmiştir.

Örnek 1: Aşağıda tahmin sonuçları verilen modelde otokorelasyon olup olmadığını test ediniz.

( 0.05a = )

10.759 14.58 1.17

(0.88) (5.77) (0.081)

: 31

2.90

t t tY X Y

Se

n

DW

-= - +

=

Model otoregresif bir model olduğu için bu örnekte Durbin-h testini kullanmamız

gerekmektedir.

17 / 19

0

1

: 0

: va r 0


H Otokorelasyon dır p=

¹

Öncelikle ˆ2(1 )DW p= - ilişkisinden p otokorelasyon katsayısını elde etmemiz

gerekmektedir.

ˆ2.90 2(1 )

ˆ 0.45

p

p

= -

= -

Buradan hareketle h istatistiği; 2

310.45 2.84

1 31.(0.081)h = - = -

-

olarak hesaplanır. Dikkat edileceği gibi gecikmeli değişkene ait parametrenin varyansını elde

etmek için verilen parametre standart hata değerinin karesini aldık. Hesaplanan istatistik değeri

2.84 1.96- < - olduğundan modelde otokorelasyon vardır ve negatif otokorelasyondur.

SORULAR

1. Otokorelasyon nedir, hangi tür modellerde karşımıza çıkar?

2. Otokorelasyonun sebepleri nelerdir?

3. Tahmin edilen bir modelde otokorelasyon olması durumunda sonuçlar nasıl

değişmektedir, anlatınız.

4. Otokorelasyonun varlığı durumunda tahmin edilen parametrelerin t istatistiğinin

olduğunda büyük çıkması neyi ifade etmektedir.

5. Durbin Watson testi hangi durumlarda kullanılamaz.

6. DW test istatistiği ile otokorelasyon katsayısı arasındaki ilişkiyi elde ediniz.

7. 24 gözlem kullanılarak tahmin edilmiş modelden elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir:

16.89 0.825t tY X= +

21

2

2

1

ˆ ˆ( ) 23.763

ˆ( ) 99.110

t n

t t

t

t n

t

t

u u

u

=

-

=

=

=

- =

=

å

å

18 / 19

Modelde otokorelasyonun var olup olmadığını 0.05a = için test ediniz.

8. Otoregresif bir modelde otokorelasyon olup olmadığını araştırmak için hangi testi

kullanmalıyız?

9. Durbin h testinin kullanılamadığı durum nedir?

10. Aşağıda tahmin sonuçları verilmiş modelde otokorelasyon olup olmadığını araştırınız.

1 2 10.52 10.25 2.78 0.88

(0.32) (3.20) (1.78) (0.034)

: 35

1.27

t t t tY X X Y

Se

n

DW

-= - + +

=

KAYNAKÇA Ahmet Kılıçbay, “Ekonometrinin Temelleri”. İ.Ü. İktisat Fakültesi, İstanbul, 1980.


2003.


Press, 1993.








19 / 19



5. HAFTA

OTOKORELASYON-II

2 / 16

İÇİNDEKİLER

Özet v.

5. Otokorelasyonun test edilmesi

1.Durbin’in Alternatif Testi

2.Ki-Kare Otokorelasyon Testi

3.LM Testi

4.ARCH Testi

Sorular xv.

Kaynakça xvi.

3 / 16

ÖZET



olarak bilinen otokorelasyon probleminin tespitinde kullanılan testlerden bahsedilmeye devam

edilecektir.

4 / 16

5. Otokorelasyon Test Edilmesi

5.1. Durbin’in Alternatif Testi

Modelde bağımlı değişkenin gecikmeli değeri bulunuyorsa ve nVar 1ˆ( )β ≥ ise Durbin’in

Alternatif Testi kullanılır.

0

1

t 0 1 t 2 t 1 t

t

H 0

H 0

Y X Y u

modeli tahmin edilerek

u lar hesaplanır.

:

:

ˆ '

ρ

ρ

α α α −

=

≠

= + + +

t 0 1 t 2 t 1 3 t 1 t

2

u X Y u v

yan regresyonu tahmin edilir.

)

ˆ ˆβ β β β− −= + + + +

0 3

1 3

0

1

3

0 1

H 0

H 0

ya da

H Otokorelasyon yoktur.

H Otokorelasyon vardır. anlamlı ise,

H Red, H Kabul.

:

:

:

:

β

β

β

=

≠

5 / 16

t t t 1

t 1

IT 4 61 0 12GSMH 0 56IT

n 18 (Var( ))

0 56IT DW testine engel.

nVar 1 D h testine engel.

, , ,

ˆ

,

ˆ( )

β

β

−

−

= − + +

=→

≥ → −

3

t t t 1 t 1

0 3

1 3

3

3

D Alternatif

u 1 31 0 0456GSMH 0 201IT 0 639u

(0,313)

H 0

H 0

0 639t 2 04

0,313shˆ

ˆ ˆ, , , ,

:

:

ˆ ,,

ˆ( )β

β

β

ββ

− −

−= + − −

=

≠

−= = = −

3

3

n k 2 14 0 025

14 0 025

0

n 18

t t 2 145

t 2 04

t t

H Kabul

−

== =

= −

<

; / ; ,

ˆ

ˆ ; ,

,

,

α

β

β

6 / 16

0

1

1 AşamaH Otokorelasyon yoktur.

H Otokorelasyon vardır.

. ;

:

:

t t 1

2.Aşama;Test istatistiğinin elde edilmesi:u u işaretlerini birlikte alan kontenjan tablosu düzenlenir.

ˆ ˆ, −

t t

t 1 11 11 12 12 1 1

t 1 21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

ij

ij

i jij

Toplamu sayısı u sayısı

u sayısı n n n n n nu sayısı n n n n n n

Toplam n n n n n

n gerçek frekanslar

n teorik frekanslar

n nn

n

' ' '

' ' '

' '

'

'

( ) ( )ˆ ˆ

ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

−

+ −

+−

=

=

=

2 Otokorelasyon Testi

(Parametrik olmayan bir testtir.)

Aşamaları;

χ

7 / 16

ij ij2Hes

ij

3 Aşaman n

n

'

'

. ;

( )χ

−=∑

2tablo

4 Aşamaserbestlik derecesi

k 1 1

2 1 2 1

1 1

değerine göre bulunur.

.

( );( )

( );( )

( , )

α

χ

− −− −

0

5 AşamaH Modelde 1.dereceden otokorelasyon yoktur.

.

:

8 / 16

t t 1 t t 1u u u uˆ ˆ ˆ ˆ

*− −

− + +− − + +− − + +− − + +− − + +− − + +− − + ++ − + ++ + − ++ + − −+ + − −+ + − −

t t

t 1

t 1

i jij

11

Toplamu sayısı u sayısı

u sayısı 12 7 35 1 5 65 13u sayısı 1 5 65 9 (4,35 10

Toplam 13 10 23

n nn

n13 13

n 7 3523

'

'

( ) ( )ˆ ˆ

ˆ( ) ( , ) ( , )

ˆ( ) ( , ) )

,

−

−

+ −

+−

=

×= =

9 / 16

ij ij2Hes

ij

2 2 2 22Hes

2Hes

21

2 2Hes 1

0 1

n n

n

12 7 35 1 5 65 1 5 65 9 4 35

7 35 5 65 5 65 4 35

15 15

0 05

3 84146

H d H Kabul

'

'

( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

, , , ,

,

,

,

Re ,

χ

χ

χ

α

χ

χ χ

−=

− − − −= + + +

=

=

=

>

∑

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

t

2t

t t s

1

u u u u

p dereceden otoregresif bir süreç

AR(p)

E( 0

Var

E 0 t s

)

...

)

( )

( , )

ρ ρ ρ ε

ε

ε σ

ε ε

− − −

+

= + + + +

=

=

= ≠

10 / 16

t 0 1 1 2 2

0 1 2 p

1

Y X X

H 0

H En az bir sıfırdan farklıdır.

ˆ ˆ ˆˆ

: ...

:

β β β

ρ ρ ρ

ρ

= + +

= = = =

t

t 0 1 1 2 2 3 t 1 k t p

2

u hesaplanır ve yardımcı regresyon tahmin edilir.

u X X u u

)

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ...α α α α α− −= + + + + +

2

2 2 2

2 2

Yardımcı regresyonun R 'sindenfaydalanılarak test istatistiği oluşturulur.

Günlük, aylık, haftalık verilerle çalışılıyorsa;( )R

: Gözlem sayısıYıllık verilerle çalışılıyorsa;

nR

Hesap p

Hesap

n p

n

χ χ

χ

= −

=

t tY =-0,89+0,1295X

2.dereceden otokorelasyonun varlığı test edilmek istenmektedir.

11 / 16

t

t 0 1 t 2 t-1 3 t-2 t

2

0 1 2

1

ˆ1.)u hesaplanır2.)

ˆ ˆ û =α +α X +α u +α u +ε

H :p =p =0

H :En az biri sıfırdan farklıdır.

R

t t t-1 t-2

2

2 2

22

2 22

0 1

21

ˆ ˆ û =1,27+0,597X +5,3u -8,1u

0,72

21 0,72 15.12

0,05 p=2 sd. ile 5,99

, .

2. dereceden otokorelasyon vardır.

hesap

hesap

n

R

nR

H red H kabul

χ

α χ

χ χ

=

=

= = × =

= =

>

12 / 16

ARCH TESTİModelde otokorelasyon varsa heteroskedasite de

olabilir mi? Varsayımdan sapma başka bir varsayımdan sapma içinde yer aldığında sahte otokorelasyon olabilir.

Bu durumda ARCH Testi uygulanır.

2t

ARCH testinin temelinde hata teriminin (t) dönemindeki

varyansının (t-1) dönemindeki hata teriminin karesine yani

u bağlı olmasıdır.

t 0 1 1t 2 2t k kt t

2t 0 1 1

Y =β +β X +β X +...+β X +u modelde ARCH(1) etkisi varsa

hata terimi sıfır ortalamaya sahiptir vevaryansı t-1 dönemindeki hata terimininkaresine bağlıdır.u [0,( )]t

Eğer

N uα α −+

t

t

2 2u 0 1 t-1 t

2 2 2ˆt u 0 1 t-1 p t-p t

ARCH(1)

ˆσ =α +α u +ε

ARCH(p)

ˆ ˆ ˆVar(u )=σ =α +α u +...+α u +ε

13 / 16

t

2 2 2t 0 1 t-1

2 2p

0

1

1)Regresyon tahmin edildikten sonra

ˆkalıntılar hesaplanır. (u )ˆ ˆ2)u =α +α u R hesaplanır.

3)

nR χ

4)

H :Modelde ARCH etkisi yoktur.

H :Modelde ARCH etkisi vardır.

→

2 2t t-1

2

Örnek

ˆ û =2,076+0,694u

(1,06) (5,04)

R 0,4665 DW=1,67

n=31

Modelde ARCH etkisini sınayınız.

t

=

14 / 16

0

1

2 2

21

2 21

0

H :Modelde ARCH etkisi yoktur.

H :Modelde ARCH etkisi vardır.

31 0,4665 14,48

0,05

3,841

red.

Modelde ARCH etkisi vardır.

hesap

hesap

nR

H

χ

α

χ

χ χ

= = × =

=

=

>

15 / 16

SORULAR

1. ARCH etkisi nedir, hangi tür modellerde karşımıza çıkar?

2. Ki-Kare otokorelasyon testinin aşamalarını anlatınız?

3. Durbin-Alternatif testinin, Durbin-h ve Durbin-Watson testlerine olan üstünlüğünü,

anlatınız.

4. Otoregresif bir modelde otokorelasyon olup olmadığını araştırmak için hangi testi

kullanmalıyız?

5. Durbin h testinin kullanılamadığı durum nedir?

6. Aşağıda tahmin sonuçları verilmiş modele uygun otokorelasyon testiyle

otokorelasyonun olup olmadığını araştırınız.

1 2 10.52 10.25 2.78 0.88

(0.32) (3.20) (1.78) (0.034)

: 35

1.27

t t t tY X X Y

Se

n

DW

-= - + +

=

7.ARCH Testinin aşamalarını anlatınız.

16 / 16



2003.


Press, 1993.










6. HAFTA

OTOKORELASYONUN VARLIĞI HALİNDE KULLANILACAK PARAMETRE

TAHMİN YÖNTEMLERİ

2 / 10

İÇİNDEKİLER

Özet v.

6. OTOKORELASYONUN VARLIĞI HALİNDE KULLANILACAK PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİ

6.1.p’nin Bilinmesi Halinde Otokorelasyonu Önleme Yöntemleri

1. Birinci Farklar Yöntemi

2. Genelleştirilmiş Farklar Yöntemi

6.2.p’nin Bilinmemesi Halinde Otokorelasyonu Önleme Yöntemleri

1. Durbin-Watson (DW) İstatistik Yöntemi

2. Theil-Nagar Yöntemi

3. 2 Aşamalı Durbin Yöntemi

Sorular xv.

Kaynakça xvi.

3 / 10

ÖZET



olarak bilinen otokorelasyon probleminin tespitinde kullanılan testlerden bahsedilmeye devam

edilecektir.

4 / 10

1. Birinci Farklar Yöntemi

t 0 1 1t n nt t

t 1 0 1 1 t 1 n n t 1 t 1

t t 1 0 0 1 1t 1 t 1 n nt t 1 t t 1

t t 1 t

1t 1 t 1 1

nt t 1 n

t t 1 t

Y X X u

Y X X u

Y Y X X X X u u

Y Y Y

X X

X X

u u v

( ) ( )

( ) n( )

*

*( )

*n( )

...

...

( ) ... ( ) ( )

( )

( ) X

( ) X

( )

β β β

β β β

β β β β− − − −

− − − −

−

−

−

−

= + + + +

= + + + +

− = − + − + + − + −

− =

− =

− =

− =

t 1 1 n n tY X X v* * *...β β= + + +

Bu Yöntemin Özellikleri;

1. Dönüştürülmüş modelde regresyon sabiti yer almamaktadır.

2. Hesaplama kolaylığı olmasına rağmen bazı sakıncaları vardır;

i. Sabit parametre kaybolmaktadır.

ii. Parametre tahminleri eğilimsiz olmakla beraber varyansları eğilimli olduklarından bu

yöntem ile hipotez testlerinin yapılması ve parametreler için güven aralıklarının bulunması

doğru değildir.

iii. Hata terimleri arasında tam pozitif otokorelasyon olduğunu varsayılmaktadır.

Fakat gerçekte -1<p<1 yer almaktadır.

iv. Eğer p=1 ise hata terimi varyansı sonsuza ıraksar.

Modelde trendi ifade etmek üzere bir zaman değişkeni t ilave edelim.

t 0 1 t 2 t

t-1 0 1 (t-1) 2 t-1

t t-1 0 0 1 t (t-1) 2 t t-1

*t t-1 t

*t (t-1) 1

* *t 1 1 2 t

Y =β +β X +β t+uY =β +β X +β (t-1)+u

Y -Y =β -β +β (X -X )+β (t-t+1)+(u -u )

(Y -Y )=Y

(X -X )=X

Y =β X +β +v ; DW kullanılır.

5 / 10

Berenblutt Webb Testi

0

0

n2

tt 2

n2t

t 1

n2

tt 2

n2t

t 1

1

H p 1

H p 1

2

Test istatistiği

uBW=

u

u Birinci farklar

u ilk SEK

*

*

( )

:

:

( )

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

=

=

=

=

=

≠

→

→

∑

∑

∑

∑

L U

L

0

3

DW (değişken sayısı k )gözlem d d

sayısıBW d

H Kabul

( )

,α ′

<

n2

0 1 tt=1

n*2t

t=2

Örnek

Y: Ücretler

X: Verimlilik

Y= X u 204 6934

Y X u 28 1938* *

ˆ ˆˆ ˆ ,

ˆ ˆ ,

β β

α

+ → =

= → =

∑

∑

6 / 10

0

0

H :p=1

H :p 1≠

2) Genelleştirilmiş Farklar Yöntemi

Birinci dereceden farklar aslında genelleştirilmiş farklar yönteminin p=1 için özel halidir.

Yöntemde, Yt ile Yt-1, Xt ile X1(t-1) değişkenleri arasındaki farkların belli bir oranına

‘e EKK uygulanmaktadır.

Bu şekilde p<1 olduğu durumlar göz önüne alınarak otokorelasyonun sakıncaları ortadan

kaldırılmaya çalışılır.

n*2t

t=2n

2t

t=1

L U

0 1

u28 1938

BW= 0 171377204 6934

u

0 05

d 1 077 d 1 361

0 171377 1 077

H Kabul, H Red

ˆ,

,,ˆ

,

, ; ,

, ,

α

= =

== =

<

∑

∑

t(pΔX ) t(pΔY )

7 / 10

p’nin Bilinmemesi Halinde Otokorelasyonu Önleme Yöntemleri

i. Durbin-Watson (DW) İstatistik Yöntemi

Bu yöntemin geçerliliği örnek hacmine bağlıdır. Örnek hacmi küçükse DW yöntemi

kullanılmamaktadır.

ii. Theil-Nagar Yöntemi:

Küçük örnekler için DW test istatistiğine dayanılarak test istatistiği hesaplanır.

2 2 2 21-dwρ= n +k n -k2

n:gözlem sayısık:tahmin edilen parametresayısı

t 0 1 1t 2 2t k kt t

t-1 0 1 1t-1 2 2t-1 k kt-1 t-1

t-1 0 1 1t-1 2 2t-1 k kt-1 t-1

Y =β +β X +β X +...+β X +uY =β +β X +β X +...+β X +u

Y = β + β X + β X +...+ β X + uρ ρ ρ ρ ρ ρ

t t-1 0 1 1t 1t-1 k kt kt-1 t t-1

* * * * * * *t 0 1 1t k kt t

Y -ρY =β (1-ρ)+β (X -ρX )+...+β (X -ρX )+(u -ρu )

Y =β +β X +...+β X +u

2(1 )

12

DW

DW

ρ

ρ

= −

= −

8 / 10

iii. 2 Aşamalı Durbin Yöntemi

1. Aşama

Model

olsun.

t 0 1 t t

t-1 0 1 t-1 t-1

t-1 0 1 t-1 t-1

t 0 1 t 1 t-1 t-1 t t-1

*t t t-1

*t 0 1 t 2 t-1 t-1 t

21

0 0

Y =β +β X +uY =β +β X +u

Y = β + β X + uY =β (1 ) β X β X Y u u

u u u

Y =α +α X +α X +ρY +uαβˆ

ˆ ˆ ˆβ α / (1 )

ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ

ρ

ρ

ρ

− + − + + −

= −

=

= −

İkinci Aşama

*t t t-1

*1t 1t 1t-1

*kt kt kt-1

Dönüştürülmüş veriler

ˆY =Y -ρYˆX =X -ρX

ˆX =X -ρX

Dönüştürülmüş veriler elde edildikten sonra yeni model EKK ile çözülür.

2 Aşamalı Durbin Yöntemi, daha yüksek dereceli otokorelasyonlar içinde kullanılır.

9 / 10

SORULAR

1. p’nin Bilinmesi halinde otokorelasyonu hangi yöntemlerle önlersiniz açıklayınız?

2. Birinci farklar yönteminin özellikleri nelerdir?

3. Berenblutt Webb Testinin aşamalarından bahsediniz.

4. Genelleştirilmiş Farklar Yönteminin özellikleri nelerdir?

5. p’nin Bilinmemesi halinde otokorelasyonu hangi yöntemlerle önlersiniz açıklayınız? 6.

t t

Aşağıda verilmiş olan regresyon çıktısından hareketle

Theil-Nagar istatistiğini hesaplayınız.Y =246,25+15,2X

t (42,104) (23,603)

Dw=0,4148

7. 2 Aşamalı Durbin Yöntemi aşamalarından bahsediniz.

10 / 10



2003.


Press, 1993.










7. HAFTA

HETEROSKEDASİTE

(DEĞİŞEN VARYANS)

2 / 13

İÇİNDEKİLER

Özet v.

12. Heteroskedasite 6

12.1. Heteroskedasite (Değişen Varyans) Nedir? 6

12.2. Hata terimi varyansının değişken olmasının sebepleri 7

12.3. Heteroskedasitenin sonuçları 8

12.4. Heteroskedasitenin tespit edilmesi 8

12.4.1. Sistematik olmayan testler 9

12.4.2. Sistematik testler 9

12.4.2.1. Spearman Sıra Korelasyon Testi 10

12.4.2.2. White Testi 12

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 13

ÖZET

Bu bölümde, klasik doğrusal regresyon modelinde anakütle hata terimi varyansının

gözlemler itibariyle sabit olmaması olarak bilinen değişen varyans (heteroskedasite) problemi

üzerinde durulacaktır. Heteroskedasitenin tanımlanmasının ardından, sonuçlarına ve tespit etme

yöntemlerine değinilecektir.

4 / 13

12. Heteroskedasite

12.1. Heteroskedasite (Değişen Varyans) Nedir?

En küçük kareler yöntemiyle tahmin edilmiş parametrelerin BLUE tahminler olabilmesi

için klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarının yerine gelmesi gerekmektedir.

Bu varsayımlarından biri de anakütle hata terimi varyansının gözlemler itibariyle sabit olması

yani homoskedastik bir karaktere sahip olmasıdır. Böyle bir varsayımdan sapma olması

durumunda anakütle hata terimi varyansı gözlemler itibariyle farklı olmaktadır. Bu, değişen

varyans (heteroskedasite) olarak bilinmektedir. İstenen durum aşağıda ifade edilen sabit

varyans (homoskedasite) durumudur.

2 2( | ) ( ) ( ) ( 1, 2,.... )i i i iVar u X Var u E u i n Homoskedasites= = = = Ş

İstenmeyen durum ise;

2( | ) ( )i i i iVar u X Var u Heteroskedasites= = Ş

olduğu durumdur. Varyansın altında bulunan i indisi gözlemler itibariyle varyansın değiştiğini

ifade etmektedir. Heteroskedasite daha çok kesit verilerinde ortaya çıkan bir problemdir. Diğer

bir ifade ile kesit verilerinin kullanıldığı mikro ekonometrik modellerde heteroskedasite

ihtimali daha yüksektir. Kesit verileri zaman içinde bir noktada, anakütlenin üyeleri ile ilgilidir.

Aynı birimin zaman içindeki verilerinin derlenmesi ise zaman serisi verilerini oluşturur. Makro

düzeydeki zaman serilerinde homoskedasite varsayımının gerçekleşmesi yani hata payına

ilişkin varyansın sabit kalması çoğu zaman gerçekleşmektedir. Örneğin; makro tüketim

fonksiyonu üzerine yapılan ve zaman serilerine dayalı ekonometrik bir araştırmada toplam gelir

ile toplam tüketim arasında ilişki kuran makro ekonometrik bir modelde her yılın hata payının

varyansının eşit olma ihtimali yüksektir. Söz konusu varsayımdan sapmaya daha çok kesit

verilerinde rastlanır. Örneğin; hanehalkı gelirleri ve tüketim harcamalarını ele alalım. 2000 TL

maaş alan bir kişinin tüketim harcamaları ile asgari ücretle geçinen kişilerin tüketim

harcamaları farklıdır. Bu kişilerin tüketim fonksiyonlarını incelersek bir kesit verisi

oluşmaktadır. Kişilerin gelirleri birbirinden farklı olduğundan tüketim kalıpları da farklılık

5 / 13

gösterecektir. Düşük gelirli hanehalklarının tüketim harcamaları daha ziyade zorunlu

harcamalar olduğundan bunların harcamaları arasındaki değişkenlik fazla değildir. Halbuki

gelir arttıkça tüketim harcamalarındaki değişkenlik heteroskedasitenin klasik örneğidir. Sonuç

olarak mikro ekonometrik modellerde heteroskedasitenin varlığına, makro modellerdeki gibi

güvenmek mümkün değildir.

12.2. Hata terimi varyansının değişken olmasının sebepleri

- Hatasını öğrenen modellerde, davranış hataları zamanla azalmaktadır. Bu durumda 2s

’ınküçülmesi beklenmektedir. Örneğin; daktilo çalışma saatlerinin sayısı arttıkça, hem daktilo

hataları hem de bunların varyansları azalacaktır.

- Gelir arttıkça insanların istedikleri gibi harcayabilecekleri gelir daha çok artacaktır. Böylelikle 2

s ’ın gelirle birlikte büyümesi beklenir. Benzer durum gelir tasarruf ilişkisi için de söz

konusudur. Gelir arttıkça tasarruf seçenekleri artacaktır.

- Veri derleme teknikleri geliştikçe 2s ’da düşebilir.

- Değişen varyans aykırı gözlemlerin bir sonucu olarak ortaya çıkabilir.

- Otokorelasyon durumunda anlatıldığı gibi değişen varyans durumunun da kaynağı model

kurma hataları olabilir. Örneğin: Modelde gerekli bir değişkenin dışlanması.

Hata payının heteroskedastik bir yapıya sahip olduğu modellerde hata payının (ui);

-Normal dağılıma sahip olduğu,

- Bir gözlemin hata payının öteki gözlemdeki hata payına korelasyon bağıntısı ile bağlı

bulunmadığını (diğer bir ifade ile otokorelasyon olmadığını),

- Fakat her gözleme ait hata payının varyanslarının ( 2is ) farklı olduğu varsayılmaktadır.

21

22

2

( )i

n

Var u

s

s

s

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

O , 2 2 21 2 ns s s¹ ¹ ¹L L

Heteroskedasite temel bir varsayımdan sapma olduğuna göre ekonometrik modelin aleyhine bir

takım sonuçlar ortaya çıkaracaktır.

6 / 13

12.3. Heteroskedasitenin sonuçları

- Tahmin edilen parametrelerde aranan bir özellik, tahmin edilen parametrenin en

düşük varyansa sahip olması yani tesirli olmasıdır. Heteroskedasite durumunda

EKK yöntemi ile tahmin edilen parametreler en küçük varyansa sahip

olamayacaklar, bu parametreler güvenilir olmayacaklardır. Çünkü EKK yöntemi en

büyük varyansa ağırlık verecektir. Bu durumda,

2

1 2

ˆˆ( )i

Varx

sb =

å kullanılmaz hale gelmektedir. Heteroskedasite halinde varyans sabit

olmadığından varyans;

( )

2 2

1 22

ˆˆ( ) i i

i

xVar

x

sb =

å

å

olmaktadır.

- Yukarıdaki maddeye bağlı olarak modeldeki parametrelerin güven aralıkları ve

hipotez testleri de gücünü ve güvenilirliğini yitirmektedir. Heteroskedastik bir modele EKKY

uygulandığında t ve F testleri doğru olmayan sonuçlar verecektir. Çünkü standart hatalar

olduğundan büyük değerli elde edilmektedir.

- Heteroskedasite hali, tahmin edilen parametrelerin sahip olması istenen

özelliklerden eğilimsiz olma özelliğini etkilememektedir. Çünkü eğilimsizlik hata

terimlerinin homoskedasite koşuluna bağlı değildir. Heteroskedasite parametrelerin

kararlı ve tutarlı olmalarını da engellememektedir.

12.4. Heteroskedasitenin tespit edilmesi

Heteroskedasitenin var olup olmadığını belirlemek üzere kullanılan testler aşağıdaki gibi iki

ana grupta toplanmaktadır:

1. Sistematik olmayan testler

2. Sistematik testler

12.4.1. Sistematik olmayan testler

7 / 13

Hata paylarının dağılımının bir grafik üzerinde incelenmesiyle gerçekleştirilen

testlerdir.

Noktalar regresyon civarındaki gerçek değerleri ifade etmektedir yani Xi’ye uyan Yideğerlerini

vermektedir. Gerçek değerler ile tahmini değerler arasındaki farklar ise hata paylarıdır. (1)

numaralı şekle bakıldığında X değerleri büyüdükçe hata payları da artmaktadır. Burada X’e

bağlı bir heteroskedasitenin varlığı söz konusudur. (2)’de X’in küçük ve büyük değerleri için

hata payı küçük, X’in orta değerleri için hata payı ve dolayısıyla hata payı varyansı büyüktür.

(3)’de X’in Küçük değerleri için hata payı ve varyansı büyüktür. X büyüdükçe hata payı

varyansı düşmektedir. Her 3 durumda da heteroskesadite söz konusudur. Buna göre

heteroskedasitenin kaynağı X’ler yani bağımsız değişkenlerdir.

12.4.2. Sistematik testler

Heteroskedasitenin teorik biçimi aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. 2 2

ui X ds s=

Burada 2uis i. gözlemde hata teriminin varyansıdır. dheteroskedasite parametresidir.

0d= olduğundaheteroskedasite yoktur. Buna bağlı olarak testin boş hipotezi 0 : 0H d= ’dır.

0

1

: 0

: 0

H Homoskedasite

H Heteroskedasite

d

d

= Ş¹ Ş

8 / 13

12.4.2.1. Spearman Sıra Korelasyon Testi

X ve Y değerleri arasındaki korelasyonu hesaplamak yerine 2 serideki kıymetler

büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe numaralandırılarak, bu sıra numaraları arasındaki

ilişki araştırılırsa buna sıra korelasyon testi adı verilmektedir. Spearman sıra korelasyon testini

uygularken aşağıdaki aşamalardan geçilir:

1.Aşama: Tahmin edilmiş regresyon denkleminden kalıntılar elde edilir.

2.Aşama: Kalıntıların işareti dikkate alınmadan (mutlak değerleri ile) büyükten küçüğe

ya da küçükten büyüğe sıralanır. Aynı işlem X bağımsız değişkeni için de yapılır. Her iki sıra

numarası arasındaki fark hesaplanır. 2

21 6

.( 1)i

s

dr

n n

é ùê ú= - ê ú-ê úë û

å değeri elde edilir.

Buradaki i i id X u= - şeklinde hesaplanır ve sıralama kıymetleri arasındaki farkı ifade eder. n gözlem sayısıdır.

3.Aşama: Anakütle korelasyon katsayısının 0’a eşit ve gözlem sayısının 8’den büyük olduğu

varsayımına göre t hesap değeri hesaplanır.

8n >2

2

1

shesap

s

r nt

r

-=

- , : ( 2)serbestlik derecesi n -

4.Aşama: Hesaplanan t hesap değeri ile t tablo değeri karşılaştırılır.

hesap tablot t> olduğunda H0red, H1 kabul. Yani heteroskedasite vardır.

hesap tablot t< olduğunda H0 kabul. Heteroskedasite yoktur.

9 / 13

Örnek 1: 1972-1985 yılları arasındaki gelir (Y) ve tüketim( C) verileri ile tahmin edilmiş

modelden hesaplanmış hata payları aşağıdaki gibidir.

Yıllar C t Y t ut

1972 6702 7357 -177.4

1973 6812 7752 -340.3

1974 7399 8325 -149.2

1975 8095 8987 89.4

1976 8935 9699 439.5

1977 9447 10076 698

1978 9369 10365 411.4

1979 9097 10323 168.4

1980 8788 10213 -64.6

1981 8843 10637 -302.6

1982 9189 11126 -294.4

1983 9585 11485 -146.5

1984 9957 12051 -165.5

1985 10409 12693 -157.1

Hata payları ve bağımsız değişkenin küçükten büyüğe doğru sıralanmış sıra değerleri arasındaki

fark elde edilmiştir.

Y t için sıralama ut için sıralama d i d i2

1 8 -7 49

2 11 -9 81

3 4 -1 1

4 2 2 4

5 13 -8 64

6 14 -8 64

9 12 -3 9

8 7 1 1

7 1 6 36

10 10 0 0

11 9 2 4

12 3 9 81

13 6 7 49

14 5 9 81

Toplam: 524

0

1

: 0

: 0

H Homoskedasite

H Heteroskedasite

d

d

= Ş¹ Ş

10 / 13

2

2

2

1 6.( 1)

5241 6 0.1516

14.(14 1)

i

s

dr

n n

é ùê ú= - ê ú-ê úë û

é ùê ú= - = -ê ú-ë û

å

olarak bulunduktan sonra t hesap değeri hesaplanır.

2

0.1516 14 20.5312

1 (0.1516)hesapt

- -= = -

- , (0.05;12) 2.179tablot =

Karşılaştırma yapılırsa t hesap değerinin mutlak olarak tablo değerinden küçük olduğu

görülmektedir.

0.5312 2.179- < 0 1,H kabul H red

Sonuca göre modelde heteroskedasitenin olmadığı, homoskedasite durumunun geçerli olduğu

görülmüştür.

12.4.2.2. White Testi

White testinin özelliği normallik dağılımına dayanmayan bir test olmasıdır.

0 1 1 2 2t t t tY X X ub b b= + + + modelindeheteroskedasite olup olmadığını White testi ile

araştırmak için aşağıdaki aşamalar takip edilir:

1.Aşama: Regresyon denklemi tahmin edildikten sonra kalıntılar elde edilir.

2.Aşama: Yardımcı regresyon denklemi kurulur. Bu regresyon denkleminin bağımlı değişkeni

ilk aşamada hesaplanan kalıntıların kareleridir.

2 2 20 1 1 2 2 3 1 4 2 5 1 2.t t t t t t t tu X X X X X X va a a a a a= + + + + + +

Modelin belirginlik katsayısı (R2) hesaplanır.

11 / 13

3.Aşama:

0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

:

:

H

H

a a a a a

a a a a a

= = = =

¹ ¹ ¹ ¹

2 2hesap n Rc = ´ değeri hesaplanır.Gözlem sayısı hem ana modelde hem de yardımcı regresyon

modelinde aynıdır. Belirginlik katsayısı yardımcı regresyonun belirginlik katsayısıdır.

4.Aşama: Mukayese aşamasıdır. 2hesapc ve 2

sdc ile mukayese edilir. Serbestlik derecesi ise

yardımcı regresyondaki bağımsız değişken sayısıdır. 2 2hesap tabloc c> ise 0 1,H red H kabul

Modelde değişen varyans vardır. 2 2hesap tabloc c< ise hata terimi varyansı gözlemler itibariyle

sabittir.

Örnek: 41 gözlemlik veriler kullanılarak;

0 1 1 2 2ln ln tY X X ub b b= + + +

modeli ele alınsın. Modelde heteroskedasite olup olmadığını araştırmak için öncelikle model

tahmininden kalıntılar hesaplanmıştır ve yardımcı regresyon denklemi oluşturulmuştur. Ana

model tam logaritmik olduğuna göre yardımcı regresyon denklemi de tam logartimik olarak

tahmin edilmektedir.

2 2 21 2 1 2 1 2

2

5.84 2.56ln 0.69ln 0.40ln 0.05ln 0.08ln ln

0.1148

tu X X X X X X

R

= - + + - - +

=

2 2: 41 0.1148 4.7068hesap n Rc ´ = ´ = 2(0.05,5) :11.070c

0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

:

:

H

H

a a a a a

a a a a a

= = = =

¹ ¹ ¹ ¹

4.7068 11.070< olduğundan 0 1,H kabul H red . Modelde homoskedasite durumu söz

konusudur.

12 / 13

SORULAR

1. Heteroskedasite nedir?

2. Heteroskedasite ne tür modellerde karşımıza çıkan bir problemdir?

3. Heteroskedasitenin sebeplerini açıklayınız.

4. Heteroskedasitenin sonuçları nelerdir?

5. Heteroskedasitenin var olması halinde tahmin edilen parametrelerin eğilimsizlik

özelliği hakkında ne söylenebilir?

6. Heteroskedasiteyi tespit etmeye yönelik olarak kullanılan testlerin ayrıldığı ana

başlıklar nelerdir?

7. Spearman sıra korelasyon testinin aşamaları nelerdir?

8. 10 gözlemden oluşan getiri ve risk verileri ile model tahmin edilerek kalıntılar elde

edilmiştir. Daha sonra risk değişkeni ile kalıntılar küçükten büyüğe doğru sıralanarak sıra

değerleri arasındaki fark hesaplanmış ve farkların kareleri toplanmıştır. ( 2 110id =å )

Buradan hareketle Spearman sıra korelasyon testini kullanarak modelde heteroskedasite

olup olmadığını araştırınız.

9. White testinin en belirgin özelliği nedir?

10. 1990-2011 dönemi ele alınarak ihracatın(İH), GSMH ve döviz kuru(DK)

değişkenleriyle açıklandığı model aşağıdaki gibi oluşturulmuştur:

0 1 2İH GSMH DK ua a a= + + +

Modelin kalıntıları kullanılarak; 2 2 22.77 0.77 0.58 1.88 0.99 0.85tu GSMH DK GSMH DK GSMH DK= + + + + + ´

şeklinde yan regresyon denklemi tahmin edilmiş ve 2 0.77R = olarak bulunmuştur.

Modelde heteroskedasite olup olmadığı konusunda ne söylenebilir.

13 / 13



2003.


Press, 1993.










8. HAFTA

HETEROSKEDASİTE-II

2 / 19

İÇİNDEKİLER

Özet v.

8. Heteroskedasite-II 6

Bartlett Testi

Goldfeld-Quandt Testi

Breusch-Pagan-Godfrey Testi

Park Testi

Glejser Testi

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 19

ÖZET


gözlemler itibariyle sabit olmaması olarak bilinen değişen varyans (heteroskedasite)

probleminin varlığını tespit etme yöntemlerinin anlatılmasına devam edilecektir.

4 / 19

8. Heteroskedasite-II

8.1. Bartlett Testi

1.Aşama

İncelenen örneği, birbirinden bağımsız k alt örneğe bölebildiğimizi farzedelim. Bu alt

örneklerin her biri için kalıntı varyansları hesaplanır. Bunların serbestlik dereceleri

v1,v2,v3,…,vk dır. Bu alt örnekler normal dağılan anakütlelerden çekilmektedir.

2.Aşama

Amaç bu alt örneklerin tek bir anakütleden gelmiş olup olmayacağının testidir.

2 2 20 1

2 21 1

: ...

: ...

k

k

H

H

σ σ σ

σ σ

= = =

≠ ≠

k2

i i2 i=1

ik

ii=1

f σσ = , f =i. alt örnek hacmi

f

∑

∑

Temel hipotez A/B oranı ile test edilir.

A/B k-1 serbestlik dereceli 2 dağılımına uygunluk gösterir.χ

2 2

i

ˆ Â=f log ( log )

B=1+(1/3)×(k-1) (1/f )-(1/f)

i ifσ σ× − ×

∑∑

3.Aşama

2 2

0

/

.

hesap tabloA B ise

H red

χ χ= >

5 / 19

Örnek

Aşağıdaki verilere göre 1951-57 ve 1958-62 olmak üzere iki alt örnek elde ederek Bartlett

testi ile eşit varyanslılığı araştırın. 2 2 2

0 1 2

2 21 1 2

:

:

H

H

σ σ σ

σ σ

= =

≠

6 / 19

k

ii=1

k2

i i2 i=1

k

ii=1

f= f =7+5=12 k=2 alt örnek

f σ(7×3,32)+(5×28,24)σ = = =13,75

12f

Anakütle varyansının tahmini

∑

∑

∑

2 2

i

ˆ Â=f log ( log )

B=1+(1/3)×(k-1) (1/f )-(1/f)

i ifσ σ× − ×

∑∑

2 2i iˆ Â=f×logσ - (f ×logσ )

A=12×log13,75-(7×log3,32+5×log28,34)

A=2,74962

∑

[ ]iB=1+(1/3)×(k-1) (1/f )-(1/f)

B=1+(1/3)×(2-1) (1/7+1/5)-1/12

B=1,0865

∑

2hesap

2hesap

2tablo

0

A/B=χ

χ =2,74962/1,0865=2,53

α=0,05 ve k-1=2-1=1 sdχ =3,842,53<3,84

H kabul

7 / 19

Goldfeld-Quandt testi, hata paylarının normal dağıldığı ve birbirlerinden bağımsız oldukları,

diğer bir deyişle otokorelasyonun bulunmadığı varsayımına dayanmaktadır.

1.Aşama

1 2

2; . .

2 2

n:gözlem sayısıc:çıkarılacak gözlem sayısı

tab

n c n c kf f k s d F

− − − = = − = →

22

21

ˆ / . .

ˆ / . .hesap

u s dF

u s d=∑∑

2i

2i

2i

σ , X ile pozitif (aynı yönde) ilişkilidir ve

σ farklı varyanslılığı X'in karesi ile orantılıdır.

Yani X değeri arttıkça σ değeride artmaktadır.

8 / 19

2 22 1ˆ û ve u 'nin hesaplanması;

X bağımsız değişkeni küçükten büyüğe ilgili Y bağımlı değişkeni değerleri ile alınır. Sonradan öncedentayin edildiği şekilde ortadan c tane gözlem

çıkarılır ve kalan n-c gözlem n-c/2 gözlemli

gruba ayrılır.

2 21 2

21

22

İlk ve ikinci gözlem grupları için ayrı ayrı EKKY uygulanarak kalıntı kareler toplamı

ˆ û ve u 'ler hesaplanır.

u ler X in küçük değerleri veya küçük varyans grubuna

u ler X in büyük değerl

∑ ∑∑∑ eri veya büyük varyans grubuna

ait olacaktır.

4.Aşama

Fhesap>Ftablo ise Ho red, dolayısıyla heteroskedasite var aksi taktirde eşit varyanslılık

gerçekleşmiştir.

0 1Y=β +β X için Monte Carlo denemelerine göre

n=30 iken c=4

n=60 iken c=10

olmasının uygulamada yeterli olduğu söylenmektedir.

Bağımsız değişken birden fazla ise gözlemlerin küçükten büyüğe sıralanma işi, herhangi bir

X değişkenine göre yapılabilir.

Şayet hangi X değişkenine göre sıralama yapılacağı konusunda tereddüt varsa, testi X

değişkenlerini birer birer alarak gerçekleştirmek mümkündür.

9 / 19

Örnek

Goldfeld-Quandt sınamasını göstermek üzere 30 aileye ilişkin gelir ve tüketim harcaması

verileri aşağıdaki gibidir.

Y:gelir, X:tüketim harcaması olmak üzere,

H0: ui’ler eşit varyanslıdır.

H1: ui’ler farklı (artan) varyanslıdır.

10 / 19

Ortadaki 4 gözlem atılarak ilk 13 ile son 13 gözleme EKKY uygulanmıştır.

•n=30 c=4

•30-4=26

•13 13

•s.d.11 s.d.11

i i

2 21

İlk 13 gözleme dayalı regresyonY =-3,4094+0,6968X

s.h. (8,704) (0,0744)

ˆr =0,8887 u =377,17 s.d.=11∑

i i

2 22

Son 13 gözleme dayalı regresyonY =-28,0272+0,7941X

s.h. (30,6421) (0,1319)

ˆr =0,7681 u =1536,8 s.d.=11∑

11 / 19


•Goldfeld-Quandt testinin başarısı sadece c değerine değil, aynı zamanda doğru X değişkenini

tanımlamaya bağlıdır.

•Goldfeld-Quandt testinin eksiklikleri Breusch-Pagan-Godfrey Testi ile giderilir.

i 0 1 1i 2 2i k ki i

2i 1 2 2i m mi

Y =β +β X +β X +...+β X +u

σ =f(α +α z +...+α z )

2i

2i

σ stokastik olmayan z'lerin fonksiyonudur.

X'lerin tümü veya bazıları z'ler olarak gösterilebilir

ve σ z'lerin doğrusal bir fonksiyonudur.

2i 1 2 2i m mi

2 21 m i

σ =α +α z +...+α z

α =...α =0 ise σ =σsabit, homoskedasite

1.Aşama

i 0 1 1i 2 2i k ki iY =β +β X +β X +...+β X +uÊKKY ile tahmin edilir. u'lar hesaplanır.

2.Aşama

22

22

En çok benzerlik tahmincisi hesaplanır.u

σ = ;n

uˆHatırlanacak olursa, EKKY σ = idi.

n-k

∑

∑

12 / 19

13 / 19

14 / 19

15 / 19

Park Testi

2 2

2

i

heteroskedasitenin teorik biçimi

Park testine göre her gözlemin

hata teriminin varyansının ( )bağımsız değişken X 'nin bir fonksiyonudur.

iu

i

X δσ σ

σ

=

i

2 20

2 2u i i 1

2 2i

2 2i i i

2

2i i i

H :β 0

lnσ =lnσ +βlnX +v H :β 0

ˆbilinmediğinden u

ˆlnu =lnσ +βlnX +v EKK yönteminin varsayımları yerine gelmeyebilir

lnσˆlnu = +βlnX +v EKK ile tahm

i

i

i

v

u

u

X eβσ σ

σ

α

α

= =

≠

→ ⇒

→

≡

in edilir.

β istatistiksel açıdan anlamlı ise heteroskedasite söz konusudur

2i i i

2i i

0

1

( ); /2 30;0,025

0 1

Y=7,34+57,52X Y:İthalat X:GSMHn=32 =0,05

ˆlnu = +βlnX +vˆlnu =3,69+0,38lnX

t (2,557) (0,707)

H :β 0H :β 0

0,7066

2,042

0,7066 2,042

H K, H R.

h

n k

t

t tα

α

α

−

=

≠=

= =

<

Glejser Testi

•Park testine benzemektedir. Büyük örnekler için uygulanmaktadır.

16 / 19

2iˆBu test, u 'ların mutlak değerlerinin ile

ilişkide bulunduğu düşünülen X değişkenine

göre regresyonunu bulmayı önerir.

iuσ

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

20 1

ˆ(1)

ˆ(2)

1ˆ(3)

1ˆ(4)

ˆ(5)

ˆ(6)

i i i

i i i

i i

i

i i

i

i i i

i i i

u X v

u X v

u vX

u vX

u X v

u X v

β β

β β

β β

β β

β β

β β

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

i 0 1 i i

i i

0 1

1 1

(n-k);α/2 30;0,025

Y=7,34+57,52X n=32

ˆ(1) u =β +β X +v

u =4,94+14,07X

t (4) (2,61)

H :β =0H :β 0 t =t =2,042

2,61>2,042

heteroskedasite

≠

0 1

0 1

1 1

(n-k);α/2 30;0,025

Y=7,34+57,52X n=32

ˆ(2)

ˆ 2,0073 15,22

t (0,99) (2,74)

H :β =0H :β 0 t =t =2,042

2,74>2,042

heteroskedasite

i i i

i i

u X v

u X

β β= + +

= +

≠

17 / 19

SORULAR

1. 20 ülkenin 2010 yılına ait Hisse senedi fiyatları (Y), TÜFE (X) aşağıda verilmiştir.

n Y X 1 5.000000 4.300000

2 11.10000 4.600000 3 3.200000 2.400000 4 7.900000 2.400000 5 25.50000 26.40000 6 3.800000 4.200000 7 11.10000 5.500000 8 9.900000 4.700000 9 13.30000 2.200000 10 1.500000 4.000000 11 6.400000 4.000000 12 8.900000 8.400000 13 8.100000 3.300000 14 13.50000 4.700000 15 4.700000 5.200000 16 7.500000 3.600000 17 4.700000 3.600000 18 8.000000 4.000000 19 7.500000 3.900000 20 9.000000 2.100000

Y=a0+a1X+u, şeklinde kurulacak regresyondan hareketle Goldfeld-Quandt testini uygulayınız.

2. 1.soruda verilen veri setini kullanarak Breusch-Pagan-Godfrey Testini yaparak Goldfeld-Quandt testi ile karşılaştırınız.

18 / 19

Firma büyüklüklerine göre çeşitli endüstrilerde kişi başı ücretler aşağıda verilmiştir.

Ortalama ücretleri (Y) ortalama verimlilik (X) ile açıklayarak (Y=a+Bx+u), aşağıdaki soruları cevaplayınız? 3. Y=a+Bx+u regresyonundan kalıntıları elde ediniz. 4. Park testini lnu, lnX değişkenlerini kullanarak uygulayınız. Sonuçlarını tartışınız. 5.Glejser yaklaşımını, öncelikle ˆ

i iu ve X kullanarak, sonra î iu ve X kullanarak

uygulayınız. Sonuçlarını tartışınız. KAYNAKÇA Ahmet Kılıçbay, “Ekonometrinin Temelleri”. İ.Ü. İktisat Fakültesi, İstanbul, 1980.


2003.


Press, 1993.




İstihdam

Endüstriler 1-4 arası 5-9 arası 10-19 aras 20-49 arası 50-99 arası 100-249 arası 250-499 arası 500-999 arası 1000-2499 arası

Yemek 2994 3295 3565 3907 4189 4486 4676 4968 5342

Tütün 1721 2057 3336 3320 2980 2848 3072 2969 3822

Tekstil 3600 3657 3674 3437 3340 3334 3225 3163 3168

Elbise 3494 3787 3533 3215 3030 2834 2750 2967 3453

Kağıt 3498 3847 3913 4135 4445 4885 5132 5342 5326

Yayın 3611 4206 4695 5083 5301 5269 5182 5395 5552

Kimya 3875 4660 4930 5005 5114 5248 5630 5870 5876

Petrol 4616 5181 5317 5337 5421 5710 6316 6455 6347

Plastik 3538 3984 4014 4287 4221 4539 4721 4905 5481

Deri 3016 3196 3149 3317 3414 3254 3177 3346 4067

Ortalama Ücret 3396 3787 4013 4014 4146 4241 4387 4538 4843

Standart Sapma 743.7 851.4 727.8 805.06 929.9 1080.6 1243.2 1307.7 1112.5

Ortalama Verimlilik 9355 8584 7962 8275 8389 9418 9795 10281 11750

19 / 19







2 / 13

İÇİNDEKİLER

Özet v.

8. Heteroskedasite-II 6

Bartlett Testi

Goldfeld-Quandt Testi


Park Testi

Glejser Testi

Sorular xiv.

Kaynakça xv.

3 / 13

ÖZET


gözlemler itibariyle sabit olmaması olarak bilinen değişen varyans (heteroskedasite)

probleminin varlığını tespit etme yöntemlerinin anlatılmasına devam edilecektir.

4 / 13

5 / 13

6 / 13

7 / 13

8 / 13

9 / 13

10 / 13

11 / 13

12 / 13

SORULAR

1.GEKK’in EKK yönteminden farklarını tartışınız.

2.Herhangi bir heteroskedasite testi sonucunda heteroskedasitenin varlığına kanaat getirilmişse sorunun çözümü için ne önerirsiniz, tartışınız?

Firma büyüklüklerine göre çeşitli endüstrilerde kişi başı ücretler aşağıda verilmiştir.

Ortalama ücretleri (Y) ortalama verimlilik (X) ile açıklayarak (Y=a+Bx+u), aşağıdaki soruları cevaplayınız? Ücretlerin standart sapmasından hareketle

regresyonunu elde ediniz.

İstihdam

Endüstriler 1-4 arası 5-9 arası 10-19 aras 20-49 arası 50-99 arası 100-249 arası 250-499 arası 500-999 arası 1000-2499 arası

Yemek 2994 3295 3565 3907 4189 4486 4676 4968 5342

Tütün 1721 2057 3336 3320 2980 2848 3072 2969 3822

Tekstil 3600 3657 3674 3437 3340 3334 3225 3163 3168

Elbise 3494 3787 3533 3215 3030 2834 2750 2967 3453

Kağıt 3498 3847 3913 4135 4445 4885 5132 5342 5326

Yayın 3611 4206 4695 5083 5301 5269 5182 5395 5552

Kimya 3875 4660 4930 5005 5114 5248 5630 5870 5876

Petrol 4616 5181 5317 5337 5421 5710 6316 6455 6347

Plastik 3538 3984 4014 4287 4221 4539 4721 4905 5481

Deri 3016 3196 3149 3317 3414 3254 3177 3346 4067

Ortalama Ücret 3396 3787 4013 4014 4146 4241 4387 4538 4843

Standart Sapma 743.7 851.4 727.8 805.06 929.9 1080.6 1243.2 1307.7 1112.5

Ortalama Verimlilik 9355 8584 7962 8275 8389 9418 9795 10281 11750

13 / 13



2003.


Press, 1993.










10. HAFTA

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI

2 / 11

İÇİNDEKİLER

Özet v.

10. Çoklu doğrusal bağlantı

10.1 Çoklu doğrusal bağlantının sebepleri

10.2. Çoklu doğrusal bağlantının dereceleri

10.3. Çoklu doğrusal bağlantının sonuçları

10.4. Çoklu doğrusal bağlantının tespiti

Sorular xvi.

Kaynakça xvii.

3 / 11

ÖZET

Bu bölümde, çoklu doğrusal bağlantının tanımı, sebepleri, dereceleri ile tespit etme

yöntemleri anlatılacaktır.

4 / 11

10. Çoklu Doğrusal Bağlantı

10. Çoklu doğrusal bağlantı

Klasik doğrusal regresyon modellinde yer alan 2 veya daha fazla bağımsız değişkenin

doğrusal bağlantılı olmadığı varsayılmıştır. Bundan bir sapma olduğunda diğer bir ifade ile

bağımsız değişkenler arasında doğrusal bir bağlantının varlığı çoklu doğrusal bağlantı

problemini göstermektedir. Çoklu doğrusal bağlantı 2 değişken arasında olabileceği gibi 3, 4

ve ya daha fazla değişken arasında olabilir. Çünkü iktisadi değişkenler hep aynı şeylerden

etkilenmektedir.

0 1 1 2 2 .......i k kY X X X uβ β β β= + + + + +

Böyle bir modelde tam çoklu doğrusal bağlantı olma koşulu;

0 0 1 1 2 2 ....... 0k kX X Xλ β λ λ λ+ + + + = ile mümkündür. 0’dan k’ya kadar olan değişkenleri öyle

sayılarla çarpalım ve toplayalım ki toplam 0 olsun. Bu şart gerçekleşiyorsa modelde tam

çoklu doğrusal bağlantı vardır. ( 0 1 2 ....... 0kλ λ λ λ≠ ≠ ≠ + ≠ )

0 1 1 2 2i i i iY X X uβ β β= + + + modelinde kullanılan bağımsız değişkenlerin değerleri aşağıda

verilmiştir.

X1 X2 10 50 15 75 18 90 24 120 30 150

1 10 50

1 15 75

1 18 90

1 24 120

1 30 150

X

=

1ˆ ( ' ) 'X X X Yβ −=

Anlaşılacağı gibi değişkenler arasında bir ilişki söz konusudur.

5 / 11

2 1

2 15

X X

X X

α==

Burada olduğu gibi 2 değişken birbiri ile tam ilişkili ise çoklu doğrusal bağlantı söz

konusudur. Bu tam çoklu doğrusal bağlantıdır.

12 1r = : 2 değişken arasında korelasyon katsayısı 1’e eşittir. Böyle bir durumda β ’leri

bulamayız. Çünkü ( ' )X X matrisinin determinantı 0’dır. Bu nedenle tersini alamayız. Buna

bağlı olarak da β ’lar tahmin edilemez.

Çoklu doğrusal bağlantı şüphesiz zaman serilerinde ortaya çıkar ama kesit verilerinde de

ortaya çıkabilir. Büyük bir işletmenin de küçük bir işletmenin de üretimleri kullanılan emek

ve sermayeye bağlıdır. Büyük işletme daha çok emek ve sermaye kullanır. İşletme büyüdükçe

sermaye ve emek de büyür. Bu kesit verisi olmasına rağmen sermaye ve emek arasında ilişki

söz konusudur.

Çoklu doğrusal bağlantı iki yönü ile otokorelasyon ve heteroskedasiteden farklıdır:

- Basit bir regresyon modelinde otokorelasyon da olabilir, heteroskedasite de olabilir

fakat çoklu doğrusal bağlantı söz konusu değildir. Diğer bir ifade ile otokorelasyon ve

heteroskedasite basit ve çoklu regresyon modelleri ile ilgili olduğu halde çoklu doğrusal

bağlantı sadece çok değişkenli regresyon modellerine özgüdür.

- Otokorelasyon ve heteroskedasite anakütle ile ilgilidir. Çoklu doğrusal bağlantı ise

örnekle ilgili bir sorundur. Yani çoklu doğrusal bağlantı istatistiksel bir problem olmayıp

verilerdeki yetersizliklerden meydana gelmektedir. Ele alınan dönemde 2 ve ya daha fazla

değişken birlikte değişme eğiliminde olabilir. Çoklu doğrusal bağlantıdan kurtulmanın bir

yolu da gözlem sayısını arttırmaktır.

10.1. Çoklu doğrusal bağlantının sebepleri

Çoklu doğrusal bağlantıya sebep olan unsurlar aşağıdaki sıralanmaktadır:

1) Modelde yer alan bağımsız değişkenlerin aynı trende sahip olmaları:

6 / 11

İktisadi değişkenlerin zaman içinde birlikte değişme eğilimleri vardır. Çünkü genellikle aynı

unsurlardan etkilenirler. Dolayısıyla herhangi bir iktisadi olay sonucunda iktisadi değişkenler

gecikmeli de olsa aynı davranış kalıbı içinde değişiklik gösterirler. Ör: İktisadi gelişme

dönemlerinde gelir, tüketim, istihdam ve yatırımlar artma eğilimindedir. Daralma

dönemlerinde ise bu değişimin tersi bir davranış kalıbına girerler. Zaman serilerindeki

büyüme ve genel eğilim çoklu doğrusal bağlantının en önemli nedenlerindendir.

2) Veri tabanının yeteri kadar geniş tutulmaması nedeniyle bazı bağımsız değişkenlerin

beraberce değişmeleri

3) Modelde bağımsız değişkenlerin trend etkisine tabi olan bir gecikmeli değişkenin

bulunması

0 1 2 1t t tC Y Yβ β β −= + +

Aynı trende sahip gelir değişkenlerinin arasında çoklu doğrusal bağlantı söz konusudur.

10.2. Çoklu doğrusal bağlantının dereceleri

i-Değişkenler arasında kuvvetli bir ilişkinin olması

0 1 1 2 2 .......i k kY X X X uβ β β β= + + + + + , 1X ve 2X arasında kuvvetli bir çoklu doğrusal

bağlantı varsa 12r 1’ yakın bir değerdir. Modeli EKK yöntemiyle çözdüğümüzü düşünelim.

11

ˆ Y

Xβ ∂

=∂

, 22

ˆ Y

Xβ ∂

=∂

İki değişken arasında böyle 1’e yakın çoklu doğrusal bağlantı varsa EKK yöntemiyle tahmin

edilen 1β ve 2β güvenilir olmayacaktır. 1β sadece 1X ’in değil 2X ’nin de kendine yüklediği

görevi ifade edecektir.

ii-Tam çoklu doğrusal bağlantı

Modelde tam çoklu doğrusal bağlantı varsa yani 2 değişken arasındaki basit korelasyon

katsayısı 1’ eşitse daha önce de ifade edildiği gibi ( ' )X X matrisinin determinantı 0 olacaktır.

Tam çoklu doğrusal bağlantı demek ( ' )X X matrisinde 2 ve ya daha fazla vektörün birbiri ile

7 / 11

doğrusal olarak bağlantılı olması demektir. Matris-determinant ilişkisine göre 2 vektörü

birbiri ile ilişkili olan bir matrisin determinantı 0’dır ve dolayısıyla tersi alınamaz. Böylece

modelin parametreleri tahmin edilemez. Eğer modelde tam değil fakat kuvvetli bir çoklu

doğrusal bağlantı varsa bu durumda determinant 0’a yaklaşacak ve ( ' )X X matrisinin

elemanları çok büyük değer alacaktır. Bunun sonucu ise Varyans-kovaryans matrisindeki

elemanları büyümesidir.

0

1

2

( )

( )

( )

Var

Var kov Var

Var

ββ

β

− =

2 1ˆ( ) ( ' )Var Kov X Xβ σ −− =

Varyanslarda meydana gelecek büyüme dolayısıyla standart hatalar da büyüyecektir. Böylece

hesaplanmış t hesap değeri küçülecektir. Aslında bir bağımsız değişken, bağımlı değişken

üzerinde çok etkili olabilir ama t testleri sonucu anlamsız çıkabilmektedir.

iii.Değişkenler arasında ilişki olmaması

2 bağımsız değişken arasında ilişki yoksa korelasyon katsayısı 0’dır. Korelasyon katsayısının

0 olması, kovaryansın 0 olması durumunda mümkündür. Eğer modelde çoklu doğrusal

bağlantı yoksa ( ' )X X matrisi diyagonel bir karaktere sahiptir.

1

2

3

0 0

( ' ) 0 0

0 0

X X

σσ

σ

=

1

12

3

1 0 0

( ' ) 0 1 0

0 0 1

X X

σσ

σ

−

=

Böyle bir model; kovaryansız homoskedasite ve ya heteroskedasite özelliğine sahiptir.

10.3. Çoklu doğrusal bağlantının sonuçları

-Regresyon denklemindeki parametrelerin değerlerinin belirsiz olması

-Parametrelerin varyanslarının ve dolayısıyla güven aralıklarının büyümesi

8 / 11

-Hesaplanan t hesap değerlerinin küçülmesi

-R2’nin olduğundan fazla büyümesi

-Tahmin edilen parametrelerin ve standart hatalarının verilerdeki küçük değişikliklerden

önemli derecede etkilenmesi

0 1 1 2 2 3 3

1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆY=β +β X +β X +β Xˆ ˆ ˆ Se(β ) Se(β ) Se(β )

Modelinden R2 hesaplanmış olsun ve F testinde bütün parametreler 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,β β β birlikte test

edildiğinde anlamlı çıkarken, t testi ile parametreler tek tek test edildiğinde anlamsız

çıkabilirler. Bu durum tipik bir çoklu doğrusal bağlantı örneğidir. Tahmin edilen parametreler

hakkında 0.05α = önem derecesi ile yapılan F ve t testleri önemli bir bilgi vermektedir.

Modelde yer alan bağımsız değişkenlerin topluca bağımlı değişken üzerinde etkili olup

olmadığını gösteren F testinin olumlu sonuç vermesi R2’nin güvenilir olduğunun bir

göstergesidir. Buna karşılık değişkenlerin Y üzerindeki etkisini tek tek test eden t testi

sonuçları olumsuzsa, bu durumda modelde çoklu doğrusal bağlantıdan şüphe edilir. Çoklu

doğrusal bağlantı durumunda tahmin edilen parametrelerin standart hataları büyüktür fakat

tahmin edilen parametreler eğilimsizdirler.

10.4. Çoklu doğrusal bağlantının tespiti

1- Modelde çok yüksek bir R2 hesaplandığı halde regresyon modelindeki parametrelere

uygulanan t testlerinin anlamsız sonuç vermesi çoklu doğrusal bağlantının en belirgin

özelliğidir. R2değeri büyük olduğundan F testi olumlu sonuç verecektir.

2- Çoklu doğrusal bağlantının derecesinin tespitinde diğer bir yol ( ' )X X matrisinin

determinantının hesaplanmasıdır. ' 0X X = ise tam çoklu doğrusal bağlantı vardır ve β ’lar

hesaplanamaz. ' 0X X ’a yaklaşırsa kuvvetli bir çoklu doğrusal bağlantı halini ifade

etmektedir.

3- 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + modelinde yer alan değişkenler arasındaki basit korelasyon

katsayılarına bakarak da çoklu doğrusal bağlantının olup olmadığı konusunda fikir

sağlanabilir.

9 / 11

rY1=Bağımlı değişken ile 1. bağımsız değişken arasındaki korelasyon katsayısı,

rY2=Bağımlı değişken ile 2. bağımsız değişken arasındaki korelasyon katsayısı,

r12=2 bağımsız değişken arasındaki korelasyon katsayısı olduğunda

r12>rY1ver12>rY2 ise 1X ve 2X arasında çoklu doğrusal bağlantı vardır.

4- Belirginlik katsayısının kullanılması: Modelden bir bağımsız değişken çıkarıldığında R2çok

az değişiyorsa çoklu doğrusal bağlantıdan şüphelenilir.

5- Varyans büyütme faktörü (VİF): Varyans büyütme faktörü kullanılarak parametre

tahminlerinin ve varyanslarının çoklu doğrusal bağlantı nedeniyle gerçek değerinden ne kadar

uzaklaştığı belirlenmektedir.

r12= 1X ve 2X arasındaki basit korelasyon katsayısı.

12

1

1VİF

r=

−olarak hesaplanmaktadır.

r12=0 ise VİF=1 1X ve 2X arasında ilişki yoktur.

r12=1 ise VİF=∞ 1X ve 2X arasında ilişki vardır.

Bunu daha fazla geliştirebiliriz. Elimizde k tane bağımsız değişken varsa, k tane de R2 vardır.

Buna göre de k tane varyans büyütme faktörü (VİF) hesaplanır.

1 2

2. , ...

1

1i kX X X X

VİFR

=−

5var .

10

VİFçoklu doğrusal bağlantı dır

VİF>

>

Çoklu doğrusal bağlantı arttıkça, VİF faktörü büyümektedir.

10 / 11

SORULAR

1. Çoklu doğrusal bağlantı nedir?

2. Çoklu doğrusal bağlantı hangi yönleriyle otokorelasyon ve heteroskedasiteden

ayrılmaktadır?

3. Çoklu doğrusal bağlantının sebepleri nelerdir?

4. Değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı olması halinde parametrelerin niçin

tahmin edilemediğini anlatınız.

5. Çoklu doğrusal bağlantıyı tespit etme yöntemleri nelerdir?

6. Aralarındaki basit korelasyon katsayısı 0.33 olan iki değişken arasında çoklu doğrusal

bağlantı olup olmadığını araştırınız.

11 / 11



2003.


Press, 1993.










11. HAFTA

SPESİFİKASYON HATALARI

2 / 16

İÇİNDEKİLER

Özet v.

11. Spesifikasyon Hataları 6

11.1. Ekonometrik bir modelin spesifikasyonu 6

11.1.1. Modelin büyüklüğü ile ilgili hatalar 6

11.1.2. Modelin matematiksel kalıbı ile ilgili hatalar 8

11.1.3. Ölçme hataları 13

Sorular xv.

Kaynakça xvii.

3 / 16

ÖZET

Bu kısımda, ekonometrik bir model oluştururken bilerek ya da bilmeyerek yapmış

olduğumuz model kurma hataları incelenecektir. Söz konusu hatalara ne şekilde düşülebileceği

üzerinde durulacak ve tespit etme yöntemlerine değinilecektir.

4 / 16

11. Spesifikasyon Hataları

11.1. Ekonometrik bir modelin spesifikasyonu

Spesifikasyon hataları 3 şekilde karşımıza çıkmaktadır.

11.1.1. Modelin büyüklüğü ile ilgili hatalar

Modelin büyüklüğü ile ilgili olan hatalarda modele gereksiz bir değişken ilave edilmiş olabilir

ya da model üzerinde etkisi olan gerekli bir değişken dışlanmış olabilir.

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + şeklinde olması gereken bir modelde bilerek yada bilmeyerek 2X

değişkenini model dışında bıraktığımızı ve

0 1 1ˆ ˆY X eα α= + +

olarak tahmin ettiğimizi düşünelim. 1X ve 2X arasında bir bağlantı ve 2X ’yi model dışında

bırakmışsak 2. regresyon denklemindeki 1X ; 2X ’nin etkisini de göstermektedir. 0α ve 1α

eğilimlidir. Çünkü 1X , 2X ’nin de etkisini üstlenecektir ve 1α ’nin beklenen değeri 1β ’e eşit

olmayacaktır.

0 0ˆˆ( )E α β≠ , 1 1

ˆ( )E α β≠

Böyle bir durumda gözlem sayısı artmış olsa dahi eğilimlilik giderilemez, düzeltilemez.

r12=0 ise bu durumda 1α eğilimsizdir fakat 0α eğilimlidir. Bir değişkeni model dışında

bırakırsak bundan dolayı anakütle hata terimi varyansı da yanlış tahmin edilmektedir.

2ˆˆ

u

n kσ =

−∑

Model dışında bırakılan değişken hem 2u∑ ’nin hem de (n-k) değerinin yanlış belirlenmesine

sebep olmaktadır.

2

1 21 12

ˆˆ( )(1 )

Sex r

σβ =−∑

, 2

1 21

ˆˆ( )Se

x

σα =∑

5 / 16

Modelde dışlanmış bir değişken varsa tahmin edilen 1α ’in varyansı dolayısıyla standart hataları

eğilimlidir. Yani 1β ’in standart hatasından farklıdır. Standart hataların kullanıldığı hipotez

testleri ve güven aralıkları yanıltıcı sonuçlar vermektedir. Çünkü kalıntıların kareleri toplamı

ve serbestlik dereceleri farklı olmaktadır. Özetlemek gerekirse, modelde dışlanmış bir değişken

olması dolayısıyla tahmin edilen parametreler eğilimli ve tutarsız olmaktadır. 2u∑ ve(n-k)

serbestlik derecesi yanlış belirlendiğinden anakütle hata terimi varyansı da yanlış tahmin

edilmektedir. Güven aralıkları ve hipotez testleri yanıltıcıdır. Az değişkenle tahmin edilmiş

küçük modelin standart hataları daha büyük olmaktadır.

Bunun yanı sıra modele gereksiz bir değişken eklenmesi durumu da spesikasyon hatasına sebep

olmaktadır.

0 1 1ˆ ˆY X eα α= + + şeklinde oluşturulması gereken bir modele gereksiz bir değişken ilave edip;

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + modelini tahmin etmiş olabiliriz. Bu durumda tahmin edilen

parametreler eğilimsiz ve tutarlıdır.

0 0ˆˆ( )E α β= , 1 1

ˆ( )E α β=

Anakütle hata terimi varyansı doğru tahmin edilmiştir. Güven aralıkları ve hipotez testleri

güvenilirdir. Fakat 2. modelin varyansları dolayısıyla standart hataları 1. modelden daha

büyüktür.

1 1

1 1

ˆˆ( ) ( )

ˆˆ( ) ( )

Var Var

Se Se

α β

α β

>

>

Modele gereksiz bir değişken ilave edildiğinde söz konusu değişkenin anlamlılığının t testi ile

sınanması gereklidir.

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + şeklinde oluşturulmuş modeli ele alırsak; X2 değişkeninin modelde

yer alıp almamasına karar verebilmek için 2β ’nin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını

araştırmalıyız.

6 / 16

0 2

1 2

ˆ: 0

ˆ: 0

H

H

β

β

=

≠

2β parametresi anlamlı iseX2 değişkenimodelde yer almalıdır. 2β anlamsız iseX2

değişkenimodelde yer almamalıdır.

Örnek 1: Aşağıdaki modelde yer alan X2değişkeninin ilave edilmesinin gerekli olup

olmadığını sınayınız?

21 26955.495 5.22 4.55 0.928

: ( 2.35) (11.39) ( 0.34)

Y X X R

t

= − + − =− −

X2değişkeninin anlamlılığını test etmemiz gerekmektedir.

0 2

1 2

ˆ: 0

ˆ: 0

H

H

β

β

=

≠

(0.05;12)

0.34

2.179

hesapt

t

= −

= ; 0 :hesap tablot t H kabul< ⇒

Modele ilave edilmiş değişken istatistiksel olarak anlamsız çıktığından dolayı X2 değişkeninin

gereksiz bir değişken olduğu söylenebilmektedir.

11.1.2. Modelin matematiksel kalıbı ile ilgili hatalar

Model kurma hatasına sebep olan diğer bir hata türü ise modelin matematiksel kalıbı ile ilgilidir.

Doğrusal olarak kurulması gereken bir modeli;

0 1 1ˆ ˆY X eα α= + +

bilerek ya da bilmeyerek kareli olarak kurduğumuzu düşünelim.

20 1 1 2 1ˆ ˆ ˆY X X vθ θ θ= + + +

Böyle bir durumda da model kurma hatasına düşmüş sayılırız. Böyle bir hataya düşmemek

için değişkenler arasındaki ilişkiye doğru bir şekilde karar vermemiz gerekmektedir.

7 / 16

Dışlanmış değişkenler ve yanlış fonksiyonel kalıp için sınamalar

Düzeltilmiş 2R ( 2R ) değerleri yüksek, t değerleri anlamsız, parametrelerin işaretleri yanlış ve

Durbin Watson istatistiği modelde otokorelasyon olduğunu gösteriyorsa önemli bir değişken

modelden dışlanmıştır ya da modelin matematiksel kalıbı yanlış belirlenmiştir. Bunu sınamak

için kullanılan yöntemler aşağıdaki gibidir.

1-Kalıntıların incelenmesi:

Eğer modelden önemli bir değişken dışlanmış ya da matematiksel kalıp yanlış belirlenmişse

kalıntıların grafiği gelişigüzel dağılmayacaktır yani belirli bir görüntü sergileyecektir.

Kalıntılar 0 ekseni etrafında gelişigüzel dağılmalıdır. Eğer böyle değilse kalıntılar birbiri ile

ilişkili olacak ve otokorelasyon ortaya çıkacaktır.

Örnek: Aşağıda verilmiş iki modelden birinin matematiksel formunun yanlış belirlenmiş

olduğunu düşünelim.

1) 20 1 1 2 1Y X X vα α α= + + +

2) 2 3

0 1 1 2 1 3 1Y X X X eβ β β β= + + + +

Bu modellere ait kalıntılar aşağıdaki gibidir.

8 / 16

1.modelde kalıntılar hem 0’dan farklı değerler izlemekte hem de belli bir görüntü

sergilemektedir. Halbuki istenen durum kalıntıların gelişigüzel dağılmasıdır. 2.modeldeki

kalıntılar ise 0 etrafında rastgele bir dağılım izlemektedir. Böyle bir durumda 2. modelin

matematiksel kalıbının doğru olduğu söylenebilmektedir.

2-Durbin Watson istatistiği:

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + şeklinde tahmin edilmesi gereken bir modeli gerekli bir değişkeni

dışlayarak;

0 1 1ˆ ˆY X eα α= + +

şeklinde kurmuş olabiliriz. Model kurma hatası olup olmadığını tespit etmek için daha önce

otokorelasyonun test edilmesi yöntemlerinde anlatılmış olan Durbin-Watson testi ile sınamak

mümkündür. Bunun için takip edilmesi gereken aşamalar aşağıdaki gibidir:

- 2.model tahmin edilir ve kalıntıları hesaplanır.

- Hata terimleri X2 değişkeninin değerlerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır.

Diğer bir ifade ile X2 değişkeni ile kalıntılar birlikte sıralanır.

- Sıralanmış olan bu kalıntılardan hareketle DW istatistiği elde edilir.

21

2

2

1

ˆ ˆ( )

ˆ( )

t n

t t

t

t n

t

t

u u

DW

u

=

-

==

=

-

=å

å

- DW değeri DW tablosuna göre anlamlı ise model yanlış kurulmuştur.

0

1

:

:

H Model doğru kurulmuşturH Model yanlış kurulmuştur

9 / 16

Örnek:

20 1 1 2 1 modY X X v Kısıtlı elα α α= + + + →

2 30 1 1 2 1 3 1 modY X X X e Kısıtsız elβ β β β= + + + + →

Öncelikle kısıtlı modeli EKK ile tahmin ediyoruz.

21 1

2

222.383 8.02 2.54 10

: (9.468) ( 0.818) (2.925) 0.92

Y X X n

t R

= − + =

− =

1X ve 21X değerleri yerine koyulup Y değerleri elde edilir. ˆ( )Y Y− ’den de kalıntılar elde edilir.

Kalıntılar modelden dışlanmış olan 31X değişken değerlerine göre sıralanır. Sıralanmış olan

kalıntılar kullanılarak DW istatistiği hesaplanır.

0.67DW =

0

1

:

:


Modelde pozitif otokorelasyonun bulunması 0H hipotezinin reddedildiğini göstermektedir.

Dolayısıyla model kurma hatası söz konusudur.

3-Ramsey-Reset testi:

Model kurma hatasının olup olmadığını test etmek için kullanılan bir diğer yöntem Ramsey-

Reset testidir. Testin aşamaları aşağıdaki gibidir:

0 1 1 modY X v Doğrusal elα α= + + →

- Ele alınan model tahmin edilir ve Y değerleri eldeedilir.

- Kalıntıların Y değerlerine göre grafiği çizilir.

10 / 16

Elde edilen bu grafiğe göre Y’nin kareli ve küplü değerleri de modele katılarak yeni bir model

oluşturulur ve tahmin edilir.

Yeni model: 2 30 1 1 2 3Y X Y Y eβ β β β= + + + +

Eski model: 0 1 1Y X vα α= + +

- Yeni eklenen bu yeni değişkenlerin 2R ’yi anlamlı şekilde arttırıp arttırmadığı F

testi ile sınanır.

( )( )

2 2

21

yeni eski

yeni

R R mF

R n k

−=

− −

Buradaki m: yeni ilave edilen bağımsız değişken sayısıdır. n gözlem sayısı olup, k ise yeni

modeldeki parametre sayısını ifade etmektedir.

- 0

1

:

:


Hesaplanan F istatistiği, m ve (n-k) serbestlik dereceli F tablo değerleri ile karşılaştırılır. F

istatistiği kritik değerden büyükse 0H hipotezi reddedilir. Yani model yanlış kurulmuştur.

Örnek:

21166.467 19.93 10 0.84Y X n R= + = =

Model tahmininden elde edilmiş Y değerleri hesaplanmıştır ve Y değerleri ile kalıntıların

grafiği çizilmiştir.

11 / 16

Y’nin kareli ve küplü terimleri modele ilave edilmiştir. Eğer grafik parabol olmuş olsaydı

sadece Y’nin kareli değerlerini ilave etmemiz yeterli olurdu.

Yeni model: 2 3 21

ˆ ˆ2140.72 476.6 0.09 0.001 0.99Y X Y Y R= + − + =

Bu modele F testi uygulanır.

( )( )

( )( )

2 2

(0.05,2,6)2

0.99 0.84 2284.4 , : 5.14

1 0.99 10 41

yeni eski

yeni

R R mF F

R n k

− −= = =

− −− −

F istatistiği anlamlıdır. 0H hipotezi reddedildiğinden dolayı model yanlış kurulmuştur. (1.

model yanlış kurulmuştur, model doğrusal olmamalıdır).

İlişki kimliği rId135 olan görüntü yolu dosyada bulunamadı.

12 / 16

11.1.3. Ölçme hataları

Bağımlı ve bağımsız değişkenlere ait verilerde hesaplama, yuvarlama, ara değer verme vb.

nedenlerle ölçme hataları ile karşılaşılmaktadır.

-Bağımlı değişkende ölçme hataları:

Bu kısımda, bağımlı değişken Y’de herhangi bir nedenle ölçme hatası varsa yani Y , *Y olarak

hesaplanmışsa bunun sonuçlarının ne olacağı üzerinde durulacaktır.

*0 1 1Y X uα α= + +

şeklindeoluşturulmuş bağımlı değişkeninde ölçme hatası olan bir model olduğunu düşünelim.

buna bağlı olarak doğru model;

( )*

*0 1 1

Y

Y X u e Y eα α= + + + = +

olacaktır. Model daha da düzenlenirse;

( )0 1 1

v

Y X u eα α= + + +


13 / 16

haline dönüşecektir. Açıkça anlaşılabileceği gibi bağımlı değişkende bir ölçme hatası

olduğunda bu durum sadece hata terimi etkilemektedir. Hata terimi e kadar büyümektedir.

Bağımlı değişkendeki bu ölçme hatası parametrelerin eğilimsizlik ve tutarlılık özelliklerini

etkilememektedir. Fakat hata teriminin varyansı olduğundan büyük tahmin edilmektedir. Bu

nedenle hesaplanan varyanslar etkin değildir.

-Bağımsız değişkende ölçme hataları:

Modelde yer alan bağımsız değişkenlerde herhangi bir sebeple ölçme hatası olduğunu

düşünelim. Ölçme hatası yapılan bağımsız değişken *X ile gösterilirse;

*X X e= +

*X X e= −

olmaktadır. Buna bağlı olarak model düzenlenirse;

*0 1

0 1

0 1 1

0 1 1

0 1

( )

( )v

Y X u

Y X e u

Y X e u

Y X u e

Y X v

α αα αα α αα α α

α α

= + +

= + − +

= + − +

= + + −

= + +

haline dönüşmektedir. Açıkça görüldüğü gibi 1α ’den dolayıhata terimleri ile bağımsız değişken

ilişkilidir.

( , ) 0KOV X u ≠

Bu da EKK yönteminin önemli bir varsayımını çiğnemektedir. EKK tahmin edicileri hem

eğilimli hem de tutarsız olmaktadır.

14 / 16

SORULAR

1. Model spesifikasyonu ne demektir?

2. Spesifikasyon hataları kaç şekilde karşımıza çıkmaktadır?

3. Model spesifikasyonunun yanlış olduğunu ilk bakışta nasıl anlayabiliriz.

4. Önemli bir değişkenin modelden dışlanmasının meydana getirdiği sonuçlar nelerdir?

5. Tahmin edilen aşağıdaki modelde X2 değişkeninin gerekli bir değişken olup olmadığını

araştırınız. 2

1 20.985 1.33 4.35 0.74

: ( 5.50) (1.33) ( 1.34)

Y X X R

t

= + − =− −

6.Aşağıda matematiksel kalıpları birbirinden farklı olan 2 model oluşturulmuştur.

1) 0 1 1 2 2Y X X vα α α= + + +

2) 2 20 1 1 2 2 3 1 4 2Y X X X X eβ β β β β= + + + + +

Modellerden elde dilen kalıntıların grafiği aşağıdaki gibi ise hangi modelin uygun model olduğu

söylenebilir.

i. 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X uβ β β= + + + şeklinde tahmin edilmesi gereken bir model gerekli bir

değişkeni dışlanarak 0 1 1ˆ ˆY X eα α= + + şeklinde tahmin edilmiştir. Elde edilmiş kalıntıların X2

değişkenine göre sıralanmasından elde edilmiş Durbin-Watson değeri de 1.71 olarak

bulunmuştur. Buna göre modelde spesifikasyon hatası olup olmadığını araştırınız.

ii. 2112.25 1.81 20 0.75Y X n R= + = =

şeklinde tahmin edilmiş bir modelde spesifikasyon hatası olup olmadığını araştırmak amacıyla,

bu modelin Y değerlerinin grafiği incelenmiş ve modele Y değerlerinin karelerinin ilave

edilmesine karar verilmiştir. 2 2

1ˆ5.2 2.7 0.05 0.87Y X Y R= + − =

15 / 16

İlk modelde spesifikasyon hatası olup olmadığını araştırınız.

iii. Bağımlı değişkende bir ölçme hatası olması durumunda sonuçlar nasıl

değişmektedir?

iv. Bağımsız değişkende bir ölçme hatası olması durumunda sonuçlar nasıl

değişmektedir.

16 / 16



2003.


Press, 1993.










12. HAFTA

GÖLGE DEĞİŞKENLER

2 / 17

İÇİNDEKİLER

Özet v.

12. Gölge Değişken Yöntemi 6

Sorular xv.

Kaynakça xvii.

3 / 17

ÖZET

Bu kısımda öncelikle gölge değişkenlerin oluşturulması ve model parametrelerine

etkilerinin belirlenmesi konuları üzerinde durulacaktır.

4 / 17

12. GÖLGE DEĞİŞKENLER

Ekonometrik modellerde kullanılan değişkenler ölçülebilir nicel değişkenler

olabileceği gibi nitel değişkenler de olabilmektedir. Nicel değişkenler süreklilik arz ettikleri

halde nitel değişkenler birden fazla farklı değer alabilen değişkenlerdir. Modelde nitel

değişkenler kullanılması gerekiyorsa gölge değişken yöntemi uygulanmaktadır. Aynı

zamanda, ekonometrik bir modelin kapsadığı dönemde yapısal bir farklılaşma varsa gölge

değişken yöntemini kullanmak yapısal değişimin kaynağını (sabit ve / ve ya eğim) tespit

etmemize yardımcı olacaktır.

0 1i i iY D ub b= + +

şeklinde ifade edilen modelde Yi nicel (sürekli) değişken iken Di sadece 2 değer alabilen nitel

bir değişkendir. Değeri 0 ya da 1 olabilen söz konusu bu değişken aşağıdaki gibi

oluşturulmaktadır.

1

0iDìïïíïïî

Örneğin; modele, cinsiyeti belirten bir gölge değişken ilave edilecekse kadınlar için 1,

erkekler için 0 değeri verilebilmektedir. Bu durumda söz konusu değişkenin aldığı değere

bağlı olarak model yapısı değişmektedir.

0 1

0

( )1 ( )

( )0 i

i

i

E YDE Y

E YD

b b

b

ì = += Şïïíï == Şïî

Gölge değişken yönteminde dikkat edilmesi gereken şey; gölge değişkenler belirlenirken,

mevcut durumun 1 eksiği kadar sayıda gölge değişkenin modele ilave edilmesidir. Örneğin

cinsiyeti ifade eden gölge değişkeni modele ilave ederken kadın ve erkek durumlarından

5 / 17

birinin ele alınması gerekmektedir. Benzer şekilde mevsimleri ifade etmek üzere gölge

değişkenler belirlenirken de mevcut 4 (ilkbahar, yaz, sonbahar, kış) durumun bir eksiği kadar

yani (4-1)=3 tane gölge değişken modele ilave edilmelidir.

Tahmin edilen modellerin sabitinde ve / veya eğiminde meydana gelebilecek

değişmelere göre farklı durumlar ele alınabilmektedir:

1.Durum: Modelin eğiminin değişmediği fakat sadece sabitin değiştiği durum

0 1 1 2i i iY X D ub b b= + + +

Bu modelde Yi ve Xi nicel değişkenleri, Di ise 1 ve 0 değerlerini alan nitel bir değişkeni

ifade etmektedir.

0 2 1

0 1

( | D 1) ( )

( | D 0)i i i i i

i i i i i

E Y X Y X

E Y X Y X

b b b

b b

= = = + +

= = = +

Yukarıdaki iki modelde eğimler aynıdır fakat sabitler farklı değerler almaktadır. Bu durumu

şeklen aşağıdaki gibi görselleştirmek mümkündür.

6 / 17

2.Durum: Regresyon sabitinin değişmediği fakat eğimin değiştiği durum

0 1 2 ( )i i i i iY X X D ub b b= + + +

ile ifade edilen modelde Xi değişkeni ile Di değişkeni çarpımsal olarak modelde yer

almaktadır.

0 1 2

0 1

( | D 1) ( )

( | D 0)i i i i i

i i i i i

E Y X Y X

E Y X Y X

b b b

b b

= = = + +

= = = +

Dikkat edileceği gibi yukarıdaki 2 modelin sabitleri aynı olmasına rağmen eğimleri farklıdır.

Aşağıdaki şekil durumu daha ayrıntılı ifade etmektedir.

3.Durum: Modellerin hem eğimlerinin hem de sabitlerinin değiştiği durum

0 1 2 3( )i i i i i iY X D X D ub b b b= + + + +

ile ifade edilen model gölge değişkenin alacağı değerlere göre 2 farklı fonksiyonel forma

dönüşecektir.

7 / 17

0 2 1 3

0 1

( | D 1) ( ) ( )

( | D 0)i i i i i

i i i i i

E Y X Y X

E Y X Y X

b b b b

b b

= = = + + +

= = = +

Şekilden de anlaşılacağı gibi söz konusu modellerin hem sabitleri hem de eğimleri birbirinden farklıdır.

8 / 17


9 / 17


10 / 17

11 / 17


12 / 17


13 / 17


14 / 17

15 / 17

SORULAR

1. Nitel değişkenleri nicel değişkenlerden ayıran özellik hangisidir?

2. Gölge değişken yöntemi ile yapısal değişimin araştırılmasının Chow testine göre avantajı nedir?

3. 0 1 2 ( )i i i i iY X X D ub b b= + + + ile ifade edilen modelde gölge değişkenin aldığı değerlere göre (Di=0, Di=1) model yapısında meydana gelen değişmenin nereden kaynaklandığını açıklayınız.

4. ile ifade edilen modelde gölge değişkenin aldığı değerlere göre (Di=0, Di=1) model yapısında meydana gelen değişmeleri şekil yardımıyla açıklayınız.

5. Bir modele mevsimleri ifade etmek üzere ilave edilecek gölge değişkenleri oluşturunuz.

16 / 17

17 / 17

KAYNAKÇA



2003.


Press, 1993.










13. HAFTA

EŞ-ANLI DENKLEMLER-I

2 / 19

İÇİNDEKİLER

Özet v.

13. EŞ-ANLI DENKLEMLER-I 6

Sorular xv.

Kaynakça xvii.

3 / 19

ÖZET

Bu kısımda eşanlı denklem modelleri incelenecektir. Özellikle eşanlı denklem

modellerinin nitelikleri, tahmin edilişleri, bunlara ilişkin bazı istatistiki sorunlar tartışılacaktır.

4 / 19

13. EŞ ANLI DENKLEMLER-I

5 / 19

6 / 19

7 / 19

8 / 19

9 / 19

10 / 19

11 / 19

EŞANLI DENKLEMLER İÇİN ÖRNEKLER

A) Birbirinden bağımsız görünen denklemler grubu

Sınai mamüllerin talebini gösteren bir model,

1 0 1 1 2 2 1

2 0 1 1 2 2 2

3 0 1 1 2 2 3

Y W W

Y W W

Y W W

β β β εδ δ δ ελ λ λ ε

= + + +

= + + +

= + + +

12 / 19

1

2

3

1., 2.,3. mallara ilişkin talepY

Y

Y

1 2, talebi etkileyen bağımsız değişkenlerW W

1

2

3

εε 1.,2.,3. mallara ilişkin talepε

şeklindedir.

Bu modelde 1 2 3ε , ε , ε birbirinden tam bağımsız oldukları, yani aralarında korelasyon bulunmadığı, tam bağımsız üç denklemin biraraya gelmesi olarak düşünülebilir. Bu taktirde her üç denklem ayrı ayrı EKK yöntemi ile çözülerek

0 1 2 0 1 2 0 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆβ , β , β , δ , δ , δ ve λ , λ , λ elde edilecektir.

Eğer 1 2 3ε , ε , ε arasında korelasyon varsa, bu taktirde, eşanlı denklemler sistemi için kullanılan parametre tahmin yöntemlerine ihtiyaç duyulacaktır.

B) Denklemler Sisteminde Tek Yönlü Bağlantı (Hiyerarşik Model)

Ekonometrik model, bazı hallerde tam eşanlı görünümde olmakla beraber değişkenler arası ilişki iki yönlü değil tek yönlüde olabilmektedir.

1 0 3 1 4 2 1

2 0 1 1 3 1 4 2 2

3 0 1 1 2 2 3 1 4 2 3

+

Y Q Q

Y Y Q Q

Y Y Y Q Q

π π π εδ δ δ π ελ λ λ λ λ ε

= + + +

= + + + + +

= + + + + +

Bu denklemler sistemi, Q karakteri ile yukarıdan aşağıya doğru denklemlere akan bir etkiye sahiptir. Zira Y1, Y2, Y3’ü tayin edilmesi nokasında, Y2 ile Y3, Y1’in tayininde rol oynamaktadır. Benzer şekilde Y2, Y3 ‘ü tayin etmekte fakat tersi söz konusu değildir. Özetle,

1 2 2 3 ve Y Y Y Y→ → doğrudur.

13 / 19

Bu özelliklere sahip bir modelin ekonometrik uygulamaya aktarılmasında üzerinde durulacak önemli noktalar,

1) 1 2 3, ve Y Y Y bağımlı değişkenler, Q1 ve Q2 tam bağımsız değişkenlerdir. 2) Q karakteri ile bağımlı olan değişkenler birbiriyle ilişkilidir. Fakat bu ilişki tek

yönlüdür. 1 2 3 Y Y Y→ →

Yukarıdan aşağıya doğru denklemler durumunda olan böyle bir modelde, tek tek denklemlere EKK yöntemi uygulanarak parametreler tahmin edilmektedir.

Koşullar

1) Açıklayıcı değişkenler hata payından bağımsızdırlar. Q1 ve Q2 tam bağımsız oldukları için hata terimleri de aralarında korelasyon olmaması gereklidir.

2) Hata terimlerinin kendi aralarında kovaryansları sıfırdır.

Eşanlı Sistemlerin Genelleştirilmiş Biçimi

11 1 1 11 1 1 1

21 1 2 21 1 2 2

1 1 1 1

... ...

... ...

... ...

G G K K

G G K K

G GG G G GK K G

a Y a Y X X

a Y a Y X X

a Y a Y X X

β β εβ β ε

β β ε

+ + + + + =

+ + + + + =

+ + + + + =

sayıda bağımlı değişkensayıda bağımsız değişken

sayıda denklemsayıda hata payı

G

K

G

G

1 11

2 22, X= ,

G GK

AY BX

Y X

Y XY

Y X

εεε

ε

ε

+ =

= =

14 / 19

11 12 1

21 22 2

1 2

G

G

G G GG G G

a a a

a a aA

a a a×

=

11 12 1

21 22 2

1 2

K

K

G G GK G K

B

β β ββ β β

β β β×

=

Eş-anlı Modellerde Yapısal ve Daraltılmış Biçim

11 12 1 1 11 12 1 11

21 22 2 2 21 22 2 22

1 2 1 2 11 1

Yapısal biçim

+

G K

G K

G G GG G G G GK GK KG G G G K G

AY BX

a a a Y X

a a a Y X

a a a Y X

εβ β β εβ β β ε

β β β ε×× × × ×

+ = →

=

Bu model,özü ile sistemin Yapısal Biçimidir. Bu yapısal biçim içinde G sayıda denklem, her gözlem için ayrı ayrı olmak üzere G sayıda endogen değişkenin değerini birikte tayin ederler.

Burada K sayıda değeri bilinen ile G sayıda hata payı tayin edici rol oynamaktadır.

Stokastik hata payına ait varsayımlar;

1) ( ) 0E ε =

2) Hata teriminin her gözleminden yola çıklarak varyans-kovaryans matrisi,

211 12 1

221 22 2

21 2

var ( ) E( )

G

G

G G

G G GG

kov

σ σ σσ σ σ

ε ε ε

σ σ σ

×

′− = = Σ =

şeklindedir. Bu matris, simetrik bir matristir. Homoskedasite şartı vektör düzeyinde kabul edilmektedir.

3) Bir gözleme ait hata payları vektörü ile başka bir gözleme ait hata payı arasında bir bağlantı, ilişki yoktur.

( ) 0 (i j)i jE ε ε = ≠

15 / 19

Bu, tek denklemli modeller için söz konusu olan otokorelasyon yokluğu varsaymının vektör düzeyinde genelleştirilmesidir. Stokastik hata payları arasında gözlemler itibariyle bir bağlantı bulunmadığı varsayılmışsa da G sayıda denklemin her birinde yer alan hata payları arasında, aynı gözlem için söz konusu olmak üzere, bir bağlantı bir korelasyon bulunabilir. Bu sonuç, eş-anlı denklemlerin karakterini ve çözüm biçimlerini iyi anlamak için özellikle önemlidir. Zira bir denklemler sisteminin denklemlerinin hata payları arasındaki bağlantı, eşanlı modellerin oluştururlar ve bu karakteri dolayısıyla eş-anlı modelin bir sistem olarak çözülmesi, yani eş-anlı çözüm yapılması zorunludur.

4) iε her gözlem için geçerli olmak üzere normal dağılım özelliklerine sahiptir.

Yapısal biçimde bağımlı değişkenlere ait katsayılar matrisinin özellikleri

1) A matrisinin sadece diyagonal elemanları bulunmaktadır.

11

22

0 0

0 0

0 0 nn

a

aA

a

Birbiri ile ilişkisiz gibi gözüken bu denklem sisteminde bağımlı değişkenler denklemlerin solunda yer alır. Ancak denklemlerin hata payları arasında bir bağlantı vardır.

2) A matrisinin üçgen biçiminde olması

11

21 22

1 2

0 0

0

m m mn

a

a aA

a a a

Hiyerarşik model

3) Tam karşılıklı bağlantı var ise,

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

16 / 19

1 1 1

1 1 1

11 1

1

i G G i i

i i i

i i

K

G GK

Y A X B

Y AA X BA A

AA I BA A e

ε

ε

π επ π

ππ π

×

− − −

− − −

= − +

= − +

= − = =

=

1 1 1

i i iY X e

( G ) ( G K )( K ) ( G )

π= +× × × ×

Daraltılmış biçim

1BA π−− =

Özellikleri

1) Bağımlı değişkenler vektörü Yi , Xi ile bağımsız değişkenler vektörü ile ei hata payının bir fonksiyonudur.

2) E(ei)=0 3) ei’nin kovaryansı

1 1

1 1 =

i i i i ivar kov( e ) E( e e ) A E( )A

A A

ε ε− −

− −

′ ′− = =

Σ = Ω

Daraltılmış biçim parametreleri ve Varyans-Kovaryans Matrisinin Önemi

ˆ ,π Ω

1) Eş-anlı sistemin yapısal biçiminin daraltyılmış biçime sokulması, ana modelin parametre tahminine elverişli bir kalıba sokulmasına imkan sağlamış olur.

2) Daraltılmış biçime uygulanan çözüm ve yapılan işlemler sonucunda elde edilen ve π Ω matrisleri yapısal biçim parametreleri A, B, Σ ’un bulunabilmesi için

gereklidir.

17 / 19

Doğrudan doğruya yapısal biçimden tahmin edilen parametreler

- Eğilimli - Tutarsız ve istikrarsız olmaları sonucunu doğurur.

Bunun sebebi, yapısal biçimin ana modelinde özü itibariyle bağımlı sayılan değişkenlerin bazı denklemlerde etkileyici değişken olmalarıdır.

18 / 19

SORULAR

1. Yapısal biçimde bağımlı değişkenlere ait katsayılar matrisinin özelliklerinden bahsediniz.

2. Daraltılmış biçim parametreleri ve Varyans-Kovaryans Matrisinin öneminden bahsediniz.

3. Eş-anlı Modellerde yapısal biçim modeli ile daraltılmış biçim modeli arasındaki farklardan bahsediniz. 4. Yapısal biçimde bağımlı değişkenlere ait katsayılar matrisinin özelliklerinden bahsediniz. 5. Birbirinden bağımsız değişkenler grubu ile hiyerarşik modeller arasındaki farklardan bahsediniz.

19 / 19



2003.


Press, 1993.










14. HAFTA

EŞ-ANLI DENKLEMLER-II

2 / 20

İÇİNDEKİLER

Özet v.

14. EŞ-ANLI DENKLEMLER-II 6

Sorular xv.

Kaynakça xvii.

3 / 20

ÖZET

Bu kısımda eşanlı denklem modellerinin tanımlanması ve tahmin teknikleri üzerinde

durulacaktır.

4 / 20

14. EŞ ANLI DENKLEMLER-II

5 / 20

6 / 20

7 / 20

8 / 20

9 / 20

10 / 20

11 / 20

Rank Koşulu

Rank koşuluna göre , G denklemli bir modelde belli bir denklemin tanımlanabilmesi ancak ve ancak, bu denklemde bulunmayan ama modelin öteki denklemlerinde yer alan değişkenlerin katsayılarından satır, sütun sayısı (G-1) olan, sıfırdan farklı en az bir determinant değerinin oluşturulmasıyla mümkündür.

Rank Koşulunun Yapısal Biçime Uygulanması

1) Modelde bütün denklemlerin parametreleri aynı çizelgede yazılır. Denklemde bulunmayan bir değişkenin parametresi yerine sıfır yazılır.

1. y1=3y2-2x1+x2+u1

2. y2=y3+x3+u3

3. y3=y1-y2-2x3+u3

y1-3y2-0y3+2x1-x2+0.x3=u1

0y1+y2-y3+x1+x2-x3=u2

-y1+y2+y3+x1+x2+2x3=u3

Değişkenler Denklem y1 y2 y3 x1 x2 x3 1 1 -3 0 2 -1 0 2 0 1 -1 0 0 -1 3 -1 1 1 0 0 2

12 / 20

İkinci olarak; Tanımlanması istenen denklemin katsayılar satır çizilir. Örneğin modelin ikinci denkleminin tanımlanması isteniyorsa katsayılar çizildiğinde ikinci satır çizerek çıkarılır.

Üçüncü olarak, incelenen denklem sıfırdan farklı olan sütun çıkartılır.

1 1 2

1 2 1

1 0 0

y x x

− −

4. olarak

Satır-sütun sayısı G-1 olan determinantlar oluşturulup değerler incelenir. Bu determinantlardan hiç olmazsa biri sıfırdan farklıysa denklem tanımlanabilir. Satır-sütun sayısı (G-1) olan bütün determinantlar sıfırsa denklem eksik tanımlanmıştır.

(G-1)=3-1=2 olan 3 tane determinant bulunmaktadır.

1

1 21 ( 2) 1 0

1 0

−∆ = = − − − = + ≠

2

2 10 0 0

0 0

−∆ = = − =

3

1 11 1 2 0

1 0

−∆ = = − − = − ≠

İkinci denklem tanımlanmaktadır.

5. olarak

Denklemin aşırı ya da tam tanımlandığını görmek için sıra koşulu uygulanır.

2. denklem

2 1 M;Denklem Sayısı3>3-1

3>2 aşırı tanımlama

K M> −

13 / 20

Rank Koşulunun Daraltılmış Biçime Uygulanması

G* tane bağımlı değişkenli bir denklem ancak ve ancak, bu denklemde bulunmayan bağımsız değişkenlerin daraltılmış biçim katsayılarından, satır-sütun sayısı G*-1 olan sıfırdan farklı en az bir tane determinant oluşturuluyorsa tanımlanabilir.

I.Aşama: Yapısal model, daraltılmış biçim şekline getirilir.

Yapısal Biçim

y1=3y2-2x1+x2+u1

y2=y3+x3+u3

y3=y1-y2-2x3+u3

Daraltılmış Biçim

11 12 13 3

21 22 23

1 1 2 1

2 1 2

3 1

3 2

31 2 332 33 3

y x x x u

y x x x u

y x x x u

π π ππ π ππ π π

= + + += + + += + + +

II.Aşama: Bütün daraltılmış biçim katsayılarını içeren çizelge çıkartılır.

3

3

1 1 2

2 1 2

3 1 2

4 3

2

2

2

y x x x

y x x x

y x x

= ++

=−−

−=

1 2 3

1

2

3

4 2 3

2 1 1

2 1 0

x x x

y

y

y

−−−

1 2

2

3

2 1

2 1

x x

y

y

−−

14 / 20

III.Aşama: Denklemde yer almayan bağımsız değişkenlerin, daraltılmış biçim katsayılarından oluşan determinantın satır ve sütun sayısı bulunup determinant değeri hesaplanır. Satır- sütun sayısı en büyük sıfırdan farklı determinantın satır-sütun sayısı, G*-1 ise denklem belirlenebilir. Aksi halde belirlenemez.

*

2 10

2 1

2G

−∆ = =

−

=

Sıfırdan farklı en büyük boyutlu determinantın boyutu G*1=1’dir. Dolayısıyla denklem tanımlanabilir.

IV.Aşama: Denklemin aşırı ya da tam tanımlandığını görmek için sıra koşulu uygulanır.

1. denklem

1 1 M;Denklem Sayısı3>3-1

3>2 aşırı tanımlama

K M> −

DOLAYLI EN KÜÇÜK KARELER (DEKK)

Koşul: Tam tanımlama

Yöntem: Yapısal Biçim →Daraltılmış Biçim→Parametre Tahmini→Yapısal Biçimin Parametre Tahmini

Örnek

0 1

Y C I

C Yβ β ε= += + +

0

1 1 1

0 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

Y I

C I

β εβ β β

β β εβ β β

= + +− − −

= + +− − −

0 1

0 2

Y I

C I

π ππ π

= +

= +

15 / 20

12

1

2 1 1

21

2

ˆ1

ˆ (1 )

ˆˆˆ1

βπβ

π β βπβπ

=−

− =

=+

00

1

0 1 0

20 0

2

00

2

ˆ1

ˆ (1 )

ˆˆ (1 )

ˆ1

ˆˆˆ1

βπβ

π β βππ βπ

πβπ

=−

− =

− =+

=+

İKİ AŞAMALI EN KÜÇÜK KARELER(2AEKK)

Aşırı tanımlanmış modellerin tahmini için tek denklem tekniklerinin en önemlisi olarak kabul edilmiştir. 2AEKK yöntemi, EKK yönteminin iki aşamada uygulanmasından başka bir şey değildir.

İlk aşamada daraltılmış biçim denklemlerine EKK uygulanarak bağımlı değişkenlerin ve hata payının bir tahmini elde edilir.

î i iy y v= +

11 1 12 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ...i k ky x x xπ π π= + + +

İkinci aşamadaysa, denklemin sağ yanındaki bağımlı değişkenleri î i iy y v= − tahmin

değerleri ile değiştirilir ve dönüştürülmüş bu denkleme sıradan EKK uygulayarak yapısal parametrelerin tahmini bulunur.

i

i

y =Bağımlı değişkenler (G sayıda)x =Bağımsız değişkenler (K sayıda)β'lar Bağımlı değişkenlerin katsayılarıα'lar Bağımsız değişkenlerin katsayıları

i. yapısal denklem

yi=bi1y1+ bi2y2+…+ biGyG+ai1x1+ ai2x2+…+ aiKxK+ui

İlk aşamada π tahminlerini bulmak için, daraltılmış biçim denklemlerine EKK uygulanır. Daha sonra daraltılmış biçim katsayıları kullanılarak bağımlı değişkenlerin tahmin edilmiş değerler kümesi bulunur.

16 / 20

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

k k

k k

G G G Gk k G

y x x x v

y x x x v

y x x x v

π π ππ π π

π π π

= + + + +

= + + + +

= + + + +

1 2ˆ ˆ ˆ, ,..., Gy y y

İkinci aşamada ise, bu tahmin edilmiş değerler yapısal denklemlerde yerine konularak dönüştürülmüş fonksiyonlar elde edilir.

*1 1 2 2 1 1 2 2

*1 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ

i i i iG G i i iK K i

i i iG G

y b y b y b y a x a x a x u

u u b v b v b v

= + +…+ + + +…+ +

= + + +…+

ÖRNEK

0 1

0 1

t t t

t t

t t

Y C I

C a a Y

I b b r

= +

= +

= +

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 1

1 1

0 1

0 0 10 1 1

1 1

( ) ( )

( )

( )

1 1

( )

1 1

t t t

t t t

t t

t t

t t

Y a a Y b b r

Y a b a Y b r

a b bY r

a a

C a a Y

a b bC a a a r

a a

= + + +

= + + +

+= +

− −= +

+= + +

− −

0 1

1 2

0 1

( )( ) 164

( ) 4

ˆ 60 ( 4)3 72

72 4

t t

t t

Y r

y y r r

r r

y r

Y r

π π

π

π π

= +

− − −= = = −

−

= − = − − =

= −

∑∑

0 1

1 2

0 1

(c )( ) 123

( ) 4

ˆ 55 ( 3)3 64

64 3

t t

t t

C r

c r r

r r

c r

C r

γ γ

γ

γ γ

= +

− − −= = = −

−

= − = − − =

= −

∑∑

17 / 20

18 / 20

SORULAR

1. Tanımlama durumlarından bahsediniz. 2. Eşanlı denklem modellerinin matematiksel, istatistiksel ve eşanlılık özelliklerinden bahsediniz 3. Tanımlama koşulu nedir tartışınız. 4.

5.

Bu modelin daraltılmış biçiminden elde edilen özeli tüketimin kamu harcaması çarpanını bulunuz.

19 / 20

20 / 20



2003.


Press, 1993.










Documents

FAKÜLTE / YÜKSEKOKUL: İKTİSAT FAKÜLTESİauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/ekonometri_ue/...Ahmet Kılıçbay, “Ekonometrinin Temelleri”. İ.Ü. İktisat Fakültesi, İstanbul,