Embed Size (px)
Citation preview
PENDIDIKAN MATEMATIKA SD 1
( Modul )
Oleh:
M. Coesamin
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS LAMPUNG2017
PENDIDIKAN MATEMATIKA SD 1
Materi:
1. Bilangan Bulat dan Bilangan Pecah
a. Bilangan Bulat
b. Bilangan Pecah: Pecahan Biasa, Desimal, dan Persentase
2. Model Matematika
a. Pemodelan Matematika
b. Penyelesaian Model Matematika
3. Pengelolaan data
a. Model-model penyajian data
b. Ukuran pemusatan data
c. Ukuran penyebaran data
4. Geometri Dasar
a. Bangun Datar
b. Bangun Ruang
c. Pengukuran Panjang, Luas, dan Volum
d. Sistem Koordinat
BAB I
BILANGAN BULAT DAN BILANGAN PECAH
A. Bilangan Bulat
1. Pengertian Bilangan Bulat
Sebelum dibahas bilangan bulat, terlebih dahulu perlu diingatkan kembali tentang bilangan
Cacah. Pada bilangan Cacah, operasi penjumlahan bersifat tertutup, maksudnya jumlah dua
bilangan Cacah selalu merpakan bilangan Cacah. Operasi perkalian pada bilangan Cacah
juga bersifat tertutup. Operasi pengurangan pada bilangan Cacah dapat dilakukan hanya jika
besar pengurangnya tidak melebihi besar bilangan yang dikurangi. Masalah timbul ketika
pengurangnya lebih besar dari bilangan yang dikurangi. Tidak ada bilangan Cacah c yang
memenuhi “6 c 4”. Pada operasi pengurangan, tidak ada bilangan Cacah d yang meme-
nuhi “4 6 d”. Jadi operasi pengurangan pada bilangan Cacah bersifat tidak tertutup.
Untuk mengatasi hal ini diperlukan sistem bilangan lain, yang disebut bilangan bulat.
Untuk setiap bilangan Cacah a selain 0 (nol), diciptakan dua simbol, yaitu “+a” dan “-a”.
Selanjutnya “+a” dinamakan ”positip a” dan “-a” disebut ”negatip a”. Dengan demikian ter-
bentuk dua himpunan bilangan, yaitu {+1, +2, +3, +4, +5, …} yang disebut himpunan bilangan
bulat positip dan {-1, -2, -3, -4, -5, …}.yang disebut himpunan bilangan bulat negatip. Dalam
penulisan selanjutnya tanda “+“ pada bilangan bulat positip boleh tidak dicantumkan, sehing-
ga himpunan bilangan bulat positip adalah {1, 2, 3, 4, 5, …}. Penulisan “4” berarti “+4”.
Gabungan himpunan bilangan Cacah dan himpunan bilangan bulat negatip membentuk
himpunan bilangan bulat. Jadi himpunan bilangan bulat terbentuk dari himpunan bilangan
Cacah dan himpunan bilangan bulat negatip. Jika dituliskan secara tabulasi, himpunan
bilangan bulat adalah {…,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3,…}.
2
Berikut adalah kegiatan yang mengilustrasikan bilangan bulat:
Seseorang yang melangkah maju 1 langkah mengilustrasikan bilangan +1.
Seseorang yang melangkah maju 2 langkah mengilustrasikan bilangan +2.
Seseorang yang melangkah maju 3 langkah mengilustrasikan bilangan +3.
Seseorang yang melangkah maju 4 langkah mengilustrasikan bilangan +4.
Seseorang yang melangkah mundur 1 langkah mengilustrasikan bilangan -1.
Seseorang yang melangkah mundur 2 langkah mengilustrasikan bilangan -2.
Seseorang yang melangkah mundur 3 langkah mengilustrasikan bilangan -3.
Seseorang yang melangkah mundur 4 langkah mengilustrasikan bilangan -4.
Himpunan bilangan bulat juga dapat dipandang sebagai gabungan himpunan bilangan bulat
negatip, himpunan bilangan nol, dan himpunan bilangan bulat positip.
B = B- {0}B+
B : Himpunan bilangan bulat
B+ :Himpunan bilangan bulat positip
B- : Himpunan bilangan bulat negatip
Bilangan Cacah yang bukan nol disebut juga bilangan bulat positip atau bilangan asli.
Dengan demikian himpunan bilangan bulat terdiri dari: (a) himpunan bilangan asli, (b)
himpunan bilangan nol, dan (c) himpunan bilangan bulat negatip.
Bilangan bulat dapat digambarkan pada garis bilangan sebagai berikut.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 4 0 dan 4 -4 0
-3 3 0 dan 3 -3 0
-2 2 0 dan 2 -2 0
-1 1 0 dan 1 -1 0
-8 8 0 dan 8 -8 0
-7 7 0 dan 7 -7 0
-6 6 0 dan 6 -6 0
3
Setiap penjumlahan di atas selalu menghasilkan 0 (nol). Dikatakan bahwa:
(a) -4 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 4
(b) -3 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 3
(c) -3 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 3
(d) 8 adalah lawan (invers penjumlahan) dari -8
(e) 7 adalah lawan (invers penjumlahan) dari -7
(f) 6 adalah lawan (invers penjumlahan) dari -6
Lawan dari bilangan bulat positip merupakan bilangan bulat negatip, sebaliknya lawan dari
bilangan bulat negatip adalah bilangan bulat positip. Jarak noktah suatu bilangan bulat
positip ke noktah bilangan nol sama dengan jarak noktah lawan bilangan itu ke noktah
bilangan nol. Jarak -3 ke 0 sama dengan jarak dari 3 ke 0.
Pada bilangan bulat dikenal adanya relasi “sama dengan” dan relasi “urutan”. Jika ada dua
bilangan bulat a dan b, maka berlaku salah satu di antara: (i) a = b, (ii) a < b, atau (iii) a > b.
Sifat ini dinamakan sifat trikhotomi. Pada relasi “sama dengan” berlaku sifat refleksif,
simetris, dan transitif.
(1) Sifat refleksif
a = a, untuk setiap a bilangan bulat.
(2) Sifat Simetris
Jika a = b, maka b = a, untuk sebarang bilangan bulat a dan b.
(3) Sifat Transitif.
Jika a = b dan b = c maka a = c.
Jika a dan b adalah dua bilangan bulat yang berbeda dan pada garis bilangan posisi a di
sebelah kiri posisi b maka dikatakan:
(1) “a kurang dari b” ditulis dengan notasi “a<b”
(2) “ b lebih besar dari a” ditulis dengan notasi “b>a”
Jika tidak menggunakan garis bilangan maka relasi urutan didefinisikan sebagai berikut.
Bilangan bulat a dikatakan kurang dari b atau ”a < b” jika dan hanya jika ada bilangan bulat
positip c sehingga a + b = c.
Contoh: 4 < 7 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 734
4
Bilangan bulat a dikatakan lebih besar dari b atau ”a > b” jika dan hanya jika b lebih kecil
dari a.
Pada sifat urutan bilangan bulat tidak berlaku sifat refleksif dan simetris, tetapi berlaku sifat
transitif (Jika a < b dan b < c maka a < c). Contoh: Jika 4 < 7 dan 7 < 12 maka 4 < 12.
2. Operasi pada bilangan Bulat
Ada tiga operasi dasar (pokok) pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan bulat bersifat tertutup,
sedangkan operasi pembagian pada bilangan bulat tidak tertutup.
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat:
(a) Tertutup
Setiap a dan b bilangan bulat selalu ada bilangan bulat c sehingga a + b = c.
Hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat.
(b) Komutatif (pertukaran)
a + b = b + a, untuk setiap a dan b bilangan bulat.
Jika dua bilangan bulat dijumlahkan maka urutan letak suku-suku penjumlahan tidak
mempengaruhi hasil penjumlahan tersebut.
(c) Asosiatif (pengelompokan)
Jika a, b, dan c bilangan bulat maka (a + b ) + c = a + (b + c)
Dalam menjumlahkan bilangan-bilangan bulat, suku-suku mana-mana saja yang
dijumlahkan lebih dahulu tidak akan mempengaruhi hasil penjumlahan itu.
(d) Ada unsur identitas penjumlahan
Ada bilangan bulat 0 (nol) yang bersifat a + 0 = 0 + a = a untuk setiap bilangan bulat a.
Pada himpunan bilangan bulat terdapat bilangan 0 (nol), dan setiap bilangan bulat yang
diditambah atau ditambahkan dengan 0 (nol) menghasilkan bilangan yang sama dengan
bilangan itu sendiri.
(e) Ada unsur invers penjumlahan
Setiap a bilangan bulat selalu ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0.
5
Dikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan (lawan) dari bilangan a. Biasanya lawan
dari a dilambangkan dengan -a sehingga a + -a = -a + a = 0.
(f) Kanselasi
Jika a + d = b + d maka a = b.
Jika dua bilangan bulat masing-masing ditambah dengan bilangan yang sama dan
menghasilkan bilangan yang sama, maka kedua bilangan semula adalah sama.
Teknik penjumlahan bilangan-bilangan bulat dapat dilakukan melalui pola bilangan. Dibuat
penjumlahan-penjumlahan dua bilangan bulat yang jawaban-jawabannya membentuk pola
sehingga siswa dapat melanjutkan pola itu.
Contoh:
5 + 3 8 8 + 6 14 3 + 5 8 6 + 8 14
4 + 3 7 6 + 6 12 3 + 4 7 6 + 6 12
3 + 3 6 4 + 6 10 3 + 3 6 6 + 4 10
2 + 3 5 2 + 6 8 3 + 2 5 6 + 2 8
1 + 3 4 0 + 6 6 3 + 1 4 6 + 0 6
0 + 3 3 -2 + 6 4 3 + 0 3 6 + -2 4
-1 + 3 2 -4 + 6 2 3 + -1 2 6 + -4 2
-2 + 3 1 -6 + 6 0 3 + -2 1 6 + -6 0
-3 + 3 0 -8 + 6 -2 3 + -3 0 6 + -8 -2
-4 + 3 -1 -10 + 6 -4 3 + -4 -1 6 + -10 -4
-5 + 3 -2 -12 + 6 -6 3 + -5 -2 6 + -12 -6
Pada kelompok penjumlahan pertama dan ketiga, jika diperhatikan hasil-hasil
penjumlahannya maka diperoleh pola bilangan: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2
Pada kelompok penjumlahan kelompok kedua dan keempat, jika diperhatikan hasil-hasil
penjumlahannya maka diperoleh pola bilangan: 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6.
Berdasarkan keadaan tersebut dapat disimpulkan bahwa dalam menjumlahkan dua bilangan
bulat yang berbeda tanda, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
(a) Mula-mula kedua bilangan dianggap positip
(b) Pada langkah pertama tersebut dipilih bilangan yang lebih besar, tanda hasil
penjumlahan mengikuti tanda bilangan yang lebih besar tersebut sesuai dengan bilangan
semula sebelum dianggap positip.
6
(c) Berdasarkan langkah pertama dihitung selisih keduanya. Selisih tersebut ditempatkan
sebagai hasil penjumlahan dengan tanda mengikuti langkah kedua di atas.
Penjumlahan dua bilangan bulat yang bertanda sama menyesuaikan dengan tabel berikut.
+ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-4 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-2 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
4 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh sebagai berikut.
-1 + -4 -5 -3 + -1 -4 -5 + -2 -7
-4 + -5 -9 -2 + -3 -5 2 + 4 6
Selanjutnya penjumlahan dua bilangan bulat yang bertanda sama dilakukan sebagai berikut.
(a) Mula-mula kedua bilangan yang akan dijumlahkan itu dianggap positip
(b) Kedua bilangan yang diperoleh pada langkah pertama itu dijumlahkan.
(c) Hasil pada langkah kedua itu merupakan hasil penjumlahan dengan tanda mengikuti
tanda bilangan-bilangan yang dijumlahkan.
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dapat disajikan pada garis
bilangan. Prinsip yang digunakan untuk memperagakan operasi-operasi tersebut adalah:
(a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah menghadap ke kanan.
7
(b) Bilangan negatip dinyatakan dengan anak panah menghadap ke kiri.
(c) Operasi penjumlahan (+) dinyatakan dengan gerak maju
(d) Operasi pengurangan (–) dinyatakan dengan gerak mundur
Penjumlahan bilangan bulat ba yang diperagakan dengan garis bilangan menggunakanprinsip sebagai berikut.(a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah arah ke kanan, dan bilangan negatip
dinyatakan dengan anak panah arah ke kiri.(b) Anak panah yang mewakili bilangan pertama (yaitu bilangan a) digambarkan dengan
anak panah yang pangkalnya berimpit dengan posisi 0 (nol) pada garis bilangan, danujungnya berada pada posisi yang sesuai bilangan a.
(c) Gerakan operasi dimulai dari ujung anak panah yang menyatakan bilangan a, arahnyamengikuti tanda bilangan b dan. geraknya maju.
(d) Posisi setelah gerakan terakhir menyatakan hasil penjumlahan.Contoh:
(a) 24
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Jadi 24 6
(b) )2(5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Jadi )2(5 3
(c) 34
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Jadi 34 -1
(d) )3(5
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Jadi )3(5 -8
Pengurangan bilangan bulat ba yang diperagakan dengan garis bilangan menggunakanprinsip sebagai berikut.
8(a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah arah ke kanan, dan bilangan negatip
dinyatakan dengan anak panah arah ke kiri.(b) Anak panah yang mewakili bilangan pertama (yaitu bilangan a) digambarkan dengan
anak panah yang pangkalnya berimpit dengan posisi 0 (nol) pada garis bilangan, danujungnya berada pada posisi yang sesuai bilangan a.
(c) Gerakan operasi dimulai dari ujung anak panah yang menyatakan bilangan a, arahnyamengikuti tanda bilangan b dan. geraknya mundur.
(d) Posisi setelah gerakan terakhir menyatakan hasil pengurangan.Selanjutnya perhatikan contoh pengurangan berikut ini.
(a) 53 …
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Jadi 53 -2
Bilangan pertama adalah 3, maka ujung anak panah tepat di atas poisi ”3” pada garis
bilangan. Bilangan kedua adalah 5 (positip) maka anak panah yang kedua menghadap ke
kanan. Operasinya pengurangan, maka panah yang kedua dibuat dengan proses mundur dari
arah anak panah yang kedua. Posisi setelah gerakan terakhir berada pada posisi ”-2”, berarti
53 -2.
Berikut ini adalah contoh pengurangan bilangan bulat positip dengan bilangan bulat negatip.
(b) )4(2 ….
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Jadi )4(2 6.
Pengurangan dengan -4 (negatip) dilakukan dengan membuat anak panah arah ke kiri dan
proses pembuatannya mundur dengan start ujung anak panah pertama. Posisi setelah gerakan
terakhir berada pada posisi ”6”, berarti )4(2 6.
Berdasarkan peoses-proses tersebut dapat disimpulkan bahwa mengurangi dengan suatu
bilangan bulat berarti menjumlahkan dengan lawan bilangan bulat itu. Dengan demikian
kedua pengurangan di atas dpat dikerjakan sebagai penjumlahan seperti berikut.
2)5(353
)4(2 6)4(2 atau )4(2 642
b. Perkalian
9
Pada bilangan Cacah, perkalian dapat dipandang sebagai penjumlahan berulang, seperti
.20555554 Pada perkalian tersebut berlaku sifat komutatif, seperti 4554 .
Perkalian dengan bilangan bulat positip mendasarkan pada penjumlahan berulang sebagai
arti perkalian.
Contoh:
20)5()5()5()5()5(4 .
Perkalian bilangan bulat positip dengan bilangan bulat negatip dilakukan mula-mula dengan
menggunakan sifat komutatif perkalian, kemudian mendasarkan pada arti perkalian sebagai
penjumlahan berulang.
Contoh:
20)4()4()4()4()4(554
Penentuan hasil perkalian dua bilangan bulat negatip dapat ditentukan menggunakan pola
seperti berikut.
10)2(5
8)2(4
6)2(3
4)2(2
2)2(1
0)2(0
2)2(1
4)2(2
6)2(3
8)2(4
Berdasarkan fakta di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali dua bilangan bulat negatip
adalah bilangan bulat positip.
Operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat-sifat berikut.
(1) Tertutup
Setiap bilangan bulat a dan b selalu ada bilangan bulat c sehingga a b = c.
Hasil perkalian dua bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat.
(2) Komutatif (pertukaran)
10
a b = b a, untuk setiap a dan b bilangan bulat.
Jika bilangan bulat dikalikan dengan bilangan bulat maka urutan letak faktor-faktor
perkalian tidak mempengaruhi hasil perkalian tersebut.
(3) Asosiatif (pengelompokan)
Jika a, b, dan c bilangan bulat maka (a b ) c = a (b c)
Dalam perkalian bilangan-bilangan bulat, faktor-faktor mana saja yang dihitung lebih
dahulu tidak akan mempengaruhi hasil perkalian itu.
(4) Sifat penyebaran (distributif) perkalian terhadap penjumlahan dan juga terhadap
pengurangan.
Untuk setiap a, b, dan c bilangan bulat selalu berlaku:
)()()( cabacba .
)()()( cabacba
(5) Ada unsur identitas perkalian
Ada bilangan bulat 1 (satu) yang bersifat a 1 = 1 a = a untuk setiap bilangan
bulat a.
Pada himpunan bilangan bulat terdapat bilangan 1 (satu), dan setiap bilangan bulat
yang dikalikan dengan 1 (satu) menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan itu
sendiri.
(6) Kanselasi
Jika a d b d maka a = b, asal a,b, dan c ketiganya tidak nol.
Jika dua bilangan bulat masing-masing dikalikan dengan bilangan yang sama (selain
nol) menghaslkan bilangan yang sama, maka kedua bilangan semula adalah sama.
Pembagian pada bilangan bulat dapat dijelaskan sebagai berikut.
Jika a dan b adalah bilangan bulat dan b 0, maka a dibagi b, ditulis dengan notasi “ ba : ”
adalah suatu bilangan bulat x, jika ada, yang bersifat b·x a.
Penentuan tanda untuk hasilbagi x perlu dipedomani definisi bahwa xba : jika dan hanya
jika b·x a. Dengan demikian hasilbagi dua bilangan bulat yang keduanya bertanda sama,
jika ada, adalah positip. Hasilbagi dua bilangan bulat yang keduanya berbeda tanda, jika
ada, adalah negatip.
Contoh:
-8:(-2) = 4 karena (-2) 4 = -8
42 : 7 = 6 karena 7 6 = 42
11
-12 : 3 = -4 karena 3 (-4) = -12
15 : (-3) = -5 karena (-3) (-5) = 15
Perlu diperhatikan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Jelaskanlah
mengapa. Bilangan 0 (nol) dibagi dengan bilangan bulat yang tidak nol menghasilkan
bilangan nol. Sedangkan pembagian bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak didefinisikan
(tidak terdefinisi).
B. Bilangan Pecah: Pecahan Biasa, Desimal dan Prosentase
1 Pecahan Biasa
a Konsep Bilangan Pecah
Istilah pecahan (fraction) dapat diartikan sebagai bilangan rasional, tetapi juga dapat
diartikan sebagai lambang bilangan untuk bilangan rasional. Pecahan sebagai bilangan
rasional dinamakan bilangan pecah.
Himpunan bilangan Cacah adalah {0, 1, 2, 3, …}. Operasi penjumlahan dan perkalian pada
bilangan Cacah bersifat tertutup. Hal ini berarti penjumlahan dua bilangan Cacah selalu
menghasilkan suatu bilangan Cacah, dan perkalian dua bilangan Cacah selalu menghasilkan
suatu bilangan Cacah. Di pihak lain, operasi pembagian pada bilangan Cacah tidak bersifat
tertutup, maksudnya hasil pembagian dua bilangan Cacah tidak selalu merupakan bilangan
Cacah.
Berkaitan dengan pembagian pada bilangan Cacah diperlukan bilangan baru sebagai
perluasan bilangan Cacah sehinga operasi pembagian bersifat tertutup pada bilangan baru
itu. Bilangan baru tersebut adalah bilangan pecah. Hasil dari pembagian 3 : 7 = … adalah
bilangan pecah. Ilustrasi berikut berkaitan dengan konsep bilangan pecah.
Sebuah apel dipotong dengan pisau menjadi 3 bagian yang sama. Tiap-tiap bagian apel
masing-masing memberikan gambaran tentang pecahan 1/3. Gabungan dua bagian apel yang
disatukan menggambarkan 2/3. Gabungan 3 apel yang disatukan menggambarkan 3/3.
12
Suatu daerah lingkaran dibagi oleh sebuah diameternya menjadi dua bagian yang sama.
Masing-masing bagian memberikan gambaran tentang pecahan 1/2. Gabungan kedua bagian
tersebut menggambarkan pecahan 2/2.
Gambar 1
Ilustrasi di atas menggambarkan pecahan sebagai suatu bagian dari sebuah benda atau
bagian dari sesuatu yang utuh.
Selanjutnya perhatikan cerita berikut ini.
Gambar 2
Banyak anggota suatu himpunan ada tiga. Yang hitam adalah satu per tiga bagian dari
seluruhnya, dan dilambangkan dengan 1/3. Yang putih adalah dua per tiga bagian dari
seluruhnya, dan dilambangkan dengan 2/3. Ilustrasi di atas menggambarkan pecahan sebagai
partisi atau bagian dari keseluruhan.
Bilangan pecah sebagai perluasan dari bilangan Cacah dapat didefinisikan sebagai berikut.
Bilangan pecah adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan
Cacah a dan ,b lambangnya ditulis dalam bentukb
adengan b ≠ 0.
13
Suatu pecahan didefinisikan sebagai lambang atau nama dari suatu bilangan pecah yang
berbentukb
adengan a dan b nama-nama bilangan Cacah dan b ≠ 0. Dalam hal ini a disebut
pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denumerator). Pecahan yang pembilangnya
satu dinamakan pecahan satuan.
Bilangan pecah yang diberi nama dengan pecahanb
adidefinisikan sebagai suatu nilai x
yang memenuhi a : b = x .
Contoh :
3 : 5 =5
3
2 : 3 = 2/3
1 : 4 = 1/4
b Pecahan Senilai
Pecahan-pecahan yang senilai dapat diperoleh dengan cara pembilang dan penyebut pecahan
yang diketahui dikalikan dengan bilangan yang sama. Cara lain untuk memperoleh pecahan
yang senilai yaitu dengan cara pembilang dan penyebut pecahan yang diketahui dibagi
dengan bilangan yang sama, tentu saja membaginya masih pada batas di mana hasil baginya
merupakan bilangan Cacah.
Gambar 3
14
Pada gambar di atas tampak bahwa 4/16, 2/8, dan 1/4 ditunjukkan oleh daerah yang sama
luasnya.
Pada garis bilangan biasanya suatu pecahan dinyatakan sebagai sebuah titik yang terletak
pada garis bilangan itu. Pecahan-pecahan yang senilai dinyatakan oleh sebuah titik yang
sama. Perhatikan Gambar 4 berikut.
‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗
20
21
22
‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗
40
41
42
43
44
‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
Gambar 4
c Menyederhanakan Pecahan
Pecahan-pecahan tidak berubah nilainya jika pembilang dan penyebut masing-masing dibagi
dengan bilangan yang sama. Agar pembilang dan penyebut masing-masing habis dibagi
dengan bilangan yang sama maka keduanya haruslah mempunyai faktor persekutuan. Jika
pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan (maksudnya selain satu)
berarti tidak dapat diperoleh pecahan senilai hanya dengan membagi dengan bilangan yang
sama. Pecahan yang demikian disebut sebagai pecahan paling sederhana.
15
Jadi pecahan disederhanakan dengan cara pembilang dan penyebut masing-masing dibagi
dengan bilangan yang sama. Jika tidak dapat disederhanakan lagi berarti pecahan itu disebut
pecahan paling sederhana.
31
,52
,43
adalah pecahan-pecahan yang paling sederhana.
128
bukan pecahan paling sederhana sebab 8 dan 12 mempunyai factor persekutuan (selain
1) yaitu 4. Pecahan ini dapat disedehanakan menjadi64
atau32
. Bentuk yang paling
sederhana dari128
adalah32
.
d Pecahan Senama (Sejenis)
Perhatikan pecahan41
,65
, dan127
. Ketiga pecahan tersebut masing-masing penyebutnya
berbeda. Ketiga pecahan tersebut dapat dinyatakan dalam penyebut yang sama, yaitu:123
,
1210
, dan127
karena41
=123
dan65
=1210
. Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama
dikatakan senama.
Berikut adalah contoh pecahan senama.
(a)86
,83
,85
, dan82
(b)123
dan1210
.
Pecahan-pecahan yang senama dapat dibanding-bandingkan satu dengan yang lain
berdasarkan pembilangnya.
Contoh:
125
126
21
31 karena
126
124
16
Dengan demikian pecahan dapat diurutkan berdasarkan nilainya.
21
,31
,43
dapat diurutkan menjadi43
,21
,31
karena129
126
124
.
Pecahan-pecahan yang tak senama dapat diubah bentuknya agar menjadi pecahan yang
senama. Hal ini dilakukan dengan cara masing-masing pecahan diubah bentuknya sehingga
penyebut yang baru adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut
sebelumnya. Dengan demikian pecahan yang tak senama juga dapat diurutkan berdasarkan
nilainya. Pengurutan pecahan juga dapat dilakukan berdasarkan posisinya pada garis
bilangan. Pecahan yang posisinya berada di sebelah kanan (pada garis bilangan) nilainya
lebih besar daripada yang berada di sebelah kiri.
Pecahan43
dan61
tidak senama karena penyebutnya berbeda. KPK(4,6) = 12, sedangkan
43
=3433
=129
dan61
=2621
=122
. Maka kedua pecahan tersebut dapat dinyatakan dalam
pecahan senama sebagai129
dan122
.
e Pecahan Campuran
Pecahan yang telah dibicarakan di atas adalah pecahan dengan pembilang lebih kecil
daripada penyebutnya. Sesuai dengan definisi bilangan pecah, penulisan pecahan dapat
berbentukb
adengan ba . Contoh:
211
,47
,7
19.
47
=4
3
4
4 =
43
1 =43
1
Gambar 5
43
1
17
11 : 2 = 5 sisa 1 maka2
11=
21
5
7 : 4 = 1 sisa 3 maka47
=43
1
19 : 7 = 2 sisa 5 maka7
19=
75
2
Pecahan dengan pembilang lebih besar daripada penyebutnya dapat disederhanakan sehingga
ada bagian bulat dan ada bagian yang tidak bulat. Pecahan yang demikian disebut pecahan
campuran.
f Operasi pada Pecahan
(1) Penjumlahan dan Pengurangan pada Pecahan
Pecahan-pecahan yang senama dapat saling dijumlahkan atau dikurangkan dengan mudah.
Operasi penjumlahan atau pengurangan dilakukan hanya pada pembilangnya saja, sedangkan
penyebiutnya tidak berubah.
Contoh:
73
+72
=7
23=
75
Jika pecahan-pecahan tak senama akan dijumlahkan atau dikurangkan, maka salah satu atau
kedua pecahan itu mula-mula diubah sehingga keduanya menjadi pecahan senama,
kemudian penjumlahan atau pengurangan dapat dilakukan. Perlu diingat bahwa hasil akhir
hendaknya dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.
43
+61
=129
+122
=12
29
=1211
18
(2) Perkalian pada Pecahan
Untuk memahami perkalian pecahan dapat diperhatikan contoh berikut.
Gambar 6
Pada Gambar 6, arsiran mendatar menyatakan pecahan 1/2, dan arsiran vertikal menyatakan
pecahan 1/3. Daerah yang mendapat arsiran mendatar dan juga arsiran vertikal menyatakan
hasil perkalian31
21 .
Ternyata luas daerah tersebut adalah61
.
31
21 dapat diartikan sebagai 1/2 dari 1/3. Jadi yang ada mula-mula
31
. Kemudian31
itu
dibagi dua.
Gambar 7
Aturan dalam penentuan hasil perkalian adalah “pembilang dikalikan dengan pembilang dan
penyebut dikalikan dengan penyebut”.
61
3211
31
21
158
3524
32
54
19
Jika dalam perkalian ada pecahan campuran, maka pecahan tersebut diubah dahulu ke
bentuk pecahan biasa.
1514
35141
314
51
32
451
(3) Pembagian Pecahan
Perhatikan pembagian21
:1 .
Jika satu satuan dibagi menjadi bagian-bagian setengahan maka akan menghasilkan dua
bagian setengahan. Jadi 221
:1
Perhatikan pembagian31
:1 .
Jika satu satuan dibagi menjadi bagian-bagian sepertigaan maka akan menghasilkan tiga
bagian sepertigaan. Jadi 331
:1
Jika satu satuan dibagi menjadi bagian-bagian seperempatan maka akan menghasilkan empat
bagian seperempatan. Jadi 441
:1
20
Berdasarkan tiga kasus di atas tampak bahwa suatu pembagian hasilnya tidak berubah jika
pembaginya dibalik (pembilang dan penyebutnya saling dipertukarkan) dan tanda “:” diganti
dengan tanda “”. Dengan demikian tiga kasus di atas dapat ditulis sebagai berikut.
212
121
12
121
:1
313
131
13
131
:1
414
141
14
141
:1
Prinsip di atas dapat diperluas untuk pembagian dengan pecahan jika bilangan yang dibagi
bukan bilangan bulat, sehingga diperoleh rumus umum sebagai berikut.
b
a:
d
c
c
d
b
a
Contoh:
32
: 75
57
32
=1514
32
: 75
57
32
=1514
2 Desimal dan Prosentase
a. Desimal
Sisitem numerasi yang banyak digunakan dalam matematika adalah sistem nilai tempat.
Berikut adalah contoh sistem nilai tempat.
Lambang bilangan “3746”.
Nilai tempat angka 3 adalah seribu, dan nama tempat angka 3 adalah ribuan.
Nilai tempat angka 7 adalah seratus, dan nama tempat angka 7 adalah ratusan.
Nilai tempat angka 4 adalah sepuluh, dan nama tempat angka 4 adalah puluhan.
Nilai tempat angka 6 adalah satu, dan nama tempat angka 6 adalah satuan.
21
Nilai angka 3 adalah tiga ribu
Bentuk panjang dari lambang 3746 adalah sebagai berikut.
3746 = 16104100710003
3746 = 3000 + 700 + 40 + 6
Perhatikan bahwa nilai tempat untuk 3, 7, 4, dan 6 berturut-turut adalah 1000, 100, 10,1.
Nilai tempat ini dapat dilanjutkan dengan:101
,100
1,
10001
, dan seterusnya. Bagian yang
lebih dari nol dan yang kurang dari nol dibatasi dengan tanda “,” (dibaca “koma”).
3746,825 =1000
15
1001
2101
816104100710003
Angka-angka di sebelah kiri tanda koma menyatakan bagian bulat (bilangan bulat) dan
sebelah kanan menyatakan bagian pecahan.
Pecahan-pecahan satuan dalam bentuk desimal antara lain sebagai berikut.
0,1 yang berarti101
0,01 yang berarti100
1
0,001 yang berarti1000
1
0,0001 yang berarti10000
1
Perhatikan perubahan pecahan desimal ke pecahan biasa berikut.
0,7 =107
0,53 =10053
0,205 =1000205
0,0052 =10000
52
22
0,7219 =100007219
Penulisan angka-angka di belakang koma yang berulang dapat disingkat dengan memberi
tanda ruas garis di atas bagian yang diulang-ulang itu.
1972,0...19197219191919,0
2197,0...2192197219219219,0
Pada prinsipnya pengubahan pecahan biasa ke bentuk desimal dilakukan dengan lebih
dahulu mencari nama lain dari pecahan itu yang penyebutnya sepuluh, seratus, seribu dan
seterusnya sesuai dengan kebutuhannya (membentuk sistem penulisan dengan basis
sepuluh).
Contoh:
(a) Ubahlah21
ke pecahan desimal.
Jawab:
5,0105
5251
21
(b) Ubahlah41
ke pecahan desimal.
Jawab:
25,010025
254251
41
Pengubahan pecahan biasa ke bentuk desimal tidak semua dapat dilakukan dengan cara
seperti tersebut di atas. Cara lain pengubahan pecahan biasa ke bentuk decimal dapat
dilakukan dengan pembagian bersusun. Hal ini akan membantu pengubahan pecahan yang
penyebutnya bukan factor dari sepuluh, seratus, seribu, dan seterusnya. Kadang-kadang
perubahan pecahan biasa ke pecahan decimal tidak ditulis hasilnya dengan tepat, hanya
beberapa angka di belakang koma sesuai dengan yang diinginkan. Simaklah contoh-contoh
berikut.
23
(c) Ubahlah43
ke pecahan desimal.
75,000,34
28
20
20
0
Jadi 75,043
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada pecahan decimal mudah
dilakukan jika digunakan cara bersusun, seperti contoh-contoh berikut.
(a) 0,428 + 0,95 = ….
Jawab:
0,428
0,95 +
1,378
Jadi 0,428 + 0,95 = 1,378
(b) 7,249 – 0,167 = …
Jawab:
7,249
0,167 –
7,082
Jadi 7,249 – 0,167 = 7,082
(c) 0,83 0,7 = …
Jawab:
0,83
0,7
581
000
0,581
Jadi 0,83 0,7 = 0,581
24
(d) 0,4372 : 0,06 = …
Jawab:
0,4372 : 0,06 =100100
06,04372,0
672,43
286,772,436
42
17
12
52
48
40
36
4
Jadi 3,7286,706,0
4372,0 .
b. Prosentase
Bilangan pecah sebagai bagian dari sesuatu yang utuh dapat dinyatakan dengan notasi yang
berkaitan dengan pecahan berpenyebut seratus, yang disebut prosentase atau prosentase dan
dilambangkan dengan “%” . Berikut adalah ilustrasi yang menggambarkan prosentase.
Pak Halim membeli 40 ekor ayam, 30 ekor diantaranya adalah betina. Ada berapa % ayam
betina yang dibeli pak Halim tersebut?
Jawab:
Prosentase banyaknya ayam betina adalah %.75%1004030
Prosentase =seluruhnya
sebagian %100
25
Berikut adalah soal cerita yang berlkaitan dengan prosentase.
Contoh 14
Harga sebuah buku adalah Rp36.000,00. Pembelian 10 buah buku tersebut memperoleh
diskon %20 . Jika pak Halid membeli sepuluh buah buku tersebut, hitunglah:
(a) besarnya diskon dalam rupiah.
(b) Jumlah yang harus dibayar oleh pak Halid.
Jawab:
(a) Harga buku seluruhnya = 10 Rp36.000,00
= Rp360.000,00
Besar diskon = 20% Rp360.000,00
=100
20 Rp360.000,00
= Rp72.000,00
Jadi besarnya diskon adalah Rp72.000,00
(b) Jumlah yang harus dibayar oleh pak Halid = Rp360.000,00 – Rp72.000,00
= Rp288.000,00
BAB II
MODEL MATEMATIKA
A. Pemodelan Matematika
Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari ada yang dapat disusun dalam suatu model
matematik sehingga mudah dicari solusinya. Proses pembentukan model matematika melalui
tahap abstraksi dan idealisasi. Dalam proses ini diterapkan prinsip-prinsip matematika yang
relevan sehingga menghasilkan sebuah model matematika yang diharapkan.
Suatu masalah tampak sederhana apabila dinyatakan secara matematik. Misalnya, harga
suatu barang dipengaruhi oleh biaya pengadaan dalam pembuatannya ( 1x )dan besarnya
biaya transformasi atau pengirimannya ( 2x ). Rumusan unsur-unsur tersebut dapat
dinyatakan bahwa harga barang adalah fungsi dari faktor-faktor 1x dan 2x . Dalam bentuk
model matematik hubungan ini dapat ditulis dengan H = f( 1x , 2x ) atau secara singkat ditulis
M = f (x) , dengan pemahaman bahwa variabel x mewakili variable 1x dan 2x . Bentuk
penulisan tersebut menunjukkan adanya simplikasi (penyederhanaan) cara penulisan
hubungan antara variabel yang satu dengan variabel lainnya. Proses untuk memperoleh
model dari suatu masalah dikatakan pemodelan matematika.
Gagasan yang dinyatakan dalam bentuk fungsi matematika merupakan suatu generalisasi.
Fungsi matematika umumnya menyatakan bagaimana obyek-obyek dalam suatu himpunan
masalah berhubungan satu dengan yang lain. Formulasi hubungan panjang lintasan (S),
kecepatan (v), dan waktu (t) dari suatu benda yang bergerak, misalnya, adalah S = f (v,t) = vt
.
Beberapa hal penting dan perlu agar model yang dibuat sesuai dengan konsep masalah antara
lain: (a) masalah yang dibuat harus dipahami karakteristiknya dengan baik, (b) disusun
27
formulasi modelnya, (c) model itu divalidasi secara cermat, (d) solusi model yang diperoleh
diinterpretasikan, dan (e) diuji kebenarannya.
Pembentukan Model Matematik Sederhana
Dalam masalah yang sifatnya sederhana dapat dipilih strategi pemecahan sebagai berikut.
(a) Baca masalah dengan cermat kemudian tentukan apa yang diketahui, dan apa yang
belum diketahui atau dicari. Tulis dengan lengkap informasi ini.
(b) Gunakan variabel untuk menyatakan apa yang dicari atau ditanyakan.
(c) Konstruksi diagram atau bagan untuk memudahkan atau menentukan hubungan yang ada
antara unsur-unsur dan variabel yang diketahui.
(d) Nyatakan model matematik yang dicari dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan
atau sistem persamaan.
Contoh:
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan selisih panjang dan lebar
sama dengan 5 m. Jika luas tanah 150 2m , formulasikanlah suatu fungsi untuk
menyatakan luas bidang tersebut.
Penyelesaian :
(a) Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang.
Selisih panjang dan lebar sama dengan 5 m.
Luas tanah tersebut 1502m .
Ditanyakan: Formulasi matematik yang menyatakan luas tanah tersebut.
(b) Misalkan panjang tanah adalah x, sehingga lebar bidang tersebut adalah
x– 5. Sedangkan luas bidang adalah 1502m ,
dan luas tanah yang berbentuk persegi panjang ini adalah panjang kali lebar.
(c) Diagramnya adalah
Panjang x
Lebar x – 5
Luas L(x) Panjang kali lebar
(d) Formulasi fungsi untuk luas bidang adalah L(x) = x(x − 5).
28
Luas bidang sama dengan 1502m , maka diperoleh x(x − 5) = 150.
Jadi untuk masalah di atas diperoleh model matematika x(x − 5) = 150.
B. Penyelesaian Model Matematika
Model matematika yang diperoleh dari suatu masalah matematika yang diberikan,
selanjutnya dipecahkan dengan aturan-aturan yang ada untuk memperoleh nilai variabelnya.
Jika nilai variabel telah diperoleh, perlu diuji hasil itu atau dilakukan interpretasi untuk
mengetahui apakah nilai itu valid atau tidak valid. Hasil yang valid akan menjawab secara
tepat model matematikanya. Hasil seperti inilah yang disebut solusi matematika. Jika nilai
variabelnya tidak valid atau tidak memenuhi model matematika maka solusi masalah belum
ditemukan, dan perlu dilakukan pemecahan ulang atas model matematikanya.
Berikut ini diberikan contoh masalah matematika dengan pemodelan beserta
penyelesaiannya.
Harga beras di toko ”MOROTO” Rp6000,00/kg dan harga jagung di toko tersebut
Rp7000,00/kg. Selfiana membeli beras dan jagung di toko tersebut, jumlah berat keduanya
15 kg, dan jumlah yang harus dibayarkan untuk beras dan jagung tersebut adalah
Rp100.000,00. Tentukanlah berapa kg beras yang dibeli Selfiana.
Penyelesaian :
Diketahui harga beras Rp6000,00/kg dan harga jagung Rp7000,00/kg. Jumlah beras dan
jagung yang dibeli = 15 kg. Jumlah yang harus dibayarkan = Rp100.000,00.
Ditanyakan: Jumlah beras yang dibeli Selfiana.
Misalkan berat beras yang dibeli Selfiana adalah x kg,
dan jagung yang dibelinya y kg.
Jumlah berat beras dan jagung 15 kg maka diperoleh persamaan x + y = 15.
Jumlah yang harus dibayarkan = Rp100.000,00 maka diperoleh persamaan
6000 x + 7000 y = 100000
Untuk mempermudah melihat masalah dibuat diagramnya sebagai berikut
BAB III
PENGELOLAAN DATA
Statistika merupakan materi matematika yang banyak diterapkan dalam bidang-bidang lain
maupun dalam kehidupan sehari-hari. Dengan demikian peguasaan terhadap statistika akan
mempermudah seseorang memahami ilmu-ilmu lain maupun dalam memecahkan masalah-
masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatu masalah dinamakan data, Contoh data
misalnya besar uang jajan dari 25 siswa dalam satu kelas dalam rupiah pada tanggal 4 Juni
2010 adalah sebagai berikut.
2000 4000 1500 2000 2500 3500 5000 3000 2000 5000
2500 2500 3000 6000 1000 3000 3500 1500 3500 2500
4000 2500 1500 3000 2000
Data tersebut diperlukan untuk menggambarkan tentang keadaan uang jajan siswa di kelas
tersebut. Nilai terendah adalah 1000 dan tertinggi adalah 6000. Selisih kedua data tersebut
adalah 5000. Selisih nilai tersebut dinamakan jangkauan atau rentang, atau range.
Ukuran Tendensi Sentral
Data tersebut di atas memiliki banyak variasi berdasarkan nilainya. Namun nilai-nilai
tersebut berada pada suatu pusat atau kecenderungan tertentu. Nilai yang menjadi pusat
suatu distribusi disebut ukuran pemusatan atau ukuran tendensi sentral. Jenis-jenis dalam
ukuran tendensi sentral meliputi : modus, median (nilai tengah), dan mean (rerata).
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dibandingkan dengan nilai lainnya dalam
distribusi, artinya dalam serangkaian data, modus merupakan nilai yang memiliki frekuensi
tertinggi. Dalam perhitungan, modus sering disimbolkan dengan ” Mo ”. Jadi pada data di
atas, Mo = 2500.
30
Median adalah nilai yang posisinya di tengah-tengah dari data yang ada setelah nilai-nilai itu
diurutkan. Median sering disimbolkan dengan ” Md ”. Jika data pada contoh di atas
diurutkan, maka diperoleh data yang telah diurutkan sebagai berikut.
1000 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2500 2500
2500 2500 2500 3000 3000 3000 3000 3500 3500 3500
4000 4000 5000 5000 6000
Data yang telah diurutkan disebut statistik peringkat. Jika data di atas dibentangkan dalam
satu baris, tampak bahwa data yang berada tepat di tengah-tengah adalah 2500. Jadi Md =
2500.
Mean (rerata) dihitung dengan cara jumlah keseluruhan nilai dalam distribusi dibagi
banyaknya data. Mean sering disimbolkan dengan ” Me ” atau “ x ” (dibaca x-bar). Dalam
pembelajaran matematika di sekolah dasar, mean disebut juga rata-rata hitung.
Ukuran Dispersi
Ukuran dispersi dari sekelompok data meliputi: range (rentang), kuartil, simpangan rata-rata,
simpangan baku.
Range yaitu jarak antara nilai yang tertinggi dengan nilai yang terendah, atau beda antara
skor tertinggi dan skor terendah. Kuartil merupakan nilai yang menjadi batas sehingga data
yang telah diurutkan terbagi menjadi empat bagian yang sama.
Selisih antara suatu nilai dari sekelompok data dengan rerata dinamakan simpangan data.
Jika setiap data dihitung simpangannya kemudian hasil-hasil tersebut dirata-ratakan maka
diperoleh simpangan rata-rata. Sebenarnya simpangan rata-rata kurang baik untuk
menggambarkan suatu ukuran disperai. Ukuran dispersi lebih baik jika simpangan rata-rata
diganti dengan simpangan baku. Kuadrat simpangan baku disebut varian.
Perhatikan contoh berikut
Data : 9, 4, 7, 3, 10, 5, 7, 6, 4, 5, 6
Nilai terendah adalah 3 dan tertinggi adalah 10, maka jangkauan data tersebut adalah
31
J = 10 – 3 = 7.
Jumlah semua nilai adalah 66 dan banyaknya nilai ada 11, maka nilai rata-ratanya adalah x
= 66 : 11 = 6.
Selisih masing-masing nilai dengan 6 berturut-turut adalah: 3, 2, 1,3, 4, 1, 0, 2, 1, 0. Nilai-
nilai tersebut dinamakan simpangan. Simpangan rata-ratanya adalah
(3+ 2+ 1+3+ 4+ 1+ 0+ 2+ 1+ 0) : 11 =11
61 .
Jika selisih-selisih nilai di atas dikuadratkan, maka diperoleh berturut-turut:
9, 4, 1, 9, 16, 1, 0, 4, 1, 0. Jumlah nilai-nilai tersebut adalah 45. Perlu diingat bahwa
banyaknya data ada 11. Rumus untuk varian adalah sebagai berikut.
1
)( 22
n
xxs i
Keterangan:
2s : Varians
s : Simpangan baku
ix : Data ke-i
x : Nilai rata-rata
n : banyaknya data
Berdasarkan hitungan di atas diperoleh 2)( xxi = 45 dan n = 11.
Varians data di atas adalah
2s =10
45
111
45
= 4,5.
Simpangan baku data di atas adalah
s = 5,4 = 2,1213.
Statistik peringkat dari 9, 4, 7, 3, 10, 5, 7, 6, 4, 5, 6 adalah sebagai berikut.
3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10.
Setelah data dirutkan ternyata ada tiga nilai yang menjadi batas sehingga data terbagi
menjadi empat bagian sama banyak. Ketiga nilai tersebut dinamakan kuartil, disingkat IQ .
Kuartil pertama adalah 1Q = 4 dan kuartil kedua adalah 2Q = 6 serta kuartil ketiga adalah 3Q
= 7.
BAB IV
GEOMETRI DASAR
A. Titik, Garis, dan Bidang
Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka
titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak berdimensi).
Dalam pembelajarannya, titik dapat digambar sebagai noktah, dan dapat dimodelkan dengan
suatu benda yang berukuran bulat kecil. Titik diberi nama dengan satu huruf kapital,
misalnya titik A, titik P, titik M.
. A .M
.P
Garis hanya mempunyai satu ukuran (dimensi), yaitu panjang. Garis tidak mempunyai tebal
(tebalnya nol satuan). Garis berdimensi satu.Suatu garis digambar hanya sebagian (sepotong)
saja tetapi maksudnya tak terbatas (Garis tidak mempunyai ujung). Garis diberi nama dengan
satu huruf kecil atau dua huruf kapital.
A
m
B
33
Bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik disebut ruas garis.
A Q
B P
__
Ruas garis AB ditulis dengan notasi AB
__
Ruas garis PQ ditulis dengan notasi PQ
Bagian dari garis yang berujung pada satu titik dan bagian lain tidak berujung disebut sinar.
Menggambar suatu sinar dapat dimulai dari suatu titik dan menuju arah tak terbatas yang
ditandai dengan tanda anak panah. Titik tersebut dinamakan titik pangkal.
Q DB C
AP
Suatu bidang (maksudnya bidang datar) dapat diperluas seluas-luasnya.
Bidang digambarkan sebagai suatu kurva tertutup sederhana. Sebuah bidang dapat diberi
nama dengan satu huruf Yunani seperti: , , , , …. dan seterusnya, atau dengan huruf-
huruf kapital sesuai dengan nama-nama titik-titik sudut bidang itu, misalnya bidang ABCD,
biang PQRST.
34
RD C S
QBidang A B T
P
Titik, garis, dan bidang merupakan objek geometri yang bersifat abstrak, namun dalam
pembelajarannya dapat digunakan benda-benda konkret. Misalnya titik dapat dimodelkan
dengan buah atau benda lain yang berbentuk bulat kecil sebesar kelereng atau lebih kecil
lagi. Ruas garis dapat dimodelkan dengan sebatang lidi atau tongkat. Sebuah bidang dapat
dimodelkan dengan sebuah triplek atau benda-benda lain yang tipis dan lebar.
1. Titik dan Garis
Jika titik-titik terletak pada satu garis (lurus), dikatakan titik-titik tersebut koliner. Dan
garis-garis yang melalui satu titik yang sama disebut konkuren.
Kedudukan suatu titik terhadap suatu garis dapat terjadi kemungkinan berikut.
(1) Titik terletak pada garis.
Misalkan titik P terletak pada garis n.
n
. P
35
(2) Titik berada di luar garis
Misalkan titik E di luar garis g.
g
. E
Dua Garis
Kedudukan dua garis pada bidang dapat terjadi sebagai berikut.
(1) Dua buah garis sejajar.
Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu tidak mempunyai titik persekutuan, tetapi
sebidang. Misalnya garis m n.
m
n
(2) Dua garis berpotongan
Dua garis dikatakan berpotongan jika kedua garis itu mempunyai tepat satu titik
Persekutuan. Dua garis yang berpotongan selalu sebidang.
a b Garis a dan b berpotongan di titik P.
Titik P disebut titik potong.
P
36
(3) Dua garis berimpit
Pada dua garis yang berimpit semua titik pada masing-masing garis itu merupakan titik
persekutuan dari kedua garis tersebut.
B. SudutSudut dapat dibentuk dari dua sinar yang titik pangkalnya berimpit.
Suatu sudut diberi nama dengan:
(a) satu huruf kapital sesuai dengan nama titik sudutnya.
(b) Tiga huruf kapital, nama titik sudutnya ditulis di tengah di antara dua huruf yang lain.
C K
N
A
M
B
Pada gambar di atas, huruf A dan K adalah nama titik sudut, maka tempat penulisannya
harus di tengah. Misalnya : (a) BAC, CAB, atau A; dan (b) MKN, NKM,
dan K.
Satuan besar sudut dapat dinyatakan dalam derajat atau dalam radian. Satuan besar sudut
dalam derajat dapat diukur dengan alat busur derajat.
Jika pusat suatu lingkaran dibagi menjadi empat bagian sama besar maka setiap bagian
sudut pusat tersebut besarnya 90 atau /2 radian. Sudut yang besarnya 90 disebut sudut
siku-siku.
Macam-macam sudut:
(a) Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90.
(b) Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 dan 90 derajat.
(c) Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya antara 90 dan 180 derajat.
(d) Sudut lurus, yaitu sudut yang kedua kakinya membentuk garis lurus, atau sudut yang
besarnya 180.
37
Sudut siku-siku Sudut lancip Sudut tumpul
B L K
Sudut lurus
Dua sudut yang jumlah besarnya 90 disebut saling berpenyiku.
A = 65 dan B = 25 dikatakan saling berpenyiku karena 65 + 25 = 90.
Dua sudut yang jumlah besarnya 180 disebut saling berpelurus.
P = 86 dan K = 94 saling berpelurus karena jumlahnya 86 + 94 = 180.
Sudut yang besarnya lebih dari 180 disebut sudut refleks.
Sudut Refleks
38
C. Segibanyak
Kurva tertutup sederhana yang terbentuk dari tiga atau lebih ruas garis dan membatasi suatu
daerah cembung (konveks) disebut segibanyak (poligon). Berikut adalah contoh poligon.
Segi-3 Segi-4 Segi-5
Segibanyak yang semua sisinya sama panjang dan semua sudutnya sama besar disebut
segibanyak beraturan.
Segitiga beraturan disebut juga segitiga samasisi, segiempat beraturan disebut juga persegi
(bujursangkar). Ada segienam beraturan, segitujuh beraturan, dan lain-lain.
(1) Segitiga
Ada tiga macam segitiga menurut sifat sisi-sisinya, yaitu segitiga samakaki, segitiga
samasisi, dan segitiga sebarang.
Segitiga samakaki segitiga samasisi segitiga sebarang
Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang.
segitiga samasisi yaitu segitiga yang semua sisinya sama panjang. Segitiga samasisi juga
merupakan segi-3 beraturan.
Menurut sifat sudutnya ada tiga macam segitiga, yaitu segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan
segitiga tumpul.
39
Segitiga siku-siku Segitiga lancip Segitiga tumpul
Ada segitiga siku-siku samakaki, dan ada segitiga siku-siku sembarang.
Ada segitiga lancip samakaki, ada segitiga lancip samasisi, dan ada segitiga lancip
sembarang. Pembaca dipersilakan membuat sendiri gambar segitiga-segitiga tersebut.
(2) Segiempat
Segiempat istimewa dapat dibedakan menjadi tiga macam, yaitu layang-layang,
jajargenjang, dan trapesium.
Layang-layang Trapesium Jajargenjang
Layang-layang adalah segiempat yang mempunyai sepasang-sepasang sisi berdampingan
yang sama panjang.
Jajargenjang adalah segiempat yang sepasang-sepasang sisinya sejajar.
Trapesium adalah segiempat yang mempunyai tepat sepasang sisi sejajar.
Catatan: Ada sekelompok matematisi yang mendefinisikan trapesium sebagai segiempat
yang sepasang sisinya sejajar. Berdasarkan definisi tersebut, berarti
jajargenjang juga merupakan trapesium.
40
a. Layang-layang
Sifat layang-layang:
(1) Mempunyai sepasang-sepasang sisi yang berdampingan sama panjang
(2) Paling sedikit ada dua sudut yang sama besar
(3) Diagonal-diagonalnya saling tegaklurus.
Layang-layang yang semua sisinya samapanjang disebut belahketupat.
Layang-layang yang semua sisinya samapanjang dan sudut-sudutnya siku-siku disebut
persegi (bujursangkar).
b. Jajargenjang
Sifat-sifat jajargenjang:
(1) Sepasang-sepasang sisinya sejajar
(2) Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang
(3) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar
(4) Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180.
Perhatikan gambar berikut.
D C DC AB dan AD BC
DC = AB dan AD = BC
DAB = BCD atau A = C
ADC = ABC atau D = B
A B A + D = 180
A + C = 180
B + C = 180
D + C = 180
41
Jajargenjang yang semua sisinya sama panjang disebut juga belah ketupat.
Jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku disebut juga persegipanjang.
Jajargenjang yang semua sisinya sama panjang dan sudut-sutunya siku-siku disebut juga
persegi (bujursangkar).
c. Trapesium
Sifat-sifat trapesium:
(1) Mempunyai tepat sepasang sisi yang sejajar, yaitu sisi alas dan sisi atas.
(2) Jumlah sudut alas dan sudut atas yang sepihak adalah 180.
D C
Perhatikan trapesium ABCD di samping!
DC AB
D + A = 180
A B B + C = 180
Trapesium yang mempunyai sudut siku-siku disebut trapesium siku-siku.
Trapesium yang sisi-sisi tegaknya sama panjang dan kedua sudut alasnya sama besar disebut
trapesium samakaki.
(Trapesium yang sisi tegaknya juga sejajar disebut juga jajargenjang (ada yang menganggap bahwa
jajargenjang bukan merupakan trapesium).
d. Belahketupat
Belahketupat adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang.
Belahketupat merupakan layang-layang yang bersifat khusus, maka semua sifat layang-
layang juga berlaku pada belahketupat.
Belahketupat merupakan jajargenjang, maka semua sifat jajargenjang juga berlaku pada
belahketupat.
Belahketupat merupakan trapesium yang bersifat khusus, karena pada belahketupat terdapat
sepasang sisi yang sejajar meskipun secara khusus sepasang sisi yang lain juga sejajar, dan
semua sisi sama panjang.
42
Sifat-sifat belahketupat:
(1) Semua sisinya sama panjang
(2) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar
(3) Dua sudut yang tidak berhadapan jumlahnya 180.
(4) Sepasang-sepasang sisinya sejajar
(5) Diagonal-diagonalnya saling tegakurus
(6) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
(7) Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu
Belahketupat yang sudut-sudutnya siku-siku disebut juga persegi (bujursangkar).
e. Persegipanjang
Persegipanjang adalah segiempat yang semua sudutnya siku-siku.
Persegipanjang dapat dipandang sebagai jajargenjang yang sudut-sudutnya siku-siku, dapat
pula dipandang sebagai trapesium siku-siku samakaki.
Sifat-sifat persegipanjang:
(1) Semua sudutnya siku-siku
(2) Sepasang-sepasang sisinya sejajar dan sama panjang
(3) Kedua diagonalnya sama panjang
(4) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
Persegipanjang yang panjang dan lebarnya sama disebut juga persegi (bujursangkar).
Semua sifat jajargenjang juga berlaku pada persegipanjang.
43
Semua sifat trapesium juga berlaku pada persegipanjang, karena persegipanjang merupakan
trapesium yang istimewa, yaitu trapesium siku-siku samakaki.
f. Persegi
Persegi atau bujursangkar adalah segiempat yang semua sisinya sama panjang dan sudut-
sudutnya siku-siku.
Bujursangkara dapat dipandang sebagai layang-layang,
Dan jajargenjang
Sifat-sifat persegi (bujursangkar):
(1) Semua sudutnya siku-siku
(2) Semua sisinya sama panjang
(3) Sepasang-sepasang sisinya sejajar
(4) Kedua diagonalnya sama panjang
(5) Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama panjang
(6) Kedua diagonalnya saling tegaklurus
(7) Setiap sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal yang membagi sudut itu
D. LingkaranSuatu segi-n dengan nilai n besar tak hingga dapat dipandang sebagai suatu lingkaran.
Lingkaran dapat dipandang sebagai kumpulan semua titik yang berjarak sama terhapap suatu
titik tertentu.
Unsur-unsur pada lingkaran antara lain:
- Jari-jari (radius)
- Garis tengah (diameter)
- Sudut pusat
- Sudut keliling
- Busur
- Talibusur
- Apotema
- Juring
- tembereng
44
Jari-jari (radius = r) adalah ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran
dengan titik pusat lingkaran itu.
Garistengah (diameter) adalah ruasgaris yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan
melalui titik pusat lingkaran itu.
Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut talibusur.
Jadi diameter adalah talibusur yang melalui titik pusat lingkaran.
Apotema adalah ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan titik tengah
suatu talibusur pada lingkaran itu.
Apotema dapat juga diartikan sebagai ruasgaris yang menghubungkan titik pusat lingkaran
dengan talibusur dan tegaklurus terhadap talibusur itu.
Juring lingkaran adalah bagian dari daerah lingkaran itu yang dibatasi oleh dua buah jari-jari
dan sebuah busur yang menghubungkan salah satu ujung kedua jari-jari itu.
Tembereng adalah bagian dari daerah lingkaran yang dibatasi oleh suatu busur dan
talibusurnya.
E. SimetriDua macam simetri adalah simetri cermin dan simetri putar.
Suatu bangun dikatakan mempunyai simetri cermin (simetris) jika dapat dilipat hingga
bagian yang satu dapat dengan tepat menutup bagian yang lain.Garis lipatannya dinamakan
sumbu simetri.
Berikut adalah contoh bangun-bangun yang mempunyai simetri cermin (bangun-bangun
yang simetris).
45
Segitiga beraturan (segitiga samasisi) mempunyai tiga sumbu simetri, segiempat beraturan
(persegi) mempunyai empat sumbu simetri, dan layang-layang mempunyai satu sumbu
simetri.
Suatu bangun dikatakan mempunyai simetri putar jika ada titik pusat pemutaran bangun
tersebut dan dengan putaran kurang dari satu putaran penuh (360) posisi bangun tersebut
dapat seperti semula .
Segitiga samasisi dapat diputar 1/3 putaran, 2/3 putaran, dan satu putaran penuh agar
posisinya seperti posisi semula. Karena adanya tiga cara pemutaran tersebut maka dikatakan
bahwa segitiga samasisi mempunyai simetri putar tingkat tiga. Persegi mempunyai simetri
putar tingkat empat, dan segienam beraturan mempunyai simetri putar tingkat enam.
Lingkaran mempunyai simetri putar tingkat tak hingga. Bangun-bangun yang tidak dapat
diputar kurang dari satu putaran penuh untuk posisi seperti semula dikatakan tidak
mempunyai simetri putar; dan dikatakan bahwa tingkat simetri putarnya adalah tingkat satu.
F. Pengubinan
Suatu daerah bangun segibanyak yang dapat disusun dengan bangun-bangun lain yang
kongruen dengan bangun itu sehingga tanpa saling menindih dapat menutup bidang (datar)
dengan sempurna disebut ubin. Proses penyusunan ubin-ubin sehingga menutup bidang
secara lengkap (komplet) disebut pengubinan.
Ukuran sudut dalam segibanyak-segibanyak yang membentuk ubin haruslah merupakan
pembagi dari 360.
G. Bidang Koordinat
Dalam bahasan ini akan dibicarakan dua sistem koordinat pada bidang, yaitu koordinat
Kutub (koordinat Polar) dan koordinat Cartesius.
46
(1) Koordinat Polar
N(6, 45) P(r, )
6 r
45
Posisi suatu titik pada koordinat polar ditentukan oleh jarak titik itu terhadap pusat koordinat
dan besar sudut yang dibentuk oleh garis hubung titik itu dengan pusat koordinat dan sumbu
koordinat (Posisi sumbu koordinat adalah mendatar dari titik pusat koordinat ke arah kanan).
(2) Koordinat Cartesius
Sumbu koordinat Cartesius terbentuk dari sumbu absis (sumbu x) dan sumbu ordinat (sumbu
y). Sumbu absis biasanya mendatar/horizontal, sedangkan sumbu ordinat biasanya vertikal.
Letak (posisi) suatu titik pada bidang Cartesius ditentukan oleh absis dan ordinat dari titik
itu.
y
P(a,b)
a = absis
b = ordinat
x = sumbu absis
x y = sumbu ordinat
Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B (x2,y2) pada bidang Cartesius dapat dihitung dengan
rumus sebagai berikut.
47
221
221 )()( yyxxd
Contoh:
Tentukanlah jarak antara titik A(2,3) dan titik B(5,7) pada bidang Cartesius.
Jawab:
Titik A(2,3) berarti x1 = 2 dan y1 = 3
Titik A(5,7) berarti x2 = 5 dan y2 = 7
22 )37()25( d
5
25
169
H. Bangun Ruang
Pada dasarnya pembelajaran bangun ruang menggunakan strategi yang tidak jauh berbeda
dengan pembelajaran bangun bidang. Penggunaan alat peraga atau model-model yang
konkret sangat membantu kelancaran siswa ketika mempelajari bangun ruang. Ada satu hal
yang perlu diperhatikan, yaitu bahwa siswa perlu dilatih untuk mampu memiliki daya tilik
ruang yang baik. Menurut teori belajar piaget, anak sekolah tingkat dasar yang masih
dalam tahap perkembangan operasi konkret memerlukan sarana benda konkret untuk
memahami konsep geometri, apalagi untuk memahami bangun ruang.
Menurut Van Hiele, anak akan melalui lima tahap perkembangan dalam belajar geometri,
yaitu sebagai berikut.
(a) tahap pengenalan dan penamaan gambar-gambar(b) tahap penggambaran sifat-sifat(c) tahap klasifikasi dan generalisasi bangun melalui sifatnya(d) tahap pengembangan bukti melalui aksioma dan definisi.(e) Tahap dimana individu mampu bekerja dalam berbagai sistem geometri (tahap rigor).
48
1. Pojok, Rusuk, dan Sisi
Untuk mengenal istilah pojok (titik sudut), rusuk, dan sisi, dapat diperhatikan gambar
berikut.
H G Bangun di samping adalah balok ABCD.EFGH.
Bangun tersebut memiliki delapan pojok atau
E F delapan titik sudut, yaitu titik A, titik B, titik C,
D C titik D, titik E, titik F, titik G, dan titik H.
Bangun tersebut mempunyai 12 rusuk, yaitu
A B AB, BC, DC, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG,
dan DH.
Bangun tersebut mempunyai enam sisi, yaitu
sisi ABCD, sisi EFGH, sisi ABFE, sisi DCGH,
sisi ADHE, dan sisi BCGF.
2. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Bidang
Kedudukan titik terhadap bidang dapat seperti berikut.
(a) Titik terletak pada bidang(b) Titik terletak di luar bidangKedudukan garis terhadap bidang dapat seperti berikut.
(a) Garis terletak pada bidang(b) Garis menembus bidang, yaitu garis dan bidang itu mempunyai satu titik persekutuan
Kedudukan dua garis dalam ruang dapat sebagai berikut.
(a) Dua garis saling sejajar(b) Dua garis saling berpotongan(c) Dua garis saling bersilangan: Dua garis yang tidak mempunyai titik persekutuan dan
tidak sebidang dikatakan saling bersilangan.
m Garis m dan n saling bersilangan.
n
49
3. Kedudukan antara Dua Bidang
Kedudukan dua bidang dalam ruang dapat sebagai berikut.
(a) Dua bidang saling sejajar, yaitu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan.(b) Dua bidang saling berpotongan, yaitu mempunyai satu garis perpotongan.(c) Dua bidang yang berimpit, yaitu setiap titik pada masing-masing bidang itu merupakan
titik persekutuan dari kedua bidang tersebut.
4. Sudut dalam Ruang
Sudut antara garis dan bidang yaitu sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksinya
pada bidang dimaksud.
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, satu garis terletak pada
bidang yang satu, garis yang kedua terletak pada bidang yang kedua dan kedua garis itu
masing-masing tegaklurus terhadap garis potong kedua bidang dimaksud.
5. Bidang Banyak
Pada bidang kita kenal istilah poligon atau segi-n, pada ruang kita kenal istilah polihedron
atau bidang-n, yaitu gabungan dari daerah-daerah segi-n yang setiap dua sisi dari setiap
dua bidang selalu berimpit sehingga bidang-bidang itu menutup tanpa celah sebuah
ruangan.
Beberapa polihedron adalah sebagai berikut.
(a) Kubus(b) Balok (kotak)(c) Prisma(d) Limas(e) Silinder (tabung)(f) Kerucut(g) Bola
50
Kubus Balok Prisma
Limas Silinder Kerucut
Bola
51Tugas/Latihan
1. Jelaskanlah perbedaan garis, ruas garis, dan sinar dengan cara menggambar masing-
masing bangun tersebut.
2. Gambarlah sebuah sudut kemudian berilah nama dengan dua cara.
3. Gambarlah sebuah lingkaran, gambar unsur-unsurnya kemudian sebutkan unsur-unsur
lingkaran sesuai dengan gamra yang telah Saudara buat itu.
4. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat.
(a) A(4,60º)
(b) P(7,45º)
(c) M(5,135º)
(d) R(5, 270º)
5. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat.
(a) A(4,6)
(b) P(-7,5)
(c) M(6,-4)
(d) R(-5, -8)
6. Pada pertanyaan no.5, tentukanlah jarak antara:
(a) titik A dan P
(b) titik P dan M
(c) titik P dan R
(d) titik M dan R
7. Sebutkan sifat-sifat bangun geometri berikut.
(a) trapesium
(b) layang-layang
(c) persegipanjang
(d) jajargenjang
8. Gambarlah sebuah balok, kemudian sebutkan unsur-unsurnya.
9. Gambarlah sebuah silinder, kemudian sebutkan unsur-unsurnya.
10. Sebutkanlah unsur-unsur kerucut.
11. Jelaskanlah secara tertulis yang dilengkapi dengan gambarnya, arti dari dua garis yang
bersilangan.
52
DAFTAR PUSTAKA
Muhsetyo, Gatot. 2005. Materi Pokok Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas
terbuka.
Sa’dijah, Cholis. 1999/1998. Pendidikan Matematika II. Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti
Proyek PGSD.
Karim, Muchtar A. dkk. 1996/1997. Pendidikan Matematika 1. Jakarta: Penerbit Depdikbud
Dirjen Dikti BPPPGSD
