Fasciculo de Logica-1

5/28/2018 Fasciculo de Logica-1

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PENSAMIENTO LGICO MATEMTICO

CIRCUITO CERRADO CIRCUITO ABIERTO(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }stqrtsrqqp r~rq~

GUILLERMO QUIONES DIAZ

UNIVERSIDAD PERUANA

LOS ANDES_______________________________

_FACULTAD DE CIENCIAS


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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES UPLA PENSAMIENTO LGICO MATEMTICO

2

GEORGE BOOLE ( 1815 1864 )

Naci el 2 de Noviembre de 1815

en Lincoln, Lincolnshire (Inglaterra),primero concurri a una escuela en

Lincoln, luego a un colegio comercial.

Boole no estudi para un grado

acadmico, pero a la edad de 16 aos

fue profesor auxiliar de colegio. Abri su

propio colegio y empez a estudiar

matemticas por si mismo.Tard en darse cuenta que haba perdido casi cinco aos tratando

de aprender las materias en vez de tener un profesor experto. En

ese periodo Boole estudi los trabajos de Laplace y Lagrange,

tomando apuntes, los cuales llegaron a ser ms tarde las bases

para sus primeros papeles matemticos.

Boole fue nominado para una ctedra de matemticas en elQueens College, en 1849, donde ense por el resto de su vida,

ganndose una reputacin como un prominente y dedicado

profesor.

En 1854 public Las leyes del pensamiento sobre las

cuales se basadas las teoras matemticas de Lgica y

Probabilidad. Boole aproxim la lgica en una nueva direccinreducindola a un lgebra simple, incorporando lgica en las

matemticas. Agudiz la analoga entre los smbolos algebraicos y

aquellos que representan formas lgicas. Su lgebra consiste en un

mtodo para resolver problemas de lgica que recurre solamente a

los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores: AND (y), OR (o) y

NOT (no). Comenzaba el lgebra de la lgica llamada lgebra

Booleana, la cual ahora encuentra aplicacin en la construccin decomputadores, circuitos elctricos, etc.


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3

Muchos honores le fueron concedidos a Boole, fue reconocido

como el genio en su trabajo, recibi grandes honores de las

universidades de Dublin y Oxford y fue elegido miembro

acadmico de la Real Sociedad (1857). Sin embargo, su carreraque comenz un tanto tarde termin infortunadamente temprano

cuando muri a la edad de 49 aos, el 8 de Diciembre de 1864 en

Ballintemple, County Cork (Irlanda). Las circunstancias son

descritas por Macfarlane de la siguiente forma:

"Un da en 1864 camin desde su casa al colegio, una

distancia de dos millas, con una lluvia torrencial y luego dio unaconferencia con la ropa empapada. El resultado fue un resfro febril

el cul pronto da sus pulmones y termin su carrera....."

El trabajo de Boole lleg a ser un paso fundamental en la

revolucin de los computadores, cuando Claude Shannon en 1938,

demostr como las operaciones booleanas elementales, se podan

representar mediante circuitos conmutadores elctricos, y como la

combinacin de estos poda representar operaciones aritmticas y

lgicas complejas. Shannon demostr asimismo que el lgebra de

Boole se poda utilizar para simplificar circuitos conmutadores.


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OBJETIVO GENERAL

Aplicar las leyes del lgebra proposicional en la resolucin de

ejercicios y problemas sobre proposiciones e inferencias

lgicas

OBJETIVOS ESPECFICOS

Reconocer la importancia del estudio de la lgica y valorar el

aporte de matemticos

Diferenciar enunciado de proposicin

Diferenciar los conectivos lgicos

Comparar las proposiciones simples y compuestas

Diferenciar y generalizar los valores veritativos de los

operadores de: negacin, conjuncin, disyuncin inclusiva,

la condicional, la bicondicional y la disyuncin exclusiva

Construir tablas de valores de verdad y determinar si es

tautologa, contradiccin y contingencia

Verificar la implicacin y la equivalencia lgica con tablas deverdad

Simplificar proposiciones lgicas aplicando las leyes del

lgebra proposicional

Aplicar las leyes del lgebra proposicional y otros mtodos

en la validacin de argumentos lgicos

Construir circuitos lgicos


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MAPA MENTAL DE LGICA PROPOSICIONAL

2) LGICAPROPOSICIONAL

3) CONECTIVOSLGICOS

4) CLASES DEPROPOSICIONESLGICAS

5) OPERACIONESCONPROPOSICIONES

6) TABLA DEVALORES DEVERDAD

7) IMPLICACIN LGICAY EQUIVALENCIALGICA

8) LEYES DEL LGEBRAPROPOSICIONAL

9) LAINFERENCIALGICA

10) CIRCUITOS LGICOS

1) BREVE HISTORIADE LA LGICA

LGICA PROPOSICIONAL

E

P

E

PE

LA NE

LA CO

LA DIS

INCLULA CO

LA BIC

LA DISEXCLU

TAUTOLOGA

CONTRADICCIN

CONTINGENCIA

IMPLICACIN LGICA

EQUIVALENCIA LGICA

TERCIO EXCLUIDO

DOBLE NEGACIN

IDEMPOTENCIA

CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

DSTRIBUTIVA

DE MORGAN

CONDICIONALES

BICONDICIONALES

ANBSORCIN

NORMALES

ARGUMENTO VLIDO

FALACIA

TCNICAS DEVALIDACIN

CIRCUITO EN SERIE

CIRCUITO EN PARALELO

INTR

LA M

PLAT

ARIS

EUCL

LACI

GEOR

AUGU

LA R


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1. BREVE HISTORIA DE LA LGICA

INTRODUCCIN

El nacimiento de la lgica est directamente relacionado con

el nacimiento intelectual del ser humano. La lgica emerge comomecanismo espontneo en el enfrentamiento del hombre con la

naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncair destaca

cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre

dos grandes tpicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el

caos. Las etapas se identifican como: Revolucin Matemtica,

Revolucin Cientfica, Revolucin Formal y Revolucin Digital

adems de la prxima y prevista Revolucin Lgica.

LA MATEMTICA Y LA LGICA

Del ao 600 a. c. hasta 300 a. c. se desarrollan en Grecia los

principios formales de las matemticas. Este periodo clsico lo

protagonizan Platn, Aristteles y Euclides. Platn propone

ideas o abstracciones. Aristteles resuelve el razonamiento

deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el

mtodo axiomtico. En los Elementos Euclides organiza las

pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura

sistemtica, rigurosa, y altamente eficaz.

PLATN

Platn, 427 a. c. - 347 a. c., propone instaurar en Siracusa

una utpica repblica dirigida por filsofos. Crea la Academia de

Atenas que no era solo una institucin filosfica, sino centro de

formacin poltica para jvenes aristcratas. Segn algunos

especialistas, Platn edifica su teora del conocimiento con el fin de

justificar el poder emergente de la figura del filsofo. Sostiene la

existencia de dos mundos, el mundo de las ideas y el de mundo

fsico de los objetos. Segn Platn, lo concreto se percibe enfuncin de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe


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gracias al mundo de las ideas. Platn escoge el formato dilogo

como forma de transmisin del pensamiento.

ARISTTELESLos tratados de lgica de Aristteles, 384 a. c. - 332 a. c.,

conocidos como Organn,contienen el primer tratado sistemtico

de las leyes de pensamiento para la adquisicin de conocimiento.

Representan el primer intento serio que funda la lgica como

ciencia. Aristteles no hace de la lgica una disciplina metafsica

sino que establece correspondencias recprocas entre pensamiento

lgico y estructura ontolgica. El silogismo fue adoptado por losescolsticos que representan el sistema teolgico-filosfico,

caracterstico de la Edad Media. La escolstica, sin embargo, acab

por sobrecargar la teora del silogismo, lo que acarre su

descrdito a partir del Renacimiento. Los lgicos de la edad

moderna como Rame, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert

procuraron simplificarla al mximo, y su tratamiento matemtico

se complet hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan,

Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la

lgica de predicados de primer orden y en la lgica de clases, y

ocupa en la ciencia lgica un papel mucho menor que en otros

tiempos.

EUCLIDES

Matemtico alejandrino autor de la universal obra, los

clebres Elementos. Uno de los textos matemticos ms

relevantes de la historia del pensamiento cientfico hasta del siglo

XIX. Los Elementosestn divididos en XIII Libros y constituyen la

recopilacin ms exhaustiva de las matemticas conocidas en el

ao 300 a.c. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del

mtodo deductivo que distingue entre principios - definiciones,axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de


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los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de

que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores.

El deseo de resolver tal hiptesis ocupa hasta el siglo XIX con la

construccin de las geometras no euclidianas y se deduce conellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

LA CIENCIA MATEMTICA

Ante el retroceso de la escuela clsica de los griegos se

presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el

inicio de una nueva revolucin que revive la ciencia y las

matemticas. Los representantes ms destacados son Descartes,Newton y Leibniz. Este periodo abarca del ao 1500 d.c. al 1800

d.c.

GEORGE BOOLE

El lgico y matemtico George Boole, 1815 -1864 aplica el

clculo matemtico a la lgica, fundando el lgebra de la lgica. En

cierto modo realiza el sueo de Leibniz de una characteristica

universalis o clculo del raciocinio. El empleo de smbolos y

reglas operatorias adecuadas permite representar conceptos, ideas

y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones)

entre ellas. Boole dio un mtodo general para formalizar la

inferencia deductiva, representando complicados raciocinios

mediante sencillos sistemas de ecuaciones. As, la conclusin de un

silogismo se encuentra eliminando el trmino medio de un sistema

de tres ecuaciones, conforme a las reglas del lgebra comn, La

formalizacin de la lgica, iniciada por Boole, ha contribuido

poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lgicos, en

contraposicin a los materiales y aun en contraposicin a los

matemticos, pese a las analogas formales entre la matemtica y

la lgica, que Boole seal. Su obra principal esInvestigacin delas leyes del pensamiento en las que se fundan las teoras


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matemticas de la lgica y la probabilidad, 1854, que an hoy se

lee con deleite.

AUGUSTUS DE MORGANLa mayor contribucin de Augustus De Morgan (1806-1871)

en el estudio de la lgica incluye la formulacin de las Leyes de

Morgan y su trabajo fundamenta la teora del desarrollo de las

relaciones y la matemtica simblica moderna o lgica

matemtica. De Morgan es autor de la mayor contribucin como

reformador de la lgica.

LA REVOLUCIN DIGITAL

Esta revolucin se inicia con la invencin de la computadora

digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing

relaciona lgica y computacin antes que cualquier computadora

procese datos. Weiner funda la ciencia de la Ciberntica. En las

Escuelas modernas de Computacin estn presentes Lgicos que

han permitido avances importantes como Hoareque presenta un

sistema axiomtico de los sistemas de programacin con un

sistema de verificacin y deduccin de programas a partir de

especificaciones.

2. LOGICA PROPOSICIONAL

Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn

que nos pueden servir de inicio para una discusin. En principio se

tiene la existencia de un conjunto finito, llamado alfabeto, el cual

esta constituido de smbolos simples llamados comnmente letras.

En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos:

latino, rabe-persa, entre otros. En los formales como la lgica se

tiene el lexicn del: clculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto formaremos:monemas, fonemas o palabras que determinan un conjunto


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extendido denominado y se encuentran en el interior de un

enunciado. El conjunto de palabras que tengan un significado

constituirn el diccionario del lenguaje (p. ejem. el Webster) y, en

lenguajes formales todas las palabras que puedan ser aceptadaspor un cierto autmata. A partir de lo anterior, tendremos que un

lenguaje se considera como un conjunto, usualmente es infinito,

de oraciones o enunciados que se forman con palabras del

diccionario. En este punto, podemos distinguir entre dos clases de

lenguajes; los lenguajes naturales" como el francs, ingls, y

castellano y, los lenguajes formales"como el de las matemticas

y la lgica.El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus

semejantes a travs de un lenguaje determinado (oral, escrito,...,

etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones, estas

pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse

a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente

fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo

importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de

los enunciados(frases u oraciones) y de acuerdo a su significado

es posible establecer una proposicin y a partir de un conjunto de

estas podemos llegar a una conclusin, siendo la ciencia encargada

del estudio de estas, la lgica.

2.1. ENUNCIADO.- Denominamos as a toda frase u

oracin.

Ejemplos:

1) Prohibido fumar.

2) 922 +yx

3) El 15 de agosto del 2 007 un terremoto sacudi el Per

4) 4x 1= 5

5) Qu hora es?6) Mam!


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7) l es estudiante de la facultad

8) 943 >+

9) Ests sorda o que?

10) Auxilio!11) Detngase.

12) Dumbledore y Harry sonrieron.

13) Karina es administradora o abogada.

14) Dnde estabas?

15) Prohibido hacer ruido

16) Hilary! Hilary!

2.2. PROPOSICIN.- Una proposicin es un enunciado

que tiene la propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no

ambas simultneamente.

Representacin simblica: p, q, r, s, t,..., etc.

Ejemplos:

REPRESENTACIN

SIMBLICA

PROPOSICIN

VALOR

DEVERDAD

p: El cuadrado tiene tres lados F

r: El perro tiene dos patas F

s: Ica es la regin ms afectada por el

terremoto del 2 007

V

t: El parque de la identidad seencuentra ubicado en Chilca

F

p: - 4 + 9 = 7 F

r: 3,56 > 0,099 V

El valor veritativo o valor de verdad de una proposicin se

expresa simblicamente. Si p es una proposicin, su valor de

verdad se denota por V(p)


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Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposicin p

es verdadera

Se lee: el valor de verdad de la proposicin pes verdadera

Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposicin pes falsa

Se lee: el valor de verdad de la proposicin pes falsa

2.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES

LGICAS O ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES

Son las expresiones que indican orden, saludo,

exclamacin o interrogacin. Es decir, estas expresiones slo sequedan como enunciados.

Ejemplos:

- Buenos das!.

- Quin toc la puerta?

- No faltes.

- As se llaman esas criaturas?

- Hola, Harry!

- Qu edad tienes?

- Prohibido fumar.

- Viva la matemtica!

2.4. ENUNCIADO ABIERTOS

Los enunciados que usan las palabras el, ella o las

letras x, y, z, ... , etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o

falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o

letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado

constante, el resultado es una proposicin. A este tipo de

enunciados se les denomina enunciados abiertos.

Ejemplos:

- Ella es estudiante de contabilidad

- x 3 > 7

- 5x + 3y = 2

Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se

tiene, Meredditt es estudiante de contabilidad, que es una


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proposicin donde su valor de verdad es V F dependiendo de

que si Meredditt sea o no estudiante de contabilidad.

Si en el segundo ejemplo x toma un valor menor o igual

que 10 la proposicin es falsa y si x toma un valor mayor a 10 laproposicin es verdadera.

En el tercer ejemplo las variables o letras x , y pueden

tomar infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuacin

sea verdadera o falsa.

Ejemplo:

Escribe al lado derecho de cada frase, si es enunciado, enunciado

abierto o proposicin:a) Auxilio!b) Ella no es contadora ni administradorac) 532 =x d) Hoy es lunese) Prohibido fumarCuntos aos tienes?

Solucin:

a) Auxilio! .. Enunciadob) Ella no es contadora ni administradora Enunciado abiertoc) 532 =x .. Enunciado abiertod) Hoy es lunes Proposicine) Prohibido fumar .. Enunciadof) Cuntos aos tienes? .. Enunciado

3. CONECTIVOS U OPERADORES LGICOS

Los conectivos lgicos son smbolos que enlazan

proposiciones simples o atmicas, sin formar parte de ellas: estos

smbolos tambin toman el nombre de operadores.

Los conectivos lgicos que usamos en matemtica son:

LENGUAJE

COLOQUIAL

LENGUAJE

SIMBLICO

NOMBRE DEL

OPERADOR

no La negacin

y La conjuncin

o La disyuncin inclusiva


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Si ... entonces ... La condicional

... s y slo s ... La bicondicional

O bien ... o bien La disyuncin exclusiva

= Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde

a dlatina)

4. CLASES DE PROPOSICIONES LGICAS

4.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATMICAS

Cuando en ella no existe conectivo u operador lgicoalguno.

Ejemplos:

- p: El cuadrado tiene 5 lados

- q: 3 x 4 = 12

- r: 9 es mltiplo de 3

4.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES

Cuando en ella existe o est presente al menos un

conectivo u operador lgico.

Ejemplos:

- p: 7512

- q p: Romel jug, aunque estuvo lesionado

- q p: Llegu tarde porque el carro se malogr

5. OPERACIONES CON PROPOSICIONES

As como en aritmtica y en lgebra se estudian

operaciones entre nmeros, en lgica se estudian operaciones

entre proposiciones.

5.1.LA NEGACIN


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La negacin de una proposicin p se

escribe ~ p y se lee no p no es

cierto que p es falso que p y es otra

proposicin que niega que se cumpla p.

p ~ p

V F

F V

Ejemplo:

Sea la proposicin: p: 4 x 5 = 20 (V)

Su negacin es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F)

o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 20 (F)

simblicamente: V( ~ p) = F

5.2.LA CONJUNCIN

Dadas las proposiciones p, q se

simboliza p q y se lee p y q,

slo es verdadero cuando ambos

son verdaderos, en los dems

casos siempre es falso.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Ejemplo:

Sean la proposiciones:

p: 7 es un nmero par (F)

q: 7 es menor que 5 (F)p q: 7 es un nmero par y 7 es menor que 5 (F)

simblicamente: V(p q) = F

NOTA: En toda proposicin, las palabras: pero, sin

embargo, adems, no obstante, aunque, a la

vez, etc. Equivalen al conectivo

5.3.LA DISYUNCIN INCLUSIVA


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Dadas dos proposiciones p, q se escribe

p q y se lee p q,slo es falso

cuando ambos son falsos, en losdems casos siempre es verdadero.

p q p q

V V V

V F VF V V

F F F

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

p: 4 < 7 (V)

q: 4 = 7 (F)

p q: 4 < 7 4 = 7 (V)

simblicamente: V(p q) = V

5.4.LA CONDICIONAL


p q y se lee si p entonces q p

implica q p es suficiente para que q,

etc., slo es falso cuando el primero

es verdadero y el segundo es falso,

en los dems casos siempre es

verdadero.

( p = antecedente y q = consecuente)

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplo:p q : Si gano las elecciones entonces bajar el precio de

los combustibles

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: 3 es un nmero primo (V)

q: 31 es un nmero par (F)

p q: si 3 es un nmero primo entonces 31 es un nmeropar (F)


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Simblicamente: V(p q) = F

NOTA: En toda proposicin las palabras: porque,

puesto que, ya que, siempre que, cuando,si, cada vez que, dado que, son conectivos que

representan a la condicional. Se caracterizan porque

despus de cada uno de estos trminos esta el antecedente

Ejemplo:

No jugu porque llegu tarde

p: no jugu (consecuente)q: llegu tarde (antecedente)

Simblicamente: q p

5.5.LA BICONDICIONAL


p q y se lee p si y solo si q, es

verdadero cuando los valores de verdad

son iguales y es falso cuando los dos

valores de verdad son diferentes.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo:


p: 3 < 7 (V)

q: 3 + 5 < 7 + 5 (V)p q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V)


5.6.LA DISYUNCIN EXCLUSIVA

Dadas las proposiciones p, q se

escribe p q y se lee o bien p o

bien q, es falso si los valores deverdad de las proposiciones son

p q p q

V V F

V F V


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iguales y es verdadero si los

valores de verdad de las

proposiciones son diferentes.

F V V

F F F

Ejemplo:


p: 4 > 7 (F)

q: 4 < 7 (V)

p q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V)


Ejemplo:Escribe en el lenguaje simblico:

Ir de viaje y me divertir dado que gan el juicio

Solucin:

Para expresar en el lenguaje simblico es importante

subrayar la proposicin o precisar cada proposicin.

44 344 2144 344 2143421

rq

juicioelganquedadodivertirmeyviajedeIrp

( )qpr

Ejemplo:

Determina el valor de verdad de la siguiente proposicin:

( ) ( )[ ] ( )276176934 =>=

Solucin:

( ) F934 ==

( ) F176 =>

( ) F276 ==

( ) ( )[ ] FFF

F

F


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RESUMEN

6. TABLA DE VALORES DE VERDAD

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir

de la validez de cada una de las variables proposicionales.Para evaluar una tabla de verdad de dos variables

proposicionales se necesitan 22 = 4 valores de verdad en cada

columna. En general el nmero de valores de verdad que se

asigna a cada variable resulta de aplicar la frmula n2 , donde n

es el nmero de variables que hay en el esquema molecular o

proposicin lgica.

Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen

en las columnas de referencia al margen izquierdo del esquema,

luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores,

empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor

jerarqua.

Ejemplo:Construye la tabla de verdad del esquema molecular:

~ [ ])~()(~)( qpqp

Solucin

Aplicando la frmula 422 2 ==n (n = 2) porque el nmero de

variables o proposiciones son 2, p y q.

En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y

dos falsos, seguidamente en la siguiente columna, columna de q

se escribe, un verdadero y un falso, un verdadero y un falso.

p q p q p q p q p q p q

V V V V V V F

V F F V F F V

F V F V V F V

F F F F V V F


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Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupacin y

el orden, en nuestro ejemplo se procede as:

Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjuncin.

Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negacin delresultado de la columna 1.

Se resuelve la columna 3, que es la negacin de la

proposicin p.

Se resuelve la columna 4, que es la negacin de la

proposicin q.

Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4,

con el operador de la disyuncin inclusiva.Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5,

con el operador de la bicondicional.

p q ~ [ ])~()(~)( qpqp

V VV F

F V

F F

FV

V

V

VF

F

F

VV

V

V

FF

V

V

FV

V

V

FV

F

V

PASOS 2 1 6 3 5 4

OBSERVACIN

- Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, serealiza lo siguiente: n = 2 ( 2 variables)

- Se aplica la frmula 2n= 22 = 4- Significa que en la primera columna se tendrn 4 valores, 2

verdaderos y 2 falsos- En la segunda columna se tendrn la mitad de lo anterior, en este

caso, un verdadero y un falso

TAUTOLOGA


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La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema

molecular o proposicin compuesta por el mtodo de la tabla de

valores de verdad. La columna resultado presenta diferentes

formas, que a continuacin estudiamos.6.1. TAUTOLOGA.- Llamamos tautologa si en la columna

resultado todos los valores son verdaderos

6.2. CONTRADICCIN.- Llamamos contradiccin si en la

columna resultado todos los valores son falsos.

6.3. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la

columna resultado se encuentra verdaderos y falsos, sin

considerar cuntos verdaderos o cuntos falsos existan, essuficiente que se encuentren ambos.

7. IMPLICACIN LGICA Y EQUIVALENCIA LGICA

IMPLICACIN LGICA

Se llama implicacin lgica o simplemente implicacin a toda

condicional qp que sea tautologa.

Ejemplo:

Verifica si la siguiente condicional es una implicacin

lgica:

( )[ ] pqqp ~~

En la columna resultado se observa los valores de verdad, en

este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos que la

condicional es tautologa, por tanto, es una implicacin lgica. Si

p q [ ] p~q~)( qp

V V

V F

F V

F F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V


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en la columna resultado se obtiene contradiccin o contingencia,

entonces, no existe implicacin lgica.

EQUIVALENCIA LGICASe llama equivalencia lgica o simplemente equivalencia a

toda bicondicional qp que sea tautologa.

Ejemplo:

Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia

lgica: ( )[ ] pqpp

Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es

tautologa, afirmamos que es una equivalencia lgica.

Entonces, podemos afirmar que: ( )[ ] pqpp

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01

1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si

es: enunciado, proposicin o enunciado abierto.

(1) Hola que tal!

(2) x + 1 < 10

(3) 7 + 9 > 5

(4) l es administrador y contador

(5) Vives con tu primo?(6) Adis!

p q ( )[ ] pqpp

V V

V F

F V

F F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

RESULTADOS IDNTICOS


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2) Expresa en el lenguaje simblico:

a)No es cierto que, Yadhira no vive en Huancayo entonces

vive en Concepcin

b)Maritza es contadora y administradora3) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposicin

simple y una proposicin compuesta

4) Determina los valores de verdad de las siguientes

proposiciones:

a)Huancayo es una ciudad con 5 mil habitantes

b)Es falso que, Andrs Avelino Cceres no naci en El Tambo

c) 20 es mltiplo de 4, pero 7 es menor o igual que 10d)O 9 es mayor que 5 o es menor que 5

e)24 es mltiplo de 8 puesto que 24 es un nmero impar

5) Si: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]p~qqp~qrqp~~ , es verdadera.

Calcula los valores de verdad de p, q y r.

6) Si: ( ) ( )s~r~q~p , es falsa. Determina los valores de

verdad de los esquemas moleculares:

a) ( ) p~s~q~~ b) ( ) ( );q~p~sr~~

7) Sabiendo que el valor de verdad de la proposicin compuesta:

( )[ ] ( )[ ]{ } ( )[ ]tpssqpqA = rp~ , es siempre falsa.

Determina el valor de verdad de la proposicin

( ) ( ) ( )[ ]{ } tpr sr~qp~

8)Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes

proposiciones y evala si es tautologa, contradiccin ocontingencia:

a) ( )[ ] ( )pq~~p~q~p b) ( )[ ] ( )[ ]q~rp~r~ qp

9)Dadas las proposiciones: ( ) ppM = q~ y

( ) qpN = q~ . Evala si M implica a N.

10) Dadas las proposiciones ( ) ( )qp~q = pS y q~p~ =T

Evala si S es equivalente a T.


24/34


24

8. LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL

Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes

lgicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero slo

consideraremos algunas a las que llamaremos leyes del lgebraproposicional

1) Leyes del tercio excluido

p~p V p~p F

6) Leyes distributivas

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )rpqprqp

rpqprqp

rpqprqp

rpqprqp

2) Ley de involucin o doble

negacin

~(~p) p

7) Leyes de De Morgan

( )

( ) q~p~qp~

q~p~qp~

3) Ley de idempotencia

pp p pp p

8) Leyes condicionales

( ) ~qpqp~

qp~qp

4) Leyes conmutativaspqqp

pqqp

pqqp

9) Leyes bicondicionales( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )q~p~qpqp

pqqpqp

5) Leyes asociativas

( ) ( )rqprqp

( ) ( )rqprqp ( ) ( )rqprqp

10) Leyes de absorcin

( )

( )( )

( ) qpqp~p

pqpp qpqp~p

pqpp

11) Formas normales para la conjuncin y disyuncin

VVpFFp

pFppVp

FFFVVV


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25

Las leyes del lgebra proposicional se aplican o utilizan en

la validacin de proposiciones compuestas, es decir, para

determinar el valor de verdad de una proposicin. Adems se

utiliza en la simplificacin de proposiciones compuestasEjemplo:

Simplifica la proposicin ( ) ( )qp q~p~ aplicando las

leyes del lgebra proposicional

( )[ ] ( )qp q~p~~ Ley condicional

( ) ( )qpp q~ Ley de doble negacin

( )qq~ p Ley distributiva

Vp Ley del tercio excluido

p Formas normales


Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes

del lgebra proposicional:1) ( )[ ] p q~qp~~

2) ( )[ ] ( )pq~p~ qp

3) ( ) ( )( )[ ] ( ){ }qp~qp~q~p~~ p

4) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } q~q~p~q~p~ pqpqp

9.

LA INFERENCIA LGICA O ARGUMENTO LGICOSe llama inferencia lgica o argumento lgico a toda

condicional de la forma: ( ) qp...pp k21 donde las

proposiciones kppp ,...,, 21 son llamadas premisas, y originan como

consecuencia otra proposicin denotada por q llamada conclusin.

Una inferencia puede ser tautologa, contingencia o

contradiccin.


26/34


26

Si la condicional es una tautologa, es decir si es una

implicacin entonces recibe el nombre de argumento vlido o

inferencia vlida.

Si la condicional no es una tautologa entonces se denominafalacia o simplemente argumento no vlido.

Ejemplo:

Vlida el argumento ( ) pqp

Solucin

Aplicando las leyes del lgebra proposicional

( ) p qp~~ .. Ley condicional

( ) p q~p .. Ley de De Morgan

p .. Ley de absorcin

Ejemplo:

Valida el siguiente argumento:

Los ministros no comunican al pueblo sobre las obras del

gobierno dado que son mudos. No es cierto que, los

ministros sean mudos porque con frecuencia sonentrevistados en los medios de comunicacin. Por tanto,

los ministros no son mudos.

Solucin:


1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las

leyes del lgebra proposicional y construyendo tablas de

verdad:

a)

q~

________

qp~

qp

b)

( ) ( )

( ) ( )

( ) q~p~

______________

s~q~

srqp

c)

( )

( )

s

sr

rpq

p

______________

q~p~~


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27

2)Dados los argumentos siguientes, determina en cada caso si es

un argumento vlido o si es una falacia traduciendo

previamente a smbolos:

a) Si 10 es impar, entonces 4 no divide a 11

7 no es primo 0 4 divide a 11

Pero 7 es primo

10 es par

b) Si el mnibus sufri desperfectos en el camino entonces

Patricia llegar tarde a la Universidad. Pero, Patricia nollegar tarde a la Universidad. Por tanto, si el mnibus

sufri desperfectos en el camino entonces Patricia viaj

en taxi.

c) Si trabajo no puedo estudiar

Estudio o apruebo matemtica

Trabaj

Por lo tanto, aprob matemtica

d) En el cumpleaos de mi esposa le llevar flores. Es el

cumpleaos de mi esposa o trabajo hasta tarde; pero

hoy no le llevar flores a mi esposa. Por tanto, hoy

trabaj hasta tarde.

10. CIRCUITOS LGICOS O BOOLEANOS

El valor de verdad de una proposicin puede asociarse al

paso de corriente elctrica por un circuito elctrico controlado por

un interruptor. Es decir, si el interruptor est cerrado entonces

pasa corriente y si el interruptor est abierto entonces no pasa

corriente.


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28

p p

CIRCUITO CERRADO CIRCUITO ABIERTO(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)

10.1. CIRCUITOS EN SERIE

Son aquellos que constan de dos interruptores p y q

conectados en serie, de modo que en todo el circuito pasar lacorriente solamente en el caso en que ambos interruptores p y q

se encuentren cerrados.

p q

Esto corresponde a la tabla de valores de verdad de la

conjuncin.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

10.2. CIRCUITOS EN PARALELO

Son aquellos circuitos que constan de dos interruptores p y q

conectados en paralelo, de modo que para que pase la corriente

en el circuito es suficiente que alguno de los interruptores p o q

est cerrado y solamente deja de circular la corriente si ambos

estn abiertos.

OBSERVACINV=1F=0

p

q


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29

Esto corresponde a la tabla de verdad de la disyuncin

inclusiva.

SIMBOLOGA:

De aqu en adelante esquematizaremos a un interruptor p

simplemente como:


Construye los siguientes circuitos:

1) ( ) ( )[ ] ( )qp~s~qp~~ p

2) ( ) ( )( )q~p~ qp

3) ( ) ( )[ ] ( )q~p~p~p~pq~

4) ( )[ ]{ } p~r~p~qp~~

Dados los siguientes circuitos, simplifica y expresa el resultado

como proposicin:

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 10 0 0

p


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30

AUTOEVALUACIN Nro. 01

1)Escribe al lado derecho de cada una de las siguientes

expresiones, si es: enunciado, proposicin o enunciado

abierto:

1) 72=x

2)Quin llam por telfono?

3) 1059 4)Ella es contadora y administradora

5)Viva el Per!

6)Si hoy es jueves entonces maana es viernes

2)Escribe en el lenguaje simblico:

1)No es cierto que, Yumara no es alcaldesa de Huancayo

2)Yulissa lleg tarde porque el carro no se malogr

3)Dadas las proposiciones:


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31

p : Yamile estudi matemtica

q : Yamile aprob matemtica

Expresa en el lenguaje escrito:

1) ( )qp~~ 2) qp~

4)Determina los valores de verdad de las siguientes

proposiciones:

1)Alan Garca no es el alcalde de Huancayo

2)Es falso que, las rosas no son de color negro

5)Escribe al lado derecho de cada expresin, si es una

proposicin simple o compuesta

1)Hoy es lunes

2)Si estudio entonces ser un buen profesional

3) 734 +

4)Alberto es docente de la facultad

6)Si la proposicin ( ) q rp~ es verdadera. Calcula los valores

de verdad de:

1) ( ) r~qp

2) ( ) pqr~

7)Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes

proposiciones y evala si es: tautologa, contradiccin o

contingencia

1) ( ) ( )pq~qp~

2) ( ) ( )qpp q~

8)Dadas las proposiciones: ( )qp~ =R y qp~ =S . Evala si R

implica a S

9)Dadas las proposiciones: ( )qp~~ =M y pq~ =N . Evala si

M y N son proposiciones equivalentes

10) Simplifica el siguiente esquema molecular aplicando las leyes

del lgebra proposicional

( )[ ] ( )pq~~ pqp


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32

11) Valida el siguiente argumento

Trabajo o apruebo matemtica

Si trabajo no puedo estudiar

Aprob matemticaPor lo tanto, estudie

12) Construye el circuito correspondiente a la proposicin:

( )[ ] p~q~ qp

13) Expresa como proposicin el circuito

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIN Nro. 01

1)

1)Enunciado abierto

2)Enunciado

3)Proposicin

4)Enunciado abierto

5)Enunciado

6)Proposicin

2)

1) ( )p~~

2) pq~

3)

1)No es cierto que, Yamile no estudia matemtica pero

aprob

2)Yamile no estudia matemtica entonces aprueba

4)

1)Verdadero2)Falso


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33

5)

1)Proposicin simple

2)Proposicin compuesta

3)Proposicin compuesta4)Proposicin simple

6) p = V ; q = V y r = F

1)Verdadero

2)Verdadero

7)

1)Contingencia

p q ( ) ( )pq~qp~

V V F V V F F V V

V F F V F F V V V

F V V V V V F F F

F F V F F V V V F

2)Tautologa

p q ( ) ( )qpq~p

V V V F F V V

V F V V V V V

F V F F F V V

F F F F V V F

8) R no implica a S, porque al construir su tabla de verdad seobtiene como resultado contingencia

9) M y N son proposiciones equivalentes, porque al construir su

tabla de verdad estas son iguales en sus diferentes

combinaciones

10) ( )[ ] ( )pq~qp~~ p

( )pq~pq~ p

( )pq~q~ p


34/34


34

q~p

11) qp

rp ~

q _________

r

Al validar por cualquier mtodo se obtiene como resultado

contingencia, es decir, el argumento no es vlido

12)

13) ( ) ( )[ ]{ } q~p~qp~ qp

BIIBLIOGRAFA

1.ALLEN R. A. 1 992. lgebra intermedia, 2da. Edicin,

Editorial, Prentice Hall, Mxico

2.FIGUEROA G. R. 2 003. Matemtica bsica I, 5ta. Edicin,

Editorial Amrica, Lima - Per

3.VENERO B. A. 2 002. Matemtica bsica, SE, Editorial San

Marcos, Lima Per

4.EDUARDO BELLO REGUERA. 2006. Discurso del mtodo,sexta edicin, Editorial Tecnos, Madrid Espaa.

5.MOSTERIN, JESUS y TORRETTI, ROBERTO. 2 002. Diccionario

de lgica y filosofa de la ciencia, primera edicin, Alianza

editorial S.A.MadridEspaa

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Fasciculo de Logica-1