2هندسه

1

ن�����: �كه داراي ويژگي معيني هستند، يعني هر نقطه در اين مجموعـه داراي ايـن مجموعه نقطه،مكان هندسي هايي از صفحه يا فضا است

كه اين ويژگي را دارد عضو و هر نقطه .مي باشدمجموعهآنويژگي است

چند مكان هندسي مهم:

ن كه از دو خـط انـد، عمـود منصـف پـارهبه يك فاصلهBوAقطه ثابت مكان هندسي نقاطي از صفحه،

ABاين مكان در فضا صفحه عمودمنصف پاره) است.)ABخط است.

كه از نقطه به مركـز دايره،باشندRبه فاصله معلومAي مكان هندسي نقاطي از صفحه و شـعاعAاي

Rاين مكان در فضا كره) به مركز است. است.)Rو شعاعAاي

به يـك فاصـلهمك كه از دو خط متقاطع انـد، دو خـط متقـاطع عمـود بـر هـم ان هندسي نقاطي از صفحه،

(اين مكان درفضا دو صفحه متقاطع عمود بر هم است.)(نيمساز زوايا) است.

ه نتيجه: كه بر دو خط متقاطع مكان ماسند، دو خط متقاطع عمود بـرمندسي مراكز دوايري در يك صفحه،

است. زوايا)(نيمساز هم

م كه از دو خط به موازاتخطيكاند،به يك فاصله وازيمكان هندسي نقاطي از صفحه، و بين دو خط

و به فاصله (اين مكان درفضاي مساوي از آنهاست آن دو و به صفحهيك. به موازات آن دو و بين دو خط

ي دو خط است.)ي مساوي از آنها وعمود بر صفحه فاصله

همكنتيجه: مان كه بر دو خط وخطيكماسند،م وازيندسي مراكز دوايري در يك صفحه، بـين دو خـط

به فاصله و .ي مساوي از آنهاستبه موازات آن دو

كه از خط مفروض dخط هستند، دو خط موازي باaبا فاصله معلومdمكان هندسي نقاطي از صفحه

(اين مكان در فضا سطح جانبي استوانهباشدمي است.)aو شعاع قاعدهdي با محورا.

نتايج:

ه كه بر يك خط مستقيم مماسـند، دو خـط الف) مكان به شعاع معلوم در يك صفحه، ندسي مراكز دوايري

موازي با خط مفروض است.

به ضلعب) كه فاصله آنها حداقل ازLمربعي مفروض است. مكان هندسي نقاطي داخل صفحه مربع

است، شكل مقابل است.′L يك ضلع مربع مساوي

به شعاع معلوم در يك صفحه، كـه بـر دايـره مفـروض مماسـند دو دايـره بـه مكان هندسي مراكز دوايري

RR,RRشعاعهاي است.+′−′

2

مي توان عمودي گذرنده از نقطه-7 كه از آن نقاط خطAي مكان هندسي نقاطي آنdواقع بر بر

نقdخط رسم كرد، خطي است عمود بر خط .Aيطهدر

كه در نقطه معلوم نتيجه: يـك،مماسـندdبر خط معلـومAمكان هندسي مراكز دوايري در يك صفحه

است.dخط مستقيم عمود بر خط

كه از دو نقطه ثابت ABخـط منصف پـاره گذرد، عمودميBوAمكان هندسي مركز دوايري

است.

كه از آن نقاط مماسها-9 به طول معلوم مكان هندسي نقاطي Rبه شـعاعوOبه مركزاي بر دايرهLيي

به شعاع توان رسم كرد، دايرهمي Rاي L+2 به2 است.Oي نقطهمركزو

كه از آن نقاط دمكان هندسي نقاطي باو مماسمي توان Rاي بـه شـعاع بر دايـره بسازندαهم زاويهكه

به مركز دايره مفروض رسم كرد دايره و با شعاع ايR

sin α2

باشد.مي

كه از آن نقاط حالت خاص: دمكان هندسي نقاطي برو مماسمي توان به شعاع دايره عمود بر هم اي به مركز دايره رسم كرد دايرهRاي

Rشعاعو با مفروض نام دارد.)ي مونژ دايره(اين دايره اصطالحا.باشد مي2

تـوان دو ممـاسي نقاطي است كه از آن نقـاط مـي مكان هندس،امتـداد وتر مشتـرك دو دايره متقاطع-11

مساوي بر دو دايره رسم كرد.

دو مكان هندسي نقاطي است كه از آن نقـاط مـي، مماس مشترك داخلي دو دايره مماس خارج-12 تـوان

مماس مساوي بر دو دايره رسم كرد.

RL

22 RL +

R

A

B

A d

3

دوت مـي كـه ضـلعهايش از دو نقطـه ثابـαاي برابر مكان هندسي رأس زاويه-13 گذرنـد، كمانهـايي از

كه از آن دو نقط دايره مييهي مساوي است و زاوي ثابت به وتـر مشـترك آنهـايهگذرند به رو مركزي رو

ميαيهاست. اين كمان، كمان در خور زاويα2برابر كه پـاره شود. ناميده در واقع مكان هندسي نقاطي

ب ABخط مي كنند دو كمانαي زاويهارا از دايره است. رويت

كه مجموع فواصل هر يك از آنها از دو خط متقاطع-14 dمكان هندسي نقاطي از صفحه ,d′ثابت باشـد

كه دو قطر آن منطبق بر dخطوط مستطيلي است ,d′باشد. مكان هندسي نقاطي كـه تفاضـل فواصــلمي

dهـر يك از آنها از دو خط متقاطع ,d′يل اسـت كـه دو مقداري ثابت باشد، امتـداد اضـالع يـك مسـتط

dقطرش بر ,d′مي باشد. منطبق

و رأسCوBدو رأس∆ABCمثال: در مثلث� كند، مكان هندسي مركـز دايـره محيطـي در صفحه مثلث تغيير ميAثابت

مثلث كدام است؟

حل:�

و يكــي از ايــن چــون مركــز دايــره محيطــي محـــل برخـــورد عمـــود منصــفهاي مثلــث اســـت

BCاست. پس مكان مطلوب همان عمودمنصف BCخط ثابت ها عمودمنصف پاره عمودمنصف

خواهد بود.

را قطع∆متوازيند، خط متغير′dوdمثال: دو خط ثابت� . مكان هندسي نقطه تالقـي نيمسـازهاي دو زاويـه نموده استآنها

مقابل داخلي كدام است؟

حل:�

HMMHHMHMHMMH

′′=⇒′′=′′=

آ و مكان هندسي به يك فاصله است ′dوdن خطي موازي با پس نقطه متغير همواره از دو خط

به يك فاصله از آن هاست.و

و رأسCوBدو رأس∆ABCمثال: در مثلث� ACكند كـه طـول ميانـه ضـلع در صفحه مثلث طوري تغيير ميAثابت

كدام است؟Aهمواره مقداري ثابت است. مكان هندسي رأس

حل:�

به اندازه خودش تا نقطه BCاگر ازBاز طرفOرا و Oوصل كنيم، اوال نقطـهAبهO ادامه دهيم

BMOAداريم∆OACيك نقطه ثابتي است. ثانيا در مثلث ثابت OAثابت است پسBM، چون=2

ايبه فاصله ثابتي قرار دارد. لذا مكـان هندسـي دايـرهOهمواره از نقطه ثابتAاست. يعني نقطه متغير

به مركز .Oاست

A

B C

M

A BH

ORα

α

A

B C

M

O

dH ′

d ′

∆

M

H ′′

H

4

و دو رأس ثابBوAدو رأس،ABCDدر متوازي االضالع:مثال� كه چنان تغيير ميDوCـت مقداري ثابتADكنند

كدام است؟CDاست. مكان هندسي وسط

حل:�

به مركز وسط دايرههندسي نيز ثابت است. لذا مكان OMثابت باشد،ADاگر .ABاي است

R(Rمتغيرو به شعاعAبه مركز دوايريرا برBTممــاسBمفروضند. از نقطهBوAمثال: دو نقطه ثابت� AB)<

كدام است؟Tي كنيم. مكان هندسي نقطه رسم مي

حل:�

به قطر90°هموارهBTAچون به مركز وسـط دايره،است. لذا جوابABاست لذا رو اي است

ABو قطرAB.

و آنرا بـه انـدازهMبه نقطهAمفروض است. از نقطهABاي به قطر مثال: دايره� Nتـا نقطـهAMي از دايره وصل كرده

ميامت بر روي دايره، كدام است؟Mبا تغيير نقطهNدهيم. مكان هندسي نقطه داد

حل:�

BNABBMNABM =⇒∆=∆

BNABچون به مركز دايره،هندسيثابت است. لذا مكانMبا تغيير BN، لذا= .Bاي است

مكان هندسي نقاطي از صفحه كه نسبت فواصلشان از دو خط متقاطع مقدار ثابتي باشد، كدام است؟ مثال:�

:حل�

)ا نقطه دلخواه ابتد )Y,XM مي= به فرض مسأله داريم:را در نظر گيريم. با توجه

2222 ba

cYbXakba

cbYaXkHM

MH

′+′

′+′+′±=

+

++⇒=

′

مي باشد. كه معادله دو خط متقاطع

خط مثال:� هم10به طولABپاره و دو سر آن روي دو خط عمود بر تغييـر مكـان مـي دهنـد، مكـان′dوdسانتيمتر است

كدام است؟ABوسطMهندسي نقطه

:حل�

و طول وتر همواره برابر چون ميانه وارد يي نقطه است، فاصله10بر وتر نصف وتر است

Mاست. پس مكان5از مبدأ مختصات همواره برابرMو دايره به مركز مبدأ اي است

.5شعاع

H

H′

M

T

BA

N

M

BA

A B

D C

O

M

d′

dO

BM

A

5

خطBمفروض است. اگر نقطه xAyزاويه ثابت مثال:� خطCو نقطهAxروي نيم دهAyروي نيم د، مكان تغيير مكان

كدام است؟ ABCاز مثلثCوBنقطه برخورد نيمسازهاي خارجي دو زاويه هندسي

:حل�

سه نيم هم چون همواره و اين نقطه ساز يكي از نقاط نيم رأسند است xAyي ساز زاويهي همرسي

xAyي ساز زاويه نقاط مختلف نيم،ساز خارجيو اين خط، خط ثابتي است پس با تغيير دو نيم

شود.مي توليد

راس ABCدر مثلث مثال:� راسCوBدو و رAثابت سأدر صفحه مثلث تغيير مكان مي دهد. مكان هندسي پاي ارتفاع نظير

Bكدام است؟

:حل�

مي°90ي را همواره با زاويهBCخط پارهHي چون نقطه Hي كند، لذا مكان هندسي نقطه رؤيت

به قطر دايره .BCاي استB C

A

H

A

B

C

6

ت�����:���به كمك خط و پرگار، براي ترسيمات هندسي ميكش غير مدرج كنيم، سپس مسأله ترسيم را تبديل بـه ابتدا مسأله را حل شده فرض

مي مي كنيم، شرط يافتن يك نقطه مجهول به دو جزء تقسيم كه هر كدام از شرط هاي مسأله را به طوري به يك مكان هندسي بـراي كنيم ها،

تبي نقطه مجهول فصل مشترك اين دو مكان هندسي است.ي نقطه،ديل شودمجهول

ه مكان ترسيم مهم: ندسيهاي رسم نيمساز يك زاويه:

به اندازه دلخواهي باز و سـر آن را روي رأس زاويـه نمـوده براي رسم نيمساز يك زاويه، پرگار را

مي مي قرار و كمان به اندازه دلخـواهي زنيم تا اضالع زاويه را قطع كند. سپس مجددا دهيم پرگار را

مي ديگرو از نقاط تقاطع دو كمانكرده باز كه از نقطـه رسم ي كنيم تا يكديگر را قطع كنند. خطي

مي به رأس زاويه وصل شود، نيمساز زاويه است. تقاطع دو كمان

خط: رسم عمودمنصف يك پاره

و پـايين پـاره براي رسم عمودمنصف يك پاره خط، دو كمان مساوي از دو سر آن پاره خط در بـاال

مي مي خط و در پايين نيز در يك نقطه همديگر را قطع كننـد. خـط زنيم، اين دو كمان در باال در يك نقطه

عمودمنصف پاره خط مفروض است.، واصل بين اين دو نقطه

مي تذكر: آن رسم خطي عمود بر خط داده شده از نقطهتوان براي از روش فوق يز بهره گرفت.ناي روي

اي روي آن: روش ابوالوفاء بوزجاني براي رسم خطي عمود بر خط داده شده از نقطه

ميdرا رويBي ابتدا نقطه،dواقع بر خط مفروضAي براي رسم خط عمود از نقطه ي كنيم.دهانـه اختيار

به اندازه خط پرگار را ميABي پاره به مركزهاي باز به شعاعBوAكنيم دو دايره ميABو يك رسم كنيم.

را نقطه ازميCي برخورد اين دو دايره ميCبهBناميم. و پاره وصل بـهCي را از طرف نقطهBCخط كنيم

ميDيي خودش تا نقطه اندازه از ادامه ميAبهDدهيم. dبـر خـطAي در نقطـهADكنـيم. خـط وصل

عمود است.

كد مثال:� ي زير استوار است؟ ام قضيهروش ابوالوفاء بر

ي تماس بر شعاع وارد بر آن نقطه عمود است.) خط مماس بر دايره در نقطه1

است. الزاويه قائمي وارد بر يك ضلع نصف آن ضلع بود، مثلث) اگر در مثلثي ميانه2

درجه اند.60زاويه هاي داخلي،االضالع) در مثلث متساوي3

به) زاويه4 است.درجه90،قطر در دايرهي محاطي مقابل

پاسخ است.3گزينه:حل�

مي گيرد، تصميم در ساختن مثلث متساويBCوAB،ACچون ابوالوفا بـا هـمCDوACاالضالع دارد. لذا چون را مساوي در نظر

يك60يك زاويه ABDدرجه است. لذا در مثلث30برابر ACDي غيرمجاور مثلث مساويند هر زاويه اسـت، پـس درجـه30زاويهو

،ABگفـت هم صادق است اما منظور نظر ابوالوفـا نبـوده والـا نمـي2ي درجه است. البته در مورد روش ابوالوفا گزينه90،ي سوم زاويه

AC وBC.مساوي باشند

B

D

A

C

7

اي خارج آن: رسم خطي عمود بر خط داده شده از نقطه-3

ن اي خارج آن، ابتدا يك كمـان از نقطـه خـارج قطهبراي رسم خط عمود بر خط داده شده از

مي كه خط را در دو نقطه قطع كند. حال عمودمنصف پاره خط، رسم به نحوي خط قرار گرفته كنيم

مي به روش مثال قبل، رسم كنيم. بين دو نقطه را

اي خارج آن: رسم خطي موازي يك خط، از نقطه-4

خ براي رسم خطي موازي يك خط از نقطه ارج از آن، ابتدا از آن نقطه بر خط مفـروض عمـودي اي

مي (با روش مثال قبل) سپس از نقطه مفروض رسم خـط مفـروض يك عمود بر خط عمود شده بـر،كنيم

مي مي.كنيم رسم كه از نقطه مورد نظر دو كمان مساوي در دو طرف دربه اين ترتيب زنيم تا خط عمود را

(عمو خـط قـرار گرفتـه بـين دو كمـان، اي روي خط بر خط) پارهد از نقطهدو نقطه قطع كند. عمودمنصف

خطي موازي خط اوليه است.

آن براي رسم خطي موازي يك خط از نقطه روش ابوالوفاء بوزجاني :اي خارج از

Aي از نقطـهdخارج آن داده شده است. براي رسم خطي بـه مـوازاتAيو نقطهdخط

و دهانهdرا رويBي دلخواه نقطه گشـاييم. بـه مـيABيي پرگار را به اندازه اختيار كرده

خطمييك دايره رسمABوشعاعBمركز آنCي را در نقطهdكنيم تا گـاه بـه قطع كنـد.

ميو با همان شعاع قبلي دايرهAمركز وشعاعي برابـرBكنيم. سپس به مركزي ديگري رسم

AC مي دايره و نقطـي ديگري رسم DراBوAي برخـورد دو دايـره بـه مركزهـايهكنيم

از مي ميDبهAناميم. ازADكنيم. وصل ميdبه موازاتA خطي است كه شود. رسم

ي زير استوار است؟ روش ابوالوفاء بر كدام قضيه مثال:�

الزاويه نصف وتر است.ي وارد بر وتر در مثلث قائم) ميانه1

ي تماس بر شعاع وارد بر آن نقطه عمود است.) خط مماس بر دايره در نقطه2

االضالع است. دو مساوي باشند، آن چهارضلعي متوازيه) اگر اضالع مقابل يك چهارضلعي دوب3

متي خارجي زاويه) نيمساز زاويه4 الساقين موازي قاعده است.يساوي رأس مثلث

پاسخ است.3گزينه:حل�

ميBCرا مساويADوBDرا مساويACدر واقع ابوالوفا و اگر اضالع مقابل يك چهارضلعي دوبـ رسم آنهكند. دو مسـاوي باشـند

االضالع است. چهارضلعي متوازي

رسم مثلثي كه سه ضلعش معلوم است:-5

سه ضلعش معلوم است ابتدا پاره كه خطي بـه انـدازه يكـي از اضـالع معلـوم رسـم براي رسم مثلثي

به وسيله پرگمي و سپس به اندازه دو ضلع ديگر از دو سر كنيم نمـاييم. مـي خـط رسـم پـاره آن ار دو كمان

رأس سوم مثلث است.،محل تالقي دو كمان

كه-6 و زاويه بين آن دو ضلعش معلوم است: رسم مثلثي دو ضلع

به اندازه وي دو ضـلع داده شـده كمـان مـي ابتدا زاويه را رسم سپس روي دو ضلع آن زنـيم

ميانتهاي دو كم كنيم. ان را بهم وصل

A

C

D

Bd

8

كه-7 و ضلع بين آن دو زاويه معلوم است: رسم مثلثي دو زاويه

به اندازه و سپس از دو سر آن و ضـلع ابتدا ضلع را رسم ي زاويه هاي داده شده جـدا كـرده

ب ميهدوم اين دو زاويه را كنيم. هم وصل

حاالت رسم مثلث:32ضلعي بايدnبه طور كلي براي رسم يك −nديگر جزء مستقل از يكnضلعي معلوم باشد. بنابراين براي رسم يـك مثلـث بايـد سـه

سه زاويه به عنوان مثال سه جزء مستقل از هم محسوب نمي جزء مستقل از هم معلوم باشد، ازي مثلث شوند، چون با معلـوم بـودن دو تـا

مي آن هم ها سومي نيز معلوم سه ضلع مستقل از و بـراي هستند. البته مسأله شود ولي و متنوع هسـتند به رسم مثلث بسيار زياد هاي مربوط

مي ها قضيه حل آن به همين دليل نمي هاي بسياري از هندسه مورد استفاده قرار آن گيرد، ها بيان كرد. توان روش كلي براي حل

مثلث با دو نوع سؤال مواجهيم: در واقع در بحث ترسيم

ا-1 ميآيا با داشتن توان مثلث را رسم كرد يا نه؟ يعني آيا اين اطالعات براي رسم مثلث كافي است؟ ين اجزا

مي توان رسم كرد؟-2 اگر اين اجزا براي رسم مثلث كافي است، با اين اعداد چند مثلث متمايز

آنهـا متفـاوتيبايد توجه داشت كه دو مثلث وقتي متمايزند كه حداقل يكـي از اجـزا

يك باشد، مثال و در شمارش مي دو مثلث زير متمايز نيستند شوند. بار محاسبه

به بررسي چند حالت از مهم مي حال پردازيم: ترين حاالت رسم مثلث

مي-1 ض با معلوماتي كه دو مثلث با هم برابر ز (ض و زاويه،شوند و همچنين دو ضلع ز ض ز ض ض، ي مقابل به ضلعض

ب بزرگ ميتر) حداكثر يك مثلث منحصر شود.ه فرد مشخص

مي در كليه حاالت خاص: را رسم كنيم.ي حاالت زير با رسم مثلث هاشورخورده، توانيم مثلث اصلي

BCمثلث را با معلوم بـودن انـدازه ضـلع-1 a=هـايو ميانـهbBB m′ cCCو= m′ =

توان رسم كرد.مي

كه اضالع آن 2در واقع اگر مثلثي3 bm،2

3 cmوaمي و قابل رسم باشد، تـوان بـر باشد، موجود

كه اضالعش ست ترسيم نمود.اcوa،bاساس آن مثلث اوليه را نيز

bACمثلث را با معلوم بـودن انـدازه ضـلع-2 bBBهـايو ميانـه= m′ cCCو= m′ =

توان رسم كرد.مي

كه اضالع آن 1در واقع اگر مثلثي3 bm،2

3 cmو2bمي و قابل رسم باشد، بر است، موجود توان

اساس آن مثلث اوليه را نيز رسم كرد.

bACمثلث را با معلوم بودن اندازه ضلع-3 cABو= bmBMيو ميانـه= تـوان مـي=

رسم كرد.

كه اضالع آن ،bmدر واقع اگر مثلثي2bوcمي و قابل رسم باشد، توان بر اسـاس است، موجود

آن مثلث اوليه را نيز رسم كرد.

bACمثلث را با معلوم بودن اندازه ضلع-4 cABو= amAMيو ميانـه= تـوان مـي=

رسم كرد.

كه اضالع آن 2وb،cدر واقع اگر مثلثي amو قابل مياست، موجود توان بر اسـاس رسم باشد،

آن مثلث اوليه را نيز رسم كرد.

G

B C

AB′C′

B

AM

C

A

BM

C

9

توان رسم كرد.ميسه ميانه مثلث را با معلوم بودن اندازه-5

كه اضالع آن am2در واقع اگر مثلثي3

،bm23

cm2و3

ب و قابل رسم اشد، مثلـث است، موجود

اوليه نيز قابل رسم است.

64با معلوم بودن دو ضلع ABCدر رسم مثلث مثال:� == b,c4يو ميانه=amخط و پرگـار كـدام نتيجـه حاصـل با كـش

شود؟ مي

به فرد)2 غيرقابل رسم)1 ) فاقد جواب4) دو جواب متمايز3 جواب منحصر

:حل�

: مثلث هاشورخورده قابل رسم باشد، پس داريمبايد

5110222 ≤≤→≤≤→+≤≤− aaa mmcbmcb

541چون ب،است≥≥ فرد است.ه پس جواب منحصر

؟بود نخواهداين مثلث قابل رسم،وتر آن مشخص است. با معلوم بودن اندازه كدام جزء ديگرطولاي الزاويه مثلث قائماز مثال:�

ي حاده يك زاويه)4) ميانه وارد بر وتر3) ارتفاع وارد بر ضلع قائم2) ارتفاع وارد بر وتر1

:لح�

به دست نيامده استي وارد بر وتر نصف وتر است، در واق ميانه داريم.نياز تا جزء مستقل2و هنوزع اطالع جديدي

هاي زواياي آن اعداد طبيعي باشند؟ سانتيمتر وجود دارد كه اندازه5دو به دو ناهمنهشت با وتر الزاويه قائمچند مثلث مثال:�

:حل�

م زاويه مثلث قابل رسم است.45لذا تغيير كنند.45تا1ي توانند از هاي غيرقائمه

ميaي قابل رسم است. اندازهaو ضلعbm=12وam=9ي مثلثي با معلوم بودن دو ميانه مثال:� تواند باشد؟ كدام عدد

1(102(93(154(22

پاسخ است.3گزينه:حل�

سه ضلع بايد قابل رسم باشد، پس بايد: BGMلث مث با معلم بودن

8 3 8 3 10 222a a− < < + ⇒ < <

15aها تنها در گزينه قابل قبول است.=

A

BM

C

A

BM

C

M′M ′′

A

B M C

G

2a

13

3 am =

2 83 bm =

10

را رسم كرد؟ ABCكدام باشد تا بتوان مثلثcmمعلومند.bm=5وam=3هاي ميانه ABCاز مثلث مثال:�

1(9=cm2(51 /mc =3(5=cm4(1=cm

پاسخ است.3گزينه:حل�

ميMرا از طرفGMاگر ميانه به دست كهبه اندازه خودش امتداد دهيم، مثلثي آيد

2 اضالعش3 cm،2

3 bm2و3 amچون) است.

MNGMCMBM

= BGCNپس=

BGاالضالع است، لذا متوازي = CN (

ر اين مثلث رسم شود، مثلث اوليه نيز قابل رسم خواهد بود. شرط وجود اين حال اگ

كه: مثلث اين است

)mm(m|mm| bacab +<<−32

32

32

82 << cm

و زاويه-2 :ي غير بين رسم مثلث با معلومات دو ضلع

و زاويه ي غير بين معلوم باشد دو حالت امكان پذير است: اگر از مثلثي دو ضلع

به ضلع بزرگي داده شده روبه زاويه-1 اس رو دو،ت: در اين حالت تنها يك مثلث قابل رسم استتر چون اين حالت جزء حالـت تسـاوي

مثلث است.

به ضلع كوچكي داده شده روبه زاويه-2 هـا اسـتفادهي سـينوس تر است: در اين حالت براي پيدا كردن تعداد حاالت ممكـن از قضـيه رو

وa،bكنيم مثال اگرمي∧Bمي نويسيم: معلوم باشد،

<=>

=⇒=

∧∧

∧∧111

bBSinaASin

BSin

b

ASin

a

و يك ضلع زاويه الزاويه قائمدر مثلث لت خاص: حا به صورت منحصر بفرد قابل رسم است. با معلوم بودن وتر ي قائمه مثلث

36660با معلوماتمثال:� ===∧

a,b,A شود؟ چند مثلث مشخص مي�

حل:�

°=→=→=→= 30216

6036 BBsin

BsinsinBsinb

Asina

=°جواب 150Bمي رود180غير قابل قبول است چون مجموع زواياي داخلي از مي1، پس فقط فراتر شود. مثلث مشخص

مي� آني يكي از زاويه توان رسم كرد كه اندازه مثال:چند مثلث متفاوت آنو اندازه45°هاي 6,هاي دو تا از اضالع باشد؟5

حل:�

===°اگر 4565 A,b,cمي باشد، آن به فرد توان رسم كرد. گاه يك مثلث منحصر

===°اگــر 4565 B,b,cگــاه طبــق قضــيه سينوســها: باشــد، آن12255

456

=⇒=°

CsinCsinsin

144Cكــه در ايــن حالــت = °

≈°اي 36Cكه حالت =°است 144C.مج( غير قابل قبول است ازمچون )كندمي180°وع زواياي داخلي مثلث را بيش

به فرد قابل رسم است. لذا در اين حالت نيز يك مثلث منحصر

===°اگر 4565 C,b,cبه قضيه سينوس باشد، آن ها: گاه با توجه5236

455

=⇒=°

BsinBsinsin

122Bكـه در ايـن حالـت = °

≈°يا 58Bكه هر دو حالت قابل قبول است. است

مي پس در مجموع چهار مثلث با اين داده توان رسم كرد. ها

يك مثلث

حداكثر دو مثلث

فاقد جواب

A

BC

NM

M ′′ M′G

11

A: با معلومات مثال� π=

3abو چند مثلث مي توان رسم نمود؟=2

:حل�

1262

3

>=→==π

→= BsinBsina

Bsinb

sin

aBsin

bAsin

a

كه غير ممكن است پس مسأله فاقد جواب است.

4303با معلومات:مثال� === a,C,ma چند مثلث مي توان رسم نمود؟�

:حل�

لث اصلي نيز قابل رسم است.اگر مثلث هاشور خورده را رسم كنيم، مث

312

2132

111

=→=→= AsinAsinAsin

a

Csinma

از فقط پس به دست آمده كمتر از درجه است،30يك جواب قابل قبول است، چون زاويه درجـه اسـت كـه بـا150پس مكملش بيشـتر

غيرقابل قبول است.°30ي وجود زاويه

و ارتفاع وارد بر ضلع سوم:-3 )b,c,h( رسم مثلث با معلومات دو ضلع a

(مثال ABCاگر از مثلث (يعنيcوbدو ضلع و ارتفاع وارد بر ضلع سوم (ah:معلوم باشد، چند حالت ممكن است رخ دهد (

cbاگر-1 bh,chباشد چون≠ aa ميمي>> به دست يكي حاده باشد، دو مثلث كه ؛ يكي منفرجه آيد و الزاويه است. الزاويه

cbhاگر-2 a cbhباشد يا>= a (دو ضلع برابر يا ارتفاع بر=> (در حالـت اول ابر ضلع كوچكباشد تـر باشـد) دقيقـا يـك مثلـث

ميالزاويه قائمو در حالت دوم الساقين متساوي به دست آيد.)

در غير اين صورت جوابي براي مسأله وجود ندارد.-3

acبا معلومات مثال:� ,b , h= = =3 2 و ارتفاع وارد بر ضلع سوم) چند مثلث متمايز مي توان رسم كرد؟1 (دو ضلع

:حل�

ميahتوانند دو طرف ارتفاعميb,cاضالع حالت قابل رسم است:2پس قرار داشته باشند.ahتوانند در يك طرف ارتفاع باشند يا

يا

چند مثلث قابل رسم است؟ch=2وa،5=b=2با معلومات مثال:�

:حل�

ahcچون كه آن= مي توان رسم كرد است. الزاويه قائمهم فقط يك مثلث

دو-4 و ارتفاع وارد بر يكي از همان اضالع رسم مثلث با معلومات )a,b,h(ضلع a :

در اين صورت چند حالت ممكن است رخ دهد:

كه bhaدر صورتي و اگر> bhaباشد، دو مثلث در غير اين صورت هيچ مثلثـي قابـل توان رسم كرد،مي الزاويه قائمباشد يك مثلث=

رسم نيست.

B

A

M C

cbah ah

b

c

12

چند مثلث قابل رسم است؟ah=5وa،6=b=8با اطالعات مثال:�

:حل�

ahbچون مي توان رسم كرد.< است، پس دو مثلث

و ارتفاع وارد بر ضلع ديگر-5 و ميانه )a,h,m(رسم مثلث با معلومات يك ضلع bb:

و ميانه كوچك كه ارتفاع از ضلع و اگـر بـا عـدد در اين صورت چند حالت ممكن است رخ دهد: در صورتي ؛ تـر باشـد دو جـواب دارد

و در غير اين صورت فاقد جواب است.ب بيشتر بين آن دو برابر شود يك جوا كوچك تر ندارد

و ارتفاع نظير آن ضلع رسم مثلث-6 و زاويه )a,h,A(با معلومات يك ضلع a:

كه كمان در خور زاويه به پاره خطAي در اين صورت مسأله در صورتي جواب دارد و خطي BCرو

به موازات را از آن رسم ميhaي وبه فاصله BCكه قطع كنند. شود يكديگر

و ميانه رسم مثلث-7 و زاويه )a,m,A(ي نظير آن ضلع با معلومات يك ضلع a:

كه كمان در خور زاويه به پاره خطAي در اين صورت مسأله در صورتي جواب دارد به مركز وسط BCرو كه و شعاع BCو دايره اي

maمي شود، يكديگر را قطع كنند. رسم

ABC ،30Aاگر در مثلث مثال:� = 6aو° =،amكدام باشد تا مثلث قابل رسم باشد؟

1(32(73(124(14

پاسخ است.2گزينه:حل�

66

2 2 30aR

Sin A Sin= = =

63 3

2 323

aOHtan A

= = =×

لذا بايد:2 aa m OH R< < باشد تا مثلث قابل رسم باشد.+

3 3 3 6 2 1 7 6 11 1am / /< < + ≅ × + ≅

7am، فقطها در بين گزينه قابل قبول است.=

A

B Chaα

A

B Cα

ma

b

a

ah

a

ahb

bm

b

bha

A

OR

HC B