Fatorial e Princípio da Contagem - PFC

Antonio Luiz Santos

Fatorial Definição: Seja n ϵ N, com n > 1. Definimos o fatorial de n, e representamos por n!, o seguinte produto: n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙...∙1

Casos especiais: 0! = 1 e 1! = 1

7! 10!

Fatorial Exemplo de aplicação: 1. Simplifique as frações:

a) 10! 7!

Solução: 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1

= 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1

Fatorial Usando a propriedade do cancelamento, temos:

10!

7! = 10∙9∙8

Fatorial

8!

5!∙3!

=

b)

8!

5!∙3!

8∙7∙6∙5! 5!∙3!

78123

678

!3!5

!8

Cancelando no numerador e denominador o fator comum 5!, teremos:

Fatorial

Um resultado interessante!

(n+1)! = (n+1).n!

Desse modo, teremos:

10! = 10.9!

8! = 8.7!

Fatorial

(n+1)!-n!=(n+1).n!-n!=n!.(n+1-1)=n.n!

Outro resultado interessante!

Desse modo, sempre que tivermos o produto de um número pelo seu fatorial, poderemos transformar isso numa subtração.

Fatorial

Calcule a soma abaixo:

1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+...+10.10!=

Fatorial

Princípio Multiplicativo ou Princípio da Contagem(PFC)

Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa i, com i = 1,2,3,...,k, tem nᵢ maneiras

diferentes de ser realizada, então o número total de maneiras para realizar a tarefa é o

produto n₁ x n₂ x n₃ x...x nk.

Princípio Multiplicativo ou Princípio da Contagem(PFC)

Exemplos de aplicação do princípio:

1. Para fazer uma viagem Teresina – Fortaleza -Teresina, posso usar como transporte o avião, o ônibus ou o carro particular. De quantos modos posso fazer a viagem, com essas escolhas de transportes, se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?

Etapas Ida Volta Total

Nº maneiras da etapa

3 2 3.2=6

Solução: Transportes disponíveis: avião,ônibus ou carro.

2. Quantos números naturais de três algarismos distintos existem escritos na base 10?

Etapas Centena Dezena

Unidade

Total

Nº maneiras da etapa

9 9 8 9.9.8=648

Solução:

3. Quantos números naturais de três algarismos existem escritos na base 10?

Etapas Centena

Dezena Unidade Total

Nº maneiras da etapa

9 10 10 9.10.10=900

Solução:

4. Uma bandeira retangular é formada por quatro listas, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listas adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?

Etapas 1ª lista

2ª lista

3ª lista

4ª lista

Total

Nº maneiras da Etapa

3 2 2 2 3.2.2.2=24

Solução:

Cores disponíveis: amarelo, branco e cinza

5. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?

Etapas 1ª pessoa

2ª pessoa

3ª pessoa

Total

Nº maneiras da etapa

5 4 3 5.4.3=60

Solução:

6. A figura seguinte mostra um mapa com 4 países: A, B, C e D. Cada país deve ser colorido com uma cor, sendo que dois países com linha de fronteira comum não podem ter a mesma cor. De quantos modos esse mapa pode ser colorido se dispomos de 5 cores?

A B

D C

Total de cores disponíveis: 5

Solução: Consideraremos dois casos excludentes.

1º caso: A e C com cores iguais

2º caso: A e C com cores diferentes

A B

D C

Total de cores disponíveis: 5

Etapas A B C D Total de

modos de colorir o mapa

Nº de maneiras da etapa

5 4 1 4 5.4.1.4=80

A B

D C

Total de cores disponíveis: 5

Etapas A B C D Total de

modos de colorir o mapa

Nº de maneiras da etapa

5 3 4 3 5.3.4.3=180

Total de modos: 80 + 180 = 260