Matemticas III 2 Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de agosto de 2009. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres de Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 9,960 ejemplares. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Acadmico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administracin y Finanzas Lic. Oscar Rascn Acua Director de Planeacin Dr. Jorge ngel Gastlum Islas MATEMTICAS III Mdulo de Aprendizaje. Copyright, 2006 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Cuarta edicin 2009. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280 Registro ISBN, en trmite. COMISIN ELABORADORA: Elaboracin: Francisco Xavier Bernal ValenzuelaOscar Esquer Garca Margarita Len Vega Correccin de Estilo: Flora Ins Cabrera Fregoso Supervisin Acadmica:Eva Margarita Fonseca Urtusuastegui Segunda Revisin Acadmica: Adn Durazo Armenta Francisco Xavier Bernal ValenzuelaOscar Esquer Garca Jess Rolando Gutirrez Duarte Edicin: Bernardino Huerta Valdez Coordinacin Tcnica: Martha Elizabeth Garca Prez Coordinacin General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar 3 COMPONENTE: FORMACIN BSICA CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMTICO Esta asignatura se imparte en el tercer semestre, tiene como antecedente Matemticas II, la asignatura consecuente es Matemticas IV y se relaciona con Clculo Diferencial e Integral, Probabilidad y Estadstica I y II, Ciencias Naturales, Sociales y Econmico-Administrativas. HORAS SEMANALES: 5 CRDITOS: 10 DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Telfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________ Ubicacin Curricular 4 Mapa Conceptual de la Asignatura GEOMETRA ANALTICALocalizacin de puntos en el plano Puntos que equidistan de un punto y una rectaSecciones cnicasParbolaLa lnea rectaaplicandoaplicandoPolgonosCircunferenciaSegmentos rectilneosResolucin de problemas Solucin de una ecuacin en dos variables Lugares geomtricosPuntos que equidistan de otro puntopara llegar al estudiode se llega al estudio su conjuncinconduce al estudio de estudiando revisando primerocontinuando conincluyendo comoaplicando aplicando 5 Recomendaciones para el alumno......................................................................7 Presentacin ........................................................................................................8 RIEMS ...................................................................................................................9 UNIDAD 1.SISTEMAS DE EJES COORDENADOS .................................. 11 1.1. Coordenadas cartesianas de un punto .............................................................. 12 1.1.1Ejes coordenados .................................................................................. 12 1.1.2Lugares geomtricos ............................................................................. 16 1.2. Conceptos bsicos sobre rectas, segmentos y polgonos .............................. 23 1.2.1.Segmentos rectilneos ........................................................................... 23 1.2.2.Rectas ..................................................................................................... 31 1.2.3.Polgonos: permetros y reas .............................................................. 41 Seccin de tareas ................................................................................................47 Autoevaluacin .....................................................................................................55 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................57 UNIDAD 2.LA LNEA RECTA .................................................................... 59 2.1. Ecuaciones y propiedades de la recta ............................................................... 61 2.1.1.Forma punto-pendiente ......................................................................... 61 2.1.2.Forma pendiente ordenada en el origen ............................................. 66 2.1.3.Forma simtrica ..................................................................................... 71 2.1.4.Forma general de la ecuacin de la recta ........................................... 74 2.1.5.Forma normal de la ecuacin de la recta ............................................ 78 2.1.6.Distancia entre un punto y una recta .................................................... 81 2.2. Ecuaciones de rectas notables en un tringulo ................................................. 83 2.2.1. Medianas .................................................................................................... 83 2.2.2. Alturas ......................................................................................................... 86 2.2.3. Mediatrices ................................................................................................. 86 2.2.4. Bisectrices ................................................................................................... 87 Seccin de tareas ................................................................................................ 89 Autoevaluacin ..................................................................................................... 97 Ejercicio de reforzamiento .................................................................................... 99 UNIDAD 3.LA CIRCUNFERENCIA ............................................................. 101 3.1. Circunferencia y otras secciones cnicas ......................................................... 102 3.1.1. Cortes en un cono para obtener circunferencias y elipses ................... 102 3.1.2. Cortes en un cono para obtener parbolas ............................................ 103 3.1.3. Cortes en un cono para obtener hiprbolas ........................................... 103 3.2. Caracterizacin geomtrica ................................................................................ 104 3.2.1. La circunferencia como lugar geomtrico .............................................. 104 3.2.2. Elementos asociados con una circunferencia ........................................ 105 3.2.3. Formas de trazo a partir de la definicin ................................................. 108 3.3. Ecuaciones ordinarias de la circunferencia ....................................................... 110 3.3.1. Circunferencia con centro en el origen .................................................... 110 3.3.2. Circunferencia con centro fuera del origen ............................................. 114 ndice 6 3.4. Ecuacin general de la circunferencia ............................................................. 118 3.4.1. Conversin de forma ordinaria a forma general ................................... 118 3.4.2. Conversin de forma general a forma ordinaria ................................... 119 3.5. Circunferencia que pasa por tres puntos ........................................................ 122 3.5.1. Condiciones geomtricas y analticas para determinar una circunferencia ............................................................... 122 3.5.2. Obtencin de la ecuacin dados tres puntos ...................................... 123 Seccin de tareas ............................................................................................ 129 Autoevaluacin ................................................................................................. 139 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................ 141 UNIDAD 4.LA PARBOLA ..................................................................... 143 4.1. Caracterizacin geomtrica .......................................................................... 145 4.1.1. La parbola como lugar geomtrico ..................................................... 145 4.1.2. Elementos asociados con una parbola .............................................. 146 4.1.3. Formas de trazo a partir de la definicin ............................................... 146 4.2. Ecuaciones ordinarias de la parbola ............................................................. 148 4.2.1 Parbolas horizontales y verticales con vrtice en el origen ................ 148 4.2.2 Parbolas horizontales y verticales con vrtice fuera del origen .......... 153 4.3. Ecuacin general de la parbola ..................................................................... 157 4.3.1. Conversin de la forma ordinaria a la forma general ........................... 157 4.3.2. Conversin de la forma general a la ordinaria ...................................... 158 4.4 Otras cnicas ...................................................................................................... 159 4.4.1. Elipse ........................................................................................................ 159 4.4.2. Hiprbola ................................................................................................. 162 Seccin de tareas ............................................................................................ 167 Autoevaluacin ................................................................................................. 171 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................ 173 Claves de respuestas ....................................................................................... 175 Glosario ............................................................................................................ 176 Bibliografa ........................................................................................................ 180 ndice (cont) 7 ElpresenteMdulodeAprendizajeconstituyeunimportanteapoyoparati,enl se manejan los contenidos mnimos de la asignatura Matemticas III. No debes perder de vista que el Modelo Acadmico del Colegio de Bachilleres del EstadodeSonoraproponeunaprendizajeactivo,mediantelainvestigacin,el anlisisyladiscusin,ascomoelaprovechamientodematerialesdelectura complementarios;deahlaimportanciadeatenderlassiguientes recomendaciones: ManejaelMdulodeAprendizajecomotextoorientadordeloscontenidos temticos a revisar en clase. Utiliza el Mdulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesin de clase. Altrminodecadaunidad,resuelvelaautoevaluacin,consultala escalade medicin del aprendizaje y realiza las actividades que en sta se indican. Realizalosejerciciosdereforzamientodelaprendizajeparaestimulary/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ah tratados. Utilizalabibliografarecomendadaparaapoyarlostemasdesarrolladosen cada unidad. Para comprender algunos trminos o conceptos nuevos, consultael glosario que aparece al final del mdulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinin sobre los mdulos de aprendizaje.Siquiereshacerllegartuscomentarios,utilizaelportaldel colegio: www.cobachsonora.edu.mx Recomendaciones para el alumno 8 La asignatura de Matemticas 3 te introduce al estudio de la Geometra Analtica. Su importanciaradica,enqueestaramadelasmatemticasposibilitaanalizar problemas geomtricos desde un punto de vista algebraico y viceversa. Para ello es necesariomanipular,esencialmente,eltrnsitodeunagrficaaunaecuacinyde unaecuacinasugrficaprimeramenteconuncontextodefinido,esdecir,su aplicacinenelmundoreal,quepuedaproporcionarelsignificadodegrficasy ecuacionesyposteriormenteladescontextualizacin.Elusodelossistemas coordenados,nospermitehacerstosintercambiosentrelasrepresentaciones geomtricas y algebraicas. El enfoque metodolgico del curso est inmerso en el modelo educativo centrado en elaprendizaje,queprivilegialaactividadpermanenteysistemticadelestudiante paraguiarlaaccinpedaggicaconunsentidoorientadoryfacilitadordel aprendizaje. Estamateriatratalossiguientestemas:Sistemasdeejescoordenados,elcul proporcionaloselementosnecesariosparaelanlisisdecoordenadas,parael clculodependientes,distancias,reasyngulosdefigurasgeomtricas.Lalnea recta,seanalizansuspropiedades,ecuacionesygrficas.Lacircunferencia, caractersticasgeomtricasysusecuaciones.Lasseccionescnicas,generadasa partirdeloscortesdeunplanoenconos,obtenindoselacircunferencia,elipse, hiprbolayLaparbola,delacualseanalizansuspropiedades,ecuacionesy aplicaciones. Elordenylaprofundidaddelostemasconsideradosparaelcontenidodesta asignatura, puede variar de acuerdo a la orientacin de cada academia. Presentacin 9RIEMS Introduccin ElColegiodeBachilleresdelEstadode Sonora,en atencinalos programasde estudioemitidosporlaDireccinGeneraldeBachillerato(DGB),havenido realizandolaelaboracindelmaterialdidcticodeapoyoparanuestros estudiantes,conelfindeestablecerenellosloscontenidosacadmicosa desarrollar da a da en aula, as como el enfoque educativo de nuestra Institucin. Esporello,queactualmente,secuentaconlosmdulosyguasdeaprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular2005.Sinembargo,deacuerdoalarecienteReformaIntegralde EducacinMediaSuperior,lacualestableceunenfoqueeducativobasadoen competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a latotalidaddelsistemaeducativo,peroorientasusesfuerzosalosperfilesdel alumnoyprofesor,siendoentonceselcaminoaseguireldesarrollodelas competenciaslistadasacontinuacinyaunquestasdebernpromoverseen todos los semestres, de manera ms precisa entrar a partir de Agosto 2009, en el primer semestre. Competencias Genricas CATEGORIASCOMPETENCIAS GENRICAS I. Se autodetermina y cuida de s. 1.Seconoceyvaloraasmismoyabordaproblemasyretos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.3. Elige y practica estilos de vida saludables.II. Se expresa y comunica 4.Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintos contextosmediantelautilizacindemedios,cdigosy herramientas apropiados.III. Piensa crtica y reflexivamente5.Desarrollainnovacionesyproponesolucionesaproblemasa partir de mtodos establecidos. 6.Sustentaunaposturapersonalsobretemasdeintersy relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva.IV. Aprende de forma autnoma7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida. V. Trabaja en forma colaborativa8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. VI. Participa con responsabilidad en la sociedad 9.Participaconunaconcienciacvicayticaenlavidadesu comunidad, regin, Mxico y el mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales. 11.Contribuyealdesarrollosustentabledemaneracrtica,con acciones responsables. 10 Competencias Disciplinares Bsicas Matemticas 1.Construyeeinterpretamodelosmatemticosmediantelaaplicacinde procedimientosaritmticos,algebraicos,geomtricosyvariacionales,parala comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. 2.Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 3.Explicae interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4.Argumentalasolucinobtenidadeunproblema,conmtodosnumricos,grficos, analticosovariacionales,medianteellenguajeverbal,matemticoyelusodelas tecnologas de la informacin y la comunicacin. 5.Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6.Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomatemticamentelasmagnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean. 7.Eligeunenfoquedeterministaounoaleatorioparaelestudiodeunprocesoo fenmeno, y argumenta su pertinencia. 8.Interpretatablas,grficas,mapas,diagramasytextosconsmbolosmatemticosy cientficos. Competencias docentes: 1.Organiza su formacin continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2.Dominayestructuralossaberesparafacilitarexperienciasdeaprendizaje significativo. 3.Planifica los procesos de enseanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque porcompetencias,ylosubicaencontextosdisciplinares,curricularesy sociales amplios. 4.Llevaalaprcticaprocesosdeenseanzaydeaprendizajedemanera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 5.Evalalosprocesosdeenseanzaydeaprendizajeconunenfoque formativo. 6.Construye ambientes para el aprendizaje autnomo y colaborativo. 7.Contribuyealageneracindeunambientequefaciliteeldesarrollosanoe integral de los estudiantes. 8.Participaenlosproyectosdemejoracontinuadesuescuelayapoyala gestin institucional. UUnniiddaadd 11SSiisstteemmaa ddee eejjeessccoooorrddeennaaddooss Objetivos: El alumno: Resolver problemas tericos o prcticos delsistemadeejescoordenados, mediantelainvestigacindegrficasen losqueserepresentencoordenadas cartesianasdeunpuntoylugares geomtricosqueabarquensituaciones prcticasdesuentornofsico,para familiarizarseconlatraduccindel lenguajegrficoallenguajeverbal; asociando la aplicacin de los conceptos bsicossobrerectas,segmentosy polgonos,enlaconstruccinde modelosmatemticosquefacilitenel planteamientodelasituacin; contribuyendoafavorecerunambiente escolar colaborativoy responsable. Temario: 1.1.Coordenadas cartesianas de un punto. 1.1.1Ejes coordenados. 1.1.2Lugares geomtricos. 1.2.Conceptos bsicos sobre rectas, segmentos y polgonos. 1.2.1.Segmentos rectilneos. 1.2.2.Rectas. 1.2.3.Polgonos: reas y permetros. Unodelosavancesmsimportantesenlahistoria delasMatemticas,fuelaaportacindeRen Descartes, quinapoyadoenloshombrosdeotros grandespersonajesdelahistoria,comoEuclides, Diofanto, Apolonio de Perga, Francois Vieta, etc. dio elpasodecisivoparavincularlageometraconel lgebraysurepresentacinenunplano cartesiano, lo que permiti llegar a la abstraccin de conceptos que anteriormente estaban anclados a lo concreto. sto fue el detonante de grandes avances ydescubrimientosen la mayora de las ciencias. Matemticas III 12 C CO OO OR RD DE EN NA AD DA AS S C CA AR RT TE ES SI IA AN NA AS S D DE E U UN N P PU UN NT TO O 1.1.1. Ejes coordenados. La geometra fue una aportacin de la cultura griega para la humanidad. Por otra parte,tenemosellgebracomolaprincipalaportacindelaculturarabe;la primera de ellas, avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media, en la primera mitad del siglo XVII; es con Ren Descartes, en su tratado El Discurso del Mtodo publicado en 1637, que se logr un paso importante en estaciencia;hizopoca.Enestetrabajosepresentaunauninentrela geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una en la otra, dandodeestaformaelfundamentodelageometraanaltica,enlaquese representan figuras, pero utilizando expresiones algebraicas. SiquisiramosestablecerunadefinicinsobrelaGeometraAnaltica,diramos queeslaramadelageometraenlaquelasfiguras(lneasrectas,curvasy figurasgeomtricas)serepresentanmedianteexpresionesalgebraicasy numricas, para ello se utilizan un conjunto de ejes y coordenadas. En la vida actual, es muy comn que utilicemos las direcciones para dar con un lugar en especial, pues bien, cuando hacemos esto estamos estableciendo una coordenada (ubicacin), para ello tenemos como referencia los nombres de las callesyelnmerodeladireccin;enMatemticastambinestablecemosuna referencia que nos indica la posicin que tiene una figura dentro de un contexto. 11..11.. Mientrasellgebraylageometratomancaminosdistintos,su avancefuelentoysusaplicacioneslimitadas.Perocuandolas dos cienciassecomplementaron,secontagiaronunaalaotrade vitalidad,ydeahenadelantemarcharonconritmorpidohaciala perfeccin. Joseph Louis Lagrange Geometra lgebra Pero, qu son las coordenadas? 13Sistema de ejes coordenados En el plano anterior, si nos pidieran localizar la direccin de la Farmacia Mejoral, porlacalleVeracruzentreFlixSoriayCalleGarmendia,contaramoscomo referenciaconlosnombresdelascallesparalocalizarla,ynotendramos problema alguno para ubicarla. En trminos generales sera sumamente fcil dar con esta direccin, de esta manera se obtendran unas coordenadas. Lossistemasdecoordenadas,sonprecisamenteelparmetroquenosdarla referenciaparalalocalizacindepuntosofiguras,elprimersistemade coordenadasqueseutilizfueelsistemadecoordenadaslineal,queensu formamssimplecontieneunarectaquesedividienvariossegmentos, iguales,aloscualesselesasignunvalornumrico,comoacontinuacinse seala: Parasealarunpuntodentrodelsistemadecoordenadaslineal,bastacon marcarelpuntoenellugardeseadoyposteriormenteindicarsuposicincon una letra (generalmente mayscula), acompaada de un nmero que nos indica la posicin que tiene dentro del sistema de coordenadas. 0 1 -12 -23 -34 -45 -56 -67 -7 01-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6 7-7 A(2)B(-3) C(6) Matemticas III 14 Enestesistemadecoordenadastenemossealadosalgunospuntosconsus coordenadas para que veamos cmo se localizan y sealan cada uno de ellos, sin ningn problema. Al responder diramos seguramente NO, ya que slo pueden localizarse figuras con formas de lnea recta o puntos, pero otro tipo de figura no es posible hacerlo, pues no se apreciaran con claridad. Como el sistema de coordenadas lineal no es suficiente, se present el sistema decoordenadasrectangulares,tambinconocidocomoplanocartesiano,que consisteentrazardosrectasnumricasperpendicularesentres,haciendo coincidirelpuntodecorteconelcerocomn,obtenemosunsistemadeejes coordenadosrectangulardondeseformancuatroregiones,quellamaremos cuadrantesy,paraidentificarlos,losvamosaenumerardel1ro.al4to. cuadrante.A los segmentos de rectas les llamaremos ejes coordenados, para identificarlos mejor, al eje horizontal le llamaremos eje X o eje de las abscisas; al eje vertical le llamaremos eje de las Y o eje de las ordenadas. Losejescoordenadoslosvamosadividirenpequeossegmentos,demanera similar a la recta numrica, como lo indica la figura anterior. Ubicacin de un Punto por sus Coordenadas Ahora bien, para localizar un punto en el sistema de coordenadas rectangulares procedemos de manera similar a como lo hicimos en la recta numrica, pero en estecasovamosahacerloconambosejes,yparanombraraunpunto,lo Pero ser suficiente un sistema de coordenadas como ste, para localizar cualquier figura que nos podamos imaginar? 1er. Cuadrante (+,+) 2do. Cuadrante(-,+) 3er. Cuadrante (-,-) 4to. Cuadrante (+,-) Eje X o Eje de las abscisas Eje de las Y o Eje de las ordenadas + - _ 15Sistema de ejes coordenadosharemos utilizando un par ordenado de nmeros que nos van a indicar cul es la posicin que tiene con respecto a los ejes coordenados. Ademsdelsistemadecoordenadasrectangularesexistentambinotrostipos desistemasdecoordenadascomoson:laspolares,lasgeogrficasylasno rectangulares, varios puntos para recordar plenamente cmo se hace. 1.Escribe un par ordenado de nmeros para indicar las letras del alfabeto; basndote en el ejemplo. ABCDEFGHIJKLM (0,5) NOPQRSTUVWXZ EJERCICIO 1 X 1 23 45 6 7-1 -2 -3-4-5-6-7 1 -1 2 -2 3-3 4 -4 5 A(3,2) B(-2,-3) Y C(6,-3) R Z Matemticas III 16 2.Usa los pares ordenados de nmeros para formar las siguientes palabrasa)Fiestab)Primaverac)Vacaciones d)Matemticas e)Msica 3.Descifralassiguientespalabrasgeneradasporlossiguientesparesde nmeros. 1)(1, 2), (3, 3), (1, 4), (2, 1), (4,2) 2)(2, 2), (4,4), (3,1), (0, 4)3)(1, 3), (3, 3), (3, 1) 4)( 0, 0), (1, 0), (0, 4) 5)(0, 1), (1, 2), (0, 0), (2, 2), (0, 4) 4.Encuentralasfigurasquesegeneranalunirlospuntossiguientesenel plano y elabora la grfica:1)(-2, -3), (-1, 0), (0, 3), (1, 6), (2,9). 2)(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2,4). 5.Unapersonapartedelorigenycamina3Km.haciaelOeste,sedetieney camina5Km.haciaelNorte,enseguida7Km.haciaelEsteyfinalmente,8KmhaciaelSur.Escribelascoordenadasdel puntofinaldesurecorrido.Podras decir a qu distancia se encuentra del origen? 1.1.2. Lugares geomtricos. Los puntos que graficaste y localizaste anteriormente son puntos escogidos al azar.Ahora veamos una situacin de conversin de temperaturas de diferentes escalas, dondeobservarslospuntosgraficados.ParaconvertirgradosCentgradosa grados Fahrenheit se utiliza la frmula:F =32 C59+Completa la tabla y grafica los puntos obtenidos. Si observas la grfica, estos puntos siguen un comportamiento lineal generado por una condicin dada por la ecuacin. 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 30060402020406080100120140160180200220240xyTAREA 1 Pgina 47. EJERCICIO 2 17Sistema de ejes coordenados7654321 1 2 3 4 5 6 7 876543211234567xyQu es un lugar geomtrico? Eselpuntooconjuntodepuntosparalosquese cumplenlasmismaspropiedadesgeomtricasy quesepuedeexpresarenformaverbal,enforma deunaecuacin,enformagrficaodeunatabla de valores. Por ejemplo: Unacircunferenciaesellugargeomtricoque describe un punto que se mueve en el plano, de tal maneraqueseconservaalamismadistanciade un punto fijo llamado centro, cuya ecuacin puede ser x2 +y2 = 25,y su grfica es: La bisectriz de un ngulo es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en una recta, de tal manera que se conserva a la misma distancia de los lados del ngulo como se muestra en el dibujo. EnelestudiodelaGeometraAnalticasenospresentandosproblemasbsicos, que son inversos entre s: Dadaunaecuacin,determinarellugargeomtricoquerepresenta,esdecir, trazar la grfica correspondiente. Dadounlugargeomtricodefinidopordeterminadascondiciones,hallarsu ecuacin matemtica. Alconjuntodelospuntoscuyascoordenadassatisfacenunaecuacinoson soluciones de sta se le llama grfica de una ecuacin. Matemticas III 18 Para graficar una ecuacin se recomienda seguir los siguientes pasos: Primero: Determinar las intersecciones con los ejes. InterseccinInterpretacin grficaProcedimiento Con el eje x Para determinar la interseccin con elejexhacemosy=0y sustituimosenlaecuacin obteniendo el valor de x (a). Con el eje y Para determinar la interseccin con elejey,hacemosx=0 sustituimosenlaecuacin obteniendo el valor de y (b). 19Sistema de ejes coordenadosSegundo: Buscar simetras respecto al origen y a los ejes. SimetrasInterpretacin grficaProcedimiento por realizar Respecto al eje x Lasustitucindeyporyno producecambiosenlaecuacin original. Respecto al eje y Lasustitucindexporxno producecambiosenlaecuacin original Respecto al origen La sustitucin simultnea de y por y y x por x no altera la ecuacin original Matemticas III 20 Tercero: Tabulacin de valores. Paratabular,talcomosevioenmatemticas1,asignamosalgunosvaloresaxy obtenemoselcorrespondientevalordey.Determinandoprimeramentecules valores se le pueden asignar, cuidando que no queden races de nmeros negativos o divisiones entre 0, es decir, el dominio. Para ejemplificar lo anterior, tomaremos la ecuacin y = 4 x2 y la graficaremos segn el procedimiento anterior: Primero: Intersecciones con los ejes. ProcedimientoInterpretacin grficaInterseccin Paradeterminarlainterseccincon el eje x hacemos y = 0 y sustituimos en la ecuacin obteniendo el valor de x (a). Veamos el ejemplo: 0 = 4 x2 -4 =- x2 4 = x2 2x 4 = x 2= Por lo tanto, encontramos los puntos (2,0)y(-2,0)queaparecenenla grfica. Con el eje x Paradeterminarlainterseccincon elejey,hacemosx=0sustituimos en la ecuacin obteniendo el valor de y (b). En el ejemplo: y = 4 - 02 y = 4 por lo tanto, tenemos el punto (0, 4) xy Con el eje y xy 21Sistema de ejes coordenadosSegundo: Simetra respecto a los ejes y al origen. SimetrasInterpretacin grficaProcedimiento por realizar Respecto al eje x xy La sustitucin de y por y no produce cambiosenlaecuacinoriginal. Veamos el ejemplo: y = 4 - x2 -y =4 - x2 y = -4 + x2

Comolaecuacinoriginalcambia,la grfica no es simtrica con respecto al eje x. Respecto al eje y xy La sustitucin de x por x no produce cambios en la ecuacin original. y = 4 - x2 y =4 (- x)2 y = 4-x2

Comolaecuacinoriginalnose altera, la grfica es simtrica respecto al eje y. Estainformacinnosdaunaideade cmo es la grfica de la ecuacin. Respecto al origen xy Lasustitucinsimultneadeypory yxporxnoalteralaecuacin original. y = 4 - x2 -y =4 (-x)2 -y = 4-x2

y = -4 +x2

Comolaecuacincambia,lagrfica no es simtrica respecto al origen. Matemticas III 22 Tercero: Tabulacin y = 4 x2 Observa tanto en los valores de la tabla como en la grfica de la ecuacin, la simetra con respecto al eje y 1.Construyeunatabladevaloresyrepresentagrficamentelassolucionesdela ecuacin x - y = 2. 2.Se considera la ecuacin 3x - 4y = 12. a)Representa grficamente todas sus soluciones. 3.Encuentra(silashay)lasinterseccionesconlosejesdecadaunadelas siguientes ecuaciones: a) 2x + y 10 = 0b) 25x2 + 9y2 225 = 0 c) y x2 + x + 2 = 0d) x2- y = 0 4.Determina si la grfica de las siguientes ecuaciones es simtrica respecto al eje x , eje y o el origen: a) x + 2y 8 = 0b) 2y2 + x 5 = 0 c) x2 + 4y2 4 = 0d) y = x3 5.Grafica las siguientes ecuaciones: a) y = 3x 2 b) y = 2x 36 c) 4x2 + 9y2 = 36d) xy = 1 6.Cul es el lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que su coordenada x es siempre igual a 4? 7.Cul es el lugar geomtrico de un punto que se mueve de tal manera que su coordenada y es siempre igual a 2?

XY -3-5 -20 -13 04 13 20 3 -5 EJERCICIO 3 TAREA 2 Pgina 49. 23Sistema de ejes coordenados C CO ON NC CE EP PT TO OS S B B S SI IC CO OS S S SO OB BR RE E R RE EC CT TA AS S, , S SE EG GM ME EN NT TO OS S Y Y P PO OL L G GO ON NO OS S 1.2.1.Segmentos Rectilneos. Segmentorectilneoosimplementesegmento,eslaporcinderecta comprendidaentredosdesuspuntosquesellamanextremos,obienuno origenyotroextremo.Losextremosdeunsegmentoformanpartedelmismo. Un segmento de extremos A y B se designa AB. Segmentos dirigidos y no dirigidos Sienunalnearecta,tomamosdospuntosAyB,ellosnosdeterminanun segmento de recta que podemos designar por AB o BA. AlconjuntodepuntosqueseencuentranentrelosextremosAyBincluidos estos, forman el segmento AB.

Cuando a los puntos de un segmento se les indica un orden (por ejemplo desde AhaciaB)dondeAeselpuntoinicialyBelpuntofinalseconocecomo segmento de recta dirigidoAB.

La longitud de un segmento dirigido se considera positiva, si su signo es positivo en su notacin (AB) y el sentido opuesto ser de longitud negativa (BA). Es decir, si la longitud de AB es positiva entonces BA tendr que ser negativa: AB = -BA Segmentonodirigido:esaquellaporcinderectadenotadaporAB,donde nicamenteseconsiderasutamao(longitud)sinimportarsudireccino sentido. 11..22.. Matemticas III 24 Concluyendo, podemos establecer que: SegmentoInterpretacin grficaNotacinEquivalencia No dirigido Dirigido Dirigido Longitud de un segmento y distancia entre dos puntos Para calcular la longitud de un segmento, necesitamos determinar la distancia y el sentido en que sta se recorre, por lo tanto, la longitud de un segmento puede tener un valor positivo o negativo y la distancia ser el valor absolutoABde la longitud. Elvalorabsolutonosindicaquetodaslasdistanciasentredospuntosson mayores o iguales a cero. Las distancias no pueden ser negativas. Dados dos puntos A y B donde se conocen sus coordenadas x1yx2 AB = OB AO+ peroAO =OA entonces AB =AB OA+ AB = 2 1x x + AB = 1 2x x De la misma manera podemos establecer que 2 1x x BA =. Engeneral,lalongituddeunsegmentodirigidoseobtienerestandola coordenada del punto final de la coordenada del punto inicial. Ladistanciadelospuntossedefinecomoelvalorabsolutodelalongituddel segmento, es decir: 2 1 1 2x x x x dBA AB d = == = Este resultado se puede aplicar tambin al eje vertical ejemplo: 2 1 1 2y y y y dBA AB d = == = AB= BA 25Sistema de ejes coordenados 1)Dibuja una recta numrica horizontal y localiza, en ella, los puntos A(4), B(9), C(0), D(-2), E(-6) y F(2).2)Representa en la recta numrica los siguientes nmeros racionales:a)3/2 b)7/2 c) -1/2d) -5/2 3)Obtnlasdistancias:d(AB),d(AC),d(AD),d(AF),d(BC),d(CD),d(CE)y d(DF). 4)DibujaunarectanumricaverticalylocalizalospuntosP(5),Q(-2),R(3.4)y O(0).5)Obtn las distancias: d(PQ), d(RQ), d (OR), d(PO). 6)Dibujaelplanocartesiano,graficalospuntosA(2,4),B(7,4),C(-3,5)y D( -3, -6). 7)Calcula la distancia entre los puntos ABy CD. 8)La coordenada del punto P es y1 = -3. Se sabe que el punto Q se encuentra a unadistanciade5unidadesdeP.CuleslacoordenadadeQ?(Dos respuestas). Distancia entre dos puntos Laslongitudesdelossegmentosquehemoscalculadoanteriormente,tienen que ver nicamente con la distancia entre dos puntos de un segmento de recta, colocadodeunaformahorizontalodeunaformavertical,veamosahoraqu sucede cuando este segmento de recta tiene una colocacin distinta en el plano cartesiano. Observa la grfica: Podras sugerir un procedimiento para calcular el valor de la distancia entre los puntos A y B? En la grfica observamos que las proyecciones de los puntos a los ejes forman untringulorectngulo,cuyahipotenusacoincideconelsegmento ABy recordando que la hipotenusa de un tringulo rectngulo se puede calcular con larazcuadradadelasumadelcuadradodecadaunodesuscatetoscomo sigue: 2 2 2b a c + =( ) ( ) ( )2 2OB d AO d AB d + = EJERCICIO 4 Matemticas III 26 Como anteriormente vimos que d(AO)2 = 21 2x x y d(OB)=21 2y y entonces la distancia de AB queda d(AB)2 = 21 2x x +21 2y y d(AB) =( ) ( )21 221 2y y x x + As obtenemos la distancia entre los puntos A y B. d(AB) = ( )2 22 8 ) 1 7 ( + d(AB) = 2 26 6 + d(AB) = 36 36+ d(AB) = 72u INSTRUCCIONES:Aplicandolafrmulaanterior,resuelvelossiguientes ejercicios. 1.Graficalospuntoscuyascoordenadasson:A(-2,6)B(-3,-7),C( )35,32, D(5, 7), E (1, 4) 2.Calcula las distancias entre los puntos: a)A y B b)C y D c)A y E d)B y D 3.SiA(1,1,0)yB(k,2,2),culesdosvalorespuedetomarkparaque d(A,B)=3? 4.DemuestraquealunirselospuntosA(3,8),B(-11,3)yC(-8,-2),formanun tringulo issceles. 5.Demuestra que los puntos G(-3,-2), H(5,2) e I(9,4) son colineales. 6.Demuestra que los puntos J(2,4), K(6,2), L(8,6) y M(4,8), son los vrtices de un paralelogramo. 7.Obtn las reas del tringulo rectngulo del punto 2 y del paralelogramo del punto 4. 8.Si la distancia entre el punto A(-3,6) y B(3,Y), es igual a 10 unidades, obtn la coordenada faltante. 9.Obtn las coordenadas del punto que est ubicado a la misma distancia de los puntos A(1,7), B(8,6) y C(7,-1). EJERCICIO 5 Frmula general para encontrarla distancia entre dos puntos 27Sistema de ejes coordenados Divisin de un segmento en una razn dada. Paraabordarestetemaempezaremosconunpequeoproblemaquesele presentaaunarquitecto,quetienequeconstruirunaescalerainclinadaenun espaciode2.5m.delargopor1.5m.dealtura.Laescaleradebetener6 escalones con la caracterstica de que las medida de las plantillas sean iguales (ancho y alto), como lo muestra la figura. Laraznlapodemosrepresentaralgebraicamentecomo bar = ;dondea representalaparterecorridaenelsegmentoderectaybrepresentalaspartes que faltan por recorrer como lo muestra la figura Dedondelaraznlapodemosexpresarcomo PBAPr = siobservaslagrfica siguiente cuando el punto P est exactamente a la mitad del segmento, tenemos entoncesquelaraznestadadacomo PBAPr = peroAPesigualaPB,porlo tanto, r = 1

Luegotenemoslossiguientesejemplosdedivisindeunsegmentoenuna razn dada: Colocacin de Puntos PValor de la razn r 21B PAPr111= =212B PAPr222= = =414B PAPr333 == = Observa que el valor de la razn puede determinar la localizacin del punto que divide a un segmento o viceversa. Matemticas III 28 INSTRUCCIONES: Realiza el siguiente ejercicio y comprueba los resultados con tus compaeros. 1.Si un segmento AB se divide en cuatro partes; cul es la razn para cada punto? 2.Si un segmento AB se divide en cinco partes; cul es la razn para cada punto? Silasideasanterioreslastrasladamosaunsistemadecoordenadas, observamoslascoordenadasdelpuntoP(x,y)queseubicaenladivisindel segmento de la siguiente manera: Siendotringulossemejantessusladossonproporcionales,porlotanto tenemos: ) () () () (2121y yy yx xx xPBAPr== =DedondedespejamosxyyobteniendolascoordenadasdelpuntoP(x,y)en una raznrdada. r 1rx xx2 1++= r 1ry yy2 1++= Veremos el caso especial cuando la razn es igual a uno, es decir, el punto P(x, y)estcolocadoexactamenteenlamitaddelsegmento,entonceslas coordenadas anteriores, se convierten en coordenadas del punto medio. Pm ( xm, ym )= + +ZY YZ X X2 1 2 1, INSTRUCCIONES:Enformagrupaldeducelafrmulaparaencontrarelpunto medio de un segmento. EJERCICIO 6 EJERCICIO 7 29Sistema de ejes coordenados Ejemplo: Encuentra el punto que divide al segmento AB formado por los puntos A (5, 2) y B (2, 5) en una razn 21r = . Lascoordenadasdeestepuntolaspodemosencontrarutilizandolafrmula original o la ecuacin despejada. x xx xr=21 xx=2521 10 2 2 = x x12 3 = x4 = x Delamismamaneraparaencontrarlacoordenadayrealizamoslamisma operacin. ) () (21y yy yr=yy=5221 4 2 2 5 = y y39 3= = yy As las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento AB en una razn r = 21 son P (4, 3) Ahora recuerdas el problema de la escalera planteado al principio del tema? Un arquitecto tiene que construir una escalera inclinada en un espacio de 2.5 m. de largopor1.5mdealtura.Laescaleradebetener6escalonesconla caractersticadequelasmedidasdelasplantillasdebenseriguales(anchoy alto). Como lo muestra la figura. Ahora lo resolveremos aplicando el concepto de razn y divisin de un segmento. Si queremos obtener las dimensiones del primer escaln y tomando la definicin derazn bar = tendramosquelaraznes 51.Ysiqueremostrabajarconel ultimo escaln la razn ser 5. Matemticas III 30 Pararesolverelproblema,tomaremoslarazniguala5ylascoordenadasde los puntos como lo muestra la figura.

122562255 1255 0r 1x r xx2 1= =++=++= Paraencontrarloanchodelaplantillarestamosaladistanciatotalelvalor, calculado por la coordenada que se encontr que se muestra en la figura. m 416 . 0125122525= = Delamismamaneraparaencontrarlaalturadelaplantilla,tomamoslas coordenadas en y, y transformamos 1.5 m a racional = 23. 121562155 1235 0r 1ry yy2 1= =++=++= Igual para encontrar la altura de la plantilla, restamos a la distancia total el valor calculado. . m 25 . 041123121523= = = 31Sistema de ejes coordenadosDe los clculos anteriores tenemos entonces las medidas de cada escaln, que deben ser 0.416m de ancho por 0.25 m de alto. Instrucciones: Realiza en equipo los siguientes ejercicios elaborando sus grficas correspondientes en cada caso y en forma grupal comprueba los resultados con ayuda de tu maestro. 1.Obtn las coordenadas del punto que divida al segmento determinado por los puntos A(1,7) y B(6,-3) en la razn r = 2/3. 2.Obtn las coordenadas del punto que divida al segmento determinado por los puntos: C(-2,1) y D(3,-4) en la razn r = -8/3. 3.Obtn las coordenadas del extremo B del dimetro de una circunferencia cuyo centro est ubicado C(-4,1) y que adems tiene como extremo el punto A(2,6). 4.Obtnlascoordenadasdedospuntosquedividanentrespartesigualesal segmento determinado por A(3,-1) y B(9,7). 5.LasmedianasdeuntringulosecortanenunpuntoP,llamadoBaricentro, situadodelosvrticesa2/3deladistanciadecadaunodeellosalpunto medio del lado opuesto. Obtn las coordenadas del baricentro de un tringulo cuyos vrtices tienen las coordenadas A(X1,Y1), B(X2,Y2) y C(X3,Y3). 6.Encontrar la razn r en la que el punto P(4, 2) divide al segmento A(-2, -4) y B (8, 6). 7.Encontrar el punto medio de cada uno de los lados del tringulo P(-2, 5), Q (6, 1) y R (4, -5) 1.2.2. Rectas. Larectaes,probablemente,lafiguramsfamiliaryutilizadaengeometra,ya que se puede observar en casi todo lo que nos rodea. Existe una gran cantidad deproblemasquepuedenmodelarsepormedioderectasoaproximacionesa stas.Enestetemaveremoscomomedirlainclinacindeuna(qutan inclinadaestunarecta),empleandoparaellosungulodeinclinacinysu pendiente,yaquestaseempleaenlasolucindeproblemasenClculo, Fsica,Economa,etc.Veremostambincmopoderdeterminarcuandodos rectassonparalelasoperpendicularesyqucondicionesdebencumplirsus pendientes para ello. ngulo de inclinacin y pendiente de una recta. Para definir el concepto de pendiente debe conocerse, primeramente, lo que se entiende por ngulo de inclinacin. Podemosdecirquedosrectascomolasmostradasenlassiguientesfiguras estn inclinadas. EJERCICIO 8 Matemticas III 32 La inclinacin de una recta se mide respecto al eje X y lo hacemos por medio de un ngulo expresado en grados, minutos y segundos (,,). Como siempre que secortandosrectasseformancuatrongulos,hayqueestablecercualdelos cuatro es el que llamaremos ngulo de inclinacin () y una vez hecho, los otros tres se pueden deducir a partir de l. Sellamangulodeinclinacindeunarecta(),alnguloformadopordicha rectayelextremopositivodelejeXysemidedesdeelejehastalarecta, siguiendo el sentido contrario al de las manecillas del reloj. (Obsrvese que el eje Y no se toma en cuenta) Si una recta es horizontal, = = 180 0 . Si una recta es vertical, = = 270 90 Dondees el ngulo de inclinacinX Y 33Sistema de ejes coordenadosElvalordelngulodeinclinacindeunarectavaraentre0y180,estoes: 180 0 Una vez visto lo que es el ngulo de inclinacin de una recta, veremos lo que es su pendiente, ya que en la mayora de los problemas se utiliza ms el valor de la tangente del ngulo de inclinacin que el ngulo mismo. Sellamapendientedeunarectaalatangentedesungulodeinclinacin.La pendiente de una recta la representaremos con la letra m, por lo tanto podemos escribir: tan = m Por ejemplo, si el ngulo de inclinacin de una recta es = 45 , el valor de su pendiente es igual a 1 (positivo). 1 45 tan tan = = = m Pero si =135 , el valor de su pendiente es -1 (negativo), ya que: 1 135 tan tan = = = m Matemticas III 34 En general, podemos hacer las siguientes afirmaciones: Si es agudo ( 0 < < 90), la pendiente de la recta es positiva (m>0). Si es obtuso (900 y=0 p