情報と物理：単振り子と中心力場Simple Pendulum and

Central Force Field只木進一

2016年後期

座標系の選択

二次元の場合、 𝑥, 𝑦 座標が絶対的では無い

他にも座標系の可能性がある

直交座標系 (Ortho-normal coordinate system)

基底ベクトルが直交し、規格化されている

極座標

中心からの距離と、角度で位置を表示

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2

運動の極座標表示

位置の極座標表示

時間で微分

d d d

d d d

d d d

cos sin

sin cod d d

s

x r

t t t

y r

t

r

rt t

cos

sin

x r

y r

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3

cos sin

sin cos

d d d

d d d

d d d

d d d

x y r

t t t

x y

tr

t t

cos sin cos

sin cos sin

r x y

x y

v v v

v vv v

v

一般的なベクトルの変換式

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4

加速度

22 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2 2

dr d dsin cos

d d d

d d dsin cos cos sin

d

d d dcos 2sin

d d d

d d d2

d d dd d

x rr

t t t

y

rt t t

rr

t t t

rr

t t t

①

②

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5

加速度

cos𝜃 ×①+sin𝜃 ×②

−sin𝜃 ×①+cos𝜃 ×②

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6

22 2 2

2 2 2cos

d d d dsin

d d d d

x y rr

t t t t

2 2 22

2 2 2

d d d d d 1 d d2

d d d dsin cos

d d d

x y rr r

t t t t t r t t

力の座標変換

一般式から

逆に解いて

cos sin

sin cos

r x y

x y

F F

F

F

F F

cos sin

sin cos

x r

y r

F F

F F

F

F

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7

極座標表示による運動方程式

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8

22

2

2

d d 1

d d

1 d d 1

d d

r

rr F

t t m

r Fr t t m

応用例：単振動子

力

動径方向へは動かないことに注意

cos

sin

r mg TF

mgF

2

2

2

dcos

d

sind

d

Tl g

t m

l gt

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9

角度方向の加速度の式の両辺にd𝜃/d𝑡を乗ず

2

2

2

2

2

d dsin

d d

d dcos

2 d d

d

d

d

d

d

d2 cos

d

d2 cos

d

0d

l gt

gt

g

t t

l

t

g

t t

lt

tl

一定©只木進一（佐賀大学）

10

初期条件：時刻𝑡 = 0で𝜃 = 𝜃0、d𝜃/d𝑡 = 0

動径方向の式に代入

2

0

d2 cos 2 cos

dg

tl g

0

0

2 cos cocos

3cos co

s

2 s

Tg

mg

Tg

m

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角度が非常に小さいとして近似的に解く

調和振動子

次元から振動数を予想できる

sin

2

2

0

2

d

d

expt t

g

g

i

l

lt

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12

重力による円運動

太陽を回る惑星の運動は、本当は楕円

ここでは単純化して、円、つまり動径方向には動かないとする

運動方程式22

2 2

2

d d

d d

1 d d0

d d

r GMr

t t r

rr t t

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半径は一定値とする：𝑟 = 𝑅

周期の2乗は、半径の3乗に比例する：ケプラーの第三法則

面積速度は保存する：ケプラーの第二法則

2

3

d

d

GM

t R

2d d 0d d

Rt t

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重力場中の楕円運動

運動方程式

面積速度一定則より

運動法則

22

2 2

2

d d

d d

1 d d0

d d

r GMr

t t r

rr t t

2 d

dr H

t

定数

2 2

2 3 2

d

d

r H GM

t r r

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従属変数の変換

𝑟を𝜃の関数と考える

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2

1/

d d d d

d d d d

r

Hst t

s

2 2 2 2

2 22 2

2 2

d d d 1 d d

d d d d d

d d d d

d d d d

r r s sHs Hs s Hs H

t s

r s sHs H Hs

t

𝑠に対する方程式

𝑠の原点をずらす

位相差は、角度の原点の選び方なのでゼロとした

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17

2

2 2

d

d

s GMs

H

2

2 2 2

2

d

d

cos

GM GMs s

H H

GMs A

H

楕円または双曲線

惑星または彗星

2

2

cos 1

H

GMrH

AGM

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18

二次曲線と極表示

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19

,P x y

,H x p

0,0O

2 2 cosx y

OPe

PH

eが一定である曲線

二次曲線：𝑒 = 1

二次曲線となる

角度と動径の関係

2 2

2 2 2 2

2 2

2

1

2

x y y p

x y y py p

x pp

y

cos

1 cos

r r p

pr

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20

二次曲線： 0 < 𝑒 < 1の場合

楕円

2 2

2 2 2 2 2

22

2 2 2 2

2 2

1

11

2

1

ex y p

x y e y p

x y e y py p

pe e

e e

cos

1 cos

rr p

e

epr

e

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21

二次曲線：𝑒 > 1の場合

双曲線

2 2

2 2 2 2 2

22

2 2 2 2

2 2

11

2

1 1

ex y p

x y e y p

x y e y py p

pe e

e e

cos

1 cos

rr p

e

epr

e

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22

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