Fenom Transp I

CB02 Temas selectos de matemticas y fenmenos de transporte

Fenmenos de Trensporte I

1. Propiedades de los fluidos

1.1 Tipos de flujo de fluidos

1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos

1.3 Fluidos nonewtonianos

2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)

Clculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geomtricos sencillos. Velocidad media y mxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.

2.1 Balances de envolventes de cantidad de movimiento Condiciones lmite, estado estacionario.2.2 Flujo de una pelcula descendente. Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianas.2.3 Flujo a travs de un tubo circular. Presin y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilndricas.2.4 Flujo a travs de un anillo cilndrico. Condiciones lmite.2.5 Flujo a travs de una rejilla vertical. Coordenadas cartesianas.2.6 Pelcula descendente por el exterior de un tubo. Coordenadas cilndricas.2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial del tubo interior. Coordenadas cilndricas.2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera slida. Coordenadas esfricas.1. Propiedades de los fluidos

1.1 Tipos de flujo de fluidos

Reynolds (1883): Experimentos con agua fluyendo en una tubera transparente. Se inyecta un chorro de tinta negra en la direccin del flujo y se observan dos situaciones diferentes:

1. A velocidades del agua suficientemente bajas la tinta fluye en lneas rectas y paralelas.

2. A velocidades mayores la masa entera de agua se colorea. Las partculas hipotticas individuales del lquido, en lugar de fluir de manera ordenada y paralela al eje longitudinal de la tubera, fluyen de manera errtica causando el mezclado completo de la tinta y el agua.

El primer tipo de flujo se llama laminar o flujo de lneas de corriente. El movimiento se semeja a lminas de espesor infintesimal deslizndose en relacin a las capas de fluido adyacentes.

Fig. 1.1. Flujo laminar

El segundo tipo de flujo se llama flujo turbulento. El movimiento del fluido es irregular y es acompaado por fluctuaciones locales de la velocidad.

a)

b)

Fig 1.2. Flujo turbulento

En a) se muestra la trayectoria errtica de la partcula durante un intervalo de tiempo. En b) se muestra que la velocidad en un punto fijo del fluido,, flucta al azar alrededor de un valor promedio temporal: Reynolds sugiri el parmetro como el criterio para predecir el tipo de flujo en tubos cilndricos.

donde

D: Dimetro de la tubera

EQ \o(V, ): Velocidad promedio del fluido

: Viscosidad cinemticaEl parmetro es adimensional y se le llama nmero de Reynolds, Re. El valor de Re al cual ocurre la transicin de laminar a turbulento es de 2100.

Fig. 1.3. Perfiles de velocidad en los

regmenes laminar y turbulento

En la figura se muestra la distribucin de velocidades para ambos regmenes de flujo. En ambos tipos de flujo la velocidad del fluido en la interfase fluidopared es cero. Para el flujo laminar el perfil de velocidades es parablico y para el flujo turbulento, la curva del perfil de velocidades en ms achatada en la parte media

1.2 Flujo viscoso y fluidos newtonianos

Considrese un fluido contenido entre dos placas paralelas separadas una pequea distancia (Y)

t = 0

tpequeo

tgrande

Fig. 1.4. Flujo laminar de un fluido entre dos placas paralelas.

La placa superior se encuentra fija y la inferior se pone en movimiento al tiempo t = 0. Por experiencia se sabe que el fluido adyacente a las placas tendr la misma velocidad que las placas.

As pues, el fluido adyacente a la placa inferior se mueve con una velocidad V, en tanto que el adyacente a la placa superior tiene una velocidad nula.

A medida que pasa el tiempo el fluido gana movimiento y finalmente se alcanza un estado estacionario, en el cual, con el fn de mantener la placa en movimiento, se debe aplicar una fuerza constante F y dada por la siguiente expresin:

EQ \F( F , A ) = EQ \F( V , Y) F: Fuerza de corte

F/A: Esfuerzo cortante

De forma ms general,

yx = ( EQ \F( dvx , dy) Donde

yx es el esfuerzo de corte entre dos lminas delgadas de fluido

EQ \F( dvx , dy) es el gradiente de velocidad o velocidad de deformacin

es la viscosidad del fluido

Unidades de la viscosidad

En el sistema cgs

1 poise (P) = 1 dinas/cm2 = gm/cms

El centipoise, cP, es la unidad ms comn. Algunas viscosidades usuales son (a 20 oC):

Viscosidad

Aire0.018 cP

Benceno0.647 cP

Agua1 cP

Glicerina1070 cP

Otras unidades

1 cP = 2.42 lbm/hft

1 cP = 2.09 (105 lbfs/ft2

1 cP = 6.72 (104 lbm/fts

Ejemplo. En referencia a la fig 1.4 calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario, yx, expresada en kgf /m2, cuando la velocidad V de la lmina inferior, en la direccin positiva del eje x, es 0.3 m/s, la distancia entre las lminas, Y, 0.0003 m, y la viscosidad del fluido, , 0.7 cP.Soln.:Convertimos todos los datos a unidades de kgf -m-s

Como el perfil de velocidades es lineal,

Observar que el momentum (ganancia en velocidad o cantidad de movimiento) se transfiere en la direccin negativa del gradiente.Esto tiene una correspondencia literal con los fenmenos de conductividad de calor y difusividad de especies qumicas:

qy = k EQ \F( T , y)

jAy = cDAB EQ \F( xA, y) qyDensidad de flujo de calor

jAyDensidad de flujo de flujo molar de la especie A

yxDensidad de flujo de cantidad de movimiento

Notar que estas expresiones son de naturaleza emprica, y, salvo para el caso de gases ideales, no tienen un fundamento terico, las constantes de proporcionalidad (, k y DAB) deben obtenerse mediante mtodos experimentales.

Otra magnitud empleada en fenmenos de flujo es la viscosidad cinemtica, que se define:

= /

Unidades en el sistema cgs

1 stoke = 1 cm2/s

El centistoke es la unidad ms comn. El agua tiene una viscosidad cinemtica de 1 centistoke.

1.2 Fluidos nonewtonianos

De acuerdo a la ley de Newton de la viscosidad, la grfica del esfuerzo de corte contra el gradiente de velocidad debe ser una lnea recta que pasa por el origen.

Esto es verdadero para todos los gases y una gran parte de los lquidos no polimricos de una sola fase. A este tipo de fluidos se les conoce como newtonianos.

Sin embargo un gran nmero de fluidos no tienen ese comportamiento como se puede apreciar en la siguiente grfica.

Fig. 1.5 Curvas de esfuerzovelocidad

de deformacin para fluidos independientes

del tiempo. EQ \o(g,.) = dvx/dy

La reologa es una disciplina de la ciencia que estudia el comportamiento mecnico (flujo y deformacin) de gases, lquidos y slidos incluyendo a los gases y lquidos newtonianos en un extremo y los slidos hookianos por el otro

El comportamiento reolgico de la mayora de los fluidos en la figura se puede expresar de forma generalizada como

yx = EQ \F( dvx , dy) donde ya no es constante y puede ser funcin del gradiente de velocidad o del esfuerzo.

De la figura vemos que

si disminuye al aumentar el gradiente tenemos un comportamiento pseudoplstico (catsup, suspensiones) si aumenta al aumentar el gradiente tenemos un fluido dilatante (arenas movedizas, jaleas) si es independiente de la velocidad de deformacin el comportamiento es newtoniano con = .

Los fluidos que requieren un esfuerzo de corte finito para iniciar el flujo se denominan plsticos de Bingham. Ejemplos de este tipo son la pasta de dientes y las suspensiones de polvo fino de carbn en agua.

ModeloEcuacin

Bingham

Ostwaldde Waele

Eyring

Ellis

ReinerPhilippoff

Fluidos viscoelsticos

Este tipo de fluidos no se comportan como fluidos newtonianos generalizados, ya que sus propiedades dependen del tiempo. Exhiben recuperacin elstica despus de una deformacin, esto es, recuperan su conformacin original en contraste con los fluidos newtonianos generalizados, que no se recuperan.

Dentro de los fluidos viscoelsticos se encuentran:

Fluidos tixotrpicos. La viscosidad disminuye con el tiempo y se aproxima a un valor asinttico al aplicar repentinamente un esfuerzo cortante.Fluidos reopcticos. La viscosidad aumenta con el tiempo.

La siguiente tabla muestra ejemplos comunes de los diferentes tipos de fluidos.

Tabla 1.1. Ejemplos de fluidos comunes exhibiendo diversas caractersticas reolgicas.

NewtonianosNonewtonianos

AguaSeudoplsticosPlsticosTixotrpicosReopcticosDilatantes

Aceites mineralesSalsa catsupGoma de mascarGel de sliceBentonitaArena movediza

HidrocarburosTinta para impresinAsbesto en aceiteLa mayora de las pinturasYeso en aguaMantequilla de cacahuate

Soluciones salinas acuosasPulpa de papelPegamentoJaleas

Suspensiones ligeras de tintesMelaza

Manteca

Jugos concentrados de frutas naturales

Asfaltos

1.3 Influencia de la presin y la temperatura sobre la viscosidad

Para los lquidos, la viscosidad depende mucho de la temperatura debido a que las fuerzas de cohesin desempean un papel dominante; vase la figura 1.9.

En muchos casos las curvas se aproximan con la ecuacin de Andrade: , donde A y B son constantes ajustables (T debe estar en unidades absolutas).En el caso de un gas son los choques moleculares los que originan los esfuerzos internos, de modo que, al aumentar la temperatura y con ella la actividad molecular, la viscosidad aumenta. Esto se observa en la fig. 10.

Tarea. La viscosidad del agua a 20C es de 0.001 Ns/m2, y a 80C es de 0.000357 Ns/m2. Utilizando la ecuacin de Andrade estime la viscosidad del agua a 40C. Determine el porcentaje de error. Sugerencia: Utilice temperatura absoluta.Cuando se carece de datos experimentales de viscosidad y no se dispone de tiempo para obtenerlos, sta se puede estimar por mtodos empricos usando otros datos de la sustancia en cuestin.Un mtodo, que usa una correlacin basada en el anlisis de un gran nmero de datos experimentales de diferentes fluidos, se fundamenta en el principio de estados correspondientes.

La fig. 1.3-1 es una representacin de la viscosidad reducida, r = /c (que es la viscosidad a una cierta T y P, dividida por la viscosidad en el punto crtico), frente a la Tr y la Pr.Se observa que la viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura, mientras que la de un lquido disminuye al aumentar sta.

Si no se dispone de c, se puede estimar por dos mtodos: a) conociendo el valor de a ciertas Tr y pr, de ser posible a las condiciones lo ms cercanas a las que se desean, c se calcula con c = /r.b) conociendo slo los valores crticos de p-V-T, c se estima con

donde

c [=] micropoises

pc [=] atm

Tc [=] K

[=] mL/gmol

Ejm 1.3-1. Estimacin de la viscosidad a partir de las propiedades crticas.

Calcule la viscosidad del N2 a 50C y 854 atm, siendo M = 28.0 g/gmol, pc = 33.5 atm y Tc = 126.2 K.

Soln.:

189.1 micropoises = 189.1 10-6 g/(cms)

De la fig. 1.3-1 se lee El valor estimado de la viscosidad es g/(cms)El valor experimental es 455 10-6 g/(cms)

Ejm 1.3-2. Efecto de la presin sobre la viscosidad de los gases.

La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3C es 180010-7 poise. Estime el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3C utilizando la fig.1.3-1Soln.: ; De la fig.:

Para la otra presin

De la fig.: g/(cms)El valor experimental es 5.8 10-4 g(cms)Tarea. Prediga la viscosidad del oxgeno, nitrgeno y metano a presin atmosfrica y 20C. Use la ec. anterior (para estimar c) y la fig. 1.3-1. Exprese los resultados en cP.Tarea. Estimar la viscosidad del N2 a 20C y 67 atm. Expresar el resultado en kgm/(ms).

2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar (Balances de momentum)

Clculo de perfiles de velocidad laminar en sistemas geomtricos sencillos. Velocidad media y mxima, el flujo y el esfuerzo cortante en la superficie.

Metodologa general

1. Anlisis del problema fsico

2. Modelo matemtico del problema

3. Solucin matemtica

4. Interpretacin fsica del resultado

Tipo de problemas

Flujo en estado estacionario

Geometras simples

Flujo newtoniano

Flujo unidimensional

2.1 Balances envolventes de cantidad de movimiento.

Condiciones lmite, estado estacionario.

Balance de cantidad de movimiento aplicado a una delgada capa de fluido (estado estacionario)

(2.1.1)

+

= 0

Cantidad de movimiento

Fuerzas:Fuerzas de presin (actuando sobre superficies)

Fuerzas de gravedad (actan sobre el volumen)

Procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso:

Escribir el balance de cantidad de movimiento de acuerdo a la ec. (2.1.1) para una envoltura de espesor finito.

Se hace tender a cero el espesor y, empleando la nocin de derivada, se obtiene la ecuacin diferencial que describe la distribucin de densidad de flujo de cantidad de movimiento.

Se introduce la expresin newtoniana para la densidad de flujo de cantidad de movimiento y se obtiene una ecuacin diferencial para la distribucin de velocidad.

Se integran las ecuaciones para obtener los perfiles de esfuerzos y velocidad.

Se calculan las magnitudes de inters (velocidad promedio, esfuerzo en superficies lmite, etc.).

Condiciones lmite para la integracin de ecuaciones diferenciales de flujo:

a. En las interfases slidofluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie; es decir, se supone que el fluido est adherido a la pared slida con la que se halla en contacto

b. En las interfases lquidogas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento y por consiguiente el gradiente de velocidad en la fase lquida es cero.

c. En las interfases lquidolquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento, como la velocidad, son continuas a travs de la interfase; es decir, que son iguales a ambos lados de la interfase

2.2 Flujo de una pelcula descendente.

Papel de las fuerzas de gravedad, empleo de las coordenadas cartesianasFlujo de una pelcula que desciende por una superficie inclinada

Fig. 2.1. Flujo de una pelcula bajo la accin de la gravedad.

Capa de espesor x sobre la que se aplica el balance de cantidad

de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.

Aplicacin

Torres de pared mojada

Evaporacin de pelcula delgada

Absorcin de gases

Aplicacin de capas de pintura

Se hace el balance de cantidad de movimiento en una lmina de ancho W, Longitud L y espesor x:

Note que las direcciones de entrada y salida se toman en las direcciones positivas de los ejes x y z.Sustituyendo los trminos en la ecuacin del balance (2.1.1),

ya que vz vale lo mismo para z = 0 que para z = L, los trminos 3 y 4 se anulan y la ecuacin queda,

dividiendo entre LWx, cambiando de signo, y tomando el lmite cuando x tiende a cero.

eq \O(lm,Dx 0) EQ \F(txzx + Dx txzx, Dx) = g cos esto es,

Ec. diferencial para la densidad de flujo

de cantidad de movimiento

Integrando la ecuacin se obtiene

La constante de integracin se evala con la C.L. correspondiente a la interfase lquidogas:

Sustituyendo en (3) se obtiene c1 = 0. Por lo tanto la distribucin de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es

Ya que el fluido es newtoniano, la densidad de flujo de cantidad de movimiento se relaciona con el gradiente de velocidad mediante

Sustituyendo en la ecuacin (2.2.2),

EQ \F( dvz , dx) = EQ \F(rg cos b, m) x

(2.2.3)

Ec. diferencial para la

distribucin de velocidad

que puede integrarse para obtener

vz = EQ \F(rg cos b, 2m ) x2 + c2

La constante de integracin se evala con la condicin lmite correspondiente a la interfase slidofluido

De aqu se obtiene que

Por consiguiente, la distribucin de velocidad es

vz = EQ \F(rgd 2 cos b, 2m ) [1 (x/)2 ]

(2.2.4)

Perfil parablico de velocidades

Ya que se tiene la distribucin de velocidad se pueden calcular las siguientes cantidades,

i) La velocidad mxima, vz,mx

ii) La velocidad media < vz>

iii) El flujo volumtrico Q

iv) El espesor de la pelcula en funcin de la

velocidad media

v) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la

superficie

i) La velocidad mxima, vz,mxPor el perfil parablico, es evidente que la velocidad mxima ocurre en x = 0; por tanto

ii) La velocidad media < vz>Se calcula sumando todas las velocidades en una seccin transversal y dividiendo por el rea de dicha seccin:

Sustituyendo vz,

pasando 1/ al trmino integral y definiendo la nueva variable de integracin como x/:

La integral produce

sustituyendo en ec. 2.2.5

< vz> = EQ \F(rgd 2 cos b, 3m ) iii) El flujo volumtrico QSe puede calcular a partir de la velocidad media:

Q = EQ \F(Wrgd 3 cos b, 3m )

(2.2.6)

iv) El espesor de la pelcula en funcin de la velocidad media.De la expresin de la velocidad media

v) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la superficie.Se obtiene integrando la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre la interfase fluidoslido.

De la ecuacin del perfil de esfuerzos, ec 2.2.2

Esta cantidad es la componente en z del peso de todo el fluido contenido en la pelcula.

Experimentalmente se ha encontrado que para paredes verticales se tienen los siguientes regmenes de flujo.

Flujo laminar sin ondulacionesRe < 4 a 25

Flujo laminar con ondulaciones4 a 25 < Re < 1000 a 2000

Flujo turbulento

Re > 1000 a 2000

Donde Re

2.3 Flujo a travs de un tubo circularPresin y fuerzas de gravedad, empleo de coordenadas cilndricasFlujo de fluidos en tuberas. Problema muy comn en las reas:

Ingeniera

Fsica

Qumica

Biologa

Se desea conocer el perfil de esfuerzos y velocidades, el flujo, cada de presin y esfuerzo en la interfase slidofluido.

El flujo laminar se puede analizar mediante el balance de cantidad de movimiento, ec. (2.1.1). Para este problema es ms conveniente emplear coordenadas cilndricas.

Considrese el arreglo siguiente:

Fig 2.2. Elemento cilndrico de un fluido sobre el cual

se aplica el balance de cantidad de movimiento.

Bases del anlisis

Estado estacionario

Flujo laminar

No existen efectos finales

Operacin isotrmica (densidad y viscosidad constantes)

Eligiendo una envoltura cilndrica de espesor r y longitud L, los trminos del balance de cantidad de movimiento son

Las direcciones de entrada y salida deben tomarse siempre en la direccin positiva de los ejes.

Sustituyendo en el balance de cantidad de movimiento

(2rL)rzr (2rL)rzr + r + (2rrv eq \O(z,2))z = 0 (2rrv eq \O(z,2))z = L + (2rrL)g + (2rr)p0 (2rr)pL = 0

Ya que el fluido es incompresible vz no cambia con z, los trminos 3 y 4 se anulan entre s.

(2rL)rzr (2rL)rzr + r + (2rrL)g +(2rr)p0

(2rr)pL = 0

Dividiendo entre 2Lr:

EQ \F(rrzr rrzr + r , Dr) + gr +(r/L)p0 (r/L)pL = 0

EQ \F(rrzr + Dr rrzr , Dr) = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) rTomando lmites

eq \O(lm,Dr 0) EQ \F(rrzr + Dr rrzr , Dr) = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) r

EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F( p0 pL , L ) + g) rRearreglando los trminos de presin

EQ \F( d , dr) rrz = [ EQ \F( (p0 + rgL) (pL + 0) , L ) ] r = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) r

EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F(P 0 P L, L ) ) r

Ec. diferencial de densidad de flujo


donde P = p + gh (Efecto combinado de presin esttica y

oP = p gz fuerza de gravitacin). h debe ser medida

"hacia arriba" desde un plano cualquiera

que se toma como referencia. En este

caso z = LResolviendo la ec. diferencial

d(rrz) = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) rdr

rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) EQ \F( r2 , 2 ) + c1

rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + EQ \F( c1 , r ) Notar que c1 debe ser cero ya que el esfuerzo sera infinito cuando r sea cero. Entonces,

rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r

Distribucin de la densidad de flujo


Para obtener el perfil de velocidad sustituimos la ley de Newton de la viscosidad,

rz = EQ \F(dvz, dr) = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r

EQ \F(dvz, dr) = ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) r

Ec. diferencial para la velocidad

Integrando,

vz = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) r2 + c2Para evaluar la constante se emplea la condicin lmite de que la velocidad en la interfase es cero,

C.L.vz = 0

en r = Rsustituyendo en la expresin de vz,

c2 = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) R2Por lo tanto

vz = ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) R2 ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) ) r2

= ( EQ \F( P0 PL, 4m L ) )(R2 r2)

vz = EQ \F( (P0 PL )R2, 4m L ) [1 (r/R)2]

Perfil de velocidades para el

flujo en tubos cilndricos

Fig. 2.3. Distribuciones de velocidad y densidad de flujo de

cantidad de moviento para el flujo en tubos cilndricos.

Se desean calcular las siguientes magnitudes

i) La velocidad mxima, vz,mxii) La velocidad media < vz >iii) El flujo volumtrico Qiv) El componentez de la fuerza F del fluido sobre la

superficie mojada de la tubera

Solucin:

i) La velocidad mxima, vz,mxEsta tiene lugar para r = 0, esto es,

vz,mx = EQ \F( (P0 PL )R2, 4m L ) ii) La velocidad media < vz>Se suman todas las velocidades en una seccin transversal y se divide por el rea de dicha seccin

< vz > = , 0, 2p )

EQ \o(, 0, R ) EQ \F(vz r dr dq, EQ \o(, 0, 2p )

EQ \o(, 0, R ) r dr dq)

EQ \o(, 0, R )vz r dr = EQ \o(, 0, R ) EQ \F( (P0 PL )(R2 r2), 4m L ) r dr

= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R2EQ \o(, 0, R )rdr EQ \o(, 0, R )r3dr ]

= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R2( R2/2) (R4/4)]

= EQ \F( (P0 PL ), 4m L ) [R4/4] = EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L ) Entonces,

EQ \o(, 0, 2p )

EQ \o(, 0, R )vz r dr d EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L ) EQ \o(, 0, 2p )d

EQ \F( (P0 PL )R4, 16m L ) Por otra parte

EQ \o(, 0, R ) r dr = R2/2

EQ \o(, 0, 2p )

EQ \o(, 0, R )r dr d R2/2EQ \o(, 0, 2p )d = 2 (R2/2)Por consiguiente la expresin para vz queda,

< vz > = P0 PL )R4, 16m L ) EQ \F(, R2/2)

< vz > = EQ \F((P0 PL )R2, 8m L) Notar que < vz > = vz,mx / 2iii) El flujo volumtrico QEs el producto del rea por la velocidad media, por lo tanto

Q = Aflujo< vz > = R2 EQ \F((P0 PL )R2, 8m L)

Q = EQ \F((P0 PL )R4, 8m L)

Ley de Hagen Poiseville

iv) El componentez de la fuerza Fz del fluido sobre la

superficie mojada de la tubera.

Es el esfuerzo evaluado en la interfase por el rea:

Fz = 2RL ( EQ \F(dvz, dr) )r = R

De la ec. diferencial para la velocidad:

EQ \F(dvz, dr) r = R = ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) RLa fuerza es entonces,

Fz = 2RL ( EQ \F( P0 PL, 2m L ) ) R

Fz = R2 (P0 PL)Este resultado indica que las fuerzas debidas a la presin y gravedad se equilibran exactamente con las fuerzas viscosas que tienden a oponerse al movimiento del fluido.

Experimentalmente se ha encontrado que para el flujo en tuberas, el flujo laminar se presenta para Re (= D < v > ) < 2 100

Resumen de suposiciones en el desarrollo de la Ley de HagenPoiseville

a) El flujo es laminar (Re < 2 100)

b) La densidad es constante

c) Estado estacionario

d) El fluido es newtoniano

e) Efectos finales despreciables

2.4 Flujo a travs de un anillo cilndrico. Condiciones lmite

Coordenadas cilndricas

condiciones lmite

estado estacionario

fluido newtoniano

Aplicaciones:

intercambiadores de calor de doble tubo

remetros (medicin de viscosidad)

Fig. 2.4 Flujo ascendente a travs de

dos tubos concntricos.

Se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilndrica, y se llega a la misma ecuacin diferencial que se obtuvo en el caso de un tubo cilndrico vertical

EQ \F( d , dr) rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) r

(2.4.1)

Esta ecuacin se integra directamente para dar

rrz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) EQ \F( r2 , 2 ) + c1

rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + EQ \F( c1 , r )

(2.4.2)Evaluacin de c1:

Sabemos que la velocidad del fluido en las paredes que lo rodean es cero y por lo tanto su velocidad alcanz un mximo en algn punto intermedio, digamos r = R. Consecuentemente, la densidad de flujo de cantidad de movimiento (el esfuerzo) fu cero en ese punto:

rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) R + EQ \F( c1 , lR ) = 0

de aqu, c1 = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) (R)2Entonces la ec. 2.4.2 queda:

rz = ( EQ \F( P0 PL, 2L ) ) r + ( P0 PL, 2L ) EQ \F( () (lR)2, r )

= EQ \F( P0 PL, 2L ) (r EQ \F( l2R2, r ) )

rz = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )

(2.4.3)

Sustituyendo la expresin de Newton de la viscosidad,

EQ \F( dvz , dr) = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )

EQ \F( dvz , dr) = EQ \F( (P0 PL)R,2m L ) ( EQ \F( r, R ) 2 EQ \F( R, r ) )

(2.4.4)

Ec. diferencial para la distribucin

de velocidades

Integrando (2.4.4)

vz = EQ \F( (P0 PL)R,2m L ) ( EQ \F( r2, 2R ) 2Rln r + c2)

nos interesa que nuestra variable independiente sea r/R por lo que

multiplicamos y dividimos por R

vz = EQ \F( (P0 PL)R2,2m L ) ( EQ \F( r2, 2R2 ) 2ln r + c2')

= EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) ( EQ \F( r2 , R2 ) 22ln r + c2")sumando y restando 2 ln R,

vz = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ ( EQ \F( r , R ) )2 22ln (r/R) + c2"']

(2.4.5)

Ahora se evaluarn las constantes de integracin y c2"' con las siguientes condiciones lmite

C.L. 1:

para r = ( Rvz = 0

C.L. 2:

para r = Rvz = 0

Sustituyendo ambas condiciones en la ec. (2.4.5)

0 = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ ( 2 22ln (() + c2"']

0 = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ 1 + c2"']

de la ltima ecuacin, se ve que c2"' = 1. Sustituyendo en la primera:

0 = ( 2 22ln (() 1

de aqu,

0 = ( 2 + 22ln (1/() 1

22 = EQ \F( 1 ( 2,ln (1/())

(2.4.6)

Sustituyendo estos valores en las ecs. de esfuerzos y velocidad, ec. 2.4.3 y 2.4.5:

rz = EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [ EQ \F( r, R ) EQ \F( (1 ( 2),2 ln (1/()) EQ \F( R, r ) ]

(2.4.7)

vz = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) [ 1 ( EQ \F( r , R ) )2 + EQ \F( (1 ( 2),ln (1/()) ln (r/R) ]

(2.4.8)

Observar que cuando ( se hace cero estas ecuaciones se transforman en las correspondientes al tubo cilndrico.

Ya que se tienen los perfiles de esfuerzos y velocidades, se desean obtener las siguientes magnitudes:

i) La velocidad mxima, vz,mxii) La velocidad media < vz >iii) El flujo volumtrico Qiv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el slido.

i) La velocidad mxima, vz,mxvz,mx = vzr = R = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ 1 2 + EQ \F( (1 k2),ln (1/k)) ln () ]

de la ec. 2.4.6

2 = EQ \F( 1 ,2) EQ \F( 1 k 2,ln (1/k)) y tambin

ln = EQ \F( 1 ,2) ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) sustituyendo en la expresin para vz,mx

vz,mx = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) [ 1 EQ \F( 1 ,2) EQ \F( 1 k 2,ln (1/k)) + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \F( 1 ,2) ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) ]

= EQ \F( (P0 PL)R2,4m L) {1 EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) [1 ln EQ \F( 1 k 2,2ln (1/k)) ]}ii) La velocidad media < vz >< vz > = , 0, 2p )

EQ \o(, kR, R ) EQ \F(vz r dr dq, EQ \o(, 0, 2p )

EQ \o(, kR, R ) r dr dq)

Evaluamos primero la integral

EQ \o(, kR, R )vz r dr = EQ \F( (P0 PL)R2,4m L ) EQ \o(, kR, R )[1 ( EQ \F( r , R ) )2 + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) ln (r/R) ]r dr

= A{ EQ \F( 1 , 2 ) r2 EQ \o(, kR, R ) EQ \F( 1 , 4R2 ) r4EQ \o(, kR, R )+ EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr} = A{ EQ \F( 1 , 2 ) R2(1 2) EQ \F( 1 , 4 ) R2(1 4) + EQ \F( (1 k 2),ln (1/k)) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr }factorizando A EQ \F( 1 , 4 ) R2(1 2) = BEQ \o(, kR, R )vz r dr = B[ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 4 , R2 ln 1/k) EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr](2.4.9)Evaluando por partes la integral

EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr = [ EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \o(, , ) EQ \F( r2 , 2 )

EQ \F( 1 , r ) dr] EQ \o(, kR, R )

u = ln r/R ;dv = r dr

du = EQ \F( R , r ) ( EQ \F( dr , R ) ) = EQ \F( 1 , r ) dr ; v = EQ \F( r2 , 2 )

EQ \o(, kR, R )ln(r/R)r dr = ( EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \F( 1 , 2 ) EQ \o(, , )r dr) EQ \o(, kR, R )

= ( EQ \F( r2 , 2 ) ln r/R EQ \F( 1 , 4 ) r2) EQ \o(, kR, R )

= EQ \F( r2 , 2 ) (ln r/R EQ \F( 1 , 2 ) ) EQ \o(, kR, R )

= EQ \F( R2 , 2 ) ( EQ \F( 1 , 2 ) ) EQ \F( k 2R2 , 2 ) (ln EQ \F( 1 , 2 ) )

= EQ \F( R2 , 2 ) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]EQ \o(, kR, R )vz r dr = = B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 4 , R2 ln 1/k)

EQ \F( R2 , 2 ) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]}

= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) + EQ \F( 2 , ln 1/k) [ EQ \F( 1 , 2 ) 2(ln EQ \F( 1 , 2 ) )]} = B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [( EQ \F( 2 , ln 1/k) ln EQ \F( 2 , ln 1/k)

EQ \F( 1 , 2 ) )]} = B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [ EQ \F( 2 , ln 1/k) ln 1/ EQ \F( 1 , ln 1/k) ]}

= B{ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) 2 [2 EQ \F( 1 , ln 1/k) ]}

= B[ 2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 , ln 1/k) + 22 + EQ \F( k 2 , ln 1/k) ]

= B(2 EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) + 22)

= B[ EQ \F( (2k 2 + 2)(1 k 2) (1 k 4) , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]

= B[ EQ \F( 2k 2 2k 4 + 2 2k 2 1 + k 4, 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]

= B[ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]

Por otra parte,

EQ \o(, kR, R )r dr = EQ \F( r2 , 2 ) EQ \o(, kR, R ) = EQ \F( R2 , 2 ) (1 2)

Sustituyendo en ec. para y considerando que la velocidad no es funcin de :

= B[ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]sustituyendo B = A EQ \F( 1 , 4 ) R2 (1 2)

= EQ \F(A R2(1 k 2) , EQ \F( R2 , 2 ) (1 k 2) ) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]

= EQ \F( A , 2 ) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]Sustituyendo el valor de A

= EQ \F( (P0 PL)R2,8m L) [ EQ \F( 1 k 4 , 1 k 2 ) EQ \F( 1 k 2 , ln 1/k) ]

iii) El flujo volumtrico QEl rea de flujo est dada por

A = R2 (R)2 = R2 (1 2)

El flujo es entonces

Q = A =R2 (1 2)

= EQ \F( p(P0 PL)R4,8m L ) [ 1 4 EQ \F( (1 k 2 )2, ln 1/k) ]

iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre el slido.

Se obtiene sumando las fuerzas que actan sobre los cilindros exterior e interior:

Fz = rzr = R 2RL+ rzr = R2RL

= EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [ EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) EQ \F(1, k ) ] 2RL +

EQ \F( (P0 PL)R,2L ) [1 EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) ] 2RL

= R2(P0 PL)( 2 + EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) + 1 EQ \F( (1 k 2),2 ln (1/k)) )

= R2(P0 PL)(1 2)

Tarea2.5 Flujo laminar en una rejilla estrecha.

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por dos paredes planas separadas por una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento (momentum) y de velocidad.

xz = ( EQ \F( P0 PL, L ) ) x

vz = EQ \F( (P0 PL )B2, 2m L ) [1 (x/B)2]

En las que P = p + gh = p gz. Cul es la relacin de la velocidad media a la mxima en la rendija? Obtener la ecuacin de flujo para la rendija (equivalente a la ley de HagenPoiseville).

Respuesta:

= EQ \F( 2 , 3) vz, mx; Q = EQ \F( 2 , 3)

EQ \F( (P0 PL)WB3,m L )

Fig. 2.5. Flujo a travs de una rendija.

2.6 Flujo laminar en una pelcula que desciende por el exterior de un tubo cilndrico.En una experiencia de absorcin de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeo tubo circular, para descender despus por la parte exterior del mismo (Vase figura).

Aplicar un balance de cantidad de movimiento a una envoltura de pelcula de espesor r, tal como se indica en la figura. Obsrvese que las flechas de entrada de cantidad de movimiento y salida de cantidad de movimiento se toman siempre en la direccin r positiva, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en la direccin r negativa.

a. Demostrar que la distribucin de velocidad en la pelcula descendente (despreciando los efectos finales) es

vz = EQ \F(rgR2, 4m) [1 ( EQ \F( r , R ) )2+ 2a2 ln( EQ \F( r , R ) ) ]

b. Obtener una expresin de la velocidad volumtrica de flujo en la pelcula.

Fig. 2.6. Distribuciones de velocidad y balance de cantidad de

movimiento para una pelcula que desciende por el exterior

de un tubo cilndrico.

2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial del tubo interior.Considere el sistema de la figura. La varilla cilndrica se mueve con velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribucin de velocidad en el estado estacionario y la velocidad volumtrica de flujo. Este tipo de problemas se presenta en el recubrimiento de alambres con barniz.

Respuesta: EQ \F( vz , V ) = EQ \F( ln (r/R) , ln k ) ;Q = EQ \F( pR2V,2) ( EQ \F( 1 k 2, ln (1/k)) 22)

Fig 2.7 Flujo en tubos concntricos con movimiento axial

del cilindro interior.

2.8 Flujo reptante alrededor de una esfera slidaPuesto que el problema de flujo alrededor de una esfera implica lneas de flujo curvas, no puede resolverse por las tcnicas que hemos visto en este captulo. Sin embargo, lo trataremos brevemente sin deducir las expresiones pertinentes.Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible que asciende verticalmente hacia una esfera de radio R y dimetro D. El fluido tiene una viscosidad y una densidad y asciende a una velocidad uniforme v.Analticamente se ha encontrado que para un flujo lento la distribucin de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es

(2.8-1)La distribucin de presin es

(2.8-2)

Y los componentes de la velocidad son

(2.8-3)

(2.8-4)En (2.8-2) p0 es la presin el el plano z = 0 alejado de la esfera,

gz es la contribucin del peso del fluido (efecto hidrosttico),

Y el trmino que contiene v es la contribucin debida al flujo alrededor de la esfera.

Estas ecuaciones son vlidas para flujo reptante, es decir para . Cuando no hay remolinos aguas abajo de la esfera.Observe que las ecuaciones satisfacen las condiciones lmite para

r = R y r = .

Integrando la fuerza normal (perpendicular a la superficie) ejercida por el fluido sobre la esfera resulta en (2.8-5)

{Fuerza de flotacin} {Resistencia de forma}

Integrando la fuerza tangencial debida al esfuerzo cortante se obtiene {Resistenca de friccin} (2.8-6)

Sumando las ecs. 2.8-5 y 2.8-6 se tiene

(2.8-7)

{Fuerza esttica} {Fuerza cintica}

La fuerza esttica (de flotacin o sedimentacin) se ejerce aunque el fluido est en reposo.La fuerza cintica, que resulta del movimiento del fluido, es la conocida ley de Stokes.FLUJO EN TUBERAS: FLUJOS INTERNOS Son los flujos que quedan completamente limitados por superficies slidas. Ej.: flujo interno en tuberas y en ductos.

Considerando unflujo incompresible a travs de un tubo de seccin transversal circular, el flujo es uniforme a la entrada del tubo y su velocidad es igual a U0. En las paredes la velocidad vale cero debido al rozamiento y se desarrolla una capa lmite sobre las paredes del tubo.

Fig. 3.19 Flujo en la regin de entrada de una tubera

La velocidad promedio en cualquier seccin transversal viene expresada por

FLUJO LANINAR Y FLUJO TURBULENTO EN TUBERAS

La naturaleza del flujo a travs de un tubo est determinada por el valor que tome el nmero de Reynolds siendo este un nmero adimensional que depende de la densidad, viscosidad y velocidad del flujo y el dimetro del tubo. Se define como

Si el Flujo es LaminarRe2300

FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE DESARROLLADO EN UN TUBO

Para un flujo laminar completamente desarrollado en un tubo la velocidad viene dada por

Gasto volumtrico

Sustituyendo 3.39 en 3.40

Resolviendo

En un flujo completamente desarrollado el gradiente de presin es constante

Sustituyendo

Velocidad promedio

Sustituyendo 3.42 en 3.45

Punto de velocidad mxima

Para determinar el punto donde la velocidad alcanza su valor mximo, se deriva la ecuacin 3.39 con respecto a r y se iguala a cero

luego sustituyendo r=0 en la ecuacin 3.39

PERDIDAS EN TUBERAS

Los cambios de presin que se tienen en un flujo incompresible a travs de un tubo se deben a cambios en el nivel o bien a cambios en la velocidad debido a cambios en el rea de la seccin transversal y por otra parte al rozamiento.

En la ecuacin de Bernoulli se tom en cuenta nicamente los cambios de nivel y de velocidad del flujo. En los flujos reales se debe tener en cuenta el rozamiento. El efecto del rozamiento produce prdidas de presin. Estas prdidas se dividen en prdidas mayores y en prdidas menores

Prdidas Mayores:se deben al rozamiento en un flujo completamente desarrollado que pasa a travs de segmentos del sistema con rea de seccin transversal constante.

Prdidas Menores:se deben a la presencia de vlvulas, bifurcaciones, codos y a los efectos de rozamiento en aquellos segmentos del sistema cuya rea de seccin transversal no es constante.

PERFILES DE VELOCIDAD EN UN FLUJO A TRAVES DE UN TUBO

Para un flujo laminar completamente desarrollado, el perfil de la velocidad es parablico

Dividiendo 3.50 entre 3.51

Para flujo turbulento

BALANCE DE ENERGIA PARA EL FLUJO EN TUBOS

Para obtener informacin de la naturaleza de las prdidas de presin en flujos viscosos internos, se utiliza la ecuacin de la energa.

Considere, flujo estable a travs del sistema de tuberas, incluido un coco reductor, mostrado en la Figura 3.20.

Fig. 3.20 Volumen de control para el anlisis de energa del flujo que circula.

Donde hLTcorresponde a la prdida de carga y representa la suma de las prdidas mayores ms las prdidas menores.

FLUJO A TRAVS DE UNA SECCIN DE CORONA CIRCULAR

Vamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilndricas, pero cuyas condiciones lmite3 son diferentes. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a travs de la regin comprendida entre dos cilindros circulares coaxiales de radios KR y R (vase Fig. 2.4-1). Comenzamos efectuando un balance de cantidad de movimiento sobre una fina envoltura cilndrica, y se

llega a la misma ecuacin diferencial que se ha obtenido anteriormente para el

flujo en un tubo

. Flujo ascendente a travs de dos cilindros concntricos. llega a la misma ecuacin diferencial que se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo (vase Ec. 2.3-10): (2.4-1) Tngase en cuenta que para este problema y= p + pgz, puesto que las fuerzas de presin y gravedad actan en direcciones opuestas (es decir, que z corresponde a /z en la nota 1 al pie de la pgina 45). Esta ecuacin diferencial puede integrarse igual que antes (vase Ec. 2.3-ll), para obtener (2.4-2)

Ley de Newton de la viscosidad

Ley de Fourier de la conduccin de calor

Ley de Fick de la difusividad

Plsticos: Goma, asbestos

Seudoplsticos: purs, pulpa de papel

Newtonianos: agua, aceite

Dilatantes: arenas, jaleas

Flujo newtoniano generalizado

Ley de Newton de la viscosidad

Balance de cantidad de movimiento

(unidimensionales)

Condiciones lmite

Perfiles de velocidad

Velocidad media

Flujo

Esfuerzo cortante en superficies

Estado estacionario:

Las condiciones en cada punto del sistema no cambian

con el tiempo.

Una fotografa en tiempo = t es igual a otra tomada a t + t

velocidad de entrada de cantidad de movimiento

velocidad de salida de cantidad de movimiento

suma de las fuerzas que actan sobre el sistema

por transporte de acuerdo a la expresin newtoniana

(transporte difusivo o molecular)

por movimiento global del fluido (convectivo)

(LW)xzx

Velocidad de entrada de cantidad

de movimiento a travs de la superficie situada en x

Velocidad de salida de cantidad

de movimiento a travs de la superficie situada en x + x

(LW)xzx + x

Fuerza de gravedad que acta

sobre el fluido

(LWx)(g cos )

(Wxvz)(vz)z = L


de movimiento a travs de la superficie situada en z = 0

(Wxvz)(vz)z = 0


de movimiento a travs de la superficie situada en z = L


de movimiento a travs de la superficie cilndrica situada en r

(2rL)rzr


de movimiento a travs de la superficie cilndrica situada en r + r

(2rL)rzr + r


de movimiento debida al flujo de

entrada a travs de la superficie situada en z = 0

(2rrvz)(vz)z = 0


de movimiento debida al flujo de

salida a travs de la superficie situada en z = L

(2rrvz)(vz)z = L

Fuerza de gravedad que acta

sobre el fluido

(2rrL)g

Fuerza de presin que acta

sobre la superficie anular situada en z = 0

(2rr)p0

Fuerza de presin que acta

sobre la superficie anular situada en z = L

(2rr)pL

Relaciona el flujo con las fuerzas que originan dicho flujo (fuerzas gravitacionales y de presin)

A

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Fenom Transp I