TRANSP (30)

CONVOLUOA funo Impulso, ou Delta de Dirac, definida da seguinte forma:ePodemos considerar a funo (t) como um caso limite da funo pulso (t), definida como: Notar que:

CONVOLUOFuno Impulso: (t)

CONVOLUOA integral um caso limite do somatrio:Por exemplo, a integral do impulso o degrau, pois a soma cumulativa zero at chegar em 0, e depois 1.

CONVOLUOPor baixoPelo meioPor cima

CONVOLUORepresentando sinais por impulsosQualquer sinal pode ser representado como uma soma infinita de pulsos escalados (amplitude multiplicada por um fator) e defasados (deslocados no eixo dos x). Usando discretizao pelo meio.

CONVOLUO

CONVOLUONOTE QUE CADA PULSO EST MULTIPLICADO POR -1.

CONVOLUOO sinal pode ser escrito como:Que um somatrio dos pulsos escalados e defasados. Note que cada pulso (t) defasado, (t - k.) e multiplicado (escalado) pela rea sob o sinal no ponto considerado [x(k.).].

CONVOLUOO sinal original, x(t), pode ser escrito como:No limite, temos:A expresso acima nos diz que qualquer sinal pode ser representado pela integral de menos infinito a mais infinito do seu produto pela funo impulso.

CONVOLUOAparentemente demos uma baita de uma volta e complicamos a guerra. Tnhamos um sinal [x(t)] e agora queremos substitu-lo pela integral do seu produto pela funo impulso!Daqui a pouco vamos ver como esta equao pode nos ajudar muito.

CONVOLUONs j sabemos o que um sistema linear, mas vamos repetir alguns conceitos.Um Sistema mapeia um sinal de entrada x(t) em um sinal de sada y(t).y(t) = T[x(t)]Um sistema linear se ele passa em dois testes: homogeneidade e aditividade.

CONVOLUOHomogeneidade: se a entrada aumenta, a sada tambm aumenta pelo mesmo fator.Aditividade: se a entrada x1(t) provoca uma sada y1(t) e uma entrada x2(t) provoca uma sada y2(t), ento a resposta combinao de entradas x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t). Unindo estas duas propriedades, podemos definir o Princpio da Superposio:T[.x1(t) + .x2(t)] = .T[x1(t)] + .T[x2(t)] = .y1(t) + .y2(t) Se o sistema invariante no tempo:y(t) = T[x(t)] y(t s) = T[x(t s)]

CONVOLUO

CONVOLUOVamos apresentar o papo anterior com uma linguagem puramente matemtica.Usando aditividade:No limite:

CONVOLUOUsando homogeneidade:O termo assinalado a resposta do sistema ao impulso! Esta resposta sabemos que h(t).

CONVOLUOEsta forma de se combinarem dois sinais, como mostrado na expresso acima, chamada CONVOLUO!Esta a famosa Integral de Convoluo.

CONVOLUOAlgumas propriedades da convoluo:

CONVOLUOConvoluo vista pelo lado da entrada: o sinal de entrada x(t) dividido em pulsos estreitos, cada um agindo como um impulso para o sistema. A sada y(t) a soma das respostas ao impulso, escaladas e defasadas.

CONVOLUOConvoluo vista pelo lado da sada:cada valor no sinal de sada influenciado por muitos pontos do sinal de entrada. Na figura, o sinal de sada est sendo calculado para o tempo t. O sinal de entrada x() est sendo escalado (multiplicado) pela resposta ao impulso, espelhada e defasada, dada por h(t ). Integrando-se, acha-se y(t).

CONVOLUOO circuito da figura (a) recebe, em sua entrada, um impulso de tenso (t), mostrado na figura (b) e dando a resposta h(t), mostrada em (c).

CONVOLUOCalcular, para o circuito anterior, a resposta ao pulso mostrado na figura (a).Como j obtivemos a resposta do circuito ao impulso, basta ento fazermos a convoluo do sinal da figura (a) com a resposta ao impulso, dada na figura (b).

CONVOLUOALGUNS TRUQUESEm uma funo, ao substituirmos a varivel x por x, simplesmente rebatemos a funo em torno do eixo y.Quando somamos uma constante ao eixo dos x, como se atrasssemos a funo da mesma constante, ou seja, andamos com a funo para a direita.

CONVOLUOALGUNS TRUQUESComo a integral de convoluo feita na varivel s, devemos colocar todas as funes referenciadas a s. A funo x j est. Falta h. Plotando h(t-s) em funo de (t-s), nos fornece a mesma curva de h(t).

CONVOLUOALGUNS TRUQUESMudando a varivel de t s para s t, simplesmente rebatemos a funo h(t s) em torno do eixo y.

CONVOLUOALGUNS TRUQUESSomando-se t abscissa:

CONVOLUOAgora j temos condies de resolver o problema proposto anteriormente, repetido aqui:Vamos dividir o problema em trs regies:

CONVOLUO

CONVOLUOO mtodo para se resolver a convoluo graficamente composto de 4 passos, a saber:1o Passo: mudamos a varivel de integrao e rebatemos h(s) em torno do eixo y.

CONVOLUO2o Passo: deslizar a funo rebatida uma distncia t na outra funo.

CONVOLUO3o Passo: multiplicar as duas curvas.4o Passo: integrar, calculando a rea sob a curva resultante do produto.

CONVOLUOVamos a outro exemplo: ache a convoluo entre os dois sinais abaixo, x(t) e h(t):

CONVOLUOAs curvas foram identificadas para ajudar na convoluo!

CONVOLUO

H(t - ) vai ser deslizada para a direita at descobrir completamente x(), ou seja, at t = 5CONVOLUO

Nesta posio, ou seja, at t chegar em 0, o produto das duas funes zero e assim tambm a integral:CONVOLUO

Entre estas posies, ou seja, com t variando entre 0 e 1, o produto das duas funes xa.ha com 0

Entre estas posies, ou seja, com t variando entre 1 e 2, o produto das duas funes xa.ha, para t-1

Entre estas posies, ou seja, com t variando entre 2 e 3, o produto das duas funes xb.ha e xa.ha, para entre 2 e t e t-1 e 2, e xa.hb, para entre t-2 e t-1:3CONVOLUO4

Entre estas posies, ou seja, com t variando entre 3 e 4, o produto das duas funes xb.hb, xb.ha e xa.hb:CONVOLUO

Entre estas posies, ou seja, com t variando entre 4 e 5, o produto das duas funes xb.hb:CONVOLUO56

Da em diante zero! Resumindo:CONVOLUO

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