Upload
eliana-hernandez
View
1.751
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Josiah Willard Gibbs(18993 - 1903)
Estudió en la Universidad de Yale, recibió su doctorado
allí en 1863 uno de los primeros doctorados otorgados
en los Estados Unidos.
Entre 1873 y 1876 publica la serie de trabajos que contribuyen a dar a la
recién creada disciplina de la Termodinámica la dimensión que
conocemos actualmente. Paso a vivir en 1868-69 en Heidelberg, donde
fue influenciado por Kirchhoff y Helmholtz . Gibbs en 1871, fue
nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale.
Trabajo en análisis vectorial.
La muerte le sorprendió tras una vida tranquila en su casa de New
Haven en 1903.
Nació en New Haven, en el estado norteamericano de
Connecticut el 11 de Febrero de 1839.
Historia
En el 1889, el físico Albert Michelson y su
colega S. Stratton construyeron un
sintetizador armónico: un dispositivo que
reconstruía una señal periódica
de periodo
En base a la especificación de hasta
ochenta de sus componentes armónicos.
El sintetizador implementa
matemáticamente la siguiente ecuación:
Michelson probó su dispositivo calculando los coeficientes de
Fourier de distintas señales periódicas y comparando la señal
reconstruida con la original
Sin embargo, cuando utilizó como señal de prueba una onda
cuadrada la aproximación no fue tan buena; en la maquina
aparecieron “garabatos” alrededor de las discontinuidades,
aunque el numero de los coeficientes de fourier llegaron a ser
casi infinitos, los garabatos nunca desaparecieron (puntos son
conocidos como el Fenómeno de Gibbs) pero Michelson no
podía comprender las causas del problema, y pensaba que su
aparato podría estar funcionando incorrectamente. Confió sus
dudas al matemático Josiah Gibbs.
Historia
Series de Fourier de una función cuadrada
Carta de Gibbs
El 27 de abril de 1899 Gibbs publica el resultado correcto y
mostrando que las oscilaciones no decaen, sino que el
sobrepico tiende a un numero constante (9% de la altura del
pulso).
El nombre “fenómeno de Gibbs” fue utilizado por primera vez
por Bocher en 1906, en un artículo donde extendía el
resultado de Gibbs.
Para entender mejor en que consiste dicho fenómeno, vamos
a realizar una prueba experimentar por medio de Matlab.
Fenómeno de Gibbs
Tomamos una señal con un número finito de discontinuidades
(como el pulso cuadrado ) y encontrando su representación de
series de fourier. Ahora, trataremos de reconstruir esta señal
usando sus coeficientes de fourier. Vemos que entre mas
coeficientes usemos, la señal reconstruida se parece más y más
a la señal original.
Sin embargo, alrededor de las discontinuidades, observamos
ondulaciones que no desaparecen. Al considerar el uso de más
coeficientes, las ondulaciones se vuelven estrechas, pero no
desaparecen. Incluso cuando llegamos a un número casi infinito
de coeficientes, estas ondulaciones continúan ahí.
Mientras estas ondulaciones siguen presentes (estando siempre
arriba del 9% de la altura del pulso), el área dentro de ellas
tiende a ser cero, lo que significa que la energía de las
ondulaciones llega a ser cero.
Procedimiento experimental
Lo que demuestra que su anchura tiende a ser cero y podemos
saber que la reconstrucción de la señal es exactamente igual a la
señal original excepto en las discontinuidades (por Dirichelt).
El teorema de Dirichelt nos asegura que en los puntos donde
ocurren las discontinuidades de saltos, la serie de fourier
converge al valor medio del salto. Cuando se adhieren más
términos a las series, las oscilaciones se vuelven más rápidas y
más pequeñas, pero los picos no disminuyen.
Estos picos en la series de fourier de la función
cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de
Gibbs