システム工学 I - University of the Ryukyusdsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p11.pdfシステム工学I 第11回システムの応答電347, 電397 システム工学I (2016)

システム工学 I

第 11回システムの応答

電 347, 電 397 システム工学 I (2016) 琉球大学工学部電気電子工学科担当:半塲 1

状態方程式とシステムの応答 (1)

• x = Ax+Bu, y = Cx+Du というシステムを考える (x ∈ R

n, u ∈ Rm, y ∈ R

p; A ∈

Rn×n, B ∈ R

n×m, C ∈ Rp×n, D ∈ R

p×m)

• x(t), u(t), y(t)のLaplace変換をX(s), U(s),

Y (s)とする.

• 変数 tや sを省略することがある.


このシステムの解は・・・

x(t) = eAtx0 +

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

y(t) = C

(

eAtx0 +

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

)

+Du(t)

• CeAtx0：零入力応答

• C(

∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ

)

+ Du(t): 零状態応

答



• システムの応答は, 零入力応答と零状態応答の重ね合わせになる.

• 入力u1(t)に対する零状態応答を y1(t), 入力u2(t)に対する零状態応答を y2(t)とすると,

入力 α1u1(t) + α2u2(t)に対する零状態応答はα1y1(t) +α2y2(t)となる (重ね合わせの原理).


次に状態方程式を Laplace変換する. sX − x0 =

AX +BU だから・・・

X(s) = (sI −A)−1x0 + (sI −A)−1BU(s),

Y (s) = C(sI −A)−1x0

+C(sI −A)−1BU(s) +DU(s)

• C(sI−A)−1x0：零入力応答のLaplace変換

• (C(sI −A)−1B +D)U(s): 零状態応答のLaplace変換



• システムの伝達関数行列では初期値を零とおく. よって, このシステムの伝達関数行列はC(sI −A)−1B +D

• 時間領域でシステムの応答を求めるときには,

eAtが必要になる. 既出だが, eAtの構造を調べるには Jordan標準形が必要.



• P−1AP = λIn +Nnの場合 (Jordanブロックが 1個だけの場合)には・・・

eAt = P

eλt teλt · · · tn−1

(n−1)!eλt

. . .. . .

.... . . teλt

eλt

P−1


• ただし, Nn =

(

0 In−1

0 0

)

とする (n ≥ 2).

• n = 1のときはN 1 = 0と定義する. しがたって, N 1 = 0の項は無視できる.



• P−1AP = diag(J1, . . . ,Jk) のように Jor-dan標準形が k個のブロックを持つ場合には(J i = λiIni

+ Nni(1 ≤ i ≤ k, ni ≥ 1))

eAt = P diag(eJ1t, . . . , eJkt)P−1,

eJ it =

eλit · · · tni−1

(ni−1)!eλit

. . ....

eλit



• 次に, (sI−A)を Jordan標準形を使って表現する. J = diag(J1, . . . ,Jk)をAの Jordan

標準形とし (J i = λiIni+Nni

), P−1AP = J

とする.

• (sI −A) = P (sI − J)P−1だから,

(sI −A)−1 = P (sI − J)−1P−1.



• X = diag(X1, . . . ,Xk)のすべての対角ブロックが正方で逆行列を持てば, Xも逆行列を持ち, X−1 = diag(X−1

1 , . . . ,X−1k )

• よって, (sI −A)−1 =

P diag ((sI − J1)−1, . . . , (sI − Jk)

−1)P−1.


s− λi −1. . .

. . .

. . . 1

s− λi

1s−λi

1(s−λi)2

· · · 1(s−λi)ni

. . ....

. . . 1(s−λi)2

1s−λi

= I

となることは直接計算することで確認できるから・・・


(sI − J i)−1 =

1s−λi

1(s−λi)2

· · · 1(s−λi)ni

. . ....

. . . 1(s−λi)2

1s−λi

これを Laplace逆変換すると先に述べた時間領域における形になる.



• MATLABや Scilabのような科学技術計算のためのソフトウェアには行列の指数関数を計算する関数が用意されていることがある(MATLAB,Scilabでは expm).

• 通常の指数関数は expとは違うので注意.



• 我々は先ほど状態方程式から次のような表現を導いたのだが:

X(s) = (sI −A)−1x0 + (sI −A)−1BU(s),

Y (s) = C(sI −A)−1x0 +C(sI −A)−1BU(s)

+DU(s)

多入力多出力系の零点を定義する目的で, 別の表現を用いることもある.



• 前のページの式を変形し,

Π(s) =

(

(A− sI) B

C D

)

と定義すると,

Π(s)

(

X(s)

U(s)

)

=

(

−x(0)

Y (s)

)

となる.

• Π(s)をRosenbrockのシステム行列という.



• 多項式行列 sI −Aを Smith標準形:(

diag(g1(s), . . . , gr(s)) 0

0 0

)

(∀i, gi(s)はモ

ニック, gi(s)|gi+1(s))に変形したときの,多項式 g1(s), . . . , gr(s)に対し, gi(s) = 0(1 ≤ i ≤

r)の根をシステム極と呼び,その重複度をシステム極の重複度と呼ぶ.



• 多項式行列Π(s)を Smith標準形:(

diag(h1(s), . . . , hu(s)) 0

0 0

)

, (∀i, hi(s)は

モニック, hi(s)|hi+1(s))に変形したときの,多項式 h1(s), . . . , hu(s)に対し, hi(s) = 0(1 ≤

i ≤ u)の根を不変零点と呼び, その重複度を不変零点の重複度と呼ぶ.


システムのモード (1)

• x = Ax, x(0) = x0という微分方程式が与えられていて, P−1AP = diag(J1, . . . ,Jk),

J i = λiIni+Nni

(1 ≤ i ≤ k, ni ≥ 1)とする.

• z = P−1xという座標変換を考え, 新しい座標 z(一般には非直交座標)に関する微分方程式を立てる.



• z = P−1x = P−1Ax = P−1APz だから,

新しい座標系では, z = diag(J1, . . . ,Jk)z となっている. 初期値は z0 = P−1x0である.

• z = diag(J1, . . . ,Jk)zの解を x = Axのモードという.



• この解は z(t) = diag(eJ1t, . . . , eJkt)z0 だから, システムのモードは eJ itの要素を (初期値を使って)組み合わせたものになる.

• システムのモードを構成する関数がλiとnの値に応じてどのように変わるかを見てゆく.



• n = 1で λi が正の実数のときには, eλit はt → ∞で発散する指数関数である.

• n = 1で λi が負の実数のときには, eλit はt → ∞で零に収束する指数関数である.

• Aは実行列だから, λiが虚数なら, (J1, . . . ,Jk)

の中に λiの複素共役に対応するものがある.



• n = 1で λiが虚数のときは,

e(a+ib)t = eat (cos bt + i sin bt) である. これは, t → ∞とすると, a > 0なら振動的に発散し, a < 0なら振動的に零に減衰する.

a = 0のときは振幅が一定の三角関数である.



• λiが虚数であっても, A, x0が実行列および実ベクトルである場合には, これに対応する応答波形は, λiの複素共役に対する応答波形と対になっている. 初期値が実数である場合には, 複素共役どうしが打ち消し合うことで,

応答の虚数成分は消える.



• n ≥ 2のときには, ブロック J i に対応する

モードは, eλit, teλit, . . . ,tni−1

(ni − 1)!eλit の組

み合わせである. λiの値と解の挙動の関係はn = 1の場合と同様であるが, tの多項式がそれに乗じられる点が異なる.

• n = 3の場合の様々なモードの図を示す.


ni = 3, λi = 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(x)x*exp(x)

x**2/2*exp(x)


ni = 3, λi = −1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(-x)x*exp(-x)

x**2/2*exp(-x)


ni = 3, λi = 1 + 5i (実部)

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(x)*cos(5*x)x*exp(x)*cos(5*x)

x**2/2*exp(x)*cos(5*x)


ni = 3, λi = 1 + 5i (虚部)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(x)*sin(5*x)x*exp(x)*sin(5*x)

x**2/2*exp(x)*sin(5*x)


ni = 3, λi = −1 + 5i (実部)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(-x)*cos(5*x)x*exp(-x)*cos(5*x)

x**2/2*exp(-x)*cos(5*x)


ni = 3, λi = −1 + 5i (虚部)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

exp(-x)*sin(5*x)x*exp(-x)*sin(5*x)

x**2/2*exp(-x)*sin(5*x)


ni = 3, λi = 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

1x

x**2/2


伝達関数とシステムの応答 (1)

• 次のような伝達関数で表現されたシステムを

考える: G(s) = g0(s− β1) · · · (s− βm)

(s− α1) · · · (s− αn);ただ

し分子と分母には共通項がないものとする.

• 代数学の基本定理により, 伝達関数の分母と分子は 1次の項の積で表現されるので, それらの共通項を打ち消せば上記の形になる.



• G(s)は n ≥ mのときプロパー, n > mのとき厳密にプロパーと言うのであった.

• {α1, . . . , αn}をG(s)の極, {β1, . . . , βm}をG(s)

の零点, g0を G(s)の高周波ゲインというのであった.

• n−mをG(s)の相対次数という.



• G(s)が厳密にプロパー (相対次数が 1以上)

であるとき, lim|s|→∞ |G(s)| = 0であるから,

複素平面に無限遠点を付け加えて考えたとき,

無限遠点もG(s)の零点であると解釈できる.

これをG(s)の無限零点という.



• 伝達関数G(s)で記述されたシステムの入力u(t)に対する応答は, u(t)の Laplace変換をU(s)としたとき, G(s)U(s)をLaplace逆変換することにより求められる.

• 伝達関数表現を用いるときには, システムの初期値は零に固定されていることに注意.



• 伝達関数が有理関数で入力が多項式および指数関数と三角関数の組み合わせのときには,

部分分数展開によって G(s)U(s)の Laplace

逆変換を求めることができる.

• 入力としてよく使われる関数のLaplace変換を次に示す.


関数 Laplace変換単位インパルス δ(t) 1

単位ステップ 11

s

多項式tn−1

(n− 1)!

1

sn

指数関数 eat1

s− a

指数関数+多項式tn−1

(n− 1)!eat

1

(s− a)n


関数 Laplace変換

正弦関数 sin ata

s2 + a2

余弦関数 cos ats

s2 + a2

双曲線関数 sinh ata

s2 − a2

cosh ats

s2 − a2



• 単位インパルスは, Diracのデルタ関数と同じものである.

• 正弦関数,余弦関数,双曲線関数のLaplace変換は, 指数関数の Laplace変換から代数的に求めることができる.



• 伝達関数 G(s) = g0(s− β1) · · · (s− βm)

(s− α1) · · · (s− αn)を

持つシステムに∏

1≤j1≤···≤jr≤m

1

s− βjr

なる入

力が印加された場合 (ただし r ≤ m), これらは伝達関数の分子で相殺され, 出力にはまったく現れない.


例

• x = −x + u, y = −2x + uというシステムを考える. 初期値を x(0) = 0とおく. また,

u(t) = etとする.

• X(s) = 1s+1

U(s) = 1(s+1)(s−1)

= 1s2−1である.

• Y (s) = U(s) − 2X(s) = 1s−1

(1 − 2s+1

) =1

s−1( s−1s+1

) = 1s+1だから, y(t) = e−t である.

入力 etは出力に現れない.


• x(t)は無限大に発散するにもかかわらず, y(t)が零に収束することに注意. このように, 「不安定零点」の取り扱いには注意が必要である.

• Scilabでこの微分方程式を解いてみる. 数値計算の誤差が問題となることに注意.

deff(’dx=f(t,x)’,’dx=-x+exp(t)’);

x0=0;t0=0;t=0:.01:10;

x=ode(’rk’,x0,t0,t,f);

y=exp(t)-2*x;

• Runge-Kutta法を使っていることに注意. デフォルトの解法だと正しい解が得られない. 厳密解は y(t) = e−tなので, 値が負になることはないのだが・・・


Runge-Kutta法: x(t)は発散するが・・・

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 2 4 6 8 10

x(t)

t


Runge-Kutta法: y(t)は零に収束する

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

0 2 4 6 8 10

y(t)

t


Runge-Kutta法とデフォルト解法の比較

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

y(t)

t

Ruge-KuttaDefault



• 多入力多出力系では,G(s) = (gij(s)), U(s) =

(U1(s), . . . , Um(s))T , Y (s) = (Y1(s), . . . , Yp(s))

T

とすると, Yi(s) =∑m

j=1 gij(s)Uj(s)だから,

各 jについて gij(s)Uj(s)を部分分数展開で計算してから, それらを足し合わせれば, Yi(s)

が得られる.



• 多入力多出力系でも G(s)から 1入力 1出力系の極と零点に相当するものを定義することは可能.

• まず, m行n列の伝達関数行列G(s)が, 次のように Smith-McMillan標準形で表現されているものとする.


U(s)G(s)V (s) =

ν1(s)

δ1(s). . .

νr(s)

δr(s)

(Smith-McMillan標準形; 空白の部分は零)



• δ1(s) · · · δr(s) = 0の根およびその重複度構造を, G(s)の伝達極という.

• ν1(s) · · ·νr(s) = 0の根およびその重複度構造を, G(s)の伝達零点という.

• G(s) = 0となる sのことを, G(s)のブロッキング零点という.



G(s)の可制御かつ可観測な実現が(

A B

C D

)

である

とき,

(

A B

C D

)

のシステム極および不変零点がG(s)

の伝達極および伝達零点に一致することが示されるが,

可制御性と可観測性はシステム工学 IIの範囲なので深

入りしない.



一般には,

(

A B

C D

)

に対応する伝達関数行列がG(s)

であるとき, G(s)の伝達極および伝達零点は(

A B

C D

)

のシステム極および不変零点の一部になる.


phase portrait(1)

• 時不変な微分方程式 x = f(x), x(0) = x0の解は, ϕ(t, 0,x0)という形の時間の関数であり, (t,x)空間にそのグラフをプロットすることができるが, そのグラフのx空間への射影を, このシステムの phase portraitという.

• phase portraitという言葉は上記以外の意味で使われることもあるので注意.


phase portrait(2)

• 線形時不変システムを固有値で分類すると・・・

⊲ 固有値の実部が正 vs 固有値の実部が負

⊲ 固有値が実数 vs 固有値が共役複素数

• よって, 2次元のシステムの解を分析することで, n次元のシステムの解の特徴をある程度理解できる.


phase portrait(4)

•

(

x1

x2

)

=

(

0 1

a1 a2

)(

x1

x2

)

とし, (a1, a2) を

変えて (固有値が変わる), そのベクトル場とphase portrait(流線)をプロットする.

• Mathematicaの組み込み関数 VectorPlotとStreamPlotを利用.


固有値が 1と 1 (重根, 2個とも正)


固有値が 1と−1 (1個が正, 1個が負)


固有値が−1と−1 (重根, 2個とも負)


固有値が 1− iと 1 + i (共役, 実部が正)


固有値が−iと i (共役, 実部が零)


固有値が−1− iと−1 + i (共役, 実部が負)


参考文献

• 須田, 線形システム理論, 朝倉書店, 1993

• 前田, 線形システム, 朝倉書店, 2001

• C. Robinson, Dynamical Systems, CRC Press,

1995.


Documents

システム工学 I - University of the Ryukyusdsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p11.pdfシステム工学I 第11回 システムの応答 電347, 電397 システム工学I (2016)

システム工学 I - University of the Ryukyusdsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p11.pdfシステム工学I 第11回システムの応答電347, 電397 システム工学I (2016)