ασκήσεις με τετράγωναusers.sch.gr/mnannos/ebooks/264squares.pdf · ΑΣΚΗΣΗ 12 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 11 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται

264 ασκήσεις με τετράγωνα

Θεματοδότες - Πλήθος ασκήσεων Λύτες *- Πλήθος ασκήσεων

*που συμμετέχουν με 6 τουλάχιστον λύσεις.

1) KARKAR - 1092) Μιχάλης Νάννος - 503) Μπάμπης Στεργίου - 244) Κώστας Ρεκούμης (rek2) - 145) Αποστόλης Τιντινίδης (apotin) - 116) Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 77) Κώστας Ζερβός (kostas_zervos) - 78) orestisgotsis - 79) Γιώργης Καλαθάκης (exdx) - 710) Ανδρέας Πούλος - 611) Ηλίας Καμπελής (hlkampel) - 312) Γιώργος Μήτσιος - 313) Δημήτρης Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) - 314) Perantonis - 215) Σπύρος Βασιλόπουλος (spyros) - 216) Στράτης Αντωνέας (stranton) - 217) Γιώργος Ρίζος - 218) amoulan - 119) ctheofi - 120) ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ - 121) Μιχάλης Τσουρακάκης - 122) Ανδρέας Βαρβεράκης - 1

1) Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 962) Μιχάλης Τσουρακάκης - 753) Στάθης Κούτρας - 554) Γιώργος Ρίζος - 365) Μιχάλης Νάννος - 306) KARKAR - 277) Παναγιώτης Γιαννόπουλος (p_gianno) - 228) thanasis.a - 159) Ανδρέας Βαρβεράκης - 1110) Γιώργος Μήτσιος - 1111) Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) - 1012) Θανάσης Μπεληγιάννης (mathfinder) - 913) Αποστόλης Τιντινίδης (apotin) - 914) Κώστας Δόρτσιος - 915) Κώστας Ρεκούμης (rek2) - 916) Σωτήρης Λουρίδας - 917) Γιώργης Καλαθάκης (exdx) - 718) Δημήτρης Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) - 719) orestisgotsis - 720) Ηλίας Καμπελής (hlkampel) - 6

Αφιερωμένο στο γιο μου Δημήτρη,

στη γυναίκα μου Μαρία

και στους φίλους μου απ’ το

www.mathematica.gr

Μιχάλης Νάννος31 Οκτωβρίου 2013

http://www.mathematica.grhttp://users.sch.gr/mnannos/

ΤετράγωνοΤετράγωνο, στην Ευκλείδεια γεωμετρία, είναι το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος ταυτόχρονα.

Ιδιότητες• Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν τα εξής:

1. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.

2. Όλες οι πλευρές είναι ίσες.

3. Όλες οι γωνίες είναι ορθές.

4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του.

Κριτήρια τετραγώνου• Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Μία γωνία είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

2. Μία γωνία είναι ορθή και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία.

3. Μία γωνία είναι ορθή και οι διαγώνιοι κάθετες.

4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

5. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και μία από αυτές διχοτομεί μία γωνία.

6. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και κάθετες.

http://el.wikipedia.org/wiki/��

Ασκήσεις

6 | 264 ασκήσεις με τετράγωνα © 2013 | www.mathematica.gr | Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος

mathematica.gr ΙστότοποςΜαθηµατικών

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ με κέντρο Ο . Αν για τυχαία σημεία ,Ε Ζ επί των πλευρών ,∆Α ΑΒ αντίστοιχα ισχύει ΕΟ ⊥ ΟΖ , δείξτε ότι:

1) ( ) 4( )ΑΒΓ∆ = ΑΖΟΕ .

2) ∆Ε = ΑΖ .

ΑΣΚΗΣΗ 2 - Μιχάλης Νάννος


Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και με πλευρά Α∆ κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο Α∆Ε . Αν Ζ ≡ ΕΓ∩∆Β , δείξτε ότι 3ΕΓ = ΖΒ .

Λύσεις: tzisves - Κώστας Ρεκούμης

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173024http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p172943http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p172954http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173358http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173048http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173074

Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος | www.mathematica.gr | 264 ασκήσεις με τετράγωνα © 2013 | 7


Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και με πλευρά αΑΒ = κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο ΑΒΕ . Αν ΕΒΖΗ τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την ΕΒ και στο οποίο δεν

ανήκει το Α , να δείξετε ότι 2α∆Η = .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α και εσωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε αΑΕ = και ΒΕ ⊥ ΕΓ . Να δείξετε ότι 2ΒΕ = ΕΓ .

Λύση: Φωτεινή Καλδή

Λύση: Νίκος Φραγκάκης

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173056http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173054http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173055http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173083



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ( )ΓΕ ⊥ ∆Μ Ε∈∆Μ , να δείξετε ότι 5ΑΕ = ΓΕ .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ( )ΑΕ ⊥ ∆Μ Ε∈∆Μ , να δείξετε ότι

( )2

∆Ε ⋅∆ΜΓ∆Μ = .


Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - gavrilos

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173106http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173094http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173104http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173115http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173116



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και εξωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε ΓΕ ⊥ ∆Ε . Αν ,x yΓΕ = ∆Ε = , να δείξετε ότι:

1) 2 2( )x y yΕΑ = + + .

2) 2 2( )x y xΕΒ = + + .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ( )ΑΕ ⊥ ∆Μ Ε∈∆Μ , να δείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ .

Λύσεις: Χρήστος Τσιφάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Perantonis - thanasis.a

Λύσεις: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης - Νίκος Φραγκάκης

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173127http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173056http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173121http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173144http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173235http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173427http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173489http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173122http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173151



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και εσωτερικό σημείο Ε , τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 . Να δειχτεί ότι το τρίγωνο Ε∆Γ είναι ισόπλευρο.


ΑΣΚΗΣΗ 9 - ctheofi

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και έστω , , ,Ε Ζ Η Θ τα μέσα των πλευρών , , ,ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ , που σχηματίζεται απ’ τις τομές των πλευρών , , ,∆Ζ ΘΒ ΑΗ ΕΓ , είναι τετράγωνο και ότι ( ) ( )5ΑΒΓ∆ = ΚΛΜΝ .

Λύσεις: Μιχάλης Νάννος - Κώστας Ρεκούμης - Παραπομπή

Λύση: jim..jt - Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Μπάμπης Στεργίου

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173150http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173106http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173132http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173094http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173148http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=160#p174421http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=16341&p=84868http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173186http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=460#p177369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=480#p177633



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ με σημεία , , ,Ε Ζ Η Θ στις πλευρές , , ,∆Α ΑΒ ΒΓ Γ∆ αντίστοιχα, έτσι ώστε 75ΕΒΓ = Α∆Η = ΘΑΒ = ∆ΓΖ = . Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΙΚΛΜ , που σχηματίζεται από τις τομές των πλευρών , , ,ΑΘ ΖΓ ∆Η ΕΒ είναι τετράγωνο και ότι ( ) 2( )ΑΒΓ∆ = ΙΚΛΜ .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και εσωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε 90ΓΕΒ = . Να δείξετε

ότι ( )2

2ΒΕ

ΑΕΒ = .

Λύση: Γιώργος Ρίζος


http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173177http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173156http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173196http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173217



Σημείο Σ κινείται επί της πλευράς ΒΓ του τετραγώνου ΑΒΓ∆ , ενώ το Μ είναι το μέσο της ΑΒ . Γράφω τα ημικύκλια του σχήματος, με διαμέτρους ΒΣκαι ∆Σ , τα οποία τέμνονται στο Τ .

1) Δείξτε ότι το Τ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο Β∆ .

2) Βρείτε τη θέση του Σ , ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ∆Σ να διέλθει από το Μ .

3) Βρείτε τη θέση του Σ , ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ΒΣ να εφάπτεται της ΓΜ .

ΑΣΚΗΣΗ 14 - KARKAR


Εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓ∆ και με πλευρά τη Γ∆ , σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ΚΓ∆ . Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα , ,Κ Α Β και τη χορδή ΑΕ , η οποία διέρχεται από τα ,Α ∆ . Υπολογίστε το μήκος της ΑΕ .


Λύση: Στάθης Κούτρας

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173208http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173184http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173227http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174004



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α . Να αποδειχθεί ότι για τον κύκλο ( ),ρΟ , ο οποίος

διέρχεται απ’ τα ,Α ∆ και εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο Ε , ισχύει 58αρ = .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και έστω ( )∆Ε Ε∈ΑΒ η διχοτόμος της Α∆Β . Αν Ζ ≡ ΑΓ∩∆Ε , να δείξετε ότι ΑΖ = ΑΕ .

Λύσεις: orestisgotsis - Νίκος Φραγκάκης

Λύση: Φωτεινή Καλδή

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173243http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173230http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173233http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173237http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173246



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ με Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ και σημείο Ν , επί της διαγωνίου ΑΓ , τέτοιο ώστε 3ΑΝ = ΝΓ . Να δείξετε ότι το ∆ΝΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.



Στο παραπάνω σχήμα τα ,ΑΒΓ∆ ΑΕΖΚ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι

( ) ( ) 2ΑΒΓ∆ + ΑΕΖΚ = ∆Ε .

Λύσεις: gavrilos - orestisgotsis - Γιώργης Kαλαθάκης

Λύση: gavrilos

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173273http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173247http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173265http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=20#p173269http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174295http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369#p173115http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173279



Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου τετραγώνου ABΓ∆ πλευράς AB 2α= , για τα οποία ισχύει: 3 3 3 3 3MZ M ME MH κ+ Θ + + = (όπου MZ, M , ME, MHΘ , οι αποστάσεις του Μ από τις πλευρές του τετραγώνου).


ΑΣΚΗΣΗ 19 - orestisgotsis

Παίρνουμε εσωτερικό σημείο Ε τετραγώνου ΑΒΓ∆ και κατασκευάζουμε το τετράγωνο ∆ΕΖΚ . Να δείξετε ότι 2ΒΖ = ΑΕ .

Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173282http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173278http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=160#p174327http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173293http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173295http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173310



Δίνεται τετράγωνο ABΓ∆ και φέρνουμε τη διχοτόμο της ˆA B∆ , που τέμνει την AB στο σημείο E. Η διαγώνιος AΓ τέμνει την E∆ και την B∆ στα σημεία Z,K αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι EB 2ZK.=


ΑΣΚΗΣΗ 21 - Στράτης Αντωνέας

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σημείο Ε επί της ΒΓ . Αν 45 ( )ΓΖΕ = Ζ∈ΑΕ , να δείξετε ότι 2ΓΕ = ΕΖ ⋅ΕΑ .

Λύση: Γιώργης Καλαθάκης

Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Χρήστος Καρδάσης

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173300http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173299http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173448http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173333http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173339http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173483



Σημείο Τ κινείται επί της πλευράς ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓ∆ . Η ΑΤ τέμνει τη διαγώνιο Β∆ στο σημείο Σ και την προέκταση της ∆Γ στο σημείο Ν . Δείξτε ότι τα αριθμημένα εμβαδά αποτελούν (με τη σειρά εμφάνισης) διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

ΑΣΚΗΣΗ 24 - Κώστας Ρεκούμης


Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓ∆ σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα , , ,ΑΒΕ ΒΓΖ Γ∆Η ∆ΑΙ . Να αποδειχτεί ότι τα μέσα των πλευρών τους που κείνται στο

εσωτερικό του τετραγώνου και τα μέσα των τμημάτων , , ,ΕΖ ΖΗ ΗΙ ΙΕ , είναι κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου.

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης

Λύσεις: Γιώργος Μπαλόγλου - Γιώργος Μήτσιος - Κώστας Ρεκούμης

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173351http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173320http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173341http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=40#p173352http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=660#p186709http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=660#p186768http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=660#p186855



Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓ∆ με μήκος πλευράς a . Τα , ,Ε Ι Ζ είναι τα μέσα των πλευρών , ,ΑΒ Γ∆ Α∆ αντίστοιχα και τα τρίγωνα ,ΕΛΗ ΓΙΚ του σχήματος είναι ισόπλευρα.

1) Να εξετάσετε αν τα σημεία , ,Ι Κ Λ είναι συνευθειακά.

2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΕΛΚΑ συναρτήσει της πλευράς α .


ΑΣΚΗΣΗ 25 - Ανδρέας Πούλος

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και στο εσωτερικό του ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ . Αν Ζ ≡ ∆Ε∩ΒΓ , να δείξετε ότι:

1) ∆Ε = ΕΖ .

2) ( ) ( )2

4∆Ε

Α∆Ε − ΒΕΖ = .

Λύση: KARKAR





Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ . Έστω Ρ σημείο της διαγωνίου Β∆ , τέτοιο ώστε 3ΒΡ = Ρ∆ και Ε η χρυσή τομή του ΒΓ , με ΒΕ > ΕΓ . Θεωρούμε τον κύκλο που ορίζουν τα , ,Β Ρ Ε και ημιευθεία από το Β , που τέμνει τη χορδή ΡΕ στο Ζ , το τόξο ΡΕ στο Η και την πλευρά Γ∆ στο Ι . Αν

είναι ( ) 4ΑΒΓ∆ = και ισχύει ( )3 2 1ϕΒΖ⋅ΒΗ = − , όπου ϕ ο λόγος της χρυσής τομής, τότε να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΒΙ∆ .


ΑΣΚΗΣΗ 27 - Γιώργος Μήτσιος

Αν 90 , , ,α β γΒΕΖ = ΓΖΕ = ΒΕ = ΕΖ = ΖΓ = ,το ΑΒΓ∆ τετράγωνο, να δείξετε ότι: 2 2( ) ( )α γ β γ∆Ζ = + + + .

Λύση: Γιώργος Μήτσιος

Λύση: thanasis.a




Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ , με Μ το μέσο της ΒΓ και τυχαίο σημείο Ε της Γ∆ . Αν Ζ ≡ ΒΕ∩ΑΜ , να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )2ΖΑΒ = ΖΑΕ − ΖΜΒ .

ΑΣΚΗΣΗ 30 - Γιώργης Καλαθάκης


Σε τετράγωνο ABΓ∆ γράφουμε κύκλο κέντρου Γ και έπειτα φέρουμε τις εφαπτόμενες ,∆Ζ ΒΗ . Αν 25Γ∆Ζ = , να βρείτε τη ΓΕΗ .

Λύσεις: Γιώργης Καλαθάκης - Νίκος Φραγκάκης


http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173534http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173525http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173530http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173537http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=60#p173543



Στο παραπάνω σχήμα τα ,ΑΒΓ∆ ΑΕΖΚ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι ( ) ( )2ΓΖ = ΒΚ .

ΑΣΚΗΣΗ 32 - Δημήτρης Ιωάννου


Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ με πλευρά α και φέρνουμε τη διαγώνιο ΑΓ . Από τα σημεία ,Α Γ φέρνουμε δύο ημιευθείες στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ , οι οποίες σχηματίζουν γωνίες 15 ,30 με την ως άνω διαγώνιο αντιστοίχως και τέμνονται στο σημείο Z . Να αποδείξετε

ότι: 2 2 ( 2 2 )ΕΑ −Ε = ΕΑ− ΕZ Zα , όπου Ε είναι το σημείο τομής των ΑΓ και ∆Z .

Λύσεις: Γιώργης Καλαθάκης - Perantonis

Λύσεις: thanasis.a - Νίκος Φραγκάκης - Δημήτρης Ιωάννου




Στο παραπάνω σχήμα το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι α . Το κέντρο του κύκλου ανήκει στη διαγώνιο του τετραγώνου, ο κύκλος εφάπτεται σε δύο πλευρές του τετραγώνου και έχει ακτίνα β . Να εκφράσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τετραπλεύρου συναρτήσει των αριθμών ,α β .



Εσωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο

ΓΒ∆ . Κατασκευάστε ημικύκλιο με διάμετρο επί της ΑΒ και εφαπτόμενο του ημικυκλίου σε σημείο Σ και δείξτε ότι το ΑΣ προεκτεινόμενο, θα διέλθει από το μέσο Μ της ΒΓ .


Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Perantonis




Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο

ΓΒ∆ . Για ποια θέση σημείου Σ , επί της ΑΒ , το τεταρτοκύκλιο διχοτομεί το τμήμα ∆Σ ; Υπολογίστε το μέτρο της ∆ΣΑ .

ΑΣΚΗΣΗ 36 - Γιώργος Ρίζος


Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α . Αν ο κύκλος ( , )ρΟ διέρχεται από τα ,Α ∆ και εφάπτεται της ΒΓ στο Ε , να βρείτε το λόγο της ακτίνας του κύκλου προς την πλευρά του τετραγώνου.






Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και θεωρούμε δύο σημεία Ε και Η πάνω στις πλευρές ∆Γ και ΓΒ αντίστοιχα. Έστω ,Ζ Ι τα σημεία τομής των ,ΑΕ ΑΗ με την ∆Β αντιστοίχως και Κ το μέσο του ΕΗ . Αν ΚΖ = ΚΙ και αν οι αποστάσεις του Κ από τις πλευρές ΑΒ και Α∆ είναι άνισες, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.



Στο παραπάνω σχήμα τα AB ,AEZKΓ∆ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των δύο τετραγώνων είναι ορθογώνιοι και οι ευθείες ,Ε∆ ΒΚ τέμνονται κάθετα στο δεύτερο κοινό σημείο των ίδιων κύκλων.

Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Γιώργος Μήτσιος - Γιώργος Μήτσιος

Λύση: Στράτης Αντωνέας




Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και θεωρούμε τυχαίο σημείο Ε πάνω στην πλευρά Γ∆ . Ένα σημείο Η επί της πλευράς ΒΓ είναι τέτοιο, ώστε να ισχύει: ΕΗ = Ε∆ +ΗΒ . Αν η ΑΕ τέμνει τη διαγώνιο Β∆ στο σημείο Ζ , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΗΖ είναι εγγράψιμο.



Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓ∆ πλευράς α , σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους ,Γ∆ ∆Α και έστω Ε το σημείο τομής τους. Αν είναι x∆Ε = , να δείξετε ότι:

1) ( ) 22xΑΒΓ∆ = .

2) 2

4γκρια

Ε = .


Λύσεις: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης - Νίκος Φραγκάκης




Το τετράγωνο του παραπάνω σχήματος έχει πλευρά α . Να δείξετε ότι το εμβαδόν της μπλε περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής.

ΑΣΚΗΣΗ 42 - Perantonis


Δύο ίσα τετράγωνα τέμνονται όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Να υπολογισθεί η γωνία ω και να αποδειχθεί ότι τα σημεία K,O, M είναι συνευθειακά.


Λύση: Κώστας Ρεκούμης




Αν τα AB ,BEZHΓ∆ είναι τετράγωνα, τα σημεία ,M,H M,B,N A E& & ,N,Γ είναι συνευθειακά

και ισχύει MN AE⊥ , τότε: 1) M MHΓ = . 2) ( ) ( )2

2AB BEZH 22yxΓ∆ + = + , όπου MB, Hx y= = Γ .



Θεωρούμε σημείο Μ στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓ∆ , με 30ΑΒΜ = και 15∆ΑΜ = . Να δείξετε ότι 75∆ΜΓ = .

Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

Λύση: Δημήτρης Ιωάννου - Παραπομπή

http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=100#p173797http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=100#p173758http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=100#p173775http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=100#p173824http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=35592



Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α . Από το Α φέρουμε ημιευθεία, που τέμνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της ∆Γ στο Ζ . Αν είναι 2ΕΖ = και ϕΓΖ = , όπου ϕ ο λόγος

της χρυσής τομής, τότε: 1) Να υπολογιστεί το ( ) µΓΕΖ = . 2) Να εξεταστεί αν είναι

( )2

1µµ

ΑΒΓ∆ =− . 3) Θεωρούμε τον κύκλο ( , )Ε ΕΖ που τέμνει την ΒΓ στο Η και την ∆Γ

στο Θ . Θέτουμε Κ το εμβαδόν της πράσινης περιοχής, που περικλείουν τα τμήματα

,ΓΘ ΓΗ και το τόξο ΘΗ . Να εξεταστεί αν ισχύει ( )2 21 7 1

5πµ µ

α µΚ = + −

, που σημαίνει ότι η

πράσινη περιοχή καλύπτει περίπου τα 28,95100 του τετραγώνου.



Δίνονται τα τετράγωνα ,ΑΒΓ∆ ΒΕΖΓ και σημείο Κ στην προέκταση της ∆Α . Η ΚΒ τέμνει τη ∆Ε στο Μ . Να αποδείξετε ότι η ΓΒ διχοτομεί τη ΚΓΜ .


Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - KARKAR - Στάθης Κούτρας




Πάνω από το τετράγωνο ΑΒΓ∆ γράφω ημικύκλιο διαμέτρου ∆Γ και κέντρου Μ . Η ΑΜ τέμνει το τόξο στο Ν και η ΝΓ την προέκταση της ΑΒ στο Σ . Δείξτε ότι 2ΝΣ = ∆Ν .

ΑΣΚΗΣΗ 48 - Perantonis


Δίνονται τα τετράγωνα ABΓ∆ και EZHΘ με τα σημεία E, Z,Θ να ανήκουν στις πλευρές AB,B , AΓ Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθούν:

1) AE = ΕΒ+ΒΖ

2) Το τρίγωνο ΘΗΓ είναι ισοσκελές.

3) Οι B , EH, Z∆ Θ συντρέχουν.

Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης





Δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε τετράγωνο, έτσι ώστε τέσσερις από τις κορυφές του να είναι μέσα των πλευρών του τετραγώνου.

1) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι ίσο με το 112

του εμβαδού του δωδεκαγώνου.

2) Αν ο περιγεγραμμένος, στο δωδεκάγωνο, κύκλος έχει ακτίνα 1, τότε να δείξετε ότι το δωδεκάγωνο έχει εμβαδό 3 . .τ µ

ΑΣΚΗΣΗ 50 - Γιώργος Ρίζος

ΑΣΚΗΣΗ 49 - Αποστόλης Τιντινίδης

Το τετράγωνο του σχήματος είναι χωρισμένο σε εννέα ίσα τετράγωνα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε το λόγο του εμβαδού του γαλάζιου χωρίου προς το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου.

Λύσεις: gavrilos - Κώστας Ρεκούμης

Λύσεις: Αποστόλης Τιντινίδης - Ανδρέας Πούλος




Επί της πλευράς ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓ∆ κινείται σημείο Σ . Γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο ΑΣ και το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα ∆Ε . Βρείτε τη θέση του Σ :

1) Αν ΑΕ = ∆Ε .

2) Αν 2ΑΕ = ∆Ε .

ΑΣΚΗΣΗ 52 - Σπύρος Βασιλόπουλος


Ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ χωρίζεται σε τέσσερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, όπως για παράδειγμα στο πάνω σχήμα. Να βρείτε την μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα των εμβαδών των περιγεγραμμένων κύκλων των παραπάνω ορθογωνίων στα οποία χωρίστηκε το τετράγωνο.


Λύση: KARKAR




Δίνεται τετράγωνο ABΓ∆ . Από το Α φέρνουμε τυχαία ευθεία που τέμνει την BΓ στο Ε και

την προέκταση της ∆Γ στο Ζ . Να δείξετε ότι: 2 2 21 1 1

AE AZ AB+ = .



Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ το Μ είναι το μέσο της Γ∆ και το Ν σημείο της ΒΓ , ώστε 2ΒΝ = ΝΓ . Τα ,ΑΝ ΑΜ τέμνουν τη διαγώνιο Β∆ στα σημεία ,Σ Τ αντίστοιχα. Δείξτε ότι:

1) Το τρίγωνο ΑΣΜ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο.

2) Τα τμήματα , ,ΒΣ ΣΤ Τ∆ μπορούν να γίνουν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Χρήστος Καρδάσης - Νίκος Φραγκάκης - Αποστόλης Τιντινίδης

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Νίκος Φραγκάκης

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174108http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174099http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174100http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174103http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=34312http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174120http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174126http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=120#p174147http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174188



Δίνονται τα τετράγωνα ,ABCD BCEZ και σημείο H στην πλευρά CD , τέτοιο ώστε 15DAH∠ = . Να αποδείξετε ότι 75AHZ∠ = .

ΑΣΚΗΣΗ 56 - amoulan

ΑΣΚΗΣΗ 55 - Μπάμπης Στεργίου

Σε τυχαίο σημείο T της πλευράς AB τετραγώνου ABCD , φέρω κάθετη η οποία τέμνει τη διαγώνιο BD στο S . Επί της AD παίρνω σημείο P , ώστε 2AP TS= . Υπολογίστε τη CPS .

Λύσεις: Κώστας Ζερβός - Κώστας Ζερβός - Μπάμπης Στεργίου

Λύσεις: Γρηγόρης Κακλαμάνος - KARKAR




Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ παίρνουμε το μέσο Z της πλευράς του ΒΓ . Η ευθεία ΑΖ τέμνει την ευθεία ∆Γ στο σημείο Ε . Αν Μ είναι το μέσο του ΒΖ , να αποδείξετε ότι η ευθεία ΕΜ εφάπτεται του κύκλου που εγγράφεται στο τετράγωνο.


ΑΣΚΗΣΗ 57 - Στράτης Αντωνέας

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Εξωτερικά του τριγώνου ABΓ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ABEZ και A HΓ∆ , που έχουν κέντρα ,Ν Μ αντίστοιχα. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε

το τετράγωνο K MNΛ όπως στο σχήμα. Αν γνωρίζουμε ότι ( )ABEZ 32= , ( )A H 46Γ∆ = και ( )K MN 67Λ = , να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )ABΓ .

Λύσεις: KARKAR - Χ. Τσιφάκης - Α. Τιντινίδης - Σ. Λουρίδας - Σ. Αντωνέας - Παραπομπή


http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174227http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174223http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174282http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174285http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174300http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174302http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=200#p174670http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=16847http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=140#p174262



Οι κορυφές , , ,Α Β Γ ∆ ενός τετραγώνου ΑΒΓ∆ είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών , , ,ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ , αντιστοίχως, ενός παραλληλογράμμου ΕΖΗΘ . Να αποδειχτεί ότι οι

κάθετες από τις κορυφές , , ,Ε Ζ Η Θ του παραλληλογράμμου στις πλευρές , , ,∆Α ΑΒ ΒΓ Γ∆ , αντιστοίχως, του τετραγώνου σχηματίζουν τετράγωνο.



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και σημείο Μ στο εσωτερικό του. Αν οι πλευρές του φαίνονται

από το Μ υπό γωνίες , , ,α β γ δ να δειχθεί ότι: 1 1 1σϕα σϕγ σϕβ σϕδ

+ =+ +

.

Λύση: Κώστας Ρεκούμης

Λύση: Σπύρος Βασιλόπουλος




Σε τετράγωνο ABCD έχει σχεδιαστεί το τεταρτοκύκλιο D AC

, ενώ σημείο S κινείται επί της BC . Η DS τέμνει το τόξο στο M . Φέρουμε από το M παράλληλη στην AC , η οποία τέμνει το τόξο στο L και την BC στο N .

1) Βρείτε τη θέση του S , ώστε SB SM= .

2) Δείξτε ότι αυτή είναι η μοναδική θέση του S , για την οποία είναι επίσης ML MN= .



Τα ,ΑΒΓ∆ ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα. Αν το ΒΓΗΘ είναι εγγράψιμο σε κύκλο στον οποίο η ευθεία Α∆ ορίζει χορδή με απόστημα α , να αποδειχτεί ότι η διαφορά των πλευρών των

τετραγώνων είναι 85α .

Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

Λύση - Αποστόλης Τιντινίδης




Το M είναι το μέσο της πλευράς AD τετραγώνου ABCD . Η CM τέμνει τον κύκλο στο S . Η

BS τέμνει τη διαγώνιο AC στο T . Υπολογίστε τους λόγους: , ,MS TA TSMC TC TB

.



Το M είναι το μέσο της πλευράς AB τετραγώνου ABCD . Οι δύο κύκλοι του σχήματος, εφάπτονται σε δύο πλευρές του τετραγώνου και στην CM . Το t είναι ένα κοινό εξωτερικά

εφαπτόμενο τμήμα. Υπολογίστε τους λόγους: ,R tρ ρ .






Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a και κέντρου K και ο κύκλος ( , )K R με 2 2R a> . Ένα σημείο M κινείται στον παραπάνω κύκλο. Αν η μέγιστη τιμή της γωνίας ˆAMCθ = είναι 60 , τότε να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του κυκλικού δίσκου και του τετραγώνου.


ΑΣΚΗΣΗ 65 - Κώστας Ζερβός

Τετράγωνο ABΓ∆ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ( ),O R . Αν , , ,Η Ρ Κ Ν είναι οι προβολές των κορυφών A,B, ,Γ ∆ του τετραγώνου σε μια εφαπτομένη ( )ε του κύκλου, τότε να δείξετε ότι:

2· · RΑΗ ΓΚ +ΒΡ ∆Ν = .

Λύση: KARKAR

Λύσεις: Παραπομπή

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=160#p174412http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=160#p174358http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=220#p175088http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=17243



Στις πλευρές ΑΒ και Γ∆ τετραγώνου ΑΒΓ∆ θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ αντιστοίχως, ώστε να είναι 3 , 2ΑΒ = ΑΕ Γ∆ = ΓΖ . Αν οι ,Ε∆ ΒΖ τέμνουν την διαγώνιο ΑΓ στα ,Μ Ν αντιστοίχως, να αποδειχτεί ότι το ΜΝΖ∆ είναι εγγράψιμο.



Με κέντρο το μέσο M της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD , έχουμε γράψει τον κύκλο ( , )M MA . Ευθεία που διέρχεται από το D , εφάπτεται του κύκλου στο S και τέμνει την BC στο P . Αν η MS τέμνει την BC στο T , υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου SPT .

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος





Να κατασκευασθεί κύκλος, ο οποίος να διέρχεται από την κορυφή C τετραγώνου ABCD και να εφάπτεται των πλευρών ,AB AD στα ,P Q αντίστοιχα. Αν ο κύκλος τέμνει τις

,BC CD στα ,T S αντίστοιχα, υπολογίστε τη γωνία PST .



Δίνονται τα τετράγωνα ΑΒΓ∆ και ΒΓΕΖ του σχήματος. Αν 3Α∆ = ∆Η , να βρεθεί η οξεία γωνία των ΑΕ και ΖΗ .


Λύση: KARKAR




Επί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD παίρνω σημεία ,S P , ώστε 4

BCBS PC= = .

Οι ,AP DS τέμνονται στο T . Δείξτε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ,ATD SCD είναι ίσοι. Αν εφάπτονται στην DS στα ,L N , δείξτε ότι το τμήμα LN ισούται με την ακτίνα των δύο κύκλων.

ΑΣΚΗΣΗ 72 - Σπύρος Βασιλόπουλος


Θεωρούμε ένα τετράγωνο ABΓ∆ και δύο κάθετες ευθείες ε και ε ′ . Η ευθεία ε τέμνει την πλευρά AB στο E και την Γ∆ στο Z . Η ευθεία ε ′ τέμνει την πλευρά BΓ στο H και την A∆ στο Θ . Να δείξετε ότι EZ H= Θ .


Λύση: KARKAR




Στις πλευρές AD και BC τετραγώνου ABCD πλευράς a , παίρνω σημεία ,K M ώστε

6aAK = και

2aBM = . Η KM τέμνει τη διαγώνιο BD στο L , ενώ η CL τέμνει την πλευρά AB

στο N . Δείξτε ότι 3( ) ( ) ( )32

KNL LBM ABCD= = .

ΑΣΚΗΣΗ 74 - orestisgotsis / KARKAR

ΑΣΚΗΣΗ 73 - KARKAR / Στάθης Κούτρας

Θεωρούμε δύο τετράγωνα , ′ ′ ′ΑΒΓ∆ ΑΒ Γ ∆ με τον ίδιο προσανατολισμό. Να δεχθεί ότι ′ ′ΒΒ ⊥ ∆∆ . Αν Σ το σημείο τομής των ,′ ′ΒΒ ∆∆ , δείξτε ότι τα , ,′Σ Γ Γ είναι συνευθειακά και

ότι 45ΓΣΒ = .

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Κώστας Ρεκούμης

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369http://www.mathematica.gr/http://users.sch.gr/mnannos/http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174559http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174564http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174555http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174563http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174589http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174597http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=200#p174667http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=180#p174580http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=37369&start=200#p174719



Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α , κέντρου Ο και τα σημεία , , ,Κ Λ Μ Ν των τμημάτων , , ,ΟΑ ΟΒ ΟΓ Ο∆ αντίστοιχα. Γράφουμε τους ίσους κύκλους ( , )xΟ , ( , )xΚ , ( , )xΛ, ( , )xΜ , ( , )xΝ , ώστε ο κύκλος ( , )xΟ να εφάπτεται εξωτερικά των άλλων τεσσάρων και καθένας από τους τέσσερις να εφάπτεται του ( , )xΟ και δύο πλευρών του τετραγώνου (ο ( , )xΚ των ,ΑΒ ΑΓ , ο ( , )xΛ των ,ΒΑ ΒΓ κ.ο.κ.). Να υπολογιστεί συναρτήσει του α :

1) Το μήκος x . 2) Το εμβαδόν του μέρους του τετραγώνου που είναι εξωτερικό των 5 κυκλικών δίσκων. 3) Το μήκος του ΜΖ , όπουΖ το σημείο επαφής του ( , )xΚ με την πλευρά ΑΒ .


ΑΣΚΗΣΗ 75 - Γιάννης Κουτσούκος

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας ϕ , αν το τελευταίο βέλος «σημαδεύει» την κορυφή A του τετραγώνου.


Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - BRAHMA - thanasis.a




Στην πλευρά AD τετραγώνου ABCD κινείται σημείο P . Στην προέκταση της AB , προς το B , θεωρούμε σημείο S , τέτοιο ώστε: DP BS= . Ας πούμε T το σημείο τομής των BD και PS . Αν ,Z H τα σημεία τομής της AT με τις ,CB CS αντίστοιχα, για ποια θέση του P θα έχουμε ( ) ( )DPT BSHZ= ;


ΑΣΚΗΣΗ 77 - Νίκος Φραγκάκης

Στο τετράγωνο ABCD έχουμε σχεδιάσει το τεταρτοκύκλιο DAC και το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου BC , τα οποία τέμνονται στο S Επίσης, ,M N είναι τα μέσα των

,AB CD αντίστοιχα.

1) Δείξτε ότι τα σημεία , ,C S M είναι συνευθειακά. 2) Αν η BN τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο T , δείξτε ότι 2BT SM= .

Λύση: KARKAR

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης




Τετράγωνο ABΓ∆ είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου KΛ ενός κύκλου ( , )O ρ . Να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού του τετραγώνου ABΓ∆ προς το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο ( , )O ρ .



Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ (πλευράς 1 ) παίρνουμε σημείο Z ώστε Z x∆ = . Η μεσοκάθετος του ΑΖ τέμνει τις ,Α∆ ΒΓ στα ,Μ Κ αντίστοιχα. Έστω Λ το συμμετρικό του Â ως προς την ΜΚ . Η ΖΛ τέμνει την ΒΓ στο Ν . Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΖΝΓ είναι ίση με ΛΝ .

Λύση: orestisgotsis





Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημείο E στη διαγώνιο AC , με AE EC< . Η ευθεία DE τέμνει την AB στο Z . Η κάθετη προς την DZ , στο σημείο E , τέμνει την AD στο K , την BC στο L και την ευθεία BA στο H . Να αποδείξετε ότι:

1) DZ KL= . 2) AH CL= . 3) DK ZH= . 4) Το τετράπλευρο DKZL είναι ισοσκελές τραπέζιο.


ΑΣΚΗΣΗ 81 - Μπάμπης Στεργίου

Σε τετράγωνο ABCD έχουμε γράψει το τεταρτοκύκλιο BAC . Να κατασκευάσετε κύκλο, ο οποίος να εφάπτεται των πλευρών ,DA DC και να διέρχεται από το B . Στη συνέχεια να κατασκευάσετε κύκλο, ο οποίος να εφάπτεται των πλευρών ,BA BC και του ημικυκλίου. Εξηγήστε γιατί οι δύο κύκλοι είναι ομόκεντροι!






Ημικύκλιο βρίσκεται στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD , έχοντας ως άκρα τα μέσα ,M N των πλευρών ,AB AD αντίστοιχα. Από την κορυφή C φέρουμε τα, εφαπτόμενα στο ημικύκλιο, τμήματα ,CS CT Υπολογίστε τα τμήματα ,CS CT συναρτήσει της πλευράς α του τετραγώνου.



Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς α . Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε σημείο Ε , τέτοιο ώστε: 2 22ΑΕ = ΕΓ και στην ΑΕ σημείο Z τέτοιο ώστε: ( )2 16ΑΕ = ΒΕΖ . 1) Να βρεθεί ο λόγος των

εμβαδών ( )( )∆ΓΖΑΒΓ∆

.

Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τυχαίο σημείο Κ στο εσωτερικό του τριγώνου Γ∆Ζ και τις αποστάσεις του , ,ΚΗ ΚΘ ΚΙ από τις πλευρές του τριγώνου αυτού. Θεωρούμε ακόμη κύκλο με ακτίνα R = ΚΗ +ΚΘ+ΚΙ και τέλος το εγγεγραμμένο σ΄ αυτόν τον κύκλο κανονικό πολύγωνο που έχει 54 διαγώνιους. Αν είναι 12αΑΒ = = τότε: 2) Να εξεταστεί αν το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου είναι τέλειο τετράγωνο!

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκηs - Γιώργος Μήτσιος

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Ανδρέας Βαρβεράκης




Το S είναι σημείο της πλευράς AB τετραγώνου ABCD , ώστε 23

AS a= .Σημείο T κινείται επί της AD .

Γράφω το, εντός του τετραγώνου, ημικύκλιο με άκρα ,S T . 1) Βρείτε τη θέση του ST , ώστε αν CQ εφαπτόμενο τμήμα να είναι τα , ,B Q D συνευθειακά. 2) Βρείτε τη θέση του ST , ώστε το ημικύκλιο να εφάπτεται της DC .



Το τετράγωνό ABCD έχει πλευρά μήκους 1 και σημείο (1, )S k , κινείται επί της BC .Να βρεθεί η εξίσωση κατακόρυφης ευθείας, η οποία, τέμνοντας την AS στο T και την DC στο P , να σχηματίζει τραπέζιο CSTP , το οποίο να έχει εμβαδόν το μισό του εμβαδού του τετραγώνου.






Δίνεται το τετράγωνο ABCD πλευράς a και τα ημικύκλια με διαμέτρους ,AB CD στο εσωτερικό του. Ένα σημείο E κινείται στην πλευρά AB Φέρνουμε την DE που τέμνει το ημικύκλιο, διαμέτρου AB , στο Z και το ημικύκλιο διαμέτρου DC στο H . Έστω επίσης το μέσο M του AB Αν η ZC εφάπτεται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB , τότε: 1) Να αποδειχτεί

ότι οι ευθείες ,MZ CH και AD συντρέχουν και ότι 3aAE = .

2) Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ZH τέμνει την AD και να βρεθεί το μήκος της χορδής που αποκόπτει από αυτή ως συνάρτηση του a .



Δίνεται τετράγωνο ABΓ∆ . Από το Β φέρνουμε κάθετο προς τη διχοτόμο της ∆ΓΑ , η οποία τέμνει τη διχοτόμο στο Ε , την AΓ στο Η και την Γ∆ στο Ζ . Να δείξετε ότι: 2∆Ζ = ΗΟ .

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης




Για να τεμαχίσουμε ένα τετράγωνο οικόπεδο σε τρία κομμάτια, ανάλογα των αριθμών 1,2,3 , φέραμε το τμήμα MN ( M μέσο CD ) και το κάθετο, προς αυτό, τμήμα BS .Εξηγήστε την ορθότητα της λύσης. Μπορείτε να επιτύχετε παρόμοιο αποτέλεσμα φέροντας δύο διαφορετικά τμήματα;



Στο παραπάνω σχήμα το γκρι τετράγωνο έχει μήκος πλευράς 2a , ενώ το κίτρινο τετράγωνο έχει μήκος πλευράς a . Τα τετράγωνα έχουν ένα, τουλάχιστον, ζεύγος πλευρών παράλληλες. Ονομάζουμε 1 2 3 4, , ,y y y y τις αποστάσεις των αντίστοιχων κορυφών τους. Να

αποδειχθεί η σχέση 1 3 2 42 4 1 3

y y y yy y y y− +

=− +

.Επιπλέον ερωτήματα:

1) Είναι απαραίτητη η απόλυτη τιμή στη σχέση; 2) Πότε δεν έχει νόημα η σχέση; Πώς μπορούμε να την τροποποιήσουμε, ώστε να αποκτήσει νόημα και στην περίπτωση αυτή; 3) Να δώσετε μία τουλάχιστον γενίκευση της άσκησης.

Λύσεις: Κώστας Βήττας - Νίκος Φραγκάκης





Στο παραπάνω τετράγωνο ΑΒΓ∆ το Ε είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο της ΑΒ . Η κάθετη της ΓΕ στο Ε , τέμνει τη διχοτόμο της ∆ΑΖ στο Η (ΑΖ προέκταση της ΒΑ ). Να δείξετε ότι: ΕΓ = ΕΗ .



Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σημείο Ε της διαγωνίου του ΑΓ . Αν ΒΕΗΖ τετράγωνο πλευράς ΒΕ , να δειχθεί ότι τα , ,ΓΕ ΕΑ ΕΖ αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

Λύση: Ηλίας Καμπελής





Σημείο S κινείται επί της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD . Εκατέρωθεν της ACσχεδιάζω τα ισόπλευρα τρίγωνα , ASP CST . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου DPBT παραμένει σταθερό και υπολογίστε το.



Τα σημεία ,E Z βρίσκονται στις πλευρές ,AB BC ενός τετραγώνου ABCD πλευράς a , ώστε: AE BZ= . Αν η διαγώνιος DB χωρίζει το τρίγωνο DEZ σε δύο τρίγωνα με λόγο εμβαδών 2 ,

τότε να βρεθεί ο λόγος ( )( )ABCDDEZ

.

Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Γιώργης Καλαθάκης

Λύση: Ηλίας Καμπελής




Σημείο S κινείται επί της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD . Εκατέρωθεν της AC σχεδιάζω τα τετράγωνα ASZP και CSHT . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετράπλευρου DPBT παραμένει σταθερό και υπολογίστε το.

ΑΣΚΗΣΗ 96 - Ηλίας Καμπελής


Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημείο E �

Documents

ασκήσεις με τετράγωναusers.sch.gr/mnannos/ebooks/264squares.pdf · ΑΣΚΗΣΗ 12 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 11 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται