FF UU NN CC II ÓÓ NN CC UU AA DD RR ÁÁ TT II CC AA...Facultad de Ciencias Exactas y Naturales “Introducción a la Matemática” Ingreso 2020 1 FF UU NN CC II ÓÓ NN CC UU AA

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales “Introducción a la Matemática” Ingreso 2020

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FFF UUU NNN CCC III ÓÓÓ NNN CCC UUU AAA DDD RRR ÁÁÁ TTT III CCC AAA

Definición: Una función IRIR:f tal que cbxax)x(f 2 es una función cuadrática

donde 0aconIRc,b,a

Una función cuadrática se representa gráficamente

mediante una parábola de eje vertical

Forma polinómica: 0aconcbxax)x(f 2

Si 0a las ramas están orientadas hacia arriba. El vértice es un punto mínimo

Si 0a las ramas están orientadas hacia abajo. El vértice es un punto máximo

Coordenadas del vértice vv y;xV :

a2

bxv vv xfy

Ecuación del eje de simetría: vxx

Es la ecuación de la recta vertical que contiene al vértice de la parábola

Ordenada al origen: c0f Raíces o ceros:

Son los valores de x para los cuales 0cbxax2

a2

ac4bbx,x

2

21

(Fórmula resolvente)

Naturaleza de las raíces según el discriminante ac4b2

Si 0ac4b2

.puntosdosenxejealcortaparábolaLa

.asintdistyrealesraícesdostienefunciónLa

Si 0ac4b2

xejealgentetanesparábolaLa

dobleraízigualesrealesraícesdostienefunciónLa

Si 0ac4b2

.xejealcortanoparábolaLa

.realesraícestienenofunciónLa

Propiedades de las raíces:

a

bxx 21 y

a

cxx 21


2

1) ¿Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas?

22222

3322

2

xn2)1n(2)n(f)gh2ah3)h(f)fm2tm)t(f)e

)x6()1x()x(f)dx4

1)x(f)c1x3)x(f)b

x2

1)x(f)a

2) Tomando como referencia la parábola matriz ,xy 2 califica de V o F a cada una de las

siguientes proposiciones relativas a las parábolas de la forma 2axy

a) Si a < 1, las ramas son más abiertas.

b) Si ,3a sus ramas se abren en sentido contrario y son más cerradas.

c) Si ,1a0 sus ramas son más abiertas.

d) Si ,3a sus ramas son más cerradas.

e) Si ,1a la gráfica es simétrica a la parábola matriz con respecto al eje x.

3) Halla las raíces de las siguientes funciones:

4

1

3

1xx3y)i

3xy)h2x3xy)g

9xy)fx2x2

1)x(f)e

4

9x3x)x(f)d5x2x)x(f)c

12x8x2)x(f)b5x4x)x(f)a

22

22

22

22

Forma canónica: 0aconyxxay v2

v

donde yv y;x son las coordenadas del vértice

Forma factorizada: 0aconxxxxay 21 donde 21 x,x son las raíces reales


3

4) Completa el siguiente cuadro:

Forma polinómica

Forma canónica

Forma factorizada

Vértice

Eje de simetría

Intervalos

Ceros )y;x( vv

Max o Min

Crec. Dec.

2x6xy 2

x4xy 2

2

9x2xy 2

2x6y

5) Grafica las siguientes funciones cuadráticas cuyas ecuaciones se dan a continuación e indica:

Coordenadas del vértice.

Ecuación del eje de simetría.

Intersección con el eje de ordenadas.

Intersecciones con el eje de abscisas.

Imagen de la función.

Análisis de biyectividad.

2x4x2)x(f)c1x)x(f)b8)5x()x(f)a 222 6) Indica las ecuaciones de las parábolas cuyas gráficas son: a) b)


4

7) Califica de V o F:

a) 6)1x(5y 2 corta el eje y en el punto (0 ; 6)

b) 1)2x(3y 2 tiene vértice en (2 ; 1)

c) 8)1x(2y 2 corta al eje x en (3 ; 0) y en (-1 ; 0)

d) 3xy 2 no corta al eje x

e) Toda parábola de la forma IRn,mconnmxxy 2 tiene máximo

f) Para que una parábola de la forma cbxaxy 2 tenga mínimo, debe ser a > 0

8) Halla los valores de IRk tal que la parábola kkx3x2y 2

a) tenga como una de sus raíces a –1;

b) pase por el punto (3 ; -4);

c) corte al eje y en 5;

d) la abscisa de su vértice sea 6;

e) tenga una raíz doble.

9) Dada la función IRmhalla,1xmxmx2)x(f 22 de modo que:

a) el producto de sus raíces sea 5

b) la suma de sus raíces sea 4

c) tenga raíces cuyos valores sean opuestos

d) tenga raíces cuyos valores sean inversos.

10) Encuentra una función cuadrática de raíces 1 y –5, de modo que el punto (2 ; 14) pertenezca a

su gráfica.

11) Halla una función cuadrática de vértice (2 ; -3) tal que 5)2(f 12) Plantea y resuelve:

a) El área de un rectángulo es de 240. Halla sus dimensiones si el largo es cuatro unidades

menor que el doble del ancho.

b) Calcula la longitud de los lados de un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el duplo de

uno de los catetos y además mide una unidad más que el otro cateto.


5

c) Al arrojar verticalmente hacia arriba una piedra, la relación que existe entre el tiempo t

(seg) que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura y (metros) está dada

por la ecuación .t5t2010y 2 ¿Cuándo alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa

altura?

d) Determina, si existen, dos números enteros consecutivos, tales que el cuadrado de su

suma sea igual al cuádruplo del menor de dichos números.

13) Dada la función IRIR:f definida por:

2xsi1x

2x1si2x2

1xsi3

)x(f 2

a) Grafica la función

b) Determina su imagen

c) Halla las raíces de la función

d) Halla todos los IRx tales que .3)x(f

14) Sea

2xsi3x

2x1si21x2)x(f

2

a) Grafica f en un sistema de coordenadas cartesianas

b) Indica la imagen de f

15) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta

con el desarrollo analítico de cada inciso.

a) Las coordenadas del punto máximo de la parábola 3x2xy son ......);(...... b) El o los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones

3x2

3)x(gy43x)x(f 2 es o son .....................................

c) El valor de IRk para que la parábola 11kx2x3ky 2 tenga como abscisa del

vértice a 2

5 es ................k

d) La función 1x6x3)x(f 2 expresada en forma canónica es )x(f ........................


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e) Los valores de IRk para que la parábola de ecuación 3x2xy 2 y la recta de

ecuación 1kxy sean tangentes son ....................................

f) La ecuación de la parábola que tiene raíces 3x;1x 21 y ordenada al origen 2 es .......

g) El conjunto de negatividad de la función 3x2x)x(g 2 es C ....................................

h) La ecuación de la parábola que tiene vértice en (-1;3) y cuya gráfica pasa por el punto de

intersección de las rectas 03yx:ryx2y:r 21 es ...........................................

16) El área total de las seis caras de la caja de la

figura es 544 2dm .

a) Calcula el largo, el ancho y el alto de la caja.

b) Halla su volumen.

17) Calcula, en forma exacta y en su mínima expresión, la

medida del perímetro del rectángulo de la figura

sabiendo que su área es 48 cm2.

18) Determina la expresión de la función cuadrática que tiene como raíces a 21y21 y

cuya ordenada al origen es 4.

19) Analiza el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser falsa, modifica lo

subrayado para que resulte verdadera.

Sea 13x)x(f/IRIR:f 2 :

a) El intervalo de decrecimiento de f es ;1

b) 1;fIm

c) La gráfica de f tiene vértice en 1;3V

d) 3)1(f

e) El punto de intersección de la gráfica de f con el eje de ordenadas es 8;0

f) f es biyectiva si 1;IR:f


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20) De un terreno rectangular de 340 metros de

contorno, el municipio ha expropiado una banda de

15 metros de ancho, tal como se observa en la

figura. En compensación, ha cedido al propietario

del terreno otra banda de 10 metros de ancho. En

consecuencia, el terreno cuenta ahora con 250 m2

menos de superficie que antes. ¿Cuáles eran sus

dimensiones iniciales?

21) Calcula, en forma exacta y en su mínima expresión, el perímetro del

rombo ABCD

sabiendo que:

x.2AC

8x.2BD

El área del rombo ABCD es 48

22) La velocidad que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros se puede representar por

la siguiente función: 300xx0005,0)x(v

donde “v” es la velocidad (en m/s) y “x” es la distancia recorrida por el atleta (en m)

a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es ésta

velocidad?

b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo?

c) ¿A qué velocidad llega a la meta?

23) En un comercio se pueden encargar espejos enmarcados a medida.

El precio es de $ 1000 el m2 de espejo y $ 280 el metro lineal de marco. Determina la longitud

del lado de un espejo enmarcado cuadrado por el que se pagó en total $ 5256.


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24) En un cuadrado ABCD de 16 cm. de lado inscribimos otro cuadrado MNOP. Este último

cuadrado se puede dibujar de distintas formas, como muestra la figura.

Se considera la función S(x) donde “S” es el área del cuadrado MNOP y “x” la medida del

segmento AM. Indica el dominio y la imagen de S(x).

¿Cuánto debe valer x para que el área del cuadrado interior sea mínima? ¿Y para que sea

máxima?

Cuando hayas resuelto el problema anterior, puedes visualizar con Geobebra una representación

dinámica de esta situación haciendo click en el vínculo: https://ggbm.at/nytrnrzb


9

RESPUESTAS 1) b), c), f)

2) a) F. b) V. c) V. d) V. e) V.

3) a) –1 y 5 b) incompatible c) incompatible

d) 2

3 e) 0 y – 4 f) incompatible

g) 1 y 2 h) 3y3 i) 6

1y

2

1

4) Completa el siguiente cuadro:

Forma canónica

Forma factorizada

Vértice Eje de

simetría

Intervalos

Ceros

(xv ; yv) Max

o Min

Crec. Dec.

73xy 2 73x73xy

7;3

Mín x = 3

;3

3;

73

73

42xy 2 4xxy 4;2

Mín x = 2

;2

2; 4y0

2

71xy 2

2

7;1

Máx x = 1 1; ;1 No tiene

2x6y 2x6y 0;0 Mín x = 0

;0

0; 0 (doble)

5) a)

biyectivaNosuryectivaNoinyectivaNo

;8fIm

17;0:yejeelconciónsecInter

0;225y0;225:xejeelconciónsecInter

5x:simetríadeEje

8;5V


10

b) c)

6) a) 2x1xy b) 32x2

1y 2

7) a) F. Corta el eje y en el punto (0 ; -11)

b) F. Tiene vértice en (-2 ; 1)

c) V.

d) F. Corta al eje x en los puntos 0;3 y 0;3

e) V.

f) V.

8) a) 2

1k b)

4

11k c) 5k d) 8k e)

9

8ky0k

9) a) m = 11 b) m = 3 o m = -3 c) m = 1 o m = -1 d) m = 3

10) 5x1x2xf

11) 32x2

1xf 2


1;fIm


tieneno:xejeelconciónsecInter

0x:simetríadeEje

1;0V


;0fIm


0;1:xejeelconciónsecInter

1x:simetríadeEje

0;1V


11

12) a) El ancho mide 12 unidades y el largo 20 unidades.

b) La hipotenusa mide 324 unidades y los catetos 32 y 323 unidades

respectivamente.

c) Alcanza la altura máxima a los 2 seg y la misma es de 30 metros.

d) No existen números enteros que cumplan con esa condición.

13)

a) Gráfica:

b) ;6fIm

c) 1C0

d) ;4x

14) a) Gráfica b) ;2fIm

15) a)

4

25;

2

1

b)

4

9;

2

1y)3;4(

c) 7

15k d) 41x3)x(f 2

e) 6k2k f) 3x1x3

2y

g) 3;1C h) 31x4

1y 2


12

16) a) Largo: 16 dm ; ancho: 8 dm ; alto: 6 dm

b) Volumen 3dm768

17) El perímetro es cm320

18) 21x21x4)x(f (forma factorizada) 4x8x4)x(f 2 (forma polinómica)

19) a) F. ;3

b) F. 1;

c) F. 1;3

d) V.

e) V. f) F. ;3ó3;

20) Las dimensiones del terreno eran 98 m por 72 m

21) 220Perímetro

22) a) Ha recorrido 150 metros y la velocidad máxima es 11,25 m/s

b) Su velocidad aumenta entre el inicio y los 150 metros. Su velocidad disminuye entre los

150 metros y los 200 metros.

c) Llega a la meta con una velocidad de 10 m/s

23) La longitud del lado del espejo cuadrado es de 1,8 m.

24) Dom S x 0,16 12Im 8 6 S x ,25

El área de MNOP es mínima para x 8 y es máxima para para x 0 o x 16 .

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