通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 1

アナログ信号の変調

振幅変調 (Amplitude Modulation:AM)AM変調波のスペクト ル (4.2.2節) 信号波を単一角周波数 ωs の信号 s(t) = cosωst として考える． スペクト ルは以下の

よう な 3項の式で表わされる．

fAM(t) = Ac(1 +m cosωst) cosωct

= Ac cosωct+Acm cosωst cosωct

ここで cosα cosβ = cos(α+ β) + cos(α− β)/2であることから ，

fAM(t) = Ac cosωct+Acm

2cos(ωc + ωs)t+

Acm

2cos(ωc − ωs)t

AM変調波の電力 (4.2.3節) s(t) = cosωstの場合を考える． AM変調波は

f(t) = Ac cosωct+Acm

2(cos(ωc + ωs)t+ cos(ωc − ωs)t)

のよう になる． この式において， 搬送波成分の電力 Pc は (電力については， 下の記述を参考にしてく ださい)

Pc =

∫ T

0

1

T(Ac cosωct)

2 dt =A2

c

T

∫ T

0

cos 2ωct+ 1

2dt

=A2

c

2T

[1

2ωcsin(2ωct) + t

]T0

=A2

c

2T

1

2ωc(sin 4π − sin 0) + T

(∵ 2ωc × T = 2ωc × 2π/ωc = 4π)

=A2

c

2

上側帯波電力 Ps は,周期 T を T = 2/(ωc + ωs) として，

Ps =

∫ T

0

1

T

Acm

2cos(ωc + ωs)t

2

dt =(Acm)2

8T

∫ T

0

cos 2(ωc + s)t+ 1 dt

Pc の場合と同様に積分の結果は 1/T となるので，

Ps =(Acm)2

8

下側帯波も同様に， (Acm)2/8 = Ps

上記の 2式より AM変調波の全電力 P は， 搬送波の電力と両側の側帯波の電力の合計であり ，

P = Pc + 2Ps =A2

c

2

(1 +

m2

2

)変調波全電力 P に対する， (信号波に対応する )側帯波の電力 Ps の割り 合いは， 変調度mによ って変化する．

変調度を |ms(t)| ≤ 1(過変調ではない)として考えると ， この場合， m = 1のときに， P に対する Psの割合は最大となる．

2Ps

P=

2 · (Acm)2/8

A2c/2 · (1 +m2/2)

=2 ·A2

c/8

A2c/2 · (3/2)

=1

3

通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 2

参考: 正規化電力 v(t)の絶対値の 2乗の時間平均

P = A[|v(t)|2] = limt→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

v(t)v∗(t) dt

を ， 正規化電力と呼ぶ． 上式の次元はワ ット ではないが， 電圧波形 v(t)を 1Ωの抵抗に通すと ， 次元はワ ット となる． S/N比など電力比を考える場合は， 正規化電力を考えれば十分であることから ， 通信工学の分野では正規化電力を単に電力と

呼ぶ習慣がある．

変調および復調 変調は乗算器に相当する回路を用いることで行なわれる．

×+

変調原理

1

包絡線検波 整流回路と LPFによ って構成される．

LPF整流器

包絡線検波

参考：包絡線検波の様子 LTSpiceによる包絡線検波のシミ ュレーションの様子を示します． (LPFのカット オフ周波数など設定は， 検波の様子が分かるよう に設定してあるので， 精密な検波にはなっていません． 参考程度に考えてく ださい． )

B1

V=V(A)*(1+V(B))

V1

SINE(0 1 100)

V2

SINE(0 0.3 3)

D2

D C3

20u

R31000

AB

OUT

.tran 0.50ms 50ms 100ms 150ms 200ms 250ms 300ms 350ms 400ms 450ms 500ms

-1.5V

-1.2V

-0.9V

-0.6V

-0.3V

0.0V

0.3V

0.6V

0.9V

1.2V

1.5VV(n001) V(out) V(b)

同期検波 受信波に， 搬送波と同じ信号を乗算し ， LFPによ って高周波成分を除去する．

LPF×

同期復調

fAM(t) · cosωct = Ac cos2 ωct+Acms(t) cos2 ωct

= Ac cos2 ωct+ (Acm/2)s(t)(1 + cos 2ωct)

LPFで高周波成分をカット し ， s(t)のみを取り 出す．

通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 3

角度変調

角度変調の波形の概形 信号と FMおよび PM変調の関係を示します． なお， 見易く するために微分などの係数は無視しています．

搬送波

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.25 0.5 0.75 1

t

搬送波周波数 fc = 50 として，

v(t) = cos(2πfct)

原信号波形とその微分波形

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.25 0.5 0.75 1

t

fs = 2 として，

v1(t) = cos(2πfst) (実線 :原信号)

v2(t) = − sin(2πfst) (破線 :微分波)

FM変調波

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.25 0.5 0.75 1

t

変調指数 β = 10 として

vFM = cos(2πfct+ β sin(2πfst))

v1 の値が大きいと密， 小さいと疎となっています．

PM変調波

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.25 0.5 0.75 1

t

変調指数 β = 10 として

vFM = cos(2πfct+ β cos(2πfst))

v1 の傾きが大きいとき密， 小さいと疎となってます．

(v2 の値が大きいと密， 小さいと疎となってます． )

通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 4

FM変調波の周波数スペクト ル

信号波形を fs(t) = cosωst として， 以下簡単のため， 積

分係数などは無視して議論を行ないます． 加法定理 cos(α+

β) = cosα cosβ − sinα sinβ を用いると ， fFM(t)は以下の

よう に展開できます．

fFM(t) =Ac cos(ωct+ β sinωst)

=Accosωct cos(β sinωst)

− sinωct sin(β sinωst)

さらに， 教科書 P49(4.22)式，

cos(β sinωst) = J0(β) + 2

∞∑m=1

J2m(β) cos 2mωst

sin(β sinωst) = 2∞∑

m=1

J2m−1(β) sin(2m− 1)ωst

より ，

fFM(t) =

Ac cosωctJ0(β)

+ 2J2(β) cos 2ωst+ 2J4(β) cos 4ωst+ · · ·

− sinωct2J1(β) sinωst+ 2J3(β) sin 3ωst+ · · ·

=AcJ0 cosωct

− 2J1(β) sinωct sinωst + 2J2(β) cosωct cos 2ωst

− 2J3(β) sinωct sin 3ωst+ 2J4(β) cosωct cos 4ωst

+ · · ·

のよう に展開できます． ここで，

2 sinα sinβ = − cos(α+ β) + cos(α− β)

2 cosα cosβ = cos(α+ β) + cos(α− β)

であることから ，

fFM(t) =

AcJ0(β) cosωct

+ J1(β) cos(ωc + ωs)t− J1(β) cos(ωc − ωs)t

+ J2(β) cos(ωc + 2ωs)t+ J2(β) cos(ωc − 2ωs)t

+ · · ·

のように， cosの合成波形として表わすことができます． (教科書式 (4.23))スペクト ルの概形は以下のように表わせます．

また， ベッセル関数の性質 J−n(β) = (−1)nJn(β)を用い

て， 上式を整理すると ，

fFM(t) =

AcJ0(β) cosωct

+ J1(β) cos(ωc + ωs)t+ J−1(β) cos(ωc − ωs)t

+ J2(β) cos(ωc + 2ωs)t+ J−2(β) cos(ωc − 2ωs)t

+ · · ·

= Ac

∞∑n=−∞

Jn(β) cos(ωc + nωs)t

のよう にまとめることができます．

スペクト ルの全体像

FM変調波 (Ac = 10, fc = 50Hz, fs = 2Hz とする )

vFM = 10 cos(2πfct+ β sin(2πfst))

の波形とそのスペクト ルを示します．

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

FM変調波

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

-100 -50 0 50 100

f

FM変調波のスペクト ル

※変調波を FFTで算出したので， 信号波と変調波のスペクト ルの大きさについては， 特に関連ないものと考えてく だ

さい．

通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 5

参考ベッセル関数のグラフ

角度変調の電力

FM変調波の式は以下のよう に示されます．

fFM = AcJ0(β) cosωct

+AcJ1(β) cos(ωc + ωs)t

−AcJ−1(β) cos(ωc − ωs)t+ · · ·

ここで， AcJ0(β) cosωctの電力 P0 は，

P0 =

∫ T

0

1

T(AcJ0(β) cosωct)

2dt

=A2

cJ20 (β)

T

∫ T

0

cos 2ωct+ 1

2dt =

A2cJ

20 (β)

2

同様に Pn が計算され

Pn =A2

cJ2n

2

となり ます． fFM の電力は， これら各成分の電力 Pn の総

和で表わされ，

P =A2

c

2[· · ·+ J−2(β)

2 + J−1(β)2

+ J0(β)2 + J1(β)

2 + J2(β)2 + · · · ]

となり ます． ここで， ベッセル関数の

∞∑n=−∞

Jn(β)2 = 1

の性質より ， 上式の [ ]内の総和は 1 となるので， 電力は

P =A2

c

2

FM変調波の電力は β に関係なく 一定である．

変調波の S/N比AM変調波 復調波形の振幅mAcであり ， 電力は (mAc)

2/2

となる． また， 搬送波の電力 A2c/2である．

雑音電力を PN とすると搬送波電力対雑音電力比 (C/N比)が C/N = (A2

c/2)/PN , 信号電力対雑音電力比 (S/N比)は S/N = ((mAc)

2/2)/PN である． この関係より

S

N= m2 C

N

角度変調波 C/N比が十分大きい場合PM波(

S

N

)PM

= β2 C

N= (∆φ)2

C

N

FM波(S

N

)FM

= 3β2(β + 1)C

N' 3

(∆f

fm

)3C

N

振幅変調と角度変調の関係 m = 1として FMと同じ C/Nの AM波との関係は(

S

N

)FM

= 3

(∆f

fm

)2 (S

N

)AM

この式より ， (∆f/fm)2 に比例して S/N比が改善されることがわかる．

占有周波数帯域幅を広げる (∆f を大にする )ことにより ，S/N比が大きく なる． これを FMの広帯域利得と呼ぶ．

C/N比が小さい場合： 雑音のピークが搬送波のピークを越えている S/N比が急激に低下する．

通信システム工学 アナログ信号の変調 4章 – 6

角度変調の変調と復調

変調指数が小さい場合の変調方法として， AM変調器を用いるアームスト ロング変調器がある．

π/2移相器 +

x(t)

Acos ωct

SC変調器

PM変調器

FM変調器

復調に関しては， 周波数弁別器を用いた方法がある．