MEC-14-148

ナイキスト配列法における干渉指数を用いた

超精密ステージの機構と制御の統合設計の提案

大西亘∗，藤本博志（東京大学），坂田晃一，鈴木一弘，佐伯和明（ニコン）

Proposal of integrated design of mechanism and control for high-precision stage

by interaction index on Direct Nyquist Array method

Wataru Ohnishi∗, Hiroshi Fujimoto (The University of Tokyo)

Koichi Sakata, Kazuhiro Suzuki, Kazuaki Saiki (Nikon Corporation)

Abstract

In multi-input multi-output control system, generally, coupling force can deteriorate a control performance and

stability of other axes. In this situation, a decoupling filter called precompensator with relatively high order transfer

functions is implemented. In this paper, a novel integrated design method of mechanism and control for high-precision

stage is proposed. In this method, interaction index on Direct Nyquist Array method is utilized as a performance

index. We can decouple translational motion and rotational motion by using simple decoupling filter and optimized

mechanism.

キーワード：ナイキスト配列法，干渉指数，超精密ステージ，機構と制御の統合設計(Direct Nyquist Array method, interaction index, high-precision stage, integrated design of mechanism and control )

1. はじめに

超精密ステージは，半導体集積回路や液晶パネルの製造に欠かせない装置である。半導体集積回路や液晶パネルは，超精密ステージに乗せられたシリコンウエハやガラス基板に対して，回路パターンを繰り返し焼き付けることにより生産される (1) (2)。そのため，超精密ステージは粗動に対しX の 1自由度，微動に対し x, y, z, θx, θy, θz の 6自由度に対し，極めて正確に位置決め制御をする必要がある (3) (4)。本研究グループは，Fig. 1(a)に示す 6自由度を持つ超精密ステージを設計・製作した。微動ステージは，Fig. 1(b)に示す重力キャンセラにより，重力を補償し，6自由度に摩擦なしにガイドする構造となっている (5)。このような多入力多出力 (MIMO)のステージにおいては，

軸間干渉が位置決め精度を悪化させる要因となる。著者らは 3入力 3出力の姿勢制御について，オイラーの運動方程式と座標系の回転による非線形性と軸間干渉を補償するような非線形MIMOフィードフォワード制御器を提案し，有効性を示した (6)。一方で本稿では，並進運動・回転運動間の軸間干渉を非

干渉化する。微動ステージの重心位置と，回転運動を拘束する拘束点と，並進方向の推力点，計測点が一致しない場合，軸間干渉が生じる。まずこの並進運動・回転運動の非線形 2入力 2出力システムをラグランジュの運動方程式を用いてモデル化する。次に，非線形運動方程式を線形近似し，2入力 2出力の伝達関数を求める。そして本稿では，新たな機構と制御の統合設計法を提案

する。機構の工夫により制御の制約条件を緩和でき，また一方で制御により機構の制約条件を緩和できる。本稿では

Fine stage

Coarse stage

Relative position

sensor xr1

Relative position

sensor xr2

Linear motor fX1

Linear motor fX2

(a) Top view of the 6-DOF high-

precision stage.

xy

z

Fine stage

Coarse stage

(òx; òy; òz)Air gyro

(x; y)Planar air bearing

Center of rotationCenter of gravity

VCM force (fx)

Air bearing

actuator(fgc; z)

(b) Gravity canceller part.

Fig. 1 Experimental system.

ナイキスト配列法 (7)～(9) で用いる干渉指数の考えから，干渉の少ない最適な機構の求める。そして，その最適な機構により，次数の低い前置補償器により十分な非干渉化が可能であることを示す。本稿では 1 例として x, θy についてのモデル化と非干渉

化を提案するが，この考え方は y, θx の軸間干渉にも適用可能である。また，この並進運動と回転運動の非干渉化手

1/6

Planer air bearing

Center of rotation

(unmeasurable)

(unmeasurable)

(measurable)

(measurable)

Fine stage

Fig. 2 Stage model of x and θy motion.

Plant

Fig. 3 Plant model.

法は，回転中心，重心位置，推力点，計測点が異なる自動車や航空機に対しても適用可能な一般性を持っていると考えている。

2. 回転中心，重心位置，推力点，計測点を考慮した並進・回転運動のモデル化

Fig. 1(b)に示す重力キャンセラは，重力を補償し，微動zをガイドする air bearing actuator，微動並進運動 x, yをガイドする planar air bearing，微動回転運動 θx, θy, θz をガイドする air gyroから構成されている。各部分に供給される高圧空気により，6自由度方向に非接触にガイドされる構造になっている (5)。ここで，微動ステージは air gyro

の曲率中心を回転中心として回転運動をする。x, θy の運動について，プラントモデルを Fig. 2に示す。

Fig. 2は Fig. 1(b)において，planar air bearingより上部の構造を示している。ここで，微動ステージの重心点，回転中心，推力点，計測点が完全に一致していない限り，x, θy

間の運動は相互に干渉する。半導体集積回路・液晶パネルを製造する際は，並進方向に精密に位置決めした上で，超精密ステージを水平に保つ必要がある。そのため，x, θy 間の軸間干渉は制御精度を悪化させる。そこで本節では，Fig. 2に示したモデルについて，ラグ

ランジュの運動方程式を用いて非線形運動方程式を導出する。次に，非線形運動方程式を線形近似し，2入力 2出力の伝達関数を求める。

〈2・1〉 定 義 Fig. 2において，制御入力を θy に対するトルク τy，並進運動の力 fx とする。m1 は planar

air bearingおよび air gyroの合計の質量を表し，m2は fine

stageの質量を表す。xはエンコーダにより測定される fine

stageの位置を示している。ここで，エンコーダによる測定点と重心点が異なることを考慮し，planar air bearingおよび air gyroの重心点までの距離を x1，fine stageの重心点までの距離を x2とする。また，回転中心 (centar of rotation)

とエンコーダの測定点の距離を Lx，fine stageの回転中心と推力点の距離を Ld，fine stageのピッチング角を θy とする。ここで，fine stageの θyまわりの慣性モーメントを Jθy，粘性係数を Cθy，弾性係数をKθy とする。また，planar air

bearingは高圧空気によりほぼ摩擦なく x軸方向に動くが，この粘性係数を Cx1 とおく。座標系の関係式を式 (1)–(2)とおく。

x2 = x1 − Lx2 sin(θy) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1)

x2 = x1 − Lx2 cos(θy)θy · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)

運動エネルギ T を式 (3)とおく。

T =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 +

1

2Jθy θ

2y

=1

2m1x

21 +

1

2m2(x1 − Lx2 cos(θy)θy)

2 +1

2Jθy θ

2y · (3)

位置エネルギ U を式 (4)とおく。

U =1

2Kθyθ

2y · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4)

散逸関数 B を式 (5)とおく。

B =1

2Cx1x

21 +

1

2Cθy θ

2y · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (5)

仕事W を式 (6)とおく。

W = fx(x1 − Ld sin(θy)) + τyθy · · · · · · · · · · · · · · · · (6)

ラグランジアン L = T − U は式 (7)のように計算される。

L =1

2m1x

21 +

1

2m2(x1 − Lx2 cos(θy)θy)

2 +1

2Jθy θ

2y

− 1

2Kθyθ

2y · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (7)

〈2・2〉 ラグランジュの運動方程式 ラグランジュの運動方程式を式 (8)に示す。

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi+

∂B

∂qi=

∂W

∂qi(i = 1, 2) · · · · · · · (8)

ここで，W は仕事の総和であり，一般化座標は q1 = x1, q2 =

θy である。x1 に関するラグランジュの運動方程式を式 (8)

から計算し，式 (9)を得る。

m1x1 +m2

[x1 + Lx2 sin(θy)θ

2y − Lx2 cos(θy)θy

]+ Cx1x1 = fx · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (9)

次に，θy に関するラグランジュの運動方程式を式 (8)から計算し，式 (10)を得る。

−m2

[x1 + Lx2 sin(θy)θ

2y − Lx2 cos(θy)θy

]Lx2 cos(θy)

+m2

[x1 − Lx2 cos(θy)θy

]Lx2 sin(θy)θy + Jθy θy

−m2x1Lx2 sin(θy)θy +m2L2x2 cos(θy)θ

2y sin(θy)

+Kθyθy + Cθy θy = −fxLd cos(θy) + τy · · · · · · (10)

〈2・3〉 線形近似と伝達関数の算出 θy ≃ 0, θy ≃0, x1 ≃ 0, fx ≃ 0, τy ≃ 0 と線形近似し，式 (11)–(14)

に示す伝達関数を得る。

x1(s)

fx(s)=

[Jθy −m2Lx2(Ld − Lx2)]s2 + Cθys+Kθy

sD(s)· · (11)

θy(s)

fx(s)=

[−(Ld − Lx2)(m1 +m2)− Lx2m1] s− LdCx1

D(s)(12)

x1(s)

τy(s)=

Lx2m2s

D(s)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (13)

2/6

Tab. 1 Stage parameters.

Symbol Meaning Value

m1 Mass of the planar air bearing and the air gyro 0.077 kg

Cx1 Viscosity coefficient of the planar air bearing 79 N/(rad/s)

m2 Mass of the fine stage 5.3 kg

Jθy Moment of inertia of the fine stage 0.10 kgm2

Cθy Viscosity coefficient of the fine stage 1.6 Nm/(rad/s)

Kθy Spring coefficient of the fine stage 180 Nm/rad

Lx Distance between the measurement point of x and the center of rotation − 0.023 m

Lx2 Distance between the center of rotation and the center of gravity of the fine stage 0.048 m

Ld Distance between the center of rotation and the position of fx 0.015 m

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

g11

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(a) g11.

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

g12

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(b) g12.

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

g21

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(c) g21.

100

101

102

103

−150

−100

−50

0

Mag

nitu

de [d

B]

g22

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(d) g22.

Fig. 4 Frequency responses of plants.

θy(s)

τy(s)=

(m1 +m2)s+ Cx1

D(s)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (14)

ただし，D(s)を式 (15)により与える。

D(s) =[(m1 +m2)Jθy +m1m2L

2x2

]s3

+[(m1 +m2)Cθy + (Jθy +m2L

2x2)Cx1

]s2

+ [(m1 +m2)Kθy + CθyCx1] s+ Cx1Kθy(15)

〈2・4〉 計測可能点への変換 一般化座標は x1, θy であるが，x1 は直接計測することができない。そのため式(16), (17)のように x1 を xに変換する。

x(s)

fx(s)=

x1(s)

fx(s)+ Lx

θy(s)

fx(s)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (16)

x(s)

τy(s)=

x1(s)

τy(s)+ Lx

θy(s)

τy(s)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (17)

また，式 (18)に示すように伝達関数を定義する。このプラントのブロック図を Fig. 3に示す。また，パラメタをTab. 1

とした際の周波数特性を Fig. 4に示す。 x(s)

θy(s)

=

g11 g12

g21 g22

fx(s)τy(s)

=

x(s)

fx(s)

x(s)

τy(s)

θy(s)

fx(s)

θy(s)

τy(s)

fx(s)τy(s)

· · · · · · · · · · (18)

3. 推力点を変更できるステージ構造の提案第 2章において，推力点，重心点，回転中心，計測点が

一致しないことにより起こる軸間干渉を定式化した。この軸間干渉の原因となる，この 4点の位置を機構的に一致させることは空間の制約条件上難しい。また，超精密ステー

Center of gravity

Center of rotation

Gravity CancellerVCM

VCM

Fig. 5 Side view of the fine stage.

Fig. 6 Changeable actuation point using redundant

actuators.

ジの積載物の質量により，重心点が変化するという問題がある。そこで本章では，冗長アクチュエータを用いることで，こ

の 4つの機構制約のうち推力点を任意に変更できる機構を提案する。実験ステージの側面図を Fig. 5に示す。このステージは，x 方向の Voice Coil Motor (VCM) を 2 個上下に持っている。そこで，Fig. 6に示すように，VCMの推力配分により推力点の高さを変更することができる。ここで，aは VCMの推力配分比を表す。このように，冗長アクチュエータをもつ構造とすること

で，干渉の原因となる推力点，重心点，回転中心，計測点の配置のうち，推力点を制御自由度とすることができる。

4. ナイキスト配列法を用いた干渉解析ナイキスト配列法 (7)～(9) は，多変数制御系の設計法の一

つである。ナイキスト配列法では，Fig. 7に示すように，相互干渉を持つ制御対象 Gに対し，まず前置補償器 K により干渉を弱める。次に，干渉指数 λと一般化ゲルシュゴリ

3/6

Precompensator Plant

Control object

Fig. 7 Block diagram of the control system.

Fig. 8 Control system seen from x∗ and x (8).

ン帯 (Generalized Gershgorin Band) により相互干渉を定量化し，各軸独立にフィードバック制御器を設計する。本手法はH∞ 制御のようにシステム全体の制御特性を同時に設計するよりも見通しがよいという利点がある (9)。従来は，一般化ゲルシュゴリン帯を各軸のフィードバッ

ク制御器の設計に用いてきた (8) (9)。一方で本稿では，干渉指数 λを機構最適化の指数として用いることを提案する。干渉指数により，伝達関数行列における干渉の強さを 1パラメタで表せるため，見通しよく最適な機構パラメタを決定することができる。干渉指数 λの定義を示す (8)。Fig. 7に示すブロック図に

おいて，制御対象を前置補償器も含めQ(s) = G(s)K(s)とする。2入力 2出力の場合，行列 C(s|Q)は式 (19)により定義され，λ(s|Q)を C(s|Q)の最大固有根と定義する。

C(s|Q) =

0∣∣∣ q12(s)q22(s)

∣∣∣∣∣∣ q21(s)q11(s)

∣∣∣ 0

· · · · · · · · · · · · · · · · ·(19)

ここで，Fig. 8から，コントローラ f1から見た制御対象 h11

は干渉により，式 (20)のように表される (8)。f1 から見た制御対象の特性に f2 が含まれており，このままでは f1 を設計することができない。同様に，f2 から見た制御対象の特性にも f1 が含まれている。

h11 = q11(s)−f2(s)q12(s)q21(s)

1 + f2(s)q22(s)· · · · · · · · · · · · · · (20)

ナイキスト配列法によると，式 (21)により，干渉項も考慮した f1(jω)h11(jω)のナイキスト線図は，対角項のみを考慮した f1(jω)q11(jω)から半径 f1(jω)q11(jω) · λ(jω|Q)の円内に存在することが示されている。ナイキスト線図上のこの帯のことを一般化ゲルシュゴリン帯という。

|f1(jω)h11(jω)− f1(jω)q11(jω)||f1(jω)q11(jω)|

< λ(jω|Q)· · · (21)

10−1

100

101

102

103

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Frequency [Hz]

Inte

ract

ion

inde

x λ

0.0150.0240.033

(a) 0.015 ≤ Ld ≤ 0.033.

10−1

100

101

102

103

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Frequency [Hz]

Inte

ract

ion

inde

x λ

0.0420.0510.060

(b) 0.042 ≤ Ld ≤ 0.060.

Fig. 9 Interaction index (Ld changed).

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

0.015(G1)0.0330.051(G2)

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

Fig. 10 Frequency response of g21

(Ld changed).

10−1

100

101

102

103

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Frequency [Hz]

Inte

ract

ion

inde

x λ

G1K1(conv)G2K1G2K2G2K3(prop)

Fig. 11 Interaction index

of Q = GK.

5. 機構と制御の統合設計〈5・1〉 機構の最適設計 本節では，干渉指数 λを用いて最適な機構を求める。推力点の高さを変動させた際の干渉指数の変化を Fig. 9に示す。ここで，Ld = 0.015が初期設計 (G1)である。Fig. 9(a)から，Ld を増加させ，推力点を下げていくと，3 Hz以下の周波数では干渉指数は微増するが，3Hz以上の周波数では大幅に干渉指数が減少することが分かる。さらに，Fig. 9(b)から，Ld = 0.051において干渉指数が最も低くなり，さらに Ld を 0.060 に増加させると干渉指数が増加することが分かる。高域はフィードバック制御により干渉を抑圧しにくいため，高域の干渉指数が低い Ld = 0.051が最適な推力点位置であるといえる。この際のプラントの伝達関数行列を G2 とし，これを最適機構と呼ぶ。〈5・2〉 前置補償器の低次元化 本節では，下記 3 種の前置補償器 K を設計する。

• case1：非干渉化を行わず，K1 = I (単位行列)とする。• case2 ：前節の最適機構 (G2) に対し，Q2(s) =

G2(s)K2(s) を完全対角化 (10) するような K2(s) を式(22)から求める。ここで，− g12(s)

g11(s)の次数は 2次/2次

であり，− g21(s)g22(s)

の次数は 1次/1次である。

K2(s) =

1 − g12(s)g11(s)

− g21(s)g22(s)

1

· · · · · · · · · · · · · (22)

• case3：Fig. 10から，G2 における g21 は十分抑圧されていると考え，式 (23)に示す前置補償器を用いる。これを低次元化前置補償器と呼ぶ。

K3(s) =

1 − g12(s)g11(s)

0 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · (23)

〈5・3〉 解析結果 G1K1，G2K1，G2K2，G2K3にお

4/6

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f1q11f1h11GG band

(a) x.

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f2q22f2h22GG band

(b) θy.

Fig. 12 Generalized Gershgorin Band (G1K1).

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f1q11f1h11GG band

(a) x.

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f2q22f2h22GG band

(b) θy.

Fig. 13 Generalized Gershgorin Band (G2K1).

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f1q11f1h11GG band

(a) x.

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f2q22f2h22GG band

(b) θy.

Fig. 14 Generalized Gershgorin Band (G2K2).

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f1q11f1h11GG band

(a) x.

−4 −3 −2 −1 0−4

−3

−2

−1

0

Real axis

Imag

inar

y ax

is

f2q22f2h22GG band

(b) θy.

Fig. 15 Generalized Gershgorin Band (G2K3).

ける干渉指数を Fig. 11に示し，一般化ゲルシュゴリン帯をFig. 12–15に示す。f1, f2のフィードバック制御器は，それぞれ PID制御器とし，軸間干渉を無視した際の閉ループ極が−10Hzの重根となるように設計した。Fig. 12，13から，機構最適化により一般化ゲルシュゴリン帯が縮小していることが分かる。さらに，Fig. 15のように，低次元化前置補償器を用いた場合でも，完全対角化する次数が高い前置補償器を用いた Fig. 14と同様に一般化ゲルシュゴリン帯が消失しており，低次元化前置補償器で十分非干渉化できていることが分かる。以上から，機構と制御の統合設計の有効性が解析により

示された。

6. 実 験〈6・1〉 実験条件 本節では，冗長アクチュエータにより推力点を変更し，干渉の伝達関数が変化することを実験により示す。本節では，前置補償器はK1 = I (単位行列)とする。Fig. 1の実験装置に対し，Fig. 7に示すブロック図を用いてプラントの周波数特性を閉ループ同定する。f1, f2のフィードバック制御器は，それぞれ PID制御器とし，軸間干渉を無視した際の閉ループ極が −10 Hzの重根となるように設計した。f1の出力に Chirp信号の外乱 F d

x を入力し，F cx + F d

x から x までの周波数特性を Fig. 16(a)，F cx + F d

x

から θy までの周波数特性を Fig. 16(c)に示す。同様に，f2

の出力に Charp信号の外乱 τdy を入力し，τ c

y + τdy から xま

での周波数特性を Fig. 16(b)，τ cy + τd

y から θy までの周波数特性を Fig. 16(d)に示す。

〈6・2〉 実験結果 Fig. 16(a), (b), (d)の周波数特性は推力点を変更してもほぼ変化していないが，Fig. 16(c) において F c

x + F dx から θy の周波数特性に差が出ていること

が分かる。20–80 Hzにおいて，最適機構 G2 が最も軸間干渉が小さいことが分かる。Fig. 16から計算した干渉指数をFig. 17に示す。本手法では，帯域 10 Hzの閉ループ同定を行っているため，10 Hz 以下のコヒーレンスは低く，また100 Hz以上には共振があるため，10–100 Hzについて示した。解析結果の Fig. 9と比較すると，低域で G1 の干渉指数が低く，高域で G2 の干渉指数が低いという傾向が一致していることが分かる。以上より，冗長アクチュエータにより推力点を最適な点

にすることで，軸間干渉の伝達関数を低減できることが実験により示された。

7. ま と め超精密ステージは，重心位置と，回転運動を拘束する拘

束点と，並進方向の推力点，計測点が一致しない場合，並進運動と回転運動の軸間干渉が生じる。本稿では，この問題に対し，下記のことを提案した。（ 1） 超精密ステージの精密なモデル化

回転中心・重心点・推力点・計測点が一致しない超精密ステージについて，ラグランジュの運動方程式により非線形運動方程式を導出し，線形化し 2入力2出力の伝達関数行列を求めた。

（ 2） 推力点を変更できるステージ構造の提案VCM を冗長に配置することで，機構パラメタのうち，推力点を変更することを可能とした。

（ 3） 最適な機構設計ナイキスト配列法と干渉指数を用いて，推力点の最適な配置を導出した。このことにより，相互干渉のうち片方を機構的に軽減することができる。

（ 4） 前置補償器の低次元化機構最適化により，g21の干渉が軽減されたため，前置補償器を 2次/2次の k12のみとすることができる。これにより制御系全体の次数が低下し，設計・実装が容易となる。

5/6

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

0.015(G1K1)0.0330.051(G2K1)

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(a) F cx + F d

x to x.

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

0.015(G1K1)0.0330.051(G2K1)

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(b) τcy + τdy to x.

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

Mag

nitu

de [d

B]

0.015(G1K1)0.0330.051(G2K1)

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(c) F cx + F d

x to θy.

100

101

102

103

−150

−100

−50

0

Mag

nitu

de [d

B]

0.015(G1K1)0.0330.051(G2K1)

100

101

102

103

−360

−270

−180

−90

0

Frequency [Hz]

Pha

se [d

eg]

(d) τcy + τdy to θy .

Fig. 16 Measured frequency responses. (Ld changed)

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Frequency [Hz]

Inte

ract

ion

inde

x λ

0.015(G1K1)0.0330.051(G2K1)

Fig. 17 Measured interaction index.

本稿では，解析により (1)–(4)の有効性を示した。また，実験により，最適な推力点により軸間干渉を軽減できることを示した。今後は前置補償器を用いた実験を行う。また，モデル化誤差に対するロバスト性や外乱応答の非干渉化も検討したい。

参考文献（1） H. Butler, “Position Control in Lithographic Equip-

ment,” IEEE Control Systems Magazine, vol. 31, no.

5, pp. 28–47, 2011.

（2） S. Ozawa, “The Current Lithography Technologies of

the LCD Exposure System,” IEICE Trans. C, vol. J84-

C, no. 12, pp. 1227–1231, 2001. (in Japanese)

（3） T. Oomen, R. van Herpen, S. Quist, M. van de Wal, O.

Bosgra, and M. Steinbuch, “Connecting System Identi-

fication and Robust Control for Next-Generation Mo-

tion Control of a Wafer Stage,” IEEE Trans. Control

Systems Technology, vol. 22, no. 1, pp. 102–118, 2014.

（4） P. Yang, B. Alamo, and G. Andeen, “Control design for

a 6 DOF e-beam lithography stage,” American Control

Conference, vol. 3, pp. 2255–2260, 2001.

（5） W. Ohnishi, H. Fujimoto, K. Sakata, K. Suzuki, and

K. Saiki, “Design and Control of 6-DOF High-Precision

Scan Stage with Gravity Canceller,” American Control

Conference, pp. 997–1002, 2014.

（6） W. Ohnishi, H. Fujimoto, Y. Hori, K. Sakata, K.

Suzuki, and K. Saiki, “Attitude Control Method for

High-Precision Stage by Compensating for Nonlinear-

ity and Coupling Arising from Euler’s Equation and

Coordinate Rotation,” T. IEEJapan, vol. 133–D, no.

3, 2014. (in Japanese)

（7） H. H. Rosenbrock, “Design of multivariable control sys-

tems using the inverse Nyquist array,” Proceedings of

the Institution of Electrical Engineers, vol. 116, no. 11,

pp. 1929–1936, 1969.

（8） 荒木光彦：「多変数制御系の CAD:INA法のその後-上-」，システムと制御，vol. 26，no. 4，pp. 218–227 (1982)

（9） 瀬部昇・北森俊行：「分散制御からみた古典制御と現代制御の掛橋」，vol. 34，no. 6，pp. 481–488 (1995)

（10） 伊藤正美・木村英記・細江繁幸：「線形制御系の設計理論」，計測自動制御学会 (1978)

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