フーリエ級数

周期関数の世界

音とは？空気の振動が波として伝わっていくもの

音源

音圧：大気圧からの圧力のずれ

粗 密粗 密 粗 密

低 高 低 高 低 高圧力

縦波

音圧のグラフ

t

音圧

音の波の可視化オシロスコープ

音の３要素

大きさ

高さ

音色

振幅

周波数

波形

感覚 物理的実体

音の大きさと音圧

120

100

80

60

40

20

0

会話(1m)

混雑した街

オーケストラ(10m)

郊外(夜間)

ささやき声(1m)

1KHz 最小可聴音

ジェットエンジン(50m)

地下鉄内

新幹線鉄鋼橋通過(25m)

dB（デシベル）

×10

×10

×10

×10

×10

×10

0.00002Pa

20.0Pa

ウェーバー・フェヒナーの法則感覚量の変化は，刺激量の変化を現在の刺激量で割ったものに比例している．

感覚量は刺激量の対数に比例する．

E

S

刺激量

感覚量∆E = K∆S

S

∆E

∆S

∆E

∆S′

音のピッチ

20Hz 20kHz

超音波可聴音超低周波音

0Hz

周波数１秒間に何回振動するか

ピッチ音の高低の感覚

Hz：ヘルツ

ピッチと周波数f = 440 HzA440

音程：周波数の比に対応

110 220 440 880 1760

ピアノの鍵盤は周波数の log 値で並んでいる

周波数が２倍 オクターブ上がる

音色と波形

ピアノ

トランペット

オルガン

クラリネット

楽音と非楽音ピッチが明瞭な音ピアノの音歌声

周期的

非周期的

ピッチが不明瞭な音風の音雑音

楽音 非楽音

t

音叉の音の波形

一般の楽音の波形周期 T

周期 T

t振動数 f = 1/T

sin2πt

T, cos

2πt

T

正弦波

u(t + T ) = u(t)周期関数

振動数 f = 1/T

楽音（明瞭な高さを持つ音）

正弦波を聴いてみよう

音叉440 Hz

時報　　　　ピッピッピッ 　ピー500 Hz 1000 Hz

T = 2 ms T = 1 ms

正弦波の組み合わせ

f ′= 2f f ′

= 3f

周波数 を持つ正弦波　f 周波数 を持つ正弦波　f ′+

基準音 倍音f 2f 3f 4f 5f · · ·

f ′=

3

2f f ′

=4

3f

f ′が の整数倍であるf

f ′が の整数倍でない　f

基準音とその倍音の合成音は一つの音に聞こえる

cos 0tsin 0t = 10 =

周期　 を持つ正弦波いろいろT

sin2⇡t

T

sin4⇡t

T

sin6⇡t

Tcos

6⇡t

T

cos4⇡t

T

cos2⇡t

T0 π−π 0

π−π

周期 の周期関数の世界

(　: 整数) が周期　 を持つことを 確かめよnsin2⇡nt

T, cos

2⇡nt

T T

u(t) = 1 + cos2⇡t

T� 2 sin

2⇡t

T+

1

2cos

6⇡t

T+ sin

10⇡t

T周期　の 周期関数

T

周期　の 周期関数

Tu(t) = a0 +1X

n=1

✓an cos

2⇡nt

T+ bn sin

2⇡nt

T

◆

周期　の 周期関数? Tu(t) = a0 +

1X

n=1

✓an cos

2⇡nt

T+ bn sin

2⇡nt

T

◆

sin2⇡n(t+ T )

T= sin

✓2⇡nt

T+ 2⇡n

◆= sin

2⇡nt

T

T

cos2⇡n(t+ T )

T= cos

✓2⇡nt

T+ 2⇡n

◆= cos

2⇡nt

T

Ex. 3-1

定数成分　　を除けば, 基底振動 (n = 1)と その高調波の合成で書けたことになる

a0

の フーリエ級数展開u(t)

J. Fourier 1768-1830　

フーリエ級数

u(t) = a0 +1X

n=1

✓an cos

2⇡nt

T+ bn sin

2⇡nt

T

◆

周期　 を持つ周期関数　　　は 次の級数の形で書くことができる.

u(t)

フーリエ級数の係数を決める

Z T2

�T2

cos2⇡mt

Tcos

2⇡nt

Tdt,

Z T2

�T2

sin2⇡mt

Tsin

2⇡nt

Tdt,

Z T2

�T2

sin2⇡mt

Tcos

2⇡nt

Tdt

0==T

2�m,n

=T

2�m,n

a0 =1

T

Z T2

�T2

u(t)dt

平均値

an =2

T

Z T2

�T2

u(t) cos2⇡nt

Tdt bn =

2

T

Z T2

�T2

u(t) sin2⇡nt

Tdt

を自然数とするとき, 次の積分を計算せよ.m,nEx. 3-2

フーリエ級数が収束するとき, 各係数　　　　　　 a0, a1, · · ·b1, b2, · · ·と 　　　　 を求めよ.

Ex. 3-3

奇関数ならば

フーリエ・コサイン展開

フーリエ・サイン展開

偶関数と奇関数のフーリエ展開

u(t) = a0 +1X

n=1

an cos2⇡nt

T

u(t) =1X

n=1

bn sin2⇡nt

T

が偶関数ならばu(t) u(t) sin2⇡nt

Tは bn = 0

an = 0

奇関数

が奇関数ならばu(t) u(t) cos2⇡nt

Tは奇関数

の形に展開できることを示せ．

が偶関数ならば u(t)Ex. 3-4

u(t)

ただし, 不連続点においては, 右極限と左極限の平均値に収束する.

フーリエ級数の収束

　　　が「第１種不連続点のみを持つ区分的に連続な 周期関数」であるとき, フーリエ級数は収束する.u(t)

u(t) = |t| on [−π,π]

−π−2π−3π π 2π 3π

T

周期　　の関数 として拡張する

2π

偶関数であるからコサイン級数

Example

a0 =1

2π

∫π

−π

|t|dt

=1

π

∫π

0

tdt =π

2

=2

π

∫π

0

t cos ntdtan =1

π

∫π

−π

|t| cos ntdt

=

{

0 for even n

−

4

πn2

for odd n=

2

πn2[(−1)n

− 1]

この をフーリエ級数展開せよ.u(t)Ex. 3-５

N=0

N=1

N=3

N=5

uN (t) =π

2− 4

π

N∑

n:odd

1n2

cos nt

N=15

フーリエ級数近似（ジグザグ波）u(t) =

π

2−

4

π

∑

n:odd

1

n2cos nt

フーリエ級数の副産物

t = 0フーリエ展開の式の両辺に　　　を代入すると，�

n:odd

1n2

=�2

8��

n=1

1n2

=�

n:odd

1n2

+�

n:even

1n2 =

�2

8+

14

��

n=1

1n2

よって��

n=1

1n2

=�2

6 が従う．

|t| =�

2� 4

�

�

n:odd

1n2

cosnt�� ⇥ t ⇥ � において

であることを用いて を示せ．�

n:odd

1n2

=�2

8

さらにこれを利用して を示せ．��

n=1

1n2

=�2

6

=⇡2

8+

1X

n=1

1

(2n)2

Ex. 3-6

u(t) ={

1 (0 < t < π)−1 (−π < t < 0)

矩形波のフーリエ級数展開を求めよ．

π−π 0

矩形波のフーリエ級数展開

u(t) =4

π

∑

n:odd

1

nsinnt

bn =1�

� �

��u(t) sinntdt =

2�

� �

0sinntdt

=2�

�cos nt

�n

��

0

=2

�n(1� cos n�) =

�0 for even n4

�n for odd n

Ex. 3-7

u(t) = t (−π < t < π)π−π 0

u(t) = 2∑

n

(−1)n+1

nsinnt

bn =1�

� �

��u(t) sinntdt =

2�

� �

0t sinntdt =

2�

��tcos nt

�n

��

0

�� �

0

cos nt

�ndt

�

=2�

��

cos n�

�n+

1n2

[sinnt]�0

�=

2(�1)n+1

n

鋸状波のフーリエ級数展開Ex. 3-８鋸状波のフーリエ級数展開を求めよ．

N=1

N=3

N=5

N=15

N=99

uN (t) =4π

N∑

n:odd

1n

sinnt

フーリエ級数近似（矩形波）u(t) =

4

π

∑

n:odd

1

nsinnt

uN (t) = 2N∑

n=1

(−1)n+1

nsinnt

N=15N=1

N=3

N=5

N=99

フーリエ級数近似（鋸状波）u(t) = 2

∑

n

(−1)n+1

nsinnt

u(t) ={

t(π − t) (0 ≤ t ≤ π)t(π + t) (−π ≤ t ≤ 0)

放物線をつないだ波のフーリエ級数展開を求めよ．

π−π 0

放物線で作る波のフーリエ級数展開

u(t) =8π

∑

n:odd

1n3

sinnt

bn =1�

� �

��u(t) sinntdt =

2�

� �

0t(� � t) sinntdt =

2�

��t(� � t)

cos nt

�n

��

0

�� �

0(� � 2t)

cos nt

�ndt

�

=2

�n

� �

0(� � 2t) cos ntdt =

2�n

��(� � 2t)

sinnt

n

��

0

�� �

0(�2)

sinnt

ndt

�

=4

�n2

�cos nt

�n

��

0

=4

�n3(1� cos n�) =

�0 for even n8

�n3 for odd n

Ex. 3-9

楽音のスペクトル

周波数

振幅

時間

実波形（周期的）

周波数f

スペクトル

2f nf

c1

c2

cn

u(t) = a0 +1X

n=1

✓an cos

2⇡nt

T+ bn sin

2⇡nt

T

◆

u(t) =∞∑

n=1

cn sin (2πnft + φn)f = 1/T初期位相

0

−π

π

φ

a

1 2

音色への影響：振幅と初期位相

基準音 ２倍音

振幅 初期位相

ϕ は音色に影響しない

a は音色に影響する

波形とスペクトル

実波形

音叉

スペクトル

f

もともと一つの正弦波なので基準音のみで倍音成分はない

=440Hz

バイオリン

波形とスペクトル

複雑な波形単純な波形 高い倍音成分は少ない

高い倍音成分が豊富

フルート

イー

アー

人の声

第１種不連続点を持つ 区分的連続関数

C0

C1

C2

1/n

1/n2

1/n3

フーリエ級数の収束の速さ

関数が滑らかなほど 級数の収束が速い

N=15 N=55 N=101

N=501 このフーリエ級数は各点収束するが 一様収束しない注：連続関数列の一様収束極限は連続！

原点における overshoot はいつまでも残る

ギブス現象（矩形波）

−L

ディリクレ条件 定義域 の両端で値が０[0, L]

0 L

奇関数拡張u(−x) = −u(x)

-周期関数に拡張2L

フーリエサイン展開 u(x) =∞∑

n=1

bn sinπnx

L

境界で制約のある関数の級数展開

−L

ノイマン条件 定義域 の両端で微分の値が０[0, L]

-周期関数に拡張2L

フーリエコサイン展開 u(x) = a0 +∞∑

n=1

an cosπnx

L

偶関数拡張u(−x) = u(x)

0 L

境界で制約のある関数の級数展開

ディリクレ条件を満たす関数の展開

区間 において定義され，ディリクレ条件を満たす関数 をフーリエサイン展開せよ．

[0, 1]u(x) = x(1� x)

bn =

Z 1

�1u(x) sin⇡nxdx = 2

Z 1

0u(x) sin⇡nxdx = 2

Z 1

0x(1� x) sin⇡nxdx

=2

⇡n

Z 1

0(1� 2x) cos⇡nxdx= 2

x(1� x)

cos⇡nx

�⇡n

�1

0

�Z 1

0(1� 2x)

cos⇡nx

�⇡ndx

!

=2

⇡n

(1� 2x)

sin⇡nx

⇡n

�1

0

�Z 1

0(�2)

sin⇡nx

⇡ndx

!=

4

(⇡n)2

cos⇡nx

�⇡n

�⇡

0

=4

(⇡n)3(1� cosn⇡)

=

⇢0 for even n8

(⇡n)3 for odd n

u(x) =8

⇡3

X

n:odd

1

n3sin⇡nxよって

2

u(x) =1X

n=1

bn sin⇡nx

u(x)を奇関数に拡張し、さらに周期 の周期関数に拡張してフーリエ級数展開する.

Ex. 3-10

レポート課題

1−1 0

この 　を周期 2 の周期関数に拡張したものを考える. この関数をフーリエ級数展開せよ. それをもとに第　 項までの部分和のグラフを元の関数のグラフに重ねて書くプログラムを作成し, のときの図を出力せよ.

u(t)N

N = 6

Ex. 3-11 (Report3)