2 フーリエ級数の基本的性質

2.1 フーリエ級数の微分積分

関数のフーリエ級数展開(cos nxおよび sin nxで表現)

?

微分積分が極めて容易になる

[微分とフーリエ係数]

関数 f(x)を連続な周期 2πの周期関数とし, そのフーリエ級数展開を

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (2.1)

とする。項別微分が可能ならば,

f ′(x) =∞∑

n=1

(−nan sin nx + nbn cos nx) (2.2)

=∞∑

n=1

( nbn︸︷︷︸an(f ′)

cos nx−nan︸ ︷︷ ︸bn(f ′)

sin nx) (2.3)

したがって, 関数 f(x)の導関数 f ′(x)のフーリエ級数展開を

f ′(x) =∞∑

n=1

(an(f ′) cos nx + bn(f ′) sin nx) (2.4)

とすれば, そのフーリエ係数 an(f ′)と bn(f ′)は

an(f ′) = nbn(f), bn(f ′) = −nan(f) (2.5)

となる。

関数 f(x)の微分(f ′(x)のフーリエ係数)

?

フーリエ係数に定数 nまたは−nをかけるという簡単な代数的操作となる

※関数 f(x)が周期 2Lの周期関数の場合は, n→n πLとおいて

an(f ′) =nπbn(f)

L, bn(f ′) = −nπan(f)

L(2.6)

となる。

＜フーリエ級数の項別微分の例 (テキストP.33例題 2.1)＞

関数 f(x) = x2(−π ≤ x < π)を周期的に拡張した関数のフーリエ係数は, f(x)が偶関数であるので, bn = 0で

a0 =2

3π2, an =

4(−1)n

n2

となり, フーリエ級数展開は

x2 =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cos nx

となる (テキスト P.20問題 1-3の 1(1)参照)。両辺をそれぞれ微分すれば

2x = 4∞∑

n=1

(−1)n

n2(−n sin nx) = 4

∞∑n=1

(−1)n+1

nsin nx

となるので,関数 f ′(x) = 2x(−π ≤ x < π)を周期的に拡張した関数のフーリエ係数は, f ′(x)

が奇関数 (an(f ′) = 0)で

bn(f ′) =4(−1)n+1

n= −nan(f)

であることがわかる。また, 両辺を 2で割れば, 関数 f(x) = x(−π ≤ x < π)を周期的に拡張した関数のフーリエ級数展開は

x = 2∞∑

n=1

(−1)n+1

nsin nx

となることも容易にわかる (テキスト P.18[例 2]の (3)参照)。

[積分とフーリエ係数]

周期 2πの周期関数 f(x)の不定積分を

F (x) =∫ x

0f(t) dt (2.7)

とおく。このとき, F (x)の初期条件として

F (0) =∫ 0

0f(t) dt = 0, F (2π) =

∫ 2π

0f(t) dt = a0π (2.8)

が成り立つ。関数 f(x)が区分的に連続で, そのフーリエ級数展開を

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (2.9)

とする。項別積分が可能ならば,

F (x) =a0

2x +

∞∑n=1

(an

nsin nx − bn

ncos nx

)+ C (2.10)

ここで,

G(x) = F (x) − a0

2x =

∞∑n=1

(an

nsin nx − bn

ncos nx

)+ C (2.11)

とおくと, 式 (2.8)の F (x)の初期条件より, G(x)の初期条件として

G(0) = F (0) − a0

2·0 = 0, G(2π) = F (2π) − a0

2·2π = 0 (2.12)

が求まるので, 式 (2.11)に代入すれば,

G(0) = G(2π) =∞∑

n=1

(an

n·0 − bn

n·1

)+ C = 0 (2.13)

C =∞∑

n=1

bn

n(2.14)

となり, 積分定数Cが決定できる。すなわち

G(x) =∞∑

n=1

bn

n︸ ︷︷ ︸a0(G)

2

+∞∑

n=1

(−bn

n︸ ︷︷ ︸an(G)

cos nx +an

n︸︷︷︸bn(G)

sin nx) (2.15)

となるので, G(x)のフーリエ級数展開を

G(x) =a0(G)

2+

∞∑n=1

(an(G) cos nx + bn(G) sin nx) (2.16)

とすれば, G(x)のフーリエ係数は

a0(G) = 2∞∑

n=1

bn(f)

n, an(G) = −bn(f)

n, bn(G) =

an(f)

n(n = 1, 2, · · ·) (2.17)

となる。

関数 f(x)の不定積分

?

フーリエ係数を nに比例した数で割るという簡単な操作となる

※関数 f(x)が周期 2Lの周期関数の場合は, n→n πLとおいて

a0(G) = 2∞∑

n=1

Lbn(f)

nπ, an(G) = −Lbn(f)

nπ, bn(G) =

Lan(f)

nπ(n = 1, 2, · · ·) (2.18)

となる。

もし,関数f(x)のフーリエ係数a0(f) = 0であれば, G(x) = F (x)−a0

2xより, G(x) = F (x)

となるので, 直接 F (x)を計算できる。

＜フーリエ級数の項別積分の例 (テキストP.38例題 2.2＞

関数 f(x) = x(−π ≤ x < π)を周期的に拡張した関数のフーリエ係数は, f(x)が奇関数であるので, an = 0で

bn =2(−1)n+1

n

となり, フーリエ級数展開は

x = 2∞∑

n=1

(−1)n+1

nsin nx

となる。関数 xを周期的に拡張した関数は区分的に連続であるから項別に積分できるので,

両辺をそれぞれ積分すると

x2

2= 2

∞∑n=1

(−1)n+1

n

(−cos nx

n

)+ C = 2

∞∑n=1

(−1)n

n2cos nx + C

となるので, 関数 F (x) =x2

2(−π ≤ x < π)を周期的に拡張した関数のフーリエ係数は,

F (x)が偶関数 (bn(F ) = 0)で

an(F ) =2(−1)n

n2= − 1

nbn(f)

であることがわかる。ここで, 定数Cは

C =∞∑

n=1

bn

n=

∞∑n=1

2(−1)n+1

n2= 2

(1 − 1

22+

1

32− · · · + (−1)n+1

n2+ · · ·

)

となるが, 定数Cは, 関数 F (x) =x2

2の平均値でもあるので

C =a0(F )

2=

1

2π

∫ π

−π

x2

2dx =

π2

6

と求められる。これから副産物として

1 − 1

22+

1

32− · · · + (−1)n+1

n2+ · · · =

π2

12

が得られる。したがって,

x2

2= 2

∞∑n=1

(−1)n

n2cos nx + 2

(1 − 1

22+

1

32− · · · + (−1)n+1

n2+ · · ·

)

= 2∞∑

n=1

(−1)n

n2cos nx +

π2

6

が成り立つ。両辺に 2をかければ

x2 =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cos nx

であることも容易にわかる。

2.2 複素フーリエ級数

[オイラーの公式]

eix = cos x + i sin x (2.19)

xを−xで置き換えると

e−ix = cos (−x) + i sin (−x) = cos x − i sin x (2.20)

となる (e−ixは eixの共役複素数となることに注意)。式 (2.19), (2.20)より

cos x =eix + e−ix

2, sin x =

eix − e−ix

2i(2.21)

[ド・モアブルの公式] (x → nx)

cos nx =einx + e−inx

2, sin nx =

einx − e−inx

2i(2.22)

[複素フーリエ級数]

ド・モアブルの公式をフーリエ級数の式

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (2.23)

に代入すると

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(aneinx + e−inx

2+ bn

einx − e−inx

2i)

=a0

2+

∞∑n=1

(aneinx + e−inx

2− ibn

einx − e−inx

2)

=a0

2+

∞∑n=1

{1

2(an − ibn)einx +

1

2(an + ibn)e−inx} (2.24)

となる。ここで, 複素フーリエ係数を

c0 =a0

2, cn =

an − ibn

2, c−n =

an + ibn

2(n = 1, 2, · · ·) (2.25)

と定義すると

f(x) = c0 +∞∑

n=1

{cneinx + c(−n)e

i(−n)x}

= c0ei0x +

∞∑n=1

cneinx +

−∞∑n=−1

cneinx

=∞∑

n=−∞cne

inx (2.26)

となる。これを複素フーリエ級数という。ここで, 左辺は実関数であるが, 右辺は複素関数であり, cnは一般的に複素数となる。また, cnと c−n(= c∗n)は共役複素数の関係にある。

複素フーリエ係数は

cn =1

2(an − ibn)

=1

2{ 1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx − i

∫ π

−πf(x) sin nx dx}

=1

2π

∫ π

−πf(x) (cos nx − i sin nx)︸ ︷︷ ︸

e−inx

dx (2.27)

したがって

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx (c0 =

1

2π

∫ π

−πf(x) dx, c−n =

1

2π

∫ π

−πf(x)einx dx) (2.28)

となる。ここで, cnの共役複素数を c∗nとすれば, c−n = c∗nの関係があるので, 実関数の複素フーリエ係数は nが非負のものだけを計算すれば, c−nを計算しなくても, cnの複素共役をとることにより容易に求められる。同様に, 関数 f(x)が周期 2Lの周期関数であるときには,

f(x) =∞∑

n=−∞cne

in( πL

)x (2.29)

cn =1

2L

∫ L

−Lf(x)e−in( π

L)x dx (2.30)

となる。

※ |cn|(= 12

√a2

n + b2n)を関数 f(x)のスペクトルという。また, 関数 f(x)の複素フーリエ係

数 cnを求めることを, 「関数 f(x)をスペクトルを調べる」あるいは「関数 f(x)をスペクトルに分解する」という。

[複素フーリエ係数の性質]

複素フーリエ係数については, 以下の性質が成り立つ (テキスト P.45問題 2-2 1.参照)。(1) 周期関数 f(x)が偶関数 (bn = 0)であれば, 複素フーリエ係数は実数となり, 実フーリ

エ係数 anとcn = c−n =

an

2(c0 =

a0

2) (2.31)

の関係がある。(2) 周期関数 f(x)が奇関数 (an = 0)であれば, 複素フーリエ係数は純虚数となり, 実フー

リエ係数 bnと

cn = −ibn

2, c−n = −cn = i

bn

2(2.32)

の関係がある (奇関数の場合の複素フーリエ級数においては, c0(n = 0の項)は存在しないので

∑のとり方に注意)。

＜参考＞ 実フーリエ係数が与えられている場合には, 複素フーリエ係数は積分を用いて計算しなくても次式から求まる。

c0 =a0

2, cn =

an − ibn

2, c−n =

an + ibn

2(n = 1, 2, · · ·) (2.33)

また, 逆に複素フーリエ係数が与えられている場合には, 実フーリエ係数は積分による計算をしなくても同様に次式から求まる。

a0 = 2c0, an = cn + c−n, bn =c−n − cn

i(n = 1, 2, · · ·) (2.34)

[複素内積演算を用いた複素フーリエ係数を求める公式の導出]

周期 2πの周期関数 f(x)を

f(x) =∞∑

n=−∞cne

inx

とおく。この式の両辺に e−imxをかけて−πから πまで積分し, 複素内積を計算すると

∫ π

−πf(x)e−imx dx =

∫ π

−π

( ∞∑n=−∞

cneinx

)e−imx dx

=∞∑

n=−∞cn

∫ π

−πeinxe−imx dx

= 2πcm

したがって

cm =1

2π

∫ π

−πf(x)e−imx dx

これは, 複素フーリエ係数の公式に一致する。

[複素フーリエ級数の微分積分]

周期 2πの周期関数 f(x)の複素フーリエ級数を

f(x) =∞∑

n=−∞cne

inx (2.35)

とする。項別に微分可能とすれば

f ′(x) =∞∑

n=−∞incne

inx (2.36)

となる。したがって, f ′の複素フーリエ係数 cn(f ′)は

cn(f ′) = incn(f)︸ ︷︷ ︸in をかける

(c0(f′) = i0c0(f) = 0) (2.37)

となることがわかる。次に, 関数 f を不定積分した関数を

F (x) =∫ x

0f(t) dt (2.38)

とする。項別に積分できるとすれば

F (x) = c0x +∞∑

n=−∞

′ cneinx

in+ C (

∑′は n = 0を除く和) (2.39)

F (0) = 0とすれば

F (0) = c00 +∞∑

n=−∞

′ cnein0

in+ C = 0 (2.40)

C = −∞∑

n=−∞

′ cn

in(2.41)

したがって

G(x) = F (x) − c0x = −∞∑

n=−∞

′ cn

in+

∞∑n=−∞

′ cneinx

in(2.42)

これよりG(x)の複素フーリエ級数は

c0(G) = c0(F (x) − c0(f)x) = −∞∑

n=−∞

′ cn(f)

in(2.43)

cn(G) = cn(F (x) − c0(f)x) =cn(f)

in︸ ︷︷ ︸in で割る

(n = ±1,±2, · · ·) (2.44)

＜周期 2Lの関数 f(x)の複素フーリエ級数展開の計算例 (テキストP.42例題 2.4)＞

周期 T = 2Lの関数 f(x) =a

Tx (0 ≤ x < T ) の複素フーリエ係数と複素フーリエ級数展

開

cnを求める。

cn =1

2L

∫ 2L

0f(x)e−i nπ

Lx dx

=1

T

∫ T

0

(a

Tx

)e−i nπ

(T2 )

x

dx

=a

T 2

∫ T

0xe−i 2πn

Tx dx

=a

T 2

∫ T

0x

e−i 2πnT

x

− i2πnT

′

dx

=a

T 2

∫ T

0x

(− T

i2πne−i 2πn

Tx)′

dx

=a

T 2

{[x

(− T

i2πne−i 2πn

Tx)]T

0+

T

i2πn

∫ T

0e−i 2πn

Tx dx

}(n 6=0の場合)

=a

T 2

{− T

i2πn

(Te−i2πn − 0

)−

(T

i2πn

)2 [e−i 2πn

Tx]T

0

}

=a

T 2

{− T 2

i2πne−i2πn +

(T

2πn

)2 (e−i2πn − 1

)}

=a

T 2

{− T 2

i2πn·1 +

(T

2πn

)2

(1 − 1)

}

=ia

2πn(分母が複素数の場合は有理化し,標準形式 a + ibとすること)

n = 0の場合は

c0 =1

2L

∫ 2L

0f(x) dx =

1

T

∫ T

0

(a

Tx

)dx =

a

T 2

∫ T

0x dx =

a

T 2

[x2

2

]T

0

=a

2

f(x) =∞∑

n=−∞cne

i nπL

x

=∞∑

n=−∞cne

i 2πnT

x

=a

2+

∞∑n=−∞

′ ia

2πnei 2πn

Tx (

∑′は n = 0を除く和)

=a

2+

ia

2π

· · · − e−i 6πT

x

3− e−i 4π

Tx

2− e−i 2π

Tx + ei 2π

Tx +

ei 4πT

x

2+

ei 6πT

x

3· · ·

フーリエ級数のまとめ2

フーリエ級数

実フーリエ級数

{周期 2π

周期 2L

複素フーリエ級数{周期 2π

周期 2L

実フーリエ級数 (フーリエ余弦級数, フーリエ正弦級数を含む)

周期 2π 周期 2L

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnπx

L+ bn sin

nπx

L)

an =1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx (n = 0, · · ·)

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx (n = 1, · · ·)

an =

1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, · · ·)

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, · · ·)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cos nx f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L

an =2

π

∫ π

0f(x) cos nx dx (n = 0, · · ·) an =

2

L

∫ L

0f(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, · · ·)

f(x) =∞∑

n=1

bn sin nx f(x) =∞∑

n=1

bn sinnπx

L

bn =2

π

∫ π

0f(x) sin nx dx (n = 1, · · ·) bn =

2

L

∫ L

0f(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, · · ·)

複素フーリエ級数周期 2π 周期 2L

f(x) =∞∑

n=−∞cne

inx f(x) =∞∑

n=−∞cne

in( πL

)x

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx (n = 0,±1, · · ·) cn =

1

2L

∫ L

−Lf(x)e−in( π

L)x dx (n = 0,±1, · · ·)

2.3 線形システム

[線形システム]

入力 xと出力 yにある対応関係が存在する場合, この対応関係を決める規則を写像といい

T : x → y

のように書く (関数も写像の一種であるが, 関数の場合は通常 y = f(x)のように書く)。一般に, 入力 x(t)から出力 y(t)への対応関係を

y(t) = T[x(t)] (2.45)

と書き, このシステムが

　　 (S1) T[ax(t)] = aT[x(t)]

　　 (S2) T[x1(t) + x2(t)] = T[x1(t)] + T[x2(t)]

を満たすとき, これを線形システムという。線形システムでは, 重ね合わせの原理が成り立つ。

T- -x(t)

入力

y(t)

出力

線形システム

入力 x(t)が周期関数で

x(t) =∞∑

n=−∞Xne

inωt

で与えられるとすると, 線形システムの出力 y(t)は

y(t) = T[x(t)]

= T

[ ∞∑n=−∞

Xneinωt

]

=∞∑

n=−∞XnT[einωt]

で与えられる。すなわち, システムの einωtに対する応答T[einωt]を調べれば, 一般の周期入力 x(t)に対する応答 y(t)がわかる。

※線形システムの満たすべき条件 (S1)と (S2)はまとめて,以下のように書くこともできる。

T[ax1(t) + bx2(t)] = aT[x1(t)] + b T[x2(t)]

[線形RLC回路の複素フーリエ級数による解法]

RLC直列回路の回路方程式は, キャパシタに蓄えられる電荷を q(t), 電圧源を v(t)とすると, キルヒホッフの法則により

Ld2q(t)

dt2+ R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = v(t) (2.46)

で与えられる。ここで, 電圧源 v(t)がシステムの入力であり, 電荷 q(t)が出力, すなわち, その応答となる。また, 回路に流れる電流は電荷 q(t)が求まれば, i(t) = dq(t)

dtで計算できる。

この電気回路は明らかに線形システムであり, したがって, 重ね合わせの原理が成り立っていることがわかる。今, 入力 v(t)が複素フーリエ級数により, 次のように展開できたとしよう。

v(t) =∞∑

n=−∞vn(t) =

∞∑n=−∞

Vneinωt (ω = 2πf =

2π

T=

2π

2L=

π

L) (2.47)

同様に, その解 q(t)は

q(t) =∞∑

n=−∞qn(t) =

∞∑n=−∞

Qneinωt (2.48)

と表わすことができる。ここで,個々の入力vn(t) = Vneinωtに対する応答が各 qn(t) = Qne

inωt

であり, 解 q(t)は重ね合わせの原理により得られる解と考えることができる。したがって,

各入力 vn(t)に対する応答 qn(t)の回路方程式

Ld2qn(t)

dt2+ R

dqn(t)

dt+

1

Cqn(t) = vn(t) (2.49)

の解 qn(t)を求め, その解を重ね合わせれば式 (2.46)の解が得られることがわかる。vn(t) =

Vneinωt, qn(t) = Qne

inωtをそれぞれ式 (2.49) に代入すると

Ld2{Qne

inωt}dt2

+ Rd{Qne

inωt}dt

+1

C{Qne

inωt} = Vneinωt (2.50)

(inω)2LQneinωt + (inω)RQne

inωt +1

CQne

inωt = Vneinωt (2.51)

−n2ω2LQn + inωRQn +1

CQn = Vn (2.52)

を得る。Qnを求めると

(−n2ω2L + inωR +1

C)Qn = Vn (2.53)

Qn =Vn

−n2ω2L + inωR + 1C

=CVn

1 − n2ω2LC + inωRC(2.54)

以上より, 式 (2.46)の特解として

q(t) =∞∑

n=−∞qn(t) =

∞∑n=−∞

Qneinωt =

∞∑n=−∞

CVn

1 − n2ω2LC + inωRCeinωt (2.55)

が得られる。このように, 複素フーリエ級数展開を用いれば, 微分積分は単に, フーリエ係数に iωをかけたり, 割ったりする操作に置き換わるので, 線形回路方程式は代数的操作だけで, 容易に解くことができる。

＜線形RLC回路の複素フーリエ級数による計算例 (テキストP.48例題 2.6)＞

周期 T = 2Lの関数 f(x) =a

Tx (0 ≤ x < T )(のこぎり波) の複素フーリエ級数展開 (テキ

スト P.42例題 2.4)は

f(x) =a

2+

∞∑n=−∞

′ ia

2πnei 2πn

Tx (

∑′は n = 0を除く和)

となる。ここで, f(x) = v(t), ω =2π

Tとおけば

v(t) =∞∑

n=−∞Vne

inωt

=a

2+

∞∑n=−∞

′ ia

2πneinωt (

∑′は n = 0を除く和)

が得られ

V0 =a

2, Vn =

ia

2πn(n 6=0)

であることがわかる。したがって, のこぎり波 v(t)を入力 (印加電圧)とした場合の線形回路方程式

Ld2q(t)

dt2+ R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = v(t)

の出力 (定常解)q(t)は

Qn =CVn

1 − n2ω2LC + inωRC

=iaC

2πn(1 − n2ω2LC + inωRC)(n 6=0)

n = 0の場合は

Q0 = CV0 =aC

2

となるので

q(t) =∞∑

n=−∞Qne

inωt

=aC

2+

∞∑n=−∞

′ iaC

2πn(1 − n2ω2LC + inωRC)einωt (

∑′は n = 0を除く和)

と求められる。

2.4 ディラックのデルタ関数とヘビサイドの単位関数

[ディラックのデルタ関数]

分布関数 p(x)を次式で定義する。

p(x,m) =

{1

2m(−m ≤ x ≤ m)

0 (その他の x)(2.56)

この p(x,m)を−∞から∞まで積分するとmの値に関係なく∫ ∞

−∞p(x,m) dx =

∫ m

−mp(x,m) dx =

1

2m×2m = 1 (2.57)

となる。また, 関数 φ(x)を滑らかな関数とし, φ(x)と p(x,m)との積を−∞から∞まで積分することを考える。積分の平均値の定理により, −mとmの間の適当な y(−m≤y≤m) をとると ∫ ∞

−∞φ(x)p(x,m) dx =

∫ m

−mφ(x)p(x,m) dx

= φ(y)∫ m

−mp(x,m) dx

= φ(y) (−m≤y≤m) (2.58)

となる。ここで, mを 0に近づけた極限m → 0を考えると式 (2.56)は

δ(x) = limm→0

p(x,m) = p(x, 0) =

{∞ (x = 0)

0 (x 6=0)(2.59)

となり, 通常の関数としては意味を持たない x = 0で値として無限大をとる特異な関数が得られる。この特異な関数をデルタ関数 δ(x)と呼ぶ。デルタ関数 δ(x)はその関数の値そのものを考えると∞となってしまい, 意味がなくなるが、式 (2.57)でm→0とした∫ ∞

−∞δ(x) dx = 1 (2.60)

あるいは, 式 (2.58)でm→0(y = 0)とした∫ ∞

−∞φ(x)δ(x) dx = φ(0) (2.61)

のように, 積分を用いれば値が求まるので, むしろ積分により定義されている関数と考えることができる。式 (2.61)において φ(x) = 1とすれば, 式 (2.60)になるので, イギリスの物理学者ディラックは, 式 (2.61)をデルタ関数の定義式としたのである。デルタ関数は超関数の１つである。

(a) 関数 p(x,m)

12m

0 m−m

¾ -2m

0

(b) 関数 p(x, m′ = m4)

12m′

m′−m′

¾-2m′

[ヘビサイドの単位関数]

次式で定義される関数 u(x)を単位階段関数あるいはヘビサイドの単位関数という。

u(x) =

{1 (x ≥ 0)

0 (x < 0)(2.62)

-

6

x

1

u(x)

ヘビサイドの単位階段関数 u(x)

0

[単位関数 u(x)とデルタ関数 δ(x)の関係]

単位関数 u(x)-

¾

微分

積分不連続点を持つ関数 ∞の値を持つ関数

デルタ関数 δ(x)

u(x)は x = 0で不連続となるので, 普通の意味では x = 0で微分不可能であるが, ディラックのデルタ関数を用いれば u′(x) = δ(x)と表わせる。実際, 良い関数 φ(x)に対して∫ ∞

−∞u′(x)φ(x) dx = [u′(x)φ(x)]

∞−∞−

∫ ∞

−∞u(x)φ′(x) dx = −

∫ ∞

0φ′(x) dx = −φ(∞)+φ(0) = φ(0)

これは, デルタ関数の定義式 ∫ ∞

−∞φ(x)δ(x) dx = φ(0)

と同じであるので, u′(x) = δ(x)であることがわかる。

[単位関数 u(x)とデルタ関数 δ(x)を利用した関数 f(x)の微係数 f ′(x)の計算例]

次式で与えられた区分的に滑らかな関数 f(x)の微係数 f ′(x)の計算を考える。

f(x) =

{x + 2 (0 ≤ x < ∞)

x (−∞ < x < 0)(2.63)

上式は x = 0で不連続となり, 連続関数ではないので, このままでは微係数を求めることができない。しかし, ヘビサイドの単位階段関数 u(x)を導入すれば, 形式的ではあるが, 通常の連続関数と同様に

f(x) = x + 2u(x) (2.64)

と書くことができ, その微係数は単位関数の微分がデルタ関数となっていることを利用すると

f ′(x) = 1 + 2u′(x) = 1 + 2δ(x) (2.65)

として求めることができる。一般に点 x1, x2, · · · , xnで d1, d2, · · · , dnだけジャンプし不連続となっている区分的に滑ら

かな関数 f(x)は, 連続な関数 g(x)とヘビサイドの単位階段関数 u(x)を用いて

f(x) = g(x) +n∑

m=1

dmu(x − xm) (2.66)

と書ける。したがって, 関数 f(x)の微係数はデルタ関数 δ(x)を用いて

f ′(x) = g′(x) +n∑

m=1

dmδ(x − xm) (2.67)

で与えられる。ここで u(x− a)および δ(x− a)はそれぞれ単位階段関数およびデルタ関数を x軸方向へ aだけ平行移動した関数

u(x − a) =

{1 (x ≥ a)

0 (x < a), δ(x − a) =

{∞ (x = a)

0 (x 6=a)

である。

[周期的なデルタ関数とそのフーリエ級数展開]

周期 T の周期的なデルタ関数 δT (x)を次のように定義することができる。

δT (x) =∞∑

n=−∞δ(x − nT ) (2.68)

この δT (x)のフーリエ級数展開を形式的に求めると, そのフーリエ係数は

an =2

T

∫ T2

−T2

δT (x) cos2πn

Tx dx =

2

T

∫ T2

−T2

δ(x) cos2πn

Tx dx =

2

Tcos 0 =

2

T

bn =2

T

∫ T2

−T2

δT (x) sin2πn

Tx dx =

2

T

∫ T2

−T2

δ(x) sin2πn

Tx dx =

2

Tsin 0 = 0

であるから, 関数 δT (x)のフーリエ級数展開は

δT (x) =1

T+

2

T

∞∑n=1

cos2πn

Tx

=1

T+

2

T(cos

2π

Tx + cos

4π

Tx + cos

6π

Tx + · · ·)

と得られる。ただし, この式の右辺は cos 2πnT

x→0(n→∞)とならないので, 普通の意味での収束級数ではない。すなわち, このフーリエ級数展開は形式的な解である。

2.5 フーリエ級数と最良近似問題

[最良近似問題]

関数 f(x)を周期 2πの周期関数とする。このとき, 次のN 次の三角多項式

TN(x) =c0

2+

N∑n=1

(cn cos nx + dn sin nx) (2.69)

で関数 f(x)を最もよく近似するには, cnと dnをどう選んだらよいかという問題を最良近似問題という。ここで, TN(x)はN 次の有限項で打ち切られている点に注意する。近似の良さを調べるためには, 誤差の尺度となる評価関数が必要となるが, ここでは, 評価関数として次の平均 2乗誤差を用いる。

E(f − TN) =∫ π

−π(f(x) − TN(x))2 dx (2.70)

[最良近似問題の解]

E(f − TN) =∫ π

−π(f(x) − TN(x))2 dx

=∫ π

−πf2(x) dx︸ ︷︷ ︸(A)

−2∫ π

−πf(x)TN(x) dx︸ ︷︷ ︸

(B)

+∫ π

−πT 2

N(x) dx︸ ︷︷ ︸(C)

(2.71)

(B) =∫ π

−πf(x)TN(x) dx

=∫ π

−πf(x)

{c0

2+

N∑n=1

(cn cos nx + dn sin nx)

}dx

=c0

2

∫ π

−πf(x) dx︸ ︷︷ ︸πa0

+N∑

n=1

cn

∫ π

−πf(x) cos nx dx︸ ︷︷ ︸

πan

+dn

∫ π

−πf(x) sin nx dx︸ ︷︷ ︸

πbn

= π

{c0a0

2+

N∑n=1

(cnan + dnbn)

}(2.72)

(C) =∫ π

−πT 2

N(x) dx

=∫ π

−π

{c0

2+

N∑n=1

(cn cos nx + dn sin nx)

}2

dx

=∫ π

−π

(c0

2

)2

dx + c0

N∑n=1

∫ π

−π(cn cos nx + dn sin nx) dx︸ ︷︷ ︸

0

+∫ π

−π

{N∑

n=1

(cn cos nx + dn sin nx)

}2

dx︸ ︷︷ ︸N∑

n=1

π(c2n + d2

n)

= π

{c20

2+

N∑n=1

(c2n + d2

n)

}(2.73)

以上より

E(f − TN) = (A) + (B) + (C)

=∫ π

−πf2(x) dx − 2π

{c0a0

2+

N∑n=1

(cnan + dnbn)

}+ π

{c20

2+

N∑n=1

(c2n + d2

n)

}

=∫ π

−πf2(x) dx︸ ︷︷ ︸

(1)

−π

{a2

0

2+

N∑n=1

(a2n + b2

n)

}︸ ︷︷ ︸

(2)

+ π

[(a0 − c0)

2

2+

N∑n=1

{(an − cn)2 + (bn − dn)2

}]︸ ︷︷ ︸

(3)

(2.74)

(1)項と (2)項は cnと dnによらない定数であるから, E(f − TN)を最小にする cnと dnは(3)項の値を最小にするものである。(3)項は各々A2の形をしているのでAが 0のとき最小値となる。したがって

c0 = a0, cn = an, dn = bn (2.75)

となるとき, すなわち, cnと dnがフーリエ係数に一致するときE(f − TN)は最小になる。結局, 関数 f(x)をN次の三角多項式 TN(x)によって平均 2乗誤差最小の意味で近似する

最良近似問題の解は, 関数 f(x)のフーリエ係数になる。

[フーリエ係数の最終性]

フーリエ係数はN と関係なく決まるので, もっとN を大きくした三角多項式で, f(x)を最良近似するときにも, 既に求めてある係数を計算し直す必要がない。これをフーリエ係数の最終性と呼ぶ。

ここで, 項数N を増やしていった場合のE(f − TN)について考える。

E(f − TN) − E(f − TN+1) =∫ π

−πf2(x) dx − π

{a2

0

2+

N∑n=1

(a2n + b2

n)

}

−[∫ π

−πf2(x) dx − π

{a2

0

2+

N+1∑n=1

(a2n + b2

n)

}]= π(a2

N+1 + b2N+1) > 0 (2.76)

E(f − TN+1)とE(f − TN+2), E(f − TN+2)とE(f − TN+3)なども同様に計算すると

E(f − TN) > E(f − TN+1) > E(f − TN+2) > · · · > 0 (2.77)

が得られる。したがって, 項数を増やすと誤差は小さくなることがわかる。

[ベッセルの不等式]

E(f − TN) ≥ 0であるから

∫ π

−πf2(x) dx ≥ π

{a2

0

2+

N∑n=1

(a2n + b2

n)

}(2.78)

N → ∞として ∫ π

−πf2(x) dx ≥ π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}(2.79)

上式をベッセルの不等式という。

[パーシバルの等式]

∫ π

−πf2(x) dx = π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}(2.80)

上式をパーシバルの等式という。

＜参考＞ f(x)が一般の周期 2Lの周期関数の場合は, パーシバルの等式は次のようになる。

∫ L

−Lf2(x) dx = L

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}(2.81)

[パーシバルの等式の導出]

関数 f(x)を周期 2πの周期関数とする。関数 f(x)が滑らかな関数の場合,この関数のフーリエ級数展開は関数 f(x)に一様収束し, 次式が成り立つ。

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (2.82)

この式の両辺に関数 f(x)をかけると

f2(x) =a0f(x)

2+

∞∑n=1

(anf(x) cos nx + bnf(x) sin nx) (2.83)

となるが, f(x)は有界であるので, この式の右辺も一様収束することがわかる。一様収束する級数は項別積分が可能であるので, 上式を−πから πまで項別に積分すると∫ π

−πf2(x) dx =

a0

2

∫ π

−πf(x) dx

+∞∑

n=1

(an

∫ π

−πf(x) cos nx dx + bn

∫ π

−πf(x) sin nx dx

)

= π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}(2.84)

となってパーシバルの等式を得る。ここでは, 関数が滑らかな周期関数であるという条件を用いたが, 関数が区分的に滑らかな周期関数という弱い条件の下でも, バーシバルの等式は成り立つ。

＜パーシバルの等式の計算例＞

周期 T = 2πの関数 f(x) =

{1 (0 ≤ x < π)

0 (π ≤ x < 2π)のフーリエ係数は

a0 = 1, an = 0, bn = − 1

nπ{(−1)n − 1} =

{2

nπ(nが奇数)

0 (nが偶数)

であった。bnは nが奇数のときのみ値を持つので, すべての整数を nとした場合, 奇数は2n − 1 (n = 1, 2, · · ·)と表わせることに注意すれば

b2n−1 =2

(2n − 1)π(2n − 1はすべての奇数を表わすので b2n−1は奇数項となる)

と書ける。パーシバルの等式∫ π

−πf2(x) dx = π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}

の右辺に a0, an, bn(奇数項のみなので実際は b2n−1で置き換える)を代入すれば

右辺 = π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}

= π

{12

2+

∞∑n=1

(02 +22

(2n − 1)2π2)

}

= π

{1

2+

∞∑n=1

4

(2n − 1)2π2

}

左辺の積分を計算すると

左辺 =∫ π

−πf2(x) dx

=∫ 0

−πf2(x) dx +

∫ π

0f2(x) dx

=∫ 0

−π02 dx +

∫ π

012 dx

=∫ π

01 dx

= [x]π0

= [π − 0]

= π

したがって

π = π

{1

2+

∞∑n=1

4

(2n − 1)2π2

}

となり, 整理すれば∞∑

n=1

4

(2n − 1)2π=

π

2

∞∑n=1

1

(2n − 1)2=

π2

8

として, テキスト PP.28-29で導出した式と同様な πの近似計算式が得られる。

フーリエ級数のまとめ1

フーリエ級数{周期 2πの関数 f(x)のフーリエ級数周期 2Lの関数 f(x)のフーリエ級数

フーリエ級数 (フーリエ余弦級数, フーリエ正弦級数を含む)

周期 2π 周期 2L

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnπx

L+ bn sin

nπx

L)

an =1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx (n = 0, · · ·)

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx (n = 1, · · ·)

an =

1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, · · ·)

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, · · ·)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cos nx f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L

an =2

π

∫ π

0f(x) cos nx dx (n = 0, · · ·) an =

2

L

∫ L

0f(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, · · ·)

f(x) =∞∑

n=1

bn sin nx f(x) =∞∑

n=1

bn sinnπx

L

bn =2

π

∫ π

0f(x) sin nx dx (n = 1, · · ·) bn =

2

L

∫ L

0f(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, · · ·)

フーリエ級数 (係数)に対するパーシバルの等式周期 2π 周期 2L∫ π

−πf2(x) dx = π

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

} ∫ L

−Lf2(x) dx = L

{a2

0

2+

∞∑n=1

(a2n + b2

n)

}