確率解析 展開確率解析の展開確率分布から見本路解析へー 確率分布から見本路解析へ ー

顕微鏡をのぞくと株価が！顕微鏡をのぞくと株価が！ブラウン運動の発見から数理ファイナンスまで

数理学研究院 谷口説男

株価とブラウン運動ブラウン運動

株価とブラウン運動

株価の変動株価の変動

ブラウン運動のｘ座標

1次元ブラウン運動 (数学的に)1次元ブラウン運動 (数学的に)

原点から出発する連続関数の空間 W原点から出発する連続関数の空間 WW={ w:[0 ∞)→R | 連続 w(0)=0}：全事象W={ w:[0,∞)→R | 連続，w(0)=0}：全事象

座標関数 Bt:W→R (Bt(w)=w(t))座標関数 Bt:W→R (Bt(w)=w(t))時刻 t での位置時刻 位置

幾何ブラウン運動幾何ブラウン運動

Louis Bacherier (1870-1946)

時刻 t での株価∝Bt時刻 t での株価∝Bt

P l S l (1915 2009 12 13)

時刻tでの株価

Paul Samuelson (1915-2009.12.13)

時刻tでの株価∝exp(σBt+νt)exp(σBt+νt)

Black-Sholesの価格公式

確率論確率論

1654 Bl i P l（1623 1662）

Pascal

1654 Blaise Pascal（1623-1662）

Pierre de Fermat（1601-1665）

Fermat

（ ）

往復書簡 ゲーム中断時の掛け金の配分

1932 Andreｙ Kolmogrov20世紀 ブラウン運動の解析学

1932 Andreｙ KolmogrovFoundations of the Theory of Probability

1942 伊藤清 確率積分・確率微分方程式

リアバ 解析1976 P.Malliavin マリアバン解析

顕微鏡顕微鏡

発明 1590年頃オランダ人ヤンセン親子発明：1590年頃オランダ人ヤンセン親子(Hans, Zacharias Janssen)

Robert Hooke;1635-1703

Anton van Leeuwenhoek;1632-1723

ブラウン運動の発見(現象)ラウン運動の発見(現象)

Robert Brown;1773-18581828(1827年夏の観測)非生物現象（すす 岩石 鉱物

Adolphe Brongniart;1801-1876 1827年

非生物現象（すす,岩石,鉱物,スフィンクスの破片）

Jan Ingenhousz;1730-17991784年 アルコール上の炭素粒子

ユーロネクスト・パリ（旧パリ証券取引所

ブラウンの見たものラウンの見たもの

水の中に浮かぶ花粉にから出てき水の中に浮かぶ花粉にから出てきた微粒子が，止むことのない不規則でジグザグな運動を行うことを観察でジグザグな運動を行うことを観察

B.Ford

19世紀後半(なぜ動く？)世紀後半(なぜ動く )

～1880年代～1880年代(a)光による不規則な加熱，(b)溶液内の温度差，溶液の蒸発

1877年 J. Delsaux水分子との衝突による( )溶液内の温度差，溶液の蒸発

(c)溶液の表面張力(d)電気的な力 YES

1888年 L. Gouy(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(2) 粒子はお互いに独立に動く(3) 粒子が小さい，溶液の粘性が低い，

溶液 度が が 激 くな溶液温度が上がる，と運動は激しくなる(4) 粒子の組成・濃度は運動に影響しない(5) 運動は止むことがない(5) 運動は止むことがない

カルノーの原理？

19世紀後半 原子は存在しない19世紀後半 原子は存在しない

電磁気学理論電磁気学理論「連続な微分方程式で

熱力学の成功（巨視的）

微分方程式で記述できる」 Lucretius;BC99年頃-BC55

実証主義

J.Maxwell物質はすべて原子から成りたつ部屋に差し込む光に浮かぶ微塵

実証主義

気体分子論

E.Mach F.Ostwald L.Boltzmann

気体分子論統計力学

1905年 奇跡の年：アインシュタイン1905年 奇跡の年：アインシュタイン

光量子仮説，ブラウン運動，特殊相対性理論

時刻 t に x の回り単位体積空間に時刻 t に x の回り単位体積空間に見つかるブラウン運動する

微粒子の数 f(x t)微粒子の数 f(x,t)

熱方程式

Albert Einstein, 1879-1955

核ガウス核

粒子の分布粒子の分布

アインシュタインよりも先にアインシュタインよりも先に

19061904 1906

William Sutherland (Austraria)1859 1911

Marian von Smoluchowski1872-1917

R：気体定数，T：絶対温度

1859-1911 1872-1917

気NA：アボガドロ数η：粘性率，a：粒子半径

歴史ー数学的に 1880年

Thorvald Thiele;1838 1910Thorvald Thiele;1838-1910デンマーク人の天文学者・統計学者

1880年

計器の時刻tにおける位置Btの推定計器の時刻tにおける位置Btの推定

観測値：Zt=Bt+εｔ（測定誤差あり）

Btは独立な増分を持つBtは独立な増分を持デンマーク語の論文

最小二乗法

歴史ー数学的に 1900年歴史 数学的に 900年

L i B h i 1870 1946Louis Bacherier;1870-1946Théorie de la spéculation,

Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.17 (1900), 21-86

S 株価 S S S と仮定St：株価 St-Ss～St-s と仮定

熱方程式・ガウス核熱 式 核

数学的厳密性？学位論文 honorable

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歴史ー数学的に 1905ｰ13年

R：気体定数，T：絶対温度，NA：アボガドロ数， Les Atomes (1913)

直径1μm程度の球形微粒子を浮かべたコロイド溶液で精緻な観測

Jean Perrin;1870-1942η：粘性率，a：粒子半径

(i) ストークスの法則を『小さい』ブラウン粒子に適用してよい(ii) 浸透圧の公式を『大きい』ブラウン粒子に適用してよい(iii) 平均二乗変位σ＾2∝t(iii) 平均二乗変位σ 2∝t，

粒子の変位のヒストグラムは正規分布のグラフに一致する(iv) Dを力学的拡散係数と同一視して良い(iv) Dを力学的拡散係数と同 視して良い(v) 種々の方法によるアボガドロ数の計測

⇒Einsteinのアボガドロ数の計測法が正しい

歴史ｰ数学的に 1923年

bNorbert Wiener;1894-19641923 Differential space, J. Math. Phys. 2

ブラウン運動の存在！連続性！連続性！

歴史ｰ数学的に 1931年

Andrey Kolmogorov;1903 1987Andrey Kolmogorov;1903-1987Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 104

拡散過程の構成⇔偏微分方程式拡散過程の構成⇔偏微分方程式

コルモゴロフの拡張定理ル フ 拡張定理

コルモゴロフの連続性定理

確率過程と偏微分方程式

Forward Eq (Fokker-Planck)Forward Eq (Fokker Planck)

Backward Eq

歴史ｰ数学的に 1940年

Paul Lévy;1886-1971Paul Lévy;1886 1971Le mouvement Brownien plan Amer Jour Math 62 (1940)Amer. Jour. Math., 62 (1940)

Haar関数Haar関数

(k+1)2-n+1k2-n+1

歴史ｰ数学的に 1968年

ô i iOn the convergence of sums of independent BanachItô-Nisio

g pspace valued random variablesOsaka Jour. Math. 5 (1968) 35–48

確率積分ｰ1942年

伊藤清；1915 2008伊藤清；1915-20081942年，『Markoff過程ヲ定メル

確率微分方程式』

ブラウン運動に基づくブラウン運動に基づく微積分学

確率積分 – 定義

伊藤積分の等長性

RHS<∞へ一般化

伊藤の公式 - 連鎖定理 - 確率微分方程式

ランダムな擾乱ランダムな擾乱

積分方程式積分方程式

Lipschitz連続 解の存在と一意性Lipschitz連続 解の存在と 意性(逐次近似）

確率微分方程式と偏微分方程式

Forward Eq

Feynman-Kacの公式

Ri h d F 1918 1988Richard Feynman; 1918-19881942年 Feynman経路積分

1947年春 Cornell Physics ColloqiumMark Kac; 1914-1984

大偏差原理

ε→0： 準古典近似に対応準 典近似 対 Shilderの定理

Donsker-Varadhanの定理

多様体上の確率微分方程式

多様体上のブラウン運動

M：Riemann多様体 O(M)： 直交枠束 M：Riemann多様体，O(M)： 直交枠束 ω： 接続形式，θ：soler形式 ξ に付随する水平ベクトル場 ξ に付随する水平ベクトル場

基本水平ベクトル場 O(M) 上の確率微分方程式

M上のブラウン運動；

多様体上のブラウン運動と熱方程式

熱方程式の解の解

微分形式に対する熱方程式の解

多様体への巻き付けと展開

水平持ち上げ 水平持ち上げ

確率平行移動 確率平行移動

巻き付け

展開 展開

マリアバン解析

H-微分 H 微分

ソボレフ空間

双対双対

Wiener空間上の超関数 – 熱核

非退化：

Watanabe’s pullback

熱半群→熱核 熱半群 熱核

色々と

熱核の短時間漸近挙動 熱核の短時間漸近挙動diagonal, off-diagonal

定理 Gauss-Bonnet-Chernの定理 跡公式 経路空間上の解析 ラフパス解析 ラフパス解析

Dynamical Asset Pricing Model

市場 市場

安全証券(国債 預金など) 安全証券(国債，預金など)

危険証券(株式など）(

裁定機会の有無 ヘッジ可能性 裁定機会の有無，ヘッジ可能性，金融派生商品の価格公式

金融工学と確率解析の邂逅

1900年 バシェリエ 1900年 バシェリエ 1950年以前 経済学者に認知されず 1950年代 再発見 サベージの手紙 1950年代 再発見 サベ ジの手紙

「誰かバシェリエという1914年に投資に関する小冊子を出版したフランス人を知っているか?」出版したフランス人を知っているか?」

1965年 P. Samuelson 1973年 F. Black & M. Sholes 1973年 R. Merton

BSモデル－オプションの価格公式

ヨーロピアンコールオプション満期時に危険証券を1単位

放棄利益 0満期時に危険証券を1単位

価格Kで買う権利

利益 0NO

ST>K満期

YESmax{ST-K,0}

行使利益

YES

利益 ST-K

B-Sの価格公式