アルゴリズムとデータ構造

2012年7月9日

酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp)

http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html

グラフの定義（２２５ページ） •  グラフは頂点の集合と辺の集合からなる。

•  グラフには有向グラフと無向グラフがある。 •  グラフに対する、教科書４章の仮定。

–  (ｖ, ｖ)の形の辺（ＮＤＡのε遷移みたいなの）はない。 – 頂点ｕからｖへ結ぶ辺は高々１つ。

•  辺の属性として数値を持つ場合、重みという。 •  いくつかの辺をつないでできる経路は道。

– 有向グラフでは辺はすべて同じ向きをたどる。 •  頂点からその頂点自身への道は閉路。 •  木はグラフの一種。

グラフの定義（つづき） •  木が複数集まったグラフは森という。

– 木と木がつながっていなくてもいい。 •  頂点につながる辺の数を次数という。

– 有向グラフでは、入次数・出次数と区別する。 •  正則グラフでは全頂点の次数が同じ。

– このときの次数をグラフの次数とする場合がある。 • ハイパーキューブなど

•  グラフ全体を組織的に調べることを探索という。 – ただし、単に頂点を訪問するだけ、かもしれない。

グラフアルゴリズムの計算量 •  頂点数をｎとしたときの最大の辺の数ｍは、

無向グラフでは 有向グラフでは

•  辺の数が最大のものを完全グラフという。 •  辺の数が０でもグラフである。 •  密なグラフか、疎なグラフか。

– 次数がある程度以下なら疎と考える。 •  「ある程度」とは、問題に依存する。 •  ＣＣＣ（Ｃｕｄｅ　Ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　Ｃｙｃｌｅ）なら次数は３。疎？

•  人工的なネットワークか、自然なネットワークか。

2/)1(2 −×== nnCm n

)1( −×= nnm

グラフの表現法（２３０ページ） •  隣接行列

– 頂点から頂点への接続の有無や辺の重みを持つ – 密なグラフにはいい

•  配列やＬｉｓｔやＳｅｔやＭａｐによる表現 – 正則グラフなら配列 – 二分探索木のような順序木のグラフならＬｉｓｔ – 無向グラフならＬｉｓｔでもＳｅｔでもＭａｐでもいい

• ＭａｐならＫｅｙを接続先の頂点、Ｖａｌｕｅを重みにするなど

•  計算で求める – 配列上のヒープソートの、部分順序つき二分木 – スパコン内部ネットワークなど

0000

0110

1101

1110 1111

1011

0111

0101

0011

0100

0010

0001

1100

1010

1001 1000

4-dimentional binary hyper cube

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

図４.３.２ ａ

図４.３.２ ｂ

図４.３.３

１

２

３

４

５

６

７

１

２

３

４

５

６

７

深さ優先探索 （２３４ページ）

• 木の辺（実線で表示） • 逆辺（点線で表示） • 連結グラフなら木が得られ、 　そうでなければ森が得られる

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public class Node<E> { private E value; // 頂点の値 private Collection<Node<E>> edges; //　有向辺 private boolean visited; private int sequence; private boolean searching; public Node(E value, Collection<Node<E>> edges) { this.value = value; this.edges = edges; reset(); } public void reset(){ this.visited = false; this.sequence = 0; this.edges.clear(); this.searching = false; } public E getValue() { // 頂点の値を得る。 return value; } public Collection<Node<E>> getEdges(){ return this.edges; }

グラフの頂点を表すクラス （4.3と4.4で使う）

public boolean isVisited() { return visited; } public void setVisited(boolean v) { this.visited = v; } public int getSequence() { return sequence; } public void setSequence(int s) { this.sequence = s; } public boolean isSearching() { return searching; } public void setSearching(boolean s) { this.searching = s; } public void connect(Node<E> to){ this.edges.add(to); //無向辺を追加 if( !to.getEdges().contains(this) ){ to.getEdges().add(this); } } public void connectTo(Node<E> to){ this.edges.add(to); //有向辺を追加 } }

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private static Node<Character> nodeA = new Node<Character>('A', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeB = new Node<Character>('B', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeC = new Node<Character>('C', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeD = new Node<Character>('D', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeE = new Node<Character>('E', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeF = new Node<Character>('F', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Node<Character> nodeG = new Node<Character>('G', new LinkedList<Node<Character>>()); private static Collection<Node<Character>> test_data = new LinkedList<Node<Character>>(); static { test_data.add(nodeA); test_data.add(nodeB); test_data.add(nodeC); test_data.add(nodeD); test_data.add(nodeE); test_data.add(nodeF); test_data.add(nodeG); }

public class DepthFirstSearch { private static <E> void visit(Node<E> node){ node.setVisited(true); System.out.print(node.getValue()); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ if(neighbor.isVisited()) continue; // 訪問済み System.out.print(" -> "); visit(neighbor); } } public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()) continue; // 訪問済み System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); System.out.println(); } } } 深さ優先探索のプログラム

テストデータのうち、 グラフの頂点とその集合

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public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.2"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeE); nodeC.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); }

public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.3"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeF); nodeC.connect(nodeE); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); }

public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.4"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connectTo(nodeC); nodeA.connectTo(nodeD); nodeA.connectTo(nodeE); nodeC.connectTo(nodeB); nodeB.connectTo(nodeA); nodeD.connectTo(nodeC); nodeD.connectTo(nodeE); nodeF.connectTo(nodeA); nodeF.connectTo(nodeG); search(test_data); }

図4.3.3 Aから探索します。 A -> C -> F -> D -> B -> E -> G

図4.3.2 Aから探索します。 A -> C -> E -> G -> F -> D -> B 図4.3.4

Aから探索します。 A -> C -> B -> D -> E Fから探索します。 F -> G

図４.３.４ ａ

２

３

１

４

５

６

７

図４.３.４ ｂ

Ｂ

Ｃ Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

Ａ

Ｂ

Ｃ Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

Ａ 連結グラフとは、グラフ全体が つながっていること。無向グラフ では、深さ優先探索で全ての 頂点をたどる事ができれば連結 グラフである。 しかし、有向グラフでは必ずしも そうとはならない。

上昇辺

交差辺

交差辺

下降辺

• 上昇辺 　子孫から祖先へ向かう辺 　無向グラフでは逆辺 • 下降辺 　祖先から子孫へ向かう辺 　無向グラフでは逆辺 • 交差辺 　上昇辺でも下降辺でもない辺

public class DirectedDepthFirstSearch<E> { private int sequence; private void visit(Node<E> node){ node.setVisited(true); node.setSequence(++this.sequence); node.setSearching(true); System.out.print(node.getValue()); for(Node<E> neighbor: node.getEdges()){ if(neighbor.getSequence() == 0){ System.out.print(" -> "); visit(neighbor); // 木の辺 } else if (neighbor.getSequence() > node.getSequence()) { System.out.print(" 下降辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else if (neighbor.isSearching()){ System.out.print(" 上昇辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } else { System.out.print(" 交差辺(" + node.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); }} node.setSearching(false); } public void search(Collection<Node<E>> graph){ this.sequence = 0; for(Node<E> node: graph){ if(node.getSequence() == 0){ System.out.println(node.getValue() + "から探索します。"); visit(node); System.out.println(); }}}}

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有向グラフの深さ優先探索 （２４０ページ）

public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.4"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connectTo(nodeC); nodeA.connectTo(nodeD); nodeA.connectTo(nodeE); nodeC.connectTo(nodeB); nodeB.connectTo(nodeA); nodeD.connectTo(nodeC); nodeD.connectTo(nodeE); nodeF.connectTo(nodeA); nodeF.connectTo(nodeG); new DirectedDepthFirstSearch<Character>().search(test_data); }

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図4.3.4 Aから探索します。 A -> C -> B 上昇辺(B, A) -> D 交差辺(D, C) -> E 下降辺(A, E) Fから探索します。 F 交差辺(F, A) -> G

トポロジカルソート （２４２ページ）

図4.3.6 ＤＡＧ （Ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ａｃｙｃｌｉｃ Ｇｒａｐｈ）

• Ｔｏｐｏｌｏｇｙ　は「位相」のこと。トポロジカルソートのときはこちら。 • Ｐｈａｓｅ　も「位相」と訳せます。ベクタの位相はこちら。

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡02

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡20

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡05

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡43

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡50

⎥⎦

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⎡00

⎥⎦

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⎡02

⎥⎦

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⎡20

⎥⎦

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⎡05

⎥⎦

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⎡43

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡50

たとえば、ベクターがあったとします。

大きさ０

大きさ２

大きさ5

大きさを比較することは できますが、大きさが同じ だからといって同じベクター であるとは限りませんよね？

　　　全要素間で順序がつけられる　→　全順序関係 一部の要素間に順序がつけられる　→　半順序関係 同じだけど同じじゃない、というのは順序がつけられて ません。そういうデータは、ＤＡＧで保持することができる。

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ 図４.３.２ ａ

図４.３.７

１

２

３

４

５ ６

７

幅優先探索 （２４４ページ）

Ａ Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｄ

Ｆ

Ｇ

public class BreadthFirstSearch { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<Node<E>>(); // FIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } queue.add(node); // enqueue node.setVisited(true); while( !queue.isEmpty() ){ Node<E> next = queue.remove(); // dequeue System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } queue.add(neighbor); // enqueue neighbor.setVisited(true); System.out.print(" 辺(" + next.getValue() + ", " + neighbor.getValue() + ")"); } System.out.print(" -> "); } System.out.println(); } } }

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public static void main(String[] args) { System.out.println("図4.3.7"); for(Node<Character> node: test_data){ node.reset(); } nodeA.connect(nodeC); nodeA.connect(nodeD); nodeA.connect(nodeB); nodeC.connect(nodeE); nodeC.connect(nodeF); nodeD.connect(nodeB); nodeD.connect(nodeF); nodeE.connect(nodeG); nodeE.connect(nodeF); search(test_data); }

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図4.3.7 頂点A 辺(A, C) 辺(A, D) 辺(A, B) -> 頂点C 辺(C, E) 辺(C, F) -> 頂点D -> 頂点B -> 頂点E 辺(E, G) -> 頂点F -> 頂点G ->

public class DepthFirstSearchStack { public static <E> void search(Collection<Node<E>> graph){ Stack<Node<E>> stack = new Stack<Node<E>>(); // LIFO for(Node<E> node: graph){ if(node.isVisited()){ continue; // 訪問済み } stack.push(node); // push node.setVisited(true); while( !stack.empty() ){ Node<E> next = stack.pop(); // pop System.out.print("頂点" + next.getValue()); for(Node<E> neighbor: next.getEdges()){ if( neighbor.isVisited() ){ continue; } stack.add(neighbor); // push neighbor.setVisited(true); } System.out.print(" -> "); } System.out.println(); } } } 18

ＢｒｅａｄｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈのＦＩＦＯ（リスト）を ＬＩＦＯ（スタック）に変えたもの。

この変更により、幅優先探索だったプログラムが 深さ優先探索プログラムになる。

（２４７ページ）