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オートマトンと言語　12回目 6月25日 NFA DFA→

教科書107ページから112ページ

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本の紹介

書籍名「あなたはコンピュータを理解していますか？」

副題：10年後，20年後まで必ず役立つ根っこの部分がきっちりわかる！

著者：梅津信幸

出版社：ソフトバンククリエイティブ

手軽に読めます．

新たな発見があるかも

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授業の予定 01回目　4月09日　数学的準備，帰納的表現 02回目　4月16日　形式言語，BNF記法 03回目　4月23日　BNF記法 04回目　4月30日　離散グラフ 05回目　5月07日　連結グラフ 06回目　5月14日　木グラフ 07回目　5月21日　有限オートマトン1 08回目　5月28日　有限オートマトン2 09回目　6月04日　有限オートマトン3，中間試験 10回目　6月11日　正規表現 11回目　6月18日　正規表現，非決定性有限オートマトン 12回目　6月25日　正規表現→DFA 13回目　7月02日　有限オートマトンの最小化 14回目　7月09日　 PDA，チューリング機械，文脈自由文法 15回目　7月16日　期末試験

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今日のメニュー

非決定性有限オートマトン→決定性有限オートマトン（NFA DFA→ ）

ε動作を含むNFA ε→ 動作を含まないNFA 正規表現→ ε動作を含むNFA

5

4.4.2 非決定性FAの決定性FAへの変換(p.107)

あるDFAで受理できる言語を受理するNFAは簡単に構成できる（DFA NFA→ は簡単）

NFA DFA→ は可能か？ 可能（変換方法は後で説明）

εq0

0

1 1

q1ε

q00

1 1

q1

1

q20

DFA NFA

6

例題4.33　例題4.30のNFAの受理する言語を受理するDFAを構成せよ(NFA DFA)→

{q1}{q0}q2

{q2}{q0}q1

{q0}{q1,q2}q0

10δN

[q1,q2][q0][q1,q2]

[q0][q1,q2][q0]

10δDq0

q1

q2

1

11

0

0

0

0

ε

S1S0S1

S0S1S0

10δD

DFA化

状態ラベルの付換え [q1,q2][q0]ε

11

0

0

[ ]: 状態集合ラベル

S1S0ε

1 1

0

0

7

例題4.35　（例題4.29）

S0 S1

0,1

0

1

{S0}φS1

{S1}{S0,S1}S0

10δ

ε

NFA DFA→

8

例題4.35　（例題4.29）の答え

[s0]----[s1][s0,s1][s0,s1][s0,s1][s1][s0,s1][s0]10δDFA

{S0}φS1

{S1}{S0,S1}S0

10δNFA

S0 S1

0,1

0

1

[s1][s0]

[s0,s1]0

1

0/11

ε

ε

初期状態からの

遷移を調べる

各遷移先からの

遷移を調べる

新しい遷移先が

無ければ終了

重要！

初期状態 初期状態

9

練習問題1　例題4.36　a, f

S0

S3

εS1

S2

1

11

10

0

0,1

q0 q1

0 1

ε0,1

1

a f

10

練習問題1　例題4.36　aの答え

[s0,s1,s2,s3][s0,s2][s0,s1,s2,s3][s0,s1,s2,s3][s2][s0,s2][s2][s0][s1,s3][s0,s2][s2][s2][s1,s3][s2][s0]10δDFAa

φφS3{S0,S2}{S2}S2{S2}{S0}S1{S1,S3}{S2}S010δNFAa

S0

S3

εS1

S2

1

11

10

0

0,1

a 初期状態

初期状態

11

練習問題1例題4.36　aの答え

[s0,s1,s2,s3][s0,s2][s0,s1,s2,s3][s0,s1,s2,s3][s2][s0,s2][s2][s0][s1,s3][s0,s2][s2][s2][s1,s3][s2][s0]10δDFAa

[s0]

[s1,s3]

[s0,s1,s2,s3]

[s2]

[s0,s2]

01

1

0

10

1

01

0

ε

12

練習問題1　例題4.36　 fの答え

[q0,q1][q0,q1][q0,q1][q0,q1]-----[q1][q1][q0,q1][q0]10δDFAf

{q0,q1}φq1{q1}{q0,q1}q010δNFAf

q0 q1

0 1

ε0,1

1

13

練習問題1例題4.36　fの答え

[q0,q1][q0,q1][q0,q1][q0,q1]-----[q1][q1][q0,q1][q0]10δDFAf

[q0] [q1]

[q0,q1]

0

1

1

0,1

ε

14

4.4.3 ε- 動作を含むNFA

空語入力による遷移　　→　ε-遷移

ε-NFAの状態遷移関数の定義 δ：Q×（Σ＋{ε}）→P(Q)

q0 q1

1

ε

ε

φφq1

{q1}{q0}q0

ε1δ

15

練習問題2　例題4.37

S3

0 1

S1 S2εε ε

0

W1: 0011W2: 01001

16

練習問題2　例題4.37 w1 答え

w1 = 0011

受理

0 0 11

S1

S2

S1

S3

S1

S3 S3

S2 S2 S2

S3S3

×

S2

×w1:受理される

S3

0 1

S1 S2εε ε

0

{S3}φ{S1}0

{S3}{S2}S2φφS3

{S2}φS1ε1δ

17

練習問題2　例題4.37　w2 答え

w2 = 01001 0 1 00

S1

S3

S1

S3 S3

S2 S2

S3S3

S2

×

1

×w2:受理されない

S3

0 1

S1 S2εε ε

0{S3}φ{S1}0

{S3}{S2}S2φφS3

{S2}φS1ε1δ

18

例題4.38ε-動作の除去

------{S3}S3

{S3}{S2}---S2

{S2}---{S1}S1

ε10δε-NFA

S3

0 1

S1 S2ε ε ε

0

---{S3}S3

{S2,S3}{S3}S2

{S2,S3}{S1,S2,S3}S1

10δNFA

S1

S2

S3

0

0,1

0,1 0,1

0

1

ε

19

練習問題3　例題4.40　a

q0 q1

0

1

ε

ε

{q0}{q1}--q1

----{q1}q0

ε10δε-NFA

20

練習問題3　例題4.40　a　答え

0

q0 q1

0

0,1

0,1

ε

{q0,q1}{q0,q1}q1

--{q0,q1}q0

10δNFA

{q0}{q1}--q1

----{q1}q0

ε10δε-NFA

q0 q1

0

1

ε

ε

21

例題4.41 (p.112) ε-NFA DFA→

S3

0 1

S1 S2ε ε ε

0

------{S3}S3

{S3}{S2}---S2

{S2}---{S1}S1

ε10δε-NFA

22

例題4.41 1/2

[S2,S3][S3][S2,S3]

---[S3][S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1,S2,S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1]

10δDFA

0 1

S1 S2ε ε ε

0

------{S3}S3

{S3}{S2}---S2

{S2}---{S1}S1

ε10δε-NFA

---{S3}S3

{S2,S3}{S3}S2

{S2,S3}{S1,S2,S3}S1

10δNFA

S3

例題4.38

ε-NFA　→　NFA　→　DFA

23

例題4.41 2/2

[S2,S3][S3][S2,S3]

---[S3][S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1,S2,S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1]

10δDFA 0 1

S1 S2ε ε ε

0

S3

ε-NFA　→　NFA　→　DFA

[S2,S3][S3][S2,S3]

---[S3][S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1,S2,S3]

[S2,S3][S1,S2,S3][S1]

10δDFA

ε(S1)

ε(S2)

ε(S3)

S1のε-閉包

初期状態をε(S1)と考えると

[S1,S2,S3] [S2,S3] [S3]

0

1

1

0

0

24

4.4.4 正規表現で表された言語を受理するε-NFA

(1) 正規言語の閉包性 正規言語：FAの受理する言語，あるいは正規表現

の表す言語のクラス 正規言語は言語の和，連接，クリーネ閉包(Σ*)につ

いて閉じている 正規言語は和，積，補の集合演算についても閉じて

いる

閉じている：教科書8ページ

クリーネ閉包：教科書33ページ

連接：教科書34ページ

25

(2)正規表現からε-NFAへの変換

113ページ

正規表現 ε-NFA NFA DFA

P.114 P.108P.110

重要！

正規表現から直接DFAへの変換は難しい→　まずε-NFAに変換する．

26

例題4.45 c :0*1正規表現　→　ε-NFAの状態遷移図

0

1ε

0*1

27

例題4.45 h :0*+1*正規表現　→　ε-NFAの状態遷移図

0

1ε

εε

0*+1*

28

練習問題4　例題4.47　a

1*(0*1)* 正規表現　→　ε-NFAの状態遷移図

29

練習問題4　例題4.47　a　答え

1

1

ε

0

εε

1*(0*1)* 正規表現　→　ε-NFAの状態遷移図