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ブラックホール・アクシオン系の
シミュレーション
吉野裕高
CG研夏の合宿＠名古屋市民おんたけ休暇村 (2011年9月1日)
with 小玉英雄(KEK)
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
アクシオン
QCDアクシオン
ストリングアクシオン
QCD での Strong CP problem を解決するために提案されたダークマターのひとつの候補と言われている
!2!" µ2! =0
有質量スカラー場のブラックホールまわりでのダイナミクスは多くの議論がある
(例) 小山さん、冨松さんの asymptotic tail の解析的研究(例) 古橋くん、南部さんの superradiant instability の数値解析
有質量スカラー場の候補？
ストリングアクシオン
CMB Polarization
10-33 4 ! 10-28
Axion Mass in eV
108
Inflated Away
Decays
3 ! 10-10
QCD axion2 ! 10-20
3 ! 10-18
Anthropically ConstrainedMatter
Power SpectrumBlack Hole Super-radiance
Arvanitaki, Dimopoulos, Dubvosky, Kaloper, March-Russel, PRD81 (2010), 123530.
超弦理論によれば, 10-100 の axion-like な質量スカラー場が存在するかもしれない。
様々な期待される物理現象がある。
Kerr BH まわりにアクシオンがあると…
Zouros and Eardley, Ann. Phys. 118 (1979), 139.
Detweiler, PRD22 (1980), 2323.
束縛状態をつくり、superradiant 不安定を引き起こす
Accretion
Rotating Black Hole
Super-Radiant Modes
Decaying Modes
Gravitons
BH-アクシオン系
Superradiant instability重力波放射アクシオン対消滅
非線形の自己相互作用の効果Bosenova準位間混合
Arvanitaki and Dubovsky, PRD83 (2011), 044026.
非線形項QCD アクシオン
ストリングアクシオンでも同じ
V (!) :周期的 !" = 2!va/N = 2!fa
U(1)PQ symmetry → Z(N) discrete symmetrybreak
V = f2aµ2[1! cos(!/fa)]
!a!a!" µ2fa sin!
!fa
"= 0
! ! !fa
!a!a!" µ2 sin! = 0
Accretion
Rotating Black Hole
Super-Radiant Modes
Decaying Modes
Gravitons
BH-アクシオン系
Superradiant instability重力波放射アクシオン対消滅
非線形の自己相互作用の効果Bosenova準位間混合
Arvanitaki and Dubovsky, PRD83 (2011), 044026.
物性における Bosenovahttp://spot.colorado.edu/~cwieman/Bosenova.html
Rb85 のBEC状態（相互作用をコントロールできる）相互作用を斥力⇒引力
Wieman et al., Nature 412 (2001), 295
やりたいこと
ブラックホールまわりで Superradiant 不安定性によって増幅したアクシオンのおこす現象を調べたい。
特に、非線形の自己相互作用が重要になってきたときにBosenova がおこるかを数値的に見たい。
BHまわりの有質量場の不安定性（線形の場合のレビュー）数値計算（線形の場合）
今日のトーク
数値計算（非線形の場合）
背景時空を Kerr BH, アクシオンをテスト場として解く。
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
Kerr BH まわりの有質量スカラー場メトリック
ds2 = !!
!! a2 sin2 !
"
"dt2 ! 2a sin2 !(r2 + a2 !!)
"dtd"
+!(r2 + a2)2 !!a2 sin2 !
"
"sin2 !d"2 +
"!
dr2 + "d!2
! = r2 + a2 cos2 !,! = r2 + a2 ! 2Mr.
有質量スカラー場
L = !"!g
!12gab#a!#b! + U(!)
",
!2!" U !(!) = 0
ラグランジアン密度
Klein-Gordon 方程式
U(!) =12µ2f2
a sin2(!/fa)
! 12µ2!2
Kerr BH まわりの有質量スカラー場
変数分離 ! = e!i!tR(r)S(!)eim"
1sin !
d
d!sin !
dS
d!+
!!k2a2 cos2 ! ! m2
sin2 !+ Elm
"S = 0
d
dr!
dR
dr+
!K2
!! !lm ! µ2r2
"R = 0
K = (r2 + a2)! ! am
k2 = µ2 ! !2
!lm = Elm + a2"2 ! 2am"
(tortoise 座標) :
Kerr BH まわりの有質量スカラー場d
dr!
dR
dr+
!K2
!! !lm ! µ2r2
"R = 0
遠方
地平面近傍 R ! e±i!!r!
outgoing
ingoing
r! dr! =r2 + a2
!dr
!! = ! ! !Hm
エネルギーフラックス Pµ = !Tµ!!!
!Pr! = "r!!"t! # (! ! "Hm)!
ならば負のエネルギーが地平面に落ちる! < !Hm superradiance
R ! r!1±µ2!2!2k exp(±kr) k =
!µ2 ! !2
束縛状態について
マッチング法
WKB法
数値解析
Zouros and Eardley, Ann. Phys. 118 (1979), 139.
Dolan, PRD76 (2007), 084001.
Detweiler, PRD22 (1980), 2323. Mµ !M! " 1
Mµ! 1
Ergo-region Barrierregion
Potential Well
Exponentialgrowth region
Po
ten
tia
l
r*! Black Hole Horizon
“Mirror” at r~1/µ
束縛状態Zouros and Eardley, Ann. Phys. 118 (1979), 139.
r!1 r!2 r!3
!2
R =u!
r2 + a2
d2u
dr2!
+!!2 ! V (!)
"u = 0
V (!) =!µ2
r2 + a2+
4Mam!r ! a2m2 + !!Elm + (!2 ! µ2)a2
"
(r2 + a2)2+
!(r2 + a2)3
#3r2 ! 4Mr + a2 ! 3!r2
r2 + a2
$
数値解析Dolan, PRD76 (2007), 084001.
1e-11
1e-10
1e-09
1e-08
1e-07
1e-06
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Im(!
/ !
)
M !
l = 1, m = 1
l = 2, m = 2
l = 3, m = 3
a = 0.999a = 0.99a = 0.95
a = 0.9a = 0.8a = 0.7
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
例として
Boyer-Lindquist 座標での束縛状態の振る舞い
r!
!
! = Re[e!i!tR(r)S(!)eim"]! Re[e!i!R{t+(!̃/!R)r!}S(!)eim"]
t/M = 0 ! 100
l = m = 1 Mµ = 0.4
Boyer-Lindquist 座標では数値計算できない
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
!
r*
ZAMOs
ua = ! "at!!"bt"bt
L = ua!a = 0
! =d!
dt=
u!
ut= ! gt!
g!!
=2Mar
(r2 + a2)2 !!a2 sin2 !
ZAMO 座標系
!6 !4 !2 0 2 4 6
!6
!4
!2
0
2
4
6
r Cos!""
rSin!""
t#0
!6 !4 !2 0 2 4 6
!6
!4
!2
0
2
4
6
r Cos!""
rSin!""
t#2
!6 !4 !2 0 2 4 6
!6
!4
!2
0
2
4
6
r Cos!""rSin!""
t#5
t̃ = t,
!̃ = !! !(r, ")t,r̃ = r,
!̃ = !,
ZAMO 座標系
!6 !4 !2 0 2 4 6
!6
!4
!2
0
2
4
6
r Cos!""
rSin!""
t#10
!6 !4 !2 0 2 4 6
!6
!4
!2
0
2
4
6
r Cos!""
rSin!""
t#50
t̃ = t,
!̃ = !! !(r, ")t,r̃ = r,
!̃ = !,
ZAMO 座標系での準解析解
r!
!
!̃ = Re[e!i(!!!)t̃R(r̃)S(!̃)eim"̃],! Re[e!i!̃(t̃+r̃!)S(!̃)eim"̃]
t/M = 0 ! 100
ZAMO 座標での３Dコード
空間差分：６次精度
時間方向：４次の Runge-Kutta
Courant 数： C =!t
!r!=
120
Thanks to 祖谷元
地平面では pure ingoing, 外側は固定端
ZAMO 座標系での数値計算結果
r!
!
t/M = 0 ! 50
ZAMO 座標系での数値計算結果
r!
!
t/M = 0 ! 50
ZAMO 座標系の「引き戻し」
t(n) = t,!(n) = !! !(r, ")(t! nTP ),r(n) = r,!(n) = !.
nTP ! t ! (n + 1)TP :
地平面では pure ingoing, 外側は固定端
「引き戻し」を利用した３Dコード
空間差分：６次精度
時間方向：４次の Runge-Kutta
Courant 数：
引き戻し: 7次精度の Lagrange 補間
C =!t
!r!=
120
Thanks to 祖谷元
「引き戻し」での結果数値解と準解析解の比較
r!
!
t/M = 0 ! 100
「引き戻し」での結果数値解と準解析解の比較
r!
!
t/M = 0 ! 100
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
非線形項を入れる
Klein-Gordon 方程式
!a!a!" µ2! = 0
Sine-Gordon 方程式
!a!a!" µ2 sin! = 0
“Bosenova”の定性的議論Arvanitaki and Dubovsky, PRD83 (2011), 044026.
非相対論的近似
S =!
d4x
"i!!!t" !
12µ
!i"!i" ! µVN"!" +1
16f2a
("!")2#
V (r) ! Nl(l + 1) + 1
2µr2" NMµ
r" N2
32!f2ar3
有効ポテンシャル
作用
U(!) =12µ2f2
a sin2(!/fa)
S =!
d4x!"g
"12gab#a!#b! + U(!)
#
! =1!2µ
!e!iµt! + eiµt!"
"
Question
とりあえず激しい現象が起こるか？
どの程度の振幅で起こるか？
本当に爆発するか？
他のモードにどのように移行するか？
放出される重力波は？
Question
とりあえず激しい現象が起こるか？
どの程度の振幅で起こるか？
本当に爆発するか？
他のモードにどのように移行するか？
放出される重力波は？
とりあえず激しい現象がおこるか？
r!
! !
r!!
!max = 1.0
とりあえず激しい現象がおこるか？
r!
! !
r!!
!max = 1.0
Question
とりあえず激しい現象が起こるか？
どの程度の振幅で起こるか？
本当に爆発するか？
他のモードにどのように移行するか？
放出される重力波は？
Yes.
どの程度振幅が大きくなったら起こるか？
r!
! !
r!
!max = 0.6 !max = 0.7
どの程度振幅が大きくなったら起こるか？
r!
! !
r!
!max = 0.6 !max = 0.7
Question
とりあえず激しい現象が起こるか？
どの程度の振幅で起こるか？
本当に爆発するか？
他のモードにどのように移行するか？
放出される重力波は？
Yes.
0.6 ! !max ! 0.7
本当に「爆発」してるのか？
!
r!
!max = 0.7
dE
dr!
r!
!200 " r! " 600
200 ! r! ! 700
Question
とりあえず激しい現象が起こるか？
どの程度の振幅で起こるか？
本当に爆発するか？
他のモードにどのように移行するか？
放出される重力波は？
Yes.
0.6 ! !max ! 0.7
Yes.
目次
導入
数値計算（線形の場合）
数値計算（非線形の場合）
BH まわりの有質量場の不安定性
まとめと今後の課題
まとめ
ブラックホールまわりのアクシオン場の振る舞いを数値的に調べた。線形の場合の結果を十分に再現できるコードを開発した。
非線形の場合に、自己相互作用によって Bosenova がおこることを確かめた。
Bosenova の詳細をつめる
放出される重力波の計算
今後の課題
磁場とカップルする場合？
