量子ブラックホールのホログラム的記述の数値的検証

花田政範（京大基研）、百武慶文（茨城大理）、伊敷吾郎（京大基研）、西村淳（ KEK 理論センター）

西村　淳　（ KEK 理論センター、総研大）平成 26 年 5 月 21 日（水）、日大理工学部セミナー

論文題名：“ Holographic description of a quantum black hole on a computer”　　　Science 　オンライン版　 4 月 17 日号掲載　　 arXiv:1311.5607 [hep-th]

ブラックホールの謎ブラックホール　：　アインシュタイン方程式の解として現れる時空構造

「事象の地平面」を超えて中に落ち込むと、二度と出てこられない　（？）

ホーキング放射　 (1974) ：　ブラックホールは、少しずつ粒子を放出しながら　　　　　　　　　　　　　　　　　少しずつ蒸発している！

（事象の地平面周辺における真空の量子論的性質のため）

ところが、放出される粒子を見ても、何が落ち込んだかはわからない。

情報喪失のパラドックス　（ホーキング , 1976 年）

量子力学における時間発展がユニタリであることと矛盾する ?!

Wikipedia より引用「ブラックホール情報パラドックス」

特に、ホーキングの計算 [3]は、ホーキング放射によるブラックホールの蒸発が情報を保存しないことを示した。今日では、多くの物理学者が、ホログラフィック理論( 特にAdS/CFT対応) がホーキングの誤りを示し、情報は実際は保存されると信じている [4]。2004 年、ホーキング自身も賭けに負けたことを認め、ブラックホールの蒸発は、実際は情報を保存していることに同意している。

ホログラフィック理論　：　ブラックホールのホログラム的記述超対称ゲージ理論重力理論

（ユニタリ性が明白）

（ 1997 　マルダセナ）

これまでの検証　：　ブラックホールが十分大きく、古典的に記述できる状況　

ホログラフィック理論の検証

ブラックホールのように曲がった時空で起こる力学現象を、平坦な時空上の超対称ゲージ理論で厳密に記述できる

ホログラフィック理論　（ゲージ / 重力対応）

我々が行った検証　：　ブラックホールが小さく、事象の地平面付近でも　　　　　　　　　　　　　　 重力の量子力学的効果が無視できない状況　

少なくとも、事象の地平面の外側では一般相対性理論が適用可能

目次1. 研究の背景と概要

2. 研究内容と成果

3. 　まとめと展望

ブラックホールの蒸発新理論の必要性マルダセナによるブラックホールの「ホログラム的記述」これまでの研究、本研究で初めてなされたこと

マルダセナの理論に基づき、ブラックホールの質量と温度の関係を計算

重力の量子力学的効果を含めた、新しい検証

ブラックホールの蒸発に関する謎の解明に向けて

１． 研究の背景と概要

ブラックホールとは？

事象の地平面

事象の地平面を越えたら、光速でも脱出できない。

大きな質量を持った物体が、非常に小さな領域に押し込められたときに形成される時空構造

一般相対性理論　（アインシュタインが 1915～ 16 年に提唱した重力理論）重力の起源は時空の曲がり具合に由来する

ニュートンの万有引力の法則は近似的にしか正しくない！

ブラックホールの蒸発何もないように見える「真空」も、微視的に見ると実はすごくダイナミック。

ホーキング (1974)

あたかもブラックホールの中に温度を持った物体があるように見える？

この「ブラックホールの温度」の正体は何か？ブラックホールの中で一体何が起こっているのか？

粒子反粒子

ブラックホールは、いろんなエネルギーを持った粒子を放出し、少しずつ蒸発している！

真空 粒子

反粒子

• ブラックホールの中心　：　時空の曲率（曲がり方）が発散！

そのような状況で適用可能な重力理論が必要！

新理論の必要性

一般相対性理論の限界

曲率半径がプランク長程度になると、重力の量子力学的効果が無視できなくなる

重力の量子力学的効果　（量子重力効果）そもそも量子力学とは？

20世紀初頭に確立したミクロの力学法則。 すべての物理量は不確定性を持つ。 測定したときに、どういう値がどういう確率で得られる、

というような確率的な予言しかできない。 巨視的な現象においては、不確定性が十分小さく、　　ニュートン以来の古典力学が良い近似を与える。 しかし、微視的な現象においては、不確定性が無視できず、それを考慮しないと、正しい予言ができない。

アインシュタインの一般相対性理論　＝　重力の古典力学

曲率半径がプランク長　　　　　　　　程度になると、重力の量子力学的効果が無視できなくなる　　　　時空そのものが不確定性を持って揺らいでいるような状況

光子など

弦の振動の仕方で様々な粒子を表す理論

グラビトン

重力を含めて、力を微視的に（量子力学的に）扱える

超弦理論

一般相対性理論では無視されている「重力の量子力学的効果」を扱える理論の最有力候補

力を媒介する粒子

ブラックホールの中心付近も正しく扱えると期待！

（ゲージ粒子）

（重力子）

95 年頃　「弦の凝縮状態」（ブレーン）の解明

点状 ひも状 膜状membrane

・・・一般次元の「膜」　　　　総称してブレーン　　

超弦理論の研究の進展 80 年代　量子力学的効果が弱い場合の研究

ブレーンは質量を持つため、時空を曲げてブラックホールを形成。（一般には「ブラック・ブレーン」）

様々な成果が得られたが、このような研究手法だけではブラックホールの中心付近が調べられない。

ポルチンスキー(1995)

？

マルダセナの理論

マルダセナ　 (1997)

弦ブレーン

マルダセナの理論

これらの力学的自由度をもちいることにより、ブラックホールが厳密に記述できるはず！

弦とブレーンから成る系は、平坦な時空上の理論で表される

ブラックホールの「ホログラム的記述」

マルダセナ　 (1997)

大きなブラックホールに対応し、事象の地平面付近の曲率が小さいため、そこでの量子重力効果が無視できる。

これまでの研究ブレーン（ブラックホールの構成要素）の数が非常に多い場合

弦ブレーン

平坦な時空の理論を用いた計算　　　（解析的に可能）

ブラックホールの性質を周辺から調べられる

両者が一致！

マルダセナの予想どおり、ホログラム的な記述がブラックホールの内部を正しく表している！

小さなブラックホールに対応し、事象の地平面付近の曲率が大きいため、そこでの量子重力効果が無視できない。

未解決問題ブレーン（ブラックホールの構成要素）の数が少ない場合

弦ブレーン

平坦な時空の理論を用いた計算　　　（解析的には困難）

ブラックホールの性質を周辺から調べるにも、超弦理論を用いた計算が必要

？

このような一般的な状況で、マルダセナの予想どおり、ホログラム的な記述がブラックホールの内部を厳密に表しているかは不明だった。

本研究で行ったマルダセナの理論の数値的検証

平坦な時空上の理論　（ホログラム的記述）に基づいてコンピュータで計算

ブラックホールの質量と温度の関係

従来の超弦理論を用いて、ブラックホール周辺の量子重力効果を近似的に計算

特に、ブラックホール周辺の量子重力効果が無視できない領域でどうなるか？

比較することで検証

ブラックホールの構成要素（ブレーン）の数が少ない場合

(Y. Hyakutake, Prog.Theor.Exp.Phys. 033B04, 2014)

ブラ

ック

ホー

ルの

質量

温度

計算の結果：ブラックホールの質量と温度の関係

Ｎ：構成要素（ブレーン）の数

□、○、♢のシンボル ：「ホログラム的記述」を用いて計算した結果（本研究）一点鎖線、破線、実線 ：従来の超弦理論に基づき、ブラックホール周辺の　　　　　　　　　　　　　　　　量子重力効果を計算した結果（別の研究）

先行研究では、Ｎが大きくブラックホール周辺の量子重力効果が無視できる状況で検証

両者が良く一致している 重力の量子力学的効果を含んだ検証

cf) N=17 の場合

Ｎ＝３ , ４ , ５の場合

Anagnostopoulos-Hanada-Nishimura-Takeuchi, PRL 100 (2008) 021601

２．研究内容と成果

マルダセナのホログラフィック理論とは

N

D ブレーン　　 　超弦理論における「ソリトン解」

ゲージ粒子の伝播

(Dirichlet)

グラビトンの放出

曲がった 10d 時空次元 U(N) SYM 低エネルギー極限

ストリングのループ補正

補正

D0- ブレーンの系 : 1d SYM with 16 SUSY

低温（ T 小） 強結合 重力による記述が良い領域 高温（ T 大） 弱結合　　　　　　　　 　高温展開で扱える領域

1d ゲージ理論

周期的境界条件反周期的境界条件

（一般性を失うことなく、こうとれる）

Kawahara-J.N.-Takeuchi (’07)

decoupling 極限　　　　　　　　をとった後、

重力理論による記述が有効である領域 :

D0- ブレーン解 ( 重力理論における記述 )

Hawking 温度　：

Bekenstein-Hawking エントロピー　 :

Klebanov-Tseytlin (’96)7.41

D0 ブレーン解

重力理論による記述が有効である領域　 :

ブラックホールの熱力学

内部エネルギーに対する結果

高温展開（ next-leading の次数を含む )

free energy

10 次元のブラックホールから得られた結果

Anagnostopoulos-Hanada- J.N.-Takeuchi,PRL 100 (’08) 021601 [arXiv:0707.4454]

ゼロ質量のモードに対する（ tree レベルの）散乱振幅タイプ IIA 超弦理論の低エネルギー有効作用

leading の項 : タイプ IIA 超重力理論の作用

2 点 および 3 点の振幅に対する具体的な計算

4 点の振幅

完全な表式はまだ得られていないが、次元解析を行うことができる。

超重力理論の作用に対する　　　補正

ブラックホールの熱力学に　　　　補正を取り入れるブラックホールの地平面付近における時空の曲率半径

より注意深い解析を行っても同じ結論が得られる。(Hanada-Hyakutake-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 191602)

　　　補正

次のオーダーの補正

とおくと、

有限のカットオフの効果

傾き = 4.6

補正

Hanada-Hyakutake-J.N.-Takeuchi, PRL 102 (’09) 191602 [arXiv:0811.3102]

　　補正を入れた比較

のデータ点はで良くフィットできる

超重力理論の作用に対するストリングのループ補正

1 ループ

2 ループ

負の比熱 !

N が小さく、非常に低温の領域

タイプ IIA 超弦理論からわかる

有限の N では準安定状態にすぎない(flat directions が存在するため )

Bern, Rozowsky, Yan

Bern, Dixon, Dunbar, Perelstein, Rozowsky

SYM の振幅に対する　Kawai-Lewellen-Tye 関係式を用いる

準安定な束縛状態の同定とエネルギーの測定

D0- ブレーンの広がり　：

ヒストグラムにピークあり

準安定な束縛状態の存在

　　　　　　に制限して測定したエネルギー

　　　に依らなくなっている領域でエネルギーを評価

1/N 補正

タイプ IIA の超弦理論を用いた具体的な計算による(Hyakutake, PTEP (2014) 033B04)

これを検証するには：

ストリングのループ補正

これに対する高次の補正は

ストリングのループ補正を検証する

モンテカルロの結果は、確かにストリングのループ補正と整合 !

Ishiki-Hanada-Hyakutake-J.N., arXiv:1311.5607 [hep-th]

３．まとめと展望

まとめブラックホール

一般相対性理論から導かれる曲がった時空構造の一ついったん入ると出てこられない。

ブラックホールの蒸発「温度」を持った物体のように、いろいろなエネルギーを持った粒子を放出し、少しずつ「蒸発」している ( ホーキング ) 。

ブラックホールの中で一体何が起こっているのか？ブラックホールの中心付近で、時空の曲がり具合が発散し一般相対性理論が破綻するため、新理論が必要。

ブラックホールの「ホログラム的記述」 ( マルダセナ )平坦な時空の理論を用いて、ブラックホール内部まで厳密に記述これまでの検証 ：　周辺の量子重力効果が無視できる場合が中心本研究の結果　：　周辺の量子重力効果を含めて正しいことを示唆

今後の展望従来の超弦理論に基づく計算

ブラックホール周辺における弱い量子重力効果は取り入れられるが、ブラックホール内部などにおける強い量子重力効果は計算できない

マルダセナの「ホログラム的記述」ブラックホールの内部も含め、強い量子重力効果を計算可能

ブラックホールの蒸発に関連した様々な謎の解明

（例）　ブラックホールにおける情報喪失問題ホーキング（ 1976 ）ブラックホールの蒸発過程で放出される粒子から、落ち込んだ物体が持っていた情報を読み取ることはできない

情報は失われない、とする量子力学の基本的性質と相容れない　　　　　量子力学と一般相対性理論の間の深刻なパラドックス

「ホログラム的記述」は、ブラックホールが時間的に変化していく状況にも適用可能と期待されるので有望

より広い視野から見たコメント本研究　：　多くの先行研究を受け継いだもの

　　　　　　　 その流れの中で得られた研究成果の一つ

マルダセナによるブラックホールの「ホログラム的記述」　　　超弦理論の新しい研究手法の一つとも見なせる

一般相対性理論を越えて、重力の量子力学的効果を扱える理論の最有力候補

今回の研究成果を一つの契機として、マルダセナの理論、超弦理論の研究がさらに進展し、重力の量子力学的効果が重要となる、宇宙の始まりや宇宙の成り立ちについて、新しい知見が得られることが期待される

本研究に使用した計算機　：　　　 KEK の PC クラスター　　大阪大学の PC クラスター　（ HPCI 一般利用課題により提供）

４．バックアップ・スライド

超弦理論とは？（補助スライド）強い力の閉じ込めを説明することを動機として、弦理論が提唱された。

クォーク反クォーク

この試みは失敗したものの、閉じた弦には重力が含まれるなど、超弦理論は着実に進展した

開いた弦（強い力を伝える）

閉じた弦（重力を伝える）

1980 年代になると、超弦理論は 10 次元で 5種類存在することが分かる。

1990 年代半ばにはブラックホールに相当する「ブレーン」と呼ばれる物体の存在が明らかになった。

Veneziano, Nambu, Goto, …

Scherk, Schwarz, Yoneya

Green, Schwarz, Witten,…

Polchinski(1995)

ブラックホールの「ホログラム的」記述

ブラックホールの熱的物理量は、「事象の地平面」において計算できる。3 次元空間の物体 2 次元球面

ブラックホールのミクロな状態は、「事象の地平面」の量子状態によって理解できるのでは？

「ホログラム」あるいは「ホログラフィック原理」

1997 年、マルダセナはこの考えを超弦理論の中で実現できる可能性を提唱した。

hep-th/9409089,Susskind

‘t Hooft(1993) Susskind(1994)

重力の量子効果が重要になるスケール

３つの基本物理定数

h （プランク定数） 量子力学c 　（光速）　　　　　　　　　相対性理論G （ニュートンの重力定数）　万有引力の法則長さ、時間、質量の単位を組み合わせて書けている。

プランク長さ

時空の曲率半径がプランク長さくらいになってきたら、重力の古典論（一般相対性理論）は使えない。

重力の量子論（超弦理論）