トラヒックエンジニアリング（2回実施予定） - …図10.4 ScienceandTechnology ランダム呼とポアソン分布（1/4） 8 微少時間Δt 時刻t 0と（t 0+Δt）の間に一つの呼が生起する確率

トラヒックエンジニアリング（2回実施予定）

第10章

ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

平日と休日のトラヒックの時間変動の例（ビジネスエリア）

図10.1


（１）アーラン（erl）C=1時間当たりの呼発生数h=平均保留時間a=ch(erl)つまり、１回線が運ぶことができる最大呼量は１erlである。（２）ポアソン呼（poison call）① 呼の発生がたがいに独立である。すなわち、呼の発生はその時点以

前の呼の発生とは無関係である（呼生起の独立性、マルコフ性）。

② 観測時間Δｔの間に呼が発生する確率は一定である。すなわち、呼の発生確率に時刻依存性はない（呼生起の定常性）。

③ 観測時間Δｔを小さくとると複数の呼が生起することはない。すなわち、複数の呼がほとんど同時に発生する確率は無視できるほど小さい（呼生起の希少性）。

呼量とトラヒックモデル3


トラヒックモデル

呼源

m ・・・ 2 1

サーバー1

・・・・

3呼呼呼呼呼

呼

呼

呼

呼

待合室

呼生起間隔分布待合室数サーバー数保留時間分布

サーバー2

サーバーc

図10.2


トラヒックモデル5

即時系輻輳状態の時に接続をあきらめる

待時系輻輳状態の時に空くまで待つシステム

ケンドール表現 A / B / S(m)

（m）

A B

サーバー数

生起間隔分布保留時間分布待ち呼数の上限

S サーバー数


電話の保留時間

図10.3


電話の保留時間累積分布

図10.4


ランダム呼とポアソン分布（1/4）8

微少時間Δt時刻t0と（t0+Δt）の間に一つの呼が生起する確率

p1（Δt）はp1（Δt）＝λΔt （1）

λは正の常数 λ：生起率

任意の時間t時間にk個の呼が生起する確率pk（t）

時間間隔tを微少時間Δtごとに等分し、n組に区分した。t時間中に全然呼の生起しない確率p0（t）は

p0（t）＝[p0（Δt）]ｎ（2）

（n組）Δt Δt

t



Δtにはせいぜい一つの呼のみ発生するのでΔ 1 Δ 1 ∆

この関係を（2）の式にあてはめると1 ∆

n＝t/Δtを代入して

1 （3）

（3）式で → ∞とすると

lim→

1 （4）

をn個の区分のうち任意のk個にだけ一つずつ呼が生起する確率と考えると

Δ ∆ （5）



（4）式のtをΔtとおきかえ、（５）の式の１部に代入すると

∆ ∆ · ∆

1 ∆!

∆! ⋯⋯

≒ 1 Δ （6）∆ 1 Δt 1

1 1 Δt ! ⋯⋯

≒ Δt （7）したがって、（5）式に（6）,（7）式を代入し、Δt→0, ｎ→∞とすると

⋯⋯!

≒ ! （8）



（８）式はポワソン生起と呼び、教科書の（10.5）式である。

t時間内にk個の呼が生起する確率がポアソン分布とするとき、長さtの時間間隔内で生起する呼数の平均値は

!

!

（9）

1k


待ち時間を短くするのはどちらか？12


リトルの公式13

“観測：、 ⇒ がわかる” すごい式


リトルの公式

リトルの公式の使用例14


M/M/1待ち行列システム15


M/M/1待ち行列システム（続き）16


M/M/1待ち行列システムの状態遷移図17


M/M/1待ち行列システムの状態遷移（1/3）

18

下図

下図



19



20

λΔt)


待ち行列システム内客数の定常確率（1/4）

21



22

（電子回路のキルヒホッフの法則？）

1



23

（この算出を演習にすることが多い）

1



24


システム内の平均客数25

（これを演習にすることが多い）

1


平均システム内滞在時間26


M/M/1モデルの平均待ち時間

図10.7

（17）式の


出線数と出線使用率

図10.8

これを大群化効果という


単独高速サーバー（処理時間1／μ）と5台の並列低速サーバー（処理時間1／5μ）の待ち時間特性

図10.9


待ち時間を短くするのはどちらか？30

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