例外型のシューベルトカリ＝ルキュラス - 京都大学kaji/papers/presentation/...Introduction Flag variety Schubert calculus Exceptional type Future Work 例外型のシューベルトカリ＝ルキュラス

Introduction Flag variety Schubert calculus Exceptional type Future Work

例外型のシューベルトカリ＝ルキュラス

福岡大学理学部鍛冶静雄

([email protected])

第５６回トポロジーシンポジウム北海道大学

2009年 8月 10日

R3内の４本の直線と交わる直線は何本引けるか？

空間内に与えられた４本の直線

R3内の４本の直線と交わる直線は何本引けるか？

空間内に与えられた４本の直線三本は一葉双曲面の上一本は双曲面と２点で交わる

全てと交点を持つ、二本の直線

(写真は wikipediaの神戸ポートタワーを拝借)


目次

導入旗多様体の一般論シューベルトカルキュラスの紹介例外型における具体的な計算方法応用・今後の課題


歴史

数え上げ幾何 (Schubert, 19世紀)

⇒ 旗多様体の交差理論 (=コホモロジー論)(Ehresmann, 20世紀)

⇒ ワイル群の組み合わせ論 (Chevalley, 20世紀後半–)

旗多様体 G/P: リー群の等質空間 (例: グラスマン多様体)

ワイル群W : 有限コクセター群 (例: 対称群)

シューベルト多様体 Xw : W でパラメトライズされた部分多様体族

問題Xw の幾何を、W の言葉で記述する


旗多様体

G: 単連結単純複素リー群B ⊂ G: Borel部分群P ⊃ B: 放物部分群G/P: 旗多様体

例 1 Cn の中の線形部分空間の増大列 (旗)

Fln := {0 ( V1 ( V2 ( · · · ( Vn = Cn}

G = GLn(C)が推移的に右作用固定化群は上三角行列全体 BFln = GLn(C)/B: complete flag variety

例 2 Cn の中のm次線形部分空間全体Gr(m, n) x GLn(C)

固定化群は Pm =

„

Am ∗0 An−m

«

Gr(m, n) = GLn(C)/Pm: 複素グラスマン多様体


ワイル群

T ⊂ B ⊂ G: 極大トーラスn = dim T : ランクt: T のリー環s1, . . . , sn ∈ GL(t∗): 単純鏡映W = 〈s1, . . . , sn〉: ワイル群l(w) ∈ Z≥0: 最短表示の長さ

Fact

放物部分群 P は部分集合 P ( {1, 2, . . . , n}と対応 (B ⇔ ∅)

W P = 〈si〉i∈P : P のワイル群WP := {w ∈ W | ∀i /∈ P, l(wsi) > l(w)} ∼= W/W P

Pm : P = {1, 2, . . . , m, . . . , n}に対応する放物部分群

例 G = GLn, P = Pm の時、W = Sn, W P = Sm × Sn−m

WP = {w ∈ Sn | w(1) < · · · < w(m), w(m + 1) < · · · < w(n)}


型の分類

古典型G/B GLn/B SO2n+1(C)/B Sp2n(C)/B SO2n(C)/B

次元 (= 2l(w0)) n(n − 1) 2n2 2n2 2n(n − 1)

オイラー数 (= #W ) n! 2nn! 2nn! 2n−1n!

例外型G/B G2/B F4/B E6/B E7/B E8/B

次元 (= 2l(w0)) 12 48 72 126 240オイラー数 (= #W ) 12 1152 51840 2903040 696729600


シューベルト多様体

T y G/P の固定点は、WP でパラメトライズされる有限集合

{wP/P} , w ∈ WP

その左 B軌道の閉包Xw := BwP/P

は、シューベルト多様体と呼ばれる部分多様体を定義する。例 G = GLn, P = Pm の時、w ∈ WPm に対して、

Xw = {V ⊂ Cn | dim(V ∩ Cw(j)) ≥ j} ⊂ Gr(m, n)


例: Fl4のシューベルト多様体w =

(

1 2 3 43 4 1 2

)

∈ S4

最短表示は w = s2s1s3s2, l(w) = 4

w =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Bw =

∗ ∗ 6= 0 ∗∗ ∗ 0 6= 0

6= 0 ∗ 0 00 6= 0 0 0

BwB/B =

∗ ∗ 1 0∗ ∗ 0 11 0 0 00 1 0 0

dimC BwB/B = #∗ = l(w) = 4


Bruhat順序

W の (strong) Bruhat順序:

w ≤ v ⇔ v = [i1, . . . ik ]の ∃subword [in1 , . . . , inj ] = w

W (GL4(C)) = S4 の Bruhat順序

全体 GL4(C)/Bに対応青色 WP2 ⊂ W :

GL4(C)/P2 = Gr(2, 4)に対応水色 {v ∈ W | v ≤ [2, 1, 3, 2]}:

シューベルト多様体 X[2,1,3,2]

に対応


Bruhat順序W の (strong) Bruhat順序:

w ≤ v ⇔ v = [i1, . . . ik ]の ∃subword [in1 , . . . , inj ] = w

W (GL4(C)) = S4 の Bruhat順序

全体 GL4(C)/Bに対応青色 WP2 ⊂ W :

GL4(C)/P2 = Gr(2, 4)に対応水色 {v ∈ W | v ≤ [2, 1, 3, 2]}:

シューベルト多様体 X[2,1,3,2]

に対応


幾何⇔組み合わせ論dim Xw = 2l(w)

最長元 w0 ∈ W ⇔ Xw0 = G/Bw ≤ v ⇔ Xw ⊂ Xv

Xw の singularity ⇔ w の最短表示に現れるパターンH∗(G/P; Z) ∼=

⊕

w∈WPZ[Xw ]

σw := [Xw ]∨ と定めると、H∗(G/P; Z) ∼=⊕

w∈WPZσw

σw ∈ H2l(w)(G/P; Z)をシューベルト類というH∗(G/P; Z)は torsion-freeかつ Hodd(G/P; Z) = 0σu ∪ σv =

P

w cwu,vσw とかける

cwu,v を structure constantと呼ぶ

問題 (シューベルトカルキュラスの基本的な問題)

ワイル群の組み合わせ論の言葉でXw の singularityを記述cw

u,v を計算する公式cw

u,v ≥ 0を証明


コホモロジー計算のアルゴリズム

structure constantを計算するアルゴリズムLittlewood-Richardson ruleChevalley formulaGKM type formula (localization formula)Duan’s formula

シューベルト多項式現状では、例外型はあまり考慮されていない

目標例外型旗多様体のコホモロジーを、“扱いやすい形”で与える


コホモロジーの Borel表示H∗(G; Z)の torsion prime

G GLn(C) SOn(C) Sp2n(C) G2 F4, E6, E7 E8

p なし 2 なし 2 2, 3 2, 3, 5

R := Z[p−1] p : torsion primesとおくと、

定理 (Borel)

H∗(G/P; R) ∼=H∗(BT ; R)W P

(H+(BT ; R)W )(H∗(BT ; Z) = Z[x1, . . . , xn])

H∗(BT ; R)W P: P のワイル群の不変式環

(H+(BT ; R)W ): Gのワイル群の正次数不変式で生成されるイデアル

G = GLn(C), Sp2n(C)の時、R = Z

H∗(G/B; R)は環として 2次のシューベルト類 {σ[1], . . . , σ[n]}で生成W y {σ[1], . . . , σ[n]}は知られている


例: H∗(Gr(m, n); Z)

H∗(Gr(m, n); Z) ∼=Z[x1, . . . , xn]

Sm×Sn−m

(Z+[x1, . . . , xn]Sn)

∼=Z[c1, . . . , cm, c′

1, . . . , c′n−m]

(1 + c1(x1, . . . , xn) + · · · + cn(x1, . . . , xn))

ci := ci(x1, . . . , xm), c′i := ci(xm+1, . . . , xn)

Giambelli公式 (σw の多項式代表を与える): σw = deti,j(

c′w(m+1−i)−2i+j

)

σ4[2] = (c′

1)4 ≡ 2(c′

2)2 = 2σ[2,1,3,2]

差分商作用素 (多項式で与えられたクラスを Xw 上で積分する):

∆[i1,i2,...,ik ] = ∆i1 ◦ · · · ◦ ∆ik : Z[c1, . . . , cm, c′1, . . . , c′

n−m]

∆i(f ) :=f (x1, . . . , xi , xi+1, . . . , xn) − f (x1, . . . , xi+1, xi , . . . , xn)

xi+1 − xi

∆[2,1,3,2](c′1)

4 = ∆[2,1,3,2](x3 + x4)4 = 2


H∗(Gr(2, 4))と４直線の問題R3 内の４本の直線と交わる直線は何本引けるか？

⊗C &同次化 (ax + by + cz = d ⇒ ax + by + cz − dw = 0)R3 内の与えられた直線と交わる直線全体

⇒ C4 内で、原点を通る平面と交わる平面全体= {V 2 ⊂ C4 | dim(V 2 ∩ C2) ≥ 1}= X = X0

@

1 2 3 41 3 2 4

1

A

置換(

1 2 3 41 3 2 4

)

の最短表示は s2

対応するシューベルト類は σ[2]

R3 内の与えられた４本の直線全てと交わる直線全体

Y := X ∩ X ∩ X ∩ X

#Y =

∫

Gr(2,4)

σ4[2] = 2


多項式によるアプローチ

“良い”多項式代表: シューベルト多項式Giambelli公式: 陽な公式差分商作用素: (Bruhat順序で)上からの再帰transition公式: 下からの再帰リー群古典型例外型

シューベルト多項式 ○ ×差分商作用素 ○ ○

Giambelli公式 △ ×transition公式 ○ △

問題 (とりあえず)

例外型の場合に、(力づくで)多項式表示を探す


目標

例外型の旗多様体について、1 コホモロジーを環として生成する {σwj}を見つけ出す

π : Z[σw1 , . . . , σwk ] ։ H∗(G/P; Z)

2 それらが満たす関係式を求める

ker π = (ρ1, . . . , ρh)

⇒ H∗(G/P; Z) ∼=Z[σw1 , . . . , σwk ]

(ρ1, . . . , ρh)

3 任意の w ∈ W について、σw を {σwk }達の積和で表す

σw = fw (σw1 , . . . , σwk ) ∈Z[σw1 , . . . , σwk ]

(ρ1, . . . , ρh)


方針

次の単射準同型が存在:

H∗(G/P; Z) =⊕

w∈WP

Zσw →⊕

w∈W

Zσw = H∗(G/B; Z)

σw 7→ σw

⇒ H∗(G/B; Z)が親玉困難: 計算機を用いても、直接には手に負えない大きさ

例 rank(H∗(E8/B)) = |W | = 696729600 ⇒大きすぎる!

解決策: 小さな部分に分割する例 rank(H∗(E8/P2)) = |WP2 | = 17280 ⇒何とかなる


方針

ファイバー束(∗) P/B

ι→ G/B

p−→ G/P

P/B, G/B, G/P は全て旗多様体Serreスペクトル系列は E2-collapse

H∗(G/P; Z) = H∗(G/B; Z)W P

{

Z [σvi ] ։ H∗(G/P; Z)Z [ι∗(σui )] ։ H∗(P/B; Z)

⇒ Z [σvi , σui ] ։ H∗(G/B; Z)

†二つのパート H∗(P/B; Z) & H∗(G/P; Z)に分解


方針

‡ディンキン図式の頂点をひとつ引き抜いて、A型か C 型にできる

c csα1 α2 c c c cs

α1 α2 α3 α4c c c c c c

s

α1 α3 α4 α5 α6 αn

α2

⇒ (∗)

{

GLn(C)/B → G/Bp−→ G/P2 (G = G2, En)

Sp2n(C)/B → G/Bp−→ G/P1 (G = F4)

Pm : {1, 2, . . . , m, . . . , n}に対応する極大放物部分群

H∗(GLn/B; Z), H∗(Sp2n/B; Z)　の Borel表示は簡単


E型の場合

t1 = − σ[1] + σ[2], t2 = σ[1] + σ[2] − σ[3], t3 = σ[2] + σ[3] − σ[4],

t4 =σ[4] − σ[5], ti = σ[i] − σ[i+1], . . . , tn = σ[n],

と置くと、( {ti}は σ[n] のW P2-軌道)H∗(BT ; Z) = 〈σ[1], . . . , σ[n]〉 = 〈σ[2], t1, . . . , tn〉

W P2 = 〈s1, s2, . . . , sn〉, W = 〈W P2 , s2〉

W P2 y {t1, . . . , tn}: 置換W P2 y σ[2]: 自明ci := ci(t1, . . . , tn) : i 次基本対称式

⇒(

H+(BT ; Z)W P2)

=(

σ[2], c2, . . . , cn)

⇒ H∗(P2/B; Z) ∼= H∗(GLn(C)/B; Z) ∼=H∗(BT ; Z)

(

H+(BT ; Z)W P)

∼=

Z[σ[2], t1, . . . , tn](

σ[2], c2, . . . , cn)


E型の場合

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2


E型の場合

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2

H∗(GLn(C)/B; Z) ∼=Z[σ[2], t1, . . . , tn](σ[2], c2, . . . , cn)


E型の場合

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2

H∗(GLn(C)/B; Z) ∼=Z[σ[2], t1, . . . , tn](σ[2], c2, . . . , cn)

H∗(En/P2; Z) ∼= H∗(En/B; Z)W P2 ∼=⊕

w∈WPZσw

Z[ 1p ][σ[2], c2, . . . , cn] ։ H∗(En/P2; Z[ 1

p ]), (p : torsion primes)


差分商作用素

W y H∗(G/B; Z)

si(σw ) =

{

σw (l(wsi) = l(w) + 1))

−σw −∑

(α∨, αi)σwsi sα(l(wsi) = l(w) − 1))

(ここで αは、l(wsisα) = l(w)なる正ルート全体を動く)

i ∈ {1, . . . , l},∆i : H∗(G/B; Z) → H∗−2(G/B; Z)

∆i(f ∪ g) = ∆i(f ) ∪ g + si(f ) ∪ ∆i(g), f , g ∈ H∗(G/B; Z)

∆iσw =

(

σwsi (l(wsi) = l(w) − 1)

0 (l(wsi) = l(w) + 1)

w = [i1, . . . , ik ] ∈ W

∆w = ∆i1 ◦ · · · ◦ ∆ik : H∗(G/B; Z) → H∗−2l(w)(G/B; Z)

f (σvi ) =∑

∆w (f )σw

シューベルト類の積和⇒シューベルト類の線形和


例外型グラスマンEn/P2

低い次数から順に、Z[σ[2], c2, . . . , cn]の単項式を、差分商作用素によりシューベルト類の線形和で表示Im

`

Z[σ[2], c2, . . . , cn] → H∗(En/P2; Z)´

に入らないシューベルト類 σwk を探すZ[σ[2], c2, . . . , cn, σwk ]として上記を繰り返すker(∆w )についても同様に、その生成元 rk を特定

⇒ H∗(En/P2; Z) ∼=Z[σwk ]

(rk )


E6/P2においての実際の計算deg 2 4 6 8WP2 [2] [4, 2] [3, 4, 2], [5, 4, 2] [1, 3, 4, 2], [3, 5, 4, 2], [6, 5, 4, 2]

G2 := {σ[2], c2, c3, c4, c5, c6}: generator set

R2 := ∅: relation set　　degree 4

1 σ2[2] = σ[4,2]

2 c2 = 4σ[4,2]

3 G4 := {σ[2], c2, c3, c4, c5, c6}4 R4 := {g2 = 4σ2

[2]}

degree 61 σ3

[2] = σ[3,4,2] + σ[5,4,2]

2 c3 = 2σ[3,4,2] + 4σ[5,4,2]

3 G6 := {σ[2], σ[5,4,2], c3, c4, c5, c6}4 R6 := {g2, g3 = 2σ[5,4,2] + 2σ3

[2]}

H≤6(E6/P2; Z) ∼= Z[σ[2], σ[5,4,2]]


主結果

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2


主結果

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2

Z[t1, . . . , tn] ։ H∗(GLn(C)/B); Z)


主結果

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2

Z[t1, . . . , tn] ։ H∗(GLn(C)/B); Z)

H∗(En/P2; Z) ∼=Z[σwk ]

(rk )


主結果

GLn(C)/Bι→ En/B

p−→ En/P2

Z[t1, . . . , tn] ։ H∗(GLn(C)/B); Z)

H∗(En/P2; Z) ∼=Z[σwk ]

(rk )

ci を、H∗(En/P2; Z)の中で多項式表示したものを gi と置くと、

H∗(En/B; Z) ∼=Z[t1, . . . , tn] ⊗ H∗(En/P2; Z)

〈ci − gi〉, (i = 1, . . . , n)

定理 (Nakagawa-K)

H∗(En/B; Z) =Z[σ[i], σwk ]

(ci − gi , rk ), (i = 1, . . . , n)


シューベルト類σwの多項式代表

w ∈ W は、w = u · v , u ∈ WP , v ∈ W P と分解できるlP(w) := l(v)と定める




σw = σuv ∈ H∗(G/B) ⇒

{

σu ∈ H∗(G/P) u ∈ WP

σv ∈ H∗(P/B) v ∈ W P





{



u ∈ WP ⇒ σu ∈ H∗(G/P; Z): 計算機で列挙可能





{



u ∈ WP ⇒ σu ∈ H∗(G/P; Z): 計算機で列挙可能v ∈ W P ⇒ σv ∈ H∗(P/B; Z): 古典型に帰着





{



u ∈ WP ⇒ σu ∈ H∗(G/P; Z): 計算機で列挙可能v ∈ W P ⇒ σv ∈ H∗(P/B; Z): 古典型に帰着

補題 (Transition公式もどき)

σw = σuσv −∑

w ′:lP(w ′)<lP(w)

∆w ′(σuσv )σw ′

を用いて、再帰的に lP(w) = 0 ⇔ σw ∈ H∗(G/P; Z)に帰着


応用

定理

H∗(G/B; Z) =Z[σ[i], σwk ]

(rk )　 (の具体的な表示)

σwk : Gの Chow環 A∗(G)の生成元⇒ A∗(G)の決定(rk ): W の不変式環に関係⇒ W の stable invariantsの決定H∗(G; Z)の決定 [Duan-Zhao]

H∗(G; Fp)を Ap 代数として決定 [Duan-Zhao]


今後の課題

torsion index

∃t(w) ∈ N, t(w)σw ∈ Im (H∗(BT ; Z) → H∗(G/B; Z))

decomposability

σw が次数の低いシューベルト類の積和に分解する条件予想: σw が indecomposable ⇒ σw はグラスマン由来

シューベルト多項式例外型の場合の特徴付けtransition公式Giambelli公式

T -同変コホモロジーの多項式環による表示orbifold Schubert calculus

T の有限部分群 H ∼=L

Z/λiZ y G/P等質空間 G/P(λ) := H\G/P (weighted projective spaceの一般化)H∗(G/P(λ); Q) ∼= H∗(G/P; Q)H∗(G/P(λ); Z)でのシューベルトカルキュラス

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